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MATE 3032

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 26

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Coordenadas Polares

Un sistema de coordenadas representa un punto en el plano por un parordenado de números llamada coordenadas. Generalmente se usacoordenadas cartesianas, que son distancias a los ejes perpendiculares.

Aquí se describe un sistema de coordenadas introducida por Newton,llamado el sistema de coordenadas polares, que es más conveniente paraciertos propósitos. Se elige un punto en el plano que se llama el polo(origen) y se etiqueta O. Luego se dibuja un rayo (semi recta) a partir deO llama eje polar. Este eje usualmente corresponde a la parte positiva deleje x.

P es cualquier punto en el planor es la distancia de O a P

q es el ángulo (medido en radianes)entre el eje polar y la recta OP


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P se representa por el par ordenado (r , q), r , q son llamadas coordenadaspolares de P.

Asumir; ángulo es postivo si se mide en la dirección contraria a lasmanecillas del reloj del eje polar y negativo en la dirección de lasmanecillas del reloj.

Si P = O, entonces r = 0 y (0, q) representa el polo para cualquier valorde q.

Considere las coordenadas polares (r , q)Si r es negativo

los puntos (−r , q) y (r , q)están en la misma que contiene Oy a la misma distancia |r | desde O,pero en lados opuestos de O.


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Nota:1. Si r > 0, el punto (r , q) está en el mismo cuadrante que q.2. Si r < 0, el punto (r , q) está en el lado opuesto del polo.3. (−r , q) representa el mismo punto que (r , q + p) .

Ejemplo1. Grafique los puntos cuyas coordenadas polares son:(1, 7p/4) , (−3,p/6) , (1,−1)


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Nota: Una rotación completa en sentido contrario al movimiento de lasmenecillas del reloj es dado por un ángulo de 2p, el punto representadopor las coordenadas polares (r , q) también se representa por :

(r , q + 2np) y (r , q + (2n+ 1)p)

donde n es un entero.

La relación entre las coordenas polares y las coordenadas rectangulares escomo se muestra en la siguiente figura:

cos q =xr

sin q =yr

x = r cos qy = r sin q

Nota: La figura anterior se muestra para r > 0 y 0 < q < p/2, es válidapara todos los valores de r y q.


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Si un punto está dado en coordenadas rectangulares, para hallar r y q, .seusan las ecuaciones:

r2 = x2 + y2 tan q =yx

2. Halle las coordenadas cartesianas de los puntos!−p2, 5p/4

", (1, 5p/2) , (2,−7p/6)


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3. Halle las coordenadas polares de los puntos!3p3, 3", (1,−2)


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Curvas PolaresLa gráfica de una curva polar r = f (q) o de una forma más generalF (r , q) = 0, consiste de todos los puntos P que tienen al menos unarepresentación polar (r , q) cuyas coordenadas satsfacem la ecuación.

4. Trace la región en el plano 0 ≤ r < 2, p/4 ≤ q ≤ 3p/4


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5. Halle la ecuación cartesiana de r = 2 cos q y q = p/3


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6. Halle la ecuación polar de y = 2 y 4y2 = x


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7. Trace la gráfica de r = −2 sin q


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Simetríaa. Si en una ecuación polar se sustituye q por −q. y no cambia, la curvaes simetrica sobre el eje polar.b. Si en una ecuación polar se sustituye r por −r . o cuando se sustituye qpor q + p, y no cambia, la curva es simetrica sobre el polo.c. Si en una ecuación polar se sustituye q por p − q. y no cambia, lacurva es simetrica sobre la recta q = p/2.


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8. Trace la gráfica de r = 1− cos q


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9. Trace la gráfica de r = 4 sin 3q


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10. Trace la gráfica de r = 3 cos 6q


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Tangentes a la Curva PolarPara hallar la recta tangente a una curva polar r = f (q), se escriben lasecuaciones paramétricas:

x = r cos q = f (q) cos q x = r sin q = f (q) sin q

Usando el método para hallar las pendientes de curvas paramétricas y laregla del producto, se obtiene:


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11. Prob. 56, pág. 664


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12. Prob. 62, pág. 664


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