P1  ‐ Produto escalar: 

Sendo  , ,  base ortogonal,  ‖ ‖ ⟨ . ⟩  

Usuais:    ⟨ , … , , , … , ⟩ ⋯  

  ⟨ , ⟩ . .   ⟨ , ⟩ .  

Propriedades fundamentais: 1. . . .  2. . . .  3. . .  4. Se  0,  . ‖ ‖ 0 

 ‐ Produto interno 

Propriedades fundamentais: 1. ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ 2. ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ 3. ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ 4. Se  0, ⟨ , ⟩ 0 

Propriedade num espaço vetorial E c/ prod. int. 1. ⟨ , 0⟩ ⟨0, ⟩ 0 2. ‖ ‖ ⟨ , ⟩ 0  ↔   0 3. ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ 4. ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ 5. ⟨∑ . , ∑ . ⟩ ∑ ,

, . ⟨ , ⟩ 6. Se  ⊂   é  um  subespaço,  então  o  produto 

interno de E induz um produto interno em S 7. ‖ ‖ | |. ‖ ‖ 8. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖  ↔ ⟨ , ⟩ 0 9. ⟨ , ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖  10.  

 |⟨ , ⟩| ‖ ‖. ‖ ‖  11. Desigualdade triagular 

 ‖ ‖ ‖ ‖. ‖ ‖ ↔ ⟨ , ⟩ ‖ ‖. ‖ ‖  Norma de  : ‖ ‖ ⟨ , ⟩  Distância entre   e  :  , ‖ ‖ 

 ‐ Ortogonalidade 

 e    são ortogonais se ⟨ , ⟩ 0  ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖  ↔ ⟨ , ⟩ 0 

Se    é  um  espaço  vetorial  com  produto  interno  e , ∈ ,   é ortogonal a  :  ⟶ ⟨ , ⟩ 0 

Processo de ortogonalização de Gram‐schmidt: dado o subconjunto  finito  , ,   NÃO  ortogonal.  É possível construir   , , ⊂  ortogonal. 

 ⟨ , ⟩‖ ‖

.⟨ , ⟩‖ ‖

. ⟨ , ⟩‖ ‖

. 

Se  , ,   é  base  ortogonal  de  ,  , ,   é base ortonormal, onde: 

‖ ‖   ( 1,2,3  

 é base ortogonal se:  

⟨ , ⟩ ↔ 1, 0,  

 ‐ Projeção ortogonal 

Se    é  um  espaço  vetorial  com  produto  interno,  ⊂   é  subespaço  de  dimensão  finita,  então  para 

cada  ⊂ , a melhor aproximação de    (vetor mais próximo de  ) por um vetor de   é a projeção da base ortogonal  , … , ⊂ . 

⟨ , ⟩‖ ‖ ⋯

⟨ , ⟩‖ ‖  

Se    é  um  espaço  vetorial  de  dimensão  finita  com produto interno e   ⊂  um subespaço: 1. ∈ é   , com  ⊂  e  ⊂  2. Se  , … ,   é  base  ortogonal  de  , 

, … ,  é base ortogonal de  ,  ∪  é base ortogonal de  , onde: 

dim dim    é um espaço vetorial,   e    subespaços de  : 

dim dim dim dim ∩ )   e    subespaços de  ,   base de   e   base de 

,  então  ∪   é  conjunto  de  geradores  de  (   é L.I. apenas se    ) 

 ‐ Transformações lineares 

Sendo    e    espaços  vetoriais  sobre  .  A  função : →  é chamada transformação linear se: 

1.  2.  

Sejam  ∈   ,  ,  e   espaços vetoriais,  : → , : →   e  : →   transformações  lineares,  logo 

também são transformações lineares 1. : → , é   2. : → , é  .  

3. : → , é    Núcleo de     /   e imagem de     

  ∈ | 0    | ∈  

Sejam    e    espaços  vetoriais,  com   de dimensão finita  e  : →   uma  transformação  linear: dim dim dim  

0 0   Transformação  : →  é INJETORA se:   ⟶    0  

Transformação  : →  é SOBREJETORA se:   tal que    

Transformação  : →  é BIJETORA se:  é injetora e sobrejetora  também denominada ISOMORFISMO  isomorfismo linear:  : →    é operador linear (  : → ) 

: →  é chamado OPERADOR LINEAR  Isomorfismo  de  operador  linear  é  chamado 

AUTOMORFISMO de    Se  : → , com dim  finita:  dim dim → NÃO existe sobrejetora  dim dim → NÃO existe injetora  dim dim → pode ser bijetora 

 Para resolução de exercícios: 

Base canônica para   é  1, , , … ,  ex:  : → ,  , ,  1  ,   ,   ,  0  

. 1 . . .   Base canônica para   é  1,0 , 0,1  

ex:  1,0 ,   1,0 1,0  ,  0,1 0,0  , . 1,0 . 0,1   

Seja   um espaço vetorialde dimensão finita com produto interno e  ⊂  um subespaço de  : Pode ocorrer   e   

⟨ , ⟩ 1 1 ⋯ 1 1 ,   , ∈  não é um produto interno de   

  um  espaço  vetorial  não  nulo munido  de  produto interno ⟨ , ⟩ e  ∈ , ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩, se  0

P2    

Matriz de Transformação : →  

 , ,  , ,  

 

                                           

  Relações entre matrizes 

                            .     →     .  

 . . .  

                       ∘ .     →    ∘ .                              ∘ .     →     ∘ .   

∘ ∘ ∘ .                  . .     →      . . →      . .   

∘   

Traço de T: soma dos elementos da diagonal principal de T  

Bijetora / Inversível   0   →      é bijetora,   é inversível, linhas das matrizes    são L.I.   0   →      não é bijetora,   não é inversível  

Polinômio característico 

Se  , o polinômio característico é: 

det .          →→  

 

           00            →  

           00            →  

 

Se   ,  é diagonalizável. Base  ,  

                               0

0       e        | | 

 Relembrando: D   b 4ac    e      

Dimensões : → V            1 2 3  

               1 1/ 2 3/ 3 4                           1 3 4   

1  3  4 4 

  Matrizes semelhantes:   e       . . →      . .                      .  

  : número de linhas L.I.    →     dim   

: → U       dim V dim KerT dim     

, , 2 → 1 12 1  

1 12 1 → , , 2   

  : → V  ,     e        →    

   é auto‐vetor de    se    =   =    e  0    Se   é diagonalizável e não tem raízes multiplas 

    →   é diagonalizável se zero NÃO for auto‐valor de       →    não é inversível se um dos auto‐valores for ZERO  

: → V,      →  0 :   é injetor,    é bijetor,    é inversível    →  0 :   não é injetor,    não é bijetor,    não é inversível   

0 0 ,       : → V  é inversível Se   é diagonalizável e inversível →  é diagonalizável  

. .    → o vetor   é auto‐vetor de  associado ao auto‐valor  

. . . , ,  

. . . , ,  

    . . . , ,

e  são semelhantes

P3   Tipos de cônicas:     Ax² + By² +Cxy + Dx +Ey +F = 0 

Calcula‐se: 

2

2 ,  ∆

2 2

2 2

2 2

   

 

0 ∆ 0  Elipse∆ 0  (Vazio)∆ 0  Um Ponto

0  ∆ 0  Hipérbole∆ 0  Duas Retas Concorrentes

0 ∆ 0  Parábola

∆ 0  Duas Retas Paralelas ou Concorrentes 

  Simplificação de quádricas: 

Ax² + By² +Cz² + Dxy +Exz +Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0  

2 2

2 2

2 2

 ,           2 2

2 2

2 2

 

 

Encontra‐se:      e com isso :    ,  

Logo temos:     

Respeitando a relação:  , com 0 0

0 00 0

 

 

1º ‐ Troca (Ax² + By² +Cz² + Dxy +Exz +Fyz) por ( u² +  v² +  w²);  

2º  ‐ Troca (Gx + Hy + Iz) respeitando a relação:   ,   

  sendo   com vetores   normalizados;  

3º  ‐ Algebricamente encontra‐se a equação reduzida em função de u', v' e w';  

Para:  , , , , ,  usa‐se  a  base  canônica  1,0 , 0,1   para  gerar  a matriz  1,0 , 0,1  . Com isso verifica‐se se é diagonalizável à partir do cálculo de 

 e das multiplicidades algébrica e geométrica dos aulto‐valores;  

Para  , a partir de   encontra‐se os auto‐valores  ,   e  , e os auto‐vetores   ,   e  .  

A equação geral é:     

Em caso de auto‐valores imaginários, calcula‐se apenas para um dos auto‐vetores da seguinte maneira: 

, , , ,    , , , , , ,   

 

Com isso teremos a solução geral (exemplo):  , , , ,   

  Se  ∈   é  uma matriz  complexa  arbitrária  e  se  λ ∈   é  um  auto‐valor  de  ,  o conjugado  λ  é  necessariamente  auto‐valor  de  .  Caso  ∈ ,  nem  sempre  isso  é verdade.  

Se  : →  é operador  linear.   é uma base em   tal que   seja real. Conclui‐se que para λ auto‐valor de  , o conjugado λ também é auto‐valor de  , e  λ λ   

Num  espaço  vetorial  real  com  produto  interno  U,  seja  : →   operador  linear,  e  , ∈ .    é simétrico se ⟨T u , v⟩ ⟨T v , u⟩.  

  Num  espaço  vetorial  real  com  produto  interno  U,  seja  : →   operador  linear simétrico,  ,   auto‐vetores de  ,  associados  aos  auto‐valores  α  e  β  respectivamente, com  , temos que   é ortogonal a  .   

Num  espaço  vetorial  real  com  produto  interno  U,  seja  : →   operador  linear simétrico,    é  diagonalizável.  Se  , ,   é  base  ORTONORMAL  de  ,      é matriz simétrica  

Se    é  matriz  simétrica  e  , ,   é  base  ortogonal,    é  operador  linear simétrico.  

Se  : →   é  um  operador  linear,    é  um  subespaço  de  ,  e    auto‐vetor  de    (  ). O subespaço    (gerado por  ) é invariante por   se, e somente se (

),   é simétrico. O ortogonal  ˔ não necessariamente é invariante por  . Se o subespaço   for invariante por   e gerado por   (   ),   é auto‐vetor de  . 

  Se  : →  é um operador linear,   é um subespaço de  , então: "  é um subespaço invariante por          é simétrico"