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MATE 3013
TÉCNICAS DE DIFERENCIACIÓN:
REGLAS PARA PRODUCTOS Y
COCIENTES
La derivada de un producto de funciones
Sea Entonces,
F(x) f (x) g(x).
F (x) d
dxf (x) g(x)
F (x) f (x) d
dxg(x) g(x)
d
dxf (x)
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
En palabras, la derivada de un producto es la derivada
de la primera función por la segunda, más la derivada
de la segunda función por la primera.
Ejemplo: Sea , hallar f´(x).
Usando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
)3)(4()( 2xxxf
)3)(10()20)(4( 2xxx
)3()'4()'3)(4()(' 22 xxxxxf
)3)(1()2)(4( 2xxx
22 328 xxx
383)(' 2 xxxf
Ejemplo: Sea , hallar f´(x). )413)(58()( 22 xxxxf
Usando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)516)(413()26)(58()(' 22 xxxxxxf
206465208130208 2323 xxxxx
2064195416)(' 23 xxxxf
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
)'58)(413()'413)(58()(' 2222 xxxxxxxf
Ejemplo: Sea , hallar f´(x).
Usando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
)2)(()( 213 xxxxf
)')(2()'2)(()(' 321213 xxxxxxxf
)3)(2()4)(( 42123 xxxxxx
252525 24634)(' xxxxxxxf
2525
6341)('
xxxxxf
25
24)('
xxxf
Ejemplo: Sea , hallar f´(x).
Sabemos utilizar la regla para derivar productos de funciones, pero tenemos un
cociente de funciones.
Podemos utilizar la regla de productos.
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
x
xxf
5)(
))(5(5
)( 1
xxx
xxf
Aplicando la regla de productos tenemos que
)'5)(()')(5()(' 11 xxxxxf
0)())(5( 21
2112 xxxx
xxxx
2
111)5(
2
2
5
2
1)('
x
x
xxxf
Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a
en x = - 4 .
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
3
1)(
x
xxf
1)3)(1(3
1)(
xx
x
xxf
Podemos convertir la ecuación en un producto y aplicar la regla para
productos.
11 )3()'1(]')3)[(1()(' xxxxxf
12 )3)(01(])3(1)[1( xxx
)3(
1
)3(
12 xx
x
2)3(
1
3
1)('
x
x
xxf
Recordar que la pendiente de la recta
tangente es la derivada en x = - 4.
Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente a
en x = - 4 .
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
3
1)(
x
xxf
2)3(
1
3
1)('
x
x
xxf
(continuación)
2)34(
14
34
1)4('
f
2)1(
3
1
1)4('
f
231)4(' fLa pendiente de la recta tangente a
en x = - 4 , es 2.
3
1)(
x
xxf
Regla para cocientes
Si entonces,
Q(x) N(x)
D(x),
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
Esto es, la derivada de un cociente de dos funciones es igual al
denominador por la derivada del numerador menos el numerador
por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado
del denominador.
𝑄′ 𝑥 =𝐷 𝑥 ∙ 𝑁′ 𝑥 − 𝑁(𝑥) ∙ 𝐷′(𝑥)
𝐷(𝑥) 2
Ejemplo: Dado Hallar 𝑓′(𝑥) .
f (x) x2 3x
x 1.
2
2
2 3( )
( 1)
x xf x
x
2 2
2
2 5 3 3( )
( 1)
x x x xf x
x
2
2
( 1)(2 3) ( 3 )(1)( )
( 1)
x x x xf x
x
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)
D(x) 2
2
22
)1(
)'5)(3()'3)(1()('
x
xxxxxxxf
Dado: . Hallar f’(0). 2
1 3( )
2
xf x
x
Técnicas de diferenciación:
Reglas para productos y cocientes
Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)
D(x) 2
22
22
)2(
)'2)(31()'31)(2()('
x
xxxxxf
22
2
)2(
)2)(31()3)(2()('
x
xxxxf
22
22
)2(
)62()63()('
x
xxxxf
22
22
)2(
6263)('
x
xxxxf
22
2
)2(
623)('
x
xxxf
22
2
)20(
6)0(2)0(3)0('
f
5.14
6)0(' f
Ejemplo 1. Dado: . Hallar la
ecuación de la recta tangente a 𝑓 𝑡 en t = 1.
Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)
D(x) 2
2)32(
)'32)(2()'2)(32()('
t
tttttf
2)32(
6)64()('
t
tttf
2)32(
4)('
ttf
2))1(32(
4)1('
f
41
4)1(' f
𝑓 𝑡 = 2𝑡
2 − 3𝑡
2)32(
)3)(2()2)(32()('
t
tttf
Primero: Hallar 𝒇′ 𝒕 .
Luego, hallar 𝒇′ 𝟏 .
La pendiente de la recta tangente es 4.
Hallar la ecuación: y = mx + b
y = 4x + b
Usar un punto para hallar b.
Si t = 1, f(1) = -2
-2 = 4(1) + b
b = -6
y = 4x – 6 , es la ecuación de la recta
tangente a la curva en t =1.
Aplicaciones
Ejemplo 2: Determine los puntos sobre la curva
𝒇 𝒙 = 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏
en donde las rectas tangentes son horizontales.
Aplicaciones
Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)
D(x) 2
22
22
)1(
)'1)(1()'1)(1()('
x
xxxf
Nota: Decir que la recta tangente es horizontal es igual que decir que la derivada
es 0. Hallaremos f ‘(x).
22
2
)1(
)02()0)(1()('
x
xxxf
22 )1(
2)('
x
xxf
0)1(
222
x
x
22 )1(02 xx
02 x
0x
𝒇 𝟎 = 𝟏
𝟎𝟐 + 𝟏
𝒇 𝟎 = 𝟏
La recta tangente es
horizontal en el
punto (0,1)
Resolver para 𝒇′ 𝒙 = 𝟎.
Hallar la coordenada de y.
Ejemplo 3 : Determine los puntos sobre la curva
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙
en donde la pendiente de la recta tangente es -4.
Aplicaciones
Q (x) D(x) N (x) N(x) D (x)
D(x) 2
2
)')(12()'12()('
x
xxxxxf
Primero: Hallaremos 𝒇′ 𝒙 .
2
122)('
x
xxxf
412
x241 x
La pendiente de la recta
tangente es igual a -4 en
los puntos (½,4) y (-½,0)
2
)1)(12()2()('
x
xxxf
2
1)('
xxf
2
4
1x
x4
1
x2
1
𝑓 𝑥 = 2
12
+ 1
12
𝑓 𝑥 = 2
12
𝑓 𝑥 = 4
Ahora, hallar cuando 𝒇′ 𝒙 = −𝟒.
Finalmente, hallar y.
𝑓 𝑥 = 2 −
12
+ 1
12
𝑓 𝑥 = 0
12
𝑓 𝑥 = 0
Aplicaciones
Debemos saber:
1. La razón de cambio instantánea en un punto derivada.
2. f(x) es el producto de dos funciones, por lo tanto para hallar su derivada aplicamos la regla para productos.
Ejemplo 4: Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑥 −1
𝑥, ¿alrededor
de qué punto, (1, 0) ó −1
2,15
8 , la gráfica cambia con mayor
rapidez?
Aplicaciones
Primero, determinar 𝒇′ 𝒙 :
Ejemplo 4 (cont.) : Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑥 −1
𝑥, ¿alrededor
de qué punto, (1, 0) o −1
2,15
8 , la gráfica cambia con mayor rapidez?
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑥 −1
𝑥
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑥 −1
𝑥+ 𝑥2 + 1 1 + 𝑥−2 )
𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 −2𝑥
𝑥+ 𝑥2 + 1 + 1 + 𝑥−2
𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 − 2 + 𝑥2 + 2 + 𝑥−2
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥−2
Luego determinar
𝒇′ 𝟏 y𝒇′ −𝟏
𝟐 y compararlos:
𝑓′(1) = 3(1)2+(1)−2
𝑓′(1) = 4
𝑓′(−1
2) = 3(−
1
2)2+(−
1
2)−2
𝑓′ −1
2=
3
4+ 4 = 4.75
La gráfica cambia con mayor rapidez en −1
2,15
8.
Ejemplo5: Determine si función 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 2?
Solución:
Según la definición de derivada una función es diferenciable en un punto si el límite
del cociente de diferencias existe en el punto.
h
h
h
)2()2)(( 22
0lim
22
h
h
h
)5()5)((21
21
0lim
(2)2
Aplicaciones
Hay que investigar dos límites:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2, 𝑥 ≤ 2
12𝑥 + 5, 𝑥 > 2
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
h
fhf
h
)2()2(lim
0
h
fhf
h
)2()2(lim
0
Ejemplo5 (cont.) : Determine si función 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 2?
Solución:
Aplicaciones
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2, 𝑥 ≤ 2
12𝑥 + 5, 𝑥 > 2
h
hh
h
24244 2
0lim
h
h
h
515121
0lim
h
hh
h
2
0
4lim
h
h
h
21
0lim
h
hh
h
)4(lim
0
44lim0
hh
h
h
h
)2()2)(( 22
0lim
22
h
h
h
)5()5)((21
21
0lim
(2)2
2
1
2
1lim
0
h
Según la definición de límite, si el límite por la izquierda y por la derecha es
diferente, el límite no existe. Por lo tanto, f(x) NO es diferenciable en x = 2.