matemática, 3º ano, operações envolvendo números complexos matemÁtica e suas tecnologias...

Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASEnsino Médio, 3º ano

Operações envolvendo números complexos


Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de Operações envolvendo números complexos, vamos começar com uma breve revisão sobre:

Igualdade de complexos;

Oposto de um número complexo;

Conjugado de um número complexo.

http:

//2.

bp.b

logs

pot.c

om/-

Yr2w

Uq1e

G0E/

T9lF

T4W

DsPI

/AA

AAAA

AAke

Y/Q

pOcW

TVbc

O8/

s160

0/pr

ofes

sora

+3d.

gif


IGUALDADE DE COMPLEXOS

Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária.

Assim, se z1= a + bi e z2 = c + di, temos que:

z1 = z2 a = c e b = c ⇔


EXEMPLO 1

Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x – 1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais?

Igualando os complexos, temos:

(x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i

⇒ x – 1 = 3 ⇒ x = 4

⇒ y + 2 = –5 ⇒ y = –7

Resolução:


EXEMPLO 2

Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m – 5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais?

Igualando os complexos, temos:

(m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i

m – 5 = n + 3

n = 2m + 1

⇒ m – 5 = 2m + 1 + 3 – ⇒ m = 9

⇒ m = – 9

⇒ n = 2(–9) + 1 ⇒ n = – 17

Resolução:


OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o complexo indicado por –z, assim definido.

z = a + bi –z = – (a + bi) = – a – bi ⇒


Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1)

a) 3 + 4i =

b) –3 + i =

c) 1 – i =

d) –2 + 5i =

EXEMPLO

– 3 – 4i

3 – i

– 1 + i 2 – 5i


CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par ordenado simétrico a z em relação ao eixo x.

Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z.

z = a + bi z = a + bi = a – bi ⇒


Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária)

a) 3 + 4i =

b) 1 – i =

c) –2 – 5i =

d) 2i =

e) – 8 =

EXEMPLO

3 – 4i

1 + i

– 2+5i

– 2i

– 8


ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS

Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias, separadamente.

Se z1 = a +bi e z2 = c +di são dois números complexos, então a sua soma é um outro número complexo dado por z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i e sua diferença é um outro número complexo dado por z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.


EXEMPLO

Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente)

a) (2 + 5i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i

b) i + (2 – 5i) = i + 2 – 5i = 2 – 4i

c) (2 + 5i) – (3 + 4i) = 2 + 5i – 3 – 4i = – 1 + i

d) (1 + i) – (1 – i) = 1 + i – 1 + i = 2i


Para as potências do tipo in da unidade imaginária i, n natural, valem as definições. Para n > 2, valem as propriedades usuais da potenciação em .ℝ

POTÊNCIAS DE I

i0 = 1 i1 = i i2 = –1 i3 = i2. i = (–1). i= – i

i4 = i2. i2= (–1).(–1) = 1 i5 = i4. i = (1). i = i i6 = i4. i2= 1.(–1)= –1 i7 = i4. i3 = 1.(–i)= – i

.......


Qualquer potência de in, n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras.

i0 = 1 i1 = i i2 = –1

i3 = –i

POTÊNCIAS DE I

O valor de in é o mesmo de ir, sendo r o resto da divisão de n por 4.


EXEMPLOS

1º) Calcular i42 + i37.

1

37

9102

4442

i42 = i2 = –1 i37 = i1 = i

i42 + i 37 = –1 + i

2º) Calcular i4n – 2.

i4n – 2 =i4n

i2 =

(i4)n

–1 =

1n

–1 = –1

i4n – 2 = –1


Dados dois números complexos, z1 e z2, para obter z3= z1. z2 , aplicamos a propriedade distributiva, as potências de i e depois reduzirmos os “termos semelhantes”.

MULTIPLICAÇÃO ENTRE COMPLEXOS


Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração)

a) (2 + 3i) (3 – 2i)

= (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i)

= 6 – 4i + 9i – 6i2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i

b) (1 + 3i) (1 + i)

= (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)

= 1 + i +3i + 3i2 = 1 + 4i – 3 = – 2 + 4i

EXEMPLO 1


EXEMPLO 2 Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z +

5z = 7 + 6i.

Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos

2z + 5z = 7 + 6i ⇒ 2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i

⇒ 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i

⇒ 7a – 3bi = 7 + 6i

7a = 7

–3b = 6⇒ ⇒ a = 1 e b = –2 z = 1 – 2i⇒

Resolução:


EXEMPLO 3

Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i, resulta 8 + i.

z.(2 – i) = 8 + i

Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos

(a + bi).(2 – i) = 8 + i 2a – ai + 2bi – bi2⇒ = 8 + i

2a – ai + 2bi + b⇒ = 8 + i

2a + b + (2b – a)i⇒ = 8 + i2a + b = 8

2b – a = 1⇒

Resolução:


Resolvendo o sistema, chegamos a:

2a + b = 8

2b – a = 1 x (2)⇒

2a + b = 8

4b – 2a = 2+

5b = 10 ⇒ b = 2

⇒ 2a + 2 = 8

⇒ a = 3

⇒ z = a + bi

⇒ z = 3 + 2i


Sejam dois números complexos, z1 e z2, com z2 ≠ 0, definimos a divisão multiplicando ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador.

DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS

z1

z2

. z2

. z2

z1

z2

=


EXEMPLO Efetue as divisões indicadas abaixo.

8 + i2 – i

a)

(8 + i).(2 + i)(2 – i).(2 + i)

16 + 8i + 2i + i2

22 – i2 16 + 8i + 2i – 1

4 – (–1) 15 + 10i

5= 3 + 2i

8 + i3 + 2i

b)

(8 + i).(3 – 2i)(3 + 2i).(3 – 2i)

24 – 16i + 3i – 2i2

32 – 4i2 24 – 16i + 3i + 2

9 + 4 26 – 13i

13= 2 – i


Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o complexo representado por z–1 e assim definido.

1zz–1 =

INVERSO DE UM COMPLEXO


EXEMPLO

Determine o inverso do número complexo z = i.

z–1 = 1i(1) . (–i)(i) . (–i)

–i–i2

–i1

– i

z–1 =

z–1 =

z–1 =

z–1 =


POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE NATURAL)

Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência zn é, por definição, o produto de n fatores iguais a z.

z0 = 1 (z ≠ 0)

z1 = z

zn = z. z.z ... .z

n fatores


EXEMPLO 1

(3 + i)0 = 1

(–5 + 2i)1 = –5 + 2i

(2 – 3i)2 = 4 – 12i + 9i2 = 4 – 12i – 9 = –5 – 12i

(1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i – 3 – i = –3 + 2i


EXEMPLO 2

Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2i)2 seja imaginário puro.

z = (k + 2i)2 = k2 + 4ki + 4i2 = k2 – 4 + 4ki

z imaginário puro, devemos ter:

Re(z) = 0

Im(z) ≠ 0 ⇒ k2 – 4 = 0

4k ≠ 0 ⇒ k = ± 2


POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO)

A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se:

1z

z–n =n


EXEMPLO

Sendo z = 1 – i, calcular z–2.

z–1 =1z

=1

1 – i =

Primeiro vamos calcular z–1; depois z–2.

1 + i12 – i2

=1 + i

2

z–2 = (z–1)2 =1 + i

2

2

=1 + 2i + i2

4 =

1 + 2i – 14

=2i4

=i2

1 + i(1 – i).(1 + i)

=


EXERCÍCIOS

http:

//w

ww

.eur

oosc

ar.c

om/g

ifs1/

esco

la1.

htm

1º) (UCSal) - Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?2º) (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.3º) (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001.

4º) Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180.5º) (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.

ii

21510

ii

131

6º) Efetue as seguintes divisões de números complexos:

a) b)


EXTRAS

GEOGEBRA

Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações entre números complexos.

Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

SHOW DO MILHÃO

Um jogo com perguntas somente de números complexos e pode ser obtido no endereço: https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/show-do-milhao/Show%20do%20Milh%C3%A3o.rar?attredirects=0&d=1

http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm

https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/show-do-milhao/Show%20do%20Milh%C3%A3o.rar?attredirects=0&d=1

https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/show-do-milhao/Show%20do%20Milh%C3%A3o.rar?attredirects=0&d=1


REFERÊNCIAS

Sites: http://

www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos-na-forma-algebrica.html

http://www.matematicadidatica.com.br/OperacoesNumerosComplexos.aspx http://

www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htmLivros:

I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.

Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.

Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

http://www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos-na-forma-algebrica.html




http://www.matematicadidatica.com.br/OperacoesNumerosComplexos.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/OperacoesNumerosComplexos.aspx

http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm



matemática, 3º ano, operações envolvendo números complexos matemÁtica e suas tecnologias...

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