massimi e minimi una funzione è crescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso...
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MASSIMI E MINIMI
Una funzione è crescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso l’alto
MASSIMI E MINIMI
Definizione rigorosa: data la funzione f:D→R e dato un intervallo I la f si dice CRESCENTE in I se…
I
MASSIMI E MINIMI…per ogni coppia di punti x1 e x2 appartenenti a I e tali che:
Risulta:
IX1
X2
F(X1)
F(X2)12 xx
)()( 12 xfxf
MASSIMI E MINIMI
Una funzione è decrescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso il basso
MASSIMI E MINIMI
Definizione rigorosa: data la funzione f:D→R e dato un intervallo I la f si dice DECRESCENTE in I se…
I
MASSIMI E MINIMI…per ogni coppia di punti x1 e x2 appartenenti a I e tali che:
Risulta:
IX1
X2
F(X1)
F(X2) 12 xx
)()( 12 xfxf
MASSIMI E MINIMIUn punto Xo si dice punto di massimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il massimo valore assunto dalla funzione
IXo
F(Xo)
MASSIMI E MINIMINell’esempio, sull’intervallo I la funzione assume il suo massimo valore in Xo.
IXo
F(Xo)
MASSIMI E MINIMIMa se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche maggiori, ad esempio in X1
IXo
F(Xo)
X1
F(X1)
MASSIMI E MINIMIUn punto Xo si dice punto di minimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il minimo valore assunto dalla funzione
IXo
F(Xo)
MASSIMI E MINIMINell’esempio, sull’intervallo I la funzione assume il suo minimo valore in Xo.
IXo
F(Xo)
MASSIMI E MINIMIMa se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche minori, ad esempio in X1
Xo
F(Xo)
X1
F(X1)
MASSIMI E MINIMIUn punto Xo si dice punto di flesso di un funzione f se la curva attraversa la tangente in quel punto
Xo
F(Xo)
MASSIMI E MINIMI
La determinazione dei massimi e dei minimi relativi e degli intervalli in cui una funzione cresce o decresce è molto semplice per funzioni derivabili; infatti tutto ciò è determinato dal segno della derivata.
MASSIMI E MINIMI
Sia f derivabile in un dato intervallo I, allora:
• se la funzione è crescente in I allora la derivata è maggiore o uguale a zero in tale intervallo
• se la funzione è decrescente in I allora la derivata è minore o uguale a zero in tale intervallo
MASSIMI E MINIMI
Viceversa:
• se la derivata è maggiore di zero in I allora la funzione è crescente I
• se la derivata è minore di zero in I allora la funzione è decrescente in I
MASSIMI E MINIMI
Per trovare i massimi e i minimi relativi di una funzione derivabile è quindi necessario studiare il segno della derivata prima
MASSIMI E MINIMI
• f’(x)>0 => funzione crescente
• f’(x)<0 => funzione decrescente
MASSIMI E MINIMI
Resta da determinare il caso in cui la derivata è uguale a zero
MASSIMI E MINIMI
Sia f’(Xo) = 0;
• se f è crescente a sinistra di Xo e decrescente a destra Xo è MASSIMO RELATIVO• se f è decrescente a sinistra di Xo e crescente a destra Xo è MINIMO RELATIVO
MASSIMI E MINIMI
MASSIMO MINIMO
Xo Xo
MASSIMI E MINIMI
Sia f’(Xo) = 0;
• se la funzione è crescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale ascendente• se la funzione è decrescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale discendente
MASSIMI E MINIMI
Flesso ascendente discendente
Xo Xo