ELEMENTE DE

STATISTICA MATEMATICA

a

STATISTICA MATEMATICA

Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare.

DEFINITIE. Prin populatia statistica se intelege orice multime definita de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei.

------------------------------------------------------------------------------------------

Se numeste caracteristica ( sau variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor ( indivizilor) populatiei.

Caracteristica poate fi cantitativa ( daca se poate masura ) sau calitativa ( in caz contrar ). In general o populatie se studiaza dupa una sau mai multe caracteristici.

A

In cazul populatiilor cu un numar mare de indivizi se efectueaza o statistica numai pentru o fractiune din populatia totala, iar rezultatul obtinut se extinde pentru toata populatia. Fractiunea din populatia totala pentru care se face statistica se numeste esantion. Este clar ca aceste concluzii au sansa de a fi valabile cu cat esantionul este mai mare. Gratie calculului posibilitatilor va fi posibil, in general, de a indica gradul de incredere care se poate acorda concluziilor obtinute.

EXEMPLE

Caracteristicile : Nota la teza de matematica, Durata de viata, varsta.

Greutatea este de natura cantitativa, iar caracteristica Culoarea ochilor este de natura calitativa.

Populatia

Elevii unei clase

Elevii unei clase

Becurile dintr-o intreprindere

Locuitorii unui oras

Locuitorii unui oras

Caracteristica

Nota la teza de matematica

Culoarea ochilor

Durata de functionare

Varsta Greutate

A

Caracteristicile cantitative pot fi discrete ( sau discontinue) daca variabila statistica ia valori finite ( sau numarabile) sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit (greutatea, talia, etc.).

Gruparea datelor se realizeaza cu scopul de a trage concluzii cu caracter general.

Tabelul 1 de mai jos prezinta situatia notelor la teza de matematica intr-o clasa de 25 de elevi.

Plecand de aici se poate realiza tabelul 2 care prezinta o situatie mai sintetica fata de cel precedent.

Nota (caracteristica)

Numar de elevi

Nota ( caracteristica) Numar de elevi

2 1 7 5

3 2 8 3

4 1 9 3

5 3 10 3

6 4

Clase de valori Numar de elevi

< 5 4

5 - 7 7

7 – 10 14

FRECVENTA ABSOLUTA. FRECVENTA RELATIVA. FRECVENTE CUMULATE.

Numarul tuturor indivizilor ( sau unitatilor) unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii. In cazul discret, tabelul 3, valorile caracteristicii (nota –xi ) sunt date in prima coloana, iar in coloana a doua figureaza numarul de indivizi ( ni ) corespunzator fiecarei valori a caracteristicii.

Tabelul 3

Efectiv total : 1 + 2 + 1 + 3 + 4 + 5 + 3 + 3 + 3 = 25

( Σni )

Nota xi

Efectiv ni

Nota xi

Efectiv ni

2345

1213

678910

45333

Q

Definitie. Se numeste frecventa absoluta ( sau efectiv ) a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori.

In tabelul 3 valoarea 5 a caracteristicii are frecventa absoluta 3 ( in limbaj uzual insemnand ca nota 5 a fost luata la teza de matematica de doar 3 elevi ).Aceste date ( caracteristica, efectiv ) se reprezinta grafic, in raport de un sistem de axe rectangulare, prin desene , care pun in evidenta anumite rapoarte numerice. Graficul corespunzator se numeste diagrama. Alegerea unitatii pe fiecare dintre axe ramane la latitudinea celui care prelucreaza datele. O prima reprezentare o constituie reprezentarea in batoane aplicata caracteristicii discrete cu un numar mic de valori. Pe axa orizontala sunt trecute punctele reprezentand valorile variabilei si din aceste puncte se ridica segmente verticale de lungime egala cu frecventa absoluta a valorii respective. Segmentele ridicate sunt masurate cu unitatea de pe axa verticala.

A

In cazul tabelului 3 se obtine diafragma din figura 1.

Unind printr-o linie poligonala extremitatile superioare ale acestor segmente se obtine ceea ce se cheama poligonul frecventelor ( marcat prin linii discontinue in figura 1 ).

Realizam un alt tabel cu aceleasi note la teza de matematica in care lungimile claselor sa fie aceleasi. Avem tabelul 4.

Clase de valori

Efectiv Procent

2 – 4 3 12%

4 - 6 4 16%

6 - 8 9 36%

8 - 10 9 36%

A

Vom reprezenta aceste date printr-un grafic numit histograma, unde pe axa orizontala se iau o succesiune de segmente egale ( reprezinta lungimea claselor) si se ridica pe fiecare din aceste segmente considerate ca baze , dreptunghiuri de inaltimi proportionale cu frecventele absolute ale claselor respective( fig 2).

Daca in mijlocul fiecarui segment de pe axa orizontala ( aceste mijloace de intervale le numim valori centrale ) se ridica segmente proportionale cu frecventele claselor corespunzatoare fiecarui segment si unim printr-o linie poligonala extremitatile ale acestor segmente se obtine poligonul frecventelor.

D

Uneori datele ( din tabelul 4 ) se reprezinta prin dreptunghiuri de baze egale si cu inaltimi proportionale cu procentele ( fig 3) sau prin sectoare de cerc, cu unghiuri proportionale cu aceleasi numere ( fig 4).

Este adesea interesant de a prezenta intr-un tabel statistic pentru fiecare valoare xi a caracteristicii raportul fi dintre numarul de indivizi care au aceasta valoare si efectivul total al populatiei.

A

Definitie. Se numeste frecventa relativa ( sau simplu frecventa ) a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta ni a valorii xi si efectivul total al populatiei.

Se numeste frecventa cumulata crescatoare a unei valori x a variabilei, suma tuturor frecventelor valorilor care apar pana la x inclusiv.

Se numeste frecventa cumulata descrescatoare a unei valori x a variabilei suma tuturor frecventelor valorilor care apar de la x inclusiv.

A

Vom lucra cu frecventa cumulata crescatoare.

Prelucram datele oferite de tabelul 1 sub forma tabelului 5.

Daca din tabelul 5 se retin coloanele unu ( cu valorile caracteristicii ) si trei ( cu valorile frecventelor ) atunci aceste informatii definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei respective.

Analiza statistica a unui fenomen , in raport cu o singura caracteristica , conduce la o serie de perechi de valori (caracteristica, efectiv).

Nota Efectiv Frecventa Frecventa cumulata

3 1 0,040 0,040

3 2 0,080 0,120

4 1 0.040 0,160

5 3 0,120 0,280

6 4 0,160 0,440

7 5 0,200 0,640

8 3 0,120 0,760

9 3 0,120 0,880

10 3 0,120 1

Proiect realizat de : Furtuna Aliona Popescu Carina Cislariu Maria Lavinia