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polisaber 5
aula 8 MateMática B
127-
3
exeRcícios
1. (enem-MeC) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. a ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura a seguir.
1
0 3 x
y A
B
C
120º
após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.
Tipo de material Intervalo de valores de raio (cm)
i 0 < R ≤ 5
ii 5 < R ≤ 10
iii 10 < R ≤ 15
iV 15 < R ≤ 21
V 21 < R ≤ 40
Considere 1,7 como aproximação para 3.
o tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será a) ib) iic) iiid) iVe) V
10 10
R
120º
30º 30º
R RR R R
sen 120º10
sen 30 32
1012
10 3 10 1,7 17 cm=°
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =
Portanto, o material adequado será o iV.
MateMática B aula 8
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2. (Unicamp-sp) Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 cm, e
que C é o ponto médio do segmento AE . Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a:
D C
BA
E
a) 3 cm
b) 2 cm
c) 5 cm
d) 6 cm
3. (Fuvest-sp) o paralelepípedo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
A B
DC
GH
FE
o seno do ângulo HÂF é igual a:
a) 1
2 5
b) 1
5
c) 2
10
d) 2
5
e) 3
10
4. (Vunesp) Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano com velocidades constantes de 80 e
30 km/h, respectivamente. suas rotas, como mostra a figura, estão definidas por ângulos constantes de medi-
das iguais a α e β, respectivamente. Quando a lancha está no ponto L e o navio no ponto N, a distância entre
eles é de 10 km.
10 km
N
LLancha
Navio
β
β
β
αα
α
sendo P o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ângulo obtuso será igual a α + β. em se-
guida, calcule a distância entre N e P, considerando cos ( )9
16α + β = − .
A B
DC
GH
22
4
α
FE
FH é a diagonal do retângulo EFGH: FH2 = 42 + 22 ⇒ FH2 = 20
AH é a diagonal do quadrado ADHE: AH2 = 22 + 22 ⇒ AH2 = 8
AF é a diagonal do retângulo ABFE: AF2 = 42 + 22 ⇒ AF2 = 20aplicando a lei dos cossenos no triângulo HAF:
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α ⇒
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α ⇒ ⋅ ⋅ α = ⇒ α =
FH AH AF AH AF2 cos
20 8 20 2 8 20 cos 8 10 cos 8 cos1
10
2 2 2
como ainda não foi visto a relação fundamental (sen2 x + cos2 x = 1), para determinar o sen α, usaremos a técnica do triângulo:
m
1
α
10
m m m m10 1 10 1 9 32
2 2 2 2= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
∴ αsen =3
10
α
β
10 km
N
y
P x
Lr
s
t
sendo α o ângulo que a lancha forma com a reta horizontal (r) e β o ângulo que o navio forma com a reta horizontal (t), passamos uma reta (s), paralela às retas (r) e (t). o ângulo obtuso no ponto P será x + y. Porém, como as retas são paralelas, os ângulo x e α, e y e β são alternos internos, portanto x = α e y = β.
assim, o ângulo obtuso em P será α + β.
como = ⋅ ⇒ = ⋅= ⋅
S v t LP t
NT t8030
,
ou seja, = ⋅⋅
⇒ = ⋅LPNT
tt
LP NT8030
83
, aplicando a lei dos cossenos
no triângulo NPL, temos:
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α + β ⇒
⇒ = + ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅
⋅ −
⇒
⇒ = + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
NP LP NP LP
NP NP NP NP
NP NP NP NP NP
10 2 cos ( )
10083
283
916
100649
3 100100
93 km
2 2 2
2
2
2 2 2 2
D C
BA
d
xd
E
1135º
45º
AC é a diagonal (d) do quadrado:
= ⇒ = ⇒ =d d d2 1 2 2 cm
C é ponto médio de AE , então: AC = CE = d
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒x 2 1 2 2 1 cos 13522
2
⇒ = − ⋅ −
⇒ = ⇒ =x x x3 2 2
22
5 5 cm2 2
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aula 9 MateMática B
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exeRcícios
1. (enem-MeC) Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posi-cione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. o bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm, Falta realizar uma perfura-ção de base circular (C).o marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm (ii) 4,7 cm (iii) 5,6 cm (iV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.
R
T
C
Q
Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 3 , respectivamente.para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?
a) ib) iic) iiid) iVe) V
2. (iTa-sp) a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160°. então, o número de diagonais desse polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é:
a) 50b) 60c) 70d) 80e) 90
chamando di o diâmetro interno e de o diâmetro externo, respectivamente, das circunferências inscrita e circunscrita as perfurações:
R
r
4
4
Para a perfuração quadrada:
= = =
= = = = ⋅ =
d r
d R
2 4 cm
2 2 4 2 4 1,4 5,6 cm
i
e
Rr
4
3
Para a perfuração retangular:
=
= + =
d
d
3 cm
3 4 5 cm
i
e2 2
Para a perfuração triangular regular:
= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= = ⋅ = ⋅
d r
d R r
2 213
32
13
6,8 1,7 3,85 cm
2 2 2 2 3,85 7,7 cm
i
e
��
�
a broca (i) 3,8 cm não serve, pois cabe na perfuração triangular.a broca (ii) 4,7 cm serve, pois não cabe em nenhuma das perfurações e nenhum objeto das perfurações cabe nela.Professor, se considerar interessante, teste para as outras alternativas.
r
R6,8
= − ⋅ ° ⇒ ° = − ⋅ ° ⇒ = − ⇒ =S n n n n( 2) 180 2160 ( 2) 180 12 2 14i
o número total de diagonais desse polígono será: dn n
d d( 3)2
14 (14 3)2
77= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ =
No entanto, nem todas as diagonais passam pelo centro, veja:o triângulo equilátero (n = 3) não possui diagonais, então é claro que nenhuma passa pelo centro da circunferência circunscrita. o quadrado (n = 4) tem 2 diagonais e as 2 passam pelo centro. o pentágono regular (n = 5) tem 5 diagonais e nenhuma passa pelo centro. o hexágono regular (n = 6) tem 9 diagonais e 3 passam pelo centro da circunferência circunscrita... assim, chega-se à conclusão de que só terá diagonais, passando pelo centro da circunferência circunscrita o polígono regular que tem número de lados par (4; 6; 8; ...; 14; ...) e o número de diagonais passando pelo centro é a metade do número de lados.Portanto, para o polígono regular de 14 lados, 7 diagonais apenas passarão pelo centro e 77 − 7 = 70 diagonais não passarão.
Triânguloequilátero
(T)
Quadrado(Q)
Pentágonoregular
(P)
Hexágonoregular
(H)
MateMática B aula 9
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3. (UFrGs-rs) Considere um pentágono regular ABCDE de lado 1. Tomando os pontos médios dos seus lados, cons-trói-se um pentágono FGHIJ, como na figura abaixo.
D
F
CE
A B
GJ
HI
a medida do lado do pentágono FGHIJ é:
a) sen 36°
b) cos 36°
c) sen 36°
2
d) cos 36°
2
e) 2 · cos 36°
4. (Fuvest-sp) prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, con-forme a figura.
AB
CDEFG H
α4
α5
α3
α6
α7 α
8
α1
α2
a soma α1 + ... + α 8 vale: a) 180°b) 360°c) 540°
d) 720°e) 900°
estudo oRientado
exeRcícios
1. (enem-MeC) para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visualização dessas porcen-tagens, quer dispor esses dados em um polígono. ela pode fazer isso em um triângulo equilátero, um losango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas. ela desenhou as seguintes figuras:
Prolongando-se CB e GH , forma-se o ângulo α1. Prolongando-
-se DC e AH forma-se o ângulo α2. e, assim, prolongando-se convenientemente os lados, todos os ângulos serão formados. a figura a seguir mostra os ângulos, α1 e α2:
A BCDE
FG H
α1
α2
os ângulos α1, C, D, E, F, e G formam um hexágono, cuja soma será:
= − ⋅ ° ⇒ α + + + + + = − ⋅ ° = °S n C D E F G( 2) 180 (6 2) 180 720i 1
os ângulos α2, D, E, F, G e H formam outro hexágono, cuja soma também será igual a 720°.o mesmo acontecerá com os ângulos α3, α4, ... , α8. assim:
C D E F G
D E F G H
E F G H A
F G H A B
G H A B C
H A B C D
A B C D E
B C D E F
720
720
720
720
720
720
720
720
1
2
3
4
5
6
7
8
α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °α + + + + + = °
∴α + + α + ⋅ + + + + + + + = ⋅ ° ⇒⇒ α + + α + ⋅ − ⋅ ° = ⋅ ° ⇒⇒ α + + α + ° = ° ⇒ α + + α = °
A B C D E F G H... 5 ( ) 8 720
... 5 [(8 2) 180 ] 8 720
... 5400 5760 ... 360
1 8
1 8
1 8 1 8
a medida do ângulo interno do pentágono regular ABCDE é:
= − ⋅ ° ⇒ = − ⋅ ° ⇒ = °an
a a( 2) 180
5(5 2) 180
5108i i i
sendo M o ponto médio do lado HI , traça-se a mediatriz MD (figura):
36º54º
x xM
E
D
C
I H
12
assim, temos:x
xcos 3612
cos 362
° = ⇒ = °
como HI = 2x, temos:
HI HI2cos 36
2cos 36= ⋅ ° ⇒ = °
polisaber 21
aula 10 MateMática B
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exeRcícios
1. (enem-MeC) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.
Nível do mar
x
y
Quais devem ser os valores de x e de y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?a) 1 e 49.b) 1 e 99.c) 10 e 10.d) 25 e 25.e) 50 e 50.
2. (Vunesp) a figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano.
123456789
101112131415
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
y
B
A
D
C
a área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual a:a) 160b) 175c) 180d) 170e) 155
a tela é dobrada de forma que sua base tenha a forma de um retângulo de dimensões x e y. a área dessa base será: S = x · y. o perímetro será: 2x + 2y = 100então, x + y = 50 ⇒ y = 50 – x; assim, temos: S = x · (50 – x)
= ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ − =
x S
x S
x S
x S
1 1 (50 1) 49;
10 10 (50 10) 400;
25 25 (50 25) 625;
50 50 (50 50) 0
Portanto, para x = 25 encontramos a área máxima S = 625 e y = 25.
Professor, observe que a função S = x(50 − x) é uma parábola invertida, seu valor máximo está nas coordenadas do vértice xV = ba2
− , ou seja, esse seria outro caminho de resolução.
20
B
G 10 10D F
A
E
6
3
9
C
a área do trapézio ABCD é a soma das áreas do triângulo BCE com o quadrilátero AECD.a área do quadrilátero AECD é a área do retângulo CFGE menos as áreas dos triângulos ADG e CFD.
= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒ =
= ⋅ + ⇒ =
S S
S S
9 2010 3
210 9
2120
20 62
120 180 u.a.
AECD AECD
ABCD ABCD
MateMática B aula 10
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3. (Fuvest-sp) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimentos AB = 4 e BC = 2. sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.
D
A
C
B
M
F
N
E
a área do triângulo AEF é igual a:
a) 2425
b) 2930
c) 6160
d) 1615
e) 2320
4. (Unicamp-sp) Considere o quadrado de lado a > 0 exibido na figura abaixo. seja A(x) a função que associa a cada 0 ≤ x ≤ a a área da região escura.
a
x
x
o gráfico da função y = A(x) no plano cartesiano é dado por:a) y
a x
a2
0
b) y
a x
a2
0
c) y
a x
a2
0
d) y
a x
a2
0
D
A
C
1
1
2
BG
MHx
x
xh
F
N2
4
2 – h
4 – x
2
45ºE
∆ABF ~ ∆CFN: h
hh
242
43−
= ⇒ =
BGEH é um quadrado, então ∆ABM ~ ∆AGE:
x xx
S S S
Sh x
S S
1 44
45
42
42
243
245
1615
AEF ABF ABE
AEF AEF AEF
=−
⇒ =
= − ⇒
⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ =
a
a
a – x
a – x
x
x
a área sombreada é a área do quadrado de lado a menos as áreas dos dois triângulos retângulos congruentes de lados a e a − x.
S aa a x
S a a a x S a x2( )
2( )2 2 2= − ⋅ ⋅ − ⇒ = − − ⋅ ⇒ = ⋅
a função S = ax é do primeiro grau em x, portanto seu gráfico é uma reta.
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aula 11 MateMática B
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exeRcícios
1. (eFoMM) Qual é a área, em centímetros quadrados, de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero, sabendo que este triângulo está inscrito em uma circunferência de comprimento igual a 10π cm?
a) 75
4π
b) 25
4π
c) 52π
d) 2516
π
e) 54π
2. (enem-MeC) o proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. a figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. o raio R deve ser um número natural.
R60º
o parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m × 24 m. o proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.Considere 3,0 como aproximação para π.o maior valor possível para R, em metros, deverá ser:
a) 16 b) 28 c) 29 d) 31 e) 49
3. (Unicamp-sp) a figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. a razão ab
é igual a:
a
b
a) 3 1+
b) 2 1+
c) 3
d) 2
a área da região S2 será: Sa
3602
2
= α ⋅π ⋅°
a área da região S será: Sa b( )
360
2
= α ⋅π ⋅ +°
a área da região S1 será: S1 = S – S2
segundo o enunciado, S1 = S2, portanto:S – S2 = S2 ⇒ S = 2 · S2
então, temos:
α ⋅ π ⋅ +°
= ⋅ α ⋅ π ⋅°
⇒
⇒ + + = ⇒ − − =
= − − ± − − ⋅ ⋅ −⋅
⇒
⇒ = ± ⇒ = ± ⇒
⇒ = ± ⇒ = ⋅ + ⇒ = +
a b a
a ab b a a ab b
ab b b
ab b
ab b
a b b a bab
( )360
2360
2 2 2 0
( 2 ) ( 2 ) 4 1 ( )2 1
2 82
2 2 22
2 (1 2) 1 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
sejam S1, S2 as áreas das regiões assinaladas e S a área total, respectivamente.
S2
S1
ba
α
BaricentroR
r
o comprimento da circunferência maior é:R R
R r r r
2 10 5 cm
2 5 252
π π ⇒
= ⇒ = ⇒ =
= =
a área do círculo menor será:
S r S S52
254
cm2
2
2= π ⋅ ⇒ = π ⋅ ⇒ = π
a área de três setores circulares de 60° é equivalente a área de
um setor de 180°, ou seja, meio círculo: SR2
2
= π
Fazendo π = 3: SR32
2
=
como o proprietário deseja que essa área seja menor que a já existente:
RR R R
32
50 24 800 800 28,282
2< ⋅ ⇒ < ⇒ < ⇒ <
MateMática B aula 11
32 polisaber
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4. (Fuvest-sp) são dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. os pontos de tangência são P1, P2 e P3.
P3
P2
P1
Calcule em função de r:a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T, determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte
exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intercepta a terceira;
b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos, ligando cada ponto P1, P2 e P3 aos dois vértices do triângulo T mais próximos a ele.
Er r
r
rO
D xx C
A
B
r
2r
P3
P2
P1
30º 30º
o lado (L) do triângulo T (∆ABC) será: L = 2x + 2r
( )
≡ ⇒
° = ⇒ = ⇒ = ⋅
∴ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ +
BDO BEO OBD OBE
trx
xr
x r
L r r L r
∆ ∆ ˆ ˆ 30°
g 303
3
3
2 3 2 2 3 1
= =
a área do hexágono não convexo é a área do triângulo equilátero T de lado L menos a área dos triângulos BCP1, ABP3 e ACP2, cujos valores são congruentes.
[ ] [ ]
= ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒
⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒
⇒ = ⋅ + + ⋅ − − ⇒
⇒ = ⋅ + + − − ⇒ = ⋅ +
SL L r
Sr r r
Sr r
S r
S r S r
assim:3
43
2
2 ( 3 1) 34
32 ( 3 1)
2
4 ( 3 1) 34
32 ( 3 1)
2
(3 2 3 1) 3 3 3 3
3 3 6 3 3 3 3 3 3H
h
2
h
2
h
2 2 2
h2
h2 2