Matemáticaspara administración y economía

Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

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Unidad IV(Capítulos 11 y 13 del texto)

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TÓPICOS COMPLEMENTARIOSDE DIFERENCIACIÓN

4.1 Derivadas de funcioneslogarítmicas

4.2 Derivadas de funcionesexponenciales

4.3 Diferenciación implícita

4.4 Diferenciaciónlogarítmica

4.5 Derivadas de ordensuperior

4.6 Diferenciales

4.7 Aplicaciones a lasciencias económicoadministrativas

Derivadas de funciones logarítmicas

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Si f(x) = ln x, entonces f ´(x) = 1/x

Caso particular (Regla de la Cadena)

)(')(

1)('entonces)),(ln()(Si xf

xfxfxfxf ⋅==

Derivadas de funcionesexponenciales

4

xx exfexf == )('entonces,)(Si

Caso particular (Regla de la Cadena)

)(')('entonces,)(Si )()( xfexfexf xfxf ⋅==

5

Halle dy/dx si:2

ln1

xy

x

= −

2xy e=

a)

b)

Ejemplos

Diferenciación implícita

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¡Interrogante!

¿Se puede “despejar” y en términos de x?

¿en cuál de los dos casos se puede obtener dy/dx? ¿acasoen los dos?

De la expresión: 2 2 4x y+ =

¿Y de la expresión: ?05223 =−+ xyxyx

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Diferenciación implícitaRecordemos la regla de la cadena, la derivada de

con respecto a x es:

Si a lo llamamos “y” tendríamos que laderivada de sería:

( )325 1x +

Nótese que cuando y depende implícitamente de x, laderivada respecto de x de y3 es 3y2y´

xx 10)15(3 22 ⋅+⋅

xx 10)15(3 22 ⋅+⋅

3 y2 y´

( )15 2 +x3y

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Procedimiento de diferenciación implícita

Para una ecuación que suponemos define implícitamente a y comouna función diferenciable de x, la derivada dy/dx puede encontrarsecomo sigue:

Derive ambos miembros de la ecuación con respecto a x.

Agrupe todos los términos que contenga dy/dx en un miembro de laecuación y agrupe los demás términos en el otro miembro.

Saque dy/dx como factor común en el miembro que contenga lostérminos dy/dx.

Despeje dy/dx.

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Si y es una función implícita de x, determine dy/dx:

)ln(.

.

13.

.2

2

yxd

exc

xyb

xya

y

==

==

Ejemplos:

Primeraderivada

Segundaderivada

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Derivadas de orden superior

¿Cómo se puede determinar a qué ritmo está cambiandola razón de cambio de una función en un instante dado?

Analice y responda

( ) ( )

( )2 2

22 2

( )

x

x

dy dy f x f x D y

dx dx

d y dy f x f x D y

dx dx

′ ′

′′ ′′

Notación: sea y = f (x), entonces

Primeraderivada

Segundaderivada

11

Derivadas de orden superior

( ) ( )

( )2 2

22 2

( )

x

x

dy dy f x f x D y

dx dx

d y dy f x f x D y

dx dx

′ ′

′′ ′′

Sea y = f (x), entonces

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Ejemplos:

Para y = (x2 + 10x)20, halle y´ y y´´.

13

DiferencialesAlgunas veces, el incremento de denominadiferencial de x y se denota mediante dx,entonces la fórmula de aproximación puedeescribirse:

dxxff )('≈∆

x∆

La diferencial de y se define como:

dxxfdy )('=