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Matematicas Avanzadas para IngenierıaTransformada Z Inversa: Ejemplos resueltos
1. Indique la transformada Z inversa para cada funcion de variables compleja de la siguiente lista.
a) zz+6
b) zz−1
c) 6 z6 z+1
d) 6 z6 z−1
e) zz5 (z−1)
Indique su transformada inversa dentro de la siguiente lista:
1) (−6)nu(n)
2) 6−n u(n)
3) n 3n u(n)
4) (−6)−n
u(n)
5) u(n− 5)
6) u(n)
7) δ(n) + δ(n− 4)
Solucion
Para a) tenemos:
Z −1{
z
z + 6
}= Z −1
{z
z − (−6)
}= (−6)
nu(n)
Para b) tenemos:
Z −1{
z
z − 1
}= (1)
nu(n) = u(n)
Para c) tenemos:
Z −1{
6 z6 z+1
}= Z −1
{6 z
6 (z+ 16 )
}= Z −1
{z
z+ 16
}=(− 1
6
)nu(n) = (−6)
−nu(n)
Para e) tenemos:
Z −1{
6 z6 z−1
}= Z −1
{6 z
6 (z− 16 )
}= Z −1
{z
z− 16
}=(16
)nu(n) = 6−n u(n)
Para d) tenemos:
Z −1{
zz5 (z−1)
}= Z −1
{z−5 · z
z−1
}= Z −1
{z
z−1
}n=n−5
= u(n− 5)
2. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =4 z2(
z − 14
) (z − 1
2
)De sus primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Apliquemos fracciones parciales a Z(x)/z:
X(z) =4 z2(
z − 14
) (z − 1
2
) = z ·(
16
2 z − 1− 16
4 z − 1
)=
16 z
2 z − 1− 16 z
4 z − 1
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 2
Por tanto
x(n) = Z −1{
16 z2 z−1 −
16 z4 z−1
}= 16
2 ·Z−1{
zz− 1
2
}− 16
4 ·Z−1{
zz− 1
4
}=(8(12
)n − 4(14
)n) · u(n)
3. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
3 z2 − 6 z + 3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Al intentar aplicar fracciones parciales sobre X(z)/z en la TI obtenemos:
z
3 z2 − 6 z + 3= z · 1
3 (z2 − 2 z + 1)
esto se debe a que el denominador es un binomio al cuadrado:
z
3 z2 − 6 z + 3=
1
3z · 1
(z − 1)2
Por ello es que debemos buscar otros caminos. La clave de este problema esta en las formulas siguientes:
Z {an u(n)} =z
z − ay Z {nx(n)u(n)} = −z · d
dzZ {x(n)u(n)}
De ellas deducimos la formula
Z {nan u(n)} =a z
(z − a)2
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 3
Si ahora regresamos a nuestro problema:
Z −1 {X(z)} = Z −1{
13
z(z−1)2
}= 1
3 ·F−1{
z(z−1)2
}= 1
3 · n · 1n · u(n) = 1
3 n · u(n)
4. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z + z2
z2 − 2 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Al aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI obtenemos la misma expresion. Y al revisar las raıces del denominador
vemos que son complejas. Estas raıces las salvaremos en las variables v1 y v2 y cambiaremos el denominador de la expresion
original para buscar fracciones parciales con ellas.
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 4
Agrupando el resultado obtenemos:
X(z) = z ·((
r2+3r1−r2 + 1
)· 1z−r1 −
r2+3r1−r2 ·
1z−r2
)=
(r2+3r1−r2 + 1
)· zz−r1 −
r2+3r1−r2 ·
zz−r2
Por tanto
x(n) =
(1
2− 1
2i
)(1 + i)
nu(n)−
(−1
2− 1
2i
)(1− i)
nu(n)
Simplificando:
x(n) =
(1
2(1− i) (1 + i)n +
1
2(1 + i) (1− i)n
)u(n)
O bien
x(n) =
(1
2(1− i) (1 + i) (1 + i)n−1 +
1
2(1 + i) (1− i) (1− i)n−1
)u(n)
y observando que (1− i) (1 + i) = 2 tenemos que:
x(n) =((1 + i)n−1 + (1− i)n−1
)u(n)
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 5
5. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−3 z2
z2 − 9
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Aplicamos fracciones parciales a X(z)z :
−3 z2
z2 − 9= z ·
(−3 z
z2 − 9
)= z ·
(−3
2· 1
z + 3− 3
2· 1
z − 3
)= −3
2· z
z + 3− 3
2· z
z − 3
Por lo tanto y usando linealidad:
Z −1 {X(z)} = Z −1{− 3
2 ·z
z+3 −32 ·
zz−3
}= − 3
2 ·Z−1{
zz+3
}− 3
2 ·Z−1{
zz−3
}Por lo tanto
x(n) = Z −1 {X(z)} = −3
2· (−3)
nu(n)− 3
2· 3n u(n)
6. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−2 z
z2 − 9 z + 9
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Este es un problema ilustrativo para hacerlo en la calculadora. Si intentamos aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI
obtenemos la misma expresion:
El algoritmo se basa en la factorizacion en base a polinomios con coeficientes racionales. Que no haya obtenido una expresion
nueva puede significar dos cosas: que el denominador es un binomio al cuadrado o bien que las raıces son irracionales o
complejas. Para probar busquemos las raıces complejas del denominador:
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 6
Observamos que en nuestro caso las raıces son irracionales. Para seguir en el ambiente de la calculadora, imaginemos que
la primera de ella es r1 y la segunda r2; bajo este supuesto y debido a que el coeficiente de z2 en del denominador es 1,
podemos pensar que la expresion original es
X(z) =−2 z
(z − r1) (z − r2)
Si aplicamos fracciones parciales a X(z)/z obtenemos:
X(z) = z ·(
2
r1 − r2· 1
z − r2− 2
r1 − r2· 1
z − r1
)=
2
r1 − r2· z
z − r2− 2
r1 − r2· z
z − r1
Por tanto
x(n) = Z −1 {X(z)} = Z −1{
2r1−r2 ·
zz−r2 −
2r1−r2 ·
zz−r1
}= 2
r1−r2 ·Z−1{
zz−r2
}− 2
r1−r2 ·Z−1{
zz−r1
}Y ası:
x(n) =2
r1 − r2· (r2)
nu(n)− 2
r1 − r2· (r1)
nu(n)
Si asumimos los valores de r1 y r2 para hacer los siguientes calculos (observe que r1 y r2 son palabras reservadas en la
calculadora!):
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7. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−10 z + 21 z2
−1 + 8 z − 21 z2 + 18 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Aplicando fracciones parciales a X(z)/z tenemos:
X(z) = z ·(− 3
3 z − 1+
9
(3 z − 1)2+
2
2 z − 1
)
De donde (si hacemos que los coeficientes de z en los denominadores sean 1 factorizando la constante y simplificando):
X(z) = − z
z − 13
+z(
z − 13
)2 +z
z − 12
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 8
Aquı debemos recordar la formula:
Z {nan u(n)} =a z
(z − a)2
obtenemos que:x(n) = −
(13
)nu(n) + 3n
(13
)nu(n) +
(12
)nu(n)
= (3 · n− 1) ·(13
)nu(n) +
(12
)nu(n)
8. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−4 z + 20 z2
−z2 + 4 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Aplicando fracciones parciales a X(z)/z obtenemos:
X(z) = z ·(
16
4 z − 1− 4
z+
4
z2
)= 4 · z
z − 14
− 4 · 1 + 4 z−1
De donde:
x(n) = 4
(1
4
)n
u(n)− 4 δ(n) + 4 δ(n− 1)
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 9
9. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =6 z
23− 10 z + z2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Como las raıces del denominador de X(z) no son enteras (son r1 = 5 +√
2 y r2 = 5−√
2), manejemoslas en forma simbolica
para hacer el desarrollo en fracciones parciales a X(z)/z:
X(z) = z · X(z)
z= z ·
(6
r1 − r2· 1
z − r1− 6
r1 − r2· 1
z − r2
)Por lo tanto,
Z −1 {X(z)} = Z −1{z ·(
6r1−r2 ·
1z−r1 −
6r1−r2 ·
1z−r2
)}= Z −1
{6
r1−r2 ·z
z−r1 −6
r1−r2 ·z
z−r2
}= 6
r1−r2 ·Z−1{
zz−r1
}− 6
r1−r2 ·Z−1{
zz−r2
}= 6
r1−r2 · rn1 · u(n)− 6
r1−r2 · rn2 · u(n)
= 3·√2
2 ·((5 +
√2)n − (5−
√2)n)· u(n)
10. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1)n y
(1/4)n.
Solucion
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
Z {y(n)} = Z
{x(n) +
1
4y(n− 1)
}Por la propiedad de linealidad:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
4Z {y(n− 1)}
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 10
Por la propiedad de adelantamiento de senales:
Z {x(n− 1)} = z−1 Z {x(n)}+ x(−1)
Z {x(n− 2)} = z−2 Z {x(n)}+ z−1 · x(−1) + x(−2)
Z {x(n− 2)} = z−3 Z {x(n)}+ z−2 · x(−1) + z−1 · x(−2) + ·x(−3)...
Al aplicarla a Z {y(n− 1)} nos queda:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
4·(z−1 Z {y(n)}+ y(−1)
)Si pasamos los terminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:(
1− 1
4z−1)
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
4y(−1)
Por lo tanto
Z {y(n)} =
(1
1− 14 z−1
)·(
Z {x(n)}+1
4y(−1)
)Como los datos son: y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n); la expresion queda:
Z {y(n)} =
(1
1− 14 z−1
)·(
z
z − (−1)+
3
4
)Y haciendo algebra y fracciones parciales nos queda:
Z {y(n)} =z (7 z + 3)
(z + 1) (4 z − 1)= z ·
(19
5 (4 z − 1)+
4
5 (z + 1)
)Por tanto, la solucion para y(n) nos queda:
y(n) = Z −1 {Y (z)} = 195·4 Z −1
{z
z− 14
}+ 4
5 Z −1{
zz+1
}= 19
20
(14
)nu(n) + 4
5 (−1)n u(n)
En la ultima imagen del siguiente grupo de cuatro, se comprueba que la solucion encontrada al menos satisface los primeros
valores.
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 11
11. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
5y(n− 1)
si y(−1) = 4 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1/5)n
y (1/5)n.
Solucion
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
Z {y(n)} = Z
{x(n) +
1
4y(n− 1)
}Por la propiedad de linealidad:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
5Z {y(n− 1)}
Por la propiedad de adelantamiento de senales a Z {y(n− 1)} nos queda:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
5·(z−1 Z {y(n)}+ y(−1)
)Si pasamos los terminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:(
1− 1
5z−1)
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
5y(−1)
Por lo tanto
Z {y(n)} =
(1
1− 15 z−1
)·(
Z {x(n)}+1
5y(−1)
)Como los datos son: y(−1) = 5 y x(n) = (−1/5)n u(n); la expresion queda:
Z {y(n)} =
(1
1− 15 z−1
)·(
z
z + 15
+4
5
)Y haciendo algebra y fracciones parciales nos queda:
Z {y(n)} =z (45 z + 4)
(5 z − 1) (5 z + 1)= z ·
(5
2 (5 z + 1)+
13
2 (5 z − 1)
)Por tanto, la solucion para y(n) nos queda:
y(n) = Z −1 {Y (z)} = 52·5 Z −1
{z
z+ 15
}+ 13
2·5 Z −1{
zz− 1
5
}= 1
2
(− 1
5
)nu(n) + 13
10
(15
)nu(n)
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 12
12. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 3 y(n)
si y(0) = 3 y x(n) = 3n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 3n · u(n) y
n · 3n · u(n).
Solucion
Si suponemos que la senal y(n) es cero para n < 0, podemos pensar que y(n) = y(n) · u(n), y ası Z {y(n+ 1)} = z ·Z {y(n)} − z · y(0). Entonces al aplicar la transformada Z a la ecuacion de recurrencia tenemos:
Z {y(n+ 1)} = Z {x(n) + 3 y(n)}
Ası:
z ·Z {y(n)} − z · y(0) = Z {x(n)}+ 3 ·Z {y(n)}
De donde
z ·Z {y(n)} − 3 ·Z {y(n)} = Z {3n u(n)}+ 3 · z =z
z − 3+ 3 · z
Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 13
Por lo tanto
Z {y(n)} =z
z−3 + 3 · zz − 3
=z
(z − 3)2+ 3 · z
z − 3
Y ası
y(n) = Z −1 {Z {y(n)}} = Z −1{
z
(z − 3)2+ 3 · z
z − 3
}Como
Z {n · an · u(n)} =a · z
(z − a)2y Z {an · u(n)} =
z
z − a
Ası
Z −1{
z
(z − 3)2
}= Z −1
{1
3· 3 · z
(z − 3)2
}=
1
3·Z −1
{3 · z
(z − 3)2
}=
1
3· n · 3n · u(n)
y por tantoy(n) = 1
3 · n · 3n · u(n) + 3 · 3n · u(n)
= 3 · 3n · u(n) + 13 · n · 3
n · u(n)
=(3 + 1
3 · n)· 3n · u(n)
De acuerdo a lo solicitado, en la forma cerrada de y(n) el coeficiente de 3n · u(n) es 3, mientras que el coeficiente de
n · 3n · u(n) es 1/3.