matematica cig id

1

FLORENTIN ERBAN SILVIA DEDU

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Suport de curs pentru ID

2

Cuprinsul cursului

Unitatea de nvatare 1 1. Serii numerice .........................................................................................................................

1.1 Obiectivele unitatii de nvatare 1 ....................................................................................... 1.2 Definiii si proprietati generale ale seriilor numerice ........................................................ 1.3 Serii clasice,serii cu termeni oarecare,serii alternate 1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta................................................................

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................. Bibliografia unitatii de nvatare 1 ...........................................................................................

Unitatea de nvatare 2 2. Serii de puteri

2.1 Obiectivele unitatii de nvatare 2 ....................................................................................... 2.2 Definiia si studiul noiunii de serie de puteri.................................................................... 2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaiilor ...........................

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................. Bibliografia unitatii de nvatare 2 ........................................................................................... Lucrarea de verificare nr. 1 .....................................................................................................

Unitatea de nvatare 3 3. Funcii de mai multe variabile reale

3.1 Obiectivele unitatii de nvatare 3........................................................................................ 3.2 Definiia limitei si continuitatii pentru o funcie de mai multe variabile real 3.3 Definiia derivatelor pariale de ordinul I si II pentru o funcie de mai multe variabile reale 3.4 Definiia difereniabilitatii pentru o funcie de mai multe variabile reale.......................... 3.5 Extremele locale ale funciilor de mai multe variabile reale 3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de nvatare 3............................................................................................. Lucrarea de verificare nr.2 .......................................................................................................

3

Unitatea de nvatare 4 4.Calcul integral 4.1 Obiectivele unitatii de nvatare 4.2 Clasificarea integralelor euleriene......................................................................................

4.3 Definiii si proprietati ale integralelor euleriene .................................................................. 4.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor....................................................

Teste de autoevaluare................................................................................................................ Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibliografia unitatii de nvatare 4 ............................................................................................. Lucrarea de verificare nr. 3.......................................................................................................

Unitatea de nvatare 5 5. Formule probabilistice n care apar operatii cu evenimente 5.1 Obiectivele unitatii de nvatare 5 ......................................................................................... 5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati .................................................................... 5.3 Scheme probabilistice clasice .............................................................................................. 5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor....................................................

Teste de autoevaluare................................................................................................................ Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibliografia unitatii de nvatare 5............................................................................................. Lucrarea de verificare nr. 4 .......................................................................................................

Unitatea de nvatare 6 6. Variabile aleatoare

6.1 Obiectivele unitatii de nvatare 6........................................................................................ 6.2 Variabile aleatoare unidimensionale.................................................................................. 6.3 Variabile aleatoare bidimensionale 6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice 6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor .................................................. Teste de autoevaluare................................................................................................................ Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibliografia unitatii de nvatare 6............................................................................................. Lucrarea de verificare nr.5........................................................................................................

4

Unitatea de nvatare 7 7. Statistica matematica

7.1 Obiectivele unitatii de nvatare 7......................................................................................... 7.2 Elemente de teoria seleciei ................................................................................................ 7.3 Elemente de teoria estimaiei............................................................................................. 7.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor ..................................................

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibilografia unitatii de nvatare 7.............................................................................................

Lucrarea de verificare nr. 6

5

Prefata

Lucrarea Matematici aplicate in economie" dezvolt numeroase probleme teoretice i practice, care fac obiectul cursurilor de matematic sau de statistic economic ale studenilor din nvatamantul economic, i n particular ale studenilor nscrii la programul de studiu ID, organizat de facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori i face parte din planul de nvatamdnt aferent anului I, semestrul 1.

Fiind subordonate programei analitice a disciplinei Matematici aplicate n economie de la Academia de Studii Economice Bucureti, facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori, anul I, ID, noiunile i conceptele prezentate n lucrare apar, n mod firesc, ntr-o succesiune logic i sunt supuse unor restricii temporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltri teoretice limitate.

Obiectivele principale ale acestui curs, concretizate n competenele pe care studentul le va dobandi dup parcurgerea i asimilarea lui, sunt urmtoarele:

-va avea cunotine solide de strict specialitate, dar i de tehnici specifice matematicii aplicate;

-va fi n msurd sa construiasc, sa prelucreze i sa valorifice o teorie economical relevant, credibil i inteligibil, numai n condiiile n care stpdnete deopotrivd cunotine n domeniul respectiv, dar i temeinice cunotine de matematici aplicate n economies

-va dispune de numeroase soluii pentru eficientizarea marketingului la nivel micro i macroeconomic n vederea practicdrii n condiii de performantd a muncii de economist;

-va putea aborda, nelege i dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de specialitate, precum i alte concepte legate de modelarea matematic a unor procese sau fenomene economice dintre cele mai diverse.

Cursul Matematici aplicate in economie este structurat pe sapte unitati de nvatare (capitole), fiecare dintre acestea cuprinzand cate o lucrare de verificare, pe care studentul o va putea transmite tutorelui su.

Pentru ca procesul de instruire al studentului sa se desfasoare ntr-un mod riguros, dar i atractiv, studentul va putea utiliza un set de resurse suplimentare prezentate sub forma bibliografiei de la sfaritul fiecarei unitati de nvatare n format electronic, ce sa va regsi accesand platforma de e-learning.

Evaluarea cunotinelor se va realiza sub dou forme: -evaluare continu, pe baza lucrrilor de verificare, regsite la sfdritul

fiecdrei unitdti de nvdtare; -evaluare final, realizat prin examenul susinut n perioada de sesiune.

6

Criteriile de evaluare constau n: 1. Punctajul obinut la cele ase lucrri de verificare menionate;

2. Gradul de implicare n discuiile tematice, organizate prin opiunea Forum a platformei electronice. 3. Punctajul obinut la examenul susinut n cadrul sesiunii. Ponderile asociate fiecarui criteriu precizat sunt urmtoarele:

-criteriile 1 si 2 - cite 0,50 puncte pentru fiecare dintre cele sase lucrari de verificare (total = 3 puncte);( in evaluarea punctajului va conta si gradul de imiplicare al studentului in discutiile tematice organizate pe forumul platformei electronice )

-criteriul 3 - 7 puncte pentru examenul susinut n sesiune. Nutrim sperana ca studentul din anul I, de la programul de studiu ID,

facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori , sa gseasc n aceast lucrare un sprijin real i important pentru studiu i cercetare, pentru viitoarea lor profesie, ce le va solicita i cunotine de matematici aplicate n economic

Autorii

7

UNIT ATEA DE INVATARE 1:

Serii numerice

Cuprins

1.1 Obiectivele unitatii de nvatare 1 ........................................................................................ 1.2 Definiii si proprietati generale ale seriilor numerice......................................................... 1.3 Serii cu termeni oarecare,serii alternate, serii clasice 1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta ................................................................

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................

Bibliografia unitatii de nvatare 1

1.1 Obiective

Unitate de nvatare 1 conine, o prezentare intr-o form accesibil, dar riguroas a noiunii de serie numeric, din cadrul analizei matematice, care fundamenteaz teoretic noiunea de serie de puteri, un alt element de baz al analizei matematice, ce va fi expus n unitatea de invatare 2.

Dup studiul acestei unitati de nvatare, studentul va avea cunosjine despre: -conceptul de serie numeric, necesar si extrem de util, pentru a putea modela matematic

anumite procese sau fenomene economice, dintre cele mai diverse; -tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de Serii numerice si al

lucrrilor de verificare ale studenilor din invatamntul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice, Bucuresji.

8

1.2 Definiii si proprietati generale ale seriilor numerice

Fie =1n n

a o serie numeric de termen general na .

Definim irul sumelor pariale 1)( nnS , ==n

kkn aS

1.

Definiia 1. Seria =1n n

a este convergent dac irul 1)( nnS este convergent.

n acest caz, numrul nn

SS = lim se numete suma seriei.

Dac = nn Slim sau 1)( nnS nu are limit, seria =1n n

a este divergent.

Propoziia 1.

)a Dac seria =1n n

a este convergent i are suma S , atunci seria =

1n

na este convergent i are suma S .

)b Dac seriile =1n n

a i =1n n

b sunt convergente i au sumele 1S i 2S , atunci seria =

+1

)(n

nn ba este

convergent i are suma 21 SS + . Definiia 2. Seria

=1n na este absolut convergent dac seria

=1n na este convergent.

Propoziia 2. Dac o serie este absolut convergent, atunci seria este convergent.

1.3 Serii cu termeni oarecare,serii alternate, serii clasice

Criteriul suficient de divergen.

Dac 0lim nn a , atunci seria =1n n

a este divergent.

Criteriul lui Leibniz.

Fie seria alternat .0 ,)1(1

>= nn n

n aa Dac :

)a irul 1)( nna este descresctor i

)b 0lim = nn a , atunci seria =

1)1(

nn

n a este convergent.

Serii clasice 1) Seria geometric

=0nnq este convergent ( )1,1 q i are suma

qS = 1

1 .

2) Seria armonic generalizat =1

1

n n este convergent 1> .

9

1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta

Criteriul 1 de comparaie. Fie =1n n

a i =1n n

b serii cu termini pozitivi pentru care exist

Nn 0 astfel nct ( ) 0, nnba nn . )a Dac

=1n nb este convergent, atunci

=1n na este convergent.

)b Dac =1n n

a este divergent, atunci =1n n

b este divergent.


a i =1n n

b serii cu termeni

pozitivi pentru care exist Nn 0 astfel nct ( ) 011 , nnbb

aa

n

n

n

n ++ .

)a Dac =1n n

b este convergent, atunci =1n n

a este convergent.

)b Dac =1n n


b este divergent.


a i =1n n

b serii cu termeni pozitivi.

)a Dac ),0(lim nn

n ba , atunci seriile au aceeai natur.

)b Dac 0lim = nn

n ba i: )1b

=1n nb este convergent, atunci

=1n na este convergent;

)2b =1n n


b este divergent.

)c Dac = nn

n ba

lim i:

)1c =1n n

a este convergent, atunci =1n n

b este convergent;

)2c =1n n

b este divergent, atunci =1n n

a este divergent.

Corolarul criteriului raportului (d'Alembert).

Fie =1n n

a o serie cu termeni pozitivi i n

nn a

al 1lim += .

)a Dac 1l , atunci =1n n

a este divergent.

10

Corolarul criteriului rdcinii (Cauchy).

Fie =1n n

a o serie cu termeni pozitivi i n nn

al = lim .


a este divergent.

Corolarul criteriului Raabe-Duhamel.

Fie =1n n

a o serie cu termeni pozitivi i

=

+1lim

1n

nn a

anl .


a este convergent.

Corolarul criteriului logaritmic.

Fie =1n n

a o serie cu termeni pozitivi i n

al n

n ln

1lnlim=

.


a este convergent

11

Teste de autoevaluare

I.Sa se afle natura si daca este cazul sa se calculeze suma seriilor

1. .0,1

1

1>++++

=

n nn 2.

= +

1 2313ln

n nn 3.

= ++ ++

111 83

83

nnn

nn

II.Sa se afle natura seriilor

4. =

1 )14(...1073

)23(...741

n nn . 5.

2

1 2313 n

n nn

=

+

Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare 1. .0,

11

1>++++

=

n nn

Rezolvare: Considerm irul sumelor pariale:

=+++=++++== ===

n

k

n

k

n

kkn

kkkk

aS111 1

11

1

++++++++++= 1...3221 nn=++== nnn SnS lim11 , deci irul 1)( nnS este divergent.

Conform definiiei, rezult c seria este divergent.

2. = +

1 23

13lnn n

n .

Rezolvare:

[ ]==

=+=+= n

k

n

kn kkk

kS11

)23ln()13ln(2313ln

+=++++= )23ln(2ln)23ln()13ln(...8ln5ln5ln2ln nnn = nn Slim , prin urmare seria este divergent.

3. = ++ +

+1

11 8383

nnn

nn.

Rezolvare:

081

1838

1838

limlim1

1=

+

+

= ++ nn

nn

nn

na

; conform criteriului suficient de divergen, rezult c seria este

divergent.

12

4. =

1 )14(...1073

)23(...741

n nn .

Rezolvare: Vom folosi corolarul criteriului raportului. Fie

)14....(1073)23.....(741

=

nnan . Avem:

143

)34()13(lim

)14(...1073)23(...741

)34)(14(...1073)13)(23(...741

limlim 1

13

UNITATEA DE NVATARE 2

Serii de puteri

Cuprins 2.1 Obiectivele unitatii de nvatare 2 ........................................................................................... 2.2 Definiia noiunii de serie de puteri ........................................................................................ 2.3 Studiul naturii unei serii de puteri 2.4 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaiilor ................................

Teste de autoevaluare ................................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................... Bibliografia unitatii de nvatare 2 ............................................................................................... Lucrarea de verificare nr. 1

2.1 Obiectivele unitatii de nvatare 2

Fiind, n strns concordanta cu programa analitic a disciplinei Matematici aplicate n economie, de la Academia de Studii Economice Bucuresti, pentru studenii de la anul I, ID, Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori noiunile si conceptele prezentate n cadrul acestei unitati de nvatare apar, n mod firesc, intr-o succesiune logic si sunt supuse unor restricii temporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltri teoretice limitate.

Dup studiul acestei unitati de nvatare, studentul va avea cunotine despre: -conceptul de serie de puteri, un alt element de baz al analizei matematice, legat de studiul

seriilor numerice, necesar si extrem de util, pentru a putea aborda, inelege si dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultatii de Finante, Banci si Burse de Valori creia ne adresm;

-tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de Serii de puteri i al lucrrilor de verificare ale studenilor din invatamntul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice, Bucuresti

14

2.2 Definiia si studiul noiunii de serie de puteri

Fie seria de puteri n

nn xa

=1

, Se numete mulime de convergen a seriei de puteri mulimea format

din punctele n care seria este convergent: =C { nn

n xaRx =

1

convergent}.

Teorema 1 (Teorema lui Abel). Pentru orice serie de puteri nn

n xa=1

exist R , R0 , astfel nct: )1 seria este absolut convergent pe intervalul ( )RR, ; )2 seria este divergent pe mulimea ( ) ( ) ,, RR ; )3 pentru orice ( )Rr ,0 , seria este uniform convergent pe intervalul [ ]rr, . Observaie. R se numete raz de convergen.

Teorema 2 (Cauchy-Hadamard). Fie nn

n xa=1

o serie de puteri i R raza de convergen a

acesteia. Dac notm n nn

a= lim , atunci

==

=

,00,

0,1

R .

Observaie. Se poate calcula i dup formula: n

nn a

a 1lim += .

2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaiilor 1. S se studieze convergena seriei de puteri: ( ) Rxx

nnn

nn

=

,511

1.

Rezolvare: Calculm raza de convergen. Fie ( ) nnn na 5

11 =. Avem c:

( )( ) 5

1)1(5

lim

511

5)1(11

limlim1

1

1 =+=+==

++

+

nn

n

na

an

nn

nn

nn

nn

, deci 51 == R .

Conform teoremei lui Abel, rezult c: 1) seria este absolut convergent pe intervalul ( )5,5 ;

2) seria este divergent pe mulimea ( ) ( ) ,55, ; 3) pentru orice ( )5,0r , seria este uniform convergent pe [ ]rr, .

15

Studiem natura seriei pentru 5=R : Pentru 5=R , seria de puteri devine: ( ) n

nn

n

n5

511

1

=

, adic ( )nn

n 111

= ;

irul n

un1= este descresctor i are limita zero; rezult, conform criteriului

lui Leibniz, c seria ( )nn

n 111

= este convergent.

Pentru 5=R , seria de puteri devine: ( ) nnnn

n)5(

511

1

=

, adic

=1

1

n n, care este divergent (seria armonic).

n concluzie, seria de puteri este convergent pe mulimea ( ]5,5 . 2. S se determine mulimea de convergen a seriei de puteri:

( ) Rxxnn

n

nn

+

=,3

5612

1.

Rezolvare: Notm 3= xy . Determinm mai nti mulimea de convergen a seriei

=

+

1 5612

n

nn

ynn .

Calculm raza de convergen. Fie n

n nna

+=

5612 . Avem:

31

5612limlim =

+== n

n

nn n

n nna , deci 31 == R .

Conform teoremei lui Abel, avem: )1 seria este absolut convergent pe intervalul ( )3,3 ; )2 seria este divergent pe mulimea ( ) ( ) ,33, ; )3 pentru orice ( )3,0r , seria este uniform convergent pe [ ]rr, .

Studiem natura seriei pentru 3=y : Pentru 3=y , seria de puteri devine:

=

+

13

5612

n

nn

nn , sau

=

+

1 5636

n

n

nn .

Fie n

n nnu

+=

5636 ; avem: 0

5681limlim 3

456

8lim ==

+=

eenun

n

n

n

nn

n, deci, conform criteriului

suficient de divergen, seria este divergent.

Pentru 3=y , seria devine: =

+

1)3(

5612

n

nn

nn , sau ( )

=

+

1 56361

n

nn

nn .

Fie ( ) nnn nnv

+=

56361 ; deoarece nu exist n

nvlim

, rezult c irul ( ) 1nnv este divergent, deci seria este divergent. n concluzie, seria de puteri este convergent pentru ( ) 3,3y

6033333

16

Teste de autoevaluare

1.S se determine mulimea de convergen a seriei de puteri ( )

=++

12)4(3

n

nnn

xn

Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

1. Rezolvare: Notm 2+= xy . Vom determina mai nti mulimea de convergen a seriei.

=+

1

)4(3

n

nnn

yn

Calculm raza de convergen. Fie 1,)4(3 += nn

ann

n .

=+++=+

++

==++

++

+

nnnn

nnn

nn

nn

nn n

n

n

n

aa

)4(3)4(3

)1(lim

)4(3

1)4(3

limlim11

11

1

( )( ) 4

141)4(

1)4(

)1(lim

43

1431

==

+

++=

++

Rnn

nn

nn

n

Conform teoremei lui Abel, rezult c: 1) seria este absolut convergent pentru

41,

41y ;

2) seria este divergent pentru

,41

41,y ;

3) pentru orice

41,0r , seria este uniform convergent pe intervalul [ ]rr, .

Studiem natura seriei pentru 41=y :

Pentru 41=y , seria de puteri devine:

=

+1 4

1)4(3

n

nnn

n, adic

( )=

+

1

11431

n

nn

nn. Avem c seria

=

1 4

31

n

n

neste convergent

(folosind criteriul raportului) i seria ( )=

1

11n

nn

este convergent (folosind criteriul lui Leibniz), prin

urmare seria este convergent. Pentru

41=y , seria de puteri devine:

=

+1 4

1)4(3

n

nnn

n, adic ( )

=

+

1

14311

n

nn

nn. Notm

( ) *,4311 Nn

nb

nn

n

= *,1 Nnn

cn = i ( ) *,14311 Nn

nnd

nn

n +

= . Avem c seria =1n n

b este

convergent (folosind criteriul lui Leibniz). Dac presupunem c seria =1n n

d este convergent,

deoarece ( ) *, Nnbdc nnn = , rezult c i seria =1n n

c este convergent,

17

contradicie. Prin urmare seria =1n n

d este divergent.

n concluzie, seria =

+1

)4(3

n

nnn

yn

este convergent pentru

47

49

412

41

41

41

41,

41

18


Funcii de mai multe variabile reale

Cuprins

3.1 Obiectivele unitatii de nvatare 3 3.2 Definiia limitei si continuitatii pentru o funcie de mai multe variabile real 3.3 Definiia derivatelor pariale de ordinul I si II pentru o funcie de doua variabile 3.4 Definiia difereniabilitatii pentru o funcie de mai multe variabile reale

3.5 Extremele locale ale funciilor de mai multe variabile reale 3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor

Teste de autoevaluare Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare Bibliografia unitatii de nvatare 3

Lucrarea de verificare nr.2

3.1 Obiective

Economitii, indiferent de domeniul n care lucreaz, au nevoie de cunostine solide de strict specialitate, dar si de tehnici specifice matematicii aplicate, cum ar fi noiunile pe care ni le propunem s le prezentm n cadrul unitatii de nvatare 3. Informaia economic trebuie s fie relevant, credibil, inteligibil - calitati, care sunt asigurate numai atunci cnd economistul care o construieste, o prelucreaz si o valorific, stpneste deopotriv cunostine n domeniul respectiv, dar si temeinice cunotine de matematici aplicate n economie.

Dup studiul acestei unitati de nvatare, studentul va avea cunostine despre funciile de 2 si respectiv 3 variabile reale, si conceptele asociate lor, precum: limitele lor, continuitatea acestora, derivabilitatea parial a respectivelor funcii si difereniabilitatea lor; ele reprezint un alt element important al analizei matematice, necesar si extrem de util, pentru a putea aborda, inelege si dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultatii de Finante, Banci si Burse de Valori, creia ne adresm.

Prin introducerea unitatii de invatare 3, subordonat analizei matematice, nutrim sperana ca studentul de la anul I, ID, Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori, s obin acumulri de noi cunostinte utile disciplinelor specifice anilor de licenta, de la aceast facultate, n vederea formrii lui ca viitor economist, ce urmeaz s practice munca de economist n condiii de performanta

19

3.2 Definiia limitei si continuitatii pentru o funcie de doua variabile

Definiia 1. Fie RRAf m : o funcie real de m variabile reale. Spunem c

lxfxx

= )(lim0 dac pentru orice ir 0,)( xxAx nNnn i 0lim xxn

n= avem

lxf nn

= )(lim .

Definiia 2. Fie RRAf 2: i Aba ),( . Spunem c f este continu n punctul ),( ba dac pentru orice ir { } Ayx Nnnn ),( cu proprietatea c ),(),(lim bayx nn

n= rezult c ),(),(lim bafyxf nnn = .

3.3 Definiia derivatelor pariale de ordinul I i II pentru o funcie de doua variabile

Definiia 3. Fie RRAf 2: i Aba ),( . Spunem c funcia f este derivabil parial n raport cu x n punctul Aba ),( dac

axbafbxf

ax

),(),(lim exist i este finit.

Vom nota aceast limit cu ),(' baf x sau xbaf

),( .

Analog, funcia f este derivabil parial n raport cu y n punctul Aba ),( dac

bybafyaf

by

),(),(lim exist i este finit.

Vom nota aceast limit cu ),(' baf y sau y

baf

),( .

3.4 Definiia difereniabilitatii pentru o funcie de mai multe variabile . Definiia 4. Fie RRAf 2: o funcie difereniabil n punctul ),( ba interior lui A .

Se numete difereniala de ordinul nti a funciei f n punctul ),( ba funcia liniar: dybadxbabybafaxbabayxdf fff yxyx ),(),())(,())(,(),;,(

'''' +=+= .

Se numete difereniala de ordinul n a funciei f n punctul ),( ba funcia: ),(),;,(

)(bafdy

ydx

xbayxfd

nn

+

= .

Observaie. Toate definiiile valabile pentru funcii de dou variabile RRAf 2: se pot extinde pentru cazul funciilor de n variabile, RRAf n : , 3, nNn .

20

3.5 Extremele locale ale funciilor de mai multe variabile reale

Definiia 1. Funcia RRAf n : admite un maxim local (minim local) n punctul Aaaaa n = ),...,,( 21 dac exist o vecintate V a punctului a astfel nct oricare ar fi

AVxxxx n = ),...,,( 21 are loc inegalitatea )()( afxf (respectiv )()( afxf ). n aceste condiii, spunem c punctul a este punct de extrem local pentru funcia f . Dac inegalitile de mai sus sunt verificate pe tot domeniul de definiie A , spunem c punctul a este punct de maxim (minim) global pentru funcia f .

Definiia 2. Fie RRAf n : . Punctul Aaaaa n int),...,,( 21 = este punct staionar pentru funcia f dac f este difereniabil n a i difereniala 0);( =axdf . Observaie. Dac punctul Aaaaa n int),...,,( 21 = este punct staionar, 0);( =axdf implic nkaf

kx ,1,0)(' == .

Propoziie. Dac funcia RRAf n : admite un extrem local n punctul Aaaaa n = ),...,,( 21 i exist ' kxf ntr-o vecintate a punctului a , nk ,1= , atunci

nkafkx ,1,0)(

' ==

Teorema 1. Fie RRAf 2: i ( ) Aba int, un punct staionar pentru f . Presupunem c f admite derivate pariale de ordinul doi, continue pe o vecintate V a punctului ( )ba, . Considerm expresia ( ) ( )[ ] ( ) ( )bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2'' 22 = . Atunci:

1. Dac 0),( baf x ;

- punct de maxim local, dac 0),('' 2 ba , atunci ( )ba, este punct a.

Teorema 2. Fie RRAf n : . Presupunem c punctul Aa este punct staionar pentru f i funcia f are derivate pariale de ordinul doi continue pe o vecintate V a punctului a . Atunci: )1 dac ( ) 0;2 axfd , pentru orice AVx , atunci a este punct de minim local; )3 dac ( )axfd ;2 este nedefinit, atunci a este punct a.

21

Algoritm de determinare a punctelor de extrem local pentru RRAf n :

Acest algoritm se aplic pe mulimea punctelor n care funcia f este difereniabil i admite derivate pariale de ordinul doi continue ntr-o vecintate a punctelor respective. Etapa 1. Determinm punctele staionare, care sunt soluiile sistemului:

( )( )

( )

=

==

0,...,,

.....................................

0,...,,

0,...,,

21'

21'

21'

2

1

nx

nx

nx

xxxf

xxxf

xxxf

n

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staionare sunt puncte de extrem local. Acest lucru se poate realiza n mai multe moduri:

Metoda I. Pentru fiecare punct staionar ( )naaaP ,...,, 21 calculm matricea hessian:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

nxnxxnxx

nxxnxnxx

nxxnxxnx

n

aafaafaaf

aafaafaaf

aafaafaaf

aaaH

nnn

n

n

,..,.........,..,,..,

......................................

,..,.........,..,,..,

,..,........,..,,..,

),...,,(

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

1''

21

221

22212

12121

i minorii acesteia n ,......,, 21 , unde i este minorul format din primele i linii i i coloane ale matricei ),( baH , ni ,1= .

Discuie. Dac toi minorii 0>i , atunci ),...,,( 21 naaaP punct de minim local. Dac minorii i alterneaz ca semn, ncepnd cu minus, atunci ),...,,( 21 naaaP este punct de maxim local. Orice alt combinaie de semne, cu 0i , implic ),...,,( 21 naaaP punct a. Metoda II. (aplicabil numai funciilor de dou variabile)

Pentru fiecare punct staionar ( )baP , calculm expresia: ( ) ( )[ ] ( ) ( )bafbafbafba yxxy ,,,, ''''2'' 22 = .

1. Dac ( ) 0, baf x ; - punct de maxim local, dac ( ) 0,'' 2 ba , atunci ( )ba, este punct a.

22

Observaia 1. n cazul funciilor de dou variabile, se observ c ( ) 2, = ba . Prin urmare, dac aplicnd metoda 1 obinem c 02 ba , deci, indiferent de valoarea minorului 1 , rezult c ( )ba, este punct a. Metoda III. Se calculeaz difereniala de ordinul al doilea a funciei n punctul staionar ( )naaaa ,...,, 21= i se aplic teorema 2. Observaia 2. Existena unui punct de extrem local poate fi pus n eviden cu ajutorul metodelor prezentate numai dac funcia f este difereniabil n acel punct i admite derivate pariale de ordinul doi continue ntr-o vecintate a punctului respectiv. n caz contrar sau n cazul n care n urma aplicrii metodelor de mai sus nu se poate preciza natura punctului, se folosete: Metoda IV. Definiia punctului de extrem local.

3.7 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor

1. S se determine punctele de extrem local ale funciei:

162),(,: 322 ++= xyyxyxfRRf . Rezolvare:

Etapa 1. Determinm punctele staionare, care sunt soluiile sistemului:

==

0),(

0),('

'

yxf

yxf

y

x .

Avem c: xyyxf

yxyxf

y

x

63),(

64),(2'

'

==

, prin urmare rezult sistemul:

==

==

==

0302

032

063

064

22

3

22yy

x

xy

yx

xy

yx y .

Din a doua ecuaie obinem: 3,0 21 == yy , de unde, prin nlocuire n prima relaie, rezult 2

921 ,0 == xx , soluiile sistemului sunt:

==

00

1

1yx ;

==

3229

2

y

x .

Am obinut punctele staionare: ( ) ( )3,,0,0 2921 PP .

23

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staionare sunt puncte de extrem local. Scriem matricea hessian:

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

yxyx

yxyxyxH

ff

ff

yyx

xyx

,,

,,,

''''

''''

2

2

.

Avem: ( ) ( )[ ] [ ] 464,, ''''' 2 === xxxx yxyxfyxf ;

( ) ( )[ ] [ ] ( )yxfyxyxfyxf yxyyxxy ,664,, ''''''' ==== ;

( ) ( )[ ] [ ] yxyyxfyxf yyyy 663,, '2'''' 2 === , deci

=y

yxH6664

),( . Avem:

0360664

,040664

)0,0( 21 =

=H , prin urmare ( )0,01P este punct a.

( ) 03618664

,0418664

3, 2129 >=

=>=

=H ,

prin urmare ( )3,292P este punct de minim local.

2. S se determine punctele de extrem local ale funciei: 7514526),(,: 322 ++= yxyyxyxfRRf .

Rezolvare:

Etapa 1. Determinm punctele staionare, care sunt soluiile sistemului:

==

0),(

0),('

'

yxf

yxf

y

x .

Avem c:

5166),(

4512),(22'

'

+==

yxyxf

xyyxf

y

x , prin urmare obinem sistemul:

=+=

=+

=2

17224

15

22 05166

04512

yx

xy

yx

xy .

Notm

==

==

==+42

, 415

2172

415

S

P

PS

PPxySyx

24

Pentru 25

223

14152

415 ,04,4 ===+== ttttPS ,

deci

==

25

1

23

1

y

x sau

==

23

2

25

2

y

x.

Pentru 25

223

14152

415 ,04,4 ===++== ttttPS ,

deci

==

25

3

23

3

y

x sau

==

23

4

25

4

y

x.

Am obinut punctele staionare: ( ) ( ) ( ) ( )23254252332325225231 ,,,,,,, PPPP . Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staionare sunt puncte de extrem local.

Metoda I. Scriem matricea hessian:

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

yxyx

yxyxyxH

ff

ff

yyx

xyx

,,

,,,

''''

''''

2

2

.

Avem: ( ) ( )[ ] yyxfyxf xxx 12,, '''' 2 == ; ( ) ( )[ ] ( )yxfxyxfyxf yxyxxy ,12,, '''''' === ; ( ) ( )[ ] yyxfyxf yyy 12,, '''' 2 == , deci = yx xyyxH 1212 1212),( .

( ) 057630181830

,03030181830

, 2125

23 >==>=

=H , prin urmare ( )25231 ,P este

punct de minim local.

( ) 057618303018

,01818303018

, 2123

25 =

=H , prin urmare ( )23252 ,P este

punct a.

( ) 057630181830

,03030181830

, 2125

23 >=

=

25

Teste de autoevaluare S se determine punctele de extrem local ale funciei:

( ) 5ln14ln83),(,,0: 222 +++= yxxyyxyxfRf .


Etapa 1. Determinm punctele staionare. Avem c:

yy

xx

xyyxf

yxyxf

14'

8'

32),(

32),(

+=+= . Rezolvm sistemul:

( )( )

=+=+

=+=+

==

21432

1832

032

032

0),(

0),(2

2

14

8

'

'

xyy

xyxxy

yx

yxf

yxf

y

x

y

x .

Am obinut un sistem omogen. nmulim prima ecuaie cu 7, pe cea de-a doua cu ( )4 i adunm relaiile obinute; rezult:

08914 22 =+ yxyx . mprim aceast ecuaie prin ( )022 yy i notm tyx = . Obinem: 21

278

12 ,08914 ===+ tttt . Rdcina negativ nu convine,

deoarece 0>x i 0>y , prin urmare avem xyt yx 221 === . nlocuind xy 2= n ( )1 , rezult 1=x . Cum 0>x , rezult c singura valoare care se accept este 1=x , de unde obinem 2=y . Am obinut un singur punct staionar: ( )2,1P .

Etapa 2. Stabilim dac punctul staionar este punct de extrem local.

Avem: ( ) ( )[ ] 22 8'''' 2,, xxxx yxfyxf +== ; ( ) ( )[ ] ( )yxfyxfyxf yxyxxy ,3,, '''''' === ; ( ) ( )[ ] 22 14'''' 2,, yyyy yxfyxf +== , deci matricea hessian este: ( ) ( ) ( )( ) ( )

+

+=

=

2

2

2

2

14

8

''''

''''

23

32

,,

,,,

y

x

yyx

xyx

yxfyxf

yxfyxfyxH .

Avem c ( ) 0463

310,010

3

3102,1

21121

211 >==>=

=H , prin urmare ( )2,1P este

punct de minim local.

26


1. Gh. Cenu i colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON,Bucureti, 2007 2. S. Dedu, F. erban, Matematici aplicate n economie. Culegere de probleme, Editura Teocora,Buzau, 2009 3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica, Editura Plus, Bucureti, 2005 4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economic, Bucureti, 1997.


1. S se calculeze derivatele pariale de ordinul nti i doi ale funciei .,,;),(,: 2 RkykxyxfRRf =

2. Sa se afle punctele de extreme alr functiei ( )4),(,: 222 += yxxyyxfRRf 3. Sa se afle punctele de extreme ale functiei 234),,( 234 ++++= yxzzyxzyxf

27


Calcul integral

Cuprins

4.1 Obiectivele unitatii de nvatare 4.2 Definiii si proprietati ale integralelor euleriene................................................................. 4.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor ..................................................

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de nvatare 4............................................................................................. Lucrarea de verificare nr. 3

4.1 Obiectivele unitatii de nvatare

Unitatea de nvatare 4 cuprinde noiuni si concepte, legate de calculul integral, un alt element deosebit de important al analizei matematice, fr de care nu este posibil construcia unei teorii economice de valoare. Menionm c sunt de notorietate modelele economice, care utilizeaz rezultate profunde din teoria calculului integral, si din acest motiv considerm c unitatea de nvatare 5 isi justific pe deplin tangena cu domeniul economic.

Dup studiul acestei unitati de nvatare, studentul va avea cunostine despre: - integralele euleriene, care ofer teoriilor economice un aparat matematic

consistent; - tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de Integrale

euleriene si al lucrrilor de verificare ale studenilor din invatamntul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice Bucureti. Coninutul acestei unitati de nvatare incheie incursiunea noastr n domeniul analizei matematice si subliniem c el este conform programei analitice a disciplinei de Matematici aplicate n economie de la Academia de Studii Economice Bucuresti, Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori, anul I, ID.

28

4.2 Definiii i proprietati ale integralelor euleriene

Integrala gamma: ( ) >=0

1 0; adxexa xa .

Proprieti:

1) ( ) 11 = . 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 >= aaaa . 3) ( ) ( ) ( ) Nnnn = ,!1 . 4) =

21 .

Integrala beta: ( ) ( ) >>= 10

11 0,0;1, badxxxba ba Proprieti:

1) ( ) ( ) 0,,,, >= baabba 2) ( ) ( ) ( )( ) 0,,, >+

= babababa .

2) ( ) ( )

+

+= 01

1, dx

xxba ba

a .

3) Dac 1=+ ba , atunci ( )a

basin

),( = .

29

4.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor Sa se calculeze integralele

1. + =0

25 dxexI x .

Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx 2

1212 === .

x 0 t 0 Obinem: ( )

815

2!56

21

21

21

2 6605

60

5====

=

dtetdtetI tt .

2. =0

2

dxeI x (integrala Euler-Poisson).

Rezolvare: Folosim schimbarea de variabil: dttdxtxtx 2

121

212 === .

x 0 t 0

221

21

021

021 2121 =

===

dtetdtteI tt .

3. ( ) = 10

38 1 dxxxI .

Rezolvare: Facem schimbarea de variabil dttdxtxtx 3

231

313 === .

x 0 1 t 0 1

( ) ( ) ( )121

)5()2()3(

312,311

1

031

1

0

231

31 3238 =

==== dtttdttttI

Teste de autoevaluare S se calculeze urmtoarele integrale:

1. +

+=

1

11 dxexI x .

2. ( ) =1

0 3 2 1 xx

dxI .

30

Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare 1. Folosim schimbarea de variabil dtdxtxtx ===+ 11 .

Intervalul de integrare se modific dup cum rezult din tabelul de mai jos: x 1 t 0 Obinem: dtetI t

=0

21

. Prin identificare cu formula de definiie a integralei gamma,

rezult 23

211 == aa , prin urmare ( ) ( ) 21212123 ===I

2. ( ) ( ) =

=

1

0

1

0 3 231

32

11

dxxxxx

dxI . Prin identificare cu formula de definiie a

integralei beta, obinem:

31

321 == aa ; 32311 == bb , prin urmare, avnd n vedere definiia i

proprietatea 3 pentru integrala beta, rezult: ( )3

2sin

,3

32

31 ===I .


1. Gh. Cenu i colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Ed. CISON,Bucureti, 2007 2. S. Dedu, F. erban, Matematici aplicate n economie. Culegere de probleme, Ed. Teocora,Buzau, 2009 3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica, Ed.Plus, Bucureti, 2005 4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economic, Bucureti, 1997.


S se calculeze integralele 1. 1

0

2 dxxx 2.

0

36 dxex x

31


Formule probabilistice n care apar operatii cu evenimente

Cuprins

5.1 Obiectivele unitatii de nvatare 5 5.2 Evenimente, operatii cu evenimente.................................................................................... 5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati..................................................................... 5.3 Scheme probabilistice clasice .............................................................................................. 5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor ....................................................

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de nvatare 5 ............................................................................................


5.1 Obiectivele unitatii de nvatare 5

Teoria probabilitatilor debuteaz cu unitatea de nvatare 5, prin care introducem noiunile de experienta si eveniment, prezentm operaiile cu evenimente, formulele de calcul practic pentru probabilitati si schemele probabilistice clasice, toate aceste elemente fund eseniale n elaborarea modelelor economice temeinice si fundamentale din domenii precum: modelarea matematic a unor procese sau fenomene economice dintre cele mai diverse, gestiunea financiar, asigurri de bunuri si persoane, ingineria financiar.

Dup studiul acestei unitati de nvatare, studentul va avea cunostine despre: -noiunile elementare din teoria probabilitatilor, care ofer teoriilor economice un

aparat matematic consistent; -tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de Formule

probabilistice n care apar operaii cu evenimente si al lucrrilor de verificare ale studenilor din invatamntul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice Bucuresti.

32

5.2 Evenimente , operatii cu evenimente

Definiia 1. Se numete eveniment orice rezultat al unei experiene. Se numete eveniment sigur (notat ) evenimentul care se realizeaz cu certitudine ntr-o experien. Se numete eveniment imposibil (notat ) evenimentul care nu se realizeaz niciodat ntr-o experien. Definiia 2. Considerm dou evenimente A , B . Definim: BA ( A sau B ) evenimentul ce const n realizarea a cel puin unuia dintre evenimentele A , B . BA ( A i B ) evenimentul ce const n realizarea simultan a evenimentelor A , B . A (non A ) evenimentul ce const n nerealizarea evenimentului A . BA \ evenimentul ce const n realizarea evenimentului A i nerealizarea evenimentului B . Spunem c BA (" A implic B ") dac realizarea lui A are ca efect realizarea lui B . Definiia 3. Un eveniment A este eveniment elementar dac din AB rezult =B sau AB = . Observaia 1. Dac asociem evenimentului sigur ataat unei experiene o mulime , atunci se poate realiza o coresponden ntre mulimea evenimentelor ataate acelei experiene i mulimea prilor lui i o coresponden ntre operaiile cu evenimente i operaiile cu mulimi.. Observaia 2. Dac este o mulime cel mult numrabil, atunci elementele acesteia sunt evenimente elementare. Definiia 4. Dou evenimente A , B sunt incompatibile dac nu se pot realiza simultan:

=BA . n caz contrar, ele sunt evenimente compatibile. Fie evenimentul sigur ataat unei experiene i )(P mulimea prilor lui . Definiia 5. O familie nevid )( PK se numete corp de pri dac verific axiomele: i) KAKA ;

ii) KBAKBA , . Observaie. Dac nlocuim condiia ii) prin ii)' ( ) KAKA

NnnNnn U

, se obine noiunea de corp borelian.

Definiia 6. Se numete cmp (cmp borelian) de evenimente evenimentul sigur nzestrat cu un corp (corp borelian) K de evenimente. Vom nota acest cmp de evenimente ( )K,

33

5.3 Formule de calcul practic pentru probabilitati Definiia 1. (definiia clasic a probabilitii) Se numete probabilitate a evenimentului A i se noteaz )(AP raportul dintre numrul de rezultate favorabile producerii evenimentului A ( nfav ) i numrul total de rezultate ale experimentului, considerate egal posibile ( posn ):

pos

fav

nn

AP =)( .

Definiia 2. (definiia axiomatic a probabilitii) Considerm un cmp de evenimente ( )K, . Se numete probabilitate pe cmpul de evenimente ( )K, o funcie de mulime + RKP : , care verific axiomele:

1) 0)( APKA ; 2) 1)( =P ; 3) )()()(,, BPAPBAPBAKBA +== .

Definiia 3. Un cmp de evenimente ( )K, nzestrat cu o probabilitate P se numete cmp de probabilitate i se noteaz ( )PK ,, .

Propoziia 1. (Proprieti ale funciei probabilitate) 1) KAAPAP = ),(1)( . 2) KBABAPBPABP = ,),()()\( . 3) 0)( =P . 4) KAAP ,1)(0 . 5)

++=

=

34

Definiia 6. Spunem c evenimentele nAAA ,...,, 21 sunt independente n totalitate dac )(....)()()....(

2121 kk iiiiii APAPAPAAAP = , niiink k

35

5.3 Scheme probabilistice clasice

I. Schema lui Poisson Se consider n urne, fiecare urn niUi ,1, = , coninnd bile albe i bile negre. Se cunosc probabilitile evenimentelor ca, fcnd la ntmplare o extragere din urna

niUi ,1, = , s obinem o bil alb, respectiv o bil neagr, probabiliti notate ip , respectiv iq ( 1=+ ii qp ). Se extrage cte o bil din fiecare urn. Probabilitatea ca, din cele n bile extrase, k s fie albe i kn s fie negre, notat

),:( knknP , este: = ),:( knknP coeficientul lui kt din polinomul )(tQ , unde ))......()(()( 2211 nn qtpqtpqtptQ +++= .

II. Schema bilei revenite cu dou stri (schema lui Bernoulli sau schema

binomial) Se consider o urn care conine bile albe i bile negre. Se cunoate probabilitatea

)1,0(p ca extrgnd la ntmplare o bil din urn, aceasta s fie alb ( pq = 1 este probabilitatea ca la o extragere la ntmplare din urn s se obin o bil neagr).

Se fac n extrageri succesive din urn, cu revenire. Probabilitatea ca din cele n bile extrase k s fie albe i kn s fie

negre, notat ),:( knknP , este: knkkn qpCknknP = ),:( .

Generalizare: Schema bilei revenite cu "m" stri (schema multinomial) Se consider o urn care conine bile de "m" culori. Se cunosc probabilitatile

evenimentelor ca, extrgnd la ntmplare o bil din urn, aceasta s fie de culoarea "i",

mi ,1= , probabiliti notate mppp ,.....,, 21 , cu 1),1,0(1

= =

m

iii pp .

Se fac n extrageri succesive din urn, cu revenire. Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n s fie

de culoarea "1", 2n s fie de culoarea "2"," mn " de culoarea "m", este: mnmnn

mm pppnnn

nnnnnP = .......!........!!!),....,,:( 21 21

2121 .

Observaie. Schema bilei revenite poate modela o experien cu dou rezultate posibile: evenimentele A i A , avnd probabilitile p i q de a se realiza la orice repetare a experienei, cu 1,0, =+> qpqp .

36

III. Schema bilei nerevenite cu dou stri (schema hipergeometric) Se consider o urn care conine N bile, dintre care 1N bile albe i 2N bile

negre. Se fac n extrageri succesive din urn, fr revenire. Probabilitatea ca din cele n bile extrase k s fie albe i kn s fie

negre, notat ),:( knknP , este:

nN

knN

kN

C

CCknknP

= 21),:( .

Generalizare: Schema bilei nerevenite cu "m" stri Se consider o urn ce conine N bile de " m " culori, dintre care 1N bile de

culoarea "1", 2N bile de culoarea " 2 ",.., mN bile de culoarea " m ". Se fac n extrageri succesive din urn, fr revenire.

Probabilitatea ),....,,:( 21 mnnnnP ca din cele n bile extrase 1n s fie de culoarea "1", 2n de culoarea " 2 "," mn " de culoarea " m ", este:

nN

nN

nN

nN

mC

CCCnnnnP

m

m

=.........

),....,,:(2

2

1

121 .

5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor 1. ntr-o urn sunt 10 bile albe i 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. S se calculeze probabilitatea de a obine bile de culori diferite n ipotezele: )a prima extragere este cu revenire; )b prima extragere este fr revenire.

Rezolvare: Notm 1A - evenimentul ca la prima extragere s obinem o bil alb;

2A - evenimentul ca la a doua extragere s obinem o bil alb; 1N - evenimentul ca la prima extragere s obinem o bil neagr; 2N - evenimentul ca la a doua extragere s obinem o bil neagr.

Fie X evenimentul ca n cele dou extrageri s obinem bile de culori diferite. Deoarece evenimentele 21 NA i 21 AN sunt incompatibile, rezult c ( ) ( )( ) ( ) ( )21212121)( ANPNAPANNAPXP +== .

)a Dac extragerile sunt cu revenire, atunci evenimentele 1A i 2N , respectiv 1N i

2A sunt independente, prin urmare:

48,02515

2510

2515

2510)()()()()( 1221 =+=+= NPAPNPAPXP .

37

)b Dac extragerile sunt fr revenire, atunci evenimentele 1A i 2N , respectiv 1N i 2A sunt dependente, deci )/()()/()()( 121121 NAPNPANPAPXP += .

)/( 12 ANP reprezint probabilitatea de a obine o bil neagr la a doua extragere, tiind c la prima extragere s-a obinut o bil alb, deci

2415

)/( 12 == urnainramasebiledenrnegrebiledenrANP .

)/( 12 NAP reprezint probabilitatea de a obine o bil alb la a doua extragere, tiind c la prima extragere s-a obinut o bil neagr, deci

2415

albe .)/( 12 == urnainramasebiledenr

biledenrNAP .

Obinem c 5,02410

2515

2415

2510)( =+=XP .

2. Un magazin primete ntr-o zi 10 produse de acelai tip, dintre care 5 provin de la furnizorul 1F , 3 provin de la furnizorul 2F i restul de la furnizorul 3F . Care este probabilitatea ca din 4 produse vndute: )a dou s provin de la 2F i cte unul de la ceilali furnizori? )b toate s provin de la acelai furnizor? )c unul singur s provin de la 3F ? Rezolvare: )a Problema poate fi modelat cu ajutorul unei urne coninnd bile de trei culori, din care se fac extrageri fr revenire. 10 produse Aplicnd schema urnei cu bila nerevenit, obinem:

142857,0)1,2,1:4( 71

410

12

23

15 ===

CCCC

P .

)b Fie B evenimentul ca toate produsele s provin de la acelai furnizor; acesta se realizeaz numai atunci cnd toate produsele provin de la 1F , prin urmare

0238,0)0,0,4:4()( 42

1410

02

03

45 ====

C

CCCPBP .

)c Fie C evenimentul ca )c un singur produs s provin de la 3F . Se observ c, aplicnd schema urnei cu bile de 3 culori, numrul situaiilor n care se realizeaz evenimentul C este destul de mare. Problema poate fi modelat mai uor cu ajutorul unei urne coninnd bile de dou culori: bilele albe reprezint produsele ce provin de la 1F sau 2F , iar bilele negre sunt produsele

care provin de la 3F . Obinem: 53333,0)1,3:4()( 158

410

12

38 ====C

CCPCP .

2 F3

se extrag fr revenire

5 F1

3 F2

1 F1 2 F2 1 F3

4

38

Teste de autoevaluare 1. Doi studeni susin simultan un examen. Probabilitatea ca primul student s promoveze este 0,8, iar probabilitatea ca al doilea s promoveze este 0,7. S se calculeze probabilitatea ca: )a ambii studeni s promoveze examenul; )b exact un student s promoveze; )c cel puin un student s promoveze; )d numai primul student s promoveze. 2. Dintre cele 30 de subiecte recomandate pentru examen de ctre profesorul de curs, un student a pregtit 20 de subiecte, pe care le poate prezenta perfect . La examen fiecare subiect este scris pe cte un bilet, iar studentul trebuie s extrag cinci bilete la ntmplare i s prezinte cele cinci subiecte aflate pe bilete. tiind c pentru fiecare subiect la care rspunde corect va primi dou puncte i c nu se acord nici un punct pentru rezolvri pariale, s se determine probabilitatea ca: )a studentul s primeasc nota 10; )b studentul s primeasc nota 6; )c studentul s nu promoveze examenul.


1. Problema poate fi modelat cu ajutorul unei urne coninnd bile de dou culori, din care se fac extrageri fr revenire. )a Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, 5 s fie rezolvate perfect. 30 subiecte

027198,0)0,5:5( 530

010

520 ==C

CCP .

)b Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, exact 3 s fie rezolvate perfect:

35998,0)2,3:5( 530

210

320 ==C

CCP .

)c Fie C evenimentul ca studentul s nu promoveze examenul, adic s rezolve perfect 0, 1 sau 2 subiecte:

( ) ( ) 27283,05,:5530

310

220

530

410

120

530

510

0202

0=++==

= CCC

C

CC

C

CCkkPCP

k.

10 nu pot fi rezolvate perfect

20 pot fi rezolvate perfect 5

5 pot fi rezolvate perfect

0 nu pot fi rezolvate perfect

se extrag fr revenire

39

2. Notm cu A evenimentul ca primul student s promoveze examenul i cu B evenimentul ca al doilea student s promoveze.

)a Cum cele dou evenimente sunt independente, rezult c probabilitatea ca ambii studeni s promoveze examenul este: 56,07,08,0)()()( === BPAPBAP . )b Probabilitatea ca exact un student s promoveze examenul este: ( ) =+=+= )()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBAPBABAP

38,07,02,03,08,0 =+= .

)c Probabilitatea ca cel puin un student s promoveze se scrie: =+=+= )()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPBAP

94,07,08,07,08,0 =+ .

)d Probabilitatea ca numai primul student s promoveze se poate calcula astfel: ( ) ( ) ( ) 24,03,08,0 === BPAPBAP , avnd n vedere independena celor dou evenimente, sau ( ) ( ) 24,056,08,0)()(\ ==== BAPAPBAPBAP


1. Gh. Cenu i colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON, Bucureti, 2007 2. S. Dedu, F. erban, Matematici aplicate n economie. Culegere de probleme, Editura Teocora, Buzau, 2009 3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economic, Bucureti, 1997.


1. ntr-o urn sunt 10 bile albe i 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. S se calculeze probabilitatea de a obine bile de culori diferite n ipotezele: )a prima extragere este cu revenire; )b prima extragere este fr revenire. 2. Trei bnci acord credite pentru finanarea studiilor cu probabilitile 0,8; 0,75, respectiv 0,82, independent una de alta. Un student se adreseaz tuturor bncilor. Cu ce probabilitate el va primi: )a trei rspunsuri favorabile; )b exact dou rspunsuri favorabile; )c exact dou rspunsuri nefavorabile; )d nici un rspuns favorabil; )e cel mult dou rspunsuri favorabile .

40


Variabile aleatoare

Cuprins

6.1 Obiectivele unitatii de nvatare 6 ....................................................................................... 6.2 Variabile aleatoare unidimensionale .................................................................................. 6.3 Variabile aleatoare bidimensionale 6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice 6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor................................................... Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Rspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de nvatare 6 ............................................................................................


6.1 Obiective

Unitatea de nvatare 6 continu incursiunea n teoria probabilitatilor, prezentnd

variabilele aleatoare. Impreun cu noiunile importante asociate lor, precum caracteristicile numerice corespunztoare acestora, ce sunt de un real folos pentru practica economic, pentru studiu si cercetare, pentru realizarea performanei n viitoarea munc de economist si eficientizarea activitatii l la nivel micro si macroeconomic.

Dup studiul acestei unitati de nvatare, studentul va avea cunostine despre: -noiunile de variabile aleatoare existente si conceptele de baz din teoria

probabilitatilor corelate cu ele, toate acestea oferind economitilor, indiferent de domeniul n care vor lucra, cunotine solide de strict specialitate, dar si tehnici specifice matematicii aplicate;

-tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de Variabile aleatoare si al lucrrilor de verificare ale studenilor din invatamntul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice Bucureti.

41

6.2 Variabile aleatoare unidimensionale Definiia 1. Fie ),,( PK un cmp de probabilitate. O aplicaie RX : se numete variabil aleatoare dac pentru orice Rx avem: { } KxX

42

1) Deoarece F este o primitiv pe R a funciei f , rezult

=x

RxdttfxF ,)()( .

2)

===b

dxxfbFbXPbXP )()(1)()( ;

==

43

Definiia 7. Se numete dispersia variabilei aleatoare X numrul (dac exist): ( )[ ]22 )()( XMXMXD = .

Propoziia 7. Dac RX : , RY : sunt variabile aleatoare i Ra , rezult: )a 0)(2 XD ; )b )()()( 222 XMXMXD = ; )c 0)(2 =aD ; )d )()( 222 XDaaXD = ; )e dac X , Y sunt independente, atunci )()()( 222 YDXDYXD +=+ . Definiia 8. Se numete abaterea medie ptratic (abaterea standard) a variabilei aleatoare X numrul (dac exist): )()()( 2 XDXDX == . Definiia 9. Se numete moment iniial de ordin r al variabilei aleatoare X numrul (dac exist): )()( rrr XMXMm == . Observaie.

=

Iii

rir pxm , dac X este o variabil aleatoare discret;

= dxxfxm rr )( , dac X este o variabil aleatoare continu.

Definiia 10. Se numete moment centrat de ordin r al variabilei aleatoare X numrul (dac exist): ( ) ( )[ ]rrr XMXMXMXM )()( == . Observaie.

=

Iii

rir pXMxm ))(( , dac X este o variabil aleatoare discret;

= dxxfXMxm rr )())(( , dac X este o variabil aleatoare continu.

Definiia 15. Fie ),,( PK un cmp de probabilitate i RX : o variabil aleatoare. Se numete funcia caracteristic a variabilei aleatoare X aplicaia ( )itXeMtCR = )(,: .

Observaie.

=Ik

kitx pet k)( , dac X este o variabil aleatoare discret;

= dxxfet itx )()( , dac X este o variabil aleatoare continu.

Definiia 16. Fie ),,( PK un cmp de probabilitate i RX : o variabil aleatoare. Se numete funcia generatoare de momente a variabilei aleatoare X aplicaia ( )tXeMtgRRg = )(,: .

44

6.3 Variabile aleatoare bidimensionale

Definiia 1. Fie ),,( PK un cmp de probabilitate. O aplicaie ( ) 2:, RYX se numete variabil aleatoare bidimensional (vector aleator) dac oricare ar fi ( ) 2, Ryx avem: { } KyYxX

45

Definiia 4. Se numete coeficientul de corelaie al variabilelor aleatoare X i Y

numrul: )()(

)()()()()(

),cov(),(YX

YMXMXYMYX

YXYX == .

Propoziie. Oricare ar fi variabilele aleatoare X i Y cu ( ) ( ) 022 YDXD , au loc urmtoarele proprieti:

1) 0),( =YX dac i numai dac X i Y sunt necorelate. 2) Dac X , Y sunt independente, atunci 0),( =YX . 3) 1),( YX . 4) Dac 1),( =YX , atunci ntre X i Y exist o dependen liniar.

6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice

REPARTIII CLASICE DISCRETE Repartiia binomial

nkknkk

n qpCk

XpnBiX,0

:),(=

; 1;0,;* =+> qpqpNn .

npqXDnpXM == )(;)( 2 ; ( )nit qpet +=)( . Repartiia Poisson

Nk

k

ke

kXPoX

!:)( ; 0> .

== )(;)( 2 XDXM ; )1()( = iteet .

REPARTIII CLASICE CONTINUE Repartiia Gamma

> 0,];,[ babaX X are densitatea de repartiie: ( )

>=

0,0

0,1)(

1

x

xexabxf

bxa

a

22 )(,)( abXDabXM == ; ( ) aibtt = 1)( .

Repartiia normal

XRmmNX > ,0);,( are densitatea de repartiie:

Rxexfmx

=

,2

1)( 22

2)(

22 )(,)( == XDmXM ; 2 22)( timtet = .

46

6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaiilor

1. Fie variabila aleatoare discret

pppppX

2210

41

22

: , Rp . S se determine: )a repartiia variabilei aleatoare X; )b funcia de repartiie a variabilei X; )c media, dispersia i abaterea medie ptratic variabilei aleatoare X; )d )( 3XM , )32( XM , )23(2 XD ; )e probabilitile: )75,0( XP , )25,1( >XP , )5,025,1( XP , .

Rezolvare: )a Impunem condiiile ca 0p i 1011242 ==++++ pppppp . Rezult c repartiia variabilei aleatoare X este:

101

102

101

104

102

21012:X .

)b

+=+++

=++

==+

=

= XPXP .

21

105)0()1()5,025,1( ===+== XPXPXP .

47

2. Fie

=

]1,0[,0]1,0[),1(

)(,:xxxa

xfRRf , Ra . S se determine:

)a parametrul Ra astfel nct f s fie densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare continue X; )b funcia de repartiie a variabilei aleatoare X; )c probabilitile: ( )41XP i ( )2341 XP ; )d media i dispersia variabilei aleatoare X;

Rezolvare:

)a Pentru ca funcia f s fie densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare continue, trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii:

1) 0,0)( aRxxf ; 2) 1)( =

dxxf .

Avem: =++=++=

1

1

0

0

1

1

0

00)1(0)()()()( dxdxxadxdxxfdxxfdxxfdxxf

( ) 21022 axxa == ; din condiia 1)( =

dxxf rezult 212 == aa , deci

=

]1,0[,0]1,0[),1(2

)(xxx

xf .

)b Funcia de repartiie a variabilei aleatoare X este

=x

dttfxFRRF )()(,: .

00)(]0,(

==x

dtxFx ;

( ) 20

2

0

022)1(20)(]1,0( xxttdttdtxFx

xx ==+=

;

10)1(20)(),1(1

1

0

0=++=

xdtdttdtxFx .

Am obinut c:

=),1(,1]1,0(,2

]0,(,0

)(],1,0[: 2

xxxx

x

xFRF

48

)c ( ) 41412141 41 ===< FXP .

( ) ( ) ( ) 2121212121 111 ====> FXPXP .

( ) ( ) ( ) 434141232341 1 === FFXP .

)d 31

32

20)1(20)()(

1

0

32

1

1

0

0=

=++==

xxdxxdxxxdxxdxxxfXM .

( )61

2320)1(20)(

1

0

43

1

21

0

20

222 =

=++==

xxdxxdxxxdxxdxxfxXM .

181222 )()()( == XMXMXD .

3. Fie funcia RRf : , Rkxxekxf

x

XXP ; )d media, dispersia, momentul iniial de ordinul *, Nrr pentru variabila aleatoare X Rezolvare: )a Condiiile ca f s fie densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare continue X sunt: 1) 00)( kxf ; 2) 1)( =

dxxf .

Avem c

+==

0

20

,x0)( 2 dxekdxdxxfIx ; folosind schimbarea de

variabil dtdxtxtx 2;22

=== , obinem c kkdtetkI t 16)3(8240

2 === ; din condiia

1611 == kI .Rezult c

++

= 0,8

841

0,0)(,:

2

2xexx

xxFRRF x

)c 251)4()4( ==< eFXP ; 3

217)6(1)6(1)6(1)6( == eFXPXPXP ;

43 132

17)6()8()86( == eeFFXP ; ( )

ee

FFF

XPXP

XPXXPXXP

e

ee 2)2(1

)2()4()2(1)42(

)2()2()4()2/4(

25

525

2 ====> .

)d Momentul iniial de ordinul r este:

+===

0

20

2

1610)()( dxexxdxxdxxfxXMm

xrrrrr ;

cu schimbarea de variabil dtdxtxtx 2;22

=== rezult

)3(22)2(161 1

0

2 +== + rdtetm rtrr .

Am obinut c *1 ,)!2(2 Nrrm rr += . Media variabilei aleatoare X este momentul iniial de ordinul 1, prin urmare 6!3)( 1 === mXM .

Avem c 48!42)( 22 === mXM , deci dispersia variabilei este: 12)()()( 212

222 === mmXMXMXD .

50

4. Fie X , Y dou variabile aleatoare discrete avnd repartiia comun dat n tabelul incomplet de mai jos:

-1 0 1 ip -1 1

0,2 0,1

0,6

jq 0,3 0,3

)a S se scrie repartiiile variabilelor X , Y i repartiia comun a variabilelor X , Y . )b S se scrie repartiiile variabilelor 1/ =YX i 1/ =XY , Y ..

Rezolvare: )a Impunnd condiiile

1,13

1

2

1==

== j ji iqp , 2,1,

3

1==

=ipp i

jij , 3,1,

2

11==

=jqp jij , obinem:

4,01 221 ==+ ppp ; 4,01 2321 ==++ qqqq ; 1,03,0 212111 ==+ ppp ; 3,04,0 212212 ==+ ppp ; 1,06,0 13131211 ==++ pppp ; 2,03,0 232313 ==+ ppp .

Rezult repartiiile variabilelor X , Y :

4,01

6,01

:X ;

3,01

4,00

3,01

:Y

i repartiia comun a variabilelor X , Y :

-1 0 1 ip -1 1

0,2 0,3 0,1 0,1 0,1 0,2

0,6 0,4

jq 0,3 0,4 0,3 1

)b

=

21

11:1 YX

( ) ( ) ( )( )31

3,01,0

)1(11111 ===

======YP

YXPYXP ;

( ) ( ) ( )( )32

3,02,0

)1(11112 ===

======YP

YXPYXP ;

obinem:

=

32

31

11:1YX ;

=

321

101:1 XY ;

Analog

=

611

210

311

:1XY

=

6,04,010

3,01

4,03,001

:Y ;

X

X

Y

Y

51

Teste de autoevaluare 1. S se determine variabila aleatoare

++

pa

pa

pa

X2

23

1: , tiind c 7)6( 2 =XM ,

RpZa , . 2. Fie funcia RRf : ,

=]2,0[,0]2,1(,2

]1,0[,)(

xxxxax

xf . S se determine:

)a parametrul Ra astfel nct f s fie densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare continue X; )b probabilitile ( )23>XP i ( )2341 / XXP ; )c funcia de repartiie a variabilei aleatoare X; )d media i dispersia variabilei aleatoare X; 3. Fie dou variabile aleatoare X , Y unde

3,01

7,01

:X ,

6,01

4,00

:Y . Fie ( )0,1 === YXPk .

)a S se scrie tabelul comun al repartiiei variabilelor aleatoare X , Y . )b S se determine parametrul Rk astfel nct variabilele aleatoare X , Y s fie necorelate. )c Pentru k determinat la punctul precedent, s se stabileasc dac variabilele aleatoare X , Y sunt independente.


1. Din condiia ca X s reprezinte o variabil aleatoare discret, obinem:

0p i

++==++

62

63

616

121

:123aaa

Xpppp .

( ) ( ) ( ) =++++== 7)2()1(67676 62263261222 aaaXMXM=++=++++++ 041467882363 2222 aaaaaaa

Zaa ==31,2 21 , deci 2 =a .

Prin urmare, repartiia variabilei aleatoare X este:

310

211

612

:X .

52

2. )a Pentru ca funcia f s fie densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare continue, trebuie s ndeplineasc urmtoarele condiii:

1) 0,0)( aRxxf ; 2) 1)( =

dxxf .

=+++=

2

2

1

1

0

0)()()()()( dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

21

2

2

1

21

0

2

2

2

1

1

0

0

22

20)2(0 +=

+=+++=

axxxadxdxxdxaxdx .

===

]2,0[,0]2,1(,2]1,0[,

)(11)(xxxxx

xfadxxf .

)b81

2

20)2()(

23

23

23

=+==

>

dxdxxdxxfXP .

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )23

23

41

23

23

41

23

41 /

==

XP

XP

XP

XXPXXP .

( ) 32271

1

23

41

23

41

23

41

)2()( =+== dxxxdxdxxfXP ; ( ) ( ) 872323 1 =>= XPXP , deci ( ) 28272341 / = XXP .

)c Funcia de repartiie a variabilei aleatoare X este

=x

dttfxFRRF )()(,: .

00)(]0,(

==x

dtxFx ;

2020

022

0)(]1,0( xxt

xtdtdtxFx ==+=

;

( ) ( ) =+=++=

xttx

tdtttdtdtxFx12

1

021

1

0

022

220)(]2,1(

224

23

221 222 +=+= xxxx ;

( ) 1020)(),2(2

2

1

1

0

0=+++=

xdtdtttdtdtxFx . Am obinut c:

53

+

=

),2(,1

]2,1(,2

24

]1,0(,2

]0,(,0

)(],1,0[:2

2

x

xxx

xx

x

xFRF

)d =+++==

2

2

1

1

0

00)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxxfXM

1311

384

31

33

2

1

32

1

0

3=++=

+= xxx .

=+++==

2

2

1

21

0

20

22 0)2(0)()( dxxdxxxdxxxdxxdxxfxXM

61222

2

1

431

0

4)()()(

67

41

324

316

41

432

4===++=

+= XMXMXDxxx

3. )a 0 1 ip -1 1

k k7,0 k4,0 1,0k

0,7 0,3

jq 0,4 0,6 1

Din condiiile: 1) 2,1,,0 = jipij i 2) 1

2

1

2

1=

= =i j ijp obinem:

4,01,0

01,004,007,0

0

)1

k

kkk

k

;

11,04,07,0)2 =+++ kkkk , relaie care se verific, Rk . n concluzie, repartiia comun a variabilelor X , Y este cea din tabelul de mai sus, cu condiia [ ]4,0;1,0k . )b Variabilele aleatoare X , Y sunt necorelate dac avem:

0)()()(0),cov( == YMXMXYMYX .

4,03,017,0)1()(2

1=+==

=i iipxXM ; 6,06,014,00)(

2

1=+==

=j jjqyYM ;

8,02)1,0(11)4,0(01)7,0(1)1(0)1()(2

1

2

1=+++==

= =kkkkkpyxXYM

i jijji

[ ]4,0;1,028,0024,08,020)()()( ==+= kkYMXMXYM .

X Y

54

)c Pentru valoarea determinat a parametrului k obinem tabelul repartiiei comune de mai jos:

0 1 ip -1 1

0,28 0,42 0,12 0,18

0,7 0,3

jq 0,4 0,6 1

Avem c: ( ) ( ) ( )0128,00,1 ====== YPXPYXP ; ( ) ( ) ( )1142,01,1 ====== YPXPYXP ; ( ) ( ) ( )0112,00,1 ====== YPXPYXP ; ( ) ( ) ( )1118,01,1 ====== YPXPYXP ;de aici rezult, c v.a sunt independente.




1.Distribuia variabilei aleatoare X este

1612

23

41

167

2101-2:

pppX .

S se determine: )a parametrul Rp ; )b Media si dispersia lui X, 2. Fie funcia RRf : , Rk

xxekxf

x

>=

x

xexfRRf

xx.

)a S se estimeze parametrul prin ambele metode de estimare punctual, utiliznd o selecie de volum n . )b S se arate c estimatorul obinut este absolut corect i eficient.


)a Metoda momentelor Etapa 1) Considerm o selecie de volum n : nXXX ,.....,, 21 .

Etapa 2) Rezolvm ecuaia: ( ) ( ) XXMMXM == 11 . (1) ( )

=+==

0

496

1

096

02

42

4

3

0)( dxexdxexdxxdxxxfXMxxx ;

facem schimbarea de variabil dtdxtxtx 2;22 === i obinem: ( ) ( ) ( ) 8!4.522 33

0

43

0

496

14 =====

dtetdtetXM tt .

Ecuaia (1) devine: X=8 i prin urmare estimatorul parametrului obinut prin metoda momentelor este 8

X= , iar estimaia este 8 x= . Metoda verosimilitii maxime Etapa 1) Considerm o selecie de volum n : nXXX ,.....,, 21 , cu valorile de selcie nxxx ,.....,, 21 . Etapa 2) Construim funcia de verosimilitate:

( ) ( ) === =

=

n

j

xn

jjn

jxj exfxxxP

196121 24

3

;;,...,,

( )

21

24

3

22

4

322

1

4

31

4

321

969696 96...

.....

== =n

jjx

nxn

xx

exxxeee nnnxxx

Etapa 3) Logaritmm funcia de verosimilitate:

( ) ( ) ( ) =

== =

21

4

321

212196

...ln;,...,,ln;,...,,

n

jjx

exxxxxxPxxxL nnn

nn

( )[ ] 21

4321

121

ln496lnln3lnln96ln...ln

= == =

+ n

jj

n

jjx xn

jj

nnn nnxexxx

63

Etapa 4) Rezolvm ecuaia:

( )0800

;,...,,

12421

2

1 =+=+=

== n

jj

xnn xn

xxxLn

jj

i obinem c estimaia

de maxim verosimilitate a parametrului este 88 1 xnx

n

jj =

= = , iar estimatorul de

maxim verosimilitate este 8. X= .

Etapa 5) Verificm faptul c estimaia gsit asigur maximul funciei de verosimilitate.

( ) 04;,...,, 2328

31

2256512644

2

212

64

Bibilografia unitatii de nvatare 7


Lucrarea de verificare nr. 6 1) Pentru a stabili coninutul n magneziu al apei minerale provenite de la un anumit izvor s-a determinat cantitatea de magneziu, exprimat n grame, coniunut ntr-un litru de ap mineral. Efectundu-se un numr de 15 msurtori, s-au obinut urmtoarele rezultate, prezentate n ordinea apariiei acestora: 7,2; 8,3; 6,7; 6,7; 7,2; 8,1; 8,3; 6,9; 7,2; 7,2; 8,1; 6,7; 6,7; 8,1; 6,7. )a S se scrie repartiia variabilei aleatoare de selecie. )b Pe baza rezultatelor nregistrate, s se determine cantitatea medie de magneziu, exprimat n grame, coninut ntr-un litru de ap mineral i modul n care variaz 2) Fie X o variabil aleatoare continu, avnd densitatea de repartiie:

0,0,0

0,);(,:

33

2

54 >

>=

x

xexfRRf

xx.

)a S se estimeze parametrul prin ambele metode de estimare punctual, utiliznd o selecie de volum n . )b S se arate c estimatorul obinut este absolut corect .

Se numete eveniment sigur (notat ) evenimentul care se realizeaz cu certitudine ntr-o experien. Se numete eveniment imposibil (notat ) evenimentul care nu se realizeaz niciodat ntr-o experien. ( sau ) evenimentul ce const n realizarea a cel puin unuia dintre evenimentele , .Repartiia binomialRepartiia PoissonRepartiia GammaRepartiia normal

matematica cig id

Documents