matematica basica para administ
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UNIVERSID
FACULTAD
INSTIT
INFORME FINAL
“TEXTO: MESTUDIAN
ECONO
AUTOR: E
(PERIODO DE EJE
Del 01 de Febrero
RESOLUCIÓN REC
1
D NACIONAL DEL CALLAO
E CIENCIAS ADMINISTRATIVA
TO DE INVESTIGACIÓN
DE TRABAJO DE INVESTIG
ATEMATICA BASICA PES DE ADMINISTRACIO
IA Y CONTABILIDAD”
O. SIMON BENDITA MAMANI
UCIÓN:
el 2008 al 31 de Marzo del 2010
ORAL Nº 332-2008-R)
Marzo de 2010
ALLAO - PERÚ
CIÓN
RAN,
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INFORME FINAL 2010
A.-ÍNDICE
B.-RESUMEN
C.-INTRODUCCIÓN
D.-MARCO TEÓRICO
E.-MATERIALES Y MÉTODOS
F.-RESULTADOS
G.-DISCUSIÓN
H.-REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
I.-APÉNDICE
J.-ANEXOS
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B. RESUMEN
El presente Proyecto de Investigación tuvo como propósito la elaboración
de un texto universitario titulado MATEMATICA BASICA PARA
ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD.
El texto se propone apoyar la formación profesional de los alumnos de las
Escuelas Profesionales de Administración, Economía y Contabilidad, en el
curso de Matemática Básica. Se trata de un texto básico que expone de
manera sucinta los temas teóricos correspondientes de Matrices,
determinantes, Nociones de lógica, Teoría de conjuntos, Sistema de
números Reales, Inecuaciones, Valor Absoluto, Máximo Entero, la Recta,
La Circunferencia, La Parábola, La Hipérbola, La Elipse y Funciones en los
números reales, en las que se pone mayor énfasis a la resolución de
problemas que tienen aplicaciones a las especialidades de Administración,
Economía y Contabilidad.
La elaboración de este texto permite que los alumnos no tengan dificultad
de desarrollar el curso, ya que esta didácticamente plasmada los tipos de
problemas para cada uno de los temas, y asimismo, el docente podrá
utilizar como consulta en los capítulos de mayor interés Además, los
diversos temas tratados en este texto son abordados bajo un enfoque
didáctico y analítico, que es la forma correcta de resolver las diversas
situaciones problemáticas presentadas.
El texto titulado MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE
ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, presenta al inicio de
cada capítulo un resumen teórico y luego problemas de aplicación.
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C. INTRODUCCIÓN
El proyecto de investigación realizado está referido a la elaboración de un
texto universitario, cuya finalidad es apoyar en la formación profesional de
los alumnos de las Facultades de Administración, Economía y Contabilidad.
Durante mi experiencia en la docencia universitaria, en el intento de
encontrar textos necesarios para la enseñanza del curso de Matemática
Básica, he comprobado que los textos utilizados son muy extensos, donde
los temas de estudio se hallan muy dispersos y por lo general se
encuentran en una secuencia que no necesariamente corresponde a la
secuencia de un curso para los alumnos de las Facultades de
Administración, Economía y Contabilidad, por tal motivo es necesario hacer
una sistematización de acuerdo al sílabo de la asignatura que estudia los
temas: Matrices, determinantes, Nociones de lógica, Teoría de conjuntos,
Sistema de números Reales ,Inecuaciones, Valor Absoluto, Máximo Entero
la Recta, La Circunferencia, La Parábola, La Hipérbola, La Elipse y
Funciones en los números
El Texto MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE
ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, elaborado por el
autor es completo y único, dado que la gran mayoría de los textos no
contiene los capítulos que se desarrolla para el curso de matemática básica.
No se conoce actualmente un texto similar.
En la actualidad los estudiantes han disminuido su rendimiento de la
matemática, tal es así que se considera importante su dominio para las
especialidades de Administración, Economía y Contabilidad, y que nos
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permita desarrollar los modelos Matemáticos, así mismo cálculos de
estimaciones para la toma de decisiones.
Los profesores que desarrollan esta asignatura ven con preocupación ante
tal situación, muy a pesar que se cuenta con textos modernos para su
estudio, posiblemente sea la forma como dichos textos se encuentran
diversificados en la temática de Matemática, que confunde el alumno, como
es el caso para ingenierías, que es una Matemática pura, a diferencia de los
estudiantes de Administración, economía y contabilidad.
Esta responsabilidad atribuida a los docentes de Matemática es
básicamente porque de la metodología y el contenido de sus cursos va a
depender el grado de aprendizaje de los alumnos a su cargo.
De esta información surge de inmediato el cuestionamiento al contenido de
los cursos a la metodología que aplican los docentes en el dictado de sus
clases. Esto significa que se debe apuntar a las nuevas corrientes de
calidad total y excelencia, también en el campo educativo, para lo cual
surge el término de calidad educativa que pretende replantear la concepción
clásica de educar hacia una formación profesional de especialidad.
Actualmente la Matemática se ha convertido en parte fundamental de
muchas de las teorías administrativas.
Las matemáticas permiten interpretar fenómenos para tomar decisiones,
asignar recursos de manera eficaz, motivando el desarrollo de nuevas
teorías y métodos. Una de las principales herramientas es la matemática
aplicada con un enfoque científico.
Las matemáticas aplicadas difieren de la matemática pura en un aspecto
muy importante en la matemática para los símbolos que representan
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conceptos abstractos cuyas propiedades se fijan por definición, mientras
que en la matemática aplicada muchos símbolos corresponden a variables
que se observan en el mundo real, las propiedades de tales variables tiene
que determinarse por observación y no por definición abstracta y luego
enunciarse en forma matemática, en las matemáticas aplicadas es posible
determinar la precisión empírica de las deducciones.
Del análisis matemático según la ciencia pura o la aplicada, solo difiere en
cuanto al aspecto empírico de las definiciones, supuestos y conclusiones y
no en relación con los métodos deductivos.
Es esencial tener una práctica amplia en la resolución de problemas para
realizar un buen estudio del análisis matemático. Los estudiantes
descubrirán la importancia de la aplicación de matemática en los asuntos de
finanzas, contabilidad, operación, bancaria, ventas, mercadotecnia,
transportes, producción industrial y a muchas otras áreas relacionadas.
Las matemáticas proporcionan una estructura matemática lógica dentro de
la cual pueden estudiarse las relaciones cuantitativas .El análisis
matemático toma las definiciones y supuestos tal como se dan y obtienen
las conclusiones que se desprenden lógicamente de ellos.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En base a la descripción y el análisis del problema se expresa los siguientes
planteamientos:
-¿Qué temática se debe considerar en el curso de matemática básica para
que los estudiantes de administración, economía y contabilidad, mejoren su
nivel académico en su formación profesional?
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-¿Qué nuevas metodologías debe emplear los docentes en la enseñanza de
las matemáticas para los estudiantes de administración, economía y
contabilidad?
ALCANCE
-Investigación aplicada.
-El sector que será beneficiado por los resultados de la investigación serán
los estudiantes y profesores de las facultades de administración, economía
y contabilidad; y público en general interesado.
IMPORTANCIA
-Permitirá que los estudiantes y profesores puedan contar con un texto
estandarizado que facilite el desarrollo del contenido temático de la
matemática básica para las disciplinas de administración, economía y
contabilidad.
-Contribuirá al mejoramiento de la calidad de formación profesional.
-Permitirá un mejor uso de las potencialidades humanas
JUSTIFICACION
-El estudiante contara con un texto básico de la matemática básica en su
formación profesional interdisciplinaria.
-El docente dispondrá de los contenidos temáticos básicos para el
desarrollo de su disciplina
-El proceso de formación profesional sería más eficiente y en consecuencia
eficaz.
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D. MARCO TEÓRICO
En la presente investigación se presenta la teoría resumida y simplificada
para los dieciséis capítulos del presente texto. Esto ha sido posible por la
experiencia de dieciséis años en la docencia universitaria que tiene el autor,
en la enseñanza del curso de matemática básica.
Por ejemplo, en el capítulo 1 “Algebra matricial”, comprende definición de
matrices, tipos de matrices, y operaciones matrices, parte fundamental del
algebra lineal como para poder operar posteriormente de forma adecuada
con los elementos de algebra matricial
En el capítulo 2 “Determinantes”, definición de determinantes, solución de
matriz por el método de cofactores, matriz adjunta, matriz inversa, solución
de las ecuaciones por el método de matrices y su aplicación. se utilizan en
la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, en el caso de los
alumnos de Ciencias, la geometría en el espacio.
En el capítulo 3 “Nociones de lógica”, concepto de lógica, enunciado
abierto, proposiciones, proposiciones compuestas: negación, disyunción,
conjunción, condicional y bicondicional-tablas de verdad, al respecto se
enuncian las leyes lógicas que rigen los procesos del pensamiento
humano; así como de los métodos que han de aplicarse al razonamiento y
la reflexión para lograr un sistema de raciocinio que conduzca a resultados
que puedan considerarse como certeros o verdaderos.
En el capítulo 4,5 y 6 “teoría de conjunto, operaciones de conjunto y
cuantificadores”, definición de conjunto, determinación de un conjunto, tipos
de conjunto y propiedades. Aplicación Unión, intersección, diferencia,
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diferencia simétrica, conjunto universal, complemento de un conjunto. el
tema trata de identificar los elementos que pertenecen y los que no
pertenecen a un conjunto, interpretar correctamente la notación simbólica
en la definición de conjunto, representar conjuntos en diagramas de ven y
realizar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y
diferencia simétrica)
El capítulo 7 “sistema de números reales, inecuaciones, valor absoluto,
producto cartesiano y relaciones en los números reales”, trata de un
conjunto de operaciones de ecuaciones e inecuaciones, propiedades,
axiomas, método de puntos críticos y representación.
En los capítulos 8,9,10,11y 12, ”la línea recta, la circunferencia, la
parábola, la elipse y la hipérbola”, trata de la construcción de curvas
geométricas con ecuaciones definida de la forma ,que permite identificar de
forma inmediata para ser representadas en el plano cartesiano mediante
técnicas básicas del análisis matemático y del algebra en un determinado
sistema de coordenadas.
En el capítulo 13,”Funciones en los números reales”, finalmente podremos
identificar como el subconjunto de los números reales se transforma en
imagen, se llama dominio de la función, asi mismo se construye tipos de
funciones y desarrollar la composición de funciones, donde se obtiene otra
imagen de otro subconjunto de números reales.
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E. MATERIALES Y MÉTODOS
Se ha utilizado información en forma resumida de las universidades nacionales
y particulares relacionadas a las facultades de administración, economía y
contabilidad, que hacen uso de los textos de matemáticas básica en su
curricula para los estudiantes de esta especialidad que les permite
desarrollarse en el proceso de su formación profesional.
Así mismo se ha utilizado los syllabus que hacen los estudiantes de las
especialidades de administración, economía y contabilidad.
DETERMINACION DEL UNIVERSO
El presente trabajo de investigación tomara en cuenta a los textos que utilizan
los docentes y estudiantes a las disciplinas de administración, economía y
contabilidad.
Se tomara en cuenta la metodología que utilizan los docentes en la enseñanza
de la matemática
DETERMINACION DE LA MUESTRA
El presente trabajo de investigación tomara en cuenta a las disciplinas
correspondientes a las áreas de administración, economía y contabilidad.
Se tendrá como unidad de información a los docentes responsables del
desarrollo de la matemática a los estudiantes de administración, economía y
contabilidad.
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TECNICAS DESCRIPTIVAS
Procedimiento:
-Se seleccionara cada uno de los materiales de información.
-en la revisión bibliográfica se tomara en cuenta el contenido temático de la
matemática.
-Se confrontara ideas y criterios de desarrollo metodológico que emplean los
docentes especialistas en la materia.
-Se procesara los datos confrontados que sirvan de base para una adecuada
estandarización del contenido temático de la matemática.
-A partir de la base del contenido temático se formulara la nueva estructura
temática de la materia de estudio.
-Se contrastara con otros textos de la matemática básica como alternativas de
solución, con las diferentes disciplinas que demande de ellos.
TECNICAS ESTADISTICAS
-Aplicaciones técnicas estadísticas: se tomara en cuenta un muestreo de la
información mediante encuestas, entrevistas, observaciones, cuestionarios y
otras formas que sean necesarios.
-Papeles de trabajo se obtendrán resúmenes para realizar diagnósticos,
pronósticos y reportes de avances específicos para las conclusiones
estadísticas.
-Medición de resultados: ejecutar la comparación de lo hallado versus lo
realizado en las desviaciones, correcciones y ajustes.
-Resultado final: en el presente proyecto de investigación se obtendrán
conclusiones finales, recomendaciones y cuadros aplicativos reales.
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-Aplicación de los modelos matemáticos: para conocer las opiniones de los
expertos e intereses de dicha temática, se tomara en cuenta en todo cuanto
sea necesario, a fin de ultimar correcciones antes de la impresión final y
sustentación.
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F. RESULTADO
El resultado de la presente investigación es la elaboración del texto
universitario titulado “TEXTO: MATEMATICA BASICA PARA
ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD”,
el cual se adjunta al presente. El texto contiene trece capítulos y un
apéndice.
La teoría desarrollada en el texto, responde a los aspectos básicos de la
matemática básica .Los problemas resueltos en el texto, tienen el propósito
de dar las pautas de la aplicación de la teoría desarrollada.
Se ha logrado un texto base para la asignatura de matemática básica, en la
formación universitaria de los estudiantes de administración, economía y
contabilidad.
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G. DISCUSIONES
El texto universitario titulado investigación es la elaboración del texto
universitario titulado “MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE
ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD”, es el resultado de la
investigación a que se refiere el presente informe ,se caracteriza por
presentar la teoría en forma resumida y dando mayor énfasis a la resolución
de problemas de aplicación. Los problemas resueltos han sido
cuidadosamente seleccionados de tal forma que nos permitan comprobar
las propiedades y leyes en la resolución de los problemas presentados. La
mayoría de los textos sobre matemática básica ,no presentan muchos
problemas resueltos en forma didáctica que permita al alumno obtener la
solución de problemas planteados de forma inmediata y eficaz. Ello
conllevaría una mejor comprensión a los estudiantes.
Por tal razón ,el presente texto ayudara a los estudiantes ha comprender
mejor la teorías de matrices, determinantes, conjunto, lógica, inecuaciones,
la recta, la circunferencia, la parábola, la hipérbola, la hipérbola, la elipse y
funciones. Conocimientos fundamentales en su formación profesional, para
luego cuando lleve los cursos de especialidad puedan abordar problemas
reales, a los cuales darán solución siempre y cuando conozcan y apliquen
correctamente.
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H. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
• ARYA, J. LARDNER, R. OTEYZA, E. PALMAS VELAZCO, O.
”MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA,
CIENCIAS BIOLOGICA Y SOCIALES”, 3era. EDICION EDITORIALPRENTICE HALL HISPANOAMERICANA.
• CHIANG ALPHA C. “METODOS FUNDAMENTALES DE ECONOMIA
MATEMATICA”, EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION.
• DRAPES,JEAN E, KLINGMAN,JANE S. “MATEMATICAS PARA LA
ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO.HARLA .1976
• HAEUSSLEER E.F. Y RICHARD S. PAUL. ”MATEMATICA PARA
ADMINISTRACION, ECONOMIA,CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA “
EDITORIAL PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.8va.EDICION
MEXICO
• HOEL PAUL G. ”MATEMATICAS FINITAS Y CALCULO CON
APLICACIONES A LOS NEGOCIOS” EDITORIAL. LIMUSA MEXICO
• LANG, SERGE “INTRODUCCION A ANALISIS MATEMATICO”ADDISSON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A.
• LARSON Y HOSTETLER. ”CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA”
EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION, MADRID.
• LEITHOLD LOUIS. ”CALCULO PARA CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
BIOLOGICAS Y SOCIALES” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1988
• SYDSAETER Y HAMMOND. “MATEMATICAS PARA EL ANALISISECONOMICO” EDITORIAL.PRENTICE HALL MADRID 1996
• WEBER (DRAPER) JEAN. “MATEMATICA PARA ADMINISTRACION Y
ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1990
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• F.S. BUDNICK “MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION,
ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES” EDITORIAL 2. MC. GRAW – HILL
HALL.
• CABALLERO R. ”MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION,
ECONOMIA Y A LA EMPRESA” EDITORIAL PIRAMIDE.
• ARYA, J.C. Y LARDNER,R.W. “MATEMATICA APLICADAS A LA
ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES” EDITORIAL
PRENTICE-HALL.
• JEAN E. WEBER-EDUARDO ESPINOZA RAMOS “SOLUCIONARIO DE
MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL
SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2da. EDICION, 2003.
• FIGUEROA GARCIA, RICARDO. “MATEMATICA BASICA”
NOVENA EDICION. IMPRESO EN RFG. LIMA PERU 2006.
• LARSM, RON – HOSTELLER, ROBERT “CALCULO Y GEOMETRIA
ANALITICA” OCTAVA EDICION, MCGRAW – HILL
INTERAMERICANA DE MEXICO, S.A. DE C.V. 2006
• VENERO BALDEN, ARMANDO. “MATEMATICA BASICA”, IMPRESO EN
LOS TALLERES GRAFICOS TOP-JOB E.I.R.L.. LIMA PERU
• ANTONIO CALDERON “MATEMATICA BASICA”, EDITORIAL
UNIVERSITARIA URP-04/2005
• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “ANALISIS MATEMATICO I”
3era EDICION. EDITORIAL SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2008
• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA”
1era EDICION. GEMAR, LIMA PERU. 2001
• ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA”
PUBLICACION LIMA SERVICIOS GRAFICOS J.J.2005
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I APENDICE
ENCUESTA
INSTRUCCIONES
La presente encuesta que se realizara a los profesores y estudiantes de las
diferentes universidades nacionales y particulares específicamente a las
facultades de administración, economía y contabilidad.
Al respecto se le solicita que elija una sola alternativa como respuesta, la que
usted considere correcta marcando con un aspa (x) o escribiendo una sola
alternativa, agradecemos su gentil colaboración.
DATOS PERSONALES
01. Sexo: Masculino ( ) Femenino ( )02. Edad.Procedencia.Provincia03. Tipo de ocupación docente ( ) estudiante ( )04. Enseñanza en universidad nacional ( ) particular ( )05. Estudia en una universidad nacional ( ) particular ( )
ECONOMIA
06. Tu situación económica del estudiante que influye en el rendimientoAcadémico. Bueno ( ) Regular ( )
07. Tienes apoyo económico de tus padresSi ( ) No ( )
08 Si trabajara que horario elegiría tarde ( ) mañana ( ) noche ( )
ESTUDIO
09. Alguna vez eligió un texto base de matemática básica con relación a suespecialidad
Si ( ) no ( )10. El contenido temático del texto de matemática debe mejorar para elevar elrendimiento académico
Si ( ) no ( )
12.Cuentas con una computadoraSi ( ) no ( )
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13. realizan seminarios de matemática en forma permanente en sus facultades.Si ( ) no ( )
14. Que dificultad considera usted que exista en el aprendizaje de lamatemática..
15. Influye la metodología que emplea los docentes en la enseñanza de lamatemática a los estudiantes.
Si ( ) no ( )
16. Los docentes si elevaran el nivel de enseñanza seriaEficiente ( ) Confiable ( ) Preciso ( ) Oportuno ( )
17 Se considera necesario realizar mejoras en los syllabusSi ( ) no ( )
18. En la actualidad el uso de la computadora ayuda a realizar sus trabajos en
formaEficiente ( ) Confiable ( ) Preciso ( ) Oportuno ( )
19. considera útil el uso del internet para mejorar el desarrollo de lamatemática
Si ( ) no ( )
20.Por que considera necesario mejorar la parte didáctica de los textos dematemática.
21. Por que no realiza círculos de estudio de matemática o considera suficienteel texto de matemática
22. Que tipo de problemas considera usted que dificulta en la enseñanza de lamatemática a los estudiantes de las facultades de administración, economía ycontabilidad
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J ANEXO
CUADRO Nº 01
Procedencia de los Docentes y Estudiantes de
Administración, Economía y Contabilidad
Procedencia Docentes EstudiantesUniversidades Nacionales 50 500Universidades Particulares 30 100
total 80 600Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
CUADRO Nº 02
Situación Económica de los Estudiantes que influyen en loAcadémico
Procedencia Bueno Regular Universidades Nacionales 300 200Universidades Particulares 60 40
Total 360 240Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
CUADRO Nº 03Horario de Estudio por los Estudiantes de Administración
Procedencia Mañana Tarde Noche TotalUniversidades Nacionales 50 25 50 125Universidades Particulares 30 15 30 75
Total 80 40 80 200Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
CUADRO Nº 04
Horas de Estudio por los Estudiantes de Economía
Procedencia Mañana Tarde Noche TotalUniversidades Nacionales 40 15 40 95Universidades Particulares 20 15 20 55
Total 60 30 60 150Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
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CUADRO Nº 05Horas de Estudio por los Estudiantes de Contabilidad
Procedencia Mañana Tarde Noche Total
Universidades Nacionales 60 25 60 145Universidades Particulares 40 25 40 105Total 100 50 100 250
Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
CUADRO Nº 06Realizan Seminarios de Matemática en su Facultad
Procedencia SI NO Total
Universidades Nacionales 200 100 300Universidades Particulares 150 150 300350 250 600
Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
CUADRO Nº 07
Los Docentes influyen en el rendimiento Académico de los estudiantes
Procedencia Confiable Objetivo Eficiente Preciso Total
Universidades Nacionales 200 100 60 30 390Universidades Particulares 100 50 40 20 210300 150 100 50 600
Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
CUADRO Nº 08La Internet influye en el Rendimiento de los Estudiantes
Procedencia SI NO Total
Universidades Nacionales 250 120 370Universidades Particulares 150 80 230400 200 600
Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
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CUADRO Nº 09La Metodología que cumplen los Docentes influye en elapoyo de los Estudiantes
Procedencia SI NO TotalUniversidades Nacionales 300 20 320Universidades Particulares 250 30 280
550 50 600
Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zonade Lima y Callao
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ESTUDIANECONO
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AD NACIONAL DEL CALLAO
E CIENCIAS ADMINISTRATIVASUTO DE INVESTIGACI N
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UCIÓN:
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ÍNDICE DE CONTENIDO
PREFACIO .. X
CAPÍTULO 1
ALGEBRA MATRICIAL ...1
1.1 INTRODUCCION ....1
1.2 TIPOS DE MATRICES ..2
1.3 OPERACIONES DE MATRICES .5
1.4 INVERSA DE UNA MATRIZ .10
CAPÍTULO 2DETERMINANTES .13
2.1 DEFINICIÓN ..13
2.2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 15
2.3 REGLA DE SARRUS .....20
2.4 MATRIZ DE COFACTORES ..26
2.4.1 MÉTODO DE COFACTORES PARA HALLAR LA INVERSA DE UNAMATRIZ ...27
2.5 ADJUNTA DE UNA MATRIZ .28
2.6 INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA ..29
2.7 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ
INVERSA ..30
2.8 REGLA DE CRAMER .33
2.9 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES .. 42
2.9.1 SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES....45
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2.10 RANGO DE UNA MATRIZ ..51
2.10.1 OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE
CON UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE
ÉSTE VARÍE ....52
2.10.2 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ ..53
2.11 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATRICES ...56
2.12 EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICES..84
2.13 INSUMO PRODUCTO ...112
CAPÍTULO 3
NOCIONES DE LOGICA 118
3.1 DEFINICION ..118
3.2 ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOS 121
3.3 PROPOSICIONES COMPUESTAS ...124
3.4 LÓGICA PROPOSICIONAL ....126
CAPÍTULO 4
TEORIA DE CONJUNTOS ....145
4.1 DEFINICION ...145
4.2 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.146
4.3 TIPOS DE CONJUNTO 147
4.4 PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES ...164
CAPITULO 5
OPERACIONES DE CONJUNTO .165
5.1 DEFINICION ...165
5.1.1 UNIÓN ..165
5.1.2 INTERSECCIÓN .165
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5.1.3 PARTICIONES.....167
5.1.4 DIFERENCIA ...167
5.1.5 COMPLEMENTO 169
5.1.6 DIFERENCIA SIMÉTRICA 170
5.1.7 DIAGRAMAS DE VENN ...170
5.2 RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA
PROPOSICIONAL ..170
5.3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS ..171
5.4 PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS O PRODUCTO CRUZ 172
CAPITULO 6
CUANTIFICADORES .....174
6.1 DEFINICION 174
6.2 EJERCICIOS DE CONJUNTOS. . 174
CAPITULO 7
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES .179
7.1 DEFINICION.179
7.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES .....179
7.3 DESIGUALDADES ...183
7.3.1 CONSECUENCIAS PRINCIPALES DE LA PROPIEDAD DEORDEN ...184
7.4 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES .186
7.5 INTERVALOS .188 7.6 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES ...192
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7.7 EL NÚMERO COMPLEJO ...193
7.7.1 LOS COMPLEJOS COMO PARES ORDENADOS .194
7.8 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE INTERVALOS, DESIGUALDADES Y
VALOR ABSOLUTO 202
7.9 POLINOMIOS Y ECUACIONES POLINÓMICAS ..217
7.9.1 DEFINICIONES ...217 7.9.1.1 IGUALDAD DE POLINOMIOS ..219
7.9.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS 219
7.10 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA 225
7.10.1SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. .227
7.10.2 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE POLINOMIOS..231
7.10.3 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES
CUADRÁTICAS. FACTORIZACIÓN DE SUMAS Y DIFERENCIA
DE CUBOS 235 7.10.4 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE POLINOMIOS ..238
7.10.5 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE ECUACIONES
CUADRATICÁS ..239
CAPITULO 8
LINEA RECTA 241
8.1 INTRODUCCIÓN .241
8.2 PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA ..245
8.3 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA ..247
8.4 ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA LINEA RECTA ...251
8.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA LINEA RECTA .252
-
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8.6 ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y
PARALELISMO ENTRE RECTAS .256
8.7 COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS259
8.8 ECUACIONES DE LAS BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS
DETERMINADOS POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN .260
8.9 LA PARALELA MEDIA Y LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
PARALELAS ..261
8.10. FAMILIA DE RECTAS .263
8.11 EJERCICIOS RESUELTOS ....265
CAPITULO 9
LA CIRCUNFENRENCIA ..290
9.1. DEFINICION 290
9.2. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA .290
9.3. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO
GRADO EN DOS VARIABLES X E Y REPRESENTE UNA
CIRCUNFERENCIA. .292
9.4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES
CONDICIONES .293
9.5. PUNTOS COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA..293
9.5.1. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Y DE
PENDIENTE CONOCIDA293
9.5.2. RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO
DADO DE LA CURVA.295
9.5.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO
CONCÉNTRICAS .297
-
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9.6. EJERCICIOS RESUELTOS 301
CAPITULO 10
LA PARABÓLA ...307
10.1 DEFINICIONES 307
10.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA PARÁBOLA.. 308
10.3. TRASLACIÓN DE EJES ..312
CAPITULO 11
LA ELIPSE .319
11.1. DEFINICIONES...................................................................................319
11.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA ELIPSE ..320
11.3. CONSTRUCCION DE LA ELIPSE .324
CAPITULO 12
LA HIPERBOLA .327
12.1 DEFINICIONES ..327
12.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA HIPÉRBOLA 328
12.3 ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO .332
12.4. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA PARÁBOLA 333
12.5 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ELIPSE 340
12.6. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA HIPÉRBOLA ..342
12.7. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO .346
12.8 EJERCICIOS PROPUESTOS .348
CAPITULO 13
FUNCIONES ..355
13.1 INTRODUCCION .355
13.2 DEFINICIONES 356
-
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13.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 359
13.4 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES..360
13.5 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO n. 363
13.6 FUNCIÓN MAYOR ENTERO MENOR O IGUAL A x. ..365
13.7 FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOS.365
13.8 FUNCIÓN RACIONAL 366
13.9 FUNCIONES PARES E IMPARES ..368
13.10 OPERACIONES CON FUNCIONES..369
13.11 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES..372
13.11.1 FUNCIONES MONÓTONAS372
13.11.2 FUNCIONES INYECTIVAS ..372
13.11.3 FUNCIONES INVERSAS..374
13.11.4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ...379
13.11.4.1TEOREMA (LEYES DE LOS EXPONENTES) ...379
13.11.4.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL .381
13.11.5 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 384
13.11.5.1TEOREMA
(PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS) 384
13.11.5.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. 385
13.12 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL..388
13.13EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE
FORMULACIÓN EXPONENCIAL.392
13.14 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 393
BIBLIOGRAFIA ...395
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PREFACIO
La idea de hacer este libro nació debido a la inquietud de los estudiantes
que llevan el curso de matemática básica, con el propósito de poner a la
disposición del estudiante y docentes de las especialidades de administración,
economía y contabilidad.
Las matemáticas siempre han sido importantes para las ciencias y para la
tecnología de diferentes maneras y lo serán, aún más, para aquellas naciones
que comprendan la naturaleza del conocimiento moderno.
La motivación al sacar a la luz pública este libro es, precisamente, ofrecer
una primera descripción de lo que ha sido el quehacer matemático en las
facultades de administración, economía y contabilidad, que permita realizar una
reflexión de la importancia de las matemáticas en las tareas nacionales
fundamento esencial en la aplicación y formación profesional.
Se decidió hacer de este libro solamente una introducción a estudios más
pormenorizados sobre el decurso de las matemática básica, para de esta
forma, buscar una mayor proyección de nuestro estudio
La Asignatura de matemática básica, considerado base fundamental su
estudio, dado que es el inicio de los conocimientos para su desarrollo de las
asignaturas siguientes a estudiar.
El texto de matemática básica para los estudiantes de administración,
economía y contabilidad, constituirá como guía para elevar el nivel académico
de los estudiantes de esta especialidad.
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El desarrollo del texto de matemática básica se considera importante porque
permite:
1. Establecer un adecuado contenido temático en el curso de matemática
básica para los estudiantes de administración, economía y contabilidad,
a fin de elevar el nivel académico para su formación profesional.
2. Aplicar una metodología estandarizada en la enseñanza de la
matemática básica para los estudiantes de administración, economía y
contabilidad.
El presente TEXTO: MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE
ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, es un texto básico que
expone de manera sucinta los temas teóricos correspondientes matrices,
determinantes, lógica, conjunto, sistema de números reales, la recta,
circunferencia, la parábola, la hipérbola, la elipse y funciones, se realiza con
mayor énfasis a la resolución de problemas que tienen aplicaciones a la
especialidad de administración, economía y contabilidad.
Para una mejor comprensión, se requiere que el alumno tenga los
conocimientos sólidos de las leyes y principios en los fundamentos
matemáticos que se requieren sobre todo para resolver los diferentes tipos de
problemas que se presentan. De manera específica se requiere que el alumno
conozca el Análisis de las matrices, inecuaciones y funciones, herramienta
fundamental para el desarrollo de los problemas de una Asignatura de
matemática básica.
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CAPÍTULO 1
ALGEBRA MATRICIAL
1.1 INTRODUCCION
El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el algebra
matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación
de los métodos
Econométricos.
Álgebra Matricial es una materia del plan de estudios de la carrera de
Contaduría Pública, por lo cual orientaremos algunas de nuestras unidades
hacia la resolución de problemas del campo de las ciencias económicas y
sociales.
El Álgebra lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades
comunes de los sistemas algebraicos, en particular el Álgebra matricial hace
énfasis en la resolución de dichos sistemas mediante las matrices.
MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en
general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se
denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de
las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a,
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b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij
.
Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la
matriz.
Donde: A = (aij)mxn
El número total de elementos de una matriz Am×n es mn
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico
de matrices.
1.2 TIPOS DE MATRICES
MATRIZ FILA
Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas.
Ejemplo:
Sea la siguiente matriz A, de orden 1x3
MATRIZ COLUMNA
La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas.
Ejemplo:
-
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Sea la siguiente matriz A, de orden 3x1
MATRIZ RECTANGULAR
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo sudimensión mxn.
Ejemplo:
Sea la siguiente matriz, A de orden 2x3
MATRIZ CUADRADA
La matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones ycolumnas.
Si la dimensión de una matriz es m x n, una matriz cuadrada es tal que m = n.
las siguientes matrices son cuadradas.
Ejemplo:
Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.
3x3
IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementosque ocupan la misma posición en ambas son iguales
Para que las matrices A y B seaniguales, se tiene que cumplir que a= 7 y b = 5.
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MATRIZ NULA
En una matriz nula todos los elementos son ceros
Ejemplos:
Sea la siguiente matriz, A de orden 2x3.
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de ladiagonal principal son ceros.
Ejemplos:
Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.
3x3
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.
Ejemplos:
Sea la siguiente matriz A, de orden 3x3.
3x3
MATRIZ DIAGONAL
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajode la diagonal principal son ceros.
Ejemplos:
-
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Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.
3x3
MATRIZ ESCALAR
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de ladiagonal principal son iguales.
Ejemplos:
Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.
3x3
MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de ladiagonal principal son iguales a 1.
Ejemplos:
Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.
3x3
1.3 OPERACIONES DE MATRICES
SUMA Y RESTA DE MATRICES
La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij) p×q de la misma dimensión(equidimensionales).
Donde : m = p y n = q ,entonces se obtiene otra matriz C
Por lo tanto: C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) m×n
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Es decir, la matriz suma se obtienen: sumando los elementos de las dosmatrices que ocupan la misma posición.
Notación:
Propiedades de la suma de matrices
De la dimensión
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutroA + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto
A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estáncambiados de signo.
Conmutativa
A + B = B + A
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PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
El producto de un número real k (escalar), por una matriz A = (aij) es otra
matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se
obtiene multiplicando k por aij, es decir, bij = kaij.
Propiedades del producto de un escalar por una matriz
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
4. 1A = A (elemento unidad)
Propiedades simplificativas
1. A + C = B + C A = B.
2. k A = k B A = B si k es distinto de 0.3. k A = h A h = k si A es distinto de 0.
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PRODUCTO DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más
formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de
filas de B. Es más, si A tiene dimensión mxn y B dimensión nx p, la matriz P,
será de orden mxp.
Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del i-
ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Es decir:
El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual
as de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r ,
entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices
cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del
mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no
es igual a BA. Puede darse el caso especial donde AB = BA, a lo cual se dice
que las matrices son conmutativas.
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EJEMPLO:
a) Hal lar e l producto de las matr ices AxB
b) Hal lar e l producto de las matr ices AxB
Para hallar la nueva matriz de la forma será : C = AB
Aplicamos producto interno.
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De tal manera reemplazamos los valores obtenidos en la matriz C :
1.4 INVERSA DE UNA MATRIZ
Sean A y B matrices de n x n, y suponiendo que la multiplicación
AB = BA = Identidad, entonces la matriz B se le llama inversa de A, y se
escribe . De esta manera:
-
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PROPIEDADES:
• Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
• La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
• Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa
realiza funciones análogas.
• Observación
Podemos encontrar matrices que cumplen AB = I, pero que BA I, en
tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que
B es la inversa de A "por la derecha".
De la definición anterior se deduce que , si A tiene inversa.
Nosotros podemos conocer fácilmente si una matriz tiene inversa; basta con
encontrar su determinante, y si resulta cero, no tiene inversa; cualquier otro
número nos indica que tiene inversa.
Para encontrar la inversa de una matriz puede resultar un poco difícil,
dependiendo del tamaño de la misma .
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Un ejemplo sencillo se muestra a continuación. Sea:
Para encontrar la inversa de A o ,.
Si tomamos la definición de inversa encontramos que , entonces:
Resolviendo encontramos:
Igualando término a término según posición de los elementos, encontramos
una serie de ecuaciones que al resolverlas obtenemos el resultado:
Sin embargo, este no es el método más adecuado, ya que por el método de
eliminación de Gauss-Jordan es posible encontrar la inversa de una matriz más
rápidamente (este método se verá más adelante).
-
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CAPÍTULO 2
DETERMINANTES
2.1 DEFINICIÓN
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único
número real llamado el determinante de la matriz.
Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos
por det(A) o también por |A| (las barras no significan valor absoluto).
El determinante de esta matriz es a11× a22 - a12× a21
El determinante de esta matriz es a11× a
22× a
33+ a
21× a
32× a
13+ a
31× a
12× a
23- a
13× a
22× a
31
- a23
× a32
× a11
- a33
× a21
× a12
Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus
correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un
esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
-
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Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea
Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se
suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que
recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.
Dada la matriz
la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:
Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz
complementaria del elemento aij , y se representa por ij
Se llama adjunto de aij , y se representa por Aij, al número (–1)i+jaij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de
una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de
la 1ª fila se tiene:
-
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La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a
ambos lados de la igualdad.
Nota
Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una
unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas
con muchos ceros
2.2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
-Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|.
-Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el
determinante cambia de signo.
-Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un
número, el determinante queda multiplicado por ese número.
-Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es
cero.
-Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el
determinante es cero.
-Si descomponemos en dos sumandos cada número de una fila (o de una
columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices
obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la
matriz original.
-Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de
una matriz, el determinante es cero.
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-Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila
mas el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no
varía.
Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una
matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean
ceros y el determinante no varié.
Determinante de una matriz de orden 1
Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.
EJEMPLO 1:
Si , entonces det(A)=-2 o
Si , entonces det(A)=0 o
Si , entonces det(A)=2 o
Menores y confectores de una matriz de orden n
Sea A una matriz de orden , definimos el menor asociado al elemento
de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la
columna j de la matriz A. El cofactor asociado al elemento de A esta
dado por
:
Sea
e menor asoc a o a a11.e menor asoc a o a a
12.
e menor asoc a o a a21
.
e menor asoc a o a a22
.
e co actor asoc a o a e emento a11
.
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e co actor asoc a o a e emento a12
.
e co actor asoc a o a e emento a21
.
e co actor asoc a o a e emento a22
.
Determinante de una matriz de orden superior
Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es
la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus
respectivos cofactores.
.EJEMPLO 3:
Hallar el determinante de la matriz
como en el ejemplo 2.2 habíamos calculado los confectores para esta matriz A,
entonces se tiene que
EJEMPLO 4: Determinante de una matriz de orden 2
Sea
Para calcular el determinante de una matriz basta conocer los confectores de los
elementos de la primera fila.
-
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Por lo tanto
OBSERVACION
Como vemos en este ejemplo, para calcular el determinante de una matriz de
orden 2, se multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el
producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Calcular el determinante de la matriz
EJEMPLO 5:
Hallar el determinante de la matriz
Solución
Para encontrar el menor se elimina el primer renglón y la primera columna de A y
se calcula el determinante de la matriz resultante.
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De manera similar, para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la
segunda columna de A0 y se calcula el determinante de la matriz resultante.
para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la tercera columna de A
los confectores son
el determinante de la matriz A se calcula así
-
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EJEMPLO 6: Determinante de una matriz de orden 3
Sea:
Calculemos los menores:
Por lo tanto,
2.3 REGLA DE SARRUS
Paso 1
Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se
muestra a continuación
-
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Paso 2
Calcule los productos indicados por las flechas (que a continuación se
indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia
abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a
las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo.
Paso 3
Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2
EJEMPLO 7:
Calcular el determinante de la matriz A .usando la regla de Sarrus.
Paso 1
Paso 2
-
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Paso 3
Como vemos los resultados obtenidos en los ejemplos 2.5 y 2.7 son idénticos.
OBSERVACIÓN
La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden3.
TEOREMA . Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A estadado por
Desarrollo del i-ésimo renglón
o tal vez
Desarrollo del j-ésima columna
EJEMPLO 8: Sea:
Calcular el determinante de A desarrollándolo por la primera fila.
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Calcular el determinante de A desarrollando por la tercera fila.
Calcular el determinante de A desarrollando por la primera columna.
Calcular el determinante de A desarrollando por la segunda columna.
OBSERVACIÓN .
1. Como vemos en el ejemplo anterior el determinante de la matriz A es el mismono importando la fila o la columna por la que se desarrolle.
2. Como no importa la fila o la columna por la cual se desarrolle el determinantedebemos elegir aquella fila o columna que tenga mayor número de ceros paratener que calcular menos confectores.
-
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EJEMPLO 9: Calcule el determinante de la matriz
Para calcular dicho determinante debemos elegir la fila 3 o la columna 1 yaque ambos poseen un cero como componente. Calculemos desarrollándolopor la columna 1.
Desarrollando los determinantes de orden 3 por Sarrus tenemos:
MATRICES TRIANGULARES
Una matriz de orden n se llama triangular superior si todas las entradas por
debajo de la diagonal principal son ceros y se denomina triangular inferior si
todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Una matriz
-
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que es triangular superior e inferior se denomina matriz diagonal. Una matriz
diagonal en la cual todas las entradas de la diagonal principal, son iguales se
llama matriz escalar.
atr z tr angu ar super or atr z tr angu ar n er or
atr z agona atr z esca ar
Para encontrar el determinante de las matrices anteriores basta multiplicar los
elementos de la diagonal principal
EJEMPLO 10:
Sean:
Entonces:
-
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2.4 MATRIZ DE COFACTORES
Sea A una matriz cuadrada de orden n.
Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que
se denota habitualmente Ai,j.
Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:
El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla
(i, j): M i, j = det( A i, j ) .
En el ejemplo, M 3,2 = 34
El cofactor de ai,j
, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la
matriz
A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1)i + j.
Se le nota c i, j = (-1)i + j
Mi,j o ai,j con una tilde encima.En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.
La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota como A o
A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A,
-
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cuando existe, gracias a la relación:
Atcom A =tcom A A = det A In, donde In es la matriz identidad de orden n.
2.4.1 MÉTODO DE COFACTORES PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA
MATRIZ
Antes de comenzar con el desarrollo del determinante por el método de
confectores se debe antes tener un concepto muy importante que se tiene a
continuación:
MENOR.- Es igual al determinante de la matriz que resulta al eliminar una
fila y columna, es decir es el determinante de la matriz que se obtiene al
eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en
una matriz de 3 x 3 eliminamos la fila y columna la menor viene
denominada complementaria.
COFACTOR.- Se representa con la letra y su cálculo se
da de la siguiente manera:
Así para el cálculo del determinante se consigue de la siguiente manera si se
escoge a la i-ésima fila para el desarrollo:
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Para el cálculo con las j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera:
Otra de las formas para la obtención del signo del menor es mediante la
siguiente matriz de signos de n x n:
CONDICIONES PARA QUE UN DETERMINANTE SEA CERO.-
Las condiciones para que el determinante de una matriz sea cero (det(A)=0)
son las siguientes:
• a) Toda una fila o columna conste de ceros
• b) Dos filas o columnas sean iguales
• c) Una fila o una columna sea dependiente o múltiplo de otra fila o columna
correspondientemente.
2.5 ADJUNTA DE UNA MATRIZ
Antes de entrar a la resolución de la adjunta de una matriz antes debemos
recordar que el cofactor de una matriz viene dado como veces el
determinante de la matriz obtenida al eliminar el i-ésima fila y j-ésima
columna de la matriz. Siendo A la matriz de n x n, entonces la matriz de
confectores de A se da de la siguiente manera:
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La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de la matriz y su
denotación es: es decir la transpuesta de la matriz A es la siguiente:
2.6 INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA
Dada una matriz A invertible, no singular de n x n, entonces la inversa de
una matriz viene dado por la siguiente relación:
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2.7 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ
INVERSA
El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se
basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual
se le quiere calcular la inversa.
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz
identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a
A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la
matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo,
sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
Nota: se recomienda iniciar por la primera columna de la matriz Identidad,
luego con la segunda columna, así sucesivamente.
Entonces, Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz
inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierdade M y la matriz identidad I en la derecha.
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EJEMPLO 1.-Consideremos una matriz A de 3x3 arbitraria
1º Primeramente ampliamos la matriz A con la matriz identidad
de orden 3, por ser la matriz A de orden 3.
2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad
izquierda de la matriz A y la matriz identidad ahora estará a la
derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz
inversa: A-1.
F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
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(-1) F2
Finalmente se obtiene la matriz inversa de A
EJEMPLO 2.- Para hallar le matriz inversa de A, se obtiene de la siguientemanera:
La matriz inversa de A es
EJEMPLO 3.- Dada la siguiente matriz determinar su inversa:
Para esto colocamos la matriz identidad a continuación de la matriz A y
tratamos de conseguir la identidad:
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Procedemos a hacer cero a -1 mediante la eliminación de Gauss – Jordan
multiplicando la primera fila por 1 y sumándole a la segunda y tenemos de la
siguiente manera:
Ahora procedemos a hacer cero a 4, multiplicando la segunda fila por -4 y
sumándole a la primera y obtenemos lo siguiente:
Si en los lugares de la diagonal tuviéramos números diferentes de 1 lo que
procedemos a realizar es la división de toda la fila por ese número, así de esta
manera la inversa de la matriz a es la siguiente:
Para comprobar realizamos el producto por la matriz primitiva y obtendremos la
matriz identidad.
2.8 REGLA DE CRAMER
La regla de Cramer es una aplicación práctica de los determinantes para la
resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas de n ecuaciones con n
incógnitas. Está regla puede aplicarse sólo a sistemas de ecuaciones
lineales que tienen soluciones únicas.
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Si se tiene un sistema de ecuaciones como el siguiente:
La soluciones de "x" y "y" viene dados de la siguiente manera:[11]
Donde det (D) es el determinante de los coeficientes. Para la determinación de
los valores de las incógnitas se obtiene a partir de la matriz A al sustituir la
columna donde se encuentre la incógnita por la columna de las constantes c, y
ese resultado dividirlo para el determinante de la matriz.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.-La siguiente matriz determinar si es simétrica o no:
Si realizamos la transpuesta de esta matriz tenemos:
Como podemos observar la transpuesta y matriz original son idénticas por lo
tanto podemos decir que la matriz A es simétrica.
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2.-Dada la matriz A de m x n calcular su transpuesta:
La transpuesta de la matriz se conseguirá mediante el cambio de filas en
columnas, así la nueva matriz será de n x m:
3.-Para realizar la eliminación de Gauss – Jordan a la siguiente matriz y de esta
manera conseguir el determinante:
Mediante el método de Gauss – Jordan la matriz se tiene de la siguiente
manera:
Por lo tanto el determinante de la matriz se consigue con el producto de la
diagonal de la matriz ya que esta es una triangular superior:
4.-Calcular el determinante de la matriz cuadrada de 2 x 2:
El determinante de la matriz A se consigue de la siguiente manera:
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5.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz:
Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:
El valor del determinate es:
6.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz:
Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:
El valor del determinate es:
7.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz por el método de
confectores escogiendo una fila para el desarrollo:
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Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente fórmula:
8.-Encontrar el determinante de la misma matriz de A3.3 por el método de
confectores escogiendo ahora una columna para el desarrollo:
Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente fórmula:
A6
9.-Determinar la adjunta de la siguiente matriz:
La solución de la adjunta se consigue siguiendo el esquema en la parte
superior del trabajo:
Realizaremos el cofactor de y el cálculo de los demás confectores serán
idéntico:
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La inversa de la matriz se consigue de la siguiente manera:
11.-Para la demostración de la Regla de Cramer se considera el siguiente
sistema:
Al multiplicar por la primera ecuación y por la segunda ecuación y luego
sumar los resultados se obtiene:
Al despejar suponiendo que se obtiene:
De la misma manera se puede despejar
Como podemos observar tanto el numerador como el denominador pueden ser
representados como determinante:
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12.-Determinar los coeficientes x, y, z del siguiente sistema de ecuaciones:
Desarrollando los determinantes de cada uno de ellos por el método de
confectores el resultado es el siguiente:
13.-Encontrar el área de el triangulo cuyo vértices son los puntos
como se indica en la figura.
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Se toma el valor absoluto del área ya que el área no puede ser considerada
como negativa.
14.-Determinar si los puntos son colineales
Si desarrollamos el determinante por medio de los confectores podemos
determinar que es igual a cero:
Así de esta manera comprobamos que los tres puntos son colineales.
15.-Determinar la ecuación de la recta determinada por los puntos:
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0
La ecuación de la recta que pasa por los puntos es por lo
tanto la ecuación es una recta paralela al eje de las x.
2.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
INTRODUCCIÓN
La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, empleando
distintos procedimientos, completa el estudio del álgebra matricial que se
realiza en 2º de Bachillerato. Con esta unidad se pretende que el alumnado
aplique lo estudiado en las Unidades de Matrices y Determinantes a la
discusión y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con
la identificación de los distintos elementos de un sistema de ecuaciones
lineales (incógnitas, coeficientes, términos independientes), su escritura
utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como paso
previo a su resolución en los casos en que sea posible, se efectúa su
"discusión" o estudio de su compatibilidad, utilizando el Teorema de Rouché-
Fröbenius o el método de Gauss. Por último, se describen tres
procedimientos para su resolución, en el caso de que sean compatibles:Regla de Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz inversa.
El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones
lineales permitirá al alumnado afrontar el planteamiento y resolución de
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problemas diversos. Si se siguen estudios de Ciencias los aplicarán también
en Geometría para estudiar las posiciones relativas de rectas en el plano y en
el espacio, posiciones relativas de planos y de rectas y planos en el espacio,
etc.
OBJETIVOS
• Valorar la importancia del estudio de los sistemas de ecuaciones
lineales, dentro del álgebra matricial, así como el valor de los
conceptos y procedimientos vistos en las Unidades de Matrices y
Determinantes y su aplicación en esta Unidad.
• Escribir un sistema de ecuaciones lineales utilizando la notación
matricial.
• Conocer los criterios de equivalencia de los sistemas de ecuaciones
lineales.
• Discutir un sistema de ecuaciones lineales, utilizando el Teorema de
Rouché-Fröbenius y el Método de Gauss.
• Resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o
indeterminado), utilizando la Regla de Cramer, el método de Gauss y
la matriz inversa.
La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más
inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples
incógnitas. Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico,
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este campo de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de
cálculo para facilitar las operaciones algebraicas complejas.
Matriz identidad y matriz inversa
Dada una matriz cuadrada A de orden n x n (o, simplemente, n), se define
matriz identidad I como la que, con la misma dimensión n, está formada por
elementos que son todos nulos salvo los situados en la diagonal principal, cuyo
valor es 1. Es decir: A . I = I . A = A.
Para dicha matriz A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1
también de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz
identidad: A . A-1 = A-1 . A = I.
Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o regular, mientras que cuando
carece de inversa se denomina matriz singular.
Para calcular la matriz inversa de una dada, puede recurrirse a la resolución de
las ecuaciones que plantearía el producto de matrices A . X = I, siendo los
coeficientes de A e I conocidos y los de X correspondientes a las incógnitas.
También se puede aplicar el llamado método de reducción o gaussiano, según
el siguiente esquema:
• Dada la matriz original A = (aij), con i, j = 1, 2, ..., n, se forma primero su
matriz ampliada (A | I).
• Después, se aplican operaciones elementales sobre las filas de la matriz
hasta conseguir reducir A a la matriz unidad. Las mismas
transformaciones se van haciendo en I. La nueva matriz obtenida es A-1.
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• Las operaciones elementales que se pueden aplicar a las matrices
ampliadas son:
• Multiplicación de una fila por un número distinto de cero.
• Suma ordenada a los elementos de una fila del múltiplo de los de otra.
• Intercambio de filas.
EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma
matricial de la siguiente forma:
donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la
matriz de los términos independientes.
Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:
2.9.1 SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Resolución de un sistema por la matriz inversa
Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica
consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión
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matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los
coeficientes (si existe). De este modo:
Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene
solución (es incompatible).
Resolución de un sistema por eliminación gaussiana
El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales
mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta
de los siguientes pasos:
• Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los
coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la
matriz de los términos independientes.
• Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz
ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la
matriz todos los términos sean nulos.
• Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de
resolución inmediata.
• Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema:
• Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la
ampliada produce una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con k igual 0,
el sistema es compatible determinado (tiene una solución única).
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• Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z
= k, el sistema es incompatible (carece de solución).
• Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el
sistema será compatible indeterminado (con infinitas soluciones).
Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el
método de eliminación gaussiana.
EJERCICIO 01
Sistema compatib le determinado
EJERCICIO 02
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Sistema compatible indeterminado
EJERCICIO 03
sistema compatible determinado
EJERCICIO 04
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sistema compatible determinado
Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de ecuaciones
lineales
Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con
n incógnitas de la forma:
donde aij son los coeficientes, x i las incógnitas y bi son los términos
independientes.
Representación matricial de un s.e.l.
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto
de matrices de la forma:
De modo simplificado suele escribirse Am,n Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A
de orden m x n se denomina matriz de coeficientes.
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También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la
matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término
independiente:
Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius
Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada
A' y rangos respectivos r y r' se verifican:
1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')
2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:
Si r = r' = n (nº de incógnitas) Sistema compatible determinado (una únicasolución)
Si r = r' < n (nº de incógnitas) Sistema compatible indeterminado (infinitassoluciones)
Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.
REGLA DE CRAMER
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas
(n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. que cumple estas condiciones
se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el
determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante
que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna
de los términos independientes.
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Ejemplo
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si AX = B, entonces X = A-1B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas
(n=m) y es compatible determinado.
2.10 RANGO DE UNA MATRIZ
Llamamos menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de
eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p.
Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz
obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden
p dado.
• Definición 1º
RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores
distintos de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o
de columnas.
• Definición 2º
RANGO de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas)
que son linealmente independientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede
establecer una combinación lineal entre ellas.
P. Ej., si f 1 = 2f 3 - 3f 4, entonces decimos que f1 es linealmente dependiente
de f 3 y f 4.
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Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede
establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango o característica de una matriz A se simboliza del siguiente modo :
rang(A) o r(A)
2.10.1 OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON
UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE
1. Intercambiar dos líneas entre sí.
2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos.
3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra.
4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s
5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero.
6. Sustituir una línea i de este modo : L i = aLi + bL j
7. Sustituir una línea i de este modo : L i = Li + aL j
Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de
determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7.
Sin embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una
matriz sin que se modifique el valor de éste.
Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula,
cuyo rango es cero.
Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por que ser
necesariamente cuadrada.
Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es
decir, cuando las filas (columnas) son linealmente independientes.
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Diremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismo
rango.
2.10.2 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
1º Método: basado en el cálculo de menores.
Comenzando por el orden k=2 , se realiza el proceso
siguiente (para una etapa k cualquiera)
Se busca un menor de orden k , entonces el rango
será k
Se añade a dicho menor una fila i , y cada una de las
columnas que en él no figuran, obteniéndose así menores
de orden k+1. Si todos estos menores son nulos, significa
que la fila i es combinación lineal de las k filas del menor
anterior, por lo que podemos eliminar esa fila.
Seguimos probando con las restantes filas, si todos los
menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene
sólo k filas linealmente independientes, que son las que
aparecen en el menor, y por tanto su rango es k .
Si alguno de los menores k+1 es distinto de cero, el rango
es k+1 y repetimos el proceso para otro orden k
superior.
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EJEMPLO 01:
Si al elegir un menor de orden 2 nos da 0, elegimos otro, y así sucesivamente
hasta elegir todos, si todos son 0, el rango es 1. De la misma forma, cuando
elegimos menores de orden 3.
2º Método: conocido como "método de Gauss"
Se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas).
Básicamente consiste en hacer nulos los elementos que hay debajo de los a ii
con i= 1, 2, 3,..., m-1 ; y el rango final será el número de filas distintas de cero.
El método consta de m-1 etapas, siendo m el número de filas.
En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como
referencia el elemento aii , por medio de operaciones elementales
(nombradas anteriormente) se hacen cero todos los elementos de
su columna que estén por debajo de él.
Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar
previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es
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posible (porque también sea cero) con alguna columna de la
derecha, hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es
conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1, si no lo
fuera, utilizando operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a
1).
Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la
matriz.
EJEMPLO 02:
EJEMPLO 03:
-
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2.11 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATRICES
1.-Dadas las matrices:
Calcular:
A + B; A - B; A x B; B x A; At.
RESPUESTA
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2.-Sean las matrices:
Sean las matrices:
Efectuar las siguientes operaciones:
(A + B) 2; (A - B) 2; (B) 3; A B t C.
RESPUESTA
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3.-Dadas las matrices:
RESPUESTA
Justificar si son posibles los siguientes productos:
1.-(A t B ) C
(At3 x 2 B2 x 2 ) C3 x 2 = (At B )3 x 2 C3 x 2
No se puede efectuar el producto porque el número de
columnas de
(At B) no coincide con el nº de filas de C.
2.-(B Ct
) At
(B2 x 2 Ct2 x 3 ) A
t3 x 2 = (B C )2 x 3 A
t3 x 2 =
= (B C t A t ) 2 x 2
4.- Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el
producto A M C
RESPUESTA
A3 x 2 Mm x n C3 x 2 m = 2
5.- Determinar la dimensión de M para que C t M sea una matriz
cuadrada. Dadas las matrices:
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RESPUESTA
Ct2 x 3 Mm x n m = 3 n = 3
6.- Demostrar que: A2
- A - 2 I = 0, siendo:
RESPUESTA
7.-Sea A la matriz . Hallar An , para n
RESPUESTA
-
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8.-Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para
que resulte la matriz .
RESPUESTA
9.-Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:
RESPUESTA
-
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10.-Calcular la matriz inversa de:
RESPUESTA
Construir una matriz del tipo M = (A | I)
Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en
la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la
matriz inversa: A-1.
-
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11.-Calcular la matriz inversa de:
RESPUESTA
1. Construir una matriz del tipo M = (A | I)
2. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz
identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
2-
1
3+
2
F2
- F3
F1
+ F2
(-1) F2
La matriz inversa es:
12.-Calcular el rango de la matriz siguiente:
-
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RESPUESTA
F1 - 2 F2
F3 - 3 F2
F3 + 2 F1
Por tanto r(A) =2.
13.-Hallar el rango de la matriz siguiente:
RESPUESTA
F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
-
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14.-Calcular el rango de la matriz siguiente:
RESPUESTA
F2 = F2 - 3F1
F3= F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3 .
15.-Siendo:
16.-Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:
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17.-Siendo:
Resolver la ecuación matricial:
-
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18.-Resolver; en forma matricial, el sistema:
RESPUESTA
-
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19.-Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
20.-Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías:
A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y peq