1v1.0

BÀI 4HÀM NHIỀU BIẾN

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn

2v1.0

1. Khái niệm hàm số nhiều biến số, giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiềubiến số.

2. Đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần.

3. Cực trị của hàm số - Cực trị có điều kiện.

LÝ THUYẾT

3v1.0

Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều ?3

a. (1;2)

b. (1;2;3)

c. (1)

d. (1;2;3;4)

VÍ DỤ 1

4v1.0

Trong các phần tử sau, phần tử nào là một điểm của không gian 3 chiều ?3

a. (1;2)

b. (1;2;3)

c. (1)

d. (1;2;3;4)

Hướng dẫn: Xem mục 4.1.1.1

Định nghĩa:

Mỗi bộ n số thực sắp thứ tự x1, x2, ..., xn được gọi là một điểm n chiều. Ta ký

hiệu điểm bởi chữ in hoa M(x1, x2, ..., xn).

VÍ DỤ 1 (tiếp theo)

5v1.0

Một điểm n chiều là:

a. Một bộ n số thực.

b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.

c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.

d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.

VÍ DỤ 2

6v1.0

Một điểm n chiều là:

a. Một bộ n số thực.

b. Một bộ n số thực sắp thứ tự.

c. Một bộ n số thực có hai thành phần bằng nhau.

d. Một bộ n số thực đều bằng nhau.

VÍ DỤ 2 (tiếp theo)

7v1.0

Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳngđịnh sau:

VÍ DỤ 3

a. Miền xác định của hàm số là

b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của

c. Miền giá trị của hàm số là

d. Miền giá trị của hàm số là tập con của

n

n

n

n

8v1.0

Hướng dẫn:

VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

9v1.0

Cho hàm số n biến f(M). Tìm khẳng định luôn luôn đúng trong các khẳngđịnh sau:

VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

Nhận xét:Sai lầm thường gặp: Không nắm được khái niệm hàm số nhiều biến, bị lẫn lộn giữa miền xác định và miền giá trị.

a. Miền xác định của hàm số là

b. Miền xác định của hàm số là tập hợp con của

c. Miền giá trị của hàm số là

d. Miền giá trị của hàm số là tập con của

n

n

n

n

10v1.0

Tập nào sau đây là miền xác định của hàm sốxy

z x. 1 yx y

a. x y 0, y 1

b. x y 0, y 1

c. x y 0, y 1

d. x y 0, y 1

VÍ DỤ 4

11v1.0

Tập nào sau đây là miền xác định của hàm sốxy

z x. 1 yx y

a. x y 0, y 1b. x y 0, y 1c. x y 0, y 1d. x y 0, y 1

Hướng dẫn: Khái niệm miền xác định (tr.73)Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thay vào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa.

VÍ DỤ 4 (tiếp theo)

Chú ý:

x y 0 x y 01 y 0 y 1

12v1.0

Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z ln(x y) x arcsin 1 y

a. x y 0 , y 1

b. x y 0 , y 1

c. x y 0 , 1 y 1

d. x y 0 , 0 y 1

VÍ DỤ 5

13v1.0

Tập nào sau đây là miền xác định của hàm số z ln(x y) x arcsin 1 y

a. x y 0 , y 1

b. x y 0 , y 1

c. x y 0 , 1 y 1

d. x y 0 , 0 y 1

VÍ DỤ 5 (tiếp theo)

14v1.0

Giới hạn của dãy điểm khi là:n 21 2n 3M ,

nn

a. (0; 0)

b. (0; 2)

c. (0; 2)

d. (1;1)

n

VÍ DỤ 6

15v1.0

Hướng dẫn:n 0n n

n n n 0 0n 0

n

lim x xM (x ;y ) M(x ;y )

lim y y

Nếu một trong 2 giới hạn không tồn tại thì

cũng không tồn tại

n nn nlim x , lim y

nnlim M

VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

16v1.0

Giới hạn của dãy điểm khi là:n 21 2n 3M ,

nn

a. (0; 0)

b. (0; 2)

c. (0; 2)

d. (1;1)

n

VÍ DỤ 6 (tiếp theo)

n2 2n n n

1 2n 3 1 2n 3lim 0; lim 2 lim M ; (0;2)n nn n

Nhận xét: Việc tính giới hạn của một dãy điểm n biến, thực chất là tính giới hạn của n dãy, một dãy ứng với 1 thành phần của điểm. Chỉ cần 1 trong các giới hạn đó không tồn tại thì cũng không tồn tại giới hạn của dãy điểm đó.

17v1.0

Giới hạn của dãy điểm khi là:2

n2 3 2nM ,n n n

a. (0;0)

b. (0; 2)

c. (0;2)

d.

n

Không tồn tại.

VÍ DỤ 7

18v1.0

Giới hạn của dãy điểm khi là:2

n2 3 2nM ,n n n

a. (0;0)

b. (0; 2)

c. (0;2)

d.

n

Không tồn tại.

VÍ DỤ 7 (tiếp theo)

2

n

3 2nlimn n

19v1.0

Cho hàm số . Tìm giới

hạn của dãy số khi , trong đó n2 1M ,n n

3a. 5

b. 0

5c. 3

d.

n

Không tồn tại.

2 2

2 2x yf(M) f(x, y)x y

nf(M )

VÍ DỤ 8

20v1.0

Cho hàm số . Tìm giới

hạn của dãy số khi , trong đó n2 1M ,n n

3a. 5

b. 0

5c. 3

d.

n

Không tồn tại.

2 2

2 2x yf(M) f(x, y)x y

nf(M )

VÍ DỤ 8 (tiếp theo)

2 2 2

n 2 2 22 /n 1 /n2 1 3n 3f(M ) f ,

n n 55n2 /n 1 /n

nn n

3 3lim f(M ) lim5 5

21v1.0

2 3z x y 2y yz '( 1,2)Cho hàm số . Khi đó, bằng:

a. 15

b. -20

c. 0

d. 25

VÍ DỤ 9

22v1.0

2 3z x y 2y yz '( 1,2)Cho hàm số . Khi đó, bằng:

a. 15

b. -20

c. 0

d. 25

VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

23v1.0

Hướng dẫn: Xem định nghĩa đạo hàm riêng (mục 4.2.2.1)

VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

Đạo hàm riêng:

Đạo hàm riêng thực chất là đạo hàm riêng theo một biến số khi tất cả cácbiến còn lại nhận giá trị cố định. Do đó khi tính đạo hàm riêng theo biến nàothì ta coi các biến còn lại như là hằng số, và tính đạo hàm theo biến đang xét.

24v1.0

2 3z x y 2y yz '( 1,2)Cho hàm số . Khi đó, bằng:

a. 15

b. -20

c. 0

d. 25

VÍ DỤ 9 (tiếp theo)

2 3 / 2 2y

/ 2 2y

z x y 2y z x 6y

z ( 1,2) ( 1) 6.2 25

Nhận xét:

Sai lầm thường gặp: Khi tính đạo hàm riêng, do thói quen thường coi x làbiến, nên khi đạo hàm theo biến y cũng đồng thời tiến hành đạo hàm theo biến x. Chẳng hạn với ,

tính / 2 / 3 / 2y

/ 2 / 2 / 3 / 2 2y

z (x ) y (2y ) 2xy 6y

hay z (x ) y x y (2y ) 2xy x 6y

2 3z x y 2y

25v1.0

xz e (cosy xsiny) yz '(1, )Cho hàm số . Khi đó, bằng:

1

1

a. e b. e

c. e

d. e

VÍ DỤ 10

26v1.0

xz e (cosy xsiny) yz '(1, )Cho hàm số . Khi đó, bằng:

1

1

a. e b. e

c. e

d. e

VÍ DỤ 10 (tiếp theo)

/ xy

/ 1y

z (x, y) e ( sin y x cos y)

z (1; ) e ( sin 1.cos ) e

27v1.0

Cho . Khi đó bằng:2 2z x y y x x yz ' z '

2 2

2 2

2 2

a. x y

b. 4xy

c. x y 4xy

d. x y

VÍ DỤ 11

28v1.0

Cho . Khi đó bằng:2 2z x y y x x yz ' z '

2 2

2 2

2 2

a. x y

b. 4xy

c. x y 4xy

d. x y

VÍ DỤ 11 (tiếp theo)

/ 2 / 2x y

/ / 2 2x y

z 2xy y ,z x 2xy

z z x y

29v1.0

a. y cos(xy)

b. x cos(xy)

c. y cos(xy)dx

d. x cos(xy)dx

VÍ DỤ 12

Cho z = sin(xy). Vi phân riêng của hàm số theo biến x là:

30v1.0

a. y cos(xy)

b. x cos(xy)

c. y cos(xy)dx

d. x cos(xy)dx

Hướng dẫn:

• Công thức vi phân riêng: / /x x y ydz z .dx; dz z .dy

• Vi phân toàn phần là tổng của tất cả các vi phân riêng:/ /

x y x ydz dz dz z .dx z .dy

VÍ DỤ 12 (tiếp theo)

Cho z = sin(xy). Vi phân riêng của hàm số theo biến x là:

/x xz y cos(xy) dz y cos(xy)dx

Không được thiếu dx

Chú ý:

31v1.0

a. sin2x sin2y dx dy

b. sin2xdx sin2ydy

c. sin2xdy sin2ydx d. sin2x sin2y

VÍ DỤ 13

Cho z = sin2x + sin2y. Vi phân toàn phần của hàm số là:

32v1.0

a. sin2x sin2y dx dy

b. sin2xdx sin2ydy

c. sin2xdy sin2ydx d. sin2x sin2y

VÍ DỤ 13 (tiếp theo)

Cho z = sin2x + sin2y. Vi phân toàn phần của hàm số là:

33v1.0

Cho . Khi đó bằng:2z x y / /x yz

a. 2x

b. 2y

c. 2xy

d. 4

VÍ DỤ 14

34v1.0

VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

Hướng dẫn:Đạo hàm riêng cấp cao:Cho hàm số u = f(x1, x2, ..., xn) có đạo hàm riêng theo các biến xi trong miền D.Khi đó các đạo hàm riêng fx1’ cũng là các hàm số của n biến số. Đạo hàm riêng theo biến xj của đạo hàm riêng cấp một fx1’ được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số u = f(x1, x2, ..., xn) theo biến xi và xj. Được ký hiệu là:

Với hàm hai biến ta có 4 đạo hàm riêng cấp 2:u u(x, y)// / / // / /xx x x xy x y

// / / // / /yx y x yy y y

u (u ) ; u (u )

u (u ) ; u (u )

2 2'' ''x x x xi j i j

i j i j

u fu fx x x x

35v1.0

Cho . Khi đó bằng:2z x y / /x yz

a. 2x

b. 2y

c. 2xy

d. 4

VÍ DỤ 14 (tiếp theo)

2 /x

// / /xy x y

z x y z 2xy

z (z ) 2x

Nhận xét: Tính đạo hàm riêng cấp cao của hàm nhiều biến, ta tính đạo hàm riêng lần lượt theo từng biến.

36v1.0

Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Điểm dừng của hàm sốthoả mãn (hệ) phương trình nào?

x

y

x y

a. z ' 0,z(x, y) 0

b. z ' 0,z(x, y) 0

c. z ' z ' 0

d. z(x, y) 0

VÍ DỤ 15

37v1.0

Cho hàm số z = z(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một. Điểm dừng của hàm sốthoả mãn (hệ) phương trình nào?

Hướng dẫn:

Với hàm số z = f(x,y), ta có các điểm dừng, có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình f’x = f’y = 0.

x

y

x y

a. z ' 0,z(x, y) 0

b. z ' 0,z(x, y) 0

c. z ' z ' 0

d. z(x, y) 0

VÍ DỤ 15 (tiếp theo)

38v1.0

Điểm dừng của hàm số là:2z ( x , y ) x 2 x y 2 y

a. (1, 1) b. (1,1)

c. ( 1,1)

d. ( 1, 1)

VÍ DỤ 16

39v1.0

Điểm dừng của hàm số là:2z ( x , y ) x 2 x y 2 y

a. (1, 1) b. (1,1)

c. ( 1,1)

d. ( 1, 1)

VÍ DỤ 16 (tiếp theo)

/x

/y

z 2x 2y 0 y 1x 1z 2x 2 0

40v1.0

Câu 1: Đối với hàm 2 biến có khái niệm giới hạn trái và giới hạn phải như hàm 1 biến không?

Trả lời: Không, vì với mỗi điểm trên trục số chỉ có 2 hướng tiến về nó (bên trái, bên phải), còn đối với một điểm trên mặt phẳng thì có vô số hướng tiến về nó.

Câu 2: Cực đại và giá trị lớn nhất có giống nhau không?

Trả lời: Không, cực đại là giá trị lớn nhất trong một lân cận nào đó của mộtđiểm (mang tính địa phương), còn giá trị lớn nhất là giá trị lớn nhất trên toànbộ miền đang xét (mang tính toàn thể).

MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP