mate dos

Formas cuadrticas

Tema 4

Definicin y clasificacin.Formas cuadrticas restringidas.

Definicin. Una forma cuadrtica en Rn es una funcin Q:RnR, definida por

Q(x) = xtAxdonde A es una matriz simtrica de orden n.

1. DEFINICIN Y CLASIFICACIN

Tema 4. Formas cuadrticasDefinicin y clasificacin

Nota. Si A=(ai j)Mn es la matriz simtrica que define la forma cuadrtica Q, y x=(x1,, xn), entonces


Definicin. Sea Q una forma cuadrtica. Se dice que Q es:i) definida positiva (DP) si Q(x)>0 xRn, x0,ii) definida negativa (DN) si Q(x)


Definicin. Sea A=(aij) una matriz cuadrada de orden n. Los menores principales de A son los determinantes


Teorema. Si A es la matriz simtrica asociada a la forma cuadrtica Q, entonces:i) Q es DP k>0, k=1,, n.ii) Q es DN (1)kk>0, k=1,, n.iii) Q semidefinida A = n=0.iv) k>0, k=1,, n1, A = n=0 Q es SDP.v) (1)kk>0, k=1,, n1, A = n=0 Q es SDN.vi) k0, k=1,, n1, A =n=0 y no se verifican las hiptesis de iv) y v) Q es indefinida.

Nota. A =n0 y no se verifican las hiptesis de i) y ii) Q es indefinida.

Tema 4. Formas cuadrticasFormas restringidas

Definicin. Sea Q:RnR una forma cuadrtica y sea BMmn con rg(B)=m


Definicin. Sea Q:RnR una forma cuadrtica y sea BMmn con rg(B)=m0 xL, x0,ii) definida negativa (DN) si Q(x)


Nota. Para clasificar la forma cuadrtica Q restringida a L obsrvese que: i) Si la forma cuadrtica Q es definida positiva (negativa), entonces tiene el mismo signo si la restringimos a L.ii) Si la forma cuadrtica Q es semidefinida positiva (negativa), entonces la forma restringida puede ser definida positiva (negativa) o semidefinida positiva (negativa).iii) Si la forma cuadrtica es indefinida, entonces la forma restringida puede ser de cualquier tipo.


Nota. Si la forma cuadrtica Q no es definida positiva ni definida negativa y queremos estudiar la forma restringida, el problema se puede transformar en estudiar una forma cuadrtica sin restricciones sobre Rnm, que se obtiene despejando m de las n incgnitas del sistema Bx=0 y sustituyndolas en Q(x)=xtAx.

PPT Tema 4PPT Tema4paginaPPT Tema4

Recorte.PPT.Tema4

mate dos

Documents