Mat. Juan Jiménez Krassel

¿Qué es el conocimiento matemático?◦ Se mueve entre dos posiciones, por un lado, su

naturaleza histórica y por otra, los objetos matemáticos actuales.

◦ Pudiera pensarse que el conocimiento matemático actual se ocupa de estructuras y sus propiedades, lo que implica poner el acento principal en cuestiones lógicas.

◦ Dichas estructuras pueden apreciarse por su belleza y abstracción, como ocurre con otros productos de la creatividad humana, pero también por el servicio que brindan a las demás ciencias, por sus posibilidades de aplicación.

¿Cómo se adquiere dicho conocimiento?◦ Directa. Mediante la intuición, un conocimiento

creativo y subjetivo: Razonamiento empírico.

◦ Reflexiva. Mediante la lógica, un conocimiento analítico y reflexivo: Razonamiento deductivo.

Razonamiento empíricoRazonamiento empírico

◦ El razonamiento empírico puede describirse como la formulación de las conclusiones que se basan en la experiencia y en la observación.

◦ El razonamiento empírico contiene a menudo manipulaciones pesadas con casos especiales, observación de coincidencias y el empleo frecuente de la analogía, la experiencia a una buena suposición, la experimentación considerable y los destellos de intuición.*

*Estudio de las Geometrías: Howard Eves

Razonamiento deductivoRazonamiento deductivo Platón filósofo griego en su obra La

República describe la contraposición entre la realidad y el conocimiento e incluye pasajes en los que establece que la matemática (y todo razonamiento lógico) necesita apoyarse en presupuestos previos y en lo que llama el conocimiento discursivo descendente, de lo que se presupone a lo que se deduce.

El cálculo inicia por determinar el área de la base: 4×4 = 16.

Se encuentra el área de la tapa: 2×2 = 4.

Después se computa el producto del lado de la base por el lado de la tapa: 4×2 = 8. Estos números se suman y se obtiene 28.

Ahora se toma un tercio de la altura, es decir, 2. Finalmente se toman el producto de un tercio de la altura y 28 y el escriba anota: Miren que da 56.

Naturaleza empíricaNaturaleza empírica

La primera obra conocida de naturaleza deductiva son los Elementos de Euclides.

Naturaleza deductivaNaturaleza deductiva

Para establecer la verdad de proposiciones. Para comunicar verdades matemáticas. Para construir técnicas para resolver cierto

tipo de problemas. Sistematización de resultados. Descubrimiento

La intuición es un elemento importante al demostrar una proposición.

Formular conjeturas, elaborar generalizaciones, plantear hipótesis.

La intuición puede llevarnos a resultados poco confiables, por tanto, es imprescindible demostrar lo que la intuición nos proporciona.

El razonamiento inductivo se basa en la elaboración de conjeturas e hipótesis que, a partir de un conjunto de observaciones, conducen a la generalización de propiedades. Probar una propiedad requiere de la deducción que la independiza de la experiencia y la torna universal.

El razonamiento deductivo. A partir de un sistema axiomático, se elaboran cadenas de argumentos que permiten establecer la validez de proposiciones matemáticas.

El principio básico consiste en determinar el valor de verdad de proposiciones del tipo “Si A entonces B”

Antes de los griegos.◦ Las matemáticas conocidas eran tratados sobre

formulas y procedimientos que permitían resolver problemas, sin necesidad de una demostración.

La matemática griega.◦ Es el primer ejemplo de sistematización de las

matemáticas conocidas, así como del uso del razonamiento deductivo en las demostraciones matemáticas.

Dada una proposición de la forma “ Si A entonces B”, llamamos a A hipótesis y a B conclusión. Así, la idea de demostrar una proposición del tipo anterior, consiste en suponer que A es verdadero, y al construir una cadena de argumentos, obtener que B es verdadero.

Una manera de hacerlo es pensar “de adelante para atrás”. Es decir, pensemos que B es verdadero y en las posibles formas equivalentes (en términos de verdad) de la proposición B, de forma que resulte más simple obtener la conclusión.

Otra manera es la de ir “de atrás para adelante”, suponiendo que A es verdadero, obtener proposiciones equivalentes a A encaminadas a probar que B es verdadero.

Demostrar que:◦ Si n es un entero par, entonces el cuadrado de n

también es par. ◦ Si n es un entero para el cuál entonces

3n2 2n 8 0

2n2 3n 2

Otro método para demostrar proposiciones matemáticas es utilizando la equivalencia lógica de la proposición “si A entonces B” con la de “si no B entonces no A”, conocido como contrapositiva, y aplicando los métodos anteriores.

Demuestre que si c es un entero impar, entonces la solución de

es impar.

n2 n c 0

Otro método para demostrar proposiciones es el de “reducción al absurdo”. En este método se trata de suponer que A es verdadero y que no B también es verdadero, de donde se obtiene una contradicción.

Demuestre que raíz cuadrada de 2 es un número no racional.

El método de inducción matemática consiste en probar que una propiedad es verdadera para el conjunto de los números naturales, haciendo uso de lo siguiente: Si A es un subconjunto de los números naturales que cumple: 1) el 1 pertenece al conjunto A y 2) si k esta en A entonces k+1 también esta en A, entonces A es el conjunto de los números naturales.