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Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1] anoFunções trigonométricas seno e suas relações
com os fenômenos que apresentam comportamento periódico
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino MédioFunções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico
Abordaremos o assunto funções trigonométricas, mais especificamente a
função seno, e suas relações com os fenômenos que
apresentam comportamento periódico.
Fenômenos periódicos:
O que são?
Chamamos de um fenômeno periódico aquele que se repete sempre após o mesmo intervalo de tempo. Um exemplo mais simples de um fenômeno periódico é o dia. O movimento do Sol, que aparece pela manhã e se põe no fim da tarde até novamente aparecer de novo, determina o que chamamos de dia. Um outro conceito, que ajuda a complementar o anterior, é que os fenômenos periódicos são aqueles que se repetem periodicamente, ou seja, a cada período inteiro.
Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino MédioFunções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico
Fenômenos periódicos:
Por que são importantes?
Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis para medir a passagem do tempo. Os corpos celestes são muito importantes porque, entre eles, há diversos que executam um movimento periódico que pode ser percebido por nós e, por isso, eles foram utilizados para construir o nosso calendário. Estando na Terra como nós estamos e olhando para o céu, nós podemos perceber muitos movimentos periódicos. Os mais fáceis de observar são os movimentos do Sol e o da Lua. Muitos fenômenos ou situações que estão presentes em nosso dia a dia são periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem. Um outro exemplo que colabora com essa afirmação é o nascer e o pôr do sol.
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Fenômenos periódicos:
Um outro bom exemplo é a função sen x, pois a cada período de 2π tudo volta a se repetir:sen 0 = 0sen 90º= 1sen 180º= 0sen 270º= -1sen 360º(ou 0º) = 0.A partir daí, mais uma volta completa (2π), com todos os valores se repetindo, sucessivamente.
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Fenômenos periódicos:
Antes de começar a apresentar a função seno, é importante destacar algumas informações:As funções trigonométricas são funções angulares, que caracterizam uma grande importância no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos, sendo considerada um ramo da matemática.E não para por aí! ...Além de estudar esses itens, estudam-se também as funções circulares: seno, cosseno e tangente. Logo a seguir, será explicada detalhadamente a função seno.
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As funções trigonométricas podem ser modelo matemático de vários fenômenos que se repetem, como as variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou, ainda, o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré.
Extraído de: http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010717393616.pdf
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Também são periódicos fenômenos como a tensão e a corrente elétrica domésticas, o campo eletromagnético gerado para aquecer comida no micro- -ondas, bem como o comportamento ondulatório de notas musicais, o fluxo de caixa em negócios sazonais e o funcionamento de máquinas rotativas.
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Ainda podem ser citados como fenômenos periódicos as fases da Lua, as estações do ano, o clima, o movimento dos planetas, entre outros.
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Função trigonométrica seno no triângulo retângulo
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http://www.energia.com.br/material/2008/17_Matematica_Amauri_Web.pdf
abBsen
hipotenusaoposto catetoˆ
Relações num triângulo qualquer
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Rsenc
senb
sena 2
CBA
lado) 1 e ângulos (2senos dos Lei
b
a
c
B
A
C
O
R
Comprimento de um arco
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ORl .
rad 180radianos) (em central ângulo :
B
A
R
l
Círculo e funções trigonométricas
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EFsen
D
A
BE
C
cotg
sen
1ROE
cos
Relações fundamentais:
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senxx
xx
senxxgx
xsenxtgx
xxsen
1seccos)5
cos1sec)4
coscot)3
cos)2
1²cos²)1
Relações auxiliares:
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xsen²xsenxsen
xxsenxsen
²1
²²cos
²²
xgx ²cot1²seccos
1²cos² xxsen
Função seno (y = sen x)
Chamamos de função seno a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja: f: R -> R. Assim, sua representação fica da seguinte forma: f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = sem x é positivo no 1º e 2º quadrantes e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe as imagens seguintes:
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Variação da função básica
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senxbay .Função
RDomínio
2Período
],[ baba Imagem
ímpar)( xsensenxPar ou ímpar
Variação da função básica
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+ +- -
SinaisCrescente ou decrescente
crescente decrescente decrescente crescente
1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante
Operações com arcos
• Adição e subtração:
• Arco duplo:
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senbabsenabasen .coscos.)(
asenaasen cos2.2)2(
Amplitude, domínio, período e imagem:
AmplitudeA amplitude é a metade da distância vertical entre um ponto mínimo e um ponto máximo, ou seja: A = (ymax - ymin).
DomínioO conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto que possui a função definida, ou seja, contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida, sendo um conjunto de saída; é, pois, o conjunto dos elementos que utilizamos como x na função.
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Amplitude, domínio, período e imagem:
PeríodoDenominamos período a distância entre dois pontos máximos ou o intervalo de repetição da função.
ImagemUm outro elemento importante dos gráficos é o conjunto imagem, ou seja, o intervalo de variação da função. Para os gráficos das funções de Seno e Cosseno, o conjunto imagem é [-1,1], devido à amplitude, que é 1.
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Exemplo de gráfico:
http://3.bp.blogspot.com/-GFgyAdrQJuc/Tj7-HSTYruI/AAAAAAAAAAs/LZqrhv07JBs/s1600/Figura15.jpg
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PeríodoDeslocamento
Am
plitu
de
Tempo (s)
Gráfico da função seno:
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xseccosImagem
senxImagem
xseccosImagem 2
senx
23
xseccos
xseccos
y
x
2
-1
1
0
www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigonometricasgraficosi.programa.exe
Software de simulação:
A simulação a seguir apresenta dados referentes às funções trigonométricas no círculo trigonométrico. Neste mesmo software, as funções seno, cosseno e tangente estão sendo representadas por meio da circunferência, apresentando seus respectivos gráficos.
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Software de simulação:
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www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigonometricasgraficosi.programa.exe
Vídeo: Funções trigonométricasEste vídeo explica detalhadamente a construção dos gráficos da função Seno (assim como também das funções Cosseno e Tangente).
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http://www.youtube.com/watch?v=8e0Q6dS_5lQ&feature=related
Extra: problema 1 (com ilustração)Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai do solo até o ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo?
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Imagem: Torsten Bätge / Torre / GNU Free Documentation License
60m
55°
http://1.bp.blogspot.com/-_OCNIZUEsZE/TkbRrQq36UI/AAAAAAAAADg/biw58OCSFVI/s1600/3-cd09441330+%25282%2529.jpg
Extra: problema 1 - soluçãoComo se trata de um triângulo retângulo, podemos afirmar que sen 55º = 60/x ; x = 60/ sen 55°. Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos sen 55º = 0.819, logo: x = 60/0.819 = 73,26m, aproximadamente, o comprimento do cabo.
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Extra: problema 2 (sem ilustração)Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a altura h.
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Extra: problema 2 - solução
Bom, como o muro é perpendicular ao chão, o triângulo da figura se torna um retângulo. Então, sen 62º= h/4,5 h = 4,5 . sen 62° h = 4,5 . 0,88 = 3,96 (2 c.d) 0 3,96 é a altura h, aproximadamente.
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Extra: problema 3 (pesquisa)Tire uma foto de algum fenômeno periódico. Promova pesquisas de aprofundamento do tópico desenvolvido no material de apoio apresentado e conceitue-o. (As pesquisas realizadas podem ser anexadas a esta apresentação posteriormente).
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Extra: problema 3 - solução
As funções trigonométricas podem ser modelos matemáticos de vários fenômenos que se repetem; entre elas poderão ser apresentadas fotos a respeito das variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou ainda o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré.
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Tabela de Imagensn° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto
link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso
27 Torsten Bätge / Torre / GNU Free
Documentation Licensehttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sender_Dannenberg_Zernien_7675.jpg
11/09/2012