Se poate spune ca pentru a înmulţi doua numere complexe scrise sub formă algebrică se înmulţeşte fiecare termen al primului număr cu fiecare termen al celuilalt număr şi se însumează rezultatele având în vedere ca Observaţii

Regulile (1) şi (2) definite pe mulţimea numerelor complexe C arată că regulile de calcul din R rămân valabile şi pe C, cu amendamentul că .

Dacă si atunci regula de înmulţire (2) devine (3).

Operaţia algebrică prin care unui număr real şi unui număr complex se asociază produsul acestora se numeşte înmulţirea cu numere reale a numerelor complexe.

Exerciţiu rezolvat:Să se calculeze dacă si

Soluţie:

TEOREMA 1.(Proprietăţile adunării numerelor complexe) Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăţi:a)asociativitatea:

b)comutativitatea: c)existenţa elementului neutru: numărul comlpex 0=0+0i este element neutru

pentru adunare, adicăd)elemente opuse: orice număr complex are un opus, adică astfel

încât

Demonstraţie:Vom demonstra aceste proprietăţi folosind scrierea algebrică a numerelor complexe şi proprietăţile

operaţiilor cu numere reale.a) Fie

Atunci (1).

Aplicând egalitatea a doua numere complexe şi asociativitatea adunării în R, din (1) şi (2) se

obţine proprietatea de asociativitate.b) Fie

Avem şi comutativitatea este demonstrată. c)Verificarea este imediată.d) Fie si numere complexe. Din condiţia rezultă că

Aplicând egalitatea a două numere complexe se obţine că şi . Numărul se numeşte opusul lui z şi se scrie .

OBSERVAŢIE Pentru suma se notează şi se numeşte diferenţa numerelor

Operaţia algebrică prin care oricăror două numere complexe se asociază diferenţa lor se numeşte scădere.

Exemplu:Dacă si , atunci

TEOREMA 2 (Proprietăţile înmulţirii numerelor complexe)Înmulţirea numerelor complexe are următoarele proprietăţi: a)asociativitatea: b)comutativitatea:c)existenţa elementului neutru: există numărul complex , astfel încât

d)regula produsului nul:Dacă si ,atunci sau e) elementele ireversibile: orice număr complex nenul z are un invers notat

astfel încât

Demonstraţie:Proprietăţile a), b), c), d) se demonstrează folosind definiţia produsului a două numere complexe,

egalitatea numerelor complexe şi regulile de calcul din R. (Temă)e) Să determinam numărul cu proprietatea că pentru are loc

egalitatea Din se obţine sistemul de ecuaţii cu necunoscutele

cu soluţia .

Aşadar inversul numărului este numărul complex (3)

ExempluDacă z = 3-4i, atunci folosind scrierea (3) se obţine:

OBSERVAŢIE

Dacă şi , atunci pentru produsul se poate folosi scrierea şi se spune că se

împarte la .

Numărul este număr complex , deci are forma .

Pentru determinarea numerelor reale a, b se poate folosi una din următoarele egalitaţi de numere complexe: sau .

Exemplu

Să se scrie sub formă algebrică numărul complex .

Soluţia 1. Fie z = a + bi. Rezulă egalitatea 1 + i = (a +bi) (2 – i) din care se obţine sistemul de

ecuaţii: 2a + b = 1 , -a + 2b = 1 cu soluţia . Aşadar .

Soluţia 2. Folosim egalitatea .

Deoarece , rezultă egalitatea şi se obţine .

Legătura dintre adunarea şi înmulţirea numerelor complexe este dată de următoarea propritate:

TEOREMA 3Înmulţirea numerelor complexe este distrubutivă faţă de adunarea numerelor complexe: .

DemonstraţieFie .Avem:

(4)

(5)Din (4) şi (5) se obţine proprietatea enunţată.

OBSERVAŢIEPentru cazul în care produsul de numere complexe este de forma , unde şi , se obţine

operaţia de înmulţire a unui număr complex cu un număr real.Această operaţie are următoarele proprietăţi:a) ;b) ;c) ;d) .

TEOREMA 4 (Puterile naturale ale lui i) Puterile naturale ale numărului i sunt:

Demonstraţie Avem că .

Rezultă că .

OBSERVAŢII1. 2. , adică suma oricăror 4 puteri naturale consecutive ale

numărului i este nulă.

Exemplea) ; b) ; c) ; d) .

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

EXERSARE

E1.Să se determine din egalităţile de numere complexe:a) ;b) ;c) ;

d) .

E2.Să se scrie sub formă algebrică:a) (3-i)+(4-5i);b) (-2+3i)-(4+i);c) 2(3-i)-4(1-2i);

d) ;

e) .

E3.Să se calculeze:a) (2-i)(4+i); b) (5+3i)(5-3i);c) ; d) ;e) ; f)

g) .

E4. Să se calculeze opusul şi inversul numărului complex:a) -2-i ; b) 4-3i ;c) ; d) .

E5. Să se calculeze:a) ; b) ;

c) ; d) .

E6. Să se calculeze:a) ;b) ;

c) ;

d)

APROFUNDARE

A1. Să se determine pentru care au loc egalităţile:a) (x+2y)i+(7x+y)i=3+8i ;

b) ;

c) (x+1)(1-i)+(1-y)(1+i)=4 ;d) (x+y+1)(1+i)=(x+iy-1)(1-i) ;e) ;f) ;g) .

A4.Să se calculeze:a) ;b) ;

c) .

A2. Să se rezolve sistemele de ecuaţii, dacă :

a) ;b) .

A3. Să se determine numărul complex al cărui pătrat este egal cu:a) 3+4i ; b) ;

c) ; d) .

A5.Fie şi

;

Să se arate că z şi u sunt numere reale.

2.3. NUMERE COMPLEXE CONJUGATE

Fie numerele complexe şi .

Se observă că şi .

De asemenea, , iar .Aceste caracteristici sunt specifice unei categorii de numere complexe numite numere complexe

conjugate.

DEFINIŢIEFie . Numărul se numeşte conjugatul lui z.

TEOREMA 5 (Proprietăţi ale numerelor complexe conjugate)

1. şi ;

2. dacă şi numai dacă ;3. ;

4. ;

5. .

Verificarea acestor proprietăţi se face folosind definiţia conjugatului unui număr complex şi operaţiile cu numere complexe. (Temă)

OBSERVAŢIEFaptul că , oferă o nouă cale pentru determinarea părţii reale şi a părţii imaginare a câtului a două

numere complexe . Astfel, raportul se amplifică cu conjugatul numărului complex

şi se obţine unde A şi B rezultă din efectuarea produsului de

la numărător.

Exemplu:

2.4. MODULUL UNUI NUMĂR COMPLEX

DEFINIŢIEFie .

Modului numărului complex z este numărul real pozitiv .

Exemplea) ; b) ; c) .

TEOREMA 6. (Proprietăţi ale modulului)1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9. 5.

DemonstraţieSă demonstrăm proprietatea 9.Fie . Rezultă că ,

şi .

Se obţine succesiv:

.Aşadar inegalitatea este adevărată.

Temăa) Să se demonstreze proprietăţile 1-8.b) În ce condiţii inegalitatea 9 devine egalitate?

Exerciţii rezolvate

1. Să se determine modul numărului .

SoluţieAplicăm proprietatea modului câtului şi obţinem:

.

2. Să se arate că oricare ar fi are loc identitatea

.(Identitatea lui Euler)

SoluţieVom folosi proprietatea 4, . Membrul I al identităţii se transformă astfel:

EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE

E1.Să se determine conjugatele numerelor:a) 3-5i ; b) -4i ;c)-2-8i ; d) -6i-4 ;e) ; f) ;g) .

E2. Să se scrie sub formă algebrică:

a) ;

E3. Să se determine numerele , dacă:a) ;b) .

E4.Să se determine dacă:a) ; b) ;c) ;d) ;

b) ;

c) ;

d) .

e) .

E5. Se dau numerele ; ; . Să se determine:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) .

E6. Să se determine modulele numerelor:

a) ; b) ;

c) ; d)

E7. Să se determine astfel încât:a) ;b) ;c) .

E8. Se dau numerele complexe şi

. Să se determine astfel încât şi .

APROFUNDARE

A1. Să se determine ştiind că:

a) ; b) ; c)

A2. Să se determine din egalităţile:

a) ;

b) ;

c) .

A3. Să se arate că .

A4. Dacă \R , atunci .

A6. Fie \R, cu modulul egal cu 1. Dacă , să se arate că:

.

A7. Să se determine pentru care: .

A8.Să se determine care verifică simultan condiţiile:

şi .

A9. Pentru să se arate că:

a) ;

A5. Fie astfel încât . Să se arate că:

a) ;

b) .

b) .

A10. Să se arate că pentru :a) ;b) ;c) .