VOLÚMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCIÓN DE REGIONES QUE GIRAN ALREDEDOR DE

EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS

I. Solido de Revolución.-

Un sólido de revolución es aquel solido que se obtiene al rotar 360° una región plana alrededor de una recta en el plano, la cual es llamada eje de revolución.

Por ejemplo:

El cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos.

El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

La esfera es un sólido que resulta de hacer girar una semiesfera alrededor de su diámetro.

II. Calculo del Volumen de un Sólido de Revolución.-

Definición: Sea S un sólido tal que S esta entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b. Si la medida del área de la sección plana S, perpendicular al eje x en x, está dada por A(x), donde A es continua en [a ,b ], entonces la medida del volumen de S está dado por:

V=∫a

b

A (x)dx

Para poder calcular el volumen de un sólido de revolución se empleara distintos métodos, en esta práctica se trabajara con sólidos de revolución que giran alrededor de un eje paralelo a un eje coordenado.

1. Método del anillo circular

a) Si la región R limitada por las curvas y=f(x), y=g(x) de tal manera que f(x)≥g(x), ¥ x € [a , , b ], y las rectas verticales x=a, x=b gira alrededor de la recta y=c donde g(x)≥c, entonces el volumen del solido generado al rotar la región R alrededor de la recta y=c, es volumen del solido generado al rotar la

región R alrededor de la recta y=c, es expresado por la formula

V=π∫a

b

¿¿

b) Si la región R limitada por las curvas x=f(x), x=f(g) y por las rectas horizontales y=c, y=d, gira alrededor de la recta vertical x=k, entonces el volumen del solido de revolución

obtenido expresado por la formula

V=π∫c

d

¿¿

Ejemplo: Calcular el volumen del solido obtenido al hacer gira alrededor del eje X, la región limitada por las gráficas y= x2, y= √ x, x=9

2. Metodo de la Corteza Terrestre

a) El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor de la recta x=c, la región R acotada por las curvas y=f(x), y=g(x) donde: f(x)≥g(x), ¥ x €[a ,b ] y las rectas verticales x=a, x=b; donde a≥c es expresado por la fórmula

V=2π∫a

b

(x−c) [ f ( x )−g(x )]dx

b) Cuando la región R esta a la izquierda del eje de revolución, el volumen del sólido generado esta dado por la formula

V=2π∫a

b

(c− x) [ f ( x )−g(x )]dx

Ejemplo: Calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región R limitada por las curvas y=lnx, el eje X, x=e2 alrededor del eje Y.

Método de las arandelas