matematica 5

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índiceINDICE

CAPÍTULO I

1. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL 1

1.1. Sistema de ecuaciones de primer grado de dos variables 11.2. Interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 61.3. Inecuación lineal de dos variables 91.4 Sistema de inecuaciones lineales con dos variables 121.5 Determinación de la región factible 131.6. Valores máximos y mínimos en un polígono convexo 141.7. Método grafico y analítico de optimización lineal 151.8. Teorema del punto de esquina 171.9. Resolución grafica de un problema de programación lineal 171.10. Aplicaciones de la programación lineal 191.11. Ejercicios desarrollados 221.12. Ejercicios Propuestos 37

CAPÍTULO II

2. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICA 44

2.1. Función exponencial de base “a” positiva 442.2. Propiedades de la función exponencial 462.3. El número e 472.4. Función exponencial natural (base e) 482.5. Ecuación exponencial 492.6. Técnicas de convertibilidad 492.7. Función logarítmica de base “a” positiva 532.7.1. Definición 53

CAPITULO I

1. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

2. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICA

CAPITULO II

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2.7.2. Propiedades de la función logarítmica 542.7.3. Definición 542.7.4. Definición 552.8. Aplicación de la función exponencial y logarítmica 562.9. Ecuación logarítmica 602.10. Ejercicios Desarrollados 632.11. Ejercicios Propuestos 732.12. Respuestas 95

CAPÍTULO III

3. TRIGONOMETRIA PLANA 97

3.1. Conceptos Básicos 973.1.1. Trigonometría 973.1.2. Etimología 973.1.3. Clasificación 973.1.4. Utilidad 983.1.5. Triángulo Plano 983.1.6. Ángulo Plano 983.1.7. Clases de Ángulos Planos 983.1.8. Clases de Triángulos Planos 993.2 Ángulo Trigonométrico 993.2.1. Definición 993.2.2. Ángulos Positivos y Negativos 1003.2.3. Propiedades del Ángulo Trigonométrico 1003.2.4. Ángulos Especiales 1013.2.5. Sistemas de Medidas Angulares 1073.2.6. Conversión de Sistema de Medidas de Ángulos 1083.2.7. Longitud de Arco y Area del Sector Circular 1143.2.8. Ejercicios Desarrollados 1213.2.9. Ejercicios Propuestos 1623.2.10. Respuestas 1923.3. Funciones o Relaciones Trigonométricas 192

CAPITULO III

3. TRIGONOMETRIA PLANA


3.3.1. Definición 1933.3.2. Razones o Funciones Trigonométricas Respecto a un Ángulo Agudo de un

Triángulo Rectángulo 1943.3.3. Propiedades Fundamentales de las Funciones Trigonométricas de un Ángulo

Agudo de un Triángulo Rectángulo 1953.3.4. Razones Trigonométricas de Ángulos Notables 30°, 45°, 60° 2003.3.5. Funciones o Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales 180°, 270°,

360°, 0° 2033.3.6. Razones Trigonométricas de los Ángulos de 37°, 53°, 74°, 16° 2053.3.7. Funciones o Razones Trigonométricas Reciprocas 2063.3.8. Tangente y Cotangente de la Mitad de un Ángulo Agudo 2083.3.9. Circunferencias Trigonométricas 2103.3.10. Signos Algebraicos de las Funciones Trigonométricas 2113.3.11. Líneas Trigonométricas o Líneas Circulares 2113.3.12. Líneas Auxiliares 2153.3.13. Ejercicios Desarrollados 2163.3.14. Ejercicios Propuestos 2743.3.15. Respuestas 3013.4. Relaciones entre las Funciones Trigonométricas e Identidades Trigonométricas. 3013.4.1. Relaciones entre las Funciones Trigonométricas de un mismo Ángulo 3013.4.2. Identidades Trigonométricas 3073.4.3. Identidades Auxiliares 3093.4.4. Ejercicios Desarrollados 3133.4.5. Ejercicios Propuestos 3603.4.6. Respuestas 3763.5. Funciones Trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos y

reducción al primer cuadrante 3773.5.1. Seno de la Suma de Dos Ángulos 3773.5.2. Coseno de la Suma de Dos Ángulos 3783.5.3. Equivalencia de las Funciones de los Ángulos Negativos 3793.5.4. Seno y Coseno de la Diferencia de Dos Ángulos 3803.5.5. Tangente y Cotangente de la Suma de Dos Ángulos 3813.5.6. Tangente y Cotangente de la Diferencia de Dos Ángulos 3833.5.7. Identidades Auxiliares 385


3.5.8. Identidades Trigonométricas de la Suma de Tres Ángulos 3883.5.9. Arcos Complementarios y Suplementarios 3903.5.10. Equivalencia de las Funciones de los Arcos Complementarios 3913.5.11. Equivalencia de las Funciones de los Arcos Suplementarios 3933.5.12. Equivalencia en el Primer Cuadrante de las Funciones de Arcos Mayores de

una Circunferencia 3933.5.13. Reducción al Primer Cuadrante 3943.5.14. Ejercicios Desarrollados 3973.5.15. Ejercicios Propuestos 4383.5.16. Respuestas 4603.6. Funciones Trigonométricas de Ángulos dobles, triples y de ángulo mitad 4613.6.1. Seno y Coseno del Ángulo Doble 4613.6.2. Tangente y Cotangente de un Ángulo Doble 4623.6.3. Seno del Ángulo Triple 4643.6.4. Coseno del Ángulo Triple 4653.6.5. Tangente del Ángulo Triple 4653.6.6. Cotangente del Ángulo Triple 4653.6.7. Seno y Coseno del Ángulo Mitad en Función del Coseno 4683.6.8. Tangente y Cotangente del Ángulo Mitad en Función del Coseno 4683.6.9. Ejercicios Desarrollados 4713.6.10. Ejercicios Propuestos 5063.6.11. Respuestas 5263.7. Transformación de Suma y Resta de Funciones Trigonométricas a

productos y viceversa 5273.7.1. Transformación de la Suma y Diferencia de Dos Senos a Producto 5273.7.2. Transformación de la Suma y Diferencia de Dos Cosenos a Producto 5283.7.3. Fórmulas Especiales 5303.7.4. Identidades Auxiliares 5333.7.5. Transformación de Producto a Suma o Diferencia 5393.7.6. Ejercicios Desarrollados 5403.7.7. Ejercicios Propuestos 5633.7.8. Respuestas 5823.8. Resolución de Triángulos 5823.8.1. Resolución de Triángulos Rectángulos 582


3.8.2. Fórmula para Calcular el Área de un Triángulo Rectángulo 5853.8.3. Ángulo de Elevación y Depresión 5863.8.4. Resolución de Triángulos Oblicuángulos 5893.8.5. Casos en la Resolución de Triángulos Oblicuángulos 5953.8.6. Área de los Triángulos Oblicuángulos 5973.8.7. Ejercicios Desarrollados 6003.8.8. Ejercicios Propuestos 6283.8.9. Respuestas 6493.9. Funciones Trigonométricas de Números Reales 6503.9.1. Definición 6503.9.2. Definición de Función Periódica 6503.9.3. Definición de Función Par 6533.9.4. Definición de Función Impar 6533.9.5. Gráficas de las Funciones Trigonométricas Básicas 6533.9.6. Gráficas Trigonométricas 6573.9.7. Otras Gráficas Trigonométricas 6633.9.8. Ejercicios Desarrollados 6663.9.9. Ejercicios Propuestos 6763.9.10. Respuestas 6893.10. Funciones Trigonométricas Inversas 6893.10.1. Función Inversa del Seno 6903.10.2. Función Inversa del Coseno 6913.10.3. Función Inversa de la Tangente 6923.10.4. Función Inversa de la Cotangente 6923.10.5. Función Inversa de la Secante 6933.10.6. Función Inversa de la Cosecante 6943.10.7. Ejercicios Desarrollados 6953.10.8. Ejercicios Propuestos 7123.10.9. Respuestas 7253.11. Ecuaciones Trigonométricas 7253.11.1. Definición 7263.11.2. Clases de Ecuaciones Trigonométricas 7263.11.3. Solución de una Ecuación Trigonométrica 7273.11.4. Clases de Soluciones de una Ecuación Trigonométrica 727


3.11.5. Ejercicios Desarrollados 7323.11.6. Ejercicios Propuestos 7493.11.7. Respuestas 766

CAPÍTULO IV

4. GEOMETRÍA DEL ESPACIO SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN 767

4.1. Cilindro de Revolución 7674.2. Elementos del Cilindro de Revolución 7674.3. Cilindro Circular Recto 7684.4. Área y Volumen de un Cilindro Recto 7684.5. Cilindro Circular Oblicuo 7704.6. Área y Volumen de un Cilindro Oblicuo 7714.7. Tronco de Cilindro 7724.8. Cono de Revolución 7734.8.1. Elementos de Cono de Revolución 7734.8.2. Área y Volumen de um Cono de Revolución 7744.9. Tronco de Cono de Revolución 7774.9.1. Elementos del Tronco de Cono de Revolución 7774.9.2. Área Lateral Toral y Volumen de un Tronco de Cono de Revolución 7774.9.3. Variación del Radio y la Altura de un Cono de Revolución 7794.10. Superficie Esférica y Esfera 7804.10.1 Área de la Superficie Esférica 7824.10.2. Volumen de la Esfera 7844.11. Ejercicios Desarrollados 7844.12. Ejercicios Propuestos 7984.13. Respuestas 807

CAPÍTULO IV

4. GEOMETRÍA DEL ESPACIO SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN


CAPÍTULO V

5. GEOMETRIA ANALITICA 679

5.1. La Circunferencia 8085.1.1. Definición 8085.1.2. Elementos de la Circunferencia 8095.1.3. Formas de la Ecuación de la Circunferencia 809

1) Forma Ordinaria 8092) Forma Canónica 8113) Ecuación General de la Circunferencia 812

5.1.4. Transformación de la Ecuación General de la Circunferenciaa la Forma Ordinaria 813

5.1.5. Ejercicios Desarrollados 8155.2. La Parábola 8235.2.1. Definición 8235.2.2. Elementos de la Parábola 8235.2.3. Formas de la Ecuación de la Parábola 824

1° Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y eje Focal el Eje X 8242° Ecuación de la Parábola de Vértice en el origen y eje Focal el Eje Y 8273° Ecuación de la Parábola de Vértice V(h,k) y eje Focal paralelo al eje X 8294° Ecuación de la Parábola de Vértice V(h,k) y eje Focal paralelo al eje Y 831

5.2.4. Ecuación General de la Parábola 8345.2.5. Ejercicios Desarrollados 8355.3. Elipse 8425.3.1. Definición 8425.3.2. Elementos de la Elipse 8435.3.3. Formas de la Ecuación de la Elipse 844

1° Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje X 8442° Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje Y 8463° Ecuación de la Elipse de centro al punto C(h,k) y eje Focal

paralelo al eje X 8484° Ecuación de la Elipse de centro al punto C(h,k) y eje Focal

paralelo al eje Y 850

CAPITULO V

5. GEOMETRIA ANALITICA


5.3.4. Ecuación General de la Elipse 8535.3.5. Ejercicios Desarrollados 8545.4. La Hipérbola 8625.4.1. Definición 8625.4.2. Elementos de la Hipérbola 8635.4.3. Formas de la Ecuación de una Hipérbola 864

1° Forma Canónica 8645.4.4. Asíntota de la Hipérbola 868

2° Forma Ordinaria 8695.4.5. Ecuación General de la Hipérbola 8715.5. Ejercicios Desarrollados 8725.6. Ejercicios Propuestos 8815.7. Respuestas 899

CAPÍTULO VI

6. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES 900

6.1. Medida de Dispersión 9006.2. Varianza y Desviación Estándar 9006.2.1. Calculo de la Varianza 9011 Varianza de Datos no Tabulados 9012 Varianza de Datos Tabulados 9026.3. Coeficiente de Variación 9056.4. Probabilidad Condicionada 9066.4.1. Definición 9086.4.2. Sucesos Independientes 9106.4.3. Experiencias Dependientes 9116.4.4. Experiencias Independientes 9126.5. Teorema de Bayer 9136.6. Variable Aleatoria Discreta 9146.7. Esperanza Matemática 9156.7.1. Definición 9166.8. Ejercicios Propuestos 917BIBLIOGRAFIA 919

CAPITULO VI

6. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

1Programacion LineaLeduardo esPinoza ramos


Programación Lineal 1

CAPÍTULO I

1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL.Uno de los primeros en intuir, aunque en forma no tan precisa, los métodos que actualmente se concoe como programación lineal es el matemático Frances JEAN BAPTISTE – JOSEPH FOURIER (1768 – 1830) y que es una herramienta muy importante en el mundo empresarial o de los negocios, puesto que permite asignar recursos limitados entre actividades competitivas en forma óptima de la mejor manera posible.

La variedad de situaciones a lo que se puede aplicar es muy grande, desde la producciónde distintos tipos de artefactos que hay en una fabrica para obtener la ganancia óptima hasta las asignaciones de los recursos racionales a las necesidades de un país; así mismo se aplica en diferentes campos de la sociedad, asi por ejemplo como en los aeropuertos, en el campo de la medicina, etc.

El desarrollo de la programación lineal como uno de los más importantes avances cientificos empieza a mediados del siglo XX.

La programación lineal dio un gran impulso gracias a la aparición y rápida evolución de las computadoras.

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal los dio el matemático norteamericano de origen Hungaro John VON NEUMANN (1930 – 1957) en su famoso trabajo “Teoria de Juegos” la infleuncia de este extraoridinario matemático, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente en el desarrollo riguroso de esta disciplina.

1.1. SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES.-

Todo sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tiene la sigueinte forma general.

CAPITULO I

1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

1.1. SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES.-

2 Programacion LineaL eduardo esPinoza ramos


Eduardo Espinoza Ramos2

1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

+ = + =

donde 1 2 1 2 1, , , ,a a b b c y 2c son números reales

x e y son las incógnitas.

La solución del sistema (α) se puede obtener por los métodos de sustitución, por igualación o comparación y por sumar y restar (reducción). También existen otros métodos que son por matrices y determinantes.

1er. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.- Consideremos el sistema de ecuaciones.

1 1 1

2 2 2

... (1)

... (2)a x b y ca x b y c

+ = + =

Este método consiste en despejar de una de las ecuaciones el valor de una de las incógnitas en términos de la otra incógnita y el resultado se reemplaza en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita, el valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita, es decir, de la ecuación (1), si 1 0b ≠ , despejamos y, es decir:

1 1

1

c a xyb−

= , al reemplazar en la ecuación (2) se tiene:

1 12 2 2

1( )c a xa x b c

b−

+ = de donde 1 2 2 1

2 1 1 2

b c b cxa b a b

−=

−

ahora reemplazamos en la ecuación (1) se obtiene:

1 2 2 11 1 1

2 1 1 2( )b c b ca b y ca b a b

−+ =

−⇒ 2 1 1 2

2 1 1 2

a c a cya b a b

−=

−

Ejemplo.- Resolver el sistema 3 4 8 ... (1)8 9 77 ... (2)

x yx y+ =

− = −

DesarrolloDESARROLLO

3Programacion LineaLeduardo esPinoza ramos


Programación Lineal 3

Despejamos cualquiera de las incógnitas, por ejemplo “y”, en una de las ecuaciones, de la ecuación (2) despejamos “y”

9y = 8x + 77 de donde 8 779

xy +=

Este valor de y se sustituye en la ecuación (1)

8 773 4( ) 89

xx ++ = , resolviendo esta ecuación 27x + 32x + 308 = 72

59x = 72 – 308, simplificando 59x = -236 de donde 236 459

x = − = − ∴ x = -4

reemplazando x = -4, en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene: 3(-4) + 4y = 8 ⇒ -12 + 4y = 8

4y = 20 de donde y = 5 Rpta.4

5xy= −

=

2do. MÉTODO POR IGUALACIÓN O COMPARACIÓN.-

Este método consiste en despejar el valor de la misma incógnita de ambas ecuaciones para luego igualarlas, obteniéndose una ecuación con una incógnita, el valor obtenido de esta ecuación se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema para determinar el valor de la otra incógnita.

Es decir: 1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

+ = + =

...(1)

...(2)

De (1), si 1 0b ≠ , despejamos y ∴ 1 1

1

c a xyb−

=

De (2), si 2 0b ≠ , despejamos y ∴ 2 2

2

c a xyb−

=

Igualando estos resultados:

1 1 2 2

1 2

c a x c a xb b− −

= de donde 1 2 2 1

2 1 1 2

b c b cxa b a b

−=

−

187TrigonomeTría Planaeduardo esPinoza ramos


Trigonometría Plana 187

130 En el sector circular hallar el área sombreada.

a) 2uπ b) 2

2uπ c) 2

4uπ

d) 22 uπ e) 2

3uπ

131 Si el triángulo gira por el vértice A, hallar la distancia recorrida por B si el triángulo es equilátero de lado 4 y una de las caras es de color verde y la otra de color rojo.

a) 4π b) 2π

c) 4 3π d) π

e) 2 3π

132 Calcular el área del sector circular mostrado.

a) 224 m b) 220 m

c) 228 m d) 214 m

e) 219 m

133 Calcular el área de la región sombreada.

a) 25 u b) 25.4 u

c) 24 u d) 23 u

e) 25.3 u

134 En la figura mostrada, hallar el área del trapecio circular ABCD sí BD h= y α=∧

CODradianes.

2

C verde B

rojo

A

C' B'

(x + 1) m

x rad

12 m

01 u

2 u1 u

AB

C

DE

F

4 u

130

131

132

133

134

188 TrigonomeTría Plana eduardo esPinoza ramos



a) 2hα b)2

4hα c)

2

3hα

d)2

2hα e)

2

4hα

135 En el gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada.

a) 224 u b) 220 u c) 218 u

d) 216 u e) 214 u

136 En la figura mostrada, hallar el área de la región sombreada siendo “O” centro de la circunferencia.

a) 252 mπ b) 254 mπ

c) 250 mπ d) 248 mπ

e) 246 mπ

137 Un sector circular de ángulo central 4π tiene área

2π . Si el radio aumenta el doble del

anterior, entonces área nueva / área anterior es:

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

138 En la figura AOB y BAO1 son sectores circulares. Sí 1 1OO O A= y2

L uπ= . Hallar el

área del sector circular BAO1

a) 2

4uπ b) 2

2uπ c) 23

4uπ

d) 2uπ e) 223

uπ

A

D

B C0

α

A

C

B

D0

4 u

3 u

5 u

3 u

A 0π

π

45°

C

B

3π m

0

4

A

L

BO1

135

136

137

138




139 De la figura mostrada calcular 1

2

SS

a) 5435

b) 3554

c) 4522

d) 5417

e) 3519

140 La longitud de un determinado arco es π u y el área del sector circular correspondiente es 25

4uπ , entonces el ángulo central de dicho sector mide.

a) 108° b) g108 c) 45

radπ d) 80° e) g80

141 En el gráfico, AOB y COD son sectores circulares de áreas 1S y 2S respectivamente.

Calcular 1

2

SS

.

a) 159

b) 259

c) 154

d) 253

e) 3

142 Sean 1S y 2S dos sectores circulares. Si el radio de 2S es el doble del radio de 1S y el

ángulo central de 2S es tres veces el ángulo central de 1S , hallar la relación que existe

entre las áreas de 1S y 2S .

a) 15

b) 110

c) 27

d) 112

e) 38

143 El perímetro de un sector circular elevado al cuadrado es igual a 16 veces su área. Cuánto mide el ángulo central.

a) 2 rad b) 4 rad c) 6 rad d) 7 rad e) 8 rad

CA

G

0 H B

E

Fx°

S1

S2

xg

0

C

D

A

B

θ 45 cm 75 cm

139

140

141

142

143




144 Hallar el área de la región sombreada. Si los sectores AOB y COD, tienen igual área,

además 2OA = .

a) x – y b) 2(x – y)

c) 4(x – y) d) 2(y – x)

e) 4(y – x)

145 A un alumno se le pide calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central es 2°,

pero él escribe 2 rad obteniendo un área A, si el área correcta es B, calcular AB

.

a) 180π

b) 1 c)18π d) 10

9e) 18

π

146 En la figura mostrada calcular el área de la región sombreada.

a) 214 mπ b) 212 mπ

c) 216 mπ d) 210 mπ

e) 218 mπ

147 Calcular el área de la región sombreada sabiendo que “O” es centro y 6OA OB= = .

a) 2uπ b) 22 uπ

c) 23 uπ d) 24 uπ

e) 25 uπ

148 La figura mostrada es un sector circular con centro “O”. Hallar el área del sector circular

AOB si 1 2 2L L uπ

+ = .

0x rady rad

C

D

E

B

A

A

B

C

D0α

4α3α

2π m

A

40°

40°0 B

144

145

146

147

148




a) 2

5uπ b) 22

5uπ

c) 245

uπ d) 2uπ

e) 22 uπ

149 Sea 225

S uπ= el área de un sector circular con ángulo central

20radπ , al multiplicar S

por 10, el ángulo central del sector aumentada es θ rad, Hallar θ.

a)2

radπ b) 920

radπ c)10

radπ d) 320

radπ e)20

radπ

150 El ángulo central de un sector circular es igual a 16° y se desea disminuir en 7°. ¿Encuánto hay que aumentar el radio del sector para que su área no varíe, si su longitud inicial es igual a 27 m?.

a) 9 m b) 10 m c) 11 m d) 12 m e) 13 m

0r

C

DA 2

B

L1

L2

10g

149

150




3.2.10. RESPUESTAS.-

1 b 2 c 3 a 4 a 5 b 6 d 7 a 8 c

9 b 10 a 11 d 12 a 13 c 14 c 15 e 16 a

17 b 18 d 19 b 20 a 21 d 22 a 23 c 24 a

25 d 26 b 27 b 28 a 29 b 30 d 31 a 32 b

33 c 34 a 35 a 36 d 37 b 38 a 39 c 40 a

41 c 42 c 43 e 44 a 45 c 46 a 47 c 48 b

49 a 50 c 51 c 52 d 53 b 54 c 55 b 56 d

57 b 58 c 59 c 60 a 61 d 62 d 63 b 64 a

65 c 66 b 67 a 68 d 69 a 70 d 71 b 72 d

73 a 74 c 75 a 76 b 77 c 78 a 79 c 80 d

81 b 82 d 83 a 84 c 85 b 86 a 87 b 88 c

89 c 90 c 91 a 92 b 93 e 94 b 95 a 96 c

97 b 98 a 99 c 100 a 101 b 102 c 103 d 104 a

105 b 106 e 107 a 108 c 109 a 110 e 111 a 112 d

113 d 114 e 115 c 116 a 117 c 118 b 119 a 120 c

121 b 122 c 123 a 124 c 125 d 126 a 127 d 128 b

129 a 130 b 131 b 132 a 133 c 134 d 135 a 136 b

137 c 138 b 139 a 140 e 141 b 142 d 143 a 144 d

145 a 146 c 147 a 148 b 149 b 150 a

3.3. FUNCIONES O RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS.-

Las relaciones trigonométricas, son los números que resultan de dividir las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo; como son tres los lados de un triángulo y las posibilidades de dividir uno entre otro son seis, por lo tanto se tiene seis funciones circulares, también llamados funciones trigonométricas y son:

Seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Los valores de estas funciones para un número real x están denotados por:

3.2.10. RESPUESTAS.-

3.3. FUNCIONES O RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS.-




rθ

yP(x,y)

0 x X

Y

Sen x, cos x, tag x, ctg x, sec x, cosec x.

OBSERVACIÓN.- Estrictamente hablando, la palabra “trigonométrica” se usa cuando se está tratando con dominios de ángulos, y la palabra “circular” cuando se está tratando con dominios de números reales, no se insistirá en esta distinción, se usará trigonométrica en ambos casos:

Ahora daremos la definición de las relaciones trigonométricas.

3.3.1. DEFINICIÓN.- Consideremos un ángulo θ en posición normal respecto del sistema de coordenadas cartesianas y tracemos una circunferencia de radio

r > 0, y centro en el origen, que corta al lado terminal del ángulo en el punto P(x,y), definimos las siguientes “relaciones trigonométricas” respecto al ángulo θ.

ordenadasenradio

yr

θ = = , entonces sen yr

θ =

abscisacosradio

xr

θ = = , entonces cos xr

θ =

ordenadaabscisa

ytgx

θ = = , entonces ytgx

θ =

abscisaordenada

xctgy

θ = = , entonces xctgy

θ =

radiosecabscisa

rx

θ = = , entonces sec rx

θ =

radiocosordenada

recy

θ = = , entonces cos recy

θ =

Cada punto de la circunferencia se identifica con un par de coordenadas (x,y), donde “x”es la abscisa e “y” es la ordenada del punto P.

Los valores de “x” e “y” pueden ser positivos y negativos, el valor de r es exclusivamente positivo.

3.3.1. DEFINICIÓN.-




1θ

x rad

A(a,b)

0 X

Y

x

B(1,0)

OBSERVACIÓN.- Si θ es un ángulo de x radianes, entonces el valor de cada función trigonométrica en θ está dado por su valor con el número real x.

Función Trigonométrica

Función Circular

Sen θCos θTg θCtg θSec θ

Cosec θ

Sen xCos xTg xCtg xSec x

Cosec x

Si θ es un ángulo medido en grados, convierta la medida en radianes y proceda como antes se indica.

Ejemplo.- 1) sen 30 sen( )6

radπ° = 2) cos 45 cos( )

4radπ

° =

3) tg90 tg( )2

radπ° = 4) )cos(180cos radπ=°

3.3.2. RAZONES O FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RESPECTO A UN ÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.-

Las razones o funciones trigonométricas definidas en 2.1. lo veremos con respecto a un ángulo agudo α y cuya notación es en la forma siguiente:

Sen α: se lee seno del ángulo α, o seno de α

Cos α: se lee coseno del ángulo α, o coseno de α

Tg α : se lee tangente del ángulo α, o tangente de α

Ctg α: se lee cotangente del ángulo α, o cotangente de α

Sec α: se lee secante del ángulo α, o secante de α

Cosec α: se lee cosecante del ángulo α, o cosecante de α

3.3.2. RAZONES O FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RESPECTO A UN ÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.-




A

c

B

a

b Cα

A

5

C

4

3 Bα

Si ACB es un triángulo rectángulo recto en C, las razones trigonométricas de α se definen:

cateto opuesto asenHipotenusa

ac

αα = =

cateto adyacente acosHipotenusa

bc

αα = =

cateto opuesto atgcateto adyancente a

ab

ααα

= =

cateto adyacente atgcateto opuesto a

bca

ααα

= =

Hipotenusaseccateto adyancente a

cb

αα

= =

Hipotenusacoscateto opuesto a

ceca

αα

= =

Ejemplo.- Hallar las razones trigonométricasdel ángulo α del triángulo dado.

Desarrollo

Por definición de las razones trigonométricas se tiene:

4sen5

α = , 3cos5

α = , 4tg3

α =

3tg4

c α = , 5sec3

α = , 5cos4

ecα =

3.3.3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.-

1ro. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo no depende de la magnitud de los lados sino más bien depende de su magnitud angular.

3.3.3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.-

DESARROLLO




73 Del gráfico mostrado calcular cos sencos sen

M α ββ α−

=−

sí AE BD=

a) 23

b) 32

c) 12

d) 2 e) 52

74 En la figura adjunta, hallar el valor de x sí tg (30° - θ) – ctg (30° - θ) = 0

a) 15 m b) 12 m c) 8 m

d) 10 m e) 18 m

75 Un triángulo rectángulo recto en A tiene una hipotenusa de 5. Si sen B = 2 sen C. Hallar el valor de su mayor cateto.

a) 2 5 b) 2 3 c) 3 2 d) 5 2 e) 2

76 Encontrar el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo, si sus lados están en progresión aritmética.

a) 25

b) 32

c) 35

d) 53

e) 52

77 De la figura indicada, calcular tg θ.

a) 53

b) 73

c) 5

d) 72

e) 62

C

θ DAD

θ

20 m

x

B

θ

1E

8

AD

C

α

B

β 1

E

CD2A

73

74

75

76

77




78 Si α y β son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo calcular βα ececM cos2cos 2 −=

a) 2 b) -2 c) 0 d) 1 e) -1

79 En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se cumple 3tg tg2

A C+ = , calcular

sen A. sen C

a) 23

b) 53

c) 32

d) 12

e) 2

80 En un triángulo rectángulo, el menor cateto es el triple de la diferencia entre los otros 2 lados. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo.

a) 23

b) 43

c) 32

d) 34

e) 2

81 En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que tg A = 3 tg C. Hallar M =2 (sen C + sen A)

a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 8

(Concurso de Matemática organizado por las Academias)

82 En la figura indicada, hallar el valor de cos1 sen

ecM θθ

=+

a) 23

b) 32

c) 2

d) 53

e) 35

83 En la figura dada ABCD es cuadrado. Calcular tg θ

a) 13

b) 23

c) 53

d) 27

e) 72

θa

B

AM

2a

NC

a

D

θ3

5

F1

B C

EDA

78

79

80

81

82

83




84 En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado. Calcular 2sec

tg tgM

cα

β α=

+

a) 5 b) 4 c) 3

d) 1 e) 2

85 En el gráfico dado: si 32

ABBC

= , calcular tg θ

a) 43

b) 34

c) 75

d) 57

e) 25

86 En un triángulo rectángulo BAC recto en A, se sabe que: b. cosec B + a. sen C = 10 y

2 10b = , calcular la tangente del mayor ángulo agudo.

a) 105

b) 3 102

c) 2 103

d) 1010

e) 52

(Concurso de Matemática de las Academias)

87 En la figura adjunta. Calcular tg θ.

a) 55

b) 66

c) 63

d) 33

e) 77

88 En un triángulo rectángulo se tiene que uno de sus catetos es el doble de la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo.

a) 23

b) 43

c) 13

d) 3 e) 2

βB C

A α D

D

θ CAB

1017

C

θB A

θ

2x x

84

85

86

87

88




89 Hallar el perímetro del triángulo rectángulo mostrado, sabiendo que 3tg4

θ =

a) 76 b) 86 c) 96

d) 106 e) 116

90 En un triángulo isósceles ABC, AB AC= se cumple que cos A = 0.6. Hallar tg B

a) 2 b) 32

c) 23

d) 12

e) 3

(Admisión UNI – 1982)

91 En un triángulo rectángulo los números de las longitudes de sus lados son: (2x + 6), (3x) y (5x – 6) si θ es el menor de los ángulos agudos, calcular tg θ sí x > 6.

a) 52

b) 23

c) 25

d) 35

e) 45

92 El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2.4 ¿Cuánto mide el cateto menor?

a) 43.8 m b) 56.33 m c) 54 m d) 34.8 m e) 46.33 m

93 Si AB BC= y BM MC= en el gráfico, calcular tg θ.

a) 49

b) 94

c) 23

d) 32

e) 13

94 En un triángulo rectángulo el semiperimetro es 60 m y la secante de uno de sus ángulos agudos es 2.6 calcular la longitud de la hipotenusa.

a) 32 m b) 42 m c) 52 m d) 62 m e) 45 m

θ

40

B

2θ

M

A 37° C

89

90

91

92

93

94




95 Calcular el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo sabiendo que sus lados están

en progresión aritmética.

a) 15

b) 35

c) 25

d) 23

e) 13

96 En la figura adjunta. Calcular el valor de tg sen .cossen .cos

E α α αα α

+=

a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

97 En la figura adjunta, calcular tg θ, si ABCD es un cuadrado.

a) 23

b) 35

c) 45

d) 32

e) 34

98 En la figura adjunta. Calcular tg θ, si ABCD es un cuadrado.

a) 65

b) 56

c) 53

d) 37

e) 25

A

B C

α

θ

P3b

bM

Na 3a

Bθ

C

2

1

3

A D

Bθ

Ca

4aM

A D

N

95

96

97

98




99 En la figura adjunta. Calcular el valor de: sec α. sec β

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

100 En la figura adjunta. Calcular tg θ. Sí 2CD AB= y AM MD=

a) 3 b) 33

c) 23

d) 35

e) 32

101 Calcular el valor de E = sen x + cos x, sabiendo que: °=°°+ 45cos264cos).19( 2xtg

a) 2 b) 2 c) 3 d) 3 e) 12

102 Se tiene en la figura que: 23

AB CD= , calcular el valor de E = tg α + tg θ

a) 23

b) 32

c) 34

d) 14

e) 1

103 Calcular ABCD

, para que OB = OC

β

A

α

2

B C

D

1

E

θ

C

DMA

45°

B

C

A

E

DBαθ

99

100

101

102

103

911Estadística y ProbabilidadEsEduardo EsPinoza ramos


Estadistica y Probabilidades 911

6.4.3. EXPERIENCIAS DEPENDIENTES.-

Dos experimentos son dependientes cuando el resultado del primero influye en las probabilidades de los sucesos del segundo.

Si dos experimentos A y B son experimentos dependeintes, entonces la probabilidad de que ocurran ambois experimentos se determinan asi:

( ) ( ). ( )BP A B P A PA

∩ =

Si 1 2,A A y 3A son experimentos dependientes, entonces la probabilidad de que ocurren

los tres experimentos se determina asi:

2 11 2 3 1

1 1 2( ) ( ). ( ). ( )

A AP A A A P A P PA A A

∩ ∩ =∩

Generalizando tenemos

121 2 1

1 1 2 2 1 2 1( ... ) ( ). ( )... ( ). ( )

... ...n n

nn n

A AAP A A A P A P P PA A A A A A A

−

− −∩ ∩ =

∩ ∩ ∩ ∩

Ejemplo.- En una urna hay cuatro bolas blancas y cinco bolas rojas, se extraenconsecutivamente dos bolas sin reemplazamiento, calcula la probabilidad deque:

a) Se extraigan dos bolas blancas.

b) Se extraigan una bola blanca y una roja, en ese orden.

iB

Solucion

Sea el suceso “obtener bola blanca en la i-ésima extracción” y

jR el suceso “obtener bola roja en la i-ésima extracción”

El suceso “obtener dos bolas blancas” es 1 2B B∩ cuya probabilidad es:

21 2 1

1

4 3 1( ) ( ). ( ) .9 8 6

BP B B P B PB

∩ = = =

6.4.3. EXPERIENCIAS DEPENDIENTES.-

SOLUCIÓN

912 Estadística y ProbabilidadEs Eduardo EsPinoza ramos



4B5R

3B5R

B

Total 9 Total 8

El suceso “obtener primero blanca y despues roja” es 1 2B R∩ , cuya probabilidad es:

21 2 1

1

4 5 5( ) ( ). ( ) .9 8 18

BP B R P B PB

∩ = = =

6.4.4. EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES.-

Se dice que dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influyen en las probabilidades de los distintos resultados de las otras.

Si dos experimentos A y B son experimentos independientes, entonces la probabilidad de que ocurran ambos experimentos es el producto de sus probabilidad individuales, es decir:

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

En general, si n experimentos son independientes y los sucesos 1 2, ,..., nA A A

corresponden, respectivametne a cada una de ellos, se tiene que:

1 2 1 2( ... ) ( ). ( )... ( )n nP A A A P A P A P A∩ ∩ ∩ =

Ejemplo.- Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces se obtenga:

a) cuatro 6 b) ningun 6 c) al menos un 6

1 1 1 1 1. . .6 6 6 6 1296

= =

Solucion

a) P(cuatro 6) = P(6,6,6,6) = P(6). P(6). P(6). P(6)

b) P(ningún 6) = P(no 6, no 6, no 6, no 6) = P(no 6). P(no 6). P(no 6). P(no 6)

5 5 5 5 6 2 5. . .6 6 6 6 1296

= =

c) P(al menos un 6) = 1 – P(ningun 6) 625 67111296 1296

= − =

6.4.4. EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES.-

SOLUCIÓN




A1 A2 A3 An…….

S

6.5. TEOREMA DE BAYER.-

Tenemos n sucesos 1 2, ,..., nA A A incompatibles dos a dos ( )i jA A φ∩ = y tales que

1 2 ... nA A A∪ ∪ ∪ = Ω

SI S es un suceso cualquiera, se tiene que:

1 21 2

( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ... ( ). ( )nn

S S SP S P A P P A P P A PA A A

= + + +

1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nS S A A A S A S A S A S= Ω∩ = ∪ ∪ ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩

Demostracion

Y como los sucesos iA S∩ son incompatibles dos a dos, se tiene que:

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nP S P A S P A S P A S= ∩ + ∩ + + ∩

1 21 2

( ). ( ) ( ). ( ) ... ( ). ( )nn

S S SP A P P A P P A PA A A

= + + +

APLICACIÓN AL CASO DE PRUEBAS SUCESIVAS

Tenemos un experimento compuesto de dos. Los sucesos 1 2, ,..., nA A A corresponden al

primer experimento y cumplen la condicion anterior. El suceso S pertenece al segundo experimento.

Se puede llegar a S pasando por 1 2 ... nA A A

1er. experimento

2do. experimento

Ejemplo.- Supongamos dos urnas con la siguiente composicion: La primer tiene dosbolsas blancas y tres bolas negras; mientras que la segunda tiene cuatro bolas blancas y una negra. Se elige una urna al azar y se extrae una bola calcular:

6.5. TEOREMA DE BAYER.-

DEMOSTRACIÓN




a) La probabilidad de que la bola extraida sea blanca.

b) La probabilidad de haber elegido la primera urna, supuesto que la bola extraida ha sido blanca.

1U

Solucion

Llamemos al suceso “elegir la primer urna” y 2U al suceso “elegir la segunda urna”,

B sera el suceso de “extraer bola blanca”

a) Nos pide: 1 21 2

1 2 1 4 3( ) ( ). ( ) ( ). ( ) . .2 5 2 5 5

B BP B P U P P U PU U

= + = + =

(tengase en cuenta que, como las urnas son elegidas al azar 1 21( ) ( )2

P U P U= = )

b) Nos pide:1

1 1 1

1 21 2

1 2( ). ( ) .( ) 12 5( )1 2 1 4( ) 3( ). ( ) ( ). ( ) . .2 5 2 5

BP U PU P U B UP

B BB P B P U P P U PU U

∩= = = =

+ +

La probabilidad 1( )UPB

recibe el nombre de probabilidad “a porteriori” y se calcula

mediante la fórmula anterior llamada Teorema de Bayes.

6.6. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.-

Es toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral Ω un valor en el conjunto de lso números reales.

En efecto: definamos la variable aleatoria

x: número de casos obtenidas al lanzar una moneda tres veces

El espacio muestral consta de ocho elementos, estos elementos son:

Ω = ccc,csc,css,ccs,sss,ssc,scs,scc

Los valores que puede tomar la variable aleatoria x están en función del número de cada elementos del espacio muestral, asi:

SOLUCIÓN

6.6. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.-




ccccsc

cssccs

sss

scsssc

scc

0

1

2

2

Ω R

X(ccc) = 3 X(css) = 1 X(sss) = 0 X(scs) = 1

X(csc) = 2 X(ccs) = 2 X(ssc) = 1 X(scc) = 2

El recorrido ® de la variable aleatoria X es:

0,1,2,3xR =

Donde: 0,1,2 y 3 son los valores que toma la variable aleatoria

Podemos observar que a cada elemento del espacio muestral Ω le corresponde un único numero real.

6.7. ESPERANZA MATEMÁTICA.-

Determinaremos la probabilidad de cada valor del recorrido de la variable aleatoria X del ejemplo anterior, asi:

1(0)8

P = ; 3(1)8

P = ; 3(2)8

P = ; 1(3)8

P =

Estos valores tabulados determinan la distribucion de probabilidad de X:

x 0 1 2 3P(x) 1

838

38

18

6.7. ESPERANZA MATEMÁTICA.-




La distribución de probabilidades de una variable aleatoria x está determinada por la probabilidad que se origina en cada valor que toma el recorrido de dicha variable aleatoria a cada probabilidad asignada la deteminaremos pro P(x) si sumamos el producto de cada elemento del recorrido por su respectiva probabilidad obtenemos la “esperanza matemática”.

6.7.1. DEFINICIÓN.- La espereanza matemática de una variable aleatoria discreta esta definida por:

1

( ) ( )n

i ii

E x x P x=

=∑

Ejemplo.- Considerando la variable aleatoria del ejemplo anterior x: número de caras obtenidas al lanzar un moneda 3 veces obtuvimos la siguiente distribuciónde probabilidades:

x 0 1 2 3P(x) 1

838

38

18

La esperanza matemática de esta variable aleatoria x está dada por:

( ) ( )E x xP x=∑ , es decir:

1 3 3 1( ) (0 )( ) (1)( ) 2 () 3( )8 8 8 8

E x = + + +3 6 3 120 1,58 8 8 8

= + + + = =

Por lo tanto E(x) = 2

Luego la esperanza matemática de esta variable aleatoria es 2

“Su interpretación” al lanzar una moneda 3 veces en promedio obtendremos 2 caras.

6.7.1. DEFINICIÓN.-

matematica 5

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