matemÁtica aplicada ao planejamento da produÇÃo e ... · o planejamento e programação da...
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Apoio Financeiro:
Silvio A. de AraujoSocorro Rangel
[email protected], [email protected]
MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
Considerações Finais
PROGRAMA
Introdução
1. Modelagemmatemática: conceitos básicos
2. Problemas clássicos de logística
3. O problema de dimensionamento de lotes (PDL)
4. O problema de sequenciamento de tarefas
5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes
6. Outros problemas integrados
7. Considerações Finais
3.1 O PDL monoestágio único-item
3.2 Métodos básicos de solução
3.3 Reformulações
3.4 O PDL monoestágio multi-itens
3.5 O PDL multiestágio
Motivação
Existem duas maneiras de aumentar a eficiência de uma loja, empresa, ou indústria:
melhoria tecnológica, ou seja, atualização dos equipamentos, mudança tecnológica, descoberta
de novos tipos de matéria prima.
A outra maneira, até hoje muito menos utilizada, envolve melhorias na organização do
planejamento da produção(Kantarovich (1939))
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
O Planejamento e Programação da Produçãoé responsável pela coordenação de todas as atividades do processo produtivo, desde a aquisição das matérias-primas até a entrega dos produtos.
• O planejamento estratégico:metas globais, longo prazo (por exemplo: instalação de fábricas e compra de equipamentos).
• O planejamento tático: caminhos para cumprir o planejamento estratégico; decisões de médio prazo (por exemplo: plano de produção ao longo de um horizonte de tempo e manutenção de máquinas).
• O planejamento operacional: decisões do dia-a-dia; programação detalhada da produção (por exemplo: sequenciar os pedidos nos centros de trabalho e programar a distribuição).
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
Definição
- determinar a quantidade de itens a ser produzida em uma ou várias máquinas, em cada período, de modo satisfazer determinadas restrições e a atender uma certa demanda otimizando uma função objetivo (por exemplo, minimizar custos)
- Problema de planejamento da produção em nível tático
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
Elementos Conhecidos:
- Considere um horizonte de planejamento de T períodos. No qual se deve planejar a produção de um único item.
-Dados:
- dt demanda no período t
- St custo fixo para produzir no período t (custo de preparação)
- ct custo unitário de produção no período t
- Ht custo unitário de estocagem no período t
- Considere M um número grande
Como determinar a quantidade que deve ser produzida em cada período de forma a atender a demanda com custo mínimo?
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.1 O PDL monoestágio único-item
Considere o seguinte exemplo: Elementos Conhecidos: • Certa indústria de moveis, que fabrica um determinado tipo de
guarda-roupa, deseja fazer um planejamento da produção para um horizonte de quatro dias (T=4)
- Sabe-se que a demanda para estes quatro dias será de d1=104, d2=174, d3=46 e d4=112unidades.
- Suponha que a firma faça no máximo uma preparaçãode máquina a cada dia e que não haja restrição de capacidadede produção.
-O custo para preparar a máquina é de St= $150,00 (t=1,...,4)por preparação e custo de estoque é Ht= $2,00 (t=1,...,4) por unidade estocada a cada dia. Considere ainda, que o custo unitário para produzir uma unidade é ct=1 (t=1,...,4).
Como determinar a quantidade que deve ser produzida em cada período de forma a atender a demanda com custo mínimo?
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.1 O PDL monoestágio único-item
Elementos Desconhecidos:
-Como determinar a quantidade que deve ser produzida em cada período de forma a atender a demanda com custo mínimo?
- Quanto produzir a cada dia?
- Quanto estocar a cada dia?
- Em quais dias as máquinas serão preparadas?
Função objetivo:Minimização dos custos de produção estoque e preparação das máquinas.
Restrições:- Atendimento a demanda;
- As máquinas devem ser preparadas sempre que há produção
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.1 O PDL monoestágio único-item
Elementos desconhecidos: Variáveis (para t=1,..., T)
- Xt = quantidade produzida no período t
- I t = quantidade estocada no período t
-
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.1 O PDL monoestágio único-item
=contrário caso, 0
período no produçãohouver se, 1 tYt
- Formulação(Função Objetivo e Restrições):
Elementos desconhecidos: Variáveis (para t=1,..., T)
- Xt = quantidade produzida no período t
- I t = quantidade estocada no período t
-
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.1 O PDL monoestágio único-item
=contráriocaso
tperíodonoproduçãohouverseYt ,0
,1
∑∑∑===
++T
ttt
T
ttt
T
ttt YSXcIH
111
min
TtdIXI
aSujeito
tttt ,...,1
:
1 ==−+−
TtMYX tt ,...,10 =≤−TtYt ,...,1}1,0{ =∈TtIeX tt ,...,10 =≥
Função Objetivo
Índices:t=1, ..., T períodos
Dados:St custo de preparação Ht custo unitário de estocagemct custo unitário de produção
Variáveis:It estoque no final do período tXt produção do período tYt indica se é cobrado custo de preparação no período t
∑∑∑===
++T
ttt
T
ttt
T
ttt YSXcIH
111
min
Função Objetivo (Exemplo)
ct
t=1 t=2 t=3 t=4
1 1 1 1
Yt
t=1 t=2 t=3 t=4
? ? ? ?
Xt
t=1 t=2 t=3 t=4
? ? ? ?
min=2I1+2I2+2I3+2I4 + 1X1+1X2+1X3+1X4 + 150Y1+150Y2+150Y3+150Y4
St
t=1 t=2 t=3 t=4
150 150 150 150
Ht
t=1 t=2 t=3 t=4
2 2 2 2
It
t=1 t=2 t=3 t=4
? ? ? ?
Elementos Conhecidos
Elementos Desconhecidos
∑∑∑===
++T
ttt
T
ttt
T
ttt YSXcIH
111
min
- Formulação(Função Objetivo e Restrições):
Elementos desconhecidos: Variáveis (para t=1,..., T)
- Xt = quantidade produzida no período t
- I t = quantidade estocada no período t
-
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.1 O PDL monoestágio único-item
=contráriocaso
tperíodonoproduçãohouverseYt ,0
,1
∑∑∑===
++T
ttt
T
ttt
T
ttt YSXcIH
111
min
TtdIXI
aSujeito
tttt ,...,1
:
1 ==−+−
TtMYX tt ,...,10 =≤−TtYt ,...,1}1,0{ =∈TtIeX tt ,...,10 =≥
Balanceamento de Estoques
Índices:t=1, ..., T períodos
Dados:dt demanda no período t
Variáveis:It estoque no final do período tXt produção do período t
TtdIXI tttt ,...,11 ==−+−
Balanceamento de Estoques (Exemplo)
t=1 0 + X1 – I1 = 104t=2 I1 + X2 – I2 = 174t=3 I2 + X3 – I3 = 46t=4 I3 + X4 – I4 = 112
Elementos Conhecidos (I0=0)
dt
t=1 t=2 t=3 t=4
104 174 46 112
Elementos Desconhecidos
Xt
t=1 t=2 t=3 t=4
? ? ? ?
It
t=1 t=2 t=3 t=4
? ? ? ?
I0=0 t=1 t=2
X1 X2 X3
d1=104 d2=174 d3=46
I1 I2I3
t=3
X3
d3=46
t=4
X4
d3=112
I4
TtdIXI tttt ,...,11 ==−+−
- Formulação(Função Objetivo e Restrições):
Elementos desconhecidos: Variáveis (para t=1,..., T)
- Xt = quantidade produzida no período t
- I t = quantidade estocada no período t
-
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.1 O PDL monoestágio único-item
=contráriocaso
tperíodonoproduçãohouverseYt ,0
,1
∑∑∑===
++T
ttt
T
ttt
T
ttt YSXcIH
111
min
TtdIXI
aSujeito
tttt ,...,1
:
1 ==−+−
TtMYX tt ,...,10 =≤−TtYt ,...,1}1,0{ =∈TtIeX tt ,...,10 =≥
Preparação
Índices:t=1, ..., T períodos
Dados:M número grande (por exemplo M= )
Variáveis:Xt produção do período tYt indica se é cobrado custo de preparação no período t
TtMYX tt ,...,10 =≤−
∑=
T
ttd
1
Preparação (Exemplo)
t=1 X1 ≤ MY1
t=2 X2 ≤ MY2
t=3 X3 ≤ MY3
t=4 X4 ≤ MY4
Elementos Desconhecidos
Xt
t=1 t=2 t=3 t=4
? ? ? ?
Yt
t=1 t=2 t=3 t=4
? ? ? ?
Elementos Conhecidos
M número grande (por exemplo M= )
TtMYX tt ,...,10 =≤−
∑=
T
ttd
1
Construção do Modelo:neste problema temos:
elementos conhecidos: dt St ct Ht
elementos desconhecidos: Xt I t Yt
objetivo a ser alcançado:
restrições:
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.1 O PDL monoestágio único-item
∑∑∑===
++T
ttt
T
ttt
T
ttt YSXcIH
111
min
TtdIXI
aSujeito
tttt ,...,1
:
1 ==−+−
TtMYX tt ,...,10 =≤−TtYt ,...,1}1,0{ =∈TtIeX tt ,...,10 =≥
- Função Objetivo e Restrições:
Formulação para o Exemplo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.1 O PDL monoestágio único-item
4,...,10
4,...,1}1,0{
4,...,10
1112
346
2174
1104
:
15012
333
332
221
110
4
1
4
1
4
1
=≥=∈=≤−
==−+==−+==−+==−+
++ ∑∑∑===
tIeX
tY
tMYX
tIXI
tIXI
tIXI
tIXI
aSujeito
YXIMin
tt
t
tt
tt
tt
tt
Min 2I1 + 2I2 + 2I3 + 2I4 + 1X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 + 150Y1 + 150Y2 + 150Y3 + 150Y4
Sujeito a: I0 +X1 –I1 =104 t=1
I1+X2 –I2 =174 t=2
I2 +X3 –I3 =46 t=3 I3+X4 –I4 =112 t=4
X1 -MY1 ≤ 0 t=1
X2 -MY2 ≤ 0 t=2 X3 -MY3 ≤ 0 t=3
X4 -MY4≤ 0 t=4
Y1 ∈ {0, 1} t=1 Y2 ∈ {0, 1} t=2 Y3 ∈ {0, 1} t=3 Y4 ∈ {0, 1} t=4
X1 e I1≥ 0 t=1 X2 e I2≥ 0 t=2 X3 e I3≥ 0 t=3 X4≥ 0 t=4 I0 =0 e I4=0
- Diferentes métodos de solução foram desenvolvidos para os vários modelos que serão apresentados;
- A maioria destes métodos envolvem complexos conceitos matemático/computacionais e não serão tratados neste curso.
- Existem ainda pacotes computacionais, os quais têm métodos embutidos e podem ser utilizados para resolver problemas com mais facilidade
- Embora não seja o enfoque desde texto apresentamos alguns métodos básicos de solução para problemas de dimensionamento de lotes com um único item sem restrição de capacidade.
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.2 Métodos básicos de solução
� Lote-por-lote:
•A produção visa atender a demanda de apenas um período;
Exercício:fazer os cálculos para o nosso exemplo
Iníciopara t=1,..., T faça
Xt=dt
Fim
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.2 Métodos básicos de solução
� Heurística de Silver-Meal:Início
Faça: C(1)=S1t´=1, t=2Enquanto t ≤ T faça
Calcule: C(t) =
Se C(t) > C(t-1) Então: Xt´ = dt´ + dt´+1 + ... + dt-1;
t´=t Se t=T então Xt=dt
t=t+1Fim do Enquanto
Fim
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.2 Métodos básicos de solução
t
dHHHdHHdHS tt )..(..)( 121321211 −++++++++
� Heurística do custo unitário mínimo :Início
Faça: C(1)=S1t´=1, t=2Enquanto t ≤ T faça
Calcule: C(t) =
Se C(t) > C(t-1) Então: Xt´ = dt´ + dt´+1 + ... + dt-1;
t´=t Se t=T então Xt=dt
t=t+1Fim do Enquanto
Fim
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.2 Métodos básicos de solução
∑=
−++++++++t
jj
tt
d
dHHHdHHdHS
1
121321211 )..(..)(
� O método ótimo de Wagner e Whitin (1958):
� existe uma política ótima que somente produz quando o nível de estoque for zero (It-1Xt=0).
X1 = d1 ou X1 = d1 + d2 ou X1 = d1 + d2 + .... + dT
X2 = 0 ou X2 = d2 ou X2 = d2 + d3 ou X2 = d2 + d3 + .... + dT
. . . . . . . . . . . . . .
XT = 0 ou XT = dT
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.2 Métodos básicos de solução
� O método ótimo de Wagner e Whitin:
O arco arc (t,j) para t<j está associado ao custo total (Ct,j) para produzir uma quantidade que atenda as demandas do período t até o período j-1
Exemplo: C1,5 = custo total para produzir no período 1 uma quantidade que satisfaça as demandas do período 1 até o período 4.
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.2 Métodos básicos de solução
1 54 3 2 C 12
C 13
C 14
C 15
C 23
C 24
C 25
C 34
C 35
C 45
•O método utiliza a seguinte fórmula recursiva:
ft = para t = 1, ... , T
Condição final: fT+1= 0
Onde:
Ct,j=St+Htdt+(Ht+ Ht+1)dt+2+(Ht+Ht+1+Ht+2)dt+3+...+(Ht+Ht+1+....+Hj-2 )dj-1
para t = 1, 2, ... , T e j = t+1, t+2, ..., (T+1).
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.2 Métodos básicos de solução
)(min , jjttj
fC +>
� O método ótimo de Wagner e Whitin:Para o nosso exemplo tem-se:
t=1, 2, 3, 4 e j=2, 3, 4, 5.
C1,2 = 150 C1,3 = 150 + 2 x 174 = 498C1,4 = 150 + 2 x [174 + (46 x 2)] = 682C1,5 = 150 + 2 x [174 + (46 x 2) + (112 x 3)] = 1354 C2,3 = 150 C2,4 = 150 + 2 x 46 = 242C2,5 = 150 + 2 x [46 + (112 x 2)] = 690C3,4 = 150 C3,5 = 150 + 2 x 112 = 374C4,5 = 150
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes
3.2 Métodos básicos de solução
1 54 3 2 C 12
C 13
C 14
C 15
C 23
C 24
C 25
C 34
C 35
C 45
- próximo passo: obter o custo mínimo de planejamento para cada período através da aplicação da fórmula anterior:
� O método ótimo de Wagner e Whitin:- próximo passo: obter o custo mínimo de planejamento para cada período através da aplicação da fórmula anterior:
f5 = 0f4 = = = 150 (neste caso só há uma opção)- o mínimo ocorre em j = 5
f3 = = = = = 300
- o mínimo ocorre em j = 4
f2 = = = = = 392
- o mínimo ocorre em j = 4
f1 = = = = = 542
- o mínimo ocorre em j = 2
)(min ,44
jjj
fC +>
)(min 55,4 fC +
)(min ,33
jjj
fC +>
++
55,3
44,3min
fC
fC
++
0374
150150min
374
300min
)(min ,22
jjj
fC +>
+++
55,2
44,2
33,2
min
fC
fC
fC
+++
0690
150242
300150
min
690
392
450
min
)(min ,11
jjj
fC +>
++++
55,1
44,1
33,1
22,1
min
fC
fC
fC
fC
++++
01354
150682
300498
392150
min
1354
832
798
542
min
� O método ótimo de Wagner e Whitin:política de produção ótima: basta verificar os cálculos:
-no período 1 o valor ótimo de j é j = 2 logo X1=d1= 104;
-no período 2 o valor ótimo de j é j = 4 logo X2=d2+d3=174+46 =220
-no período 4 o valor ótimo de j é j = 5 logo X4=d4=112.
-Assim, a política ótima para este exemplo pode ser denotada por X=(104, 220, 0, 112).
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.2 Métodos básicos de solução
1 54 3 2 C 12
C 13
C 14
C 15
C 23
C 24
C 25
C 34
C 35
C 45
Apresentaremos duas reformulações para o problema dedimensionamento de lotes, são elas:
Reformulação como umproblema do caminho mínimo;
Reformulação como umprob. de localização de facilidades;
- Observa-se que termos de limitantes inferiores, obtidospela relaxação linear, ambas as formulações são mas fortesque a formulação clássica vista anteriormente;
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
- a propriedade de otimalidade de WW(I t-1X t=0) da origem ainterpretação do problema como umproblema de caminho mínimo.
- uma formulação como umproblema de caminho mínimo éapresentada a seguir
1 54 3 2 CV 12
CV 13
CV 14
Cv 15
CV 23
CV 24
CV 25
CV 34
CV 35
CV 45
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
- Exemplo:cv14 = H1d2+ H1d3 + H2d3
1 54 3 2 CV 12
CV 13
CV 14
Cv 15
CV 23
CV 24
CV 25
CV 34
CV 35
CV 45
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
- Nova variável: para representar o uso ou não da aresta
ztk: indica se a aresta (t,k) que representa a produção no período t para satisfazer a demanda do período t até o período k-1será usada (ztk =1), ou não (ztk =0).
- Observe que a solução para a formulação clássica pode
ser recuperada por:
Exemplo:X1=d1z12+d1z13+d2z13+d1z14+d2z14+d3z14+d1z15+d2z15+d3z15+d4z15
∑ ∑+
=
−
=
=1 1
)(T
tk
k
ttkt zdX
ττ
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere a função objetivo:
- inclui um custo fixo de utilização da aresta para representar o preparo da linha de produção no período t.
- Assim, além da soma dos custos das arestas, como e usual no problema de caminho mínimo, consideramos também a soma dos custos fixos de utilização das arestas.
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere a função objetivo:Exemplo:Min S1Y1+cv12z12+cv13z13+cv14z14+cv15z15 +
S2Y2+cv23z23+cv24z24+cv25z25 +
S3Y3+cv34z34+cv35z35 +
S4Y4+cv45z45
1 54 3 2 CV 12
CV 13
CV 14
Cv 15
CV 23
CV 24
CV 25
CV 34
CV 35
CV 45
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere as restrições de atendimento a demanda:
- As restrições de conservação de fluxo a seguir garantem o atendimento da demanda de todos os períodos
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere as restrições de atendimento a demanda:- Exemplo:
z12+ z13+ z14+ z15=1
z12= z23+ z24+ z25
z13+ z23 = z34+ z35
z14+ z24 + z34= z45
1 54 3 2 CV 12
CV 13
CV 14
Cv 15
CV 23
CV 24
CV 25
CV 34
CV 35
CV 45
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere as restrições de preparação da linha de produção:
- é necessário garantir que uma aresta (t,k) é incluída no caminho deve-se pagar pelo preparo da linha de produção no período t
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere as restrições de preparação da linha de produção:
-Exemplo:
z12+ z13+ z14+ z15≤ Y1
z23+ z34+ z35≤ Y2
z24+ z25≤ Y3
z45≤ Y4
Reformulação como um problema do caminho mínimo
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Reformulação como um problema localização de facilidades
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
- Uma estratégia similar a usada anteriormente é usada para obter a reformulação baseada no problema de localização de facilidades;
- O problema e representado por uma rede G(V;A) com |V | = T vértices, e a aresta (t,k) ∈ A, representa um percentual da demanda do período k (cliente k) atendida pela produção no período t (facilidade instalada no local t).
Reformulação como um problema localização de facilidades
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
1 2
43
Reformulação como um problema localização de facilidades
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Exemplo:cv14= H1d4+ H2d4+ H3d4
Reformulação como um problema localização de facilidades
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
- Nova variável: para representar o uso ou não da aresta
: indica se a aresta (t,k) que representa a produção no período t para satisfazer a demanda do período k será usada ( =1), ou não ( =0).
- Observe que a solução para a formulação clássica pode
ser recuperada por:
Exemplo:X1=d1z11+d2z12+d3z13+d4z14
∑=
=T
tktkkt zdX
tkz
tkz tkz
Reformulação como um problema localização de facilidades
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
1 2
43
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere a função objetivo:- inclui um custo fixo de instalação da facilidade para
representar o preparo da linha de produção no período t.
Reformulação como um problema localização de facilidades
Exemplo: Min S1Y1+cv11z11+cv12z12+cv13z13+cv14z14+
S2Y2+cv22z22+cv23z23+cv24z24 +
S3Y3+cv33z33+cv34z34 +
S4Y45 +cv44z44
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere as restrições de atendimento a demanda:
- As restrições a seguir garantem o atendimento da demanda de todos os períodos
Reformulação como um problema localização de facilidades
t=1,..., T
Exemplo:z11=1z12+ z22 =1z13+ z23+ z33 =1z14+ z24+ z34 + z44 =1
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Considere as restrições de preparação da linha de produção:
- é necessário garantir que quanto se atende a partir de uma facilidade deve-se pagar pelo preparo da linha de produção no período t
Reformulação como um problema localização de facilidades
t=1,..., T k=t,..., T
Exemplo:z11≤ Y1 z22≤ Y2 z33≤ Y3 z44≤ Y4
z12≤ Y1 z23≤ Y2 z34≤ Y3
z13≤ Y1 z24≤ Y2
z14≤ Y1
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações
Reformulação como um problema localização de facilidades
Restrição de Capacidade e Tempo de Preparação
Elementos Conhecidos:
- Considere um horizonte de planejamento de T períodos. No qual se deve planejar a produção de N itens.
-Dados: -dit demanda do item i no período t
- Sit custo fixo para produzir o item i no período t
- cit custo unitário de produção do item i no período t
- Hit custo unitário de estocagem do item i no período t
- Considere M um número grande
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.4 O PDL monoestágio multi-itens
Elementos Conhecidos (continuação):- Dados Adicionais:
- bi tempo necessário para a produção de uma unidade do item i
- si tempo necessário para a preparação da máquina para produção de do item i
- CAPt capacidade de produção no período t
Como determinar a quantidade que deve ser produzida de cada item em cada período de forma a satisfazer as restrições de capacidade e atender a demanda com custo mínimo?
Restrição de Capacidade e Tempo de Preparação
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.4 O PDL monoestágio multi-itens
- Elementos Desconhecidos: Variáveis (para i=1,..., N t=1,..., T) :
- Xit = quantidade produzida do item i no período t
- I it = quantidade estocada do item i no período t
Restrição de Capacidade e Tempo de Preparação
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=contráriocaso
tperíodonoiitemdoproduçãohouverseYit ,0
,1
- Formulação: (Função Objetivo e Variáveis)
Restrição de Capacidade e Tempo de Preparação
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TtNidIXI
aSujeito
itititti ,...,1,...,1
:
1, ===−+−
TtCAPYsXb t
N
iiti
N
iiti ,...,1
11
=≤+∑∑==
TtNiMYX itit ,...,1,...,10 ==≤−
TtNiIeX itit ,...,1,...,10 ==≥
TtNiYit ,...,1,...,1}1,0{ ==∈
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
++T
t
N
i
T
t
N
iitititit
T
t
N
iitit YSXcIH
1 1 1 11 1
min
Exemplo:Considere o Exemplo Anterior.
- Suponha que, após uma pesquisa de mercado, a indústria, adquira uma máquina e passe a oferecer 4 opções de cores diferentes de guarda-roupas.
- Suponha ainda que a nova máquina tenha limitação de capacidade.
- Estender o Exemplo Anterior, considerando 4 tipos diferentes de produtos, um para cada cor.
- Deve-se adaptar e inventar novos dados, por exemplo: a demanda 104 unidades, passa a ser 29 unidades de produtos da cor 1 e, para produtos das cores 2, 3 e 4 a demanda passa a ser de 25 unidades cada.
-Após inventar novos dados deve-se reescrever o modelo de acordo com estes novos dados.
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.4 O PDL monoestágio multi-itens
O problema de dimensionamento de lotes multiéstagio ocorre quando a produção de um item depende da produção de outros itens, conforme predecessores
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.4 O PDL multiestágio
Novo dado:
r ij: quantidade de itens do tipo i necessária para compor uma unidade do item j.
Exemplo:
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r31=3
r21=2
r43=1r42=2
Novo dado:
r ij: quantidade de itens do tipo i necessária para compor uma unidade do item j.
3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.4 O PDL multiestágio
Nova restrição de balanceamento de estoques:
Exemplo i=4, t=2 X42+I 41 - I42=d42+r 42X22+r 43X32
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Obrigado!!!!