master rad var - pmf.ni.ac.rs · 5 glava 1 uvodni pojmovi za upravljanje rizikom i razumevanje...
TRANSCRIPT
UNIVERZITET U NIŠU
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET
Departman za matematiku
MASTER RAD
VaR
Mentor:
Prof. dr Miljana Jovanović
Student:
Milena Stošić
Niš, 2015.
2
Sadržaj
Uvod ............................................................................................................... 4
Glava 1 Uvodni pojmovi ................................................................................. 5
Glava 2 VaR ................................................................................................. 11
2.1 Rizik ........................................................................................................ 12
2.2 Definicija VaR–a .................................................................................... 13
2.3 Osobine VaR–a ....................................................................................... 15
2.4 Procena VaR–a ....................................................................................... 20
2.5 Primena VaR–a ...................................................................................... 21
2.5.1 Bazelski standardi ........................................................................... 21
2.5.2 Konverzija parametara .................................................................... 23
Glava 3 Metode za izračunavanje VaR–a ..................................................... 25
3.1 Parametarski metod .............................................................................. 25
3.1.1 VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive .................................. 26
3.1.2 VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva .................................... 27
3.1.3 VaR alati .......................................................................................... 32
3.1.3.1 Marginalni VaR ......................................................................... 32
3.1.3.2 Inkrementalni VaR .................................................................... 33
3.1.3.3 Komponentni VaR ..................................................................... 36
3.1.4 Prednosti i slabosti parametarske metode ..................................... 39
3.2 Metod istorijske simulacije .................................................................... 40
3.2.1 Prednosti i slabosti metoda istorijske simulacije ........................... 43
3.3 Monte Karlo simulacija .......................................................................... 43
3.3.1 Simulacija sa jednom slučajnom promenljivom ............................. 44
3.3.2 Simulacija sa više slučajnih promenljivih ...................................... 47
3.3.3 Prednosti i slabosti Monte Karlo simulacije ................................... 48
3.4 Poređenje VaR metoda ........................................................................... 48
Glava 4 Metode za evaluaciju VaR–a ........................................................... 50
4.1 Testiranje stresnih situacija .................................................................. 50
3
4.2 Backtesting modeli ................................................................................. 52
4.2.1 Model koji se bazira na stopi neuspeha .......................................... 52
4.2.2 Pravila regulatora ............................................................................ 54
4.2.3 Modeli uslovljene pokrivenosti ........................................................ 56
4.3 Procena preciznosti VaR–a .................................................................... 57
Zaključak ...................................................................................................... 59
Biografija ...................................................................................................... 60
Literatura ..................................................................................................... 61
4
Uvod
Upravljanje rizikom je devedesetih godina prošlog veka doživelo
pravu revoluciju, a razlog za to je otkriće nove metodologije - vrednosti pod
rizikom (VaR). Potreba za novim metodama za upravljanje i merenje rizika
kome su izložene institucije na finansijkom tržištu se javila nakon velike
finansijske krize koja je potresla svet tih godina. Od tada se VaR
metodologija razvijala i usavršavala i danas je nezaobilazni alat za
menadžere rizika svih finansijskih institucija. Zbog velike primene, ova
tema pruža brojne mogućnosti za istraživanje.
Master rad se sastoji iz četiri glave. U prvoj glavi su definisani
pojmovi koji su neophodni za razumevanje teorije na kojoj se zasniva VaR
metodologija. Druga glava se bavi osnovama VaR metodologije: definicijom,
osobinama i oblastima primene. U trećoj glavi su opisani načini za
izračunavanje VaR–a (parametarska metoda, metod istorijske simulacije i
Monte Karlo simulacija) i alati koji su razvijeni u okviru metodologije koji
su značajno unapredili menadžment rizika. I na kraju, četvrta glava se bavi
evaluacijom VaR modela i u njoj će biti izloženo više načina za proveru
adekvatnosti modela, kao što su backtesting proces, testiranje stresnih
situacija i procena preciznosti same ocene.
Želela bih da se zahvalim svom mentoru, profesorki Miljani
Jovanović, na razumevanju, nesebičnoj pomoći tokom izrade ovog master
rada i stručnim savetima. Takođe bih želela da se zahvalim svojim
roditeljima na velikoj podršci i razumevanju.
5
Glava 1
Uvodni pojmovi
Za upravljanje rizikom i razumevanje teorije portfolio analize, a
samim tim i teorije na koju se oslanja VaR, neophodno je poznavati osnove
teorije verovatnoća i matematičke statistike. Zbog toga je potrebno, na
početku, definisati neke osnovne pojmove.
Definicija 1.1. Klasa , podskupova nepraznog skupa čini algebru ako važi
1) , 2) , 3)
( aditivnost).
Ako je algebra, onda se uređen par naziva merljiv prostor.
Definicija 1.2. Neka je merljiv proctor. Preslikavanje koje ima sledeće osobine
1) nenegativnost , 2) normiranost , 3) aditivnost
,
naziva se verovatnoća.
Uređena trojka se naziva prostor verovatnoća.
Definicija 1.3. Slučajna promenljiva X je preslikavanje koje je finitno i merljivo, tj. za koje važi
gde je Borelova algebra.
Definicija 1.4. Funkcija raspodele slučajne promenljive X je realna funkcija definisana sa
6
Definicija 1.5. Slučajna promenljiva X je diskretnog tipa ako postoji neki najviše prebrojiv skup tako da je .
Definicija 1.6. Slučajna promenljiva X je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna integrabilna funkcija tako da je
Definicija 1.7. Matematičko očekivanje slučajne promenljive X je Lebegov integral na merljive slučajne promenljive X po aditivnoj meri P, tj.
Definicija 1.8. Neka je X slučajna promenljiva sa matematičkim očekivanjem EX. Matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne promenljive X od EX se naziva disperzija slučajne promenljive X
a standardna devijacija je
Definicija 1.9. Kovarijansa slučajnih promenljivih X i Y je
Definicija 1.10. Neka su X i Y slučajne promenljive definisane na prostoru verovatnoća . Koeficijent korelacije slučajnih promenljivih X i Y u oznaci je
Za koeficijent korelacije važi Kada je slučajne promenljive X i Y su savršeno korelisane, a kada je X i Y su nekorelisane. Ukoliko slučajne promenljive X i Y imaju normalnu raspodelu i tada su one i nezavisne.
Definicija 1.11. Rep raspodele verovatnoća slučajne promenljive X u tački x, u oznaci , je verovatnoća događaja da slučajna promenljiva X uzima vrednosti veće od x, odnosno
Definicija 1.12. Kvantil reda p, u oznaci , slučajne promenljive
X sa funkcijom raspodele je
7
Definicija 1.13. Neka je prostor verovatnoća i parametarski skup. Realan jednodimenzionalan slučajan proces X na je familija merljivih funkcija
odnosno familija slučajnih promenljivih takvih da važi
Definicija 1.14. Jednodimenzionalni stohastički proces je Braunovo kretanje (Wienerov proces) sa parametrom ako je
1) , 2) sa nezavisnim priraštajima, tj.
su nezavisne slučajne promenljive,
3)
Potrebno je navesti i neke poznate raspodele slučajnih promenljivih
diskretnog i apsolutno neprekidnog tipa koje su značajne za ovaj rad.
Normalna raspodela Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele
Funkcija raspodele slučajne promenljive X je
Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i . Normalna raspodela sa parametrima i se naziva normalna normirana (standardizovana) raspodela. Funkcija raspodele slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom je
gde je
8
Slika 1.1 Funkcija raspodele slučajne promenjive sa normalnom
normiranom raspodelom
Uniformna raspodela Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele
Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su
i
.
Binomna raspodela Slučajna promenljiva je određena zakonom raspodele
Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i
raspodela sa stepeni slobode Neka su nezavisne slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom. Tada slučajna promenljiva
ima
raspodelu sa stepeni slobode. Slučajna promenljiva je
određena gustinom raspodele
9
Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i Kako je VaR samo ocena rizika kome je izložena finansijska
institucija na finansijskom tržištu, njeno određivanje se vrši uz pomoć nekih
statističkih metoda. Provera tačnosti ocene dobijene na taj način se vrši
testiranjem statističkih hipoteza, pa je potrebno razjasniti i neke pojmove
matematičke statistike.
Definicija 1.15. Populacija je skup elemenata čija se zajednička svojstva izučavaju statističkim metodima. Definicija 1.16. Obeležje je zajedničko svojstvo elemenata jedne populacije. Definicija 1.17. Uzorak je deo populacije na kome se ispituje posmatrano obeležje. Broj elemenata u uzorku se naziva obim uzorka. Na uzorku se sprovodi statistički eksperiment. Ishod tog eksperimenta će
biti vektor X, koji je po svojim karakteristikama slučajna promenljiva.
Vektor koji predstavlja realizaciju vektora X po obavljenom
eksperimentu se naziva realizovani uzorak. Statistika (statistika uzorka) je
realna funkcija uzorka čiji analitički oblik ne zavisi od nepoznatih
parametara obeležja. Primeri statistika su
Sredina uzorka
;
Disperzija uzorka
i popravljena disperzija uzorka
;
Uzoračka standardna devijacija .
Sredina uzorka obima n, , iz populacije sa obeležjem X čija raspodela pripada familiji dopustivih raspodela kada je
nepoznato ima
raspodelu. Ako je disperzija uzorka obima n iz
populacije sa obeležjem X onda slučajna promenljiva ima
raspodelu sa stepeni slobode kada je nepoznato. Interval
poverenja je podskup realne prave unutar koga se može smatrati da će se
naći prava vrednost parametra sa određenim novoom poverenja.
Definicija 1.17. Tvrđenje o posmatranim pojavama i procesima na jednoj ili više populacija, koje može da se iskaže kao tvrđenje o raspodeli jednog ili više obeležja je statistička hipoteza. Definicija 1.18. Testiranje statističke hipoteze je postupak provere hipoteze u smislu njenog prihvatanja ili odbacivanja.
10
Postupak testiranja hipoteza podrazumeva da se jedna od hipoteza uzima za
polaznu ili nultu hipotezu i označava sa . Druga hipoteza se u tom slučaju naziva alternativna hipoteza i označava sa . Postupak verifikacije nulte
protiv alternativne hipoteze na osnovu realizovanog uzorka je statistički
test, a statistika čijim se posredstvom vrši testiranje je test statistika. Skup
svih tačaka realnog prostora za koje se nulta hipoteza odbacuje je kritična
oblast testa.
Pored definicija i termina iz teorije verovatnoća i matematičke
statistike, treba razjasniti neke osnovne pojmove finansija.
Portfolio je skup finansijskih instrumenata (aktiva) različitih vrsta i
karakteristika u posedu jednog investitora.
Kapital portfolija je ukupna vrednost portfolija.
Prinos predstavlja dobitak ili gubitak koji investitor ostvaruje na
osnovu vlasništva nad finansijskim instrumentima. Prinos portfolija
se određuje kao razlika između početne vrednosti portfolija i
vrednosti nakon nekog vremenskog perioda. Stopa prinosa portfolija
predstavlja odnos između razlike vrednosti portolija u nekom periodu
i početne vrednosti tog portfolija. Često se koristi izraz prinos kada se
govori o stopi prinosa.
Diversifikacija predstavlja ulaganje sredstava u više različitih
finansijskih instrumenata čime se smanjuje ukupan rizik kome je
investitor izložen.
Volatilnost je mera nepredvidivosti kretanja cena finansijskih
instrumenata.
11
Glava 2
VaR
Vrednost pod rizikom (Value at risk – skraćeno VaR) predstavlja
najveći očekivani gubitak portfolija u posmatranom vremenskom periodu sa
datim nivoom poverenja. Ova vrednost predstavlja rizik kome je institucija
izložena na finansijskom tržištu. Na primer, neka je dnevni VaR portfolija
neke banke 35 miliona dolara sa nivoom poverenja 99%. To znači da je
verovatnoća, da pri normalnim uslovima na tržištu, gubitak portfolija bude
veći od 35 miliona dolara, najviše 1%. Ovaj broj sumira izloženost banke
tržišnom riziku.
VaR metodologiju koriste mnoge banke, brokerske firme i investicioni
fondovi. Bankarsku regulativu o kapitalu banaka i upravljanju rizicima
određuje Bazelska komisija za superviziju banaka. Bazelska komisija je
sastavila sporazum kojim je prihvaćena VaR metodologija, a ovim
sporazumom su određeni uslovi koje moraju da zadovolje interni modeli
banaka za procenu rizika.
VaR je najsavremeniji alat za menadžment rizika. Klasični pristup
menadžmentu rizika je podrazumevao procenu promene vrednosti portfolija
imajući u vidu samo trenutni prinos. Za razliku od ovog pristupa, VaR
kombinuje vezu između vrednosti i prinosa portfolija sa verovatnoćom
nepovoljnih kretanja na tržištu. Tako VaR opisuje verovatnosnu granicu
potencijalnih gubitaka. Takođe, sam koncept obuhvata i ostale rizike:
devizni, robni i rizik promene cena. VaR se oslanja i na korelacije između
finansijskih instrumenata, što je posebno važno u radu sa velikim
portfolijima koji sadrže finansijske derivate. Drugim rečima, VaR
predstavlja nadogradnju postojećih metoda za ocenu rizika portfolija u čiji
sastav ulaze i finansijski derivati. Njegova uloga je da meri promene
vrednosti aktive do određenog datuma, a ponašanje u repovima raspodele
prinosa aktive se analizira kroz testiranje stresnih situacija.
VaR metodologija danas predstavlja najpoznatiji i najraspros-
tranjeniji koncept za upravljanje tržišnim rizicima. U okviru ovog koncepta
razvijeno je više metoda od kojih su najznačajniji: istorijski metod,
parametarki metod (ili varijansno-kovarijansni metod) i Monte Karlo
simulacija. Ovi metodi će biti detaljnije predstavljeni i analizirani u ovom
radu.
12
2.1 Rizik
Vrednost pod rizikom je metodologija za ocenu i upravljanje rizikom.
Precizna definicija rizika ne postoji, ali ono što je zajedničko svim
definicijama su neizvesnost i gubitak.
Rizik predstavlja svaku neizvesnu situaciju u poslovanju, odnosno
verovatnoću gubitka (smanjenje dobitka) nastalu kao rezultat neizvesnih
događaja u poslovanju.
Finansijske institucije su izložene različitim vrstama rizika. Osnovna
podela rizika je na poslovne i neposlovne rizike. Poslovni rizici su
posledica faktora poslovnog okruženja, dok su neposlovni rizici vezani za
ekonomsko i političko okruženje, zbog čega finansijske institucije ne mogu
da ih kontrolišu. Ovi rizici mogu biti izazvani raznim faktorima kao što su
ljudski faktor, inflacija, političke promene, ratovi, a mogu se desiti i usled
nekih prirodnih katastrofa, zemljotresa, poplava i drugih uzroka.
Finansijski rizik se povezuje sa novčanim gubitkom na finansijskom
tržištu nastalim usled nepredvidivosti ili nestabilnosti prinosa. Finansijski
rizik se može klasifikovati u više kategorija, a najvažnije su: tržišni rizik,
kreditni rizik, rizik likvidnosti, operativni rizik i pravni ili regulatorni rizik.
Tržišni rizik predstavlja rizik promene tržišnih cena koji dovodi do
smanjenja vrednosti portfolija. Glavni oblici u kojima se ovaj rizik
javlja su: rizik promene kamatne stope, rizik promene cena i rizik
promene deviznog kursa.
Kreditni rizik je rizik da partner u finansijskoj transakciji neće
ispuniti svoju ugovorom preuzetu finansijsku obavezu.
Rizik likvidnosti je rizik da finansijska institucija ne poseduje
dovoljno likvidnih sredstava, tj. raspoloživih sredstava za plaćanje
dospelih obaveza.
Operativni rizik je specifična vrsta finansijskog rizika. Odnosi se na
potencijalne gubitke zbog neodgovarajuće organizacije, lošeg
upravljanja, prevara, krađa i ljudskih i tehničkih grešaka.
Pravni ili regulatorni rizik obuhvata različite rizike koji su u vezi sa
nepoštovanjem ili primenom zakonskih normi.
Prve ideje za procenjivanje rizika portfolija potiču od Markowitza, koji
je merio rizik disperzijom prinosa. Iz ove metodologije je kasnije nastao
VaR. VaR je najpre razvijen u cilju upravljanja jednim aspektom
finansijskog rizika i to tržišnim rizikom. Međutim, kasnije je korišćen i za
upravljanje drugim aspektima finansijskog rizika kao što su kreditni rizik,
rizik likvidnosti i operativni rizik.
13
2.2 Definicija VaR–a
Termin vrednost pod rizikom (VaR) se prvi put pojavio 1993. godine
kada je Grupa 30 (Group of thirty – konsultantska grupa bankara,
akademika i finansijskih stručnjaka iz najrazvijenijih zemalja sveta) sa
predstavnicima banke J.P. Morgan diskutovala o najboljim modelima za
merenje rizika. Jula 1993. godine je objavljen njihov izveštaj u kome je za
“najbolju praksu” odobren VaR. Iako sam pojam vrednosti pod rizikom nije
bio u upotrebi do sredine devedesetih godina, njegovo poreklo se može naći u
teorijama iz sredine dvadesetog veka. Jedna od takvih teorija je portfolio
teorija Markowitza. Metodologija na kojoj počiva VaR je rezultat savremene
portfolio teorije. Na prihvatanje ovog koncepta je najviše uticala kriza koja
je zadesila finansijske institucije krajem osamdesetih i tokom devesetih
godina prošlog veka, kao i gubici koji su ostvareni u tom periodu usled
nemogućnosti predviđanja i upravljanja rizikom.
Za vrednost pod rizikom se može dati intuitivna definicija.
VaR sumira najveći mogući gubitak portfolija u posmatranom periodu sa datim nivoom poverenja.
Formalno, VaR opisuje kvantil raspodele potencijalnih gubitaka i
dobitaka portfolija u posmatranom periodu.
Neka se u nekom vremenskom periodu razmatra određeni portfolio.
Neka je X dobitak portfolija nakon tog vremenskog perioda. U tom slučaju je
–X gubitak portfolija koji će biti označen sa Y. Dobitak portfolija nije poznat
u početnom trenutku razmatranog vremenskog perioda, što znači da je X, a
samim tim i Y, slučajna promenljiva. VaR se može definisati kako preko
gubitka portfolija, tako i preko dobitka.
Neka je α nivo poverenja, . Definicija 2.1. VaR je maksimalni gubitak portfolija koji je dostignut u najmanje slučajeva
Koristi se i sledeća definicija VaR–a.
Definicija 2.2. VaR je minimalni dobitak portfolija koji je dostignut u najviše slučajeva
Nivo poverenja je unapred zadat i najčešće iznosi 0.9, 0.95 ili 0.99.
U narednoj teoremi pokazana je veza između prethodne dve definicije.
Teorema 2.1. Neka su X i Y dobitak i gubitak portfolija, respektivno. Tada je
14
Dokaz.
U sledećem primeru je data ilustracija primene VaR–a.
Primer 2.1. Neka investitor poseduje portfolio petogodišnjih Treasury Notes
obveznica ukupne vrednosti $100 000 000. Koliki je njegov mogući gubitak
za mesec dana?
Potrebno je simulirati mesečne prinose datog portfolija na osnovu
istorijskih podataka.
Slika 2.1 Grafik apsolutne promene prinosa petogodišnjih U.S. Treasury
obveznica od aprila 1953. godine do jula 2015. godine. Izvor [13].
Grafik na Slici 2.1 pokazuje promene prinosa portfolija od –1.8% do
2.2%. Na osnovu njega se može konstruisati raspodela verovatnoća dobijenih
prinosa na sledeći način: interval u kome se nalaze svi prinosi se deli na
podintervale jednake dužine i uočava se broj opservacija u svakom od njih.
Dobija se histogram date raspodele (Slika 2.2).
Na kraju treba izabrati nivo poverenja, na primer 99%, i pronaći
gubitak koji neće biti premašen u 99% slučajeva, tj. onaj broj od koga je
15
manje 1% opservacija (što je 8 od ukupno 748). Taj broj je oko –0.8%, tj.
$800000.
Slika 2.2 Histogram raspodele prinosa portfolija
Može se zaključiti da pod normalnim uslovima na tržištu, najveći
mogući gubitak portfolija za 1 mesec iznosi oko $800 000 sa nivoom
poverenja od 99%. □
Nivo poverenja je izabran proizvoljno u ovom slučaju, ali ga inače
treba birati veoma pažljivo. Izbor vremenskog perioda za koji se računa VaR
je takođe podložan subjektivnoj proceni. Međutim, za portfolio banaka je
najprihvatljiviji period 1 dan.
2.3 Osobine VaR–a
Kao što je ranije rečeno, vrednost pod rizikom sumira rizik kome je
finansijska institucija izložena na tržištu u jednom broju i zbog toga je od
značaja poznavati njegove osobine. Da bi se definisala osobina monotonosti
koju ima VaR potrebno je uvesti pojam stohastičke dominantnosti prvog
reda (stochastic dominance of order 1).
Definicija 2.3. Slučajna promenljiva Y stohastički dominira nad slučajnom promenljivom X, u oznaci ako i samo ako je , za svako
Osobine koje zadovoljava VaR su date sledećom teoremom.
16
Teorema 2.2. Za VaR važe sledeće osobine:
1. Invarijantnost u odnosu na translaciju
gde je c proizvoljna konstanta.
2. Pozitivna homogenost
gde je c pozitivna konstanta.
3. Monotonost
gde su X i Y gubici dva portfolija.
Dokaz.
1. Neka je c proizvoljna konstanta. Tada je
.
2. Neka je c pozitivna konstanta. Kako je
sledi osobina pozitivne homogenosti.
3. Kako je , važi da je za svako . Neka je
. Neka se pretpostavi suprotno, da je .
Pošto je najmanja vrednost za koju je , za važi Koristeći da je , dobija se
Odavde je , čime je dobijena kontradikcija. Prema tome, važi da je .
Primer 2.2. Neka se VaR mera rizika primenjuje na dobitak ili gubitak
portfolija koji je opisan slučajnom promenljivom sa normalnom raspodelom,
ili slučajnom promenljivom diskretnog tipa.
17
Neka je data slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Na levom
grafiku Slike 2.3 je korišćena Definicija 2.1, a dati nivo poverenja je 90%. Na
desnom grafiku je ilustrovana primena Definicije 2.2 sa pragom značajnosti
10%.
Slika 2.3 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija opisan
slučajnom promenljivom sa normalnom normiranom raspodelom
VaR slučajne promenljive Y, koja ima normalnu raspodelu sa
očekivanjem i disperzijom , jednak je
gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom Zaista,
Primenom osobina invarijantnosti i pozitivne homogenosti dobija se da je
Neka je data diskretna slučajna promenljiva Y koja predstavlja
gubitak portfolija, sa raspodelom
odnosno slučajna promenljiva dobitka portfolija
18
Na Slici 2.4 je prikazan VaR primenjen na prvu, odnosno drugu slučajnu
promenljivu.
Slika 2.4 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija koji je
predstavljen diskretnom slučajnom promenljivom
Na obe slike obojena površina odgovara nivou na kome se određuje VaR.
Kada se VaR definiše preko gubitka portfolija pozitivne vrednosti
predstavljaju gubitke, a negativne prihod. U slučaju kada se definiše preko
dobitka je obrnuto, pozitivne vrednosti predstavljaju prihod, a negativne
gubitak portfolija. □
Definicija 2.4. Mera rizika je subaditivna ako je zbir rizika dva portfolija veći ili jednak od rizika portfolija dobijenog spajanjem ta dva portfolija.
Drugim rečima, ako su X i Y dva razmatrana portfolija i R(X) i R(Y)
njihovi rizici, mera R je subaditivna ako je Sledeći primer pokazuje da VaR nije subaditivna mera rizika,
odnosno da se spajanjem dva portfolija u jedan može dobiti portfolio čiji je
VaR veći od zbira VaR–ova pojedinačnih portfolija.
Primer 2.3. Neka je portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju . Neka su raspodele gubitaka
portfolija date sa
respektivno.
VaR portfolija , sa nivoom poverenja 95% je
a portfolija
19
Neka je x portfolio koji se sastoji od 50% akcija i 50% akcija , odnosno
. Raspodela gubitka portfolija x je
Vrednosti portfolija se računaju na sledeći način
a analogno se izračunavaju i sve ostale vrednosti. Nakon izračunavanja svih
vrednosti dobija se raspodela gubitka portfolija
Dakle, Y ima raspodelu
i Dakle,
Dobija se
Dakle, VaR nije subaditivna mera rizika. Ovaj primer pokazuje da se, sa
nivoom poverenja 0.95, spajanjem portfolija u jedan dobija portfolio
koji je rizičniji od pojedinačnih portfolija. □
VaR u opštem slučaju ne zadovoljava osobinu subaditivnosti.
Sledećom teoremom će biti dati uslovi pod kojima će VaR biti subaditivna
mera rizika.
Kao što je ranije rečeno, VaR portfolija opisan slučajnom
promenljivom Y, koja ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i
disperzijom , je
gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom.
Teorema 2.3. Neka su slučajne promenljive sa raspodelama
, respektivno. Tada je za
Dokaz. Pod pretpostavkom da i
sledi da slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu
20
gde je ρ koeficijent korelacije slučajnih promenljivih . Za koeficijent
korelacije važi da je tako da je
. Kako je
, za svako (Primer 2.2), dobija se da je
što je i trebalo dokazati.
Napomena 2.1. Uslov ne predstavlja restrikciju jer se u realnim
situacijama za nivo poverenja uzimaju vrednosti koje su blizu jedinice.
2.4 Procena VaR–a
Određivanje VaR–a se odvija u više faza i da bi se on izračunao potrebno je
odrediti tržišnu vrednost portfolija,
izmeriti promenljivost faktora rizika,
odrediti vremenski period,
odrediti nivo poverenja,
izračunati najveći gubitak na osnovu datih informacija.
Slika 2.5 Koraci u konstrukciji VaR–a
21
2.5 Primena VaR–a
Na osnovu definicije VaR–a se može zaključiti da on zavisi od dva
kvantitativna faktora: dužine vremenskog perioda i nivoa poverenja. VaR je
direktno proporcionalan ovim faktorima, tj. povećava se, kako sa
povećanjem dužine posmatranog vremenskog perioda, tako i sa povećanjem
nivoa poverenja. Postavlja se pitanje kako izabrati vrednosti ova dva
faktora. Odgovor se menja u zavisnosti od toga u koje svrhe se određuje
VaR.
VaR se najčešće upotrebljava kao kriterijum koji kompanije koriste za
upoređivanje rizika na različitim tržištima. U ovim situacijama izbor
kvantitativnih faktora je proizvoljan, tj. kompanije same odlučuju o nivou
poverenja i dužini vremenskog perioda.
Kada se VaR primenjuje kao mera najvećeg potencijalnog gubitka
nekog portfolija vremenski period se određuje prema prirodi tog portfolija.
Na primer, banke određuju dnevni VaR jer je u skladu sa njihovim merama
dnevnog profita i gubitka (daily profit and loss –P&L measures), dok
penzioni fondovi najčešće primenjuju jednomesečni VaR za svoje investicije.
Izbor nivoa poverenja je i u ovim slučajevima proizvoljan.
Ako se VaR primenjuje za određivanje gubitka portfolija akcija izbor
navedenih faktora je od suštinskog značaja. Ukoliko gubitak premaši VaR to
bi moglo da znači bankrot kompanije. Pretpostavlja se da mera rizika tada
obuhvata sve rizike kojima je izložena finansijska institucija. Izbor nivoa
poverenja u ovom slučaju reflektuje stepen averzije kompanije prema riziku.
Izbor dužine vremenskog perioda treba da bude u skladu sa vremenom koje
je potrebno kompaniji da reaguje ukoliko dodje do gubitaka.
Izbor kvantitativnih faktora je takođe veoma važan prilikom primene
u backtesting modelima. Ovi modeli su izuzetno važni jer se pomoću njih
sistemski upoređuju vrednosti VaR sa stvarnim vrednostima prihoda i
gubitaka portfolija u prošlosti. Backtesting modeli omogućavaju da se
detektuje odstupanje u VaR prognozama. U ovom slučaju se bira kraći
vremenski period jer se time povećava broj nezavisnih opservacija u toku
jedne godine. Na primer, ako se određuje jednodnevni VaR, dobijaju se 252
nezavisne opservacije u toku godine. Nivo poverenja se određuje tako da
obezbedi moćan test. Preveliki nivo poverenja smanjuje broj očekivanih
opservacija u repovima raspodele i umanjuje moć testa. Zato se, u praksi, u
backtesting modelima koristi nivo poverenja od 95%.
2.5.1 Bazelski standardi
Jedna ilustracija primene VaR–a za određivanje gubitka portfolija
investitora je interni (IM) pristup (internal models approach) Bazelskog
komiteta za superviziju banaka ( Basel committee on banking supervision).
Bazelski komitet za superviziju banaka je osnovan 1974. godine od
strane najrazvijenijih zemalja sveta, sa ciljem da unapredi poslovanje i
kontrolu banaka. Prvi standardi, poznati pod nazivom Basel 1, su doneti
22
1988. godine i odnosili su se na načine merenja rizika i adekvatnosti
kapitala banaka. Bazel 1 standardi su zahtevali korišćenje standardizova-
nog pristupa za ocenu rizika, koji je u praksi često bio kritikovan. Jedan od
najvećih nedostataka standardizovanog pristupa je bio taj što je tretiran
prvenstveno kreditini rizik, dok su ostali rizici izostavljani iz analize.
Glavni nedostatak sporazuma Bazel 1 je uklonjen 1993. i 1996. godine
uvođenjem nove metodologije za ocenu tržišnog rizika – VaR. VaR
metodologija je prvo ugrađena u standardizovani pristup, a kasnije, sa
njenim razvojem, komitet je dozvolio bankama da koriste interne modele za
ocenu rizika, ako zadovoljavaju određene uslove. Tako je nastao sporazum
pod nazivom Bazel 2, koji je objavljen 2004. godine. Ovim sporazumom se
zahteva da banke obračunavaju VaR za vremenski period od 10 poslovnih
dana (ili dve kalendarske nedelje) uz nivo poverenja 99% i da se istorijski
podaci za jednu godinu ažuriraju najmanje jednom u kvartalu.
Kao što je naglašeno, izbor kvantitativnih parametara je od
suštinskog značaja prilikom izračunavanja VaR–a. Vremenski period od 10
dana je izabran kao kompromis između troškova čestog kontrolisanja i
dobrobiti rane detekcije potencijalnih problema. Nivo poverenja od 99%
obezbeđuje siguran i jak finansijski sistem, sa minimalnim negativnim
efektima na prihode banaka. Čak i sa ovim vrednostima faktora, gubitak će
premašiti procenjen VaR u 1% slučajeva u proseku, odnosno, jednom u 4
godine (zbog vremenskog perioda od 10 dana). Kako je nezamislivo da se
dozvoli da banke pretrpe neuspeh tako često, procenjeni VaR se množi
faktorom , što omogućava skoro izvesno osiguranje od bankrota. Uloga
faktora je zaštita banaka od rizika i on se naziva koeficijent dodatne
zaštite. Tako je minimalni zahtevani kapital za zaštitu banaka od
rizika. Faktor je koeficijent dodatne zaštite za banke koje koriste
najbolje metode za ocenu VaR–a. Za ostale banke ovaj koeficijent mora biti
veći, kako bi se i one zaštitile usled lošijih uslova na finansijskom tržištu.
Postavlja se pitanje zašto koeficijent dodatne zaštite treba da bude
veći ili jednak od 3. Odgovor daje nejednakost Čebiševa (Chebyshev’s
inequality). Neka je X proizvoljna slučajna promenljiva sa konačnom
disperzijom. Verovatnoća da X uzme vrednosti van određenog intervala je
pod pretpostavkom da je poznata standardna devijacija . Ukoliko je
raspodela slučajne promenljive X simetrična, tada je
Kako je
to je
23
Za dobija se . Dakle maksimalni VaR je Neka je sada X slučajna promenljiva sa normalnom normiranom
raspodelom. Tada je
Sa druge strane je tako da je , odnosno, za
Dakle, VaR normalne raspodele je .
Ako je raspodela nepoznata, korekcioni faktor je
2.5.2 Konverzija parametara
Korišćenje parametarske raspodele, kao što je normalna raspodela, je
pogodno za konverziju VaR–a sa jednog vremenskog perioda na drugi, kao i
na različite nivoe poverenja. Pri tome, potrebno je da budu ispunjeni sledeći
uslovi:
1. prinosi portfolija su nezavisni,
2. prinosi imaju normalnu raspodelu,
3. parametri su konstantni.
Analitičari najčešće izračunavaju jednodnevni VaR koji zatim
konvertuju u VaR za duži vremenski period u slučajevima kada ne postoji
dovoljno podataka da se proceni ponašanje tržišnih promenljivih za period
duži od jednog dana. Tržišne promenljive su sve slučajne promenljive koje
utiču na vrednost portfolija, na primer spot cena, kamatna stopa, devizni
kurs, itd., i obično je teško proceniti njihovo ponašanje za duži vremenski
period. Tada se koristi aproksimacija
Ova formula je tačna kada su prinosi portfolija u uzastopnim danima
nezavisne, normalno raspodeljene slučajne promenljive sa srednjom
vrednošću 0. U ostalim slučajevima je samo aproksimacija.
Volatilnost cene aktive je najčešće izražena u procentima na
godišnjem nivou. Međutim, za izračunavanje VaR–a se koristi dnevna
volatilnost, pa je potrebno uspostaviti vezu između godišnje i dnevne
volatilnosti. Pod pretpostavkom da jedna godina ima 252 poslovna dana,
odnos godišnje i dnevne volatilnosti je
24
odakle se dobija
odnosno dnevna volatilnost iznosi oko 6% godišnje volatilnosti.
25
Glava 3
Metode za izračunavanje VaR–a
Vrednost pod rizikom je postala jedan od najvažnijih alata za
menadžment rizika. Zbog njene velike primene u praksi, cilj je obezbediti
dovoljno preciznu ocenu rizika sa umerenim troškovima. To znači da treba
izabrati adekvatan model za izračunavanje VaR–a za kreirani portfolio.
Pristupi određivanju VaR–a se mogu klasifikovati u dve grupe. Prva
grupa koristi lokalnu evaluaciju primenom parametarskog ili delta-
normalnog metoda, koji pretpostavlja normalnu raspodelu prinosa portfolija.
Druga grupa koristi potpunu evaluaciju primenom metoda istorijske
simulacije i Monte Karlo simulacije.
Ova klasifikacija odražava kompromis između brzine izračunavanja
VaR–a i preciznosti. Brzina je od presudnog značaja kada se radi sa velikim
portfolijima u kojima se javlja i veliki broj korelacija između tržišnih
promenljivih. U takvoj situaciji najpogodniji je parametarski metod.
Preciznost može da bude važna u portfolijima koji ne sadrže linearne
komponente.
3.1 Parametarski metod
Parametarski metod (varijansno – kovarijansni ili delta normalan
metod) ima veliku primenu u potfolio analizi jer daje korisnicima najveću
kontrolu nad menadžmentom rizika. Pomoću njega će biti izloženi načini za
merenje VaR–a portfolija i upravljanje njime. Metod je analitički i
omogućava jednostavnu analizu podataka, zbog čega je jedan od najčešće
korišćenih metoda u praksi.
Koncept portfolio analize je osnovao Harry Markowitz 1952. godine i
investitorima je preneo važnu poruku za upravljanje rizikom. Njegova
teorija se zasnivala na ideji da se izloženost portfolija riziku može umanjiti
ulaganjem finansijskih sredstava u više različitih finansijskih
instrumenata, odnosno diversifikacijom. Markowitz je, za svoja istraživanja,
dobio Nobelovu nagradu 1990. godine. Savremena portfolio analiza koristi
VaR za rešavanje problema diversifikacije i obezbeđuje kratak pregled
izloženosti riziku.
26
Menadžeri rizika su otkrili i način kako da upotrebe VaR
metodologiju za aktivni menadžment rizika. Tako je pronađen odgovor na
pitanje kako promeniti pozicije u portfoliju da bi se vrednost VaR
najefikasnije modifikovala. Ova informacija je veoma korisna jer se promene
u sastavu portfolija vrše postepeno zbog troškova transakcije. U ove svrhe se
koriste VaR alati koji uključuju marginalni, inkrementalni i komponentni
VaR.
Parametarski metod pretpostavlja da sve tržišne promenljive imaju
normalnu raspodelu, da su korelacije između tih tržišnih promenljivih
konstantne i da je delta svakog portfolija konstantna (delta predstavlja
osetljivost portfolija na promene cene aktiva).
3.1.1 VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive
Neka se portfolio sastoji od jedne aktive. Pretpostavlja se da prinos te
aktive (promena vrednosti aktive) R ima normalnu raspodelu sa
očekivanjem i disperzijom . VaR takve slučajne promenljive, sa nivoom
poverenja α, je
gde je Z slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Neka je, radi
jednostavnijeg zapisa, uvedena oznaka . Kod ovih modela se
pretpostavlja da je očekivana promena tržišnih promenljivih tokom vremena
jednaka nuli ( , a opravdanje leži u tome što je za kratak vremenski period ona mnogo manja od standardne devijacije promene i može se
zanemariti. Na osnovu nivoa poverenja α jednostavno se izračunava
vrednost , jer je . Zaista, na osnovu Definicije 2.1 važi
odnosno .
Ako je iznos uložen u datu aktivu (cena aktive) onda je prinos
portfolija izražen u osnovnoj valuti jednak , a disperzija prinosa
portfolija
Tada je jednodnevni α% VaR razmatranog portfolija
gde je dnevna volatilnost aktive.
Desetodnevni α% VaR se dobija kada se vrednost pomnoži
sa .
27
Primer 3.1. Neka se portfolio sastoji od $10 000 000 u akcijama Microsofta i
neka je dnevna volatilnost akcija 2%. Potrebno je izračunati desetodnevni
VaR razmatranog portfolija sa nivoom poverenja 99%.
Kako je dnevna volatilnost 2% (što odgovara godišnjoj volatilnosti od
32%) i vrednost portfolija je $10 000 000, to standardna devijacija dnevne
promene vrednosti portfolija iznosi 2% od $10 000 000, odnosno $200 000.
Zbog pretpostavke da prinos portfolija ima normalnu raspodelu vrednost
se izračunava na sledeći način
odakle se dobija
Tada je jednodnevni 99% VaR
a desetodnevni 99% VaR je . □
3.1.2 VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva
Portfolio se karakteriše pozicijama u određenom broju aktiva
(finansijskih instrumenata), čija je vrednost data u baznoj valuti, na primer
dolarima. Ako su pozicije fiksirane u izabranom vremenskom periodu, stopa
prinosa portfolija je težinska suma prinosa aktiva u njegovom sastavu.
Težinski koeficijenti predstavljaju odnos količine novca uloženog u datu
hartiju od vrednosti i vrednosti čitavog portfolija. Dakle, VaR portfolija se
može konstruisati kao kombinacija rizika svih hartija od vrednosti u
njegovom sastavu.
Neka je stopa prinosa portfolija od trenutka t do trenutka t+1
definisana na sledeći način
gde je N broj aktiva, je stopa prinosa aktive i, a je težinski
koeficijent aktive i. Koeficijenti su konstruisani tako da prikazuju odnos
ulaganja u svaku aktivu portfolija čija je ukupna vrednost W, tako da je
suma koja je uložena u aktivu i data sa .
Za potrebe određivanja VaR–a svaka komponenta se definiše kao
faktor rizika i tada težinski koeficijent predstavlja linearnu izloženost portfolija ovom faktoru rizika.
Prinos portfolija se može dati u matričnom zapisu
28
gde je transponovani vektor težina, a R vektor prinosa aktiva u
portfoliju. Ako je i
, očekivani prinos portfolija je
a njegova disperzija
Pretpostavlja se da je očekivani prinos portfolija jednak nuli za mali
vremenski period. Disperzija prinosa portfolija zavisi ne samo od disperzija
prinosa pojedinačnih aktiva već i od svih njihovih kovarijansi, što je ukupno
različitih odnosa. Disperzija prinosa portfolija se može
predstaviti u obliku
Ako se kovarijansna matrica označi sa ∑, disperzija stope prinosa portfolija
je
Ako se disperzija prinosa portfolija izražava u valuti, tada je
gde je x vektor cena svih aktiva u portfoliju.
Na osnovu disperzije prinosa portfolija potrebno je izračunati VaR
portfolija. To će biti moguće ako je poznata raspodela prinosa portfolija. U
varijansno – kovarijansnom modelu sve pojedinačne aktive imaju normalno
raspodeljene prinose. Korišćenje normalne raspodele pojedinačnih prinosa je
pogodno jer i prinos portfolija, kao linearna kombinacija prinosa aktiva, ima
normalnu raspodelu. Tada se nivo poverenja α može jednostavno prevesti u
29
vrednost pomoću jednakosti , gde je Z slučajna
promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom.
Diversifikovani VaR je VaR portfolija koji uzima u obzir prednosti diversifikacije. Ako je W vrednost portfolija tada je VaR portfolija jednak
Individualni VaR je VaR jedne aktive portfolija posmatrane nezavisno od ostalih.
Rizik svake od aktiva u portfoliju je
VaR portfolija zavisi od disperzija i kovarijansi prinosa aktiva u
portfoliju, kao i od broja aktiva. Opseg kovarijanse prinosa aktiva zavisi od
disperzija prinosa pojedinačnih aktiva i ne može se jednostavno
interpretirati. Zbog toga se koristi koeficijent korelacije ρ kao mera linearne
zavisnosti dve promenljive
Rizik portfolija se smanjuje kroz niske korelacije između aktiva ili sa
povećanjem broja aktiva. Da bi bio ocenjen uticaj broja aktiva na rizik
portfolija pretpostavlja se da sve aktive imaju isti rizik , da su sve
korelacije između aktiva jednake kao i da su svi težinski koeficijenti
jednaki. Pod pretpostavkom da je i za svako
, na osnovu (3.1) disperzija prinosa portfolija je
Tada rizik portfolija zavisi od
Kako se rizik smanjuje sa povećanjem broja aktiva za različite vrednosti
koeficijenta korelacije prikazano je na Slici 3.1.
30
Slika 3.1 Zavisnost od broja aktiva za različite vrednosti
Dakle, niska korelacija pomaže u smanjenju rizika portfolija. U
slučaju portfolija koji se sastoji iz dve aktive, „diversifikovana“ disperzija
portfolija je
VaR portfolija je tada
Kada je korelacija prinosa dve aktive jednaka nuli, odnosno kada su
prinosi aktiva nezavisni VaR, portfolija se redukuje na
odakle se može zaključiti da je rizik portfolija manji od zbira rizika
pojedinačnih aktiva, tj.
Dakle portfolio je manje rizičan ako se sastoji od aktiva koje su nezavisne
među sobom.
Kada su prinosi aktiva u savršenoj pozitivnoj korelaciji i vrednosti
pozitivne, jednakost (3.2) se svodi na
31
Drugim rečima, VaR portfolija je jednak zbiru individualnih VaR mera ako
su dve aktive u sastavu portfolija savršeno pozitivno korelisane. Međutim, u
praksi je najčešći slučaj da aktive nisu savršeno korelisane. Dobitak
diversifikacije se može definisati kao razlika između diversifikovanog VaR–
a i nediversifikovanog VaR–a.
Nediversifikovani VaR je zbir individualnih VaR mera ili VaR portfolija kada su sve aktive u njemu savršeno korelisane i nema mogućnosti kratke prodaje.
Ova interpretacija ne važi kada su dozvoljene kratke pozicije u aktivi.
Primer 3.2. Neka se razmatra portfolio koji se sastoji od dve strane valute
kanadskog dolara (CAD) i evra (EUR). Neka su ove dve valute međusobno
nekorelisane, i neka je njihova volatilnost prema dolaru 5% i 12% dnevno,
respektivno. Neka je investitor uložio $2 000 000 u CAD i $1 000 000 u
EUR. Treba izračunati jednodnevni VaR portfolija sa nivoom poverenja
95%.
Najpre treba izračunati disperziju prinosa portfolija u dolarima. Neka
je x vektor količine novca izloženog svaku od dve valute, u milionima. Tada
je
Disperzija portfolija je (u milionima dolara)
Volatilnost portfolija je miliona. Kako je ,
dobija se da je VaR portfolija
Individualni VaR se dobija na jednostavan način jer je .
Nediversifikovani VaR je tada i veći je od VaR–a
portfolija zbog efekata diversifikacije. Dobitak diversifikacije iznosi
□
32
3.1.3 VaR alati
VaR je prvobitno osmišljen da meri rizik portfolija, međutim
menadžeri su otkrili nove načine za upravljanje rizikom koji se baziraju na
ovoj metodologiji. Alati koji su razvijeni u ove svrhe su marginalni,
inkrementalni i komponentni VaR.
3.1.3.1 Marginalni VaR
Marginalni VaR je alat razvijen u cilju ispitivanja efekata promene
pozicija u aktivama koje čine portfolio na ukupan rizik portfolija.
Marginalni VaR predstavlja promenu VaR–a portfolija koja nastaje promenom pozicija u jednoj aktivi.
Neka se postojeći portfolio sastoji od N aktiva označenih sa j, j=1,2,...,N . Novi portfolio se dobija promenom broja pozicija u aktivi i. Potrebno je izmeriti „marginalni“ doprinos ove promene ukupnom riziku
portfolija. Diferenciranjem jednakosti (3.1) po dobija se
Na osnovu izvoda disperzije portfolija se može izračunati izvod volatilnosti.
Kako je , osetljivost volatilnosti portfolija na
promenu jednaka je
Marginalni VaR je jednak
tako da je marginalni VaR portfolija vektor sa koordinatama
Marginalni VaR je u tesnoj vezi sa parametrom beta (β) koji je
definisan na sledeći način
33
Beta meri doprinos jedne aktive ukupnom riziku portfolija. Naziva se još i
sistematski rizik aktive i u odnosu na portfolio. Beta predstavlja nagib
prave linearne regresije po u proizvoljnom trenutku t
Za sve aktive u portfoliju beta koeficijent se može predstaviti kao vektor
oblika
Vektor i konstanta se dobijaju prilikom izračunavanja VaR–a, pa
se β i marginalni VaR lako mogu odrediti nakon određivanja VaR–a.
Veza između marginalnog VaR–a (ΔVaR) i β se dobija na osnovu (3.3)
i (3.4)
Marginalni VaR se koristi često u menadžmentu rizika. Ako
investitor želi da smanji VaR portfolija smanjenjem broja pozicija u nekoj
aktivi za neki fiksni iznos, trebalo bi da rangira sve vrednosti za marginalni
VaR i da izabere aktivu koja ima najveći marginalni VaR. Smanjenje broja
pozicija u izabranoj aktivi će, pod datim uslovima, investitoru pružiti najveći
efekat zaštite portfolija od rizika.
3.1.3.2 Inkrementalni VaR
Inkrementalni VaR predstavlja promenu u vrednosti VaR koja nastaje usled promene pozicija u aktivama koje čine portfolio. Od marginalnog VaR–a se razlikuje po tome što količina novca koja se dodaje ili uzima iz portfolija može biti velika, pa promena VaR–a nije linearna.
U idealnom sličaju, najpre se određuje VaR portfolija na osnovu
početnih pozicija u aktivama, a zatim se, promenom u sastavu portfolija čija
je dolarska vrednost predstavljena vektorom a, ponovo računa VaR na
osnovu novih pozicija u aktivama. Inkrementalni VaR portfolija se određuje
kao razlika ove dve vrednosti
34
Slika 3.2 Puni inkrementalni VaR
Poređenje “pre i posle” može obezbediti puno informacija. Ako se
inkrementalni VaR smanjuje onda je promenom u sastavu portfolija
izvršena zaštita portfolija, u suprotnom je promena donela veći rizik. Treba
napomenuti da a može da predstavlja promenu pozicija jedne aktive, a može
biti i složena promena većeg broja aktiva odjednom. Zbog toga se a naziva
vektor novih pozicija.
Glavna mana ovog pristupa je to što zahteva punu evaluaciju VaR–a
sa svakom novom promenom. Ovaj postupak može da bude dugotrajan ako
se primenjuje na veliki portfolio. U nekim slučajevima, kada banka ili neka
druga institucija ne može da čeka sa preduzimanjem odgovarajućih mera,
ovaj pristup nije poželjan. Međutim, postoji aproksimacija koja u tim
slučajevima predstavlja “prečicu”. Neka je dat razvoj za u red oko
vrednosti ,
u kome se mogu zanemariti drugi izvodi ako je promena a mala. Zato se
inkrementalni VaR može dati i kao aproksimacija
Ovaj način izračunavanja se mnogo brže sprovodi u praksi jer se vektor
ΔVaR dobija prilikom određivanja VaR–a portfolija.
35
Slika 3.3 Aproksimacija inkrementalnog VaR–a
Naizgled, ova aproksimacija pruža brzo izračunavanje na račun
preciznosti. Međutim, može se pokazati da ova aproksimacija daje dovoljno
dobre rezultate, naročito kada se radi sa velikim portfolijima, gde bi nova
potpuna evaluacija zahtevala veliki broj računskih operacija. Kada se
razmatra veliki portfolio obično je data promena mala u odnosu na njegovu
vrednost i tada je (3.6) dobra aproksimacija.
Pokazano je kako se primenjuje inkrementalni VaR u opštem slučaju,
kada se promena u sastavu portfolija vrši promenom pozicija u više aktiva
odjednom. Neka se posmatra promena portfolija predstavljena promenom
broja pozicija u jednoj aktivi. Vrednost portfolija se menja od W na , gde je a iznos uložen u aktivu i. Disperzija prinosa novog portfolija
izražena u dolarima je
Menadžeri rizika na osnovu prethodne jednakosti mogu da odrede iznos
promene a koji će da minimizira rizik portfolija. Diferenciranjem prethodne
jednakosti po a dobija se
Izjednačavanjem prvog izvoda (3.7) sa nulom i primenom (3.4) dobija se
optimalna vrednost za a
36
Ova pozicija je poznata kao najbolja zaštita portfolija od rizika.
Najbolja zaštita portfolija od rizika predstavlja dodatni iznos koji treba uložiti u određenu aktivu da bi se smanjio ukupan rizik portfolija.
Primer 3.2. (nastavak) Neka se razmatra uvećanje ulaganja u CAD u
vrednosti od $10 000.
Najpre se određuje marginalni VaR portfolija. Koeficijent β se
izračunava na osnovu (3.5) i jednak je
Marginalni VaR portfolija je
Ako se pozicija u CAD poveća za $10 000, tada je aproksimativni
inkrementalni VaR jednak
Inkrementalni VaR dobijen novom potpunom evaluacijom rizika
portfolija se određuje na osnovu
odakle je . Početni VaR portfolija je bio ,
pa je prava vrednost inkrementalnog VaR–a $529. Može se uočiti da je
aproksimacija pomoću marginalnog VaR–a jednaka pravoj vrednosti.
Linearna aproksimacija daje odlične rezultate jer je promena u pozicijama
relativno mala. □
3.1.3.3 Komponentni VaR
Za menadžment rizika bi bilo veoma korisno da se za dati portfolio
izvši dekompozicija rizika. To nije jednostavno uraditi jer volatilnost
portfolija nije linearna funkcija volatilnosti aktiva. Ne može se primeniti
pristup u kome se računa zbir individualnih vrednosti VaR za svaku aktivu
jer ne uzima u obzir efekte difersifikacije. Potreban je metod dekompozicije
koji prepoznaje ove efekte.
37
Komponentni VaR portfolija predstavlja deo VaR–a portfolija koji ukazuje na to koliko bi se VaR portfolija promenio ako bi se data aktiva (komponenta) uklonila iz portfolija.
Kao pomoć pri merenju doprinosa svake aktive ukupnom riziku
portfolija koristiće se marginalni VaR. Množenjem iznosom uloženim u aktivu (faktor rizika) dobija se komponentni VaR
Treba napomenuti da se preciznost linearne aproksimacije povećava
kada su pozicije u aktivama koje čine portfolio male. Zato je dekompozicija
posebno korisna u radu sa velikim portfolijima koji najčešće imaju više
manjih pozicija u aktivama.
Zbir svih komponentnih VaR–a je jednak upravo VaR-u portfolija
Izraz u zagradi je jednak jedinici jer je
Aktive čiji komponentni VaR ima negativni predznak predstavljaju
zaštitu ostatka portfolija. Nasuprot tome, komponente sa pozitivnim
predznakom povećavaju ukupan rizik portfolija.
Komponentni VaR se može još više pojednostaviti. Uzevši u obzir da
važi
, komponentni VaR je jednak
Dakle, komponentni VaR je mera koja reflektuje korelacije između
aktiva u portfoliju.
Konačno se može izvesti procentualni doprinos komponente i VaR–u
portfolija
38
Svi VaR alati su neprocenjivi u menadžmentu rizika jer je njihova
upotreba omogućila korisnicima da kontrolišu VaR svog portfolija.
Primer 3.2. (nastavak) Neka se traži komponentni VaR datog portfolija.
Izračunavanje se vrši iz , tako da je
Zbir je zaista jednak $257 738, odnosno vrednosti .
Najveća komponenta je pozicija u EUR, koja ima i najveću volatilnost. Oba
broja su pozitivna, što znači da nijedna pozicija ne pruža zaštitu datom
portfoliju.
Neka je broj pozicija u EUR jednak nuli. Kako se portfolio sastoji od
dve aktive onda je novi VaR bez pozicije u EUR jednak VaR-u CAD
komponente, Inkrementalni VaR pozicije u EUR je
. Komponentni VaR iznosi $152 108 i
značajno je veći od $92 738. Aproksimacija nije tako dobra kao ranije jer se
portfolio sastoji od samo dve aktive, a svaka od njih ima veliki udeo u
ukupnom VaR-u. Može se očekivati bolja aproksimacija u slučajevima kada
su VaR komponente male u odnosu na ukupan VaR.
Slika 3.4 Dekompozicija VaR–a
Slika 3.4 prikazuje kratak rezime VaR alata primenjenih na portfolio
koji se sastoji od dve valute. Na grafiku je VaR portfolija funkcija iznosa
novca uloženog u pozicije u EUR. Marginalni VaR je promena VaR–a koja
nastaje dodavanjem $1 u poziciju EUR. Na grafiku je predstavljen nagibom
39
tangente na VaR krivu (0.1521). Inkrementalni VaR je promena VaR–a koja
nastaje uklanjanjem pozicije u EUR i iznosi $92 738 ako se meri duž VaR
krive. Komponentni VaR predstavlja aproksimaciju ove vrednosti merene
duž tangente na VaR krivu i iznosi $152 108. Komponentni VaR se
dopunjuje do ukupnog VaR–a portfolija i predstavlja dekompoziciju ukupnog
rizika.
Grafik takođe pokazuje da je najbolja zaštita portfolija od rizika
pozicija $0 u EUR (VaR funkcija dostiže minimum u tački 0).
Podaci se mogu prikazati i tabelarno, kao u Tabeli 3.1. Ovaj način
prikaza daje vrednosti za VaR portfolija, ali i veliki broj drugih informacija
za menadžere rizika.
Valuta
Trenutna pozicija ili
Individualni VaR,
Marginalni VaR,
Komponentni VaR,
Procentualni doprinos
CAD $2 000 000 $165 000 0.0528 $105 630 41.0%
EUR $1 000 000 $198 000 0.1521 $152 108 59.0%
Ukupno $3 000 000
Nediversifikovani VaR
$363 000
Diversifikovani VaR
$257 738 100%
Tabela 3.1
Na primer, kolona u kojoj su prikazane vrednosti za marginalni VaR može
da se iskoristi kao pomoć u odlučivanju kako umanjiti rizik. Kako je
marginalni VaR pozicije u EUR tri puta veći od iste mere pozicije u CAD,
uklanjanje pozicije u EUR će biti mnogo korisnije nego uklanjanje pozicije u
CAD. □
3.1.4 Prednosti i slabosti parametarske metode
Glavna slabost parametarske metode je pretpostavka o normalnoj
raspodeli tržišnih promenljivih. Iako je u nekim slučajevima ova
pretpostavka tačna, istraživanja pokazuju da uglavnom nije. Važan
nedostatak je i pretpostavka o linearnom uticaju prinosa aktiva na promenu
vrednosti portfolija. Ukoliko portfolio sadrži finansijske derivate,
parametarski metod neće dati dobre rezulatate.
Međutim, parametarska metoda je veoma laka za sprovođenje jer
obuhvata jednostavno množenje matrica. Rizik svake aktive ima linearan
uticaj na ukupan rizik portfolija tako da je parametarska metoda veoma
brza metoda za izračunavanje VaR–a, čak i kada se portfolio sastoji od
velikog broja aktiva. Parametarski pristup je takođe pogodan za anlizu
rizika portfolija jer se kao nusprodukti njegove primene dobijaju i mere
40
marginalnog i inkrementalnog rizika. Zbog svega navedenog, ova metoda je
veoma korisna i jedna je od najčešće korišćenih metoda u menadžmentu
rizika.
3.2 Metod istorijske simulacije
Metod istorijske simulacije je veoma popularan metod za
izračunavanje VaR–a. Uključuje korišćenje istorijskih podataka kao
uputstvo za ono što se može desiti u budućnosti. Prvi korak prilikom
primene metoda jeste identifikovanje svih tržišnih promenljivih, na primer
N, koje utiču na vrednost portfolija (spot cena, kamatna stopa, kurs, itd.)
kao i njihovih vrednosti u prethodnih T dana , i
Tako se može dobiti T različitih scenarija šta se može desiti sa vrednošću portfolija između današnjeg i sutrašnjeg dana. Drugi korak pri
primeni metoda jeste određivanje hipotetičke vrednosti svake od tržišnih
promenljivih sutra. Neka je prinos koji obezbeđuje i–ta tržišna
promenljiva, u trenutku , . Vrednost i-te
tržišne promenljive sutra po –tom scenariju se dobija tako što se današnja vrednost te promenljive uveća za promenu vrednosti po –tom scenariju iz istorijskih podataka
odnosno
Ako je prinos i–te tržišne promenljive u trenutku
onda se vrednost sutra po scenariju može izračunati kao
Nova vrednost portfolija po scenariju –k je funkcija novih vrednosti
tržišnih promenljivih po scenariju –k, odnosno
. Za svaki
scenario se određuje promena vrednosti portfolija kao razlika , gde
je vrednost portfolija u sadašnjem trenutku. Dobijeni niz promena vrednosti portfolija se sortira od najmanje do najveće vrednosti, tako da se
VaR može odrediti na osnovu zadatog nivoa poverenja i Definicije 2.2 (preko
dobitka portfolija). Ako se VaR određuje preko gubitka portfolija, potrebno je
41
promenama vrednosti portfolija promeniti znake, a zatim ih sortirati u
rastući niz. Ako je nivo poverenja 99%, a VaR se određuje na osnovu 100
trgovačkih dana, onda je tražena vrednost 99. iznos u nizu.
Primer 3.3. Neka se portfolio sastoji od po 1000 akcija kompanija Yahoo,
Google i Microsoft. Potrebno je na osnovu istorijskih podataka izračunati
jednodnevni 99% VaR razmatranog portfolija.
U Tabeli 3.2 su date cene akcije u periodu od 10.11.2014. godine do
6.11.2015. godine. Dan 10.11.2014. je prvi dan kada su beleženi podaci i
označen je kao Dan -250, naredni dan je Dan -249, a današnji dan
(6.11.2015.) označen je kao Dan 0. Vrednosti akcija su beležene u isto vreme
svakog dana. Vrednost portfolija danas je
Datum Dan YHOO($) GOOG($) MSFT($) 10.11.2014. -250 49.41 547.49 48.89 11.11.2014. -249 49.05 550.29 48.87 12.11.2014. -248 50.6 547.31 48.78 13.11.2014. -247 50.5 545-38 49.61
27.1.2015. -199 47.99 518.63 42.66
2.11.2015. -4 35.27 721.11 53.24 3.11.2015. -3 34.72 722.16 54.15 4.11.2015. -2 35.07 728.11 54.4 5.11.2015. -1 35.12 731.25 54.38 6.11.2015. 0 34.2 733.76 54.92
Tabela 3.2 Cene akcija kompanija Yahoo, Google i Microsoft u prethodnih
godinu dana. Izvor [14],[15],[16].
Potrebno je simulirati nove cene akcija razmatranih kompanija sutra, na
osnovu prinosa izračunatih iz istorijskih podataka. Primenom (3.8) može se
dobiti tabela sa 250 novih cena akcija, kao i novih vrednosti portfolija
(Tabela 3.3). Na primer, vrednost akcije kompanije Yahoo sutra, po
scenariju 249 je
i slično, cene akcija kompanija Google i Microsoft su i
. U poslednjoj koloni u Tabeli 3.3 se nalaze promene
42
vrednosti portfolija, odnosno razlike Vrednost portfolija sutra po
scenariju 249 je
a promena vrednosti portfolija
Scenario YHOO ($)
GOOG ($)
MSFT ($)
Vrednost portfolija ($)
Promena vrednosti ($)
250 49.41 547.49 48.89 826 361 3481 249 33.951 737.513 54.898 819 886 -2994 248 35.281 729.786 54.819 821 159 -1721 247 34.132 731.173 55.854 822 375 -505
199 33.197 711.029 49.838 794 064 -28 816
4 33.667 734.828 55.859 824 354 1474 3 34.545 739.806 55.174 829 524 6644 2 34.249 736.924 54.900 826 073 3193 1 33.304 736.279 55.465 825 048 2168
Tabela 3.3 Simulirane cene akcija i promene vrednosti portfolija
Promenama vrednosti portfolija iz poslednje tabele treba promeniti
znake i sortirati ih u rastući niz. Jednodnevni 99% VaR razmatranog
portfolija je 248. po redu vrednost u nizu, odnosno $28 816. Dakle,
maksimalni gubitak portfolija sa nivoom poverenja 99% iznosi $28 816.
Slika 3.5 Histogram raspodele gubitaka portfolija
3 0 0
3 4 6
16 20
47
62
36
27
14
5 3 3 0 0
0
10
20
30
40
50
60
70
Gubici portfolija ($)
43
Jednodnevni 95% VaR istog portfolija iznosi $16 735, a 90% VaR je
$12 620. Desetodnevni VaR se može izračunati množenjem jednodnevnog
VaR–a sa , jer najčešće nema dovoljno podataka za simulaciju cena za duži vremenski period. □
3.2.1 Prednosti i slabosti metoda istorijske simulacije
Metod istorijske simulacije se veoma jednostavno sprovodi ukoliko
ima istorijskih podataka. Podaci koji su jednom prikupljeni se čuvaju i mogu
se iskoristiti pri ponovnom izračunavanju VaR–a. Izračunavanje nije
složeno i kada se radi sa portfolijima koji se sastoje od velikog broja aktiva
jer nema potrebe za određivanjem kovarijansne matrice. Ovaj metod
zahteva samo niz procenjenih prinosa portfolija.
Metod se oslanja na stvarne vrednosti tržišnih promenljivih iz
istorijskih podataka i zbog toga se može primeniti i u slučajevima kada
prinosi finansijskih instrumenata nemaju linearan uticaj na promenu
vrednosti portfolija. Takođe, metod je pogodan i u slučajevima kada prinosi
finansijskih instrumenata nemaju normalnu raspodelu. Ovaj metod je
snažan i intuitivan i kao takav ima veliku primenu.
Međutim, nisu zanemarljive ni mane istorijskog metoda.
Najznačajnija slabost je pretpostavka da postoji dovoljan broj istorijskih
podataka o vrednostima tržišnih promenljivih. Za simulaciju 1000 dnevnih
promena vrednosti potrebno je prikupljati podatke četiri godine. Često se
dešava da finansijski instrumenti ne traju dovoljno dugo ili da nema
zabeleženih podataka o njima za duži vremenski period.
Slabost metoda predstavlja i pretpostavka o tome da prošlost verno
predstavlja blisku budućnost. Ako prikupljeni podaci preskaču neke važne
događaje, repovi raspodele neće biti dobro predstavljeni. I obrnuto, uzorak
može obuhvatati događaje koji se neće skoro ponoviti u budućnosti. Slabost
metoda je i to što je VaR, kao statistička ocena, podložan velikim greškama
ako je veličina uzorka mala.
3.3 Monte Karlo simulacija
Metod Monte Karlo daje aproksimaciju ponašanja cena aktiva
pomoću kompjuterskih simulacija za generisanje slučajnih kretanja cena.
Metod se koristi za generisanje velikog broja različitih scenarija za vrednost
portfolija na određeni datum. Onda se VaR određuje direktno iz simulirane
raspodele promena vrednosti portfolija.
Monte Karlo simulacija je zbog svoje fleksibilnosti jedan od
najmoćnijih pristupa za određivanje VaR–a. Metod prepoznaje rizike koji
dolaze iz raznih izvora i može da obezbedi simulaciju cena i za duži
vremenski period. Koristi za procenu tržišnog, kreditnog i operativnog
rizika.
44
Ukratko, metod se sprovodi u dva koraka. Prvi korak je određivanje
stohastičkog procesa koji opisuje kretanje cene razmatrane aktive, kao i
parametara tog procesa. Drugi korak je simulacija trajektorija cena aktiva,
kao i evaluacija vrednosti portfolija na određeni datum. Metod je donekle
sličan metodu istorijske simulacije, osim u tome što je promena cene jedne
aktive određena slučajnim kretanjem na osnovu stohastičkog procesa
umesto istorijskim podacima.
3.3.1 Simulacija sa jednom slučajnom promenljivom
Izračunavanje VaR–a metodom Monte Karlo simulacije se može
izvršiti primenom sledećih koraka:
1. Izbor stohastičkog procesa i njegovih parametara;
2. Generisanje niza slučajnih promenljivih na osnovu kojih se
određuju cene ;
3. Izračunavanje vrednosti portfolija na kraju vremenskog perioda
, na osnovu simuliranog kretanja cena;
4. Ponavljanje koraka 2 i 3 onoliko puta koliko je potrebno, na primer
puta.
Ovim postupkom se dobija K simuliranih vrednosti portfolija
, na osnovu kojih se mogu odrediti promene vrednosti portfolija
u odnosu na sadašnju vrednost , . Zatim se VaR
određuje iz sortiranog niza promena vrednosti portfolija ili gubitaka na
osnovu zadatog nivoa poverenja.
Prvi korak Monte Karlo simulacije se sastoji od odabira stohastičkog
procesa za opisivanje kretanja cena razmatrane aktive. Model koji se
najčešće koristi je geometrijsko Braunovo kretanje. Model pretpostavlja da
se promena cene aktive u kratkom vremenskom periodu može predstaviti na
sledeći način
Parametar je mera srednjeg rasta zarade investitora za mali vremenski
period, parameter je volatilnost cene aktive i pretpostavlja se da su oba
parametra konstantna u toku vremena. U članu je sadržana sva
slučajnost, tj. nepredvidivost kretanja cene aktive. Stohastički proces predstavlja jednodimenzionalno standardno Braunovo kretanje
definisano na prostoru verovatnoća ( . Dakle, za fiksirano
slučajna promenljiva ima raspodelu.
U praksi se proces sa beskonačmo malim intervalom može aproksimirati diskretnim koracima veličine . Neka je t sadašnji trenutak, a T željeni datum u budućnosti. Tada je vremenski period za koji se
određuje VaR . Da bi bio generisan niz slučajnih promenljivih duž vremenskog perioda dužine , potrebno je podeliti na n jednakih
45
podintervala dužine . Broj koraka n zavisi od vremenskog horizonta
za VaR, kao i od zahtevane preciznosti za model. Diskretizacijom jednačine
(3.9) na konačnom intervalu dobija se aproksimacija
je
Simulacija kretanja cene S počinje od vrednosti , a zatim se generiše niz od n određuje kao
, vrednost kao , itd.
Svaka naredna vrednost se izračunava na sličan način dok se ne dostigne
trenutak T, u kome je cena .
Za generisanje niza se koristi neki generator slučajnih
brojeva. Generator daje slučajne brojeve koji su uniformno raspodeljeni na
intervalu . Posredstvom slučajne promenljive koja ima se mogu
modelirati vrednosti svake druge slučajne promenljive apsolutno
neprekidnog tipa.
Teorema 3.1. Neka je slučajna promenljiva X apsolutno neprekidnog tipa sa funkcijom raspodele F. Rešenje slučajne jednačine
po nepoznatoj X je slučajna promenljiva čija je funkcija raspodele baš F.
Dakle, slučajan broj x iz uniformne raspodele se može lako prevesti u
bilo koju željenu raspodelu uz pomoć inverzne funkcije raspodele. Tako je za
generisanje slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom
potrebno odrediti y takvo da je , odnosno . U praksi generisanje slučajnih brojeva nije tako jednostavno, jer
većina algoritama posle određenog broja izvlačenja ponavlja neki niz
slučajnih brojeva, što može uticati na netačnu procenu VaR–a. Zato je važno
proveriti korektnost algortama za generisanje slučajnih brojeva.
Primer 3.4. Neka se razmatra portfolio koji se sastoji od pozicije u akciji čija
je trenutna cena $100, sa merom srednjeg rasta 10% i volatilnošću 40%.
Odrediti desetodnevni 99% VaR portfolija koji se sastoji od date akcije
metodom Monte Karlo simulacije.
Najpre treba simulirati kretanje cene akcije na opisan način. Traženi
vremenski interval je 10 dana i biće podeljen na deset delova. Dakle iznosi jedan dan, odnosno godine. U programu Microsoft Excel se
46
mogu generisati slučajni brojevi iz intervala uz pomoć funkcije RAND, a zatim se transformisati u promenljive sa normalnom normiranom
raspodelom uz pomoć funkcije NORMSINV. U Tabeli 3.4 su date simulirane
vrednosti kao i vrednosti . Vrednosti koje se nalaze u drugoj
koloni dobijene su korišćenjem formule (3.10), a vrednosti iz treće kolone na
osnovu
vrednosti
0.25703 0.651623 100.6516 0.763405 1.940128 102.5918 -0.9322 -2.40573 100.186
-1.09994 -2.77278 97.41324 -1.57943 -3.87297 93.54027
0.026575 0.066348 93.60662 -0.41813 -0.9825 92.62412 -1.34768 -3.14168 89.48244
-1.01661 -2.28865 87.19379 0.715949 1.576455 88.77024
Tabela 3.4 Simulacija kretanja cene akcije
Cena akcije na kraju zadatog vremenskog intervala dobijena prvom
simulacijom iznosi $88.77024. Na Slici 3.6 je prikazano kretanje cene akcije
na osnovu simuliranih vrednosti.
Slika 3.6 Kretanje cene akcije na osnovu simuliranih vrednosti
Ponavljanjem opisanog postupka se može dobiti veliki broj različitih
scenarija za kretanje cene akcije u narednih deset dana. U ovom primeru
postupak je ponovljen 10 000 puta. Zatim su izračunate promene vrednosti i
gubici portfolija koji se sastoji od pozicije u razmatranoj akciji za svih 10 000
scenarija. Na Slici 3.7 je prikazan histogram dobijene raspodele gubitaka
portfolija.
75
80
85
90
95
100
105
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
St
47
Slika 3.7 Raspodela gubitaka portfolija
Desetodnevni 99% VaR se može odrediti kao 9900. vrednost sortiranog niza
gubitaka portfolija, i on iznosi 20.3661. □
3.3.2 Simulacija sa više slučajnih promenljivih
Portfolio koji se sastoji od većeg broja aktiva je izložen riziku iz više
različitih izvora. Prethodno opisanu simulaciju je lako prilagoditi opštijem
slučaju, sa ukupno N promenljivih (izvora rizika). Simulacija se, u tom
slučaju, ne komplikuje previše jer se vreme izračunavanja povećava linearno
sa brojem promenljivih.
Ukoliko bi slučajne promenljive bile nekorelisane, slučajno kretanje
cena bi se moglo odrediti posebno za svaku promenljivu
gde su vrednosti nezavisne, za i svaki vremenski trenutak t.
Međutim, u opštem slučaju su promenljive međusobno korelisane. Da
bi korelacija između promenljivih bila obuhvaćena, simulacija se započinje
generisanjem niza nezavisnih promenljivih η sa normalnom normiranom
raspodelom, koje
slučaju sa dve promenljive transformacija se vrši na sledeći način:
gde je ρ koeficijent korelacije između promenljivih i . Tada je disperzija
promenljive jednaka jedinici, odnosno
0 1 24 208
761
1687
2488
2166
1557
709
286 82 24 5 2 0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Raspodela gubitaka portfolija
48
Tada je, kao što je zahtevano, kovarijansa između promenljivih i jednaka . Zaista,
3.3.3 Prednosti i slabosti Monte Karlo simulacije
Monte Karlo analiza je jedan od najmoćnijih metoda za izračunavanje
VaR–a. Obuhvata razne izvore rizika uključujući rizik nelinearnih
instrumenata i rizik volatilnosti. Metod se može primeniti i na određivanje
VaR–a za duži vremenski period, na osnovu čega se može dobiti analiza
promene vrednosti portfolija kroz vreme.
Najveća mana Monte Karlo simulacije je vreme izračunavanja.
Potrebno je izvršiti veliki broj simulacija za svaki od finansijskih
instumenata u portfoliju, a ponekad se i svaka simulacija sastoji od nekoliko
dodatnih, u zavisnosti od vremenskog horizonta. Zbog toga metod nije
pogodan za čestu primenu, a može da predstavlja i veliki trošak. Slabost
modela je i to što se oslanja na stohastički proces koji opisuje kretanje cene,
tako da je izložen riziku da je izabrani proces pogrešan.
Glavna slabost metoda, vreme potrebno za izračunavanje, se može
otkloniti smanjenjem broja ponavljanja simulacije. Međutim, u tom slučaju
se umanjuje preciznost modela. Empirijska raspodela promene vrednosti
portfolija sa povećanjem K konverira ka stvarnoj raspodeli. Ako osnovni
proces ima normalnu raspodelu onda empirijska raspodela mora
konvergirati ka njoj. U toj situaciji vrednost VaR–a koja se dobija Monte
Karlo simulacijom treba da bude ista kao vrednost dobijena parametarskom
metodom, odnosno VaR procenjen na osnovu uzoračkog kvantila mora
konvergirati ka vrednosti .
3.4 Poređenje VaR metoda
Izbor metoda za izračunavanje VaR–a najviše zavisi od sastava
portfolija. Za portfolije koji ne sadže opcije i čije su raspodele prinosa bliske
normalnoj raspodeli najbolji izbor je parametarski metod. VaR se relativno
brzo i lako izračunava i daje preciznu ocenu. Metod je analitički, tako da
dozvoljava jednostavnu analizu VaR rezultata uz pomoć marginalnog,
inkrementalnog i komponentnog VaR–a. Međutim, ako portfolio sadrži i
opcije, parametarski metod ne daje dobre rezultate.
49
Metod istorijske simulacije se jednostavno sprovodi i oslanja se na
stvarne, istorijske podatke. Nije pogodan za primenu u slučajevima kada
nema dovoljno podataka za simulaciju. Ne uzima u obzir ni promenljivost
rizika u vremenu, što za posledicu može da ima netačnu ocenu rizika.
U teoriji, Monte Karlo simulacija prevazilazi sve navedene slabosti
ostalih metoda. Obuhvata nelinearne modele, raspodele različite od
normalne kao i promenljivost rizika. Međutim, zbog takve fleksibilnosti
njegova primena je duga i skupa.
Svi navedeni metodi se koriste u praksi. Rezultati jedne ankete
pokazuju da u Velikoj Britaniji 42% banaka koristi parametarski metod,
31% koristi metod istorijske simulacije, a 23% Monte Karlo simulaciju.
Dakle, parametarski metod je najrasprostranjeniji, najviše zbog svoje
jednostavnosti.
50
Glava 4
Metode za evaluaciju VaR–a
VaR modeli su korisni ako predviđaju rizik sa dovoljnom tačnošću.
Zbog toga je potrebno da upotreba ovih modela bude praćena evaluacijom –
proverom adekvatnosti modela. Ova provera se najčešće vrši pomoću
backtesting modela, testiranjem stresnih situacija i nezavisnim revizijama.
Sve navedene metode zahteva i Bazelski komitet za superviziju banaka.
VaR mera koja se dobija na osnovu skorašnjih istorijskih podataka ne
može uvek da obuhvati ekstremno retke situacije koje mogu da prouzrokuju
ogromne gubitke. Testiranje stresnih situacija (stress testing) podrazumeva
upravo identifikaciju i upravljanje takvim situacijama.
Backtesting modeli služe za proveru adekvatnosti VaR modela.
Zasnivaju se na upređivanju promena vrednosti portfolija dobijenih na
osnovu VaR prognoze i ostvarenih gubitaka i dobitaka portfolija, kao i
registrovanju broja situacija u kojima je VaR premašen. Da bi VaR model
bio korektan potrebno je da frekvencija tog odstupanja konvergira ka ,
gde je α nivo poverenja, i da se odstupanja pojavljuju nezavisno jedna od
drugih. Za proveru adekvatnosti VaR modela potrebno je ispitati da li su oba
navedena uslova ispunjena.
4.1 Testiranje stresnih situacija
Testiranje stresnih situacija je proces identifikacije i upravljanja
situacijama koje mogu da prouzrokuju ogromne gubitke. Na primer, jedna
primena stres-testa je scenario analiza koja zahteva da se vrednost neke
tržišne promenljive, koja utiče na vrednost portfolija, uveća ili umanji za
veliki iznos. Međutim, ovakva primena ignoriše korelacije između aktiva
koje čine razmatrani portfolio, tako da je potrebno kreirati i scenario sa
promenama u korelaciji između aktiva.
Kada testiranje stresnih situacija otkrije slabost menadžment mora
da preduzme određene korake i da upravlja otkrivenim rizikom. Moguće
rešenje u tom slučaju može da bude odvajanje dodatne količine kapitala koji
bi mogao da apsorbuje velike gubitke. Alternativa može da bude i promena
pozicija u finansijskim instrumentima u cilju umanjenja izloženosti riziku.
Tada testiranje stresnih situacija može da omogući opstanak institucije.
51
Potreba za scenario analizom se može pronaći u nekim primerima iz
prošlosti. Jedan primer je krah berze koji se dogodio 19. oktobra 1987.
godine. Na Slici 4.1 je prikazan histogram raspodele prinosa S&P 500
indeksa na osnovu istorijskih podataka. U ponedeljak 19.10.1987. godine
S&P 500 indeks je izgubio 20% svoje vrednosti. Ovaj događaj je toliko daleko
u repu raspodele da se pod uslovom da prinos S&P 500 indeksa ima
normalnu raspodelu, nikada ne bi ni dogodio. Sa slike se vidi i da bi 99%
VaR potpuno promašio veličinu stvarnog gubitka. Ipak, pod pretpostavkom
da prinos ima neku drugu raspodelu, i variranjem nivoa poverenja mogao bi
levi rep raspodele biti značajnije pokriven.
Slika 4.1 Dnevni prinosi (%) S&P 500 indeksa od 1984. do 2004. godine
Cilj testiranja stresnih situacija je identifikovanje onih scenarija koje
standardni VaR modeli ne bi prepoznali. Takvi događaji se mogu
klasifikovati u dve kategorije:
1. Simulacija šokova koji se nisu dogodili ili se događaju češće nego što
na to ukazuju istorijski podaci;
2. Simulacija šokova koji reflektuju privremene ili stalne strukturalne
promene unutar statističkih obrazaca.
Na ovaj način scenario analiza omogućava menadžerima da razmotre
i one događaje koje bi inače ignorisali.
52
4.2 Backtesting modeli
Backtesting modeli predstavljaju statistički okvir za proveru da li su
stvarni gubici u skladu sa gubicima koje je predvideo VaR model. Provera se
vrši sistematskim upoređivanjem istorije VaR prognoza sa njihovim
ostvarenim vrednostima. Ova procedura je posebno važna za menadžment
rizika, i ukoliko se pokaže da je korišćeni model neadekvatan mogu se
preduzeti koraci za njegovo poboljšanje. Backtesting je odigrao veliku ulogu
i u odluci Bazelskog komiteta za superviziju banaka da dozvoli bankama da
koriste interne modele za procenu rizika. Međutim, zbog te odluke banke
imaju veoma rigorozne mehanizme za backtesting.
Kada je VaR model adekvatan broj opservacija koje će premašiti
predviđeni VaR treba da bude u skladu sa nivoom poverenja. Broj
prekoračenja se naziva broj odsupanja. Ukoliko je broj odstupanja veliki,
onda je model potcenio rizik. Tada se nedovoljno kapitala odvaja za zaštitu
finansijske institucije, a mogu uslediti i kazne od strane regulatora. Ako je
broj odstupanja mali, tada dolazi do nagomilavanja i neadekvatne raspodele
i upotrebe kapitala.
Problem koji se javlja prilikom primene backtesting modela leži u
pretpostavci da je dati portfolio “zamrznut” tokom posmatranog vremenskog
perioda. Međutim, u praksi se portfolio razvija veoma dinamično u toku
svakog dana. Tako je portfolio “kontaminiran” promenama u svom sastavu.
Stvarni prinos portfolija je onaj koji je u skladu sa ostvarenim prihodima i
gubicima u toku dana. Problem se minimizira ako je vremenski period u
kome se beleže promene relativno kratak, što objašnjava zašto se
backtesting najčešće vrši na dnevnom nivou. Menadžeri rizika bi trebalo da,
pored stvarnog prinosa portfolija , prate i hipotetički prinos koji je
najbliži VaR prognozi. Hipotetički prinos predstavlja prinos “zamrznutog”
portfolija. Kako se VaR prognoza odnosi na , backtesting bi trebalo da se
radi sa hipotetičkim prinosom. Stvarni prinos je takođe važan jer pokazuje
svarne prihode i gubitke i reflektuje volatilnost prinosa portfolija. Iako bi
bilo idealno koristiti i stvarne i hipotetičke prinose portfolija, u regulatorne
svrhe se koriste samo stvarni prinosi.
Drugi problem koji se javlja je kako odrediti kada je određeni broj
odstupanja jednostavno posledica “loše sreće”, a kada je zapravo VaR model
neadekvatan. Drugim rečima, treba doneti odluku da li prihvatiti ili odbaciti
dati model na osnovu rezultata dobijenih iz backtesting modela. Ovaj
problem se lako rešava primenom statističkih metoda.
4.2.1 Model koji se bazira na stopi neuspeha
Najjednostavniji metod za verifikaciju modela je registrovanje stope
neuspeha, koja daje odnos koliko puta je premašen VaR u datom uzorku.
Neka banka prijavljuje vrednosti VaR sa nivoom poverenja za ukupno
dana, i neka je . Neka je broj odstupanja, kada je stvarni gubitak
premašio predviđeni VaR, i stopa neuspeha. U idealnom slučaju stopa
53
neuspeha bi trebalo da bude nepristrasna ocena za , koja konvergira ka
sa povećanjem veličine uzorka. Potrebno je otkriti, uz dati nivo poverenja,
da li je previše veliko ili previše malo, pri čemu je nulta hipoteza da je
, u uzorku veličine . Kako ne postoji pretpostavka o raspodeli
profita ovaj pristup je neparametarski. Dakle, testira se nulta hipoteza
protiv alternativne
Potrebno je primeniti Bernulijev test. Broj odstupanja ima binomnu
raspodelu sa vrednostima
Očekivanje slučajne promenljive je , a disperzija .
Kada je dovoljno veliko, na osnovu centralne granične teoreme sledi da se
binomna raspodela može aproksimirati normalnom normiranom raspodelom
Binomna raspodela se može koristiti za testiranje da li je broj
odstupanja prihvatljivo mali. Na Slici 4.1 (levo) je opisana raspodela
odstupanja kada je model podešen korektno, tj. kada je Neka se, na primer, model odbacuje ako je broj odstupanja veći od 4.
Slika 4.1 Raspodela odsupanja kada je model podešen korektno (levo) i kada
je model podešen nekorektno (desno)
54
Grafik pokazuje da, ako je tačna nulta hipoteza, treba očekivati više
od 4 odstupanja u 10.8% vremena. Procenat 10.8 je verovatnoća greške prve
vrste, odnosno verovatnoća da se odbaci korektan model.
Na Slici 4.1 (desno) je prikazana raspodela odstupanja kada je model
podešen nekorektno, tj. kada je . Grafik pokazuje da se 4 ili manje
odstupanja očekuje u 12.8% vremena, tj. da se nekorektan model neće
odbaciti u više od 12.8% slučajeva. Ovaj procenat predstavlja verovatnoću
greške druge vrste, tj. verovatnoću prihvatanja nekorektnog modela. U
ovom primeru su verovatnoće grešaka prve i druge vrste prilično velike, što
znači da treba promeniti granicu kritične oblasti.
Korisnici VaR modela treba da balansiraju verovatnoće grešaka prve
i druge vrste. U idealnom slučaju treba napraviti test koji će imati malu
grešku prve vrste, a zatim test koji će imati malu grešku druge vrste. Ako su
ovi uslovi ispunjeni za test se kaže da je moćan.
Kupiec (1995) je razvio približan 95% interval poverenja za ovaj test.
Nivo poverenja 95% nije povezan sa vrednošću već se odnosi na pravilo
donošenja odluke o prihvatanju modela. Test statistika je
i asimptotski ima raspodelu sa jednim stepenom slobode, ako je nulta
hipoteza tačna. Nulta hipoteza se odbacuje ako je .
Neka je, na primer, broj opservacija (2 godine podataka). Broj
očekivanih odstupanja je
Međutim, nulta hipoteza neće biti odbačena, dokle god se nalazi unutar
intervala poverenja . Interval poverenja se smanjuje sa
povećanjem veličine uzorka, tj. broja podataka, i tada se lakše donosi odluka
o prihvatanju VaR modela. Mana ovog testa je što se za mali broj podataka
ne može lako potvrditi adekvatnost modela.
4.2.2 Pravila regulatora
Da bi banke koristile IM pristup Bazel 2 sporazuma moraju da
zadovolje različite uslove. Najpre, banke moraju da dokažu da imaju
stabilan sistem za menadžment rizika. Važno je i da se redovno vrši
testiranje stresnih situacija, kao i da postoje nezavisne jedinice za kontrolu
rizika i spoljne revizije. Ako su ovi uslovi ispunjeni, banke preduzimaju
sledeće korake:
VaR se obračunava za vremenski period od 10 poslovnih dana (ili dve
kalendarske nedelje) uz nivo poverenja od 99%. Pritom se istorijski
podaci za jednu godinu ažuriraju najmanje jednom u kvartalu.
Prepoznaju se korelacije između tržišnih promenljivih.
55
Kapitalni troškovi tržišnog rizika se određuju na osnovu VaR–a za
prethodni dan ili na osnovu prosečnog VaR–a za prethodnih 60
poslovnih dana pomnoženog multiplikativnim faktorom k –
koeficijntom dodatne zaštite. Dakle, kapitalni troškovi tržišnog rizika
(MRC) IM pristupa, za proizvoljan dan se određuju na sledeći način
gde su troškovi specifičnog rizika, a k koeficijent dodatne zaštite. Kaznena komponenta ili plus faktor se dodaje koeficijentu dodatne
zaštite ako backtesting pokaže da interni model banke ne obezbeđuje
adekvatnu prognozu rizika.
Bazelskim standardom Bazel 2 su određena pravila za backtesting
internih modela banaka i bazirana su na stopi neuspeha. Trenutna
procedura se sastoji u tome da se beleži broj odstupanja za 99% VaR svakog
dana u toku prethodne godine. Očekuje se 1% odstupanja od oko 250 dana,
odnosno 2.5 slučaja godišnje. Bazelski komitet, prema broju odstupanja koji
se pojavljuje, određuje kategorije kojima pripada banka: zelena zona ( ),
žuta zona ( ) i crvena kaznena zona ( ).
Na osnovu broja odstupanja se koeficijentu dodatne zaštite dodaje
kaznena komponenta ili plus faktor na način koji je opisan u sledećoj tabeli:
Zona Broj izuzetaka N Plus faktor
Zelena 0-4 0.00 Žuta 5 0.40 6 0.50 7 0.65 8 0.75 9 0.85 Crvena 10+ 1.00
Tabela 4.1 Kriterijumi za određivanje kategorije banaka
Bazelski komitet svrstava u kategorije i razloge zbog kojih se javljaju
izuzeci. Kategorije su sledeće:
Opšti integritet modela (postoji greška u kodu programa ili su pozicije
pogrešno prijavljene).
Preciznost modela može biti poboljšana (model ne meri rizik sa
dovoljnom preciznošću).
Trgovanje u toku dana (dolazi do promena pozicija u toku dana).
“Loša sreća” (volatilnost je znatno povećana i korelacije između
tržišnih promenljivih na tržištu se menjaju).
56
Srž problema sa backtesting modelom koji se bazira na stopi neuspeha je
upravo određivanje kada je VaR model pogrešan, a kada je samo u pitanju
“loša sreća”. Zbog toga je potrebno koristiti i neke druge, naprednije testove
za proveru VaR modela.
4.2.3 Modeli uslovljene pokrivenosti
Modeli koji su do sada obrađeni su predstavljali modele bezuslovne
pokrivenosti jer ne uzimaju u obzir zavisnost pojavljivanja odstupanja od
uslova na tržištu. Odstupanja od VaR prognoze mogu da se pojave u malom
vremenskom razmaku, što može da poništi VaR model.
Neka je određen 95% VaR. Svake godine se očekuje oko 13
odstupanja. U teoriji, odstupanja bi trebalo da budu podjednako
raspoređena u toku cele godine. Međutim, ako se 10 odstupanja desi u toku
2 nedelje onda postoji razlog za zabrinutost. Postoji mogućnost da je
volatilnost cena aktiva na tržištu povećana, ili da su trgovci promenili svoje
pozicije. Sistem za proveru bi tada trebalo da bude napravljen da meri
pogodnu uslovljenu pokrivenost koja zavisi od trenutnog stanja na tržištu.
Cristofferson (1998) je napravio test koji proširuje statistiku tako da odstupanja moraju da budu serijski nezavisna. Koraci prilikom
testiranja su sledeći:
Svakog dana se definiše indikator odstupanja koji uzima vrednost 0
ako VaR nije premašen i vrednost 1 ako jeste, tj.
Definiše se slučajna promenljiva kao broj dana u kome je stanje
zabeleženo tog dana, a stanje prethodnog dana. Mogući ishodi su dati tabelom:
Definiše se verovatnoća pojave odstupanja u zavisnosti od stanja prethodnog dana.
Ako je model tačan, pojava odstupanja danas ne bi trebalo da zavisi od toga
da li se odstupanje desilo prethodnog dana, odnosno verovatnoće , bi
trebalo da budu jednake ako je tačna nulta hipoteza. Test statistika za
nezavisnost odstupanja je
57
Kombinovanjem statistike za nezavisnost sa Kupiecovim testom
dobija se zajednički test za ispitivanje dva svojstva dobrog VaR modela:
korektnost stope neuspeha i nezavisnost odstupanja, odnosno uslovljenu
pokrivenost. Tada je
pri čemu ima raspodelu sa 2 stepena slobode, jer postoje dve LR
statistike u testu. Ako je vrednost statistike niža od vrednosti za
raspodelu, VaR model prolazi test. Ako je nivo poverenja 95% model se
odbacuje kada je .
Postoji mogućnost da model prođe zajednički test, a da stopa
neuspeha nije korektna ili da postoji zavisnost među odstupanjima. Zato se
preporučuje da se oba spomenuta testa sprovedu posebno, čak i kada
zajednički test pokaže dobre rezultate.
4.3 Procena preciznosti VaR–a
Za izračunavanje VaR–a se koriste parametri raspodele tržišnih
promenljivih kao što su očekivanje, standardna devijacija i kvantili
raspodele datih podataka. Ovi parametri se ocenjuju uz pomoć nekih
statističkih metoda i zbog toga su njihove ocene podložne grešci, koja se
prirodno javlja zbog ograničene veličine uzorka kojim se raspolaže.
Neka se VaR određuje na osnovu podataka dobijenih istorijskom
simulacijom na osnovu vremenskog perioda od T dana. Problem je što je
dobijeni VaR samo ocena prave vrednosti jer na njega utiče promenljivost
uzoraka. Drugim rečima, različiti izbori vremenskog perioda T će dati
različite vrednosti za VaR.
Ocene stvarnih (nepoznatih) vrednosti parametara i raspodele
tržišnih promenljivih koje su dobijene na osnovu uzorka su . Ukoliko
broj opservacija teži beskonačnosti, tj. , ocene konvergiraju ka
stvarnim vrednostima parametara. Međutim, broj opservacija je najčešće
ograničen tako da greška može da postoji.
Kada je raspodela tržišnih promenljivih normalna, raspodela
uzoračke sredine i disperzije je poznata. Ocena je normalno raspodeljena
oko stvarne vrednosti sredine
gde je T broj nezavisnih opservacija. Standardna greška ove ocene ,
konvergira ka nuli kada se broj opservacija T povećava.
Ocena disperzije ima raspodelu sa stepeni slobode
58
Ako je broj opservacija T veći od 20, raspodela konvergira ka normalnoj
raspodeli, koja je jednostavnija za rad, odnosno
Ako je uzorak dovoljno veliki, standardna greška uzoračke standardne
devijacije je .
Standardna greška ocenjenih parametara ukazuje na nivo sigurnosti
u ocenjene vrednosti. U praksi se pokazalo da je ocena očekivanja mnogo
manje precizna od ocene standardne devijacije (volatilnosti).
Za proizvoljnu raspodelu -kvantil Q se može odrediti empirijski iz
raspodele verovatnoća kao . Sa ovom statistikom je povezana određena
greška. Kendall (1994) je pokazao da uzorački kvantil ima raspodelu
Asimptotska standardna greška za je
, gde je T veličina uzorka,
a ocenjena gustina raspodele verovatnoća za kvantil Q. Za normalnu
raspodelu se može koristiti za ocenu proizvoljnog kvantila, koristeći , na
sledeći način
Metod za procenu preciznosti VaR–a koji se bazira na standardnoj devijaciji
pruža njegovu bolju ocenu od uzoračkih kvantila. Uzorački kvantili imaju
veliku standardnu grešku, posebno za veće nivoe poverenja (levi rep
raspodele) koji su povezani sa izuzetno retkim događajima. Parametarski
modeli obezbeđuju veću preciznost jer standardna devijacija sadrži više
informacija od uzoračkih kvantila.
59
Zaključak
U ovom radu su date osnove teorije na kojoj je razvijena VaR
metodologija. Događaji iz prošlosti su ukazali na potrebu za moćnim alatom
za procenu i upravljanje rizikom. Razvoj VaR metodologije je označio
revoluciju u tom pogledu. Pokazano je da je VaR univerzalni alat koji ima
široku primenu u industriji i dati su načini njegove primene u različitim
finansijskim institucijama. VaR sumira izloženost finansijske institucije
tržišnom riziku, a dalje istraživanje može biti usmereno na njegovu primenu
u upravljanju kreditnim, operativnim i rizikom likvidnosti.
Opisane su različite metode za izračunavanje VaR–a kao i njihove
prednosti i mane. Svaka od metoda je obrađena sa teorijske strane i
pokazana je njihova primena u praksi. Iako je teorijska osnova stroga,
interpretacija rezultata dobijenih primenom VaR metoda i alata je podložna
subjektivnoj proceni menadžera. Najveća mana VaR metodologije je to što
ne daje meru mogućeg gubitka portfolija izvan datog nivoa poverenja. Čak i
uz nivo poverenja 99% postoji mogućnost pojave neobičnih događaja koji
mogu izazvati veliku štetu. Zbog toga se VaR dobijen ma kojom metodom
mora podvrgnuti testiranju stresnih situacija i backtestingu.
Veliku važnost ima i činjenica da vrednost VaR dobijena statističkim
metodama predstavlja samo procenu mogućeg rizika. Korisnici VaR–a bi
trebalo da prihvate njegova ograničenja i da ih prevaziđu svojim iskustvom i
znanjem. Pravilna upotreba VaR–a može doneti finansijskoj instituciji
brojne koristi i odgovarajuću zaštitu.
60
Biografija
Milena Stošić je rođena u Nišu 5.8.1990. godine. Osnovnu školu “Car
Konstantin” i gimanziju “Bora Stanković”, prirodno-matematički smer, je
završila kao nosilac Vukovih diploma. Prirodno-matematički fakultet u Nišu
je upisala školske 2009/10. godine na Departmanu za matematiku. Osnovne
studije je završila 2013. godine sa prosečnom ocenom 8.64. Iste godine
upisuje master akademske studije na smeru Primenjena matematika,
modul Matematika u finansijama. Prosečna ocena na master akademskim
studijama je 9.67 (bez ocene master rada).
61
Literatura
[1] P. Jorion (2001), Value at Risk: The New Benchmark for Managing
Financial Risk, McGrow-Hill
[2] J.C. Hull (2006), Options, Futures and Other Derivatives, Prentice
Hall
[3] An introduction to Value-at-Risk (2003), YieldCurve.com
[4] O. Nieppola (2009), Backtesting Value-at-Risk Models, Master’s Thesis
in Economics, Helsinki School of Economics
[5] M. Jovanović, Finansijsko modeliranje 2, autorizovana predavanja,
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš
[6] B. Popović (2009), Matematička statistika, Univerzitet u Nišu,
Prirodno-matematički fakultet, Niš
[7] M. Cvetinović (2008), Upravljanje rizicima u finansijskom poslovanju,
Univerzitet Singidunum, Beograd
[8] S. Đukanović (2009), Upravljanje finansijskim rizicima-praktikum,
Visoka poslovna škola strukovnih studija, Novi Sad
[9] L. Esch, R. Kieffer, T. Lopez (2005), Asset and Risk Management, Risk
Oriented Finance, John Wiley & Sons, Ltd
[10] Sv. Janković, Teorija verovatnoća i stohastički procesi, autorizovana
predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš
[11] A. Rožnjik (2008), VaR kao mera rizika u optimizaciji portfolija,
magistarska teza, Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno-matematički
fakultet, Novi Sad
[12] E.A. Marina (2014), Evaluacija VaR mere rizika, master rad,
Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno-matematički fakultet, Novi Sad
[13] http://www.federalreserve.gov/releases/h15/data.htm
[14] http://www.nasdaq.com/symbol/msft/historical
[15] http://www.nasdaq.com/symbol/goog/historical
[16] http://www.nasdaq.com/symbol/yhoo/historical
Прилог 5/1
ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
НИШ
КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА
Редни број, РБР:
Идентификациони број, ИБР:
Тип документације, ТД: монографска
Тип записа, ТЗ: текстуални / графички
Врста рада, ВР: мастер рад
Аутор, АУ: Милена Стошић
Ментор, МН: Миљана Јовановић
Наслов рада, НР: VaR
Језик публикације, ЈП: српски
Језик извода, ЈИ: енглески
Земља публиковања, ЗП: Р. Србија
Уже географско подручје, УГП: Р. Србија
Година, ГО: 2015.
Издавач, ИЗ: ауторски репринт
Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.
Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)
61 стр.
Научна област, НО: математика
Научна дисциплина, НД: примењена математика
Предметна одредница/Кључне речи, ПО: вредност под ризиком,управљање ризиком, портфолио, диверсификација
УДК 519.2:65.012.32:368.021.62
Чува се, ЧУ: библиотека
Важна напомена, ВН:
Извод, ИЗ: У овом раду су дате основе теорије на којој је развијена VaR методологија. VaR сумира изложеност финансијске институције тржишном ризику и описује квантил расподеле губитака портфолија у датом временском периоду. VaR је најпознатији и најраспрострањенији алат за управљање ризиком. Представљене су различите методе за израчунавање VaR-а и њихове предности и мане, као и методе за процену адекватности и прецизности VaR модела.
Датум прихватања теме, ДП:
Q4.16.01 - Izdawe 1
Датум одбране, ДО:
Чланови комисије, КО: Председник:
Члан:
Члан, ментор:
Образац Q4.09.13 - Издање 1
Прилог 5/2
ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
НИШ
KEY WORDS DOCUMENTATION
Accession number, ANO:
Identification number, INO:
Document type, DT: monograph
Type of record, TR: textual / graphic
Contents code, CC: Master’s thesis
Author, AU: Milena Stišić
Mentor, MN: Miljana Jovanović
Title, TI:
VaR
Language of text, LT: Serbian
Language of abstract, LA: English
Country of publication, CP: Republic of Serbia
Locality of publication, LP: Serbia
Publication year, PY: 2015
Publisher, PB: author’s reprint
Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.
Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)
61 p.
Scientific field, SF: mathematics
Scientific discipline, SD: applied mathematics
Subject/Key words, S/KW: Value at Risk, risk management, portfolio, diversification
UC 519.2:65.012.32:368.021.62
Holding data, HD: library
Note, N:
Abstract, AB: This paper presents the basic theory upon which VaR methodology has been developed. VaR summarizes the exposure of financial institutions to market risk and describes the quantile of the distribution of portfolio losses over the target horizon. VaR is the best known and most widely used tool for risk management. A variety of methods were introduced for calculating VaR along with their advantages and disadvantages, as well as methods for assessing the adequacy and accuracy of the VaR model.
Accepted by the Scientific Board on, ASB:
Defended on, DE:
Defended Board, DB: President:
Member:
Member, Mentor:
Образац Q4.09.13 - Издање 1