mate basica upn solucionário 3

1 MATEMÁTICA BÁSICA - INGENIERIA

UNIDAD I: ECUACIONES E INECUACIONES SESIÓN 03: Inecuaciones polinómicas y racionales

I. Resuelva las siguientes inecuaciones polinómicas:

1) 3

81 0x x− + <

Solución:

Multiplicando por (-1)

3

2

81 0

( 81) 0

( 9)( 9) 0

x x

x x

x x x

− >

− >− + >

Los puntos críticos son -9, 0, 9

] [ ] [. : 9;0 9;C S − ∪ +∞

2) 3 24 5 0x x x− − ≥

Solución:

Factorizando

( )2 4 5 0x x x− − ≥

( )( )5 1 0x x x− + ≥

[ ] [ [. : 1, 0 5,C S − ∪ +∞

3) 0813 ≥+− xx

Solución: La inecuación dada la expresamos en forma:

( )2 81 0x x − ≤

( ) ( )9 9 0x x x− + ≤

[ ] [ ]. : , 9 0,9C S −∞ − ∪

-9 9 0

+ - + -

-1 5 0

+ - + -

-9 9 0

+ - + -


4) 4 3 212 64 0x x x+ − >

Solución:

Factorizando

( )2 2 12 64 0x x x+ − >

( )( )2 16 4 0x x x+ − >

Como 2 0x ≥ , entonces la inecuación la escribimos

( )( )16 4 0x x+ − >

] [ ] [. : , 16 4,C S −∞ − ∪ +∞

5) 2 4 33 4 3 3x x x x+ < + +

Solución:

4 3 23 3 3 4 0x x x x+ − + − >

Aplicando Ruffini:

Tenemos:

( )( )( )21 4 1 0x x x− + + >

] [ ] [. : , 4 1,C S −∞ − ∪ ∞

6) ( ) ( ) ( )32 1 6 0x x x+ − − ≤

Solución:

Puesto que ( )21 0x − ≥ , la inecuación es equivalente a, ( ) ( )( )2 1 6 0x x x+ − − ≤

] ] [ ]. : , 2 1,6C S −∞ − ∪

+ - -16 4

+

1 3 -3 3

4 1

1 1 1

-4

4 4 1 4 0

-4 0

-4 -4

1 0

1 0

+ ∞-4 1 – ∞

+ +

+ - + - 1 -2 6


7) ( )( ) ( )( )2 32 1 1 2 3 0x x x x+ + − − <

Solución:

Puesto que ( )2 221 0; 1 0 ( 3) 0x x y x+ ≥ + ≥ − ≥ , la inecuación es equivalente a,

( )( )2 3 0x x− − <

. 2,3C S=< >

8) 2 2 3 2( 2 )( 1) ( 9) 0x x x+ − − ≥

Solución:

La inecuación es equivalente a, ( 1)( 3)( 3) 0x x x− + − ≥

[ ] [ [. : 3,1 3,C S − ∪ +∞

9) 5 4 3 25 2 14 3 9 0x x x x x− + + − − ≤

Solución:

Factorizando por Ruffini:

Tenemos, 2

( 1)( 1)( 3)( 2 3) 0x x x x x− + − − − ≤ , lo cual es equivalente a

2 2

( 1)( 1) ( 3) 0x x x− + − ≤

Puesto que 2 2

( 1) 0 ( 3) 0x y x+ ≥ − ≥ (tenga en cuenta que x = -1 y x = 3, satisfacen estas

inecuaciones), la inecuación la expresamos

1 0x − ≤

1x≤

+ - 2 3

+

+ - + - 1 -3 3

1 -5 2 14

12

1

1 1 -2

-3

-4

-4 -2 12 0

-1 5

-3 -1

-9

9

9

-9

-2

-5 1 3 9

3 -6 -9 -3

0

0

1 3


] ] { }. : ,1 3C S −∞ ∪

10) ( )( )2 26 4 4 0x x x x+ − − − ≤

Solución:

2( 3)( 2)( 4 4) 0x x x x+ − − + ≥

2( 3)( 2)( 2) 0x x x+ − − ≥

Esta inecuación es equivalente a, ( 3)( 2) 0x x+ − ≥

] ] [ [. : , 3 2,C S −∞ − ∪ ∞

11) 3 23 1 0x x x− − + − <

Solución:

Si multiplicamos por (-1) la inecuación, tenemos 3 23 1 0x x x+ − + > , luego aplicamos Rufini.

( )( )21 3 2 1 0x x x+ − + >

Como la ecuación 23 2 1 0x x− + = no tiene soluciones reales ya que su discriminante es menor

que cero, entonces no lo consideramos en la solución de la inecuación. Por tanto

1 0x + >

1x > −

. 1,C S =< − +∞ >

-1

1 3 -1 1

3 -3 -1 2 -2 1 0

+ ∞-3 2 – ∞+ +

-1

1

3


II. Resuelva las siguientes inecuaciones racionales:

1) 312

53 ≤++

x

x

Solución:

3 5 3 5 6 33 0 0

2 1 2 1

x x x

x x

+ + − −− ≤ ⇔ ≤+ +

2 30

2 1

x

x

− ≤+

La inecuación 2 3

02 1

x

x

− ≤+

, es equivalente a la inecuación (3 2)(2 1) 0x x− + ≥ , para 1

2x ≠ −

Las raíces de la ecuación (3 2)(2 1) 0x x− + = son 2 1

;3 2

x x= = −

La solución es la unión de los intervalos donde aparece el signo (+), es decir

1 2. : , ;

2 3C S

< −∞ − > ∪ ∞ >

2) xx 14

4

1

2 ≥−

Solución:

2 40

1 14x x− ≥

−

28 4 40

(1 )14

x x

x x

− + ≥−

La inecuación 32 4

0(1 )14

x

x x

− ≥−

, es equivalente a la inecuación (32 4)( 1)14 0x x x− − ≤ , para

0 1x y≠ .Las raíces de la ecuación (32 4)( 1)14 0x x x− − = son 1

0; 18

x x y x= = =

1

. : ,0 ,18

C S< −∞ > ∪ >

1/8 1 0

- + - +

+ ∞-1/2 2/3 – ∞

+ +


3) 042

652

2

≥−++−

xx

xx

Solución:

( 2)( 3)0

( 7)( 6)

x x

x x

− − ≥+ −

Los puntos críticos son x = 2; x = 3, x = -7 y x = 6.

[ ]. : ; 7 2,3 6,C S < −∞ − > ∪ ∪ < ∞ >

4) 07

5 2

≤+−

x

xx

Solución:

La inecuación

2 50

7

x x

x

− ≥+

es equivalente a la inecuación ( 5)( 7) 0x x x− + ≥

]. : 7;0 5;C S < − ∪ < +∞ >

5) 4

1

5

1

−<

+ xx

Solución:

( 4) ( 5)0

( 5)( 4)

x x

x x

− − + <+ −

90

( 5)( 4)x x

− <+ −

9

0( 5)( 4)x x

>+ −

. : ; 5 4;C S < −∞ − > ∪ < ∞ >

-7 2 3 6 + + + - -

-7 0 5

+ + - -

+

-5 4 – ∞

+ +


6) 02

3

42≥

+−

− xx

x

Solución:

2

3( 2)0

4

x x

x

− − ≥−

2 6

0( 2)( 2)

x

x x

− + ≥+ −

(2 6)( 2)( 2) 0x x x− + − ≤

]. : ; 2 2;3C S < −∞ − > ∪ <

UNIDAD I: ECUACIONES E INECUACIONES SESIÓN 04: Aplicaciones de las inecuaciones polinómicas y racionales

1. Pasados " "t minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el

número de bacterias está dado por 2

10 0002 000

1= +

+N

t. Determinar a partir de qué momento el

número de bacterias está por debajo de 4000.

Solución:

Modelamos la inecuación:

400020001

100002

<++t

Pasamos todo al primer miembro:

020001

100002

<−+t

Sacamos el denominador común:

01

20002000100002

2

<+

−−t

t

Operamos en el numerador:

01

800020002

2

<+

+−t

t

Factorizamos en el numerador:

( )0

1

420002

2

<+

−−t

t

Pasamos a dividir al segundo miembro:

-2 2 3

+ +

2012-2 MATEMÁTICA BÁSICA -INGENIERÍA

01

42

2

>+−

t

t

Factorizamos nuevamente el numerador:

( )( )0

1

222

>+

−+t

tt

Hemos obtenido los factores, ahora igualamos a cero cada uno y despejamos:

( )

t t t

t t Este térmi no siempre será positivo raicescomplejas

+ = − = + == − =

22 0 2 0 1 0

2 2

. ; 2 2;= −∞ − ∪ +∞C S

Dado que el tiempo es positivo, entonces la solución al problema será: 2;∞ .

INTERPRETACIÓN: el número de bacterias será menor a 4000, si el tiempo es mayor a 2 minutos.

2. Una planta de empaque desea diseñar cajas sin tapa con un volumen de no más de 400 cm3. Para tal diseño se utilizará una pieza de cartón de 12cm por 15 cm, se realizará cortes iguales y exactos en las esquinas y finalmente se doblarán las solapas hacia arriba. Determinar el tamaño máximo del corte que deben realizar en las esquinas de la pieza de cartón.

Solución: sea :x el corte igual y exacto que se dará en las esquinas del cartón.

x 12 x 15 El volumen debe ser menor a 400:

400≤V

El volumen es largo por ancho por altura:

( )( )( ) 400212215 ≤−− xxx

Operamos:

400180544 23 ≤+− xxx


0400180544 23 ≤−+− xxx

Factorizamos el primer miembro:

( ) 0200902722 23 ≤−+− xxx


020090272 23 ≤−+− xxx

Factorizamos nuevamente el primer miembro:

( )( ) 0207210 2 ≤+−− xxx


*∞ –2 2 ,∞

+ +


( )

x x x

x Este término siempre será positivo raicescomplejas

− = − + ==

210 0 2 7 20 0

10

( ]. ;10= −∞C S

Dado - > 0, entonces ( ]. 0;10=C S

Las medidas de la caja también son positivas, es decir que: 15 2 0 12 2 0

6

− ∧ −⇒

x x

x

> >> >> >> ><<<<

entonces la solución al problema será: ] [0;6 .

INTERPRETACIÓN: el tamaño máximo del corte que se debe dar en las esquinas del cartón debe ser de 5cm (corte exacto).

3. La empresa de telecomunicaciones “Telemark” en su afán de expandirse, pone en promoción dos planes de telefonía para el mes venidero. La demanda del primer plan está modelada a través de

la ecuación 3

2/11 −

=x

d y la demanda del segundo plan mediante la ecuación5

2/12 −

−=x

d ; donde

" "x indica el número de ventas que a diario se realiza en la empresa. Determinar el número mínimo de ventas que debe realizar a diario; para que la demanda del primer plan sea mayor a la otra.

Solución: sea :x el número de ventas que la empresa realiza a diario.


52

1

32

1

−

−>

− xx


05

2

1

32

1

>−

+− xx


( ) ( )( )( ) 0

53

32

15

2

1

>−−

−+−

xx

xx


( )( ) 0532

3

22

5

2 >−−

−+−

xx

xx

( )( ) 053

4 >−−

−xx

x


534

050304

====−=−=−

xxx

xxx

10

_ + ,∞ +∞

+ - + -


. 3;4 5;= ∪ +∞C S

INTERPRETACIÓN: dado que el número de ventas es una variable discreta, entonces el número mínimo de ventas deberá ser 6; para que el plan el primer plan sea mayor al segundo plan.

4. Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un autobús para que los lleve al concierto es de $450, lo cual se debe repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que lleguen en autobús. Los boletos cuestan normalmente $50 cada uno, pero se reducen 10 céntimos de dólar del precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo (capacidad máxima del autobús es 60). Determinar cuántos estudiantes deben ir en el grupo; para que el costo total por estudiante sea menor a $54.

Solución: Sea -:el número de alumnos que van en el autobús.


boletodelCostosestudiantedenúmero

busdelCostoCosto +=

( )xx

C 10.050450 −+=

xx

C 1.050450 −+=

El costo total debe ser menor a $54:

54<C

541.050450 <−+ xx


0541.050450 <−−+ xx


0541.050450 2

<−−+x

xxx


045041.0 2

<+−−x

xx

Factorizamos el primer miembro:

( )( )0

45041.01 2

<−+−x

xx


045041.0 2

>−+x

xx

Factorizamos nuevamente el primer miembro:

,∞ +∞ 3 5 4


( )( )0

9051.0 >+−x

xx


9050

0090051.0

−====+=−

xx

xxx

. 90;0 50;= − ∪ +∞C S

Dado que el número de alumnos es positivo y la capacidad del autobús, entonces el conjunto de

solución al problema será: ( ]50;60 .

INTERPRETACIÓN: Para que el costo por estudiante sea menor a $54, el número de estudiantes que debe ir en el autobús debe ser desde 51 hasta 60.

5. Para que un medicamento tenga efecto benéfico, su concentración en el torrente sanguíneo debe ser mayor que cierto valor; llamado este último “nivel terapéutico mínimo”. Suponga que la concentración “C” (mg/l) de cierto fármaco al transcurrir “t” horas después de su ingestión está

dada por 2

20

4=

+

tC

t. Si el nivel terapéutico mínimo es de 4 mg/l, entonces dentro de cuánto tiempo

se excederá este nivel.

Solución:


44

202

>+t

t


044

202

>−+t

t


04

164202

2

>+

−−t

tt

Ordenamos en el numerador:

04

162042

2

>+

−+−t

tt


( )( )0

4

4542

2

>+

+−−t

tt


04

452

2

<+

+−t

tt


( )( )0

4

412

<+

−−t

tt


–90 50 0 0v

+ - + - ,∞ −∞


( )

t t t

t t Este término siempre será positivo raicescomplejas

− = − = + == =

21 0 4 0 4 0

1 4

. 1;4=C S

INTERPRETACIÓN: el nivel terapéutico mínimo se excederá entre la 1° y la 4° hora de la ingesta del medicamento.

6. En un plaza de nuestra cuidad se desea construir una fuente rectangular de 12m de perímetro. Según el reglamento para la construcción, las dimensiones deben ser cantidades exactas y que el producto de la base por el cuadrado de la otra no debe ser mayor a 16m. Determinar la dimensión máxima que deberá tener el ancho de la fuente. Solución: sea :x la base de la fuente

:y El ancho de la fuente.

Por dato se tiene que el perímetro =12

2 2 12

6

6 ...[1]

⇒ + =⇒ + =⇒ = −

x y

x y

x y

Tenemos la condición que 2

. 16...[2]≤x y

De [1] en [2]

( ) ( )

2

3 2

3 2

2

(6 ) 16

6 16 0

6 16 0

( 2)( 4 8) 0

. : 2 1 3 ;2;2 1 3

⇒ − ≤

⇒ − + − ≤

⇒ − + ≥

⇒ − − − ≥

= − +

y y

y y

y y

y y y

V C y

( ) ( ) ). 2 1 3 ;2 2 1 3 ; = − ∪ + +∞

C S

Dado que - > 0 entones el conjunto solución será ( ] ( ) ). 0;2 2 1 3 ;= ∪ + +∞

C S .

De [1], se tiene que si 0 6⇒> <> <> <> <x y , entonces el conjunto de solución al problema es

1 4

-

B

281 − √3: 2 0v

281 + √3:

−∞ *∞

,∞ *∞


( ] ). 0;2 2(1 3);6= ∪ +C S .

INTERPRETACIÓN: la dimensión máxima (exacta) que debe tener el ancho es de 2m.

7. En las cercanías de una hoguera, la temperatura " "T en C° a una distancia de " "x metros desde

el centro de la hoguera; se determina mediante la ecuación racional 2

600000

300T

x=

+. ¿A qué distancia

del centro del fuego, la temperatura será menor de500 C° ?

Solución:


500300

6000002

<+x


0500300

6000002

<−+x


0300

1500005006000002

2

<+

−−x

x


0300

4500005002

2

<++−

x

x


( )( )0

300

9005002

2

<+

−−x

x


0300

9002

2

>+−

x

x


( )( )0

300

30302

>+

−+x

xx


( )

x x x

x x Este término siempre será positivo raicescomplejas

+ = − = + == − =

230 0 30 0 300 0

30 30

. ; 30 30;= −∞ − ∪ +∞C S

Dado que la distancia es positiva, entonces el conjunto de solución al problema será: 30;+∞ .

INTERPRETACIÓN: Para una distancia mayor a 30m desde el centro de la fogata, la temperatura será menor a 500 °C.

+ ∞–30 30 – ∞

+ +


8. Al realizar un estudio en un sector minero se encontró un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud pública decidió comenzar un tratamiento con uno costoso medicamento a las persona que tengan un 6% de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad de plomo en la sangre como efecto de “x” gramos del

medicamento, viene dado por la relación

2

2

5 6

1

+ +=+ +

x xP

x x, con P expresado en %. ¿Al menos

cuántos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2%?

Solución: sea -:la cantidad de gramos de medicamento.

Modelamos la interrogante, mediante la inecuación: 2

2

5 6

1

+ +

+ +< 2< 2< 2< 2x x

x x

2 2

2

2

2

2

2

2

2

5 6 2( 1)

1

3 4

1

3 4

1( 4)( 1)

1. : 1;4

( 1 0, ; )

+ + − + +⇒

+ +

− + +⇒

+ +

− −⇒

+ +− +

⇒+ += −

+ + =

x x x x

x x

x x

x x

x x

x xx x

x xV C x

x x es siempre positivo tieneraicescomplejas

< 0< 0< 0< 0

< 0< 0< 0< 0

> 0> 0> 0> 0

> 0> 0> 0> 0

. ; 1 4;= −∞ − ∪ +∞C S

Dado que la los gramos de medicamento son positivos, entonces el conjunto de solución al

problema será: 4;+∞ .

INTERPRETACIÓN: podemos afirmar que se deben administrar un poco más de 4 gramos del medicamento para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %.

ΞΞΞΞ

−1 4 ,∞ *∞

mate basica upn solucionário 3

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