mat a - srednja.hr17.1. 250iz prve posude u kojoj je litara vode voda istječe brzinom 3 litre u...

1

MAT A D-S045

12

MATEMATIKAviša razina

MAT A

MATA.45.HR.R.K1.28

2

MAT A D-S045

99

Matematika

Prazn

a st

rani

ca

3

MAT A D-S045

(Marko Marulić) Petar Preradović

OPĆE UPUTE

Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih.Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.Nalijepite identifikacijske naljepnice na sve ispitne materijale koje ste dobili u sigurnosnoj vrećici.Ispit traje 180 minuta.Ispred svake skupine zadataka uputa je za rješavanje. Pozorno je pročitajte.Pri računanju možete upotrebljavati list za koncept koji se neće bodovati.Upotrebljavajte isključivo kemijsku olovku kojom se piše plavom ili crnom bojom.Možete upotrebljavati priloženu knjižicu formula.Pišite čitko. Nečitki odgovori bodovat će se s nula (0) bodova.Ako pogriješite u pisanju, pogreške stavite u zagrade, precrtajte ih i stavite skraćeni potpis. Zabranjeno je potpisati se punim imenom i prezimenom.Kada riješite zadatke, provjerite odgovore.

Želimo Vam mnogo uspjeha!

Ova ispitna knjižica ima 28 stranica, od toga 4 prazne.

99

Ako ste pogriješili u pisanju odgovora, ispravite ovako:

a) zadatak zatvorenoga tipa

b) zadatak otvorenoga tipa

Ispravno NeispravnoIspravak pogrešnoga unosa

Precrtan netočan odgovor u zagradama Točan odgovor Skraćeni potpis

Skraćeni potpisPrepisan točan odgovor

4

MAT A D-S045

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

I. Zadatci višestrukoga izbora U sljedećim zadatcima od više ponuđenih odgovora samo je jedan točan.Pri računanju možete pisati i po stranicama ispitne knjižice.Točne odgovore morate označiti znakom X na listu za odgovore. U zadatcima od 1. do 15. točan odgovor donosi jedan bod.

1. Koji od navedenih brojeva nije ispravno zaokruženi broj 4.5726?

A. 5B. 4.6C. 4.58D. 4.573

2. Koja je od navedenih točaka udaljena od točke ( )12,8T − za 5?

A. ( )17,8−

B. ( )5,8

C. ( )12,5−

D. ( )12, 17− −

3. Ako je 2vQvB m

R= ⋅ , čemu je jednako R?

A. vRmQB

=

B. mvRQB

=

C. QBR mv

=

D. QBRmv

=

5

MAT A D-S045

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

4. Odredite jednadžbu simetrale dužine AB ako su A 1 2,( ) i B −( )3 4, .

A. y x= +1

2

5

2

B. y x= +1

2

7

2

C. y x= +2 5

D. y x= +2 7

5. Kojoj je od navedenih nejednadžba rješenje interval −9 3, ?

A. x − <6 3

B. x − <3 6

C. x + <6 3

D. x + <3 6

6. Duljine dviju stranica trokuta iznose 12 cm i 17 cm, a mjera kuta nasuprot duljoj stranici 63°. Kolika je mjera kuta nasuprot kraćoj stranici?

A. 35°13′B. 38°58′C. 44°28′D. 51°02′

6

MAT A D-S045

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

7. Kojoj je linearnoj kombinaciji vektora a i

b prikazanih na slici jednak vektor c ?

A.

c a b= − + 2

B.

c a b= − 2

C.

c a b= − +2 2

D.

c a b= −2 2

8. Duljine stranica trokuta iznose 12.5 cm, 10 cm i 8.5 cm. Duljina najduže stranice njemu sličnoga trokuta iznosi 20 cm. Koliki je omjer površina zadanoga i njemu sličnoga trokuta?

A. 0.311B. 0.391C. 0.621D. 0.645

7

MAT A D-S045

Matematika

0101

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

9. Koliki je argument kompleksnoga broja z ii

= − +1?

A. π4

B. π2

C. 3π2

D. 5π4

10. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe 5 7 5 250 02 1x x− ⋅ + =+ ?

A. 2.32B. 2.74C. 3.15D. 3.43

8

MAT A D-S045

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

11. Zadana je funkcija f x x( ) sin= −

2 32

π. Koja je od navedenih tvrdnja za

maksimalnu vrijednost funkcije f istinita?

A. Maksimalna je vrijednost funkcije 2 i postiže se za x = π3

.

B. Maksimalna je vrijednost funkcije 2 i postiže se za x = π2

.

C. Maksimalna je vrijednost funkcije 3 i postiže se za x = π3

.

D. Maksimalna je vrijednost funkcije 3 i postiže se za x = π2

.

12. Zadane su funkcije f x x1

3( ) = − i f x x x2 ( ) = − + . Čemu je jednaka kompozicija

funkcija f f f=2 1 ?

A. f x x x( ) = + −3

B. f x x x( ) = − + −3 3

C. f x x x( ) = − +3 2

D. f x x x( ) = − + −3 3

9

MAT A D-S045

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

13. Na slici su prikazani grafovi funkcija f i g. Koji je od navedenih umnožaka negativan?

A. f g0 0( )⋅ ( )B. f g1 1( )⋅ ( )C. f g3 3( )⋅ ( )D. f g4 4( )⋅ ( )

10

MAT A D-S045

Matematika

01

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

14. U drvoredu je 238 stabala. Između prvoga i drugoga stabla posađena su 2 grma, između drugoga i trećega stabla posađen je 1 grm i dalje su naizmjenično redom posađena po 2 grma ili 1 grm. Koliko je ukupno grmova posađeno između prvoga i zadnjega stabla?

A. 316B. 317C. 356D. 357

15. U nekome skupu brojeva 25 % ih je negativnih ili jednakih 0, a 65 % manjih ili jednakih 10. Čemu je u tome skupu jednak omjer broja pozitivnih brojeva manjih ili jednakih 10 i broja onih brojeva većih od 10?

A. 5 : 7B. 5 : 13C. 8 : 7D. 13 : 7

11

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

II. Zadatci kratkoga odgovora

U sljedećim zadatcima odgovorite kratkim odgovorom.Pri računanju upotrebljavajte list za koncept koji se neće bodovati.Odgovore upišite samo na predviđeno mjesto u ispitnoj knjižici.Ne popunjavajte prostor za bodovanje.

16. Riješite zadatke.

16.1. Odredite najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa 60 i sa 168. Odgovor: ________________________

16.2. Rastavite izraz x x−( ) − −( ) +7 10 7 242

na linearne faktore s cjelobrojnim koeficijentima. Odgovor: __________________________


17.1. Iz prve posude u kojoj je 250 litara vode voda istječe brzinom 3 litre u minuti. Druga se prazna posuda puni vodom brzinom 2 litre u minuti. Nakon kojega će vremena u objema posudama biti jednaka količina vode? Odgovor: __________________________ min

17.2. U četirima kombijima i šest autobusa ima ukupno 356 sjedala, a u dvama kombijima i osam autobusa 448 sjedala. Za koliko je više sjedala u autobusu nego u kombiju? Napomena: Svi autobusi imaju jednaki broj sjedala i svi kombiji imaju jednaki broj sjedala. Odgovor: __________________________

12

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod


18.1. Riješite sustav linearnih nejednadžba 2 3 5

4 7

xx

+ <− ≤

i napišite rješenje u obliku intervala. Odgovor: __________________________

18.2. Koji je rezultat do kraja sređenoga izraza xx

xx

−+

⋅ +−

+3

2 4

2

92

2

za sve x za koje je izraz definiran? Odgovor: __________________________


19.1. Napišite koordinate nekih dviju točaka grafa funkcije f x x( ) = + −3 2 koje imaju istu ordinatu. Odgovor: __________________________

19.2. Odredite sjecište grafa funkcije f x x( ) = +10 4 s osi y.

Odgovor: __________________________

13

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod


20.1. Tijekom školske godine Marko piše šest pisanih provjera i u svakoj od njih može ostvariti najviše 50 bodova. U prvim dvjema provjerama ostvario je po 42 boda, u trećoj 35 i u četvrtoj 38 bodova. Koliko najmanje bodova mora ostvariti u petoj provjeri kako bi mu prosječni broj bodova svih šest provjera mogao biti 40? Odgovor: __________________________

20.2. Automobil je kupljen početkom 2015. godine. Njegova se vrijednost stalno smanjuje tako da je na kraju svake godine za osminu vrijednosti manja od vrijednosti koju je imao na početku te godine. Tijekom koje će godine vrijednost automobila biti prvi put manja od četvrtine kupovne cijene? Odgovor: __________________________


21.1. Žarišta elipse i dva njezina tjemena vrhovi su kvadrata kojemu je dijagonala

duljine 14 2 . Odredite jednadžbu te elipse. Odgovor: __________________________

21.2. Odredite jednadžbe asimptota hiperbole 25 16 4002 2x y− = .

Odgovor: __________________________

14

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

bod

0

1

2

bod


22.1. Oko bunara promjera 1.2 m treba napraviti betonsku ploču kojoj je vanjski rub kvadrat čija je duljina stranice 2 m kao što je prikazano na skici. Debljina te ploče treba biti 5 cm. Jedna vreća suhoga betona dovoljna je za 12.5 litara (dm3) betona. Koliko je najmanje vreća potrebno kupiti za betoniranje te ploče?

Odgovor: __________________________

22.2. Stožac i valjak imaju baze jednakih polumjera. Koliko je puta visina stošca veća od visine valjka ako su im volumeni jednaki? Odgovor: __________________________

15

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod


23.1. Riješite jednadžbu 2 5 4kx k x+ = − u kojoj je k realan broj, k ≠ −2 . Odgovor: x = __________________________

23.2. Odredite sva rješenja jednadžbe tg2 3 0x − = . Odgovor: __________________________


24.1. Za koji x funkcija f x x x( ) = −2

5

4

postiže najmanju vrijednost? Odgovor: x = __________________________

24.2. Koliko znamenaka ima broj 8 53 4n n⋅ + gdje je n prirodan broj?

Odgovor: __________________________

16

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod


25.1. Na skici je prikazan pravokutnik ABCD duljina stranica AB = 7 cm i

BC = 3 cm. Na stranici AB bliže točki B nalazi se točka E tako da je

∠ = °CED 90 . Kolika je duljina dužine AE ?

Odgovor: |AE|= __________________________ cm

25.2. Dvije točke A i B nalaze se s različitih strana jedne ravnine i međusobno

su udaljene 13 cm. Duljina ortogonalne projekcije dužine AB na tu ravninu iznosi 5 cm. Ako je točka A udaljena 4 cm od te ravnine, koliko je od te ravnine udaljena točka B? Odgovor: __________________________ cm

25.3. Kolika je duljina vektora 1

2

a ako je

a i j= −4 6 ?

Odgovor: 1

2

a = __________________________

17

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

0

1

2

bod

0

1

2

bod


26.1. Zadana je funkcija ( ) 2 37 7

f x x= − .

Za koji je x vrijednost funkcije f x( ) za 2 veća od f 12( )? Odgovor: x = __________________________

26.2. Odredite domenu funkcije f xxx

( ) =−( )

+log 13

52

. Odgovor: __________________________

26.3. Na slici je prikazan dio grafa parne funkcije f definirane na intervalu −[ ]4 4, . Nacrtajte dio grafa funkcije f koji nedostaje.

18

MAT A D-S045

Matematika

0

1

2

bod

02

0

1

bod

0

1

bod

0

1

bod


27.1. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije f x x x( ) = + +32 1

u točki s apscisom x01= .

Odgovor: __________________________

27.2. Odredite derivaciju funkcije f x x( ) = −

cosπ49 .

Odgovor: ′ ( ) =f x __________________________

27.3. Funkciju f x x x x x( ) = −( )⋅ ⋅122 2

cos sin sin cos napišite u obliku A Bxsin gdje su A i B realni brojevi.

Odgovor: f x( ) = __________________________

28. Odredite sva rješenja jednadžbe x x x

x x+( ) −( ) +( )

+ +=

5 7 1

2 10

2

2.

Odgovor: __________________________

19

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

III. Zadatci produženoga odgovora

U 29. i 30. zadatku napišite kemijskom olovkom postupak rješavanja i odgovor na predviđeno mjesto u ispitnoj knjižici. Prikažite sav svoj rad (skice, postupak, račun). Ako dio zadatka riješite napamet, objasnite i napišite kako ste to učinili. Ne popunjavajte prostor za bodovanje.


29.1. Za neki prirodan broj n brojevi n n n n2

3 36

2

1

2

2

− + +

, , su prva tri člana

aritmetičkoga niza. Koliki je zbroj prvih 25 članova toga niza? Odgovor: _________________________

20

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

29.2. U trgovini su snizili cijenu proizvoda za onoliko posto koliko iznosi cijena toga proizvoda u kunama. Ako je nova cijena proizvoda 21.76 kn, koje su sve moguće cijene toga proizvoda prije sniženja? Odgovor: ________________________________

21

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

bod

29.3. Bočne strane pravilne šesterostrane prizme prikazane na skici su kvadrati površine 36 cm2. Na tu je prizmu postavljena pravilna šesterostrana piramida iste baze, a površina pobočja piramide jednaka je površini pobočja prizme. Koliki je kut između ravnine baze i bočne strane piramide?

Odgovor: ________________________________

22

MAT A D-S045

Matematika

0202

0

1

2

3

bod

29.4. Riješite jednadžbu a a a aa

x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =2 4 82 3 17

log log log

za pozitivan realan broj a različit od 1. Odgovor: ________________________________

23

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

3

bod

29.5. Neke od kvadratnih funkcija čiji grafovi prolaze i točkom A −( )1 18, i točkom B 1 2,( ) poprimaju samo pozitivne vrijednosti. Koje su sve moguće vrijednosti vodećega koeficijenta a tih funkcija? Odgovor: ________________________________

24

MAT A D-S045

Matematika

02

30. Zadani su pravci x = − 4 i x = 0 i kružnica x y+( ) + −( ) =2 3 202 2

. Kolika je površina lika omeđenoga kružnicom koji se nalazi između zadanih pravaca?

25

MAT A D-S045

Matematika

02

0

1

2

3

4

bod

Odgovor: ________________________________

26

MAT A D-S045

Matematika

99

Prazn

a st

rani

ca

27

MAT A D-S045

Matematika

99

Prazn

a st

rani

ca

28

MAT A D-S045

Matematika

99

Prazn

a st

rani

ca

MATEMATIKA A - Ključ za odgovore, ljetni rok 2019.

MATEMATIKA VIŠA RAZINA

1. C 2. A 3. B 4. C

5. D 6. B 7. A 8. B

9. D 10. D 11. A 12. B

13. C 14. C 15. C

16.1. 840

16.2.

11 13x x

17.1. 50

17.2. 46

18.1.

3,1

18.2.

4 13

2 3

x

x

19.1. primjerice: (–1,0), (–5,0);

1, , 5, , 2y y y y y

19.2.

0,5

20.1. 33

20.2. 2025.

21.1. 2 2

1196 98

x y ili

2 2

198 196

x y

21.2.

5

4y x

22.1. 12

22.2. 3

23.1.

5

2 4

k

k

23.2. π

π,3

x k k Z

24.1.

1

2

24.2. 3n+3

25.1. 5.3

25.2. 8

25.3.

13

26.1. 19

26.2.

13,

26.3.

27.1.

5 1y x 27.2.

π9sin 9

4x

27.3. 3sin 4x

28. –5, 7

29.1. 3450

29.2. 32 kn, 68 kn

29.3. 64° 20' 28''

29.4. Jednadžba nema rješenja.

29.5. 2 8a

30. 34.55

Nacionalni centarza van jsl<o vrednovan jeobrazovanja

ISPIT DRZAVNE MATURE

MATEMATIKA - vi5a razina

M

A

T

A

List za odgovore Sifra moderatora: D-S045

1. A B cx DOstale zadatke rije5ite

u ispitnojknjiZici.Popunjava ocjenjivad.

251. O

25.2.0

25.3.0

26.1. 0

26.2.0

26.3. 0

27.1. O

27.2. 0

27.3. O

28. 0

29.1. O

29.2.0

29.3.0

29.4.0

29.5. 0

30. 0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

I

I

1

1

1

1

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

2NO2NO2NO2NO23NO23NO

234NO

2, AX B

3.A4.A5.A6.4

BX C D

B C'x D

B C DXBX C D

16.1. 0

16.2.0

17.1. O

17.2. 0

18.1 . 0

18.2. O

19.1 . 0

19.2. O

zAi. O

20.2.0

21.1. O

21.2. 0

22.1. 0

22.2.0

23.1. 0

23.2.0

24.1. O

24.2.0

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

NO

7. AX B

8.A9.4

10. A

Bx c D

B C DXB C DX

11. Ax B

12. A13. A14. A

',5. A

BX c D

B CK D

B CX D

B CX D

Sifra ocjenjivada:

MATA.4s.HR.R.L1.O1

ilil Iilll lllllilllt]l3551 2

NE FOTOKOPIRATIOBRAZAC SE EITA OPTIEKI

NE PISATI PREKOPOLJA ZA ODGOVORE Oznadavati ovako: I MATA

MAT T A

1

12

MATEMATIKAviša razina

KNJIŽICA FORMULA

MAT A

MATA.45.HR.R.T2.08

MAT T A

2

99

MatematikaKnjižica formula

F O R M U L E

• Kvadratna jednadžba:

• Vièteove formule:

• Tjeme parabole:

•

a a a a a a a aa

a a am n m n m n m n mm

nmnm⋅ = = ≠ = ≠ =+ − −, : ( ), ( ),0

10•

• ( ) ,a b a ab b± = ± +2 2 22 ( )a b a a b ab b± = ± + ±3 3 2 2 33 3

• a b a b a b2 2− = − +( )( ), a b a b a ab b3 3 2 2± = ± +( )( )

• ( ) ... ...a b ana b

nka b

nn

an n n n k k+ = +

+ +

+ +−

− −

1 1

1 bb bn n− +1

ax bx c a x b b aca

2

1 2

2

0 04

2+ + = ≠ ⇒ = − ± −

, ,

x x bax x c

a1 2 1 2+ = − ⋅ =,

T ba

ac ba

− −

2

4

4

2

,

• b a x axb= ⇔ = log , log

log

bx xb x b b= =

• log ( ) log log , log log log , log log , logb b b b b b by

b axy x y xy

x y x y x= + = − = xx xa

b

b

=log

log

zz

rr

i z r n i nn n1

2

1

21 2 1 2= − + − = +( ( ) sin( )), (cos sin ),cos φ φ φ φ φ φ

2 2z r kn

i kn

k nn n= +

+ +

= −cos sin , , ,...,0 1 1φ π φ π

zz

rr

i z r n i nn n1

2

1

21 2 1 2= − + − = +( ( ) sin( )), (cos sin ),cos φ φ φ φ φ φ

2 2z r kn

i kn

k nn n= +

+ +

= −cos sin , , ,...,0 1 1φ π φ π

a a a a a a a aa

a a am n m n m n m n mm

nmnm⋅ = = ≠ = ≠ =+ − −, : ( ), ( ),0

10a a a a a a a a

aa a am n m n m n m n m

mnm

nm⋅ = = ≠ = ≠ =+ − −, : ( ), ( ),0

10

• Standardni zapis kompleksnog broja: i2 1= −z a bi a b= + ∈, , R , , z a bi= − , z a b= +2 2

• Trigonometrijski zapis kompleksnog broja: z r i= +( ) ∈[cos sin , ,ϕ ϕ ϕ π0 2 ,

z z rr i1 2 1 2 1 2 1 2⋅ = +( ) + +( )( )cos sinϕ ϕ ϕ ϕ

,nk

nk n k

=−( )!

! !

MAT T A

3

99


• Površina trokuta:

B = površina osnovke (baze), P = površina pobočja, h = duljina visine

r = polumjer osnovke s = duljina izvodnice

r = polumjer kugle

• Površina trapeza:

• Duljina kružnoga luka:

• Opseg kruga:

• Površina kružnoga isječka:

• Obujam (volumen) prizme i valjka:

• U pravokutnome trokutu:

sinus kuta = duljina nasuprotne katete , kosinus kuta = duljina priležeće katete

,

duljina hipotenuze duljina hipotenuze

tangens kuta = duljina nasuprotne katete duljina priležeće katete

• Obujam (volumen) kugle:

• Oplošje prizme i valjka:

• Oplošje piramide:

• Oplošje stošca:

• Oplošje kugle:

• Obujam (volumen) piramide i stošca:

• Površina kruga:

• Površina paralelograma:

• Jednakostraničan trokut:

P a v P s s a s b s c s a b ca=⋅

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − = + +2 2, ( ) ( ) ( ),

P ab P abcr

P r s= = =sino

uγ

2 4, ,

P a v a r v r vu= = = =2 3

4

3

2

2

3

1

3, , ,o

P a v= ⋅ P a c v= + ⋅2

P r= 2π O r= 2 π

P r=2

360πα

l r= πα180

V B h= ⋅ O B P= +2

V B h= ⋅1

3O B P= +

O r r s= +2π π

V r= 43

3π O r= 4 2π,

MAT T A

4

99


• Poučak o sinusima: • Poučak o kosinusima:a b csin sin sinα β γ

= = c a b ab2 2 2 2= + − cos γ

• sin cos , tgsin

cos

2 2 1x x x xx

+ = =

sin sin cos , cos cos sin2 2 2 2 2x x x x x x= = −•

sin( ) sin cos sin cosx y x y y x± = ±•

cos( ) cos cos sin sinx y x y x y± =

tg( )tg tg

tg tgx y x y

x y± = ±

⋅1

sin sin sin cos , sin sin cos sinx y x y x y x y x y x y+ = + − − = + −2

2 22

2 2•

cos cos cos cos , cos cos sin sinx y x y x y x y x y x y+ = + − − = − + −2

2 22

2 2

• sin sin cos( ) cos( )x y x y x y= − − +[ ]1

2

cos cos cos( ) cos( )x y x y x y= − + +[ ]1

2

sin cos sin( ) sin( )x y x y x y= − + +[ ]1

2

sin ,π6

1

2=• sin ,

π4

2

2= sin

π3

3

2=

MAT T A

5

99


• Udaljenost točaka

• Polovište dužine

• Vektor

• Skalarni umnožak vektora:

• Jednadžba pravca:

• Kut α između dvaju pravaca:

• Udaljenost točke T (x1, y1) i pravca p...

T T d T T x x y y1 2 1 2 2 1

2

2 1

2, : ( , ) ( ) ( )= − + −

TT x x y yP1 21 2 1 2

2 2: ,

+ +

TT TT a x x i y y j a i a j1 2 1 2 2 1 2 1 1 2: ( ) ( )= = − + − = +

a b a b a b a b a b� � � � � �

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = +cos ,α 1 1 2 2

y y k x x k y yx x

− = − = −−1 1

2 1

2 1

( ),

tgα = −+k kk k

2 1

1 21

Ax By C d T pAx By C

A B+ + = =

+ +

+0

1 1

2 2: ( , )

TT TT a x x i y y j a i a j1 2 1 2 2 1 2 1 1 2: ( ) ( )= = − + − = +

MAT T A

6

99


Krivulja drugoga reda Jednadžba Tangenta u točki krivulje (x1,y1)

Kružnica središte S p( , )q ( ) ( )x p y q r− + − =2 2 2 ( )( ) ( )( )x p x p y q y q r1 1

2− − + − − =

Elipsafokusi F e

e a b1 2

2 2 2

0, ( , )±

= −

xa

yb

2

2

2

21+ =

x xa

y yb

1

2

1

21+ =

Hiperbola

fokusi F e

e a b1 2

2 2 2

0, ( , )±

= +

asimptote y bax= ±

xa

yb

2

2

2

21− =

x xa

y yb

1

2

1

21− =

Parabola

fokus Fp20,

direktrisa x p= −2

y px2 2= y y p x x1 1= +( )

• Uvjet dodira pravca y kx l= + i kružnice: r k kp q l2 2 21( ) ( )+ = − +

MAT T A

7

99


• Aritmetički niz:

• Geometrijski niz:

• Geometrijski red:

• Derivacija umnoška:

• Derivacija kompozicije:

• Tangenta na graf funkcije

• Derivacije:

• Derivacija kvocijenta:

a a n d S n a an n n= + − ⋅ = +1 112

( ) , ( )

a a q S a qqn

nn

n

= ⋅ = −−

−1

1

1

1

1,

S aq

q=−1

11, <

( )f g f g f g⋅ ⋅ + ⋅′ = ′ ′ fg

f g f gg

= ⋅ − ⋅′ ′ ′2

( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x ′ ′ ′= ⋅

f y y y f x x xu ( , ) : ( ) ( )T x1 1 1 1 1− = ⋅ −′

c′ = 0 (x ) ,n nn x n′ = ⋅ ≠−1 0 (sin ) cosx x′ = (cos ) sinx x′ = − (tg )cos

xx

′ = 12

MAT T A

8

Matematika

99

Prazn

a st

rani

ca

mat a - srednja.hr17.1. 250iz prve posude u kojoj je litara vode voda istječe brzinom 3 litre u...

Documents