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Massehafte Teilchen 1
Hauptseminar WS2002/2003
Schlüsselexperimente zur Quantenmechanik
Wellenpakete und Einzelphotoneninterferenz
Michael Grupp7.Januar 2003
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Einführung 2/34
Einführung
Doppelspaltexperimente, Photoeffekt,... Unter welchen Bedingungen zeigen Quantenobjekte Wellen- oder Teilchencharakter?
Interpretation von Max Born und Welle-Teilchen-Dualismus
Darstellung der Konsequenzen der dualistischen Beschreibung durch Wellenpakete
Einzelphotoneninterferenz: vom Gedankenexperiment zum Realexperiment
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Gliederung 3/34
Gliederung
Allgemeine Betrachtungen zu Wellenpaketen Wellenpakete massenhafter Teilchen Wellenpakete masseloser Teilchen Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier
(et al.) Messpostulat der Quantenmechanik Zusammenfassung Quellverzeichnis
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Allgemeine Betrachtungen 4/34
Allgemeine Betrachtungen
Für Photonen gilt im Vakuum die freie Maxwellgleichung
Wellengleichung für Photonen
Verallgemeinerung
Klein-Gordon-Gleichung
Nichtrelativistischer Grenzfall
freie Schrödingergleichung
2
2 2
1 ( , ) 0r tc t
AAAAAAAAAAAAAA
2 2 2
2 2 2
1 ( , ) ( , )m cr t r tc t
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
2
( , ) ( , )2
i r t r tt m
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
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Allgemeine Betrachtungen 5/34
Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen
Diese partiellen Differentialgleichungen sind linear es gilt das Superpositionsprinzip
Die Lösung dieser Gleichungen können durch folgende
kontinuierliche Fourierentwicklung dargestellt werden:
( )1( , ) ( )
2i k r tr t k e dk
AAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAA
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Allgemeine Betrachtungen 6/34
Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen
Die Lösungen unterscheiden sich in denDispersionsrelationen
Freie Maxwellgleichung
Klein-Gordon-Gleichung
Freie Schrödingergleichung
( )k ck
2 42 2
2( )
m ck c k
2
( )2
kk
m
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Allgemeine Betrachtungen 7/34
Allgemeine Darstellung von (k) und
(k)
Entwicklung der Dispersionsrelation um k0
Mit vg Gruppengeschwindigkeit und Dispersionsparameter
Berechnung von (k)
Ist der Anfangszustand bekannt, so gilt
22
0 0 02
0 0
1( ) ( ) ( ) ( ) ...
2k k
d dk k k k k k
dk dk
2
0 0 0( ) ( ) ...gv k k k k
0 0
1( , ) ( ) ( )
2t
ikyy t y k e dk
0
1( ) ( )
2ikyk y e dy
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Allgemeine Betrachtungen 8/34
Gaußfunktion
Es wird nun für (k) eine Gaußfunktion gewählt
Mit C Normierungskonstante; bestimmt die Breite der Gaußfunktion
Für das Gaußförmige Wellenpaket findet man
20( )( ) k kk Ce
2
0 0( )4( )
( , )2
gx v ti k x ti tC
x ti t
e e
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Allgemeine Betrachtungen 9/34
Interpretation der Wellenfunktion
Max Born schlug vor die Wellenfunktion statistisch zu interpretieren:
Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist demnach proportional zur Wahrscheinlichkeit
das Teilchen nachzuweisen.
Für das Gaußförmige Wellenpaket folgt damit
Max Born 1882-1970
Nobelpreis 1954
2
22
2
2 2 2
2
( , )
2
gx v t
xCx t
t
e
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Allgemeine Betrachtungen 10/34
Unschärferelation
Für das Gaußpaket ergibt sich folgende Unschärferelation
Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation,
so ist das Gaußpaket der Zustand geringster Unschärfe für t = 0 bzw. = 0
2 2
21 22
tx p
A und B seinen hermitesche Operatoren
1 ΔAΔB A,B für x=x und p=ih ΔxΔp 22 x
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Massenhafte Teilchen 11/34
Massenhafte Teilchen
Zunächst: freies Teilchen
Gruppengeschwindigkeit
Dispersionsparameter
Zustand zum Zeitpunkt t=0 hat geringste Unschärfe Wellenpaket zerfließt für t>0 Schwerpunkt des Gaußpaketes bewegt sich auf
klassischer Bahn
2( ) 2k k m
0
0
2gk
kdv
dk
0
2
2 2k
d
dk m
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Massenhafte Teilchen 12/34
Visualisierung
Die komplexe Zahl kann durch Farben dargestellt
werden Der Farbton ist abhängig von der
Phase Die Helligkeit ist eine Funktion
des Absolutbetrages IzI Für IzI = 0 schwarz Für IzI weiß
Visualisierung komplexer Zahlen durch Farben
Im z
Re z
z= iz e
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Massenhafte Teilchen 13/34
Freies Teilchen
Ruhendes freies Teilchen Bewegtes freies Teilchen
1t 1t
2 1t t 2 1t t
03_05a.mov03_03b.mov 03_06a.mov
03_03a.mov
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Massenhafte Teilchen 14/34
Freies Teilchen
Das Auseinanderlaufen eines Wellenpaketes ist kein auf die Quantenmechanik beschränktes Phänomen!
Der größte Unterschied zur klassischen Beschreibung von Teilchen steckt in der Bedeutung der Phase des Wellenpaketes
Wellenpakete die ein Teilchen beschreiben können mit sich selbst interferieren!
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Massenhafte Teilchen 15/34
Teilchen in der Box
Lösung der freien Schrödingergleichung (x,t) unter
Dirichletschen Randbedingungen
Analogie zur Spiegelladungsmethode in der Elektrostatik
Lösung für eindimensionale Box der Länge L
0
( , ) (2 , ) (2 , )n
x t nL x t nL x t
0,x L
n
Z
(0, ) ( , ) 0 tt L t
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Massenhafte Teilchen 16/34
Teilchen in der Box
Ensemble aus klassischen Teilchen würde sich mit der Zeit gleichmäßig auf L verteilen
Quantenmechanische Betrachtung führt auf Strukturen!
1. Gebrochene Wiederkehr 2. Wiederkehr
ist die Wiederkehrzeit1T h E
14t T 3
4t T 12t T t T
04_06b.mov 04_07a.mov 04_07b.mov 04_07c.mov
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Massenhafte Teilchen 17/34
Teilchen in der Box
Quantenteppich – Aufenthaltswahrscheinlichkeit in
Falschfarbendarstellung (aus Studienführer Physik, Universität Ulm, 2002)
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Massenhafte Teilchen 18/34
Weitere Beispiele
Gaußpaket trifft auf Potentialstufe
Gaußpaket trifft auf Potentialbarriere
07_04a.mov
07_11b.mov 07_16b.mov
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Masselose Teilchen 19/34
Masselose Teilchen
Die Dispersionsrelation führt auf
Gruppengeschwindigkeit
Dispersionsparameter
Die Form eines Wellenpakets, das sich im Vakuum mit
c ausbreitet bleibt erhalten Gaußpaket ist Zustand geringster Unschärfe für alle t
( )k ck
0
gk
dv c
dk
0
2
20
k
d
dk
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Masselose Teilchen 20/34
Energie-Zeit-Unschärferelation
Die Breite x des Wellenpaketes lässt sich als seine Kohärenzlänge festlegen
Impulsunschärfe
Die Energie-Zeit-Unschärferelation folgt nicht direkt aus der
Heisenbergschen Unschärferelation!
kohx c t l
Ep c
2x p E t Energie - Zeit - Unschärferelation
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 21/34
Versuch von Grangier (et al.)
Experimenteller Nachweis der Einzelphotoneninterferenz
Notwendig: Hochgeschwindigkeitselektronik daher war dieser Versuch erst 1985 durchführbar
Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen?
Erster Versuchsteil : ein Stahlteiler Photonen verhalten sich wie Teilchen
Zweiter Versuchsteil : Mach-Zehnder-Interferometer Einzelphotoneninterferenz
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 22/34
Erster Versuchsteil
Einzelne Photonen treffen auf einen Strahlteiler und werden durch zwei Photomultipier nachgewiesen.
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 23/34
Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen?
Quelle: Durch Laser angeregte Kalziumatome angeregter Zustand zerfällt in zwei Schritten in den
Grundzustand das erste emittierte Photon 1 wird von PM1 nachgewiesen
und das Gate wird für w 9ns geöffnet nur während w kann das zweite Photons 2 (Lebensdauer 2=
4,7ns) durch die Photomultipier PMr und PMt nachgewiesen werden
2 1 Trick: Messung von wird auf den Nachweis von getriggert!
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 24/34
Was wird gemessen? – Klassische Betrachtung
Wahrscheinlichkeiten
gemittelte Intensität während Messzeit
Aus der Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung folgt
Damit gilt für die Wahrscheinlichkeiten
(Anti)korrelationskoeffizient
1
tt n
Np iN 1
rr n
Np iN
2
1
cc n
Np iN
22n ni i
c r tp p p 1 1c cklassisch
r t r t
p N N
p p N N
ni
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 25/34
Was wird gemessen – quantenmechanische Betrachtung
Die Verletzung der klassischen Ungleichung führt auf ein Antikorrelationskriterium, das ein nichtklassisches Verhalten charakterisiert.
Eine umfangreiche quantenmechanische Rechnung
führt auf
ist in diesem Experiment nahe 1
2
12
2 ( )1
( )c
QM
r t
f w Nw NwN N
N N f w Nw
( )f w
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 26/34
Ergebnis: Photon zeigt Teilcheneigenschaft
Vergleich zwischen Messergebnissen und der theoretischen Kurve (durchgezogen)
Maximal gemessene Verletzung der klassischen Ungleichung:
Messzeit T 5h bei N1 8800s-1
Klassische Theorie sagt 50 Koinzidenzen voraus gemessen wurden nur 9!
0,18 0,06
Die Photonen verhalten sich in diesem Experiment wie Teilchen!
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 27/34
Mach-Zehnder-Interferometer
Die Versuchsanordnung wird nun in ein Mach-Zehner-Interferometer umgebaut.
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 28/34
Wellenpaket
Wellenpaket eines Photon, das von einem Atom emittiert ist lorentzförmig
Zur Erinnerung: Wellenpaket behält seine Form (Vakuum!)
Abschätzung der Kohärenzlänge
Kohärenzlänge ist unabhängig von Abstand
Quelle-Detektoren
Beobachtung der Interferenz hängt von der Wegdifferenz
ab und nicht von dem Abstand Quelle-Detektor
2τ c=4,7ns = t c t=l = 1,41m
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 29/34
Ergebnis: Photon zeigt Welleneigenschaften
Gemessen wurde um die Weißlichtposition =0 in 256 Stufen mit einemjeweiligen Abstand von /50 (8,45nm) : a) 1s Messzeit pro Kanal b) 15s Messzeit pro Kanal
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Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 30/34
Teilt sich das Photon?
Auch hier: Erster Stahlteiler teilt das Wellenpaket in zwei
Teilpakete Beide Teilwellenpakete bestimmen die
Wahrscheinlichkeit das eine Photon nachzuweisen Wellenpaket “sieht“ und “nutzt“ alle Möglichkeiten
sich im Interferometer auszubreiten Photon ist an der Quelle und an dem Detektor
lokalisierbar dazwischen nicht
0,18 0,06
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Gedankenexperiment 31/34
Gedankenexperiment – Eigenschaft “Weg“
Photonen lassen sich durch Polarisationsfilter “markieren“
Beide gleich eingestellt Interferenzmuster Ungleich eingestellt kein Interferenzmuster
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Messpostulat 32/34
Messpostulat der Quantenmechanik
Obwohl ein Quantenobjekt eine Eigenschaftnicht besitzen muss, wird bei einer Messung dieser Eigenschaft immer ein bestimmter Wert (Eigenwert) gefunden!
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Zusammenfassung 33/34
Zusammenfassung
Quantenmechanik seit fast achtzig Jahren eine der erfolgreichsten Theorien
Dynamik einzelner Quantenobjekte kann durch Wellen-pakete beschrieben werden
Wellenpakete können visualisiert werden und damit die Quantenmechanik verdeutlichen
Die Einzelphotoneninterferenz hat den Welle-Teilchen-Dualismus des Photons bestätigt (1985(!))
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Quellverzeichnis 34/34
Quellverzeichnis
B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 2000 (http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/)
T. Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000
Grangier, P.; Rogier, G; Aspect, A., Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beamsplitter, Europhys. Lett. 1 (1986)173
P. Grangier cited by A. L. Robinson, Science 231(1986)671 Müller,R;Wiesner,H., Photonen im Mach-Zehnder-
Interferometer, Universität München (http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/quanten/Interferometer.pdf)
W.P.Schleich, Elements of Quantum Mechanics, Ulm, 2002