matemática d – extensivo – v. 2 - energia.com.br · gabarito 2 10) d pelo teorema de tales,...
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GABARITO
1Matemática D
Matemática D – Extensivo – V. 2
Exercícios
01) a) 403
b) 21
a) Pelo Teorema de Tales, temos:
83 5=
x → x = 403
b) Pelo Teorema de Tales, temos: 12
4 7=
x → x = 21
02) D
A partir do Teorema de Tales, temos:
4 1012x
= → 48 = 10x → x = 4,8
4 83 6
12,,=
y → 48y = 36 : 12 → y = 9
x + y = 4,8 + 9 = 13,8
03) E
A partir do Teorema de Tales:
x115
153
= ⇒ x65
= 5 ⇒ x = 6
55. ⇒ x = 6
04) a = 9 b = 15 c = 21
Pelo Teorema de Tales:
a b c+ +15
= a3
→ 4515
= a3
→ a = 9
4515
= b5
→ b = 15
4515
= c7
→ c = 21
05) C
Pelo Teorema de Tales:
x y+14
= x8
, como x + y = 42, temos 4214
= x8
→ x = 24
x y+14
= y6
→ y = 18
x – y → 24 – 18 = 6
06) A
Pelo Teorema de Tales:x x
20040250
=+
250x = 200x + 800050x = 8000x = 160
07) C
A partir do Teorema de Tales:480
30 60 90 120+ + + = x
30 →
480300
= x30
→ 480300
. 30 = x → x = 48
480300
= y60
→ 480300
. 60 = y → y = 96
480300
= z90
→ 480300
. 90 = z → z = 144
480300
= w
120 → 480
300 . 120 = w → w = 192
08) D
Altura
A
BC
Altura
09) D
Bissetriz
GABARITO
2 Matemática D
10) D
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° e que o suplemento de um ângulo α é 180 – α.
86°
43°
B
A
�
Temos que 180 – 86 = 94.Sendo  = x94 + 43 + x = 180x = 180 – 137x = 43
Como AB é bissetriz do ângulo  = x, temos:
94 + α + x2
= 180
94 + α + 432
= 180
α = 180 – 94 – 21,5α = 64,5
11) B
Note que AM é mediana do ΔABC, que é retângulo, e a medida da mediana de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.
A
B H
40°
M C
x 50°
Portanto: AM = BM = MC e então Δ ABM é isósceles e também
BAM = ABM = x.No Δ AHM temos 40 + 90 + AMH = 180AMH = 50.Assim, no Δ ABM, 50 + 2x = 1802x = 130x = 65
12) 02
Pelo Teorema de Tales, temos:4 5,x
= 6 2,y
e sabemos que x + y = 6, portanto y = 6 – x
4 5,x
= 6 2,y
4,5(6 – x) = 6,2x
45 610
6210
( )−=
x x
270 – 45x = 62x 270 = 107x
x = 270107
x = 2,...
270214
107
5602,(...)
Parte inteira é 2
13) D
40°
50°
A
C B
Temos A = 40°, B = 50° em um triângulo ABC. Portanto, C = 90°, pois A + B + C = 180°. Note que as alturas relativas aos vértices A e B são os catetos do triângulo ABC, portanto o ângulo formado entre eles é 90°.
14) 12
15) B
Temos Δ ABC retângulo em A e AM mediana. A medida da mediana de um triângulo retângulo relativa à hipote-nusa é igual à metade da hipotenusa. Assim, AM = MC. Então Δ ABC é retângulo e ABC = 60°.Logo, MAC = 30°.
A
BR
60°
CM
30°
30°
Como R é bissetriz do ângulo  = 90°, temos:BAR = RAM + 30°45° = RAM° + 30°
GABARITO
3Matemática D
16) D
A
B C
6
2
x
5D E
6 y
Usando a semelhança entre os triângulos ABC e ADE, temos:x
x+=
568
8x = 6x + 302x = 30x = 15
Aplicando o teorema da bissetriz no triângulo ABC, temos:86
20=
y8y = 120y = 15Logo, x + y = 30
17) D
A
BD C E
x y Z
812
Teorema da bissetriz interna:12 8x y=
12y = 8x
y = 812x
y = 23x
Teorema da bissetriz externa:12 8
x y z z+ +=
12z = 8z + 8y + 8z4z = 2x + 2yz = 2z+ 2y
z = 2x + 2 . 23x ⇒ z = 10
3x
BC
CE
x yz
xx
x
x
x=+=+
=
23
103
53
103
= 12
18) C
• AH sai do vértice e forma um ângulo de 90° ao lado oposto, logo AH é altura.
• AD divide o ângulo  ao meio, logo AD é bissetriz.•AM sai do vértice e intercepta o lado oposto em seu
ponto médio, logo AM é mediana.• m é uma reta que divide o lado ao meio e forma 90°
com o lado BC, portanto m é mediatriz.
19) 31
C
D
F
E
A
M
B
x 2x
01. Verdadeiro. E é o baricentro desse triângulo. Como a semireta AE passa pelo baricentro, então ela intercepta o lado BC em seu ponto médio.
02. Verdadeiro. Como CM parte de um vértice do tri-ângulo e divide o lado oposto ao meio, então CM é mediana.
04. Verdadeiro. É na intersecção de duas medianas, logo é o baricentro do triângulo.
08. Verdadeiro. A base do triângulo AEM é metade da base do triângulo ABC. Como E é baricentro, a al-tura do triângulo menor está para a do maior assim
como 1 está para 3. Logo, h = H3
.
A = b h.3
⇒ A =
B H2 32
.
A = B H..
216
↓ Área do triângulo ABC
GABARITO
4 Matemática D
16. Verdadeiro. Veja que os triângulos ABM e ACM têm as suas bases congruentes e também a mesma altura. Portanto suas áreas são iguais.
A
BM
C
h
20) B
A
30302/3
1/3
B C
15 15
Pitágoras:302 = 152 + h2
300 = 225 + h2
h2 = 675
h = 15 3
OA = 23
. 15 3 = 10 3
Como o triângulo ABC é equilátero, OA = OB = OC,
logo OB = 10 3.
21) a) 12
b) 7 c) 2
d) 32
B
C
M
1
A
2
2
a) sen α = cat ophipot
..
⇒ sen α = 12
b) Como sen α = 12
, então α = 30° e, consequentemen-
te, AM�C = 120°.
120°
xC
M
1
A
2
Lei dos cossenos: x2 = 12 + 22 – 2 . 1 . 2 . cos 120° x2 = 1 + 4 – 4 . (–cos 60°)
x2 = 5 – 4 . (–12
)
x2 = 5 + 2 x2 = 7
x = 7
c) A altura relativa ao lado AB deve sair do vértice C e
formar um ângulo de 90° com o lado AB ou seu prolongamento.
B
C
30°
H
h
A
sen 30° = h4
12
= h4
⇒ h = 2
d)
7
120°
C
M
1
A
2
AΔ = a b sen C. . �
2 ⇒ AΔ = 1 2 120
2. . sen °
AΔ = 2 60
2
. sen ° ⇒ AΔ = 3
2
GABARITO
5Matemática D
22) D
A B
P
M
r
a) Verdadeiro. Ao tomar um ponto P so-bre r, verifica-se que Δ ABP é isósceles
e, portanto, PA PB= .b) Verdadeiro. O ponto de encontro das
mediatrizes de um triângulo é o circun-centro.
c) Verdadeiro. A mediatriz é o conjunto de todos os pontos de um plano que equidistam de A e B respectivamente. Se um ponto não pertence à mediatriz de um segmento, esse ponto não equi-dista dos extremos do segmento.
d) Falso. As mediatrizes de um triângulo se encontram num mesmo ponto deno-minado circuncentro.
e) Verdadeiro. Existe uma única mediatriz em um dado segmento.
24) A
Q
P P5
y
A
B C
8
x + y = 16
Semelhança: 58 16=
y ⇒ 8y = 80 ⇒ y = 10
Como x + y = 16, então x = 6.
23) B
Desigualdade triangular:a b− < c < a + b
Essa é a condição para que três seg-mentos formem triângulo. Aplicando a desigualdade no triângulo (II), temos:|(x + 3) – (x + 8)| < x + 3 < (x + 3) + (x + 8)|5| < x + 3 < 2x + 115 < x + 3 < 2x + 112 < x < 2x + 8
Com x > 2, o menor inteiro que x pode assumir é x = 3.
25) 29
Semelhança:
E
x
BD
10
18
15
C
A B
x + 10
y + 18
1015
= x
x+10
1015
= 1818y+
10x + 100 = 15x 10y + 180 = 1705x = 100 10y = 90x = 20 y = 9
x + y = 29
26) A
Pela semelhança de triângulos temos:165 4=
l uraarg ⇒ largura = 644
= 12,8 m
GABARITO
6 Matemática D
27) A
24
x
12
y
26
29) B
poste
bastão
x
1 m
12 m 0,6 m
Pela semelhança de triângulos:2412
= yx
⇒ 2412
= 10x
⇒ 2 = 10x
⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5
262 = y2 + 242
676 = y2 + 576 y2 = 100y = 10
28) E
Por semelhança:
AFAB
FGBC
= ⇒ 36 6
2,=
BC ⇒ 3 BC = 13,2 ⇒ BC = 13 2
15,,
= 4,4
ABBD
ACEC
= ⇒ 6 615 2,,=
AC ⇒ 1,5 AC = 13,2 ⇒ AC = 13 2
15,,
= 8,8
AB + BC + AC = 6,6 + 4,4 + 8,8 = 19,8
30) A
Perímetro do primeiro triângulo: 7 + 9 + 14 = 30 dm.
Seja x o perímetro do triângulo procurado, então: 1421
30=
x ⇒ 14 x = 21 . 30 ⇒ x = 45 dm
Por semelhança de triângulos:x1
= 120 6,
⇒ x = 120 6,
= 20
GABARITO
7Matemática D
31) C
16 m 2 m
x
1,5 m
árvore
vassoura
Por semelhança de triângulos:x15
162,
= ⇒ 16 152
242
. ,= = 12 m
34) B
A
D
B
E
a
a/2
b
aC
Por semelhança de triângulos:a
a
b
a
/ 2= ⇒
a2
= b ⇒ a = 2b
32) C
Por semelhança de triângulos:
AC
CE
BC
CD= ⇒
42
= 5
CD ⇒ CD =
104
= 2,5 cm
AC
CE
AB
DE= ⇒
42
= AB3
⇒ AB = 122
= 6 cm
CD + AB = 2,5 + 6 = 8,5 cm
33) A
A
B C
15
10
x
20
15
Por semelhança de triângulos:x15
1520
= ⇒ x = 15 1520. = 11,25
36) D
Como podemos observar, o comprimento dos degraus é na verdade 5 termos consecutivos de uma PA, em que o 1º termo é a1 = 30, o 5º termo a5 = 60 e n = 5. Logo, a soma desses comprimentos é dada por:
S = ( ). ( ). .a a1 5 52
30 60 52
90 52
+=
+= = 225 cm
35) C
B
A C
6 cm
x 5 cmP
Por semelhança de triângulos:
AB
AP
AC
AB xx
= ⇒ =+6 56
⇒ x2 + 5x = 36
x2 + 5x – 36 = 0 x1 = –9 x2 = 4
O maior lado é AC = x + 5 = 4 + 5 = 9
GABARITO
8 Matemática D
37) C
C
DX
A
B
2
P
A'2
A'1
A1
R
A2
6 1
k
Como P = k + 2, concluímos que XD = 2.
Vamos pensar no triângulo retângulo AXR:
Como BC = 6 e XB = 2, temos que:
AR = BC – XB
AR = 6 – 2
AR = 4
AX AR XR2 2 2= +
AX2 = 42 + 32
AX2 = 25 ⇒ AX = 5
Vamos igualar as áreas de Tico e Teco.
Área hachurada: A1 + A2
6 . 2 + 3 . k = 3k + 12
Área branca: A A1 2’ ’+
6 . 1 + P . 3 = 3P + 6
Área hachurada = área branca: 3k + 12 = 3P + 6 3k + 6 = 3P k + 2 = P
38) 28
aa
B
c
CA
b
10 cm
H
14 cm
E
01. Falso. a + b + c = 54 cm a + 24 + c = 54 cm a + c = 30 cm
02. Falso. No triângulo BHC, o ângulo BH�C é obtuso, enquanto no triângulo BHA não há ângulos obtusos. Logo, eles não são semelhantes.
04. Verdadeiro. Como BH // EC, e seja BÊC = α, temos que BÊC = AB�H (colaterais). Também sabemos que BH é bissetriz do triângulo ABC, logo
AB�H = HB�C = α. Além disso, HB�C = EC�B = α (alternos internos). Portan-
to, concluímos que BÊC = EC�B = α. 08. Verdadeiro. Pelo teorema da bissetriz interna:
c a10 14= ⇒ 14c = 10a e
a + c = 30 ⇒ a = 30 – c 14c = 10(30 – c) 14c = 300 – 10c 24c = 300
c = 30024
= 12,5 cm
16. Verdadeiro. No item 04, mostramos que BÊC = EC�B, logo o triângulo
CBE é isósceles e BC = BE = a.
GABARITO
9Matemática D
39) E
H
H2
AB
H1
H3
C
No triângulo H1HB temos:2α + α + 90° = 180°3α = 90°α = 30°
40) D
h
A
1,2
C
B
1,8
1
1
60° 60°
60°
D E
1
1/2
Traçamos a altura do triângulo equilátero a partir do vértice C. Portanto, temos dois triângulos retângulos,
sendo B� comum aos dois. Logo, são triângulos semelhan-tes.
Seja h e h' as alturas dos triângulos maior e menor res-pectivamente. No triângulo equilátero temos:
sen 60° = h’1
⇒ 32
= h’1
⇒ h' = 32
Por semelhança:
ABCB
hh
h= ⇒ = ⇒
’ ,.3
18 32
3 32
= 1,8 h
h = 3 33 6
30 336
5 36,
= =
41) D
Um triângulo equilátero é também isósceles, pois um triângulo isósceles tem dois lados iguais, condição esta que é satisfeita no triângulo equilátero.
42) 116°
3x + 40° + 2x + 30° = 180°5x = 180° – 70°
x = 1105° = 22°
3x + 40° = y – 10°3 . 22° + 40° = y – 10°66° + 40° + 10° = yy = 116°
43) 17
Como em um paralelogramo as diagonais se dividem ao meio, temos:5x = 30 e 2y + 4 = 26x = 6 e 2y = 22 ⇒ y = 11x + y6 + 11 = 17
44) 6 cm
60° 60°
h
x x
A diferença da medida das bases é dada por x + x, ou seja:2x = 4 3x = 2 3
tg 60° = hx
⇒ 3 = h
2 3 ⇒ h = 2 . 3 = 6 cm
45) C
I. Falso. Podemos pensar em um losango. Ele tem dois ângulos agudos que são opostos. Logo, a soma desses ângulos não é 180°.
II. Verdadeiro. Os ângulos opostos de um paralelo-gramo são iguais, logo seus ângulos consecutivos são suplementares.
III. Verdadeiro. Por definição, o losango possui lados opostos paralelos e diagonais que se interceptam perpendicularmente no ponto médio uma da outra.
GABARITO
10 Matemática D
46) B
D
Q
B
C
P
A
2x
x
x
4x
h
A área do retângulo é dada por:4x . h = 28 ⇒ x . h = 7Temos que a altura do triângulo PQC é DC, ou seja, h.
Logo, sua área é B h x h. .2 2
72
= = = 3,5 cm2
47) A
M
D C
BA
6 6
8
Aplicando Pitágoras no triângulo ABC encontraremos AC = 10.
Temos que os triângulos ABC e AMD são semelhantes, logo:
BC
AM
AC
AD AM= ⇒ =
6 106
⇒10AM = 36 ⇒ AM = 3610
185
=
48) E
10a
b
a + b = 14a = 14 – b
a2 + b2 = 102
(14 – b)2 + b2 = 100196 – 28b + b2 + b2 = 1002b2 – 28b + 96 = 0b2 – 14b + 48 = 0b1 = 6 b2 = 8
a . b = 6 . 8 = 48
49) E
D
E
A F B
C
y
y
2x x
Seja AD = 2y e AB = 3x, então DE = y e FB = x. Sabemos que a área do retângulo ABCD é igual
à soma da área hachurada mais as áreas dos triângulos FCB e EDC.
AT = Ahachurada + AΔ FCB + AΔ EDC
2y . 3x = 7 + x y y x. .22
32
+
6xy = 7 + 2 32
xy xy+
6xy = 7 2 52
. + xy
12xy = 14 + 5xy7xy = 14xy = 2
Área do retângulo ⇒ 2y . 3x = 6xy = 6 . 2 = 12
50) As áreas são iguais.
D
A E
G C
B
FH
Se ligarmos os pontos G a E e H a F formaremos 4 quadrados iguais de mesma área, sendo cada um desses quadrados dividido em dois triângu-los de mesma área, um branco e um hachurado. Portanto, a superfície branca e a hachurada têm mesma área.
GABARITO
11Matemática D
51) D
10
200
10
200 1010
A área total do fosso é dada pela soma das áreas dos triân-gulos destacados em vermelho mais a soma das áreas dos quadrados em branco.
AT = 4 . (200 . 10) + 4 . (10 . 10)AT = 4 . 2000 + 4 . 100AT = 8000 + 400AT = 8400 m2
A quantidade de monstros é dada por: 8400 . 0,01 = 84. Temos 84 monstros, ou seja, 84 sacos para serem consu-
midos.
52) R$ 868,00
As medidas da planta da sala são 2 cm . 3,5 cm.
Portanto, a medida real é:
13 5
200,=
a ⇒ a = 700 cm = 7 m;
12
= 200b
⇒ b = 400 cm = 4m;
O rodapé é dado pelo perímetro da sala, ou seja: 2(7 + 4) = 2 . 11 = 22 m 22 m . 14 = R$ 308,00.
O carpete é dado pela área da sala, ou seja: 7 . 4 = 28 ⇒ 28 . 20 = R$ 560,00
Gasto total: 308 + 560 = R$ 868,00
53) A
A H
GB
C F
ED
a
a
a
a a
a a
a
a
a
x x
x x
x x
x x
Aplicando Pitágoras temos que:
a2 = x2 + x2 ⇒ a2 = 2x2 ⇒ x2 = a2
2 ⇒ x =
a
2 ⇒ x = a 2
2
A = ( ). ( ). ( ).B b h x a a x x a x+=
+ +=
+2
22
22
= x2 = ax = a 22
2
+ a . a 2
2
2
= 24
2a + a2 22
= a2
2 + a
2 22
= a a2 2 22+
A = a . (2x + a) = 2ax + a2 = 2 . a . a 22
+ a2 = a2 2 + a2
AA
=
a a
a a
2 2
2 2
222
+
+ =
12
54) C
Separando a figura em 16 triângulos retângulos congruentes, percebemos que as figuras 4, 6 e 7 possuem a mesma área.
Na figura 7 descobrimos que essa área é:
b h. .
22 22
42 8
2
2
= = =
� � �� .
GABARITO
12 Matemática D
55) D
x
2x – 4
Perímetro:2(2x – 4 + x) < 4002(3x – 4) < 4006x – 8 < 4006x < 408x < 68
56) D
8
6
62
Área do passeio é:b . h = 2 . 6 = 12 m2
57) C
Temos que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AEF.
ABAE
ACAF AE
AF
AF= ⇒ =
6 3 ⇒ 3AE = 6 ⇒ AE = 2
BCEF
ABAE EF
= ⇒ =9 6
2 ⇒ 6EF = 18 ⇒ EF = 3
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo AEF:AF2 = AE2 + EF2 – 2 . AE . EF . cos 120°
AF2 = 22 + 32 – 2 . 2 . 3 . (– 12
)
AF2 = 4 + 9 + 6
AF = 19 ≅ 4,35
Temos que FC = 2FA = 2 . 4,35 = 8,7Perímetro EBCF = EB + BC + CF + FE = = 4 + 9 + 8,7 + 3 = 24,7
58) A
Sejam d1 e d2 as diagonais desse losango.d1 + d2 = 6 ⇒ d1 = 6 – d2 A área é dada por:
d d d d d d dd1 2 2 2 2
22 2
2
226
26
2 23
. ( ).=
−=− +
=−+
Descobrimos que a área do losango é dada através de uma função de 2º grau, a qual representa uma parábola com cavidade voltada para baixo. Logo, a área máxima é dada pelo y do vértice.
Yv = −=−
−=−−
∆4
3
412
92
2
a( )
. = 4,5 m2
59) D
A
D
F
E
B
C
10 10
10
Logo, FB = 102
= 5
Como Δ EFC é equilátero, traçando a altura relativa ao vértice F, teremos o lado EC dividido ao meio.
60) E
D C
BA
M
N
20 m
15 m
Sabemos que a área do triângulo
DBC = b h. .2
20 152
= = 150 m2
Como DM = MN = NB e a altura dos triângulos ΔDMC, ΔMNC e ΔNCB é a mesma, então as áreas desses triângulos são iguais.
Área ΔCMN = 1503
= 50 m2
GABARITO
13Matemática D
61) 14
01. Falso. O quadrilátero ADBC não possui um par de lados paralelos.
02. Verdadeiro. Sendo o triângulo ADB isósceles e o
ângulo DB�A medindo 60°, então o triângulo é equi-látero.
04. Verdadeiro. Como o triângulo ABC é isósceles, então BÂC = 45°.
O ângulo CÂD = DÂC + BÂC = 60° + 45° = 105°.08. Verdadeiro. A área S do quadrilátero ADBC é igual
a soma das áreas dos triângulos ABD (equilátero) e ABC (retângulo isósceles), logo:
S = � � � � �2 2 2 2 234 2
3 24 4
+ =+
= ( 3 + 2).
16. Falso. No triângulo DBC, isósceles, por uma das propriedades dos triângulos, temos DC < 2l.
Dividindo os dois membros da desigualdade pela
medida AB, tem-se DC
AB < 2��
⇒ DC
AB < 2.
Então se x = DC
AB é falso, 2 < x < 3.
62) C
Y W
M O
XP
Z
N
U
V
Sabemos que YP e ZM são medianas do triângulo ZXY. Portanto, U é o ponto de encontro das medianas e, como o triângulo ZXY é isósceles (YX = XZ), podemos afir-mar que os triângulos ΔYUX, ΔXUZ e ΔYUZ possuem mesma área.
A área do triângulo YXZ = b h. .2
12 122
1442
= = = 72 m2.
Logo, a área do triângulo YUZ = 723
= 24 m2.
A área do triângulo YVZ é igual à do triângulo YUZ. Portanto, a área do quadrilátero ZUYV é a soma das
áreas de ΔYVZ e ΔYUZ, ou seja, 24 + 24 = 48 m2.