matemática e finanças: o homem que calculava e negociava
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Precificacao via arbitragemModelo Binomial
Conclusoes
Matematica e Financas:O homem que calculava e negociava
Max O. Souza & Jorge P. Zubelli
9 de novembro de 2006
Max O. Souza & Jorge P. Zubelli Matematica e Financas: O homem que calculava e negociava
Precificacao via arbitragemModelo Binomial
Conclusoes
Outline
1 Precificacao via arbitragemReplicacaoModelo BinomialMercados Completos e Incompletos
2 Modelo BinomialO modelo basicoAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
2 Conclusoes
Max O. Souza & Jorge P. Zubelli Matematica e Financas: O homem que calculava e negociava
Precificacao via arbitragemModelo Binomial
Conclusoes
ReplicacaoModelo BinomialMercados Completos e Incompletos
Modelo de Arrow-Debreu
Vamos considerar uma economia com N ativos s1, s2, . . . , sN e Mpossıveis estados. Um investidor toma uma posicao inicial e, aposum perıodo, um estado e escolhido e a posicao do investidor eliquidada.O modelo fica totalmente especificado, a partir de
p = (p1, . . . , pN)t ∈ RN e D = (dij) ∈ RN×M ,
p e o vetor de precos
pi o preco dos ativo si
D e a matriz de fluxos de caixa.
No modelo de Arrow-Debreu, estamos supondo que D e conhecidapor todos, mas que o estado final da economia nao e conhecido apriori.
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Interpretacao da Matriz D
Para cada ativo si temos apos um periodo um fluxo Dij se o estadoda economia e j .Exemplo: Se o meu ativo sr e um ativo sem risco e sempagamento de juros temos Dr ,j = 1 para qualquer dos estadosj = 1, · · · ,M. Ou seja, linha r e (1, · · · , 1).
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Definicao
Um portfolio de ativos e um vetor
θ = (θ1, . . . , θN)t ∈ RN ,
onde θi > 0 significa que o investidor esta comprado no ativo eθi < 0 significa que o investidor esta vendido no ativo.
No modelo de Arrow-Debreu, estar vendido num ativo significatomar emprestado uma certa quantidade deste ativo e vende-lo apreco presente.
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Definicao
Um portfolio de arbitragem e um portfolio satisfazendo uma dasduas condicoes abaixo:
1
θ · p = 0, θtD ≥ 0 e, para algum j, θ · D·,j > 0
2
θ · p < 0, θtD ≥ 0
No primeiro caso, o portfolio nao tem custo inicial, nao oferecerisco de prejuızo e ainda oferece um possibilidade real de lucro. Nosegundo caso, o portfolio da lucro imediato, sem risco de prejuızono futuro.
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Teorema
Se existe um vetor de numeros positivos π, tal que
p = Dπ, (1)
entao nao existem portfolios de arbitragem.
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A partir do vetorπ = (π1, π2, · · · , πM)t
podemos definir
πj =πj∑M
k=1 πk
.
Seja
(1 + R)−1 =M∑
k=1
πk .
Vamos ver qe R representa a taxa de juros da economia.
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Ativo sem risco
Suponha que exista um ativo que garanta o pagamento de R$ 1,00,qualquer que seja o estado. O vetor de fluxo de caixa de um ativoassim seria (1, . . . , 1) ∈ R1×M . Supondo que vale (1), temosentao, se denotarmos o preco do ativo sem risco por psr que
psr =M∑
k=1
πk = (1 + R)−1
Portanto, R pode ser associado a taxa de juros sem risco vigentena economia em questao.Rescrevendo (1), temos
pi =1
1 + R
M∑j=1
Dij πj =1
1 + RE(Di ),
onde E e o valor esperado com respeito a medida de probabilidadedada por {πj}.
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Corolario
Suponha que o mercado nao admita portfolios de arbitragem e queexista emprestimo sem risco a taxa R. Entao existe uma medida deprobabilidade no conjunto de estados tal que o valor justo do ativoe o valor esperado dos seus fluxos de caixa descontado pela taxa R.
Terminologia A medida mencionada no corolario acima egeralmente conhecida como Medida Neutra ao Risco ou MedidaMartingal.Nota A probabilidade neutra ao risco nao esta associada aprobabilidade frequencial observada na economia.Mais ainda, podemos escrever
M∑j=1
πj
(Dij
pi− 1
)= R.
Ou seja, sob a probabilidade neutra ao risco, o retorno esperado dequalquer ativo e R.
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Replicacao
Definicao
Dizemos que um portfolio (θ1, . . . , θK ) de ativos S1, . . . ,SK replicao ativo S, se o fluxo de caixa do portfolio e do ativo S sao osmesmos, qualquer que seja o estado da economia.
Proposicao (Lei do Preco Unico)
Em um mercado sem oportunidade de arbitragem, se um ativoadmite um portfolio replicador, entao o preco justo do ativo e omesmo do seu portfolio replicador.
No que se segue, veremos algumas aplicacoes da Lei do PrecoUnico.
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Contrato a Termo
Definicao
Um contrato a termo e um acordo de compra de um ativo S porum valor acordado K ao fim de um certo perıodo.
Vamos de chamar de Q o preco justo deste contrato. Entao
Q = S − K
1 + R.
E conveniente escolher K de forma que Q = 0. Neste caso o precoa termo e dado por F = (1 + R)P (K = F ⇒ Q = 0).
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Definicao
Uma opcao de compra (Call) sobre o ativo S e um documento queda o direito, mas nao a obrigacao, ao seu detentor de comprar umaunidade do ativo S pelo preco K—dito o strike—no tempo T , quee o tempo de expiracao da opcao.
Definicao
Uma opcao de venda (Put) sobre o ativo S e um documento queda o direito, mas nao a obrigacao, ao seu detentor de vender umaunidade do ativo S pelo preco K—dito o strike—no tempo T , quee o tempo de expiracao da opcao.
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Porque o uso opcoes? Pequeno historico:
Usadas na forma de contratos por seculos.
Holanda Sec. XVII. Plantadores de tulipas necessitavam deseguranca em relacao a flutuacoes dos precos. Contratos paravender tulipas por um preco dado.
Londres Sec. XVIII. Porem faltavam instrumentos p/ garantircumprimento dos contratos....
Regulamentacao em 1930.
Inıcio dos anos 70 o uso de opcoes ganhou importanciaeconomica.
1973 CBOE.
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Pequeno historico. Cont.
Atualmente mercado de derivativos (ou seja instrumentosderivados de bens primarios) ultrapassa em muito o valor domercado primario.
Merton (1969) e (1971). Selecao de portfolios sob incerteza.
Black-Scholes (1973) Pricing of options and corporateliabilities.
1997 Nobel de economia p/ Merton e Scholes.
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Paridade Put-Call
Vamos mostrar que vale a relacao:
P = C − S +K
1 + R.
Vamos considerar a posicao no lado esquerdo da equacao:comprado numa opcao de compra e em K/(1 + R) no banco evendido no ativo. Se no tempo de expiracao, o valor for menor queK , entao a opcao de compra nao e exercida, temos K no banco eestamos vendidos no ativo, o que corresponde exatamente ao fluxode caixa de uma opcao de venda nesse caso. Se o preco do ativofor maior do que K , exercemos a opcao de compra usando os Kreais disponıveis no banco e retornamos o ativo vendido, ficandocom uma posicao zerada.
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Contrato A TERMONas figuras abaixo vemos geometricamente uma replicacao de umcontrato a termo atraves dos graficos do valor de vencimento deuma posicao comprada em opcoes de compra e vendida em opcoesde venda.
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CALL
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PUT
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Contrato a Termo
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Exemplo de Aplicacao da Teoria:
Financiamento da firma: Acionistas + Emprestimos Bancarios.S = S(t) valor total de uma firma: Soma do valor de suas acoes edo debito com o banco.
Ao fim de um periodo t = T ela deve pagar um bond ao bancocom valor de face K . O restante e pago aos acionistas. Payoff paraos acionistas: (S(T )− K )+
Cabera ao banco: min(S(T ),K ) = K − (K − S(T ))+. Por naoarbitragem: (para t < T )
S(t) = E (t) + D(t)
(a identidade acima e fundamental em contabilidade)S(t) = valor total da firma.E (t) = valor para os acionistas (equity).D(t) = debito = valor do bond devido aos bancos. Note que E (t)e o preco de uma call sobre S com strike K e vencimento TD(t) = K/(1 + R)T−t − P(t) onde P(t) e o valor de uma put.(Obs.: aqui T − t e medido em perıodos ate o vencimento).
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Exemplo de Aplicacao da Teoria:
Financiamento da firma: Acionistas + Emprestimos Bancarios.S = S(t) valor total de uma firma: Soma do valor de suas acoes edo debito com o banco.Ao fim de um periodo t = T ela deve pagar um bond ao bancocom valor de face K . O restante e pago aos acionistas. Payoff paraos acionistas: (S(T )− K )+
Cabera ao banco: min(S(T ),K ) = K − (K − S(T ))+.
Por naoarbitragem: (para t < T )
S(t) = E (t) + D(t)
(a identidade acima e fundamental em contabilidade)S(t) = valor total da firma.E (t) = valor para os acionistas (equity).D(t) = debito = valor do bond devido aos bancos. Note que E (t)e o preco de uma call sobre S com strike K e vencimento TD(t) = K/(1 + R)T−t − P(t) onde P(t) e o valor de uma put.(Obs.: aqui T − t e medido em perıodos ate o vencimento).
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Exemplo de Aplicacao da Teoria:
Financiamento da firma: Acionistas + Emprestimos Bancarios.S = S(t) valor total de uma firma: Soma do valor de suas acoes edo debito com o banco.Ao fim de um periodo t = T ela deve pagar um bond ao bancocom valor de face K . O restante e pago aos acionistas. Payoff paraos acionistas: (S(T )− K )+
Cabera ao banco: min(S(T ),K ) = K − (K − S(T ))+. Por naoarbitragem: (para t < T )
S(t) = E (t) + D(t)
(a identidade acima e fundamental em contabilidade)S(t) = valor total da firma.E (t) = valor para os acionistas (equity).D(t) = debito = valor do bond devido aos bancos.
Note que E (t)e o preco de uma call sobre S com strike K e vencimento TD(t) = K/(1 + R)T−t − P(t) onde P(t) e o valor de uma put.(Obs.: aqui T − t e medido em perıodos ate o vencimento).
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Exemplo de Aplicacao da Teoria:
Financiamento da firma: Acionistas + Emprestimos Bancarios.S = S(t) valor total de uma firma: Soma do valor de suas acoes edo debito com o banco.Ao fim de um periodo t = T ela deve pagar um bond ao bancocom valor de face K . O restante e pago aos acionistas. Payoff paraos acionistas: (S(T )− K )+
Cabera ao banco: min(S(T ),K ) = K − (K − S(T ))+. Por naoarbitragem: (para t < T )
S(t) = E (t) + D(t)
(a identidade acima e fundamental em contabilidade)S(t) = valor total da firma.E (t) = valor para os acionistas (equity).D(t) = debito = valor do bond devido aos bancos. Note que E (t)e o preco de uma call sobre S com strike K e vencimento TD(t) = K/(1 + R)T−t − P(t) onde P(t) e o valor de uma put.(Obs.: aqui T − t e medido em perıodos ate o vencimento).
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Modelo Binomial
Vamos considerar uma economia com dois ativos e dois possıveisestados, i.e, N = M = 2 no modelo de Arrow-Debreu.Vamos supor que haja emprestimo a taxa R—um ativo sem risco.O ativo de risco tem preco P e fluxos de caixa P ×U no estado I eP × D no estado II, com D < U.
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Vamos supor que vale nao-arbitragem para essa economia. Nessecaso, temos que ter
P =1
1 + R{π1PU + π2PD}
π1 + π2 = 1.
Que pode ser rescrito como
π1 + π2 = 1
π1U + π2D = 1 + R
cuja solucao e
π1 =1 + R − D
U − De
U − (1 + R)
U − D.
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Note que temos solucoes positivas se, e somente se,
D < 1 + R < U.
Essa condicao esta diretamente relacionada com nao-arbitragem.De fato, se 1 + R ≥ U, uma posicao vendida no ativo de risco comuma contrapartida comprada num deposito remunerado garanteum fluxo de caixa nao-negativo, com possibilidade de um fluxopositivo. Por outro lado, se 1 + R ≤ D, uma posicao comprada noativo e um emprestimo correspondente, tambem garante fluxosnao-negativos, como possibilidade de fluxo positivo. Nos doiscasos, temos uma arbitragem.
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Pagamento contigenciado ao estado
Considere um ativo que tem fluxo de caixa D1 no estado I e D2 noestado II.Um argumento de nao arbitragem nos da que o preco justo desseativo seria
V =1
1 + R{π1D1 + π2D2}
Em palavras: O preco justo (hoje) do contrato contingenciado e ovalor esperado do fluxo de caixa com relacao a medida neutra aorisco descontado a taxa de juros.
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Exemplo
Considere uma Call no ativo de risco com PD < K < PU. Nessecaso os possıveis fluxos de caixa sao
D1 = PU − K e D2 = 0.
Portanto, o valor justo desta call, Vcall, e dado por
Vcall =1
1 + R
1 + R − D
U − D(PU − K )
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Hedging e Replicacao
Considere um portfolio θ = (θ1, θ2)t , com θ1 unidades do ativo de
risco a um preco P e θ2 unidades em deposito remunerado—a umpreco de 1/1 + R.O valor do portfolio vai ser entao
θ1PU + θ2 = D1, no estado I;
θ1PD + θ2 = D2, no estado II.
Resolvendo para θ1 e θ2, temos
θ1 =D1 − D2
PU − PDe θ2 =
UD2 − DD1
U − D
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Logo, o valor do portfolio sera
V = θ1P +θ2
1 + R
i.e.
V =1
1 + R{π1D1 + π2D2}.
Moral Em alguns mercados, temos uma probabilidade neutra aorisco se, e somente se, podemos construir portfolios replicadores.Nesse caso, podemos precificar ativos atraves da Lei do PrecoUnico.
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Definicao
Um mercado com N ativos e M estados e dito completo se, paratodo vetor de fluxo de caixa (D1, . . . ,DM)t , existe um portfolioθ = (θ1, . . . , θN)t , cujo fluxo de caixa no estado j e Dj .
Em outras palavras,
θtD = Et , E ∈ RM
tem sempre solucao.Isso sera o caso quando
postoDt = M.
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Proposicao
Suponha uma economia sem arbitragem. O mercado e completose, e somente se, existe um unico vetor de precos de estadosatisfazendo (1), ou seja,
p = Dπ,
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Prova
Suponha que o mercado e completo. Entao, temos
posto(Dt) = M ⇒ nul(D) = 0.
Portanto D e injetora e, assim, a equacao Dπ = p tem, nomaximo, uma unica solucao.CONTINUA ...
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Por outro lado, suponha que o mercado nao seja completo. Nessecaso,
posto(Dt) < M ⇒ posto(D) < M
Isso quer dizer, que existe v ∈ RM satisfazendo Dv = 0. Masentao, se π e um vetor de preco de estados, temos que
D(π + ρv) = p.
Como π tem entradas positivas, tomando ρ suficientementepequeno temos que π + ρv tem entradas positivas. Assim, osprecos de estado nao sao unicos.
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O Modelo Trinomial
Considere uma economia com dois ativos, N = 2 e tres possıveisestados M = 3, com fluxos de caixas PU, PM e PD, D < M < Ue emprestimo sem risco a taxa R.Temos entao
π1 + π2 + π3 = 1
Uπ1 + Mπ2 + Dπ3 = 1.
Mais uma vez, temos solucoes positivas apenas se
D < 1 + R < U.
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As solucoes positivas sao segmentos de reta com extremos
π1 =1 + R − D
U − D, π2 = 0 e π3 =
1 + R − D
M − D
e
π1 = 0, π2 =M − (1 + R)
M − De π3 =
1 + R − D
M − D(M ≥ 1+R);
ou
π1 =1 + R −M
U −M, π2 =
U − (1 + R)
U −Me π3 = 0 (M < 1+R).
Como
V =1
1 + R{π1D1 + π2D2 + π3D3}
Programacao linear Maximo de V ocorre nos pontos extremos
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ReplicacaoModelo BinomialMercados Completos e Incompletos
Exemplo
Considere um call com strike K satisfazendo PM < K < PU.Nesse caso, os fluxos de caixa sao: PU − K no estado I, e zero nosestados II e III.Assim, se M ≥ 1 + R, temos que
Vcall =π1
1 + RD1
{V + 1+R−D
(1+R)(U−D)(PU − K )
V− 0
Se, M < 1 + R, temos em vez:
Vcall =π1
1 + RD1
{V + 1+R−D
(1+R)(U−D)(PU − K )
V− 1+R−M(1+R)(U−D)(PU − K )
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Conclusoes
Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
Interpretacao Financeira
Podemos interpretar esses limites nos precos dos ativos em termosde aversao ao risco: um comprador vai sempre oferecer V− (Bid)para nao estar correndo risco. Por outro lado, para nao incorrer emriscos, um vendendor vai estar sempre pedindo V + (Ask). No casode uma negociacao por V , com V− < V < V +, existe risco tantopara o comprador quanto para o vendedor.
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Conclusoes
Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
Modelo Binomial
Como antes, dois ativos e dois estados, mas N + 1 datas denegocio.Vamos denotar por Sn o preco do ativo de risco em t = tn. Adinamica de precos do ativo e dada por
Sn+1 = Hn+1Sn, 0 ≤ n ≤ N − 1,
onde
Hn =
{U com probabilidade p,D com porbabilidade q,
com p + q = 1.
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Conclusoes
Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
Entretanto, ja vimos que as probabilidade frequenciais nao saoreleventes para uma precificacao correta do ativo. Vamos suporque exista uma medida neutra ao risco e que, nessa medida, emcada perıodo o valor correto do ativo e o valor esperado do fluxode caixa no proxio perıodo. Mais precisamenteHipotese Martingal Existe uma medida de probabilide para Hn
tal que
Sn =1
1 + RE(Sn+1|Sn),
que pode ser escrita como
1 =1
1 + R{UPU + DPD}, PU + PD = 1.
A unica solucao do sistema acima e dada por
PU =1 + R − D
U − D, PD =
U − (1 + R)
U − D, D < 1 + R < U.
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Conclusoes
Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
Logo temos o seguinte resultado
Proposicao
Dados parametros U, D e R, satisfazendo D < 1 + R < U, existeuma unica medida de probabilidade neutra ao risco para Hn e,consequentemente, para a os espaco de caminhos de preco doativo de risco.
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Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
Precificacao via Medida Neutra ao Risco
Suponha um payoff F (S). Vencimento em t = tN .Vamos denotar por S j
n o preco do ativo no tempo t = tn, que tevej choques de preco dados por U. Vamos escrever tambemV j
n = V (S jn), onde Vn(Sn) denota o preco do contrato no tempo
t = tn com o ativo custando Sn. Sob a medida neutra ao risco:
V jn =
1
1 + RE{Vn+1|Sn = S j
n}
V jn =
1
1 + R{PuV
j+1n+1 + PDV j
n+1}
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Conclusoes
Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
Temos que ter tambem a condicao terminal, i.e,
V jN = F (S j
N).
Para resolver a recursao acima em forma fechada, escrevemos
V jn =
1
1 + R
N−n
E{F (SN)|Sn = S jn}
=1
1 + R
N−n N∑k=0
Prob(SN = SkN |Sn = S j
n)F (SkN).
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Conclusoes
Mercados Completos e IncompletosAnalise de media e varianciaAproximacao Lognormal
Mas
Prob(SN = SkN |Sn = S j
n)F (SkN) =
(N − nk − j
)Pk−j
U PN−n−k+jD .
Portanto,
V jn =
1
1 + R
N−n N−n+j∑k=k
(N − nk − j
)Pk−j
U PN−n−k+jD F (Sk
N).
Se n = j = 0, temos
V 00 =
1
1 + R
N N∑k=0
(Nk
)Pk
UPN−kD F (Sk
N).
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Precificacao via arbitragemModelo Binomial
Conclusoes
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Precificacao via Replicacao
Considere um portfolio θjn = (∆j
n,Bjn)t . O valor do portfolio sera
V jn = ∆j
nSjn + B j
n.
Dependendo do estado, teremos
∆j+1n + B j
n(1 + R) = V j+1n+1
∆jn + B j
n(1 + R) = V jn+1
Resolvendo para ∆jn e B j
n, obtemos
∆jn =
V j+1n+1 − V j
n+1
S j+1n+1 − S j
n+1
e B jn = − 1
1 + R
S jn+1V
j+1n+1 − S j+1
n+1Vjn+1
S j+1n+1 − S j
n+1
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Conclusoes
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Portanto
V jn =
1
1 + R
[S j
n(1 + R)− S jn+1
S j+1n+1 − S j
n+1
V j+1n+1 +
S j+1n+1 − S j
n(1 + R)
S j+1n+1 − S j
n+1
V jn+1
]=
1
1 + R[PUV j+1
n+1 + PDV jn+1]
Levando em conta que V jN = F (S j
N), temos a mesma recursaoanterior.Obs A recursao acima corresponde a uma equacao de diferencaspara o preco. No caso de tempo contınuo esta e a celebre equacaode Black-Scholes.
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Conclusoes
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Temos entao a seguinte estrategia:
1 No tempo t = tn montamos um portfolio θjn = (∆j
n,Bjn)t .
2 A partir daı
∆jk =
V j+1k+1 − V j
k+1
S j+1k+1 − S j
k+1
, n ≤ k ≤ N.
3 Claramente teremos
B jk = V j
k −∆jkS j
k .
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Conclusoes
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Precificacao de Calls & Puts
No caso de uma Call, temos
F (SN) = max(SN − K , 0)
Escrevendo S00 = S , temos que
C (S ,K ;N) =1
(1 + R)N
∑k=0
N
(Nk
)Pk
UPN−kD max(Sk
N − K , 0)
=1
(1 + R)N
∑Sk
N≥K
N
(Nk
)Pk
UPN−kD (SN − K )
=N∑
k>k0
(Nk
)Qk
UQN−kD − K
1 + R
N N∑k>k0
(Nk
)Pk
UPN−kD ,
onde
QU =U
1 + RPU e QD =
D
1 + RPD .
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Conclusoes
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Note que QU + QD = 1. Tambem
k0 = ln(K/SDn)/ ln(U/D).
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Conclusoes
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Construcao do Portfolio Replicador
E jn =
1
1 + R
[PUE j+1
n+1 + PDE jn+1
]satisfazendo as seguintes condicoes
E jN = S j
N , S jN ≥ K e E j
N = 0, S jN < K .
B jn =
1
1 + R
[PUB j+1
n+1 + PDB jn+1
],
satisfazendo
B jN = −K , S j
N ≥ K e B jN = 0, S j
N < K .
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Conclusoes
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Assim observamos que o portfolio replicador e basicamente:
Ficar comprando no ativo de risco
Ficar vendido em dinheiro—contrair uma dıvida.
Note tambem que
∆ → 1, quando S � K ;
∆ → 0, quando S � K ;
No caso da Put, podemos usar a paridade Put-Call, i.e,
P = C − S +K
1 + R,
donde
P(S ,K ;N) =K
(1 + R)N
k<k0∑k=0
(Nk
)Pk
UPN−kD −S
k<k0∑k=0
(Nk
)Qk
UQN−kD
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Conclusoes
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Seja
dt =T
N, R = edt − 1 ≈ dt.
Seja Y o processo de crescimento dado por
Y =1
Tln
(SN
S0
)Para o ativo sem risco temos Y = r .Por outro lado, no caso do ativo de risco temos
ln
(SN
S0
)=
N∑n=1
ln
(Sn
Sn−1
)=
N∑n=1
ln(Hn).
Vamos escrever
ν = E(Y ) =1
T
N∑n=1
E(ln(Hn)) =1
dt{lnUPU + lnDPD}.
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Conclusoes
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Por outro lado,
VarY =1
T 2
(N∑
n=1
ln(Hn)
)=
N
T 2Var (ln(H1)).
Logo
VarY =1
Tdt
{ln2 UPU + ln2 DPD − [lnUPU + lnDPD ]2
}=
1
Tdt
[ln
(U
D
)]2
PUPD .
Fazendo T = 1, temos a volatilidade do ativo de risco:
σ2 =1
dt
[ln
(U
D
)]2
PUPD .
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Calibragem
SejaU = U ′edt , D = D ′edt .
Nesse caso, temosU ′PU + D ′PD = 1
SejaU
D= e2ρ
√dt .{
PU + PD = 1
PUPD = σ2
4rho2
PU =1
2
1±
√1− σ2
ρ2
e PD =1
2
1∓
√1− σ2
ρ2
Como
PU =1− D ′
U ′ − D ′ e PU =U ′ − 1
U ′ − D ′ .
Nesse caso, teremos
U ′ =eρ√
dt
PDe−ρ√
dt + PUeρ√
dte D ′ =
e−ρ√
dt
PDe−ρ√
dt + PUeρ√
dt
Logo
U =eρ√
dt+rdt
PDe−ρ√
dt + PUeρ√
dte D
e−ρ√
dt+rdt
PDe−ρ√
dt + PUeρ√
dt
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Crescimento esperado
Vamos calcular
ν = E(Y ) =1
dt{lnUPU + lnDPD}
Substituindo os valores de U e D, obtemos:
ν =1
dt
{rdt + (PU − PD)
ρ√dt− ln
[PDe−ρ
√dt + PUeρ
√dt]}
= r + (PU − PD)ρ√dt− 1
dtln
[1 + (PU − PD)ρ
√dt +
ρ2dt
2+O(dt3/2)
]= r + (PU − PD)2
ρ2
2− ρ2
2+O(dt1/2)
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PU − PD = ±
√1− σ2
ρ2,
obtemos
ν = r − σ2
2+O(dt1/2). (2)
Note que o ganho esperado, para dt � 1 depende apenas da taxade juros e da volatilidade do ativo de risco e nao da percepcaosubjetiva de crescimento do ativo dada por ρ. Esse e um dospontos cruciais da teoria.
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Vamos estudar o modelo binomial, quando dt → 0.Note que, nesse caso, temos
ν = r − σ2
2e, de qualquer maneira, temos
Var (Y ) =σ2
TA lei dos grande numeros nos garante que, quando dt → 0, i.e,quando N →∞, o processo Y deve convergir—num sentidoapropriado—para uma variavel aleatorio com distribuicao normal.Como a media foi ajustada, em primeira ordem, e a variancia e doprocesso Y e fixa, temos que, neste limite, devemos ter umanormal com media znu e variancia σ2.Em outras palavras
Y =σ√T
Z + r − σ2
2,
onde Z e N(0, 1).Max O. Souza & Jorge P. Zubelli Matematica e Financas: O homem que calculava e negociava
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Portanto, da definicao de Y , que
ST = Seσ√
TZ+(r−σ2/2)T (3)
A expressao (3) e denominada a aproximacao lognormal para omodelo binomial e corresponde a aproximacao obtida, no limitedt → 0.Considere um pagamento contigenciado com valor no vencimentodado por F (SN).O valor desse contranto em t = 0 e
V = e−rT E(F (SN)).
Sob hipoteses bastante razoaveis—por exemplo crescimento linearde F , quando S →∞—o Teorema do Limite Central nos garanteque
limdt→0
V = e−rT 1√2π
∫ ∞
−∞F(Seζσ
√T+(r−σ2/2)T
)e−ζ2/2 dζ
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Formula de Black-Scholes
No caso de uma opcao de compra (Call), temos
C (S ,K ;T ) = e−rT 1√2π
∫ ∞
−∞max
{Seζσ
√T+(r−σ2/2)T , 0
}e−ζ2/2 dζ
= e−rT 1√2π
∫ ∞
−d2
Seζσ√
T+(r−σ2/2)T e−ζ2/2 dζ−
− Ke−rT 1√2π
∫ ∞
−d2
e−ζ2/2 dζ,
onde
−d2 =1
σ√
Tln
(S
K
)+
(r − σ2
2
) √T
σ.
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Denotando a densidade de probabilidade da normal de media zeroe variancia um por
N(z) =1√2π
∫ z
−∞e−ζ2/2 dζ,
temos que
C (S ,K ;T ) = SN(d1)− e−rTKN(d2),
onde
d1,2 =1
σ√
Tln
(SerT
K
)± σ
2
√T .
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No caso de uma opcao de compra podemos usar a paridadePut − Call e o fato de N(−z) = 1− N(z) para obtermos
P(S ,K ;T ) = Ke−rTN(−d2)− SN(−d1).
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Conclusoes
Conclusoes
Conceito de Nao-Arbitragem
Conceito de Medida Neutra ao Risco
Contratos Contingenciados
Precificacao por Medida Neutra ao Risco e porNao-Arbitragem
Modelo Binomial
Formula de Black-Scholes
Opcoes/Derivativos/Avaliacao de Firmas
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Conclusoes
Bibliografia Anotada
Referencia Fundamental na preparacao destas notas: Livro deMarco Avellaneda e Peter Laurence Quantitative Modeling ofDerivative and Securities: From Theory to Practice
Korn & Korn: Option Pricing and Portfolio Optimization.
Paginas uteis: http://www.impa.br/ zubelli/MATHFI
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