matemática e raciocínio lógico
TRANSCRIPT
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
1
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
Prezado(a) Aluno(a),
Lembre-se dos motivos que o
levam a estudar para o
concurso. Faa um cronograma de
estudos e avalie constantemente
como est seu desempenho
conforme voc faz exerccios e
questes de provas anteriores.
Planeje o tempo de estudo e de
descanso. Com organizao,
disciplina e fora de vontade
possvel conciliar estudo eficiente
com lazer e trabalho.
Procure resolver todas as questes
da apostila. Em caso de dvida,
use o blog:
(www.valclides.blogspot.com)
ou e-mail:
Lembre-se de que necessrio
acompanhar todas as aulas, pois
cada uma pode abordar contedos
diferentes.
Bem vindo ao Curso e sucesso em
sua caminhada!
Valclides Guerra
Professor
Matemtica Prof.: Valclides Guerra
Contedo abordado nesta apostila:
1. Mltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);
2. Conjuntos numricos: nmeros Inteiros; nmeros
Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais;
3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau,
Problemas do 1 Grau;
4. Razo e Proporo, Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples e
Composta;
5. Porcentagem.
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
2
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
M A T E M T I C A
1. Mltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);
2. Conjuntos numricos: nmeros Inteiros; nmeros
Racionais; nmeros Irracionais e nmeros Reais.
3. Equaes do 1 Grau. Sistema de Equao do 1 Grau,
Problemas do 1 Grau;
4. Razo e Proporo, Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais, Regra de Trs Simples e
Composta;
5. Porcentagem.
Apresentao
atemtica uma das cincias mais aplicada em
nosso cotidiano. Se prestarmos ateno notaremos que em simples atitudes utilizamos
os nossos conhecimentos bsicos de matemtica, como:
olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto,
fazer relao de distncias entre cidades etc. Por tudo
isso, caros estudantes, a Matemtica exercita nossa
mente, nos torna mais racionais. Comeamos ter uma
viso: do espao, das pessoas, dos acontecimentos em
geral, de forma mais ampliada. Portanto, caros
concurseiros, o estudo da Matemtica no uma
OBRIGAO, e sim uma NECESSIDADE.
DICA para resolver problemas
Prezados concurseiros, em concurso
pblico, as questes de Matemtica so quase sempre constitudas por
problemas. O que faz uma boa parte
dos candidatos ter dificuldades para
entender o que, de fato, est sendo
perguntado e o que temos para
podermos garantir a resposta correta e em um curto
espao de tempo. E para resolvermos estes problemas
devemos desenvolver:
Uma boa interpretao de texto procure lembrar se voc j resolveu uma questo correlata e aplique o mesmo mtodo. Primeiro, voc tem de
entender o problema: Qual a incgnita? Quais so
os dados? Quais so as condies? possvel
satisfazer as condies? Elas so suficientes para
determinar a incgnita? Ou so insuficientes? Ou
redundantes? Ou contraditrias? Faa uma figura.
Outra se necessrio, introduza notao adequada.
Separe as condies em partes.
A linguagem Matemtica (construa uma estratgia para resoluo do problema): perceba se
voc pode resolv-lo de outra forma, talvez por um caminho mais curto!!! Perceba conexes entre os
dados. Talvez seja conveniente considerar
problemas auxiliares ou particulares, se uma
conexo no for achada em tempo razovel.
E claro, o conhecimento dos contedos matemticos (execute a estratgia). Frequentemente esta a etapa mais fcil do
problema. Preste ateno s incgnitas e procure
perceber se ser necessrio fazer uso de alguma
frmula.
REVISE examine a soluo obtida e verifique o resultado e o argumento.
RESUMINDO:
1) Ler atentamente o problema;
2) Estabelecer qual a incgnita;
3) Montar uma equao traduzindo os dados do
problema;
4) Resolver a equao;
5) Verificar se a raiz da equao resposta do
problema;
6) Dar a resposta do problema.
Logo, percebemos que resolver problemas depende de um grande esforo pessoal
Simbologia Matemtica mais usual
Na Matemtica, muitas informaes so
apresentadas em forma simblica, o que faz necessrio
conhecermos alguma simbologia bsica, vamos l?
= (igual )
(diferente de)
ou { } (conjunto vazio)
(pertence )
(no pertence )
(est contido)
(no est contido)
(contm)
(no contm)
(existe pelo menos um)
(no existe)
| (existe e nico)
| (tal que / tais que)
(ou)
(e)
BA (interseo dos conjuntos A e B) BA (unio dos conjuntos A e B)
(para todo, qualquer que seja)
(implica)
(implica e a recproca equivalente)
(donde se conclui)
M
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
3
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
A CRIAO DOS NMEROS
Os nmeros foram inventados pelos homens. Mas
sua criao no aconteceu de repente surgiu da
necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas l
do primrio?). O homem primitivo, por exemplo,
contava traando riscos na madeira ou no osso, ou ainda,
fazendo ns em uma corda. Como era difcil contar
quantidades grandes e efetuar clculos com pedras, ns
ou riscos simples, a necessidade de efetuar clculos com
maior rapidez levou o homem a criar smbolos, para
representar quantidade. Na antiguidade, nem todos os
povos usavam os mesmos smbolos. Vamos conhecer
como alguns povos dessa poca contavam.
A numerao dos romanos Os romanos representavam quantidades usando as
prprias letras de seu alfabeto:
I - valia uma unidade
V - valia cinco unidades
X - representava dez unidades
L - indicava cinqenta unidades
C - valia cem unidades
D - representava quinhentas unidades
M - indicava mil unidades
As quantidades eram representadas colocando se os
smbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinte
regra:
Os smbolos iguais juntos, at trs, significava soma de valores:
III = 1 + 1 + 1 = 3
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
CCC = 100 + 100 + 100 = 300
Dois smbolos diferentes juntos, com o nmero menor aparecendo antes do maior, significava
subtrao de valores:
IV = 5 - 1 = 4
XL = 50 - 10 = 40
XC = 100 - 10 = 90
Dois smbolos diferentes juntos, com o maior aparecendo antes do menor, significa soma de
valores:
LX = 50 + 10 = 60
CCXXX = 200 + 30 = 230
DC = 500 + 100 = 600
MMMD = 3.000 + 500 = 3.500
Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um trao horizontal sobre as letras
correspondentes quantidade de milhares:
__
IV = 4.000
_
V = 5.000
_____
XXIII = 23.000
Observao: Os romanos no conheciam um smbolo para representar o nmero zero.
A NUMERAO DOS HINDUS
Foram os hindus que inventaram os smbolos que
usamos at hoje:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Esses smbolos, divulgados pelos rabes, so
conhecidos como algarismos indo-arbicos e com eles
escrevemos todos os nmeros. Mais adiante vamos falar
sobre o sistema de numerao que usamos. Voc sabe,
por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem
diferentes.
NMEROS NATURAIS
Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.)
empregamos os nmeros:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...
Esses nmeros so chamados de nmeros naturais. Existem infinitos nmeros naturais os nmeros que
aparecem juntos, como na seqncia acima so
chamados nmeros consecutivos.
Exemplo: 12 e 13 so consecutivos 13 o sucessor (vem
depois) e 12 o antecessor (vem antes) de 13.
Lembrem-se concurseiros, conjunto dos nmeros
naturais baseado na existncia do ZERO e na
propriedade que todo nmero tem sucessor e antecessor.
Apenas o Zero no tem antecessor.
Observaes:
1) Todo nmero natural tem um sucessor ( o que vem
depois).
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
4
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
2) Todo nmero natural tem um antecessor ( o que vem antes), com exceo do zero.
3) Um nmero natural e o seu sucessor so chamados
nmeros consecutivos.
PAR OU IMPAR
Um nmero natural par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou
8.
Os nmeros pares so: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...
Um nmero mpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9.
Os nmeros mpares so: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...
Conjuntos Numricos
CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS
Como decorrncia da necessidade de contar objetos
surgiram os nmeros naturais que simbolizado pela
letra N e formado pelos nmeros 0, 1, 2, 3, , ou seja: N = {0; 1; 2; 3; }. Um subconjunto de N muito usado o conjunto dos nmeros naturais menos o zero, ou seja, N - {0} = conjuntos dos nmeros naturais positivos, que
representado por N*.
Observaes:
1) Em N so definidas apenas as operaes de adio e multiplicao, apenas estas so garantidas nas
operaes dentro do conjunto N;
2) Isto fato, pois se a e b so dois nmeros naturais ento a + b e a.b so tambm nmeros naturais. Esta propriedade conhecida como fechamento da
operao;
3) Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adio e 1 para a
multiplicao) para as duas operaes e a
distributiva para a multiplicao em N. Em N a
subtrao no considerada uma operao, pois se
a diferente de zero pertence a N o simtrico -a no
existe em N.
DICCA para o aluno
Caso voc escreva do nmero a at o nmero b,
voc escrever ao todo (b a + 1) nmeros.
Exemplo: de 23 a 58 = 58 23 + 1 = 36.
Caso voc escreva os nmeros existentes entre a e
b, voc escrever ao todo (b a 1) nmeros.
Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 23 1 = 34.
De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes
como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1
a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.
De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes
como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes
como centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo
aparece 3000 vezes.
De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10n 1
vezes como unidade, 10n 1 vezes como dezena e
10n 1 vezes como centena.
01) A diferena entre o menor nmero de trs algarismo
e o maior nmero de dois algarismos :
a) 5
b) 3 c) 1
d) 2
e) 4
02) Quantos nmeros da sucesso de nmeros inteiros
existem de 12 a 98
a) 87
b) 86
c) 88
d) 85
e) 110
GABARITO: 01) C 02) A
CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS
Interseo do conjunto dos naturais e dos inteiros.
Chama-se o conjunto dos nmeros inteiros,
representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; }
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notveis que possuem notao prpria para represent-
los:
a) Conjunto dos inteiros no negativos:
Z+ = {0; 1; 2; 3; }
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
5
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
b) Conjunto dos inteiros no positivos:
Z- = {; -3; -2; -1; 0}
c) Conjunto dos inteiros no nulos:
Z* = {, -3; -2; -1; 1; 2; 3; }
d) Conjunto dos inteiros positivos:
Z+* = {1; 2; 3; }
e) Conjunto dos inteiros negativos:
Z-* = {; -3; -2; -1}
Note que Z+ = N e, por essa razo, N um subconjunto
de Z.
Observaes:
1) No conjunto Z, alm das operaes e suas
propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simtrico ou oposto para a adio. Isto
: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma
que a + (-a) = 0;
2) Devido a este fato podemos definir a operao de
subtrao em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b
pertencente a Z;
3) Note que a noo de inverso no existe em Z. Em
outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente
de 1 e de -1, 1/q no existe em Z;
4) Por esta razo no podemos definir diviso no
conjunto dos nmeros inteiros;
5) Outro conceito importante que podemos extrair do
conjunto Z o de divisor. Isto , o inteiro a
divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se
existe um inteiro c tal que b = ca;
6) Os nmeros inteiros podem ser representados por
pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos
um ponto de origem, o zero, e sua esquerda
associam-se ordenadamente os inteiros negativos e
sua direita os inteiros positivos, separados por
intervalos de mesmo comprimento;
7) Cada ponto da reta orientada denominado de
abscissa;
8) Em Z podemos introduzir o conceito de mdulo ou
valor absoluto: |x| = x se x 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrncia da
definio temos que |x| 0 para qualquer nmero inteiro.
A ordem dos inteiros:
H uma classe de inteiros, chamada classe dos
inteiros positivos (ou classe dos nmeros naturais), que
goza das seguintes propriedades:
A soma de dois inteiros positivos um inteiro positivo;
O produto de dois inteiros positivos um inteiro positivo;
Para cada inteiro A, uma e somente uma das
seguintes alternativas verdadeira, ou A = 0, ou A
negativo, ou A positivo (lei da tricotomia).
Definimos as relaes , , por:
A > B (A maior do que B) se e s se A - B positivo
A < B (A menor do que B) se e s se B > A
A B (A maior ou igual a B) se e s se A > B ou A = B
A B (A menor ou igual a B) se e s se A < B ou A = B
claro que A positivo se e s se A > 0.
Multiplicao de Nmeros Inteiros
O conjunto dos nmeros inteiros
surgiu da necessidade de o homem manipular valores negativos,
relacionados a assuntos comerciais
e financeiros. Nesse conjunto, cada
nmero inteiro positivo possui sua representao
negativa. Na multiplicao de nmeros inteiros, devemos
seguir algumas condies de acordo com o sinal dos
nmeros. Nessas operaes o jogo de sinal usado de
forma sistemtica, de acordo com o seguinte quadro de
sinais:
( + ) . ( + ) = +
( + ) . ( ) = ( ) . ( + ) = ( ) . ( ) = +
Os dois nmeros possuem o mesmo sinal.
Nmero positivo multiplicado por nmero positivo
(+ 3) . (+ 7) = + 21
(+ 5) . (+ 9) = +45
(+ 21) . (+ 10) = + 210
(+ 4) . (+ 9) = +36
(+ 8) . (+ 10) = +80
(+ 22) . (+ 5 ) = +110
Nmero negativo multiplicado por nmero negativo
( 9) . ( 5) = + 45
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
6
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
(12) . ( 4) = + 48 ( 3) . ( 7) = +21 ( 8) . ( 9) = +72 ( 10) . ( 7) = +70 (12) . (5) = +60
Os dois nmeros possuem sinais diferentes.
Nmero positivo multiplicado por negativo e vice-versa:
(+ 7) . ( 9) = 63 ( 4) . (+ 7) = 28 ( 6) . (+ 7) = 42 (+ 8) . ( 6) = 48 (+ 6) . ( 5) = 30 (120) . (+ 3) = 360
Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro da multiplicao o nmero 1 (um). Veja:
(+ 1 ) . ( + 96) = + 96
(1) . (98) = + 98 ( 14) . (+ 1) = 14 (1) . (+ 9) = 9 (+ 2) . (+ 1) = +2
(32) . (1) = +32
Podemos verificar que na multiplicao de nmeros inteiros ao multiplicamos nmeros com sinais iguais,
temos que o resultado um nmero positivo, e quando
multiplicamos nmeros com sinais diferentes, o resultado
um nmero negativo.
MDULO:
Definimos o mdulo ou valor absoluto do inteiro A,
representado por A
, pondo:
0,
0,
AseA
AseAA
DIVISIBILIDADE:
Um inteiro A divisvel por um inteiro B se e s
existe um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso,
dizemos que A mltiplo de B, ou que B divide A, e
escrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros que
so divisveis por 2 e de mpares os que no so
divisveis por 2.
EX.: n2 , com n inteiro (par)
12n , com n inteiro (mpar)
CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE
DIVISIBILIDADE POR 2:
Um nmero divisvel por 2 se ele par, ou seja,
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
DIVISIBILIDADE POR 3:
Um nmero divisvel por 3 se a soma de seus
algarismos divisvel por 3.
DIVISIBILIDADE POR 4:
Um nmero divisvel por 4 se o nmero formado
pelos seus dois ltimos algarismos divisvel por 4
ou terminar em 00.
DIVISIBILIDADE POR 5 :
Um nmero divisvel por 5 se o seu ltimo
algarismo 0 (zero) ou 5.
DIVISIBILIDADE POR 6:
Um nmero divisvel por 6 se par e a soma de
seus algarismos divisvel por 3.
DIVISIBILIDADE POR 7:
Um nmero divisvel por 7 se o dobro do ltimo
algarismo, subtrado do nmero sem o ltimo
algarismo, resultar um nmero divisvel por 7. Se o
nmero obtido ainda for grande, repete-se o
processo at que se possa verificar a diviso por 7.
DIVISIBILIDADE POR 8:
Um nmero divisvel por 8 se o nmero formado pelos seus trs ltimos algarismos divisvel por 8
ou terminar em 000.
DIVISIBILIDADE POR 9:
Um nmero divisvel por 9 se a soma dos seus
algarismos um nmero divisvel por 9.
DIVISIBILIDADE POR 10:
Um nmero divisvel por 10 se termina com o
algarismo 0 (zero).
DIVISIBILIDADE POR 11:
Um nmero divisvel por 11 se a soma dos
algarismos de ordem par Sp menos a soma dos
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
7
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
algarismos de ordem mpar Si um nmero divisvel por 11 ou igual a zero.
DIVISIBILIDADE POR 12:
Um nmero divisvel por 12 quando divisvel
por trs e quatro ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 13:
Um nmero divisvel por 13 se o qudruplo (4
vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero sem
o ltimo algarismo, resultar um nmero divisvel
por 13. Se o nmero obtido ainda for grande,
repete-se o processo at que se possa verificar a
diviso por 13. Este critrio semelhante quele
dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que
no presente caso utilizamos a soma ao invs de
subtrao.
DIVISIBILIDADE POR 15:
Um nmero divisvel por 15 quando divisvel
por trs e cinco ao mesmo tempo.
DIVISIBILIDADE POR 16:
Um nmero divisvel por 16 se o nmero formado
pelos seus quatro ltimos algarismos divisvel por
16 ou terminar em 0000.
NMEROS PRIMOS E COMPOSTOS:
Nmero Primo: um nmero inteiro p > 1 primo se s
divisvel por 1 e por ele prprio. A diviso por um
nmero no resulta em um nmero natural (ou inteiro).
Para saber se um nmero grande primo, basta dividi-lo sucessivamente pelos nmeros primos at que o
quociente seja menor ou igual ao seu divisor.
Os primeiros nmeros primos so:
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 um
nmero primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 um
nmero primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 no um nmero primo.
Observaes:
=> 1 no um nmero primo, porque ele tem apenas
um divisor que ele mesmo.
=> 2 o nico nmero primo que par.
Reconhecimento de um nmero primo:
Para saber se um nmero primo, dividimos esse nmero pelos nmeros primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. at
que tenhamos:
=> ou uma diviso com resto zero e neste caso o
nmero no primo,
=> ou uma diviso com quociente menor que o divisor
e o resto diferente de zero. Neste caso o nmero
primo.
Exemplos:
1) O nmero 161:
No par, portanto no divisvel por 2;
1+6+1 = 8, portanto no divisvel por 3;
No termina em 00, nem os dois ltimos
algarismos pode ser dividido por 4, logo no
divisvel por 4;
No termina em 0 nem em 5, portanto no
divisvel por 5;
Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161
divisvel por 7, e portanto no um nmero primo.
2) O nmero 113:
No par, portanto no divisvel por 2;
1+1+3 = 5, portanto no divisvel por 3;
No termina em 00, nem os dois ltimos
algarismos pode ser dividido por 4, logo no
divisvel por 4;
No termina em 0 nem em 5, portanto no
divisvel por 5;
Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16)
ainda maior que o divisor (7).
Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10)
menor que o divisor (11), e alm disso o resto
diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 um
nmero primo.
Decomposio em fatores primos
Todo nmero natural, maior que 1, pode ser
decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposio do nmero 24 num produto:
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
8
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
Nmero Composto: todo nmero que possui mais de
dois divisores.Todo o nmero natural (diferente de 1)
escreve-se de forma nica como um produto de nmeros
primos. Este Teorema conhecido por Teorema
Fundamental da Aritmtica.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 um
nmero composto.
Dois nmeros naturais a e b so primos entre si, se mdc(a, b)=1.
Quaisquer dois nmeros primos so primos entre si, mas o recproco no verdadeiro.
NMEROS PRIMOS ENTRE SI:
Dizemos que A e B so primos entre si se e s se
MDC[A, B] = 1.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA:
fcil obter MDC e MMC de nmeros dados, se
conhecermos suas decomposies em fatores
primos. fcil perceber que os fatores do MDC so
os fatores dos nmeros tomados sempre com o menor
dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes.
Todo nmero A maior que um, ou primo ou pode
ser representado como um produto de fatores primos.
FATORAO
a decomposio de um nmero em um produto de
fatores primos.
Existe um dispositivo prtico para fatorar um
nmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar
esse dispositivo:
1) dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;
2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor
divisor primo desse quociente e assim
sucessivamente at obter o quociente 1.
A figura a baixo mostra a fatorao do nmero 630.
Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.
Vejamos a decomposio dos nmeros 28 e 200:
28 2 200 2
14 2 100 2
7 7 50 2
1 28 = 22 x 7 25 5
5 5
5 1 200 = 23 x 52
A DIVISO DE INTEIROS:
O resultado da diviso de dois nmeros inteiros,
dividendo e divisor, nem sempre um nmero inteiro.
Ao maior nmero inteiro menor do que a diviso chama-
se quociente a diferena entre o dividendo e o produto
do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se
que:
D = q d + r, com 0 r < d
Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultado
4,428... , e por isso o quociente desta diviso 4. O resto
igual a 31 7 4 = 3.
Dizemos ento que na diviso de D por d o quociente q
e o resto r, D chamado de dividendo e d de divisor.
DIVISORES DE UM NMERO NATURAL
MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Um inteiro positivo d o MDC dos inteiros A e B
(usaremos a notao d = MDC[A, B]) se e s se possui
as seguintes propriedades:
a) d|a e d|b (d um divisor comum de A e B)
b) Se C|A e C|B, ento C|d (isto todo divisor comum de A e B tambm divide d)
Teorema: Se A e B so inteiros no nulos
simultaneamente, ento MDC[A, B] existe e nico.
OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0.
Propriedades do MDC:
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
9
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
MDC(a, b) = MDC(b, a). MDC(a, b) = MDC(a, b). MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|). MDC(a, 0) = |a|.
MDC(a, ka) = |a| para todo k Z.
O ALGORITMO DE EUCLIDES:
O processo que usamos para determinar o MDC de
dois inteiros, no nulos simultaneamente o algoritmo de Euclides.
a) Dados A e B, dividimos A por B
b) Depois dividimos B pelo resto desta diviso R1
c) Depois dividimos R1 pelo resto desta ltima diviso
R2 e assim sucessivamente.
d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC
procurado ser o ltimo divisor, isto :
q q2 q3 ... qn qn+1
A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B]
R1 R2 R3 R4 ... 0
DICA para o aluno
Clculo do nmero de divisores:
o produto de todos os expoentes acrescido de
uma unidade.
Fatora-se o nmero
Somamos uma unidade a cada expoente
Multiplicamos o resultado obtido.
Clculo do nmero de divisores mpares:
o produto dos expoentes de fatores mpares
acrescido de uma unidade.
Fatora-se o nmero
Somamos uma unidade a cada expoente de fator mpar
Multiplicamos o resultado obtido
Clculo do nmero de divisores pares:
o produto dos expoentes de fatores mpares
acrescidos de uma unidade cada um,
multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores
pares sem acrescentar a unidade.
Fatora-se o nmero
Somamos uma unidade a cada expoente de fator mpar
Multiplicamos o resultado obtido, tambm pelos expoentes de fator par
01) O nmero de divisores de 120 :
a) 12
b) 14
c) 16
d) 20
e) 25
02) Determinar o nmero N, sabendo-se que ele admite 8
divisores e que da forma: N = 2.3x.
a) 10
b) 15
c) 32
d) 54
e) 24
03) Calcular o valor de m na expresso 2m + 1.3.5,
sabendo-se que este produto indicado resulta da
decomposio de um nmero que possui 16 divisores.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.34, para
que o nmero N tenha 20 divisores.
a) 648
b) 448
c) 243 d) 824
e) 100
GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
10
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
MNIMO MLTIPLO COMUM (MMC)
Definio: O mnimo mltiplo comum de dois ou mais
nmeros o menor de seus mltiplos comuns, diferente
de zero.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....}
M(3) M(4) = {0, 12, 24, 36, ... }
MMC (3, 4) = 12
PROCESSOS PARA O CLUCULO DO MMC
1 Processo: Decomposio de fatores primos em separado
a) Decompem-se os nmeros em fatores primos;
b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e
no comuns elevados ao maior de seus expoentes;
2 Processo: Decomposio de fatores primos em
conjunto.
a) Decompem-se em fatores primos, dividindo os
nmeros pelos fatores comuns e no comuns.
b) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e
no comuns.
CONSEQUNCIAS DO MMC
1) O MMC entre dois nmeros primos entre si igual
ao produto entre eles.
MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300
MMC (4, 9) = 4 . 9 = 36
2) O MMC entre dois ou mais nmeros, em que o
maior mltiplo dos menores, o maior nmero.
MMC (40, 120) = 120
MMC (50, 150, 300) = 300
3) Os mltiplos comuns de dois ou mais nmeros so
os mltiplos do MMC entre esses nmeros.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....}
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....}
MMC (3, 4) = 12
M(3) M(4) = M(12)
4) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais
nmeros por um mesmo nmero, o MMC entre eles ficar multiplicado ou dividido, respectivamente,
por esse mesmo nmero.
MMC (12, 18) = 36
Multiplicando-se os nmeros por 4, o MMC ficar
multiplicado por 4.
MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144
Dividindo-se os nmeros por 3, o MMC ficar
dividido por 3.
Importante:
MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B
CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS
Interseo dos conjuntos: Naturais, Inteiros e
Racionais.
O conjunto dos nmeros racionais, simbolizado
pela letra Q, o conjunto dos nmeros que podem ser
escritos na forma de uma frao p/q, com p e q inteiros
quaisquer e q diferente de zero:
Como todo nmero inteiro pode ser escrito na forma p/1, ento Z um subconjunto de Q. Valem
tambm para os conjuntos dos nmeros racionais as
notaes Q* (conjunto dos nmeros racionais no nulos),
Q+ (conjunto dos nmeros racionais no negativos) e Q-
(conjunto dos nmeros racionais no positivos).
Observaes:
a) So vlidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos nmeros inteiros;
b) Alm disso, vlida a propriedade simtrico ou inverso para a multiplicao. Isto , para todo a/b
pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em
Q tal que (a/b).(b/a) = 1;
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
11
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
c) Decorre da propriedade acima que possvel definir a operao de diviso em Q* da seguinte forma
(a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d
pertencente a Q;
ADIO E SUBTRAO DE FRAES COM
DENOMINADORES IGUAIS
Conserva-se o denominador, adicionando ou
subtraindo os numeradores.
20
1
20
753
20
7
20
5
20
3
ADIO E SUBTRAO DE FRAES COM
DENOMINADORES DIFERENTES
Substituem-se as fraes dadas por outras,
equivalentes, cujo denominador ser o MMC dos
denominadores dados:
12
5
12
69212)2,4,6(
2
1
4
3
6
1mmc
MULTIPLICAO DE FRAES
Para multiplicar duas ou mais fraes, deve-se:
1) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo
numerador.
2) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo
denominador.
20
16
120
6
645
132
6
1
4
3
5
2porndosimplifica
DIVISO ENVOLVENDO FRAES
Para efetuar uma diviso onde pelo menos um dos
nmeros envolvidos uma frao devemos multiplicar o
primeiro nmero (dividendo) pelo inverso do segundo
(divisor).
6
72
12
14
4
7
3
2
7
4
3
2porndosimplifica
NMEROS MISTOS
Nmero misto um nmero racional escrito na
forma da soma de sua parte inteira com a sua parte fracionria (esta sempre uma frao prpria). Os
nmeros mistos tambm se podem escrever como fraes
imprprias.
Exemplos:
Como vemos nos exemplos acima, para transformar
um nmero misto na frao imprpria correspondente
multiplica-se o nmero da frente pelo denominador e o
resultado soma-se ao numerador, formando o numerador
da frao. Para transformar uma frao imprpria em um nmero misto, faa a diviso inteira do numerador pelo
denominador. O quociente ser o primeiro nmero, o
resto ser o novo numerador e denominador permanece.
Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 d 1 e sobra 2. Assim
temos que 5/3 =1 e 5/3 Os nmeros mistos so prticos
quando se deseja marcar a frao na reta numerada. Para
faz-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois
acrescenta-se a parte fracionria, assim, para localizar na
reta a frao atravs do seu nmero misto 1 , vai-se at
o 1 e acrescenta-se o .
Dzimas peridicas
Todo nmero racional p/q pode ser escrito como um
nmero decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma
dzima peridica (1/3 = 0,333). Veremos como transformar dzima em frao!!!
Como dito, h fraes que no possuem representaes
decimal exata. Por exemplo:
Aos numerais decimais em que h repetio peridica e
infinita de um ou mais algarismos, d-se o nome de
numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas.
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
12
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
Numa dzima peridica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o perodo dessa
dzima.
As dzimas classificam-se em dzimas peridicas simples
e dzimas peridicas compostas. Exemplos:
So dzimas peridicas simples, uma vez que o perodo
apresenta-se logo aps a vrgula.
So dzimas peridicas compostas, uma vez que entre o
perodo e a vrgula existe uma parte no peridica.
Observaes:
Consideramos parte no peridica de uma dzima o termo situado entre vrgulas e o perodo. Exclumos
portanto da parte no peridica o inteiro.
Podemos representar uma dzima peridica das seguintes
maneiras:
Geratriz de uma dzima peridica
possvel determinar a frao (nmero racional)
que deu origem a uma dzima peridica. Denominamos
esta frao de geratriz da dzima peridica. Procedimentos para determinao da geratriz de uma
dzima:
Dzima simples
A geratriz de uma dzima simples uma frao que
tem para numerador o perodo e para denominador tantos
noves quantos forem os algarismos do perodo.
Exemplos:
Dzima Composta:
A geratriz de uma dzima composta uma frao da
forma , onde
n a parte no peridica seguida do perodo, menos a parte no peridica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do perodo seguidos de tantos zeros quantos forem os
algarismos da parte no peridica.
Exemplos:
DICA para o aluno
No faa contas com dzimas peridicas. Substitua
todas elas por fraes geratrizes antes de fazer
qualquer clculo.
NMEROS IRRACIONAIS
um numero irracional. = 3,141592 ...
O nmero irracional aquele que no admite a
representao em forma de frao (contrrio dos
nmeros racionais) e tambm quando escrito na forma de
decimal ele um nmero infinito e no peridico.
Exemplo:
0,232355525447... infinito e no dzima peridica (pois os algarismos depois da vrgula no repetem periodicamente), ento irracional.
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
13
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
2,102030569... no admite representao fracionria, pois no dzima peridica.
Se calcularmos em uma calculadora veremos que 2, 3, so valores que representam nmeros irracionais.
A representao do conjunto dos irracionais feita pela
letra I maiscula.
CONJUNTO DOS NMEROS REAIS
O conjunto dos nmeros reais, representado por IR,
a unio entre os conjuntos dos nmeros racionais, Q, e
dos irracionais. Portanto, os nmeros naturais, inteiros,
racionais e irracionais so todos, nmeros reais.
R* conjunto dos nmeros reais no nulos.
R+ conjunto dos nmeros reais positivos e o zero.
R*+ conjunto dos nmeros reais positivos.
R - conjunto dos nmeros reais negativos e o zero.
R*- conjunto dos nmeros reais negativos menos o
zero.
INTERVALO REAL
Ainda, caros estudantes, para complementar o
assunto sobre Conjuntos Numricos veremos a parte de
intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.
Perceba que entre dois nmeros inteiros existem infinitos
nmeros reais. Por exemplo, entre os nmeros 1 e 2
existem vrios nmeros reais tais como: 1,01; 1,001; 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever
todos os nmeros entre, por exemplo, 1 e 2, representa
um intervalo de tais nmeros onde, se inclui os extremos,
considera-se fechado e se no inclui, considera-se aberto.
Os intervalos podem ser classificados em abertos,
fechados e semi abertos (fechados ou abertos esquerda
ou direita).
Notao em smbolos de um intervalo
Habitualmente se utilizam os colchetes [" e "] para indicar que um dos extremos do intervalo parte
deste intervalo e os parnteses ( e ) ou, tambm, os colchetes invertidos ] e [" para indicar o contrrio. Assim, por exemplo, dados a e b nmeros
reais, com a b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o
conjunto dos x R, tal que a < x b. Note que a no faz parte do intervalo.
Representao de um intervalo na reta real
Um intervalo representado na reta real utilizando-se de uma pequena bolinha vazia para indicar que um dos pontos extremos no pertence ao intervalo e de uma
bolinha cheia para indicar que o ponto extremo pertence.
Tipos de Intervalos
Dados a e b nmeros reais, com a b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar
os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b a:
[a,b] = {x R | a x b}
b) Intervalo fechado esquerda e aberto direita de
comprimento finito c = b a:
[a,b[ = [a,b) = {x R | a x < b}
c) Intervalo aberto esquerda e fechado direita de
comprimento finito c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x R | a < x b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b a:
]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}
e) Intervalo aberto direita de comprimento infinito:
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
14
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
]-,b[ = (-,b) = {x R | x < b}
f) Intervalo fechado direita de comprimento infinito:
]-,b] = (-,b] = {x R | x b}
g) Intervalo fechado esquerda de comprimento infinito:
[a,+) = [a,+[ = {x R | a x}
h) Intervalo aberto esquerda de comprimento
infinito:
]a,+[ = (a,+) = {x R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-,+[ = (-,+) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento nulo e o intervalo fechado,
ento a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitrio {a}, isto , a um ponto da reta real.
Vejamos mais exemplos:
Unio e Interseco de Intervalos
Como intervalos so conjuntos natural que as
operaes mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se
de um procedimento muito comum na resoluo de
alguns problemas. E a maneira mais fcil e intuitiva de realizar essas operaes atravs da representao
grfica dos intervalos envolvidos. Vamos um exemplo
prtico de como efetuar tais operaes.
Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 x 6} e B = (1,+) =
{x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A B.
Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os
pontos que so extremos ou origens dos intervalos em
uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta,
traamos os intervalos que representam graficamente os
conjuntos A e B. E, por fim, s utilizar a definio de
unio e interseco para determinar os trechos que esto
em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos
dois intervalos, respectivamente. Veja a soluo de A B na figura a seguir e de onde tambm facilmente
observado o resultado de A U B:
A B = {x R | 1 < x 6} e A U B = {x R | -1 x}
EXPRESSES NUMRICAS
As expresses numricas podem ser definidas
atravs de um conjunto de operaes fundamentais. As operaes que podemos encontrar so: radiciao,
potenciao, multiplicao, diviso, adio e subtrao.
Como uma expresso numrica formada por mais de
uma operao, devemos saber que resolvemos
primeiramente as potncias e as razes (na ordem que
aparecerem), depois a multiplicao ou diviso (na
ordem) e por ltimo, adio e subtrao (na ordem).
comum o aparecimento de sinais nas expresses
numricas, eles possuem o objetivo de organizar as
expresses, como: ( ) parnteses, [ ] colchetes e {} chaves, e so utilizados para dar preferncia para
algumas operaes. Quando aparecerem em uma
expresso numrica devemos elimin-los, essa
eliminao ir acontecer na seguinte ordem: parnteses,
colchetes e, por ltimo, as chaves.
Exemplo 1:
62 : ( 5 + 3) [ 2 * ( 1 + 3 1) 16 : ( 1 + 3)] =
elimine parnteses.
62 : ( 2) [ 2 * (2 1) 16 : 2] = continue eliminando os parnteses.
62 : ( 2) [ 2 * 1 16 : 2] = resolva as potncias dentro do colchetes.
62 : ( 2) [ 2 * 1 16 : 4] =
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
15
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
resolva as operaes de multiplicao e diviso nos colchetes.
62 : ( 2) [ 2 4] = 62 : ( 2) [ 6] = elimine o colchete. 62 : ( 2) + 6 = efetue a diviso. 31 + 6 = 37 efetue a adio.
O valor numrico da expresso 37.
Lembrem-se, em expresses numricas com sinais
associativos de:
1) Parnteses ( ) 2) Colchetes [ ]
3) Chaves { }
efetuam-se, primeiro as operaes dentro deles, na ordem
mostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade
das operaes.
Exemplo 2:
36 + 2.{25 + [ 18 (5 2).3]} = = 36 + 2.{ 25 + [18 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 9]} = = 36 + 2.{25 + 9} =
= 36 +2.34 =
= 36 + 68 = 104
Exemplo 3:
[(5 - 6.2).3 + (13 7) : 3] : 5 = = [(25 6.4).3 + 6 : 3] : 5 = =[(25 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 =
= [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3
Exemplo 4:
QUESTES
01) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A
primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,
em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se
as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma
parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda
torneira encher o restante do tanque em A) 14 horas.
B) 10 horas.
C) 7 horas.
D) 8,5 horas.
E) 8 horas.
02) (UPENET) O Quntuplo de um nmero, dividido
por este nmero aumentado de duas unidades, d
quociente 3 e deixa resto 2. Qual este nmero?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
03) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) A caixa dgua de um edifcio foi revitalizada, e o engenheiro solicitou ao sndico que trocasse as
bombas, pois as atuais esto obsoletas. As bombas
compradas pelo sndico enchem o reservatrio
muito mais rpido e com baixo consumo de
energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de
gua sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8
horas. Um porteiro por displicncia liga as duas
simultaneamente para encher essa caixa de gua. Estando a caixa dgua vazia, assinale o tempo, em minutos, gasto para que as duas encham o
reservatrio.
A) 167 minutos.
B) 163 minutos.
C) 150 minutos.
D) 156 minutos.
E) 160 minutos.
04) (UPENET) Num salo de cabeleireiro, 2/4 das
mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes,
morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360
igual a
A) 60
B) 50 C) 6
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
16
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
D) 5 E) 4
06) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Rebeca faz um desafio a Letcia: Qual a tera parte de 3
12 + 3
10?. Assinale a alternativa que
corresponde resposta CORRETA de Letcia.
A) 11 x 311
B) 12 x 312
C) 10 x 39
D) 6 x 35
E) 8 x 37
07) A expresso igual a:
A) 0
B) 9
C) 3 D) 3
08) Calculando-se os dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtm-se:
A) 95
B) 87
C) 84
D) 21
E) 16,8
09) Qual o valor de a + b, se a/b a frao irredutvel
equivalente a ?
A) 42/9
B) 21/9 C) 21
D) 42
10) (UPENET 2009 PMPE) Carlos e Pedro so alunos muito aplicados em matemtica. Certo dia,
Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a
seguinte questo: Determine o algarismo das
unidades do nmero (8325474)642. Pedro resolveu o
problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o
resultado a que Pedro chegou?
A) 4
B) 2 C) 5
D) 6
E) 1
11) (UPE 2008) O Conselho Superior de uma
Universidade composto por 43 membros com
direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15
diretores de Centros, 8 representantes dos
professores. Para que haja votao de um projeto na
reunio, necessrio que esteja presente, pelo
menos, um membro de cada uma das trs representaes. Se a nica informao que o Reitor
da Universidade tem, durante cada reunio do
Conselho, o nmero de pessoas presentes, para ter
certeza de que o projeto em pauta na reunio ser votado, necessrio que a informao do nmero
de pessoas presentes seja, no mnimo, de:
A) 15 pessoas.
B) 3 pessoas.
C) 20 pessoas.
D) 35 pessoas.
E) 36 pessoas.
12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez compras
em 5 lojas do Shopping Center. Em cada uma
gastou a metade do que possua e pagou, na sada, R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Aps as
despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte
reais). Quanto Eduarda possua antes de fazer as
compras?
A) R$ 820,00
B) R$ 1 102,00
C) R$ 502,00
D) R$ 704,00
E) R$ 602,00
13) (UPENET 2009 PREFEITURA DE RECIFE) Numa escola, os alunos da 8 srie vo realizar uma
observao num poo com o caminhar de lesmas.
Observou-se que, em mdia, uma lesma sobe dois
metros por dia, pra um pouquinho e cai um metro.
Supondo que o poo tenha sete metros de
profundidade e que uma lesma esteja no fundo
deste poo, para chegar no topo deste poo, essa
lesma levar
A) 4 dias.
B) 5 dias.
C) 6 dias.
D) 7 dias. E) 8 dias.
14) (UPENET 2009 PREFEITURA DE SURUBIM) A calculadora de Juliana bem
diferente. Ela tem uma tecla D que duplica o
nmero escrito no visor e a tecla T, que apaga o
algarismo das unidades do nmero escrito no visor.
Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor
e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,
teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. Se
apertamos D, depois T, em seguida D, depois T, teremos o nmero
A) 96
B) 98
C) 123
D) 79
E) 99
15) (UPENET 2009 PMPE) Uma livraria pretende fazer seu balano anual. Pedro e Joo so os
contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem
juntos no servio, eles fariam o balano em 6 dias,
porm, se Joo trabalhar sozinho, realizar o servio em 18 dias. Em quantos dias, Pedro,
trabalhando sozinho, concluir o balano?
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
17
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
A) 15 B) 13
C) 9
D) 8
E) 20
16) (UPENET 2009 PMPE) Um nmero composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do
algarismo das dezenas com o algarismo das
unidades 8 e que, subtraindo-se o nmero do
nmero formado, permutando-se o algarismo das
unidades com o das dezenas, o resto dessa subtrao um nmero terminado em 6.
CORRETO afirmar que o produto dos algarismos
das dezenas com o das unidades do nmero
A) 40
B) 30
C) 45
D) 21
E) 12
17) (UPENET 2009 PMPE) Carlos disse a Renato que era capaz de acertar um nmero que ele pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato
achou graa e disse: pensei em um nmero. Ento,
Carlos disse: some ao nmero pensado o nmero 5,
multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto.
Informe o resultado das operaes, e Renato
afirmou 80. Carlos, ento, informou corretamente o
nmero que Renato havia pensado. O produto dos
algarismos do nmero que Renato pensou igual a
A) 12
B) 15
C) 10
D) 48 E) 50
18) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Uma Padaria promove as seguintes ofertas relativas a
manteigas da mesma marca:
Assinale a alternativa CORRETA.
A) A oferta I a melhor.
B) A oferta II a melhor. C) A oferta III a melhor.
D) As ofertas I e III so iguais.
E) As ofertas II e III so iguais.
19) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) A soma de trs nmeros naturais consecutivos
sempre um nmero
A) par.
B) mpar.
C) primo.
D) quadrado perfeito.
E) mltiplo de 3.
Texto para as questes 20 e 21
O Programa Nacional do Livro Didtico e o
Programa Nacional do Livro Didtico para o Ensino
Mdio so realizados pela ECT em parceria com o Fundo
Nacional de Desenvolvimento da Educao.
A operao consiste na entrega, todos os anos, de
100 milhes de livros didticos a escolas pblicas de
ensino fundamental e mdio de todo o Brasil, volume equivalente metade de toda a produo grfica do
Brasil. Para a distribuio desses livros so realizadas
viagens de carretas das editoras para os centros de
tratamento da empresa instalados em pontos estratgicos
do pas. Nessas unidades, as encomendas so tratadas e,
depois, entregues nas escolas. Internet: (com adaptaes).
QUESTO 22
20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e
13% dos livros didticos sejam 7/40 distribudos,
respectivamente, para as regies Nordeste e Norte,
ento a quantidade, em milhes, de livros didticos
destinada a essas duas regies pelos programas
mencionados no texto
A) superior a 15 e inferior a 25.
B) superior a 25 e inferior a 35. C) superior a 35 e inferior a 45.
D) superior a 45.
E) inferior a 15.
21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3
carretas faam, repetidamente, viagem de ida e
volta entre determinada editora e um centro de
tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,
respectivamente, e, ao completar um percurso de
ida e volta, elas retomem imediatamente esse
percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem
simultaneamente da editora, ento elas voltaro a partir juntas novamente dessa editora aps
A) 45 dias.
B) 60 dias.
C) 10 dias.
D) 15 dias.
E) 30 dias.
22) (FCC - 2010 - TRT - 12 Regio (SC) - Tcnico
Judicirio - rea Administrativa) Sistematicamente, dois funcionrios de uma
empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sbados,
domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010
ambos cumpriram horas-extras, uma outra provvel
coincidncia de horrios das suas horas-extras
ocorrer em
a) 9 de dezembro de 2010.
b) 15 de dezembro de 2010.
c) 14 de janeiro de 2011.
d) 12 de fevereiro de 2011.
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
18
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
e) 12 de maro 2011.
23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria Pblica) Duas polias conectadas por uma correia
tm comprimentos de 12 cm e 22 cm.
O menor nmero de voltas completas que a polia
menor deve dar para que a polia maior d um
nmero inteiro de voltas a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) Um agente administrativo foi incumbido de tirar
cpias das 255 pginas de um texto. Para tal ele s
dispe de uma impressora que apresenta o seguinte
defeito: apenas nas pginas de nmeros 8, 16, 24,
32, ... (mltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha. Considerando que em todas as pginas do
texto aparecem destaques na cor vermelha, ento,
ao tirar uma nica cpia do texto, o nmero de
pginas que sero impressas sem essa falha
a) 226
b) 225
c) 224
d) 223
e) 222
25) (FCC - 2004 - TRT - 22 Regio (PI) - Tcnico Judicirio) Sistematicamente, Fbio e Cntia vo a
um mesmo restaurante: Fbio a cada 15 dias e
Cntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004
ambos estiveram em tal restaurante, outro provvel
encontro dos dois nesse restaurante ocorrer em
a) 9 de dezembro de 2004.
b) 10 de dezembro de 2004.
c) 8 de janeiro de 2005.
d) 9 de janeiro de 2005.
e) 10 de janeiro de 2005.
26) (FCC - 2002 - TRE-PI - Tcnico Judicirio - rea Administrativa) Um mdico receitou dois
remdios a um paciente: um para ser tomado a cada
12 horas e outro a cada 15 horas. Se s 14 horas do
dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os
remdios, ele voltou a tom-los juntos novamente
s
a) 17 horas do dia 11/10/2000.
b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000.
d) 2 horas do dia 13/10/2000.
e) 6 horas do dia 13/10/2000.
27) Num reservatrio h duas torneiras, a primeira
enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porm
h um sifo que o esvazia em 12 horas.
Funcionando as torneiras e o sifo simultaneamente
em quanto tempo o reservatrio se encher?
a) 3h
b) 2h24min c) 5h
d) 1h30min
e) 2h30min
28) (TRT 24 REGIO 2011 - FCC) Todos os 72
funcionrios de uma Unidade do Tribunal Regional
do Trabalho de Mato Grosso do Sul devero ser
divididos em grupos, a fim de se submeterem a
exames mdicos de rotina. Sabe-se que: o nmero de funcionrios do sexo feminino igual
a 80% do nmero dos do sexo masculino; cada grupo dever ser composto por pessoas de um
mesmo sexo; todos os grupos devero ter o mesmo nmero de
funcionrios; o total de grupos deve ser o menor possvel; a equipe mdica responsvel pelos exames atender
a um nico grupo por dia.
Nessas condies, correto afirmar que:
A) no total, sero formados 10 grupos. B) cada grupo formado ser composto de 6
funcionrios. C) sero necessrios 9 dias para atender a todos os
grupos. D) para atender aos grupos de funcionrios do sexo
feminino sero usados 5 dias. E) para atender aos grupos de funcionrios do sexo
masculino sero usados 6 dias.
29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cm
e comprimento 200cm, um construtor pretende
colocar peas de mrmore quadradas do mesmo tamanho. A menor quantidade dessas peas que ele
pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortar
nenhuma pea :
A) 420
B) 500
C) 525
D) 575
E) 600
30) Sejam os nmeros A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O
MDC e o MMC entre A e B valem,
respectivamente: A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52
B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
19
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
C) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 D) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5
E) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52
31) Dados n = 22. 3a. 52. 73 e m = 23. 35. 52. 7b. 11, os
valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, so:
A) a = 2 e b = 3.
B) a = 3 e b = 1.
C) a = 0 e b = 2.
D) a = 3 e b = 2.
E) a = 2 e b = 2.
32) Se p e q so nmeros naturais distintos e primos,
ento o MDC(p, q) + MMC(p, q) igual a:
A) p + q
B) pq
C) pq + 1
D) 2
E) nda
33) O mximo divisor comum dos nmeros 36, 48, 72,
:
A) 36 B) 48
C) 72
D) 144
E) 12
34) Considerando os nmeros 68 e 36, responda V para
verdadeiro e F para falso:
A) que 4 o mximo divisor comum de 36 e 68.
B) que 17 o mximo divisor comum de 36 e 68.
C) que 4 o mnimo divisor comum de 36 e 68.
D) que 612 o mximo mltiplo comum de 36 e E.
E) que 2 o mnimo mltiplo comum de 36 e 68. F) que 0 um mltiplo comum de 36 e 68.
GABARITO:
1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A
8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D
15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B
22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C
29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV
EQUAES DO 1 GRAU
As equaes do primeiro grau so aquelas que
podem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em que a e b so constantes reais, com a diferente de 0, e x a
varivel. A resoluo desse tipo de equao
fundamentada nas propriedades da igualdade descritas a
seguir.
Adicionando um mesmo nmero a ambos os membros de uma equao, ou subtraindo um mesmo
nmero de ambos os membros, a igualdade se mantm.
Dividindo ou multiplicando ambos os membros de
uma equao por um mesmo nmero no-nulo, a
igualdade se mantm.
Exemplo:
Vejamos alguns exemplos:
Seja a equao:
Seja a equao:
Seja a equao:
Membros de uma equao Numa equao a expresso situada esquerda da
igualdade chamada de 1 membro da equao, e a
expresso situada direita da igualdade, de 2 membro
da equao.
Exemplo:
- 3x + 12 = 2x - 9 1 membro 2 membro
Cada uma das parcelas que compem um membro de
uma equao chamada termo da equao.
4x 9 = 1 2x Termos:
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
20
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
Varivel (ou incgnita) de uma equao: Os elementos desconhecidos de uma equao so chamados de
variveis ou incgnitas.
Exemplos:
A equao x + 5 = 18 tem uma incgnita: x
A equao x 3 = y + 2 tem duas incgnitas: x e y A equao a 3b + c = 0 tem trs incgnitas: a, b e c
Cada um dos valores que, colocados no lugar da
incgnita, transforma a equao em uma sentena verdadeira chamado de raiz da equao. Para
verificarmos se um dado nmero ou no raiz de uma
equao, basta substituirmos a incgnita por esse nmero
e observarmos se a sentena obtida ou no verdadeira.
1 exemplo: verificar se trs raiz de 5x 3 = 2x + 6
2 exemplo: verificar se -2 raiz de x 3x = x 6
O princpio aditivo e o princpio multiplicativo servem
para facilitar o entendimento da soluo de uma equao,
mas para resolv-la existe um mtodo simples e prtico
que o seguinte:
Resolver a equao 5x 8 = 12 + x
Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam varivel, e no segundo membro os termos
que no apresentam varivel. Os termos que mudam de
membro tm os sinais trocados.
5x 8 = 12 + x 5x x = 12 + 8
Calculamos a somas algbricas de cada termo: 4.x = 20
Quando se passa de um membro para o outro se usa a
operao inversa, ou seja, o que est multiplicando passa
dividindo e o que est dividindo passa multiplicando. O que est adicionando passa subtraindo e o que est
subtraindo passa adicionando. O nmero 4 no primeiro
membro est multiplicando o x ento ele passar dividindo no segundo membro.
SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU
COM DUAS VARIVEIS
Um sistema de equaes com duas variveis, x e y,
um conjunto de equaes do tipo
ax + by = c (a, b, c R)
ou de equaes redutveis a esta forma.
Exemplo:
Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y
satisfazem a todas as equaes do sistema ao mesmo
tempo.
Exemplo:
No sistema indicado no exemplo anterior, o nico
par ordenado capaz de satisfazer s duas equaes
simultaneamente :
(x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1
Resoluo algbrica
Dentre os vrios mtodos de resoluo algbrica
aplicveis aos sistemas do 1 grau, destacamos dois:
mtodo da adio mtodo da substituio Para exemplific-los, resolveremos o sistema
seguinte pelos dois mtodos:
A) Mtodo da Adio
1 passo: Multiplicamos as equaes por nmeros
escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em
uma das variveis. No caso, poderemos multiplicar a
equao (I) por -2:
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
21
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
Observe que a varivel y tem, agora, coeficientes opostos.
2 passo: Somamos membro a membro as equaes
encontradas:
A varivel y foi cancelada restando apenas a
varivel x na ltima equao.
3 passo: Resolvemos a equao resultante que tem somente uma varivel:
-1x = -2
x = 2
4 passo: O valor da varivel encontrada substitudo
numa das equaes iniciais que contenha tambm a outra
varivel e, ento, resolvemos a equao resultante:
2x + y = 7
2(2) + y = 7
4 + y = 7
y = 7 -4 y = 3
5 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:
S = {(2; 3)}
B) Mtodo da Substituio
1 passo: Isolamos uma das variveis em uma das
equaes dadas:
2 passo: a varivel isolada substituda na outra
equao e, ento, resolvemos a equao resultante que
tem somente uma varivel:
3x +2y = 12
3x + 2(7 - 2x) = 12 3x +14 - 4x = 12
3x 4x = 12- 14 -1x = -2
x = 2
3 passo: Levamos o valor encontrado para a equao
que tem a varivel isolada e calculamos o valor desta:
y = 7 -2x
y = 7 -2 (2)
y = 7 -4
y = 3
4 passo: Escrevemos o conjunto-soluo:
S = {(2; 3)}
QUESTES
01) (UPENET) Um pequeno criador tem em sua
criao 150 porcos e galinhas. Sabendo-se que o
nmero de ps dos animais igual a 400,
CORRETO afirmar que o criador tem
A) 25 porcos.
B) 50 porcos.
C) 35 porcos.
D) 42 porcos.
E) 55 porcos.
02) (UPENET) Um copo cheio de gua pesa 325g. Se jogarmos metade da gua fora, seu peso cai para
180g. O peso do copo vazio de
A) 20g
B) 25g
C) 35g
D) 40g
E) 45g
03) (UPENET 2007 AGENTE DE SEGURANA MUNICIPAL) Em um concurso pblico, numa
prova de 50 quesitos, um candidato obtm 110
pontos. Sabendo-se que em cada questo correta o candidato ganha 3 pontos, e a cada questo
incorreta, perde 2 pontos, podemos afirmar que o
nmero de questes que o candidato acertou
A) mpar.
B) divisvel por 5.
C) mltiplo de 4.
D) divisvel por 9.
E) mltiplo de 7.
04) (UPENET 2009 GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL
OOLLIINNDDAA) Luis foi farmcia e anotou os preos dos remdios que pretendia levar. Chegando em
casa, deu o seguinte problema ao seu irmo:
- o preo do remdio A somado ao preo do remdio
B totalizou R$ 98,00;
- o preo do remdio B somado ao preo do remdio
C totalizou R$ 130,00;
- o preo do remdio C somado ao preo do remdio
A totalizou R$ 100,00.
Partindo desses dados, quanto qual a diferena de
preos entre os remdios C e A?
A) 14 B) 23
C) 32
D) 45
E) 56
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
22
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
05) (UPENET 2011 EXPRESSO CIDADO) Numa corrida de aventura, as equipes so formadas
por trs atletas. completado 1/2 da trajetria
estabelecida para o ciclismo, passa o seu basto
para o segundo atleta que completar mais 1/4 do
total do percurso, quando foi advertido pelo seu
tcnico para que se poupasse, uma vez que o
terceiro atleta no poder finalizar os 1.500m de
natao, pois est contundido atleta) ter que
finalizar o restante desta prova. Nesse contexto,
conclui
A) 6.000m. B) 5.000m.
C) 4.500m.
D) 6.500m.
E) 5.500m.
06) (UPENET 2009 PMPE) A Polcia Militar de Pernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendo
que uma parte utiliza como combustvel gasolina, e
o restante, bicombustvel, que funciona com lcool
e gasolina. O novo comandante determinou que,
neste total de 1500 carros, 80% dos carros a gasolina e 60% dos bicombustveis sofressem uma
converso para tambm funcionar a gs. Sabendo-
se que, aps a converso, 840 do total de carros
passaram a utilizar dois e somente dois tipos de
combustvel, CORRETO afirmar que o nmero de
carros que permaneceram consumindo somente
gasolina igual a
A) 600
B) 200
C) 120
D) 400
E) 500
07) (UPENET 2009 PMPE) Resolvendo o sistema abaixo, CORRETO afirmar que 2xy igual a
A) 12
B) 24
C) 16
D) 20
E) 18
08) (UPENET 2009 GGUUAARRDDAA MMUUNNIICCIIPPAALL
OOLLIINNDDAA) Mateus quer fazer uma viagem a p de
630 km. Caso ele caminhe 10 km a mais por dia,
andar 4 dias a menos para realizar a viagem.
Sendo d o nmero de dias gastos para fazer a viagem e k o nmero de km que caminhou por dia, possvel dizer que k - d igual a
A) 16
B) 17 C) 18
D) 19
E) 20
09) (CESPE 2011 - CORREIOS) Em uma empresa, os
empregados tm direito a descanso remunerado de
um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado
ano, os dias trabalhados e os dias de descanso
somaram 224 dias. Com base nessa situao,
correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias
de descanso desses empregados foi A) superior a 16 e inferior a 20.
B) superior a 20 e inferior a 24.
C) superior a 24.
D) inferior a 12.
E) superior a 12 e inferior a 16.
10) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando-se
que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de
encomenda do tipo flex correios custem, ao todo,
R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex
correios custem, ao todo, R$ 28,00, correto afirmar que uma caixa do tipo 2B custa
A) R$ 2,40.
B) R$ 3,15.
C) R$ 3,20.
D) R$ 1,20.
E) R$ 2,00.
Em um escritrio, a despesa mensal com os salrios
dos 10 empregados de R$ 7.600,00. Nesse
escritrio, alguns empregados recebem,
individualmente, R$ 600,00 de salrio mensal e os
outros, R$ 1.000,00. QUESTO 32
11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Se, para atender a
crescente demanda de servios, o escritrio triplicar
a quantidade de empregados com salrio de R$
600,00 e duplicar a quantidade de empregados com
salrio de R$ 1.000,00, ento a despesa desse
escritrio com os salrios de seus empregados
passar a ser de
A) R$ 18.800,00.
B) R$ 18.000,00.
C) R$ 18.200,00. D) R$ 18.400,00.
E) R$ 18.600,00.
12) (TRT 24 Regio 2011 MS FCC) Do total de pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal
Regional do Trabalho de segunda a sexta-feira de
certa semana, sabe-se que:
1/5 o fizeram na tera-feira e 1/6 na sexta-feira.
Considerando que o nmero de visitantes da
segunda-feira correspondia a 3/4 do de tera-feira e
que a quarta-feira e a quinta-feira receberam, cada
uma, 58 pessoas, ento o total de visitantes recebidos nessa Unidade ao longo de tal semana
um nmero
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
23
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
A) divisvel por 48. B) maior que 250.
C) menor que 150.
D) mltiplo de 7.
E) quadrado perfeito.
GABARITO:
1-C 2-C 3-E 4-C 5-A 6-C 7-D
8-B 9-E 10-A 11-A 12-A
RAZES E PROPORES
Chama-se razo de dois nmeros, dados numa
certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao
quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razo
entre os nmeros a e b pode ser dita razo de a para b e representada como:
b
a ou a : b
Onde a chamado antecedente enquanto b chamado
conseqente da razo dada. Ao representar uma razo
freqentemente simplificamos os seus termos
procurando, sempre que possvel, torn-los inteiros.
Exemplos: A razo entre 3 e 0,75 :
1443
43
4
3
3
75,0
3para
A razo entre e
5
2
6
1
:
12512
5
2
5
6
1
5
2
6
1
para
Proporo: a expresso que indica uma igualdade
entre duas ou mais razes. A proporo d
c
b
a
pode ser
lida como a est para b assim como c est para d e representada como a : b : : c : d. Nesta proporo, os
nmeros a e d so os extremos e os nmeros b e c so os
meios.
OBS: Em toda proporo o produto dos extremos igual
ao produto dos meios.
Quarta proporcional de trs nmeros dados, a, b e c
nesta ordem, o nmero x que completa com os outros
trs uma proporo tal que:
x
c
b
a
Exemplo: Determinar a quarta proporcional dos
nmeros 3,5 e 15 nesta ordem.
Soluo:
.253
757531553
15
5
3xxxx
x
Proporo contnua aquela que tem meios iguais.
Exemplo:
A proporo 45
15
15
5
contnua, ela tem seus meios iguais a 15.
Numa proporo contnua temos: O valor comum dos
meios chamado mdia proporcional (ou mdia geomtrica) dos extremos.
Ex.: 8 a mdia proporcional entre 4 e 16, pois 16
8
8
4
O ltimo termo chamado terceira proporcional.
Ex.: 7 a terceira proporcional dos nmeros 28 e 14, pois
714
14
28
.
Proporo mltipla a igualdade simultnea de trs ou
mais razes.
Exemplo:
f
e
d
c
b
a
Razes inversas so duas razes cujo produto igual a 1.
Exemplo:
114
22
11
7
,
ento dizemos que 7 est para 11 na razo inversa de 22 para 14.
Quando duas razes so inversas, qualquer uma delas forma uma proporo com o inverso da outra.
Exemplo:
14
22
11
7e
so razes inversas.
Ento, 11
7
faz proporo com 22
14
(que o inverso de 14
22
)
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
24
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
Propriedades das propores
Considere as propores:
1 propriedade: Numa proporo, a soma dos dois
primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assim
como a soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).
e
2 propriedade: Numa proporo, a diferena dos dois
primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo, assim
como a diferena dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).
e
3 propriedade: Numa proporo, a soma dos
antecedentes est para a soma dos conseqentes, assim
como cada antecedente est para o seu conseqente.
4 propriedade: Numa proporo, a diferena dos
antecedentes est para a diferena dos conseqentes,
assim como cada antecedente est para o seu
conseqente.
5 propriedade: Numa proporo, o produto dos
antecedentes est para o produto dos conseqentes,
assim como o quadrado de cada antecedente est para
quadrado do seu conseqente.
DIVISO PROPORCIONAL
Grandezas diretamente proporcionais
Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ),
dizemos que estes valores so diretamente
proporcionais aos correspondentes valores da sucesso
(b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razes entre
cada valor de uma das sucesses e o valor
correspondente da outra.
so todas iguais, sendo igual a o fator de
proporcionalidade da primeira para a segunda.
Como se pode observar, as sucesses de nmeros
diretamente proporcionais formam propores mltiplas (j vistas no captulo de razes e propores).
Assim sendo, podemos aproveitar todas as tcnicas
estudadas no captulo sobre propores para resolver
problemas que envolvam grandezas diretamente
proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Dada a sucesso de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos
diferentes de zero, dizemos que estes valores so
inversamente proporcionais aos correspondentes valores
da sucesso (b1, b2, b3, b4, ...), todos tambm diferentes
de zero, quando forem iguais os produtos entre cada
valor de uma das sucesses e o valor correspondente da
outra.
Exemplo:
Os valores 2, 3, 5 e 12 so inversamente proporcionais
aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos
2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 so todos iguais.
Relao entre proporo inversa e
proporo direta
Sejam duas sucesses de nmeros, todos diferentes
de zero. Se os nmeros de uma so inversamente
proporcionais aos nmeros da outra, ento os nmeros
de uma delas sero diretamente proporcionais aos
inversos dos nmeros da outra. Esta relao nos permite
trabalhar com sucesses de nmeros inversamente
proporcionais como se fossem diretamente
proporcionais.
Diviso em partes proporcionais
1 caso: Diviso em partes diretamente
proporcionais
Dividir um nmero N em partes diretamente
proporcionais aos nmeros a, b, c, ..., significa encontrar
os nmeros A, B, C, ..., tais que:
A + B + C + ... = N
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
25
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
EXERCCIO RESOLVIDO
1. Dividir o nmero 72 em trs partes diretamente
proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5. Indicando por A, B, e C as partes procuradas, temos que:
A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72
Portanto:
3p + 4p + 5p = 72 12p = 72 p = 6
valor de A 3p = 3 x 6 = 18
valor de B 4p = 4 x 6 = 24
valor de C 5p = 5 x 6 = 30
Portanto, as trs partes procuradas so 18, 24 e 30.
2 caso: Diviso em partes inversamente
proporcionais
Dividir um nmero N em partes inversamente proporcionais a nmeros dados a, b, c,..., significa
encontrar os nmeros A, B, C, ... tais que:
a x A = b x B = c x C =... e
A + B + C + ... = N
2. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais
aos nmeros 3, 4 e 12. Usando a relao entre
proporo inversa e proporo direta, podemos
afirmar que as partes procuradas sero diretamente
proporcionais a
Reduzindo as fraes ao mesmo denominador,
teremos:
Desprezar os denominadores (iguais) manter as
propores e ainda simplificar nossos clculos. Ento,
poderemos dividir 72 em partes diretamente
proporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A,
B e C as trs partes procuradas, teremos:
A = 4p, B = 3p, C = 1p
A + B + C = 72
Logo, 4p + 3p + 1p = 72
Da, 8p = 72
p = 72/8
p = 9
Assim, conclumos que:
A = 4p A = 4 x 9 = 36
B = 3p B = 3 x 9 = 27 e
C = 1p C = 1 x 9 = 9
Portanto, as partes procuradas so 36, 27 e 9.
3 caso: Diviso composta direta
Chamamos de diviso composta direta diviso de
um nmero em partes que devem ser diretamente
proporcionais a duas ou mais sucesses de nmeros
dados, cada uma. Para efetuarmos a diviso composta
direta, devemos:
1) encontrar uma nova sucesso onde cada valor ser o
produto dos valores correspondentes das sucesses
dadas;
2) efetuar a diviso do nmero em partes diretamente
proporcionais aos valores da nova sucesso
encontrada.
3. Dividir o nmero 270 em trs partes que devem ser
diretamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 5 e
tambm diretamente proporcionais aos nmeros 4,
3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C as trs partes procuradas, devemos ter:
A ser ser proporcional a 2 e 4 2 x 4 = 8 A = 8p B ser ser proporcional a 3 e 3 3 x 3 = 9 B = 9p C ser ser proporcional a 5 e 2 5 x 2 = 10 C= 10p
A + B + C = 270 8p + 9p + 10p = 270 27p = 270 p = 10
A = 8p = 8 x 10 = 80
B = 9p = 9 x 10 = 90 C= 10p = 10 x 10 = 100
Portanto, as trs partes procuradas so: 80, 90 e 100.
QUESTES
01) Assinale a opo cujos nmeros sejam diretamente
proporcionais a 2, 3 e 7.
a) 3, 4 e 8.
b) 4, 9 e 49.
c) 6, 9 e 21.
d) 22, 23 e 27.
e) 22, 32 e 72.
02) Assinale a opo cujos nmeros sejam
inversamente proporcionais a 2, 3 e 7.
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
26
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
a) 7, 3 e 2. b) 1/7, 1/3 e 1/2.
c) 0,2 , 0,3 e 0,7
d) 6, 14 e 21.
e) 21, 14 e 6.
03) A diviso do nmero de vereadores de determinada
cidade proporcional ao nmero de votos que cada
partido recebe. Na ltima eleio nesta cidade,
concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que
receberam a seguinte votao: A teve 10.000 votos,
B teve 20.000 e C, 40.000. Se o nmero de vereadores dessa cidade 21, quantos deles so do
partido B?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
04) Os nmeros X e Y encontram-se na razo de 5 para
7. Ento, se o valor de X 60 o valor de Y :
a) 84 b) 80
c) 70
d) 65
e) 35
05) Se Y diferente de zero, e se X/Y = 4 , ento a
razo de 2X Y para X, em termos percentuais, igual a:
1) 75%.
2) 25%.
3) 57%.
4) 175%. 5) 200%.
06) (FCC - 2004 - TRE-PE - Tcnico Judicirio - rea Administrativa) Um total de 141
documentos devem ser catalogados por trs
tcnicos judicirios. Para cumprir a tarefa,
dividiram os documentos entre si, em partes
inversamente proporcionais s suas respectivas
idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condies, o
nmero de documentos que coube ao mais jovem
foi a) 78
b) 63
c) 57
d) 42
e) 36
O enunciado abaixo refere-se s questes 07 e 08.
Na tabela abaixo tm-se as idades e os tempos de
servio de trs soldados na corporao, que devem
dividir entre si um certo nmero de fichas
cadastrais para verificao.
Soldado Idade Tempo servio
Abel 20 3
Daniel 24 4
Manoel 30 5
07) Se o nmero de fichas for 518 e a diviso for feita em partes diretamente proporcionais s suas
respectivas idades, o nmero de fichas que caber a
Abel :
a) 140
b) 148
c) 154
d) 182
e) 210
08) Se o nmero de fichas for 504 e a diviso for feita
em partes diretamente proporcionais s suas
respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio na
corporao, o nmero de fichas que caber a:
a) Daniel 180.
b) Manoel 176
c) Daniel 170
d) Manoel 160
e) Daniel 162.
09) s 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque
continha 9.050 litros de gua. Entretanto, um furo
em sua base fez com que a gua escoasse em vazo constante e, ento s 18 horas do mesmo dia
restavam apenas 8.850 litros de gua em seu
interior. Considerando que o furo no foi
concertado e no foi colocada gua dentro do
tanque, pode-se dizer que ele ficou completamente
vazio s:
A) 12 horas de 02/06/2007.
B) 10 horas de 02/06/2007.
C) 12 horas de 29/05/2007.
D) 10 horas de 29/05/2007.
GABARITO:
1-C 2-E 3-A 4-A 5-D 6-B 7-A
8-E 9-A
REGRA DE TRS SIMPLES
Regra de trs simples um processo prtico para
resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.
Passos utilizados numa regra de trs simples:
1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espcie em colunas e mantendo na mesma
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
27
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.
2) Identificar se as grandezas so diretamente ou
inversamente proporcionais.
3) Montar a proporo e resolver a equao.
Exemplo:
1) Com uma rea de absoro de raios solares de
1,2m2, uma lancha com motor movido a energia
solar consegue produzir 400 watts por hora de
energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qual ser a energia produzida?
Soluo: montando a tabela:
rea (m2)
Energia
(Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificao do tipo de relao:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na
coluna que contm o x (2 coluna).
Observe que: Aumentando a rea de absoro, a
energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando -
aumenta), podemos afirmar que as grandezas so
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos
uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1
coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao
temos:
Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora.
QUESTES
01) Quatro ces consomem semanalmente 60 kg de
rao. Assim, ao aumentarmos o nmero de ces
em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando o ms de 30 dias, ser de:
A) 350
B) 400
C) 450
D) 500
E) 550
02) (CESGRANRIO) Alm da destruio causada pela
lava incandescente, uma erupo vulcnica
provoca, tambm, um grande acmulo de cinzas na
regio atingida. O peso de uma camada de 2,5cm de cinzas, cobrindo uma rea de 100m2, 8 toneladas.
Uma camada de cinzas de 12,8 toneladas que ocupe
uma rea de 200m2 ter uma espessura de quantos
centmetros?
A) 1,6
B) 2,0
C) 3,2
D) 3,6
E) 4,0
03) (CESGRANRIO) As motonetas (scooters e motos de baixa cilindrada) caram no gosto dos brasileiros
e ganharam as ruas. Isto porque, alm de serem
mais baratas do que um carro popular, so muito
econmicas. Enquanto um carro popular percorre,
em mdia, 15 km com um litro de gasolina, a mdia
de uma motoneta de 40 km por litro.
Considerando-se as mdias apresentadas, que
distncia, em km, um carro popular conseguiria
percorrer com a mesma quantidade de gasolina
necessria para que uma motoneta percorresse 600
km?
A) 120 B) 150
C) 225
D) 300
E) 375
04) (CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de
energia eltrica, uma empresa instalou dois painis
solares que, juntos, ocupam 560 m2. Se as reas dos
dois painis so diretamente proporcionais a 3 e a 1,
qual a diferena, em m2, entre essas reas?
A) 140 B) 210
C) 280
D) 300
E) 320
05) (CESGRANRIO) Para assistir televiso com
conforto, o telespectador deve estar a certa distncia
da TV. A distncia ideal entre o telespectador e a
TV diretamente proporcional medida da tela. Se,
para uma TV de 20 polegadas, a distncia ideal de
1,5 m, pode-se concluir que a distncia ideal, em
metros, entre o telespectador e uma TV de 32 polegadas de:
A) 1,8
-
MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO/VALCLIDES GUERRA
28
[email protected] / WWW.VALCLIDES.BLOGSPOT.COM
B) 2,2 C) 2,4
D) 2,8
E) 3,0
06) (CESGRANRIO) E se todos os carros do mundo fossem movidos a lcool? (...) A implantao de um
programa de lcool to ambicioso precisaria ser
impecvel. (...) Um especialista em agronegcio fez
as contas: para abastecer a atual frota, estimada em
800 milhes de automveis, seriam necessrios 2,5
trilhes de litros anuais de lcool produzidos em 400 milhes de hectares de canaviais. Isto equivale
a cerca de um tero de toda a rea cultivada do
planeta. Revista Superinteressante, maio de 2006. (adapt