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Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 3º AnoRepresentação geométrica

dos números complexos

MATEMÁTICA, 3º AnoRepresentação geométrica dos números complexos

No início do século XIX, os matemáticos Carl Friedrich Gauss

(1777-1855) e Jean Robert Argand (1768-1822), em trabalhos

independentes, perceberam a ligação existente entre as partes

real e imaginária de um número complexo com as coordenadas

de um ponto no plano cartesiano e criaram um plano com as

mesmas características, tornando possível a visualização desses

números.


Representação geométrica de um número complexo

Um número complexo z pode ser escrito como um par ordenado

z = (a, b) e na forma algébrica z = a + bi, com a R e b R.

Cada par ordenado de números reais (a, b) pode ser

representado em um plano cartesiano por um único ponto.

Assim, a um ponto P (a, b) podemos associar um único número

complexo z = a + bi, e vice-versa.


O número complexo z = a + bi é chamado imagem do ponto P

(a,b) e o plano cartesiano, em que são representados os números

complexos, é denominado plano de Argand-Gauss ou plano

complexo.

b

a eixo real (Re)

P (a, b)

eixo imaginário (Im)

0


No plano de Argand-Gauss, o eixo das abscissas é chamado eixo real (Re),

e o eixo das ordenadas é o eixo imaginário (Im).

O número ponto P (a, b) associado ao número complexo z = a + bi é

chamado de afixo do número complexo z.


Vejamos, então, alguns casos.

Observe os afixos dos números complexos z1 = 3 – 5i, z2 = − 1 +

4i, z3 = 2 + 5i e z4 = − 4 − 6i

eixo real (Re)


1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

-6

-6 -5 -4 -3 -2 - 1 2 3 4 5 6

6

z4

z2

z3

z1


O número complexo como um vetor

Como já vimos, um número complexo qualquer z = a + bi pode

ser representado geometricamente por um ponto P (a, b) no

plano de Argand-Gauss.

Um número complexo qualquer, não nulo, pode também ser

representado por um vetor de origem no ponto O (0, 0) e

extremidade no ponto P (a, b).


Veja:

b

a eixo real (Re)

P (a, b) ou z = a + bi


0


Exemplo:

Vejamos o vetor representante do número z = 3 + 4i.

Re

Im

1

2

3

4

-1

-1 1 2 3 4


Módulo de um número complexo

O módulo de z = a + bi, indicado por |z| ou ρ, é o módulo do

vetor que o representa, ou seja, é a distância da origem O (0, 0)

ao ponto P (a, b).

Assim, com base no teorema de Pitágoras, temos:

|z| = ρ = .


Exemplos:

O módulo do número complexo z1 = 3 – 4i é:

|z| =

|z| =

|z| =

|z| = 5

O módulo do número complexo z2 = 5 + 12i é:

|z| =

|z| =

|z| =

|z| = 13


Argumento de um número complexo

O vetor representativo de um número complexo formará com o

eixo real um ângulo θ (0 ≤ θ < 2π) que medido no sentido anti-

horário indicará o sentido do vetor.

Para um número complexo não nulo z, o ângulo θ é chamado

de argumento de z, e é indicado por arg (z).


Analisando o triângulo OAP da figura anterior, constatamos que:

θ é o ângulo cujo:

• sen θ = b .

|z|

• cos θ = a .

|z|

Com 0 ≤ θ < 2π

b

a Re

P

Im

0


Exemplo:

Determine o argumento do número complexo z = 1 + i.

De início, calculamos o módulo de z:

|z| =

|z| =

Portanto:

sen θ = 1 = .

2

θ = π/4 rad = 45º

cos θ = 1 = .

2


A determinação do argumento do número complexo, como feito

na página anterior, é possível pois, para ângulos pertencentes ao

intervalo de 0 rad a 2π rad (0º a 360º), há apenas um ângulo

correspondente a cada par de valores de seno e cosseno

(valores pertencentes ao intervalo [− 1, 1]).

Exemplo:

Dados sen θ = − 0,5 θ = 7π/6 rad (210º) ou θ = 11π/6 (330º)

e cos θ = − 0,866 θ = 5π/6 rad (150º) ou θ = 7π/6 rad (210º)

Logo:

θ = 7π/6 rad (210º)


Atividades Resolvidas

1) Represente no plano de Argand-Gauss os números

complexos abaixo:

a) z = − 4 + i

b) z = 3 − 2i

c) z = 1 + 3i

d) z = − 2 − 4i


a) temos, então, o coeficiente real (abscissa) − 4 e o coeficiente

imaginário (ordenada) 1, logo:

Re

Im

1

2

3

4

-2

-1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

z


b) temos, agora, o coeficiente real (abscissa) 3 e o coeficiente

imaginário (ordenada) − 2, logo:

Re

Im

1

2

3

4

-2

-1

-2 -1 1 2 3 4

z

-3


c) o coeficiente real (abscissa) é 1 e o coeficiente imaginário

(ordenada) é 3, logo:

Re

Im

1

2

3

4

-2

-1

-2 -1 1 2 3 4

z

-3


d) o coeficiente real (abscissa) é − 2 e o coeficiente imaginário

(ordenada) é − 4, logo:

Re

Im

1

2

3

4

-2

-1

-2 -1 1 2 3 4

z

-3

-4

-3


2) Calcule o módulo dos seguintes números complexos:

a) z = − 4 + 3i

b) z = 6 − 8i

c) z = 3i

d) z = − 2

a) Temos a = − 4 e b = 3, portanto:

|z| =

|z| =

|z| =

|z| = 5


b) Temos a = 6 e b = − 8, portanto:

|z| =

|z| =

|z| =

|z| = 10

c) Temos a = 0 e b = 3, portanto:

|z| =

|z| =

|z| =

|z| = 3


d) Temos a = − 2 e b = 0, portanto:

|z| =

|z| =

|z| =

|z| = 2

3) Determine o argumento do número complexo z = 1 + i.

Primeiro vamos calcular o módulo de z:

|z| =

|z| =

|z| =


Em seguida, vamos determinar o argumento de z:

sen θ = = .

3

θ ≈ 342π/1125 rad (54,72º = 54º43’12”)

cos θ = 1 = .

3


Atividades Propostas

1) Represente no plano de Argand-Gauss os números

complexos abaixo:

a) z = − 5 − i

b) z = 7 + 2i

2) Calcule o módulo dos seguintes números complexos:

c) z = 4 + 3i

d) z = − 12 − 8i

e) z = 5i

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