Mokinių matematikos olimpiados

rajono etapo užduotys 11-12 klasei

2011 m.

1. Natūralieji skaičiai m ir n tenkina lygybę Įrodykite, kad m + n yra

natūraliojo skaičiaus kvadratas. (5 taškai)

2. Vienas iš penkių mamos sūnų nupirko jai gėlių. Mamos klausiami, kuris tai padarė, sūnūs iš eilės

atsakė štai ką:

Adomas: Gėles nupirko Domas arba Tomas.

Domas: Nei aš, nei Rimas gėlių nepirkome.

Tomas: Adomas ir Domas abu ką tik sumelavo.

Romas: Ne, sumelavo lygiai vienas iš jų.

Rimas: Romai, tu pats ką tik sumelavai.

O jų sesuo Rima pasidžiaugė, kad daugiau nei pusė jos brolių pasakė tiesą. Žinodami, kad Rima

niekada nemeluoja, nustatykite, kas nupirko mamai gėlių. (5 taškai)

3. Dviejų natūraliųjų skaičių sandauga yra natūraliojo skaičiaus kvadratas.

a) Įrodykite, kad tų dviejų skaičių skirtumas negali būti lygus 2.

b) Kokie gali būti tie du skaičiai, jei skirtumas tarp jų lygus 3? Raskite visus variantus. (5 taškai)

4. Trikampio ABC kraštinėse BC, CA, AB atitinkamai pažymėti taškai A1, B1, C1 (nesutampantys su

tų kraštinių galais). Atkarpos AB ir A1B1 lygiagrečios; lygiai taip pat BC||B1C1 bei CA||C1A1.

Įrodykite, kad A1,B1,C1 yra trikampio ABC kraštinių vidurio taškai. (5 taškai)

5. Karlsonas Mažylio gimtadienį šventė dvi dienas ir Mažylis jį vaišino uogiene bei tortu. Antrąją

dieną Mažylis davė Karlsonui daugiau uogienės ir mažiau torto nei pirmąją, bet Karlsono per

dieną suvalgyto maisto svoris nepakito. Karlsonas su apmaudu nustatė, kad jei antrąją dieną

Mažylis uogienės kiekį (kilogramais) būtų padidinęs tiek nuošimčių, keliais jis sumažino torto

kiekį, o torto kiekį sumažinęs tiek nuošimčių, keliais padidino uogienės kiekį, tai bendras

Karlsono suvalgyto maisto svoris būtų padidėjęs 50%. Dar daugiau, jei antrąją dieną Mažylis būtų

uogienės kiekį padidinęs tiek kartų, kiek jis sumažino torto kiekį, o torto kiekį sumažinęs tiek

kartų, kiek jis padidino uogienės kiekį, tai bendras maisto svoris būtų padidėjęs net 220%. Keliais

nuošimčiais antrąją dieną Mažylis realiai padidino uogienės kiekį palyginti su pirmąja diena?

(5 taškai)

Mokinių matematikos olimpiados

rajono etapo užduotys 9-10 klasei

2011 m.

1. Ar įmanoma sveikuosius skaičius nuo -7 iki 7 (įskaitant 0) surašyti ratu taip, kad bet kurių

dviejų gretimų skaičių sandauga būtų neneigiamas skaičius? (5 taškai)

2. Dviejų natūraliųjų skaičių m ir n mažiausias bendrasis kartotinis 8 kartus didesnis už tų skaičių

didžiausią bendrąjį daliklį. Įrodykite, kad m dalijasi iš n arba n dalijasi iš m.

(5 taškai)

3. Lygiašonio trikampio ABC pagrindo kraštinėje AC duotas taškas D (D ≠ A, D ≠ C). Taškas E

priklauso pagrindo AC tęsiniui už taško C, t. y. taškas C yra tarp taškų A ir E (žr. 1 PAV.). Be to,

AD = CE. Įrodykite, kad BD + BE > AB + BC. (5 taškai)

4. Duota lygtis x2 + 5y

3 — t

2, a) Ar šios lygties sveikųjų sprendinių aibė baigtinė? b) Ar šios

lygties natūraliųjų sprendinių aibė baigtinė? (5 taškai)

5. Iš natūraliųjų skaičių nuo 1 iki 99 išrenkamas toks 50 skaičių rinkinys, kad jokių dviejų

skirtingų to rinkinio skaičių suma nėra lygi nei 99, nei 100. a) Raskite bent vieną tokį rinkinį, b)

Raskite visus tokius rinkinius. (5 taškai)

B

1 PAV.