Matemática Básica para Economistas MA99

UNIDAD 4

Clase 6.2

Tema: Inversa de una matriz

Objetivos:

Definir la inversa de una matriz.Efectuar operaciones elementales con las filas de una matriz.Obtener la matriz de Cofactores de cualquier matriz cuadrada.Obtener la matriz Adjunta de cualquier matriz cuadrada.Calcular la inversa de una matriz, a través de dos procedimientos: Gauss – Jordan y Matriz Adjunta.Definir y obtener el rango de una matriz de cualquier orden.

pag.: 268 - 275

Si AX=B es un SEL dado en forma

matricial, el procedimiento de dividir por la

matriz A no es posible realizarlo debido a

que la división de matrices no esta definida.

Sin embargo, estamos interesados en

hacer algo parecido a lo que hacemos en

las ecuaciones de primer grado.

Introducción

Sea A una matriz cuadrada. Si existe una matriz B tal que AB=BA=I , la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A-1.

Matriz inversa

Obs: Si A-1 existe, se tiene que: AA-1=A-1A=I.

Si A y B son matrices invertibles y k un número no nulo se tienen las propiedades:

111).(1 ABAB111).(2 AkA ktt AA )().(3 11

Operaciones elementales con las filas de una matriz

1. El intercambio de la fila i y la fila j, que denotaremos como:

fi ↔ fj

2. El producto de todos los elementos de la fila i por una constante

c ≠ 0: cfi

3. Sumar a los elementos de la fila i los correspondientes de la fila

j multiplicados por una constante c ≠ 0: fi + cfj

Matrices Equivalentes

3500

3100

4121

B

Dos matrices A y B se llaman equivalentes, y se denota con

A B, si B se obtiene a partir de A mediante un número

finito de operaciones elementales por filas.

Por ejemplo, a partir de la matriz A:

Se puede obtener la matriz equivalente B con las siguientes Se puede obtener la matriz equivalente B con las siguientes operaciones:operaciones: f2 – 2f1 y f3 – f1

7621

5342

4121

A

18000

3100

4121

Utilizando las operaciones elementales con las filas de una matriz, también se puede obtener la inversa de la matriz Anxn, siguiendo el procedimiento descrito a continuación:

Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan

10

01

dc

ba

dc

baA

1.- Formamos la matriz Formamos la matriz [A : I[A : Inn]:]: Ejemplo Ejemplo

2.- Luego, mediante las operaciones elementales se reduceLuego, mediante las operaciones elementales se reduce

la matriz a otra de la forma [Ila matriz a otra de la forma [Inn : B]: : B]:

hg

feB

hg

fe

10

01B = AB = A-1-1

Ejemplo: Determinar A-1 si A es invertible.

Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan

52

31 .1

101

231

121

.2

321

131

221

.3

Existencia de la inversa

Teorema: Sea A una matriz inversible entonces:

Corolario:Corolario: La inversa de una matriz existe si y sólo si det(A) = 0.

)det(

1)det( 1

AA

Ejemplo: ¿ Para que valor de a la matriz:

tiene inversa ?

304

25

611

a

Matriz Adjunta

Recordando conceptos:Se llama menor del elemento aij de la matriz A a la matriz Mij de orden n-1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j.

El cofactor Aij del elemento aij es el número real:

Aij = (-1)i+j det(Mij )

Matriz de los cofactores:

Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz.

Matriz Adjunta

nnnn

n

n

tc

ccc

ccc

ccc

AAAdj

21

22212

12111

)(

Sea la matriz AC de cofactores:

La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores.

nnnn

n

n

c

ccc

ccc

ccc

A

21

22221

11211

Matriz Adjunta

221

541

312

A

Ejemplo: Obtenga la matriz adjunta de A

952

777

17418

AAdj

Solución

Cálculo de la inversa de una matriz: método de la Matriz Adjunta

221

541

312

A

Observe lo siguiente:1.- Obtenga el determinante de la matriz:

2.- Multiplique la matriz A por Adj(A)

¿Qué puede concluir en este caso?

952

777

17418

AAdj

Si |A| ≠ 0, entonces A es invertible y se cumple:

AAAdj

A 1

Con este resultado tenemos un segundo método para Con este resultado tenemos un segundo método para el cálculo de la inversa de una matriz.el cálculo de la inversa de una matriz.

Cálculo de la inversa de una matriz: método de la Matriz Adjunta

Ejercicios

Pág. 275 – 276: 1, 3, 6, 8, 11, 15, 18,

Resolver los siguientes ejercicios del libro texto