martin vermeer martin.vermeer@hut - aaltomvermeer/fys.pdf · fysikaalinen geodesia maa-6.3271...

Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271

Martin Vermeer [email protected]

N

�N

g

4. helmikuuta 2013

[email protected]

3

Kurssiesite

Laajuus 3 op

Opetusjakso IV, Luennoidaan parittomien vuosien keväinä.

Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija

� osaa tehdä yksinkertaisten kappaleiden painovoimakentän laskentoja.

� Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja painovoima-anomalioiden jamaastokorjauksen kanssa.

� Osaa laskea geopotentiaalilukujen, ortometristen ja normaalikorkeuksienvälillä.

� Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja liittyen isostaattiseen kompen-saatioon.

� Osaa tilastollisesti predikoida painovoima-anomaliat kollokaatio-menetelmällä.

� Ymmärtää Maan painovoimakentän esittämistä pallofunktiokertoimilla,sekä painovoima-anomalioiden ja geoidikorkeuksien spektraalikäyttäyty-mistä.

� Ymmärtää gravimetrisen geoidimäärityksen perusteet.

Sisältö Maan painovoimakenttä ja sen esitystavat; geopotentiaali ja pallofunktioke-hitelmät; eri havaintotyypit ja niiden käsittely; painovoima-anomaliat; Maanmuoto (geoidi) ja sen määritys; korkeudenmittaus ja korkeusjärjestelmät;maastomallit ja maastoefektit; painovoima ja Maan sisäinen rakenne; meren-pinta, geoidi ja merenpinnan topogra�a; satelliittien käyttö painovoimakentänmäärityksessä.

Esitiedot Maa-6.203 tai Maa-6.2203.

Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa-6.271.

Kohderyhmä

Suoritustavat Kokonaissuoritus koostuu tentistä ja laskuharjoituksista.

Työmäärä toteutustavoittain

� Luennot 6 � 4 t = 24 t

� Materiaalin itsenäinen opiskelu 31 t

� Laskuharjoitukset 30�1t josta 25 pakollisia = 25 t (itsenäinen työskentely)

� Yhteensä 80 t

Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana , 1-5

Oppimateriaalit Luentomoniste. Taustamateriaalina Heiskanen�Moritz Heiskanen andMoritz (1967).

Opetuskieli Suomi

Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309, nimi@tkk.�

Vastaanottoajat Sovitaan

CEFR-taso

Lisätietoja

Kiitokset

Hannu Ruotsalaiselle ja monelle opiskelijalle hyödyllisistä kommentteista ja korjausehdo-tuksista.

Tämän dokumentin laatimiseen käytettiin mm. seuraavat työkalut: visuaalinen LATEX-editoriLYX, piirtämisohjelma xfig, ja bibliogra�aohjelma BibTEX.

Sisältö 5

Sisältö

1 Newtonin gravitaatioteoria 11.1 Yleistä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Kahden massan välinen gravitaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Kiinteän kappaleen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.1 Käyttäytyminen äärettömyydellä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Laplacen ja Poissonin yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Mittainvarianssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Yksinkertainen massatiheyskerros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 Kaksinkertainen massatiheyskerros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11 Gaussin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11.1 Esitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11.2 Intuitiivinen kuvaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.11.3 Gaussin lauseen potentiaaliversio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.11.4 Yksinkertainen esimerkki: pieni kuutio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.12 Greenin lauseet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.13 Chaslesin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.14 Reuna-arvotehtävät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.15 Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.16 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.16.1 Tehtävä: Massaviivan potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.16.2 Tehtävä: Gaussin yhtälön tarkistus erikoistapauksessa . . . . . . . . . 231.16.3 Tehtävä: Yksinkertaisen massatiheyskerroksen �divergenssi� . . . . . . 231.16.4 Tehtävä: Kappaleen kokonaismassan määritys . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Laplace'n yhtälö 252.1 Yleistä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit . . . . 282.4 Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Riippuvuus korkeudesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Legendren funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Legendre-polynomien ortogonaalisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Sisältö

2.8 Eri suureiden spektraaliesitykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.8.1 Potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.8.2 Gravitaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.9 Funktion hajoittaminen asteosuuksiin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.10 Matalan asteluvun pallofunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.11 Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.12 Ellipsoidiset harmoniset [vaikea ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.13 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.13.1 Tehtävä: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa . . . . . . . . . . . . . . 432.13.2 Tehtävä: Pallofunktiokertoimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Normaalipainovoimakenttä 453.1 Normaalikentän perusajatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Keskipakoisvoima ja sen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Tasopinnat ja luotiviivat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Luonnolliset koordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea ] . . . . . . . . . . . 503.6 Normaalipainovoima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 Numeeriset arvot ja kaavat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.8 Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9 Häiriöpotentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.9.1 Rappin kaavan ja ellipsoidisen kaavan ekvivalenssin osoittaminen, . . 553.9.2 Somigliana-Pizettin kaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9.3 Painovoimagradientista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.9.4 Keskipakoisvoimasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.9.5 Luotiviivapoikkeamat geoidimäärityksessä . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Painovoimakentän anomaaliset suureet 574.1 Häiriöpotentiaali, geoidikorkeus, luotiviivapoikkeamat . . . . . . . . . . . . . 574.2 Painovoimahäiriöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Painovoima-anomaliat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5 Telluroidikuvaus ja �kvasi-geoidi� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Ilma-anomaliat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7.1 Tehtävä: Painovoima-anomalioiden spektri . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7.2 Tehtävä: Painovoimakentän �koko� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.3 Tehtävä: Johda yllä annettua kaavaa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Geofysikaaliset reduktiot 675.1 Yleistä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Bouguer-anomaliat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Maastoefektit ja maastokorjaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Esimerkki: Maastokorjauksen laskenta erikoistapauksessa . . . . . . . . 72

Sisältö 7

5.4 Helmert-kondensaatio [vaikea ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4.1 Topogra�an sisäinen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.2 Topogra�an ulkoinen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4.3 Kondensaatiokerroksen ulkoinen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . 755.4.4 Helmert-kondensaation kokonaispotentiaali . . . . . . . . . . . . . . . 765.4.5 Helmert-kondensaation painovoimavaikutus . . . . . . . . . . . . . . 765.4.6 Helmert-kondensaation sisäinen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5 Dipolimenetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.6 Isostasia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.6.1 Klassisia hypoteeseja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.6.2 Laskentakaavoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.6.3 Isostasian nykykäsitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.7 Isostaattiset reduktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.8 �Isostaattinen geoidi� [vaikea ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.9 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.9.1 Tehtävä: Maaston vaikutus gradienttiin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Korkeusjärjestelmät 876.1 Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2 Ortometriset korkeudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3 Normaalikorkeudet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3.1 Molodenskyn teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3.2 Molodenskyn todistus [vaikea ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3.3 Normaalikorkeus ja korkeusanomalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.4 Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä . . . . . . . . . . . . . . 936.5 Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä . . . . . . . . 956.6 Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.7 Normaalikorkeuksien tarkka laskenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.8 Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.9 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.9.1 Risteilyohjuksen ongelmasta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 Stokesin kaava ja muut integraalikaavat 1017.1 Stokesin kaava ja Stokesin integraaliydin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Luotiviivapoikkeamat ja Vening-Meineszin kaavat . . . . . . . . . . . . . . 1037.3 Poissonin integraalikaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.4 Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.5 Painovoima-anomalian pystygradientti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.6 Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.6.1 Molodenskii-menetelmä lineaarisessa approksimaatiossa . . . . . . . 1117.6.2 Laskentapiste vertaustasoksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.7 Remove-Restore menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.8 Ytimen modi�kaatio remove-restore menetelmässä . . . . . . . . . . . . . . . 1137.9 Paikallisen vyöhykkeen vaikutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8 Sisältö

8 Spektraalimenetelmät, FFT 1178.1 Stokesin lause konvoluutiona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Integraatio FFT:llä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.3 Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.3.1 Strang van Hees-menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.3.2 �Spherical FFT�, monivyöhykemall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.3.3 �Spherical FFT�, Taylor-kehitelmämalli . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.3.4 �1D-FFT� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.4 Mutkat matkalla: bordering, tapering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.5 Geoidilasku FFT:llä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.5.1 GRAVSOFT-ohjelmisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.5.2 Suomen FIN2000 geoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.6 FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.6.1 Satelliitti-altimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.6.2 Satelliittipainovoimamissiot; ilmagravimetria . . . . . . . . . . . . . . 127

8.7 Maastokorjausten laskeminen FFT:llä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9 Tilastolliset menetelmät 1319.1 Epävarmuuden rooli geofysiikassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.2 Lineaariset funktionaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.3 Tilastotiede Maan pinnalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4 Painovoimakentän kovarianssifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.5 Pienimmän neliösumman kollokaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.5.1 Stokastiset prosessit yhdessä ulottuvuudessa . . . . . . . . . . . . . . . 1359.5.2 Signaali ja kohina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.5.3 Estimaattori ja sen virhevarianssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.5.4 Optimaalisuuden todistus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.5.5 Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio . . . . . . . . . . . . . . . 1389.5.6 PNS-kollokaatio painovoima-anomalioille . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.5.7 Laskuesimerkki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.5.8 PNS-kollokaation teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.6 Painovoima-anomalioiden prediktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.7 Kovarianssifunktio ja astevarianssit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.7.1 Häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.7.2 Astevarianssit ja pallofunktiokertoimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.8 Kovarianssien kasautumislaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.8.1 Ensimmäinen esimerkki: Potentiaalin jatkaminen ylöspäin . . . . . . 1459.8.2 Toinen esimerkki: Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio . . 147

9.9 Globaaliset kovarianssifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.10 Kollokaatio ja spektraalinäkökohta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.11 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.11.1 Tehtävä: Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio . . . . . . . . . . . . . 1509.11.2 Kovarianssien kasautuminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.11.3 Tehtävä: Prediktiosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Sisältö 9

9.11.4 Maanalaiset massapisteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.11.5 Kovarianssimatriiseistä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10 Gravimetriset mittauslaitteet 15310.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.2 Relatiivinen (jousi-) gravimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.3 Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.4 Suprajohtava gravimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.5 Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.6 Ilmagravimetria ja GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.7 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.7.1 Ballistisen gravimetrin vaihtoehtoiset havaintoyhtälöt . . . . . . . . . . 163

11 Geoidi, keskimerenpinta, meritopogra�a 16511.1 Peruskäsitteet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.2 Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.3 Geoidi ja postglasiaalinen maannousu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.4 Menetelmiä meritopogra�an määrittämiseksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.5 Globaalinen meritopogra�a ja lämmönkuljetus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.6 Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.7 Merenpintayhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

12 Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot 17712.1 Satelliitti-altimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17712.2 Crossover-tasoitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17912.3 Satelliittiradan valinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18212.4 Retracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.5 Merentutkimus altimetrian avulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.6 Satelliittipainovoimamissiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.7 Harjoitustehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

12.7.1 Satelliittiradan laskenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18812.7.2 Crossover-tasoitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

13 Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet 19113.1 Teoreettinen vuorovesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19113.2 Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19313.3 Vuoroveden pysyvä osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19413.4 Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

14 Maan painovoimakentän tutkimus 19714.1 Kansainvälisesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19714.2 Eurooppa ja pohjoismaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19814.3 Oppikirjat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Kirjallisuutta 199

10 Sisältö

A Kenttäteorian ja vektorianalyysin rautaisannos 203A.1 Vektorilaskenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A.1.1 Skalaaritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A.1.2 Muodollisesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.1.3 Ulkoinen tulo eli vektoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.1.4 Muodollisesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.1.5 Keplerin toinen laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

A.2 Skalaari- ja vektorikenttiä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.2.1 Määritelmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.2.2 Avaruuden kanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206A.2.3 Nabla-operaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207A.2.4 Gradientti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207A.2.5 Divergenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208A.2.6 Rotaatio (en. curl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208A.2.7 Konservatiiviset kentät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.2.8 Laplace-operaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.3 Integraalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210A.3.1 Käyrä-integraali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210A.3.2 Pinta-integraali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211A.3.3 Stokesin reuna-integraalilause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212A.3.4 Gaussin integraalilause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.4 Aineen jatkuvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

B Funktioavaruudet 215B.1 Abstraktinen vektoriavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215B.2 Fourier-funktioavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216B.3 Sturm-Liouville di�erentiaaliyhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

B.3.1 Ominaisarvotehtävä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217B.3.2 Itseadjungoitu operaattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218B.3.3 Itseadjungoidut di�erentiaaliyhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

B.4 Legendre-polynomit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221B.5 Pallofunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

C Miksi FFT toimii? 223

Hakemisto 225

Taulukot

2.1 EGM96-pallofunktiokehitelmän harmonisia kertoimia . . . . . . . . . . . . . . 42

12.1 Altimetriasatelliittit kautta aikojen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.1 Teoreettisen vuoroveden eri periodit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Kuvat

1.1 Gravitaatio on universaalinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Pallon ohut kuori koostuu renkaista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren keskipisteestä 61.4 Kaksinkertainen massatiheyskerros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Gaussin lauseen graa�nen selostus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Pieni kuutio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Greenin kaavan ulkoinen geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on pinnan @V sisäpuolella 191.9 Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Painovoimakentän vaimennus korkeuden mukaan. . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Pallokoordinaattien määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Geodeettisten koordinaattien määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Muutama Legendren polynomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5 Legrendren liitännäisfunktioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7 Monopoli, dipoli ja kvadrupoli ja niiden vaikutukset geoidiin . . . . . . . . . 40

4.1 Geoidi-undulaatiot ja luotiviivapoikkeamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Painovoima- ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat . . . . . . . 594.3 Eri vertauspinnat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1 Bouguer-laatan vetovoima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Bouguer-laatta topogra�an approksimaationa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Eri anomalioiden käyttäytyminen vuoristossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

12 Kuvat

5.4 Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä . . . . . . . . . 715.5 Bouguer-anomalian laskennan vaiheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.6 Helmert-kondensaatio ja sen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.7 Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin . . . . . . . . . . . . . . . 795.8 Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.9 Airy-Heiskanen isostaatinen hypoteesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.10 Isostaattisen kompensaation suureita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.11 Isostasian nykykäsitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1 Vaaituksen periaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2 Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja maasto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.1 Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Stokes-kaavan integraatio geometrisesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.3 Stokesin funktio S ( ). Argumentti radiaaneina [0; �) . . . . . . . . . . . . 1037.4 Generoiva funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.5 Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.6 Residual terrain Model (RTM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.7 Modi�oituja Stokes-ydinfunktioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.8 Simpson-integrointi kahdessa ulottuvuudessa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1 Karttaprojektiokoordinaatit x; y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Suomen FIN2000ögeoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.3 Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.1 Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä. . . . . . . . . . 1349.2 Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa . . . . . . . . . . . . . . 1389.3 Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta . . . . . . . . . . . . . . . 1409.4 Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.5 Sirkulaarinen geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.1 Autograv CG5 jousugravimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.2 Jousigravimetrin toimintaperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.3 Astatisoinnin idea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.4 Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.5 FG5 absoluuttinen gravimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.1 Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia . . . . . . . . . 16911.2 Fennoskandian 63� leveyspiirin painovoimalinja . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.3 Meritopogra�an ja merivirtausten välinen yhteys . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.4 Merenpintayhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.5 Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.1 Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet . . . . . . . . . . . . . . . 17812.2 Eräs crossoverien yksinkertainen geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Kuvat 13

12.3 Aurinkosynkroonisen radan mekanismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.4 �No-shadow� -radan geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.5 Altimetriapulssin analyysi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.6 Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti. . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.7 GRACE-satelliittien perusidea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.8 Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliitin. . . . . . . . . . . . . 18812.9 Satelliitti-altimetrian ratageometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

13.1 Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun paikallinen zeniittikulma . . . . . . . . . . 191

A.1 Ulkoinen tulo eli vektoritulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.2 Keplerin toinen laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206A.3 Gradientti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208A.4 Divergenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209A.5 Rotaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210A.6 Stokesin rotaatiolause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211A.7 Gaussin divergenssilause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Luku 1Newtonin gravitaatioteoria

1.1 Yleistä

Tässä luvussa käsitellään Newtonin gravitaatioteorian perusteet. Intuitiivisesti gravitaatio-teoriaa on helpointa ymmärtää �kaukaisen vaikutuksen� (En. action at a distance) ilmiönä,jossa kahden massan välinen voima on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen ver-rannollinen massojen välisen etäisyyden neliöön. Tämä on Newtonin gravitaatiolain kaikilletuttu ilmaisumuoto.

On olemassa vaihtoehtoinen mutta samanarvoinen esitystapa, kenttäteoria , joka kuvaa gra-vitaatiota avaruuden kautta etenevänä ilmiönä, kenttänä. Etenemistä kuvaa kenttäyhtälöt .Kenttäteorian lähestymistapa ei ole yhtä intuitiivinen, mutta on tehokas teoreettinen apuvä-line.

Tässä luvussa tutustutaan kenttäteorian keskeiseen gravitaatiopotentiaalin käsitteeseen. Tut-kitaan myös yksinkertaisen ja kaksinkertaisen massatiheyskerroksen aiheuttamat, teoreet-tisesti mielenkiintoiset potentiaalikentät. Niiden sovelluksista teoriassa ja käytännössä mai-nittakoon Bouguer-kerros ja ns. Helmert-kondensaatio. Seuraavassa käsitellään seikkape-räisesti niiden ominaisuudet. Massatiheyskerroksia käytetään myös Greenin lauseiden joh-tamisessa. Tulemme tutustumaan keskeisiin integraalilauseisiin kuten Gaussin ja Greeninlauseet, joiden avulla voidaan päätellä koko potentiaalikenttää avaruudessa vain tietyllä pin-nalla annetujen kenttäarvojen perusteella. Muut vastaavat esimerkit ovat Chaslesin lause,Stokesin lause ja Dirichletin ongelman ratkaisu.

Toisessa luvussa nämä potentiaaliteorian perusteet sovelletaan Maan gravitaatiokentän spekt-raaliesityksen, ns. pallofunktiokehitelmän, johtamiseksi.

Luentomonisteen alussa johdetaan suurehko määrä matemaattisia kaavoja, mm. integraali-kaavoja. Tämä on valitettavasti välttämätön pohjatyö. Kuitenkaan kaavat eivät ole itsetar-koitus eikä niitä kannata oppia ulkoa. Yritä mieluummin ymmärtää niiden logiikka ja mitenhistoriallisesti eri tuloksiin on päädytty, sekä hankkia itsellesi jonkinlaista �sormituntumaa�teorian luonteesta.

2 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria

Kuva 1.1 � Gravitaatio on universaalinen. Hubble-teleskoopin kuvaama gravi-

taatiolinssi, galaksijoukko etäisyydellä 2.2 miljardia valovuotta. Lähde NASA &

ESA

1.2 Kahden massan välinen gravitaatio

Maan painovoimakentän tutkiminen aloitetaan sopivasti Isaac Newtonin yleisestä gravitaa-tiokaavasta:

F = Gm1m2

`2: (1.1)

F on kappaleiden 1 ja 2 välinen vetovoima; m1 ja m2 ovat kappaleiden massat ja ` on niidenvälinen etäisyys. Massat oletetaan pistemäisiksi. Vakio G on arvoltaan

G = 6:67 � 10�11m3kg�1s�2:

G:n arvo määritti ensimmäistä kertaa Henry Cavendish käyttämällä herkkää torsiovaakaa.

Jos nyt kutsutaan � mielivaltaisesti, vaikka yleensä m on pieni kappale, koemassa, esim.satelliitti, ja M suuri massa, planeetta tai Aurinko � massa m1 = M vetoavaksi massaksi

1.2. Kahden massan välinen gravitaatio 3

ja m2 = m vedetyksi massaksi, saadaan

F = GmM

`2:

Newtonin liikelain mukaan

F = ma;

missä a on kappaleen m kiihtyvyys. Tästä seuraa

a = GM

`2:

Tästä kaavasta suure m = m2 on hävinnyt. Tämä on kuuluisa Galilei'n havainto, ettäkaikki kappaleet putoavat yhtä nopeasti1, niiden massasta riippumatta. Tätä tunnetaanmyös Einsteinin ekvivalenssiperiaatteena.

Sekä voima F että kiihtyvyys a ovat saman suuntaisia kuin kappaleiden yhdistävä viiva. Siksikäytetään yhtälö (1.1) usein vektorikaavana, jolla on suurempi ilmaisukyky:

a = �GM r�R

`3; (1.2)

missä vedetyn ja vetäävän massan kolmiulotteiset paikkavektorit määritellään seuraavastisuorakulmaisissa koordinaatteissa2:

r = xi+ yj+ zk;

R = Xi+ Y j+ Zk;

missä yksikkövektorien kolmikko fi; j;kg on eukliidisen avaruuden R3 ortonormaalinen kan-

ta ja

` = kr�Rk =q(x�X)2 + (y �X)2 + (z � Z)2 (1.3)

on massojen välinen etäisyys Pythagoraan lauseen mukaisesti laskettuna.

Huomaa, että vektorikaavassa (1.2) on miinusmerkki! Tämä kertoo vain, että voiman suuntaon päinvastainen kuin vektorin r�R suunta. Tämä vektori on vedetyn massan m paikka ve-täävän massanM paikasta laskettuna. Toisin sanoen, tämä kertoo että kyseessä on vetovoima

eikä työntövoima.

1Ainakin tyhjiössä. Apollo-astronautit esittivät vaikuttavasti, miten Kuulla höyhen ja vasara putoavat yhtä

nopeasti! https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KDp1tiUsZw8#!.2Vektorin notaatioksi voidaan käyttää joko �!v (nuoli yläpuolella) tai v (lihava). Tässä käytetään lihava notaa-

tiotapa, paitsi kreikkalaisin kirjaimin merkittyille vektoreille, joille lihavointi ei onnistu.

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KDp1tiUsZw8#!


1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali

Gravitaatiokenttä on erikoinen kenttä: mikäli se on stationaarinen eikä siis ajasta riippuvai-nen, se on konservatiivinen . Tämä merkitsee, että kappale, joka liikkuu kentän sisällä sul-jettua reittiä pitkin, matkan lopussa ei ole menettänyt eikä voittanut energiaa. Tästä syystävoi kiinnittää jokaisen kentän pisteelle yksiselitteisesti �tarra� johon voi merkitä yksikkö- elikoemassan energiamäärä, joka se on voittanut tai menettänyt matkustaessaan sovitusta läh-töpisteestä kyseessä olevaan pisteeseen. �Tarralle� kirjoitettu arvo kutsutaan potentiaaliksi .(Huomaa, että lähtöpisteen valinta on mielivaltainen! Tähän asiaan palataan vielä.)

Pistemäisen kappaleen M näin määritelty potentiaalifunktio on:

V = GM

`=GM

`; (1.4)

jossa ` on taas, kuten yllä, vektorin r�R pituus ` = kr�Rk.Vakiolla GM on Maapallon tapauksessa (GRS80-vertausjärjestelmän mukainen, konventio-naalinen) arvo:

GM� = 3; 986005 � 1014 m3=s2:

Tämän hetken paras käytettävissä oleva fysikaalinen arvo taas on:

GM� = 3; 986004404 � 1014 m3=s2:

1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali

Voimme kirjoittaa kaavan (1.4) perusteella laajan kappaleen potentiaali seuraavaan muotoon:

V = G

ˆm

dm

`: (1.5)

Tämä on integraali massa-alkoiden dm yli, missä jokainen massa-alkio dm sijaitsee paikallaR. Potentiaali V lasketaan paikalla r ja ` = kR� rk.Johdamme nyt ohuen pallon muotoisen kuoren potentiaalin kaavan, ks. kuva 1.2, jossa olemmelaittaneet pallon keskipiste origoksi O.

Koska kapean renkulan, leveys b � d�, ympärysmitta on 2�b sin �, on sen pinta-ala

(2�b sin �) (b � d�) :Olkoon kuoren paksuus p (pieni) ja sen ainetiheys �. Saamme renkulan kokonaismassaksi:

2�p�b2 sin �d�:

Koska renkulan jokainen piste on samalla etäisyydellä ` pisteestä P; voimme kirjoittaa po-tentiaaliksi pisteessä P :

VP =2�Gp�b2 sin �d�

`:

1.4. Pallon muotoisen kuoren potentiaali 5

bd�

r

`

P

O

Q

�

bp

Kuva 1.2 � Pallon ohut kuori koostuu renkaista

Kosinisäännön avulla:

`2 = r2 + b2 � 2rb cos � (1.6)

saadaan kaavan (1.5) avulla koko kuoren potentiaaliksi:

VP = 2�G�pb2ˆ

sin �d�pr2 + b2 � 2rb cos �

:

Tämän integraalin laskemiseksi muutetaan integrointimuuttuja �:stä `:ksi. Di�erentioimalla(1.6) saadaan

`d` = br sin �d�;

ja muistamalla että ` =pr2 + b2 � 2rb cos � saadaan:

VP = 2�G�pb2ˆ `2

`1

d`

br:

Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren ulkopuolella, ovat `:n integraatiorajat `1 = r� b ja`2 = r + b, ja pisteen P potentiaaliksi saadaan

VP = 2�G�pb2"`

br

#`=r+b`=r�b

=4�G�pb2

r:

Koska koko kuoren massa on Md = 4�b2�p, seuraa, että kuoren potentiaali on sama kuin

sen keskipisteessä O olevan, samansuuruisen massan potentiaali :

VP =GMd

r;


0

4�G�b

0

4�G�b b2

r2

r

Potentiaali

Kiihtyvyys

b

4�G�b br

Kuva 1.3 � Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren

keskipisteestä

jossa r on nyt laskentapisteen P etäisyys pallon keskipisteestä O. Nähdään, että tämä onsama kaava kuin 1.4.

Samalla tavoin pallokuoren vetovoima (kiihtyvyys) on

a = rV = �4�G�pb2 rP � rOr3

= �GMdrP � rOr3

;

taas identtinen samanmassaisen, pisteessä O sijaitsevan pistemassan aiheuttaman kiihtyvyy-den kanssa, ks. kaava 1.2.

Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren sisäpuolella, `1 = b � r ja `2 = b + r ja yllä olevaintegraali muuttu seuraavaksi:

VP = 2�G�pb2"`

br

#`=b+r`=b�r

= 4�G�pb:

Kuten nähdään, tämä on vakio eikä riipu pisteen P paikasta. Siksi rVP = 0 ja vetovoimapotentiaalin gradienttina häviää.

Lopputulos on, että pallon muotoisen kuoren vetovoiman suuruus on kuoren ulkopuolella

a =GM

r2;

missä M on kuoren kokonaismassa ja r havaintopisteen etäisyys kuoren keskipisteestä, ja 0

kuoren sisällä.

Kuvassa 1.3 on piirretty potentiaalin ja vetovoiman (eli kiihtyvyyden, vetovoima-per-massayksikkö)käyrät. Jos kappale koostuu monesta sisäkkäisestä pallon kuoresta (kuten melko tarkasti Maa-pallo ja useimmat taivaankappaleet) aiheuttavat kappaleen sisällä vetovoimaa vain ne massa-kerrokset jotka ovat havaintopisteen sisäpuolella, ja vetovoima on sama kuin mitä se olisi joskoko niiden massa olisi keskitetty kappaleen keskipisteeseen. Tätä tapausta, jossa massati-heysjakauma kappaleen sisällä riippuu ainoastaan etäisyydestä sen keskipisteestä eikä leveys-tai pituusasteesta, kutsutaan isotrooppiseksi tiheysjakaumaksi.

1.5. Vetovoiman laskeminen potentiaalista 7

1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista

Kuten yllä argumentoitiin on potentiaali ns. matka-integraali . Kääntäen voidaan potentiaa-lista laskea gravitaation kiihtyvyysvektorin komponentit di�erentioimalla paikan suhteen,ts. ottamalla gradientti:

a =�!rV =

��!gradV = i

@V

@x+ j

@V

@y+ k

@V

@z: (1.7)

Tässä symboli r (Nabla) on usein käytetty ns. di�erentiaalioperaattori ,

r = i@

@x+ j

@

@y+ k

@

@z:

Tässä fi; j;kg on taas eukliidisen avaruuden R3 suorakulmaisten, keskenään kohtisuorien

yksikkövektorien kanta.

Kokeillaan tätä di�erentiaatiota pistemassan M potentiaalikentän tapauksessa. Sijoita yllä-olevat V :n (1.4) ja `:n (1.3) kaavat3:

@V

@x=@V

@`

@`

@x= GM � � 1

`2x�X`

= �GMx�X`3

:

Vastaavasti lasketaan y- ja z-komponentit:

@V

@y= �GMy � Y

`3;@V

@z= �GMz � Z

`3:

Nämä ovat gravitaatiokiihtyvyyden komponentit kun kentän �lähde� on yksi pistemassa M .Siis tässä konkreettisessa tapauksessa yllä annettu vektoriyhtälö pitää paikkansa:

a =��!gradV =

�!rV:

Huomautus : fysikaalisessa geodesiassa � toisin kuin esim. fysiikassa � potentiaali lasketaanaina positiiviseksi jos vetäävä massaM on positiivinen (kuten tiettävästi aina on). Kuitenkinkappaleen m potentiaalienergia massan M kentässä on negatiivinen! Tarkemmin, kappaleenm potentiaalinen energia on:

Epot = �Vm:

Käytännössä kutsutaan gravitaatiokiihtyvyysvektori yksinkertaisemmin �gravitaatiovektorik-si�. Seuraamme tätä käytäntöä.

3Kaavasta ` =

q(x�X)

2+ (y � Y )

2+ (z � Z)

2=h(x�X)

2+ (y � Y )

2+ (z � Z)

2

i 12

seuraa

@`

@x=@h(x�X)

2+ (y � Y )

2+ (z � Z)

2

i 12

@h(x�X)

2+ (y � Y )

2+ (z � Z)

2

i � @ (x�X)2

@x=

=1

2

h(x�X)

2+ (y � Y )

2+ (z � Z)

2

i�

1

2

� 2 (x�X) =x�X

`:


1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali

Seuraavaksi tutkitaan kiinteä kappale , jonka massa on jakautunut avaruudessa eikä siis keski-tetty yhteen pisteeseen. Maapallo on tästä esimerkki: sen massajakauma avaruudessa voidaankuvata tiheysfunktiolla �:

� (x; y; z) =dm (x; y; z)

dV (x; y; z) ;

jossa dm on massa-alkio ja dV on avaruuden tilavuusalkio siinä, missä massa-alkio sijaitsee.�:n dimensio on tiheys, sen yksikkö SI-järjestelmässä kg=m³.

Koska gravitaatiokiihtyvyys (1.7) on lineaarinen ilmaisu potentiaalissa V , ja voima- tai kiih-tyvyysvektorit voidaan summata lineaarisesti, seuraa, että myös kappaleen kokonaispotenti-aali saadaan summaamalla kaikki sen osien potentiaalit yhteen. Esimerkiksi n massapisteenkokoelman potentiaali on

V = GnXi=1

mi

`i

josta saadaan gravitaatiokiihtyvyys yksinkertaisesti gradienttilauseen (1.7) kautta.

Kiinteän kappaleen potentiaali saadaan vastaavasti korvaamalla summa integraalilla, seuraa-valla tavalla. (Huomaa että valitettavasti sama symboli V käytetään sekä potentiaalille ettätilavuudelle):

V = G

˚kappale

dm

`= G

˚kappale

�

`dV: (1.8)

Symboli � integraalimerkin sisällä liittyy vetäävään massa-alkioon; ` = kr�Rk =q(x�X)2 + (y � Y )2 + (z � Z)2on

vetäävän massa-alkion ja mittauspisteen välinen etäisyys.

Selvemmin:

V (x; y; z) = G

˚kappale

�(X;Y; Z)q(x�X)2 + (y � Y )2 + (z � Z)2

dXdY dZ:

Kuten yllä jo näytetty massapisteelle, myös kiinteän kappaleen geopotentiaalin V ensimmäi-nen derivaatta eli gradientti paikan suhteen,

��!gradV =

�!rV = a; (1.9)

antaa kappaleen vetovoiman aiheuttama kiihtyvyysvektori. Tämä pätee yleisesti.

1.7. Laplacen ja Poissonin yhtälöt 9

1.6.1 Käyttäytyminen äärettömyydellä

Mikäli kappale on äärellisen kokoinen (ts. se on kokonaan �-säteisen, origoa ympäröivän pallonsisällä) ja sen tiheyskin on kaikkialla rajallinen, seuraa että

krk ! 1 ) V (r)! 0;

koska

1

`! 0:

Gravitaation kiihtyvyydelle pätee kaikille kolmelle komponenteille, siis myös vektorisuureenpituusarvolle, samaa:

krk ! 1 ) �!rV ! 0:

Tätä tulosta voidaan vielä tarkentaa: Jos krk ! 1, silloin

1

`=�q

(x�X)2 + (y � Y )2 + (z � Z)2��1

!�x2 + y2 + z2

�� 1

2 =1

r;

missä r on pisteen r etäisyys origosta eli krk.Kun sijoitetaan tätä yllä olevaan integraaliin (1.8), seuraa, että suureille etäisyyksille krk !1:

V = G

˚kappale

�

rdV =

G

r

˚kappale

�dV =GM

r;

missä M , tiheyden integraali kappaleen tilavuuden yli, on juuri sen kokonaismassa. Tästänähdään että suurella etäisyydellä äärellisen kokoisen kappaleen kenttä on lähes identtinen

sen kentän kanssa, joka aiheutuu pistemassasta, jonka kokonaismassa on sama kun kappa-leen kokonaismassa M . Tämä tärkeä huomautus teki jo Newton. Tämän ilmiön seuraukse-na voimme taivaanmekaniikassa käsitellä Aurinko ja planeetat (muttei Kuu!) massapisteinä,vaikka tiedetään että ne eivät sitä ole.

1.7 Laplacen ja Poissonin yhtälöt

Geopotentiaalin toinen derivaatta paikan suhteen, gravitaatiokiihtyvyysvektorin ensimmäi-nen paikan derivaatta eli divergenssi, on myös geofysikaalisesti mielenkiintoista. Voidaankirjoittaa:

diva =D�!r � aE = D�!r � ��!rV �E = D�!r � �!rEV = �V =

@2

@x2V +

@2

@y2V +

@2

@z2V; (1.10)

missä � �D�!r � �!rE on tunnettu symboli nimeltä Laplace-operaattori.


Massapistepotentiaalin kaavasta (1.4) voidaan osoittaa suorittamalla kaikki osittaisdi�eren-tiaatiot (1.10), että:

�V = 0;

tunnettu Laplace-yhtälö. Tämä yhtälö pätee pistemassan ulkopuolella, ja yleisemmin kaik-kialla tyhjässä avaruudessa: kaikki massathan voidaan limiitissä katsoa koostuvan pistemäi-sistä massa-alkioista. Tai kaavassa (1.8) voidaan suoraan di�erentioida kolminkertaisen inte-graalimerkin sisällä, kayttäen hyväksi se, että integraalin ja osittaisderivaatan vaihtaminenkeskenään on sallittu, jos molemmat on määriteltyjä.

Siinä tapauksessa, että massatiheys ei ole kaikkialla nolla, saadaan toisenlainen yhtälö:

�V = �4�G�:

Tätä yhtälöä kutsutaan Poisson-yhtälöksi .

Yhtälöpari

��!gradV = a

diva = �4�G�

tunnetaan gravitaatiokentän kenttäyhtälöiksi . Niillä on samanlainen rooli kuin sähkömag-netismissä Maxwellin kenttäyhtälöt. Toisin kuin Maxwellin yhtälöissä, ylläolevissa ei oleaikakoordinaatti mukana. Tästä syystä niiden avulla ei voida johtaa kaavaa sähkömagneetis-ten aaltojen vastaavien gravitaatio-aaltojen kulusta avaruudessa.

Nykyisin tiedetään että yo. �Newtonin kenttäyhtälöt� ovat vain likimääräisiä, ja että tarkkateoria on Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria. Kuitenkin fysikaalisessa geodesiassa New-tonin teoria on yleensä riittävän tarkka ja tulemme rajoittumaan siihen.

1.8 Mittainvarianssi

Potentiaalin tärkeä ominaisuus on, että, jos siihen lisätään vakio C, mitään painovoimaanliittyvä, mitattavissa oleva suure ei muutu. Tätä kutsutaan mittainvarianssiksi (En. gaugeinvariance). Painovoima itse saadaan di�erentioimalla, operaatio joka hävittää vakiotermi.Siksi potentiaalin määrittely on jonkin verran mielivaltainen: kaikki tietyllä C:n valinnallasaadut potentiaalikentät V ovat samanarvoisia.

Havainnoistakin saadaan vain potentiaalieroja , kuten vaaitsijat hyvin tietävät. Usein valittupotentiaalimääritelmä lähtee siitä, että jos krk ! 1, silloin myös V ! 0; mikä on fysi-kaalisesti järkevä. Kuitenkin maanpäällisessä työssä järkevämpi vaihtoehto voi olla V = 0

keskimerenpinnan kohdalla � vaikka sekin aiheuttaa ongelmia.

Esimerkiksi Maapallon massalle M fysikaalisesti järkevä potentiaaliesitys on

V =GM

r;

1.9. Yksinkertainen massatiheyskerros 11

joka häviää äärettömyyteen r !1 kun taas käytännöllisesti järkevä esitys olisi

V =GM

r� GM

R;

missä R on Maapallon säde. Jälkimmäinen potentiaali on nolla missä r = R, Maan pinnalla.Limiitissä r !1 sen arvo on �GM

Reikä nolla.

1.9 Yksinkertainen massatiheyskerros

Jos kappaleen pinnan päälle laitetaan massatiheyden �pinnoitus� tiheydellä

� =dm

dS;

saadaan potentiaaliksi integraalikaava, joka on samannäköinen kuin (1.8), mutta pintainte-graali :

V = G

¨pinta

dm

`= G

¨pinta

�

`dS: (1.11)

Tässä taas ` on etäisyys tarkastuspisteen eli koemassan P ja integroinnissa liikkuvan massa-alkion dm (tai pinta-alkion dS) välillä. Huomaa että pintatiheyden � dimensio on kg=m², elierilainen kuin tavallisen (tilavuus-) tiheyden dimensio.

Tämä tapaus on teoreettisesti mielenkiintoinen, vaikkakin fysikaalisesti epärealistinen. Funk-tio V on näet kaikkialla jatkuva, myös pinnan S kohdalla; kuitenkin jo sen ensimmäiset de-rivaatat paikan suhteen ovat epäjatkuvia. Epäjatkuvuus ilmenee pinnan suhteen kohtisuoraolevassa suunnassa, ns. normaaliderivaatassa .

Tutkitaan yksinkertainen tapaus jossa pallo, säde R, on pinnoitettu kerroksella jonka pinta-tiheys on vakio �. Laskemalla ylläoleva integraali (1.11) voidaan todistaa (monimutkaisesti)että ulkoinen potentiaali on sama kuin jos kappaleen koko massa olisi pallon keskipisteessä.Aikaisemmin (osa 1.4) tuli todistetuksi, että pallon sisäinen potentiaali on vakio.

Siten ulkoinen vetovoima (` > R) on

ae (`) = GM

`2= G

� � 4�R2

`2= 4�G�

�R

`

�2:

Sisäinen vetovoima (` < R) on

ai (`) = 0:

Tämä merkitsee että pallon pinnalla vetovoima on epäjatkuva :

ae (R)� ai (R) = 4�G�:

Tässä symmetrisessä tapauksessa nähdään, että

a = kak = @V

@n(1.12)

missä n on normaalisuunta, ts. pintaan S kohtisuora oleva suunta tai koordinaatti-akseli.Mikäli pinta S on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, kaava (1.12) pätee yleisesti; silloinvetovoimavektori � tarkemmin, kiihtyvyysvektori � on kohtisuora pintaa S kohtaan, ja sensuuruus on sama kuin normaaliderivaatta.


nP

`

�

��

�

Kuva 1.4 � Kaksinkertainen massatiheyskerros

1.10 Kaksinkertainen massatiheyskerros

Kaksinkertainen massatiheyskerros voidaan tulkita dipolitiheyskerrokseksi . Dipolit ovat orien-toituneet pinnan normaalin suuntaan.

Jos dipoli koostuu kahdesta �varauksesta� m ja �m paikoilla r1 ja r2, siten että niiden välinenvektorietäisyys on �r � r1� r2, on dipolin momentti d = m�r, vektorisuure. Ks. kuva 1.4.

Olkoon dipolikerroksen tiheys

� =dM

dS;

missä dM on �dipolikerros-elementti�; tätä kerrosta voidaan katsoa kahden yksinkertaisen ker-roksen yhdistelmäksi. Jos on positiivinen kerros tiheydellä � ja negatiivinen kerros tiheydellä�� ja niiden välinen etäisyys on �, syntyy pienellä �-arvoilla likimääräinen vastaavuus:

� � ��:

Edellisen kappaleen mukaan kahden yksinkertaisen massakerroksen yhteenlaskettu potentaalion

V = G

¨pinta

��1

`1� 1

`2

�dS:

`1:n, `2:n ja �:n välillä pätee seuraava yhteys (funktion 1`Taylor-kehitelmä):

1

`1=

1

`2+ � � @

@n

�1

`

�+ � � � ;

1.11. Gaussin lause 13

missä @@n

on suureen derivaatta pinnan normaalisuuntaan.

Sijoittamalla yhtälöön saadaan:

V = G

¨pinta

��@

@n

�1

`

�dS = G

¨pinta

�@

@n

�1

`

�dS:

Jos � on riittävän pieni (ja � vastaavasti suuri), tämä on eksakti.

On helppo näyttää, että yo. potentiaali ei edes ole jatkuva; epäjatkuvuus sattuu pinnalla S.Tutkitaan taas yksinkertaisuuden vuoksi pallo, säde R, jossa vakiokerros tiheydellä �:

Ulkopuolinen potentiaali:

Ve = �G�¨

pinta

@

@n

�1

`

�dS = 0; (1.13)

koska integraali on 0. Tämän todistamiseksi voidaan käyttää Gaussin integraalilause, jostaenemmän myöhemmin.

Sisäpuolinen potentiaali:

Vi = �G�¨

pinta

@

@n

�1

`

�dS = �4�R2G�

�1

`

�2��`=R

= �4�G�;

laskemalla pintaintegraali evaluointipisteenä pallon keskipiste, ja käyttämällä aiemmin todet-tu seikkä, että yksinkertaisen massakerroksen peittämän pallon sisällä potentiaali on vakio.

Nyt limiitissä `! R tulos on erilainen ulkopuoliselle ja sisäpuoliselle potentiaalille. Ero on

Ve (R)� Vi (R) = 4�G�:

1.11 Gaussin lause

1.11.1 Esitys

Fysiikan kuuluisa Gaussin lause on vektorimuodossaan:˚

Vdiva dV =

¨@Vha � ni dS; (1.14)

missä n on pinnan S ulkoapäin suuntautunut normaali, nyt vektorina: vektorin pituus olete-taan knk = 1. @V on kappaleen V pinta.

Tämä lause pätee kaikille di�erentioitaville vektorikentille a ja kaikille �kunnollisille� kappa-leille V joiden pinnalla S on kaikkialla normaalisuunta n olemassa. Toisin sanoen, tämä eiole gravitaatiokiihtyvyysvektorin erikoisominaisuus, vaikka se pätee sillekin.


Lähteet

Vuo

Kenttäviiva

Kappaleenpinta

Kuva 1.5 � Gaussin lauseen graa�nen selostus

1.11.2 Intuitiivinen kuvaus

Huomauttakoon, että

diva = �V = �4�G�

on lähdefunktio. Se kuvaa paljonko pinnan S sisäpuolella olevassa osa-avaruudessa painovoi-makentän positiivisten ja negatiivisten �lähteiden� tiheyksiä (En. sources and sinks). Tilanneon täysin analoginen nesteen virtauskuvion kanssa: positiiviset lataukset vastaavat pisteisiinjoista lisätään nestettä virtaukseen, negatiiviset lataukset vastaavat �kaivoihin� minkä kaut-ta nestettä häviää. Vektori a on tässä vertauskuvassa virtauksen nopeusvektori; �lähteiden�ja �kaivojen� puuttuessa se täyttää ehdon diva = 0; mikä kuvaa ainemäärän säilyvyyttä jakokoonpuristumattomuus.

Toisaalta funktio

ha � ni = @V

@n

kutsutaan usein vuofunktioksi (En. �ux ); ts. paljonko kenttää �vuotaa ulos� � aivan neste-virtauksen tavoin � pinnan S sisäiseltä avaruuden osalta ulospäin S:n kautta.

Gaussin yhtälö toteaa molemmat määrät yhtä suureiksi: se on tavallaan �kirjanpitolause� jokavaatii, että kaikki mitä tuotetaan pinnan sisällä � diva � on tultava myös ulos pinnan kautta� ha � ni.Kuvassa 1.5 on graa�sesti selostettu, että �lähteiden� summa kappaleen sisäisen avaruusosanläpi, eli

P(+ + + : : :), on oltava sama kuin �vuon� summa

P(""" : : :) koko avaruusosaa

rajoittavan reunapinnan yli.

1.11. Gaussin lause 15

a+y

a

�y

�x

a �x

a�y

a +x�z

a+z

a�z

Kuva 1.6 � Pieni kuutio

1.11.3 Gaussin lauseen potentiaaliversio

Kirjoitetaan Gaussin yhtälö hiemän eri tavalla, käyttämällä potentiaali painovoimavektorinsijaan:

˚V�V dV =

¨@V

@V

@ndS; (1.15)

jossa on tehty yllä annetut sijoitukset. Tässä näkyy myös suosittua kappaleen pintaa tar-koittavaa notaatiota. Esitystapoja (1.15) ja (1.14) yhdistää kaavat (1.10) ja (1.9), V :n ja a:nvälissä.

1.11.4 Yksinkertainen esimerkki: pieni kuutio

Tarkastetaan pieni kuutio, jonka sivut ovat �x;�y;�z; niin pieni, että kenttä a (x; y; z) onsen sisällä lähes lineaarinen paikan funktio. Kirjoitetaan a potentiaalin V gradienttina:

a = rV = i@V

@x+ j

@V

@y+ k

@V

@z= iax + jay + kaz

jossa

ax =@V

@x; ay =

@V

@y; az =

@V

@z:

Nyt tilavuusintegraali

˚Vdiva dV �

@ax@x

+@ay@y

+@az@z

!�x�y�z (1.16)


kun taas pinta-integraali

¨@V

ha � ni dS ��a+x � a�x

��y�z+

+�a+y � a�y

��x�z+

+�a+z � a�z

��x�y:

Tässä on a+x komponentin ax:n arvo toisessa pinnassa x-suunnassa ja a�x sen arvo toisessa pin-nassa, jne. Esim. a+z on az:n arvo kuution ylä- ja a�z sen alapinnassa. Kuutiolla on tiettävästikuusi pintaa, jokaisen kolmen koordinaattisuunnan �ala- ja yläsuunnassa�.

Silloin

a+x � a�x �@ax@x

�x;

a+y � a�y �@ay@y

�y;

a+z � a�z �@az@z

�z;

ja sijoittamalla nähdään, että

¨@V

ha � ni dS � @ax@x

�x ��y�z+

+@ay@y

�y ��x�z+

+@az@z

�z ��x�y =

=

@ax@x

+@ay@y

+@az@z

!�x�y�z;

sama kaava kuin 1.16. Eli tässä yksinkertaisessa tapauksessa Gaussin kaava pätee.

Ilmeisimmin kaava pätee myös, jos näistä �tiiliskiveistä� rakennettaisiin suurempi kappale,koska eri tiiliskivien toisiinsa koskevat, vastaavat pinnat ovat vastakkaisesti orientoituneet japutoavat pois pintaintegraalista. Hieman vaikeampaa on todistaa, että se pätee myös kappa-leille, joilla on vinopintoja.

1.12 Greenin lauseet

Kaytä Gaussin kaava vektorikentälle

F = U�!rV:

1.12. Greenin lauseet 17

Tässä U ja V ovat kaksi eri skalaarikenttää. Saadaan:˚

VdivF dV =

=

˚V

D�!r � �U�!rV �E dV =

=

˚VU�V dV +

˚V

D�!rU � �!rV E dV =

=

˚VU�V dV +

˚V

@U

@x

@V

@x+@U

@y

@V

@y+@U

@z

@V

@z

!dV

ja¨@VhF � ni dS =

¨@V

DU�!rV � n

EdS =

=

¨@VUD�!rV � nE dS =

¨@VU@V

@ndS:

Lopputulos on ensimmäinen Greenin lause :˚

VU�V dV +

˚V

@U

@x

@V

@x+@U

@y

@V

@y+@U

@z

@V

@z

!dV =

¨@VU@V

@ndS:

Tätä voidaan siivota koska vasemman puolen toinen termi on symmetrinen U :n ja V :nkeskinäisen vaihdon suhteen.

Vaihdetaan siis U ja V keskenään, ja vähennä saadut yhtälöt toisistaan. Tulos on toinen

Greenin lause :˚

V(U�V � V�U) dV =

¨@V

U@V

@n� V @U

@n

!dS:

Oletamme kaikissa operaatioissa, että funktiot U ja V ovat �hyvin käyttäytäviä�, ts. kaikkitarvittavat derivaatat jne. ovat kaikkialla kappaleessa V olemassa.

Hyödyllinen erikoistapaus on se, missä funktioksi U on valittu:

U =1

`;

jossa ` on etäisyys annetusta laskentapisteestä P . Tämä funktio U on hyväkäytöksinen kaik-kialla paitsi juuri itse pisteessä P , jossa se ei ole määritelty.

Siinä tapauksessa, että piste P on pinnan @V ulkopuolella, tulos saadaan yksinkertaisestisijoittamalla:

˚V

1

`�V dV =

¨@V

1

`

@V

@n� V @

@n

�1

`

�!dS:

Tämä tapaus on kuvattu kuvassa 1.7.


Pinta-normaalin

P

etäisyys `

Pinta-elementti dV

Pinta S = @VKappale V

Kuva 1.7 � Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on pinnan @Vulkopuolella

Siinä tapauksessa, että piste P on pinnan @V sisäpuolella, laskenta mutkistuu jonkin verran.Kannattaa tutustua siihen ovelaan tekniikkaan, joka tässä tapauksessa, ja muissakin � auttaa.Siksi kuvaamme sen lyhyesti.

Muodostetaan pieni, �-säteinen, pallero V2 pisteen P ympäri; nyt muodollisesti voimme mää-rittää kappaleeksi V � V1 � V2, �reikäjuusto�, ja samalla sen pinnasta @V tulee kaksiosainenpinta, @V = @V2 � @V1.Nyt voidaan kirjoittaa tilavuusintegraali kahteen osaan::˚

V

1

`�V dV =

˚V1

1

`�V dV �

˚V2

1

`�V dV;

missä toinen termi voidaan integroida pallokoordinaateissa:˚

V2

1

`�V dV � �VP

ˆ �

0

4�`21

`d` = 2��Vp�

2;

mikä menee nollaan jos annetaan � ! 0:

Pintaintegraaliksi saamme Gaussin integraalilauseen (1.15) avulla:¨@V2

1

`

@V

@ndS =

1

�

¨@V2

@V

@ndS =

1

�

˚V2�V dV � 1

��VP � 4

3��3;

mikä myös menee nollaan jos � ! 0:

Toinen pintaintegraali:¨@V2

V@

@n

�1

`

�dS =

¨@V2

V � � 1

�2dS � �4��2 � ��2VP :

Yhdistämällä kaikki tulokset oikeilla etumerkeillään saadaan � siis tapauksessa missä P onpinnan S sisäpuolella � :

˚V

1

`�V dV = �4�VP +

¨@V

1

`

@V

@n� V @

@n

�1

`

�!dS; (1.17)

1.13. Chaslesin lause 19

Piste P

Pinta @V, osa 2

Pinta @V, osa 1

Tila V

Kuva 1.8 � Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on pinnan @Vsisäpuolella

Tämän jälkeen lienee intuitiivisesti selvä, ja esitämme ilman sen kummempaa todistusta, että˚

V

1

`�V dV = �2�VP +

¨@V

1

`

@V

@n� V @

@n

�1

`

�!dS;

jos piste P on kappaleen V reunalla. Tämä kuitenkin edellyttää normaaliderivaatan, ja eri-tyisesti normaalisuunnan, olemassaoloa juuri pisteessä P !

Geodesiassa tyypillinen on tilanne missä �kappale� jonka tilavuuden läpi halutaan laskeavolyymi-integraali, on koko maapallon ulkopuolinen avaruuden osa. Tässä tapauksessa käte-västi �V = 0 ja koko integraali menee nollaksi.

Tulosta (1.17) voidaan yleistää tähän tapaukseen, missä V on koko avaruus pinnan S ulkopuo-lella. Tämä yleistys tehdään valitsemalla pinnaksi S nyt kolmiosainen pinta S = S1+S2+S3;

missä S3 on suurisäteinen pallo P :n ympäri. Sen säde annetaan jälkeenpäin limiitissä kasvaaäärettömyyteen, jolloin kaikki integraalit sekä pinnan S3 että sen ulkopuolella olevan ava-ruusosan yli häviävät. Myös pinnan S3, kuten yllä käytetyn pikkupalleron, normaalisuuntaon käänteinen eli normaali on �sisäänpäin�, Maapalloon päin, suuntautunut.

Lopputulos on:˚

V

1

`�V dV = �4�VP �

¨@V

1

`

@V

@n� V @

@n

�1

`

�!dS; (1.18)

Koska tässä tapauksessa, missä V on Maapallon ulkopuolinen avaruuden osa, vasemmanpuo-linen volyymi-integraali häviää, voidaan ilmaista pisteen P potentiaaliarvo kätevästi kaksi-termisena pinta-integraalina pinnan @V:n yli. Ks. alla.

1.13 Chaslesin lause

Tutkitaan yllämainittua tapausta missä �kappale� on pinnan @V ulkopuolinen avaruuden osa(siis käytännössä: Maapallon ulkopuolinen avaruus).

Yllä johdetusta Greenin yhtälöstä (1.18) voidaan johtaa harmoniselle funktiolle V (ts.�V =

0) ulkoavaruudessa:

Vp = � 1

4�

¨@V

1

`

@V

@ndS +

1

4�

¨@VV@

@n

�1

`

�dS: (1.19)


Integrointitila V

Piste P

(Limiitti)

Aine

Reuna @V, osa 2

Reuna @V, osa 1

Reuna @V, osa 3

Kuva 1.9 � Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle

Tulkinta: mielivaltaisen pinnan ulkopuolinen, harmoninen potentiaali voidaan esittää pin-nassa sijaitsevien, yksinkertaisen ja kaksinkertaisen pintatiheyden summana.

Selostus:

Yksinkertaisen massakerroksen tiheys saadaan kaavan (1.11) avulla:

� = � 1

4�G

@V

@n;

kaksinkertaisen massatiheyden kerroksen tiheys saadaan kaavan (1.13) avulla:

� =V

4�G:

Jos tätä sijoitetaan kaavaan (1.19), saadaan:

VP = G

¨@V

"�

`+ �

@

@n

�1

`

�#dS:

Siinä tapauksessa että pinta @V on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, seuraa että yksin-kertainen massatiheyskerros riittää, koska silloin¨

@VV@

@n

�1

`

�dS = V0

¨@V

@

@n

�1

`

�dS = 0;

koska oikeanpuolinen integraali on nolla Gaussin lauseen perusteella (funktio 1=` on harmo-ninen V:n sisällä). Tämä on Chaslesin lause4, myös kutsuttu Greenin vastaavan kerroksenlauseeksi (en. equivalent layer theorem).

4Michel Chasles, 1793 � 1880

1.14. Reuna-arvotehtävät 21

Lausetta käytetään hyväksi Molodenskiin teoriassa. Myös maan painovoimakentän esittä-minen maanalaisen massapistekerroksen avulla voitaisiin perustella tämän lauseen avulla.

Tapaus jossa @V on ekvipotentiaalipinta toteutuu jos kappale on nestemäinen ja etsii itsestäänekvipotentiaalipinnan muotoinen ulkomuotonsa. Maaplaneetamme tapauksessa tämä päteemerenpinnalle. Myös sähköstaattisessa teoriassa johtimella minkä sisällä elektronit liikkuvatvapaasti, on fyysinen pinta yhtenä ekvipotentiaalipintanaan. Siksi sanotaankin, että johtimensähkölataukset ovat johtimen pinnalla. Ne eivät välttämättä ole, mutta käytännön kannaltalopputulos on sama.

Kaava (1.19) yksinkertaistuu seuraavasti:

Vp = � 1

4�

¨@V

1

`

@V

@ndS = G

¨@V

�

`dS: (1.20)

Kaava kertoo jo, että koko Maapallon ulkopuolista potentiaalia voidaan laskea, jos vain Maanpinnalla (jonka muoto myös oletetaan annettuna, ilmaisun 1=` laskemista varten!) on annettupotentiaalin normaaligradientti Vn = @V=@n. Tämä gradientti on juuri gravitaatiokiihtyvyys,joka saadaan vähentämällä painovoimakiihtyvyydestä Maan pyörähdysliikkeen aiheuttamakeskipakoisvoima. Koko gravimetrinen geopotentiaalimääritys (�geoidimääritys�) G.G. Sto-kesista lähtien perustuu tähän.

1.14 Reuna-arvotehtävät

Reuna-arvotehtävä (En. boundary value problem, BVP) on tehtävä laskea potentiaali Vkoko avaruudessa (tai koko kappaleen ulko- tai sisäpuolisessa avaruuden osassa) annetuistaV :hen liittyvistä arvoista reunapinnalla, esim. Maan pinnalla. Yksinkertaisin reuna-arvotehtäväon Dirichletin tehtävä : reunapinnalla annettuna on itse potentiaaliarvo V: Monimutkai-semmat reuna-arvotehtävät lähtevät potentiaalin lineaarisista funktionaalisista : reunallaon annettu joku lineaarinen expressio V :ssä, esim. derivaatta tai derivaattojen lineaariyhdis-telmä, yleisesti

L fV g ;

missä L f�g on lineaarinen operaattori.

Stokesin lause: Jos pinnalla S on tiedossa potentiaalifunktion V ('; �) arvo, on olemassakorkeintaan yksi harmoninen funktio V (x; y; z) koko ulkopuolisella avaruudella jokatäyttää tätä reunaehtoa. (Huom: lause ei lupaa harmonisen V :n olemassaoloa!)

Dirichletin periaate: Yllämainittu harmoninen funktio on olemassa, eli ns. Dirichletinreuna-arvotehtävä on ratkaistavassa.

Dirichletin reuna-arvotehtävä (geodesiassa suositussa muodossa) on: määrittää potenti-aalikenttä V jos sen arvot on annettuna suljetulla pinnalla S, ja on lisäksi annettu että V onharmoninen (�V = 0) pinnan S ulkopuolella. Avaruuden tyhjiössä geopotentiaali on aina har-moninen, kuten jo aikaisemmin todettiin: pistemassan mP potentiaali Gmp=` on harmoninen


kaikkialla paitsi itse pisteessä P ; ja laaja kappale koostuu (limiitissä) monesta pistemassastatai massa-alkiosta.

Yleisessä tapauksessa tämä on teoreettisesti haastava ongelma; ratkaisun olemassaolo ja yk-siselitteisyys on pystytty todistamaan hyvin yleisesti, ks. Heiskanen and Moritz (1967) s. 18.

1.15 Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea

Pinnalla S annetuista potentiaalifunktion V arvoista voidaan siis laskea funktio V (x; y; z)

koko avaruudessa pinnan ulkopuolella. Reuna-arvotehtävä on tehokas, myös fysikaalisessa geo-desiassa hyväksytty yleismenetelmä. On kuitenkaan myös syytä huomauttaa, ettei pinnallaannetuista potentiaaliarvoista ei voida yksiselitteisesti ratkeaa Maapallon sisäistä massa-

jakaumaa, joka tämän potentiaalin tuottaa.

Tämä on ilmeinen jo siinä yksinkertaisessa tapauksessa että potentiaalin arvo on vakio pal-lon pinnalla. Jos lisäksi on annettu että massajakauma on pallosymmetrinen, on edelleenkintiheyspro�ili säteen mukaan kokonaan auki. Kaikki massa voi olla pallon keskipisteessä kes-kittynä, tai se voi olla ohuena kuorena juuri pallon pinnan alla, ja kaikki niiden äärivaihtoeh-tojen välillä. Ilman lisäinformaatiotia � esim. seismisiltä tutkimuksilta tai geofysikaalisiltatiheysmalleilta� emme voi ratkaistaa asiaa.

Myös yllä mainittu Chaslesin lause (kaava 1.19) ja sen erikoistapaus, kaava 1.20, on esimerk-ki tästä: se kertoo miten ulkopuolista potentiaalikenttää voidaan kuvata kappaleen pinnallaolevan massajakauman tuottamana, vaikka tiedettäisiin että kenttä on generoinut koko kap-paleen läpi ulottuva massajakauma!

Tämä on perustava laatua oleva rajoitus kaikille menetelmille jotka yrittävät saada tietoaMaan sisäisestä tilanteesta ainoastaan Maan pinnalla tai sen ulkopuolella tehdyistä gravi-

metrisista mittauksista.

1.16 Harjoitustehtäviä

1.16.1 Tehtävä: Massaviivan potentiaali

Pystyasennossa olevan massaviivan potentiaali on

V (x; y; z) =

ˆ H

0

1q(X � x)2 + (Y � y)2 + (Z � z)2

dZ;

jossa (X;Y ) on massaviivan paikka, (x; y; z) on potentiaalin laskentapisteen paikka, ja mas-saviiva ulottuu merenpinnalta Z = 0 korkeuteen Z = H.

1. Tutustu Linux-työasemilla olevaan symbolisen kaavankäsittelyn maple-ohjelmistoon.Käynnistä se, ja pyydä apua integrointiin:

?int

1.16. Harjoitustehtäviä 23

Laske ensin määrämätön integraali (�x;�y; z:n funktio)ˆ1q

�x2 +�y2 + (Z � z)2dZ:

2. Laske seuraavasti määrätty integraali (�x;�y;H:n funktio)ˆ H

0

1q�x2 +�y2 + (Z � z)2

dZ:

3. Haluamme kehittää tämä tulos Taylor-kehitelmään H:n suhteen. Pyydä apua

?taylor

ja kehitä tulos H:n suhteen potenssiin 2 (siis katkaisuvirhe on O (H3)).

4. Miten voisit käyttää tämän tehtävän tulosta kokonaisen, realistisen maaston potentiaa-lin laskemiseen?

1.16.2 Tehtävä: Gaussin yhtälön tarkistus erikoistapauksessa

Annettuna pallon muotoinen kappale V , säde R, homogeeninen tiheys �; laske erikseen inte-graalit˚

V�V dV

ja ¨@V

@V

@ndS;

ja totea ne yhtäsuuriksi.

Saat olettaa, että kappaleen ulkopuolinen gravitaatiokenttä (potentiaali) on sama kuin samankokonaismassan pistemassa kappaleen keskipisteessä.

1.16.3 Tehtävä: Yksinkertaisen massatiheyskerroksen �divergenssi�

Annettuna tasopinta S1, jolla tasainen massatiheyspinnoitus, tiheys �. Laitetaan �laatikko�,pinta S2, kerroksen molemmin puolin. Laatikon kannen ja pohjan pinta-ala on A. Nyt tie-detään että laatikon sisällä on massamäärä �A. Ks. kuva. Silloin Gaussin lauseen mukaanpätee:

�4��GA =

¨S2

ha � ni dS:

Olettaen, että integraaliin �osallistuu� vain laatikon ylä- ja alapinta, ja että painovoimavektoria =��!gradV on kohtisuora näihin pintoihin nähden; oleta myös että pinnan S1 alapuolella a =

0. Laske paljonko on a pinnan S1 yläpuolella. Paljonko painovoiman suuruus kak muuttuuala- ja yläpinnan välillä?


S1

S2Pinta-ala A

Massapintatiheys �

1.16.4 Tehtävä: Kappaleen kokonaismassan määritys

Gaussin lauseen mukaan on˚V�V dV =

¨@V

@V

@ndS;

ja Poissonin kaavan mukaan on

�V = �4�G�:

1. Näytä miten voit käyttää näitä kaavoja kappaleen kokonaismassan määrittämiseksi,jos on annettu mittausarvoja @V=@n (eli vetovoiman komponentti kappaleen pinnan Snormaalisuunnassa) kaikkialla S:lla.

2. Jos kappale on pieni, kompakti ja maanalainen, ja Maan pinta on litteä, näytä mitensaman suureen @V=@n mittaukset suurelta alueelta Maan pinnalla (n on Maan pinnannormaali!) voidaan käyttää taas kappaleen kokonaismassan määrittämiseksi.

Luku 2Laplace'n yhtälö

2.1 Yleistä

Maan gravitaatiokentän tutkimuksen keskeinen kaava on Laplacen yhtälö,

�V = 0:

Jos tutkitaan gravitaatiota kenttänä on Laplace-yhtälö käyttökelpoisempi kuin Newtonin for-malismi. Newtonin kaavat käytetään jos massajakauma on tiedossa; se antaa suoraan massojenaiheuttaman gravitaatiovoiman.

Laplacen yhtälö sen sijaan on osittaisdi�erentiaaliyhtälö; sen ratkaiseminen antaa painovoi-makentän potentiaali koko avaruudessa tai sen osassa. Tästä potentiaalista voidaan laskeakentän vaikutus avaruudessa liikkuvaan kappaleeseen sillä pisteellä missä kappale on. Tämäon kaksivaiheinen prosessi. Käsitteellinen ero on, että tyhjälle avaruudelle annetaan tiettyominaisuus, kenttä ; ei puhuta enää kaukaisesta vaikutuksesta suoraan kahden kappaleenvälein.

Laplacen yhtälön ratkaiseminen yleisessä tapauksessa voi olla vaikea. Lähestymistapa onyleensä se, että valitaan joku koordinaattijärjestelmä � suorakulmainen järjestelmä, pallo-koordinaatit, sylinterikoordinaatit, toroidaaliset koordinaatit tai mita vain � joka sopii par-haiten ongelman geometriaan; sitten muunnetaan Laplacen kaava näihin koordinaatteihin;etsitään tiettyä muotoa olevat erikoisratkaisut; ja lopuksi kootaan yleinen (tai ei-niin-yleinen)ratkaisu näiden erikoisratkaisujen summauksena eli sarjakehitelmänä.

Onneksi lineaaristen osittaisdi�erentiaaliyhtälöiden teoria on hyvin kehittynyt; vastaavanlai-set teoreettiset ongelmat löytyvät sähkömagneettisen kentän teoriasta (Maxwell-teoriasta)ja kvanttimekaniikasta (Schrödinger-yhtälö), nesteen- ja lämmönkuljetuksesta puhumat-takaan.

Tärkeä huomautus on, että Laplace-yhtälö on lineaarinen . Tämä merkitsee, että, jos onannettuna kaksi ratkaisua

�V1 = 0 ja �V2 = 0;

silloin myös niiden lineaariyhdistelmät

V = �V1 + �V2; �; � 2 R

26 Luku 2. Laplace'n yhtälö

ovat kelvollisia ratkaisuja. Tämä lineaarisuuden ominaisuus tekee mahdolliseksi ratkaisujenetsiminen perusratkaisujen summana tai sarjakehitelmänä.

Erikoisuus joka erottaa Laplacen yhtälö myös Newtonin kaavasta, on että se on paikallinen

kaava. Se kuvaa potentiaalikentän käyttäytyminen yhdessä pisteessä ja sen pienessä ympä-ristössä. Kuitenkin ratkaisua etsitään kokonaiselta alueelta. Käytetty ratkaisutekniikka onyleensä ns. reuna-arvotehtävä . Tämä merkitsee, että kentän arvot (�reuna-arvot�) on oltavaannettuna vain tietyn avaruuden osan reunalla; esim. Maan pinnalla. Tästä lasketaan kentänarvot ulkoavaruudessa; kentän käytäyttyminen Maan sisällä jää kinnostuksen ulkopuolelle.Ulkopuolisen gravitaatiokentän kannalta tarkka massajakauma Maan sisällä ei tarvita edestietää � ja sitä ei myöskään saa selväksi ainoastaan ulkoisten, ts. Maan pinnalla ja sen ulko-puolella tehtyjen, kentän mittausarvojen perusteella!.

2.2 Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa

On opettavaista kirjoittaa ja ratkaista Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa.Tapaus on täysin analoginen pallokoordinaattien tapauksen kanssa mutta matematiikka onpaljon yksinkertaisempaa.

Oletetaan että maan pinta on z-koordinaatin tasopinta z = 0. Silloin

�V =

@2

@x2+

@2

@y2+

@2

@z2

!V = �(X (x) � Y (y) � Z (z)) ;

missä olemme �kokeeksi� kirjoittanut

V (x; y; z) = X (x) � Y (y) � Z (z) :

Toisin sanoen, kirjoitetaan kokeilumielessä V kolmen tekijäfunktion tulona, missä jokainentekijäfunktio riippuu vain yhdestä koordinaatista. Realistinen potentiaalifunktio V ei tie-tenkään voi olla tätä muotoa. Saamme kuitenkin elää toivossa etta sen voitaisiin esittääylläolevan muotoisten termien summana Laplacen yhtälön lineaarisuuden ansiosta.

Ottamalla kaikki derivaatat saadaan

Y Z@2

@x2X +XZ

@2

@y2Y +XY

@2

@z2Z = 0:

Jakamalla ilmaisulla XY Z:

@2X(x)@x2

X (x)+

@2Y (y)@y2

Y (y)+

@2Z(z)@z2

Z (z)= 0:

Koska tämä on oltava totta kaikille arvoille x; y; z, seuraa, että jokainen termi on oltava

vakio. Jos ensimmäiseksi ja toiseksi vakioksi otetaan �k21 ja �k22; seuraa kolmanneksi vakioksik21 + k22. Nyt kirjoittamalla tämä määritelmä ja tulos auki ja siirtämällä nimittäjä toisellepuolelle, saadaan

@2

@x2X = �k21X;

2.2. Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa 27

(miksi miinusmerkki? se nähdään kohta...)

@2

@y2Y = �k22Y;

sekä

@2

@z2Z =

�k21 + k22

�Z:

Nyt ratkaisu löytyy helposti ainakin ensimmäiselle kahdelle yhtälölle: nehän kuvaavat har-moniset värähtelijät , ja niiden perusratkaisut1 on

X (x) = exp (�ik1x) ;

Y (y) = exp (�ik2y) :Z-yhtälön ratkaisu puolestaan on eksponentiaalinen:

Z (z) = exp��zqk21 + k22

�:

Oletetaan että sekä x- että y-suunnassa maailmaan koko on L (�kenkälaatikkomaailma�).

Periaatteessa voidaan nyt muodostaa ratkaisu avaruudessa:

Vk1k2 (x; y; z) = exp��i (k1x+ k2y)� z

qk21 + k22

�:

Yleistä ratkaisua saadaan summaamalla termit Vk1k2eri kertoimella ja eri arvoilla k1; k2:

Tehdään asiaa hieman yksinkertaisemmaksi olettamalla, että �kenkälaatikkomaailmamme�reunoilla on voimassa reunaehdot

V (0; y) = V (L; y) = V (x; 0) = V (x; L) = 0:

Silloin seuraa, että ainoat parit (k1; k2) jotka antavat �laatikkoon sopivaa� ratkaisua ovat

k1 =�j

L; k2 =

�k

L

(j; k kokonaislukuja), ja ainoat sopivat funktiot ovat sinifunktioita. Yleiseksi ratkaisuksi saa-daan siis:

Vjk (x; y; z) = sin��jx

L

�sin

��k

y

L

�exp

��

q(j2 + k2)

z

L

�:

Tätä yksittäisratkaisua voidaan nyt yleistää kertomalla sopivilla (kompleksilla) kertoimilla,ja summaamalla eri arvojen j = 0;�1;�2; : : : ; k = 0;�1;�2; : : : yli. Voidaan kuitenkinhuomauttaa että termit, joilla j = 0 tai k = 0 aina häviää ja että termit jotka sisältävätj = +n ja j = �n, n 2 N tai k = +n ja k = �n, ovat (etumerkkiä vailla) identtisiä. Siksikäytännössä summataan arvojen j = 1; 2; : : : ; k = 1; 2; : : : yli.

1Vaihtoehtoiset perusratkaisut ovat: X (x) = sin k1x, X (x) = cos k1x jne. Ne ovat samanarvoisia esitettyjen

kanssa koska exp ik1x = cos k1x+ i sin k1x, exp�ik1x = cos k1x� i sin k1x.


sin 5�xL

L

sin 13�xLMerenpinta

Kuva 2.1 � Painovoimakentän Fourier-aaltoilun eksponentiaalinen vaimennus

korkeuden mukaan. Suorakulmainen geometria, yksiulotteinen. Pitkät aallot

(pienet aaltoluvut, punainen) vaimentuvat hitaammin korkeuden mukaan kuin

lyhyet aallot (vihreä), siis: korkeus toimii alipäästösuodattimena

Erilaiset reunaehdot antavat hieman erilaiset yleisratkaisut. Kuitenkin niiden yleinen muotoon aina sama.

Yleisestä ratkaisusta saatava nollatason kehitelmä on tuttu Fourier-sinikehitelmä:

V (x; y; 0) =1Xj=1

1Xk=1

vjkVjk (x; y; 0) =1Xj=1

1Xk=1

vjk sin

�

"jx

L

#!sin

�

"ky

L

#!;

(jossa vjk ovat Fourier-kertoimet), kun taas täydellinen (kolmiulotteinen) kehitelmä on

V (x; y; z) =1Xj=1

1Xk=1

vjkVjk (x; y; z) = (2.1)

=1Xj=1

1Xk=1

vjk sin

�

"jx

L

#!sin

�

"ky

L

#!exp

��

qj2 + k2

z

L

�:

Huomaa, että z-kaavassa voi olla sekä positiivinen että negatiivinen etumerkki! Tietysti seratkaisu, jolla on positiivinen etumerkki menee ! 1 kun z ! 1, ei ole ulkoavaruudessafysikaalisesti realistista.

2.3 Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset

koordinaatit

Fysikaalisessa geodesiassa käytämme rinnakkain geometrisia ja fysikaalisia käsitteitä. Esim.paikan koordinaatit voidaan antaa (x; y; z) muodossa, jotka ovat periaatteessa geometrisia �paitsi fysikaalinen olettamus, että koordinaatiston origo on maan massakeskipiste.

2.3. Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit 29

�

X

Napa

Y

Z

r

Greenwichin meridiaani

Päiväntasaaja �

P

r sin�

r cos�

Kuva 2.2 � Pallokoordinaattien määritelmä

Koska Maapallo ei ole tarkasti ottaen pallo vaan litistynyt pyörähdysellipsoidi, ei voida käyt-tää maantieteellisiä koordinaatteja kuten ne olisivat pallokoordinaatteja. Koska Maapallo onhuomattavasti litistynyt (n. 0,3%) on tämä ero huomattava. Pallokoordinaattien (r; �; �) yh-teys suorakulmaisiin koordinaatteihin (X;Y; Z) on seuraava:

X = r cos� cos�

Y = r cos� sin� (2.2)

Z = r sin�

Tässä � ja � ovat geosentrinen latitudi ja (tavallinen, geosentrinen eli geodeettinen) longi-tudi. r on etäisyys maan keskipisteestä. Yleensä x-akseli osoittaa Greenwichin meridiaaninsuuntaan. Ks. kuva 2.2.

Maan pinnalla nämä pallokoordinaatit eivät ole kovin käyttökelpoisia Maapallon litistynei-syyden vuoksi, mutta avaruudessa pallokoordinaatit käytetään paljon. Maan päällä sen sijaankäytetään useimmiten geodeettiset koordinaatit '; �; h:

X = (N + h) cos' cos�

Y = (N + h) cos' sin� (2.3)

Z =�N + h� e2N

�sin'

jossa

N (') =aq

1� e2 sin2 '=

a2qa2 cos2 '+ b2 sin2 '

(2.4)

Kaavan 2.4 määrittämä suure N on vertausellipsoidin itä-länsisuunnan kaarevuussäde; kaa-vassa a on maan ekvatoriaalisäde, e2 = a2�b2=a2 on ns. ensimmäisen eksentrisyyden neliö2,ja h pisteen korkeus vertausellipsoidista, ks. kuva 2.3.2Parametri liittyy litistyneisyyteen kaavan e2 = 2f � f2 kautta, jossa f on litistyneisyys.


Z

X; Y

'

P

ellipsoidiVertaus-

Ellipsoidinennormaali

h

O(N + h) cos'

[(1� e2)N + h] sin'

Kuva 2.3 � Geodeettisten koordinaattien määritelmä

Suorakulmaisten koordinaattien muuntaminen geodeettisiksi on helppointa tehdä iteratiivi-sesti, vaikka suljetutkin kaavat löytyvät kirjallisuudesta.

Pallokoordinaatit ja maantieteelliset koordinaatit eroavat huomattavasti toisistaan. Levey-sasteessa ero on suurimmillaan 11 kaariminuuttia eli lähes 20 km. Maksimi saavutetaan le-veysasteilla �45�.Teoreettisessa työssä käytetään myös ellipsoidisia koordinaatteja u ja �. � kutsutaan redu-koiduksi latitudiksi. Yhteys suorakulmaisiin koordinaatteihin on:

X =pu2 + E2 cos� cos�

Y =pu2 + E2 cos� sin� (2.5)

Z = u sin�

Jos maa-ellipsoidin pitkä akselipuolikas on a ja sen lyhyt akselipuolikas b, seuraa tästä, (har-joitus!) että E2 = a2 � b2:

2.4 Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa

Laplacen yhtälö muunnettuna pallokoordinaateihin on:

�V =@2V

@r2+

2

r

@V

@r+

1

r2@2V

@�2� tan�

r2@V

@�+

1

r2 sin2 �

@2V

@�2= 0;

missä � on (geosentrinen) leveysaste eli latitudi, � on pituusaste eli longitudi, ja r etäisyysorigosta eli Maan keskipisteestä.

Emme tässä johda kaavan ratkaisua, koska se on suhteellisen monimutkaista ja löytyy valmii-na kirjallisuudesta. Merkittävä on, että ratkaisu on hieman saman näköinen kuin ylläolevaratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa. Laplace-yhtälön perusratkaisut ovat

Vn;1 (�; �; r) = rnYn (�; �) ; Vn;2 (�; �; r) =Yn (�; �)

rn+1: (2.6)

2.5. Riippuvuus korkeudesta 31

joista ensimmäinen taas on epäfysikaalinen ulkoavaruudessa, koska, toisin kuin todellinengeopotentiaali, nämä termit kasvavat äärettömiksi kun r !1.

Ylläolevissä kaavoissa funktiot Yn ovat ns. pintapallofunktiot , kun taas funktiot Vn ovatavaruuspallofunktiot . Viimemainitut ovat harmonisia kaikkialla avaruudessa paitsi origossa(2.6, toinen kaava) tai äärettömyydessä (ensimmäinen, fysikaalisesti epärealistinen kaava).

Funktiot Yn ovat:

Yn (�; �) =nX

m=0

Pnm (sin�) (anm cosm�+ bnm sinm�) : (2.7)

Näiden avulla saadaan, käyttämällä toista, fysikaalisesti realistista vaihtoehtoa kaavasta 2.6,seuraava ratkaisu eli sarjakehitelmä avaruuspotentiaalille V .

V (�; �; r) =1Xn=0

1

rn+1

nXm=0

Pnm (sin�) (anm cosm�+ bnm sinm�) : (2.8)

Indeksit n jam kutsutaan asteluvuksi ja järjestysluvuksi (En. degree and order). Kertoimetanm ja bnm kutsutaan pallofunktiokehitelmän kertoimiksi eli lyhyesti spektraalikertoimiksi .

Tulemme usein käyttämään hieman vapaampi notaatio funktioille Yn. Esimerkiksi jos kehi-tetään häiriöpotentiaali T pallofunktioihin, käytetään notaatio Tn sen pintapallofunktioille;samalla tavalla �gn ovat painovoima-anomalian �g pintapallofunktiot asteluvulle n, ja niinedelleen.

2.5 Riippuvuus korkeudesta

Ylläolevasta kaavasta (2.6) nähdään, että eri asteluvuilla n funktiolla Y on eri riippuvuussäteestä r Maan keskipisteestä, eli vastaavasti, korkeudesta H = r � R; jos R on Maapallonsäde. Riippuvuus on

Vn (�; �; r) =Yn (�; �)

rn+1:

Maan pinnalla meillä on

Vn (�; �;R) =Yn (�; �)

Rn+1:

Voimme siis kirjoittaa

Vn (�; �; r) =�R

r

�n+1Vn (�; �;R) =

�R+H

R

��(n+1)Vn (�; �;R) =

=�1 +

H

R

��(n+1)Vn (�; �;R) � e�H(n+1)=RVn (�; �;R) :

Näemme, että potentiaalin riippuvuus korkeudesta on taas eksponentiaalinen, ja astelukun on eksponentissa, kuten oli myös aaltoluku suorakulmaisessa geometriassa, ks. kaava (2.1)ja kuva 2.1. Analogia toimii hyvin.


2.6 Legendren funktiot

Ylläolevissä kaavoissa P -funktiot ovat ns. Legendren funktioita, jotka pulpahtavat esiin ainakun Laplacen yhtälö ratkaistaan pallokoordinaateissa. Niiden laskemiseen on käytettävissäerilaisia tehokkaita ns. rekursiivisiä kaavoja, esimerkiksi seuraava (vain tavallisille Legendre-polynomeille Pn = Pn0):

nPn (t) = � (n� 1)Pn�2(t) + (2n� 1) tPn�1 (t)

Vastaavanlaiset kaavat löytyvät myös funktioille Pnm; m > 0; on jopa valinnan varaa, vaikkakaavat ovatkin yleensä mutkikkaita. Niiden ohjelmoinnissa on varottava, etteivät fakulteetitmene yli laidan! Jo 30! on suurempi luku kuin mikä useammat tietokoneet osaavat käsitellä...360!:stä puhumattakaan. Heiskanen and Moritz (1967), kaava 1-62, toisin kun sanotaan, eikelpaa tietokonekäyttöön!

Ensimmäiset Legendre-polynomit ovat:

t:n funktiona sin (n�):n ja cos (n�):n funktiona

P0 (t) = 1 P0 (sin�) = 1

P1 (t) = t P1 (sin�) = sin�

P2 (t) =32t2 � 1

2P2 (sin�) = �3

4cos 2�+ 1

4

P3 (t) =52t3 � 3

2t P3 (sin�) = �5

8sin 3�+ 3

8sin�

P4 (t) =18(35t4 � 30t2 + 3)

P5 (t) =18(63t5 � 70t3 + 15t)

P6 (t) =116(231t6 � 315t4 + 105t2 � 5)

Tätä korkeampia polynomeja tarvitaan käsilaskennassa harvoin. Huomaa että parilliset po-lynomit ovat peilisymmetrisia origon molemmin puolin (Pn (�t) = Pn (t)) ja parittomat ovatantisymmetrisia (Pn (�t) = �Pn (t)).Vertailun vuoksi: myös Fourier-perusfunktiot (kuten, hieman mutkikkaammalla tavalla,myös sinukset ja kosinukset!)

Fj (x) = exp�2�ij

x

L

�

(jossa i2 = �1) voidaan laskea rekursivisesti:

Fj+1 (x) = Fj (x) � F1 (x) :

Legendren liitännäisfunktioista Pnm mainittakoon vain seuraavat:

2.6. Legendren funktiot 33

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

P0

P2

P5P6P10P25

P1

P3P4

Kuva 2.4 � Muutama Legendren polynomi (P0 (t) : : : P25 (t)) argumentin t =

sin�) funktiona

t:n funktiona trigonometrisena funktiona

P11 (t) =p1� t2 P11 (sin�) = cos�

P21 (t) = 3tp1� t2 P21 (sin�) = 3 sin� cos�

P22 (t) = 3(1� t2) P22 (sin�) = 3 cos2 �

P31 (t) =32(5t2 � 1)

�p1� t2

�P31 (sin�) =

32

�5 sin2 �� 1

�cos�

P32 (t) = 15t (1� t2) P32 (sin�) = 15 sin� cos2 �

P33 (t) = 15 (1� t2)3=4 P33 (sin�) = 15 cos3 �

Eräs niitä määrittelevä kaava on:

Pnm (t) =�1� t2

�m=2 dmPn(t)dtm

:

Lähtemalla kaavalta (2.7) voidaan kirjoittaa

Yn (�; �) =nX

m=0

(anmPnm (sin�) cosm�+ an;�mPn;m (sin�) sinm�) =

=nX

m=�nanmYnm (�; �) ;

jossa nyt m kulkee �n:sta +n:ään. Tässä nyt

Ynm (�; �) =

8<:Pnm (�; �) cosm� jos m � 0;

Pnkmk (�; �) sin kmk� jos m < 0:

Nämä ovat asteluvun n ja järjestysluvun m pintapallofunktiot.

Sellaisia pintapallofunktioita löytyy kolmenlaisia:

� Zonaalisia eli vyöhykefunktiot : m = 0; nämä funktiot riippuvat vain latitudista.


−15

−10

−5

0

5

−1 −0.5 0 0.5 1

P11P21P22P31P32P33

Kuva 2.5 � Legrendren liitännäisfunktioita

� Sektoriaalisia eli sektorifunktiot : m = n; näiden funktioiden etumerkki vaihtelee vainlongitudin eikä latitudin mukaan. (Ne kuitenkin riippuvat sekä latitudista että longitu-dista.)

� Tesseraalisia eli ruutufunktiot : 0 < m < n. Nämä funktiot, joiden etumerkki vaihte-lee sekä latitudin että longitudin mukaan, muodostavat pallon pinnalle �sakkilautamai-sen� kuvion, jos positiiviset arvot maalataan valkoisiksi ja negatiiviset mustiksi. (Lat.tessera = neliskantti).

Jokainen funktio menee välillä sin� = �1:::+1 tarkasti (n�m) kertaa nollan läpi. Jokainenfunktio on joko symmetrinen tai antisymmetrinen �:n tai t = sin�:n funktiona.

Pallofunktioit kuvaavat siis eräänlaista aalto-ilmiötä. Ne eivät kuitenkaan ole aaltofunktioita(sinuksia ja kosinuksia), yhteys näihin on vähintään mutkikas. Kuitenkin on mielekästä puhuaniiden aallonpituudesta .

Kuvassa 2.6 on kuvattu miten eri pallofunktioiden etumerkit käyttäytyvät Maan pinnalla (jasen yläpuolella).

Kun tutkitaan kaavassa 2.7 esiintyvät ilmaisut cosm� ja sinm�, voidaan havaita, että nemenevat koko ympyrällä (päivääntasaajalla) 0 � � < 2� tarkasti 2m kertaa nollan läpi.�Puoliaallonpituus� on siis

2�R

2m= �

R

m;

missä R on taas maapallon säde.

Samanlainen kaava pätee myös funktioihin Pnm (sin�): kun funktio menee nollan läpi n�mkertaa välillä ��

2� � < �

2; seuraa, että puoliaallonpituus tässäkin on

�R

n�m:

2.7. Legendre-polynomien ortogonaalisuus 35

(a) Zonaalisia:

P5;0(sin�)

(b) Sektoriaalisia:

P6;6(sin�) sin 6�

(c) Tesseraalisia:

P11;6(sin�) sin 6�

Kuva 2.6 � Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla. Harmaa positiivinen,

valkoinen negatiivinen. Funktiot �aaltoilevat� sini- tai kosinifunktioiden tavoin

Jos sijoitetaan tähän eri m ja n�m -arvot, saadaan tuloksena euraava taulukko:

m=n�m Puoliaallonpituus10 2000 km40 500 km180 111 km360 55 km

Tämä taulukko kuvaa samalla pallofunktiokehitelmällä saavutettava resoluutio, eli kuinkayksityiskohtaisesti kehitelmä voi kuvata maan painovoimakenttää. Nykyisin käytettävissä ole-vat kehitelmät menevat astelukuun n = 360 asti; niiden luoman geopotentiaalikuvan �terä-vyys� on siis 55 km. Satelliittiratahäiriöistä johdetut mallit usein menevät vain astelukuun40 saakka; silloin �näkyvät� vain mantereen kokoiset yksityiskohdat (500 km).

2.7 Legendre-polynomien ortogonaalisuus

Legendren polynomit ovat ortogonaalisia : Integraali

ˆ +1

�1Pn (t)Pm (t) dt =

(2

2n+1jos n = m

0 jos n 6= m: (2.9)

Tämä ortogonaalisuus on vain yksi esimerkki yleisemmästä tavasta katsoa funktioita ja funk-tioiden integraaleja. On olemassa hyödyllinen analogia vektoriavaruuden kanssa: ks. liite B.

Voimme kirjoittaa vaihtoehtoisesti, yksikköpallon � pinnalla, jossa on käytetty parametri-


sointi ( ;�):¨�

Pn (cos )Pm (cos ) d� =

=

ˆ 2�

0

ˆ �

0

Pn (cos )Pm (cos ) sin d d� =

= 2�

ˆ +1

�1Pn (t)Pm (t) dt;

jossa t � cos ja d� = sin d d�: Siis pätee

¨�

Pn (cos )Pm (cos ) d� =

(4�

2n+1jos n = m

0 jos n 6= m:

2.8 Eri suureiden spektraaliesitykset

2.8.1 Potentiaali

Lähtemällä kaavasta (2.8), voimme kirjoittaa seuraava geopotentiaalin spektraaliesitys ava-ruudessa:

V (�; �; r) =1Xn=0

�R

r

�n+1Vn (�; �) ; (2.10)

missä spektraalikomponentit Vn ei ole mitään muuta kuin vanhat tutut Yn (kaava (2.7)),hieman eri tavalla skaalattuna:

Vn (�; �) =nX

m=0

Pnm (sin�)�aVnm cosm�+ bVnm sinm�

�=

=nX

m=�nVnmYnm (�; �) ;

jossa

Ynm (�; �) =

(Pnm (sin�) cosm� jos m � 0

Pnkmk (sin�) sin kmk� jos m < 0

ja vastaavasti

Vnm =

(aVnm jos m � 0

bVnkmk jos m < 0(2.11)

Tämä on joskus käytetty, kompakti notaatio.

Maan pinnalla on (R = r) saadaan:

V (�; �;R) =1Xn=0

Vn (�; �) =1Xn=0

nXm=�n

VnmYnm (�; �) :

2.8. Eri suureiden spektraaliesitykset 37

2.8.2 Gravitaatio

Neumannin reuna-arvotehtävässä ratkaistaan funktio V jonka normaaliderivaatta @V=@n onannettu kappaleen pinnalla. Di�erentioimalla kaava (2.10) saadaan:

@V

@n=

@V

@r= �

1Xn=0

n+ 1

r

�R

r

�n+1Vn (�; �) : (2.12)

Maan pinnalla tämä on @V

@r

!R

= �1Xn=0

n+ 1

RVn (�; �) : (2.13)

Jos kirjoitetaan myös maan pinnalla (gravitaatio):

g (�; �;R) � @V

@r

!R

�1Xn=0

gn (�; �) ;

seuraa analogiasta että

gn (�; �) = �n+ 1

RVn (�; �) ;

ja kääntäen, että

Vn (�; �) = �Rgn (�; �)n+ 1

(2.14)

Tämän tuloksena saamme erään Neumannin tehtävän ratkaisun spektraaliesitys:

V (�; �; r) = �R1Xn=0

�R

r

�n+1 gn (�; �)n+ 1

: (2.15)

Kirjoitetaan analogisesti

g (�; �;R) =

@V

@n

!r=R

=1Xn=0

gn (�; �) =

�1Xn=0

nXm=�n

gnmYnm (�; �) ;

jossa käytetty määritelmä on johdonmukaisesti

gnm = �n+ 1

RVnm;

ks. kaava 2.11. Tämä on mielenkiintoinen, ja miettimisen arvoinen, tulos. Jos meillä on käy-tettävissä, koko Maapallon pinnalta, painovoiman kiihtyvyyden mittausarvoja g, voisimmeniistä johtaa kertoimia gnm aikaisemmin selitetyn menetelmän avulla. Niiden avulla voimme,kaavan (2.14), tai siitä seuraavan kaavan

Vnm = � R

n+ 1gnm

avulla, saada ratkaisu (2.15) koko Maapallon ulkopuoliselle geopotentiaalikentälle! Tämä ongeopotentiaalimäärityksen � tai geoidimäärityksen � perusajatus. Yllä nähdään millä tavallavoimme hyödyntää spektraalinäkökohtaa käyttökelpoisten matemaattisten tulosten johtami-seksi.


2.9 Funktion hajoittaminen asteosuuksiin

Lopuksi annamme vielä hyödyllinen laskentakaava (integraalikaava) pintapallofunktioille, josvastaava funktio f pallon pinnalla on annettuna. Kaava on (Heiskanen and Moritz (1967),kaava 1-71, mutta käyttämällä notaatiomme fn � Yn):

fn (�; �) =2n+ 1

4�

¨�

f (�0; �0)Pn (cos ) d�; (2.16)

jossa on kulmaetäisyys laskentapisteen (�; �) ja integrointipisteen (�0; �0) välillä. Kaavassa2.16 on tietty samanlaisuus projektio- eli kerroinlaskentakaavan B.7 kanssa. Kuitenkin tässäei ole kyse spektraalikerrointen vain �spektraalikomponenttifunktioiden� fn laskennnasta.

Muistutamme funktioiden fn keskeistä ominaisuutta

f (�; �) =1Xn=0

fn (�; �)

pallon pinnalla.

Todistus tapahtuu valitsemalla koordinaattijärjestelmän �pohjoisnavaksi� piste (�; �); silloin�0 = 90� � : Kirjoittamalla (ks. kaava 2.8):

f (�0; �0) =1Xn=0

nXm=0

Pnm (sin�0) (anm cosm�0 + bnm sinm�0)

ja sijoittamalla tätä kaavaan (2.16), saadaan käyttämällä hyväksi Legendre-polynomien orto-gonaalisuutta kaavan oikealle puolelle:

IR =2n+ 1

4�an0

ˆˆ�

P 2n(cos )d� =

=2n+ 1

4�an

ˆ +1

�1P 2n(t) �

"sin

ˆ 2�

0

d�

#1

sin � dt =

=2n+ 1

4�� 2�an � 2

2n+ 1= an;

missä käytettiin kirjoitustapa an � an0. Kaavan vasemmalle puolelle saadaan vastaavasti,koska määritelmän (2.7) mukaan (� = 90� ja sin� = 1):

IL = Yn (90�; �) =

nXm=0

Pnm (1) (anm cosm�+ bnm sinm�) = :

= Pn (1) an = an;

käyttämällä

Pn (1) � Pn0 (1) = 1

Pnm (1) = 0 jos m 6= 0:

Kun tämä pätee jokaiselle pisteelle (�; �) (ja huomaa että an:n arvo riippuu sen valinnasta!)seuraa että kaava (2.16) on yleisesti tosi.

2.10. Matalan asteluvun pallofunktiot 39

2.10 Matalan asteluvun pallofunktiot

Pistemassan potentiaalikenttä on (1.4):

V =GM

r:

Potentiaalikehitelmän (2.8) asteluvun n = 0 vastaava termi on

V0 =1

ra00P0 (sin�) =

a00r;

josta

a00 = GM:

eli a00 kuvaa massakeskipisteen voimakenttää, pistemassan tai pallosymmetrisen massajakau-man kenttää. Korkeimmat pallofunktiokertoimet ovat �häiriöitä� tähän.

Ensimmäisen asteen kertointen kehitelmä on seuraavan näköinen:

V1 (�; �; r) =1

r2(a11 cos� cos�+ b11 cos� sin�+ a10 sin�) :

Tätä voidaan kirjoittaa vektorimuotoon kaavan

r = (r cos� cos�) i+ (r cos� sin�) j+ (r sin�)k

avulla:

V1 (r) =1

r3h(a11i+ b11j+ a10k) � ri :

Palautamme mieleen, että dipolin potentiaalikenttä on

V =G

r3hd � ri ;

missä d on dipolimomentti. Vertailemalla saa

a11i+ b11j+ a10k = Gd;

eli ensimmäisen asteluvun n = 1 pallofunktiokertoimet edustavat Maan gravitaatiokentändipolimomentti.

Jokaisen Maapallomme massa-alkiolla dm voidaan katsoa koostuvan

� monopolista koordinaattijärjestelmän origossa, suuruus dm, ja

� dipolista, suuruus r � dm, missä r on massa-alkion paikkavektori.

Silloin voimme laskea koko Maapallon dipolimomentti integroimalla:

d� =

˚V

rdm =

˚V

�rdV =M � rmkp;


d

m

Kuva 2.7 � Monopoli, dipoli ja kvadrupoli ja niiden vaikutukset geoidiin

määritelmän mukainen Maapallon massakeskipisteen paikka! Tästä seuraa että, mikäli valit-semme koordinaattijärjestelmämme niin, että origo on Maan massakeskipisteessä, pallofunk-tiokertoimet a11; b11; a10 häviävät. Jos satelliittien liikeyhtälöt on formuloitu tietyssä koordi-naattijärjestelmässä, kuten GPS-satelliittien tapauksessa WGS84-järjestelmässä, on järjestel-män origo automaattisesti Maan massakeskipisteessä, ja ensimmäisen asteluvun pallofunk-tiokertoimet ovat oikeasti nolla.

Samanlainen logiikka pätee korkeammalle pallofunktio-asteille. Asteluvun 2 kertoimet kuvaa-vat maapallon ns. kvadrupolimomentti � mikä on sama kuin sen hitausmomenttitensori �,jne.

2.11 Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät

Nykyisin on käytettävissä useita globaalisia pallofunktiokehitelmiä; tyypillinen vaikka jo hie-man vanha on malli EGM96, jonka kehittivät Ohion Valtionyliopiston tutkijat käyttämäl-lä hyvin laajaa, Amerikkalaisen NIMAn (National Imagery and Mapping Agency , entinenDefense Mapping Agency) keräämä maailmanlaajuista, pääasiallisesti gravimetrista, aineis-toa. Tämä malli on kehitelmä joka menee astelukuun 360 saakka; sen standardiesitystapa on3

V =GM

r

1 +

360Xn=2

�a

r

�n nXm=0

P nm (sin�)hCnm cosm�+ Snm sinm�

i!: (2.17)

Tällainen esitystapa � etumerkki kehitelmän eteen, joka alkaa n-arvosta 2, ykkönen suluissajoka edustaa origossa olevaa, Maan kokonaismassan suuruista pistemassaa, ja kertoimet C jaS täydellisesti normalisoituina � on ollut jo jonkin ajan �teollisuusstandardi� globaalisessatutkimusyhteisössä joka harjoittaa Maan gravitaatiokentän pallofunktiokehitelmien laskemis-ta. Uranuurtaja on ollut Professori Richard H. Rapp Ohion Valtionyliopistosta, siksi mallejakutsutaan usein OSU-malleiksi.

Yleensä näissä malleissa alemmat termit � 2 � n � 20 � johdetaan pääasiallisesti satellii-tiratojen häiriöiden analysoinnista. Tästä johtuen tulokset on katsottava olevan annettuna

3Huomaa, että nyt käytetään a eli maan ekvatoriaalisäde eikä R, ja � eli geosentrinen leveysaste. Koordinaatit

(r; �; �) muodostuvat pallokoordinaattijärjestelmän.

2.12. Ellipsoidiset harmoniset [vaikea] 41

koordinaattijärjestelmässä jonka origo on maan massakeskipisteessä. Tämä selittää ensim-mäisen asteen kertointen puuttuminen, kuten jo aikaisemmin argumentoitiin.

Korkeammat kertoimet taas � 20 < n � 360� olivat ennen v. 2000 pääosin sekä painovoima-aineistojen että satelliitti-altimetriadatan analyysin tulosta. Painovoimasatelliittien CHAMP,GRACE ja GOCE laukaisujen jälkeen ja niiden mittausten seurauksena on nykyisin tämäkinastelukuväli avaruusgeodesian tuotos, ja vain vieläkin korkeammat asteluvut � uusi malliEGM2008 menee jo astelukuun 2190 saakka � tulevat maanpäällisistä mittauksista.

Taulukossa 2.1 annetaan ensimmäiset ja viimeiset termit EGM96-mallista, viimeinen ja paraspallofunktiomalli painovoimamissioiden edeltävästä ajasta. Taulukoidut arvot ovat n;m;Cnm; Snmja molempien kertointen keskivirheet. Huomaa että kaikki Sn0 ovat nollia!

Joskus käytetään myös ei-normalisoituja kertoimia ja kirjoitetaan

V =GM

r

"1�

1Xn=2

�a

r

�n nXm=0

Pnm (sin�) fJnm cosm�+Knm sinm�g#: (2.18)

Silloin kirjoitetaan Jn � Jn0; ja J2 on tärkein, Maapallon litistyneisyyttä kuvaava Maanpainovoimakentän parametri. Yhteys parametreihin C; S on:

Jn0 = �p2n+ 1Cn0; Kn0 = �

p2n+ 1Sn0;

(JnmKnm

)= �

vuut2 (2n+ 1)(n�m)!

(n+m)!

(Cnm

Snm

); m 6= 0:

2.12 Ellipsoidiset harmoniset [vaikea ]

On mahdollista kirjoittaa Laplacen yhtälö (1.10) pallokoordinaattien sijasta ellipsoidisiinkoordinaatteihin, ja ratkaista se. Tulos tunnetaan ellipsoidisena funktiokehitelmänä (En. el-lipsoidal harmonics.) Niitä käytetään vähän, koska tarvittava matematiikka on monimutkai-sempi. Myös ellipsoidiset koordinaatit ovat lähinnä teoreettisesti kiinnostavia eivätkä laajassakäytössä geodesiassa.

Esitys:

V (u; �; �) =1Xn=0

nXm=0

Qnm

�i uE

�Qnm

�i bE

�Pnm(sin�) (anm cosm�+ bnm sinm�) ; (2.19)

missä Qnm (z) ovat ns. toisen lajin Legendren funktiot.

Ylläolevan kaavan johtamista ei esitetä. Kiinnostuneet voivat löytää sen Heiskanen and Moritz(1967) kirjasta tai muista potentiaaliteorian oppikirjoista. Heiskanen and Moritz (1967) antaakaavalle hieman erilaisen muodon, tässä käytetyn normalisaation johtamiseksi tarvittavatapukaavat löytyvät sen sivuilta 66-67.


Taulukko 2.1 � EGM96-pallofunktiokehitelmän harmonisia kertoimia

n m Cnm Snm Cnm:n keskivirhe Snm:n keskivirhe

2 0 -0.484165371736E-03 0.000000000000E+00 0.35610635E-10 0.00000000E+00

2 1 -0.186987635955E-09 0.119528012031E-08 0.10000000E-29 0.10000000E-29

2 2 0.243914352398E-05 -0.140016683654E-05 0.53739154E-10 0.54353269E-10

3 0 0.957254173792E-06 0.000000000000E+00 0.18094237E-10 0.00000000E+00

3 1 0.904627768605E-06 0.248513158716E-06 0.13965165E-09 0.13645882E-09

3 2 0.904627768605E-06 -0.619025944205E-06 0.10962329E-09 0.11182866E-09

3 3 0.721072657057E-06 0.141435626958E-05 0.95156281E-10 0.93285090E-10

4 0 0.539873863789E-06 0.000000000000E+00 0.10423678E-09 0.00000000E+00

4 1 -0.536321616971E-06 -0.473440265853E-06 0.85674404E-10 0.82408489E-10

4 2 0.350694105785E-06 0.662671572540E-06 0.16000186E-09 0.16390576E-09

4 3 0.990771803829E-06 -0.200928369177E-06 0.84657802E-10 0.82662506E-10

4 4 -0.188560802735E-06 0.308853169333E-06 0.87315359E-10 0.87852819E-10

5 0 0.685323475630E-07 0.000000000000E+00 0.54383090E-10 0.00000000E+00

5 1 -0.621012128528E-07 -0.944226127525E-07 0.27996887E-09 0.28082882E-09

5 2 0.652438297612E-06 -0.323349612668E-06 0.23747375E-09 0.24356998E-09

5 3 -0.451955406071E-06 -0.214847190624E-06 0.17111636E-09 0.16810647E-09

5 4 -0.295301647654E-06 0.496658876769E-07 0.11981266E-09 0.11849793E-09

5 5 0.174971983203E-06 -0.669384278219E-06 0.11642563E-09 0.11590031E-09

6 0 -0.149957994714E-06 0.000000000000E+00 0.14497863E-09 0.00000000E+00

6 1 -0.760879384947E-07 0.262890545501E-07 0.22415138E-09 0.21957296E-09

6 2 0.481732442832E-07 -0.373728201347E-06 0.27697363E-09 0.28105811E-09

6 3 0.571730990516E-07 0.902694517163E-08 0.19432407E-09 0.18682712E-09

6 4 -0.862142660109E-07 -0.471408154267E-06 0.15229150E-09 0.15328004E-09

6 5 -0.267133325490E-06 -0.536488432483E-06 0.89838470E-10 0.87820905E-10

6 6 0.967616121092E-08 -0.237192006935E-06 0.11332010E-09 0.11518036E-09

...

360 358 0.709604781531E-10 0.691761006753E-10 0.50033977E-10 0.50033977E-10

360 359 0.183971631467E-10 -0.310123632209E-10 0.50033977E-10 0.50033977E-10

360 360 -0.447516389678E-24 -0.830224945525E-10 0.50033977E-10 0.50033977E-10

Ellipsoidisten harmonisten käytön etuja:

1. Normaalikentän kaava on tässä esitystavassa yksinkertainen, ks. Heiskanen and Moritz(1967) kaava 2-56. Saman kentän pallofunktiokehitelmä sen sijaan vaatii teoreettisestiäärettömän monta kerrointa (käytännössä 6-8 riittää).

2. Konvergenssi on nopeampi, koska tarvitaan vähemmän termejä. Tämä johtuu siitä,että litistyneisyyden vuoksi Maan päiväntasaaja on noin 23 km kauempana sen keski-pisteestä kuin navat. Siksi erityisesti korkean asteluvun pallofunktioilla on vaikeuksiakonvergoida tehokkaasti yht'aikaa sekä napa- että päiväntasaaja-alueille. Tämä ongelmatulee pahentumaan, kun otetaan käyttöön erittäin korkea-asteisia pallofunktiokehitel-


miä (esim. Wenzel (1998)) Jo asteluvun 360 pallofunktion puoliaallonpituus on vain55 km!

Ellipsoidisten harmonisten käytön haittapuoli:

Ellipsoidisten harmonisten laskeminen on pallofunktioita selvästi työläämpää eli �kalliimpaa�tietokoneresursseissa mitattuna.


2.13.1 Tehtävä: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa

Napakoordinaatteissa (kaksiulotteisesti) Laplacen yhtälö on

�V =@2V

@r2+

1

r

@V

@r+

1

r2@2V

@�2= 0:

Suorita tähän samanlainen laskenta kuin kappaleessa 2.2, eli kirjoita ensin

V (r; �) = R (r)A (�)

ja jaa sitten ylläoleva kaava kahteen eri kaavaan, funktiolle R(r) ja funktiolle A(�).

Minkä muotoinen on yleisen ratkaisun A (�)-funktio?

Vastaus:

Sijoitus antaa

@2R(r)@r2

R (r)+

@2A(�)@�2

A (�)= 0

eli molemmat termit oltava vakioita:

@2R (r)

@r2� k2R (r) = 0;

@2A (�)

@�2+ k2A (�) = 0:

Tässä k2:n etumerkki valittu näin, että A (�) saadaan periodinen ratkaisu. Sellainenyleinen ratkaisu olisi

A (�) = a cos (k�) + b sin (k�) ;

jossa k = 0; 1; 2; 3; : : : (negatiiviset k-arvot eivät anna erilaisia ratkaisuja, koska a cos (k�) =a cos ((�k)�) ja b sin (k�) = (�b) sin ((�k)�))


2.13.2 Tehtävä: Pallofunktiokertoimet

Annettuna on maan sisällä massapiste, jonka Gm = 1010m3 s�2, ja jonka koordinaatit ovatx = y = 0; z = 106m; sekä toinen piste, jonka Gm = �1010m3 s�2 ja jonka koordinaatit ovatx = y = 0; z = �106 m:Laske tämän massajakauman kertoimet C10; S10; S11 kaavan (2.17) mukaan.

Vihje: Massajakauman �m dipolimomentti on m�, missä � on massojen välinen etäisyys.Käytä nyt kappaletta 2.10 hyväksi.

Käytettävissä olevat arvot: GM = 3; 986005 � 1014 m³=s²; a = 6378137m:

Luku 3Normaalipainovoimakenttä

3.1 Normaalikentän perusajatus

Samoin kuin maan muoto on hyvässä approximaatiossa pyörahdysellipsoidi, on myös maanpainovoimakenttä yhtä hyvässä approximaatiossa kenttä, jonka eräs ekvipotentiaalipinta onjuuri tämä pyörähdysellipsoidi.

Tämä tuo mieleen loogisen ajatuksen: miksei määritellä keskenään yhteensopivia vertausel-lipsoidia , geopotentiaalikenttää eli normaalipotentiaalia � jonka eräs ekvipotentiaalipintavertausellipsoidi on � ja painovoimakaavaa , joka lasketaan potentiaalista ottamalla gradient-ti?

Tämän jälkeen voimme määritellä anomaalisia potentiaali- ja painovoimasuureita, jotka ovatsilloin myös keskenään yhteensopivia.

Olkoon normaalipotentiaali U(x; y; z) ja vertausellipsoidin normaalipotentiaali U0.

Silloin normaalipainovoima on

(x; y; z) = �@U@n

;

missä n on ellipsoidin ulkonormaali (joka poikkeaa tasopintojen normaalista juuri luotiviiva-poikkeaman verran, ks. alla).

Nähdään myöhemmin, että pyörähdysliikkeen aiheuttama näennäisvoima voidaan, maan mu-kana pyörivässä järjestelmässä, kuvata pyörähdyspotentiaalin � avulla. Myös normaalipo-tentiaali U määritellään niin, että pyörahdyspotentiaali � on sen osana, toisin sanoen: nor-maalipotentiaali on painovoimakentän eikä gravitaatiokentän vertauspotentiaali. Jos kir-joitetaan normaaligravitaatiopotentiaali (harvoin käytetty suure geodesiassa), silloin nor-maalipainovoimapotentiaali (�normaalipotentiaali�) U on

U = +�;

missä � on keskipakoispotentiaali. Eli: , kuten V , on määritelty ei-pyörivässä (inertiaali-sessa) systeemissä, kun taas U , kuten W , on määritelty maapallon mukana pyörivässä (ei-inertiaalisessa) järjestelmässä; aivan kuten myös sana painovoima viittaa maapallon muka-na pyörivässä järjestelmässä toimivaan voimaan, kun inertiaalisessa järjestelmässä käytetäänsana gravitaatio.

46 Luku 3. Normaalipainovoimakenttä

3.2 Keskipakoisvoima ja sen potentiaali

Maapallon pyörähdysliike on tärkeä maan painovoimakentän kannalta. Inertiaalisysteemissävoidaan puhua gravitaatiosta ja gravitaatiopotentiaalista V ; kuitenkin maan pinnalla, ei-inertiaalisessa (�mukana pyörivässä�) systeemissä, puhutaan painovoimasta ja painovoima-

potentiaalistaW . Ne ovat täysin erilaisia ja pyörahdysliike ja sen keskipakoisvoima aiheuttaaeron. Ks. kuva.

Keskipakoisvoima

Gravi-taatio

Painovoima

Keskipakoisvoima voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa. Kirjoita ensin

p = Xi+ Y j;

silloin

p = kpk =qhp � pi =

pX2 + Y 2:

Nyt keskipakoisvoima on

f = !2p = !2 (Xi+ Y j) :

Maan pinnalla painovoimamittaukset tehdään yleensä laitteella, joka on lepotilassa maanpintaan nähden, toisin sanoen se seuraa maapallon pyörähdysliikettä. Jos laite liikkuu, on kes-kipakoisvoiman lisäksi vielä otettava huomioon toinen näennäisvoima: Coriolis-voima. Myösnesteet (vesi, ilma) maan pinnalla tuntevat vain keskipakoisvoiman, mikäli ne ovat lepotilassa.Virtaukset tuntevat myös Coriolis-voiman, joka kääntää virtaukset ja aiheuttaa tunnettujapyörreilmiöitä valtamerillä ja ilmakehässä.

Jos nyt Coriolis-voima jätetään sikseen, voidaan kuvata keskipakoisvoima eräänlaisen poten-tiaalin gradientiksi. Jos kirjoitetaan potentiaaliksi

� =1

2!2(X2 + Y 2);

voidaan suoraan laskea, että

f =�!r� = i

@�

@X+ j

@�

@Y+ k

@�

@Z=

1

2i!2 � 2X +

1

2j!2 � 2Y + 0 = !2 (iX + jY ) ;

3.2. Keskipakoisvoima ja sen potentiaali 47

mikä vastaa yllä annettua keskipakoisvoimakaavaa.

Jos lähdemme nyt gravitaatiopotentiaalista V ja lisämme siihen �keskipakoispotentiaalin� �,saamme tulokseksi painovoimapotentiaali W :

W = V +�:

Voimme laskea ylläolevasta keskipakoispotentiaalista myös seuraavan kaavan di�erentioimallasen kahdesti:

�� =@

@x!2X +

@

@y!2Y + 0 = 2!2;

josta seuraa

�W = �4�G�+ 2!2;

painovoimapotentiaalin Poisson-yhtälö.

Ero gravitaation ja painovoiman välissä on olennainen. Gravitaatiovoima (tai -kiihtyvyys)a =

�!rV on pelkkä vetovoima; painovoima (kiihtyvyys) g =�!rW on gravitaation ja keski-

pakoisvoiman yhteisvaikutus. Vetovoima ja keskipakoisvoima toimivat samalla tavalla: voimaon verrannollinen koekappaleen massaan, ts. kiihtyvyys on aina sama koekappaleen massas-ta riippumatta. Tämä on kuuluisa ekvivalenssiperiaate (Galilei, Einstein) joka on todettuhyvin tarkasti paikkansa pitäväksi. Erityisesti voidaan mainita unkarilaisen kreivi LorandEötvösin neuvokkaat kokeet.

Maan päällä olevat vesimassat, samoin kuin ilmakehä (sekä suunnattomasti suuremmalla ai-kaviiveella �kiinteä� kallio, joka muodostaa vuoristoja ja valtameren syvänteitä) tottelevatpainovoimaa tekemättä eroa vetovoiman ja keskipakoisvoiman välillä. Siksi merenpinta onnoin metrin tarkkuudella W -funktion ekvipotentiaalipinta. Myös maan päällä korkeudet mi-tataan tästä pinnasta eli geoidista (Gauss: �Maan matemaattinen muoto�).

Painovoiman mittayksikkö on mGal = 10�5 m=s². Myös �Gal eli 10�8 m=s² käytetään. Mo-dernissa kirjoissa käytetään myös suoraan m=s² ja nm=s², jotka kuuluvat muodollisesti SI-järjestelmään. Kuitenkin milligallit ja mikrogallit ovat tutumpia ja vastaavat n. 1 ppm (mil-joonasosaa) ja 1 ppb (miljardisosaa) koko painovoimasta.

Painovoiman gradientin mittauksen suosittu yksikkö on Eötvös, lyhenne E. SI-yksikössäse on 10�9 s�2, mikä vastaa 10�4 mGal=m. Alla olevassa taulukossa on annettu muutama ar-vo ilmiöiden suuruusluokan hahmottamiseksi. Maan pinnalla painovoiman pystygradientin@g=@h arvo on keskimäärin noin -0,3 mGal / m.

Ilmiö Koko SI- mGalpainovoimasta yksiköissä

Koko painovoima 1 9; 8 980 000

Paikallinen vaihtelu �10�4 �10�3 �100Ero päiväntasaajan ja napojen välillä 0; 5% 0; 05 5000

Ero merenpinnan ja 10 km korkeudenvälillä

0; 3% 0; 03 3000

Gravimetrin mittaustarkkuus �10�8 � 10�7 �10�7 � 10�6 �0; 01� 0; 1


3.3 Tasopinnat ja luotiviivat

Saman painovoimapotentiaalin pinnat eli tasopinnat ovat seuraavia pintoja:

W (x; y; z) =W1 = vakio:

Yksikkövektorin

e = ie1 + je2 + ke3

suuntaan potentiaali muuttuu seuraavasti:

@W

@e= e1

@W

@x+ e2

@W

@y+ e3

@W

@z;

joka on nolla jos ja vain josDe � �!rW

E= 0;

ts. potentiaali on vakio vaan suuntiin, jotka ovat kohtisuoria maan painovoimavektoria

�!rW = g

kohtaan.

Siis: tasopinnat ja painovoimavektorit eli luotiviivat ovat aina kohtisuoria toisiinsa nähden.

Tasopintojen kaarevuus : Olkoon annettuna pisteessa P suora pinta, joka on P :ssä saman-suuntainen tasopinnan kanssa, eli tangenttipinta. Jos tasopinnan paikallinen kaarevuus x-suunnassa on �x, ja pisteen P x-koordinaatti x0, voidaan kehittää pintojen välinen etäisyysTaylor-sarjaksi:

� =1

2�x(x� x0)2 :

Tästä saa W -erotukseksi pintojen välillä:

�W = ��g = � (x� x0)2 g

2�x:

Di�erentioimalla

@2

@x2�W =

@2

@x2W = � g

�x

josta

�x = � g

Wxx

Määrittämällä kaarevuus x-suunnassa

K1 =1

�x= �Wxx

g;

3.4. Luonnolliset koordinaatit 49

ja vastaavasti y-suunnassa

K2 =1

�y= �Wyy

g;

saadaan keskikaarevuus (positiivinen luku):

J =1

2(K1 +K2) = �Wxx +Wyy

2g;

ja käyttämällä Poisson (ks. yllä),

�W =Wxx +Wyy +Wzz = �4�G�+ 2!2;

saamme

�2gJ +Wzz = �4�G�+ 2!2:

Käyttämällä

Wzz = �@g@z

= � @g@H

saadaan (H = korkeuskoordinaatti) Heiskanen and Moritz (1967, kaava (2-20)):

@g

@H= �2gJ + 4�G�� 2!2:

3.4 Luonnolliset koordinaatit

Ennen satelliittiaikakautta oli mahdotonta suoraan mitata geosentriset X;Y ja Z. Nykyisintämä on mahdollista, ja samalla saadaan h, joka on puhtaasti geometrinen suure.

Aikaisemmin voitiin mitata vain Heiskanen and Moritz (1967) kuvassa 2-7 kuvatut suureet:paikallisen luotiviivan suunta ja havaintopisteen potentiaaliero keskimerenpinnalta. Luotivii-van suunta mitattiin tähtitieteellisesti: tähtitieteellinen leveysaste � (älä sekoita keskipakois-voiman potentiaalin kanssa) ja tähtitieteellinen pituusaste �. Kolmas koordinaatti eli poten-tiaaliero W (x; y; z)�W0 meren pinnasta määritetään vaa'itsemalla. Nämä koordinaatit, �;�ja W kutsutaan luonnollisiksi koordinaateiksi.

Usein käytetään potentiaalin sijasta ortometrista korkeutta . Sen määritelmän ymmärtäähelposti jos kirjoittaa

@W

@n=@W

@H= �g ) dH = �1

gdW ) HP = �

ˆ WP

W0

1

g(W 0)dW 0;

missä integraali otetaan pisteen P luotiviivaa pitkin. n on paikallinen tasopintojen normaali(sen korvaaminen vertausellipsoidin normaalilla aiheuttaisi vain pienen virheen). g on paino-voimakiihtyvyys luotiviivalla, paikan z funktiona. Tämä on tässä ortometristen korkeuksientapauksessa todellinen painovoima kallion sisällä, joka on paikan epälineaarinen funktio jariippuu myös kallion tiheydestä. Tämä on ortometrisille korkeuksille ominainen ongelma.Tähän palataan myöhemmin (Heiskanen and Moritz (1967) luku 4).

Myös koordinaatit �;�; H muodostavat luonnollisen koordinaattijärjestelmän.


3.5 Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea ]

Olemme jo antaneet kaavan (2.19) geopotentiaalin kehitelmästä ellipsoidisiin harmonisiin.Normaalikentältä U vaaditaan, että se on vakio vertausellipsoidilla u = b. Kehitetään keski-pakoisvoima � ellipsoidisiin harmonisiin. Meillä on

�(u; �) =1

2!2(x2 + y2) =

1

2!2(u2 + E2) cos2 � =

=1

2!2(u2 + E2)(1� sin2 �) =

=1

2!2(u2 + E2)

��23P2(sin�) +

2

3P0(sin�)

�=

= �13!2(u2 + E2) (P2(sin�)� P0(sin�)) :

Tämän lisäksi meillä on kaavan (2.19) perusteella pyörähdyssymmetriselle kentälle :

(u; �) =1Xn=0

Qn

�i uE

�Qn

�i bE

�AnPn(sin�);sekä

U(u; �) = �(u; �) + (u; �):

Vertausellipsoidilla vaatimuksena on U(b; �) = U0; mikä on mahdollista vain, jos

A0 +1

3!2�b2 + E2

�= U0;

A2 � 1

3!2�b2 + E2

�= 0;

ja kaikki muut An = 0:

Suure U0 on yksiselitteisesti laskettavissa, jos maapallon massa GM ja sen dimensiot a; bovat tiedossa. Tulos, joka on annettu kirjassa Heiskanen and Moritz (1967) kaava (2-61), on:

U0 =GM

Earctan

E

b+

1

3!2a2:

tästä seuraa:

A0 = U0 � 1

3!2a2 =

GM

Earctan

E

b:

Mielenkiintoinen sivutulos on, että jos oletetaan A0 = a0, ja a1m = 0; m = 0;�1 (dipolimo-mentin häviäminen!) voidaan �skaalata� kaavaa (2.19) seuraavasti1:

1Kayttämällä kaava Q0

�i uE

�= �i arctan E

uHeiskanen and Moritz (1967, s. 66) ja siirtämällä sopivat vakiot

kertoimiin Ce

nm; Se

nm.

3.6. Normaalipainovoima 51

V (u; �; �) =

=GM

Earctan

E

u

241� 1Xn=2

nXm=0

arctan Eb

arctan Eu

Qnm

�i uE

�Qnm

�i bE

�P nm(sin�)

Cenm cosm�+

+Senm sinm�

!35 ; (3.1)

mikä vastaa pallofunktiokehitelmää (2.17). Tätä kaavaa ei kuitenkaan ole tiettävästi käytettymissään käytännön geopotentiaalilaskentaan.

Painovoimakentän normaalipotentiaali U saadaan seuraavaksi (muista että a2 = b2 + E2):

U(u; �) =GM

Earctan

E

u+

1

3!2a2

Q2

�i uE

�Q2

�i bE

�(23sin2 � � 1

2) +

1

2!2(u2 + E2) cos2 � =

= C1(u) + C2(u) sin2 � + C3(u) cos

2 �;

missä C1; C2; C3 ovat sopivia u-funktioita.

Vertausellipsoidin pinnalla (u = b):

U(b; �) =�GM

Earctan

E

b� 1

6!2a2

�+

+1

2!2a2 sin2 � +

1

2!2a2 cos2 � =

=GM

Earctan

E

b+

1

3!2a2;

vakio, kuten sopii ollakin!

3.6 Normaalipainovoima

Ilman todistusta mainittakoon, että normaalipainovoimalle (suureelle = @U=@h) päteevertausellipsoidin pinnalla seuraava kaava:

=a b sin

2 � + b a cos2 �q

a2 sin2 � + b2 cos2 �:

Sijoittamalla saadaan heti selville, että a on normaalipainovoima päiväntasaajalla (� = 0)ja b normaalipainovoima navoilla (� = �90�).Käyttämällä kaavoja (2.3) ja (2.5) saadaan

tan� =sin�

cos�=

Z=bpX2+Y 2=a

=a

btan�

ja

tan' =sin'

cos'=

Z=(1�e2)Npx2+y2=N

=Zp

X2 + Y 2

1

1� e2 =a2

b2tan�;


missä � on geosentrinen latitudi (vrt. kaava (2.2)). Tästä seuraa suoraan:

tan� =b

atan';

missä leveyskulma ' on geodeettinen (eli ellipsoidinen) latitudi. (� on edelleenkin ns. redu-koitu latitudi). Nyt on helppo osoittaa (harjoitus!) että

=a a cos

2 '+ b b sin2 'q

a2 cos2 '+ b2 sin2 ': (3.2)

Tämä on kuuluisa Somigliana-Pizzetti kaava. Nämä geodeetit osoittivat ensimmäisinäettä �ellipsoidinen� normaalipainovoimakenttä, joka tuottaa pyörahdysellipsoidin yhtenä ta-sapotentiaalipintanaan, on tarkasti olemassa ja että myös maantieteellisissä koordinaateissapainovoimakaava on suljettu kaava leveysasteessa.

3.7 Numeeriset arvot ja kaavat

Kun vertausellipsoidi on valittu, voidaan siitä laskea normaalipotentiaali ja normaalipaino-voima. Perussuureet ovat

a pyörähdysellipsoidin ekvatoriaalisäde eli pitkä akselipuolikas;

f litistyneisyyssuhde, f = a�ba, missä b on polaarisäde eli lyhyt akselipuolikas;

! pyörähdysnopeus;

GM kokonaismassa (sisältää ilmakehän).

Vaihtoehtoisesti valitaan myös a eli ekvatoriaalipainovoima.

Nykyisin käytetyin vertausjärjestelmä on GRS80 (Geodetic Reference System 1980):

a = 6378137m

[1=f = 298; 257222101]

! = 7292115 � 10�11 s�1GM = 3986005 � 108m3 s�2

(Oikeastaan f ei ole GRS80:n määrittelevä vakio, vaan käytetään J2, joka on painovoima-kenttää kuvaava suure, ks. 2.18). GPS-systeemin käyttämä WGS84 (World Geodetic System1984) on melkein identtinen GRS80:n kanssa.

Normaalipotentiaali on (Heikkinen (1981)), yksiköt [m] ja [s]:

U =62636860; 8500+

+h�9; 78032677� 0; 05163075 sin2 '� 0; 00022761 sin4 '� 0; 00000123 sin6 '

ih+

+h0; 01543899 � 10�4 � 0; 00002195 � 10�4 sin2 '� 0; 00000010 � 10�4 sin4 '

ih2�

�h�0; 00002422 � 10�8 + 0; 00000007 � 10�8 sin2 '

ih3;

3.8. Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä 53

ja normaalipainovoima (huomaa miinusmerkki; U on positiivinen ja vähenee ylöspain):

=� @U

@h=

=+ 9; 78032677 + 0; 05163075 sin2 '+ 0; 00022761 sin4 '+ 0; 00000123 sin6 '��h0; 03087798 � 10�4 � 0; 00004390 � 10�4 sin2 '� 0; 000000200 � 10�4 sin4 '

ih+

�h�0; 00007265 � 10�8 + 0; 00000021 � 10�8 sin2 '

ih2: (3.3)

Tarkemmat kaavat raportissa Heikkinen (1981). Näissä kaavoissa kerroin 9,78032... on ekva-toriaalinen painovoima ja 0,03087... on painovoiman (ekvatoriaalinen) pystygradientti. Kaikkiyksiköt ovat SI-systeemissä. ' on (geodeettinen) latitudi, h on korkeus vertausellipsoidista.

Muut vielä paljon käytetyt painovoimakaavat (vertausellipsoidit) ovat Helmertin kaava(Krassowsky-ellipsoidi) Itä-Euroopan maissa, Kansainvälinen eliHayford-ellipsoidi (1924)ja sen painovoimakaava sekä Reference System 1967.

3.8 Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä

Ellipsoidisen painovoimakentän pallofunktiokehitelmä sisältää toisen asteen harmonisen li-säksi myös korkeammat harmoniset. Jos kirjoitetaan, kuten on tapana, potentiaali maapallonulkopuolella seuraavaan muotoon (Heiskanen and Moritz (1967) sektio 2-39, myös 2.18):

V =GM

r

(1�

1Xn=2

�a

r

�n nXm=0

Pnm(sin�) [Jnm cosm�+Knm sinm�]

)

voidaan myös normaaligravitaatiopotentiaali (kutsutaan sitä ) kirjoitaa muotoon (käyttä-mällä vaihteeksi täydellisesti normalisoitua muotoa):

=GM

r

"1�

1Xn=1

J2n

�a

r

�2nP 2n (sin�)

#;

missä on vain parillisia kertoimia J2n, koska normaalikenttä on tunnetusti symmetrinen ekva-toriaalitason nähden.

GRS80:n normaaligravitaatiopotentiaalin kertoimet ovat:

J2 = J20 = 484; 16685 � 10�6;J4 = �0; 79030406 � 10�6;J6 = +0; 00168725 � 10�6:

Korkeampia termejä ei yleensä tarvita. Kirjallisuudessa löytyy myös ei-normalisoitu J2 =

J2p5 = 1082; 63 � 10�6, yleisesti Jn = Jn

p2n+ 1:

(Huomaa että ellipsoidisten harmonisten kehitelmässä vain nolla- ja kakkoskerroin eroaa nollasta!

Tämä on pääsyy miksi näitä funktioita käytetään ylipäänsä.)

Ellipsoidimallin sijasta voidaan käyttää normaalipainovoimapotentiaalikaavana myös pallo-funktiokehitelmän ensimmäistä pari, kolme termiä. Silloin saadaan (keskipakoispotentiaaliotetaan mukaan):


U =Y0r+Y2(�; �)

r3+

1

2!2(X2 + Y 2)

("Brunsin sferoidi"), tai

U =Y0r+Y2(�; �)

r3+Y4(�; �)

r5+

1

2!2(X2 + Y 2)

("Helmertin sferoidi").

Nämä kaavat ovat helppoa laskea, mutta niiden ekvipotentiaalipinnat (tasopinnat) eivätole aivan tarkasti pyörähdysellipsoideja. Ne ovat oikeastaan hyvinkin monimutkaisia pin-toja (Heiskanen and Moritz (1967, 2-12))! Ottamalla mukaan pari seuraavaa termiä (Y6; Y8)

saadaan jo käytännössä hyvinkin tarkka ellipsoidisen painovoimakentän approksimaatio. Geo-metrisessa geodesiassa käytetään aina vertausellipsoidi, joten kannattaa tehdä se myös fysi-kaalisessa geodesiassa.

3.9 Häiriöpotentiaali

Jos kirjoitetaan painovoimapotentiaali

W = V +�;

missä � on keskipakoisvoiman potentiaali (ks. yllä), ja normaalipotentiaali

U = +�;

erotus on

T =W � U = V �;

häiriöpotentiaali.

Sekä V että voidaan kehittää pallofunktiokehitelmäksi; Jos kirjoitetaan painovoimapoten-tiaali

W = V +� =

= �+GM

r

(1�

1Xn=2

�a

r

�n nXm=0

Pnm (sin�) [Jnm cosm�+Knm sinm�]

);

ja normaalipotentiaali

U = �+GM

r

8<:1�1X

n=2;parillinen

�a

r

�nJ�nPn(sin�)

9=; ;saadaan vähentämällä häiriöpotentiaalille:

3.9. Häiriöpotentiaali 55

T =W � U =

= �GMr

( 1Xn=2

�a

r

�n nXm=0

Pnm (sin�) [�Jnm cosm�+ �Knm sinm�]

);

missä

�Jn0 = Jn0 � J�n jos n parillinen, ja

�Jnm = Jnm; �Knm = Knm muuten.

Ylläoleva kaava häiriöpotentiaalille T lyhennetään seuraavasti (Heiskanen and Moritz (1967)2-152):

T (�; �; r) =1Xn=0

�a

r

�n+1Tn (�; �) ; (3.4)

jossa jokaisella termillä on sama dimensio kuin T itse. a-säteisen �referenssipallon� pinnalla2:

T =1Xn=0

Tn;

josta nähdään, että termit Tn (�; �) ovat todella tietyn asteluvun n osittaispotentiaaleja

vertaustasolla.

Harjoitustehtäviä

3.9.1 Rappin kaavan ja ellipsoidisen kaavan ekvivalenssin osoittaminen,

(2.17, 3.1), jos Maan litistyneisyys! 0. Voit olettaa että (Heiskanen and Moritz (1967) kaava(1-112))

limE!0

Qnm

�i uE

�Qnm

�i bE

� =�R

r

�n+1:

3.9.2 Somigliana-Pizettin kaava

1. Suorita kaavan 3.2 johtamisen viimeinen askel.

2. Annettuna painovoima päiväntasaajalla a ja navoilla b. Mikä on painovoima geodeet-tisella leveysasteella ' = 45�?

3. Ja mikä on painovoima redukoidulla leveysasteella � = 45�?

4. Annettuna pitkä akselipuolikas a ja lyhyt akselipuolikas b, mitä on saman paikan eri le-veysasteiden (geodeettinen ', geosentrinen �, ja redukoitu �) erotukset maksimissään?Saat lähteä siitä, että maksimi tapahtuu latituudeilla �45�:

5. Laske yllä mainituille suureille numeeriset arvot GRS80 tapauksessa.

2Aikaisemmin tälle vertaussäteelle on käytetty (pallo-approksimaatiossa) myös kirjoitustapa R.


3.9.3 Painovoimagradientista

Yllä huomautettiin että painovoiman pystygradientti ilmassa on

@g

@H= �0; 3mGal=m:

1. Paljonko tämä on Eötvös-yksiköissä?

2. Jos painovoiman pystygradientti on �0; 3mGal=m, ja saa olettaa että painovoimapoten-tiaalin W ekvipotentiaalipinnan kaarevuussäteet K1;K2 ovat yhtäsuureita, paljonko nesitten ovat? Voit jättää keskipakoisvoiman potentiaali huomioimatta.

3. Paljonko olisi (suuruusluokaltaan, prosentteina) keskipakoispotentiaalin osuus edellämainittuun tulokseen?

3.9.4 Keskipakoisvoimasta

Paljonko on päiväntasaajalla maan pyörähdysliikkeen aiheuttama keskipakoisvoima? Paljon-ko se on prosentteina itse painovoimasta? (käytä GRS80:n arvot).

3.9.5 Luotiviivapoikkeamat geoidimäärityksessä

1. Voisitko kuvan (4.1) perusteella ehdottaa keino geoidin määrittämiseksi alueelle, josyhden pisteen geoidikorkeus N0 on annettu?

2. Jos luotiviivapoikkeamassa on yhden kaarisekunnin systemaattinen virhe, paljonko voisen aiheuttama geoidin virhe olla 1000 km kokoisessa maassa?

Luku 4Painovoimakentän anomaaliset suureet

4.1 Häiriöpotentiaali, geoidikorkeus, luotiviivapoikkeamat

Ensimmäinen anomaalinen suure, joka jo yllä käsiteltiin, on ero todellisen painovoimapoten-tiaalin W ja normaali(painovoima)potentiaalin U välillä:

T =W � U:

Kaikki muut ns. anomaaliset suureet ovat tämän häiriöpotentiaalin erilaisia funktioita. Tä-hän kuuluu geoidin korkeus N ja luotiviivan poikkeamat �; �. Ne saadaan yleisesti vähentä-mällä toisistaan

1. luonnolliset, Maan oikeaan painovoimakenttään liittyvät suureet ja

2. vastaavat, Maan vertausellipsoidin normaalipainovoimakenttään liittyvät suureet.

Esimerkiksi luotiviivapoikkeamat :

� = �� ';

� = (�� ) cos';jossa (�;�) on tähtitieteellinen leveys- ja pituusaste, eli paikallisen luotiviivan suunta, ja('; �) on vastaavasti vertausellipsoidin normaalin suunta. Ks. kuva 4.1.

Geoidin korkeus eli geoidi-undulaatio on:

N = H � h;

jossa H on ortometrinen korkeus (keskimerenpinnasta) ja h on korkeus vertausellipsoidista.

Luotiviivapoikkeamat ovat Suomessa luokkaa muutama kaarisekunti (�), geoidi-undulaatiot15-30 m (maailmalla -100...+100 m). Ainakin merenpinnan tasolla luotiviivapoikkeamat ovatgeoidin korkeuksien vaakagradientteja. Ks. kuva 4.1.

Vertausellipsoidille, esim. GRS80-ellipsoidille, on olemassa oma, matemaattisesti eksakti standardi-eli normaalipainovoimakenttä, jonka eräs tasopinta kyseinen vertausellipsoidi on. Tämänkentän avulla voimme jokaiselle painovoimakentän suurille laskea vastaava normaalisuure, javähentämällä ne toisistaan saadaan taas vastaava anomaalinen potentiaali- tai painovoima-suure.

58 Luku 4. Painovoimakentän anomaaliset suureet

Geoidin

korkeus N

Luotiviiva-poikkeama

Topogra�a

Geoidi

Vertausellipsoidi

Kuva 4.1 � Geoidi-undulaatiot ja luotiviivapoikkeamat

Korkeuksille vertausellipsoidin ylläpuolella löytyy analoginen kaava kuin ortometrisille kor-keuksille:

hQ = �ˆ UQ

U0

1

(U 0)dU 0:

Pisteen P geoidikorkeus on nyt

NP = hP �HP =

ˆ WP

W0

1

gdW �

ˆ UP

U0

1

dU

=

ˆ HP

0

� g

dH �ˆ UP

WP

1

dU +

ˆ U0

W0

1

dU; (4.1)

käyttämällä apukaava

ˆ1

gdW �

ˆ1

dU =

ˆ � gg

dz:

Kaavassa 4.1 viimeinen termi häviää jos oletetaan1 U0 =W0. Jos valitaan piste P siten, ettäse on keskimerenpinnan (korkeussysteemin nollan) tasolla, seuraa että myös ensimmäinentermi haviää (se on kuitenkin aina pieni, paitsi vuoristossa). Siis

Np = �ˆ UP

WP

1

dU � 1

0(WP � UP ) = T

0: (4.2)

mihin olemme sijoittaneet T = W � U , häiriöpotentiaali. Tämä kaava on kuuluisa Brunsinkaava (Heiskanen and Moritz (1967) kaava 2-144).

Tilanteen vielä paremmin kuvittamiseksi kuva 4.2. Tässä kuvassa gradienttivektorit g =��!gradW ja �! =

��!gradU ovat pituuksiltaan dW=dH ja dU=dH, mistä seuraa, kaavan T = W � U

kanssa, että �vastaavien� pintojen WP = UP välinen etäisyys on T= .

1Tämä ei ole itsestään selvä! Paikallisessa korkeusdatumissa nollapisteen potentiaali voisi hyvinkin poiketa

paria metria vastaavaa globaalisen vertausellipsoidin normaalipotentiaalista.

4.2. Painovoimahäiriöt 59

Geoidi

grad Ugrad W

Ellipsoidi

Kuva 4.2 � Painovoimakentän (W ) ja normaalipainovoimakentän (U) ekvi-

potentiaalipinnat

4.2 Painovoimahäiriöt

Todellisen painovoiman ja normaalipainovoiman erotus kutsutaan painovoimahäiriöksi . Kaa-va:

�g = � @W

@r� @U

@r

!= �@T

@r:

Kuten muut painovoimakentän suureet, voidaan myös häiriöpotentiaali (kaava 3.4) kehittääseuraavasti eri pallofunktioiden asteluvun osiin, ja di�erentioimalla r:n suhteen saadaan:

�g = �@T@r

=1

r

1Xn=0

(n+ 1)�R

r

�n+1Tn; (4.3)

eli Maan pinnalla (r = R):

�g =1

R

1Xn=0

(n+ 1)Tn :

Tämä on painovoimahäiriön spektraaliesitys maan pinnalla (tarkemmin, pallon pinnalla jon-ka säde on R. Keskisäteen R arvoksi voi ottaa maan ekvatoriaalisäde a).

Painovoimahäiriöitä voidaan havaita vain, jos meillä on keino millä mitata, pisteen P pai-novoimakiihtyvyyden gP lisäksi, myös P :n koordinaatit avaruudessa, maan keskipisteeseennähden. Nykysin tämä on jopa helppoa GPS:n avulla; perinteisesti se oli kuitenkaan mah-dotonta. Siksi painovoimahäiriöitä käytetään vähän. Käytetään mieluummin painovoima-anomalioita , josta lisää seuraavassa osassa.


Ellipsoidi

(geoidi)Keskimerenpinta

Telluroidi

Topogra�a

P = mittauspiste

�

N

Q

Kuva 4.3 � Vertausellipsoidi, keskimerenpinta (geoidi) ja painovoimamittaus

4.3 Painovoima-anomaliat

Normaalipainovoima lasketaan geodeettisten koordinaattien (x; y; z), tai ('; �; h), funktiona.Kuitenkin perinteisessä gravimetria-kenttätyössä ei ole käytettävissä geodeettiset koordinaa-tit (kuitenkin nykyisin se olisi mahdollista GPS-laitteen avulla). Käytettävissä on vain kor-keus H merenpinnan (geoidin) yläpuolella, saatuna vaikkapa valtakunnallisen vaaitusverkonkautta � tai pahimmassa tapauksessa barometrisesti.

Tämä merkitsee että, vaikka todellinen painovoima g mitataan pisteessä P jonka korkeusmeren pinnasta on HP , normaalipainovoima lasketaan toisessa pisteessä Q, jonka korkeusvertausellipsoidista on hQ = HP . Ks. Kuva 4.3.

Toisin sanoen, pisteen P mitattu korkeus merenpinnasta sijoitetaan raa'asti normaalipaino-voimakaavaan, joka kuitenkin odottaa korkeutta vertausellipsoidista ! Tämä erikoinen seikkapainovoima-anomalioiden määritelmässä voidaan kutsua �vapaan reunaan reuna-arvotehtäväksi�(free boundary value problem).

Tämän mukaan lasketaan painovoima-anomaliat seuraavasti:

�g = gp � Q = (gP � P ) + ( P � Q) =

= �@ (WP � UP )@H

+ (hP � hQ) @ @H

=

= �@TP@H

+ (hP �HP )@

@H= � @T

@H+T

@

@H;

käyttämällä melkein kaikki ylläolevat kaavat.

Viimeinen kaava on tutun näköinen: se on kolmannen reuna-arvotehtävän reuna-ehto (Heiska-nen and Moritz (1967) Section 1-17). Se antaa mahdollisuuden ratkaistaa T ulkoavaruudessajos �g on annettu kaikialla maan pinnalla.

4.4. Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä 61

Jos oletetaan, että Maan normaalipainovoimakenttä on pallosymmetrinen, voidaan approk-simoida (harjoitus: Näytä!):

�g = �@T@r� 2

rT; (4.4)

missä r = R+H on etäisyyys Maapallon keskipisteestä.

Sijoittamalla tähän �g:n kaava, ja r = R, saadaan Maapallon pinnalla:

�g = �g � 2

RT: (4.5)

Tästä saadaan suoraan käyttämällä ylläolevia spektraaliesityksiä T :lle ja �g:lle:

�g =1

R

1Xn=0

((n+ 1)� 2)Tn =1

R

1Xn=2

(n� 1)Tn:

(Tässä on oletettu että T0; häiriöpotentiaalin keskiarvo koko maapallon yli, on nolla. Ilmei-seimmin myös T1 voidaan jättää huomioimatta.) Joskus valitaan seuraava esitystapa:

�g =1Xn=2

�gn;

jossa

�gn =n� 1

RTn: (4.6)

Tästä näkyy, että painovoima-anomaliat eivät voi sisältää n = 1 komponentteja. Kannattaaaina valita koordinaatiston origo maan massakeskipisteessä, muuta jos se ei ole, ainakaanpainovoima-anomaliat eivät muutu.

Kaava (4.6) pätee vain Maapallon pinnalla, jonka säde on R. Maapallon ulkopuolella saadaan,käyttämällä 4.3 ja 4.4, vastaava kaava:

�g =1

r

1Xn=2

[(n+ 1)� 2]�R

r

�n+1Tn =

1

r

1Xn=2

(n� 1)�R

r

�n+1Tn: (4.7)

4.4 Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä

Kuten edellisessä osassa selitettiin, on painovoimamittaus hieman monimutkaisempi kuin se,että mitataan vain suure @W=@r. Tämä on siksi, että vaikka mitataan painovoiman säteisde-rivaatta, se tehdään paikalla jota ei tarkasti tunneta. Vaikka tiedettäisiinkin mittauspaikankorkeus merenpinnan ylläpuolella, se ei vielä anna mittauspisteen sijaintia avaruudessa, jokariippuu tämän korkeuden lisäksi mm. myös merenpinnan eli geoidin � geopotentiaalikentän

tasopinnan � paikasta avaruudessa, nimenomaan sen korkeudesta vertausellipsoidin ylä- taialapuolella.

Näin päädytään kolmanteen reuna-arvotehtävään. Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä

on määrittää kappaleen ulkopuolinen potentiaali V , jos on annettu lineaariyhdistelma


aV + b@V

@n;

missä a; b sopivat vakiot. Muuttaja n on tässä Maapallon normaali, käytännössä sama kuinr tai h.

Fysikaalisessa geodesiassa on annettu seuraava lineaariyhdistelmä (painovoima-anomalia, kaa-va 4.5):

�g = �@T@n� 2

RT: (4.8)

Kaavaa eli reunaehtoa (4.8) kutsutaan nimellä fundamental equation of physical geodesy .

Yllä saatiin jo kaavat (2.10) ja (2.12), jotka pätevät yhtä hyvin T :hen kuin yleiseen V :hen:

@T

@n= �

1Xn=0

n+ 1

r

�R

r

�n+1Tn (�; �) ;

T =1Xn=0

�R

r

�n+1Tn (�; �) :

Näitä yhdistämällä saadaan

�g = �1Xn=0

�n+ 1

r� 2

R

� �R

r

�n+1Tn (�; �) ;

eli maan pinnalla (R = r):

�g = �1Xn=0

n� 1

RTn (�; �) �

1Xn=0

�gn (�; �) ;

määrittelemällä suure �gn = n�1RTn (�; �) loogisella tavalla. Muista, että funktiot �gn (�; �)

saadaan kaavan (2.16) avulla kun �g (�; �) on tiedossa kaikkialla Maapallolla.

Havaitse myös että termi n = 1 häviää: �g1 = 0. Oletamme myös �g0 = T0=R = 0, eli todelli-nen geopotentiaali, ja näin Maapallon kokonaismassa GM , on keskimäärin sama kuin normaa-lipotentiaali ja sen olettama kokonaismassa. Oletus on oikeutettu koska GM on satelliitienavulla hyvin tarkasti määritettävissä ja määritettykin, ja modernit normaalipotentiaalimallitperustuvat näihin määrityksiin.

Näin saadaan tämänkin reuna-arvotehtävän ratkaisu spektraaliesityksessä (joka siis päteekoko ulkoavaruudessa) käyttämällä integraalikaava 2.16:

T (�; �; r) = R1Xn=2

�R

r

�n+1 �gn (�; �)n� 1

=R

4�

1Xn=2

2n+ 1

n� 1

�R

r

�n+1¨�

�g (�0; �0)Pn (cos ) d�0: (4.9)

Tämä on juuri se reuna-arvotehtävä, joka syntyy jos kaikkialla maan pinnalla (tai merenpin-nalla) on annettu painovoima-anomalioita.

4.5. Telluroidikuvaus ja �kvasi-geoidi� 63

Integraalikaava, joka vastaa yllä olevaa spektraalikaavaa (4.9) tunnetaan Stokesin kaavana:

T (�; �; r) =R

4�

¨�

S ( ; r)�g (�0; �0) d�0;

missä

S ( ; r) =1Xn=2

2n+ 1

n� 1

�R

r

�n+1Pn (cos ) : (4.10)

Osassa 7.1 annetaan tämän funktion suljettu kaava (jos r = R) seka gra�ikka.

4.5 Telluroidikuvaus ja �kvasi-geoidi�

Kun mitataan astronominen leveys- ja pituusaste, ja tulkitaan niitä geodeettisiksi koordinaa-teiksi, ja tulkitaan myös potentiaaliero W �W0 pisteen ellipsoidikorkeuden h mittana, suori-tetaan tavallaan kuvaus, joka lisää jokaisella pisteella P vaastaava piste Q, jonka geodeettiset(ellipsoidiset) koordinaatit ovat samat kuin pisteen P luonnolliset koordinaatit.

Tämä menettelytapa kutsutaan telluroidikuvaukseksi . Telluroidi on pinta joka seuraa Maantopogra�sen pinnan muodot, mutta on kaikkialla topogra�an alapuolella määrällä �. Tämäsuure kutsutaan korkeusanomaliaksi . (Se voi olla myös negatiivinen, missä tapauksessa tel-luroidi on topogra�an ylläpuolella.)

Telluroidikuvaus on tärkeä apuväline Molodenskiin painovoimakenttäteoriassa. Se on kui-tenkin aika abstrakti käsite. Voidaan sanoa, että telluroidi on maan pinnan malli, joka saa-daan, jos lähdetään olettamukselta että

� Maan todellinen potentiaalikenttä on normaalipotentiaali; ja

� Maan keskimerenpinta, eli geoidi , korkeudenmittausten lähtötaso, yhtyy vertausellip-soidiin.

Toisin sanoen, Maan topogra�sen pinnan malli joka saadaan mikäli tulkitaan vaaitut kor-keudet korkeuksiksi vertausellipsoidista.

Käytännössä usein kutsutaan �-arvojen karttaa �kvasi-geoidiksi�. Kvasi-geoidi on yleensä lä-hellä geoidia, paitsi vuoristossa, missä poikkeamat voivat nousta yli metriin.

On kuitenkin muistettava, että korkeusanomalia � on määritelty topogra�an pinnalla, pintajoka voi olla hyvin jyrkän muotoinen. Tämä merkitsee myös, että kaikki vaihtelut topogra-�an korkeudessa heijastuvat myös �kvasi-geoidin� vaihteluiksi, sillä tavalla, että kvasigeoi-di korreloituu vahvasti topogra�an pienten yksityiskohtien kanssa. Ei siis voida sanoa ettäkvasi-geoidin muoto kuvaa vain Maan potentiaalikentän muotoa. Siinä sotketaan potentiaa-livaihtelut ja korkeusvaihtelut yhdeksi sopaksi.

Siksi kvasi-geoidin käsite on onnettomasti valittu kompromissi, myönnytys �vertauspinta�-ajattelulle, joka on toimiva vain klassisen geoidi-käsitteen puitteissa. Paras pitäytyä � Mo-

lodenskii-teorian puitteissa � kasitteeseen korkeusanomalia , joka on kolmiulotteinen funk-tio

� (X;Y; Z) = � ('; �; h) :


4.6 Ilma-anomaliat

Jos mitataan painovoima g pisteessä P , sen korkeus �merenpinnan yläpuolella� on H, ja senlatitudi �, voidaan laskea painovoima-anomalia seuraavasti:

�gP � gP � (H;�) ;

jossa (H;�) on normaalipainovoima, laskettuna korkeudella H ja latitudilla �.

(Tarkasti ottaen pitää huomioida että myös latitudi � ei yleensä ole latitudi geosentrisenvertausellipsoidin nähden, vain joko tähtitieteellinen latitudi tai latitudi jossakin kansallises-sa koordinaattijärjestelmässä, kuten Suomessa kkj. Tämän aiheuttama virhe on kuitenkinluokkaa 103 pienempi kuin H � h:n aiheuttama efekti.)

Näin määritetään ilma-anomalioita (En. free-air anomalies).

Usein ilma-anomaliat lasketaan yksinkertaisemmin. Normaalikentän painovoimakaava (3.3)antaa leveysasteelle 60�:

= 974147; 516� 0; 3084494H + :::mGal:

Siis lineaarisessa approximaatiossa (Maan pinnan lähellä) painovoima heikkenee n. 0; 3mGal

jokaista metri korkeutta kohti. Tätä arvoa on hyvä muistaa.

Likimääräinen kaava ilma-anomalioiden laskemiseksi on:

�gP = gp � 0 (') + 0; 3084 [mGal=m] H; (4.11)

jossa 0 ('), normaalipainovoima merenpinnalla, on vain leveysasteen funktio. Suomen ta-paisessa maassa kaava (4.11) on usein riittävän tarkkaa, vaikka nykyisin myös alkuperäisenkaavan 3.3 laskeminen on helppoa.

Ilma-anomalioita käytetään laajasti. Yleensä kun puhutaan painovoima-anomalioista, tar-koitetaan juuri ilma-anomalioita. Ne kuvaavat Maapallon ulkopuolista painovoimakenttää,vuorineen laaksoineen kaikkineen.


4.7.1 Tehtävä: Painovoima-anomalioiden spektri

Käytä kaava (4.6). Jos oletetaan että painovoima-anomalioiden spektraalikomponenttien �gnkeskimääräinen koko

k�gnk � 1

4�

¨�

�gn (�; �) d�

ei riipu valitusta asteluvusta n; miten sitten kTnkriippuu n:stä?Eli: mitkä painovoimakentän asteluvut ovat suhteessa vahvimmin edustettuna häiriöpotenti-aalissa, ja mitkä asteluvut painovoima-anomalioissa?


4.7.2 Tehtävä: Painovoimakentän �koko�

1. Jos painovoima maan päällä on 9,8m=s2, millä korkeudella painovoima häviää yllä maini-tun painovoiman pystygradientin �0,3mGal=m mukaan? Kuinka fysikaalisesti realististatämä on?

4.7.3 Tehtävä: Johda yllä annettua kaavaa:

Kaava (4.5).

Luku 5Geofysikaaliset reduktiot

5.1 Yleistä

Näimme, että integraalikaavat, kuten Greenin kolmas kaava (1.18), tarjoavat mahdollisuu-den laskea Maan koko ulkopuolinen potentiaalikenttä (sekä kaikki potentiaalista laskettavatsuureet kuten painovoimakiihtyvyys itse jne.) havainto-arvoista (tässä tapauksessa suureis-ta V ja @V=@n) vain reunapinnalla. Green III on vain yksi esimerkki monesta: Jokainenintegraalilause on erään reuna-arvotehtävän ratkaisu.

Reunapinnan valinnan suhteen on olemassa kolme vaihtoehtoa:

1. Valitaan Maan topogra�nen pinta.

2. Valitaan keskimerenpinta, tarkemmin, keskimerenpinnan lähellä oleva ekvipotentiaali-pinta, geoidi .

3. Valitaan vertausellipsoidi.

� Vaihtoehto 1 on kehittänyt etenkin Molodenskiin Molodenskii et al. (1962) koulu-kunta Neuvostoliitossa. Menetelmän etuna on, että painovoimareduktiota ei tarvita,koska kaikki merkittävät massat ovat jo reunapinnan sisällä. Sen haittana on, että to-pogra�an usein monimutkainen muoto on otettava huomioon, kun reuna-arvotehtävääformuloidaan ja ratkaistaan.

� Vaihtoehto 2 on klassinen geoidi- tai geopotentiaalimääritys. Tässä tapauksessa geofy-sikaaliset reduktiot ovat tarpeen. Menetelmän mutkana on, että saatu potentiaali- taigeoidiratkaisu ei ole alkuperäisen massajakauman potentiaali/geoidi, vain redukoidun

massajakauman. Kutsutaan tätä pintaa ko-geoidiksi . Tarvitaan �palautusaskel�, jossaselvitetään ja peruutetaan tämän reduktiovaiheen vaikutus geopotentiaaliin/geoidiin.

Kirjallisuudessa tätä menetelmää kutsutaan myös Remove-Restore menetelmäksi.

� Vaihtoehto 3 on käytetty harvoin, koska painovoimamittaukset ei ole ollut perinteisestimahdollista tehdä absoluuttisesti (geosentrisesti tai vertausellipsoidin suhteen) tunne-tussa paikassa. Nykyisin se onnistuisi GPS:n avulla; esim. Etelämantereella ja Grönlan-nilla menetelmä on jo käytetty.

68 Luku 5. Geofysikaaliset reduktiot

x

z

d

s

`

�

dm

y

H

P

Kuva 5.1 � Bouguer-laatan vetovoima

5.2 Bouguer-anomaliat

Ilma-anomaliat riippuvat topogra�asta. Tämä on selvä, koska itse painovoima sisältää topo-graa�sten massojen vetovoimavaikutus. Ilma-anomaliakartassa näkyy samat pienet yksityis-kohdat kun topogra�assa. Yksi tapa poistaa topogra�an vaikutus on käyttää ns. Bouguer-reduktio.

Lasketaan homogeenisen laatan vaikutus painovoimaan. Oletetaan että laatta on äärettömänkokoinen; paksuus d, ainetiheys � ja pisteen P korkeus laatan alapinnasta H. Ks. kuva 5.1.

Vetovoima pisteessä P (joka symmetriasyystä osoittaa suoraan alaspäin) saadaan integroi-malla1:

a � kak = G

˚cos�

`2�dV =

= G�

ˆ d

0

ˆ 2�

0

ˆ �=2

0

cos�

`2� `

cos�d� � sd� � dz =

= 2�G�

ˆ d

0

ˆ �=2

0

s

`d�dz = 2�G�

ˆ d

0

ˆ �=2

0

sin� d�dz:

Tässä integraali

ˆ �=2

0

sin� d� = [� cos�]�=20 = 1;

ja lopputulos on

a = 2�G�d: (5.1)

1Tässä on käytetty cos�ds = `d� ) ds = `cos�

d�, kuten on oikea kun muunnetaan (z; s; �) koordinaateista

(z; �; �) koordinaateiksi

5.2. Bouguer-anomaliat 69

Laskentapiste P

Topogra�a

Bouguer-laattaI

II

I

d = H

Kuva 5.2 � Bouguer-laatta topogra�an approksimaationa

Tämä on Bouguer-laatan vetovoiman kaava. Sivutuloksena voimme vielä mainita, että ym-pyrän muotoisen levyn vetovoima, säde r, yllä olevan mukaan on

ˆ �0

0

sin� d� = [� cos�]�00 = 1� cos�0;

ja koko integraali

2�G�

ˆ d

0

"1� H � z

` (z)

#dz = 2�G�

d+

H � d` (H � d) �

H

` (H)

!;

missä apusuure ` (z) � pr2 + z2.

Helposti nähdään, että limiitissä r ! 1 (ja siis ` ! 1) tämä on identtinen kaavan (5.1)kanssa.

Bouguer-anomaliat lasketaan merenpinnan eli geoidin yläpuolella olevien maan kuorenmassojen vetovoiman poistamiseksi. Todellinen topogra�a approksimoidaan

Bouguer-laatalla, ks Kuva 5.2. Ero Bouguer-laatan vetovoiman ja todellisen topogra�anvetovoiman välillä kutsutaan maastokorjaukseksi (alueet I ja II).

Laskenta tapahtuu seuraavalla tavalla:

�gB = �gFA � 2�G�H = �gFA � 0; 1119H; (5.2)

missä oletetaan Maan kuoren keskitiheydeksi � = 2670 kg=m³. Sijoittamalla tähän kaava (4.11)saadaan

�gB = gP � 0 (') + [0; 3084� 0; 1119] H = gP � 0 (') + 0; 1965H: (5.3)

Suureet �gB kutsutaan (yksinkertaisiksi) Bouguer-anomalioiksi .

Bouguer-anomaliat ovat, toisin kuin ilma-anomaliat jotka liikkuvat nollan molemmin puolin,etenkin vuoristossa vahvasti negatiivisia. Esim. jos vuoriston keskikorkeus on H = 1000m;


Ilma-anomalia

Bouguer-anomalia

Topogra�a

Geoidi

Kuva 5.3 � Eri anomalioiden käyttäytyminen vuoristossa

sisältävät Bouguer-anomaliat tasta johtuen �0; 1119 � 1000mGal = �112mGal systematiik-kaa; noin �100mGal jokaista korkeuskilometriä kohti.

Bouguer-anomalioiden etuna on niiden väihäisempi vaihtelu paikan kanssa. Siksi ne soveltu-vat etenkin painovoima-arvojen interpolointiin ja prediktioon , tilanteissa missä käytettävis-sä oleva gravimetrinen aineisto on harva. Kuitenkin topogra�an korkeudet on silloin oltavatiedossa.

5.3 Maastoefektit ja maastokorjaus

Yksinkertaisella Bouguer-korjauksella ei painovoima-anomalioista saa poistetuksi tarkasti ko-ko topogra�an vetovoimavaikutus. Jos katsotaan ylla oleva kuvaa, näkyy, että tapahtuu kah-denlaiset virheet :

� Alueiden I vetovoima lasketaan mukaan, vaikka siellä ei ole ainetta.

� Alueiden II vetovoima jatetään huomioimatta

Molemmat virheet toimivat samaan suuntaan ! Koska alueet I ovat laskentapisteen P ala-puolella, niiden vetovoima toimii alaspäin. Ja koska alueet II ovat laskentapisteen yläpuolel-la, niiden vetovoima � joka yksinkertaisessa Bouguer-reduktiossa ei oteta huomioon � toimisiylöspäin, ja tehty virhe on samansuuntainen kuin edellisessä tapauksessa.

Maastokorjaus on aina positiivinen!

Kirjoitetaan:

�g0B = �gB + TC;

missä TC � �terrain correction�, on positiivinen luku. �g0B kutsutaan maastokorjatuksi

Bouguer-anomaliaksi.

5.3. Maastoefektit ja maastokorjaus 71

PTopogra�a

Geoidi

II

I

Kuva 5.4 � Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä

Maastokorjausten laskemiseen käytetään yleensä numeeriset integrointimenetelmät, joistaenemmän myöhemmin. Kuvassa näytetään prisma-menetelmä , ja samalla miten molemmatprismat, I ja II, johtavat positiiviseen korjaukseen, koska prisma I lisätään ja prisma II poiste-taan laskennallisesti maastokorjausta soveltaessa. Tarvitaan digitaalinen maastomalli, DTM,joka on oltava erityisesti laskentapisteen ympäri erittäin tiheä: Kokemuksen mukaan 500 mon maksimipisteväli Suomen kaltaisessa maastossa, vuoristoissa tarvitaan jopa 50 m. Maas-tokorjauksen systemaattinen luonne aiheuttaa se, että liian harvan digitaalisen maastomallinkäyttö voi helposti aiheuttaa vakavaakin systematiikkaa lasketuissa painovoima-anomalioidenkeskiarvoissa.

Maastokorjauksen laskentaan prismamenetelmällä käytetään seuraava kaava (oletuksina maan-kuoren vakiotiheys �, litteä maa) suorakulmaisissa karttakoordinaateissa x; y:

TC (x; y) =1

2G�

ˆ +D

�D

ˆ +D

�D(h (x0; y0)� h (x; y))2 `�3dx0dy0;

jossa

` =

s(x0 � x)2 + (y0 � y)2 +

�1

2(h (x0; y0)� h (x; y))

�2on etäisyys laskentapisteen (x; y; h (x; y)) ja prisman keskipisteen

�x; y; 1

2(h (x; y) + h (x0; y0))

�välillä. Tietenkin tämä on vain approksimaatio, mutta se toimii riittävän tarkasti maastossa,jossa kaltevuudet eivät yleensä ylity 45�. Ylläolevassa integraalissa raja-arvo D on useimmi-ten kymmeniä tai satoja kilometrejä. Viime tapauksessa Maan kaarevuus alkaisi jo vaikuttaa,mikä kaava ei ota huomioon.

Maastokorjauksen arvot vaihtelevat milligalin murto-osasta (Etelä-Suomessa) satoihin milli-galleihin (korkeassa vuoristossa). Suomen käsivarrella maastokorjaukset voivat olla kymmeniämilligalleja.

Kuvassa 5.5 kuvataan Bouguer-anomalian laskennan vaiheet painovoimahavainnosta maasto-korjauksen, Bouguer-laattakorjauksen ja ilmareduktion kautta.


meren-pintaan

reduktioIlma-

Merenpinnannormaalipainovoima:

� 0(')

Bouguer-laatta-korjaus

Maasto-korjaus

Kuva 5.5 � Bouguer-anomalian laskennan vaiheet

5.3.1 Esimerkki: Maastokorjauksen laskenta erikoistapauksessa

Annettuna seuraava maastomuoto:

Q

Q0Merenpinta

P

Tässä korkeuserot PQ0 = 300m ja QQ0 = 200m. Kallion tiheys on standarditiheys, 2670 kg=m³:

Pystysuora kallioseinämä P :n ja Q:n kohdalla on myös kartalla suora ja ulottuu äärettömyy-teen molempiin suuntiin.

Kysymykset:

1. Laske pisteessä P maastokorjaus (vihje: käytä Bouguer-laatan vetovoimakaava). Etu-merkki?

2. Laske pisteessä Q maastokorjaus. Etumerkki?

3. Jos pisteessä P on annettu, että ilma-anomalia on 50 mGal, paljonko on sitten pisteenBouguer-anomalia?

4. Jos pisteessä Q on annettu että Bouguer-anomalia on 22 mGal, paljonko on sittenpisteen ilma-anomalia?

Vastaukset:

1. Pisteen P maastokorjaus on painovoiman muutos, kun täytetään maasto pisteen va-semmalla puolella 300 metriin saakka. Tämä merkitsee puolinaisen Bouguer-laatan

lisäämistä P :n tason alapuolelle. Efekti (projisoituna vertikaalisuuntaan) on

TC =1

2� 2�G� �H =

1

2� 0; 1119mGal=m � 100m = 5; 595mGal:

5.4. Helmert-kondensaatio [vaikea] 73

gTopogra�a

Ekvipotentiaalipinta

Kondensaatiokerros

g0

Kuva 5.6 � Helmert-kondensaatio ja sen aiheuttamat muutokset painovoima-

kentässä

2. Pisteen Q maastokorjaus on painovoiman muutos, jos otetaan pois pisteen oikealla puo-lella oleva, 100 m paksua puolinainen Bouguer-laatta. Sen pystysuuntainen painovoi-mavaikutus on, kuten yllä laskettu,

TC = 5; 595mGal;

ja, koska pisteen Q tason yläpuolella oleva laata otetaan pois, on TC:n etumerkki taaspositiivinen.

3.

�gFA (P ) 50; 000mGalTC +5; 595mGal

Bouguer-laatanpoisto, 300 m

�33; 570mGal

�gB (P ) 22; 025mGal

+TC �gB-plate�gFA

4.

�gB (Q) 22; 000mGalBouguer-laatanlisäys, 200 m

+23; 800mGal

TC:n poisto �5; 595mGal�gFA (Q) 40; 205mGal

�TC �gFA�gB +plate

5.4 Helmert-kondensaatio [vaikea ]

Usein käytetty, Helmertin ehdottama keino poistaa geoidin ulkopuolinen massa on kon-

densaatio: siirretään kaikki mannermassat suoraan alaspäin keskimerenpintaan yksinkertai-seksi massatiheyskerokseksi � = H� (pallon muotoisella maapallolla, säde R, tarkemmin� = H�

�1 + H

R

�), missä H on topogra�an korkeus merenpinnasta ja � sen keskimääräinen

tiheys.


Helmert-menetelmän etuna Bouguer-reduktion verrattuna on, että massaa ei poisteta. Bouguer-reduktiohan on topograa�sten massojen laskennallinen poisto suurella mittakaavalla. Siksi,toisin kuin Bouguer-reduktiassa, Helmert-kondensaatiossa painovoima-anomaliat eivät muu-tu systemaatisesti.

Seuraavassa johdetaan sarjakehitelmät pallogeometriassa, jotka kuvaavat topogra�an sekäulkoista että sisäistä potentiaalia itse topogra�an H (�; �) ja sen eri potenssien �asteosuuk-sien� funktioina. Tässä laajahkosti esitetty johtamistapa käytetään Maan painovoimakentänteoriassa paljon topogra�an painovoimavaikutuksen mallintamiseksi. Teoriassa suppenemis-kysymykset ovat vaikeita, vaikka emme tässä kiinnitä näihin erityistä huomiota.

5.4.1 Topogra�an sisäinen potentiaali

Helmert-kondensaation kaavan johtamiseksi lasketaan ensin topogra�an, eli merenpinnan jamaaston pinnan välisten massojen, sisäisen potentiaalin kaava:

Tt (r; �; �) = G

˚top

� (r0; �0; �0)` (r; r0; )

dV;

jossa on kulmaetäisyys laskentapisteen (r; �; �) ja datapisteen (r0; �0; �0) välillä. Avaruuse-täisyys ` näiden pisteiden välillä taas kirjoitetaan käyttäen sisäinen kehitelmä (kaava (7.2)):

1

`=

1

r

1Xn=0

�r

r0

�n+1Pn (cos ) :

Tämä kehitelmä suppenee tasaisesti jos r < r0. Sijoitetaan:

T intt (r; �; �) = G�

˚top

1

r

1Xn=0

�r

r0

�n+1Pn (cos ) dV =

= G�

¨�

ˆ R+H(�0;�0)

R

1

r

1Xn=0

�r

r0

�n+1(r0)2 dr0 Pn (cos ) d� =

= G�

¨�

264 1Xn=0n6=2

rn�� 1

n� 2(r0)�(n�2)

�+ r2 ln r0

375R+H

R

Pn (cos ) d� =

= G�

¨�

1Xn=0n6=2

rn

n� 2

hR�(n�2) � (R+H)�(n�2) + r2 ln R+H

R

iPn (cos ) d�:

Tässä kehitetään seuraava ilmaisu Taylor-kehitelmäksi:

(R+H)�(n�2) = R�(n�2)"1� (n� 2)

H

R+ (n�2)(n�1)

2

H2

R2� (n�2)(n�1)n

2�3H3

R3+ : : :

#:

Myös erikoistapaus n = 2:

r2 lnR+H

R= r2

"H

R� 1

2

H2

R2+

1

3

H3

R3� 1

4

H4

R4+ : : :

#=

=rn

R(n�2)

"H

R� n� 1

2

H2

R2+

(n� 1)n

2 � 3H3

R4� (n� 1)n(n+ 1)

2 � 3 � 4H4

R4+ : : :

#

5.4. Helmert-kondensaatio [vaikea] 75

saadaan otetuksi mukaan seuraavaan, sijoituksella saatuun ilmaisuun:

T intt (r; �; �) = G�

¨�

1Xn=0

rn

Rn�2

"H

R� n� 1

2

H2

R2+

(n� 1)n

6

H3

R3� : : :

#Pn (cos ) d� (5.4)

5.4.2 Topogra�an ulkoinen potentiaali

Samalla tavalla voimme laskea topogra�an ulkoinen potentiaali. Nyt käytetään käänteisenetäisyyden kehitelmäksi (kaava (7.2)):

1

`=

1Xn=0

1

r0

r0

r

!n+1Pn (cos ) =

1Xn=0

1

r

r0

r

!nPn (cos ) ;

joka suppenee tasaisesti jos r > r0. Sijoitus antaa

T extt = G�

˚top

1Xn=0

1

r

r0

r

!nPn (cos ) dV =

= G�

¨�

ˆ R+H(�0;�0)

R

1Xn=0

1

r

r0

r

!n(r0)2 dr0 Pn (cos ) d� =

= G�

¨�

" 1Xn=0

1

rn+11

n+ 3(r0)n+3

#R+HR

Pn (cos ) d� =

= G�

¨�

1Xn=0

1

rn+11

n+ 3

h(R+H)n+3 �Rn+3

iPn (cos ) d�:

Tässä taas Taylor-kehitelmä:

(R+H)n+3 = Rn+3

"1 + (n+ 3)

H

R+ (n+3)(n+2)

2

H2

R2+ (n+3)(n+2)(n+1)

2�3H3

R3+ : : :

#:

Sijoitus antaa

T extt = G�R2

¨�

1Xn=0

�R

r

�n+1 "HR

+n+ 2

2

H2

R2+

(n+ 2) (n+ 1)

6

H3

R3+ : : :

#Pn (cos ) d� (5.5)

Tämä on siis topogra�an ulkoinen potentiaali, tai topograa�sten massojen sisällä, ulkoisenpotentiaalin analyytinen alaspäin jatko, olettaen, että tämä on matemaattisesti mahdollista(vuoristoisen topogra�an tapauksessa yleensä ei) eikä divergoi.

5.4.3 Kondensaatiokerroksen ulkoinen potentiaali

Tätä lasketaan erikoistumalla kaava (5.5) tapaukseen H ! 0, mutta kuitenkin �!1, niin,että � = �H on äärellinen. Tässä limiitissä kaikki termit joissa H2; H3 jne. menevät nollaan.Tulos on silloin

T extc = G�R2

¨�

1Xn=0

�R

r

�n+1 HRPn (cos ) d� =

= GR

¨�

1Xn=0

�R

r

�n+1�Pn (cos ) d�:


Aikaisemmin meillä oli tarkempana funktiona pallomaisella Maan pinnalla

� = �H�1 +

H

R

�;

sijoittamalla tämä edelliseen, saadaan

T extc = G�R2

¨�

1Xn=0

�R

r

�n+1 "HR

+H2

R2

#Pn (cos ) d�: (5.6)

5.4.4 Helmert-kondensaation kokonaispotentiaali

Tämä saadaan vähentämällä (5.5) ja (5.6) toisistaan. Tulos (joka siis pätee ulkoisella ava-ruudella) on

T extHelmert = T ext

t � T extc =

= G�R2

¨�

1Xn=0

�R

r

�n+1 "nn+22� 1

oH2

R2+ (n+2)(n+1)

6

H3

R3+ : : :

#Pn (cos ) d� =

= G�

¨�

1Xn=0

�R

r

�n+1 "n2H2 + (n+2)(n+1)

6

H3

R+ : : :

#Pn (cos ) d�: (5.7)

Usein määritetään korkeuden H potenssien �asteosuudet� (vrt. kaava (2.16)), seuraavasti:

H�n =

2n+ 1

4�

¨�

H�Pn (cos ) d�;

jolloin

H� =1Xn=0

H�n:

Silloin

T extHelmert = 4�G�

1Xn=0

�R

r

�n+1 " n

2 (2n+ 1)H2n +

(n+ 2) (n+ 1)

6 (2n+ 1)

H3n

R+ : : :

#: (5.8)

Jos topogra�a on vakio, häviävät kaikki termit joille n 6= 0; yo. ilmaisussa myös ensimmäinentermi häviää, ja toinen ja seuraavat termit ovat hyvin pieniä. Eli käytännössä T ext

Helmert = 0 ku-ten oli odottettavissa. Ulkoinen kenttä tässä tapauksessa ei muutu Helmert-kondensaationseurauksena.

5.4.5 Helmert-kondensaation painovoimavaikutus

LasketaanHelmert-potentiaalista painovoima-anomaliat, mutta käyttäen vain kaavan (5.8)ensimmäinen termi:

�gHelmert =@T

@r+

2

rT =

= 2�G�1Xn=0

n

2n+ 1

"� (n+ 1)

r+

2

r

# �R

r

�n+1H2n =

= �2�G�1Xn=0

n (n� 1)

2n+ 1

1

r

�R

r

�n+1H2n:

5.5. Dipolimenetelmä 77

Nyt myös n = 1 antaa nollatuloksen, kuten odotettavissa oli kun painovoima-anomaliat eivätsisällä mitään asteluku 1 -komponentteja.

Huomaa tässä kaavassa myös n-riippuvuutta: Helmert-kondensaation painovoimavaikutus-ta dominoivat lyhyet aallonpituudet eli topogra�an paikalliset piirteet. Korkeuden neliönilmaantuminen tähän kaavaan liittyy taas maastokorjaukseen, jossa on myös maastokor-keuden neliö mukana. Kun on kyse neliöitten summaamisesta, aiheuttaa termien poisjättä-minen aina systemaattinen virhe : hyvinkin lyhyet aallonpituudet, eli korkeat n-arvot, onsummauksessa otettava mukana.

5.4.6 Helmert-kondensaation sisäinen potentiaali

Tämä suure lasketaan geoidin tasolla. Se edustaa Helmert-kondensaation epäsuoraa efektiä,eli massasiirron aikeuttamaa geoidipinnan siirtymistä avaruudessa.

T intHelmert = T int

t � T extc =

= G�R2

¨�

1Xn=0

"H

R� n� 1

2

H2

R2+

(n� 1)n

6

H3

R3� : : :

#Pn (cos ) d��

�G�R2

¨�

1Xn=0

"H

R+H2

R2

#Pn (cos ) d� =

G�

¨�

1Xn=0

"�n+ 1

2H2 +

(n� 1)n

6

H3

R� : : :

#Pn (cos ) d�:

Termi n = 0 antaa vakiomaaston H = H epäsuora efekti: käyttäen vain suluissa oleva ensim-mäinen termi:

T intHelmert;0 = �2�G�H2

;

mikä ei voida jättää huomioimatta.

5.5 Dipolimenetelmä

Voimme kuvata Helmert-kondensaation vaikutus ensimmäisessä approksimaatiossa dipoliker-roskenttänä �. Topogra�nen massa, tiheys �1 = H�, siirtyy alaspäin keskimäärin määrällä12H. efekti olisi sama jos keskimerenpinta olisi kaksinkertaisen massatiheyskerroksen

� =1

2H2� (5.9)

peitossa. Tämän kerroksen potentiaali on:

T = G

¨S

�@

@n

�1

`

�dS � GR2

¨�

�@

@R

�1

`

�d�

pallo-approksimaatiossa.


Käytetään kehitelmä Legendre-polynomeihin (7.2):

1

`=

1

R

1Xn=0

�R

r

�n+1Pn (cos )

ja di�erentioidaan R:n suhteen:

T = G

¨�

�1Xn=0

n�R

r

�n+1Pn (cos ) d�:

Sijoittamalla tähän tiheyskerroskaava (5.9) saadaan, ottamalla limiitti r # R:

T =1

4�

1Xn=0

n

¨�

(2�GH�)HPn (cos ) d� =

=1

4�

1Xn=0

n

¨ABHPn (cos ) d�:

Tässä symboli AB merkitsee sellaisen Bouguer-laatan vetovoimaa, jolla on paksuus H jatiheys �.

Kehitetään suure [ABH] pallofunktiokehitelmäksi (Heiskanen and Moritz (1967) kaava 1-71).Silloin jokainen astekomponentti on:

[ABH]n =2n+ 1

4�

¨�

[ABH]Pn (cos ) d�;

jolloin (huomaa että termi n = 0 häviää):

T =1Xn=1

n

2n+ 1[ABH]n �

1

2[ABH] ;

jos n on riittävän suuri.

Näin saadaan Helmert-kondensaation epäsuora efekti, geoidin laskennassa tämän menetel-män avulla kondensaation aiheuttama geoidipinnan muutos, joka on otettava huomioon kään-teisellä etumerkillä. Tosin sanoen Remove-Restore menetelmänä katsottuna sen Restore -vaihe:

�NHC =T

� 1

2

ABH

:

5.6 Isostasia

5.6.1 Klassisia hypoteeseja

Jo 1700- ja 1800-luvun aikana, mm. Bouguer'n työn ansiosta Etelä-Ameriikassa, sekä myösbrittigeodeettien ansiosta Intian Himalaijoissa, oltiin tietoisia siitä, että vuoristot eivät il-meisesti olleet vain kivikasoja maankuoren päällä; vuorien ympäröivä painovoimakenttä, tar-kemmin luotiviivapoikkeamat, voitiin selittää vain olettamalla, että jokaisen vuoriston alla

5.6. Isostasia 79

poikkeamatLuotiviiva-

Geoidi

�Juuri�

Vuori

Maan vaippa

Maan kuori

Kuva 5.7 � Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin

olisi kevyemmästä maankuoren kiviaineesta koostuva �juuri�. Tämän juuren syntyperä arvel-tiin olevan maan kuoren lähes hydrostaatinen käyttäytyminen geologisen ajan kuluessa. Tä-män hydrostaatisen tasapainon oletus kutsuttiin isostasia-hypoteesiksi ; myös isostaatiseksikompensaatioksi.

Silloin, toisin kuin nykyisin, ei vielä ollut mahdollista saada fysikaalisin menetelmin (seismo-logia) tarkka tai edes oikea kuva siitä, minkä muotoiset nämä vuoristojen juuret oikein olivat.Siksi kehiteltiin yksikertäistettyjä työhypoteesejä.

Vanhempia isostaatistia hypoteesejä on Pratt-Hayford hypoteesi. Sen ehdotti J.H. Pratt1800-luvun keskivaiheilla, ja Hayford kehitti laskentaan tarvittavat matemaatiset apuväli-neet. Tämän hypoteesin mukaan vuoren alla olevan �juuren� tiheys vaihtelisi vuoren korkeu-den mukaan, niin että korkeimpien vuorten alla olisi kevyin materiaali, ja raja tämän kevyänjuuriaineen ja tiheämmän Maan vaipan materiaalin välillä olisi vakiotiheydellä. Tämä malli,joka nykyisin ei enää paljon käytetä, näkyy kuvassa 5.8.

Toinen klassinen isostaatinen hypoteesi on G.B. Airyn käsialaa. Koska W.A. Heiskanenkäytti sitä laajasti ja kehitti sen matemaattista muotoa, sitä kutsutaan Airy-Heiskanen

malliksi. Tässä mallissa oletetaan että �juuren� ainetiheys on vakio, ja että isostaatista kom-pensaatiota saadaan aikaan vaihtelemalla juuren uppoamissyvyyttä Maan vaippaan.

Nykytietojen mukaan tämä vastaa paremmin siitä, mitä Maan sisällä todella tapahtuu. Tämähypoteesi näkyy kuvassa 5.9.


Kuori

Vuoristo

Meri

Kompen-saatio-syvyys

saatio-taso

Vaippa

Kompen-

Kuva 5.8 � Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi

5.6.2 Laskentakaavoja

Airyn isostasia-hypoteesi olettaa, että jokaisessa paikassa aineen pystypylvään kokonaismassaon sama. Eli, olkoon Maankuoren tiheys �c, vaipan tiheys �m, ja meriveden tiheys �w, merensyvyys d, kuoren paksuus t ja topogra�an korkeus h, meillä on

t�c + d�w � (t+ d) �m = c ) t = �d (�m � �w) + c

�m � �cmerellä, ja

t�c � (t� h) �m = c ) t =h�m � c�m � �c

Vastajuuri

Meri �w

t0Kuori

Vuoristo

Vuoriston juuri�m

�c

Vaippa

Kuva 5.9 � Airy-Heiskanen isostaatinen hypoteesi

5.6. Isostasia 81

.

t

d

r

t0r

h

t

juuri

anti-juuri

Kuva 5.10 � Isostaattisen kompensaation suureita

mantereella, missä c on sopiva vakio2. Tässä on jätetty huomioimatta Maan kaarevuus, elitässä käytetään �litteän Maan malli�.

Mantereen alla vuoriston juuren syvyys on

r = t� h =h�m � c�m � �c �

h�m � h�c�m � �c =

h�c � c�m � �c :

Samalla tavalla meren alla:

r = t+ d = �d (�m � �w) + c

�m � �c +d�m � d�c�m � �c = �d (�c � �w) + c

�m � �c :

Huomaa, että vakio c on tavallaan mielivaltainen ja ilmaistaa se tosiasia, että taso mistä las-ketaan juuren syvyys � eli, hieman epätarkasti, �kuoren keskimääräinen paksuus� � voidaanvalita mielivaltaisesti.

Hieman eri lähestymistapa: c:n sijasta käytetään �nollatopogra�an kompensaatiotaso� t0, jotalasketaan yo. kaavoista asettamalla h = d = 0:

t0 (�c � �m) = c:

Tästä saadaan mantereen alla:

r =h�c � t0 (�c � �m)

�m � �c = t0 + h�c

�m � �c ;2Dimensioltaan �paine�: Arkimedeen lain mukainen kuoren (plus meriveden) patsaan paine vähennettynä syr-

jätyn vaipan patsaan paineella.


rajapinta

Litosfääri

pohjaSubduktio

Astenosfääri

Keskiatlantin selänne LaattaliikeSyvänne

Mohorovicic-

rajapintaMeri

660 km:n

Litosfäärin

Conrad-

rajapinta

Kuori

Benio�-vyöhyke

Konvektio

Vaippa

Kuva 5.11 � Isostasian nykykäsitys

ja meren alla:

r = �d (�c � �w) + t0 (�c � �m)�m � �c = t0 � d�c � �w

�m � �c ;

jonkin verran yksainkertaisempia kaavoja, jotka on myös intuitiivisempia:

h�c + (�r) (�m � �c) = �t0;(�d) (�c � �w) + (�r) (�m � �c) = �t0:

Eli Xrajapinnat

(poikkeama� tiheyskontrasti) = vakio:

Kuitenkin eri isostaatisten hypoteesien vaikutus painovoimaan on aika lailla samanlaista;painovoimamittauksista ei voida erottaa hypoteesit toisistaan. Hypoteesin vaikutus geoidiinon vahvempaa. Tämä ilmiö ei ole tietääkseni käytetty riittävästi isostaattisten mekanismientutkimiseksi. Se olisi yksi lisämotiivi geoiditutkimukselle.

5.6.3 Isostasian nykykäsitys

Nykyisin meillä on paljon parempi käsitys Maan sisäisestä tilasta. Kuitenkin isostasian käsiteon edelleenkin voimassa. Realistisempi kuva Maan sisäisestä rakenteesta antaa kuva 5.11.

Nykytutkimuksen tärkeä kiinnostuksen kohde on Maan jäämassojen, kuten mannerjäätik-koiden, kasvamisen ja sulaamisen vaikutus Maankuoren pystyliikkeisiin. Tähän sisältyy sekä

5.7. Isostaattiset reduktiot 83

jaamassojen vaihtelun suoraa vaikutusta että aiheuttuneen valtameren vesimassojen vaih-telun vaikutusta. Ns. paleotutkimus kohdistuu jääkausisyklin vaihteluihin, kun taas myösmodernit jäätikköiden vetäytymiset, esim. Alaskassa ja Huippuvuorilla, aiheuttavat omaa,havaitettavissa olevaa alueellista Maankuoren nousua. Lisää luvussa 11.

5.7 Isostaattiset reduktiot

Sekä topogra�an että sen isostaattisen kompensaation laskennallinen poisto painovoimaken-tän mitatuista suureista kutsutaan isostaattiseksi reduktioksi . Sillä on kahdenlainen tarkoi-tus.

1. Poistamalla mahdollisimman paljon �pinnallisia� efektejä painovoimakentältä jää sellai-nen kenttä missä vain Maan syvien kerrosten vaikutus on jäljellä. Tämä kelpaa geofy-sikaaliseen tutkimukseen.

2. Nämä �pinnalliset� efektit ovat myös yleensä hyvin paikallisia: spektraalikielellä hyvinlyhytaaltoisia. Poistamalla niitä saadaan jäännöskenttä joka on paljon �sileämpi� jajota voidaan predikoida paremmin. Tämä on tärkeä etenkin alueilla missä oikeastamittausaineistosta on pulaa, kuten valtameret, aavikot, napa-alueet jne.

Esimerkiksi isostaattiset painovoima-anomaliat, ilma-anomaliat joihin on sovellettu isostaat-tinen reduktio, ovat hyvin sileitä (kuten myös Bouguer-anomaliat); niiden prediktio-ominaisuudet

ovat hyviä. Kuitenkin, toisin kuin Bouguer-anomaliat ovat isostaatiset anomaliat keskimäärinnolla. Niistä puuttuu se suuri systematiikka joka tekee Bouguer-anomaliat vahvasti negatii-viiksi etenkin vuoristo-alueilla (ks. sektio 5.2). Tämä johtuu tietysti siitä, että isostaattinenreduktio on vain massojen siirtäminen paikasta toiseen � vuoristosta saman vuoriston al-la oleviin juuriin, joiden massavajaus on melko tarkasti sama kuin korkeasti merenpinnanyläpuolella nousevan vuoriston oma massa � eikä massojen poistaminen, kuten Bouguer-reduktion tapauksessa.

Isostaattisessa reduktiolaskennassa käytetyt reduktiomenetelmät ovat samanlaisia kuin muis-sa reduktioissa ja niitä käsitellään myöhemmin: Numeerinen integraatio avaruusdomeenissa� hila-integraatio, �spherical cap�, LSC (least squares collocation, pienimmän neliösummankollokaatio) �nite elements jne. � tai spektraalidomeenissa (FFT, �fast collocation�, jne.).

Käytetty hypoteesi on mielenkiintoisempi kysymys. Perinteisesti on käytetty Pratt tai Airyhypoteesejä, Hayfordin tai Heiskasen tai Vening-Meineszin menetelmäksi kehittäminä. Uu-dempi kehityssuunta on käyttää oikeaa mittausdataa seismisestä tomogra�asta Maan sisäi-sen rakenteen mallintamiseksi. Oikean mittausdatan avulla, mikäli luotettava, pitäisi päästäparempiin tuloksiin.

5.8 �Isostaattinen geoidi� [vaikea ]

Mielenkiintoinen teoreettinen ongelma on �isostaattisen geoidin�, tarkemmin isostaattisen

reduktion ko-geoidin laskenta. Isostaattien reduktio on vain yksi monesta mahdollisesta me-


netelmästä millä saadaan geoidin ulkopuolinen massa laskennallisesti poistetuksi, sitä vartenettä sen jälkeen voitaisiin ratkaistaa reuna-arvotehtävä geoidin pinnalla.

Voidaan näyttää (Heiskanen and Moritz (1967) s. 133. . . ), että isostaattinen ko-geoidi onmannerten alla jopa 10 m geoidin alapuolella, ts. epäsuora efekti (�Restore step�) on luokkaa10 m. Valtamerella vastaavasti isostaatinen ko-geoidi on hiemän geoidin yläpuolella.

Kun geoidimäärityksessä yksi menetelmän vaatimuksena on pieni epäsuora efekti, seuraa ettäisostaatiset menetelmät eivät ole (toisin kuin Heiskanen and Moritz (1967) huomauttavat si-vulla 152) parhaita mahdollisia jos tarkoitus on laskea ulkopuolista geopotentiaalia edustavageoidi tai kvasigeoidi. Kuitenkin isostaattiset menetelmät soveltuvat hyvin maan sisäisen ra-kenteen selvittämiseksi, koska sekä topogra�a että sen aiheuttuma �painuma� maan vaippaan,isostaattinen kompensaatio, poistetaan laskennallisesti. Tutkimuksesta selviää, että maapal-lo on n. 90% isostaattisesti kompensoitu. Tämä on arvokas hypoteesi jos muu tieto ei olesaatavissa.

Toinen syy miksi isostaattinen geoidi on tutkimisen arvoinen on, että Maan painovoimakenttämistä vuoriston vaikutus on poistettu kokonaan � juurineen kaikkineen � voi paljastaa sy-vempien kerroksien fysikaalisia epätasapainoja ja prosesseja jotka aiheuttavat tätä. Sellaisetprosessit ovat etenkin konvektioliikkeet Maan vaipassa sekä Maan sulan ytimen mahdollinenvaikutus näihin virtauksiin. On jo löytynyt mielenkiintoisia korrelaatioita vaipan konvektio-kuvioiden (sekä geoidin globaalisen kuvion) ja Maan magneettikentän aiheuttavien ytimenvirtauskuvioiden välillä.

Isostaattinen reduktio koostuu kahdesta osasta:

1. Topogra�an poisto;

2. Topogra�an kompensaation poisto.

Approksimoidaan molemmat yksinkertaisilla massatiheyskerroksilla, tiheys � = �H; ensim-mäinen kerros tasolla H = 0, toinen kompensaatiosyvyydellä H = �D.Potentiaalikentäksi saadaan

Ttop = GR

¨�

�Pn (cos ) d�

ja

Tcomp = GR

¨�

��R�DR

�nPn (cos ) ;

josta yhteisvaikutus:

�T = � (Ttop � Tcomp) =

= �GR¨�

�

"1�

�R�DR

�n#Pn (cos ) d�; (5.10)


joka yksinkertaistuu seuraavaksi mikäli n pieni (n� R=D):

�T = �G¨�

�DnPn (cos ) d�;

käytännössä dipolikerrosapproksimaatio.

Kirjoitetaan taas spektraalimuotoon (Heiskanen and Moritz (1967) kaava 1-71):

�T = �1Xn=1

2n

2n+ 1[ABD]n � � [ABD] ; (5.11)

(käytetty AB = 2��) josta

�Niso =T

= �ABD

= �2��HD

: (5.12)

Tämä on isostaatisen reduktion epäsuora efekti.

Jos sijoitetaan realistiset arvot D = 30 km, H � 3 km, saadaan �Niso � 10m: Toisin sanoen,tämä efekti on iso! Kymmenen metrin vaikutus geoidiin on jo nykyisten havaintotarkkuus-rajojen yläpuolella. Näin avautuu mahdollisuus tutkia isostasian tarkka toimintamekanismi �ja tarkka kompensaatiosyvyys � käyttämällä �geoidihavaintoja� geodin isostaattisen osuudentutkimiseksi.

Huomaa että kaava (5.12) on lineaarinen korkeudessa H. Tämä merkitsee että mannertenalla isostaattinen geoidi kulkee noin luokkaa 10 m klassisen geoidin alapuolella, kun taasvaltamerellä se on oltava hieman geoidin (keskimerenpinnan) ylläpuolella: keskimäärinhanon, kaavan (5.11) mukaan, �N = �T = 0.

Kaavasta (5.10) voidaan vielä päätellä, että jos n on iso, silloin

�T = GR

¨�

�Pn(cos )d� =

= R1Xn=0

2

2n+ 1[AB]n ;

ja

�N = R1Xn=1

2

2n+ 1

[AB]n

:

Tässä nähdään selvästi, että isostaattinen efekti geoidissa todella on vain �pitkä-aaltoinen�: Seei näy paikallisesti. Maailmanlaajuisesti sitä sen sijaan ei saa jättää huomioimatta. Se sopisierinomaisesti satelliittien tutkittavaksi joko ratahäiriöiden tai altimetrian avulla (ks. Luku12).


5.9.1 Tehtävä: Maaston vaikutus gradienttiin

Jyrkkä (pystysuora) rantakallio, korkeus 100 m, kallion tiheys 2670 kg=m³.


1. Laske maastokorjaus kallion yläreunalla.

2. Samoin kallioseinämän alareunalla.

3. Jos ilmagradientti, kauas kallioseinämästä, on �0; 3086mGal=m; paljonko on sitten pys-tygradientti kallioseinämää pitkin?

Luku 6Korkeusjärjestelmät

6.1 Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi

Korkeudet määritetään vaaitsemalla. Vaaitus on menetelmä missä mitataan korkeuserojakäyttämällä vaaituskoje ja kaksi lattaa. Vaaituskoje sisältää kiikarin ja vesivaa'an ja sen nä-köviiva osoittaa paikallisen horisontin suuntaan. Kahdella mittauspisteella asetetaan vaaitus-latta ja kaukoputken kautta luetaan niistä mittausarvot. Kahden arvon erotus antaa pisteidenvälinen korkeusero metreinä.

Etäisyys vaaituskojeen ja lattojen välillä on 40-70 m; suuremmilla etäisyyksillä ilmakehänrefraktion vaikutus aiheuttaisi liian suuria virheita. Pitemmät etäisyydet saadaan mitatuksitoistamalla mittaus useammalla koneasemalla ja välipisteellä.

Näin saadut korkeuserotukset �H eivät kuitenkaan ole suoraan käyttökelpoisia. Kahden pis-teen P ja Q välinen, suoraan �H-arvoja summaamalla laskettu, �korkeusero� riippuu näetvalitusta matkasta. Myös suljetun silmukan korkeuserojen summa

P�H ei (yleisesti) hävi-

ää.

t� e

Vaakasuoratähtäys

Vaaituskojet e

Vaaituslatat

Kuva 6.1 � Vaaituksen periaate

88 Luku 6. Korkeusjärjestelmät

Geometrinen korkeus ei ole konservatiivinen kenttä.

Siksi käyttännön tarkkavaaituksessa konvertoidaan korkeuserot aina potentiaalieroiksi: �W =

��H � g, missä g on paikallinen painovoima, joka joko mitataan tai (esim. Suomessa) inter-poloidaan olemassa olevasta painovoimakartasta. Potentiaalierojen summa suljetun silmukanympäri on aina nolla :

P�W = 0.

Mielivaltaisen maastopisteen P potentiaaliksi saadaan:

WP =W0 �X

(�H � g) ;

jossa summaus suoritetaan merenpinnalta (potentiaaliW0) pisteeseen P . Suure CP = � (WP �W0) =PPMerenpinta (�H � g) (positiivinen merenpinnan yläpuolella) kutsutaan pisteen P geopotenti-

aaliluvuksi.

W0 on valtakunnallisen korkeusvertaustason geopotentiaali. Suomessa vanhan N60-järjestelmänvertaustaso on periaatteessa Helsingin sataman keskimerenpinta vuoden 1960 alussa, miksijärjestelmä kutsutaankin nimellä N60. Kuitenkin vertaustason käytännön realisaatio on vas-tavarten rakennettu patsas Helsingin observatorion puutarhassa Kaivopuistossa. Suomen uusikorkeusjärjestelmä on nimeltään N2000, ja sen lähtöpisteen realisaatio on patsas Metsähovintutkimusasemalla (käytännössä N2000-korkeudet ovat Amsterdamin NAP-tason yläpuolella).Muilla mailla on omat, samanlaiset korkeusvertaus- eli datum-pisteet: Venäjällä Kronstadt,Länsi-Euroopalla laajasti käytetty Amsterdam NAP.

6.2 Ortometriset korkeudet

Kun halutaan luoda korkeusjärjestelmä, olisi kaiken yksinkertaisinta käyttää alkuperäiset geo-potentiaalierot merenpinnalta eli geopotentiaaliluvut C = � (W �W0), suoraan korkeuslu-kuina. Kuitenkin psykologisesti ja käytännöllisesti tämä on hankala: ymmärrettävistä syistäihmiset haluavat korkeuksinsa metreissä. Geopotentaaliluvuilla on selvät etujensa: ne edus-tavat energiamäärän joka tarvitaan (yhden massayksikön koemassan) siirtämiseksi pisteestätoiseen. Neste (merivettä, mutta myös ilma tai, geologisella aikaskaalalla, jopa peruskallio!)virtaa aina alaspäin ja etsiytyy minimienergiatilaan.

Suomessa, kuten monessa muussa maassa, on ollut pitkään käytössä ortometrisia korkeuk-

sia . Ne ovat fysikaalisesti määritettyjä korkeuksina �keskimerenpinnan� eli geoidin yläpuo-lella. Ks. kuva 6.2.

Klassinen geoidi on määritelmänsä mukaan

�Se Maan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, joka yhtyy

keskimäärin parhaiten keskimerenpintaan.�

Pisteen P ortometrinen korkeus on määritetty korkeudeksi, joka saadaan mittaamalla luo-

tiviivaa pitkin pisteen P etäisyys geoidista.

6.3. Normaalikorkeudet 89

H

P

g

g

Geoidi

WP

W0�H1

�H2

�H3

�H 02

�H 01

Kuva 6.2 � Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut. Korkeus, joka saadaan sum-

maamalla vaaitut korkeuserot,P3i=1�Hi; ei ole �oikea� korkeus geoidista eliP3

i=1�H0i laskettuna luotiviivaa pitkin.

Huomaa, miten geopotentiaalin tasopinnat eli ekvipotentiaalipinnat eivät ole sa-mansuuntaisia: siksi matka Maan pintaa pitkin voi hyvinkin viedä �ylöspäin�,

siis kasvaviin korkeuksiin geoidista, vaikka geopotentiaaliluku vähenee. Vesi voi

siis �virrata ylöspäin�.

Huomaa myös, että painovoimavektori g on kaikkiala kohtisuora ekvipotenti-

aalipintoja kohtaan, ja sen pituus on kääntäen verrannollinen niiden väliseen

etäisyyteen

Tämä on hyvin fysikaalinen määritelmä, kuitenkaan ei kovin operationaalinen, koska emme(yleensä) voi mitata luotiviivaa pitkin maankuoren sisällä. Siksi niitä lasketaan geopotentiaa-liluvuista: jos pisteen P geopotentiaaliluku on CP , lasketaan ortometrinen korkeus kaavalla

H =CP�g;

jossa �g, keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin, on

�g =1

H

ˆ H

0

g (z) dz;

ja z on luotiviivaa pitkin mitattu pituuskoordinaatti. (Koska �g:n kaava itse sisältää jo H:n,saadaan ratkaisu iteratiivisesti, käyttämällä ensin karkea H:n arvo; iteraatio konvergoi no-peasti.)

Tulemme näkemään että hyvin tarkkojen ortometristen korkeuksien määrittäminen on han-kala, etenkin vuoristoissa.

6.3 Normaalikorkeudet

Suomessa käytetään tällä hetkelä korkeusjärjestelmän N2000 mukaan normaalikorkeuksia.Ne ovat, samoin kuin ortometrisia korkeuksia, korkeudet keskimerenpinnalta. Keskimeren-pinnan matemaattinen esitys tässä tapauksessa on kvasigeoidi. Merialueilla kvasigeoidi on


identtinen geoidin kanssa; manneralueilla se eroaa hieman geoidista, ja vuoristoissa ero voijopa olla huomattavaa.

6.3.1 Molodenskyn teoria

M.S.Molodensky kehitti teorian, jossa pisteen korkeus �keskimerenpinnalta� määritettäisiinseuraavan kaavan mukaan:

H� =C

0H;

jossa 0H on keskimääräinen normaalipainovoima laskettuna nollatason (vertausellipsoidin)ja H�:n välillä ellipsoidista normaalia pitkin. Eli sama laskentatapa kuin ortometristenkorkeuksien tapauksessa, mutta sijoittaen normaalipainovoimakenttä todellisen painovoi-makentän sijalle.

Korkeuksista �merenpinnalta� vaaditaan käytännön syistä, että ne voidaan antaa metreinä.Suurissa, mantereen kokoisissa kolmioverkoissa halutaan antaa korkeudet laskennallisesta ver-tausellipsoidista metreissä, ja näin myös korkeudet �merenpinnalta� on oltava metreissä.

Molodensky ehdotti myös, että geoidin sijaan käytettäisiin korkeusanomalioita, joiden mää-ritys on

� =T

Hh;

jossa nyt Hh on keskimääräinen normaalipainovoima maaston korkeudella, tarkemmin: kor-keuksien H (laskettuna ellipsoidista) ja h välillä.

Näiden oletuksien perusteella hän näytti, että

H� + � = h;

jossa h on pisteen korkeus vertausellipsoidista. Tämä kaava on hyvin samanlainen kuin orto-metristen korkeuksien ja geoidin vastaava kaava

H +N = h:

Muutenkin �, korkeusanomalia eli myös �kvasigeoidin korkeus�, on hyvin lähellä N , ja vas-taavasti H� lähellä H. Tästä lisää myöhemmin.

6.3.2 Molodenskyn todistus [vaikea ]

Molodenskyn koulukunnan oivallus oli, että koska normaalipainovoima luotiviivaa pitkinon hyvin lähellä lineaarinen paikan funktio, olisi mahdollista määrittää korkeustyppi, jokaolisi suoraan laskettavissa geopotentiaaliluvuista, ja joka samalla olisi yhteensopiva samallatavalla määriteltyjen ns. korkeusanomalioiden, sekä vertausellipsoidista laskettujen geomet-risten korkeuksien h, kanssa.

6.3. Normaalikorkeudet 91

Geometrinen korkeus h vertausellipsoidista voidaan kytkeä normaalipainovoimakentän po-tentiaaliin U epäsuorasti, seuraavan integraalikaavan kautta:

U = U0 �ˆ h

0

(z)dz:

Tässä U on normaalipotentiaalikenttä ja sen normaalipainovoima. U :n tasopinta U = U0

on samalla vertausellipsoidi. Muuttuja z on matka ellipsoidin paikallista normaalia pitkin.

Määrittämällä

� 0h � 1

h

ˆ h

0

(z)dz;

saadaan

h = �U � U0

� 0h:

Käyttämällä kaava W = U + T ja jakamalla � 0h:lla, saadaan:

W �W0

� 0h=

T

� 0h� h

olettaen että W0 = U0, vertausellipsoidin normaalipotentiaali.

Seuraavaksi voitaisiin määritellä

H+ = �W �W0

� 0h

uudeksi korkeustyypiksi ja

N+ = h�H+ =T

� 0h

vastaavaksi uudeksi geoidikorkeustyypiksi. Kuitenkin �kauneusvirheenä� on, että tässä jae-taan normaalipainovoiman keskiarvolla, joka on laskettu tasojen 0 ja h välillä, kun itseH+olisi(vertausellipsoidista laskettuna) tasojen N+ ja h välillä, ja taas N+tasojen 0 ja N+ välillä.

Siksi seuraava parannus.

Määritellään:

� 0H =1

H+

ˆ H+

0

(z) dz � � 0h � 1

2N+d

dr� � 0h

1� N+

R

!(6.1)

(R on maan säde ja d =dr � 2 =R), ja

� Hh = �H+ +

1

2N+

�� 0h +

1

2H+d

dr� � 0h

1 +

H+

R

!; (6.2)


(koko aikaa käyttäen että (z) on lähes lineaarinen funktio), josta seuraa

H� = �W �W0

� 0H� H+ +

N+H+

R;

� =T

� Hh� N+ � N+H+

R;

ja edelleen (korjaustermit N+H+=R summautuvat nollaksi):

H� + � = H+ + �+ = h: (6.3)

� Hh voidaan, toisin kuin � 0h, laskea käyttämällä ainoastaan vaaituksesta saatuja tietoja,ilman ellipsoidikorkeuden h tuntemista, joka edellyttäisi taas paikallisen geoidin tuntemista.

Tämä oli Molodenskyn oivallus Molodenskii et al. (1962) jo v. 1945, kauan ennen GPS:n,tai maailmanlaajuisen vertausellipsoidin (WGS84) olemassaoloa. Silloin laskettiin manner-laajuiset kolmioverkot omilla paikallisilla vertausellipsoideillaan.

Korjaustermin N+H+=R suuruus on, jos globaaliset geoidin korkeudet ovat 120 m luokkaa,18 mm jokaista korkeuskilometriä kohti. Tämän termin jälkeen jäävät virheet ovat mikros-kooppisen pieniä, koska normaalipainovoima on (todellisesta painovoimasta poiketen) erit-täin lineaarista luotiviivaa pitkin � kuten kaavoissa (6.1) ja (6.2) jo edellytettiin.

6.3.3 Normaalikorkeus ja korkeusanomalia

Normaalikorkeus:

H� =C

= �W �W0

; (6.4)

jossa (rekursiivinen määritelmä!)

= � 0H =1

H�

ˆ H�

0

(z) dz:

Korkeusanomalia:

� =W � U� Hh

jossa

� Hh =1

�

ˆ h

H�

(z) dz:

Huomaa, että korkeusanomalia �, muuten samanlainen suure kuin geoidikorkeus N , kui-tenkin sijoittuu topogra�an eikä merenpinnan tasolle. Pinta joka muodostuu pisteistä,

6.4. Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä 93

Telluroidi

Kvasi-geoidi

hH�

H

N �

�

Geoidi

Topogra�a

Kuva 6.3 � Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja maasto. Huomaa korrelaatio kvasi-

geoidin ja maaston välillä

jotka ovat matkan H� verran vertausellipsoidin yläpuolella (ja siis matkan � verran to-pogra�an alapuolella), kutsutaan telluroidiksi. Se on topogra�sen pinnan eräs kuvaus:pisteiden Q joukko, joiden normaalipotentiaali OQ on sama kuin �oikean� topogra�anvastaavan pisteen P �oikea geopotentiaali WP . Ks. kuva 4.3.

Usein, myönnytyksenä vanhoihin tapoihin, konstruoidaan pinta, joka on matkan � ver-ran vertausellipsoidin yläpuolella. Tätä pintaa kutsutaan kvasi-geoidiksi. Siltä puuttuukokonaan fysikaalinen merkitys; se ei ole ekvipotentiaalipinta, vaikka merellä se yhtyygeoidiin. Sen lyhytaaltoiset muodot, toisin kuin geoidin, korreloivat topogra�an lyhy-taaltoisten muotojen kanssa.

Ellipsoidinen korkeus (oletus U0 =W0):

h =U � U0

� 0h;

jossa

� 0h =1

h

ˆ h

0

(z) dz:

Yhteys kolmen suureen välillä on

h = H� + �:

Kaikissa kolmessa tapauksessa suure määritetään jakamalla potentiaaliero jonkinlaisella �kes-kimääräisellä normaalipainovoimalla�, laskettu sopivaa paikallisen luotiviivan segmenttiä pit-kin. Korkeusanomalian � tapauksessa on käytetty luotiviivan pätkä vain korkealla topogra-

�an pinnan lähellä, tason H (telluroidin) ja tason h (topogra�an) välissä.

6.4 Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä

Normaalikorkeudet ovat hyvin operationaalisia. Niitä käytetään aina ns. �kvasigeoidin� kor-keuksien (oikeammin: korkeusanomalioiden) � kanssa. Ortometriset korkeudet (tarkemmin:


Helmert-korkeudet) sen sijaan käytetään aina geoidin korkeuksien N kanssa. Molempien las-kemiseksi tarvitaan topogra�nen massatiheys �, joka yleensä oletetaan vakioksi (2670 kg=m³),sekä paikallinen painovoimagradientti, joka yleensä oletetaan standardigradientiksi (�0; 3086mGal=m).

Ero geoidikorkeuden ja korkeusanomalian välissä lasketaan seuraavasti.

1. Ensin lasketaan ero geoidin ja "vapaa-ilma-geoidin" välillä. Vapaa-ilma-geoidi on ulkoi-sen potentiaalikentän analyytisen alaspäinjatkon tasopotentiaalipinta. Potentiaaliero (Ton ulkoisen, analyyttisesti jatketun kentän häiriöpotentiaali):

TH � T0 =ˆ H

0

@T

@hdh � ��gFAH; (6.5)

ja käyttämällä määritelmät � = TH= (korkeusanomalia eli kvasigeoidin korkeus) jaNFA = T0= (�vapaa-ilma geoidin� korkeus, FA = Free Air) saadaan

� �NFA = ��gFAH

(6.6)

2. Näin on saatu ero korkeusanomalioiden ja �vapaa-ilma-geoidin� korkeuksien välillä; jäämääritettäväksi ero "vapaa-ilma-geoidin" ja geoidin välissä.

Approksimoidaan topogra�a Bouguer-laatalla. Silloin

� �vapaa-ilma-geoidin� NFA tapauksessa tämän laatan paksuus on pisteen P korkeusH.

Koska laatan pintamassatiheys on H�, on sen vetovoima pisteessä Q P :n luotivii-valla:

2�GH�:

� Taas geoidin tapauksessa on Bouguer-laatasta osa pisteen Q alapuolella, ja osapisteen Q yläpuolella. Vetovoima silloin vain on

2�GH�� 2�G (H � h) � = 2�G (2h�H) �;

missä h on nyt pisteen Q korkeus.

Integroimalla erotus (6.5):n tapaan saadaan

T � TFA = 2�G�

ˆ H

0

((2h�H)�H) dh = �2�G�H2 � �ABH;

missä AB on H:n paksuisen Bouguer-laatan vetovoima. Saadaan taas jakamalla normaali-painovoiman keskiarvolla:

N �NFA = �ABH

:

6.5. Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä 95

Tämä on topogra�sen eli Bouguer-reduktion epäsuora efekti.

Vähentämällä tämä viimeinen tulos kaavasta (6.6):

� �N =(��gFA + AB)H

= ��gBH

: (6.7)

ks. myös Heiskanen and Moritz (1967, s. 8-13). Kun vuoristoissa Bouguer-anomalia on vah-vasti negatiivinen, seuraa että �kvasi-geoidi� on siellä aina geoidin yläpuolella: Likimäärin,kaavaa (5.2) käyttäen:

� �N � 0; 1119 [mGal=m]

9:8 [m=s²]H2 � 10�7

hm�1iH2:

Eli jos H on yksikössä [km] ja � �N yksikössä [m]:

� �N [m] � 0; 1H2 [km] :

6.5 Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien

välillä

Geoidi on ortometristen korkeuksien lähtötaso. Siksi voimme kirjoitaa, että

h = H +N;

missä h on korkeus vertausellipsoidista ja H ortometrinen korkeus.

Toisaalta voimme palauttaa muistiin kaava (6.3):

h = H� + �;

missä � on korkeusanomalia ja H� normaalikorkeus.

Saadaan yksinkertaisesti:

H �H� = � �N = ��gBH

; (6.8)

käyttäen kaava (6.7).

6.6 Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta

Ortometriset korkeudet muodostavat perinteisempi tapa ilmaista korkeutta "merenpinnanyläpuolella". Ortometriset korkeudet ovat korkeuksia todellisen geoidin, eli maan sisällä ole-van, keskimerenpinnan kanssa keskimäärin samalla tasolla olevan, ekvipotentiaalipinnan, ylä-puolella.


Voidaan kirjoittaa

W =W0 �ˆ H

0

g (z) dz

missä g on todellinen painovoima topogra�sten massojen sisällä. Tästä saadaan

H =� (W �W0)

g;

jossa keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin on

g =1

H

ˆ H

0

g (z) dz:

Määritelmä on rekursiivinen: H esiintyy sekä vasemmalla että oikealla puolella. Tämä ei olekriittinen: sekä H että g saadaan iteroimalla. Konvergenssi on nopea.

Käytännössä ortometrinen korkeus lasketaan likimääräisellä kaavalla. Suomessa on pitkäänkäytetty Helmertin kaava , jossa mitattu painovoima maan pinnalla, g (H), ekstrapoloidaanalaspäin käyttämällä arvioitu kalliomassojen sisäinen painovoimagradientti. Oletetaan, ettäsen kallion ulkopuolinen standardiarvo�0; 3086mGal=m (ilma-gradientti) muuttuu+0; 2238mGal=m

suuremmaksi arvoksi (kaksinkertainen Bouguer-laatan efekti): lopputulos on kallion sisäinenkokonaispainovoimagradientti = �0; 0848mGal=m.

Tätä kutsutaankin Prey-reduktioksi. Lopputulos on kaavat (kerroin on puolet gradientis-ta, eli keskimääräinen painovoima luotiviivaa pitkin on sama kuin luotiviivan keskipisteenpainovoima):

g = g (H)� 0; 0848 [mGal=m]��12H�= g (H) + 0; 0424 [mGal=m] H;

H =C

g (H) + 0; 0424 [mGal=m] H; (6.9)

jossa C on geopotentiaaliluku (potentiaali keskimerenpinnan suhteen) ja g (H) painovoi-ma Maan pinnalla. Ks. myös Heiskanen and Moritz (1967) ss. 163�167. Huomaa, että ter-mi 0; 0424mGal=m � H on tavallisesti paljon pienempi kun g (H) ; joka on noin 9; 8m=s² =

980 000mGal! Siis iterointi, missä yo. nimittäjä lasketaan ensin karkean H-arvon avulla, kon-vergoi varsin nopeasti.

Helmert-korkeuksien käyttö ortometristen korkeuksien approksimaatioina on epätarkka seu-raavista syistä:

� Oletus, että painovoima muuttuu lineaarisesti luotiviivaa pitkin. Tämä ei pidä paikkan-sa, erityisesti maastokorjauksen johdosta. Tarkassa ortometristen korkeuksien lasken-nassa maastokorjaus olisi laskettava jokaisella luotiviivan pisteellä.

� Oletus, että ilma-gradientti on vakio, �0; 3086mGal=m. Tämä ei pidä paikkansa, gradient-ti voi hyvinkin vaihdella �10%.

6.7. Normaalikorkeuksien tarkka laskenta 97

� Oletus, että kallion tiheys on � = 2; 67 g=cm³. Tiheyden todellinen arvo voi vaihdellahyvinkin �10% tai enemmän tämän oletusarvon ympäri.

Ensimmäinen approksimaatio, maastoefektin huomiotta jättäminen, voidaan korjata käyttä-mällä Niethammerin menetelmä (ks. Heiskanen and Moritz (1967) s. 167). Se vaatii myösgeoidilaskussa vastaavasti, että maasto otettaisiin huomioon.

Kolmas approksimaatio, tiheys, voidaan ongelmana poistaa sopimalla, että myös geoidin las-kussa käytetään vakiotiheys � = 2; 67 g=cm³. Saatu pinta ei siten enää ole oikea geoidi, vaan"muka-geoidi", johon on vaikea keksiä sopiva nimi.

Keskimmäinen approksimaatio voitaisiin poistaa käyttämällä todellinen ilmagradientti stan-dardiarvon sijasta. Kuitenkin se riippuu paikallisista tiheysvaihteluista. Painovoimagradientinarvo topogra�an pinnalla ei ole myöskään aina edustava koko luotiviivaa pitkin. Gradientinlaskemiseksi tarjoutuu m.m. Poissonin yhtälö, josta lisää myöhemmin.

Ortometristen korkeuksien eksaktin laskeminen on siis työlästä. Yhtä työlästä kuin geoidineksaktin laskeminen, ja samoista syistä. Onneksi ei-vuoristoisissa maissa Helmert-korkeudetovat riittävän hyviä. Suomessa niitä laskettiin jopa käyttämällä �-arvoina �todellisen� maan-kuoren tiheyksiä geologisen kartan mukaan. . .

6.7 Normaalikorkeuksien tarkka laskenta

Tähän käytetään kaava (6.4):

H� =C

= �W �W0

; (6.10)

jossa normaalipainovoiman keskiarvo luotiviivaa pitkin on

= � 0H =1

H�

ˆ H�

0

(z) dz:

Koska normaalipainovoima on lineaarinen z:n funktio, voimme kirjoittaa

= (H�)� 1

2H�@

@z;

jossa @ @z

= �0:3086mGal=m: Eli lopputulos on

= (H�) + 0; 1543 [mGal=m] �H�:

Ratkaisu saadaan taas iteratiivisesti:

H� =C

(H�) + 0; 1543 [mGal=m] �H�

jossa (H�) on laskettavissa eksaktisti kun korkeus H� (ja paikallinen leveysaste) on tiedossa.H� on kaavan molemmilla puolilla; se konvergoi nopeasti koska taas nimittäjän ensimmäi-nen termi (H�), n. 9; 8m=s² = 980 000mGal on tavallisesti huomattavasti suurempaa kuin0; 1543 [mGal=m] �H�.

Normaalikorkeuksien laskenta ei ole altis samoihin maankuoren tiheys- ym. hypoteeseihinkuin ortometristen korkeuksien laskenta. Se on kuitenkin riippuvainen valitusta normaali-kentästä eli vertausellisoidista.


6.8 Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus

Käytännön laskennassa usein lasketaan ensin vaaituksella mitatuista korkeuseroista (�latta-lukemien erotuksista�) �H pisteiden O (merenpinnalla) ja B välillä yhteen alustavaksi eliraa'aksi B-pisteen korkeudeksi

fHB =BXO

�H;

jonka jälkeen otetaan huomioon tämän menetelmän ei-eksaktisuutta soveltamalla �ortometri-nen korjaus�. Tämä korjaus voidaan johtaa seuraavasti (vaihtoehtoinen kaava löytyy kirjastaHeiskanen and Moritz (1967, osa 4-4)):

HB =CBgB

=1

gB

BXO

�C =1

g (HB) + 0; 0424 [mGal=m]HB

BXO

�C

g (H)g (H) =

=g (HB)

g (HB) + 0; 0424 [mGal=m]HB

AXO

�Hg (H)

g (HB)

� 1� 0; 0424 [mGal=m]

HB

g (HB)

!BXO

�H

1 +

g (H)� g (HB)

g (HB)

!;

jossa �H = �C=g (H) on mitattu vaaitusvälin korkeusero. g (H) on maastossa mitattu(tai muuten saatu, esim. interpoloimalla painovoimatietokannasta) maan pinnan painovoima-arvo. Tästä

HB �BXO

�H +BXO

( �0; 0424 [mGal=m]

HB

g (HB)+g (H)� g (HB)

g (HB)

!�H

)=

=BXO

�H +1

g (HB)

BXO

f(g (H)� g (HB)� 0; 0424 [mGal=m]HB)�Hg

= fHB +OCOB;

jossa ortometrinen korjaus käyttäen Helmertin kaava on

OCOB =1

g (HB)

BXO

f(g (H)� g (HB)� 0; 0424 [mGal=m]HB)�Hg : (6.11)

Yleisessä tapauksessa � mielivaltainen maankuoren tiheys �, kuitenkin edelleen oletettunavakioksi � meillä on vastaava kaava

OCOB � 1

g (HB)

BXO

(g (H)� g (HB) +

1

2

d

dH+ 2�G�

!HB

)�H;

jossa d =dH on standardi-ilmapainovoimagradientti, �0; 3086mGal m�1.

Vastaavasti voidaan laskea myös normaalikorjaus:

H�B =

1

B

BXO

�C =1

B

BXO

�C

g (H�)g (H�) =

=BXO

�H (H�) + �g (H�)

B (0)� 0; 1543 [mGal=m]H�B

�

�BXO

�H +1

B (0)

BXO

f (H�)� B (0) + �g (H�) + 0; 1543 [mGal=m]H�Bg�H:


Tästä

H�B = fHB +NCOB

jossa normaalikorjaus on

NCOB =1

B (0)

BXO

f (H�)� B (0) + �g (H�) + 0; 1543 [mGal=m]H�Bg�H: (6.12)

Kaavoissa B (0) on merenpinnalle (vertausellipsoidin pinnalle) laskettu normaalipainovoimapisteen B leveysasteella. Suure

�g = g (H�)� (H�) = g (H�)� (0)� 0; 3086 [mGal=m]H�

on tuttu ilma-anomalia laskettuna maan pinnalla.

Huomaa, että seka ortometrinen korjaus (6.11) että normaalikorjaus (6.12) voidaan laskeayksi vaaitusväli kerrallaan: tiedettävä on, mitatun korkeuseron �H lisäksi, välin korkeus Htai H�ainakin likimäärin, sekä paikallinen painovoima g (H) tai g (H�). Muista, että g (H)

tarvitaan joka tapauksessa kun halutaan redukoida mitatut korkeuserot �H geopotentiaali-lukueroiksi �C.


6.9.1 Risteilyohjuksen ongelmasta

USA:ssa Boeing kehitti salassa risteilyohjuksen versio joka käyttää GPS-systeemin paikan-määritystä navigaatioon. Ohjus käytettiin Persianlahden sodassa. Kokeiluvaiheessa (ennenGPS-systeemin häirinnön käyttöönottoa) ilmaantui ongelma : GPS:n antamat korkeudet oli-vat heikkoja ja erosivat systemaattisesti (kymmeniä metrejä) korkeustutkan ja digitaalisenmaastomallin antamista korkeuksista, ja ohjus törmäsi kohteeseenkin väärällä korkeudella.

Mistä ongelmasta voi tässä olla kyse?

Luku 7Stokesin kaava ja muut integraalikaavat

7.1 Stokesin kaava ja Stokesin integraaliydin

Sopivasti yhdistämällä osassa 4.3 olevat kaavat saadaan helposti

T = R1Xn=0

�gnn� 1

= R1Xn=2

�gnn� 1

;

koska n = 1 on selvästi mahdoton. Tämä on nyt Stokesin kaavan spektraaliversio.

Massa-ylijäämä

alijäämä

N

�N

Massa-

g

Kuva 7.1 � Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate

102 Luku 7. Stokesin kaava ja muut integraalikaavat

N

Maankeskipiste

S( )

integrointi-piste

Liikkuva

�gd�

pisteLaskenta-

Kuva 7.2 � Stokes-kaavan integraatio geometrisesti

Jos käytetään kaavaa (2.16), saadaan integraalikaava:

T =R

4�

1Xn=2

2n+ 1

n� 1

¨�

�gPn (cos ) d� =R

4�

¨�

" 1Xn=2

2n+ 1

n� 1Pn (cos )

#�gd� =

=R

4�

¨�

S ( )�gd�;

missä

S ( ) =1Xn=2

2n+ 1

n� 1Pn (cos ) ;

Stokesin ydinfunktio. on laskentapisteen ja liikkuvan datapisteen välinen kulmaetäisyys.Yllä oleva kaava mahdollistaa maailmanlaajuisesta painovoima-aineistosta laskea jokaisenmaan päällä olevan pisteen häiriöpotentiaali T , ja siitä geoidikorkeus N käyttämällä Brun-sin kaavaa N = T= (ks. kaava 4.2), tuloksena

N (�; �) =R

4�

¨�

S ( )�g (�0; �0) d�0; (7.1)

missä (�; �) ja (�0; �0) ovat evaluointipiste ja liikkuva piste (�datapiste�) ja niiden välinenetäisyys . Kaava 7.1 on klassinen, gravimetrisen geoidilaskennan Stokes-kaava.

Ylläoleva on esimerkki integraalikaavojen ja spektraalikaavojen vastaavuudesta. Tästä onolemassa paljon muitakin esimerkkejä. Aikaisemmin annettiin funktion 1=` spektraaliesitys(Heiskanen and Moritz (1967) 1-81). Tietysti 1=` on myös ydinfunktio integraalikaavassa jokaantaa potentiaali V jos on annettu pintakerrostiheys �.

Myös Stokesin ydinfunktiolle löytyy analyyttinen, suljettu kaava. Se on yllättävän moni-mutkainen: Ks. Heiskanen and Moritz (1967) Kaava 2-164. Myös Stokesin kaavan versio

7.2. Luotiviivapoikkeamat ja Vening-Meineszin kaavat 103

0

5

10

15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

S(

)!

!

Kuva 7.3 � Stokesin funktio S ( ). Argumentti radiaaneina [0; �)

ulkoavaruudelle on olemassa; se annettiin jo aikaisemmin. Annamme vain sen ydinfunktionspektraalimuoto, ks. (4.10):

S (r; ;R) =1Xn=2

�R

r

�n+1 2n+ 1

n� 1Pn (cos ) :

Stokesin funktio Maan pinnalla on kuvattu kuvassa 7.3, missä kulma on annettu radi-aaneina (1 rad� 57�). Tämä käyrä on laskettu suljetun ilmaisun avulla (ks. Heiskanen andMoritz (1967, Sektio 2-16)):

S( ) =1

sin ( =2)� 6 sin

2+ 1� 5 cos � 3 cos ln

sin

2+ sin2

2

!:

7.2 Luotiviivapoikkeamat ja Vening-Meineszin kaavat

Derivoimalla Stokesin kaava paikan suhteen saadaan luotiviivapoikkeamien komponenttienintegraalikaavat (Heiskanen and Moritz (1967) Kaava 2-210'):

� =1

4�

¨�

�gdS ( )

d cos�d�;

� =1

4�

¨�

�gdS ( )

d sin�d�;

jossa �; � ovat etelä-pohjoinen ja lansi-itä luotiviivapoikkeamat. Nämä kaavat johti ensim-mäisenä Hollantilainen geofyysikko Vening-Meinesz. Kulma � on atsimuti eli suuntakulma


`

P

x

y

z

R

r

Q

Kuva 7.4 � Generoiva funktio

laskenta- eli evaluointipisteen (�; �) ja integrointi- eli datapisteen (�0; �0) välillä. Kaavat onpaljon vaikeampaa kirjoittaa spektraalimuotoon, koska ydinfunktiot ovat nyt myös atsimuti-suunnan � funktioita. Häiriöpotentiaali, painovoimahäiriö ja painovoima-anomalia ovat kaik-ki ns. isotrooppisia suureita, ne eivät riipu suunnasta, ja siksi spektraaliesityksessä niidenväliset muunnokset ovat vain asteluvun n funktioina.

7.3 Poissonin integraalikaava

Katso kuva 7.4. Kappaleen piste Q on paikassa R, ja havaintopiste P paikassa r. Kahdenpaikkavektorien välinen kulmaetäisyys, origosta katsottuna, on . Pisteiden P ja Q välinenetäisyys on `.

Ensiksi voidaan kirjoittaa (kosinisääntö):

` =qr2 +R2 � 2rR cos :

On myös mahdollista kirjoittaa funktio 1=` seuraavana expansiona (ilman todistusta, ks.Heiskanen and Moritz (1967) s. 33):

1

`=

1pr2 +R2 � 2Rr cos

=1

R

1Xn=0

�R

r

�n+1Pn (cos ) (7.2)

missä r = krk ja R = kRk ovat pisteiden P ja Q etäisyydet origosta eli maan keskipisteesta.

1=` kutsutaan Legendre-polynomien generoivaksi funktioksi , ks. kuva 7.4.

7.3. Poissonin integraalikaava 105

Di�erentioimalla kaava (7.2) r:n suhteen saadaan

�r �R cos

`3= � 1

R

1Xn=0

n+ 1

r

�R

r

�n+1Pn(cos ):

Tätä kerrotaan 2r:llä:

�2r2 � 2rR cos

`3= � 1

R

1Xn=0

(2n+ 2)�R

r

�n+1Pn(cos ):

Nyt lasketaan yhteen tämä kaava ja kaava (7.2):

�2r2 + 2rR cos + `2

`3= � 1

R

1Xn=0

(2n+ 1)�R

r

�n+1Pn (cos ) :

Vasen puoli yksinkertaistuu käyttämällä �r2 + 2rR cos + `2 = R2:

�2r2 + 2rR cos + `2

`3=R2 � r2`3

;

ja lopputulos on (kertomalla �R:llä):

R (r2 �R2)

`3=

1Xn=0

(2n+ 1)�R

r

�n+1Pn (cos ) : (7.3)

Jos nyt lainataan kaava (2.16) potentiaalifunktiolle V :

Vn (�; �) =2n+ 1

4�

¨�

V (�0; �0; R)Pn (cos ) d�0;

sekä kaava (2.10):

V (�; �; r) =1Xn=0

�R

r

�n+1Vn (�; �) ;

saadaan

V (�; �; r) =1

4�

1Xn=0

�R

r

�n+1(2n+ 1)

¨�

V (�0; �0; R)Pn (cos ) d�0 =

=1

4�

¨�

V (�0; �0; R)

" 1Xn=0

(2n+ 1)�R

r

�n+1Pn (cos )

#d�0 =

=R

4�

¨�

(r2 �R2)V (�0; �0; R)`3

d�0

suoraan kaavaan (7.3) sijoittamalla.


Näin on saatu Poissonin kaava harmonisen funktion V laskemiseksi maapallon pinnallaannetuista arvoista:

VP =R

4�

¨�

(r2 �R2)

`3PQVQd�Q; (7.4)

jossa ` on taas suora etäisyys evaluointipisteen P (missä VP lasketaan) ja liikkuvan integroin-tipisteen Q (pallon pinnalla, VQ integraalimerkin alla) välillä. Tässä kaavassa on annettupisteille nimet: laskentapisteen P :n koordinaatit ovat (�; �; r), integrointipisteen Q:n koordi-naatit (�0; �0; R).

Saman kaavan vielä kolmas kirjoitusmuoto, joka soveltuu silloin kun funktio eli kenttä V eiole varsinaisesti määritetty Maan topogra�an pinnan ja merenpinnan välillä, on

V =R

4�

¨�

(r2 �R2)

`3PQV �d�;

jossa V � tarkoittaa harmonisesti alaspäin merenpintaan (eli palloapproksimaatiossa pallonpintaan r = R) jatkanutta funktion V arvoa, eli funktio, joka on topogra�an yläpuolella samakuin V , on harmoninen, ja on myös olemassa topogra�an ja merenpinnan välillä. Sellaisenfunktion olemassaolo on klassinen teoreettinen pähkinä. . .

Kaava 7.4 ratkaisee ns. Dirichletin reuna-arvotehtävä.

7.4 Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa

Edellisessä osassa 7.3 johdettu kaava (7.4) pätee mielivaltaiselle harmoniselle kentälle V , t.s.,kentälle, jolla �V = 0. Kaava voidaan kätevästi soveltaa suureelle r � �g, siis painovoima-anomalia kerrottuna säteen kanssa, sekin harmoninen funktio. Näin voimme ilmaistaa ulkoa-varuuden painovoima-anomalia�g (�; �; r)R-säteisen vertauspallon painovoima-anomalioiden�g (�0; �0; R) funktiona. Funktio r�g on harmoninen, koska kaavan (4.7) mukaan

�g =1

r

1Xn=2

(n� 1)�R

r

�n+1Tn; (7.5)

siis

r�g =1Xn=2

�R

r

�n+1(n� 1)Tn =

1Xn=2

�R

r

�n+1Sn;

jossa Sn (�; �) = (n� 1)Tn (�; �) on �laillinen� pintapallofunktio missä Tn (�; �)-kin. SiisPoissonin integraalikaava (7.4) pätee funktiolle r�g:

[r�g (�; �; r)] =R

4�

¨�

(r2 �R2) [R�g (�0; �0; R)]`3

d�0;

eli

�g (�; �; r) =R2

4�r

¨�

(r2 �R2)�g (�0; �0; R)`3

d�0; (7.6)

7.4. Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa 107

Vaihtoehtoinen kirjoitustapa:

�g =R2

4�r

¨�

r2 �R2

`3�g�d�;

jossa �g� merkitsee painovoima-anomalia merenpinnalla, taas laskettuna harmonisesti alas-

päin jatkamalla ulkoista painovoimakenttä, tässä tapauksessa ilmaisua r�g.

Ks. myös Heiskanen and Moritz (1967) kaava 2-160. Approksimoimalla r + R � 2r saadaanvielä

�g (�; �; r) � R2

2�

¨�

(r �R)�g (�0; �0; R)`3

d�0:

Vaihtoehtoisesti johdetaan spektraalimuoto:

�g =1

r

1Xn=2

�R

r

�n+1(n� 1)Tn =

1Xn=2

�R

r

�n+2�gn:

Kaava (2.16) antaa funktiot �gn:

�gn =2n+ 1

4�

¨�

�gPn (cos ) d�;

joiden avulla

�g =1

4�

1Xn=2

�R

r

�n+2(2n+ 1)

¨�

�gPn(cos )d� =

=1

4�

¨�

1Xn=2

�R

r

�n+2(2n+ 1)Pn(cos )

!�gd� =

=1

4�

¨�

K�gd�; (7.7)

jossa

K (r; ;R) �1Xn=2

�R

r

�n+2(2n+ 1)Pn (cos )

on (modi�oitu) Poissonin ydin painovoima-anomalioille. Sen suljettu muoto saadaan kaa-vasta (7.6):

K (r; ;R) =R2

r

r2 �R2

`3:

Stokesin ytimen verrattuna Poissonin ydin putoaa nopeasti nollaan kasvaville `-arvoille.Ts. integraalikaavan evaluointia voidaan rajoittaa hyvin paikalliseen alueeseen, esim. kalot-tiin jonka säde on 1�. Ks. kuva 7.5. Poissonin ytimen pääasiallinen käyttö on painovoima-anomalioiden harmoninen jatkaminen ylös- tai alaspäin, eli eri korkeuksilla mitattujen jalaskettujen painovoima-anomalioiden saattaminen samaan vertaustasoon.

Limiitissä r ! R (laskentataso merenpinta) tämä ydinfunktio menee asymptotisesti �-funktioon.

Kaavojen (7.7) ja (7.6) välinen ero on vain laskennan ominaisuuksissa eri tilanteissa.


7.5 Painovoima-anomalian pystygradientti

Di�erentioidaan kaavoista (4.6, 4.7) saatu kaava:

�g =1Xn=2

�R

r

�n+2�gn ) @�g

@r= � 1

R

1Xn=2

�R

r

�n+3(n+ 2)�gn:

Tämä kaava on tarkka palloapproksimaatiossa. Ydinfunktio yo. kaavassa on hyvin lokalisoitu,ts. hyvin nopeasti nollaan putoava, ts. pieni �kalotti� myös tässä riittää laskennassa.

�gn on, kaavan (2.16) � tai Heiskanen and Moritz (1967) kaavan 1-71 � mukaan laskettunamerenpinnan anomaliakentältä:

�gn =2n+ 1

4�

¨�

�g (�0; �0; R)Pn (cos ) d�0;

siis

@�g (�; �; r)

@r= � 1

4�R

1Xn=2

�R

r

�n+3(2n+ 1)(n+ 2)

¨�

�g (�0; �0; R)Pn (cos ) d�0 =

(7.8)

=1

4�R

¨�

K 0 (r; ;R)�g (�0; �0; R) d�0;

jossa ydinfunktio

K 0 (r; ;R) = �1Xn=2

�R

r

�n+3(2n+ 1) (n+ 2)Pn (cos ) :

Vaihtoehtoisesti johdetaan suljettu kaava. Lähdetään kaavasta (7.6) ja di�erentioidaan r:nsuhteen 1:

@�g (�; �; r)

@r=

@

@r

"R2

4�r

¨�

(r2 �R2)

(r2 +R2 � 2rR cos )3=2�g (�0; �0; R) d�0

#=

=R2

4�

¨�

1

`3

"2� r2 �R2

r2� 3 (2r � 2R cos ) (r2 �R2)

2r`2

#�g (�0; �0; R) d�0 =

=R2

4�

¨�

1

`3

"2� 3 [`2 + (r2 �R2)] (r2 �R2)

2r2`2

#�g (�0; �0; R) d�0�

�1r�g (�; �; r) =

=R2

4�

¨�

1

`3

"2� 3 (r2 �R2)

2

2r2`2

#�g (�0; �0; R) d�0 �

�1

r+

3

2r

��g (�; �; r) =

=R2

4�

¨�

1

`3

"2� 3 (r2 �R2)

2

2r2`2

#�g (�0; �0; R) d�0 � 5

2r�g (�; �; r) : (7.9)

1Vihje: käytä symbolisen algebran ohjelmisto Maxima

7.6. Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä 109

−1.4e+07

−1.2e+07

−1e+07

−8e+06

−6e+06

−4e+06

−2e+06

0

2e+06

4e+06

6e+06

8e+06

0 1 2 3 4 5 6 7

Grad 1 km1.25 km1.5 km

2 kmPoisson 1 km

2 km

Kuva 7.5 � Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille sekä painovoimagra-

dientin ytimet eri korkeuksille. Vaaka-akselin yksikkö on km, pystyakselin yk-

sikkö on m

Kaavassa oikeanpuoleinen termi on hyvin pieni (tyyppillisesti alle tuhannesosa) verratunavasemmanpuoliseen termiin. Molemmat hakasuluissa olevat termit ovat samaa suuruusluok-kaa.

Molodenskiin menetelmässä tämä tai vastaavat kaavat voidaan evaluoida nopeasti hyvinpaikallisesta painovoimadatasta.

Kirjassa Heiskanen and Moritz (1967) annettu suljettu kaava (2-2172) on pystygradienttievaluoituna merenpinnalla (referenssipallolla). Siksi se on erilainen kuin yllä annettu kaava(7.9). Myös tässä annetussa kaavassa, kuten kaavassa (7.8), tarvitaan painovoima-anomaliatmerenpinnalla. Käytettävissä ovat kuitenkin anomaliat topogra�an pinnalla. Käytännössävoidaan menetellä iteratiivisesti, ensin olettamalla, että

�g (�0; �0; R) � �g (�0; �0; R+ h (�0; �0)) ;

jossa h (�0; �0) on pisteen (�0; �0) topogra�an korkeus. Kun on ensimmäinen, karkea anoma-liagradientti on laskettu, voidaan suorittaa reduktio merenpintaan, aluksi lineaarisesti:

�g (�0; �0; R) � �g (�0; �0; R+ h (�0; �0))� @�g

@rh (�0; �0) ;

ja niin edelleen.

7.6 Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä

Stokesin kaavan käyttö gravimetriseen geoidilaskentaan edellyttää että kaikki massat ovatgeoidin sisällä (ja ulkoinen kenttä on siis harmoninen). Siksi siirretään topogra�set mas-sat laskennallisesti geoidin sisään. Kirjassa Heiskanen and Moritz (1967) käsitellään monta

2Kaavan derivoinnissa on muuten oletettu, että �g on harmoninen. Se ei ole: r�g on harmoninen.


Kuva 7.6 � Residual terrain model (RTM). Maastosta poistetaan laskennalli-

sesti lyhyet allonpituudet, eli erotukset punaisesta katkoviivasta: sen yläpuolella

nousevat maaston massat poistetaan, sen alapuolelle jäävät laaksot täytetään.

Reduktion jälkeen punainen viiva (sileampi kuin alkuperäinen maasto) on uusi

maaston pinta.

eri menetelmää tämän tekemiseksi. Oikeastaan vain neljä niistä tulevat kysymykseen joshalutaan laskea (kvasi-) geoidi maan pinnalla ja sen ulkopuolella. Jokaisessa menetelmässätapahtuu massansiirtoja joita tulee spesi�oimaan.

� Helmertin (toinen) kondensaatiomenetelmä: Massat siirretään suoraan alaspäin geoi-dille pintatiheyskerrokseksi. Tämän jälkeen painovoiman siirtäminen alaspäin topogra-�pinnalta meren pintaan on helppoa. Epäsuora efekti (massasiirron vaikutus geoidiin,"Restore� -askel) on pieni.

� Bouguer-reduktio: tämän epäsuora efekti on ylen suuri ja ulottuu suurelle alueelle,ja siksi sitä käytetään harvemmin. Tässä topogra�set massat raa'asti poistetaan, jageoidilaskun jälkeen, �palautetaan�.

� Molodenskii-menetelmä: Topogra�set massat siirretään geoidin sisään tavalla joka eimuuta ulkopuolista kenttää. Ts. tämä on efektispesi�kaatio eikä menetelmäspesi�-kaatio.

Ongelmana tässä on, että tälläinen massasiirto ehkä ei tarkasti ottaen ole olemassa-kaan. Tai että sopiva massojen siirto johtaa erittäin suuriin positiivisiin ja negatiivisiinmassoihin, jotka ovat fysikaalisesti epärealistisia.

Sanotaan, että ongelma on huonosti määritetty (�ill-posed�). Ratkaisuna käytetään re-

gularisointi : muutetaan hieman � mahdollisimman vähän � ulkopuolista kenttää, niinettä se vastaa tarkasti johonkin järkevään sisäiseen kenttään. Aluksi voidaan esimerkiksijo suodata pois maan pinnan painovoimakentästä lyhytaaltoiset, topogra�an aiheutta-mat, osat korkean resoluution digitaalisen maastomallin avulla.

� RTM (Residual Terrain Modelling)-menetelmä. Tämä koostuu kahdestä vaiheesta:

1. Ensin poistetaan topogra�asta laskennallisesti lyhyet aallonpituudet (alle 30 km)siirtämällä (laskennallisesti) huippujen massat laaksoihin;

2. sen jälkeen sovelletaan Molodenskiin resepti, joka toimii nyt kuten pitää, koskaensimmäinen vaihe toimii suodattimena.

Vain ensimmäinen vaihe muuttaa ulkopuolista kenttää. Siksi esim. tuntemattoman to-pogra�an tiheyden vaikutus jää minimaaliseksi.

7.6. Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä 111

7.6.1 Molodenskii-menetelmä lineaarisessa approksimaatiossa

Yllä kuvattua Molodenskii-menetelmää voidaan linearisoida :

T (�; �; h) =R

4�

¨�

"�g (�0; �0; h0)� @�g

@h0h0#S ( ) d�0 +

@T

@hh: (7.10)

Siis, ensin redukoidaan maaston pinnalla mitattu ja laskettu �g merenpintaan käyttämälläanomalioiden gradientti ja mittauspisteen korkeus h0, tuloksena

�g� = �g � @�g

@h0h0:

Sen jälkeen sovelletaan merenpinnalla Stokesin kaava, ja saadaan merenpinnan häiriöpo-tentiaali T �. Tämän jälkeen häiriöpotentiaali �epäredukoidaan� takaisin maastotasoon, eva-luointipisteeseen, kaavalla

T = T � +@T

@hh:

Näissä kaavoissa koko ajan T , sen pystyderivaatta, ja �g ja sen pystyderivaatta kuuluvat ul-koiseen, harmoniseen painovoimakenttään, ja niiden välinen yhteys on fysikaalisen geodesianperusyhtälö, 4.4, pallogeometriassa:

�g = �@T@h� 2

rT;

jossa r = R + h. Tässä tarvitaan ensin häiriöpotentiaalin pystygradientti. Se on helppoa:meillä on

@T

@h= ��g � 2

rT;

jossa ensimmäinen termi on suoraan mitattu, ja toisen termin T saadaan iteratiivisesti rat-kaisuprosessin päätuotteena.

Painovoima-anomalioiden gradientin laskeminen on paljon vaikeampaa: tähän tarjoutuu seu-raava integraalikaava (kaava 7.8):

@�g (�; �; r)

@r= � 1

4�R

1Xn=2

�R

r

�n+3(2n+ 1)(n+ 2)

¨�

�g (�0; �0; h0)Pn(cos )d�0:

Käytännön laskennan onneksi tämä integraali on hyvin lokalisoitu eikä tarvita painovoima-dataa �g kovin laajalta alueelta.

7.6.2 Laskentapiste vertaustasoksi

Yllä olevassa kaavassa (7.10) vertaustasona on käytetty merenpinta. Tämä on täysin mieli-valtainen: voimme käyttää mitä tahansa vertaustaso, esim. h0, jolloin

T (�; �; h) =R+ h04�

¨�

�g (�0; �0; h0)� @�g

@h(h0 � h0)

!S ( ) d�0 +

@T

@h(h� h0) :


Mikäli nyt valitaan h0 = h, putoaa viimeinen termi pois ja saadaan

T (�; �; h) =R+ h

4�

¨�

�g (�0; �0; h0)� @�g

@h(h0 � h)

!S ( ) d�0:

Tässä tapauksessa redukointi tapahtuu�g-mittauspisteen korkeudesta T -laskentapisteen kor-keuteen, todennäköisesti lyhyempi matka kuin merenpinnalta laskentakorkeuteen, varsinkinlaskentapisteen välittömässä läheisyydessä. Tämä merkitsee sitä, että linearisointivirhe jääpienemmäksi. Huonoa toisaalta on, että suluissa oleva ilmaisu on nyt jokaiselle evaluointipis-teelle erilainen. Tämä mutkistaa FFT-pohjaisen laskentamenetelmän käyttöä, ks. myöhem-min.

Tässä puhuttiin koko aikaa häiriöpotentiaalin T (�; �; h) määrittämisestä; tama on käytän-nössä sama asia kuin korkeusanomalian

� (�; �; h) =T (�; �; h)

(�; h)

määrittämistä. Tässä on pisteen leveysasteelle � (� ') ja korkeudelle h laskettu normaali-painovoima.

7.7 Remove-Restore menetelmä

Kaikki nykyisin käytössä olevat geoidimääritysmenetelmät ovat tavalla tai toisella "Remove-Restore" menetelmiä, jopa usealla eri tavalla.

1. Havaituista painovoima-arvoista poistetaan ensin globaalisen painovoimakentän vaiku-tus. Globaalinen malli on yleensä annettuna pallofunktiokehitelmänä. Näin saadaanresiduaalinen painovoimakenttä

� jonka numeeriset arvot ovat pienempiä (helpompi käsitellä) ja

� jotka ovat �paikallisempia�: pitkät �aallonpituudet�, suurten alueiden systemaatti-set trendit, ovat residuaalikentästä poistettu, vain paikalliset yksityiskohdat ovatjäljellä.

2. Havaituista painovoimasta poistetaan kaikkien massojen vaikutukset jotka ovat geoidinulkopuolella. Tämän tarkoitus on saada residuaalinen painovoimakenttä

� johon Stokesin kaava voidaan käyttää, koska reunapinnan ulkopuolella ei ole mas-soja jäljellä; ja

� josta erityisesti maaston aiheuttamat painovoimakentän hyvin lyhyet �aallonpituu-det� (yksityiskohdat joiden suuruusluokkaa on mutama km) ovat poissa. Tämänjälkeen painovoima-arvojen prediktio harvoista mittausarvoista sujuu paremmin.

Viime mainituksi painovoimareduktiomenetelmäksi (joka siis poistaa laskennallisesti ulkopuo-listen massojen vaikutus) kelpaa Bouguer-reduktio (vaikka Bouguer-anomaliat sisältävätkinsuurta negatiivista systematiikka vuoristossa) kuten isostaatinen reduktiokin. Vaihtoehdoistakeskustellaan seuraavassa kappaleessa.

Voimme kuvata remove-restore menetelmä seuraavan kommutatiivisen diagramman avulla:

7.8. Ytimen modi�kaatio remove-restore menetelmässä 113

�Remove� �Restore��g (�Raaka voima� �!) N

+ Globaalinen pv-kentän malli! *�gloc Nloc

+ ulkopuoliset massat! *�gred Stokes ) Nred

Tässä diagrammassa paksut nuolet osoittavat laskutoimitus joka on suositeltava, koska seon helppoa ja tarkkaa. Suluissa oleva nuoli, suora laskenta, on hankala ja hyvin laskenta-intensiivinen.

7.8 Ytimen modi�kaatio remove-restore menetelmässä

Yllä kuvatussa �remove-restore� -menetelmässä paikallinen laskenta redukoitujen painovoima-anomalioiden �gred ja geoidikorkeuksien Nred välillä tapahtuu tyypillisesti suhteellisen pienenalueen sisällä. Esim. FFT-menetelmää käyttäessä on laskenta-alue usein suorakulmainen aluekarttaprojektiotasossa, joka sulkee sisällään �runsaasti� se maa tai alue, jonka geoidi yritetäänlaskea.

Myös jos yritetään laskea geoidi suoraan integroimalla Stokesin kaava, evaluoidaan tämäintegraali globaalisen vertausmallin poistamisen jälkeen vain rajatun alueen eli �kalotin� yli.Eli evaluoidaan kaava

Nred =R

4�

¨�0

S ( )�gredd�; (7.11)

jossa �0 on yksikköpallon kalotti, jonka säde on vaikkapa 0.

Oletus tämän takana on, että �gred kalotin ulkopuolella on sekä pieni että nopeasti vaihtele-va, koska pidemmät aallonpituudet ovat siitä poistuneet globaalisen vertausmallin reduktionmukaan. Tämä voi kuitenkin olla vaarallinen olettamus.

Kirjoitetaan yo. kaavassa

S ( ) =1Xn=2

2n+ 1

n� 1Pn (cos )

ja

�gred (�; �) =1X

n=L+1

�gn (�; �) ;

olettaen, että L on globaalisen pallofunktiomallin suurin mukana oleva asteluku3.

Nyt, koska �gn on pintapallofunktioiden

Ynm ( ;�) = Pnjmj (cos ) sin jmj�; m = �n; : : : ;�1;Ynm ( ;�) = Pnm (cos ) cosm�; m = 0; : : : ; n;

3. . . ja että malli on tarkka !


−5

0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

S6( )

S( )

S3( )S4( )S5( )

Kuva 7.7 � Modi�oituja Stokes-ydinfunktioita. Huomaa, miten ytimen arvo

paikallisen alueen ulkopuolella menee nollaan korkeammilla L-arvoilla

eräs lineaariyhdistelmä, eli

�gn ( ;�) =nX

m=�n�gnmYnm ( ;�) ;

ja myös

Yn0 ( ;�) = Pn (cos ) ;

seuraa Y -funktioiden ortogonaalisuuden perusteella, että:¨�

Pn (cos )Yn0md� =

¨�

Yn0Yn0md� = 0 jos n 6= n0 tai m 6= 0:

Nyt voidaan kirjoittaa � huomaa, että termit n � L putoavat pois:

S ( )�gred (�; �) = S ( )�gred ( ;�) =

=1Xn=2

2n+ 1

n� 1Pn ( )

1Xn=L+1

nXm=�n

Ynm ( ;�)

= SL ( )�gred (�; �) ;

jossa

SL ( ) =1X

n=L+1

2n+ 1

n� 1Pn ( )

on ns. modi�oitu Stokes-ydinfunktio. Asteluku L kutsutaan modi�ointiasteeksi. Laskenta-alueen �0 koko valitaan yhteensopivaksi tämän kanssa.

7.9. Paikallisen vyöhykkeen vaikutus 115

Tässä kuvattu modi�ointimenetelmä, S-funktion Legendre-polynomikehitelmän rajoittami-nen korkeampiin astelukuihin, on nimeltäänWong-Gore modi�kaatio. Uuden ydinfunktionSL toivottava ominaisuus on, että se olisi � ainakin alkuperäisfunktion S verrattuna � pienikalottialueen �0 ulkopuolella. Siinä tapauksessa integraalin rajoittaminen kalottiin koko yk-sikköpallon sijasta (kaava 7.11) ei tee suurta vahinkoa. Selvä on, että SL on paljon kapeam-paa kuin S, onhan siinä vain korkeammat asteluvut edustettuna. Tätä voidaan veri�oidapiirtämällä molempien käyrien gra�ikka. Se ei mene kuitenkaan täydellisesti nollaan kalotinulkopuolella, vain �värähtelee� jonkin verran.

Kirjallisuudesta löytyy muitakin ydinfunktion modi�ointikeinoja. Niiden yleinen muoto on

SL ( ) =1X

n=L+1

2n+ 1

n� 1Pn (cos ) +

LXn=2

(1� sn) 2n+ 1

n� 1Pn (cos ) ;

jossa kertoimet sn; n = 2; : : : ; L ovat mielivaltaisia4. Ne valitaan optimaalisesti jonkun kri-teerin mukaan (esim. pienimmän neliösumman kriteeri) SL:n arvojen minimoimiseksi kalotinulkopuolisen alueen ��0 ulkopuolella. Tällä tavoin on onnistuttu eliminoimaan kaavan 7.11katkaisuvirhe lähes täydellisesti.

7.9 Paikallisen vyöhykkeen vaikutus

Gravimetriseen geoidilaskuun (numeeriseen integraatioon) käytetään anomalioiden keskiar-

voja laskettuina standardikokoisille soluille eli blokeille, yleensä 50 � 50, 100 � 100, 300 � 300

jne. Euroopan leveysasteilla käytetään myös usein 30 � 50, 50 � 100, 60 � 100 jne. jotka ovatlikimäärin neliskanttisia.

Seuraavat kaavat pätevät integraalin laskiessa blokkien keskiarvoja käyttäen:

N =Xi

ci�gi;

missä �gi on blokin i keskiarvo, ja paino

ci =R

4�G

¨�i

S ( ) d�;

missä �i on blokin ci pinta-ala.

Hyvä tapa laskea numeerisesti sellaisen integraalin arvoa � ns. kvadratuuri � on Simpsoninsääntö:

ci =R

4�

ˆ �2

�1

ˆ '2

'1

S (�; �; �0; �0) d�0d�0 � ��R

4�

3Xi=1

wi3Xj=1

wjSij (�; �) ;

missä �� ja �' ovat blokkikoko, w1 = w3 = 1=6 ja w2 = 4=6. S11; :::; S33 ovat laskennassakäytettyjen solmupisteiden arvot, 3� 3 kappaletta.


4

1

16

1

4

4

4

i =

j = 1

j = 2

j = 31

1

1 2 3

Kuva 7.8 � Simpson-integrointi kahdessa ulottuvuudessa.

Ks. kuva 7.8. Myös monimutkaisemmat kaavat (toistettu Simpson tai Romberg) voidaankäyttää.

Voidaan näyttää, että paikallisen (sisäisen) vyöhykkeen vaikutus geoidissa laskentapisteessä(�; �) on verrannollinen itse pisteen paikan painovoima-anomaliaan �g. Luotiviivapoikkea-mat taas ovat verrannollisia painovoima-anomalioiden vaakagradienttiin. Seuraavasti:

Nint � �

�g;

�int = � �

2

@�g

@x; �int = � �

2

@�g

@y;

ja niin edelleen. Tässä x ja y ovat paikallisia suorakulmaisia koordinaatteja, ja � on paikallisenblokin (�kalotin�) säde.

Joskus nämä kaavat ovat käyttökelpoisia, esimerkiksi hilamenetelmien virhe-arvioinnissa. Ol-koon hilan lokerokoko �x; voidaan valita � = �x=2, ja �g:n paikalle sijoitetaan

��g = �g ��ggrid;

missä jälkimmäinen termi on hilatiedostosta interpoloitu painovoima-anomalia-arvo lasken-tapisteen kohdalla. Tällä tavoin saadaan karkea arvio siitä, paljonko virhettä hilan karkeus ai-heuttaa. Yllä olevia kaavoja käytetään edelleenkin tarkkojen maastokorjausten laskemiseksiaivan lähivyöhykkeelle (siis: lähimmäiset kymmenet tai sadat metrit!) kenttätyön yhteydessä.

4Valinta sn = 1 antaa taas yksinkertaisesti modi�oitu Stokesin ydin, josta matalat asteosuudet on kokonaan

poistettu.

Luku 8Spektraalimenetelmät, FFT

8.1 Stokesin lause konvoluutiona

Lähdetään liikkeellä Stokesin kaavalta

T (�; �) =R

4�

¨�

S ( )�g (�0; �0) d�0;

jossa (�0; �0) on liikkuva piste (integrointi- eli datapiste) ja (�; �) evaluointipiste. Yleensämolemmat pisteet kirjoitetaan pallokoordinaateissa �; �; ja myös integrointi suoritetaan pal-lokoordinaattien yksikköpallon �0 yli: pintaintegraalielementti d�0 = cos�0 d�0d�0.

Kuitenkin paikallisesti, riittävän pienellä alueella, voidaan kirjoittaa pisteiden koordinaatitmyös suorakulmaisesti, ja vastaavasti integraali suorakulmaisissa koordinaateissa. Sopivatsuorakulmaiset koordinaatit ovat esim. karttaprojektiokoordinaatit, ks. kuva 8.1.

Yleisemmin voidaan kirjoittaa:

x � R sin�;

y � R cos�;

y

x

R

�

Kuva 8.1 � Karttaprojektiokoordinaatit x; y

118 Luku 8. Spektraalimenetelmät, FFT

jossa � on atsimuti evaluointi- ja liikkuvan pisteen välillä. Tämän projektion keskus on piste,mistä mitataan muiden pisteiden sijainti kulmilla (palloetäisyys) ja � (atsimuti). Esimer-kiksi kelpaa stereograa�nen projektio:

x = 2 sin ( =2) R sin�

y = 2 sin ( =2) R cos�

Summaamalla yllä olevan ilmaisuparin neliöt saamme

2 � x2 + y2

R2:

Yleisemmin on kahden pisteen (x; y) (evaluointipiste) ja (x0; y0) (integrointi- eli liikkuva piste)välinen kulmaetäisyys yksikköpallon keskustasta nähtynä likimäärin:

2 � x� x0R

!2

+

y � y0R

!2

:

Lisäksi

d�0 = R�2dx0dy0

ja Stokesin kaavasta tulee

T (x; y) � 1

4�R

ˆ +1

�1

ˆ +1

�1S (x� x0; y � y0)�g (x0; y0) dx0dy0; (8.1)

kaksi-ulotteinen konvoluutiointegraali.

Di�erentiaali- ja integraalilaskennan mukaan konvoluutio käyttäytyy mielyttävästi Fourier-muunnoksen yhteydessä: jos kutsutaan Fourier-muunnos symbolilla F , ja konvoluutio symbo-lilla �, voidaan yo. kaava lyhentää seuraavaksi:

T =1

4�RS ��g;

ja konvoluutiolauseen mukaan seuraa (�Fourier muuttaa konvoluutio kertalaskuksi�):

F fTg = 1

4�RF fSgF f�gg :

Tämän x; y -tasoformalismin käyttö on siis sallittu vain jos tarvittava integraatio voidaan

rajoittaa paikalliseen alueeseen jossa Maan pinnan kaarevuutta voidaan jättää huomioi-

matta. Tämä onnistuu kiitos globaalisten pallofunktiokehitelmien käyttöä, koska ne kuvaavatMaan painovoimakentän globaalista käyttäytymistä. Sen jälkeen kun havaituista painovoima-anomalioista �g on poistettu globaalisen pallofunktiomallin vaikutus (�Remove�-vaihe), voi-daan laskentapisteesta kaukana olevien alueiden vaikutus turvallisesti unohtaa: poiston jäl-keen anomaliakenttä sisältää vain jäävät lyhytaaltoiset osat, joiden vaikutus kumoutuu pi-temmän matkan päässä. Tietenkin kun integraali on laskettu ja paikallinen häiriöpotentiaaliT saatu, on muistettava, että tähän olisi taas lisättävä globaalisen pallofunktiomallin erikseenlaskettava T -vaikutus (�Restore�-vaihe).

8.2. Integraatio FFT:llä 119

8.2 Integraatio FFT:llä

Käytännössä yllä johdetun konvoluution tarvittava Fourier-muunnos lasketaan diskreettina

Fourier-muunnoksena , käyttäen laskennallisesti tehokas Fast Fourier Transform eli FFT(esim. Kakkuri (1981) ss. 183-200). Ensin lasketaan funktiosta �g (x; y) �hilaesitys�:

�gij = �g (xi; yj) ;

jossa

xi = i�x; i = �n2; : : : ;

n

2� 1;

yi = j�y; j = �n2; : : : ;

n

2� 1;

sopivalla hilan koolla (�x; �y) : Indeksit i ja j kulkevat tavalla, jolla alueen keskipiste (x = 0; y = 0)

on hilan keskellä.

Seuraavasti tehdään samoin ydinfunktiolle

S ( ) = S (x� x0; y � y0) = S (�x;�y) ;

eli kirjoitetaan

Sij = S (�xi;�yj) ;

jossa

�xi = i�x; ; i = �n2; : : : ;

n

2� 1;

�yi = j�y; j = �n2; : : : ;

n

2� 1:

Taas omituinen i- ja j- indeksien kulkuväliksi johtuu halusta saada S-funktion �keskipiikki�sijoitetuksi keskellä hilaa1.

Näin saadut funktioiden S ja �g hilaesitykset �gij ja Sij muunnetaan nyt taajuusdomeenin

� niistä tulee siten kahden �taajuuden�, x- ja y- aaltonumeroiden, funktio � kerrotaan ne kes-kenään �taajuuspari kerrallaan�, ja muunnetaan tulos, F fTg, takaisin avaruusdomeeniin, elihäiriöpotentiaalia T kuvaavaksi hilaksi Tij = T (xi; yi). Mielivaltaisen pisteen häiriöpotentiaa-li saadaan tästä hilasta interpoloimalla. Koordinaatit xi; yj kulkevat indeksien i; j funktioinasamalla tavalla kuin kuvattu yllä �g:n tapauksessa.

Tämä menetelmä kelpaa hyvinkin häiriöpotentiaalin T � ja vastaavasti geoidikorkeuden N =

T= � laskemiseksi painovoima-anomalioista Stokesin kaavan avulla. Yhtä hyvin se kelpaamyös muiden suureiden, kuten esim. painovoiman pystygradientin, evaluoimiseen Poisson-kaavan avulla. Ainoana vaatimuksena on, että kaava olisi kirjoitettavissa konvoluutiona.

Myös käänteinen lasku on helppoa: Fourier- eli spektraalidomeenissa se on vain yksinker-tainen jakolasku.

1Ilman tätä toimenpidettä laskennan tulos olisi oikein, mutta väärässä paikassa. . .


Diskreetin FFT-muunnoksen käyttö edellyttää, että syöttödata eli integroitavana oleva kent-tä � esimerkissä painovoima-anomaliat � on annettuna laskenta-alueen peittävänä, säännöl-lisenä hilana, tai muunnettava sellaiseksi. Tulos � esimerkissä häiriöpotentiaali � saadaansamanlaisena säännöllisellä hilalla. Siksi interpolointimenetelmä tarvitaan.

FFT-menetelmää voidaan taas kuvata kommutatiivisena diagrammana :

Vapaa havainto- ) Interpolointi ) Piste-pistevalinta hilapisteisiin hila

# +(Suora ratkaisu) FFT

# +Ratkaisupisteet ( Interpolointi ( Piste-

omissa paikoissaan ratk. pisteisiin hila

Jos haluat ymmärtää miksi FFT toimii ja on niin tehokas kuin se on, ks. Liite C.

8.3 Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa

Ylläolevassa kaavassa 8.1 koordinaatit x ja y ovat suorakulmaisia koordinaatteja. Käytännössäusein otetaan latitudi ja longitudi (�; �), mikä johtaa lisävirheisiin meridiaanikonvergenssin

seurauksena � latitudi ja longitudihan eivät ole suorakulmaisia. Hieman sopivampi olisi pari(�; � cos�) :

Asia on ratkaistu myös periaatteellisemmalla tasolla.

8.3.1 Strang van Hees-menetelmä

Stokesin ydinfunktio S ( ) riippuu vain laskentapisteen (�; �) ja datapisteen (�0; �0) välisestäkulmaetäisyydestä . Kulmaetäisyyttä voidaan kirjoittaa seuraavasti (pallo-approksimaatio):

cos = sin�0 sin�+ cos�0 cos� cos (�0 � �) :Sijoitetaan

cos (�0 � �) = 1� 2 sin2(�0 � �)

2;

cos = 1� 2 sin2

2;

cos (�0 � �) = 1� 2 sin2�0 � �2

;

ja saadaan

cos = cos (�0 � �)� 2 cos�0 cos� sin2�0 � �2)

sin2

2= sin2

�0 � �2

+ cos�0 cos� sin2�0 � �2

:

8.3. Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa 121

Tässä seuraava approksimaatio lienee sallittu:

cos�0 � cos� � cos�0;

missä �0 on referenssiarvo laskenta-alueen keskellä. Nyt ylläolevasta kaavasta tulee:

sin2

2� sin2

�0 � �2

+ cos2 �0 sin2 �

0 � �2

; (8.2)

mikä on riippuvainen vain eroista �� 0 � � ja �� 0 � �; konvoluution edellytys.

Tämän jälkeen FFT-menetelmää voidaan soveltaa käyttämällä koordinaatit �; �2 ja modi�oi-tu Stokes-kaava

S�(��;��) � S0@2vuutarcsin

sin2

��

2+ cos2 �0 sin

2 ��

2

!1A :Tämä ovela tapa käyttää FFT:tä geograa�silla koordinaatteilla keksi hollantilainen G. Strangvan Hees v. 1990.

8.3.2 �Spherical FFT�, monivyöhykemall

Jaetaan alue useaan kapeaan vyöhykkeeseen leveysasteen mukaan. Jokaisen vyöhykkeen si-sällä sovelletaan Strang van Hees -menetelmä omalla optimaalisella keskuslatitudilla.

Kirjoitetaan Stokesin kaava seuraavasti:

N (�; �) =R

4�

¨S (�� 0; �� 0;�) [�g (�0�0) cos�0] d�0d�0 ; (8.3)

jossa olemme ilmaisseet S(�) latitudieron, longitudieron ja evaluointilatitudin funktiona. Nytvalitaan kaksi tukilatitudia: �i ja �i+1. Oletetaan lisäksi että S on niiden välillä lineaarinen�:n funktio. Siinä tapauksessa voimme kirjoittaa:

S (��;��; �) =[(�� i)Si+1 (��;��) + (�i+1 � �)Si (��;��)]

�i+1 � �i ;

jossa �� = �� 0; �� = �� 0 ja

Si (��;��) = S (�� 0; �� 0; �i) ;Si+1 (��;��) = S (�� 0; �� 0; �i+1) :

Integraalikaavaan 8.3 sijoittamalla saadaan:

N (�; �) =R

4�

("�� i�i+1 � �i

#¨Si+1 (��;��) [�g (�

0; �0) cos�0] d�0d�0 +

+

"�i+1 � ��i+1 � �i

#¨Si (��;��) [�g (�

0; �0) cos�0] d�0d�0): (8.4)

2Käytännössä käytetään geodeettinen leveysaste ' geosentrisen � sijasta ilman merkittävää virhettä.


Tämä kaava on kahden konvoluution summa. Molemmat evaluoidaan FFT:n avulla ja saa-duista ratkaisuista muodostetaan painotettu keskiarvo kaavan 8.4 mukaisesti.

Tässä menetelmässä voimme käyttää likikaavan 8.2 sijasta eksakti kaava, jossa �0 on ilmaistu�:hen ja ��hun:

sin2

2= sin2

�0 � �2

+ cos�0 cos� sin2�0 � �2

=

= sin2��

2+ cos (��) cos� sin2

��

2:

Tämänkään jälkeen ratkaisu ei ole täysin eksakti, koska jokaisen vyöhykkeen sisällä käytetäänlikikaavaa 8.2. Kuitenkin kapenemalla vyöhykkeet saadaan virhe pysymään mielivaltaisenpieneksi.

8.3.3 �Spherical FFT�, Taylor-kehitelmämalli

Tämä hieman monimutkaisempi, mutta myös monipuolisempi, lähestymistapa kehittää Sto-kes-ydin Taylor-sarjakehitelmäksi latitudin suhteen keskellä laskenta-aluetta sijaitsevanvertauslatitudin ympäri3. Kehitelmän jokainen termi riippuu vain latitudin erosta. Las-kettava integraali hajoaa vastaavasti termeihin, joista jokainen sisältää puhdas konvoluutio.

Kirjoitetaan yleinen ongelma seuraavasti:

` ('; �) =

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2C (';'0;��) [m ('0; �0) cos'0] d'0d�0;

jossa ` on laskettavat, m annetut suureet ja C kerroin- eli ydinfunktio. Tässä on oletettuvain geometrian rotaatiosymmetria Maan pyörähdysakselin ympäri, eli ydin riippuu vainpituusasteiden erotuksesta �� eikä absoluuttisista pituuksista �; �0.

Konkreettisessa tapauksessa m siis sisältää �g-arvoja eri pisteissä ('0; �0), ` sisältää geoidi-korkeuksia N eri pisteissä ('; �), ja C kerrointen arvoja, joita on laskettu Stokes-funktionavulla.

Muunnetaan ensin ';'0-riippuvuus ';�'-riippuvuudeksi:

C = C (';'0;��) = C (�';��; ') :

Linearisoidaan:

C = C0 (�';��) + ('� '0)C' (�';��) + :::

jossa määritellään sopivalle vertauslatitudille '0:

C0 (�';��) � C (�';��; '0) ;

C' (�';��) � @

@�C (�';��; ') j�=�0 :

3Kirjallisuudessa menetelmä on yleistetty kehittämällä ydin myös korkeuden suhteen.

8.3. Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa 123

Sijoittamalla saadaan

` =

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2Cm0 cos�'0d'0d�0 =

=

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2[C0 + ('� '0)C']m0 cos'0d'0d�0 =

=

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2C0m

0 cos'0d'0d�0+

= +('� '0)

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2C'm

0 cos'0d'0d�0: (8.5)

Tärkeä tässä nyt on se, että ensimmäisen ja toisen termin integraalit, eli

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2C0m

0 cos'0d'0d�0 =

=

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2C0 (�';��) [m

0 cos'0] d'0d�0 � C0 � [m cos'] ; ja

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2C' [m

0 cos'0] d'0d�0 =

=

ˆ �

0

ˆ +�=2

��=2C' (�';��) [m

0 cos'0] d'0d�0 � C' � [m cos'] ;

ovat molemmat konvoluutioita : molemmat C-funktiot riippuvat vain �':stä ja ��:sta.Molemmat ovat laskettavissa jos vain vastaavat �' = ' � '0 ja �� = � � �0 ensin laske-taan. Tämän (periaatteessa kalliin, mutta FFT:n ansiosta paljon edullisemman) operaationjälkeen on yhdistelmän (8.5) laskeminen halpa: yksi kertalasku ja yksi yhteenlasku jokaistaevaluointipistettä ('; �) kohtaan.

Esimerkki: olkoon laskenta-alue leveysasteella 60� kooltaan 10��20� Jos hilakoko on 50�100,on solujen määrä 120�120: Valitaan vaikkapa 256�256 hila (siis: n = 256) ja täytetäänpuuttuvat arvot extrapoloiduilla arvoilla.

Myös ydinfunktioiden C0 ja C' arvot lasketaan 256� 256 -kokoisella (�';��) -hilalla.Niitä on siis myös 65536. Konvoluutioiden C0 � [m cos'] ja C' � [m cos'] laskeminenFFT:n avulla � siis:

¨C0m

0 cos'0d'0d�0 = C0 � [m cos'] = F�1 fF fC0gF fm cos'gg ja¨

C'm0 cos'0d'0d�0 = C� � [m cos'] = F�1 fF fC'gF fm cos'gg

vaatii (n2) �2 log (n2) = 65536 � 16 = reilu miljoonaa laskuatoimitusta, kertominen'� '0 kanssa ja yhteenlasku taas kumpikin 65536 laskuatoimitusta.

Funktioiden C0 ja C� vastaavat hilamatriisit lasketaan numeerisesti hilana seuraavalla


tavalla: kolmelle vertauslatitudille '�1; '0; '+1 lasketaan hilat

C�1 = C (�';��; '�1) ;

C0 = C (�';��; '0) ;

C+1 = C (�';��; '+1) ;

jonka jälkeen C0 on suoraan tarjolla, ja

C' � C+1 � C�1'+1 � '�1 :

Myös inversiolasku on suoranaista tässä formalississa: oletetaan, että on annettuna ` sopi-vassa pistehilassa. Silloin voidaan laskea m:n ensimmäinen approksimaatio seuraavasti:

F fC0gF fm cos'g = F f`g ) [m cos'](0) = F�1( F f`gF fC0g

):

Toinen approksimaatio saadaan ensin laskemalla

`(0) = C0 � [m cos�](0) + (�� 0) � C� � [m cos�](0) ;

jonka jälkeen tehdään parannus:

[m cos'](1) = [m cos'](0) + F�18<:F

n`� `(0)

oF fC0g

9=; ;ja niin edelleen, iteratiivisesti. Pari, kolme askelta yleensä riittää. Tätä menetelmää on käytet-ty laskemaan maanalaisten massapisteiden laskemiseksi painovoima-anomalioista esittämäänMaan ulkopuolista painovoimakenttä (Forsberg and Vermeer (1992)).

Kirjallisuudesta löytyy enempää tasta monimutkaisesta aiheesta (esim. Forsberg and Vermeer(1992)).

8.3.4 �1D-FFT�

Tämä on edellisten rajatapaus, missä käytetään FFT vain pituusasteen suuntaan. Toisinsanoen, vyöhykemenetelmä missä vyöhykkeet ovat äärettömän kapeita. Tämä menetelmä oneksakti, mikäli otetaan kaikki pituusasteet (0� � 360�) mukaan laskussa. Se vaatii edellistenmenetelmien verrattuna hieman enemmän laskenta-aikaa.

Ks. Haagmans et al. (1993) jos tekniset yksityiskohdat kiinnostavat.

8.4 Mutkat matkalla: bordering, tapering

Diskreetti Fourier-muunnos olettaa, että data on periodinen. Käytännössä se ei sitä ole. Siksiaina jos käytetään FFT konvolutiolauseen (8.1) ratkaistaessa, jatketaan data lisäämällä reunus

8.5. Geoidilasku FFT:llä 125

data-alueeseen, ns bordering. Yleinen käytäntä näyttää olevan, että reunus on 25% data-alueen koosta; silloin koko laskenta-alueen kooksi muodostuu neljä kertaa suuremmaksi kuinitse data-alue. Reunus täytetään usein nollilla, vaikka predikoidut arvot � tai jopa mitatutarvot, jos niitä on olemassa � on parempi valinta.

Myös ydinfunktion laskenta-alue tehdään vastaavasti neljä kertaa suuremmaksi; tässä ta-pauksessa, kun funktio on symmetrinen, reunus täytetään kuitenkin oikeilla (laskettavissaolevilla) arvoilla, jolloin se automaattisesti on periodisesti jatkuva.

Koska diskreetti Fourier-muunnos olettaa periodisuutta, on huolehdittava siitä, että datatodella on periodinen. Jos reunuksen arvot eivät ole nolla, voidaan pakottaa ne nollaan ker-tomalla ne ns. tapering -funktiolla, joka menee sileästi nollaan reunaan mennessä. Sellainenfunktio voidaan helposti rakentaa, esim. kolmannen asteen spline-polynomi tai kosini. Ks.kuva, jossa 25%:n tapering-funktio.

1

0

25% 50% 25%

Näistä teknisistä yksityiskohdista on julkaistu runsaasti lehtiartikkeleita. Ryhmät jotka ovatkehittäneet FFT-geoidilasku ovat Forsbergin johtama ryhmä Kööpenhaminassa, Schwarzinja Sideriksen ryhmä Calgaryssä Kanadassa, Delftin ryhmä (Strang van Hees, Haag-

mans, De Min) ja monet muut.

8.5 Geoidilasku FFT:llä

Nykysin geoidi- tai kvasigeoidimallin laskeminen on lisääntyneen tietokonetehon ansiostahelppoa, erityisesti FFT:n avulla. Toisaalta GPS:n käytön leviäminen on tehnyt tarkkojengeoidimallejen saatavuus tärkeäksi asiaksi, jotta voitaisiin käyttää GPS:ää nopeaan ja edul-liseen korkeudenmääritykseen.

8.5.1 GRAVSOFT-ohjelmisto

GRAVSOFT geoidilaskentaohjelmisto on pääosin tehty Tanskassa. Tekijöitä on ollut mm.C.C. Tscherning, R. Forsberg, P. Knudsen; norjalainen Solheim; kreikkalainen Ara-

belos; italialaiset Brovelli, Barzaghi; monet muut.

Tämä paketti on laajassa käytössä ja tarjoaa FFT-geoidilaskun eri varianttien lisäksi mm.pienimmän neliösumman kollokaatio, eri maastoefektien laskentaan soveltuvat rutiinit, ym.Sen levinneisyyttä selittää osittain, että se on ilmainen tieteelliseen käyttöön ja lähdekoodion saatavissa. Se on myös hyvin dokumentoitu. Siksi on löytyneet myös kaupallisia käyttäjiälähinnä öljyteollisuudelta.


Kuva 8.2 � Suomen FIN2000-geoidi. Lähde: Geodeettinen laitos / Markku Pou-

tanen

GRAVSOFT on käytetty paljon myös opetuskäyttöön esim. monessa IAG:n (KansainvälisenGeodeettisen Assosiaation) järjestämässä tutkijakoulussa eri maissa.

8.5.2 Suomen FIN2000 geoidi

Kuvassa 8.2 kuvattu FIN2000-�geoidimalli� ei teknisesti olekaan geoidi vain vertauspinta jokakuvaa N60-korkeusjärjestelmän referenssitason sijaintia GRS80-vertausellipsoidiin nähden.

Tällä hetkellä on Suomessa käytössä FIN2000 -geoid; vielä uudempi geoidi, joka liittyy uuteenN2000 -korkeusjärjestelmään, on työn alla. FIN2000:n tarkkuus liikkuu �5 cm:n tasolla.

8.6. FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä 127

8.6 FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä

8.6.1 Satelliitti-altimetria

Knudsen ja Andersen ovat laskeneet maailman valtameren altimetrinen painovoimakarttalähtemällä satelliittialtimetriasta saaduista �geoidikorkeuksista� ja invertoimalla ne painovoima-anomalioiksi. Menetelmän pioneeri on ollut David Sandwell.

8.6.2 Satelliittipainovoimamissiot; ilmagravimetria

Myös painovoimasatelliittien (kuten CHAMP, GRACE ja tuleva GOCE) antamat aineistotvoitaisiin alueellisesti käsitellä FFT-menetelmän avulla: gradiometristen mittausten inver-siolasku, siis geoidikorkeuksien laskeminen Maan pinnalla satelliittitason mittauksista. Täl-lä hetkellä jo ilmagravimetriamittaukset käsitellään tällä tavoin. Tätä ongelmaa kutsutaan�alaspäin jatkaminen� (�downward continuation�) ja se on periaatteessa epästabiili.

8.7 Maastokorjausten laskeminen FFT:llä

Maastokorjaus on tunnetusti hyvin paikallinen ilmiö jonka laskentaan tarvitaan korkean reso-luution maastotietoa suhteellisen pieneltä alueelta laskentapisteen ympäri. Näin ollen maas-tokorjauksen laskeminen on kuin luotu FFT-menetelmän käyttöön.

Seuraavassa näytetään, miten FFT:n avulla maastokorjaus voidaan yksinkertaisesti ja tehok-kaasti laskea. Teemme yksinkertaisuuden vuoksi seuraavat oletukset :

1. Maaston kaltevuudet ovat suhteellisen pieniä

2. Maankuoren tiheys � on vakio

3. Maa on litteä.

Nämä oletukset eivät ole välttämättömiä. Kuitenkin yleinen tapaus johtaa monimutkaiseenmatematiikkaan parantamatta asian periaatteellista ymmärrystä.

Maastokorjaus, laskentapisteen korkeustason h ylä- ja alapuolella olevien tai puuttuvientopograa�sten massojen yhteisvaikutus, saadaan näillä olettamuksilla lasketuksi seuraavallasuorakulmaisella kaavalla, joka kuvaa kalliopatsaiden vetovoimaa pystysuuntaan projisoituina(kuva 8.3):

TC (x; y) =

ˆ +1

�1

ˆ +1

�1

G� (h0 � h)`2

cos � dx0dy0

=

ˆ +1

�1

ˆ +1

�1

G� (h0 � h)`2

� 12

h0 � h`

dx0dy0

=1

2G�

ˆ +1

�1

ˆ +1

�1

(h0 � h)2`3

dx0dy0: (8.6)


Geoidi

Luotiviiva

h

h0

Topogra�a

�

P

Kuva 8.3 � Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä

Tässä G� (h0 � h) `�2 on patsaan vetovoima ja 12(h0 � h) `�1on voimavektorin ja vertikaali-

suunnan välisen kulman � kosini.

Tämä on lineaarinen approksimaatio, jossa `, vinoetäisyys laskentapisteen (x; y) ja liikkuvandatapisteen (x0; y0) välillä, on samalla vaakaetäisyys :

`2 = (x0 � x)2 + (y0 � y)2 :

Kaava (8.6) on helppoa tarkistaa suoraan Newtonin vetovoimalaista. Kun on oletettuna,että maasto on suhteellisen loiva, on ` suuri h0 � h:n verrattuna.

Ylläolevasta kaavasta saadaan kehittämällä termeihin:

TC (x; y) =1

2G�h2

ˆ +1

�1

ˆ +1

�1

1

`3dx0dy0 �G�h

ˆ +1

�1

ˆ +1

�1

h0

`3dx0dy0 +

+1

2G�

ˆ +1

�1

ˆ +1

�1

(h0)2

`3dx0dy0; (8.7)

jossa jokainen integraali on konvoluutio ytimena `�3, ja integroitavina funktioina 1, h0 ja (h0)2.Valitettavasti funktiolla `�3 ei ole Fourier-muunnos, siksi yllä oleva määritelmä muutetaanvähän lisäämällä pieni termi:

`2 = (x0 � x)2 + (y0 � y)2 + �2: (8.8)

Silloin ylläolevassa summassa termit ovat suuria lukuja jotka melkein kumoutuvat, antaenlähes oikean tuloksen. Kuitenkin numeerisesti tämä tilanne ei ole mielyttävä.

Jos ` määritellään kaavan 8.8 mukaisesti, ytimen `�3 Fourier-muunnos on Harrison and Dic-kinson (1989):

Ff`�3g = 2�

�exp (�2��q) = 2�

�

"1� 2��q +

4�2q2�2

1 � 2 � : : :#;

missä q � pu2 + v2 on aaltoluku eli �taajuus� (x; y)-tasossa. Jos tätä sijoitetaan kaavaan 8.7,huomataan että termit joissa on ��1 summautuvat nollaksi, ja tietenkin myös termit missä

8.7. Maastokorjausten laskeminen FFT:llä 129

on �:n positiiviset potenssit häviävät kun � ! 0. Seuraavasti Harrison and Dickinson (1989):

F fTCg � 1

2G�h2F f1g

�2�

�(1� 2��q)

��

� G�hF fh0g�2�

�(1� 2��q)

�+

+1

2G�F

n(h0)2

o �2��

(1� 2��q)�

jättämällä kaikki korkeamman �:n potenssin termit pois. Kirjoitetaan toiseen järjestykseen:

F fTCg = �

�G�

hh2F f1g � hF fh0g+ F

n(h0)2

oi+

4�2q��12G�h2F f1g+G�hF fh0g � 1

2G�F

n(h0)2

o�

koska F f1g = 0 jos q 6= 0, toinen termi häviää aina. Saadaan (muista, että h on vakio,laskentapisteen korkeus)

F fTCg = �

�G�

hFnh2 � hh0 + (h0)2

oi+

4�2q�G�hF fh0g � 1

2G�F

n(h0)2

o�

ja käänteinen Fourier-muunnos antaa:

TC =2�G�

�

�1

2h2 � h0h+ 1

2(h0)2

�+

+ G�hPF�1 nF fh0g � 4�2qo�� 1

2G�F�1 nF n(h0)2o � 4�2qo

Ensimmäisessä termissa

1

2h2 � h0h+ 1

2(h0)2 = (h0 � h)2 = 0

pisteessä (x; y) jossa h0 = h, ja saadaan:

TCP = 4�2G�F�1�q ��hF fh0g � 1

2Fn(h0)2

o��;

josta nyt murheenkryyni ��1 on hävinnyt.

Tämän �regularisoinnin� tai �renormalisoinnin� edellytyksenä on, että pisteen (x; y) kohdallah0 = h, eli evaluointi tapahtuu Maan pinnalla. Yllä olevat konvoluutiot evaluoidaan suora-naisesti FFT-tekniikalla; seikkaperäisempi selitys löytyy esim. artikkelista Vermeer (1992).

Jos halutaan laskea maasto-efekti ulkoavaruudessa � lentokonegravimetria, mutta myös me-renpohjan vaikutus merenpinnalla, tai vaikkapa Moho-rajapinnan vaikutus maan pinnalla �on olemassa omat tekniikat, jotka hiemän toisella tavalla ilmaistavat TC konvoluutioidensummana (Taylor-sarjakehitelmänä). Aihetta ovat tutkineet kreikkalaiset Tziavos ja Ara-belos.

Luku 9Tilastolliset menetelmät

9.1 Epävarmuuden rooli geofysiikassa

Geofysiikassa usein toimitaan, tai lasketaan tuloksia, epävarman tai puutteellisen havain-toaineiston perusteella. Maan painovoimakentän tutkimuksessakin tämä pätee: esimerkiksipainovoimahavaintojen tiheys Maan pinnalla vaihtelee suuresti ja suuret alueet valtamerilläja napa-alueilla ovat hyvin harvaan mitattuja.

Avaruuden mittaus tekniikat toisaalta peittävät koko Maapallon valtamerineen kaikkineen.Kuitenkaan ne taas eivät voi mitata kovin suurella resoluutiolla. Joko instrumentin erotus-kyky on rajallinen (esim. satelliittiratahäiriöistä lasketut painovoimakenttäparametrit), taiinstrumentit mittaavat vain suoraan satelliittiradan alla (esim. satelliitti-altimetria).

Toinen epävarmuus joka usein on otettava huomioon en se, että Maan pinnalla voidaan tehdätarkkoja havaintoja, mutta Maan sisällä epävarmuus on paljon suurempaa ja tietoja paljonepäsuoraammin saatuja.

Edellisissa luvuissa kuvailtiin tekniikat joiden avulla voitaisiin laskea Maan painovoimaken-tän halutut arvot tai parametrit, olettaen että esimerkiksi painovoima-anomaliat olisivatsaatavissa kaikkialta Maan pinnalta ja rajattoman suurella resoluutiolla. Tässä luvussa kat-sotaan minkälaisia matemaattisia apuvälineitä voidaan käyttää reaalimaailman tilanteessa,jossa näin ei ole.

9.2 Lineaariset funktionaalit

Operaattori, joka liittää jokaiseen funktioon tietty numeerinen arvo, kutsutaan matematii-kassa funktionaaliksi. Sellainen on esimerkiksi (osittais-) derivaatta tietyssä pisteessa:

f (x)! @

@xf (x)

!x=x0

:

Toiset funktionaalit ovat esim. integraali tietyn alueen yli:

f (x)!ˆ�

f (x) dx;

ja niin edelleen.

132 Luku 9. Tilastolliset menetelmät

Voimme kirjoittaa symbolisesti:

L =@

@xtai L (f) =

@

@xf:

Funktionaali tai operaattori on lineaarinen jos

L (�f + �g) = �L (f) + �L (g) :

Huomaa että kaikki osittaisderivaatat kuten myös Laplacen operaattori � ovat lineaarisia.

9.3 Tilastotiede Maan pinnalla

Tilastotieteessä määritetään stokastinen prosessi, ts. stokastinen suure (satunnaissuure) jon-ka arvoavaruus eli domeeni on funktioavaruus, eli jonka realisaatioarvot ovat funktioita. Sto-kastinen prosessi voi olla ajassa kehittyvä suure jonka tarkka käyttäytyminen on epävarma,esim. satelliitin rata. Samalla tavalla kun (reaaliarvoiselle) stokastiselle suurelle x voidaanlaskea odotusarvo E fxg ja varianssi Cxx = V ar fxg = E

n[x� E fxg]2

o; voidaan näin tehdä

stokastiselle prosessillekin. Ainoana erona on, että näin saadaan funktio.

Olkoon esimerkiksi stokastinen prosessi x (t) ajan funktio, silloin voidaan laskea sen varians-sifunktio seuraavasti:

Cxx (t) = V ar fx (t)g :

Stokastisen prosessin tapauksessa voidaan kuitenkin laskea paljon enempää: esim. samanfunktion kovarianssi eri ajanhetkien välillä, ns. autokovarianssi :

Axx (t1; t2) = Cov f[x (t1)� E fx (t1)g] [x (t2)� E fx (t2)g]g :

Samoin, jos on käytettävissä kaksi eri funktiota, voidaan näistä laskea ns. ristikovarianssi,jne.

Stokastisen prosessin argumentti on tavallisesti aika, t. Kuitenkin geofysiikassa tutkitaanstokastiset prosessit, joiden argumentit ovat paikka maan pinnalla, eli puhutaan prosesseistamuotoa x (�; �) : Auto- ja ristikovarianssien määrittäminen tapahtuu muuten samalla tavalla,mutta Maapallon tapauksessa meillä on erikoinen ongelma. Stokastinen suure määritetäänyleisesti suureena x, josta saadaan realisaatioita x1; x2; x3; : : : joilla on tietyt tilastollisetominaisuudet. Klassinen esimerkki on nopan heitto. Noppaa voi heittää yhä uudelleen jauudelleen, ja heittojen tuloksilla voi harrastaa tilastotiedettä. Toinen klassinen esimerkkion mittausprosessi. Saman suureen mittaus voidaan toistaa, ja toistetaankin, tarkkuudenparantamiseksi.

Maan pinnalla määritetylle stokastiselle prosessille tilanne on toinen.

Meillä on vain yksi Maapallo.

9.4. Painovoimakentän kovarianssifunktio 133

Siksi tilastotieteen harrastaminen pitää tehdä hieman eri tavalla.

Jos on annettuna stokastinen prosessi Maan pinnalla, x (�; �) ; määritetään tilastollisen odus-tusarvon E f�g vastineeksi maantieteellinen keskiarvo

M fxg = 1

4�

¨�

x (�; �) d� =1

4�

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2x (�; �) cos�d�d�: (9.1)

Tässä x (�; �) on processin x yksi ja ainoa realisaatio, joka meillä on olemassa tällä Maapal-lolla.

Ilmeisesti tämä määritelmä on järkevä vain siinä tapauksessa, että prosessin x (�; �) tilas-tollinen käyttäytyminen on samanlainen kaikkialla Maan pinnalla, siis riippumaton (�; �)

arvoista. Tätä kutsutaan homogeenisuus-olettamukseksi . Se on itse asiassa olettamus, ettäMaapallon pallosymmetria ulottuu painovoimakenttäänsä.

Samalla tavalla kuin odotusarvon kanssa, voimme myös tässä määritellä varianssi:

Cxx (�; �) = V ar fx (�; �)g =Mn[x�M fxg]2

o: (9.2)

Painovoima-anomalioiden �g (�; �) tapauksessa niiden globaalinen keskiarvo häviää niidenmääritelmän perusteella, eli

Mn�g

o= 0:

Silloin kaava (9.2) yksinkertaistuu seuraavaksi:

C�g�g (�; �) = V arn�g (�; �)

o=M

n�g2

o=

=1

4�

¨�

[�g (�; �)]2 d�:

Tässä annettu maantieteellisen keskiarvonM [�] määritelmä perustuu systeemin mahdollistentilojen yli integrointiin. Kuten nähtiin määritetään tilastotieteessä keskiarvo hieman toisel-la tavalla, stokastisen prosessin odotusarvona. Painovoima-anomaloiden tässä tapauksessaEh�g

i, missä �g on anomalia stokastisena prosessina, eli se �g:n arvojen sarja joka syn-

tyy jos tarkastellaan satunnaisesti syntynyt, äärettömän pitkä Maapallojen sarja. Ei kovinkäytännöllistä!

Siinä tapauksessa että stokastisen prosessin odotusarvo on sama kuin integrointimenetelmänlaskettu keskiarvo, puhutaan ergodisesta prosessista.

9.4 Painovoimakentän kovarianssifunktio

Kovarianssifunktion määrittäminen pisteiden P ja Q välillä on monimutkaisempaa. Kaava(9.1) ei voida suoraan käyttää, koska sekä �gp että �gQ voivat liikkua koko maan pinnanyli. Meillä on siis

�gP = �g (�P ; �P ) ;

�gQ = �g (�Q; �Q) :


�

QP

O

Kuva 9.1 � Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä.

Nyt oletetaan, että laskettava kovarianssi riippuu vain pisteiden P ja Q relatiivisesta sijain-nista. Tämä on homogeenisuus-olettamuksen vahvempi muoto. Homogeenisessa painovoi-makentässä kovarianssifunktio riippuu vain pisteen Pabsoluuttisesta sijainnista, (�P ; �P ) ; jaP :n ja Q:n välisestä sijaintierosta.

Kirjoitetaan

�Q = �Q (�P ; �P ; PQ; �PQ) ;

�Q = �Q (�P ; �P ; PQ; �PQ) :

Eli (�Q; �Q) ovat laskettavissa1, jos tunnetaan (�P ; �Q) ja kulmaetäisyys PQ ja atsimuti-

kulma �PQ. Ks. kuva 9.1.

Nyt voidaan kirjoittaa:

�gQ = �gQ (�Q (�P ; �P ; PQ; �PQ) ; �Q (�P ; �P ; PQ; �PQ)) =

= �gQ (�P ; �P ; PQ; �PQ) ;

ja voidaan määritellä kovarianssifunktioksi :

C�g�g ( PQ; �PQ) =M [�gP (�P ; �P )�gQ (�P ; �P ; PQ; �PQ)] =

=1

4�

¨�

�gP (�P ; �P )�gQ (�P ; �P ; PQ; �PQ) d�P :

Myös tässä, M on maan tieteellinen keskiarvo-operaattori. Ensin kiinnitetään piste Q suh-teessa pisteeseen P : sekä atsimuti �PQ että etäisyys PQ pidetään kiinni. Pistettä P � japiste Q sen mukaan � liikutetaan nyt koko yksikköpallon pinnan yli. Laskemme integraalikoko yksikköpallon yli ja jaetaan 4�:llä:

1Puhutaan geodeettisesta päätehtävästä pallolla.

9.5. Pienimmän neliösumman kollokaatio 135

C�g�g ( PQ; �PQ) = Mh�gP�gQ(P )

i=

=1

4�

ˆˆ�

�gP�gQ(P )d�P =

=1

4�

ˆ +�=2

��=2

ˆ 2�

0

�gP�gQ(P )d�P cos�Pd�P :

Homegeenisuusolettamuksen lisäksi voimme tehdä vielä isotrooppisuusolettamus : kovarians-sifunktio � tai yleisemmin, painovoimakentän tilastollinen käyttäytyminen � ei riipu piste-

parin (P;Q) relatiivisestä suunnasta �PQ, vain niiden välisestä kulmaetäisyydestä PQ.

(Tämäkin on, kuten homogeenisuus, Maapallon pallosymmetrian eräs ilmenemismuoto.) Täs-sä tapauksessa voimme laskea maantieteellinen keskiarvo hieman eri tavalla, myös keskiar-vostamalla kaikkien atsimutikulmien �PQ 2 [0; 2�) yli:

C�g�g ( PQ) =M 0 h�gP�gQ(P )i = 1

2�

ˆ 2�

0

Mn�gP�gQ(P )

od�PQ =

1

8�2

ˆ 2�

0

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2�gP�gQ(P ) cos�Pd�Pd�Pd�PQ: (9.3)

Huomautus. Maan todellinen painovoimakenttä ei ole kovin homogeeninen eikä kovin isot-rooppinenkaan, mutta sitä huolimatta molemmat hypoteesit käytetään laajasti.

9.5 Pienimmän neliösumman kollokaatio

9.5.1 Stokastiset prosessit yhdessä ulottuvuudessa

Kollokaatio on tilastollinen estimaatiotekniikka, jota käytetään stokastisen prosessin odo-tusarvojen ja epävarmuuksien (vaikkapa keskivirheiden) laskemiseksi.

Olkoon s (t) stokastinen prosessi, jonka autokovarianssifunktio on C (t1; t2). Olkoon lisäksiprosessi stationaarinen, ts. C (t1; t2) = C (t2 � t1). Argumentti t on yleensä aika, mutta sevoi olla mitä tahansa parametri, esim. matkan etäisyys.

Tästa prosessista on tehty havaintoja hetkissä t1; t2; : : : ; tn; saadut arvot ovat s (t1) ; s (t2) ; : : : ; s (tn).Silloin näiden funktioarvojen, eli stokastisten suureiden, varianssi-kovarianssimatriisi voi-daan kirjoittaa seuraavasti (signaalivarianssimatriisi):

Var (si) =

26666664C (t1; t1) C (t2; t1) � � � C (t1; tn)

C (t1; t2) C (t2; t2) � � � ......

.... . .

...C (t1; tn) C (t2; tn) � � � C (tn; tn)

37777775 :


Käytetään tähän symboli Cij. Sekä matriisin yhdelle elementille Cij = C (ti; tj), että kokomatriisille, Cij = [C (ti; tj) ; i; j = 1; : : : ; n]. Symboli si taas merkitsee havainnoista s (ti) ; i =1; : : : ; n koostuva vektori � tai sen yksi alkio s (ti).

Huomaa, että, jos funktio C (t2 � t1) on tiedossa, koko matriisi ja kaikki sen elementit voidaanlaskea kun vain kaikki parametriarvot ti on tiedossa.

Olkoon nyt ongelman asettelu se, että pitää estimoida prosessin s arvo hetkellä T , eli s (T ),käyttäen yllä kuvatut havainnot suureista s (ti) ; i = 1; : : : ; n.

Samalla tavalla kun yllä laskettiin x (ti):n ja x (tj) väliset kovarianssit (varianssimatriisin Cijalkiot), lasketaan myös s (T ):n ja kaikkien s (ti) ; i = 1; : : : ; n väliset kovarianssit. Saadaan

Cov (s (T ) ; s (ti)) =

2666664C (T; t1)

C (T; t2)...

C (T; tn)

3777775 :

Tähän voidaan taas käyttää merkintä CTj. Tässä on oletettu, että on vain yksi aikahetkiT johon estimointi kohdistuu. Yleistys tilanteeseen, jossa on useita Tj; j = 1; : : : ;m, onsuoranainen. Silloin kovarianssimatriisista tulee n�m-kokoinen.

9.5.2 Signaali ja kohina

Prosessi s (t) kutsutaan signaaliksi. Se on fysikaalinen ilmiö johon olemme kiinnostuneet.On myös olemassa fysikaalisia ilmiöitä jota ovat muuten samanlaisia, mutta mihin me em-

me ole kiinnostuneita: päinvastoin haluamme poistaa niiden vaikutus. Sellaisia stokastisiaprosesseja kutsumme kohinaksi.

Kun suoritetaan havainto, jonka tarkoitus on saada arvo suureelle s (ti), saamme todellisuu-dessa arvo, joka ei ole absoluuttisen tarkka. Todellinen havainto siis on

ì = s (ti) + ni: (9.4)

Tässä ni on stokastinen suure: havaintovirhe eli kohina. Olkoon sen varianssi Dij; aivansamanlainen matriisi kuin yllä Cij. Ainoa ero on, että D kuvaa kohinaa, ilmiötä, josta emme

ole kiinnostuneita. Usein saa olettaa, että kahden eri havainnon ì; `j virheet ni; nj eivätkorreloidu, jolloin Dij on diagonaalimatriisi.

9.5.3 Estimaattori ja sen virhevarianssi

Nyt konstruoidaan estimaattori

bs (T ) �Xj

�Tj`j;

käytettävissä olevien havaintojen ì lineaariyhdistelmä. Tämän estimaattorin elämän tarkoi-tuksena on päästä mahdollisimman lähelle s (T ). Siis minimoitava suure on erotus

bs (T )� s (T ) = �Tj`j � s (T ) = �Tj�s (tj) + nj

�� s (T ) :


Tässä jätettiin kirjoitusmukavuuden vuoksi summausmerkkiP

pois (Einsteinin summaus-konventio).

Tutkitaan tämän erotuksen varianssi eli

�TT � V ar (bs (T )� s (T )) :Käytämme hyväksi varianssien kasautumislakea, yllä annetut notaatiot sekä tietomme, ettätuskinpa havaintoprosessin ni ja signaalin s välillä ole olemassa mitään fysikaalista yhteyttäeli korrelaatiota. Näin:

�TT = �Tj (Cjk +Djk) �TkT + CTT � �TjC

TjT � CTi�TiT : (9.5)

9.5.4 Optimaalisuuden todistus

Tässä todistetaan, että optimaalinen estimaattori on todella se, joka tuottaa pienimmät mah-dolliset varianssit.

Valitse

�Tj � CTi (Cij +Dij)�1 :

Silloin kaavasta (9.5):

�TT = CTi (Cij +Dij)�1CT

jT + CTT�� CTi (Cij +Dij)

�1CTjT � CTi (Cij +Dij)

�1CTjT =

= CTT � CTi (Cij +Dij)�1CT

jT : (9.6)

Tutkitaan seuraavaksi vaihtoehtoinen valinta

�Tj = CTi (Cij +Dij)�1 + ��Tj:

Tässä tapauksessa saadaan

�0TT = CTT � CTi (Cij +Dij)

�1CTjT+

+ ��ijCTjT + CTi��

TiT � ��TjCT

jT � CTi��TiT++ ��Tj (Cij +Dij) ��

TjT =

= CTT � CTi (Cij +Dij)�1CT

jT + ��Tj (Cij +Dij) ��TjT :

Tässä viimeinen termi on positiivinen, koska matriisit Cij ja Dij ovat positiivis-de�niittejä.Eli �0

TT > �TT ; paitsi jos ��Ti = 0:

Toisin sanoen, yllä annettu ratkaisu

�Tj = CTi (Cij +Dij)�1 ) bs (T ) = CTi (Cij +Dij)

�1 `j

on optimaalinen pienimmän neliösumman (tarkemmin, virhevarianssin �TT minimoimisen)merkityksessä.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x -4 -3-2 -1

0 1 2 3 4 5

y

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

C ( )

Kuva 9.2 � Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa. Oletettuna

C0 = d = 1

9.5.5 Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio

Pienimmän neliösumman kollokaatiota käytetään paljon maan pinnalla painovoima-arvojenja painovoimakentän muiden funktionaaliarvojen optimaaliseksi estimoimiseksi.

Jos pisteen Pi, sijainnilla(�i; �i), painovoima-anomalia kirjoitetaan�gi; on kahden painovoima-

anomalioiden välinen kovarianssi

Cov��g

i;�g

j

�=M

h�g

i�g

j

i= Cij:

Tavallisesti Cij oletetaan riippuvan vain pisteiden Pi; Pj välisestä etäisyydestä ; silloin,puhutaan isotrooppisesta prosessista �g (�; �).

Usein käytetty kovarianssifunktio painovoima-anomalijoille on Hirvosen kaava:

C ( ) =C0

1 + ( = 0)2 ; (9.7)

jossa C0 = C (0) ja 0 ovat painovoimakentän käyttäytymistä kuvaavia parametreja. C0 kut-sutaan signaalivarianssiksi, 0 korrelaatiopituudeksi. 0 kuvaa etäisyyttä, jolla eri pistei-den painovoima-anomalioiden välillä on vielä 50% korrelaatiota.

Paikallisissa sovelluksissa käytetään kulmaetäisyyden sijasta metristä etäisyyttä

s = R;

jossa R � a on Maapallon keskisäde. Silloin

C (s) =C0

1 + (s=d)2:

Tämä kaava johdattiin Ohion osavaltion painovoima-aineistosta, mutta se pätee laajemmin-kin. C (0) = C0; signaalivarianssi, kun s = 0; myös d kutsutaan korrelaatiopituudeksi . Seon etäisyys d jolla C (d) = 1

2C0, kuten kaavasta näkyy.

Suure C0 vaihtelee huomattavasti alueesta toiseen, sadoista tuhansiin mGal2; ja on suurim-millaan vuoristo-alueilla. d on yleensä suuruusluokkaa muutama kymmenen km.


Varoitus: Hirvosen kovarianssikaava on tarkoitettu (ilma-) painovoima-anomalioille, siissuureille jotka saadaan vähentämällä mitatusta painovoimasta normaalipainovoima. Ny-kyisin lasketaan usein anomalioita vähentämällä havainnoista korkean asteen �normaa-likenttä� eli pallofunktiokehitelmä. Silloin voit käyttää Hirvosen kaava vain omalla ris-killa!

Vaihtoehtoiset funktiot, joita myös usein käytetään paikallisissa sovelluksissa, ovat ensimmäi-sen tai toisen järjestysluvun Gauss-Markov prosessin kovarianssifunktiot:

C ( ) = C0e� = 0 tai C ( ) = C0e

�( = 0)2:

9.5.6 PNS-kollokaatio painovoima-anomalioille

Jos nyt on annettuna n pistettä Pi; i = 1; : : : ; n, joissa on mitattuna painovoima-arvot (ano-maliat) �g

i, voidaan, kuten yllä, konstruoida varianssimatriisi

Var��g

i

�=

2666664C0 C ( 21) � � � C ( n1)

C ( 12) C0 � � � C ( n2)...

.... . .

...C ( 1n) C ( 2n) � � � C0

3777775 =

=

2666664C0 C21 � � � Cn1C12 C0 � � � Cn2...

.... . .

...C1n C2n � � � C0

3777775 � Cij;

jossa kaikki C ( ij) lasketaan yllä annetun kaavan (9.7) avulla.

Jos vielä lasketaan myös painovoimaltaan tuntemattomalle pisteelle P :

Cov (�gP ;�gi) =

2666664C ( P1)

C ( P2)...

C ( Pn)

3777775 � CPi;saadaan, täysin samalla tavalla kuin ennen, pienimmän neliösumman kollokaation ratkai-suksi: d�gP = CPi (Cij +Dij)

�1�gj;

jossa�gjon pisteissä j = 1; : : : ; n suoritetut painovoima-anomaliahavainnot. Matriisi Dij ku-

vaa taas näiden havaintojen tekemisen yhteydessä esiintyvä satunnainen havaintovirhe (epä-tarkkuus). Useimmiten Dij on diagonaalimatriisi eli havainnot eivät korreloidu keskenään.

Voimme laskea myös yo. ratkaisun tarkkusarvio eli virhevarianssi

�PQ = CPQ � CPi (Cij +Dij)�1CjQ:

Yhden pisteen P tapauksessa Q = P ja V ar� d�gP� = �PP . Sen neliöjuuri

��gP =q�PP

on estimaattorin d�gP keskivirhe.


5 10 15 20 25 30 35 40

x510

1520

2530

3540

y

2468101214161820

�g

Kuva 9.3 � Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta. Tässä on an-

nettuna kaksi datapistettä (tähtiä); piirretty pinta antaa estimoitua arvoa d�gPalueen jokaiselle pisteelle. Tässä siis käytetään siis PNS-kollokaatio painovoi-

madatan inter- ja ekstrapolointiin

9.5.7 Laskuesimerkki

x

y

P

20 3010

10

20

301 (15 mGal)

2 (20 mGal)

Olkoon annettuna kaksi pistettä, joissa painovoima on mitattu: �g1= 15mGal; �g

2=

20mGal: Koordinaatit x- ja y- suunnassa ovat kilometreissa. Oletetaan, että eri pisteidenpainovoima-anomalioiden välillä on voimassa Hirvosen kovarianssikaava:

C (s) =C0

1 + s2=d2; (9.8)

jossa d = 20 km ja C0 = �1000mGal2:Tämän lisäksi oletetaan, että suoritetut painovoima-mittaukset (mukaanlukien painovoimapisteiden korkeuden määritys!) olivat virheettömiä.Siis Dij = 0; i; j = 1; 2.

Laskutehtävä: laske pisteen P painovoima-anomalia d�gP ja sen keskivirhe �PP =p�PP .

Seuraavasti: lasketaan ensin etäisyydet s ja vastaavat kovarianssit C.


s212 =�(30� 20)2 + (20� 30)2

�km2 = 200 km2 C12 = C21 =

1000mGal21+200=400

= 666; 66 : : : mGal2

s21P =�(30� 10)2 + (20� 10)2

�km2 = 500 km2 C1P =1000mGal2

1+500=400= 444; 44 : : : mGal2

s22P =�(20� 10)2 + (30� 10)2

�km2 = 500 km2 C2P = 1000mGal2

1+500=400= 444; 44 : : : mGal2

Tästa seuraa, että

Cij +Dij = Cij =

"C11 C12

C21 C22

#=

"1000 666; 66

666; 66 1000

#mGal2;

ja sen käänteismatriisi

(Cij +Dij)�1 =

"0; 0018 �0; 0012�0; 0012 0; 0018

#mGal�2;

myös meillä on

CPj =hCP1 CP2

i=h444; 44 444; 44

imGal2:

Kun vielä havaintojen vektori on

�gk=

"�g1�g2

#=

"15

20

#mGal;

saadaan tuloksena

d�gP =h444; 44 444; 44

i " 0; 0018 �0; 0012�0; 0012 0; 0018

# "15

20

#mGal = 9:3333mGal:

Tarkkuus:

�PP = CPP � CPj (Cjk +Djk)�1CkP =

= C0 �h444; 44 444; 44

i " 0; 0018 �0; 0012�0; 0012 0; 0018

# "444; 44

444; 44

#=

= 762; 96mGal2

eli

��gP = �27; 622mGal:

9.5.8 PNS-kollokaation teoria

Yllä esitettiin erästä pienimmän neliösumman kollokaation (least squares collocation , LSC)suosittua sovellusta. Tässä tutkitaan menetelmää yleisemmältä kannalta. Peruskaava on:

h bfi = [Cfg] [Cgg +Dgg]�1 hgi ; (9.9)


kirjoitettuna auki:

bfi =Xj

M [figj]Xk

h(M [gjgk] + E [gjgk])

�1ijkgk

Tässä g on havaintojen vektori (stokastinen suure) ja bf on predikoitavana olevien suureidenvektori. �Hattu� on tavallisesti käytetty estimaattorin merkki.

Molemmat vektorit (g ja bf) voivat olla esimerkiksi painovoima-anomalioita, jolloin on ky-seessä homogeeninen prediktio, eräänlainen interpolaatio/ekstrapolaatio. Yleisemmin bf ja govat erityyppisiä, esim. bf koostuu geoidi-undulaatioista N ja g painovoima-anomalioista �g.Jälkimmäisessä tapauksessa Stokesin kaava on �piilevänä� mukana M -matriisien muodossa.

Matriisit rakennetaan kovarianssifunktioista ja voidaan laskea yo. kaavojen avulla:

[Cfg]ij =M [figj] = [M [figj]]ij = Cov (fi; gj) ;

[Cgg]jk =M [gjgk] = [M [gjgk]]jk = Cov (gj; gk) ;

[Dgg]jk = E [gj; gk] = [E [gj; gk]]jk = Cov (nj; nk) ;

jossa ni on havaintoyhtälössä (9.4) esiintyvä havaintoprosessin epävarmuus:

gi= s (ti) + ni:

D-matriisi on havaintovirheiden kovarianssimatriisi, joka kuvaa siis havaintoprosessin ei-kä painovoimakentän ominaisuus. Kun M

h�g

i�g

j

i:n arvot voivat olla luokkaa 1200mGal2;

voivat puolestaan painovoimahavaintojen Ehninj

i:n arvot olla paljon pienempiä, mittaustek-

niikasta riippuen, esim. niinkin pieniä kuin 0:01mGal2: (Ei kuitenkaan blokkikeskiarvojen

tapauksessa, jotka ovat usein hyvin epätarkkoja)

LSC-menetelmän suurena etuna on sen joustavuus. Eri havaintotyypit voidaan käsitellä yh-den yhtenäisen teorian ja menetelmän avulla, havaintopisteiden (tai blokkien) paikat ovattäysin vapaita, ja tulos saadaan suoraan vapaasti valittaviksi suureiksi ja paikkoihin mihinniitä halutaan.

9.6 Painovoima-anomalioiden prediktio

Jos laskettavissa oleva suure bf on samantyyppinen kuin annettu suure g, puhutaan useinprediktiosta. Esimerkiksi osassa 9.5.6 jo esitetty painovoima-anomalioiden prediktiokaavasaadaan kaavasta 9.9 sopivasti sijoittamalla:

d�gP = CPi (Cij +Dij)�1�g

j:

Tässä on useita pisteitä i jossa painovoima on annettuna: vaikkapa n havaintoa �gj; j =

1; : : : ; n. Ennustettavia pisteitä voi olla yksi, P , tai myös useita. Matriisit Cij ja Dijovat

9.7. Kovarianssifunktio ja astevarianssit 143

neliskanttisia ja niiden summa voi kääntää. CPi suorakulmainen matriisi; jos on vain yksipiste P , se on n� 1 kokoinen sarakematriisi.

Prediktion virhe on nyt erotussuure d�gP ��gP ; ja sen varianssi on (�ennustusvarianssi�):

�PP � Var� d�gP ��g

P

�= Var

� d�gP�+Var��g

P

�� 2Cov

� d�gP ;�gP� :Tässä (varianssien kasautumislaki):

Var� d�gP� = CPi (Cij +Dij)

�1Cjk (Ck` +Dk`)�1C`P =

= CPi (Cij +Dij)�1CjP � CPi (Cij +Dij)

�1Djk (Ck` +Dk`)�1C`P ;

ja

Cov( d�gP ;�gP ) = CPi(Cij +Dij)�1CjP :

Lopputulos (muista, että Var(�gP) = CPP ):

�PP = CPP + CPi(Cij +Dij)�1 �

�hCjk (Ck` +Dk`)

�1 � 2Ij`iC`P :

siinä tapauksessa, että Dij � Cij, saadaan yksinkertaisempi, usein käytetty tulos:

�2PP = CPP � CPiC�1

ij CjP :

Rajatapaukset:

1. Piste P on kaukana kaikista pisteistä i. Silloin CPi � 0 ja �PP � CPP ; eli prediktioon käytännössä mahdotonta. Prediktion virhe on sama kuin signaalin (painovoima-anomalian) suuruus prediktiopisteessä.

2. Piste P on identtinen erään pisteen i kanssa. Silloin, jos käytetään vain tuo piste i,saadaan

�PP = CPP � CPPC�1PPCPP = 0;

eli ei prediktiovirhettä lainkaan. (kun prediktiopisteen arvo oli jo tiedossa!)

(Kuitenkin jos DPP 6= 0 (mutta pieni) on tulos �PP = DPP . Todista.)

9.7 Kovarianssifunktio ja astevarianssit

9.7.1 Häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio

Teoreettisessa työssä käytetään anomalioiden sijasta mieluummin häiriöpotentiaalin T ko-varianssifunktio Maan pinnalla:


K (P;Q) =M [TPTQ] :

Kirjoitetaan tämä seuraavaan muotoon käyttäen M 0 [�]:n määritelmä, kaava (9.3):

K ( PQ) =M 0 [TPTQ] =1

8�2

ˆ 2�

0

ˆ +�=2

��=2

ˆ 2�

0

TPTQ(P )d�P cos�Pd�Pd�PQ: (9.10)

Tässä on oletettu, että potentiaali on isotrooppinen : K ei riipu �:sta vaan ainoastaan :stä.

Valitaan yksikköpallon pinnalla koordinaattijärjestelmä, jossa piste P on �napa�. Tässä jär-jestelmässä parametrit �PQ ja PQ ovat pisteen Q pallokoordinaatit. Kovarianssifunktio ke-hitetään seuraavaksi summaksi:

K ( ) =1Xn=2

nXm=0

(knmRnm (�; ) + hnmSnm (�; )) :

Isotrooppisuuden perusteella kaikki kertoimet häviävät2 joissa m 6= 0:

K ( ) =1Xn=2

kn0Rn0 ( ) =1Xn=2

knPn (cos ) :

Kertoimet kn kutsutaan (häiriöpotentiaalin) astevariansseiksi . Isotrooppiselle kovarianssi-funktiolle K ( ) astevarianssien kn; n = 2; 3; : : : informaatiosisältö on sama kuin itse funk-tiossa.

9.7.2 Astevarianssit ja pallofunktiokertoimet

Voimme yksinkertaisella tavalla erikoistaa kaavaa (B.7) seuraavaksi kaavaksi:

an =2n+ 1

4�

¨�

f ( )Pn (cos ) d� =2n+ 1

2

ˆ �

0

f ( )Pn (cos ) sin d

jos funktion f kehitelmä on

f ( ) =1Xn=2

anPn (cos ) :

Vertaus edelliseen antaa

kn =2n+ 1

2

ˆ �

0

K ( )Pn (cos ) sin d ;

eli kun K ( ) on annettuna, voimme laskea kaikki kn.

Sijoittamalla K kaavasta (9.10) antaa:

kn =2n+ 1

16�2

ˆ +�=2

��=2

ˆ 2�

0

TP

(ˆ �

0

ˆ 2�

0

TQ(P )d�PQPn (cos ) sin d

)d�P cos�Pd�P :

2koska Rnm (�; ) = Pnm (cos ) cosm�, ilmaisu joka voi olla vain riippumaton �:sta jos m = 0; ja samoin

ilmaisulle Snm (�; ) = Pnm (cos ) sinm�. Lisäksi Snm (0; ) = sin (0 � �) = 0:

9.8. Kovarianssien kasautumislaki 145

Tässä olemme jo vaihtaneet integraalien järjestystä, kuten on sallittu, ja siirretty TP toiseenpaikkaan.

Kaarisuluissa oleva ilmaisu on yksikköpallon pinta-integraaliˆ �

0

ˆ 2�

0

T Pn (cos ) d� sin d =

¨�

T Pn (cos ) d� � 4�

2n+ 1Tn (P ) ;

T :n harmoninen osuus asteluvulle n, vert. kaavat (2.6). Sijoittamalla saadaan:

kn =1

4�

ˆ +�=2

��=2

ˆ 2�

0

TTn cos�d�d� =1

4�

¨�

TTnd� =M [TTn] ;

M -operaattorin määritelmän mukaan.

Jos nyt kirjoitetaan:

T (�; �) =1Xn=2

Tn (�; �) =1Xn=2

nXm=0

�anmRnm (�; �) + bnmSnm (�; �)

�;

saadaan

K( ) =1Xn=2

knPn (cos ) =1Xn=2

1

4�

¨�

T 2nd� �Pn (cos ) =

1Xn=2

1Xm=0

�a2nm + b

2

nm

�Pn (cos ) :

Tässä on käytetty hyväksi perusfunktioiden R;S ortonormaalisuutta. Kaavasta näkyy, että

kn =nX

m=0

a2nm + b2

nm; (9.11)

eli

Potentiaalin astevarianssit kn voidaan laskea suoraan

pallofunktiokehitelmän kertoimista.

Kirjallisuudesta löytyy myös monet vaihtoehtoiset notaatiot astevariansseille, esim.:

kn � �2n � �TTi :

9.8 Kovarianssien kasautumislaki

Yllä johdattu häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio voidaan käyttää myös muiden suureidenkovarianssifunktioiden johtamiseksi.

9.8.1 Ensimmäinen esimerkki: Potentiaalin jatkaminen ylöspäin

Kirjoitetaan häiriöpotentiaali T (r; �; �) pintahäiriöpotentiaalin T (�; �) funktioksi. Tiedäm-me, että

T (r; �; �) =1Xn=2

�R

r

�n+1Tn (�; �) :


Tätä voimme ilmaistaa symbolisesti:

T (r) = L fT (R)g ;Tässä L on lineaarinen operaattori (funktionaali):

L ffg =1Xn=2

�R

r

�n+1fn;

missä fn ovat kaavan (2.16) mukaisesti määritelty, niin että pallon pinnalla

f =1Xn=2

fn:

Symbolisesti voimme kirjoittaa:

L ffg =1Xn=2

Lnfn;

jossa

Ln =�R

r

�n+1on L-operaattorin spektraaliesitys.

Voimme vielä kirjoittaa tietyllä pisteellä P (rP ; �P ; �P ) avaruudessa:

LP ffg =1Xn=2

LnPfn; LnP =

�R

rP

�n+1:

Nyt T (r):n kovarianssifunktioksi saadaan:

K (rP ; rQ; PQ) = M [T (rP ; �P ; �P )T (rQ; �Q; �Q)] =

= M [LP fT (R;�P ; �P )gLQ fT (R;�Q; �Q)g] == M

" 1Xn=2

fLnPTn (R;�P�P )g1Xn0=2

nLn

0

QTn0 (R;�Q; �Q)o#

=

=1Xn=2

1Xn0=2

LnPLn0

QM [Tn (�P ; �P )Tn0 (�Q; �Q)] :

Funktioiden Tn ortogonaalisuuden perusteella on on, ilman sen kummenpaa todistusta:

M [Tn (�P ; �P )Tn0 (�Q; �Q)] =

(knPn (cos PQ) jos n = n0

0 jos n 6= n0;

eli funktion K( PQ) =P1n=2 knPn (cos PQ) harmoniset komponentit. Saadaan

K (rP ; rQ; PQ) =1Xn=2

R2

rPrQ

!n+1knPn (cos PQ) :

Tässä olemme ilmaisseet potentiaalin T (r) kovarianssifunktio vastaavan Maanpäällisen funk-tion T (R) astevarianssien kehitelmänä. Näin olemme saaneet kolmiulotteisen kovarianssi-

funktion häiriöpotentiaalille, jollainen tarvitaan mm. vuoristomaissa ja ilma- ja avaruusso-velluksissa.

9.9. Globaaliset kovarianssifunktiot 147

9.8.2 Toinen esimerkki: Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio

Tiedämme että anomalioiden ja häiriöpotentiaalin välillä on olemassa seuraava yhteys:

�g =1

R

1Xn=2

�R

r

�n+1(n� 1)Tn;

symbolisesti: �g = L0 fTg sopivalle L0 -funktionaalille:

L0 ffg =1Xn=2

(L0)n fn jossa nyt (L0)n =n� 1

R

�R

r

�n+1:

Nyt voidaan näyttää samalla tavalla kuin yllä, että

M [�gP�gQ] =1Xn=2

(L0P )n�L0Q�nM [Tn (�P ; �P )Tn (�Q; �Q)] =

=1Xn=2

(n� 1)2

R2

R2

rPrQ

!n+1knPn (cos PQ) :

Usein kirjoitetaan:

C ( PQ) =1Xn=2

R2

rPrQ

!n+1cnPn (cos PQ) ;

jossa

cn =�n� 1

R

�2kn :

Vastaavasti lasketaan myös �sekakovarianssit� potentiaalin ja painovoima-anomalian välille:

Cov (TP ;�gQ) =M [TP�gQ] = �1Xn=2

n� 1

rQ

! R2

rPrQ

!n+1knPn (cos PQ) :

Kaikki nämä ovat kovarianssin kasautumislain esimerkkejä, kun sitä sovelletaan sarjakehi-telmään:

Cov (L1 fTPg ; L2 fTQg) =Xn

Ln1;PLn2;QCov (Tn (P ) ; Tn (Q)) ;

mielivaltaisille lineaarisille funktionaaleille L1ja L2.

9.9 Globaaliset kovarianssifunktiot

Empiirisiä kovarianssifunktioita on laskettu paljon. Koko Maapalloa koskevia empiirisia kova-rianssifunktioita on olemassa vain muutama. Tyypillisesti ne annetaan astevarianssikaavan

muodossa.


0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

1e+08

0 50 100 150 200 250 300 350

Astevarianssi

Asteluku

EGM96Kaula

Tscherning-RappEGM96 virhevarianssit

Kuva 9.4 � Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina. Kuvassa asteva-

rianssien yksikkönä on m4=s4

Kuuluisinta on William Kaulan havaitsema nyrkkisääntö:

kn = �n�4:

Kirjoittamalla

cn =�n� 1

R

�2kn;

missä cn ovat painovoima-anomalioiden astevarianssit, saadaan

cn =�

R2

(n� 1)2

n4� �

R2n�2:

Tässä �=R2 on planeettakohtainen vakio, arvoltaan n. 1200mGal2:

Kaulan sääntö ei pidä paikkansa kovin tarkasti hyvin korkeille asteluvuille. Se muuten päteeaika hyvin myös Marsin painovoimakentalle, tietenkin eri vakioarvolla.

Toinen kuuluisa sääntö on Tscherning-Rappin kaava (Tscherning and Rapp (1974)):

cn =A (n� 1)

(n� 2) (n+B)=�n� 1

R

�2kn:

Vakiot ovat tekijöiden mukaan A = 425:28mGal2 ja B = 24 (tarkasti). Teknisena yksityis-kohtana valitaan tavallisesti R = RB = 0:999R; Maan sisällä olevan Bjerhammar-pallon

säde (R on Maapallon keskisäde). Ylläolevan kaavan muoto on valittu siten, että erilaistensuureiden kovarianssifunktioiksi saataisiin suljettuja kaavoja.

9.10. Kollokaatio ja spektraalinäkökohta 149

1

0

23

N � 2

N � 1

Kuva 9.5 � Sirkulaarinen geometria

9.10 Kollokaatio ja spektraalinäkökohta

Myös pienimmmän neliösumman kollokaation laskennat voidaan suorittaa tehokkaasti FFT:ntavoin. Tätä varten pitää tarkastella geometriassa olevat symmetriat, lähinnä rotaatiosym-

metria, joka on esim. olemassa pituussuunnassa koko Maapallolla: mitään ei muutu kun pyö-ritetään koko Maapalloa tietyn kulman � verran rotaatioakselinsa ympäri. Kaikki pituusasteet�! �+ �. Seuraavassa käsitellään yksinkertaistettua esimerkkiä.

Olkoon kentän g ( ) ; 2 [0; 2�) havaintoja giannettuna ympyrän reunalla, pisteissä i �

2� iN; i = 0; 1; 2; : : : ; N � 1. Oletetaan, että myös laskentatulokset eli tulosfunktion f ( )

estimaatit bfi halutaan samoihin pisteisiin. Silloin kaava (9.9) antaa:

bfi = C (f ( i) ; g ( j)) [C (g ( j) ; g ( k)) +D (g ( j) ; g ( k))]�1 g

k: (9.12)

Mikäli koko tilanteen fysiikka on pyörähdyssymmetrinen, on oltava

C [f ( i) ; g ( j)] = Cfg [( i � j) mod 2�] = Cfg [(i� j) mod N ] ;

ja samoin

C [g ( i) ; g ( j)] = Cgg [(i� j) mod N ] ;

ja vastaavasti D:lle. Koska yleensä havainnot eivät korreloi keskenään, on

D [g( i); g( j)] = �2IN ;

�2 (havaintojen varianssi) kertaa N �N yksikkömatriisi.

Tämän muotoiset matriisit kutsutaan Töplitz-sirkulanteiksi. Ominaisuuden ansiosta kaava(9.12) on konvoluutio.

Ilman todistusta mainitaan, että kaavan (9.12) spektraalivastine on seuraavan näköinen:

F ffg = =F fCfgg

F fCggg+ F fDgggF fgg =F fCfgg

F fCggg+ �2F fgg : (9.13)


Tämä on helppo ja nopea tapa laskea ratkaisu FFT:n avulla. Limiitissä jossa havainnot ovateksaksteja eli �2 = 0, seuraa kaavan (9.13) mukaan f suoraan g:stä. Jos f = L fgg, kaavayksinkertaistuu seuraavaksi:

F ffg = F fLgF fCgggF fCggg+ �2F fgg ;

eli, jos �2 = 0; F ffg = F fLgF fgg , f = L fgg. Esimerkiksi jos g ovat painovoima-anomaliat ja f häiriöpotentiaalit, on F fLg = R= (n� 1).

Lähestymistapa kutsutaan Fast Collocationiksi (Barzaghi, Sansó) tai myös Input-Output-analyysiksi (Sideris, Tziavos). Tietenkin sitä käytetään Maan pinnan kahdessa ulottuvuu-dessa, vaikka esimerkkimme oli yksiulotteinen. Kuten aina, se edellyttää että havaintoaineistoon annettu hilan muodossa ja tässä tapauksessa lisäksi, että aineiston tarkkuus on homo-

geeninen (kaikkialla sama) alueella. Tämä vaatimus täyttyy tuskin koskaan tarkasti.


9.11.1 Tehtävä: Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio

Hirvosen kovarianssikaava on

C (s) =C0

1 + (s=d)2;

ja käyttäen Ohion parametrit C0 = 337mGal2 ja d = 40 km;

1. Mikä on painovoima-anomalioiden �ennustusvarianssi� pisteessä Q joka on 5 km matkanpäästä annetun anomalian pisteestä P?

2. Entä jos etäisyys on 25 km?

9.11.2 Kovarianssien kasautuminen

Annettuna häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio

Cov (TP ; TQ) =1Xn=2

R2

rPrQ

!n+1�2nPn(cos );

1. laske painovoimahäiriön �g:n kovarianssifunktio.

2. laske painovoimagradientin @2T=@r2 (siis: häiriöpainovoiman pystygradientti!) kovarians-sifunktio.


9.11.3 Tehtävä: Prediktiosta

Annettuna Hirvosen (9.8) kovarianssifunktio

C (s) =C0

1 + (s=d)2;

ja kaksi havaintopistettä P; R joiden paikat ovat kuvan mukaisia ja etäisyydet pisteestä Qovat 2d ja d.

Q P

R

2d

d

1. Laske pisteiden P ja R varianssimatriisi

Cij=

"CPP CPRCRP CRR

#:

2. Laske pisteiden (P; R) ja piste Q:n välinen kovarianssimatriisi (rivivektori)

CQi =hCQP CQR

i:

3. Laske prediktio d�gQ arvojen �gP ; �gQ funktiona.

9.11.4 Maanalaiset massapisteet

1. Jos massapiste sijoitetaan maan sisään syvyyteen D havaintopisteen P yläpuolella, mitäon sen maan pinnalla aiheuttaman vetovoimakentän korrelaatiopituus, siis arvo s milläC(s) = 1

2C0?

2. Siis, jos haluamme konstruoida massapistemalli, jossa jokaisen havaintopisteen �gP :nalapuolella on yksi massapiste; kuinka syväksi niiden pitäisi laittaa, jos korrelaatiopituusd on annettu?

9.11.5 Kovarianssimatriiseistä

Annettuna neljä pistettä P1; P2; P3; P4 neliön kulmissa. Neliön sivupituus on d. Neliön kes-kipiste on Q. Kovarianssifunktion (Hirvonen) korrelaatiopituus on myös d.

1. Laske pisteiden P1:::P4 kovarianssimatriisi (4� 4).

2. Laske pisteiden P1:::P4 ja Q:n välinen kovarianssimatriisi (rivivektori 1� 4).

3. Laskematta d�gQ, voitko sanoa jotain ratkaisun muodosta?

Luku 10Gravimetriset mittauslaitteet

10.1 Historia

Ensimmäinen mittauslaite jota rakennettiin heilurin perusteella oli kello. Heilurikaava,

T = 2�

s`

g;

kertoo että tietyn pituisen heilurin heilahdusaika T on vakio joka riippuu vain heilurin pi-tuudesta ` ja paikallisesta painovoimasta g. Alankomaalainen Christiaan Huygens rakensiv. 1673 ensimmäinen tähän perustuva, käyttökelpoinen heilurikello jossa oli moderni liipotin.

Kun ensimmäiset brittimatkustajat toivat heilurikellonsa Intiaan, he huomasivat kellon kul-keneen tuntuvasti hitaammin. Asia saatiin korjatuksi yksinkertaisesti lyhentämällä heiluri.Aluksi ilmiön syyksi epäiltiin ilmasto-olosuhteet tropiikissa. Kuitenkin heilurin lämpölaa-jeneminen ei ollut koko selitys, vaan se, että tropiikissa painovoima g on heikompi kuinEuroopassa.

Näin keksittiin heilurigravimetri. Myöhemmin rakennettiin varta vasten paljon tarkempialaitteita, mm. reversioheiluri ja neljän heilurin Sterneck -laite, joka tuli käytetyksi myösSuomessa 20- ja 30-luvuilla. Mainittavia ovat myös Vening-Meineszin sukellusvenemittauk-sia Javamerellä, joilla havaittiin, että merenpohjalla olevien syvänteiden yläpuolella vallitseetuntuva painovoiman vajaus ja että ne ovat näin ollen vahvasti isostaattisessa epätasapainos-sa.

Painovoimamittauksiin tuotantomielessä heilurigravimetrit ovat kuitenkin liian hankalia jahitaita. Sitä varten on keksitty jousigravimetri, ks. Sektio 10.2.

Heilurigravimetrit ovat periaatteessa absoluuttisia mittauslaitteita, eli painovoima saadaansuoraan kiihtyvyyslukuina. On kuitenkin olemassa heilurin kiinnitykseen liittyviä systemaat-tisia efekteja jotka aiheuttavat sen, että mittauksen absoluutisuuteen ei sittenkään voida luot-taa. Yksi kokeiltu ratkaisu on hyvin pitkä lankaheiluri Hytönen (1972). Kuitenkin nykyisinabsoluuttimittaukset tehdään ballistisilla gravimetreilla, ks. Sektio 10.3. On huomattu, et-tä vanhemmat, heilurikoneella tehdyt mittaukset ns. Potsdam-järjestelmässä ovat arvoltaansystemaattisesti 14 mGal liian pieniä. . .

10.2 Relatiivinen (jousi-) gravimetri

Jousigravimetri on yksinkertaisimmillaan sama kuin jousivaaka.

154 Luku 10. Gravimetriset mittauslaitteet

Kuva 10.1 � Autograv CG5 jousigravimetri. © 2011 David Monniaux, Wiki-

media Commons, GNU Free Documentation License

Tasapaino jousen ja painovoiman välillä on:

mg = k�`; (10.1)

jossam on koemassa, g paikallinen (mitattavissa oleva) painovoima, k jousivakio ja �` = `0�`todellinen ja �lepotilan� jousen pituuksien välinen ero (jousen �pidennys�).

Kun koemassa häiritään, se alkaa oskilloida tasapainopaikkansa ympäri. Periodi on:

T = 2�qm=k = 2�

q� =̀g: (10.2)

Laitteen herkkyyttä saadaan di�erentioimalla kaava (10.1):

d�`

dg=m

k=

T 2

4�2: (10.3)

Sijoittamalla esim. �` = 5 cm ja g = 10m=s2 kaavaan (10.2) saadaan T = 0:44 s: Yhdenmilligalin muutos painovoimassa g tuottaa kaavan (10.3) mukaan pidennystä vain 5 � 10�8m(tarkista)! Selvästi on tämän liikkeen havaitseva tai kompensoiva anturi oltava erittäin herkkä.

Astatisoitu gravimetri tarjoaa eri mittausgeometriaa: sen sisällä koemassa on vivun päässä,ks. kuva 10.2. Vipuun kohdistuvat kaksi vääntöä jotka ovat tasapainossa. Jousen vääntö on

�s = k (`0 � `) b sin�;

jossa `0 on jousen todellinen (venytetty) ja ` teoreettinen pituus ilman kuormitusta.

Sinisäännön mukaan

`0 sin� = c sin (90� + �) = c cos �;

10.2. Relatiivinen (jousi-) gravimetri 155

josta sijoitus edelliseen:

�s = k (`0 � `) bc`0cos �:

Massaan vetoava painovoima taas on mg cos �, ja vastaava vääntö

�g = mga cos �:

Niiden välillä on oltava tasapaino:

�g � �s = mga cos �� k (`0 � `) bc`0cos � = 0;

eli

mga`0 � kbc (`0 � `) = 0: (10.4)

Di�erentioimalla:

ma`0 dg +mgad`0 � kbc d`0 = 0

josta kaavasta (10.4) sijoittamalla saa herkkyyskaava :

d`0

dg=

ma`0

mga� kbc =ma`0

mga�mga `0

`0�`=`0

g

`0 � ``

:

Tästä näkyy, että herkyyttä voidaan mielivaltaisesti kasvattaa valitsemalla ` mahdollisimmanpieneksi, lähes nolla (ns. zero-length spring -ratkaisu, http://en.wikipedia.org/wiki/

Spring_%28device%29#Zero-length_springs).

Tietysti laitteen tasaus on kriittinen.

Esim. jos oletetaan `0 = 5 cm, ` = 0:1 cm, g = 10m=s2, silloin saadaan

d`0

dg= 2:5 � 10�4 m=mGal;

eli 50 kertaa1 parempi tulos kun yllä! �Parannussuhde� on juuri (`0�`)=`.

Tämä on ns. astatisoidun gravimetrin, esimerkiksi LaCoste-Rombergin, toimintaperiaate.

Tavallinen jousigravimetri perustuu elastisuuteen. Koska mikään aine ei ole täydellisesti elas-tinen, vain aina myös plastinen (viskoosi), gravimetri itse muuttuu mittausprosessin aikana.Tämä muutos kutsutaan käynniksi. Käyntiä hoidetaan käytännön mittauksissa seuraavillatoimenpiteillä:

1Vertailukelpoisuuden vuoksi pitää vielä kertoa absin�:n kanssa.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spring_%28device%29#Zero-length_springs

http://en.wikipedia.org/wiki/Spring_%28device%29#Zero-length_springs


mg

b

Koemassan vipu

a

pituus `0

�

�

k (`0 � `)

Jousi

c

Kuva 10.2 � Jousigravimetrin toimintaperiaate

� Mitataan linjoja pitkin, jotka lähtevät tunnetusta pisteestä ja päättyvät tunnettuunpisteeseen, jolloin saadaan sulkuvirhe. Linjoja kuljetaan läpi mahdollisimman nopeas-ti. Sulkuvirhe hävitetään tasoittamalla mittauksesta saadut arvot suhteessa niiden mit-tausaikaan

� Gravimetri kuljetetaan varovaisesti sitä kolhimatta, ja

� muistetaan aina arretoida (kiinnittää vipu) kuljetuksen aikana!

� Koska jousen elastiset ominaisuudet � ja laitteen geometria � riippuvat lämpötilasta,ovat tarkkuusgravimetrit aina termostoituja.

Merigravimetri eroaa tavallisesta (maa- ) gravimetrista siinä, että se on vaimennettu te-hokkaasti. Sama pätee myös ilmagravimetrille, joka lisäksi vielä on kiinnitetty stabiloituunalustaan.

.

�

"

mg

F (")

mg

�(")

F (") cos(�+ � + ")

Kuva 10.3 � Astatisoinnin idea. Tavallisen jousen elastinen voima kasvaa jyrkäs-

ti venymisen myötä (vasemmalla). Diagonaaliasetelma (oikea) tekee sen voima

paljon riippumattomammaksi venymisasteesta

10.3. Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri 157

Laser

�Superjousi�

Vertausprisma

Putoava prisma

Prisman suojahäkki

Suojahäkin kuljetusjärjestelmä

Tyhjiöpumppujärjestelmä

Peili

g

Puoliläpäisevä peili

Interferenssin havaintolaite

Kuva 10.4 � Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate

10.3 Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri

Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri palaa painovoimakiihtyvyyden määritelmään: Se mit-taa suoraan vapaan putoamisen kiihtyvyyttä. Luodaan vapaasti putoava kappale rakenta-malla tyhjiöputki, jonka yläpään sisällä pudotetaan valoa heijastava prisma.

Tässä kuvataan lyhyesti Boulderin yliopistossa rakennettu JILA-gravimetri (J.E. Faller),joista Geodeettinen laitos on hankkinut kaksi. Ks. kuva 10.4.

Prisman putoamisen aikana �häkki� jonka pohjassa on ikkuna, likkuu sen mukana siihenkuitenkaan koskettamatta. Häkin tarkoituksena on estää jäljelle olevat ilmahivenet vaikutta-masta priman kulkuun. Putken pohjan lähellä häkki, joka kulkee raidetta pitkin, jarruttaaja prisma laskeutuu suhteellisen pehmeästi sen pohjaan. Sen jälkeen häkki kulkee takaisinputken yläpäähän ja uusi sykli alkaa.

Laserinterferometri mittaa prisman paikat matkan varrella; Mittaukset toistettaan tuhansiakertoja hyvän keskimääräaisen tarkkuuden aikaansaamiseksi. Toinen prisma, vertausprisma,on ripustettu hyvin väljästä jousesta (oikeastaan elektronisesti simuloitu �superjousi�) suo-jakseen sitä mikroseismiikasta.

Laite on suunniteltu suurimman mahdollisen tarkkuuden saavuttamiseksi; esimerkiksi pu-dottamisen aiheuttama tärinä on saatu hallintaan hyvin suunnitelleen jalustan avulla. Tark-kuudet ovat välillä 1� 5�Gal, jopa parempi kuin mihin tavalliset LaCoste-Romberg rela-tiivigravimetrit pystyvät.

Laite on kuitenkin kookas ja, vaikka sitä voidaankin kuljettaa paikasta toiseen, sitä ei voikutsua kenttäkoneeksi. Viime aikana kehitys on menneet pienempien laitteiden suuntaan,joiden kuljetettavuus on olennaisesti parannettu.


Kuva 10.5 � FG5 absoluuttinen gravimetri. © National Oceanic and Atmos-

pheric Administration

Vapaasti putoavan massan liike kuvaa seuraava yhtälö:

d2

dt2z = g (z) ;

missä on oletettu (realistisesti) että painovoima g riippuu paikasta pudotusputken sisällä. Joskuitenkin oletetaan g vakioksi, saadaan integroimalla

d

dtz = v0 + gt;

z = z0 + v0t+1

2gt2;

mistä saadaan mittausprosessin havaintoyhtälöt :

zi =h1 ti

12t2ii�

2664z0v0g

3775 ; (10.5)

missä tuntemattomat ovat z0; v0 ja g. Suureet zi ovat putoavan prisman interferometrises-ti mitatut pystysuuntaiset paikat. Vastaavan mittaushetken eli epookin ti tarkka määritys

10.4. Suprajohtava gravimetri 159

on tietenkin olennainen. Jokaisessa pudotuksessa kerättyjen mittausarvojen määrä on hyvinsuuri. Havaintoyhtälö kirjoitetaan matriisimuotoon:

` = Ax;

jossa

` =

2666666666664

z1z2...zi...zn

3777777777775; A =

2666666666664

1 t1 t211 t2 t22...

......

1 ti t2i...

......

1 tn t2n

3777777777775ja x =

2664z0v0g

3775 :

Tästä ratkaisu seuraa pienimmän neliösumman tasoituksen menetelmän mukaisesti normaa-

liyhtälöistä :

ATAx = AT `

eli

x =hATA

i�1AT `:

Vaihtoehtoinen absoluuttigravimetrityyppi, joka on kokeiltu Pariisissa, heittää prisma ilmaan(putken sisällä) jonka jälkeen se kulkee symmetristä parabolirataa. Teoreettisesti saataisiintällä menetelmällä tarkempia mittauksia; tekniset ongelmat ovat kuitenkin suurempia kuinpudotusmenetelmän tapauksessa.

10.4 Suprajohtava gravimetri

Tämä gravimetrityyppi perustuu magneettikentässä leijuvaan suprajohtavaan metallikuu-laan jonka tarkka paikka mitataan elektronisesti. Koska suprajohtava aine on läpipääsemätönmagneettikentälle, kuula jää ikuisesti samaan paikkaan kentän sisälle. Tietysti kenttä itseon oltava muuttumaton; se generoidaan mu-metallista tehdyn säiliön sisällä suprajohtavillakäämeillä.

Suprajohtavuus näissä sovelluksissa vaatii edelleenkin työskentelyä nestemäisen heliumin(He) lämpötilalla. Siksi laite ei ole vain kallis, vain vaatii kallis laboratoriotila toimivan in-frastruktuurin ympäristössä.

Näitä laitteita maailmassa on jo toistakymmentä. Yksi GWR 20-tyyppinen laite on toiminnutvuodesta 1994 lähtien Kirkkonummella Geodeettisen laitoksen Metsähovin tutkimusasemalla.Ks. Virtanen and Kääriäinen (1995), Virtanen (1998).

Suprajohtavan gravimetrin tärkein ominaisuus sen tarkkuuden lisäksi on sen stabiliuus elipieni käynti. Siksi se soveltuu erinomaisesti pitkäperiodisten ilmiöiden havaitsemiseksi, kutenMaapallon ytimen värähtelyt suuren maanjäristyksen jäljiltä. Näin se sopii mittauksiin joihin


tavallinen gravimetri ei sovi sen suuremman käynnin johdosta, ja johon seismometri ei sovikoska taajuudet ovat liian matalia.

Uusin kehitys tällä alalla on kevyiden, �kannettavien�, ja kauko-ohjattavien suprajohtaviengravimetrien kehitys (GWR, henkilökohtanen keskustelu). Toivottavasti tämä tuo parannustanykytilanteeseen jossa valtaosa laitteista sijaitsee Euroopassa ja Pohjois-Ameriikassa.

10.5 Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen

Ilmakehä vaikuttaa kahdella tavalla painovoimaan:

1. Instrumentaaliset efektit. Nämä johtuvat gravimetrin konstruktiosta. Sulkeamallalaite painekammioon saataisiin tämä ilmiö häviämään. Käytännössä helpompaa on ka-

libroida laite (laboratoriossa) ja laskea kalibrointituloksen mukainen korjaustermi kent-tämittauksiin.

2. Ilmakehän vetovoima. Tämä on oikea gravitaatio. Se kuitenkin aiheuttaa epäsään-nöllinen paikallisen painovoiman vaihtelu, jonka ilman mielummin jäisimme.

Ilmakehän efekti voidaan laskea Bouguer-laatta-approksimaation avulla: Jos ilmanpaineon p, on ilmakehän massan pintatiheys

� =p

g;

missä g on painovoima �jossain� ilmakehän sisällä. Emme tee kovin suurta virhettä joskäytämme

g � 9; 8m=s²;

ja silloin saadaan merenpinnan tasolla � � 10 000 kgm2: Bouguer-laatan vaikutus on:

�2�G� = �0; 43mGal:

Ilmanpäinevaihtelut vaikuttavat suhteessa. Jos �ilmanpainehäiriö� on �p = p � p0;

missä p0 on keskimääräinen ilmanpaine 1015 hP;on sen efekti painovoimamittaukseen:

�gA = �0; 43�pp0

mGal:

Myrskyn tai säärintaman ylikulun aikana tämä kaunis teoria romahtaa ja yksinkertai-set kaavat antavat harhaanjohtavia tuloksia. Silloin on parasta olla tekemättä mitäänpainovoimamittauksia!

3. Ilmakehän sisällyttäminen maapallon massaan. Tämä ei ole painovoimamittauk-siin sovellettava korjaus. Se on korjaus joka käytetään painovoima-anomalioiden las-kussa, mikäli halutaan anomalioita josta ilmakehä on poistettu.

Muista että vertauspainovoimakenttä GRS80 on määritetty sillä tavalla, että parametriGM sisältää koko maapallon massa, ilmakehää mukaanlukien; eli maan painovoima-kenttä sellaisena kun satelliitit sen havaitsevat Heikkinen (1981). Siksi myös painovoi-mahavainnot josta lasketaan anomalioita �g on redukoitava siirtämällä laskennallisesti

10.6. Ilmagravimetria ja GPS 161

koko mittauspaikan yläpuolella oleva ilmakehä mittauspaikan alapuolelle, esimerkik-si merenpintaan.

Tätä tehdään seuraavasti: Ilmakehän kokonaismassa on

MA = 4��R2 = 4�p

gR2:

Newtonin mukaan sen vetovoima on

GMA

R2= 4�Gp=g;

kaksi kertaa yllä annettua ilmakehäreduktiota. Merenpinnalla efekti on 0; 86mGal: Kor-keudessa efekti on

0; 86p

p0mGal;

missä p ja p0 ovat ilmanpaineet korkeudella ja merenpinnalla, vastaavasti.

10.6 Ilmagravimetria ja GPS

1990-luvun alussa GPS, Global Positioning System on muuttanut ilmagravimetria hankalas-ti soveltavasta tekniikasta täysin operationaaliseksi. Tämän ymmärtämiseksi täytyy tunteailmagravimetrian toimintaperiaate.

Lentokoneessa kuljetetaan ilmagravimetri , laite joka on samalla tavalla kuin merigravimetrivahvasti vaimennettu. Mittaus tapahtuu automaattisesti, yleensä sähköstaattisen kompen-saation avulla. Laite on kiinnitetty stabiloidulla alustalla joka seuraa paikallista vertikaalia.

Lennon aikana gravimetri mittaa kokonaispainovoimaa lentokoneessa. Tämä koostuu kah-desta osasta:

1. varsinainen painovoima, ja

2. kiihtyvyyksien aiheuttamia näennäisvoimia.

Lentokoneeseen on kiinnitetty muutama GPS-antenni; niiden, ja geodeettisen GPS-laitteenavulla voidaan seurata senttimetritarkasti lentokoneen liikkeet. Niistä voidaan sitten laskeakohdalla 2 mainitut näennäisvoimat.

Jos mitataan lentokoneen (tai mittalaitteen) paikka xi hetkillä ti, �t = ti+1 � ti, saadaankiihtyvyysarvot seuraavasti:

ai = (xi+1 + xi�1 � 2xi) = (�t)2 : (10.6)

Jos mitattu kiihtyvyys on �i ja paikallisen vertikaalin suunta ni, seuraa paikallinen painovoi-ma gi seuraavasti:

gi = �i � hai � nii :


Kriittinen asia koko menetelmässä on aikavakion �t valinta. Parasta on valita se mahdol-lisimman pitkäksi; silloin laskettujen GPS-kiihtyvyyksien ai tarkkuus on mahdollisimmanhyvä. Myös gravimetrin vaimennus valitaan �t:n mukaan, ja havainnot suodataan digitaali-sesti: kaikki taajuudet rajan �t�1 ylläpuolella poistetaan, koska ne ovat lähinnä lentokoneenliikkeiden aiheuttamia.

Käytännössä usein signaalista poistettu korkeataajuuksinen osa on 10 000 kertaa suurempikuin etsitty painovoimasignaali!

Jos yhden GPS-paikkamittauksen tarkkuus (keskivirhe) on �x (ja ne eivät korreloi!), on kaa-van (10.6) mukaan

�a =�xp6

(�t)2:

Aikavälin �t tekeminen mahdollisimman suureksi ilman että resoluutio kärsii, vaatii matalaalentonopeutta. Yleensä käytetään potkurikonetta tai jopa helikopteria. Tietysti mittauksenhinta kasvaa lennon keston mukaan (helikopterin roottoritunti on kallis!).

Lentokorkeudeksi H valitaan resuluution �x mukaan:

H � �x = v�t;

jos v on lentonopeus. Vierekkäisten lentoratojen välinen etäisyys valitaan vastaavalla tavalla.

Ensimmäinen suuri ilmagravimetriaprojekti lienee ollut Grönlannin painovoimakentän ku-

vaus ilmasta Brozena (1992). Sen jälkeen muutkin suuret asumattomat alueet pohjoisellaja eteläisellä napa-alueilla on kartoitettu ja toiminta jatkuu yhä, ks. Brozena et al. (1996),Brozena and Peters (1994). Menetelmä soveltuu hyvin suureille asumattomille alueille, muttamyös esim. merialueille lähellä rannikkoa joilla laivagravimetrilla olisi vaikea navigoida pitkiäsuoria linjoja. Vuonna 1999 suoritettiin ilmagravimetriakampanja Itämeren yli, mukaanlukienSuomenlahti (J. Kääriäinen, henkilökohtainen tiedotus). Taloudellisen näkökohdan lisäksiilmagravimetrian tärkeä etu on, että saadaan laajalta alueelta homogeeninen painovoima-aineisto. Monien vuosikymmenien aikana kerätyn pintamittausaineiston homogeenisuus onvaikea taata samalla tavalla. Myös hyvin paikallisen maaston vaikutus, joka pintamittauksis-sa on etenkin vuoristoissa hankalasti poistettava, systemaattinen häiriötekijä (ks. Sektio 5.3sivulla 70), ei esinny ilmagravimetriassa.

Satelliittigravimetrian, esim. GOCE:n (Geopotential and Ocean Circulation Explorer) toi-mintaperiaate on samanlainen. Olennainen ero kuitenkin on, että satelliittissä oleva laitteistoon painottomuustilassa: � = 0 (korkealla radalla, tai jos käytetään kitkakompensaatiomeka-nismia) tai � on pieni ja mitataan tarkan kiihtyvyysmittarin avulla (matalalla radalla, missäilman vastus on huomattava).

Satelliittimission suunnittelun suurin haaste onkin lentokorkeuden valinnassa. Matalin mah-dollinen korkeus on n. 150 km; sillä korkeudella tarvitaan jo polttoainetta tankillisen verran,muuten lento ei kestä kauan. Kuitenkin mittausten resoluutio Maan pinnalla on rajallinen;esim. pienimmät yksityiskohdat painovoimakentässä joka GOCE-satelliitti �näkee� ovat läpi-mitaltaan 50-100 km.



10.7.1 Ballistisen gravimetrin vaihtoehtoiset havaintoyhtälöt

Putoavan prisman putoamisetäisyydestä (pystykoordinaatin muutoksesta) tehdään interfe-rometrilla kolme havaintoa: (z1 � z0) ; (z2 � z0) ja (z3 � z0). Mittausten vastaavat aikaerot(t1 � t0) ; (t2 � t0) ja (t3 � t0) mitataan myös tarkasti. Tästä lasketaan paikallinen painovoi-ma.

1. Muodostaa normaaliyhtälöt. Saat olettaa, että mittaukset (z1 � z0) ; (z2 � z0) ja (z3 � z0)eivät ole korreloituja.

2. Kuinka realistinen oletus on, että havainnot eivät korreloidu?

Luku 11Geoidi, keskimerenpinta, meritopogra�a

11.1 Peruskäsitteet

Merellä geoidi on keskimäärin samalla tasolla kuin keskimerenpinta , pinta joka saadaan joshetkellisestä merenpinnasta poistetaan kaikki periodiset ja kvasi-periodiset vaihtelut. Näitävaihteluja ovat esimerkiksi:

� Vuoksi-ilmiöt (Kuun ja Auringon aiheuttamia); �1m luokka, paikallisesti enemmänkin.

� Ilmanpainevaihtelujen aiheuttamia vaihteluja (�ylösalainen barometri�); luokka muuta-ma desimetri.

� Tuulen työntövoima (�wind pile-up�);

� Reunamerillä: makean jokiveden mereen virtaavan määrän vaihteluja;

� Valtamerillä, esim. Golf-virran ja Agulhas-virran yhteydessä syntyviä pyörteitä (�me-soscale eddies�) jotka elävät kuukausikaupalla ja joiden pinnat ovat ympäröivän meren-pinnan ala- tai yläpuolella toista desimetria;

� Valtamerten virtauksien jatkuva siirtyminen paikasta toiseen.

Jos poistetaan kaikki nämä periodiset ja kvasi-periodiset vaihtelut, saadaan keskimerenpinta.Jos merten vesi olisi tasapainotilassa, olisi tämä keskimeren pinta ekvipotentiaalipinta eligeoidi.

Kuitenkin näin ei valitettavasti ole. Myös keskimerenpinta eroaa ekvipotentiaalipinnasta seu-raavien ilmiöiden seurauksena:

� Pysyvät virtaukset valtameressä aiheuttavat Coriolis-voiman kautta pysyviä keskive-den tason eroja.

� Samalla pysyvät lämpötila- ja suolaisuuseroja (jälkimmäiset esim. jokien suiden edus-talla).

Yllämainitut fysikaaliset ilmiöt aiheuttavat ns. meritopogra�a, pysyvä erotus merenpinnanja geoidin välillä.

Geoidin tunnettu klassinen määritelmä on

�se ekvipotentiaalipinta joka yhtyy lähimmin keskimerenpintaan.�

166 Luku 11. Geoidi, keskimerenpinta, meritopogra�a

Tämän määritelmän käytännön ongelma on, että se edellyttää keskimerenpinnan tunteminenkaikkialla valtamerella.

Siksi monet �geoidit� käytännössä eivät yhdykään globaaliseen keskimerenpintaan, vain jo-honkin paikalliseen (keski-) merenpintaan � ja usein sekin vain likimäärin.

Keskimerenpinta puolestaan on myös ongelmallinen käsite. Se on merenpinta mistä on las-kennallisesti poistettu kaikki periodiset efektit � mutta kuka voi tietää, onko ns. sekulaarinenefekti todellisuudessa ehkä pitkäperiodinen? Hyvä käytännön valinta on merenpinnan kes-kiarvo jaksolle 18 vuotta � Kuun rataliikkeen tärkeä jaksollisuus.

Meritopogra�a taas määritellään sen keskimerenpinnan ja geoidin välisen eron osuudeksi,joka on pysyvä. Myös tässä, pysyvyyden mitta on käytettävissä olevat mittaussarjat; ma-reogra�mittaukset ovat olleet käytettävissä jo n. vuosisadan ajan, kun taas useat satelliitti-aikasarjat (TOPEX-Poseidon) ovat vain reilun vuosikymmenen pituisia.

11.2 Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit

Paikallisesti määritetty geoidi on yleensä relatiivinen . Paikallisesti ei ole käytettävissä globaa-lista keskimerenpintaa, ja muutenkin on hyödytöntä sitoa paikallinen tai kansallinen geoidisiihen.

Yleensä paikallinen geoidi on sidoksissa kansalliseen korkeusjärjestelmään, ja ero määri-telmästä on siis sama kuin kansallisen korkeusjärjestelmän erotus globaalisesta keskimeren-pinnasta. Suomen tapauksessa erotus on n. metri, johtuen lähinnä Pohjanmeren ja Pohjois-Atlantin meritopogra�asta.

Suomessa korkeudet mitattiin pitkään N60-järjestelmässä, joka on sidottu keskimerenpin-taan Helsingin satamassa vuoden 1960 alussa. Vertauspiste kuitenkin sijaitsee Tähtitornin-mäellä observatorion pihalla graniittipilarin alla. Tarkkavaaituksen avulla korkeudet on vietykaikkialle Suomeen. Nykyisin Suomen korkeusjärjestelmä on N2000, joka on periaatteessaAmsterdamin merenpinnalle sidottu, mutta jonka vertauspiste Suomessa on kivipaasi Met-sähovissa.

Vuonna 1960 Suomen korkeusjärjestelmän N60 lähtötaso oli maan painovoimakentän ekvipo-tentiaalipinta; kuitenkin postglasiaalisen maannousun johdosta se sitä ei enää ole: postglasi-aalinen maannousu vaihtelee n. neljästä millimetristä vuodessa Helsingin seudulla n. kym-meneen millimetriin vuodessa maannousun maksimialueella Pohjanmaan tienoilla. Tämä ontärkein syy, miksi Fennoskandiassa korkeusjärjestelmät joudutaan uusimaan pari kertaa vuo-sisadalla.

Yleensä käytännön geoidikartat, kuten Suomen geoidimalli FIN2000 (kuva 8.2) konstruoi-daan niin, että ne muuttavat korkeusjärjestelmän mukaiset, esim. N60-korkeudet (Helmert-korkeudet) �keskimerenpinnasta� korkeuksiksi GRS80 vertausellipsoidista. Koska maannousuon kuitenkin jatkuva prosessi, on se sidottava tiettyyn epookkiin, ajanhetki jolloin tehtiinne GPS-mittaukset joihin alunperin gravimetrinen geoidiratkaisu on sovittu. FIN2000:n ta-pauksessa tämä oli 1997.0 (Matti Ollikainen, eri lähteitä).

11.3. Geoidi ja postglasiaalinen maannousu 167

Tarkasti ottaen FIN2000 ei siis olekaan geoidimalli. Parempi nimitys lienee �muunnospinta�.Tämä koskee oikeastaan kaikki kansalliset tai alueelliset geoidimallit jotka tehdään ensisi-jaisesti sitä varten, että GPS-menetelmä voitaisiin käyttää korkeudenmääritykseen (�GPS-vaaitus�). Nämä �geoidinkaltaiset pinnat� konstruoidaan yleensä niin, että

1. Lasketaan gravimetrinen geoidi käyttämällä Stokesin menetelmä ja Remove-Restore,esim FFT-menetelmän avulla;

2. Sovitetaan tämä geoidipintaratkaisu muutamaan vertauspisteeseen, missä sekä korkeusvaaituksesta (�merenpinnasta�) että GPS-menetelmästä (vertausellipsoidista) ovat tun-nettua. Sovitus tapahtuu esim. kuvaamalla erotuspinta polynomifunktiolla:

�N = a+ b (�� 0) + c ('� '0) + :::

tai monimutkaisempaa, ja ratkeamalla kertoimet a; b; c geoidierotuksista �tunnetuissapisteissa� pienimmän neliösumman menetelmän avulla.

11.3 Geoidi ja postglasiaalinen maannousu

Maailmanlaajuinen keskimerenpinta on tällä hetkellä vain muutaman desimetrin tarkkuu-della tiedossa, kun gravimetrisen geoidin määritys onnistuu Suomen kokoisessa maassa jotarkkuudella �5 cm.

Globaalinen keskimerenpinta ei ole vakio. Se nousee hitaasti määrällä joka on parhaidenarvoiden mukaan n. 1:5�2:0mma�1: Tätä arvoa kutsutaan eustaattiseksi keskimerenpinnan

nousuksi. Se johtuu osittain jäätikköiden ja mannerjään poissulaamisesta, osittain merivedenlämpölaajenemisesta. Kuten arvata saattaa, eustaatisen nousun tarkkaa arvoa on erittäinvaikea määrittää tarkasti. Lähes kaikilla merenpinnan tasoa mittaavilla vuoksiasemilla on omapystyliikkeensä ja niiden erottaminen maailmanlaajuisesta merenpinnan noususta edellyttäämittauspaikkojen erittäin edustavaa maantieteellistä jakaumaa.

Tästä ilmiöstä johtuen on tehtävä ero n. absoluuttisen ja relatiivisen maannousun välillä:

Absoluuttinen maannousu on maankuoren liike maapallon massakeskipisteeseen nähden.Tämä maannousu mitataan kun käytetään satelliitteja, joiden rataliike tapahtuu maanmassakeskipisteen ympäri. Esim. satelliitti-altimetria, GPS-paikannus mareografeilla.

Relatiivinen maannousu on maankuoren liike keskimerenpinnan nähden. Tämä liike mita-taan vuoksiasemien eli mareogra�en avulla.

Geoidin nousu: Kun postglasiaalinen maannousu on maan sisäisten ainemäärien siirtyminenpaikasta toiseen, on selvä että myös geoidi täytyy muuttaa. Geoidin nousu on kuitenkinpieni maannnousun verrattuna, vain muutama prosentti siitä.

Kaava (piste suureen yläpuollella merkisee aikaderivaatta eli d=dt):

_h = _Hr + _He + _Ht + _N;

jossa


� _h on absoluuttinen maannousu,

� _Hr on relatiivinen maannousu,

� _He on eustaatinen (keskimerenpinnan) nousu,

� _Ht on meritopogra�an ajallinen muutos (luultavasti hyvin pieni)

� _N on geoidin nousu.

Geoidin muutos maannousun seurauksena voidaan yksinkertaisesti laskea Stokesin kaavanavulla:

dN

dt=

R

4�

¨�

d

dt�g

!S ( ) d�

tässä _g on painovoiman muutos ajassa maannousun johdosta. Valitettavasti emme tunne tar-kasti mekanismi millä massa virtaa maan vaipassa maannousualueen alle; voimme kirjoittaa

d

dt�g = c

dh

dt;

missä c voi vaihdella �0,17 ja �0,31mGal=m välillä. Todennäköisin arvo tällä hetkellä on�0,2mGal=m, melkoisella epävarmuudella.

� Arvo�0; 17mGal=m kutsutaan �Bouguer-hypoteesiksi�: se vastaa tilannetta, missä nouse-van maankuoren alle virtaa ylävaipan materiaalia täyttämään syntynyttä reikää.

� Arvo �0; 31mGal=m on toinen ääripää, �vapaa-ilma-hypoteesi�. Tämän hypoteesin mu-kaan jääkauden jääkuorma on vain puristanut maan vaippa kokoon, ja nyt se on hitaas-ti laajenemassa entiseen tilavuuteensa (�pullataikinamalli�).

Näyttää siltä, että Bouguer-malli on lähempänä fysikaalista totuutta. Massan virtaus ta-pahtuu todennäköisesti ns. astenosfäärin sisällä.

Tämä ongelmakenttä on paljon tutkittu Pohjoismaissa. Menetelmä on ollut gravimetrinenmittaus 63� leveyspiiriä pitkin (�Blue Road Geotraverse� -projekti). Mittausasemat ulottavatNorjan rannikolta Venäjän rajalle saakka, ja ne on valittu niin että painovoima niillä vaihteleepienen välin sisällä. Näin vältetään gravimetrien mittakaavavirheen vaikutusta. Eihän abso-luuttinen painovoima kiinnosta, vain ainoastaan painovoimaerojen muutos ajassa asemienvälillä.

Mittauksia on tehty monen vuoden ajan käyttäen huipputarkkoja tavallisia (relatiivi-) gra-vimetreja. Viime vuosina on siirretty absoluuttigravimetrien käyttöön.

11.4 Menetelmiä meritopogra�an määrittämiseksi

Periaatteessa on olemassa kolme geodeettista menetelmää:

� Altimetria ja gravimetrinen geoidimääritys

� GPS-paikannus rannikolla (mareogra�t) ja gravimetrinen geoidimääritys

� Tarkkavaaitus rannikkoa pitkin.

11.5. Globaalinen meritopogra�a ja lämmönkuljetus 169

Maankuori

Astenosfääri

(a) Bouguer-malli. . .

Ylä-vaippa

Maankuori

(b) . . . ja vapaa-ilma-malli

Kuva 11.1 � Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia

Tämän lisäksi on vielä olemassa oseanograa�nen menetelmä eli fysikaalinen mallinnus .

Kaikki menetelmät pitäisi antaa samat tulokset. Itämeri on esimerkkitapaus, missä kaikkikolme menetelmää on käytetty. Lopputuloksena voidaan mainita, että koko Itämeren pintaon �kallellaan�: ekvipotentiaalipintaan nähden merenpinta nousee Tanskan raumoista Suo-menlahden ja Pohjanlahden pohjukoille n. 25-30 cm.

Oseanogra�set mallilaskennat antavat ymmärtää, että tämä kaltevuus on suurilta osin pe-räisin suolaisuusgradientista : Atlantilla suolaisuus on 30-35 o=oo, kun Itämerellä se laskee5-10 o=oo:iin johtuen jokien massiivisesta makean veden tuotannosta (Ekman (1992)). Tietystitämän päälle asettuvat ajalliset vaihtelut, kuten myrskyjen aiheuttamat oskillaatiot heiluvankylpyammeen tapaan, joiden amplituudi voi olla enemmän kuin metri.

Julkaisussa Ekman (1992) löytyy lisää Itämeren meritopogra�asta ja sen määrittelystä.

11.5 Globaalinen meritopogra�a ja lämmönkuljetus

Yksi tärkeä syy miksi tutkijat ovat kiinnostuneita maailmanlaajuisesta meritopogra�asta on,että se antaa mahdollisuuden tutkia tarkemmin valtamerten virtaukset ja näin ollen Auringonlämpöenergian kuljetusta päiväntasaajalta korkeampiin leveysasteisiin.

Maan pyörähdysliikkeen aiheuttama Coriolis-voima on:

a = 2Dv ��!!

E; (11.1)


5˚

5˚

10˚

10˚

15˚

15˚

20˚

20˚

25˚

25˚

30˚

30˚

35˚

35˚

60˚ 60˚

65˚ 65˚

5˚

5˚

10˚

10˚

15˚

15˚

20˚

20˚

25˚

25˚

30˚

30˚

35˚

35˚

60˚ 60˚

65˚ 65˚

5˚

5˚

10˚

10˚

15˚

15˚

20˚

20˚

25˚

25˚

30˚

30˚

35˚

35˚

60˚ 60˚

65˚ 65˚

Vågstranda Meldal

Kopperå

Föllinge

Stugun Kramfors

Vaasa Äänekoski

Joensuu

5˚

5˚

10˚

10˚

15˚

15˚

20˚

20˚

25˚

25˚

30˚

30˚

35˚

35˚

60˚ 60˚

65˚ 65˚

Kuva 11.2 � Fennoskandian 63� leveyspiirin painovoimalinja

missä v on liikevektori pyörivän Maapallon järjestelmään kiinnitetyssä järjestelmässä ja �!!on Maapallon pyörähdysliikevektori.

Jos neste virtaa Maan pinnalla, vektoreiden v ja �!! välinen kulma on latitudi ' ja vektori-kaavaa 11.1 voidaan korvata yksinkertaisemmalla skalaarikaavalla:

a = 2v! sin';

missä a � ka� ha � nik, eli a:n projektion suuruus Maan tangenttitasossa, ja v � kvk jne.tutulla tavalla. Coriolis-kiihtyvyyden suunta on aina kohtisuora virtausnopeutta vastaan, vir-taussuunnassa katsottuna oikeaanpäin pohjoisella pallonpuoliskolla, vasempaanpäin eteläisel-lä pallonpuoliskolla.

Coriolis-voiman seurauksena merivirtauksen alueella merenpinta tulee olemaan kallellaan

kulmalla joka on

a

=

2v!

sin':

Tämä tasapaino Coriolis-voiman ja paineen vaakagradientin välillä kutsutaan geostro�sek-

si tasapainoksi. Kuten näkyy, päiväntasaajalla kaltevuus on nolla, mutta kaikkialla muuallamerivirrat ovat kallellaan. Esimerkiksi Golf-virran tapauksessa tämän efektin aiheuttama kor-keusvaihtelu on muutama desimetri. Kaltevuuden suunta on aina kohtisuora virtaussuunnansuhteen, sillä tavalla että se on virtauksen oikeaan puoleen kalteva pohjoisella pallonpuolis-kolla, ja virtauksen vasempaan puoleen kalteva eteläisella pallonpuoliskolla. Jos määritetäänpaikallinen (x; y)-koordinaatisto missä x osoittaa pohjoiseen ja y itään, voimme kirjoittaameritopogra�alle �:

@�

@x= �2vy!

sin';

@�

@y= +2vx

!

sin': (11.2)

Kuten tulemme näkemään seuraavassa luvussa (ks. Luku 12) on teknisesti mahdollista mitatamerenpinnan paikka avaruudessa tällä tarkkuudella satelliitti-altimetrian avulla. Jos olisi

11.5. Globaalinen meritopogra�a ja lämmönkuljetus 171

y

x

+

-

Kuva 11.3 � Meritopogra�an ja merivirtausten välinen yhteys. Punaiset nuolet

kuvaavat merivirtauksia; käyrät meritopogra�aa

tämän lisäksi vielä olemassa tarkka geoidikartta, niin voisimme laskea meritopogra�a, jakaavojen 11.2 avulla ratkaista virtauksen nopeusvektorikenttä [vx ('; �) ; vy ('; �)]. Kaavojenelegantti ominaisuus on, ettei tarvitse tietää edes kentän �('; �) absoluuttista tasoa, koskase häviää di�erentioimisessa.

Kuvattu menetelmä edellyttää riiittävän tarkan Maan valtamerten geoidikartan olemassaoloa.Siksi on ollut kauan suunnitteilla satelliitti Maan painovoimakentän (ja näin ollen geoidin)määrittämiseksi tarvittavalla tarkkuudella. Tämä satelliitti joka kantaa hyvin herkkä paino-voimagradiometri, on nimeltään GOCE, Geopotential and Ocean Circulation Explorer. Se onollut avaruudessa vuodesta 2009 ja on ollut suuri menestys. Ensimmäiset painovoimakentänmääritykset on jo julkaistu, ja mittaukset jatkuvat ainakin 2012 saakka (http://earth.esa.int/download/goce/goce_newsletter_issue2.1.pdf).

Hankkeen toisena päämääränä on, kuten nimi osoittaa, saada täydellinen kuva merivirtauksis-ta ja erityisesti niiden lämpökuljetuskapasiteetista. Tämä tieto auttaa ymmärtämään mitenMaapallon ilmasto toimii ja miten se on muuttumassa, myös ihmiskunnan toiminnan seurauk-sena. Tämä on Euroopalle ja Suomelle keskeisen tärkeä, ovathan nämä alueet asumiskelpoisiaainoastaan Golf-virran tuoman lämpöenergian ansiosta.

Jo nyt, ilman geoidimallia, voidaan tutkia satelliitti-altimetrian avulla merivirtausten vaihte-luja. On tiedetty jo kauan, että Pohjois-Atlantilla Golf-virran laidalla liikkuu ns. meso-scale

eddies , 10�100 kilometrin kokoisia pyörteitä jotka näkyvät satellitti-altimetriakuvissa. Mie-lenkiintoista on, että pyörteet näkyvät myös merenpinnan lämpätilakartoissa ja biologit ovathavainneet että pyörteiden sisäinen elimistö poikkeaa sen ulkopuolisesta. Pyörteiden elinkaarivoi olla viikkoja, jopa kuukausia.

Hyvä, vaikkakin jo hieman vanha, johdanto �geodeettiseen meritieteeseen� ja satelliitti-altimetriankäyttöön antaa Rummel and Sansó (1992).

http://earth.esa.int/download/goce/goce_newsletter_issue2.1.pdf

http://earth.esa.int/download/goce/goce_newsletter_issue2.1.pdf


11.6 Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen

Vettä on maapallolla kolmessa eri muodossa: neste, jää ja höyry. Geologisen historian aikanaon erityisesti nestemäisen veden ja jään suhde vaihdellut suuresti. Myös tällä hetkellä onsuuri määrä jäätä sidoksessa mannerjäätikköihin, lähinnä Etelämanner ja Grönlanti. NäistäItä-Etelämanner on ylivoimaisesti suurin.

Kun mannerjäätikköihin sidotun veden määrä vaihtelee, vaihtelee merenpintakin. Viimeisenjääkauden loppuminen on nostanut merenpintaa jopa 120m, prosessi joka tuli päätökseenn. 6000 vuotta sitten (http://en.wikipedia.org/wiki/Current_sea_level_rise). Vastaviime vuosisadan, parin aikana on merenpinnan nousu taas kiihtymässä lähinnä globaalinlämpenemisen seurauksena.

Elämme edelleen viimeisen glasiaation jälkimainigeissa; siellä missä oli isoja mannerjäätik-köitä jotka ovat sittemmin sulanneet pois, kuten Fennoskandiassa ja Kanadassa (ns. Lau-rentiidinen mannerjäätikkö) on maa edelleen nousemassa tasaiseen tahtiin jopa 10mm=vuosi.Maannousualueen ympärillä, keski-Euroopassa ja Yhdysvalloissa, tapahtuu taas maan vajoa-minen alaspäin jopa 1�1.5 mm:n vuosivauhdilla, kun välittömästi Maan kovan ulkokerrokseneli litosfäärin alla olevassa ylävaipassa eli astenosfäärissä ainetta virtaa hitaasti sisään päinnousevan Maankuoren alle.

Kuvion mutkistamiseksi mannerjätikköiden aiheuttama merenpinnan nousu painaa myös val-tameren pohjaa alaspäin � jopa 0.3 mm vuodessa, ns. Peltier-ilmiö . Siksi mitattu merenpin-nan nousu � joko rannikolla mareografeilla, tai avaruudesta altimetriatutkasatelliiteilla � ei

edusta koko valtameren vesivolyymin muutosta. Jos se on kiinnostuksen kohteena, kutense ilmastotukimuksessa aina on, pitää lisätä havaintoarvoihin vielä tämä Peltier-korjaus.

Merenpohjan vajoaminen ei ollut edes globaalisti tasaista: mantereiden reunalla tapahtuu�vipuliike� kun merenpohja vajoaa mutta kuiva maa ei. Ja Intian ja Tyynen Valtameren tro-piikissa merenpinta saavutti n. 6000 vuotta sitten maksimitasonsa, ns. �mid-Holocene high-stand�, maankuoren suhteen; sen jälkeen merenpinta on laskenut ja sen aikaiset korallimuo-dostelmat ovat jääneet kuolleina n. 2�3 m nykymerenpinnan yläpuolelle. Näin muodostivatesim. Tuvalu ja Malediivit, joita moderni merenpinnan nousu on jälleen uhkaamassa.

11.7 Merenpintayhtälö

Tieteellisesti merenpinnan vaihtelut tutkintaanmerenpintayhtälön avulla (http://samizdat.mines.edu/sle/sle.pdf). Alan pioneereja on ollut Richard Peltier (http://www.atmosp.physics.utoronto.ca/~peltier/data.php), joka on rakentanut malleja siitä, miten sekäkiinteä maa että merenpinta reagoi, jos mannerjäätikköiden kokonaismassa muuttuu.

Merenpintayhtälö on (http://samizdat.mines.edu/sle/sle.pdf):

S = SE +�i o

hGs i I �Gs i I

i+�o o

hGs o S �Gs o S

i; (11.3)

jossa

http://en.wikipedia.org/wiki/Current_sea_level_rise

http://samizdat.mines.edu/sle/sle.pdf


http://www.atmosp.physics.utoronto.ca/~peltier/data.php

http://www.atmosp.physics.utoronto.ca/~peltier/data.php


11.7. Merenpintayhtälö 173

Etelämanner

Grönlanti

Merenpintalaskee Merenpinta

nouseeMerenpintalaskee

Kuva 11.4 � Merenpintayhtälö. Merenpinta reagoi monimutkaisella tavalla kun

mannerjäätiköt sulaavat

� S = S (!; t) = S (�; �; t) kuvaa merenpinnan vaihtelut paikan ! = ('; �) ja ajan t

funktiona,

� I = I (!; t) on vastaavasti jäätiköiden geometriaa kuvaava paikan ja ajan funktio,

� SE on eustaattinen termi, eli jäämassojen vaihtelu kuvattuna �vastaavana globaalisenmerenpinnan vaihteluna�, kaavassa

SE (t) =mi (t)

�oAo;

jossa mi (t) on jään kokonaismäärän vaihtelu ajan funktiona, �o meriveden tiheys ja Aovaltamerten kokonaispinta-ala;

� � on aineen tiheys: �i jään ja �o veden,

� on pallopinnan ja aika-akselin konvoluution symboli, i jäätiköiden, o valtamerienyli � eli Greenin funktio kerrotaan jää- ja merifunktioiden kanssa ja integroidaan ko.domeenin yli. Nämä integraalit ovat muuten hyvin samanlaisia kuin mistä puhuttiinluvussa 7.1, esim.:

fGs o Sg (!; t) =ˆ t

�1

¨meri

Gs f (!; !0) ; (t� t0)gS (!0; t0) dS 0dt0;

jossa (!; !0) on geosentrinen kulmaetäisyys laskentapisteen ! = (�; �) ja integrointi-pisteen !0 = (�0; �0) välillä. Pinta-integraali dS = R2 cos� d�d�. Kuten näkyy, on tässäkyse sekä Maan pallopinnalla S että aika-akselilla t suoritettu konvoluutio.

� Yläpalkki kuvaa keskimääräistystä koko valtameren pinnan yli,

� 0 on keskimääräinen painovoimakiihtyvyys,

� Gs on ns. merenpinnan Greenin ydinfunktio:

Gs = GV � 0Gu;

jossa geopotentiaalin Greenin funktio on

GV ( ; t) = GrV ( ; t) +Ge

V ( ; t) +GvV ( ; t)


Kuva 11.5 � Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen (Wikimedia Com-

mons, © Robert A. Rohde, GNU Free Documentation License)

jossa taas on laskentapisteen etäisyys integrointipisteestä, ja GrV ; G

eV ja Gv

V ovat jäy-kän (�rigid�), elastisen ja plastisen (�viscous�) deformaatioiden osafunktioita. Ne siiskuvaavat maapallon reologista käyttäytymistä, ja niiden teoreettiseen laskemiseen tar-vitaan Maan sisäistä viskoositeettijakauma � (r). . . olettaen, että se on isotrooppinen,

ts. riippuu vain r-stä.

Gu ( ; t) = Geu ( ; t) +Gv

u ( ; t)

taas on vastaavasti pystysiirtymän Greenin ydinfunktio, samalla tavalla jaettuna elas-tiseen ja plastiseen osuuksiin.

Merenpinnan käyttäytyminen voidaan nyt laskea sillä tavalla, että ensin yritetään konstruoi-da �jääkuormahistoria�, siis I (!; t); sitten tästä yritetään laskea iteratiivisti merenpintayh-tälön (11.3) avulla S (!; t). Huomaa, että S kuvaa relatiivista merenpinnan vaihtelua, elimuutokset merenpinnan ja Maan kiinteän kappaleen eli maankuoren välisestä pystysuunnansijainnista. Se on paikan funktio: ei saa olettaa, että se olisi kaikkialla sama. ArtikkelissaMitrovica et al. (2001) näytetään, miten esim. Grönlannin sulamisvesi pakenee eteläisellepallonpuoliskolle, kun taas Etelämantereen sulaamisvesi tulee vastaavasti pohjoiseen. Tämäon seuraus siitä, että Maan painovoimakenttä ja geoidi muuttuvat, kun suuret jäämassatsulaavat. Toinen tekijä on, että myös Maan muoto muuttuu, kun jään kuormitus muuttuu:ns. Glacial Isostatic Adjustment eli GIA.

Tämä hankaloittaa myös globaalisen keskimerenpinnan vaihtelujen seurantaa paikallisistamittauksista: ongelma on Fennoskandiasta tuttu, kun maankuori liikkuu ylöspäin toistaiseksinopeammin kuin globaalisen merenpinnan nousu. . .

11.7. Merenpintayhtälö 175

MerenpintayhtälönGreen-funktiot ovat sekä etäisyyden että ajan t funktioita; tämä kuvaase, että GIA on sekä paikan että ajan funktio. Pallosymmetriselle Maalle funktiota voidaankirjoittaa kehitelmäksi, esim.

GvV ( ; t) = H (t)

R 0M

1X`=1

0@imaxXi=1

kìesìt

1AP` (cos ) ;jossa H (t) on askelfunktio (�Heaviside-funktio�). Indeksi i laskee ns. viskoelastiset moodit ;kì ovat �viskoelastisia kuormituksen deformaatiokertoimia� ja �ì = �1=sì vastaavat relaksaa-tioajat joissa ko. moodi vaimentuu aikaa myöten. Yleensä moodit joilla on pitkät spatiaalisetmittakaavat � siis alhaiset i-luvut � vaimentuvat hitaimmin, kun taas paikalliset moodit �korkeat i-luvut � vaimentuvat nopeammin ja viime deglasiaation paikalliset moodit ovat ny-temmin jo hävinneet. Esimerkiksi Fennoskandian maannousun maantieteellinen kuvio on johyvin sileä, ja deglasiaation aikainen seisminen toiminta on pitkälti ohi. Silloin, heti manner-jäätikön vetäytymisen jälkeen jäätikön reunalla, tapahtui voimakkaita maanjäristyksiä joidenjälki näkyy maisemassa. Tämän hetken hallitsevat viskoelastiset moodit ovat maantieteelli-seltä mittakaavaltaan tuhansia kilometria, ja vastaavasti aikaskaalaltaan tuhansia vuosia.

Luku 12Satelliitti-altimetria ja

satelliittipainovoimamissiot

12.1 Satelliitti-altimetria

Satelliitti-altimetria on menetelmä, jolla mitataan satelliitiltä tutkan avulla matka suoraanalaspäin merenpintaan. Aikaa myöten on lentänyt useitä altimetrisia satelliitteja; niitä onluetteloitu taulukossa 12.1.

GEOS- ja Seasat-satelliitit olivat amerikkalaisia koesatelliitteja altimetriamenetelmän kehit-tämiseksi; GEOS-3:n mittaustarkkuus oli vielä aika heikko. Ennen sitä kokeiltiin altimetriamyös Skylabilla olevan laitteen avulla.

Seasat meni valitettavasti epäkuntoon vain kolme kuukautta laukaisunsa jälkeen; kuitenkinSeasat-aineisto oli ensimmäinen laaja satelliitti-altimetria-aineisto joka käytettiin keskime-renpinnan määrittämiseksi, myös Suomessa.

Geosat oli Amerikan laivaston laukaisema satelliitti, jonka tarkoituksena oli kartoittaa maa-ilman valtamerten painovoimakenttä, tarkemmin luotiviivapoikkeamat, joita tarvitaan su-kellusveneiltä laukaistujen ballististen ohjusten oikean lähtösuunnan aikaansaamiseksi. Geo-

Taulukko 12.1 � Altimetriasatelliittit kautta aikojen

SatelliittiLauk. Ratatason Radan Toisto- Tarkkuusvuosi kaltevuus (�) korkeus (km) jaksot (vrk) (m)

GEOS-3 1975 115,0 843 - 0,20Seasat 1978 108,0 780 3 (17) 0,08Geosat 1985 108,0 780 3, 17 0,04ERS-1 1991 98,5 780 3, 35, 2�168 0,03

Topex-Poseidon 1992 66,0 1337 10 0,033ERS-2 1995 98,5 780 35 0,03

Geosat follow-on 1998 108 800 17 0,035Envisat 2001 98,5 784 35 0,045Jason-1 2001 66,1 1336 9,9156 0,025Jason-2 2008 66 1336 9,9156 0,025

178 Luku 12. Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot

��

��

Vertausellipsoidi

Keskimerenpinta

Todellinen rata

Geoidi

Merenpinta

footprint

h`

Laskettu rata

Meritopogra�a �

Geoidikorkeus N

Kuva 12.1 � Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet

deettisen mission 17-päiväinen aineisto oli alunperin salaista; sitten julkaistiin eteläisen pal-lonpuoliskon aineisto tutkijoitten käyttöön, ja tällä hetkellä koko aineisto on käytettävissä.

ERS-1/2 -satelliitit ja Envisat ovat ESAn (European Space Agency) laukaisemia. Altimetrioli vain yksi monesta laitteesta.

Topex/Poseidon on amerikkalais-ranskalainen yhteistyöprojekti jonka yhtenä tavoitteenaoli ns.meritopogra�an tarkka määritys. Sen erikoispiirteenä on, että on mukana tarkka GPS-paikannin, jonka ansiosta altimetri määrittää merenpinnan sijainnin geosentrisesti. Yhdessäsen seuraajien Jason-1 ja 2 kanssa tämä satelliittimissio on myös tuottanut arvokasta tietoaglobaalin keskimerenpinnan noususta viime 20 vuoden aikana, noin 3 mm vuodessa.

Mittausmenetelmä on kuvattu kuvassa 12.1. Tässä näkyy kaikki suureet jotka altimetriassaovat mukana: mitattu etäisyys ` on satelliitin korkeus h vertausellipsoidista, korjattuna geoi-din korkeuksella N , meritopogra�alla � ja merenpinnan vaihteluista, kuten vuokset, pyörteet,vuosittaiset jaksot jne.

Tämän lisäksi satelliitin todellinen rata ei ole se mikä on laskettu (edes jälkeenpäin!); siksi

h = h0 +�h;

missä h0 on laskettu rata ja �h ratavirhe.

12.2. Crossover-tasoitus 179

Mittaukset tehdään lähettämällä 10�20 pulssia sekunnissa alaspäin; takaisin heijastettujenpulssien kulkumatka mitataan, suurin ja pienin arvo heitetään pois (mahdollisina virhemit-tauksina) ja lopusta lasketaan lineaariregression avulla keskiarvo pulssisarjan keskiepookkiin.Näin regressioviivasta saatu arvo on varsinainen �mittaus�; niitä on noin yksi sekunnissa, jol-loin mittaustahti on 1 Hz.

Yksityiskohdat vaihtelevat satelliitista toiseen. Pulssin muoto ei ole koskaan aivan terävä;palaavan pulssin �paikka� Maan pinnalla eli footprint , on läpimutaltaan muutama kilometri.Erityisesti siinä tapauksessa että merellä on aaltoliike (signi�cant wave height , SWH), onkäsittelyvaiheessa tehtävä huolelliset instrumenttikorjaukset, jottei syntyisi systematiikkaa:jos SWH on iso, on myös altimetrin footprint (merenpinnan alue mistä palaa radioenergiaavastaanottimeen) suurempi, ja radioaaltojen kulkomatka keskimäärin pitempi.

Monesta laitteistoon, ilmakehään ja kiinteään maahan liittyvistä korjauksista mainittakoon:

� Meriaaltojen korkeus (SWH);

� Kiinteän Maan vuorovesi;

� Meren vuorovedet;

� Troposfäärin �kostea� propagaatioviive, parhaiten mitattavissa satelliitilla olevan vesi-höyryradiometrin avulla, muulloin ilmakehämallista;

� Troposfäärin �kuiva� propagaatioviive;

� Ionosfääriviive, vaan ionosfäärin osuudesta satelliitin alapuolella, riippuu lentokorkeu-desta;

� Altimetritutkan oma kalibrointikorjaus. Nykyisin pyritään aina �in-�ight�-kalibrointiin.

12.2 Crossover-tasoitus

Kun satelliitti kiertää Maata kuukausien tai jopa vuosien ajan, kertyy tuhansia pisteitä missäradat kulkevat ristin. Jos oletetaan, että merenpinta oli sama kumman satelliitin ylikulunaikana, tästä muodostuu ehto jota voidaan käyttää satelliittiratavirheiden tasoittamiseksi.

Havaintoyhtälöt:

ha = N + � +�h+ �+ n;

missä ha on altimetrinen merenpinnan korkeuden mittaus, N on geoidikorkeus, � on merito-

pogra�a (keskimerenpinnan pysyvä poikkeama ekviipotentiaalipinnasta), �h on ratavirhe, �on merenpinnan vaihtelevuus mm. vuoroveden seurauksena, ja n on tutkahavaintojen kohina.

Tästä saadaan ratojen i ja j ristikohdissa:

`k � hia � hja = (�hi ��hj) +��iv � �jv

�+ (ni � nj) :

Tästä nykyy jo heti eräs komplikaatio: ristikohtatasoituksessa sekä merenpinnan vaihtelevuusettä ratavirheet tulevat mukana.


12

3

Crossover 1

Crossover 2

�h3�h2

�h1�h1 ��h3

�h2 ��h3

Kuva 12.2 � Eräs crossoverien yksinkertainen geometria

Jos unohdetaan toistaiseksi merenpinnan vaihtelevuutta (tai oletetaan että se käyttäytyysatunnaisesti, ts. on osa kohinasta n), voimme kirjoittaa:

`k = �hi ��hj + nk ;

crossover-tasoituksen havaintoyhtälö. Indeksi k laskee ristikohtia, indeksit i; j laskevat ratoja.Seuraavaksi valitaan sopiva malli satellittiratavirheelle. Yksinkertaisin valinta, joka riittääpienellä alueella, on oletus että ratavirhe on vakio. Katsotaan yksinkertainen esimerkki:

Tässä on kolme rataa ja kaksi risteyskohtaa. Havaintoyhtälöt , jotka kuvaavat tiedossa olevienristikohtien ristiriidat määrittettävinä olevien ratavirheiden funktioina, ovat seuraavat:

`1 = �h2 ��h3

`2 = �h1 ��h3

12.2. Crossover-tasoitus 181

tai matriisimuodossa:

"`1`2

#=

"0 1 �11 0 �1

# 2664�h1�h2�h3

3775 :Symbolisesti:

` = Ax:

Kun yrität laskea ratkaisu

x =�ATA

��1AT`;

huomaat, että se ei onnistu. Matriisi ATA on singulaarinen (tarkista!). Tämä käy järkeen-kin, voidaanhan siirtää koko rataverkko ylös- tai alaspäin ilman että �havaintosuureet� `kmuuttuisivat. Sellaiseen systeemiin ei löydy yksiselitteistä ratkaisua.

Ratkaisun saaminen edellyttää, että jotain kiinnitetään. Esim. yksi rata, tai kaikki ratojenkeskitaso. Tämä kiinnitys voidaan saada aikaan lisäämällä seuraava �havaintoyhtälö�: l3 �0 =

h1 1 1

i� x.

Vaihtoehtoinen ratavirheiden esitystapa, joka kelpaa suuremmalla alueella käytettäväksi, on

lineaarinen funktio:

�h = a+ b�;

jossa parametri � on paikka radassa laskettuna sen alkupisteesta. Paikan dimensio voi olla aika(sekunteja) tai etäisyys kulmamitalla (asteita). Nyt ylläolevan tilanteen havaintoyhtalöidenryhmä on (huomaa notaatio: � ik; k havainnon eli crossover-pisteen numero, i tutntemattomaneli radan numero):

"`1`2

#=

"0 0 1 � 21 �1 �� 311 � 12 0 0 �1 �� 32

#266666666664

a1b1a2b2a3b3

377777777775:

Tietysti tämäkin ryhmä osoittautuu singulaariseksi. Singulariteetin poistaminen onnistuukiinnittämällä kolme b-parametria ja yksi a-parametri1.

Ilmiö, että ratkaisua ei löydy, mikäli ei kiinnitetä jotain, kutsutaan datumi-defektiksi . So-pivan asian kiinnitys määrittää tietty datumi . Eri datumien välillä on olemassa muunnos-

kaava, esim. yksinkertaisimmassa tapauksessa että on vain yksi ratavirheparametri per rata,tama muunnos on yksinkertainen, kaikkien ratojen translaatio ylös- tai alaspäin.

1Tämän ymmärtämiseksi rakenna vaikkapa kolmen radan �rautalankamalli� kolmesta jäykästä rautalankapät-

kästä, yhteensidottuina naruilla crossover-kohdilla. Ristikohtaehdot eivät millään tavalla kiinnitä kaltevuuk-

sien b arvot, ja koko häkkyrän absoluuttitaso on edelleen kiinnittämättä


Tilanne on hiemän sama kuin maan korkeusjärjestelmää määrittäessä: Täytyy kiinnittää yksipiste, esim. Helsingin satama. Jos kiinnitetään toinen piste, esim. Turun satama, saadaantoinen datumi, jossa kaikki korkeusarvot eroavat ensimmäisestä tietyllä vakioarvolla.

Maailmanlaajuisissa crossover-tasoituksissa käytetään usein vieläkin hienompi malli,

�h = a+ b sin � + c cos �;

missä nyt � on kulmamittaa, esim. paikka radassa mitattuna viimeisestä etelä-pohjoinenekvatorin ylikulusta. Ks. Schrama (1989), jossa tämä ongelma käsitellään laajemmin.

12.3 Satelliittiradan valinta

Satelliittiradan valinnassa Keplerin rataliikelait ovat keskeisiä. Kolmas Keplerin laki sanoo:

GM P 2 = 4�2a3S; (12.1)

jossa aS = a+ hS on satelliittiradan pitkä akselipuolikas (eli keskimääräinen etäisyys Maankeskipisteestä), kun hS kutsutaan satelliitin keskikorkeudeksi. P on kiertoaika eli perioodi.

Kaavasta (12.1) voi jo päätellä, että satelliittihavaintojen avulla suure GM saadaan tarkastimääritetyksi. Periodi P on tarkasti mitattavissa pitkistä havaintojaksoista; myös radan kokoaS saadaan hyvin tarkasti esim. satelliittilaserin avulla. Tähän on käytetty esim. tunnettuLageos (Laser Geodynamic Satellite) -satelliitti, joka kiertää maapalloa 6000 km korkeudel-la ja joka havaitaan säännöllisesti myös Metsähovin satellittilaserilla Suomessa. Etäisyydetsaadaan muutaman sentimetrin tarkkuudella.

Altimetriasatelliittien radat valitaan paljon matalammin, kuten yo. taulukosta ilmenee. Kor-keus säädetään rakettimoottoreiden avulla tarkasti niin, että satelliitti kulkee saman paikanyli esim. kerran päivässä, 14 kierroksen jälkeen. Vaihtoehtoisesti valitaan rata joka kulkeejoka kolmas päivä, tai joka seitsemästoita päivä, tai joka 168. päivä... tätä kutsutaan toisto-

jaksoksi.

Toistojakson valinta perustuu käyttötarkoitukseen.

� Jos halutaan tutkia keskimerenpinnan tarkka muoto, valitaan pitkä toistojakso, jottasaadaan radat mahdollisimman lähelle toisilleen maan pinnalla.

� Jos halutaan tutkia merenpinnan vaihtelevuutta, valitaan rata joka palautuu samaanpaikkaan lyhyin aikavälein. Silloin rataverkosto maan pinnalla muotautuu harvemmaksi.

Myös Maan muotoparametrit vaikuttaa satelliitin rataliikkeeseen, esimerkiksi suure J2; dy-naaminen litistyneisyys, jonka arvo on J2 = 1082:6267 � 10�6: Se on vain yksi monesta ns.pallofunktiokertoimesta jotka kuvaavat Maapallon muotoa ja vaikuttavat satelliittiratoihin.J2:n tapauksessa vaikutus on sellainen, että satelliitin ratataso kiertää tietyllä nopeudella(prekessio), joka johtaa siihen, että satelliitti lentää saman paikan yli joka päivää useita mi-nuutteja aikaisemmin. Kaava on ympyrän muotoiselle radalle jonka säde on a:

12.3. Satelliittiradan valinta 183

Satelliitin

Auringon (näennäinen)

päivittäinen liike

päivittäinen liike

Maapallon litistyneisyydenaiheuttama vetovoima

Satelliittiradan nousevan solmun

rataliike

Kuva 12.3 � Aurinkosynkroonisen radan mekanismi

d

dt= �3

2

sGM

a3a2ea2J2 cos i;

missä ae on Maapallon ekvatoriaalisäde ja i radan kaltevuuskulma päiväntasaajan suhteen.Jos sijoitetaan tähän numeeriset arvot, saadaan

d

dt= �1; 31895 � 1018 cos i

a3:5[m3:5 s�1]:

Jos tähän sijoitetaan vaikkapa satelliitin korkeudeksi

h = 800 km ! a = 6378137m + 800000m = 7178137m;

saamme

d

dt= �1; 33102 � 10�6 cos i [rad s�1] == �6; 589�=pv: � cos i: (12.2)

Käytännön syistä (aurinkopaneelit!) valitaan satelliittirata usein niin, että ratataso kiertääAuringon vuosittaisen näennäisliikkeen mukana, eli 360�=365; 5 pv = 0�:9856=pv:

Jos inklinaatio (radan kaltevuus päiväntasaajan nähden) valitaan välissä 96� � 102�; kor-keudesta riippuen, maan litistyneisyys J2 aiheuttaa juuri sopivan ratatason kiertoliikkeen(�no-shadow/sun-synchronous orbit�), ks. Kuva 12.4.

Auronkosynkroonin radan haittapuolena taas on, että altimetriahavainnot tehdään aina sa-maan paikallisaikaan. Esimerkiksi auringon aiheuttamat päivittäiset ja puolipäivittäiset vuok-set ovat aina samassa vaiheessa ja niitä näin ollen ei voida havaita sellaisen satelliittinavulla (�resonanssi�). Siksi merentutkimussatelliitti Topex/Poseidonin rata valittiinkin ei-aurinkosynkrooniksi.


kesä

talvi

kevät

syksy

Kuva 12.4 � �No-shadow� -radan geometria

12.4 Retracking

Satelliitti-altimetriamission tulokset julkaistaan yleensä jo lennon aikana ns. GeophysicalData Record -tiedostoina, joissa kaikki mittaukseen liittyvat seikat mm. ilmakehän korjaus-termit, vuorovesikorjaukset, meriaaltoparametrit jne. on annettuna.

Viime aikana on alettu käsittelemään vanhempien altimetria-aineistojen uudelleen, enemmänhyödyllisten tietojen ulos saamiseksi. Tässä analysoidaan koko tutkan paluupulssi uudelleen.

Standardianalyysimenetelmä perustuu paluupulssin pisteeseen, joka on puolikorkeudella puls-sin maksimiarvosta. Tämä on todistetusti hyvä menetelmä saada kulkuaikaa, joka liittyy pis-teeseen keskellä footprintia , suoraan satelliitin alla. Pulssin takaosassa on sitten heijastuksetfootprintin kaukaisemmilta reuna-alueilta.

On kuitenkin olemassa kaksi tilannetta, jolloin tämä menetelmä ei toimi hyvin, ja tarkempipulssin analyysi kannattaa:

1. Saaristot, esim. Indonesia, Ahvenanmaa, . . . Tässä on yhtenä ilmiönä se, että footprintinkeskipiste on maan puolella. Silloin ensimmäiset vahvat heijastukset tulevat lähimmältä

Lähetetty pulssi Vastaanotettu pulssi

Kulkuaika

Puoli-korkeus-sääntö

Kuva 12.5 � Altimetriapulssin analysi. Klassinen paluupulssin ajanmittaus käyt-

tää �puolikorkeuspistettä�

12.5. Merentutkimus altimetrian avulla 185

rannikolta. Tarkka rannikkokartta (digitaalinen) on silloin käsittelyssä tarpeen.

2. Merijää-alueet pohjoisella ja eteläisellä jaamerellä. Heijastukset voivat tulla merijäänpinnalta, jolloin on käsittelyssä otettava huomioon freeboard eli paljonko merijään pintaon merenpinnan yläpuolella.

Molemmassa tapauksessa perinteinen käsittely hylkää suurimman osan kyseistä havaintoai-neistoa, koska paluupulssin etureunan muoto on kertakaikkiaan liian rosoinen. Uudelleen kä-sittelyllä eli retrackingilla on saatu nämä mittaukset pelastetuiksi ja altimetriamittaustenkattama alue ulotetuksi jäämerten saakka.

12.5 Merentutkimus altimetrian avulla

Geodesian kiinnostus satelliitti-altimetriaa kohtaan on perinteisesti ollut sen käyttö geoidinmääritykseen. Tämä onnistuu vain jos oletetaan että merenpinta

1. on vakio; ja

2. yhtyy tasapotentiaalipintaan, ts. on sama kuin geoidi.

Käytännössä kuitenkin merenpinta on vaihteleva ja ei ole tasapotentiaalipinta.

Siksi viime aikoina on tullut toisetkin näkökohdat esille:

1. Merenpinnan vaihtelevuutta voidaan tutkia satelliitti-altimetrialla käyttämällä kolme

menetelmää :

a) Toistavia ratoja samasta satelliittista. Radat voidaan laittaa päällekkäin käyttä-mällä yksinkertainen ratavirhemalli, ja jäljelle jäävät ratakohtaiset residuaalit ker-tovat jotain (muttei kaikki!) merenpinnan vaihtelevuudesta.

b) Myös crossover-tasoituksesta voidaan saada informaatiota merenpinnan vaihtele-vuudesta. Kun merenpinta vaihtelee, tulevat olemaan crossover-tasoituksesta saa-dut tasoitustulokset huononemaan: keskimääräinen a posteriori (laskun jälkeen)crossover-ero tule olemaan suurempi. Varsinainen vaihtelevuuden tutkimus tällämenetelmällä on hankalampi: je pystyy lähinnä vain toteamaan sen olemassaoloaja arvioimaan sen suuruutta.

c) Nykyisin altimetriasatelliiteissa on aina mukana GPS-paikannuslaite. Sen ansiostavoidaan merenpinnan vaihtelut seurata suoraan mittaamalla, olettaen, että sekäajallinen että maantieteellinen mittaustiheys on riittävä.

2. Merenpinnan poikkeamista tasapotentiaalipinnasta (geoidista) voidaan tutkia vain, joson saatavissa riippumatonta informaatiota todellisesta geoidipinnasta. Mikäli on käy-tettävissä hyvät, tiheät painovoimamittaukset koealueelle, tämä pitää paikkansa, javoidaan estimoida meritopogra�a.

Tarvittavan tarkan ja tiheän painovoima-aineiston saaminen onnistuu laivagravimetrintai ilmagravimetrian avulla. Myös mittaus erikoissatelliittin avulla (painovoimagradio-metra, GOCE-satelliitti) on pitkään suunniteltu.


GPS−4

Maan sisäiset

GPS−2GPS−1

Aurinko−

"CHAMP"

Kiihtyvyysvektori

GPS−antennipuomi

Magnetometri−GPS−3

Nimellinen rataTodellinenrata

massatiheysvaihtelut (esimerkki)

kennot

Kuva 12.6 � Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti lentävän satellii-

tin GPS-rataseurannan avulla

12.6 Satelliittipainovoimamissiot

2000-luvun alkupuoliskolla laukaistiin ja laukaistaan ainakin kolme satelliittia Maan painovoi-makentän eli geopotentiaalin hienorakenteen selvittämiseksi, siis: globaalisen �geoidikartan�piirtämiseksi.

CHAMP (Challenging Minisatellite Payload for Geophysical Research and Applications,http://op.gfz-potsdam.de/champ) laukaistiin rataansa Plesetskiltä v. 2000. CHAM-PIN radan korkeus oli alussa vain 450 km, mikä lennon aikana väheni 350 km:iin ilmake-hän jarrustuksen seurauksena. Syyskuun 19. päivänä 2010 satelliitti palasi ilmakehään.

CHAMP sisälsi GPS-vastaanottimen jonka avulla määritettiin satelliitin tarkkaa rataa,eli paikka avaruudessa x (t) ajan funktiona. Tästä voi laskea geometrista kiihtyvyyttäa (t) di�erentioimalla:

a (t) =d2

dt2x (t) :

Di�erentiointi tapahtuu numeerisesti samalla tavalla kuin kuvattu ilmagravimetrianosuudessa, kaava (10.6).

Satelliitti sisälsi myös kiihtyvyysmittarin, joka eliminoi ilmakehän aerodynaamisten voi-mien aiheuttamat satelliitin kiihtyvyydet (siis poikkeamat vapaan putoamisen liikkees-tä). Jäljelle jäävät vain Maan painovoimakentän aiheuttamat kiihtyvyydet, joista las-ketaan tarkka geopotentiaali- eli geoidimalli.

Useat CHAMPIN dataan perustuvat globaaliset geopotentiaalimallit on laskettu ja jul-kaistu.

GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment Mission, http://op.gfz-potsdam.de/grace) mittaa Maan painovoimakentän ajalliset muutokset n. kuukauden väleinerittäin tarkasti, mutta melko karkealla maantieteellisellä erotuskyvyllä. Nämä ajallisetmuutokset johtuvat lähinnä Maan �sinisen kalvon�, eli ilmakehän ja vesivaipan, liikkeis-ta. Mitattava suure kutsutaan myös merenpohjan paineeksi , hieman yllättävä ilmaisu,kunnes ymmärrät, että se edustaa todella koko ilma- ja vesipatsaan sisältämä massa.

http://op.gfz-potsdam.de/champ

http://op.gfz-potsdam.de/grace

http://op.gfz-potsdam.de/grace

12.6. Satelliittipainovoimamissiot 187

−

Kiihtyvyyksien ero näköviivan suunnassa

(Etäisyys 220 km)

Tarkka etäisyysmittaus, aallonpituus 1.5 cm

Satelliitti 1 Satelliitti 2

Korkeus

500 km

Maan "sinisen kalvon" (ilmakehän, vesivaipan) massasiirtymiä,

eli "merenpohjan kokonaispaineen" vaihtelu

Kuva 12.7 � GRACE-satelliittien perusidea: Painovoimakentän pienenpienien

ajallisten vaihtelujen mittaaminen SST:n (Satellite-to-Satellite Trackingin)

avulla

GRACE on satelliittipari (�Tom & Jerry�): satelliittit lentävät samassa radassa toinentoista perään n. 450 km korkeudella, keskinäisella etäisyydellä 220 km. Satelliittien vä-liset etäisyydenmuutokset mittaa mikroaaltolinkki tarkkuudella 1�ms�1. Molemmissasatelliitissa on myös herkät kiihtyvyysmittarit ilmakehän kitkan mittaamiseksi ja pois-tamiseksi.

Mittausjärjestelmä on niin herkkä, että jopa millimetrin paksuisen vesikerroksen liikkeetvoidaan huomata, jos se vaan ulottuu mantereen kokoiselle alueelle (n. 500 km).

Onnistunut laukaisu tapahtui vuonna 2001. Jo julkaistuissa tuloksissa näkyy vakuutta-vasti esim. kostean ja kuivan monsuunin kausittaiset vaihtelut, vastavaiheessa pohjoisel-la ja eteläisellä pallonpuoliskolla, suurissa trooppisissa joki-altaissa: Amazonas, Kongo,Mekong, Intia, Indonesia. . . ks. http://grace.jpl.nasa.gov/. Animaatiot: http://www.nasa.gov/mov/139806main_pic5.mov tai ftp://podaac.jpl.nasa.gov/pub/tellus/monthly_mass_grids/chambers-destripe/dpc200711/browse/anim/csr500lnd_RL04_

500x260.gif.

GOCE (Geopotential and Steady State Ocean Circulation Explorer) on satelliiteista kaikenkunnianhimoisin. Se laukaistiin onnistuneesti Plesetskiltä maaliskuussa 2009. Radankorkeus on vain 250 km ja satelliitti sisältää rakettimoottorin (jonimoottorin) ja polt-toainevarannon radan ylläpitämiseksi ilmakehän vastusta huolimatta. GOCE sisältääpainovoimagradiometri, laite joka mittaa tarkasti Maan vetovoiman gradientit eli senriippuvuus eri paikkakoordinaateista. Gradiometri koostuu useista kehikköön kiinnite-tyistä äärimmäisen tarkoista kiihtyvyysmittareista.

Teoreettisista analyyseista on saatu selville, että gradiometria on paras tapa mitata

http://grace.jpl.nasa.gov/

http://www.nasa.gov/mov/139806main_pic5.mov

http://www.nasa.gov/mov/139806main_pic5.mov

ftp://podaac.jpl.nasa.gov/pub/tellus/monthly_mass_grids/chambers-destripe/dpc200711/browse/anim/csr500lnd_RL04_500x260.gif




GOCE−satelliitti

Kiihtyvyys−

2

3 4

1

mittari (4)

−

−

mittaus

Kiihtyvyys−erojen

metriGradio−

Tuntemattomia

tiheysvaihteluita

Kuva 12.8 � Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliittiin ehdot-

taman painovoimagradiometrin avulla

painovoimakentän hyvin paikalliset piirteet, parempi kuin rataseuranta GPS:n avulla.Pienimmät geoidikartan yksityiskohdat jotka GOCE tulee näkemään ovat läpimitaltaanvain 100 km, ja niiden tarkkuus voi olla niin hyvä kuin �2 cm.

Niin tarkan globaalisen geoidikartan avulla voidaan laskea merenpinnan poikkeamatgeoidista, siis ekvipotentiaalipinnasta, samalla tarkkuudella. Merenpinnan todellinenpaikkahan avaruudessa saadaan tutka-altimetriasatelliittimittauksilta myös muutamancm:n tarkkuudella. Tämä tasoero merenpinnan ja ekvipotentiaalipinnan välillä taasvoidaan invertoida merivirtauksiksi. Tämä on GOCE-satelliitin nimen tausta.


12.7.1 Satelliittiradan laskenta

Satelliitti liikkuu aurinkosynkroonisessa radassa, ts. se ylittää aina, päivä päivältä, jokaistaleveyspiiriä samalla paikallisella (keskimääräisellä) aurinkoajalla.

1. Mitä on satelliitin periodi jos se lentää aina 14 kierrosten jälkeen saman paikan yli?

2. Sama kysymys, jos se lentää aina saman paikan yli 43 kierrosten (3 päivän) jälkeen?

3. Entäs 502 kierrosten (35 päivän) jälkeen?


4. Mikä on satelliitin korkeus �3 päivän radassa�? Käytä Keplerin laki (12.1). GM =

3986005 � 108m3s�2; ja satelliitin korkeus on hS = aS � a; missä a = 6378137m:

5. Mikä on satelliitin korkeus �35 päivän radassa�? Entä korkeusero edelliseen nähden?

6. Mikä on kolmen päivän radan pohjoiseen menevien ratojen keskinäinen etäisyys (elikuinka yksityiskohtaisesti altimetri pystyisi kuvamaan merenpintaa!)?

7. Sama kysymys 35 päivän radalle.

Miettimiskysymyksiä:

1. Mihin tarkoitukseen käytettäisiin 35 päivän rata, mihin 3 päivän rata?

2. Olisiko mahdollista (helppoa) lentää molemmat radat samalla satelliitilla (ks. osakysy-mys 5)?

12.7.2 Crossover-tasoitus

Oheisessa satellitti-altimetriaratakuviossa on 16 crossover-pistettä. Yritämme suorittaa crossover-tasoitus.

Kuva 12.9 � Satelliitti-altimetrian ratageometria

1. Jos jokaisen radan satelliittiratavirhe �h kuvataan mallilla jossa on yksi vakiovirhe(�bias�), montako tuntemattomia on sitten tässä olemassa?

2. Jos on käytettävissä 16 �havaintoa� (siis: crossover-eroja), montako on sitten ylimääräi-siä?

3. Onko geometrisesti edes mahdollista laskea tätä verkkoa?


4. Jos nyt kiinnitetään yksi rata etukäteen (ns. a priori informaatio), montako ylimää-räisyyksiä on? Voidaanko tätä verkkoa laskea?

5. Jos jokaisella radalla on kaksi tuntematonta, �bias� ja aikaa myöten lineaarisesti kasvavavirhe eli �trend� tai �tilt�, paljonko täytyy sitten kiinnittää jotta verkkoa voitaisiinlaskea? Montako ylimääräisyyksiä silloin on?

6. Jos tapauksessa (3) kiinnitetään yksi rata, mikä niistä valitsisit? Ehdota ratkaisu jokevälttää valitsemista.

Luku 13Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet

13.1 Teoreettinen vuorovesi

Voimme kirjoittaa vuorovesi- eli vuoksipotentiaali W seuraavasti:

W =GMR2

d3P2 (cos z) + : : : =

GMR2

2d3

�3 cos2 z � 1

�+ : : : ;

missä d on etäisyys, esimerkiksi, Kuuhun; R Maan säde, ja z paikallinen Kuun zeniittikulma.P2 (cos z) on toisen asteluvun Legendre-polynomi. GM on Kuun massa kerrottuna New-tonin vakiolla. Auringon ja Kuun tapauksessa lisätermit (: : :) voidaan jättää huomioimatta,koska ne on niin kaukaisia kappaleita: d� R.

Pallotrigonometria sanoo, että

cos z = sin' sin � + cos' cos � cos t;

Luode

Vuoksi

Vuoksi Luode

z

Kuva 13.1 � Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun paikallinen zeniittikulma

192 Luku 13. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet

missä ' on latitudi, � on Kuun deklinaatio ja t on Kuun tuntikulma. Sijoittamalla saadaan

W =GMR2

4d3

2664(3 sin2 '� 1)(3 sin2 � � 1)+

+3 sin 2' sin 2� cos t+

+3 cos2 ' cos2 � cos 2t

3775 :Tämä on ns. Laplacen vuorovesikaava.

Siinä on kolme osaa:

1. Hitaasti vaihteleva osa,

W1 =GMR2

4d3

h�3 sin2 '� 1

� �3 sin2 � � 1

�i;

joka vielä riippuu �:stä ja näin ollen on perioodinen 14 päivän periodilla. Taas käyttä-mällä pallotrigonometria:

sin � = sin � sin `;

jossa ` on Kuun pituus eli longitudi radassaan, laskettuna nousevasta solmusta, ja �Kuun radan kaltevuus ekvaattorin nähden, keskimäärin 23� mutta aika vaihteleva, 18�:3ja 28�:6 välillä. Näin saadaan

W1 =GMR2

4d3

��3 sin2 '� 1

��3 sin2 �

�1

2� 1

2cos 2`

�� 1

��;

jossa on käytetty myös sin2 ` = 12� 1

2cos 2`: Näin saadaan W1 =W1a +W1b; jossa

W1a =GMR2

4d3

��3 sin2 '� 1

� �32sin2 �� 1

��; (13.1)

W1b =GMR2

4d3

��3 sin2 '� 1

� �32sin2 � cos 2`

��:

2. Tämän lisäksi meillä on pari termiä jossa tuntikulma t esiintyy (periodi 24 t):

W2 =GMR2

4d3[3 sin 2' sin 2� cos t] ;

W3 =GMR2

4d3

h3 cos2 ' cos2 � cos 2t

i:

Molemmissa on t:n lisäksi vielä � �hitaana� muuttajana. Emme kirjoita näitä kaavojatässä Kuun longitudin ` eri funktioiden summiksi.

Käytä taas perustrigonometria:

cos2 � = 1� sin2 � = 1� sin2 � sin2 ` = 1� sin2 ��1

2� 1

2cos 2`

�;

cos 2` cos 2t =1

2[cos(2`+ 2t) + cos(2`� 2t)] ;

sin 2� = 2 sin � cos � = 2 sin ��1� 1

2sin2 � + : : :

�� 2 sin � � sin3 �;

ja niin edelleen. Ks. esimerkiksi Melchiorin kuuluisa kirja Melchior (1978).

13.2. Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio 193

Muuttuvafunktio

Periodi Darwin-symboliNimi

Kuu Aur. Kuu Aur.

W1a - - M0 S0 Pysyvä vuoksiW1b cos 2` 14d 182d Mf Ssa DeklinaatiovuoksiW2 cos t 24h51m 24h O1;K1 P1;K1; : : : PäivittäisetW3 cos 2t 12h25m 12h M2;K2 S2;K2; : : : Puolipäivittäiset

Taulukko 13.1 � Teoreettisen vuoroveden eri periodit. Laajasti käytössä olevat

symbolit ovat George Darwinin standardisoimia

Periodit ovat luetteloituina taulukossa 13.1 Darwin1-symboleineen.

Käytännössä päivittäiset ja puolipäivittäiset vuorovedet voidaan jakaa vielä moniin hyvinlähellä toisiaan oleviin �spektraaliviivoihin�, myös siksi että Kuun rata (ja myös Auringonrata) ovat elliptisia eikä ympyrän muotoisia.

13.2 Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio

Vuorovesivoima eli teoreettinen vuorovesi, mistä yllä puhuttiin, ei ole sama kuin sen aiheutta-ma deformaatio. Tämä deformaatio riippuu Maan sisäisestä elastisuusominaisuuksista. Nämäelastisuusominaisuudet kuvataan usein ns. Love-lukujen avulla Melchior (1978).

Kirjoitetaan ensin ulkoinen (vuoksi- tai yleisesti häiriö-) potentiaali seuraavalla tavalla:

W =1Xn=2

�r

R

�nWn;

� missä nyt indeksi n tarkoittaa pallofunktioiden asteluku! � ja kutsutaan kiinteän maanainealkion siirtymä säteittäissuuntaan ur, pohjoissuuntaan u' ja itäsuuntaan u�. Voimmekirjoitaa seuraavat kaavat:

ur =1Xn=2

Hn (r)Wn

g;

u� =1

g

1Xn=2

Ln (r)@Wn

@�;

u� =1

g

1Xn=2

Ln (r)@Wn

sin �@�:

Tässä r on etäisyys maan keskipisteestä. Tässä oletetaan että Loven luvut Hn; Ln riipppuvatvain siitä, eli maan elastisuusominaisuudet ovat pallosymmetrisia.

Maan deformaatio aiheuttaa myös muutos (�epäsuora efekti�, alkuperäispotentiaalinW lisäk-si) painovoimapotentiaalissa. Kirjoitetaan

�W =1Xn=2

Kn (r)Wn;

1Sir George Howard Darwin (1845�1912), englantilainen tähtitieteilijä ja matemaatikko.

194 Luku 13. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet

missä käytettiin jo kolmas Love-lukujen laji.

Maan pinnalla tehdään seuraava erikoistus:

Hn (r) = hn;

Ln (r) = `n;

Kn (r) = kn:

Käytännössä, Kuun ja Auringon suuren etäisyyden vuoksi, ainoat merkittävät vuorovedenosat ovat asteluvut n = 0 (vakio-osa) ja n = 2 (�rugbypallo-osa�). Vakio-osasta enemmänalempana.

Love-luvut riippuvat vielä taajuudesta eli vuoroveden periodista :

hn = hn (P ) ;

`n = `n (P ) ;

kn = kn (P ) ;

jossa P on periodi.

Vuorovedet tarjoavat oivallisen keinon Love-lukujen h2 (P ) ; `2 (P ) ; kn (P ) empiiriseksi mää-rittämiseksi, koska jaksollisina vaihteluina ne aiheuttavat maapallossa saman periodin (mutaeri amplitudin ja vaiheen) deformaatioita. Näin saadaan määritetyksi ainakin ne Love-luvutjotka vastaavat teoreettisessa vuorovedessä esintyviin periodeihin.

h- ja `-luvut saadaan nykyisin mm. GPS-paikannuksesta; GPS-laskentaohjelmissa on sisään-rakennettu reduktio tätä ilmiötä varten. Painovoimamittauksesta saadaan myös informaa-tiota koskien erästä h:n ja k:n lineaariyhdistelmää (vertikaaliliike muuttaa painovoimaa sengradientin kautta, ja Maan deformaatio, massojen siirtyminen, muuttaa potentiaalikenttä-kin). Käyttökelpoinen tutkimusväline on myös pitkä vesiputkiklinometri , kuten Geodeetti-sen laitoksen putki joka on pitkään ollut käytössä Lohjalla Tytyrin kaivoksessa Kääriäinenand Ruotsalainen (1989). Sama pätee herkkiin klinometreihin (maankuoren kallistusmitta-reihin) yleensä, kuten Verbaandert-Melchior heiluri jne. Klinometri mittaa maankuorenja paikallisen luotiviivan väliset orientaatiomuutokset.

Luotiviivan absoluuttisen suunnan mittaus esim. zeniittiputken avulla voi taas antaa tietojaeräästä `:n ja k:n lineaariyhdistelmästä, tosin vasta erilaisten reduktioiden (Maan napaliike)jälkeen.

13.3 Vuoroveden pysyvä osa

Kuten yllä näytettiin, sisältää teoreettinen vuorovesikaava vakio-osan, joka ei vaihtele edespitkäperiodisesti. Tietysti maapallo reagoi tähänkin vuorovesivoiman osaan; kuitenkin, koskamuodonmuutos ei ole periodinen, ei ole mahdollista mitata se. Ja kiinteän maan mekaaninenteoria, ja tietämyksemme maan sisäisestä tilasta, ei kerrassaan riitä responsin ennustamiseksi.

13.4. Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen 195

Tästä syystä on yleisesti hyväksytty se käsitys, että vuoroveden pysyvän osan vaikutus maandeformaatiotilaan ei tule ottaa mukaan mihinkään vuorovesireduktioon Ekman (1992). Kui-tenkin monesti, esim. GPS-havaintojen käsittelyssä tai OSU-pallofunktiokehitelmien määrit-telyssä, vuorovesireduktio sisältää sittenkin tämä termi joka on teoreettisesti ja käytännölli-sesti mahdoton tuntea. Ks. Poutanen et al. (1996).

Yleisemmin voidaan sanoa, että geodeettista suuretta, esim. geoidia, voidaan redukoida vuo-roveden pysyvää osaa varten:

� Ei suoriteta mitään vuoroveden pysyvän osuuden korjaus; näin saatu suure kutsutaan�mean geoid�:ksi jne. Saatu pinta on hydrodynamiikan mielessä tasapainopinta ja onsiksi paras pinta käyttää merentutkimuksessa.

� Taivaankappaleista lähtevän gravitaatiokentän (potentiaalin) vaikutus voidaan poistaasuureelta kokonaan, mutta sen aiheuttama Maan deformaatio jätetään korjaamatta;näin saatu suure kutsutaan �zero geoid�:ksi jne.

� Taivaankappaleen oma gravitaatiovaikutus sekä sen aiheuttaman deformaation epäsuoravaikutus lasketaan tietyn deformaatiomallin (Love-luvun) mukaan ja korjataan. Näinsaatu tulos kutsutaan �tide-free geoid�:ksi. Sen ongelmana on juuri käytetyn elastisuus-mallin empiirinen mielivaltaisuus.

On syytä olla varuillaan ja analysoida tarkasti miten aineistojen reduktio on suoritettu!

13.4 Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen

Vuorovesivoiman aiheuttaman deformaation lisäksi maankuori deformoituu myös meren ja il-makehän aiheuttamasta kuormituksesta. Etenkin rantapaikoissa meren vuorovesiliike aiheut-taa moniperiodisen kuormituksen joka liikuttaa maankuori ylös ja alas jopa senttimetrienverran.

Tämä efekti voidaan laskea jos kiinteän maan elastiset ominaisuudet, meren vuorovesiliikeja rantaviivan tarkka muoto ovat tiedossa. Moinen lasku on ilmeisen mutkikas. Eräs tun-nettu ohjelmisto tähän tarkoitukseen on saksalaisen H.-G. Wenzelin paketti Eterna, jotakäytetään myös Suomessa.

Toisaalta, jos sellainen työkalu on käytettävissä, antaa vuorovesikuormitus myös oivan mah-dollisuuden tutkia juuri maankuoren hyvinkin paikallisia elastisia ominaisuuksia.

Deformaation mittaamiseksi käytetään yleensä rekisteröivä gravimetri. Maankuorihan liik-kuu ylös- ja alaspäin, mikä muuttaa painovoimaa ilmagradientin arvon �0; 3mGal=m suhteessaTorge (1992).

GPS:n käyttö meren vuorovesikuormituksen mittaamiseksi on vasta alkuvaiheissa.

Kuten meri aiheuttaa myös ilmakehä ilmanpaineen vaihtelujen kautta maankuoren vaihte-levia deformaatioita. Efekti on hyvin pieni, korkeintaan pari cm. Painovoimamittaus ei olekovin hyvä keino tämän ilmiön tutkimiseksi, koska paikalliseen painovoimaan vaikuttaa mo-ni muukin, usein ei tarkasti tunnettu, paikallinen ilmiö. Mittaus GPS:n avulla on lupaava,mutta on vielä lapsenkengissä.

Luku 14Maan painovoimakentän tutkimus

14.1 Kansainvälisesti

Kansainvälisen Geodeettisen Assosiaation (IAG) puitteissa Maan painovoimakentän tutkimuson perinteisesti ollut Sektion III vastuussa. Vuoteen 1999 saakka Sektiossa oli kaksi kommis-siota, Kansainvälinen Painovoimakommissio ja Kansainvälinen Geoidikommissio. Niiden vä-lillä oli tiivis yhteistyö, mm. joka toinen voisi järjestettiin yhteinen symposiumi, vuorovaih-toisesti Euroopassa ja Euroopan ulkopuolella. V. 1999 Birminghamin yleiskokouksessa neliitettiin yhteen.

Kommissioita pysyvämpiä ovat palveluja, joista tärkein ja maineikkain on epäilemättä Kan-sainvälinen Gravimetrinen Toimisto, BGI, Bureau Gravimétrique International, joka sijaitseeToulousessa Ranskassa. Toimisto toimii jonkinlaisena painovoima-aineiston clearinghouse'na,johon maat voivat lähettää painovoimamateriaalinsa. Jos joku tutkija tarvitsee toisen maanpainovoima-aineisto esim. geoidilaskua varten, hän voi pyytää sita BGI:stä, joka antaa sekäytettäväksi alkuperämaan luvalla, mikäli tutkijan oma maa on vastaavalla tavalla antanutoma painovoima-aineistonsa BGI:n käyttöön.

Tämä on olennaisen tärkeä toiminta johin Ranskan valtio on sijoittanut merkittävästi rahaa.

Viime vuosina myös Itä-Euroopan maat, Venäjä mukaanlukien, ovat antaneet osan painovoima-aineistostaan BGI:n haltuun. Tämä data on käytetty uusimpien globaalisten pallofunktioke-hitelmien, kuten EGM96, laskemiseen.

Toinen tärkeä IAG:n palvelu tällä alalla on Kansainvälinen Geoidipalvelu, IGeS, Internatio-nal Geoid Service, joka perustettiin Milanoon Italiaan, Italian valtion merkittävällä tuella.Tämän palvelun tehtävänä on tukea geoidilaskenta eri maissa, minkä varten olemassa olevatgeoidiratkaisut kerätään yhteiseen tietokantaan, ja järjestetään kansainvälisiä tutkijakoulujageoiditietoisuuden ja geoidilaskennan pätevyyden lisäämiseksi etenkin kehitysmaissa.

Molemmat palvelut, BGI ja IGeS, ovat nykyisin osana IGFS:ää, International Gravity FieldService, kahtena sen monesta palvelukeskuksista. IGFS perustettiin v. 2003 IUGG:n yleisko-kouksessa Sapporossa Japanissa ja se toimii IAG:n uuden Kommission 2: �Painovoimakenttä�alaisuudessa.

198 Luku 14. Maan painovoimakentän tutkimus

14.2 Eurooppa ja pohjoismaat

Jo mainitun IAG:n Kansainvälisen Painovoiman ja Geoidin Komission Euroopan alakomis-sion lisäksi on olemassa EGS, European Geophysical Society, jonka puiteissa koordinoituupaljon painovoimakenttään ja geoidilaskentaan liittyvää julkaisuja kokoustoimintaa. Jokavuosi EGS järjestää symposiumi eri Euroopan kaupungissa, jossa aina on myös istuntoja pai-novoimakentään ja geoidiin liittyvistä aiheista. Kokouksiin osallistuu usein myös amerikkalai-sia tutkijoita. Vastaavasti American Geophysical Unionin (AGU:n) syys- ja kevät kokouksissaeurooppalaiset tutkijat eivät myöskään ole harvinaisia.

Mainittava on Hannoverin yliopiston �Institut für Erdmessung�, joka on vuodesta 1990 lähtientoiminnut Kansainvälisen Geoidikommission Eurooppalaisen alakomission laskentakeskukse-na ja tuottanut laadukkaita geoidimalleja Europpassa käytettäviksi Denker (1998).

Pohjoismaissa toiminta keskittyy Pohjoismaisen Geodeettisen Komission (NKG) ja sen Geoi-dityöryhmän, piiriin. Ryhmä on laskenut Kööpenhaminan laskentakeskuksessa pari laadu-kasta pohjoismaista geoidimallia Forsberg and Kaminskis (1996). Toinen arvokas ryhmä Itä-meren ympäröivässä maissa on ollut Baltic Sea Level -projekti, itse asiassa IAG:n työryhmä,jonka tehtävänä oli tutkia Itämeren geoidi, sen meritopogra�a ja Itämeren maiden eri kor-keusdatumien välinen yhteys Juhani Kakkuri (1994).

14.3 Oppikirjat

Maan painovoimakentän tutkimuksesta on olemassa monet hyvät oppikirjat. Jo mainitunHeiskanen and Moritz (1967) lisäksi, joka alkaa jo olla vanha, voidaan mainita W. Torgenkirja Torge (1989). Vaikea mutta hyvä on Moritz (1980). Samalla tavalla vaikea on Molodens-kii et al. (1962). Lukemisen arvoista myös fysikaalisen geodesian kannalta on Vaní£ek andKrakiwsky (1986). Kakkuri (1981) sisältää monet lukemisen arvoiset artikkelit.

Kirjallisuutta

Brozena, J. M. (1992). The Greenland Aerogeophysics Project - Airborne gravity, topographicand magnetic mapping of an entire continent. In O. L. Colombo, editor, From Mars to

Greenland : Charting Gravity with Space, pages 203�214. 162

Brozena, J. M. and Peters, M. F. (1994). State-of-the-art airborne gravimetry. In Sünkel,H. and Marson, I., editors, Gravity and Geoid, number 113 in International Associationof Geodesy Symposia, pages 187�197, Graz, Austria. International Association of Geodesy,Springer Verlag. 162

Brozena, J. M., Peters, M. F., and Salman, R. (1996). Arctic airborne gravity measurementsprogram. In Segawa, J., Fujimoto, H., and Okubo, S., editors, Proceedings, IAG Interna-

tional Symposium on Gravity, Geoid and Marine Geodesy (GraGeoMar96), Tokyo,

Sep. 30 - Oct. 5, 1996, number 117 in International Association of Geodesy Symposia,pages 131�146, Tokyo. International Association of Geodesy, Springer Verlag. 162

Denker, H. (1998). Evaluation and Improvement of the EGG97 Quasigeoid Model for Europeby GPS and Leveling Data. In Vermeer and Ádám (1998), pages 53�61. 198

Ekman, M. (1992). Postglacial Rebound and Sea Level Phenomena with Special Referenceto Fennoscandia and the Baltic Sea. In Kakkuri, J., editor, Geodesy and Geophysics,

lecture notes, NKG Autumn School. Geodeettisen laitoksen julkaisuja N:o 115. 169, 195

Forsberg, R. and Kaminskis, J. (1996). Geoid of the Nordic and Baltic region from gravi-metry and satellite altimetry. In Segawa, J., Fujimoto, H., and Okubo, S., editors, Procee-dings, IAG International Symposium on Gravity, Geoid and Marine Geodesy (Gra-

GeoMar96), Tokyo, Sep. 30 - Oct. 5, 1996, number 117 in International Association ofGeodesy Symposia, pages 540�547, Tokyo. International Association of Geodesy, SpringerVerlag. 198

Forsberg, R. and Vermeer, M. (1992). A Generalized Strang Van Hees Approach to FastGeopotential Inversion. Manuscripta geodaetica, 17:302�314. 124

Haagmans, R., Min, E. D., and van Gelderen, M. (1993). Fast Evaluation of ConvolutionIntegrals on the Sphere Using 1D FFT, and a Comparison with Existing Methods forStokes' Integral. Manuscripta geodaetica, 18:227�241. 124

Harrison, J. C. and Dickinson, M. (1989). Fourier transform methods in local gravity model-ling. Bulletin Géodésique, 63:149�166. 128, 129

Heikkinen, M. (1981). Solving the Shape of the Earth by Using Digital Density Models.Report 81:2, Finnish Geodetic Institute, Helsinki. 52, 53, 160

Heiskanen, W. E. and Moritz, H. (1967). Physical Geodesy. W.H. Freeman and Company,San Francisco, London. 4, 22, 32, 38, 41, 42, 49, 50, 53, 54, 55, 58, 60, 78, 84, 85, 95, 96,97, 98, 102, 103, 104, 107, 108, 109, 198, 222

200 Kirjallisuutta

Hytönen, E. (1972). Absolute gravity measurement with long wire pendulum. Publications 75,Finnish Geodetic Institute, Helsinki. 153

Juhani Kakkuri, E. (1994). Final results of the baltic sea level 1990 gps campaign. researchworks of the ssg 5.147 of the international association of geodesy. Report 94:2, FinnishGeodetic Institute, Helsinki. 57 p. 198

Kakkuri, J., editor (1981). Geodesy and Geophysics, lecture notes, NKG Autumn School

1992, Geodeettisen laitoksen julkaisuja N:o 115. 119, 198

Kääriäinen, J. and Ruotsalainen, H. (1989). Tilt measurements in the underground laboratoryLohja 2, Finland, in 1977-1987. Publication 110, Finnish Geodetic Institute, Helsinki. 194

Melchior, P. (1978). The Tides of the Planet Earth. Pergamon Press, Oxford. 192, 193

Mitrovica, J. X., Tamisiea, M. E., Davis, J. L., and Milne, G. A. (2001). Recent mass balanceof polar ice sheets inferred from patterns of global sea level change. Nature, 409:1026�1029.174

Molodenskii, M. S., Eremeev, V. F., and Yurkina, M. I. (1962). Methods for the Study of

the External Gravitational Field and Figure of the Earth. Israel Program of Scienti�cTranslations, Jerusalem. (Transl. from Russian). 67, 92, 198

Moritz, H. (1980). Advanced Physical Geodesy. H. Wichman Verlag, Karlsruhe. 198

Poutanen, M., Vermeer, M., and Mäkinen, J. (1996). The Permanent Tide in GPS Positioning.Journal of Geodesy, 70:499�504. 195

Rummel, R. and Sansó, F., editors (1992). Satellite Altimetry in Geodesy and Oceano-

graphy. Proceedings, International Summer School of Theoretical Geodesy, May 25 �

June 6, 1992, Lecture Notes in Earth Sciences, Heidelberg. Springer-Verlag. 171

Schrama, E. J. O. (1989). The Role of Orbit Errors in Processing of Satellite Altimeter

Data. Delft University of Technology. Väitöskirja. 182

Torge, W. (1989). Gravimetry. W. de Gruyter, Berlin - New York. 198

Torge, W. (1992). Gravity and Tectonics. In Geodesy and Geophysics, lecture notes, NKG

Autumn School, Geodeettisen laitoksen julkaisuja N:o 115. 195

Tscherning, C. C. and Rapp, R. H. (1974). Closed Covariance Expressions for Gravity Ano-malies, Geoid Undulations, and De�ections of the Vertical Implied by Anomaly DegreeVariances. Technical report, Dept. of Geodetic Science and Surveying, The Ohio StateUniversity, Columbus, OH, USA. 148

Vaní£ek, P. and Krakiwsky, E. (1986). Geodesy � The Concepts. Elsevier Science Publishers,Amsterdam. 198

Vermeer, M. (1992). Terrain Reduction and Gridding Techniques for Geoid Determination. InGeodesy and Geophysics, lecture notes, NKG Autumn School, Geodeettisen laitoksenjulkaisuja N:o 115. 129

Vermeer, M. and Ádám, J., editors (1998). Proceedings, Second Continental Workshop

on the Geoid in Europe, March 10-14, 1998, Report 98:4, Finnish Geodetic Institute,Masala. 199, 201

Kirjallisuutta 201

Virtanen, H. (1998). On superconducting gravimeter observations above 8 mHz at the Met-sähovi station. Report 98:5, Finnish Geodetic Institute, Masala. 19 p. 159

Virtanen, H. and Kääriäinen, J. (1995). The installation and �rst results from the supercon-ducting gravimeter GWR20 at the Metsähovi station, Finland. Report 95:1, Finnish Geo-detic Institute, Helsinki. 15 p. 159

Wenzel, H.-G. (1998). Ultra High Degree Geopotential Model GPM3E97A to Degree andOrder 1800 Tailored to Europe. In Vermeer and Ádám (1998), pages 71�80. 43

Liite AKenttäteorian ja vektorianalyysin

rautaisannos

A.1 Vektorilaskenta

Fysiikassa monet suureet kuvataan vektorisuureena. Esim. voima, nopeus, sähkömagneet-tinen kenttä, . . . Vektori käyttäytyy samalla tavalla kuin kahden viereisen pisteen välinenpaikkakoordinaattoero.

Nopeus v, voima F, paikkaero �r = r2�r1, jossa r1 ja r2 ovat pisteiden 1 ja 2 paikkavektorit.

Notaatiosta: painetussa tekstissä vektoria kirjoitetaan useimmiten lihavana. Käsin kirjoite-tussa tekstissä voi käyttää pieni ylänuoli: �!v .

A.1.1 Skalaaritulo

Kahden vektorin välillä voidaan määrittää skalaaritulo, joka on itse skalaariarvo. Skalaari onfysiikassa yksittäinen numeroarvo, vaikkapa paine tai lämpötila.

Esimerkki skalaaritulosta: työ �E on

�E = hF ��ri ;

voiman F ja matkan �r skalaaritulo. (Usein, myös jatkossa, jätetään hakasulut h�i pois)Myöhemmin nähdään, että, jos pisteet 1 ja 2, �r = r2�r1 ovat hyvin lähellä toisiaan, voidaankirjoittaa

dE = hF � dri ;

jossa dr ja dE ovat in�nitesimaaleja polku- ja energia-elementteja. Jos on nyt pisteiden A jaB välillä kaareva polku, voidaan tästä saada integraalikaava:

�EAB =

ˆ B

A

F � dr:

Tämä on työintegraali.

204 Liite A. Kenttäteorian ja vektorianalyysin rautaisannos

A.1.2 Muodollisesti

Olkoon

s � ha � bivektoreiden a ja b skalaaritulo. Silloin

h�a � bi = ha � �bi = � ha � biha � bi = hb � ai

ja usein kutsutaan

kak �qha � ai;

vektorin a normi eli pituus.

Tiedoksi vielä, että

ha � bi = kak kbk cos�;jossa � on vektorien a ja b välinen kulma.

A.1.3 Ulkoinen tulo eli vektoritulo

Kahden vektorin ulkoinen tulo on itsekin vektori (ainakin 3D-avaruudessa R3). Esimerkkinäpyörähdysmomentti q:

q = hr� pi ;jossa p = mv on liikemomentti, m kappaleen massa ja v = dr

dton paikan aikaderivaatta eli

nopeus. Kirjoitetaan:

q = m

*r� dr

dt

+:

A.1.4 Muodollisesti

Olkoon

c � ha� bikahden vektorin a ja b vektoritulo. Silloin (� 2 R)

h�a� bi = ha� �bi = � ha� biha� bi = �hb� ai

ja siis ha� ai = 0:

Vektori c on aina kohtisuora vektoreita a ja b kohtaan; vektorin c pituus vastaa vektoriena ja b virittämän parallellogrammin pinta-alaan. Kaavana:

kck = kak kbk sin�;jossa taas � on vektorien a ja b välinen kulma. Jos kulma on nolla, on myös vektoritulo nolla(koska silloin a = �b sopivalla �:n arvolla).

A.2. Skalaari- ja vektorikenttiä 205

..

ab

kck�

c = hb� ai

Kuva A.1 � Ulkoinen tulo eli vektoritulo

A.1.5 Keplerin toinen laki

Jos r on kappaleen (planeetan) etäisyys liikekeskuksesta (auringosta) ja drdt

on aikayksikössäkuljetettu matka, on tulo*

r� dr

dt

+(A.1)

juuri kaksi kertaa aikayksikössä peitetyn kolmion eli �alueen� pinta-ala.

Otetaan tästä tulosta (ilmaisu A.1) aikaderivaatta:

d

dt

*r� dr

dt

+=

*dr

dt� dr

dt

++

*r� d2r

dt2

+:

Tässä ensimmäinen termi häviää, koska ha� ai = 0. Toisessa termissä voimme käyttää hy-väksi tietomme, että planeetan rataliikkeen aiheuttava auringon vetovoima F � ja myös senaiheuttama kiihtyvyys a � d2r

dt2� on keskinen :

F = ma = �GMm

krk3 r:

Sijoitetaan yllä olevaan:

d

dt

*r� dr

dt

+= 0� GM

krk3 hr� ri = 0:

Siis: suureDr� dr

dt

E� pyörähdysmomentti per massayksikkö q

m� säilyy. Kuten esim. ener-

gian, sähkövarauksen ja monen muun suureen kokonaismäärä, suljetun systeemin pyörähdys-momentin kokonaismäärä on vakio.

G on universaalinen gravitaatiovakio, M on auringon massa, m planeetan massa.

A.2 Skalaari- ja vektorikenttiä

A.2.1 Määritelmät

Avaruudessa R3 voidaan määrittää funktioita eli kenttiä.


Nopeus-vektori

Pyörähdysmomentti

v

hr� vi

Planeetta

Aurinko

rSädevektori

12khr� vik

Kuva A.2 � Keplerin toinen laki. Samassa ajassa planeetan sädevektori �pyyhkii�

samankokoinen alue � pyörähdysmomentin säilyminen

Skalaarikenttä on skalaariarvoinen funktio, joka on määritetty koko avaruudella (tai sen osa-alueella), vaikkapa lämpötila T :

T (r) :

Eli jokaiselle paikkavektorin arvolle kuuluu lämpötila-arvo T .

Vektorikenttä on vektoriarvoinen funktio, joka on taas määritetty avaruudella, esim. sähkös-taattinen kenttä E:

E (r) :

A.2.2 Avaruuden kanta

Voimme avaruudessa R3 valita kolmen vektorin kanta, joka virittää ko. avaruus. Yleensävalitaan kolme kantavektoria i; j, k, jotka ovat keskenään kohtisuoria ja joiden normi elipituus on 1:

i ? j; i ? k; j ? k; kik = kjk = kkk = 1:

Nyt voimme kirjoittaa vektorit komponentteihin:

a = a1i+ a2j+ a3k

ja myös skalaari- ja vektoritulot voidaan nyt laskea niiden komponenttien avulla:

s = ha � bi = h(a1i+ a2j+ a3k) � (b1i+ b2j+ b3k)i =

= a1b1 + a2b2 + a3b3 =3Xi=1

aibi;

käyttämällä yo. kantavektorien identiteetit.


Vektoritulon tapauksessa laskenta on monimutkaisempi; saamme lopputuloksena

c = ha� bi =

=

��i j k

a1 a2 a3b1 b2 b3

�� == (a2b3 � a3b2) i+ (a3b1 � a1b3) j+ (a1b2 � a2b1)k:

Siis

c1 = a2b3 � a3b2;c2 = a3b1 � a1b3;c3 = a1b2 � a2b1:

Yo. ilmaisu on determinantti.

A.2.3 Nabla-operaattori

Paikkavektori r voidaan kirjoittaa fi; j;kg-kannalle seuraavasti:r = xi+ yj+ zk;

joka määrittää avaruuden (x; y; z) -koordinaatit.

Määritetään nyt vektori-operaattori nimeltä nabla (r) seuraavasti:

r � i@

@x+ j

@

@y+ k

@

@z:

Operaattori eli funktio on sellaisenaan merkityksetön. Se saa merkistustä vasta, kun se �ope-roi� johonkin, jolloin oikean puolen kolmea osittaisderivaattaa voidaan laskea.

A.2.4 Gradientti

Olkoon F (r) = F (x; y; z) skalaarikenttä avaruudessa. Nabla-operaattori antaa sen gradienttig, saman avaruuden vektorikenttä:

g = gradF = rF = i@F

@x+ j

@F

@y+ k

@F

@z:

Siis kenttä g (r) = g (x; y; z) on nyt saman avaruuden vektorikenttä, F :n gradienttikenttä.

Tulkinta: gradientti kuvaa skalaarikentän �kaltevuutta�. Vektorin suunta on se suunta, jo-hon skalaarikentän arvo muuttuu nopeimmin, ja sen pituus kuvaa muutoksen nopeuttapaikan mukaan. Kuvittele kukkulamaisema: maan korkeus merenpinnasta on skalaa-rikenttä, ja sen gradientti osoittaa kaikkialla �ylämäkeen�, pois laaksoista huippuihinpäin. g-nuolet ovat sitä pitempiä, miten jyrkempi maanpinnan kaltevuus.

Gradientti-operaattori (kuten myös divergenssi ja rotaatio, ks. myöhemmin) on lineaa-rinen : grad (F +G) = gradF + gradG:


Kuva A.3 � Gradientti. Skalaarikentän tasokäyrät sinisinä

A.2.5 Divergenssi

Olkoon jo annettuna vektorikenttä a (x; y; z) : Muodostamme tämän ja nabla-operaattorinskalaaritulo s:

s = diva = hr � ai = @a1@x

+@a2@y

+@a3@z

:

Tulkinta: divergenssi kuvaa vektorikentän �lähteet�, sekä positiivisia että negatiivisia. Ku-vittele veden virtausnopeus vektorikenttänä. �lähteiden� kohdalla divergenssi on posi-tiivinen, �lattiakaivojen� kohdalla negatiivinen, kaikkialla muualla nolla (koska neste eiilmaannu tyhjästä eikä häviä tyhjään).

A.2.6 Rotaatio (en. curl)

Olkoon annettuna vektorikenttä a (x; y; z). Muodostamme tämän ja nabla-operaattorin vek-

toritulo c, joka on itse vektorikenttä:

c = rot a = r� a =

��i j k@@x

@@y

@@z

a1 a2 a3

�� ==

@a3@y� @a2@z

!i+

@a1@z� @a3@x

!j+

@a2@x� @a1@y

!k:

Tulkinta: rotaatio kuvaa vektorikentässä olevaa �pyörteisyyttä�. Kuvittele sääkartta, jossamatala- ja korkeapaineen alueet. Vektorikentämme on tuulikenttä. Tuuli kiertää (poh-joisella palllonpuoliskolla) myötäpäivään korkeapaineiden ympäri, ja vastapäivään ma-talapaineiden ympäri. Voimme sanoa, että tuulikentän rotaatio on korkeupaineiden koh-dalla positiivinen ja matalapaineiden kohdalla negatiivinen.


Kuva A.4 � Divergenssi. Positiiviset divergenssit (�lähteet�) ja negatiiviset (�kai-

vot�)

A.2.7 Konservatiiviset kentät

Mitä tapauhtuu, jos vektorikenttä a on skalaarikentän F gradientti, ja me yritämme laskeasen rotaatio? Seuraavasti:

rot a = rot gradF =

��i j k@@x

@@y

@@z

@F@x

@F@y

@F@z

�� ==

@

@y

@

@zF � @

@z

@

@yF

!i+

@

@z

@

@xF � @

@x

@

@zF

!j+

@

@x

@

@yF � @

@y

@

@xF

!k = 0!

Toisin sanoen, jos vektorikenttä a (x; y; z) on skalaarikentän F (x; y; z) gradientti, sen rotaa-

tio on nolla.

Määritelmä: sellainen vektorikenttä a kutsutaan konservatiiviseksi ja vastaava skalaari-kenttä F , a = gradF kutsutaan kentän a potentiaaliksi.

Huomaa, että jos a (x; y; z) = grad F (x; y; z) ; silloin myös a (x; y; z) = grad (F (x; y; z) + k) ;

jos k on vakio, koska

grad k = i@k

@x+ j

@k

@y+ k

@k

@z= 0:

A.2.8 Laplace-operaattori

Olkoon konservatiivinen kenttä a, eli rot a = 0. Silloin voimme kirjoittaa

a = gradF = rF;

jossa F on potentiaali.


Kuva A.5 � Rotaatio. Positiiviset (myötäpäivään) ja negatiiviset (vastapäivään)

pyörteet

Ilmaistaan kentän a divergenssi nyt potentiaaliin:

div a = ra = rrF =@

@x

@

@xF +

@

@y

@

@yF +

@

@z

@

@zF =

=

@2

@x2+

@2

@y2+

@2

@z2

!F � �F;

jossa olemme keksineet uusi di�erentiaalioperaattori : ranskalaisen markiisin Pierre Simonde Laplacen Delta-operaattori

� � @2

@x2+

@2

@y2+

@2

@z2:

�Lähdevapaan� kentän potentiaalille � esim. painovoimapotentiaalille tyhjiössä, sähköstaatti-selle potentiaalille avaruuden alueella, jossa ei ole sähköisiä varauksia � tämä delta-operaattorihäviää.

A.3 Integraalit

A.3.1 Käyrä-integraali

Aiemmin nähtiin jo, että työ �E voidaan kirjoittaa voiman F ja matkan �r skalaaritulona:

�E = hF ��ri :Tämän di�erentiaalimuoto on

dE = F � dr;

A.3. Integraalit 211

Tangenttivektori t

Suljettupolku S

Integraali¸Sha � ti ds

rot a

Kuva A.6 � Stokesin rotaatiolause.

josta saa integraalimuoto

�EAB =

ˆ B

A

F � dr:

Tässä lasketaan kappaleen siirtämiseen pisteestä A pisteeseen B tarvittavaa työmäärää in-tegroimalla F � dr polkua AB pitkin.

Jos polkua parametrisoidaan kaarenpituuden s mukaan, ja polun tangenttivektori kutsutaan

t =dx

dsi+

dy

dsj+

dz

dsk;

voimme myös kirjoittaa

�EAB =

ˆ B

A

hF � ti ds;

integraalin parametrisoitu versio.

A.3.2 Pinta-integraali

Olkoon taas annettuna joku vektorikenttä a sekä avaruudessa oleva pinta S. Usein pitääintegroida pinnan S yli vektorikentän normaalikomponentti, eli a:n projektio pinnan nor-maalivektoriin.

Olkoon pinnan normaalivektori n. Silloin on integroitava¨S

ha � ni dS;

symbolisesti kirjoitettuna¨S

a � dS;


jossa kirjoitustapa dS kutsutaan orientoiduksi pinta-alan elementiksi.

Kuten käyrää, voidaan myös pintaa parametrisoida. Esim. maapallon pintaa voidaan para-metrisoida latitudin ' ja longitudin � avulla: r = r ('; �) : Tässä tapauksessa kirjoitetaanpinta-elementiksi

dS = R2 cos'd'd�;

jossa R2 cos' on parametriparin ('; �) jakobiaani. Tässä parametrisoinnissa integraalia las-ketaan seuraavasti:¨

S

a � dS =

¨S

ha � niR2 cos'd'd�:

Muilla pinnoilla ja parametrisoinneilla on toiset jakobiaanit. Jakobiaani kuvaa aina �parametripinta-elementin� d'd� todellista pinta-alaa �luonnossa�. Esim. Maan pinnalla aste kertaa aste -ruutu on suurin ekvaattorin lähistöllä. Napakoordinaateissa (�; �) tasossa (x = � cos �; y =

� sin �) jakobiaani on �. Tavallisessa pinnan (x; y) -parametrisoinnissa se on 1 eli sen voi jättääkokonaan pois.

A.3.3 Stokesin reuna-integraalilause

Olkoon S avaruudessa oleva pinta (ei välttämättä litteä) ja @S sen reunakäyrä. Oletetaan,että pinta ja sen reuna ovat sen verran hyväkäytöksisiä, että kaikki tarvittavat integroinnitja di�erentioinnit voidaan suorittaa.

Silloin (Stokes):¨S

rot a � dS =

˛@S

a � dr:

Sanoin: vektorikentän rotaation pinta-integraali pinnan yli on sama kuin kentän suljettupolku-integraali pinnan reunan ympäri.

Erikoistapaus: Jos rot a = 0 kaikkialla (konservatiivinen vektorikenttä) on˛@S

a � dr = 0;

eli myösˆ B

A;polku 1

a � dr =ˆ B

A;polku 2

a � dr:

Eli työ-integraali pisteestä A pisteeseen B ei riipu valitusta polusta. Ja suljetun

polun ympäri kuljetetun kappaleen suoritettu työ on nolla.

Tämä selittää ehkä paremmin konservatiivisen voimakentän olemus. Konservatiivis-ta kenttää voidaan esittää potentiaalin gradienttina : a = grad F; jossa F on ken-tän potentiaali. Maan painovoimakenttä g (x; y; z) on maan painovoimapotentiaalinW (x; y; z) gradientti. Keskimerenpinnalla (geoidilla) painovoimapotentiaali on vakio;painovoimavektori g on kaikkialla kohtisuora sitä kohtaan.

A.4. Aineen jatkuvuus 213

V

na

div a

@V

Kuva A.7 � Gaussin divergenssilause. n on ulkopinnan normaalivektori. Huo-

maa, että Gaussin lause voidaan formuloida myös (Faraday'n) kenttäviivojenavulla: kenttäviiva alkaa tai päättyy sähkövarauksen kohdalla (siis paikalla, jossa

div a 6= 0) tai kulkee äärettömyyteen (eli pinnan @V läpi)

A.3.4 Gaussin integraalilause

Olkoon V tietty avaruuden volyymi ja @V sen suljettu reuna (pintojen yhdistelmä). Olete-taan taas, että molemmat ovat matemaattisesti hyväkäytöksisiä. Silloin pätee seuraava lause(Gauss):

˚V

div a dV =

¨@V

a � dS =

¨@V

ha � ni dS:

Sanoin: mitä kappaleen sisällä syntyy (eli �lähteet�, divergenssi) on tultava sen pintojenkautta ulos.

Huomautus: yleensä pinnan @V orientaatio otetaan positiivisesti ulkoapäin, eli normaalivek-tori n osoittaa ulospäin.

A.4 Aineen jatkuvuus

Usein käytetty kaava mm. hydro- ja aerodynamiikassa on jatkuvuusyhtälö. Tämä kuvaa, ettäaine ei voi noin vain hävitä tai lisääntyä. Yleisessä tapauksessa kaava on tämän näköinen:

div (�v) +d

dt� = 0:


Tässä ilmaisu �v kuvaa massavirtaus ; � on aineen tiheys, v virtauksen nopeus. Termidiv (�v) kuvaa, paljonko ainetta lähtee aika-yksikössä pois yksikkökuutiosta enemmän kuintulee sisään. Toinen termi taas, d

dt�, kuvaa yksikkökuution sisällä olevan massamäärän muu-

tosta ajassa. Ne kaksi termiä on oltava keskenään tasapainossa, jotta �ainekirjanpito� täsmää.

Mikäli virtaava aine on �ei-kokoonpuristava� eli inkompressiibeli, on � vakio ja

d

dt� = 0 ja div (�v) = � divv;

ja saamme

�divv = 0 ) divv = 0:

Muista kuitenkin, että ei välttämättä rotv = 0, siis potentiaalia F jolle v = gradF ei ole

välttämättä olemassa.

Liite BFunktioavaruudet

B.1 Abstraktinen vektoriavaruus

Abstraktisessa vektoriavaruudessa voidaan luoda kanta , jonka avulla jokainen vektori voi-daan kirjoittaa kantavektoreiden lineaariyhdistelmänä: Jos kanta on fe1; e2; e3g, voidaan mie-livaltainen vektori r kirjoittaa muotoon:

r = r1e1 + r2e2 + r3e3 =3Xi=1

riei:

Koska kolme kantavektoria aina riittää, kutsutaan tavallinen (eukliidinen) avaruus kolmi-

ulotteiseksi.

Vektoriavaruuteen voidaan määrittää skalaaritulo, joka on lineaarikuvaus kahdesta vektoris-ta yhteen lukuun (�bilineaarinen muoto�):

hr � si :

Lineaarisuus merkitsee, että

h�r1 + �r2 � si = � hr1 � si+ � hr2 � si ;

ja symmetrisyys, että

hr � si = hs � ri

Jos kantavektorit ovat keskenään ortogonaalisia, ts. hei � eji = 0 jos i 6= j, voidaan yksin-kertaisesti laskea kertoimet ri:

r =3Xi=1

hr � eiihei � eiiei (B.1)

Jos tämän lisäksi vielä hei � eii = keik2 = 1 8i 2 f1; 2; 3g, ts. kantavektorit ovat ortonormaa-

leja � suure

krk =qhr � ri

216 Liite B. Funktioavaruudet

kutsutaan vektorin r normiksi � kaava B.1 yksinkertaistuu edelleenkin:

r =3X

n=1

hr � eii ei: (B.2)

Tässä kertoimet ri = hr � eii.

B.2 Fourier-funktioavaruus

Funktiotkin voidaan katsoa vektoriavaruuden alkioiksi. Jos määritetään kahden funktioidenf; g skalaaritulo seuraavaksi integraaliksi:

D�!f � �!g

E� 1

�

ˆ 2�

0

f (x) g (x) dx;

on helppoa todeta että ylläolevat vaatimukset skalaarituloon täyttyvät.

Tämän vektoriavaruuden (funktioavaruuden) eräs kanta muodostuvat ns. Fourier-funktiot,

�!e0 =1

2

p2 (k = 0)

�!ek = cos kx; k = 1; 2; 3; :::�!e�k = sin kx; k = 1; 2; 3; :::

Tämä kanta on ortonormaalinen (todistus: harjoitus). Se on myös täydellinen kanta, jotame emme todista. Nyt jokainen funktio f(x) joka täyttää tietyt vaatimukset, voidaan kehittääkaavan (B.2) tapaan, eli

f(x) = a01

2

p2 +

1Xk=1

(ak cos kx+ bk sin kx);

� tuttu Fourier-kehitelmä � jossa kertoimet ovat

a0 =D�!f � �!e0

E=

1

�

ˆ 2�

0

f (x)1

2

p2dx =

p2 � f (x)

ak =D�!f � �!ek

E=

1

�

ˆ 2�

0

f (x) cos kxdx

bk =D�!f � �!e�k

E=

1

�

ˆ 2�

0

f (x) sin kxdx

Tämä on tunnettu tapa miten Fourier-sarjan kertoimet lasketaan.

B.3. Sturm-Liouville di�erentiaaliyhtälöt 217

B.3 Sturm-Liouville di�erentiaaliyhtälöt

B.3.1 Ominaisarvotehtävä

Abstraktissa vektoriavaruudessa voidaan formuloida ominaisarvotehtävä : jos on olemassalineaarinen operaattori (kuvaus) L, voidaan kirjoittaa

Lx = �x;

jossa ongelmana on määrittää arvot �i joille ratkaisu xi löytyy.

Konkreettisessa n-ulotteisessa vektoriavaruudessa voidaan kirjoittaa vektori

x =nXi=1

xiei;

ja lineaarisuuden ansiosta

Lx = L

(nXi=1

xiei

)=

nXi=1

xi � L feig ;

toisaalta voidaan kirjoittaa n eri vektoria L feig kantaan fejg seuraavalla tavalla:

L feig =nXj=1

aijej:

Tässä määriytyvät kertoimet aij, joita voidaan kerätä n� n matriisiin A.

Nyt

Lx =nXj=1

"nXi=1

aijxi

#ej; (B.3)

kun myös

�x = �nXi=1

xiei =nXj=1

[�xj] ej: (B.4)

Yhdistämällä vektorikaavat (B.3, B.4), jotka on oltava identtisiä, saadaannXi=1

aijxi � �xj = 0

eli matriisikaavana

Ax� �x = 0; (B.5)

jossa A on kertoimista Aij koostuva matriisi, ja x kertoimista xi koostuva sarakevektori:

x =hx1 x2 � � � xn

iT.

Tietenkin myös kaava (B.5) edustaa ominaisarvotehtävän, mutta nyt lineaarisessa vektoriava-ruudessa, joka koostuu kaikista kerroinvektoreista x. Jokainen x on vektorin x numeerinenesitys valitulla kannalla feig. Matriisi A taas on operaattorin L numeerinen esitys samallakannalla1.1Niiden etuna on tietenkin, että niillä numeroesityksillä voi oikeasti laskea.


B.3.2 Itseadjungoitu operaattori

Olkoon L lineaarinen operaattori vektoriavaruudessa, jossa on olemassa skalaaritulo, siisbilineaarinen muoto hx � yi joka on symmetrinen.

Silloin L on itseadjungoitu, mikäli jokaiselle vektoriparille x;y pätee

hx � Lyi = hLx � yi :

Jos matriisi A on itseadjungoitu, se merkitsee, että

hx � Ayi = hAx � yieli

nXi=1

xi

24 nXj=1

aijyj

35 = nXi=1

24 nXj=1

aijxj

35 yi;mikä on triviaalisti totta, mikäli

aij = aji; siisA = AT ;

kaikille i; j arvoille 1; : : : ; n. Eli:

Symmetrinen matriisi on itseadjungoitu operaattori.

Lineaarialgebrasta on varmasti tuttu, että symmetrisen n�nmatriisin eri ominaisarvoille

�p 6= �q kuuluvat ominaisvektorit xp; xq ovat keskenään kohtisuoria: xp ? xq. Jos kaikkiominaisarvot �p; p = 1; : : : ; n ovat erilaisia, muodostuvat ominaisvektorit xp; p = 1; : : : ; n

täydellisen kannan vektoriavaruudessa Rn.

Todistus ei ole vaikea. Lähdetään ominaisarvotehtävän kaavasta ominaisvektorille ja -arvollexp; �p:

Lxp = �pxp;

ja kerrotaan vasemmalta vektorilla xq:

hxq � Lxpi = �p hxq � xpi :Samoin ominaisvektorille ja -arvolle xq; �q:

hxp � Lxqi = �q hxp � xqi :Jos nyt L on itsekonjugoitu, on

hxq � Lxpi = hLxq � xpi = hxp � Lxqi(muista, että skalaaritulo on symmetrinen) ja siis, että

�p hxq � xpi = �q hxp � xqieli

(�p � �q) hxp � xqi = 0:

Mikäli �p 6= �q, on siis oltava hxp � xqi = 0 eli xp ? xq. Q.e.d.

B.3. Sturm-Liouville di�erentiaaliyhtälöt 219

Esimerkki: varianssimatriisi tasossa. Pisteen P koordinaattien varianssimatriisi tasossa on

Var (xP ) = � =

"�2x �xy�xy �2y

#;

symmetrinen matriisi. Tässä �2x ja �2y ovat x- ja y-koordinaattien varianssit eli keski-

virheen neliöt, kun �xy on koordinaattien välinen kovarianssi.

Tämän matriisin � ominaisarvot ovat karakteristisen yhtälön

det

"�2x � � �xy�xy �2y � �

#= 0

ratkaisut, eli��2x � �

� ��2y � �

�� 2xy = 0:

Tästä saa

�1;2 ==1

2

��2x + �2y

��s�

1

2

��2y � �2x

��2+ �2xy:

Varianssimatriisiin kuuluu varianssi- eli virhe-ellipsi. Sen pääakseleiden pituudet ovatp�1;p�2 ja pääakseleiden suunnat ovat �:n ominaisvektorit x1;x2, keskenään kohti-

suoria. Kun koordinaatiston akselit käännetään näin, että sen akselit ovat x12suuntaisia,on matriisi � muotoa:

�0 =

"�2x 0

0 �2y

#:

Ominaisarvojen summa, �1+�2 = �2x+�2y on invariantti, jota kutsutaan pistevarians-

siksi.

B.3.3 Itseadjungoidut di�erentiaaliyhtälöt

Myös funktioavaruudessa on olemassa itseadjungoituja eli �symmetrisiä� di�erentiaaliyhtä-löitä. Itse asiassa fysiikan kuuluisimmat yhtälöt ovat tätä tyyppiä.

Tutki vaikkapa värähtely-yhtälö

d2

dt2x� �x = 0: (B.6)

Ratkaisu on yleistä muotoa

x (t) = � sin�tp��+ � cos

�tp��;

välillä [0; 2�] ratkaisu (vaaditaan x (0) = x (2�) = 0) on yleistä muotoa

x (t) = � sin�tp��;


mikä onnistuu vain tietyille �:n arvoille.

Huomaa, että yhtälö (B.6) on muodoltaan ominaisarvotehtävä :

Lx� �x = 0;

jossa

L =d2

dt2:

Näytetään ensin, että tämä operaattori on välillä [0; 2�] itseadjungoitu. Jos vektoritulo mää-ritetään seuraavasti:

hx � yi �ˆ 2�

0

x (t) y (t) dt;

on (osittaisintegrointi):

hx � Lyi =

ˆ 2�

0

x (t)d2

dt2y (t) dt =

"x (t)

d

dty (t)

#2�0

�ˆ 2�

0

d

dtx (t)

d

dty (t) dt;

hLx � yi =

ˆ 2�

0

d2

dt2x (t)

!y (t) dt =

" d

dtx (t)

!y (t)

#2�0

�ˆ 2�

0

d

dtx (t)

d

dty (t) dt:

Koska oikealla puolella ensimmäiset termit häviävät ja toiset ovat identtisiä, on meillä

hx � Lyi = hLx � yi ;

mitä oli todistettavissa.

Itseadjungoidulla operaattorilla on ominaisarvot ja ominaisvektorit, tässä tapauksessa funk-tiot, jotka ovat keskenään ortogonaalisia. Ne ovat juuri ratkaisufunktiot:

sin�tq�p�= sin (2pt�) ;

jossa

�p = (2p�)2

edustaa tietyn värähtelyn energiatasoa.

Fysiikassa löytyy laaja joukko osittaisdi�erentiaaliyhtälöitä, jotka ovat jossakin funktioava-ruudessa itseadjungoituja. Joukko käy nimellä �Sturm-Liouville -tyyppiset ongelmät�. Sii-hen kuuluu mm. värähtely-yhtälö, Legendren yhtälö, Besselin yhtälö ja monet muut.Jokainen generoi luonnollisella tavalla oma joukko ortogonaalisia funktioita, jotka kelpaavatyhtälön yleisen ratkaisun perusfunktioiksi.

B.4. Legendre-polynomit 221

B.4 Legendre-polynomit

Myös tavalliset Legendre-polynomit Pn(t) muodostuvat kannan funktioavaruudessa, missäskalaaritulon määritelmä onD�!

f � �!gE�ˆ +1

�1f (t) g (t) dt:

Ne eivät kuitenkaan muodostu ortonormaalinen kanta vain ainostaan ortogonaalinen : �!pn 2 = D�!pn � �!pnE = ˆ +1

�1P 2n (t) dt =

1

2n+ 1:

Toisin kuin tavallinen avaruus, joka on 3-ulotteinen, funktioavaruus on 1-ulotteinen, ab-strakti vektoriavaruus, joka kuitenkin auttaa meidät konkretisoimaan tiettyjä abstrakteja,mutta hyvin hyödyllisiä funktioteorian perusasioita!

B.5 Pallofunktiot

Pallon pinnalla voidaan myös katsoa kaikkien funktioiden olevan funktioavaruuden alkioita.Jokainen funktio, joka täyttää tiettyjä �hyvän käytöksen ominaisuuksia� � kuten integroita-vuus � on sen alkio. Funktiot

Rnm (�; �) = Pnm (sin�) cosm�

Snm (�; �) = Pnm (sin�) sinm�

yhdessä, arvoilla n = 0 : : :1; m = 0 : : : n;, muodostavat täydellisen kannan tähän vektori-avaruuteen niin, että jokainen funktio voidaan kirjoittaa niiden funktioiden (tarvittaessaäärettömmänä) lineaariyhdistelmänä.

(Tilanne on analoginen kolmiulotteisen avaruuden kanssa, jossa täydellinen kanta koostuukolmesta vektorista, jotka eivät ole samassa tasossa.)

Funktioavaruudessa määritellään skalaaritulo:D�!v � �!wE = 1

4�

¨�

V (�; �)W (�; �) d�;

missä � on yksikköpallon (�suuntapallon�, tai jopa �taivaanpallon�) pinta. Tämän määritelmänmukaan voidaan näyttää toteen, että kaksi eri funktiota, nimittäin Rnm; Rsr, tai Rnm; Ssr,tai Snm; Ssr, ovat ortogonaalisia toistensa nähden: esimerkiksiD��!rnm � �!rsrE = 1

4�

¨�

Rnm (�; �)Rsr (�; �) d� = 0

jos n 6= s tai m 6= r, jne.

Kantan��!rnm;��!snmo on ortogonaalinen mutta ei ortonormaalinen : jokaisen vektorin �pituus�

eroaa 1:stä. ��!rnm 2 = D��!rnm � ��!rnmE = 1

4�

¨�

Rnm (�; �)2 d� =

8<:1

2n+1; m = 0

12(2n+1)

(n+m)!(n�m)!

; m > 0


ks. myös Heiskanen and Moritz (1967). Tämän todistaminen kaavan (2.9) avulla on pitkäprosessi.

Jos nyt jaetaan funktiot Rnm; Snm ylläolevien tekijöiden neliöjuurilla, saadaan täydellisesti

normalisoidut pintapallofunktiot Rnm; Snm.

Niiden avulla on taas helppo laskea annetun funktion f (�; �) kertoimet anm; bnm (yläviivamerkitsee että nämä ovat täydellisesti nSturm-Liouvilleormalisoituja kertoimia):

anm =Df � �!r

E) anm =

1

4�

¨�

f (�; �)Rnm (�; �) d�;

bnm =Df � �!r

E) bnm =

1

4�

¨�

f (�; �)Snm (�; �) d�: (B.7)

Tämä on suora projektio kannan yksikkövektoriin (geometrinen analogia). Ekspansiota 2.8vastaava kaava on:

V (�; �; r) =1Xn=0

1

rn+1

nXm=0

P nm (sin�)�anm cosm�+ bnm sinm�

�:

Yllä olevissa integraaleissa f (�; �) on funktio f �maan pinnalla�, eli, jos maapallon keskisädeon R, f (�; �) = f (R;�; �).

Voimme kirjoittaa myös

Rnm (�; �) = P nm (sin�) cosm�;

Snm (�; �) = P nm (sin�) sinm�;

mikä vastaa täydellisesti normalisoitujen Legendre-funktioiden määritelmään:

P n0 (sin�) =p2n+ 1Pn0 (sin�) ;

P nm (sin�) =

vuut2(2n+ 1)(n�m)!

(n+m)!Pnm (sin�) ; m 6= 0:

Liite CMiksi FFT toimii?

FFT-menetelmän valinnassa on vaihtoehtoja. Nopein FFT edellyttää hilan jonka pistemääräon 2:n potenssi, eli 2n�2m-kokoinen hila. Vaihtoehtoiset, �mixed radius� menetelmät, tulevatmyös kysymykseen ja suoriutuvat hyvin jos hilan koko on jotain 360�480-tapaista. Jos hilankoko on jaoton luku, FFT:stä ei ole hyötyä tavallisen diskreetin FFT:n verrattuna.

Jos funktio f (x) on annettu väliin [0; 1) tasavälisellä hilalla arvoina f (xk) ; k = 0:::N � 1; ondiskreetti Fourier-muunnos yhdellä ulottuvuudella

F ff (x)g = F (!) ;

missä

F (!j) =1

N

N�1Xk=0

f (xk) e2�ijk=N ; j = 0:::N: (C.1)

Tässä myös taajuus-argumentti !j; j = 0:::N � 1 on määritetty väliin [0; 1]. (Muistaa, että ion imaginaarinen yksikkö i2 = �1.)Vastaavasti käänteinen diskreetti Fourier-muunnos

F�1 fF (!)g

on

f (xk) =N�1Xj=0

F (!j) e�2�ijk=N ; k = 0:::N: (C.2)

FFT on vain hyvin tehokas tapa laskea nämä molemmat kaavat (C.1,C.2). Kaavojen raakalaskeminen vaatii suuruusluokkaa N2 �standardilaskutoimitusta�, jokainen yksi kertalaskuplus yksi yhteenlasku. Mikäli N on parillinen, voidaan kirjoittaa

F (!j) =1

N

24N=2�1Xk=0

f (xk) e2�ijk=N +

N�1Xk=N=2

f (xk) e2�ijk=N

35 ==

1

N

24N=2�1Xk=0

f (xk) e2�ijk=N + e�ij

N=2�1Xk=0

f�xk+N=2

�e2�ijk=N

35 ==

1

N

N=2�1Xk=0

hf (xk)� f

�xk+N=2

�ie2�ijk=N ;

+ jos j parillinen� jos j pariton

!(C.3)

224 Liite C. Miksi FFT toimii?

minkä summan laskemiseksi tarvitaan vain N2=2 kertalaskua ja N2=2+N=2 � N2=2 yhteen-ja/tai vähennyslaskua (huomaa, että suorasuluissa [�] olevaa ilmaisua on sama eri j:n arvoil-le ja evaluoidaan vain N=2 kertaa). Yhteensä noin N2=2 �standardilaskutoimitusta�, puoletalkuperäisestä.

Kaava (C.3) tunnistetaan itsekin Fourier-sarjaksi, mutta tukipisteiden määrä on N :n sijastavain N=2. Jos myös N=2 on parillinen, voidaan toistaa yllä kuvattua temppua, lopputuloksenailmaisu joka vaatii vain luokkaa N2=4 laskentatoimitusta. Toistetaan taas, ja operaatoidenmäärästa tulee N2=8, N2=16, N2=32, jne.... Tarkempi analyysi näyttää, että, jos N on 2:npotenssi, saadaan koko diskreetti Fourier-muunnos lasketuksi suuruusluokkaa N � 2 logN

laskutoimituksessa!

Kirjallisuudesta löytyy ovelia algoritmeja yllä kuvatun menetelmän toteuttamiseksi, esim.fftw (�Fastest Fourier Transform in the West�, http://www.fftw.org).

http://www.fftw.org

Hakemisto

öljyteollisuus, 125

aallonpituus, 34action at a distance, 1AGU, katso American Geophysical UnionAhvenanmaa, 184Airy-Heiskanen malli, 79akselipuolikas

lyhyt, 30, 52pitkä, 30, 52, 182

altimetriasatelliitti, 182American Geophysical Union, 198Amplitudi

vuoksen, 194anomaaliset suureet, 57Arabelos, 129Astatisoitu gravimetri, 155Asteluku, 31

vuoroveden, 194astenosfääri, 168Astevarianssi, 144, 145, 147Atsimuti, 118Aurinko, 9Aurinkopaneelit, 183Avaruuspallofunktio, 31

Baltic Sea Level -projekti, 198Besselin yhtälö, 220BGI, katso Bureau Gravimétrique Interna-

tionalbilineaarinen muoto, 215Bjerhammar, Arne, 148blokkikeskiarvot, 142Blue Road Geotraverse -projekti, 168Bouguer-anomalia, 69, 112

maastokorjattu, 70yksinkertainen, 69

Bouguer-hypoteesi, 168

Bouguer-kerros, 1Bouguer-laatta, 69Bouguer-reduktio, 68, 74, 112Boulderin yliopisto, 157boundary value problem, katso reuna-arvotehtäväBureau Gravimétrique International, 197

Cavendish, 2Champ, 186Chasles, 1, 19Chaslesin lause, 20, 22Coriolis-voima, 46, 169crossover-tasoitus, 179, 185

datum-piste, 88Datumi, 181datumi-defekti, 181Defense Mapping Agency, 40Deformaatio

Maan, 193Deklinaatio

Kuun, 192di�erentiaalioperaattori, 7digitaalinen maastomalli, katso maastomal-

li, digitaalinendipoli, 12, 39dipolimomentti, 39dipolitiheyskerros, 12Dirichlet, 1, 21Dirichletin periaate, 21diskreetti Fourier-muunnos, 124divergenssi, 9

Eötvös, Lorand, 47EGM96, 40, 41EGS, katso European Geophysical SocietyEinstein, 3, 47eksponentiaalinen funktio, 27ekstrapolaatio, 142

226 Hakemisto

ekvatoriaalipainovoima, 52ekvatoriaalisäde, 52ekvipotentiaalipinta, 11, 21, 45, 47, 54ekvivalenssiperiaate, 3, 47Elastisuus

Maan, 193elastisuus

Maankuoren, 195ellipsoidi

Hayford, 53Kansainvälinen, 53Krassowsky, 53

energia, 4, 88potentiaalinen, 7

ennustusvarianssi, 143epäsuora efekti, 78, 84, 95, 193ergodisuus, 133ERS-1, 178ERS-2, 178Etelämanner, 67Eterna, 195European Geophysical Society, 198European Space Agency, 178

Faller, James E., 157Fast Collocation, 150FFT, katso Fast Fourier TransformFFT-menetelmä, 121FIN2000-geoidi, 166�nite elements, 83Footprint, 184Footprint, altimetrin, 179Fourier-funktiot, 216Fourier-kehitelmä, 28, 216Fourier-kertoimet, 28Fourier-muunnos, 128Fourier-sarja, 216Freeboard, 185fundamental equation of physical geodesy,

62funktioavaruus, 216fysikaalinen geodesia, 28fysikaalinen mallinnus, 169

Galilei, 3, 47

Gauss, 1, 13generoiva funktio, 104Geodeettinen laitos, 157Geodetic Reference System 1980, 52geofysikaalinen reduktio, 67geoidi, 47, 61, 63, 67, 88, 165, 166

relatiivinen, 166geoidi-undulaatio, 57, 142geoidikartta, 171Geoidikommissio, Kansainvälinen, 197geoidimääritys, 21, 37

gravimetrinen, 168Geophysical Data Record, 184geopotentiaalikenttä, 45geopotentiaaliluku, 96geopotentiaalimääritys, 37GEOS-3, 177Geosat, 177geostro�nen tasapaino, 170Global Ocean Circulation Explorer, 171, 185Global Positioning System, 125, 161GOCE, katso Global Ocean Circulation Explo-

rer, 187Golf-virta, 170, 171GPS, katso Global Positioning SystemGPS-antenni, 161GPS-laite, geodeettinen, 161GPS-paikannus, 168, 194GPS-paikannuslaite, 185GPS-satelliittit, 40GPS-systeemi, 52, 99GPS-vaaitus, 167Grönlanti, 67Grace, 186gradientit, 187gradientti, 7, 8gradiometria, 127gravimetri

absoluuttinen, 157ballistinen, 157rekisteröivä, 195suprajohtava, 159

gravitaatio, 1, 45gravitaatio-aallot, 10

Hakemisto 227

gravitaatiokaava, 2gravitaatiokenttä, 4, 45gravitaatiokiihtyvyys, 21gravitaatioteoria, 1gravitaatiovoima, 25GRAVSOFT, 125Green, 1, 16Greenin lause

ensimmäinen, 17toinen, 17

GRS80, katso Geodetic Reference System1980, 126, 166

GRS80-järjestelmä, 4GWR20, 159

häiriöpotentiaali, 54, 59, 104Hannoverin yliopisto, 198harmonics

ellipsoidal, 41harmoninen, 21harmoniset

ellipsoidiset, 42, 43, 50Havaintoyhtälöt, 180Hayford, 53, 79Helmert-kondensaatio, 1, 77, 110Helmert-korkeus, 96, 166Helmertin kaava, 53, 96hitausmomenttitensori, 40homogeenisuus, 150homogeenisuusolettamus, 133Hydrodynamiikka, 195

ilma-anomalia, 64ilmagravimetri, 156, 161ilmagravimetria, 185Indonesia, 184inertiaalinen järjestelmä, 45Input-Output -analyysi, 150Institut für Erdmessung, 198integraalikaava, 1integraalilause, 1International Geoid Service, 197interpolaatio, 142interpolointi, 70Ionosfääri, 179

isostaattinen geoidi, 83isostaattinen kompensaatio, 79, 84isostaattinen reduktio, 83isostasia, 82isostasia-hypoteesi, 79Isotrooppisuus, 144isotrooppisuus, 104, 135, 144Italia, 197

Järjestysluku, 31Jatkaminen

alaspäin, 107ylöspäin, 107

JILA-gravimetri, 157juuri, vuoriston, 79

Kööpenhamina, 198kaarevuus

tasapintojen, 48Kaivopuisto, 88Kalibrointikorjaus, altimetritutkan, 179Kansainvälinen Geodeettinen Assosiaatio, 197kanta

täydellinen, 221kanta, vektoriavaruuden, 215kappale

kiinteä, 8kaukainen vaikutus, 1Kaula, William, 148kenkälaatikkomaailma, 27kenttäteoria, 1kenttäyhtälöt, 1, 10Keplerin lait, 182Keplerin laki

kolmas, 182kertoimet

täydellisesti normalisoidut, 222keskikaarevuus, 49keskimerenpinta, 10, 63, 67, 88, 165, 166keskipakoispotentiaali, 45, 47, 53keskipakoisvoima, 21keskipakoisvoiman potentiaali, 54kiihtyvyysmittari, 186kiikari, 87kitkakompensaatiomekanismi, 162

228 Hakemisto

Klinometri, 194ko-geoidi, 67

isostaattinen, 84koemassa, 4kokonaismassa, 52kollokaatio

pienimmän neliösumman, 141kommutatiivinen diagramma, 120kompensaatiosyvyys, 84kondensaatio, 73konservatiivinen kenttä, 4konvergenssi, 42konvoluutio, 117, 118, 128, 149koordinaatit

ellipsoidiset, 41, 63geodeettiset, 60, 63luonnolliset, 49, 63maantieteelliset, 29, 30suorakulmaisia, 26

koordinaattijärjestelmä, 25korkeus

ortometrinen, 49, 88korkeusanomalia, 63, 95korrelaatiopituus, 138kosinisääntö, 104kovarianssifunktio, 133

empiirinen, 147painovoima-anomalioiden, 147

kovarianssikaavaHirvosen, 139

kovarianssimatriisihavaintovirheiden, 142

Krassowsky, 53kulmaetäisyys, 38, 102kuormitus

Maankuorenilmakehän aiheuttama, 195meren aiheuttama, 195

Kuu, 9kvadrupolimomentti, 40kvanttimekaniikka, 25kvasi-geoidi, 63

lämmönkuljetus, 169

LaCoste-Romberg gravimetri, 155, 157Lageos, 182Laivagravimetri, 185Laplace-operaattori, 9Laplace-yhtälö, 10, 25, 43Laplacen vuorovesikaava, 192Laplacen yhtälö, 26laserinterferometri, 157latitudi

geosentrinen, 52redukoitu, 52

latituudiredukoitu, 30

least squares collocation, 83, 141Legendre-polynomi, 221Legendren funktiot, 32

toisen lajin, 41Legendren liitännäisfunktio, 32Legendren polynomi, 35lentokonegravimetria, 129liikelaki, 3Lineaarisuus, 215lineaarisuus, 25, 26litistyneisyys, 42Longitudi

Kuun, 192Love-luvut, 193LSC, katso least squares collocationluotiviivapoikkeamat, 57, 103

Maan matemaattinen muoto, 47maannousu, 166

absoluuttinen, 167relatiivinen, 167

Maapallon kokonaismassa, 62Maapallon massakeskipiste, 40maastokorjaus, 69maastomalli

digitaalinen, 71mareogra�, 167, 168massajakauma

Maapallon sisäinen, 22massatiheyskerros, 1matka-integraali, 7

Hakemisto 229

Maxwell, 10Maxwell-teoria, 25merenpinnasta, 165Merentutkimus, 195merenvuoksikuormitus, Maankuoren, 195merigravimetri, 156, 161Merijää, 185Meritopogra�a, 178meritopogra�a, 165, 168, 169, 179, 185, 198

Itämeren, 169meso-scale eddies, 171Metsähovin tutkimusasema, 159mikrogal, 47mikroseismiikka, 157milligal, 47minimienergiatila, 88mittainvarianssi, 10mittaus

gravimetrinen, 22Molodenskii, 63, 92Molodenskiin teoria, 21monopoli, 39mu-metalli, 159muunnospinta, 167

N60, 88näennäisvoima, 45Nabla, 7napa

koordinaattijärjestelmän, 38napakoordinaatit, 43Napaliike, Maan, 194National Imagery and Mapping Agency, 40neste

ilma, 88merivesi, 88peruskallio, 88

Neumann, 37Neumannin tehtävä, 37Newton, 1, 9Newtonin vakio, 191Niethammerin menetelmä, 97NIMA, katso National Imagery and Map-

ping Agency

Normaali, 13normaaliderivaatta, 11normaaligravitaatiopotentiaali, 53normaalipainovoima, 51, 52, 59, 64Normaalipotentiaali, 52normaalipotentiaali, 45, 52, 54, 57, 63normaalisuunta, 11, 19Nouseva solmu, 192

observatorio, Helsingin, 88Ohion Valtionyliopisto, 40operaattori

Laplace'n, 132ortogonaalisuus, 35, 215

Legendre-polynomien, 38ortonormaalisuus, 145, 216osittaisdi�erentiaaliyhtälö, 25osittaispotentiaali, 55

painemerenpohjan, 186

painottomuus, 162painovoima, 45, 46

ekvatoriaalinen, 53painovoima-anomalia, 62, 104, 142painovoima-anomalia, isostaattinen, 83painovoima-anomaliat, 59painovoimagradientti, 96Painovoimagradiometra, 185painovoimagradiometri, 171, 187painovoimahäiriö, 59, 104painovoimakaava, 45painovoimakenttä, 2, 45Painovoimakommissio, Kansainvälinen, 197painovoimapotentiaali, 1, 46, 47, 54, 57painovoimavektori, 7pallofunktio, 221pallofunktiokehitelmä, 1, 54

globaalinen, 40korkea-asteinen, 42

pallofunktiot, 43sektoraaliset, 34tesseraaliset, 34zonaaliset, 33

pallokoordinaatit, 25, 26, 29, 30

230 Hakemisto

pallosymmetria, 22Pallotrigonometria, 191Paluupulssi, 184Periodi

vuoksen, 194periodi, 182pintaintegraali, 11Pintapallofunktio, 31pintapallofunktiot

täydellisesti normalisoidut, 222planeetta, 2Plesetsk, 186Pohjoismainen Geodeettinen Komissio, 198Poisson-yhtälö, 10, 47Poissonin kaava, 106Poissonin yhtälö, 97polaarisäde, 52potentiaali, 4, 25

sisäpuolinen, 13ulkopuolinen, 13

potentiaaliero, 10potentiaalifunktio, 4potentiaaliteoria, 1Pratt-Hayford hypoteesi, 79prediktio, 70, 83, 142

homogeeninen, 142prisma-menetelmä, 71prosessi, ergodinen, 133puoliaallonpituus, 34, 35, 43Puolikorkeuspiste, 184pyörähdysellipsoidi, 29, 45, 52pyörähdysnopeus, 52pyörähdyspotentiaali, 45pyörreilmiöt, 46pystygradientti

painovoiman, 53pysyvä osa, vuoroveden, 195Pythagoras, 3

Ranska, 197Rapp, R.H., 148Rapp, Richard H., 40ratavirhe, satelliitin, 179ratavirhemalli, 185

Reference System 1967, 53refraktio, ilmakehän, 87Remove-Restore -menetelmä, 67, 78, 112Residual Terrain Modelling, 110resoluutio, 35Retracking, 184reuna-arvotehtävä, 21, 26, 67, 84

Dirichletin, 21, 106fysikaalisen geodesian, 61kolmas, 60Neumanin, 37vapaan reunan, 60

RTM, katso Residual Terrain Modelling

sähkömagneettinen kenttä, 25Saaristot ja altimetria, 184Sandwell, David, 127satelliitti, 2Satelliitti-altimetria, 177satelliitti-altimetria, 41Satelliittipainovoimamissiot, 177Schrödinger, 25Seasat, 177sferoidi

Brunsin, 54Helmertin, 54

SI-järjestelmä, 8, 47Signi�cant wave height, 179Simpsonin sääntö, 115sininen kalvo, 186skalaaritulo, 215, 221Skylab, 177spektraaliesitys, 1, 37, 104

geopotentiaalin, 36painovoimahäiriön, 59

spektraalikerroimet, 38Spektraalikerroin, 31spektraalikomponenttifunktiot, 38spektraalimuoto, 103, 107spektraalinäkökohta, 37Spherical FFT, 121, 122Stokes, 1, 21, 167Stokesin kaava, 101, 142Stokesin lause, 21

Hakemisto 231

Stokesin ydin, 101Strang van Hees, 120suhteellisuusteoria

yleinen, 10suolaisuusgradientti, 169superjousi, 157suprajohtavuus, 159suuntapallo, 221SWH, katso Signi�cant wave heightsylinterikoordinaatit, 25symmetrisyys, 215

täydellinen kanta, 216Töplitz, 149Töplitz-sirkulantti, 149Taajuus

vuoksen, 194Taivaanmekaniikka, 9taivaanpallo, 221tapering, 125tarkkavaaitus, 168Tasaus, 155tasopinta

geopotentiaalikentän, 61Taylor-sarjakehitelmä, 129telluroidi, 63telluroidikuvaus, 63tiheysfunktio, 8tiheysmalli, 22toistojakso, 182Topex/Poseidon, 178, 183toroidaaliset koordinaatit, 25torsiovaaka, 2Troposfääri, 179Tscherning, C.C., 125, 148Tuntikulma

Kuun, 192Tutkijakoulu, kansainvälinen, 197työntövoima, 3Tziavos, 129

värähtelijäharmoninen, 27

vaaitus, 87vaaituskoje, 87

vaaituslatta, 87Vaihe

vuoksen, 194vapaa-ilma-hypoteesi, 168vastaavuus, integraali- ja spektraalikaavo-

jen, 102vektoriavaruus, 35, 216

abstrakti, 221Vektorikenttä, 13Vening-Meineszin kaavat, 103Verbaandert-Melchior heiluri, 194vertausellipsoidi, 45, 49, 52, 63, 67vertauspinta, 63vesihöyryradiometri, 179Vesiputkiklinometri, pitkä, 194vesivaaka, 87vetovoima, 3Vuoksi

päivittäinen, 193puolipäivittäinen, 193

Vuoksipotentiaali, 191Vuorovesi

kiinteän maan, 179meren, 179

vuorovesivoima, 193

Wenzel, Hans-Georg, 195WGS84, 40, katso World Geodetic System

1984World Geodetic System 1984, 52

ydinfunktio, Stokesin, 102yksikköpallo, 221ytimen värähtelyt, Maapallon, 159

Zeniittikulma, 191Zeniittiputki, 194

martin vermeer martin.vermeer@hut - aaltomvermeer/fys.pdf · fysikaalinen geodesia maa-6.3271...

Documents