Matemaa&nen  logiikka  Osa  3  

Jouko  Väänänen  Syksy  2010  

Lukuteoria  

Lukuteorian  aakkosto  

Peanon  aksioomat  

Lukuteorian  standardimalli  

Lukuteorian  ris>riida?omuus?  

Epästandardimallit  

Lukuteorian  todistukset  

Rekursio  

Rekursio  

Example  

Primi>ivirekursiiviset  funk>ot  

Esimerkkejä  

Yhteenlasku  

Kertolasku  

Vähennyslasku  

Relaa>ot  

Esimerkkejä  

Boolen  operaa>ot  

Järjestysrelaa>o  

Yleiste?y  tulo  ja  summa  

Rajoite?u  kvan>fioin>  

Rajoite?u  minimalisaa>o  

Sovelluksia  

Parifunk>o  

Koodaus  ja  koodin  purku  

Jakoiden>tee&  

Suhteelliset  alkuluvut  

Jakojäännös  on  p.r.  

Jaollisuus  on  p.r.  

``Suhteellinen  alkuluku”  on  p.r.  

Alkulukujen  joukko  on  p.r.  

Pienimmät  alkuluvut  

Alkulukuja  on  ääre?ömän  monta  

•  Olkoon  n  luonnollinen  luku  >2.  •  Olkoon  m  luku  n!+1.  

•  m  ei  ole  jaollinen  millään  luvuista  2,3,…,n.  

•  Joko  m  itse  on  alkuluku  (>n)  tai  sillä  on  alkulukutekijä  k>n.  

•  Joka  tapauksessa  on  olemassa  alkuluku  >n.  

Alkulukukehitelmä  

Alkulukukehitelmän  purku  

Koodaus  alkuluvuilla  

Koodin  ominaisuuksia  

Koodaus  -­‐  kertausta  

m  

Koodaus  on  p.r.  

Kaksoisrekursio  (Ris>kkäinen  rekursio)  

Kaksoisrekursio  (Ris>kkäinen  rekursio)  

Apufunk>o  

Mutkikkaammat  rekursiot  

Mutkikkaammat  rekursiot  

Apufunk>o  

Mutkikkaammat  rekursiot  

Apufunk>o  

Tarvitaan  myös  aputulos:  

`Course-­‐of-­‐values”  rekursio  

Fibonacci  jono  on  p.r.  

Minimalisaa>o  

Minimalisaa>o  

Rekursiiviset  funk>ot  

Rajoite?u  kvan>fioin>  säily?ää  rekursiivisuuden  

Rajoite?u  kvan>fioin>  säily?ää  rekursiivisuuden  

Rekursio  säily?ää  rekursiivisuuden  

Kiinalainen  jäännöslause  

•  Olkoon  n1,…,nk  suhteellisia  alkulukuja.  •  Kaikille  a1,…,ak  on  olemassa  b  siten  e?ä  –  Jakojäännös,  kun  b  jaetaan  n1:llä  on  a1  – …  –  Jakojäännös,  kun  b  jaetaan  nk:lla  on  ak  

•  Huom:  b  ``koodaa”  jonon  a1,…,ak      

Ackermannin  funk>o  

Määriteltävyys  lukuteoriassa  

•  Relaa>o  R  on  määriteltävissä  mallissa  N jos  on  olemassa  kaava  φ  siten,  e?ä  kaikille  s  

Funk>on  määriteltävyys  

Yhdistäminen  säily?ää  määriteltävyyden  

Minimalisaa>o  säily?ää  määriteltävyyden  

Rekursiiviset  ovat  määriteltäviä  

Gödel  numeroin>  

Gödel  numeroin>  

Gödel  numeroin>  

Gödel  numeroin>  

Termien  jooukko  on  p.r.  

Todistus  

Jonotulo  

Sijoitusoperaa>o  

Sijoitus  on  p.r.  

Valehtelijan  paradoksi  

Gödel  lause  

Analyysin  kiintopistelause  

•  Konveksissa  kompak>ssa  joukossa  jatkuvalla  funk>olla  f  on  aina  kiintopiste  x=f(x).    

Konveksi,  kompak>   Ei  kompak>  Ei  konveksi  

Logiikan  kiintopistelause  

Kiintopistelauseen  todistus  

Kiintopistelauseen  todistus  

Alfed  Tarski  1901-­‐1983  

Todistus  

Todistus  

Totuu?a  ei  voi  ``laskea”  

Rekursiivinen  numeroituvuus  

Intui>o  

A  on  rekursiivinen   A  on  r.n.  

Rekursiivinen    rekursiivises>  numeroituva  

Rekursiivinen    rekursiivises>  numeroituva  

Intui>o  

A  on  rekursiivinen   A:n  komplemen&  on  r.n.   A  on  r.n.  

Tärkeä  esityslause  

Todistus  ``”  

Todistus  ``”  

Sulkeumaominaisuus  

Sulkeumaominaisuus  

Sulkeumaominaisuus  

Tärkeä  lause!  

Todistus