matemÁtica ciÊncias e aplicaÇÕes - caderno de revisÃo

Matemática

Caderno de revisão

professor

001-026_MCAP3_CR_MA_CORPO MENOR.indd 1 22/06/11 11:28

Sumário

Parte 1

Fatoração algébrica 4

Porcentagem / Aumentos e descontos percentuais 6

Equações do 1º e do 2º graus 9

Funções / Função do 1º grau 13

Função do 2º grau 18

Função composta e função inversa 21

Função, equação e inequação exponenciais 24

Logaritmo: definição e condição de existência 27

Noções gerais de polígono / Triângulos 29

Ângulos na circunferência 32

Teorema de Tales / Semelhança 35

Relações métricas no triângulo retângulo 38

Relações métricas na circunferência 41

Áreas das figuras planas 44

Prisma / Pirâmide 48

Cilindro / Cone 52

Trigonometria no triângulo retângulo 57

Lei dos senos e lei dos cossenos 60

Ciclo trigonométrico/Seno e cosseno 62

Tangente / Outras relações trigonométricas 66

Equação e inequação trigonométricas 69

Adição de arcos e arcos duplos 71

Fatorial / Número binomial / Triângulo de Pascal 73

Binômio de Newton 76

Resolução dos exercícios complementares 79

Parte 2

Logaritmo: propriedades e mudança de base 94

Função, equação e inequação logarítmicas 96

Sequência / Progressão aritmética 99

Progressão geométrica 102

Matrizes e determinantes 105

Sistemas lineares 111

Esfera 116

Números complexos: forma algébrica e operações 118

Polinômio: teoremas do resto e de D’Alembert 122

Polinômio: critérios de divisibilidade 125

Equação polinomial 128

Relações de Girard / Teorema das raízes complexas 131

Arranjos / Permutações 133

Permutações com repetição / Combinações 136

Probabilidade 138

Coordenadas cartesianas e distância entre pontos 142

Estudo da reta 144

Circunferência 149

Resolução dos exercícios complementares 152


MCAP3_Caderno de Revisão – 1ª PROVA

1. Principais casos de fatoraçãoFatorar significa decompor em fatores, isto é,

transformar uma adição ou uma subtração em uma multiplicação.

1º caso: Fator comumSe aplicarmos a propriedade distributiva no produ-

to a(x 1 y), teremos:

a (x 1 y) 5 ax 1 ay

Então:

ax 1 ay 5 a (x 1 y)

Dizemos que o fator comum foi colocado em evi-dência.

2º caso: agrupamentoAcompanhe a fatoração da expressão a seguir:

N 5 ax 1 ay 1 bx 1 by

A expressão N não possui um fator comum, mas, se separarmos as parcelas em grupos, teremos o fator a comum às duas primeiras parcelas e o fator b comum às duas últimas. Então:

N 5 a (x 1 y) 1 b (x 1 y)

Nessa nova situação, x 1 y é um fator comum e, portanto, pode ser colocado em evidência:

N 5 (x 1 y) (a 1 b)

3º caso: Diferença de dois quadrados

a2 2 b2 5 (a 1 b) (a 2 b)

4º caso: Trinômio quadrado perfeito

a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2

a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)2

2. Revisão de produtos notáveis

I. (a 2 b) (a 1 b) 5 a2 2 b2

II. (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2

III. (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2

IV. (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

V. (a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3

Além desses, também temos:

VI. Soma de dois cubos:

(a 1 b) (a2 2 ab 1 b2) 5 a3 1 b3

VII. Diferença de dois cubos:

Atividades 1 Fatore as expressões:

a) 12x2y3 2 16x3y2 1 20x4y

4x2y (3y2 2 4xy 1 5x2)

b) 8a2 2 4ac 1 6ab 2 3bc

4a (2a 2 c) 1 3b (2a 2 c) 5 (2a 2 c) (4a 1 3b)

4

Fatoração algébrica



⇒ A 5 a 1 b ⇒ A 5 19 1 11 [ A 5 30

4 Determine a e b de modo que a 2 b 5 1 e a2 1 b2 5 41.

(a 2 b)2 5 12 ⇒ a2 2 2ab 1 b2 5 1 ⇒ a2 1 b2 2 2ab 5 1 ⇒

⇒ 41 2 2ab 5 1 ⇒ 2ab 5 40 [ ab 5 20 a 2 b 5 1 a b 5 20

6 a 5 5 e b 5 4

ExERCíCioS CoMPlEMEnTARES

1 Sendo a 1 e a 21, simplifique a expressão

E 5 a 2 1a 1 1

1 a 1 1a 2 1

2 a2 2 a 1 2

a2 2 1

2 (Vunesp, adaptada) Se x 1 1x

5 l, calcule, em

função de l, o valor de x2 1 1x2

.

3 Considere os números naturais m e n tais que m2 2 n2 5 13. Determine os possíveis valores de m e n.

4 (FGV-SP, adaptada) Imagine dois números naturais não nulos. Seja D a diferença entre o cubo de sua soma e a soma de seus cubos. Mostre que D é múltiplo de 6.

5 O valor da expressão: x2 2 y 2

x 1 y

x2 1 2xy 1 y2

x 2 y, para

x 5 1,25 e y 5 20,75, é:

a) 20,25 c) 0 e) 0,25

b) 20,125 d) 0,125

6 A expressão 1 a2

b2 1 b2

a2 2 2 2 1 ab

1 ba

2 2 2 é

equivalente a:

a) a2 2 b 2

ab d)

(a 2 b) 2

ab

b) (a 1 b) 2

ab e)

a2 1 b 2

ab

c) a 1 b(ab)2

c) x4 2 y4

(x2)2 2 (y2)2 5 (x2 2 y2) (x2 1 y2) 5 (x 2 y) (x 1 y) (x2 1 y2)

d) m2 1 6mn2 1 9n4

(m 1 3n2)2

e) 27x3 2 54x2y 1 36xy2 1 8y3

(3x)3 2 3 (3x)2 2y 1 3 (3x) (2y)2 2 (2y)3 5 (3x 2 2y)3

2 (PUC-MG) A expressão a3 2 2a2 5 a 1 2 pode ser escrita na forma de um produto de três fatores. A soma desses fatores é igual a:

a) a2 1 2a 2 4 c) 3a 2 2

b) a2 1 2a d) 3a

a3 2 2a2 2 a 1 2 5 a2(a 2 2) 2 (a 2 2) 5

5 (a 2 2) (a2 2 1) 5 (a 2 2) (a 2 1) (a 1 1)

Soma: a 2 2 1 a 2 1 1 a 1 1 5 3a 2 2

Alternativa c

3 Sendo a 5 19 e b 5 11, calcule o valor da expressão A em cada caso:

a) A 5 4a 2 2abab 2 2a

A 5 4a 2 2abab 2 2a

s A 5 22ab 1 4a

ab 2 2a s A 5

22a (b 2 2)a (b 2 2)

s

b) A 5 (a 1 b)2 2 5a 2 5b

a 1 b 2 5

A 5 (a 1 b)2 2 5a 2 5b

a 1 b 2 5 ⇒

⇒ A 5 (a 1 b) (a 1 b) 2 5 (a 1 b)

a 1 b 1 5 ⇒

⇒ A 5 (a 1 b) (a 1 b 2 5)

a + b 2 5 ⇒ A 5 a 1 b ⇒ A 5 19 1 11

5



1. PorcentagemO quociente

x100

é representado por x% e lido x por cento.

Dados dois números a e b, com b 0, diz-se que a representa x% de b se:

a 5 x

100 b ⇒

x100

5 ab

Aumentos e descontos percentuaisPara um aumento

Sendo Vi o valor inicial e V

f o valor ao final de um

aumento de x%, temos:

Vf 5 V

i 1

x100

Vi ⇒ V

f 5 11 1

x100 2 V

i

Para um desconto


f o valor ao final de um

desconto de x%, temos:

Vf 5 V

i 2

x100

Vi ⇒ V

f 5 11 2

x100 2 V

i

Para aumentos sucessivos e iguais


n o valor ao final de n acrés-

cimos sucessivos de x%, ao final do enésimo acréscimo:

Vn 5 11 1

x100 2

n

Vi

Para descontos sucessivos e iguais


n o valor ao final de n des-

contos sucessivos de x%, ao final do enésimo desconto:

Vn 5 11 2

x100 2

n

Vi

2. JuroJuro simples

Investido (ou emprestado) um capital C a uma taxa i (em porcentagem), durante um período t, o cálculo do juro simples J é dado por:

J 5 C i t

Se o período for dado em “anos”, a taxa deve ser “por cento ao ano”, ou seja, a taxa deve acompanhar a unidade do período.

Juro compostoO cálculo do juro composto é feito da seguinte ma-

neira:

M 5 C (1 1 i)t

em que: M é o montante (capital investido mais juros) a ser resgatado; t é o período de aplicação, C é o capital inicial e i é a taxa.

Nesse tipo de aplicação, o juro é incorporado ao capital, passando também a render juro.

Atividades 1 (PUC-MG) Um objeto que custava R$ 700,00 teve seu preço

aumentado de R$ 105,00. O acréscimo percentual em rela-ção ao custo anterior foi de:

a) 12% b) 15% c) 18% d) 20%

105 5 x

100 700 ⇒ x 5 15%

Alternativa b

6

Porcentagem /

Aumentos e descontos

percentuais



2 (Fuvest-SP, adaptada) Em uma pesquisa relativa à acei-tação de um determinado produto, 65% dos entrevis-tados são do sexo masculino. Apurados os resultados, verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres aprovaram o produto. A porcentagem de pessoa que aprovou o produto é:

a) 43,5% c) 90% e) 26%

b) 45% d) 17,5%

Se 65% é a porcentagem de homens, dentre os entrevistados,

então a porcentagem de mulheres é 35%.

Aprovação:

(40% de 65%) 1 (50% de 35%) 5 0,40 65% 1 0,50 35% 5 43,5%

Alternativa a

3 (Vunesp) Uma mercadoria teve um aumento de 25% e, logo depois, um aumento de 20% sobre isso. Para en-contrar o preço da mercadoria após os aumentos, basta multiplicar o preço inicial por:

a) 1,45 c) 1,50 e) 3,75

b) 0,45 d) 0,50

11 1 25

1002 11 1 20

1002 5 1,25 1,20 5 1,50

Alternativa c

4 (UFMS) O tanque de um carro tem 40 litros de uma mis-tura de álcool e gasolina, e o álcool rEpresenta 25% dessa mistura.A fim de que essa mistura apresente uma porcentagem de 60% de álcool, deve-se substituir x li-tros da mistura original por x litros de álcool. Assim, o valor de x é:

a) 8 13

c) 18 13

e) 18 23

b) 12 23

d) 14 23

Tirando x litros da mistura, ficaremos com (40 2 x) litros da

mistura no tanque, onde: 25

100 (40 2 x) 5

40 2 x4

é álcool.

Devemos ter: 40 2 x

4 1 x 5

60100

40 ⇒ 40 2 x 1 4x

4 5 24 ⇒

3x 1 40 5 96 ⇒ 3x 5 56 ⇒ x 5 563

⇒

x 5 543

1 23

⇒ x 5 18 1 23

5 18 23

litros

Alternativa e


1 Um objeto teve uma majoração de seu preço da ordem de 20%, e em seguida, uma redução do preço da ordem de 20%. Com relação ao preço inicial, depois dessa variação de preços podemos concluir que o objeto:

a) não variou de preço.

b) está 4% mais barato.

c) está 4% mais caro.

d) está 8% mais barato.

e) está 8% mais caro.

2 (PUC-SP, adaptada) Ao responder a um teste, um aluno acertou 20 das 30 primeiras questões e errou 64% do nú-mero restante. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a 47,5% do número de questões. O número total de questões é:

a) 40 d) 80

b) 50 e) 120

c) 60

3 (Fuvest-SP, adaptada) O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcule a porcentagem de que se deve reduzir seu preço atual para que volte a custar o que custava antes do aumento.

4 (UECE) Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês de aplicação, ela perdeu 30% do va-lor investido. No segundo mês, ela recuperou 40% do que havia perdido. Em porcentagem, com relação ao valor inicialmente investido, ao final do segundo mês houve um:

a) lucro de 10%. c) lucro de 18%.

b) prejuízo de 10%. d) prejuízo de 18%.

5 (Mackenzie, adaptada) Nos três primeiros meses de um ano, a inflação, em determinado país, foi de respectiva-mente 5%, 4% e 6%. Nessas condições, a inflação acu-mulada no trimestre foi de:

a) 15,752% d) 18%

b) 15% e) 15,36%

c) 12%

6 (UFMT) Uma financiadora oferece empréstimos, por um período de 4 meses, sob as seguintes condições:

1ª) taxa de 11,4% ao mês, a juro simples;

2ª) taxa de 10% ao mês, a juro composto.

Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10.000,00, optando pela 1ª condição. Em quantos reais os juros co-brados pela 1ª condição serão menores que os cobrados pela 2ª condição?

7



Linguagem usual Linguagem matemática

Um número x

A sexta parte desse númerox6

O dobro desse número 2x

A metade desse número “mais” sua terça parte

x2

1 x3

Esse número acrescido de 5 uni-dades

x 1 5

Esse número acrescido de 20% dele

x 1 2010

x

2. Equação do 2º grauChama-se equação do segundo grau, na in-

cógnita x, toda sentença que pode ser repre-sentada sob a forma:

ax2 1 bx 1 c 5 0

em que a, b e c são números reais, com a 0.

Exemplos

a) 5x2 1 3x 1 9 5 0

a 5 5; b 5 3; c 5 9 e x é a incógnita.

b) 27

r 2 1 1 5 0

a 5 27

; b 5 0; c 5 1 e r é a incógnita.

c) 13t2 1 5t

3 5 0

a 5 21; b 5 53

; c 5 0 e t é a incógnita.

1. Equação do 1º grauChama-se equação do primeiro grau, na incóg-

nita x, toda sentença que pode ser representada sob a forma:

ax 1 b 5 0

em que a e b são números reais, com a 0.

Raízes de uma equação

Raízes (ou zeros) da equação são os valores que, atribuídos à incógnita, tornam a sentença verda-deira.

Em 5x 2 10 5 0, o número 2 é raiz, pois: 5 2 2 10 5

5 0, e o número 3 não é raiz, pois: 5 3 2 10 0

Conjunto solução (S)

Em R, é o conjunto formado pelas raízes da equação.

No exemplo anterior, 5x 2 10 5 0, o conjunto so-

lução é S 5 {2}.

Resolver uma equação significa encontrar seu conjunto solução.

Problemas envolvendo equação do 1º grauPara resolvermos problemas que envolvam equa-

ções do 1º grau, é importante interpretarmos o enun-ciado.

Acompanhe algumas interpretações para enuncia-dos e suas respectivas expressões matemáticas.

8

Equações do 1º

e do 2º graus



Nos exemplos b e c, temos o termo b 5 0 ou o termo c 5 0; nesses casos, as equações são cha-madas incompletas.

Fórmula resolutivaA fórmula (atribuída a Bháskara) que resolve a

equação do 2º grau ax2 1 bx 1 c 5 0 é:

x 5 2b b2 2 4ac

2ac

A expressão b2 2 4ac é representada pela letra grega maiúscula delta (∆) e é chamada discriminante da equação do 2º grau.

∆ 5 b2 2 4ac

Discussão das raízes da equação do 2º grauO discriminante da equação do 2º grau (∆) informa

a respeito das raízes dessa equação:

Se ∆ . 0, então a equação admite duas raízes reais e distintas.

Se ∆ 5 0, então a equação admite duas raízes reais e iguais.

Se ∆ , 0, então a equação não admite raízes reais.

Soma e produto das raízes da equação do 2º grau

Na equação do 2º grau ax2 1 bx 1 c 5 0, em que x

1 e x

2 são raízes, temos:

x 5 2b b2 2 4ac

2ac

x1 1 x

2 5 2

ba

e x1 x

2 5

ca

Dividindo ambos os membros de ax2 1 bx 1 c 5 0por a, temos:

x2 1 ba

x 1 ca

5 0

Podemos reescrever essa equação na forma:

x2 2 Sx 1 P 5 0

em que S é a soma das raízes e P é o produto das raízes.

Atividades 1 (PUC-MG) Uma garrafa cheia de água “pesa” 815 g e,

quando cheia de água até 45

de sua capacidade, “pesa”

714 g. O “peso” da garrafa vazia, em gramas, é:

a) 210 b) 265 c) 310 d) 385

A → água G → garrafa

G 1 A 5 815

G 1 4A5

5 714 G 1 A 5 8155G 1 4A 5 3 570

⇒ ⇒ 5G 1 5A 5 4 0755G 1 4A 5 3 570

A 5 505

5 5

De G + A = 815, temos: G + 505 = 815

G = 310 g

Alternativa c

2 Resolver, no campo dos números reais, as equações:

a) 2x2 2 11x 1 5 5 0

∆ 5 (211)2 2 4 2 5 5 81

x1 5 12

x2 5 5[ S 5 5 61

2 ; 5x 5

11 94

⇒

b) x2 2 8x 1 16 5 0

∆ 5 (28)2 2 4 1 16 5 0

x 5 8 0

2 ⇒ x1 = x2 = 4 [ S 5 {4}

c) 2x2 2 3x 1 5 5 0

∆ 5 (3)2 2 4 2 5 5 231 [ S 5 ∅

d) 2x2 2 7x 5 0

2x2 2 7x 5 0 ⇒ x (2x 2 7) 5 0 ⇒

⇒ x 5 0 ou 2x 2 7 5 0 ⇒x 5 72

[ S 5 5 0; 72

6

9



e) 2x2 2 18 5 0

2x2 5 18

x2 5 9

x 5 3 ou x 5 23

S 5 {23, 3}

3 (U. E. Londrina-PR) Determine os valores de m para os quais a equação 3x2 2 mx 1 4 5 0 admite duas raízes reais e iguais.

Condição: ∆ 5 0

∆ 5 (2m)2 2 4 3 4 ⇒ m2 2 48 5 0 ⇒

⇒ m2 5 16 3 ⇒ m 5 24 3 ou m 5 4 3

4 A equação 2x2 2 5x 1 1 5 0 possui as raízes x1 e x

2. De-

termine:

a) x1 1 x

2

x1 1 x2 5 2ba

5 52

b) x1 x

2

x1 x2 5 2ca

5 a2

c) 1x

1 1

1x

2

1x1

1 1x2

5 x1 + x2

x1 x2

5

5212

5 5

d) x21 + x2

2

x1 1 x2 5 52

(x1 1 x2)2 5 254

x21 1 2x1 x2 1 x2

2 5 254

x21 1 x2

2 5 254

2 2 12

5 214

e) x21 x

2 1 x

1 x2

2

x21 x2 1 x1 x2

2 5 x1 x2 (x1 1 x2) 5

5 12

52

5 54


1 (Fuvest-SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?

a) 3 c) 5 e) 7

b) 4 d) 6

2 (Unicamp-SP) Roberto disse a Valéria: “Pense em um nú-mero, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?”. Valéria disse: “15”. Roberto imediatamente revelou o número original em que Valéria havia pensado. Calcule esse número.

3 (Mackenzie-SP) Uma pessoa quer distribuir, entre seus amigos, um determinado número de convites. Se der 2 convites a cada amigo, sobrarão 25 convites; entretanto, se pretender dar 3 convites a cada amigo, faltarão 15 convites. Caso essa pessoa prentenda dar 4 convites a cada amigo, ela precisará ter mais:

a) 45 convites. d) 80 convites.

b) 55 convites. e) 70 convites.

c) 40 convites.

4 (Mackenzie-SP) Se x e y são números reais e positivos, tais que x2 1 y2 1 2xy 1 x 1 y 2 6 5 0, então x 1 y vale:

a) 2 c) 4 e) 6

b) 3 d) 5

5 (Unifor-CE) Sejam a e b as raízes da equação 2x2 2 3x 22 2 5 0. A equação do 2º grau cujas raízes são a 1 1 e b 1 1 é:

a) 2x2 2 7x 1 3 5 0

b) 2x2 1 7x 1 3 5 0

c) 2x2 2 5x 1 3 5 0

d) x2 1 5x 5 0

e) x2 2 5x 5 0

6 Resolva, considerando apenas os números reais, a equa-ção 4x4 2 3x2 2 1 5 0.

10



1. Produto CartesianoSejam A e B dois conjuntos. Chama-se produto

cartesiano de A por B ou A 3 B (A cartesiano B) o conjunto de todos os pares ordenados (x; y) em que x [ A ey [ B.

Exemplo

A 5 {2; 3; 4}

B 5 {4; 5}

A 3 B 5 {(2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5);(4; 4); (4; 5)}

B 3 A 5 {(4; 2); (5; 2); (4; 3); (5; 3);(4; 4); (5; 4)}

A 3 A 5 {(2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 2); (4; 3); (4; 4)}

B 3 B 5 {(4; 4); (4; 5); (5; 4); (5; 5)}

número de elementos de A 3 BSe A possui m elementos e B possui n elementos,

então A 3 B possui m n elementos.

Representação de A 3 BSejam A 5 {2; 3; 4} e B 5 {4; 5}.

Forma tabular

A 3 B 5 {(2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5); (4; 4); (4; 5)}

Diagrama de flechas

2

3

4

4

5

A B

Gráfico cartesiano

54

2 3 4 x (A)

y (B)

Relação

Dados dois conjuntos, A e B, chamamos rela-ção de A em B qualquer subconjunto de A 3 B.

Exemplo

Sejam A 5 {1; 2; 3} e B 5 {5; 6}.

Eis algumas das relações de A em B:

R1 5 {(1; 5); (2; 6)}

R2 5 {(1; 5); (2; 5); (3; 5)}

R3 5

R4 5 A 3 B

2. Função

Dados dois conjuntos, A e B, chama-se função

ou aplicação de A em B, ou f : A → B, toda relação de A 3 B que satisfaz a seguinte propriedade:

Para todo x pertencente a A, existe um único y pertencente a B e y 5 f(x) (lê-se: “y é função de x”).

11

Funções /

Função do 1º grau



Assim, consideremos os conjuntos A 5 {1; 2; 3},B 5 {3; 4} e as relações a seguir:

R1 5 {(1; 3); (2; 3); (3; 4)} ou

1

2

3

3

4

A BR1

R2 5 {(1; 3); (2; 3); (3; 3)} ou

1

2

3

3

4

A BR2

R3 5 {(1; 3); (2; 4)} ou

1

2

3

3

4

A BR3

R4 5 {(1; 3); (1; 4); (2; 3); (3; 4)} ou

1

2

3

3

4

A BR4

Observamos que R1 e R

2 são funções, pois todo ele-

mento do conjunto A possui um único correspondente no conjunto B.

A relação R3 não é função, pois existe elemento no

conjunto A que não possui correspondente no conjunto B.

A relação R4 não é função, pois existe elemento no

conjunto A que possui mais de um correspondente no conjunto B.

Domínio, contradomínio e conjunto ima-gem de uma função

Dados dois conjuntos — A e B — e uma função de A em B, ou f: A → B, dizemos que A é o conjunto de par-tida da função e B é o conjunto de chegada da função.

Ou ainda:

A é o domínio da função.B é o contradomínio da função.Os elementos de B que receberam correspondên-

cia de A formam o conjunto imagem da função.

Assim, na função a seguir, tem-se:

1

2

3

4

5

6

A Bf

f : A → B

Domínio da função ou Df(x)

5 {1; 2; 3}

Contradomínio da função ou CDf(x)

5 {4; 5; 6}

Imagem da função ou Imf(x)

5 {4; 5}

Valor numérico de uma funçãoSeja f(x) uma função: f(a) é o valor numérico dessa

função quando x vale a. Podemos dizer que f(a) é a imagem do elemento a.

Exemplo

A 5 {1; 2; 3} e B 5 {2; 3; 4}

f: A → B e f(x) 5 x 1 1

Então:

f(1) 5 1 1 1 5 2

f(2) 5 2 1 1 5 3

f(3) 5 3 1 1 5 4

Os conjuntos A e B podem ser qualquer conjunto

já visto. Assim, f: R → R significa que o domínio da função são todos os reais e o contradomínio dessa função também são todos os reais.

Reconhecimento de uma função por meio de um gráfico

Dado um gráfico qualquer, para descobrirmos se ele representa o gráfico de uma função de A em B, tra-çamos retas verticais ao longo de seu domínio. Se cada uma dessas retas interceptar esse gráfico em um único ponto, concluímos tratar-se do gráfico de uma função.

Exemplo

a) f : [22; 2] → R, em que [22; 2] representa o conjunto {x [ R / 22 < x < 2}, e seu gráfico é:

y

x�2 0 2

3

que é o gráfico de uma função.

12



Df(x)

5 [22; 2] (variação do gráfico ao longo do

eixo Ox)

Imf(x)

5 [0; 3] (variação do gráfico ao longo do eixo Oy)

b) f: [22; 2] → R, e seu gráfico é:

y

x�2 0 2

3

que não é o gráfico de uma função.

3. Função constanteChama-se função constante toda função da for-

ma y 5 b, em que b é um número real.

Representação gráficaO gráfico de uma função constante é uma reta pa-

ralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0; b).

y

x

b

0

4. Função do 1º grau

Chama-se função do 1º grau toda sentença da forma y = ax + b, em que {a; b} R e a 0.

Representação gráficaO gráfico de uma função do 1º grau é uma reta

oblíqua, ou seja, uma reta não paralela a nenhum dos eixos, Ox ou Oy.

Exemplos

a) y 5 2x 1 6

A abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo Ox é a raiz ou o zero da função.

A ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo Oy é o coeficiente linear da reta.

y

x0�3

6x y

0 6

�3 0

Todo x1 . x

2 implica f(x1) . f(x

2). Isso acontece

se, e somente se, a . 0, e a função é classificada como crescente.

b) y 5 2x 1 2

y

x0 2

2

x y

0 2

2 0

Todo x1 . x

2 implica f(x

1) , f(x

2). Isso acontece

se, e somente se, a , 0, e a função é classificada como decrescente.

c) y = x

Neste caso, ao atribuirmos o valor zero para x, encontramos o valor zero para y, então atribui-se um outro valor qualquer para x e encontra-se o y corres pondente.

y

x0 2

2

x y

0 0

2 2

Atividades 1 (UFMS, adaptada) Considere a função y 5 f(x), dada pelo

gráfico a seguir:

�1

�2�3�4

�5�6

�1

�2

1

2

3

4

1

2 3 4 5 6

y

x

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É correto afirmar que:

(01) se x , 5, então f(x) < 3.

(02) se 24 , x , 22, então f(x) . 0.

(04) se 21 , f(x) , 3, então 25 , x , 5.

(08) se f(x) , 0, então 22 , x , 1.

Dê a soma dos números dos itens corretos.

(01) V, pois f(x) . 3 se, e somente se, x . 5.

(02) V, pois, para qualquer valor de x entre 24 e 22, a sua

imagem f(x) está acima do eixo das abscissas.

(04) V, pois, para valores de x entre 25 e 5, verificamos que a

imagem f(x) é de 21 até 3.

(08) F, pois, se x , 24, teremos também f(x) , 0.

Soma 5 7 (01 1 02 1 04)

2 Sejam as funções reais f e g dadas por f(x) 5 x 2 2 e

g(x) 5 6 2 x3

x 2 3 . Sendo o conjunto A o domínio da função f

e o conjunto B o domínio da função g, a soma dos valores inteiros do conjunto A > B é igual a:

a) 12 d) 20

b) 9 e) 17

c) 16

x 2 2 > 0 ⇒ x > 2 [ A = {x [ R / x > 2} 6 2 x > 0 ⇒ x < 6x 2 3 0 ⇒ x 3

6 [ B 5 {x [ R / x < 6 e x 3}

A > B 5 {x [ R / 2 < x < 6 e x 3}

Os números inteiros pertencentes ao conjunto A > B

são 2, 4, 5 e 6, e a soma deles é 17.

Alternativa e

5 (Fipel-MG) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela

que mais bem representa a reta cuja equação é y 2 x 2

2 5 0:

a) y

x0�1 1 2�2

�2

�1

1

2

b) y

x0�1 1 2�2

�2

�1

1

2

c) y

x0�1 1 2�2

�2

�1

1

2

d) y

x0�1 1 2�2

�2

�1

1

2

y 2 x 2 2 5 0

y 5 x 1 2

y

x

�2

2

Alternativa c

14



4 (UEMT) Para que os pontos (1; 3) e (3; 21) pertençam ao gráfico da função dada por f(x) 5 ax 1 b, o valor de b 2 a deve ser:

a) 7 c) 3 e) 27

b) 5 d) 23

5f(1) 5 a 1 1 b 5 3 (I)f(3) 5 a 3 1 b 5 21 (II)

De (II) (I): 2a 5 24 ⇒ a 5 22Em (I): -2 1 b 5 3 ⇒ b 5 5

6 ⇒ b 2 a 5 5 2 (22) [ b 2 a 5 7

Alternativa a


1 (Fapa-RS) Na função real f(x) 5 3x 2 1

2, o elemento 7

é a imagem do elemento:

a) 10 c) 7 e) 5

b) 8 d) 6

2 (Unifor-CE) Seja f a função real definida por f(x) 5 1 2 x2

,

para todo x do intervalo [23; 1].

Seu conjunto imagem é:

a) R c) 32 12

; 12 4 e) 32

12

; 52 4

b) 32 x2

; 14 d) 3 12

; 52 4

3 Uma função real f do 1º grau é tal que f(0) 5 1 1 f(1) ef(21) 5 2 2 f(0).

Então, f(3) é igual a:

a) 23 c) 21 e) 72

b) 252

d) 0

4 (Fefisa-SP, adaptada) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por uma empresa de cosméticos na produção de perfume varia com a quantidade de perfume produzi-da (x). Assim, é correto afirmar que:

20

105

190y

5 100 x (litros)

a) quando a empresa não produz, não gasta.

b) para produzir três litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00.

c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00.

d) se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá cinco litros de perfume.

e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

5 (U. F. Ouro Preto-MG) O custo total y para se produzir um determinado produto é calculado por meio da soma de um custo variável, que depende da quantidade produzi-da x, cujo custo unitário de produção é de R$ 10,00 mais um custo fixo de R$ 1 000,00.

Pede-se:

a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida;

b) o custo total na produção de 20 unidades;

c) o número de unidades que deverão ser produzidas para que o custo total seja de R$ 4 000,00;

d) o gráfico da função do quantidade produzida 3 custo total, destacando-se os dados obtidos nos itens ante-riores.

6 (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatu-ra de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50.

a) Calcule o valor da conta em cada plano para um con-sumo mensal de 30 minutos em ligações locais.

b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.

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1. DefiniçãoChama-se função do 2º grau toda sentença da

forma y 5 ax2 1 bx 1 c

em que {a; b; c} R e a 0.

Representação gráficaO gráfico de uma função do 2º grau é uma parábo-

la, que pode assumir seis posições em relação ao eixo Ox, a saber:

∆ > 0

a > 0x1

xx x

xx

x

x2

a < 0

∆ � 0 ∆ < 0

x1 � x2

x1 x2

x1 � x2

em que x1 e x

2 são as raízes de ax2 1 bx 1 c 5 0.

Pontos notáveis de uma parábola Vamos considerar uma parábola com ∆ . 0

e concavidade para cima (a . 0).

x1 x2

V

x

y

b2a

�

∆4a

(0; c)

0

Eixo desimetria

Vértice

Ordenadado vértice

(valor mínimo)

Abscissado vértice

Raiz

Raiz

�

D(f)

5 R

Im(f)

5 5y [ R / y 5 2∆4a 6 ou 32

∆4a

; 183Variação dos sinais

Seja a função, de R em R, definida por:

f(x) 5 ax2 1 bx 1 c

com a 0 e ∆ 5 b2 2 4ac (discriminante).

O sinal dessa função pode variar de acordo com os seguintes parâmetros:

1. Se a . 0, então a concavidade é voltada para

cima.

2. Se a , 0, então a concavidade é voltada para

baixo.

3. Se ∆ . 0, então a função possui duas raízes

reais e diferentes.

4. Se ∆ 5 0, então a função possui duas raízes

reais e iguais.

5. Se ∆ , 0, então a função não possui raízes

reais.

Atividades 1 Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da função real,

do 2º grau, dada por

f(x) 5 x2 2 2x 2 3.

• a 5 1 ⇒ concavidade voltada para cima.

• ∆ 5 (22)2 2 4 1 (23) 5 16 ⇒ duas raízes reais e distintas.

Raízes: x 5 2 42

⇒ x1 5 21 e x2 5 3

Vértice: xV 5 2(22)2 1

⇒ xV 5 1 e yV 5 2164 1

⇒ yV 5 24

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Função do 2º grau



Intersecção com o eixo y: (0; 23).

y

x

�4

1

�3

�1 3

Im 5 {y [ R / y > 24}

2 (Unicamp-SP, adaptada) Determine a função do 2º grau cujo gráfico passa pelos pontos A(0; 2), B(21; 1) e C(1; 1).

y 5 ax2 1 bx 1 c

I. (0; 2)

2 5 a 0² 1 b 0 1 c ⇒ c 5 2

II. B (21; 1)

1 5 a 2 b 1 2 ⇒ a 2 b 5 21

III. C (1; 1)

1 5 a 1 b 1 2 ⇒ a 1 b 5 21

De II e III temos:

5a 2 b 5 21a 1 b 5 21

2a 5 22 ⇒ a 5 21 e b 5 0

[ y 5 2x2 1 2

3 (U. Gama Filho-RJ) O custo de produção, por hora, de uma fábrica de sapatos, é representado pela função quadrá-tica f(x) 5 x2 2 6x 1 8. A variável x representa a quan-tidade de sapatos, em centenas de unidades, produzida em uma hora.

O número de sapatos que deverá ser produzido, por hora,

para que o custo seja o menor possível é:

a) 100 d) 400

b) 200 e) 500

c) 300

f(x) 5 x2 2 6x 1 8

xV 5 62

5 3 em centenas de unidades

Deverão ser produzidos 300 sapatos.

Alternativa c

4 (Fuvest-SP) Para quais valores de m a equação:

x2 1 mx 1 m2 5 0 possui duas raízes reais e distintas?

a) Somente para m 5 0.

b) Para todo m . 0.

c) Para todo m , 0.

d) Para todo real.

e) Para nenhum m.

Condição: ∆ . 0

∆ 5 m2 2 4 1 m2 ⇒ ∆ 5 23m2 ⇒ 23m2 . 0

(Não existe m real nessas condições.)

Alternativa e

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1 (Vunesp) Uma função quadrática tem o eixo y como eixo de simetria. A distância entre seus zeros é de 4 unidades e a função tem (25) como valor mínimo. Essa função quadrática é:

a) y 5 5 x2 2 4 x 2 5

b) y 5 5 x2 2 20

c) y 5 54

x2 2 5 x

d) y 5 54

x2 2 5

e) y 5 54

x2 2 20

2 (Acafe-SC) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos, por minuto, varia em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função N(t) 5 0,1 t2 22 4 t 1 90. O número mínimo de batimentos por minu-to e a temperatura em que ocorre, respectivamente, são:

a) 60 e 30° d) 50 e 20°

b) 50 e 40° e) 60 e 40°

c) 80 e 20°

3 A função quadrática f, definida por:

f(x) 5 (m 2 1) x2 1 2m x 1 3m

assume somente valores estritamente positivos, para todo x [ R se, e somente se:

a) m , 0 ou m . 32

d) m , 1

b) 0 , m , 32

e) m , 0

c) m . 32

4 (ESPM-SP) Na figura, fazendo-se o valor de x variar de 0

a 4, a área da região sombreada também varia. O valor

máximo que essa área poderá ter é:

2x

4

8

x

a) 30 d) 18

b) 24 e) 16

c) 20

5 (F. Carlos Chagas-SP) Quantos números inteiros satisfazem

este sistema de inequações?

5 2x 1 1 3x 2 2x2 5 6x 1 8 < 0

6 (U. F. Ouro Preto-MG) Dado um quadrado ABCD, cujo lado

mede 20 cm, marcam-se os pontos M em AD e P em AB,

tais que PB = 2AM.

D

M

A P

C

B

Calcule a distância AM para que a área do triângulo AMP seja

máxima.

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matemÁtica ciÊncias e aplicaÇÕes - caderno de revisÃo

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