matemaatiline analüüs ii loengu konspekt

Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)

1

§§11.. MMIITTMMEE MMUUUUTTUUJJAA FFUUNNKKTTSSIIOOOONNIIDD

1. Ruum Rm, hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide ( )mxxP ,...,1= hulka nimetatakse

m-mõõtmeliseks ruumiks.

Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide ( )mxxP ,...,1= ja ( )myyQ ,...,1=

vaheline kaugus ( )QPd , valemiga ( ) ( )∑=

−=m

iii yxQPd

1

2, , siis nimetatakse seda ruumi

m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse mR .

Süsteemi ( )mxxP ,...,1= nimetatakse ruumi mR punktiks ning reaalarve ( )mixi ≤≤1 punkti P

koordinaatideks.

Fikseerime punkti ( ) mm RxxA ∈= ,...,1 ja reaalarvu 0>r .

Def. Hulka ( ) ( ){ }rAPdRPrAB m <∈= ,:, nimetatakse lahtiseks keraks ruumis mR .

Def. Hulka ( ) ( ){ }rAPdRPrAB m ≤∈= ,:, nimetatakse kinniseks keraks ruumis mR .

Punkti A nimetatakse kera keskpunktiks ning reaalarvu r kera raadiuseks.

RR =1 - arvsirge ( ) yxQPd −=, ( ) ( )rararAB +−= ,, - vahemik

2R - koordinaattasand ( ) ( ) ( )222

211, yxyxQPd −+−= ( ) ( ){ }222 ,:, rAPdRPrAB <∈=

Fikseerime punkti ( ) mm RxxA ∈= ,...,1 ja reaalarvu 0>ε .

Def. Punkti mRA∈ ümbruseks nimetatakse hulka ( ) ( )ε,ABAU = .

Öeldakse ka punkti ε-ümbrus ning kirjutatakse ( )AU ε .

Def. Punkti mRP∈ nimetatakse hulga mRD ⊂ sisepunktiks, kui leidub ümbrus ( ) DPU ⊂ .

Def. Punkti mRQ∈ nimetatakse hulga mRD ⊂ rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus

( )QU sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte.

Def. Hulga mRD ⊂ rajaks D∂ nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka.

Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks.

Def. Hulka mRD ⊂ nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid.

Def. Hulka mRD ⊂ nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte.

Näited: 1) ( ) { }bxaxbaD <<== :, { } DbaD ⊄=∂ , hulk D on lahtine 2) [ ] { }bxaxbaD ≤≤== :, { } DbaD ⊂=∂ , hulk D on kinnine 3) [ ) { }bxaxbaD <≤== :, { }baD ,=∂ hulk D ei ole lahtine ega kinnine


2

2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste

Def. Kui hulga mRD ⊂ igale punktile ( )mxxP ,...,1= on vastavusse seatud kindel reaalarv z ,

siis öeldakse, et hulgal D on määratud m-muutuja funktsioon f .

Kirjutame: ( )Pfz = või ( )mxxfz ,...,1=

Hulka D nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks.

Funktsiooni ( )Pfz = loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse punktide P hulka, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet.

Def. M-muutuja funktsiooni f graafikuks nimetatakse hulka

( ) ( ) ( ) ( ){ }mm

mm

m xxfzRxxRzxxf ,...,,,...,:,,..., 111

1 =∈∈=Γ + .

3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus Olgu antud funktsioon ( ) ( ) DPxxfPfz m ∈== ,...,1 ja punkt DDA ∂∪∈ .

Def. Arvu α nimetatakse funktsiooni ( )Pfz = piirväärtuseks punktis A , kui iga arvu 0>ε korral leidub niisugune arv ( ) 0>εδ nii, et kehtib võrratus

( ) εα <−Pf alati kui ( ) δ<< APd ,0 .

Kirjutame: ( ) α=→

PfAP

lim või ( ) α=→ maaxx

xxfmm

,...,lim 1,...,,..., 11

või ( ) α→Pf kui AP →

4. Mitme muutuja funktsiooni pidevus

Olgu antud funktsioon ( ) mRDPPfz ⊂∈= ja punkt DDA ∂∪∈ .

Def. Funktsiooni ( )Pfz = nimetatakse pidevaks punktis A , kui ( ) ( )AfPfAP

=→

lim ning

pidevaks hulgas D , kui ta on pidev selles hulga igas punktis DP∈ .

Funktsiooni ( )Pfz = nimetatakse pidevaks kõikjal, kui ta on pidev hulgas mR .

Def. Mitme muutuja funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest rakendades lõpliku arvu aritmeetilisi tehteid ja liitfunktsiooni moodustamisi, nimetatakse mitme muutuja elementaarfunktsiooniks.

Väide. Kõik mitme muutuja elementaarfunktsioonid on oma määramispiirkonnas pidevad.

Def. Punkti DDA ∂∪∈ nimetatakse funktsiooni katkevuspunktiks, kui funktsioon pole pidev selles punktis.

Punkt A on funktsiooni ( )Pfz = katkevuspunkt, kui kehtib üks järgmistest:

1. punkt A ei kuulu funktsiooni määramispiirkonda;

2. ei eksisteeri piirväärtust ( )PfAP→

lim ;

3. ei kehti võrdus ( ) ( )AfPfAP

=→

lim .


3

5. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis Olgu antud funktsioon ( )mxxfz ,...,1= . Olgu argumendi ( )mixi ≤≤1 muut ixΔ .

Def. Funktsiooni ( )mxxfz ,...,1= osatuletiseks muutuja ( )mixi ≤≤1 järgi punktis

( )mxxP ,...,1 nimetatakse piirväärtust

( ) ( )i

mmiiii

xx xxxfxxxxxxf

fi

i Δ−Δ+

= +−

→Δ

,...,,...,,,,...,lim: 1111

0.

Tähistus: ( )ii

xxx xz

xfzPff

iii ∂∂

=∂∂

===

Osatuletise leidmine:

Funktsiooni ( )mxxfz ,...,1= osatuletiste leidmisel muutuja ( )mixi ≤≤1 järgi kasutatakse ühe

muutuja funktsiooni tuletise leidmise eeskirju, lugedes need muutujad, mille järgi parajasti osatuletist ei leita, konstantideks.

Osatuletise geomeetriline tähendus

( )baf x , on joone ( )

⎩⎨⎧

==

=Γby

yxfzx

,: punktis A′ võetud

puutuja tõus tasandil by = . ( ) αtan, =baf x

Analoogselt:

( )baf y , on joone ( )

⎩⎨⎧

==

=Γax

yxfzy

,: punktis A′ võetud

puutuja tõus tasandil ax = . ( ) βtan, =baf y

Tõestus. Funktsiooni ( )yxfz ,= graafik on pind ( ) ( ) Dyxyxfz ∈= ,, .

Fikseerime punkti ( ) DbaA ∈= , . Vastav punkt pinnal ( )yxfz ,= on ( )( )bafbaA ,,,=′ .

Pinna ( )yxfz ,= ja tasandi by = lõikejoon on ( )

⎩⎨⎧

==

=Γby

yxfzx

,: .

Joon xΓ ja tema puutuja asuvad tasandil by = ja punktis A′ võetud puutuja tõus on funktsiooni

( )bxfz ,= tuletis punktis a , kuid seejuures ( ) ( ) ( ) ( )x

bafbxfbafbxfxxax Δ

−==′

→Δ=

,,lim,,0

.

Seega ( )baf x , on joone xΓ punktis A′ võetud puutuja tõus tasandil by = . ■

x

y

z

b

a

A´

A

α

y = b

z = f(x, y) Гx

c


4

6. Pinna ( )yxfz ,= puutujatasand ja normaal

Def. Pinna ( )yxfz ,= puutujaks punktis ( )( )bafbaA ,,,=′ nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A′ läbiva joone Γ puutujat.

Väide. Kui punktis ( )baA ,= leiduvad pidevad osatuletised xf ja yf , siis pinna ( )yxfz ,=

puutujad punktis ( )( )bafbaA ,,,=′ asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse

pinna ( )yxfz ,= puutujatasandiks punktis A′ .

Puutujatasandi võrrand: Pinna ( )yxfz ,= puutujatasandi võrrand punktis ( ) ( )bafccbaA ,,, ==′ on ( ) ( )( ) ( )( )bybafaxbafcz yx −+−=− ,, .

Tõestus. Olgu antud tasand, mis läbib punkti ( ) ( )bafccbaA ,,, ==′ ja mille normaal on

( )CBAn ~,~,~=

r , siis ( ) ( ) ( ) 0~~~=−+−+− czCbyBaxA . Olgu 0~

≠C .

Tähistame CAk ~~: −= , CBl ~~: −= , siis ( ) ( ) ( )bylaxkcz −+−=− .

Vastavalt osatuletiste ( )yxfx , ja ( )yxf y , geomeetrilisele tähendusele on joonte xΓ ja yΓ

puutujavõrrandid vastavalt ( )( )

⎩⎨⎧

=−=−

byaxbafcz x ,

ja ( )( )

⎩⎨⎧

=

−=−

ax

bybafcz y ,.

Kuna need puutujad asuvad samuti puutujatasandil, siis võttes puutujatasandi võrrandis by = , saame esimese puutujavõrrandi abil ( )bafk x ,= ning võttes puutujatasandi võrrandis ax = , saame

teise puutujavõrrandi abil vastavalt ( )bafl y ,= . Seega on punktis ( ) ( )bafccbaA ,,, ==′ pinna

( )yxfz ,= puutujatasandi võrrand ( ) ( )( ) ( )( )bybafaxbafcz yx −+−=− ,, . ■

Def. Pinna ( )yxfz ,= normaaliks punktis ( )baA ,= nimetatakse punktis ( )( )bafbaA ,,,=′ võetud puutujatasandi normaali.

Puutujatasandi võrrandist saame normaali (normaalivektori) ( ) ( )( )1,, AfAfn yx −−=r .

Normaali kui sirge võrrand on seega ( ) ( ) 1,,cz

bafby

bafax

yx

−=

−−

=−

− .

7. Kõrgemat järku osatuletised Vaatleme funktsiooni ( )yxfz ,= . Vastavused ( ) ( )PfyxP x→= , , ( ) ( )PfyxP y→= , määravad

taas kahe muutuja funktsioonid. Võime leida nendest osatuletised (teist järku osatuletised):

( ) 2

2

xff

xf xxx ∂

∂=

∂∂

= ( ) 2

2

yff

yf yyy ∂

∂=

∂∂

= ( )yxff

yf xxy ∂∂

∂=

∂∂

=2

( )xyff

xf yyx ∂∂

∂=

∂∂

=2

Viimaseid kahte teist järku osatuletist nimetatakse segatuletisteks.

Teoreem 1 (Schwarzi teoreem). Kui funktsiooni ( )yxf , osatuletised xyf ja yxf on pidevad

punktis ( )yxP ,= , siis ( ) ( )PfPf yxxy = .


5

8. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus, täisdiferentsiaal

Olgu antud funktsioon ( )Pfz = , kus mRDP ⊂∈ . Olgu argumendi ( )mixi ≤≤1 muut ixΔ .

Valime punkti ( )mm xxxxQ Δ+Δ+= ,...,11 . Siis funktsiooni muut ( ) ( )PfQff −=Δ .

Def. Funktsiooni ( )Pfz = nimetatakse punktis P diferentseeruvaks, kui tema muut avaldub kujul

( ) ( ) mmmxx xxxPfxPffm

Δ++Δ+Δ++Δ=Δ αα ...... 1111,

kus 0→iα kui 0→Δ ix { }mi ,...,1∈ .

Seejuures avaldist

( ) ( ) ( ) mxx xPfxPfPdfm

Δ++Δ= ...11

nimetatakse funktsiooni f (esimest järku e. esimeseks) täisdiferentsiaaliks punktis P .

Siin ( )ρααα oxx mm =Δ++Δ= ...11 , kus ( )QPd ,=ρ ehk 0lim0

=→ ρα

ρ.

Olgu ( ) mixxxfz im ≤≤== 1,...,1 . Siis ( ) iiixii xxxxdxdfi

Δ=Δ⋅=Δ== 1 .

Järelikult ii xdx Δ= ehk argumendi diferentsiaal on võrdne argumendi muuduga.

Täisdiferentsiaali sagedasem kuju: ( ) ( ) mxx dxPfdxPfdfm

++= ...11.

Liidetavaid ( ) midxPf ixi...,,1= nimetatakse funktsiooni f osadiferentsiaalideks punktis P .

Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus

Geomeetriliselt tähendab funktsiooni f täisdiferentsiaal funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi (e. z-koordinaadi) muutu.

Tõestus.

Funktsiooni ( )Pfz = diferentseeruvus kohal ( )00 , yxP = tähendab geomeetriliselt, et pinnal

( )Pfz = on punktis ( ) ( )000000 ,,, yxfzzyxP ==′ olemas z-teljega mitteparalleelne

puutujatasand ( ) ( )( ) ( )( )000 yyPfxxPfzz yx −+−=− .

Et leida täisdiferentsiaali df geomeetrilist tähendust, vaatleme puutujatasandil punkti ( )zyxS ,,= ,

mille abtsiss on hxx += 0 ja ordinaat kyy += 0 .

Asendades need kaks koordinaati puutujatasandi võrrandisse, saame punkti S aplikaadi z jaoks: ( ) ( ) ( ) dfkPfhPfzz yx =+=− 0 , kus vahe 0zz − kujutab puutujatasandi aplikaadi muutu RS . Siin

( )0,, zyxR = .

Niisiis, geomeetriliselt tähendab funktsiooni f täisdiferentsiaal funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi muutu. ■


6

9. Kõrgemat järku täisdiferentsiaalid

Olgu antud funktsioon ( )Pfz = , kus mRDP ⊂∈ . Olgu argumendi ( )mixi ≤≤1 muut ixΔ .

Täisdiferentsiaal df on fikseeritud mxx ΔΔ ,...,1 korral funktsioon.

Def. Kui funktsioon df on diferentseeruv, siis täisdiferentsiaali ( )dfd nimetatakse funktsiooni f teist järku (teiseks) täisdiferentsiaaliks.

Tähistame: ( )dfdfd =2

Üldiselt: Funktsiooni f n-järku täisdiferentsiaal avaldub kujul ( )fddfd nn 1−= .

2-muutuja funktsiooni 2. täisdiferentsiaal: 222 2 dyfdxdyfdxffd yyxyxx ++=

2-muutuja funktsiooni n-is täisdiferentsiaal: ∑=

−− ∂∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

k

kknkkn

nn dydx

yxz

kn

zd0

10. Tuletis antud suunas Olgu antud funktsioon ( )yxfz ,= . Fikseerime punkti ( )yxP ,= . Rakendame punktist P

vektori PRs =r . Võtame vektoriga määratud kiirel punkti ( )yyxxQ Δ+Δ+= , . Tähistame

( )QPdPQ ,==ρ .

Def. Piirväärtust ( ) ( ) ( )ρρ

PfQfsPf −

=∂

∂→0

limr nimetatakse funktsiooni f tuletiseks vektori sr

suunas punktis P .

Teoreem 2: Kui funktsioon ( )yxf , on diferentseeruv punktis P , siis leidub

( ) ( ) ( ) βα coscos PfPfsPf

yx +=∂

∂r , kus ( )βα cos,cos=es on vektori sr suunaline ühikvektor.

Tõestus.

Kuna f on diferentseeruv, siis (p. 8 põhjal).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρ

αρ

αβα

ραα

ρyxPfPf

yxyPfxPfPfQfyx

yx Δ+

Δ++=

Δ+Δ+Δ+Δ=

− 2121 coscos

Tegime asenduse αρ

cos=Δx , β

ρcos=

Δy ( αβ sincos = , seega 1coscos 22 =+ βα ).

( ) ( )22 yx Δ+Δ=ρ , seega 00, →⇔→ΔΔ ρyx ning ( ) ( )

1,122

≤Δ

≤Δ+Δ

Δ=

Δρρy

yx

xx .

Funktsiooni f diferentseeruvuse tõttu 0, 21 →αα kui 0, →ΔΔ yx .

Seega 021 →Δ

+Δ

ρα

ρα yx , kui 0→ρ ning ( ) ( ) ( ) ( ) βα

ρρcoscoslim

0PfPfPfQf

yx +=−

→. ■


7

Def. Funktsiooni ( )yxfz ,= gradiendiks punktis ( )yxP ,= nimetatakse vektorit

( ) =∇ Pf grad ( ) ( ) ( )( )PfPfPf yx ,= .

Seega võime funktsiooni f tuletise vektori sr suunas punktis P arvutada skalaarkorrutise abil:

( )=

∂∂

sPfr grad ( ) esPf ⋅ , kus

ssse r

r

= .

Analoogiliselt ( )zyxf ,, korral: ( )γβα cos,cos,cos=es , grad ( ) ( ) ( ) ( )( )PfPfPfPf zyx ,,= .

Teoreem 3: Kehtivad järgmised väited:

1. Tuletis sd

dfr võrdub vektori grad f projektsiooniga vektori sr sihile;

2. Tuletis sd

dfr on maksimaalne (minimaalne) kui tuletis on võetud grad f suunas

(vastavalt vastassuunas).

Tõestus.

Olgu γ nurk vektorite grad f ja sr vahel.

1. Skalaarkorrutise definitsiooni põhjal:

=∂∂sfr grad ( ) |=⋅ esPf grad |cos||| =γesf grad =γcos|f pr sr grad f

2. =∂∂sfr pr sr grad f on maksimaalne kui ( ) ⇒== 1cos0 γγ |=

∂∂sfr grad |f

=∂∂sfr pr sr grad f on minimaalne kui ( ) ⇒−== 1cosγπγ |−=

∂∂sfr grad |f ■

Tuletis sfr∂∂ on seega funktsiooni f muutumise kiirus vektori sr suunas: f kasvab (kahaneb) kõige

kiiremini grad f (vastavalt –grad f ) suunas.


8

Ilmutamata kujul antud funktsioonid Teoreem. Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon ( ) 0, =yxF ning punkt ( )yxP ,0 = .

1. yFF , on pidevad punkti 0P ümbruses;

2. ( ) 00 =PF ;

3. ( ) 00 ≠PFy ;

4. leidub xF , mis on pidev punkti 0P ümbruses.

Kui kehtivad väited 1 – 3, siis funktsioon ( ) 0, =yxF määrab punkti 0P ümbruses pideva

funktsiooni ( )xyy = .

Kui kehtivad väited 1 – 4, siis leidub punkti 0P ümbruses pidev funktsioon y′ :

y

x

FF

y −=′ .

Teoreem. Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon ( ) 0,, =zyxF ning punkt ( )zyxP ,,0 = .

1. zFF , on pidevad punkti 0P ümbruses;

2. ( ) 00 =PF ;

3. ( ) 00 ≠PFz ;

4. leiduvad xF ja yF , mis on pidevad punkti 0P ümbruses.

Kui kehtivad väited 1 – 3, siis funktsioon ( ) 0,, =zyxF määrab punkti 0P ümbruses pideva

funktsiooni ( )yxzz ,= .

Kui kehtivad väited 1 – 4, siis leiduvad punkti 0P ümbruses pidevad funktsioonid xz ja yz :

z

xx F

Fz −= ,

z

yy F

Fz −= .

Ilmutamata funktsiooniga ( ) 0,, =zyxF määratud pinna puutujatasand punktis ( )0000 ,, zyxP = ning normaal punktis 0P avalduvad vastavalt kujul:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0000000 =−+−+− zzPFyyPFxxPF zyx ,

( ) ( ) ( )( )000 ,, PFPFPFn zyx=r

.


9

11. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon ( ) DPPfz ∈= .

Def. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis DA∈ lokaalne maksimum (miinimum), kui

leidub punkti A ümbrus ( )AU nii, et ( ) ( )AfPf ≤ (vastavalt ( ) ( )AfPf ≥ ) iga ( )AUP∈ korral.

Tähistus: locmax ( )Aff = (vastavalt locmin ( )Aff = )

Analoogselt defineeritakse range lokaalne miinimum ja range lokaalne maksimum – võrdus realiseerub ainult punktis A .

Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum.

Teoreem 4. Olgu funktsioon ( )mxxf ,...,1 diferentseeruv punktis A ning olgu punktis A

funktsioonil f lokaalne ekstreemum.

Siis kehtib

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

0...

01

Af

Af

mx

x

.

Funktsioonil f eksisteerivad lõplikud osatuletised, kuna ta on diferentseeruv antud punktis.

Lisaks: ( ) ⇔= 0Adf grad ( ) oAf r=

Tõestus.

Vaatleme ühe muutuja funktsiooni ( ) ( )maaaxfxF ,...,,, 3211 = , siis on funktsioonil F punktis 1a

lokaalne ekstreemum, mistõttu ( ) 01 =′ aF . Saame kirjutada

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,...,,,...,,

limlim1

1 1

21211

0

11

01 ==Δ

−Δ+=

Δ−Δ+

=′→Δ→Δ

Afx

aaafaaxafx

aFxaFaF xmm

xx

Analoogselt iga mi ≤≤1 korral ( ) 0=Afix . ■

Lokaalne ekstreemum punktis, kus funktsioon pole diferentseeruv

Funktsioonil f võib olla lokaalne ekstreemum ka punktis, kus f pole diferentseeruv, kui ei leidu

lõplikku osatuletist ixf mingi i korral.

Näide: 22 yxz += (koonus). Selge, et locmin ( ) 00,0 == zz .

Samas ei leidu osatuletisi ( )0,0xz ega ( )0,0yz :

( ) ( ) ( ) ( )x

xx

xx

xx

xzxzz

xxxx Δ=⎩⎨⎧

<Δ−>Δ

=Δ

Δ=

ΔΔ

=Δ

−Δ+=

→Δ→Δ→Δsgn

0101

limlim00lim0,00

2

00

Kuna ühepoolsed piirväärtused on erinevad, siis kahepoolne piirväärtus puudub.

Järelikult ei leidu ( )0,0xz . Analoogselt ( )0,0yz korral.


10

Olgu antud funktsioon ( ) mRDPPfz ⊂∈= .

Def. Punkti DA∈ nimetatakse funktsiooni f statsionaarseks punktiks, kui 0=ixf iga

mi ,...,1= korral.

Def. Punkti DA∈ nimetatakse funktsiooni f kriitiliseks punktiks, kui ta on kas funktsiooni f statsionaarne punkt või funktsioon f pole diferentseeruv selles punktis (mingi i korral ei

leidu lõplikku osatuletist ixf ).

Seega funktsiooni f lokaalsed ekstreemumid saavad realiseeruda ainult kriitilistes punktides.

12. Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid Def. Funktsiooni ( )Pfz = globaalseks maksimumiks (miinimumiks) hulgas D nimetatakse funktsiooni f suurimat (vastavalt vähimat) väärtust piirkonnas D .

Tähistus: ( ) MPfDP

=∈

max (vastavalt ( ) mPfDP

=∈

min )

Def. Piirkonda D nimetatakse tõkestatud piirkonnaks, kui leidub niisugune kera ( ) ( ){ }rAPdPrAS <= ,:, , mille alamhulk on D .

Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D , siis leiduvad punktid

DQP ∈00 , nii, et ( ) ( )0max PfPfDP

=∈

ja ( ) ( )0min QfPfDP

=∈

.

Analoogia: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus.

Globaalsete ekstreemumite leidmine:

Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ning funktsioon f pidev selles piirkonnas.

1. Leiame funktsiooni f kriitilised punktid DPP r ∈,...,1 ;

2. Arvutame ( ) ( )rPfPf ,...,1 ;

3. Leiame globaalsed ekstreemumid ( )PfMDPD ∂∈∂ = max ja ( )Pfm

DPD ∂∈∂ = min piirkonna D rajal D∂ ,

mis koosneb ( )1−m -muutuja funktsioonidest;

4. Siis ( ) ( )( )Dr MPfPfM ∂= ,,...,max 1 , ( ) ( )( )Dr mPfPfm ∂= ,,...,min 1 .


11

§§22.. KKAAHHEEKKOORRDDSSEEDD IINNTTEEGGRRAAAALLIIDD

1. Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tõlgendus Def. Piirkonna D diameetriks nimetatakse arvu ( ) ( )QPdDd

DQP,sup

, ∈= .

Olgu antud funktsioon ( )yxfz ,= , mis on määratud kinnises tõkestatud piirkonnas 2RD ⊂ .

Jagame piirkonna D teatavate joontega osapiirkondadeks nDD ,...,1 nii, et nad paarikaupa ei

omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid niDP ii ,...,1=∈ .

Def. Kui sõltumata piirkonna D alajaotusest ja punktide iP valikust eksisteerib lõplik

piirväärtus

( ) ( )∑=

→=

n

iii IDSPf

10limλ

, kus ( )iniDd

≤≤=

1maxλ ,

siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f kahekordseks integraaliks üle piirkonna D .

Tähistus: ∫∫D

fdS , ( )∫∫D

dSPf , ( )∫∫D

dxdyyxf ,

Piirkonna D pindala arvutamine:

( ) ( )DSDSdxdyn

ii

D

== ∑∫∫=

→ 10limλ

, kus ( )DS on piirkonna D pindala. ( ( ) 1, =yxf )

Kõversilindri ruumala arvutamine: Kui ( )yxfz ,= , ( ) 0, ≥yxf , siis ( ) ( )KVdxdyyxfD

=∫∫ , , kus

( )KV on kõversilindri ( ) ( ) ( ){ }yxfzDyxzyxK ,0,,:,, ≤≤∈= ruumala.

Tõestus.

Olgu ( )yxfz ,= ( ) 0, ≥yxf , ( ) DyxP ∈= , . Olgu ( ) ( ) ( ){ }yxfzDyxzyxK ,0,,:,, ≤≤∈= .

K on kõversilinder, mis on piiratud pindadega 0=z (xy-tasand), ( )yxfz ,= ja püstsilinder-pinnaga, mille juhtjooned on piirkonna D rajajoon.

Jagame piirkonna D teatavate joontega osapiirkondadeks nDD ,...,1 nii, et nad paarikaupa ei omaks

ühiseid sisepunkte. Siis jaotub K n-iks kõversilindriks iK ni ,...,1= . Olgu ( )iniDd

≤≤=

1maxλ .

Valime punktid niDP ii ,...,1=∈ . Kõversilindri iK ruumala ( ) ( ) ( )iii DSPfKV = .

Kõversilindri ruumala ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

==n

iii

n

ii DSPfKVKV

11 on seda täpsem, mida väiksem on λ .

Ruumala täpseks määratluseks loome integraali ( ) ( ) ( )∑ ∫∫=

→=

n

i Dii dxdyyxfDSPf

10,lim

λ.

Kui ( ) 0, ≥yxf , siis ( ) ( )KVdxdyyxfD

=∫∫ , . ■


12

2. Kahekordse integraali omadused Eeldame, et kõik selles osas vaadeldavad integraalid eksisteerivad.

Omadus 1 (aditiivsus). Kui 21 DDD ∪= , kusjuures 1D ja 2D ei oma ühiseid sisepunkte, siis

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=21 DDD

dSPfdSPfdSPf .

Omadus 2 (lineaarsus). Iga R∈βα , korral

( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+DDD

dSPgdSPfdSPgPf βαβα .

Omadus 3 (monotoonsus). Kui ( ) ( )PgPf ≤ iga DP∈ korral, siis

( ) ( )∫∫∫∫ ≤DD

dSPgdSPf .

Def. Piirkonda D nimetatakse sidusaks piirkonnaks, kui selle piirkonna igat kahte punkti saab ühendada sellesse piirkonda kuuluva pideva joonega.

Sidus piirkond koosneb ühest „tükist“.

Omadus 4 (keskväärtusteoreem). Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D , siis leidub punkt DQ∈ nii, et

( ) ( ) ( )DSQfdSPfD

=∫∫ .

Analoogia: Kui funktsioon f on pidev lõigus [ ]ba, , siis [ ]ba,∈∃η nii, et ( ) ( )( )abfdxxfb

a

−=∫ η .

Kahekordse integraali olemasolu

Piisav tingimus: Kui f on pidev piirkonnas D , siis on ta ka integreeruv selles piirkonnas.

Tarvilik tingimus: Funktsiooni f integreeruvuseks piirkonnas D on tarvilik funktsiooni f

tõkestatus selles piirkonnas ( ( ) DPMPfM ∈∀≤>∃ :0 ).


13

3. Kahekordse integraali arvutamine Kahekordse integraali arvutamiseks on valemid, kui D on kõvertrapets.

Olgu ( ) ( ) ( ){ }xyxbxayxD βα ≤≤≤≤= ,:, .

Teoreem 5. Kui eksisteerivad integraalid ( )∫∫D

dxdyyxf , , ( )( )

( )

∫x

x

dyyxfβ

α

, iga [ ]bax ,∈ korral, siis

( ) ( )( )

( )

∫∫∫∫ =x

x

b

aD

dyyxfdxdxdyyxfβ

α

,, .

Põhjendus.

Olgu ( ) 0, ≥yxf piirkonnas D ja pidev selles piirkonnas. Siis ( ) ( )KVdxdyyxfD

=∫∫ , .

Teiselt poolt ( ) ( )∫=b

a

dxxSKV , kus ( )xS on punktis x võetud ristlõike pindala.

See ristlõige on kõvertrapets ( ) ( ) ( ) ( ){ }yxfzxyxzy ,0,:, ≤≤≤≤ βα ( x on fikseeritud).

( ) ( )( )

( )

∫=x

x

dyyxfxSβ

α

, . Seega ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

∫∫∫ ∫∫∫∫ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡===

x

x

b

a

b

a

x

x

b

aD

dyyxfdxdxdyyxfdxxSKVdxdyyxfβ

α

β

α

,,, .

Märkus: Kui ( ) 0, ≤yxf , siis leiame funktsiooni ( )yxf ,− integraali vastandväärtuse.

Olgu ( ) ( ) ( ){ }yxydycyxD δγ ≤≤≤≤= ,:, .

Teoreem 6. Kui eksisteerivad integraalid ( )∫∫D

dxdyyxf , , ( )( )

( )

∫y

y

dxyxfδ

γ

, iga [ ]dcy ,∈ korral, siis

( ) ( )( )

( )

∫∫∫∫ =y

y

d

cD

dxyxfdydxdyyxfδ

γ

,, .


14

4. Muutujavahetus kahekordses integraalis Def. Teisendust ( )vuxx ,= , ( )vuyy ,= ( ) Δ∈vu, nimetatakse regulaarseks, kui

1. see teisendus on üks-ühene;

2. piirkonnas Δ eksisteerivad pidevad osatuletised ux , vx , uy , vy ;

3. jakobiaan ( ) 0, ≠=vu

vu

yyxx

vuI piirkonnas Δ .

Regulaarne teisendus teisendab kinnise piirkonna kinniseks piirkonnaks, sisepunkti sisepunktiks ning rajapunkti rajapunktiks.

Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D ning teisendus ( )vuxx ,= , ( )vuyy ,= on regulaarne ja teisendab piirkonna D piirkonnaks Δ , siis

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∫∫∫Δ

= dudvvuIvuyvuxfdxdyyxfD

,,,,, .

Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu 0≥r ja ϕ punkti ( )yxP ,= polaarkoordinaadid. Seega ϕcosrx = ϕsinry = ( ) Δ∈ϕ,r .

Jakobiaan ( ) ( ) ( ) rrrrrr

rI =+=−⋅−⋅=−

= ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ 22 sincossinsincoscoscossinsincos

, .

Seega ( ) ( )∫∫∫∫Δ

= ϕϕϕ ddrrrrfdxdyyxfD

sin,cos, .

5. Kahekordse integraali rakendusi 1. Tasandilise kujundi pindala

( )DSdxdyD

=∫∫ ( ( ) 1, =yxf )

2. Kõversilindri ruumala Olgu kõversilinder ( ) ( ) ( ) ( ){ }yxfzyxfDyxzyxK ,,,,:,, 21 ≤≤∈= . pr ( ) =yxfxy ,1 pr ( ) Dyxfxy =,2

Siis kõversilindri K ruumala ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ −=D

dxdyyxfyxfKV ,, 12 .

3. Ruumilise pinnatüki pindala Olgu pind ∑ antud võrrandiga ( )yxzz ,= ( ) =∈Dyx, pr ( )yxzxy , .

Siis pinna ∑ pindala avaldub kujul ( ) ∫∫ ++=∑D

yx dxdyzzS 221 ( xz ja yz peavad olema pidevad).


15

§§33.. KKOOLLMMEEKKOORRDDSSEEDD IINNTTEEGGRRAAAALLIIDD

1. Kolmekordse integraali definitsioon ja omadused

Olgu antud funktsioon ( )zyxfu ,,= , mis on määratud kinnises tõkestatud piirkonnas 3RE ⊂ .

Jagame piirkonna E osapiirkondadeks nEE ,...,1 nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid

sisepunkte. Valime punktid niEP ii ,...,1=∈ .

Def. Kui sõltumata piirkonna E alajaotusest ja punktide iP valikust eksisteerib lõplik

piirväärtus

( ) ( )∑=

→=

n

iii IEVPf

10limλ

, kus ( )iniEd

≤≤=

1maxλ ,

siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f kolmekordseks integraaliks üle piirkonna E .

Tähistus: ∫∫∫E

fdV , ( )∫∫∫E

dVPf , ( )∫∫∫E

dxdydzzyxf ,,

Piirkonna E ruumala arvutamine:

( ) ( )EVEVdxdydzn

ii

E

== ∑∫∫∫=

→ 10limλ

, kus ( )EV on piirkonna E ruumala. ( ( ) 1,, =zyxf )

Kolmekordsel integraalil kehtivad aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused, mis on analoogsed kahekordse integraali vastavate omadustega.

Omadus (keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas E , siis leidub punkt EQ∈ nii, et

( ) ( ) ( )EVQfdVPfE

=∫∫∫ .

2. Kolmekordse integraali arvutamine Olgu ruumiline pind ∑ antud parameetrilisel kujul

( ) ( ) ( ) ( ) Δ∈=== vuvuzzvuyyvuxx ,,,, , (*)

kus Δ on mingi piirkond uv-tasandil.

Def. Pinda ∑ nimetatakse siledaks, kui

1. funktsioonid (*) ja nende osatuletised on pidevad piirkonnas Δ ;

2. piirkonna Δ igas punktis 0222 ≠++ CBA ( CBA ,, pole korraga nullid),

kus vv

uu

vv

uu

vv

uu

yxyx

Czxzx

Bzyzy

A === ,, .

Siledal pinnal on igas punktis puutujatasand ja normaal.


16

Kolmekordse integraali arvutamiseks on valem, kui E on kõversilinder.

Olgu E kõversilinder, mis on piiratud ülalt sileda pinnaga ( )yx,ββ = , alt sileda pinnaga ( )yx,αα = ja külgedelt püstsilindrilise pinnaga, mis läbib piirkonna D rajajoont.

=D pr ( ) =yxxy ,α pr ( )yxxy ,β .

Teoreem. Kui eksisteerivad integraalid ( )∫∫∫E

dxdydzzyxf ,, , ( )( )

( )

∫yx

yx

dzzyxf,

,

,,β

α

iga ( ) Dyx ∈,

korral, siis

( ) ( )( )

( )

∫∫∫∫∫∫ =yx

yxDE

dzzyxfdxdydxdydzzyxf,

,

,,,,β

α

.

Tekkiva kahekordse integraali arvutamiseks püüame kasutada kahekordse integraali arvutusvalemeid.

3. Muutujavahetus kolmekordses integraalis Üleminek silinderkoordinaatidele Olgu 0≥r , ϕ , h punkti ( )zyxP ,,= silinderkoordinaadid.

Seega ϕcosrx = , ϕsinry = , hz = ( ) Δ∈hr ,,ϕ .

( ) ( )∫∫∫∫∫∫Δ

= dhddrrhrrfdxdydzzyxfE

ϕϕϕ ,sin,cos,, .

Üleminek sfäärikoordinaatidele Olgu 0≥r , θ , ϕ punkti ( )zyxP ,,= silinderkoordinaadid.

Seega θϕ sincosrx = , θϕ sinsinry = , θcosrz = ( ) Δ∈ϕθ ,,r .

( ) ( )∫∫∫∫∫∫Δ

= ϕθθθθϕθϕ dddrrrrrfdxdydzzyxfE

sincos,sinsin,sincos,, 2 .

4. Kolmekordse integraali rakendusi 1. Keha ruumala

( )EVdxdydzE

=∫∫∫ ( ( ) 1,, =zyxf )

2. Keha mass

( ) ( )EmdxdydzzyxE

=∫∫∫ ,,ρ , kus ( )zyx ,,ρ on keha tihedus punktis ( ) Ezyx ∈,, .


17

§§44.. JJOOOONNIINNTTEEGGRRAAAALLIIDD

1. Esimest ja teist liiki joonintegraalide definitsioonid ja omadused

Olgu xy-tasandil antud joon AB ja sellel joonel määratud funktsioon ( ) ( ) AByxyxfz ∈= ,, .

Jagame joone AB n osakaareks punktidega BPPPPA n == ,...,,, 210 , kus

( ) niAByxP iii ,...,1, =∈= . Valime punktid niPPQ iii ,...,11 =∈ − .

Olgu ( )iii PPss ,1−=Δ i -nda osakese pikkus. 1−−=Δ iii xxx 1−−=Δ iii yyy

Def. Kui sõltumata joone AB alajaotusest ja punktide iQ valikust eksisteerib lõplik

piirväärtus

( )∑=

→=Δ

n

iii IsQf

10limλ

, kus inisΔ=

≤≤1maxλ ,

siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f esimest liiki joonintegraaliks (joonintegraaliks kaare pikkuse järgi) üle joone AB .

Tähistus: ∫∫AB

fds , ( )∫∫AB

dsPf

Def. Kui sõltumata joone AB alajaotusest ja punktide iQ valikust eksisteerivad lõplikud

piirväärtused

( )∑=

→Δ

n

iii xQf

10limλ

, kus inixΔ=

≤≤1maxλ , ning ( )∑

=→

Δn

iii yQf

10limλ

, kus iniyΔ=

≤≤1maxλ ,

siis neid piirväärtusi nimetatakse funktsiooni f teist liiki joonintegraalideks (joonintegraalideks koordinaatide järgi) üle joone AB .

Tähistus vastavalt: ∫∫AB

fdx , ( )∫∫AB

dxPf või ∫∫AB

fdy , ( )∫∫AB

dyPf

Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on joonintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega.

Esimest liiki joonintegraali spetsiifilised omadused

Omadus. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joonel liikumise suunast, st ∫∫ =BAAB

fdsfds .

Omadus. ( )ABsdsAB

=∫ , kus ( )ABs on joone AB pikkus.

Teist liiki joonintegraali spetsiifilised omadused

Omadus. ∫∫ −=BAAB

fdxfdx , ∫∫ −=BAAB

fdyfdy .

Omadus. Kui joon AB on x-teljega risti, siis 0=∫AB

fdx , kui y-teljega risti, siis 0=∫AB

fdy .


18

2. Esimest liiki joonintegraali arvutamine Olgu joon AB antud parameetrilisel kujul ( ) ( ) [ ]βα ,∈== ttyytxx .

Def. Joont AB nimetatakse siledaks, kui funktsioonid ( )tx , ( )ty , ( )tx′ , ( )ty′ on pidevad lõigus

[ ]βα , ja ( )tx′ , ( )ty′ pole korraga nullid selles lõigus ( ( )[ ] ( )[ ] 022 ≠′+′ tytx ).

Siledal joonel on igas punktis puutuja.

Teoreem 7. Kui funktsioon f on pidev siledal joonel ( ) ( ) [ ]βα ,: ∈== ttyytxxAB , siis

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫∫ ′+′=β

α

dttytxtytxfdsyxfAB

22,,

NB! Teoreemi eeldus tagab antud joonintegraali olemasolu.

Tõestus.

Jagame joone AB n osakaareks punktidega BPPPPA n == ,...,,, 210 , kus ( ) ( )( )iii tytxP ,= .

Eeldame, et parameeter t kasvab, kui liigume suunas AB , st. α=0t (vastasel korral β=0t ).

Osakaare ii PP 1− pikkus ( )[ ] ( )[ ]∫−

′+′=Δi

i

t

ti dttytxs

1

22 .

Kuna joon AB on sile, siis ( )tx′ ja ( )ty′ on pidevad. Seega ( )[ ] ( )[ ]22 tytx ′+′ on samuti pidev

piirkonnas [ ]ii tt ,1− . Seega saame integraalile rakendada integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi

igas osalõigus [ ]ii tt ,1− , mille kohaselt leiduvad punktid [ ]iii tt ,1−∈τ nii, et

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] iiiiiiii tyxttyxs Δ′+′=−′+′=Δ −22

122 ττττ .

Valides esimest liiki joonintegraali integraalsummas punktid ( ) ( )( ) niyxQ iii ,...,1, == ττ saame

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]∫∑

∑∫

′+′=Δ′+′=

=Δ=

=→Δ

=→Δ

β

α

ττττ dttytxtytxftyxyxf

sQfdsyxf

n

iiiiiit

n

iiis

AB

i

i

22

1

22

0max

10max

,,lim

lim,

Kuna ii tyxs Δ′+′=Δ 22 ning 022 ≠′+′ yx , sest joon AB on sile, siis

0max0max →Δ⇔→Δ ii ts ni ,...,1= . ■

Erijuhud:

Kui ( ) [ ]baxxyyAB ,: ∈= , siis xt = ning saame valemi ( ) ( )[ ] ( )[ ]∫∫ ′+=b

aAB

dxxyxyxfdsyxf 21,, .

Kui ( ) [ ]dcyyxxAB ,: ∈= , siis yt = ning saame valemi ( ) ( )[ ] ( )[ ]∫∫ +′=d

cAB

dyyxyyxfdsyxf 1,, 2 .


19

3. Teist liiki joonintegraali arvutamine Teoreem 8. Kui funktsioon f on pidev siledal joonel ( ) ( ) [ ]βα ,: ∈== ttyytxxAB ning

( ) ( )( )αα yxA ,= , ( ) ( )( )ββ yxB ,= , siis kehtivad valemid

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′=β

α

dttxtytxfdxyxfAB

,, , ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′=β

α

dttytytxfdyyxfAB

,, .

NB! Teoreemi eeldus tagab antud joonintegraalide olemasolu.

Tõestus (soovituslik).

Olgu ( ) ( )( )αα yxA ,= , ( ) ( )( )ββ yxB ,= (ei pea olema βα ≤ ). ( ) ( )( ) ABttytxP iiii ∈= ,

Rakendame funktsioonile ( )txx = lõikudel ii PP 1− Lagrange’i keskväärtusteoreemi, millest

saame, et leiduvad punktid niPP iii ,...,11 ∈∈ −ς nii, et ( )( ) ( ) iiiiiiii txttxxxx Δ′=−′=−=Δ −− ςς 11 .

Valime integraali ( )∫AB

dxyxf , integraalsummast punktid ( ) ( )( )iii yxQ ςς ,= . Siis

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫∑∑∫ ′=Δ′=Δ==

→Δ=

→Δ

β

α

ςςς dttxtytxftxyxfxQfdxyxfn

iiiiit

n

iiix

AB ii

,,limlim,10max10max

Kuna ( ) iii txx Δ′=Δ ς , siis 0max0max →Δ⇔→Δ ii tx ni ,...,1= .

Teise valemi tõestus on analoogne. ■

Erijuhud:

Kui ( ) [ ]baxxyyAB ,: ∈= , siis xt = ning saame valemi ( ) ( )( )∫∫ =b

aAB

dxxyxfdxyxf ,, .

Kui ( ) [ ]dcyyxxAB ,: ∈= , siis yt = ning saame valemi ( ) ( )( )∫∫ =d

cAB

dyyyxfdyyxf ,, .


20

4. Üldine teist liiki joonintegraal. Greeni valem Def. Funktsioonide ( )yxXX ,= ja ( )yxYY ,= ( ) Dyx ∈, üldiseks teist liiki joonintegraaliks nimetatakse teist liiki joonintegraalide summat

∫∫∫ +=+ABABAB

YdyXdxYdyXdx .

Def. Piirkonda D , mis on nii x-telje kui ka y-telje sihis kõvertrapets, nimetatakse lihtsaks piirkonnaks.

Teoreem 9 (Greeni valem). Kui funktsioonid ( )yxX , , ( )yxY , , yX , xY on pidevad lihtsas

piirkonnas D , mille rajajoon on L , siis kehtib valem

( )∫∫∫ −=++ D

yxL

dxdyXYYdyXdx .

Sümbol ∫+L

tähendab, et läbime D rajajoone L positiivses suunas, st. vastupäeva.

Tõestus.

1. Olgu piirkonna D rajajoon L : ( )xyyABC 2: = ( )xyyAEC 1: = [ ]bax ,∈

Kui ( ) [ ]baxxyyAB ,: ∈= , siis ( ) ( )( )∫∫ =b

aAB

dxxyxfdxyxf ,, aA → , bB → .

( )

( )

( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

+−

−==+=+=

=−===

LLCEAABC

a

b

b

a

b

a

b

a

xy

xy

b

a

xy

xyy

Dy

XdxXdxdxyxXdxyxXdxxyxXdxxyxX

dxxyxXxyxXdxyxXdyXdxdxdyX

,,,,

,,,

12

122

1

2

1

Seega ∫∫∫+

−=LD

y XdxdxdyX .

2. Analoogselt saame ∫∫∫+

=LD

x YdydxdyY .

Seega ( )∫∫∫ −=++ D

yxL

dxdyXYYdyXdx ■

Märkus: Greeni valem kehtib ka üldisematel eeldustel – D peab olema kinnine piirkond, mille rajajoone L tükid on siledad.


21

§§55.. PPIINNDDIINNTTEEGGRRAAAALLIIDD

1. Esimest liiki pindintegraalid

Olgu pinnal ∑ määratud funktsioon ( ) ( ) ∑∈= zyxzyxff ,,,, .

Jagame pinnatüki ∑ osadeks n∑∑∑ ,...,, 21 nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid

sisepunkte. Valime punktid niQ ii ,...,1=∑∈ .

Def. Kui sõltumata pinna ∑ alajaotusest ja punktide iQ valikust eksisteerib lõplik

piirväärtus

( ) ( )∑=

→=∑

n

iii ISQf

10limλ

, kus ( )inid ∑=

≤≤1maxλ ,

siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks (pindintegraaliks pindala järgi) üle pinna ∑ .

Tähistus: ∫∫∑

fdS , ( )∫∫∑

dSPf , ( )∫∫∑

dSzyxf ,,

Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on esimest liiki pindintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega.

Teoreem 10. Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal ( ) ( ) =∈=∑ Dyxyxzz ,,: pr ∑xy , siis

( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ++=∑ D

yx dxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf ,,1,,,,, 22

NB! Teoreemi eeldus tagab antud pindintegraali olemasolu.

Analoogselt:

Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal ( ) ( ) =∈=∑ Dxzxzyy ,,: pr ∑zx , siis

( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ++=∑ D

xz dzdxxzyxzyzxzyxfdSzyxf ,,1,,,,, 22 .

Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal ( ) ( ) =∈=∑ Dzyzyxx ,,: pr ∑yz , siis

( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ++=∑ D

zy dydzzyxzyxzyzyxfdSzyxf ,,1,,,,, 22 .


22

2. Teist liiki pindintegraal 2.1. Kahe poolega pind Def. Pinda nimetatakse kahe poolega (orienteeritud) pinnaks, kui iga sellel pinnal asuva kinnise kõvera läbimisel pinna normaali suund lähtepunkti tagasi jõudes ei muutu, ning ühe poolega pinnaks, kui sellel pinnal leidub kinnisi kõveraid, mille läbimisel lähtepunkti tagasi jõudes on pinna normaali suund vastupidine.

Väide. Iga võrrandiga ( )yxzz ,= , ( )xzxx ,= või ( )zxyy ,= antud pind on kahe poolega pind.

Pinna poole määramine

Olgu en pinna ∑ normaali suvaline ühikvektor punktis P , siis ( )γβα cos,cos,cos=en , kus

γβα ,, on nurgad en ja vastavalt x-, y- ja z-telgede positiivsete suundade vahel.

Def. Pinna ( ) ( ) =∈=∑ Dyxyxzz ,,: pr ∑xy positiivseks (negatiivseks) pooleks e. küljeks

nimetatakse pinna seda poolt, kus normaal moodustab z-teljega teravnurga, st. 0cos >γ (vastavalt nürinurga, st 0cos <γ ).

Def. Pinna ( ) ( ) =∈=∑ Dxzxzyy ,,: pr ∑zx positiivseks (negatiivseks) pooleks e. küljeks

nimetatakse pinna seda poolt, kus normaal moodustab y-teljega teravnurga, st. 0cos >β (vastavalt nürinurga, st 0cos <β ).

Def. Pinna ( ) ( ) =∈=∑ Dzyzyxx ,,: pr ∑yz positiivseks (negatiivseks) pooleks e. küljeks

nimetatakse pinna seda poolt, kus normaal moodustab x-teljega teravnurga, st. 0cos >α (vastavalt nürinurga, st 0cos <α ).


23

2.2. Teist liiki pindintegraali definitsioon ja omadused

Olgu pinnal ( ) ( ) =∈=∑ Dyxyxzz ,,: pr ∑xy määratud funktsioon ( ) ( ) ∑∈= zyxzyxff ,,,, .

Jagame pinnatüki ∑ osadeks n∑∑∑ ,...,, 21 nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid

sisepunkte. Valime punktid niQ ii ,...,1=∑∈ .

Olgu =iD pr ixy ∑ ning olgu ( )( )⎩

⎨⎧

<−>

=0cos0cos

γγ

kuikui

i

ii DS

DSS pinnaosa projektsioon koos märgiga.

Def. Kui sõltumata pinna ∑ alajaotusest ja punktide iQ valikust eksisteerib lõplik

piirväärtus

( )∑=

→=

n

iii ISQf

10limλ

, kus ( )inid ∑=

≤≤1maxλ ,

siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f teist liiki pindintegraaliks (pindintegraaliks projektsiooni järgi) üle pinna ∑ .

Tähistus: ∫∫∑

fdxdy , ( )∫∫∑

dxdyPf , ( )∫∫∑

dxdyzyxf ,,

Analoogselt defineeritakse zx-tasandile ja yz-tasandile projektsioonidega vastavalt teist liiki pindintegraalid:

∫∫∑

fdzdx , kus ( )xzyy ,: =∑ ,

∫∫∑

fdydz , kus ( )zyxx ,: =∑ .

Aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused ning keskväärtusteoreem on teist liiki pindintegraali puhul analoogsed kahe- ja kolmekordse integraali vastavate omadustega.

Omadus. Kui pind ∑ on risti xy-tasandiga (yz-tasandiga, zx-tasandiga), siis 0=∫∫∑

fdxdy

(vastavalt 0=∫∫∑

fdydz , 0=∫∫∑

fdzdx ).


24

2.3. Teist liiki pindintegraali arvutamine

Teoreem 11. Olgu funktsioon f pidev siledal pinnal ( ) ( ) =∈=∑ Dyxyxzz ,,: pr ∑xy , siis

( ) ( )( )∫∫∫∫ ±=∑ D

dxdyyxzyxfdxdyzyxf ,,,,, ,

valides „+“, kui 0cos >γ (pinna positiivne külg) ja „-“ kui 0cos <γ (pinna negatiivne külg),

Tehtud eeldused tagavad vastava pindintegraali olemasolu.

Analoogselt:

Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal ( ) ( ) =∈=∑ Dxzxzyy ,,: pr ∑zx , siis

( ) ( )( )∫∫∫∫ ±=∑ D

dzdxzxzyxfdzdxzyxf ,,,,, .

Kui funktsioon f on pidev siledal pinnal ( ) ( ) =∈=∑ Dzyzyxx ,,: pr ∑yz , siis

( ) ( )( )∫∫∫∫ ±=∑ D

dydzzyzyxfdydzzyxf ,,,,, .

Üldine teist liiki pindintegraal

Def. Funktsioonide ( )zyxPP ,,= , ( )zyxQQ ,,= ja ( )zyxRR ,,= ( ) Ezyx ∈,, üldiseks teist liiki pindintegraaliks nimetatakse teist liiki pindintegraalide summat

∫∫∫∫∫∫∫∫∑∑∑∑

++=++ RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz .

NB! Pinna positiivse (negatiivse) poole määrame projekteerimisel igale koordinaattasandile eraldi.

2.4. Gaussi-Ostrogradski valem

Def. Funktsiooni f nimetatakse tükiti siledaks lõigus [ ]ba, , kui funktsioonil f ja tema tuletisfunktsioonil f ′ on selles lõigus ülimalt lõplik arv katkevuspunkte, mis kõik on esimest liiki katkevuspunktid (neis punktides leiduvad lõplikud ühepoolsed piirväärtused).

Teoreem (Gaussi-Ostrogradski valem).

Kui funktsioonid ( )zyxPP ,,= , ( )zyxQQ ,,= , ( )zyxRR ,,= , xP , yQ , zR on pidevad

piirkonnas E , mille rajapind ∑ on kinnine ja tükiti sile, siis kehtib valem

( )∫∫∫∫∫ ++=++∑ E

zyx dxdydzRQPRdxdyQdzdxPdydz .

kus pindintegraal on võetud üle pinna ∑ väliskülje.


25

§§66.. FFUUNNKKTTSSIIOONNAAAALLRREEAADD

1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida

( ) ( ) ( ) ( ) ......100

++++=∑∞

=

xuxuxuxu nn

n ,

mille liikmed ( ) ,...1,0=nxun on mingil hulgal X määratud funktsioonid ( )xuu nn = .

Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida.

Funktsionaalrea ( )∑∞

=0nn xu osasummaks nimetatakse summat ( ) ( )∑

=

=n

kkn xuxS

0.

Funktsionaalrea osasumma on samuti argumendi x funktsioon.

Def. Kui punktis Xx∈ leidub lõplik piirväärtus ( ) ( )xSxSnn=

∞→lim , siis öeldakse, et

funktsionaalrida ( )∑∞

=0nn xu koondub punktis x summaks ( )xS .

Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub punktis x .

Funktsionaalrea summa on samuti argumendi x funktsioon.

Def. Funktsionaalrea ( )∑∞

=0nn xu koonduvuspiirkonnaks ning absoluutse koonduvuse

piirkonnaks nimetatakse vastavalt hulki

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∑∞

=

koondub0n

n xuX ning ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∑∞

=

koondub0n

n xuA .

Iga funktsionaalrida esitab oma koonduvuspiirkonnas X funktsiooni ( )xSS = : ( ) ( )xSxun

n =∑∞

=0.

Seepärast loetakse koonduvuspiirkonda samas ka rea ( )xS määramispiirkonnaks.

Def. Öeldakse, et funktsionaalrida ( )∑∞

=0nn xu koondub punktiviisi piirkonnas X funktsiooniks

( ) ( )xSxS nn ∞→= lim , kui iga Xx∈ korral ( ) ( ) 0lim =−

∞→xSxSnn

.

Def. Öeldakse, et funktsionaalrida ( )∑∞

=0nn xu koondub ühtlaselt piirkonnas X funktsiooniks

( ) ( )xSxS nn ∞→= lim , kui ( ) ( ) 0suplim =−

∈∞→xSxSn

Xxn.

Kui funktsionaalrida koondub ühtlaselt, siis koondub ta ka punktiviisi. Vastupidine ei kehti.


26

2. Funktsionaalrea summa pidevus, liikmeti integreerimine ja diferentseerimine

Funktsionaalrea summa ( )xS ei tarvitse olla pidev funktsioon isegi siis, kui rea liikmed on pidevad.

Teoreem 12. Kui funktsioonid ( )xuu nn = on piirkonnas X pidevad ning funktsionaalrida

( )∑∞

=0nn xu koondub selles piirkonnas ühtlaselt funktsiooniks ( )xSS = , siis funktsioon ( )xS on

pidev piirkonnas X .

Teoreem. Kui vahemikus ( )βα , funktsionaalrida ( )∑∞

=0nn xu koondub ühtlaselt ja on olemas

lõplikud piirväärtused

( ) ( )βα ,lim ∈=→

auxu nnax,

siis see funktsionaalrida koondub ning kehtib võrdus

( ) ( )∑∑∞

=→

∞

=→

=00limlim

nnaxn

naxxuxu .

Teoreem 13 (liikmeti integreerimine). Kui funktsioonid ( )xuu nn = on integreeruvad lõigus

[ ]ba, ja funktsionaalrida ( )∑∞

=0nn xu koondub ühtlaselt selles lõigus funktsiooniks ( )xSS = , siis

( ) ( )∑∫∫∑∞

=

∞

=

=00 n

b

an

b

a nn dxxudxxu .

Teoreem 14 (liikmeti diferentseerimine). Kui funktsioonidel ( )xuu nn = leiduvad lõigus [ ]ba,

pidevad tuletised ja funktsionaalrida ( )∑∞

=0nn xu koondub ühtlaselt lõigus [ ]ba, funktsiooniks

( )xSS = , siis iga [ ]bax ,∈ korral kehtib võrdus

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

′=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

00 nn

nn xuxu .


27

Astmerida

Def. Funktsionaalrida ......100

++++=∑∞

=

nn

n

nn xaxaaxa (1)

ehk üldisemalt ( ) ( ) ( ) ......100

+−++−+=−∑∞

=

nn

n

nn axaaxaaaxa , (2)

kus a on mingi arv, nimetatakse astmereaks.

Arve na nimetatakse astmerea kordajaiks.

Muutujavahetusega tax =− võib alati realt (2) üle minna reale (1).

Iga astmerea korral leidub selline R , kus ∞≤≤ R0 , et astmerida (1) (või (2)) koondub absoluutselt, kui Rx < vastavalt ( Rax <− ), ja hajub, kui Rx > (vastavalt Rax >− ).

Vahemikke ( )RR;− ja ( )RaRa +− ; nimetatakse vastavalt astmeridade (1) ja (2) koonduvus-vahemikeks ja suurust R koonduvusraadiuseks.

Koonduvusvahemike otspunktides võib astmerida koonduda (tingimisi, absoluutselt) või hajuda.

Astmerea koonduvusraadiuse R leidmiseks võib kasutada järgmisi valemeid:

n

n

n aa

R1lim1 +

∞→= ja nn

aR ∞→= lim1

,

kui 0≠na ja need piirväärtused eksisteerivad.

Omadus 1. Astmerida (1) koondub ühtlaselt igas lõigus [ ] ( )RRrr ;; −⊂− ja tema summa ( )xS

on pidev funktsioon koonduvusvahemikus ( )RR;− .

Omadus 2. Astmerida (1) võib igas lõigus [ ]x,0 , kus ( )RRx ;−∈ liikmeti integreerida, kusjuures

( ) ∑∫∞

=

+

+=

0

1

0 1n

nnx

xna

dxxS .

Omadus 3. Astmerida (1) võib igas punktis ( )RRx ;−∈ liikmeti diferentseerida, kusjuures

( ) ∑∞

=

−=′0

1

n

nn xnaxS .

Astmerea (1) liikmeti integreerimisel või diferentseerimisel tema koonduvusraadius ei muutu.

Samad omadused kehtivad ka astmerea (2) kohta tema koonduvusvahemikus ( )RaRa +− ; .

Teoreem (Abeli lemma). Kui astmerida (1) koondub koonduvusvahemiku ( )RR;− parem-

poolses otspunktis R , siis selle astmerea summa ( )xS on vasakult pidev punktis R , st. ( ) ( )RSRS =− .

Samasugune lemma kehtib ka koonduvusvahemiku vasakpoolse otspunkti R− kohta.


28

3. Funktsioonide arendamine astmeritta

Def. Kui iga ( ) XRaRax =+−∈ ; korral kehtib võrdus ( ) ( )∑∞

=

−=0n

nn axaxf , siis öeldakse, et

funktsioon f on vahemikus X arendatud astmereaks eehhkk on esitatud astmereana.

Osutub, et kui funktsioon f on arendatav astmereaks (2), siis rea kordajad na avalduvad kujul

( ) ( )!n

xfan

n = , ...,1,0=n , (3)

kus loetakse 1!0 = .

Seega saab astmereaks arendada ainult piiramata diferentseeruvaid funktsioone.

Def. Astmerida (2), mille kordajad avalduvad kujul (3), s.o astmerida ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

!2!1!2

0+−

′′+−

′+=−∑

∞

=

axafaxafafaxn

xf n

n

n

(4)

nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks ja tema kordajaid (3) Taylori kordajateks.

Kui 0=a , siis reast (4) saame rea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

!20

!100

!2

0+

′′+

′+=∑

∞

=

xfxffxn

xf n

n

n

,

mida nimetatakse Maclaurini reaks.

Teoreem. Vahemikus ( )RaRaX +−= ; piiramata diferentseeruv funktsioon f on arendatav Taylori reaks (4) selles vahemikus parajasti siis, kui funktsiooni f Taylori valemi jääkliige

na rahuldab vahemikus X tingimust 0lim =∞→ nn

a .

Kokkuvõttes, kui funktsioon f on arendatav astmereaks (2) (või (1)) vahemikus X , siis see astmerida on funktsiooni f Taylori rida (vastavalt Maclaurini rida).

Paljude funktsioonide arendised astmereaks saame tuntud astmeridadest aritmeetiliste tehete, rea liikmeti integreerimise ja liikmeti diferentseerimise teel.

4. Astmeridade rakendusi: ligikaudne arvutamine

Def. Rea ∑∞

=0kku jääkliikmeks nimetatakse summat ∑

∞

+=

=1nk

kn uR .

Kui astmerida koondub, siis Maclaurini rea jääkliige rahuldab võrratust 11

++< m

mm xaR .

Kui vahelduvate märkidega rida koondub, siis Leibnizi tunnuse põhjal 1+< mm aR .

Kui kehtib ( ) ∑∞

=

=0n

nn xaxf , siis ( ) ∑

=

≈m

n

nn xaxf

0

täpsusega α , kus m määrame võrratustest

α≤< ++

11

mmm xaR (vahelduvate märkidega rea korral α≤< +1mm aR ).

Määratud integraali puhul tuleb tema alune avaldis kõigepealt arendada astmeritta.


29

5. Fourier’ read Def. Funktsionaalrida

...2sin2cossincos2

sincos2 2211

0

1

0 +++++=++∑∞

=

xbxaxbxaa

nxbnxaa

nnn (5)

nimetatakse trigonomeetriliseks reaks.

Kui trigonomeetrilise rea summa ( )xS eksisteerib, siis on ta perioodiline funktsioon perioodiga π2

piirkonnas ( )∞∞− , .

Olgu funktsioon f määratud lõigus [ ]ππ ,− või olgu perioodiline perioodiga π2 piirkonnas ( )∞∞− , .

Def. Kui rea (5) kordajad on määratud valemitega (Euleri-Fourier’ valemitega)

( )∫−

=π

ππnxdxxfan cos1 ( )...,1,0=n , ( )∫

−

=π

ππnxdxxfbn sin1 ( )...,2,1=n , (6)

siis rida (5) nimetatakse funktsiooni f (trigonomeetriliseks) Fourier’ reaks lõigus [ ]ππ ,− ja kirjutatakse

( ) .sincos2

~1

0 ∑∞

=

++n

nn nxbnxaa

xf . (7)

Kordajaid (6) nimetatakse Fourier’ kordajateks.

Kahe paaris- või kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon. Ühe paaris- ja ühe paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.

Kui f on paarisfunktsioon lõigus [ ]ππ ,− , siis 0=nb ja tema Fourier’ rida (5) avaldub kujul

( ) ∑∞

=

+1

0 cos2

~n

n nxaa

xf , ( )∫=π

π 0

cos2 nxdxxfan , (8)

mida nimetatakse funktsiooni f koosinusreaks.

Kui f on paaritu funktsioon lõigus [ ]ππ ,− , siis 0=na ja tema Fourier’ rida (5) avaldub kujul

( ) ∑∞

=1

sin~n

n nxbxf , ( )∫=π

π 0

sin2 nxdxxfbn , (9)

mida nimetatakse funktsiooni f siinusreaks.

Kui funktsioon f on antud vaid lõigul [ ]π,0 , siis võime teda alati kujutada kas paaris- või paaritu

funktsioonina lõigus [ ]ππ ,− ja seetõttu valemite (8) või (9) abil arendada selle funktsiooni f kas koosinus- või siinusreaks või mõlemaks.

Valemites (7), (8) ja (9) kirjutatakse tilde (~) asemele võrdusmärk (=) siis, kui on teada, et Fourier’ rida koondub ja koondub just funktsiooniks ( )xf .


30

Teoreem 15. Kui funktsioon f on tükiti sile lõigus [ ]ππ ,− , siis selle funktsiooni Fourier’ rida koondub summaks ( )xS , kusjuures

1. ( ) ( )xfxS = funktsiooni f pidevuspunktides;

2. ( ) ( ) ( )2

++−=

xfxfxS funktsiooni f katkevuspunktides;

3. ( ) ( ) ( ) ( )2

−++−==−

ππππ SSSS .

6. Funktsiooni lähendamine trigonomeetriliste polünoomidega Olgu antud funktsioon f , mis on määratud lõigus [ ]ππ ,− .

Olgu ( ) ∑=

+=n

knnn kxkxx

0

sincos βατ trigonomeetriline polünoom.

Lähendame ( ) ( )xxf nτ≈ hinnates viga keskmise ruuthälbega ( ) ( )∫−

−=π

π

τδ dxxxf nn22 .

Osutub, et 2nδ on minimaalne, kui ( ) ( )xSx nn =τ , kus ( )xSn on funktsiooni f Fourier’ rea

osasumma, st. kui 2

00

a=α , nn a=α , nn b=β .


31

§§77.. FFOOUURRIIEERR’’ IINNTTEEGGRRAAAALL Def. Öeldakse, et funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, kui päratu

integraal ( )∫∞

∞−

dxxf on koonduv.

Def. Kui funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel, siis integraali

( ) ( )[ ]∫∞

+0

sincos dyyxybyxya , (10)

kus

( ) ( )∫∞

∞−

= yxdxxfya cos1π

, ( ) ( )∫∞

∞−

= yxdxxfyb sin1π

.

nimetatakse funktsiooni f Fourier’ integraaliks ja kirjutatakse

( ) ( ) ( )[ ]∫∞

+0

sincos~ dyyxybyxyaxf . (11)

Fourier’ integraal erineb Fourier’ reast sellepoolest, et summa on asendatud integraaliga ja funktsiooni f vaadeldakse piirkonnas ( )∞∞− , .

Kui f on paarisfunktsioon, siis ( ) 0=yb ja valem (11) esitub kujul

( ) ( )∫∞

0

cos~ yxdyyaxf , kus ( ) ( )∫∞

=0

cos2 yxdxxfyaπ

,

mida nimetatakse funktsiooni f Fourier’ koosinusintegraaliks.

Kui f on paaritu funktsioon, siis ( ) 0=ya ja valem (11) esitub kujul

( ) ( )∫∞

0

sin~ yxdyyaxf , kus ( ) ( )∫∞

=0

sin2 yxdxxfybπ

,

mida nimetatakse funktsiooni f Fourier’ siinusintegraaliks.

Avaldises (11) pannakse tilde (~) asemele võrdusmärk (=) vaid siis, kui on teada, et integraal (10) koondub väärtuseks ( )xf .

Teoreem 16. Kui funktsioon f on absoluutselt integreeruv kogu arvsirgel ja tükiti sile igas arvsirge lõplikus lõigus, siis funktsiooni f Fourier’ integraal koondub punktis x summaks

( ) ( ) ( )2

++−=

xfxfxS .

Kui funktsioon f on pidev punktis x , siis ( ) ( )xfxS = .


32

SSIISSUUKKOORRDD §1. Mitme muutuja funktsioonid..........................................................................................................1

1. Ruum Rm, hulgad selles ruumis....................................................................................................1 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste .........................................................................2 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus........................................................................................2 4. Mitme muutuja funktsiooni pidevus ............................................................................................2 5. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis..........................................................................................3 6. Pinna z = f (x, y) puutujatasand ja normaal ..................................................................................4 7. Kõrgemat järku osatuletised.........................................................................................................4 8. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus, täisdiferentsiaal ...................................................5 9. Kõrgemat järku täisdiferentsiaalid ...............................................................................................6 10. Tuletis antud suunas...................................................................................................................6 Ilmutamata kujul antud funktsioonid ...............................................................................................8 11. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid................................................................9 12. Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid............................................................10

§2. Kahekordsed integraalid ..............................................................................................................11 1. Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tõlgendus.................................................11 2. Kahekordse integraali omadused ...............................................................................................12 3. Kahekordse integraali arvutamine .............................................................................................13 4. Muutujavahetus kahekordses integraalis ...................................................................................14 5. Kahekordse integraali rakendusi................................................................................................14

§3. Kolmekordsed integraalid ............................................................................................................15 1. Kolmekordse integraali definitsioon ja omadused.....................................................................15 2. Kolmekordse integraali arvutamine ...........................................................................................15 3. Muutujavahetus kolmekordses integraalis .................................................................................16 4. Kolmekordse integraali rakendusi .............................................................................................16

§4. Joonintegraalid .............................................................................................................................17 1. Esimest ja teist liiki joonintegraalide definitsioonid ja omadused.............................................17 2. Esimest liiki joonintegraali arvutamine .....................................................................................18 3. Teist liiki joonintegraali arvutamine ..........................................................................................19 4. Üldine teist liiki joonintegraal. Greeni valem............................................................................20

§5. Pindintegraalid .............................................................................................................................21 1. Esimest liiki pindintegraalid ......................................................................................................21 2. Teist liiki pindintegraal ..............................................................................................................22

§6. Funktsionaalread ..........................................................................................................................25 1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi..............................................................25 2. Funktsionaalrea summa pidevus, liikmeti integreerimine ja diferentseerimine ........................26 Astmerida .......................................................................................................................................27 3. Funktsioonide arendamine astmeritta ........................................................................................28 4. Astmeridade rakendusi: ligikaudne arvutamine.........................................................................28 5. Fourier’ read...............................................................................................................................29 6. Funktsiooni lähendamine trigonomeetriliste polünoomidega....................................................30

§7. Fourier’ integraal..........................................................................................................................31 Sisukord .............................................................................................................................................32

matemaatiline analüüs ii loengu konspekt

Documents

puutuja tus tasandil

valime punktid qi

pidev siledal pinnal

funktsionaalrea summa pidevus

kus normaal moodustab

ning saame valemi

le joone ab

kui eksisteerivad integraalid