matematica elementar 2
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Clício Freire da SilvaCláudio Barros Vitor
Arnaldo Barbosa Lourenço
Manaus 2006
FICHA TÉCNICA
GovernadorEduardo Braga
Vice-GovernadorOmar Aziz
ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings
NUPROMNúcleo de Produção de Material
Coordenador GeralJoão Batista Gomes
Projeto GráficoMário Lima
Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior
Horácio MartinsMário Lima
Revisão Técnico-gramaticalJoão Batista Gomes
Silva, Clício Freire da.
S586m Matemática elementar II / Clício Freire da Silva, Cláudio BarrosVitor, Arnaldo Barbosa Lourenço. – Manaus/AM: UEA, 2006. –(Licenciatura em Matemática. 2. Período)
120 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Matemática – Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.Lourenço, Arnaldo Barbosa. III. Título.
CDU (1997): 51
CDD (19.ed.): 510
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE II – Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 03 – Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23TEMA 04 – Cubo da soma de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24TEMA 05 – Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 06 – Fatoração do trinômio quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 07 – Frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Cálculo do mmc e do mdc de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
UNIDADE III – Potências e radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TEMA 09 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 10 – Usando potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40TEMA 11 – Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 12 – Equações do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47TEMA 13 – Equações literais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50TEMA 14 – Equações fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
UNIDADE IV – Inequações e sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 15 – Inequação do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 16 – Sistemas de equações e inequações do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 17 – Representação gráfica de uma inequação do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 69
UNIDADE V – Equação do 2.º grau e intervalos em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 18 – Equação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 19 – Relação entre os coeficientes e as raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82TEMA 20 – Intervalo reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
UNIDADE VI – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
TEMA 21 – Função ou aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91TEMA 22 – Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95TEMA 23 – Função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96TEMA 24 – Raiz ou zero da função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 25 – Função do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100TEMA 26 – Inequação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104TEMA 27 – Inequação do “tipo” quociente e do “tipo” produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Clício Freire da SilvaLicenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF
Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM
Cláudio Barros VitorLicenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Arnaldo Barbosa LourençoLicenciado em Matemática - UFPA
Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM
Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico-científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando-lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando-lhes
uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros-textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE IConjuntos Numéricos
TEMA 01
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS:INTRODUÇÃO, NÚMERO RACIONAL
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS
1. Introdução.
É possível repartir igualmente vinte bolinhas degude entre três crianças carentes?
Vejamos:
Nesse caso, não é possível, pois cada criançareceberá seis bolinhas e ainda sobrarão duasbolinhas.
Conclui-se, então, que a divisão de dois nú-meros inteiros nem sempre é possível de serrealizada no conjunto Z. Daí a necessidadede ampliar o conjunto Z para o conjunto dosnúmeros racionais (Q), pois não existe númerointeiro que represente o quociente 20 : 3.
No século VI a.C., na Grécia, Pitágoras formouuma sociedade secreta e mística. Os membrosdessa sociedade dedicaram-se ao estudo dosnúmeros, porque acreditavam que tudo queexiste no Universo podia ser explicado pormeio de números.
Os pitagóricos conheciam os números inteirose as frações, que representavam comparaçõesentre duas grandezas de mesma espécie.
Com a descoberta do Teorema de Pitágoras,os pensadores verificaram que a razão entre amedida d da diagonal do quadrado e a medida
do lado do quadrado não era um númeroracional, pois essas medidas nunca podiamser ambas expressas por números inteiros.Isso levou à criação dos números irracionais,que não são inteiros e nem racionais, pois nãopodem ser escritos como fração nem comodecimal exato ou periódico. E sabe-se, hoje,
que
2. Número Racional (Q)
É qualquer número que pode ser escrito comoquociente de dois números inteiros, sendo odivisor diferente de zero.
2.1 Forma decimal
Há duas formas de se representar um númeroracional: a forma fracionária e a forma deci-mal. Dada a forma fracionária, basta dividir onumerador pelo seu denominador para obter aforma decimal. Veja os exemplos:
a) Se dividirmos 15 metros de cabo em oito pedaços
de comprimentos iguais, qual será o comprimen-
to de cada pedaço?
→ representação fracionária.
1,875 → representação decimal.
O comprimento de cada pedaço de cabo será
de 1,875m.
b) → representação fracionária.
1,333... → representação decimal.
A representação decimal de um númeroracional pode apresentar:
2.1.1 Um número finito de algarismos não-nulos. Nesse caso, o número racional échamado de decimal exato, como noexemplo a.
20 32 6
11
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
2.1.2 Um número infinito de algarismos que serepetem periodicamente. Nesse caso, onúmero racional é chamado de dízimaperiódica, como no exemplo b.
Numa dízima, os algarismos que se repetemperiodicamente após a vírgula compõem o nú-mero chamado de período. Veja os exemplos:
d) 3,444... – período: 4.
e) 2,535353... – período: 53.
f) 4,01215215215... – período: 215.
Quando a dízima não apresentar nenhumalgarismo entre a vírgula e o período (comonos exemplos d e e), ela é chamada de dízimaperiódica simples. Caso contrário (como noexemplo f), ela é chamada de dízima periódicacomposta.
2.2 Forma fracionária
Para transformar um número da representaçãodecimal para a representação fracionária, te-mos dois casos a considerar:
1. O número dado é um decimal exato.
Nesse caso, a fração procurada tem comonumerador o número dado, sem vírgula, etem como denominador o algarismo 1 segui-do de tantos zeros quantas forem as casasdecimais do número dado. Veja os exemplos:
a) 0,38 = b) 1,743 =
duas casas três casas
decimais = dois zeros decimais = três zeros
2. O número dado é uma dízima periódica.
Nesse caso, a fração procurada recebe onome de fração geratriz da dízima periódica.
Exemplo sobre a determinação da fraçãogeratriz.
Encontrar a fração geratriz da dízima0,777...
Solução:
Indicamos a dízima periódica 0,777... por x.
x = 0,777... (1)
Multiplicamos os dois membros dessaigualdade por 10.
10x = 7,777... (2) → multiplicamos por 10,
pois o período tem um algarismo.
Subtraímos, membro a membro, a igual-dade (1) da igualdade (2).
10x = 7,777... (2)
x = 0,777... (1)
9x = 7
Assim: x =
Logo, 0,777... =
Determine a geratriz da dízima 4,151515...
Solução:
Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x.
x = 4,151515... (1)
Multiplicamos os dois membros dessa igual-dade por 100.
100x = 415,151515... (2) → multiplicamos por100, pois o período tem dois algarismos.
Subtraímos, membro a membro, a igualdade(1) da igualdade (2).
100x = 415,151515... (2)
x = 4,151515... (1)
99x = 411
Assim: x =
Logo, 4.151515... =
3. Números Irracionais (II)
São todos os números que têm uma represen-tação decimal, infinita e não–periódica.
Os números irracionais não podem ser escritosem forma de fração.
As raízes quadradas de números inteiros posi-tivos, que não são quadrados perfeitos, sãonúmeros irracionais. Exemplos:
e
12
UEA – Licenciatura em Matemática
Alguns números irracionais são identificadospor símbolos especiais.
O número π (pi)
Há muitos anos, os egípcios descobriramque a razão entre o comprimento de uma cir-cunferência e o seu diâmetro é a mesma paraqualquer circunferência. É essa razão quehoje chamamos de π, representando umnúmero irracional de valor aproximadamenteigual a 3,1415...
C––– = π2r
π = 3,1415...
Logo, C = 2.π.r
A roda de um automóvel tem 0,6m dediâmetro. Nessas condições, responda:
a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da
circunferência da roda?
b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de
quantos metros será a distância percorrida pelo
automóvel?
Solução:
a) C = ? C = 2.π.r
d = 0,6 m
= 0,3 m
C = 2 . 3,14 . 0,3 →
C = 1,884m
b) N.° de voltas completas = 5000.
Distância percorrida pelo automóvel:
d = 5000 . 1,884
d = 9420m
4. Números Reais (IR)
É o conjunto formado por todos os númerosracionais e por todos os números irracionais.
Em resumo, temos:
O diagrama abaixo permite-nos visualizar que:
I ⊂ IR Q ∪ I = IR Q ∩ I = ∅ IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
4.1 Representação geométrica dos númerosreais.
Para cada número real, há um ponto correspon-dente na reta e, para cada ponto da reta, há umnúmero correspondente. Por isso, dizemos queexiste uma correspondência um a um entre osnúmeros reais e os pontos de uma reta.
Escreva entre que números inteiros consecu-tivos fica cada um dos números reais abaixo.Identifique se ele é real racional ou real irracional.
a) b) c) 8,666...
Solução:
a) : real irracional; fica entre 5 e 6.
c) : real racional; fica entre 2 e 3.
d) 8,666...: real racional; fica entre 9 e 8.
4.2 Operações em IR
No conjunto dos números reais, podemos efe-tuar as operações de adição, subtração, multi-plicação e divisão (divisor diferente de zero).
13
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
Propriedades
Sendo a, b e c números reais quaisquer,podemos escrever as propriedades das se-guintes operações:
a) Adição
• Fechamento: (a + b) ∈ IR
Ex.: 10 + 20 = 30 (30 ∈ IR)
• Comutativa: a + b = b + a
Ex.: 8 + 9 = 9 + 8 = 17
• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Ex.: 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12
• Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a Ex.: 6 + 0 = 0 + 6 = 6
• Elemento oposto: a + (−a) = 0 Ex.: 4 + (−4) = 0
b) Subtração
• Fechamento: (a – b) ∈ IR
Ex.: 3 – 5 = 2 (−2 ∈ IR)
c) Multiplicação
• Fechamento: (a . b) ∈ IREx.: 3 . 5 = 15 (15 ∈ IR)
• Comutativa: a . b = b . a
Ex.: 9 . 3 = 3 . 9 = 27
• Associativa: a .(b . c) = (a . b) . c
Ex: (4 . 5) . 6 = 4 .(5 . 6) = 120
• Elemento inverso: , a ≠ 0
Ex.:
• Elemento neutro: a . 1 = 1. a = a Ex.: 3 . 1 = 1 . 3 = 3
• Distributiva: a . (b + c) = a.b + a.c Ex.: 3 . (5 + 4) = 3 . 5 + 3 . 4
d) Divisão
• Fechamento: (a : b) ∈ IR, b ≠ 0 Ex.: 3 : 5 = 0,6 (0,6 ∈ IR)
1. Dados os números 0; 0,7; ; 7,7; –7;0,70007... quais são:
a) reais e racionais?b) reais e irracionais?
2. Represente os seguintes números na forma
decimal:a) 5/4 b) 5/3 c) 5/6 d)
3. Represente com uma fração irredutível.
a) 0,45 b) 0,454545... c) 2,16 d) 5,444...
4. Considere – 1,444... e B = 0,7 – 0,777...
Determine .
5. Diga qual a propriedade aplicada em cada caso:
a) –3 + 8 = 8 + 3
b) 5 . 8 = 8 . 5
c) 3 + (–2 + 4) = [3 + (–2)] + 4
d) (4 . 3) . 2 = 4 .(3 . 2)
6. Represente na reta numérica real os seguintesnúmeros.
a) b) c) d)
7. Determine o único conjunto cujos elementossão todos números racionais:
a) { 1/2; ; 3, 5, } c) {–3, –2, , 0}
b) {–1, 2/7, 0, , } d) { 0, , ; 5,7}
8. Com auxílio de um diagrama, represente aseguinte afirmação: Q e I são conjuntos disjuntos.
9. Utilizando a propriedade distributiva da multi-plicação, desenvolva os produtos:
a) 2 . (b + 3) c) – 4 . (x + 4)
b) 17 . (c – 2) d) – 2 . (a – b)
10. Qual a correspondência existente entre ospontos de uma reta e os números reais?Justifique sua resposta.
11. Dê um exemplo de dois números irracionaiscuja soma seja um número racional.
12. O produto ou quociente de dois números irra-cionais pode ser um número racional?
13. Quando um número decimal não–exato é umnúmero irracional?
14
UEA – Licenciatura em Matemática
14. Numa fazenda, 55,555...% das terras são ocu-padas pela plantação de guaraná. Que fração dasterras dessa fazenda representa essa plantação?
15. Uma roda de bicicleta tem raio de 40cm. Cal-cule o comprimento da circunferência dessaroda, considerando π = 3,14.
16. Numa caixa, há bolas numeradas de 1 a 7. Ro-drigo retirou três bolas consecutivas sem reco-locá-las na caixa, para representar um númerox. O número retirado na primeira bola repre-sentará as unidades de x, o número da segun-da bola irá representar os décimos de x e o daterceira bola, os centésimos.
a) Rodrigo retirou os números 6, 4, 2, nessa or-
dem. Qual o número x formado nesse caso?
Indique-o por uma fração irredutível.
b) Se, em seguida, Rodrigo retirar mais três bolas,
qual o maior número x possível que poderá ser
sorteado com a retirada dessas bolas? E o me-
nor?
TEMA 02
POLINÔMIOS
1. Introdução
A álgebra é a parte da matemática em que seempregam letras para representar e genera-lizar situações envolvendo números.
Pense e descubra.
No retângulo da figura, usamos letras para in-dicar as medidas da base e da altura.
Pela figura:
• a representa a medida da base do retângulo.
• b representa a medida da altura do retângulo.
Daí:
O perímetro do retângulo é igual a duas vezesa medida da base mais duas vezes a medidada altura.
Perímetro do retângulo: 2 . a + 2 . b ou 2a + 2b.
A área do retângulo é igual ao produto da me-dida da base pela medida da altura.
Área do retângulo = a . b ou ab.
Logo, toda expressão matemática compostade números e letras, ou somente letras, é de-nominada expressão algébrica ou literal.
2. Valor numérico de uma expressão algébrica
Considere a seguinte situação:
Em um estacionamento, encontram–se x mo-tos e y carros. A expressão que representa onúmero total de rodas é 2x + 4y.
Se forem 12 motos e 15 carros, o número totalde rodas será: 2.(12) + 4.(15) = 24 + 60 = 84.
Dizemos, então, que o valor numérico da ex-pressão algébrica 2x + 4y para x = 12 e y = 15é 84.
Exemplos:
a) Calcular o valor numérico da expressão
, para x = 4.
15
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
portanto, o valor numérico da expressão
algébrica para x = 4 é 4.
b) A expressão não possui valor numérico real
quando a = 0, pois esse valor anula o deno-minador.
3. Monômio ou termo algébrico
• Determinação do perímetro de um quadradode lado a.
Expressão algébrica: 4.a = 4a
• Determinação do volume de um paralelepí-pedo retângulo de arestas a, b e c.
Expressão algébrica: a .b .c = abc
Portanto as expressões algébricas racionaisinteiras representadas por um único produtosão chamadas de monômios (ou termos algé-bricos).
Exemplo:
a) 5x³y² → coeficiente: 5; parte literal: x³y²
b) abc → coeficiente: 1 ; parte literal: abc
c) Uma revendedora de veículos vendeu, numa se-mana, 5 automóveis a x reais cada, e 6 motos a yreais cada. Qual a expressão algébrica que repre-senta o total arrecadado na venda desses veículos?
• Total arrecadado com a venda dos automóveis:5x.
• Total arrecadado com a venda das motos: 6y.
• Total arrecadado com a venda desses veículospode ser representado pela soma: 5x + 6y.
Temos, aí, uma adição de monômios.
Conclui-se, então, que qualquer adição algébrica demonômios denomina-se polinômio.
Exemplo:
a) 5x + 8 → é um polinômio de dois termos, tam-
bém chamado binômio.
b) y² – 7y + 10 → é um polinômio de três termos,
também chamado de trinômio.
c) a³ + 5a²b + 6ab² + b³ → é um polinômio de
quatro termos.
Cuidado!!!
O grau de um monômio, com coeficientes não-nulos, é indicado pela soma dos expoentes dasua parte literal.
Exemplos:
4. Monômios semelhantes
Verifique:
• Os monômios 5a³b² e a³b² apresentam a
mesma parte literal: a³b².
• Os monômios 3m²n e m²n apresentam a
mesma parte literal: m²n.
Portanto conclui-se que dois ou mais monô-mios são semelhantes quando apresentam amesma parte literal ou não possuem parte liter-al.
5. Operações com monômios
5.1 Adição algébrica de monômios.
Uma expressão algébrica em que todos os mo-nômios são semelhantes pode ser simplificadasomando-se algebricamente os coeficientes nu-méricos e conservando-se a parte literal.
Observe a figura:
• Área do retângulo ACDF é expressa pelo monômio: 9xy.
• Área do retângulo ABEF é expressa pelo monômio: 5xy.
• Área do retângulo BCDE é expressa pelo monômio: 4xy.
16
UEA – Licenciatura em Matemática
Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy.
Exemplos:
a) 3x²y + 5x²y = (3 + 5)x²y = 8x²y
b) 6xy – xy + xy = (6 – + )xy = ( ) xy
5.2 Multiplicação de Monômios
O produto de dois ou mais monômios pode serobtido multiplicando-se os coeficientes numéri-cos e as partes literais entre si.
Na figura:
O volume do paralelepípedo (V) é: V = (2ab).(3b).(c)V = (2 . 3 . 1) . (a . b . b . c)V= 6ab²c
Logo, o monômio 6ab²c representa o volumedesse paralelepípedo.
Exemplo:
a)
b)
=
5.3 Divisão de monômios
O quociente de dois monômios pode ser obti-do dividindo-se os coeficientes numéricos e aspartes literais entre si.
Exemplo:
a)
b)
=
5.4 Potenciação de monômios
A potência de um monômio pode ser obtida
elevando-se o coeficiente numérico e a parte li-
teral à potência indicada.
Exemplos:
a)
b)
5.5 Raiz quadrada de um monômio
A raiz quadrada de um monômio pode ser obti-
da extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente
numérico e dividindo-se por 2 o expoente de
cada variável da parte literal.
Exemplos:
a) = 6 a²b³
b)
6. Grau de um polinômio
O grau de um polinômio não-nulo é dado pelo
seu termo de maior grau não-nulo.
Exemplos:
• O polinômio x4y – x5y3 + 3x2yz é do 8.º grau.
• O polinômio 2a3 + 5a2b2 – 6ab é do 4.º grau.
6.1 Polinômio com uma só variável
O grau do polinômio corresponde ao maior
expoente com que a variável figura num dos
termos não-nulos do polinômio.
Exemplos:
• O polinômio 6x3 + 2x2 + 4 é do 3.º grau.
• O polinômio –2a3 + 5a7 – 6a + 3 é do 7.º grau.
7. Operações com Polinômios
7.1 Adição de Polinômios
Pense e responda:
Qual o polinômio reduzido que dá o perímetrodo triângulo ao lado?
17
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
Solução:
Para encontrar o perímetro, vamos adicionaros polinômios que representam as medidasdos lados.
(3x + 5) + (2x + 1) + (x + 1) =
3x + 5 + 2x + 1 + x + 1 → eliminamos osparênteses.
3x + 2x + x + 5 + 1 + 1 =
= 6x + 7 → reduzimos os termos semelhantes.
Assim, o perímetro da figura é dado pelopolinômio 6x + 7.
Exemplo:
Sendo A = 4x² + 3xy + y², B = −3x² + 4xy e C= x² − y², encontrar A + B + C.
Solução:
A + B + C = (4x² + 3xy + y²) + (−3x² + 4xy) +(x² − y²)
= 4x² + 3xy + y² − 3x² + 4xy + x² − y² → elimi-namos os parênteses.
= 4x² − 3x² + x² + 3xy + 4xy + y² − y²
= 2x² + 7xy → reduzimos os termos seme-lhantes.
7.2 Subtração de polinômios
Para subtrair dois polinômios, devemos adicio-nar o primeiro ao oposto do segundo, seguin-do a mesma seqüência do item anterior.
Exemplo:
Determine a diferença entre os polinômiosA = 5x³ − 4x + 8 e B = 2x³ + 6x² – 2.
Solução:
A − B = (5x³ − 4x + 8) − (2x³ + 6x² − 2)
A − B = 5x³ − 4x + 8 − 2x³ − 6x² + 2 → eli-minamos os parênteses trocando o sinal dostermos do segundo polinômio.
A − B = 5x³ − 2x³ − 6x² − 4x + 8 + 2 → agru-pamos os termos semelhantes.A − B = 3x³ − 6x² − 4x + 10 → reduzimos ostermos semelhantes.
7.3 Multiplicação de polinômios
Considere a seguinte situação:
Observe a figura e determine a expressão al-gébrica que representa a área total desses doisespaços.
Solução:
Área I:
3a.2a = 6a2
Área II:
3a.b = 3ab
Total:
Área I + II = 6a2 + 3ab
Ou, pela propriedade distributiva:
Área total é igual a:
3a.(2a+ b) = 3a . 2a + 3a . b = 6a² + 3ab.
Exemplo:
Calcular o produto: (−2x + 5).(6x² + 4x + 3).
Solução:
(−2x + 5).(6x² + 4x + 3) =
= –2x . 6x² – 2x . 4x – 2x . 3 + 5 . 6x² + 5 . 4x + 5 . 3
= –12x³ – 8x² – 6x + 30x² + 20x + 15
= –12x³ – 8x² + 30x² – 6x + 20x + 15
= –12x³ + 22x² + 14x + 15.
Pelo dispositivo prático, temos:
7.4 Divisão de polinômios
• Divisão de polinômio por monômio
Considere o retângulo abaixo:
A área desse retângulo é representada pelopolinômio 6x² + 9x, e a medida da altura pelomonômio 3x.
Vamos determinar o polinômio que representaa base do retângulo.
Para isso, devemos dividir o polinômio:
6x² + 9x pelo monômio 3x, ou seja, achar o
18
UEA – Licenciatura em Matemática
polinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x.
Esse polinômio é 2x + 3, pois:
3x . (2x + 3) = 6x² + 9x.
Observe que o polinômio 2x + 3 pode ser obtidodividindo-se os dois termos de 6x² + 9x por 3x.
Então: (6x² + 9x) : (3x) = 2x + 3
Exemplos:
a) (18x³ – 12x² + 3x) : (–3x) = –6x² + 4x –1
b) (7x³y² – 5x²y4) : (–3x²y) = xy + y³
• Divisão de polinômio por polinômio
A divisão de polinômio por outro polinômionão-nulo será feita, considerando apenas ospolinômios com uma variável.
Para facilitar essas divisões, devemos escreveros polinômios segundo as potências decres-centes da variável, e o polinômio dividendo de-ve ser escrito na forma geral.
Exemplo:
Calcular o quociente de (8x² – 10x + 5) por(2x + 1).
• Começamos dividindo o primeiro termo do dividendo (8x²) pelo primeiro termo do polinômio divisor (2x). Obtemos 4x.
8x² – 10x + 5 |2x + 14x
• Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo divisor (2x + 1), obtendo o produto (8x² + 4x); subtraímos esse produto do dividendo:
8x² – 10x + 5 |2x + 1–8x² – 4x 4x–14x + 5
Repetimos os passos anteriores para calcularo quociente de –14x + 5 por 2x + 1.
Dividimos (–14x) por (2x), obtendo o segundotermo do quociente (–7).
Multiplicamos (–7), por (2x + 1), obtendo – 4x – 7.
Subtraímos esse produto de –14x + 5 e obte-mos o resto (12).
8x² – 10x + 5 |2x + 1–8x² – 4x 4x – 7
–14x + 514x + 7
+12
Como o resto (12) tem grau zero, que é menorque o grau do divisor (2x + 1), de grau 1, ficaencerrada a divisão. Logo:
Quociente: 4x + 7
Resto: 12
1. Determine uma expressão algébrica que repre-senta a área total de um cubo planificado.
Solução:
Área total do cubo planificado: At
At = a . a + a . a + a . a + a . a + a . a + a . a
At = a² + a² + a² + a² + a² + a² = 6a²
2. Determine o polinômio que, dividindo por2x³ + 5x, tem quociente (x² – 1) e resto x + 5.
Solução:P |2x³ + 5x
x + 5 x² – 1
P = (x² – 1).(2x³ + 5x) + x + 5
P = x² . 2x³ + x² . 5x – 1 . 2x³ – 1 . 5x + x + 5
P = 2x5 + 5x³ – 2x³ – 5x + 5
P = 2x5 + 3x³ – 5x + 5
3. Calcule o quociente de 8x³ – 1 por 2x – 1.
Solução:
Como o polinômio dividendo é incompleto,vamos ordenar o polinômio segundo a ordemdecrescente das potências da variável x.
8x³ + 0x² + 0x – 1 |2x – 1 –8x³ + 4x² 4x² + 2x + 1
4x² + 0x –1 –4x² +2x Quociente: 4x² + 2x + 1
2x – 1 Resto: 0–2x + 1
0
Quando o resto é zero, dizemos que adivisão é exata.
19
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
1. Efetue as seguintes expressões algébricas,reduzindo os termos semelhantes :
a) 6 a² – 3b² + 5a – 7a² + b² – 2a
b) x²y – xy + 2x²y + 2xy – xy
2. Efetue os seguintes produtos:
a) (7m²n).(mn²).(–2mn) b)
3. Efetue as seguintes divisões:
a) (–30a3b2c4) : (–6ab2c3)
b)
4. Calcule as seguintes potências:
a) (–5a²bc³)³ b) (–4a3b4)2
c)
5. Calcule a raiz quadrada:
a)
b)
c)
6. De acordo com Lorentz, existe uma relaçãoideal entre a altura T (em cm) e a massa M (emkg) de um indivíduo. Essa relação é dada pelaseguinte expressão algébrica:
M = T – 100 – (T – 150), para um homem.
M = T – 100 – (T – 150), para uma mulher.
Com base nisso, responda:
a) Qual a massa ideal de um homem que tem 1,80m
de altura? E de uma mulher com 1,65m de altura?
b) Qual a altura ideal de um homem cuja massa é
70kg? E de uma mulher de massa 55kg?
7. Numa partida de tênis, Paulo deu x saques eacertou 45% deles. Lúcio, seu adversário, deuy saques e acertou 60% desses saques menos2. Nessas condições, determine:
a) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que Paulo acertou.
b) O polinômio que representa a quantidade de sa-
ques que Lúcio acertou.
c) O polinômio que representa a quantidade de sa-ques que os dois acertaram juntos.
8. Calcule o valor numérico das expressões algé-bricas:
a) , para x = 2 e y = 3.
b) x²– 4x+5y, para x=1 e y= –2.
9. Determine os valores das variáveis, para osquais as seguintes expressões não possuemvalor numérico real:
a) b)
10. Uma locadora cobra pelo aluguel de um veícu-lo uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 40,00por hora de uso. Qual o polinômio que repre-senta o preço a ser pago por um locador queutilizou o carro durante t horas?
11. Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compraum caderno por x reais e o revende por y reais.
a) Qual a expressão algébrica que representa o lu-cro de Cláudia por caderno vendido?
b) Qual foi o lucro que Cláudia teve na venda de 24cadernos que foram comprados por R$ 3,20 evendidos por R$ 8,70?
12. Sendo A = x + 5, B = x² + 2x + 1 e C = 2x² – 4,determine:
a) A . B b) B . C c) A . C
13. Determine os quocientes:
a) (9x5 – 12x4 + 18x³ – x²) : (3x²)
b) (20x¹³ – 16x10 + 8x5) : (4x3)
14. Determine o quociente e o resto:
a) (8x² – 10x + 5) : (2x – 2)
b) (12x³ – 17x² + 10x – 3) : (3x² – 2x + 1)
15. Determine o polinômio que, dividido por(x + 5), tem por quociente (x – 2) e o resto 3.
16. A área do retângulo abaixo é expressa pelopolinômio 2x² + 11x + 15. Qual é o polinômio querepresenta a medida da altura desse retângulo?
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UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IIProdutos Notáveis e Fatoração
23
TEMA 03
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. Introdução
Por volta do ano 300 a.C, a idéia de variávelainda não fazia parte do mundo da matemática.
Mesmo assim, a matemática desenvolvia-se bas-tante, porque matemáticos como Euclides eramcapazes de trabalhar com expressões algébric-as por meio de construções geométricas.
A álgebra geométrica grega foi-nos transmitidaprincipalmente por meio do livro II da obraElementos, de Euclides (325 – 265 a.C)
2. Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos a, e b, éindicada por (a + b)². Desenvolvendo esseproduto, obtemos:
(a + b)² = ( a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Demonstração geométrica:
A = Área do quadrado de lado c = a + b:A = c2
A = (a + b)2 = (a + b) . (a + b) A = a2 + ab + ab + b2
A = a2 + 2ab + b2
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + 3)² = x² + 2 . x . 3 + 3² = x² + 6x + 9
b)
3. Quadrado da diferença de dois termos
Quadrado da diferença de dois termos a, e b,é indicado por (a – b)². Desenvolvendo esseproduto, obtemos:
(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Demonstração Gráfica
Considere a figura abaixo:
Qual o polinômio que representa a área doquadrado cujo lado mede (a – b)?
Área do quadrado cujo lado mede (a – b) éigual a (a – b)² = a² – 2ab + b².
Conclusão:
Exemplo:
a) (x – y)² = x² – 2xy + y²
b)
4. Produto da soma pela diferença de dois termos
O produto da soma pela diferença de dois ter-mos a, e b, é indicado por (a + b).(a – b).Desenvolvendo esse produto, obtemos:
O quadrado da diferença de dois termos é igualao quadrado do primeiro termo, menos duasvezes o produto do primeiro pelo segundo maiso quadrado do segundo
O quadrado da soma de dois termos é igual aoquadrado do primeiro termo, mais duas vezes oproduto do primeiro pelo segundo mais oquadrado do segundo termo.
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
(a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
Demonstração Geométrica
Na figura abaixo, queremos conhecer o poli-nômio que representa a área do retângulo emnegrito. A base desse retângulo mede (a + b),e a altura (a – b).
Portanto a área é (a + b)(a – b).
Área do retângulo maior: a . (a + b)
a.(a + b) = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b)
a2 + ab = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b)
a2 – b2 = b.(a – b) + a.(a – b)
a2 – b2 = (a + b).(a – b)
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + y)(x – y) = x² – y²
b)
TEMA 04
5. Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos a, e b, é indi-cado por (a + b)³. Desenvolvendo esse produ-to, obtemos:
(a + b)³ = (a + b)².(a + b)
(a + b)³ = (a² + 2ab + b²).(a + b)
(a + b)³ = a² . a + a² . b + 2ab . a + 2ab . b +b² . a + b² . b
(a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Conclusão:
Exemplos:
a) (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
b) (a² + 2b)³ = (a²)³ + 3(a²)².(2b) + 3.a².(2b)² +(2b)³ =a6 + 6a4b + 12a²b² + 8b³
6. Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos a e b éindicado por (a – b)³. Desenvolvendo esse pro-duto, obtemos:
(a – b)³ = (a – b)².(a – b)
(a – b)³ = (a² – 2ab + b²).(a – b)
(a – b)³ = a² . a – a².b – 2ab . a + 2ab . b + b².a – b² . b
(a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Conclusão:
Exemplos:
a) (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
O cubo da diferença de dois termos é igual aocubo do primeiro termo, menos três vezes oquadrado do primeiro pelo segundo termo, maistrês vezes o primeiro pelo quadrado do segundotermo, menos o cubo do segundo termo.
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubodo primeiro termo, mais três vezes o quadradodo primeiro pelo segundo termo, mais trêsvezes o primeiro pelo quadrado do segundotermo, mais o cubo do segundo termo.
O produto da soma pela diferença de dois ter-mos é igual ao quadrado do primeiro termomenos o quadrado do segundo termo.
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UEA – Licenciatura em Matemática
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b) (a² – 3b)³ = (a²)³ – 3(a²)² . 3b + 3a².(3b)² – (3b)³
= a6 – 9a4b + 27a²b² – 27b³
7. O quadrado da soma de três termos
(a + b + c)² = (a + b + c).(a + b + c)
(a + b + c)² = a . a + a . b + a . c + b . a +b . b + b . c + c . a + c . b + c . c
(a + b + c)² = a² + ab + ac + ab + b² + bc+ ac + bc + c²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Conclusão:
Demonstração gráfica:
Calcular a área do quadrado, cuja medida dolado mede: = a + b + c
A = ² = (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c)
A = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²
A = ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Exemplos:
a) ( x + 2y + z)² = x² + (2y)² + z² + 2x . 2y + 2 . x
. z + 2 . 2y . z = x² + 4y² + z² + 4xy + 2xz + 4yz
b) (x + 3y + 5)² = x² + (3y)² + 5² + 2x . 3y + 2x .
5 + 2 . 3y . 5 = x² + 9y² + 25 + 6xy + 10x + 30y
8. Produto de Stevin
O produto de Stevin é indicado por (x +a)(x + b).Desenvolvendo esse produto, obtemos:
(x + a)(x + b) = x . x + x . b + a . x + a . b
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
(x + a)(x + b) = x² + (a + b) . x + ab
Exemplos:
a) (x + 4)(x + 3) = x² + (4 + 3) . x + 4 . 3
= x² + 7x + 12
b) (x –1)(x + 5) = x² + (–1 + 5) x + (–1) . 5
= x² + 4x – 5
a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + ab²+ ba² – b . ab + b . b²
(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³
Logo: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³
b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a. b² – ba² – b . ab – b . b²
(a – b)(a² + ab + b² = a³ + a²b + ab² – a²b– ab² – b³
logo: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³
c) a² + b² = (a + b) ² – 2ab
d) (a–b)par = (b–a)par
e) (a–b)ímpar = – (b–a)ímpar
Exemplos:
a) (x + 5)(x² – 5x + 25) = x³ + 5³ = x³ + 125
b) (x – 3)(x² + 3x + 9) = x³ – 3³ = x³ – 27
c) 52 + 3² = (5 + 3)² – 2 . 5 . 3 ∴ 34 = 64 – 30 = 34
d) (5 – 3)² = (3 – 5)² ∴ 4 = 4
e) (5 – 3)³ = – (3 – 5)³ ∴ 8 = 8
1. Se a² + b² = 34 e (a + b)² = 64, calcule o valorde 6ab.
Solução:
Sabemos que: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2ab = (a + b)² – (a² + b²)
2ab = 64 – 34
2ab = 30 ∴ ab = 30/2 ∴ ab = 15
logo 6ab = 6 . 15 = 90
2. Simplifique a expressão (2 a + b)² – (a – b)².
Solução:
(2a + b)² – (a – b)² =
O quadrado da soma de três termos é igual aoquadrado do primeiro termo, mais o quadradodo segundo termo, mais o quadrado do terceirotermo, mais duas vezes o primeiro pelo segun-do termo, mais duas vezes o primeiro pelo ter-ceiro termo, mais duas vezes o segundo peloterceiro termo.
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
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= (2a)² + 2 . 2a . b + b² – [a² – 2ab + b²]
= 4a² + 4ab + b² – a² + 2ab – b²
= 3a² + 6ab
3. Calcule o valor da expressão:
(5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4).
Solução:
(5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4) =
= (5x)² – 2 . 5x . 6 + 6² – [(5x)² – 4²]
= 25x² – 60x + 36 – [25x² – 16]
= 25x² – 60x + 36 – 25x² + 16
= – 60x + 52
1. Aplicando as regras dos produtos notáveis,calcule:
a) (2x + 10)²
b)
c) (5x – 1)²
d) (x³ – 1/2)²
e) (x² + 1).(x² – 1)
f) (ab +).(ab – )
2. Calcule os cubos:
a) (3x + 2)³ b) (x – 2)³
c) d) (1 – 2x)³
3. Desenvolva:
a) (x² + y + 1)² b) (2x – y – 1)²
4. Desenvolva:
a) (x – 3).(x² + 3x + 9)
b) (2a + b).(4a² – 2ab + b²)
5. Calcule:
a) (x + 5)( x – 3) b) (x + a).(x – 2b)
6. Se (a – b)² = 16 e a² + b² = 106, calcule o valor
de .
7. Sabe-se que a + b = 13 e a² – b² = 39, entãocalcule o valor de a.
8. Qual a expressão que devemos subtrair dea² + b² para obtermos o quadrado de (a – b)?
9. Sendo A = (x + 2)², B = (x + 3).(x – 3) eC = (x – 1)², determine o valor de A + B + C.
10. Qual a expressão que deve ser somada aa² + 6a²b² – 12 a²b para que resulte o quadra-do de 2a – 3b?
11. Se a² + b² = 34 e ab = 15, calcule o valor de
.
12. Simplifique a expressão: (y + 5)² – y(y + 10).
13. Usando as regras dos produtos notáveis, de-termine o polinômio que representa:
a) A área de um quadrado cujo lado mede (2x + y)
unidades.
b) O volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y)
unidades.
14. O professor de matemática pediu à classe paradesenvolver a expressão (4x – y³)². Um dosalunos deu como resposta o polinômio4x² – 8xy³ + y6. A resposta desse aluno está cor-reta? Se não estiver, escreva a resposta correta.
15. A expressão (x – 1)² + (x – 1)³ é equivalente a:
a) (x – 1)5 b) x³ – 2x² + x
c) x³ + x² – 2 d) x³ + x² – 2x
e) x³ + 2x² + 1
16. Na figura, ABCD e EBFG são quadrados. Aárea do quadrado menor é 9. Qual o trinômioque representa a área do quadrado ABCD?
27
TEMA 05
FATORAÇÃO
1. Introdução
Fatorar um número significa escrevê-lo comoum produto de dois ou mais fatores.
Vejamos a forma fatorada completa do número150 = 2 . 3 . 5².
Fatorar um polinômio, quando possível, signifi-ca escrevê-lo na forma de um produto de poli-nômios mais simples.
Vejamos:
A figura representa um retângulo de base b ealtura h.
O perímetro desse retângulo pode ser indicadode duas maneiras:
2b + 2h (polinômio) ou 2(b + h), forma fatorada.
a) Qual o fator comum aos dois termos do po-linômio?
b) Que posição ele ocupa na forma fatorada?
Na forma fatorada, notamos que 2, é um fatorcomum a todos os termos do polinômio, quefoi colocado em evidência.
O outro fator (b + h) é o mesmo que:
(2b : 2) + (2h : 2) ou
2. Fatoração pela colocação de um fator emevidência
Exemplos:
a) A área da figura pode ser indicada por: ax + bx
ou x.(a + b); fator comum (x).
b) a3 + 2a = a.(a2 + 2)
c) 12a4b6 − 20a5b8 + 8a³b² =
= 4a³b².(3ab4 − 5a²b6 + 2)
Na forma fatorada, os fatores são:
• Fator comum.
• O quociente da divisão da expressão pelo fator comum.
3. Fatoração por agrupamento.
Calcular as áreas(A) das figuras que represen-tam retângulos de base x + y e altura a + b:
A = A1 + A2 + A3 + A4 = ax + ay + bx + by
A = (A1 + A2)+ (A3 + A4)= a(x + y) + b(x + y)
A = base × altura = (x + y) . (a + b)
Como as três figuras têm a mesma área, pode-mos escrever:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
Escrevendo o polinômio ax + ay + bx + by naforma fatorada:
ax + ay + bx + by → agrupamos os termosque possuem fator comum.
a(x + y) + b(x + y) → em cada grupo, colo-camos o fator comum em evidência.
(x + y)(a + b) → colocamos, novamente, ofator comum em evidência.
O polinômio ax + ay + bx + by foi fatorado poragrupamento.
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
Exemplos:
Fatorar os polinômios:
a) hx – 2x + 5h – 10 = x.(h – 2) + 5.(h – 2)
= (h – 2).(x + 5)
b) 2bc + 5c² – 10b – 25c
= c.(2b + 5c) – 5.(2b +5c) = (2b + 5c)(c – 5)
4. Fatoração da diferença de dois quadrados
Consideremos o quadro-de-giz de nossa sala
de aula de forma quadrada, de lado a, sobre o
qual colocamos um outro quadrado de lado b,
conforme figura abaixo.
A área maior da figura é (a² − b²), excluindo o
quadrado menor, que corresponde a uma dife-
rença de dois quadrados.
Recortando a figura e juntando as duas partes,
conforme o desenho, obtemos:
FIGURA 1 FIGURA 2
Observe que a área da figura 1, expressa por
a² – b², é igual a área da figura 2, que pode ser
expressa por (a – b)(a + b).
Logo a² – b² = (a – b)(a + b)
Exemplos:
Fatorar os polinômios:
a) a² – 25 = (a + 5).(a – 5)
b)
1. Sabendo que os números m e n representamas medidas do comprimento e da largura deum terreno de forma retangular, e que tem 32unidades de área e 24 unidades de perímetro;nessas condições, dado o polinômio3m²n + 3mn², qual é o seu valor numérico?
Solução:
3m²n + 3mn² = 3.m.n(m + n)
Área = m.n = 32
Perímetro = 2m + 2n = 24; m + n = 12
Logo, o valor numérico é:
3 m²n + 3mn² = 3mn (m + n)
= 3.32.12 = 1152
2. A área de um sítio de forma retangular é dadapelo polinômio 4x² − 1. Nessas condições,pede–se:
a) As medidas do comprimento e da largura desse
sítio.
b) Qual o polinômio que expressa o perímetro des-
se sítio?
Solução:
A = 4x² − 1
A = 4x² − 1 = (2x + 1)(2x – 1)
a) 2x + 1 e 2x – 1
b) Perímetro: 2x + 1 + 2x + 1 + 2x – 1 + 2x – 1 = 8x
28
UEA – Licenciatura em Matemática
29
TEMA 06
5. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADOPERFEITO
Considere os quadrados nas figuras abaixo:
FIGURA 1 FIGURA 2
A área do quadrado da figura 1 pode ser indi-cada de duas maneiras:
a² + 2ab + b² ou (a + b).(a + b)
Então, podemos escrever as igualdades:
a² + 2ab + b² = (a + b).(a + b) = (a + b)²
A área da parte sombreada na figura 2 podeser indicada por (a – b)².
Temos que:a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b²
a² = (a – b)² + 2ab – 2b² + b²
Daí: a² – 2ab + b² = (a – b)²
Então, podemos escrever a igualdade:
a² – 2ab + b² = (a – b).(a – b) = (a – b)²
Identificando um trinômio quadrado perfeito:
a) (x + 3)² = x² + 6x + 9 ∴ 6x = 2 . x . 3 = 6x (sim)
b) (x – 5)² = x² – 10x + 25 ∴ 10x = 2 . x . 5 (sim)
c) x² + 4x + 25 ∴ 4x ≠ 2 . x . 5 (não)
Na verificação, multiplicamos por 2 o produtodas duas raízes. Se o resultado for igual aotermo restante do trinômio dado, dizemos queo trinômio é quadrado perfeito.
Exemplos:
Fatorar os trinômios, quando possível:
a) 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² ↓ ↓ Verificação
2x 3 2 . 2x . 3 = 6x
b) 4m²n² – 4mcn + c² = (2mn – c)²
↓ ↓ Verificação
2mn c 2 . 2m . n . c = 4mnc
c) a6 – 10a³b² + 25b² é diferente de (a³ – 5b)²
↓ ↓ Verificação
a³ 5b 2 . a³ . 5b ≠ 10a³b²
6. Fatoração da soma ou da diferença de doiscubos
Observe as seguintes multiplicações:
a) (a + b).(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² +a²b – ab² + b³ = a³ + b³
Logo, podemos escrever:
a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)
b) (a – b).(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² –a²b – ab² – b³ = a³ – b³
Temos, então:
a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²)
Exemplos:
1) Fatorar os polinômios:
a) x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 3²)
= (x + 3).(x² – 3x + 9)
b)
7. Trinômio do 2.° grau
Sabemos, pelo produto de Stevin, que:x² + (a + b).x + ab = (x + a).(x + b) ou
x² + Sx + P = (x + a).(x + b);
a + b = S e a . b = P
Exemplos:
Fatorar os polinômios:
a) x² + 7x + 12 = (x + 3).(x + 4)
b) x² – 6x – 40 = (x – 10).(x + 4)
8. Fatorando mais de uma vez
Fatorar o polinômio a³ – ax².
Colocamos o fator comum em evidência:a³ – ax² =a.(a² – x²)
Fatorando novamente o fator (a² – x²) que repre-senta uma diferença de dois quadrados temos:
a³ – ax² = a.(a² – x²) = a.(a + x).(a – x)
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
30
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo:
Fatorar a expressão: x³ – 4x² + 4x.
x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4)
Logo, podemos fatorar novamente o fator(x² – 4x + 4).
Daí: x² – 4x + 4 = (x – 2)², pois 4x = 2. x. 2.
x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) = x.(x – 2)²
Observe a figura abaixo e:
a) Exprima a área da parte hachurada emfunção de x.
b) Sendo a área da parte hachurada igual a133, determine:
• a área do quadrado PQRS;
• o comprimento x do quadrado ABCD;
• o perímetro do quadrado PQRS.
c) Verifique que: x² + 12x = 133.
d) Desenvolva o produto (x – 7)(x + 19).
Solução:
a) Área do quadrado ABCD: x . x = x²
Área dos 4 retângulos: 4.(3.x) = 12x
Área da figura sombreada: x² + 12x
b) Área da figura sombreada = 133
Área do quadrado PQRS = Área da figurasombreada + 4 x área do quadrado de lado 3
Área do quadrado PQRS = 133 + 4.9 = 169
Área do PQRS = 169 ∴ L² = = 13
Perímetro do quadrado PQRS = 4.13 = 52
O comprimento x do quadrado ABCD:
c) Verificação:
x2 + 12x = 133 ∴ 72 +12 . 7 = 49 + 84 = 133
d) (x − 7) . (x + 19) = x2 + Sx + P = x2 + 12x − 133
S = −7 + 19 = 12
P = (− 7) . 19 = − 133
1. Fatore os polinômios:
a) x³ – x² – xy
b) 6x²y + 8x
c) 2x + ax + 2y + ay
d) ax – y – x + ay
e) 4x² – 12x + 9
f) 36a² + 60ab + 25b²
g) m² – 100
h) x² – 6x – 16
i) x² + 7x + 10
j) 8a³ – 125b³
2. Fatore completamente as expressões:
a) 3x² – 75
b) x4 – 16
c) a² – x² + a + x
d) 2x² – 12x + 18
e) x³ + 14x² + 49x
3. X e Y são as medidas dos lados de um retân-gulo de área 20 e perímetro 18. Qual o valornumérico da expressão 5x²y + 5xy²?
4. Para que 9x² – 24x + n seja um trinômioquadrado perfeito, devemos ter:
a) n = 4
b) n = 16
c) n = 36
d) n = 64
5. Sabendo que 2a + 2b = 28 e 3a – 3b = 45, cal-cule o valor numérico da expressão a² – b².
6. Qual é a forma fatorada do trinômio
?
7. Se x + y = 13 e x – y = 10, calcule o valornumérico da expressão (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²).
8. A área de um quadrado é representada pelotrinômio y² + 14ya + 49a². Determine a medi-da do lado.
9. Seja N o resultado da operação 375² – 374². Asoma dos algarismos de N é:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
10. A expressão (a + b)² – 2ab é igual a:
a) a² – b²
b) a² – 4ab + b²
c) a² + 4ab + b²
d) a² + b²
11. Fatorando a expressão ab + 2b – 3a – 6, obte-mos:
a) (a – 2).(b + 3)
b) (a + 2).(b – 3)
c) (a – 2).(b – 3)
d) (a + 2).(b + 3)
12. Fatore:
a) x² – 5x + 6
b) x² + 2y² + 3xy + x + y
c) 4x² – 9y²
13. Calcule o valor de 54.321² – 54.320², sem efe-tuar as potências.
14. Sendo (x + y)² = 256 e x² + y² = 136, deter-mine xy.
15. Um professor de Matemática tem 4 filhos. Emuma de suas aulas, ele propôs a seus alunosque descobrissem o valor da expressãoac + ad + bc + bd; sendo que a, b, c e d sãoas idades de seus filhos na ordem crescente,levando em conta que a soma das idades dosdois mais velhos é 59 anos e a soma dasidades dos dois mais novos é 34 anos. Qual ovalor numérico da expressão proposta peloprofessor?
TEMA 07
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1. Introdução
A história conta que as frações surgiram quan-do o homem sentiu a necessidade de medir.
Tábua suméria de argila
Os babilônios usavam as frações para registraras transações comerciais, representando comfrações valores monetários próprios. Os hin-dus, em meados do segundo milênio antes deCristo, usavam frações de numerador 1, como,
por exemplo, metade ou meio ( ), que
chamavam ardlha, e a quarta parte ou um
quarto ( ), que chamavam pada.
Os egípcios usavam frações da unidade pararepresentar outras frações, usadas em proble-mas que envolviam colheitas.
Consideremos as seguintes situações:
1. A velocidade média de um veículo é obtidadividindo-se a distância percorrida pelotempo gasto. Portanto, se um veículo per-correu 400km em t horas, qual a expressãoalgébrica que representa a velocidademédia, em quilômetros por hora, desse veí-culo?
2. Qual a expressão que representa o quo-ciente (20a²b) : (5ax)?
Conclusão: as expressões e
apresentam variáveis no denominador e, porisso, são chamadas de frações algébricas.
31
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
32
UEA – Licenciatura em Matemática
O denominador de uma fração algébrica deverepresentar sempre um número real diferentede zero, pois não faz sentido dividir por zero.
2. Simplificação de uma fração algébrica
Para simplificar uma fração algébrica, devemosdividir os seus termos por um divisor comum,diferente de zero, de modo a obter uma fraçãoequivalente mais simples.
Exemplos:
Simplificar as frações algébricas.
a)
Só podemos simplificar os termos de umafração após transformá-las em produtos.
b)
c)
TEMA 08
3. CÁLCULO DO MMC E DO MDC DEPOLINÔMIOS.
• Máximo Divisor Comum (MDC)
Fatoramos as expressões algébricas conside-radas e calculamos o m.d.c entre elas, queserá obtido pelo produto dos fatores primoscomuns tomados aos menores expoentes.
• Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Fatoramos as expressões consideradas e cal-culamos o mmc entre elas, que será obtidopelo produto dos fatores primos comuns e nãocomuns, tomados aos seus maiores expoen-tes.
Exemplos:
a) Achar o mdc e o mmc das expressõesabaixo:
8x4y²; 16x5yz³; 2x6y4z
Solução:
Fatorando cada termo, temos:
8x4y² = 23 x4y², 16x5yz³ = 24x5yz³ e 2x6y4z
mdc = 2. x4y
mmc = 24.x6y4z = 16 x6y4z
b) Calcule o m.d.c e o m.m.c dos polinômios:2x + 10; x² –10x + 25; x² – 25
Solução:
Fatorando cada expressão
Observe que na forma fatorada não há fatorcomum entre eles, exceto o valor 1, portanto, omdc é 1.
mdc = 1
mmc = 2(x + 5)(x – 5)²
4. Operações com frações algébricas
Efetuamos as operações com frações algébri-cas da mesma maneira que operamos comnúmeros fracionários.
Fatorando o numerador eo denominador, temos:
Fatorando o numerador eo denominador, temos:
Dividindo o numerador e o denominador por
2.3.ab2
33
4.1 Adição e Subtração
As operações com frações algébricas são efe-tuadas de modo semelhante ao das fraçõesnuméricas.
Seqüencia Prática:
• Reduza as frações algébricas ao mesmodenominador.
• Efetue as adições ou subtrações dos nume-radores, mantendo o mesmo denominador.
• Simplifique, se possível, o resultado.
Exemplos:
Calcular:
a)
Solução:
mmc (2,x,4x²) = 4x²
b)
Solução:
mmc (4a,6b) = 12ab
4.2 Multiplicação e divisão de frações algébricas
Para multiplicar frações algébricas, efetue osseguintes procedimentos:
• Indique o produto dos numeradores e de-nominadores.
• Faça os cancelamentos possíveis.
• Faça as multiplicações restantes, obtendo oresultado.
Exemplos:
1. Determine os seguintes produtos:
a)
Solução:
b)
Solução:
Para dividir frações algébricas, devemosmultiplicar a primeira fração pelo inverso da se-gunda, simplificando o resultado, quando pos-sível.
Exemplos:
2. Efetue as divisões:
a)
Solução:
b)
Solução:
4.3 Potenciação de frações algébricas
Para elevar uma fração algébrica a uma potên-cia, elevamos o numerador e o denominador àpotência indicada.
Exemplos:
1. Calcule as seguintes potências:
a)
Solução:
b)
Solução
c)
Solução:
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
34
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Sabendo que x pizzas iguais custam R$100,00, perguntas-se:
a) Que fração algébrica representa o preço de uma
delas?
b) Alessandra deu y reais na compra de uma pizza.
Que fração algébrica representa o troco dessa
compra?
Solução:
a) Divide–se o valor total pela quantidade x de
pizza:
b) Valor de (y) pago por Alessandra, menos o
valor de uma pizza:
2. Laura, Lenara e Rodrigo reuniram-se para re-solver a seguinte expressão:
Laura resolveu a expressão do primeiro parên-tese, Lenara resolveu a expressão do colchetee Rodrigo ficou encarregado de efetuar a mul-tiplicação.
Determine a resposta encontrada por:
a) Laura b) Lenara c) Rodrigo
Solução:
a)
b)
c)
1. Um carro percorreu x quilômetros com y litrosde gasolina. Um segundo carro percorreu odobro dessa distância com y + 5 litros de ga-solina. Registre, no caderno, a fração algébricaque representa o consumo médio de gasolina:
a) do primeiro carro; b) do segundo carro.
2. Para que valores de a a expressão não
representa uma fração algébrica?
3. A fração algébrica pode ser reduzida
a um número inteiro. Que número é esse?
4. A fração algébrica pode ser
reduzida a um binômio.
a) Determine esse binômio.
b) Determine o valor numérico desse binômio para
x = .
5. Participando de uma gincana escolar, a equipede Ana recebeu a tarefa de resolver a seguinte
expressão: .
O resultado dessa expressão reverterá emigual número de pontos para essa equipe. Sealguém da equipe de Ana responder correta-mente, quantos pontos a equipe dela ganhará?
6. Simplifique as seguintes expressões algébricas:
a) b) c)
7. Efetue as seguintes adições algébricas:
a) b)
8. Calcule os seguintes produtos:
a) b)
9. Calcule os seguintes quocientes:
a) b)
10. Calcule as seguintes potências:
a) b) c)
11. Marcela nasceu no ano x, e Rodrigo no ano
, ambos no dia 9 de Janeiro.
a) Qual é a diferença de idades entre eles?
b) Quem é o mais velho?
12. Numa gincana de matemática, foram sortea-das as seguintes questões para duas equipesparticipantes:
EQUIPE AZUL EQUIPE VERMELHA
Que resposta devia dar cada equipe?
13. Simplificando a expressão
e calculando, a seguir, seu valor numérico parax = 99, vamos obter:
a) 100 b) 99 c) 98 d) 97 e) 96
14. Dados os polinômios x² – 6x + 9 e x – 3, o mmcentre eles é:
a) (x + 3)² b) (x – 3)²
c) (x – 3)³ d) (x+3).(x–3)
15. Se xy + x = 5 e y² + y = 20, qual é o valor da
fração ?
35
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração
UNIDADE IIIPotências e radicais
39
TEMA 09
POTENCIAÇÃO
1. Introdução
A história conta que os babilônios usavam aspotências como auxiliares da multiplicação; jáos gregos usavam os quadrados e os cubos.
No século III da nossa era, o matemático gregoDiofante usou notações de potências:
x para indicar a primeira potência;
xx para indicar a segunda potência;
xxx para indicar a terceira potência.
No século XVII, o matemático francês RenéDescartes (1596 – 1650) utilizou as notações x,x², x³, x4, ... para potências.
Vamos considerar o seguinte fato:
Elba fez a seguinte experiência:
a) Lançou ao ar uma moeda e obteve doisresultados possíveis: cara (C), (K) coroa;
b) Em seguida, lançou ao ar, simultaneamen-te, duas moedas e obteve quatro possibili-dades: CC, CK, KC, KK;
c) E, finalmente, lançou ao ar, ao mesmo tem-po, três moedas e verificou oito alternativas:
CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC;
Então, podemos estabelecer uma relação en-tre o número de moedas lançadas ao ar e onúmero de resultados possíveis.
Veja tabela:
Logo, no lançamento simultâneo de n moedas,o número de resultados possíveis é dado por 2n.
Agora podemos dizer que:
an = a . a . a . ... . a a : número real
n fatores n: número natural (n > 1)
Exemplos:
a) 5² = 5 . 5 = 25
b) (−1)³ = (−1).(−1).(−1) = −1
c) (−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16
Temos ainda que:
a) a1 = a para todo número real;
b) a0 = 1 para todo a ≠ 0;
c) a−n = para todo a ≠ 0 e todo n inteiro
positivo.
Exemplos:
a) (−8)¹ = −8
b) 50 = 1
c)
2. Propriedades
As propriedades estudadas no módulo anteriorsão válidas também para potências de basereal e expoente inteiro.
• Produto de potências de mesma base:
am . an = am+n, com a ≠ 0.
Exemplos:
a) 74 . 73 = 74+3 = 77
b) 54 × 5−3 = 54+(−3) = 5
• Divisão de potências de mesma base:
am : an = am−n (a ≠ 0)
Exemplos:
a)
b)
• Potência de potência:
(am)n = am.n, com a ≠ 0.
N.º de moedas N.º de Resultados Possíveis
1 2 = 2¹
2 4 = 2 x 2 = 2²
3 8 = 2 x 2 x 2 = 2³
4 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
... ...
n 2 x 2 x 2 x ... X 2 = 2n
Matemática Elementar II – Potências e radicais
Exemplos:
a) (23)4 = 212
b) (3−1)−3 = 3(−1).(−3) = 33 = 27
Atenção!!!
Exemplos:
(23)2 = 26 e 232 = 29
• Potência do produto: an . bn = (a.b)n, com a,b ≠ 0.
Exemplos:
a) 24.54 = (2.5)4 = 104
b)
• Potência do quociente: , (a, b ≠ 0).
Exemplos:
a)
b)
• Expoente negativo:
, com a, b ≠ 0.
Exemplos:
a)
TEMA 10
3. Usando potências de 10
Considere o seguinte fato:
Marcela pesquisou na Internet que o Sol é for-mado por massas de gases quentes, sendo1.000.000 de vezes maior do que a Terra e300.000 vezes mais pesado que ela, e que adistância média entre o Sol e a Terra é de149.600.000km.
Para facilitar a escrita de números que contêmmuitos algarismos, dos quais grande parte de-les é de zeros, Marcela usou as potências de10, veja:
Exemplos:
a) 1 000 000 = 1 x 106
b) 300 000 = 3 x 105
c) 149 600 000 = 1496 x 105
4. A notação científica usada por cientistas (nú-meros muito “grandes” ou “muito pequenos”).
Exemplos:
• O diâmetro do Sol é 1 390 000km.
• 1 390 000 Km = 1,39 . 106km
• O comprimento de uma célula do olho é de0,0045 cm = 4,5 . 10−³cm
• O número escrito em notação científica deveser escrito na seguinte forma:
• Deve ser escrito como um produto de dois fatores.
• Um dos fatores deve ser um número de 1 a10, excluído o 10.
• O outro fator deve ser uma potência de base10.
1. Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduzdividindo−se em quatro bactérias a cada minuto.Partindo de uma só bactéria, quantas serão pro-duzidas em 6 minutos de divisão?
Solução:
1 bactéria dá origem a 4 novas bactérias emum minuto.
(am)n ≠ amn
40
UEA – Licenciatura em Matemática
41
Em 6 minutos teremos: 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 46 = 4096 bactérias
2. Resolva as expressões, apresentando os resul-tados em notação científica.
a) b)
Solução:
a)
b)
1. Usando as propriedades das potências, cal-cule o valor de:
a)
b) (75 : 73) × 72
c)
d) (7 × 4)2
e)
2. Encontre o valor de .
3. Verifique se as sentenças são verdadeiras oufalsas:
a) (2 × 5)3 = 23 × 53
b) (2 + 5)3 = 23 + 53
c) (17 − 1)2 = 172 − 12
d)
4. Calcule:
a) 11973 − 11888 +( −1)1789
b) [(−a4)]3
c)
5. A potência é igual a:
a) b) c) d)
6. Assinalar a alternativa correta:
a) 223= 256 b) 232
= (23)2
c) 325= 325 d) 1201 = 1120
7. A massa do Sol é de aproximadamente2 × 1030kg. Expresse, em notação científica, es-sa massa em toneladas.
8. A massa de um átomo de carbono é de aproxi-madamente 1,99x10−26Kg. Expresse em nota-ção científica essa massa em gramas.
9. Calculando , obtém−se:
a) b) c) d)
10. O quociente (0,016) : pode ser escrito na
forma:
a) 8² b) 2 c) 2² d) 4−² e) 0
11. Se x = −100 + 70 − (−6)0, qual é o valor donúmero real x?
12. Qual é a potência que representa a metade de 2²²?
13. Sendo x = 24, y = 8 e z = 232, qual é a potên-cia que representa a expressão x . y . z?
14. Devido ao desgaste, o valor de um carro vaidiminuindo com o tempo. A cada ano quepassa, o valor fica multiplicando por 0,8. Sehoje o carro vale R$ 10.000,00, quanto valerádaqui a 3 anos?
15. Uma turma organizou uma festa à qual com-pareceram 15 alunos. Se cada um der umabraço em todos os outros, quantos abraçosserão dados ao todo?
Matemática Elementar II – Potências e radicais
42
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 11
RADICAIS
1. Introdução
A história conta que, no século XVI, o sinal deraiz quadrada era o R (maiúsculo) seguido daprimeira letra da palavra latina quadratus, o q.
Na Europa, matemáticos dessa época escrevi-am, por exemplo, R . q . 30 em vez da moder-na expressão .
• (raiz quarta de 52)
• (raiz quinta de 1/4)
Veja as seguintes situações:
• Qual a área do quadrado de lado 3cm?
Área = L² 3² = 9 ⇒ Área = 9cm²
• Qual a medida do lado do quadrado de área49 m²?
Situação inversa
Área = L² 49 = 7² ⇒ L = 7m
Então, podemos escrever que = 7, pois 7é o número não-negativo cujo quadrado é 49.
• Qual a medida do lado do cubo de volume 125cm³?
Volume = L³ 125 = L³ ⇒ L = 5 cm
Logo, pois 5³ = 125
De modo geral, uma expressão do tipo ,sendo n um número natural diferente de zero ea um real, dizemos que , se, e somentese, bn = a.
raiz (lê−se: “raiz enésima de a éigual a b”)
→ radical
a: radicando
n: índice
Exemplos:
a) → (raiz quarta de 1/81)
, pois
b) → ( raiz quinta de −32)
, pois (−2)5 = −32
Importante:
• Se n é par e a é negativo (a < 0), então .
Exemplos:
a) , pois não existe nenhum númeroreal elevado à quarta potência que resulte –1.
b)
c)
• Se n é ímpar e a negativo (a < 0), então.
Exemplos:
a)
b)
7.2 Propriedades dos radicais
a)
Exemplo:
b)
Exemplo:
c)
Exemplo:
43
d)Exemplo:
e)
Exemplo:
f)Exemplo:
3. Expoente fracionário
Todo número real a elevado a um expoente fra-−cionário de forma (n ≠ 0) é igual à raiz ené-
sima do número real a elevado ao expoente m,ou seja,
Exemplos:
a)
b)
4. Extração de fatores do radical
Exemplos:
a)
b)
4. Introdução de fatores no radical
Se .
.
Exemplos:
a)
b)
5. Redução de radicais ao mesmo índice
Considere a seguinte situação:
• Calcular a área do retângulo
Área = = ?
Precisamos de índices iguais:
mmc (2,3) = 6 → novo índice.
Assim, temos:
Agora, podemos calcular a área do retângulo:
Área =
• Comparando radicais:
Já vimos que e ; então,podemos escrever:
Se 53 > 22, logo >
Exemplo:
Usando o sinal <, compare os radicais:
Solução:
mmc (3, 4, 6) = 12 → novo índice.
6. Operações com radicais
7.1 Adição e subtração de radicais.
Vamos calcular o perímetro do triângulo da fi-gura ao lado:
Solução:
Perímetro =
Observe que os radicais têm o mesmo
Matemática Elementar II – Potências e radicais
44
UEA – Licenciatura em Matemática
índice e o mesmo radicando, por isso, sãodenominados de radicais semelhantes, e sópodemos adicionar ou subtrair radicaissemelhantes.
Perímetro
Exemplos:
a)
b)
7.2 Multiplicação e divisão de radicais.
Considere as seguintes questões:
a) Determine a área do retângulo abaixo.
Solução:
Área =
b) A área do retângulo é . Qual é amedida da altura desse retângulo?
Solução:
Área =
Exemplos:
Calcular:
a)
b)
c)
d)
mmc (3, 4) = 12
7.3 Potenciação com radicais
Observe que:
Então:
Exemplos:
a)
b)
c)
Usando as regras dos produtos notáveis, cal-cule:
a)
b)
c)
Solução:
a)
b)
c)
8. Racionalização de denominadores
Sabendo que vale aproximadamente 1,414,responda qual das duas divisões você achaque é mais fácil fazer?
Solução:
Como você observou, as expressões e
são equivalentes, pois obtivemos o mesmoresultado na forma decimal: 0,707. Logo, cos-
45
tuma−se transformar a expressão em ,
no qual o denominador é um número racional,portanto, é mais fácil efetuar cálculos com rad-icais quando eles não estão no denominador.Por isso, racionalizando, quando necessário, odenominador de uma expressão fracionária.
Exemplos:
Racionalizar os denominadores das seguintesexpressões fracionárias:
a) b)
c) d)
Solução:
a) , multiplicando o numerador
por , temos:
b) , multiplicando o nume-
rador e denominador por ,temos:
c) , multiplicando-se
o numerador e denominador por ,
temos:
d) , multiplicando-se o
numerador e denominador por , temos:
1. Observe a figura abaixo
Determine:
a) a soma das medidas de todas as arestas do pa-ralelepípedo;
b) a soma das áreas das faces;
c) a volume desse paralelepípedo.
Solução:
a) Observe que a figura acima possui quatroarestas de medidas iguais a .Logo, a soma das medidas de todas asarestas do paralelepípedo é igual a:
b) Observe as áreas das faces laterais doparalelepípedo.
c) O volume de um paralelepípedo é igual aoproduto de suas dimensões (largura, alturae comprimento).
2. O passo de um robô mede exatos cm.Quantos passos ele deverá dar para percorrer
m?
Solução:
Comprimento do percurso: 18,5 m = cm
Comprimento do passo: cm
Número de passos = passos.
Matemática Elementar II – Potências e radicais
46
UEA – Licenciatura em Matemática
1. A área de uma das placas de um cubo é 6cm².Determine:
a) a medida da aresta desse cubo;
b) a soma das áreas de todas as suas faces;
c) o volume do cubo.
2. Classifique cada sentença como verdadeiraou falsa:
a) b)
c) d)
3. Calcule o valor da expressão:
4. Efetue:
a) d)
b) e)
c) f)
5. Racionalize o denominador das expressões:
a) c)
b) d)
6. A expressão é equivalente a:
a) b)
c) d)
e)
7. Racionalizando-se o denominador de,
obtém−se:
a) b)
c) d)
e)
8. Simplificando a expressão , obtemos:
a) b)
c) d)
9. Considerando que = 1,73, a área destetriângulo é:
a) 30cm² c) 28cm²
b) 25,95cm² d) 23,12cm²
10. Dados os números e , podemosafirmar que:
a) >
c) =
b) <
d) não é possível compará-las.
11. Os resultados de e são,respectivamente:
a) e 4 c) e 4
b) e 4 d) e
12. O valor de é:
a) 3 b) 4 c) 7 d) 14
13. Transforme num único radical e, quando pos-sível, simplifique:
a) b)
c)d)
14. Márcia possui 30 cubos de aresta, medindocm.
a) Quantos desses cubos Márcia deve utilizar paraformar o maior cubo possível?
b) Calcule o volume desse cubo formado.
15. Calcule o valor da expressão:
47
TEMA 12
EQUAÇÕES DO 1.0 GRAU
1. Introdução
Muitas vezes, para facilitar a resolução de umproblema, podemos reduzi-lo por meio de umasentença matemática chamada equação.Equação é uma igualdade (expressão que temsinal =) em que há pelo menos uma letra querepresenta um número desconhecido.
O uso de letras para representar números des-conhecidos começou há muito tempo, com osmatemáticos da Antigüidade.
Diofante foi um matemático grego que viveuno século III d.C. Naquela época, os matemáti-cos gregos preferiam estudar Geometria, masDiofante dedicou-se à Álgebra. Ele usou a idéiade representar um número desconhecido poruma letra e, por isso, acredita-se que tenhainfluenciado outros matemáticos, como Al−Khowarizmi e Viète, no estudo da álgebra.
Al−Khowarizmi (783−850), o maior matemáti-co árabe de todos os tempos, resolvia asequações de uma maneira semelhante à queusamos hoje. A diferença é que tudo, até mes-mo os números, eram expressos por palavras.Ele escreveu um livro chamado Al−jabr, quesignifica “restauração”. Esse livro trazia expli-cações minunciosas sobre a resolução deequações. Da expressão Al−jabr originou−se apalavra Álgebra.
Os passos mais decisivos para a introduçãodos símbolos na matemática foram dados peloadvogado francês François Viète (1540−1603). Foi Viète quem começou a substituir aspalavras por símbolos matemáticos nas equa-ções. Essa substituição, porém, não aconte-ceu de uma só vez.
Além de Viète, outros matemáticos de sua épocacontribuíram para aperfeiçoar a Álgebra até queela tomasse a forma que conhecemos hoje.
Antes de falarmos em resolução de uma equa-ção do 1.o grau, precisamos entender o signifi-cado de sentença matemática.
Sentença é um conjunto de palavras com sen-tido completo, por exemplo:
a) Quem não tem colírio usa óculos escuros.
b) O pirarucu é o maior peixe de água doce.
Quando uma sentença envolve números ela édenominada sentença matemática; exemplos:
a) Um mais um é igual a dois.
Matemática Elementar II – Potências e radicais
48
UEA – Licenciatura em Matemática
b) O produto de 7 por 5 é igual a trinta e cinco ou
7 x 5 = 35.
c) Duzentos e quarenta e três dividido por vinte e
sete é igual a treze ou 243 : 27 = 13.
Isso mesmo, 243 : 27 = 9, é que as sentenças
matemáticas podem ser verdadeiras, como
nos exemplos a e b, ou falsas como em c.
Essas sentenças em que se pode atribuir um
sentido verdadeiro ou falso são chamadas de
sentenças fechadas.
Agora, vejamos outro exemplo de sentença
matemática:
A sentença apresenta um elemento desconhe-
cido (y) , chamado variável ou incógnita. Não
podemos classificá-la em verdadeira ou falsa,
porque depende do valor a ser atribuído a (y).
Sentenças desse tipo são chamadas de sen-
tenças abertas.
Vejamos outros exemplos:
a) 12x + 3 = 9 é uma sentença aberta na variável x;
b) 2z + w < 8 é uma sentença aberta nas variáveis
z e w;
c) 31 – 9 = 23 é uma sentença fechada falsa;
d) 101 + 57 = 158 é uma sentença fechada ver-
dadeira;
e) x + 3 > 7 é uma sentença aberta, que é falsa
para x ≤ 4.
2. A equação do 1.0 grau com uma variável
Chamamos de equação com uma variável toda
sentença aberta definida por apenas uma in-
cógnita, e o grau da equação é determinado
pelo maior expoente de coeficiente não-nulo
(coeficiente dominante).
Exemplos:
1) x2 – 7x + 6 = 0 é uma equação do 2.º grau na
variável x, cujo coeficiente dominante é o
número 1;
2) 2y5 – 3 y7 + 2 = 0 é uma equação de grau 7 na
variável y, cujo coeficiente dominante é o
número – 3;
3) 0z10 – 5z – 10 = 0 é uma equação do 1.º grau na
variável z, cujo coeficiente dominante é o
número – 5.
Observe que no 3.o exemplo, apesar de apre-sentar um expoente igual a 10, o grau da equa-ção não é definido por ele, pois o coeficientede x10 é igual a zero.
3. Resolvendo as equações de 1.o grau
O conjunto formado por todos os valores que avariável pode assumir, determinando uma sen-tença verdadeira ou não, é denominado con-junto universo (U).
Resolver uma equação é encontrar os nú-meros, do universo considerado, que substituí-dos pelas variáveis determinam uma sentençaverdadeira. Esses números são chamados deraízes da equação.
Para resolver uma equação do 1.o grau a umavariável, primeiramente iremos definir duaspropriedades operatórias:
1. Aditiva: Podemos somar ou subtrair um nú-mero do universo considerado nos doismembros de uma equação, encontrandouma outra equivalente (mesmo conjunto-solução);
Exemplo:
Dada a equação x + 5 = 9, aplique o princí-pio aditivo e encontre a raiz.Solução:
É fácil verificar que 4 é raiz da equação da-da, pois 4 + 5 = 9, que é uma sentença ver-dadeira.
Pelo princípio aditivo, temos:
x + 5 = 9, adicionando (−5) aos dois mem-bros: x + 5 − 5 = 9 − 5 ⇒ x = 4, que é a raizda equação.
Após encontrarmos as raízes de uma equação,devemos finalizar o exercício escrevendo o
3y – 7 = 11
49
Matemática Elementar II – Potências e radicais
conjunto das raízes, chamado de conjunto-solução ou conjunto-verdade
No último exemplo: S = {4}.
2. Multiplicativa: Podemos multiplicar ou divi-dir um número diferente de zero nos doismembros de uma equação, encontrandooutra equivalente.Exemplos:a) Resolva a equação 3x – 9 = 0, sendo U =
IN.Solução:
Somando 9 aos dois membros da equação,propriedade aditiva, obtemos:
3x – 9 + 9 = 0 + 9
3x = 9
Dividindo por 3, ou multiplicando por os
dois membros, propriedade multiplicativa,obtemos:
x = 3S = {3}
b) Resolva a equação 2x + 5 = 0, sendo U =IN.
Solução:
2x + 5 – 5 = 0 – 5
2x = – 5
Como x ∉ IN, temos S = ∅.
b) Resolva a equação ,
sendo U = Q.Solução:
igualando os denominadores:
, multiplicando por 6
a equação obtemos:
2x − 3x = 21 ⇒ −x = 21, multiplicando por(– 1) ⇒ x = −21.
S = {−21)
Método Prático
Verificamos que a resolução de uma equaçãodo 1.o grau utilizando as propriedades é muitoimportante, pois são elas que justificam asoperações para a simplificação da equação atéa sua solução. No entanto podemos “escon-der” a explícita aplicação dessas propriedades,“passando” os números de um membro para ooutro com a inversão de suas operações.
Exemplos:
1. Resolver as equações em IR:a) 5(x – 1) + 11 = – 9
Solução
5x – 5 + 11 = – 9
5x + 6 = – 9
5x = – 6 – 9
5x = – 15
x =
x = –3
S = {–3}
b) 10 – 3x – 9 = – 3x + 11 – 2xSolução
1 – 3x = 11 – 5x
5x – 3x = 11 – 1
2x = 10
x = 10/2
x = 5
S = {5}
c) 4 – 3(x – 2) = x – 2(x – 1)
Solução
4 – 3x + 6 = x – 2x + 2
10 – 3x = 2 – x
– 3x + x = 2 – 10
– 2x = – 8, multiplicando a equação por – 1:
2x = 8
x = 8/2
x = 4
S = {4}
d)
Solução:
, multiplican-
do por 12:
3x − 2x + 10 = 4(3 + 2x − 10) x + 10 = 8x − 28 ⇒ x − 8x = −28 −10 −7x = −38, multiplicando por (–1)
e)
Solução:
, usando a
propriedade funcamental da proporção, temos:
.
TEMA 13
4. EQUAÇÕES LITERAIS
São equações cuja solução está condicionadaa outras letras.Observe as equações do 1.º grau na incógnita x:2ax − 5 = 0 e 3b(x + 2) = −3.Nessas equações, aparecem outras letrasalém da incógnita. Devemos resolvê-las utili-zando os mesmos princípios das equaçõesanteriores. Devemos “olhar” para as outrasletras como se fossem números reais, a so-lução da equação literal fica condicionada àsletras dadas na equação.Nos exemplos dados, temos:
1.
2.
Exemplos:1. Sendo x a incógnita, resolva as equações
em IR:
a)
Solução:
b)
Solução:
S ={2ac}
50
UEA – Licenciatura em Matemática
51
1. Classifique com A as sentenças abertas e comF as sentenças fechadas:
a. ( ) 13 – 5 = 8
b. ( ) 12x + 3y < 0
c. ( ) 8.9 = 72
d. ( ) 8 + 3 > 5
e. ( ) x + y + z = 2
f. ( ) 2a – 76 = 15
g. ( ) x2 – 5x + 6 = 0
2. Verifique quais das seguintes sentenças sãoverdadeiras:
a. ( ) 2x – 6 > 5, para x = 4
b. ( ) 8 – 5y = – 7, para y = 3
c. ( ) 3y – 2x < 6, para y = – 1 e x = 1
d. ( ) 5x + 3y – 2z = 12, para x = 3, y = – 1 e z = 1
3. Resolva as equações, onde U = IR, usando aspropriedades aditiva e multiplicativa:
a) 2x – 8 = 0
b) 5(x – 1) + 7 = 3(x – 6)
c)
d) 7x2 − 8x + 13 = −9x + 7x2 − 12
e)
4. Qual o valor do número racional que, multipli-cado por 7, é igual – 3?
5. O dobro de um número racional é igual a 13.Que número é esse?
6. Helena tem 54 anos. Seus três filhos têm, res-pectivamente, 20 anos, 14 anos e 12 anos.Daqui a quantos anos, a idade de Helena seráigual à soma das idades de seus filhos?
7. Resolva as equações em IR:
a)
b) 5(3x − 2) = 2(6x + 3)
c) 4(X − 2) + 3(2x − 1) = 6(2x − 3)
d) 5X − 7 − 2x − 2 = 0
e)
f)
g) x − (x + 1) = 12 − (3x − 2)
h)
8. Encontre os valores de x, y e z, sabendo−seque:
• 2(z + 4,5) = 18,5 + 0,5
• 3y + 4(y – 1) = 26 – 2(z + 3)
• x – y(x +4) + 10 = 2(z + 3,5)
9. Identifique a equação equivalente a
:
a) 4x = 15
b) 4x = – 15
c) 4x = 35
d) 4x = – 35
10. A raiz da equação é um númerointeiro:
a) igual a – 5;
b) maior que – 5;
c) compreendido entre – 5 e – 2;
d) menor que – 5.
11. (UEPI) A solução racional da equação
é um número com-
preendido entre:
a) – 6 e – 3;
b) – 3 e 0;
c) 0 e 3;
d) 3 e 6;
e) 6 e 9.
12. A resistência R total de um circuito elétrico, for-mado por duas resistências de a e b ohms,conectadas em paralelo, é dada pela equação
.
Matemática Elementar II – Potências e radicais
52
UEA – Licenciatura em Matemática
Expresse:
a) R em termos de a e b;
b) a em termos de R e b;
c) b em termos de R e a.
13. Qual é o conjunto solução da equação6hx + 14 = 18 +2hx, sendo x a incógnita?
14. Expresse t em termos de b e c: bt − ct = b2 − 2bc + c2.
15. Sabendo que a ≠ 0, b ≠ 0 e x é a incógnita, resol−
va, no conjunto IR, a equação .
16. Na igualdade , sabendo
que a ≠ ± b, expresse x em termos de a.
17. Sendo x ≠ b e x ≠ −b, dê o conjunto-solução da
equação no conjunto IR.
18. Resolva a equação , sendo x a
incógnita e a ≠ −1 e a ≠ −3.
5. PROBLEMAS DO 1.o GRAU
Papiro de Rhind
O Papiro de Rhind está escrito em hierático, dadireita para a esquerda, tem 32cm de largura por513cm de comprimento. É datado de cerca de1650 a.C., embora o texto diga que foi copiadode um manuscrito, de cerca de 200 anos antes.
O papiro tem o nome do escocês AlexanderHenry Rhind, que o comprou por volta de1850, em Luxor, no Egito. É também designa-do por papiro de Ahmes, o escriba egípcio queo copiou. Encontra-se, atualmente, no MuseuBritânico.
O papiro contém uma série de tabelas, 84problemas e as suas soluções.
Vejamos alguns problemas do papiro deRhind:
Problema 27
Uma quantidade e a sua quinta parte adi-cionadas dão 21. Qual é a quantidade?
Solução
ou , como era
escrito.
Problema 28
Uma quantidade e os seus dois terços são adi-cionados, e da soma um terço é subtraído, eficam 10. Qual é a quantidade?
Solução:
É obvio que o método de resolução originalnão foi o apresentado, mesmo porque naquelaépoca as propriedades que aqui utilizamosainda não estavam definidas dessa forma, emuito menos a notação usada.
O objetivo com estes exemplos é evidenciar aimportância de equacionar problemas para fa-cilitar a sua resolução.
Para resolver um problema matemático, quasesempre, devemos transformar uma sentençaapresentada com palavras em uma sentençaque esteja escrita em linguagem matemática.Esta é a parte mais importante e talvez seja amais difícil da Matemática.
53
Exemplos:
1. Um certo número foi somado com 8, e oresultado multiplicado por 6. No fim,obteve-se 30. Qual é esse número?
Solução:
S = {−3}
2. Gabriel foi pescar no rio Negro, pegou 18peixes entre tucunarés e jaraquis. Sabendo-se que o número de jaraquis é o dobro daquantidade de tucunarés, quantos peixesde cada espécie Gabriel pescou?
Solução:
t + j = 18 e j = 2t
Substituindo j = 2t em t + j = 18 obtemos:
, como
j = 2t, temos j = 12.
Portanto, Gabriel pescou 6 tucunarés e 12jaraquis.
3. Você vê a planta de uma casa cujo perí-metro é de 45m.
Qual é a largura e o comprimento dessa casa?
Solução:
O perímetro é igual a 45m, então2x + 2,5x + 2x + 2,5x = 45 ⇒ 9x = 45 ⇒x = 5
Portanto, a casa tem 10m de largura por12,5m de comprimento.
19. Qual é o número que, somado com o triplo deseu antecessor, resulta em 41?
20. Sabendo que o quádruplo de um número so-mado com 9 é igual ao número somado com 6,descubra qual é esse número.
21. Uma estante custa três vezes o preço de umacadeira. Qual o preço da estante, se as duasmercadorias juntas custam R$ 64,00?
22. Ana e Maria são irmãs, e a soma de suas ida-des é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Mariaé 5 anos mais nova?
23. Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?
24. Uma indústria produziu este ano 600.000 uni-dades de um certo produto. Essa produção re-presentou um aumento de 20%, em relação aoano anterior. Qual a produção do ano anterior?
25. Quanto devo acrescentar ao número 37,5 paraobter o número natural mais próximo de126,725?
26. Na balança da figura, sabe-se que a bandejaonde se encontra o carro está 12 vezes maispesada do que a bandeja em que se encontrao rapaz. Acrescentando 880kg à bandeja dorapaz, a balança fica equilibrada. Calcule opeso do rapaz.
27. Observe as figuras:
Matemática Elementar II – Potências e radicais
54
UEA – Licenciatura em Matemática
Com 3 copos de água, enche-se totalmente agarrafa. Colocando−se no garrafão 4 garrafasde água e mais um copo de água, ainda assimfaltarão 0,75 litros de água para enchê-lo total-mente.
a) Quantos litros de água cabem nesse copo?
b) Quantos litros de água cabem nessa garrafa?
28. Qual a idade da vovó?
29. O engenheiro calculou: se forem asfaltados xquilômetros por dia, em 16 dias faltarão 18kmpara completar o asfaltamento da estrada. Masse forem asfaltados x + 1 quilômetros por dia,em 14 dias faltarão apenas 16km para comple-tar a asfaltagem. Qual é o comprimento daestrada?
30. Joana tem 28 anos e sua sobrinha Vanessatem 10 anos. Daqui a quantos anos o dobro daidade de Vanessa será igual à idade de Joana?
31. José repartiu certa quantia em dinheiro entreseus quatro filhos da seguinte maneira.
• Paulo recebeu da herança;
Sílvia recebeu da herança mais R$ 9.000,00;
Renato recebeu da herança menos R$
30.000,00;
Teresa recebeu da herança menos R$
42.000,00.
a) Qual foi a quantia que José repartiu entreseus filhos?
b) Quanto cada filho recebeu?
32. Um terreno retangular tem 150m2 de área amais que um terreno quadrado. Sabendo-seque o terreno retangular tem de frente 10m amais que o quadrado e, de fundo, possuem amesma medida, determine:
a) a medida do lado menor do terreno;
b) a área de cada terreno.
33. No Brasil, a população jovem (0 a 17 anos) é
de aproximadamente da população adulta
(18 a 59 anos) menos 1 162 431 habitantes. Apopulação idosa (mais de 60 anos) é de apro-ximadamente 14 512 803 habitantes.
Sabendo-se que a população total do Brasil é
de, aproximadamente, da soma das popu-
lações adulta e idosa, mais de 23 393 329 habi-tantes, calcule:
a) a população adulta;
b) a população jovem;
c) a população total brasileira.
34. O epitáfio de Diofante, maior algebrista grego:
“Deus lhe concedeu ser um menino pela sextaparte de sua vida e somando uma duodécimaparte a isso cobriu-lhe as faces de penugem.Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após umasétima parte e, cinco anos após seu casamen-to, concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz criança tar-dia, depois de chegar à medida da metade davida de seu pai, o destino frio o levou. Depoisde se consolar de sua dor durante quatro anoscom a ciência dos números, ele terminou suavida.” Quanto tempo viveu Diofante?
55
Matemática Elementar II – Potências e radicais
Pitágoras e sua genialidade
Pitágoras descobriu que existe outra forma decalcular potências: por meio da soma denúmeros ímpares. Ele descobriu que n2 éigual a soma dos n primeiros números natu-rais ímpares. Exemplo:
32 = 1 + 3 + 5 = 9
52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
112 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +17 + 19 + 21 = 121
Tente você...
TEMA 14
9. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
Chamamos de equações fracionárias, todas asequações que apresentam variável no deno-minador. Vamos observar um problema:
Foram distribuídos 52 cartões azuis e 60 vermel-hos entre as pessoas de um grupo, de modoque cada pessoa recebeu cartões de uma sócor e todas ficaram com a mesma quantidade.Havia quatro pessoas a menos com cartõesazuis do que com cartões vermelhos.
Experiências matemáticas: 7.ª série. São Paulo, SE/ CENP, 1996.
Quantas pessoas havia no grupo?
Solução:
Chamando de x o número de pessoas quereceberam cartões azuis, temos a seguinteequação:
Como temos uma igualdade entre razões, po-demos utilizar a propriedade fundamental daproporção, “ o produto dos meios é igual aoproduto dos extremos”. Então, temos:
60x = 52(x + 4)
Procedemos, agora, como nos casos anteri-ores de equações do 1.o grau:
.
Ou tirando o mmc dos denomidores:
56
UEA – Licenciatura em Matemática
Portanto 26 pessoas receberam cartões azuis,e 30 pessoas receberam cartões vermelhos,totalizando 56 pessoas.
Outro problema:
Um carro, desenvolvendo certa velocidade,percorre 240km em t horas. Mantendo a mes-ma velocidade média, vai percorrer 400km em(t + 2) horas. Qual é o numero t de horas?
Solução:
Portanto t = 3 horas.
Uma peculiaridade das equações fracionáriasé a possibilidade de encontrarmos raízes quegeram indeterminação na sentença; por isso, émuito importante que o conjunto-universo este-ja bem definido. Nos dois problemas ante-riores, isso não ocorre porque, ao substi-tuirmos a raiz nas respectivas equações, nãoanulamos nenhum denominador.
Nem sempre o conjunto-universo é colocadode forma explicita. Nesse caso, cabe a quemestiver resolvendo a equação determinar oconjunto-universo.
Vamos estudar uma equação em que ocorreesse problema.
Resolvendo a equação .
Solução:
O conjunto-universo dessa equação éIR – {– 2, 0, 2}
Vamos simplificar a equação para aplicar apropriedade fundamental da proporção. Paraisso, encontraremos o mmc no 1.o membro:
Encontramos uma equação impossível, por-tanto S = ∅.
Outra questão:
Resolver a equação .
Solução:
O conjunto-universo é IR – {– 1, 1}.
multiplicando a equação por
(1 − t), temos:
Mas para t = 1, a equação não cria uma iden−
tidade , que é uma indeter-
minação, logo S = ∅.
1. Determine o conjunto solução das seguintesequações, sendo U = IR:
a) (x ≠ −3)
b) (y ≠ 0)
c) (x ≠ 0 e x ≠ −6)
d) (x ≠ −7)
e) (x ≠ ±7)
f) (y ≠ ±3)
2. Determine o conjunto solução das seguintesequações, sendo U = IR:
a) (x ≠ ±5)
b) (x ≠ 1, x ≠ 2 e x ≠ 3)
c) (x ≠ ±1)
d) (x ≠ ±4)
e) (y ≠ ±1 e y ≠ 0)
f) (x ≠ 2)
3. A 7.a série A tem x alunos. Nessa série, foramdistribuídos 320 livros de forma que todos re-ceberam a mesma quantidade. A 7.a série Btem (x – 2) alunos, e nessa série foram dis-tribuídos 300 livros, e todos os alunos recebe-ram a mesma quantidade. Nessas condições,faça o que se pede:
a) Escreva a fração que representa o número delivros que cada aluno da 7.a série A recebeu.
b) Escreva a fração que representa o número delivros que cada aluno da 7.a série B recebeu.
c) Quantos alunos há em cada sala, se cadaaluno das duas salas recebeu a mesmaquantidade de livros?
4. Alice comprou certa quantidade de calças porR$ 120,00 e 2 blusas a mais que a quantidadede calças por R$ 100,00.
O preço de uma calça é o dobro do preço deuma blusa.
Sabendo-se que todas as calças custaram omesmo preço e que todas as blusas também,quantas calças e quantas blusas Alice comprou?
5. A diferença entre o quociente de 4 por um nú-mero real e o inverso desse número é 2. Qualé o número?
6. Um ciclista, pedalando a certa velocidade, per-corre 195km em x horas. Mantendo a veloci-dade média, ele percorre 260km, pedalando 1hora a mais.
Escreva e resolva a equação que permite cal-cular o valor de x, ou seja, quanto tempo ociclista leva para percorrer 195km.
7. Um número adicionado a 10 e dividido por ele
mesmo é equivalente à fração . Que número
é esse?
8. Determine y, para que o quociente
seja igual a .
9. Segundo uma pesquisa realizada num grupode pessoas, foi constatado que, ao longo de xmeses, o número de pessoas que contrairácerta doença é dada pela expressão matemáti−
ca . Após quantos meses, o número de
pessoas infectadas por essa doença será de4000?
57
Matemática Elementar II – Potências e radicais
59
UNIDADE IVInequações e Sistemas
61
TEMA 15
INEQUAÇÃO DO 1.O GRAU
Toda sentença aberta, expressa por umadesigualdade, chama−se inequação. O grauda inequação é determinado da mesma formaque o fizemos para as equações.
Uma inequação relaciona o primeiro membrocom o segundo por um dos símbolos:
Vamos considerar o seguinte problema:
Numa escola, é adotado o seguinte critério: anota da primeira prova é multiplicada por 1, anota da segunda prova é multiplicada por 2, ea da última prova é multiplicada por 3. Osresultados, após somados, são divididos por6. Se a média obtida por este critério for maiorou igual a 6,5, o aluno é dispensado das ativi-dades de recuperação. Suponha que um alunotenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 nasegunda. Quanto precisará tirar na terceira pa-ra ser dispensado da recuperação?
Solução:
é a inequação que verifica
se o aluno foi ou não aprovado sem precisarfazer a recuperação.
Para resolver essa inequação, utilizaremos osprincípios aditivo e multiplicativo, que vimos naresolução das equações.
Substituindo as notas da primeira e da segun-da prova, temos:
Neste problema, o princípio multiplicativo é uti-lizado sem complicações, pois multiplicamos ainequação por um número positivo. Quando amultiplicação é por um número negativo, deve-se mudar o sentido da desigualdade. Isto ocor-re devido à “mudança” de posição na reta: ao
multiplicarmos por um número negativo en-contramos o simétrico do número dado.
Veja:
– 2 < 4
Multiplicando por (– 1), temos:
2 > – 4
Vamos generalizar esta propriedade:
Para todos os números reais x, y e z, se x < y,vale:
a) xz < yz, se z > 0
b) xz > yz, se z < 0
c) , se z > 0
d) , se z < 0
Exemplos:
1. Resolva a inequação 2(3x − 5) > 3(x − 12),sendo U = Z.
Solução:
Como x ∈ Z, então S{−8, −7, −6, −5,...}
2. Resolva a inequação ,
Sendo U = IR.
Solução:
Multiplicando a inequação por 18 (mmc de 9 e6), temos:2(19 − 4x) ≤ 3(2x − 3) ⇒ 38 − 8x ≤ 6x − 9 ⇒−8x − 6x ≤ − 9 − 38 ⇒ −14x ≤ −47, Multiplicando por (−1), temos:
.
3. Qual é o menor número inteiro que satisfaz a
desigualdade ?
< > ≥ ≤ ≠
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
62
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
Multiplicando a desigualdade por 4, temos:
Portanto o menor inteiro que satisfaz ainequação é o número 4.
4. Doze atores, entre garotas e rapazes, serão es-colhidos para trabalhar em uma peça de teatro.O diretor resolveu que o triplo do número derapazes menos 1 deverá ser menor que o totalde atores da peça. Quantas garotas e quantosrapazes serão escolhidos, se deve haver pelomenos dois rapazes como atores?
Solução:
Chamaremos de x os rapazes e de y as garo-tas. Temos, então:
x + y = 12 e
.Com isso, temos as seguintes possibilidades:4 rapazes e 8 garotas, 3 rapazes e 9 garotas e2 rapazes e 10 garotas. Lembre−se de que apeça deve apresentar pelo menos 2 rapazes.
5. José tem o dobro da idade de Paulinho. SePaulinho tivesse nascido 10 anos antes, suaidade seria maior que a de José. Quantosanos, no máximo, Paulinho deve ter?
Solução:
Consideremos a idade de Paulinho igual a x,então a idade de José é 2x.
Se Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, suaidade passaria a x + 10. Como, nessas con-
dições, Paulinho é mais velho que José, te-mos:
x + 10 > 2x ⇒ x − 2x > −10 ⇒ −x > −10 ⇒ x < 10Portanto:
Paulinho tem, no máximo, 9 anos.
1. Resolva as desigualdades, sendo U = IR:
a)
b)
c) 4(x − 2) + 32 > 16x
d)
e) 4 + 8x ≥ 16
f) 5x − (x − 2) ≤ 6
g)
h)
i)
2. Qual é o menor número inteiro que é solução
da inequação ?
3. Qual é o maior número inteiro que é solução
da desigualdade ?
4. Para estudar um projeto, será formada uma co-missão mista de deputados e senadores, numtotal de oito membros. O dobro do número desenadores mais 1 deverá ser menor que o totalde membros da comissão. Quantos deputadose senadores terá a comissão?
5. Um feirante, após ter vendido x melões a R$3,00 cada, vendeu os últimos 21 por um totalde R$ 40,00. Qual a menor quantidade de me-lões que ele deveria vender a R$ 3,00 paraobter mais de R$ 280,00 nessa venda?
6. Subtraindo-se 2 anos da idade de uma pes-soa, e multiplicando-se a diferença por 7,obtém−se um número menor que o sêxtuploda idade dela aumentado de 8. Qual a idademáxima dessa pessoa?
7. Considere a sentença: o dobro de um númerosomado com a sua terça parte é maior que 14.O conjunto-verdade dessa sentença é:
a) {x ∈ Q | x < 6}
b) {x ∈ Q | x > 6}
c) {x ∈ Q | x > 2}
d) {x ∈ Q | x < 2}
8. (F. SANTO ANDRÉ−SP) Dos conjuntos abaixo,aquele que representa um conjunto unitário é:
a) {x ∈ IN | x − 8 < −8}
b) {x ∈ Z | x + 3 ≤ 3}
c) {x ∈ IN | 2x − 2 < 0}
d) {x ∈ Z | x + 3 > 2}
e) {x ∈ IN | 5x − 5 ≤ 0}
9. (FGV−SP) Quantas raízes inteiras e menores do
que 5 admite a inequação ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) n.d.a.
TEMA 16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕESDO 1.O GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
Equação do 1.o grau com duas variáveis
Observe o problema:
Évana e Cláudio têm juntos 16 anos. Sabendo-se que a idade de Évana é o triplo da idade deCláudio, qual a idade dos dois?
Solução:
Chamando de x a idade Cláudio e de y a idadede Évana, temos a equação: x + y = 16. Ora,a idade de Évana é o triplo da idade deCláudio, logo y = 3x. Substituindo a equaçãoque relaciona as idades na equação da somadas mesmas, obtemos:
x + y = 16 ⇒ x + 3x = 16 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4Portanto Cláudio tem 4 anos, e Évana tem 12anos.
Observando apenas a equação que relacionaas idades, y = 3x, chegaremos a algumas con-clusões importantes:
Tomemos a equação: y = 3x
Montemos uma tabela com uma coluna para avariável x e outra para variável y. Atribuamosvalores arbitrários para x e encontremos o valorcorrespondente para y.
Poderíamos continuar indefinidamente atribuin-do valores para uma das variáveis e encontran-do o valor correspondente para outra, de modoque cada par, na ordem x e y, de valores deter-minados satisfaça a equação dada (y = 3x).
A partir deste exemplo, podemos verificarcondições bem definidas. Por exemplo:
• A cada valor atribuído para uma variável, existeum único valor correspondente para a outra.
x y2 6
−1 −30 0
−10 −304 12
4
63
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
64
UEA – Licenciatura em Matemática
• As soluções da equação são dadas aospares, 2 e 6, – 1 e – 3, 0 e 0, etc.
• Podemos encontrar tantos pares quantosdesejarmos, a equação tem infinitas solu-ções.
• A ordem em que substituímos os valores nasvariáveis, em geral, não coincide. Por exem-plo, quando x = 4 ⇒ y = 12 e quando
y = 4 ⇒ x= . Portanto a ordem importa.
Cada solução de uma equação do 1.o graucom duas variáveis é um par de números cujaordem deve ser respeitada, que é denominadode “par ordenado”.
PLANO CARTESIANO
René Descartes nasceu na França. De famílianobre, recebeu suas primeiras instruções nocolégio jesuíta de La Flèche, graduando-seem Direito, em Poitier. Foi participante ativo devárias campanhas militares como a de Mau-rice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Ma-ximiliano I da Baviera e a do exército francêsno cerco de La Rochelle. Foi amigo dos mai-ores sábios da época como Faulhaber,Desargues e Mersenne, e é considerado o“Pai da Filosofia Moderna”.
Em 1637, escreveu seu mais célebre tratado,o Discurso do Método, em que expõe suateoria de que o universo era todo feito dematéria em movimento, e qualquer fenômenopoderia ser explicado por meio das forçasexercidas pela matéria contígua. Esta teoriasó foi superada pelo raciocínio matemáticode Newton. Suas idéias filosóficas e científi-cas eram muito avançadas para a época,mas sua matemática guardava característicasda antigüidade, tendo criado a GeometriaAnalítica numa tentativa de volta ao passado.
Os pares ordenados são representados porpontos num plano formado por dois eixos reais(retas) perpendiculares entre si, o plano carte-siano.
O eixo horizontal é chamado de eixo dasabscissas ou eixo x, e o eixo vertical é chama-do de eixo das ordenadas ou eixo y.
Para localizar um ponto num plano cartesiano,utilizamos a seqüência prática:
• O 1.o número do par ordenado deve ser loca-lizado no eixo das abscissas.
• O 2.o número do par ordenado deve ser loca-lizado no eixo das ordenadas.
• No encontro das perpendiculares aos eixos xe y, por esses pontos, determinamos o pontoprocurado.
Exemplo:
• Localize os pontos (4, 3), (−4, 1) e (1, −1).
Geometricamente, o conjunto-solução de umaequação do 1.o grau com duas variáveis em IR,é uma reta que contém todos os pares ordena-dos que satisfazem a equação dada.
Exemplo:
Representar, geometricamente, o conjunto-solução da equação y − x = 2.
65
Solução:
Atribuímos valores arbitrários para x e encon-tramos os valores correspondentes em y; re-presentamos os pontos no plano cartesiano e,depois, “ligamos” esses pontos. A reta é asolução da equação em IR.
Como a solução de uma equação do 1.o grau,em IR, é uma reta, basta definirmos dois paresordenados que satisfazem a equação dada etraçar a reta que os contém.
Exemplo:
Esboce o gráfico da equação 2x + y = 4.
Solução:
Depois de representar os pontos no planocartesiano, basta traçar a reta que contém ospontos determinados na tabela.
Observe o seguinte problema:
A soma das idades do meu filho e da minha éigual a trinta e dois, e a diferença entre a minhaidade e a dele é igual a vinte e quatro. Queidade tem cada um?
Chamando de x a idade do pai e de y a idadedo filho, temos duas equações:
x + y = 32 e x − y = 24. Podemos também re-presentar as duas equações utilizando a nota-ção que apresentaremos com maior fre−
qüência, que é .
Um sistema do 1.o grau a duas variáveis é umasentença aberta constituída de duas equaçõesdo 1.o grau, que possuem as mesmas var-iáveis, o mesmo conjunto-universo e que estãoligadas pelo conectivo “e”.
A solução desse sistema pode ser:
• um único par ordenado;• infinitos pares ordenados;• nenhum par ordenado (conjunto vazio).
No problema dado, a solução é o par ordena-do (28,4), onde x = 28 e y = 4.
Resolvendo sistemas de equações do 1.o
grau com duas variáveis
A resolução de um sistema de duas equaçõescom duas variáveis consiste em determinar umpar ordenado que torne verdadeiras, ao mes-mo tempo, essas equações.
Estudaremos, a seguir, alguns métodos:
Método de substituição
Neste método, escolhemos uma das equa-ções, isolamos uma das variáveis e substituí-mos na outra equação.
Exemplos:
1. Vamos retomar o sistema do problema que
apresentamos acima:
Solução:
Isolando x na 1.a equação, temos:
x = 32 − y
Substituindo na segunda equação:
(32 − y) − y = 24, ficamos agora com umaequação do 1.o grau a uma variável. Resol-vemos a equação e determinamos uma dascoordenadas do sistema.
32 − 2y = 24 ⇒ −2y = 24 − 32 ⇒ −2y = −8 ⇒ y = 4.
Substituindo em qualquer uma das equa-ções, encontramos a outra variável.
x = 32 − 4 ⇒ x = 28
∴ S = {(28,4)}
x y1 23 −2
x y−2 0−1 10 22 4
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
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UEA – Licenciatura em Matemática
2. Resolva o sistema .
Solução:
Vamos tomar a 1.a equação e isolar x:
Substituindo na 2.a equação, temos:
Encontramos a outra coordenada substituin-do em x = 14 + y:
x = 14 − 6 ⇒ x = 8
S = {(8, −6)}
3. Um barco percorre 16km em 1 hora, nave-gando a favor da corrente; para retornar pe-lo mesmo trajeto, demora 2 horas. Qual é avelocidade do barco? E a velocidade da cor-rente?
Solução:
Chamando de x a velocidade do barco, de ya velocidade da corrente, temos:
Isolando y na 1.a equação, temos:
y = 16 − x.
Substituindo na 2.a equação, temos:
x − (16 − x) = 8 ⇒ x − 16 + x = 8 ⇒ 2x= 24 ⇒ x = 12.
Encontramos a outra coordenada substituin-do em y = 16 − x:
y = 16 − 12 ⇒ y = 4
Portanto a velocidade do barco é de 12km/h,e a velocidade da corrente é de 4km/h.
4. Pablo investe uma certa quantia a jurosdurante um mês: uma parte a 2% ao mês, eo restante a 1,5% ao mês, recebendo R$82,00 de juros. Se ele trocasse entre si asquantias aplicadas, receberia R$ 93,00 dejuros. Qual foi a quantia aplicada?
Solução:
Da 1.a equação, temos:
2x = 8200 − 1,5y ⇒ x = 4100 − 0,75y
Substituindo na 2.a equação:
1,5(4100 − 0,75y) + 2y = 9300 ⇒ 6150 −1,125y + 2y = 9300 ⇒ 0,875y = 3150 ⇒ y= 3150 ⇒ y = 3600 e x = 4100 − 0,75.3600⇒ x = 1400
A quantia aplicada foi de R$ 5.000,00.
Método de comparação
Este método consiste em isolar uma variávelcomum nas equações dadas e efetuar a igual-dade entre elas (comparar as equações).
Exemplos:
1. Resolva o sistema .
Solução:
Isolando y em ambas equações, temos:
3x + 10 = y e x + 7 = y, comparando asequações:
substituindo em x + 7 = y, por exemplo,temos:
2. Encontre o par ordenado que satisfaz o sis−
tema .
Solução:
Vamos simplificar a equação:
Isolando x na segunda equação, temos:
x = −1 − y
67
Comparando as equações, encontramos ovalor da ordenada y:
Substituindo em x = −1 − y, encontramos ovalor da abscissa x:
x = −1 − 3 ⇒ x = −4.
S = {(−4, 3)}
3. Um comerciante compra, no exterior, vidrosde vitaminas de dois tipos. Cada vidro dotipo I custa 10 dólares, e do tipo II, 15dólares. Se ele fez uma compra de 35vidros, gastando 400 dólares, quantosvidros de cada tipo comprou?
Solução:
Chamando de x o vidro tipo I, e de y o vidrode tipo II, temos o sistema de equação:
Isolando y em cada uma das equações,temos:
Comparando as equações:
e x = 35 − 10 ⇒ x = 25.
Portanto o comerciante comprou 25 vidrosdo tipo I e 10 vidros do tipo II.
4. Criminosos seqüestraram a cadelinha deuma atriz de TV e exigiram um resgate de R$9 450,00, que deveria ser pago unicamentecom notas de 100 e de 50 reais, num total de120 notas.
a) Quantas notas de cada tipo os seqüestradores
pediram?
b) As quantidades de notas pedidas visavam per-
mitir que os criminosos dividissem igualmente
cada tipo de nota. Sabendo disso, você é ca-
paz de descobrir quantos criminosos havia?
Solução:
a) Sendo x o número de notas de 100 reais, e
y o número de notas de 50 reais, temos osistema:
Isolando y nas duas equações, temos:
Igualando as equações, encontramos x:
120 − x = 189 −2x ⇒ 2x − x = 69 ⇒ x = 69
Substituindo, temos:
y = 120 − x ⇒ y = 120 − 69 ⇒ y = 51.Portanto foram exigidas 69 notas de 100reais e 51 notas de 50 reais.
b) O máximo divisor comum entre 69 e 51 é 3,logo o número de seqüestradores poderiamser 1 ou 3. Como o problema deixa explicitoque foram “criminosos”, podemos afirmarque são três seqüestradores.
Método de adição
Esse processo de resolução consiste em veri-ficar se as equações possuem termos seme-lhantes de coeficientes oposto nas equaçõesdadas. Caso não existam, usando o princípiomultiplicativo, encontramos. Depois, somamosas equações membro a membro.
Exemplos:
1. Resolva os sistemas:
a)
Solução:
Observamos que os coeficientes de y nasduas equações são oposto; nesse caso, bastasomar as equações membro a membro.
Encontrando o valor de uma das variáveis,operamos como nos casos anteriores:
.
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
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UEA – Licenciatura em Matemática
b)
Solução:
Agora, não temos coeficientes opostos emuma variável comum. Escolhemos, de formaconveniente, uma das equações e aplica-mos o princípio multiplicativo de modo aobter coeficientes opostos.
Vamos multiplicar a 1.a equação por 2.
Pronto, agora o sistema possu coeficientesopostos em uma mesma variável. Operamoscomo no caso anterior.
substituindo na 1.a equação, temos:
c)
Solução:
Neste caso, precisaremos multiplicar as du-as equações. Multiplicando a 1.a equaçãopor 3, e a 2.a equação por 2, encontramosum sistema equivalente ao anterior. Pronto,agora usamos o método aditivo:
. Somando as
equações, membro a membro, temos:
e 5x − 2y = −3 ⇒ 5
− 2y = −3 ⇒ −2y = −8 ⇒ y = 4
S = {(1,4)}
d)
Primeiramente, deixaremos a 2.a equaçãomais simples.
Reescrevendo o sistema:
Multiplicando a 1.a equação por (–1), temoso sistema preparado para o método aditivo.
e −x + 2y = 4 ⇒
−6 + 2y = 4 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5
S = {(6,5)}
2. Um colégio comprou todos os ingressos deuma peça de teatro para distribuir a seusalunos da 7.a série. O diretor pensou em dar3 ingressos para cada aluno, mas percebeuque faltariam 10 ingressos. Então, ele re-solveu dar 2 ingressos para cada aluno, esobraram 125 ingressos para distribuir aosalunos das outras séries. Quantos alunosesse colégio tem na 7.a série, e quantosingressos o colégio comprou para distribuiraos seus alunos?
Solução:
Chamando de x o número de alunos da 7.a
série e de y a quantidade de ingressos com-prados para distribuir aos alunos, montamoso sistema:
Multiplicando a segunda equação por (– 1),temos:
−2x + y = 125 ⇒ −270 + y = 125 ⇒ y = 395
Portanto a sétima série do colégio tem 135alunos, e foram comprados 395 ingressos.
69
TEMA 17
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
INEQUAÇÃO DO 1.O GRAU COM DUAS
VARIÁVEIS
Método prático:
• Substituímos a desigualdade por uma igual-
dade.
• Traçamos a reta no plano cartesiano.
• Escolhemos um ponto auxiliar, de preferên-
cia o ponto (0, 0), e verificamos se o mesmo
satisfaz ou não à desigualdade inicial.
• Em caso positivo, a solução da inequação
corresponde ao semiplano ao qual pertence
o ponto auxiliar.
• Em caso negativo, a solução da inequação
corresponde ao semiplano oposto àquele
ao qual pertence o ponto auxiliar.
Exemplos:
1. Representa graficamente a inequação
2x + y ≤ 4.
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na
inequação 2x + y ≤ 4, verificamos:
2.0 + 0 ≤ 4 (afirmativa positiva, o ponto
auxiliar satisfaz a inequação).
A solução da inequação corresponde ao semi-
plano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).
2. Representar graficamente a inequação
2x − y < 4.
Observe que a solução deste sistema excluia reta que limita o semiplano.
Resolução gráfica de um sistema deinequações do 1.o grau
Para resolver um sistema de inequações do 1.o
grau, graficamente, devemos:
• traçar num mesmo plano o gráfico de cada
inequação;
• determinar a região correspondente à inter-
secção dos dois semiplanos;
• destacar a região de intersecção dos semi-
planos.
Exemplos:
1. Dê a resolução gráfica do sistema:
Solução:
Traçando as retas −x + y = 4 e 3x + 2y = 6.
Gráfico
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
2. Resolva, graficamente, o sistema
.
Solução:
Gráfico
o
3. Resolva, graficamente, o sistema
.
Gráfico
ARQUIMEDES
Entre o grande número de descobertas rea-lizadas por Arquimedes, é necessário assinalara seguinte: Quando Hieron reinava em Siracu-sa, propôs oferecer, em um certo templo, umacoroa de ouro aos deuses imortais. Combinoua confecção da obra com um artesão medianteuma boa soma de dinheiro e a entrega daquantidade de ouro em peso. O artesão entre-gou a coroa na data combinada com o Rei, quea achou executada com perfeição, parecendoque contivesse todo o ouro que lhe havia sidoentregue. Sabendo, porém, que o artesão reti-rara parte do ouro, substituindo-o por um pesoequivalente em prata, o rei, indignado diantedesse engodo e não tendo em mãos os meiospara provar ao artesão sua fraude, encarregoua Arquimedes que se ocupasse da questão eque, com sua inteligência, encontrasse essesmeios. Um dia em que Arquimedes, preocupa-do com esse assunto, entrou por acaso emuma casa de banhos, percebeu que à medidaque entrava na banheira, a água transbordavada mesma. Esta observação o fez descobrir arazão que procurava e, sem mais esperar, pelaalegria que este fato lhe produzia, saiu dobanho ainda nu e, correndo para sua casa, gri-tava: Heureka! Heureka!, isto é, “encontrei!encontrei!”.
70
UEA – Licenciatura em Matemática
71
1. Resolva, geometricamente, as equações em IR:
a) 3x + 2y = 4 b) x − 4y = −1
c) 3x + y = −2 d) x − y = 0
e) x + y = 0 f) x + y = 11
g) x − y = 5
2. Verifique se o par ordenado (–3, 5) é solução,ao mesmo tempo, das equações 4x + 3y = 3e 2x − 5y = −31.
3. Resolva, no mesmo plano cartesiano, as equa-ções x + y = 11 e x − y = 5. Depois, por tenta-tiva, encontre a solução comum às equações.
4. (CEFET−97) Os pontos A(0, 4), B(– 2, 0),C(0, – 4) e D(2, 0) determinam um:
a) quadrado; b) losango;
c) retângulo; d) círculo;
e) trapézio.
5. Resolva os sistemas, usando o método dasubstituição:
a)
S = {(4,1)}
b)
c)
S = {(14,6)}
d)
S = {(−5,7)}
e)
S = {(−4,−4)}
6. Em um jogo de futebol, as vitórias somam para otime ganhardor 3 pontos, e os empates 1 ponto.Sabendo-se que uma equipe disputou 23 jogos eobteve, ao todo, 37 pontos, responda:
a) Quantas foram as vitórias?
b) Quantos foram os empates
7. Em um estacionamento existem um total de 15veículos (entre carros e motos) sendo que onúmero total de rodas é igual a 50. Calcular adiferença entre o número de carros e o númerode motos.
8. Resolva os sistemas pelo método da comparação:
a)
b)
c)
d)
e)
9. Seis pessoas vão a um restaurante e pedem 6pratos do dia. Na hora da sobremesa, apenasuma entre as seis pessoas não quis sobreme-sa. Sabendo que a diferença entre o preço doprato do dia e o preço da sobremesa é de 5reais, e que o grupo gastou, ao todo, 107 reais,qual o preço do prato do dia?
10. Um barco percorre 9km em 30min, navegandoa favor da corrente; para regressar ao ponto departida, demora 3h. Calcule a velocidade dobarco e a velocidade da corrente.
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
72
UEA – Licenciatura em Matemática
11. Há 5 anos, a idade de Marta era o dobro daidade de Renata. Dentro de 5 anos, será so-
mente . Quantos anos elas têm atualmente?
12. Determine a solução de cada um dos sistemasde equações nas incógnitas x e y.
a)
S = {(7,3)}
b)
S{(15,−14)}
c)
d)
S{(2,3)}
e)
S{(20,20)}
f)
13. Em uma chácara, há porcos e galinhas, num to-tal de 120 animais. Sabendo-se que o dobro donúmero de porcos é igual à metade do númerode galinhas, calcule a quantidade de porcos ede galinhas criados nessa propriedade.
14. Perguntei a idade de minha professora de Ma-temática. Ela me contou, e contou também aidade da filha, mas disse isso de maneira espe-cial:
– A soma de minha idade com a de minha filhaé 44 anos. Dois anos atrás, eu tinha o triplo daidade dela.
Qual a idade de minha professora e da filhadela?
15. Arquimedes foi um brilhante inventor e mate-mático grego que viveu antes de Cristo. Conta-se que, certa vez, ele recebeu um pedido de umrei. Este queria saber se a sua coroa era real-mente de ouro puro. Só que para responder àquestão era proibido danificar a coroa.
Arquimedes mediu o volume da coroa usandoum recurso em que ninguém tinha pensado atéentão. Ele mergulhou a coroa num tanque comágua. Imagine que tenha sido assim:
Depois, Arquimedes verificou que a coroa tinhamassa de 2kg. Sabendo que o volume de 1kgde ouro é 50cm3, ele pôde solucionar a dúvidado rei.
a) Examine as figuras e determine o volume da
coroa.
b) Pode essa coroa ser de ouro maciço? Por quê?
c) Suponha que essa coroa seja feita de ouro e
prata. O volume de 1kg de prata é 100cm3. Com
essa informação, descubra quantos quilogramas
de prata e quantos de ouro formam a coroa.
16. O par ordenado (x, y) é a solução do sistema
Nessas condições, etermine o valor de:
a) xy b) x2 + y2 c)
17) Um número natural de dois algarismos podeser representado assim: 10x + y, x dezenas e yunidades.
Esse número, menos o número que se obtémtrocando a ordem dos algarismos, vai dar 45.
Descubra qual é o numero, sabendo que asoma dos seus algarismos é 11.
18. Observe a resolução de um sistema com equa-ções fracionárias, e depois resolva os outrossistemas dados:
a) . Primeiramente, identificamos a
condição de existência das equações. Nesse
exemplo, y ≠ 0, y ≠ 1 e x ≠ 0. Depois, simplifi-
camos as equações fracionárias e voltamos aos
casos anteriores.
Solução:
Multiplicando a primeira equação por (– 2), eadicionando à segunda, temos:
3x − y = 0 ⇒ 3.2 − y = 0 ⇒ y = 6
S = {(2,6)}
Observe que o par ordenado (2,6) não fere acondição de existência.
b)
c)
d)
19. Dois números reais, x e y, são tais que
e . Nessas condições, sendo x ≠ −2 e
x ≠ −3, determine o valor de:
a) y − x
b)
c) (x + y)(x − y)
20. Qual o par ordenado que resolve o sistema?
21. Resolva, graficamente, as inequações:
a) x + y > 0
b)
c)
d) 3 − 2x ≥ y − 12
e) 3x − 5y < −2
22. Resolva, graficamente, os sistemas:
a)
b)
c)
73
Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas
UNIDADE VEquação do 2.º grau e intervalos em IR
77
TEMA 18
EQUAÇÃO DO 2.O GRAU
1. Introdução
As equações do segundo grau são abordadasna história da Matemática desde a época dosegípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses.
O primeiro registro das equações polinomiaisdo 2.o grau foi feito pelos babilônios. Eles ti-nham uma álgebra bem desenvolvida e resolvi-am equações de segundo grau por métodossemelhantes aos atuais ou pelo método decompletar quadrados. Como as resoluçõesdos problemas eram interpretadas geometrica-mente, não fazia sentido falar em raízes negati-vas. O estudo de raízes negativas foi feito apartir do século XVIII.
Como eles não utilizavam coeficientes nega-tivos, precisavam distinguir diferentes casospossíveis:
x2 + px = q
x2 = px + q
x2 + q = px
O caso x2 + px + q = 0, com p e q positivos,não teria solução.
Na Grécia, a Matemática tinha um cunho filosó-fico e pouco prático. Euclides, nos Elementosresolve equações polinomiais do 2.o grau pormeio de métodos geométricos.
Diofante contribuiu para mais um avanço nabusca da resolução de equações do 2.o grauao apresentar uma outra representação daequação introduzindo alguns símbolos, pois,até então, a equação e sua solução eram re-presentadas em forma discursiva.
Na Índia, as equações polinomiais do 2.o graueram resolvidas completando quadrados. Essaforma de resolução foi apresentada geometri-camente por Al−Khowarizmi, no século IX. Elesdescartavam as raízes negativas, por serem“inadequadas”, e aceitavam as raízes irra-cionais. Tinham também uma “receita” para a
solução das equações de forma puramentealgébrica.
A abordagem chinesa para a resolução destasequações foi o método fan−fan, redescoberto,independentemente, em 1819, pelo matemáti-co inglês William George Horner. Assim, o mé-todo fan−fan, ficou conhecido como métodode Horner. Séculos mais tarde Isaac Newtondesenvolveu um método bastante similar.
No século XVI, François Viéte utilizou-se desimbolismo para representar equações dandoa elas um caráter geral.
1.2 Definições
Denomina−se equação do 2.o grau, na incógni-ta x, toda equação da forma:
Exemplos:
1. x2 − 5x + 6 = 0 é um equação do 2.o graucom a = 1, b = −5 e c = 6.
2. 6x2 − x − 1 = 0 é um equação do 2.o graucom a = 6, b = −1 e c = −1.
3. 7x2 − x = 0 é um equação do 2.o grau coma = 7, b = −1 e c = 0.
4. x2 − 36 = 0 é um equação do 2.o grau coma = 1, b = 0 e c = −36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0(forma normal ou forma reduzida de uma equa-ção do 2.o grau na incógnita x), chamamos a,b e c de coeficientes.
• a é sempre o coeficiente de x²;
• b é sempre o coeficiente de x;
• c é o coeficiente ou termo independente.
1.3 Equações completas e Incompletas
Uma equação do 2.o grau é completa quandob e c são diferentes de zero.
Exemplos:
x² − 9x + 20 = 0 e −x² + 10x − 16 = 0 sãoequações completas.
Uma equação do 2.o grau é incompleta quan-do b ou c é igual a zero, ou ainda quandoambos são iguais a zero.
ax2 + bx + c = 0; a∈IR* e b, c ∈ IR
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
78
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
x² − 36 = 0 x² − 10x = 0 4x² = 0(b = 0) (c = 0) (b = c = 0)
1.4 Raízes de uma equação do 2.o grau
Resolver uma equação do 2.o grau significa de-terminar suas raízes.
O conjunto formado pelas raízes de uma equa-ção denomina-se conjunto-verdade ou conjun-to-solução.
Exemplos:
a) Dentre os elementos do conjunto A = {−1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equa-ção x² − x − 2 = 0?
Solução:
Substituímos a incógnita x da equação porcada um dos elementos do conjunto e verifi-camos quais as sentenças verdadeiras.
Logo, −1 e 2 são raízes da equação.
b) Determine p sabendo que 2 é raiz da equa-ção (2p − 1) x² − 2px − 2 = 0.
Solução:
Substituindo a incógnita x por 2, determi-namos o valor de p.
(2p − 1). 22 − 2p . 2 − 2 = 0
(2p − 1). 4 − 4p − 2 = 0
8p − 4 − 4p − 2 = 0
4p − 6 = 0
Logo, o valor de p é .
1.5 Resolução de equações incompletas
Utilizamos, na resolução de uma equação in-completa, as técnicas da fatoração e duas im-portantes propriedades dos números reais:
a) 1.a Propriedade: Se x ∈ IR, y IR e x.y = 0,então x =0 ou y = 0.
b) 2.a Propriedade: Se x ∈ IR, y ∈ IR e x2 = y,então x = ou x = .
1.o Caso: Equação do tipo ax2 + bx = 0.
Exemplo:
Determine as raízes da equação x2 − 8x = 0,sendo U = IR.
Solução:
Inicialmente, colocamos x em evidência:
x.(x − 8) = 0
Para o produto ser igual a zero, basta que umdos fatores também o seja. Assim:
x = 0 ou x − 8 = 0 ⇒ x = 8
Obtemos, dessa maneira, duas raízes que for-mam o conjunto-verdade:
V = {0, 8}
De modo geral, a equação do tipo ax2 + bx = 0
tem como soluções x = 0 e x = .
2.o Caso: Equação do tipo ax2 + c = 0.
Exemplo:
Determine as raízes da equação 2x2 − 72 = 0,sendo U = IR.
Solução:
2x2 = 72
x2 = 36
x = ±6 → A equação tem duas raízes simétricas.
De modo geral, a equação do tipo ax2 + c = 0
possui duas raízes reais se for um número
positivo, não tendo raiz real caso seja um
número negativo.
Raiz é o número real que, ao substituir a incóg-nita de uma equação, transforma-a numa sen-tença verdadeira.
79
Aplicações:
a) Resolva a equação literal incompleta3x2 – 12m2 = 0, sendo x a variável.
Solução:
3x2 − 12m2 = 0 ⇒ 3x2 = 12m2 ⇒ x2 = 4m2
x = ⇒ x = ± 2m
Logo, temos: V = {−2m; 2m}
b) Resolva a equação literal incompletamy2 − 2aby=0, com m ≠ 0, sendo y a var-iável.
Solução:
my2 − 2aby = 0
y(my − 2ab)=0
Temos, portanto, duas soluções:
y=0 ou my − 2ab = 0 ⇒ my = 2ab ⇒ y=
Assim: V = {0; }
1.6 Resolução de equações completas
Para solucionar equações completas do 2.o
grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação ax2 + bx +c = 0, em quea, b, c ∈ IR e a ≠ 0, desenvolveremos, passo apasso, a dedução da fórmula de Bhaskara (oufórmula resolutiva).
(4a).(ax2 + bx + c) = 0.(4a)
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
4a2x2 + 4abx = −4ac
(2ax + b)2 = b2 −4ac
Assim, encontramos a fórmula resolutiva daequação do 2.o grau:
Podemos representar as duas raízes reais porx’ e x”, assim:
Exemplo:
Vamos resolver a equação: 7x2 + 13x – 2 = 0.
Temos a = 7, b = 13 e c = –2:
Portanto:
7.º passo: dividir os dois membrospor a ≠ 0.
6.º passo: adicionar −b aos doismembros.
5.º passo: extrair a raiz quadradados dois membros.
4.º passo: fatorar o 1.º elemento.
3.º passo: adicionar b2 aos doismembros.
2.º passo: adicionar −4ac aos doismembros.
1.º passo: multiplicaremos ambosos membros por 4a.
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
80
UEA – Licenciatura em Matemática
Aplicações:
a) Vamos resolver a equação literal:x2 − 2abx − 3a2b2, sendo x a variável.
Solução:
Temos a=1, b = −2ab e c =−3a2b2:
Portanto:
Assim, temos: V= { −ab, 3ab}.
b) Determine as raízes da equação biquadra-da x4 − 13 x2 + 36 = 0.
Solução:
Observe que x4 – 13 x2 + 36 = 0 ⇒(x2)2 – 13x2 + 36 = 0
Substituindo x2 por y, temos y2 – 13y + 36 = 0.
Resolvendo essa equação, obtemos y’=4 ey’’=9.
Como x2 = y, temos:
Logo, temos para conjunto-verdade:V = { –3, –2, 2, 3}.
c) Determine as raízes da equação biquadra-da x4 + 4x2 – 60 = 0.
Solução:
Observe que x4 + 4x2 – 60 = 0 ⇒(x2)2 + 4x2 – 60 = 0
Substituindo x2 por y, temos y2 + 4y – 60 = 0.
Resolvendo essa equação, obtemos y’=6e y’’= –10.
Como x2 = y, temos:
x2 = –10 ⇒ x ∉ IRLogo, temos para o conjunto verdade:
.
d) Duas torneiras enchem um tanque em 6
horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas
mais que a outra. Determine o tempo que
cada uma delas leva para encher esse
tanque isoladamente.
Torneira 1 Torneira 2
Solução:
Consideremos x o tempo gasto para a 1.a
torneira encher o tanque e x + 5 o tempo
gasto para a 2.a torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a se-
guinte fração do tanque:
1.a torneira:
2.a torneira:
Em uma hora, as duas torneiras juntas
encherão do tanque; observe a equação
correspondente:
Resolvendo-a, temos:
6(x + 5) + 6x = x (x + 5)
6x + 30 + 6x = x2 + 5x
x2 − 7x − 30 = 0
x’= − 3 e x’’=10
Como a raiz negativa não é utilizada, tere-
mos como solução x= 10.
Resposta: A 1.a torneira enche o tanque em
10 horas, e a 2.a torneira, em 15 horas.
e) Um número de dois algarismos é tal que,
trocando-se a ordem dos seus algarismos,
obtém-se um número que o excede de 27
unidades. Determine esse número, saben-
do-se que o produto dos valores absolutos
dos algarismos é 18.
m.m.c. = 6x(x + 5)
81
Solução:
Representamos um número por 10x + y, eo número com a ordem dos algarismos tro-cada por 10y + x.
Observe:
Número:
⇒ 10x + y
Número com a ordem dos algarismos tro-cada:
⇒ 10y + x
Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
Isolando y em (1) :
−x + y = 3 ⇒ y= x + 3
Substituindo y em (2):
xy = 18
x (x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x − 18 = 0
x’= 3 e x’’ = −6
Determinando y para cada um dos valoresde x, obtemos:
y’= 3 + 3 = 6
y’’= −6 + 3 = −3
Logo, o conjunto verdade do sistema édado por: V= {(3, 6), (−6, −3)}.
Desprezando o par ordenado de coorde-nadas negativas, temos para solução doproblema o número
36 ( x = 3 e y = 6).
Resposta: O número procurado é 36.
1.7 Discriminante
Denominamos discriminante o radicando b2 − 4ac
que é representado pela letra grega Δ (delta).
Podemos, agora, escrever deste modo a fór-mula de Bhaskara:
De acordo com o discriminante, temos trêscasos a considerar:
1.o Caso: O discriminante é positivo > 0.
O valor de é real, e a equação tem duasraízes reais diferentes.
Exemplo:
Para quais valores de k a equaçãox² − 2x + k − 2 = 0 admite raízes reais e desi-guais?
Solução:
Para que a equação admita raízes reais e de-siguais, devemos ter Δ > 0.
b2 − 4ac
(−2)2 − 4.1.(k − 2) > 0
4 − 4k + 8 > 0
−4k + 12 > 0 → Multiplicamos ambos os membros por −1
4k − 12 < 0
4k < 12
k < 3
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.
2.o Caso: O discriminante é nulo, ou seja, Δ = 0.
O valor de é nulo, e a equação tem duasraízes reais e iguais, assim representadas:
Exemplo:
Determine o valor de p, para que a equaçãox² − (p − 1) x + p − 2 = 0 possua raízes iguais.
Solução:
Para que a equação admita raízes iguais énecessário que = 0.
b2 − 4ac = 0 ⇒ [−(p − 1v − 4.1(p − 2) = 0
p2 − 2p + 1 − 4p + 8 = 0 ⇒
Δ = b2 − 4ac
y x
x y
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
p2 − 6p + 9 = 0 ⇒ (p − 3)2 = ⇒ p = 3
Logo, o valor de p é 3.
3.o Caso: O discriminante é negativo < 0.
O valor de não existe em IR, não existindo,portanto, raízes reais. As raízes da equaçãosão números não-reais.
Exemplo:
Para quais valores de m a equação3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raizreal?
Solução:
Para que a equação não tenha raiz real deve-mos ter Δ < 0.
b2 − 4ac < 0
62 − 4.3.m < 0
36 − 12m < 0
−12m < −36 → Multiplicamos ambos os membros por −1
12m > 36
m > 3
Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
Resumindo, dada a equação ax² + bx + c = 0,temos:
TEMA 19
RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E ASRAÍZES
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, coma ≠ 0, e sejam x’e x’’ as raízes reais dessaequação.
Logo:
Observe as seguintes relações:
• Soma das raízes (S):
• Produto das raízes (P):
Como Δ = b2 – 4ac, temos:
Denominamos essas relações de relações deGirard. Verifique alguns exemplos de aplica-ção dessas relações.
Exemplos:
a) Determine a soma e o produto das raízes daequação 10x2 + x − 2 = 0.
Solução:
Nesta equação, temos: a = 10, b = 1 e c = −2.
A soma das raízes é igual a . O produto
das raízes é igual a .
Assim: S =
Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.
Para Δ < 0, a equação não tem raízes reais.
82
UEA – Licenciatura em Matemática
83
b) Determine o valor de k na equaçãox2 + (2k − 3)x + 2 = 0, de modo que a so-ma de suas raízes seja igual a 7.
Solução:
Nesta equação, temos: a = 1, b = 2k ec = 2.
S= x1 + x2 = 7
Logo, o valor de k é −2.
c) Determine o valor de m na equação4x2 − 7x + 3m = 0, para que o produto dasraízes seja igual a −2.
Solução:
Nesta equação, temos: a = 4, b = −7 ec = 3m.
P= x1. x2= −2
Logo, o valor de m é .
d) Determine o valor de k na equação15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos in-versos de suas raízes seja igual a 8.
Solução:
Considere x1 e x2 as raízes da equação.
A soma dos inversos das raízes corres-
ponde a .
Assim:
Logo, o valor de k é −8.
1.9 Composição de uma equação do 2.o grau,conhecidas as raízes.
Considere a equação do 2.o grau ax2 + bx+c =0.
Dividindo todos os termos por a(a 0), obtemos:
Como = S e = P, podemos escrever a
equação desta maneira, x2 –Sx + P = 0.
Exemplos:
a) Componha a equação do 2.o grau cujasraízes são –2 e 7.
Solução:
A soma das raízes corresponde aS = x1 + x2 = –2 + 7 = 5.
O produto das raízes corresponde aP = x1 . x2 = (–2) . 7 = –14.
A equação do 2.o grau é dada porx2 – Sx + P = 0, onde S = 5 e P = –14.
Logo, x2 – 5x – 14 = 0 é a equação procurada.
b) Formar a equação do 2.o grau, de coefi-cientes racionais, sabendo-se que uma dasraízes é .
Solução:
Se uma equação do 2.o grau, de coeficientesracionais, tem uma raiz , a outra raizserá .
Assim:
Logo, x2 − 2x − 2 = 0 é a equação procurada.
1.10 Forma Fatorada.
Considere a equação ax2 + bx + c = 0.Colocando a em evidência, obtemos:
Então, podemos escrever:
Logo, a forma fatorada da equaçãoax2 + bx + c = 0 é: a.(x − x’) . (x − x’’) = 0
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
84
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
a) Escreva, na forma fatorada, a equaçãox2 − 5x + 6 = 0.
Solução:
Calculando as raízes da equaçãox2 − 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.
Sendo a = 1, x1 = 2 e x2 = 3, a forma fatora-da de x2 − 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:
(x − 2).(x − 3) = 0
b) Escreva, na forma fatorada, a equação2x2 − 20x + 50 = 0.
Solução:
Calculando as raízes da equação2x2 − 20x + 50 = 0, obtemos duas raízesreais e iguais a 5.
Sendo a = 2, x1 = x2 = 5, a forma fatorada de2x2 − 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
2.(x − 5) (x − 5) = 0 ou 2. (x − 5)2 = 0
c) Escreva, na forma fatorada, a equaçãox2 + 2x + 2 = 0.
Solução:
Como Δ < 0, a equação não possui raízesreais.
Logo, essa equação não possui forma fato-rada em IR.
1.11 Sistemas de equações do 2.o grau.
Exemplos:
a) Uma quadra de tênis tem a forma da figura,com perímetro de 64m e área de 192m2.Determine as medidas x e y indicadas nafigura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192 ⇒ 4x2 + 4xy = 192Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 (1)
x2 +xy = 48 (2)
Temos aí um sistema de equações do 2.o
grau, pois uma das equações é do 2.o grau.
Podemos resolvê-lo pelo método da substi-tuição:
Assim:
2x + y = 16 (1)
y = 16 −2x (2)
Substituindo y em (2) , temos:
x2 + x ( 16 − 2x) = 48
x2 + 16x − 2x2 = 48
−x2 + 16x − 48 = 0 ⇒ Multiplicandoambos os membros por −1.
x2 − 16x + 48 = 0 x’= 4 e x’’= 12
Determinando y para cada um dos valoresde x, obtemos:
y’=16 − 2 . 4 = 8
y’’=16 − 2 . 12 = −8
As soluções do sistema são os pares orde-nados (4, 8) e ( 12, −8).
Desprezando o par ordenado que possuiordenada negativa, teremos para dimen-sões da quadra:
Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24mLargura = 2x = 2. 4 = 8m
b) Verifique, agora, a solução deste outro sis-tema:
Isolando y em (1):
y − 3x = −1 ⇒ y = 3x – 1
Substituindo em (2):
x2 − 2x(3x − 1) = −3
x2 − 6x2 + 2x = −3
−5x2 + 2x + 3 = 0 ⇒ Multiplicando ambos os
membros por −1
5x2 − 2x − 3 = 0
x’ = 1 e x’’= −5/3
Determinando y para cada um dos valoresde x, obtemos:
y’ = 3.1 − 1 = 2
As soluções do sistema são os pares orde-nados (1, 2) e (−3/5; −14/5).
85
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
1. A equação (m + 1)x2 –4x + m + 2 = 0 na in-cógnita x tem como uma de suas raízes o nú-mero –2. Descubra o valor de m.
2. Para resolver as equações a seguir, você vaiprecisar primeiro simplificá−las. Faça isso e, aofinal, escreva no caderno o conjunto solução.
a)
b) (3x – 5)(3x + 5) = 5(4x – 5) + x(x + 2)
c)
d) (x + 4)(x – 2) – (x – 1) (x – 3) = (x + 2) (x – 1)+
(x + 3) (x + 2)
3. Uma das soluções da equação m2 – pm + 10 = 0é m = 5. Descubra o valor de p e a outra solução.
4. Resolva as equações de 2.o grau e escreva, nocaderno, o seu conjunto-solução:
a) m2 + 4m + 4 = 0 b) x2 – 10x + 9 = 0
c) 16y2 – 8y + 1 = 0 d) x2 – 6x – 7 = 0
e) m2 + 12m + 27 = 0 f) t2 – 9t + 8 = 0
5. Se a área do retângulo CAFE é igual a 48cm2,qual é a área do quadrado JILO?
6. Resolva as equações e escreva, no caderno, oseu conjunto-solução:
a) (x + 3) (x + 2) = – 9 – 3x
b) 2 + x(x–1) = 2(4 – x)
c) 1 + (x–2)2 = 2x
d)
e)
f)
7. Calcule o resultado de a . b, sabendo que a eb são as duas soluções da equação:
(x – 1)2 – (x – 1) (x + 4) = (x – 1)
8. Quantas soluções tem a equação
?
9. Determine dois números inteiros e consecu-tivos que têm produto igual a 72.
10. As retas r, s e t do desenho são paralelas e,por isso, de acordo com o teorema de Tales, aincógnita m deve ter um valor determinado.Calcule m.
11. Um terreno retangular de 154m2 tem a medidada altura 3 metros a menos do que a medidada base. Calcule o perímetro do terreno.
12. Escreva, no caderno, o conjunto-solução de ca-da uma destas equações:
a) m2 + 13m + 42 = 0
b) n2 – 2n – 24 = 0
c) p2 – p – 20 = 0
d) x2 – 8x + 16 = 0
e) x2 + 7x + 6 = 0
f) 2 – 2 – 1 = 0
13. A área do triângulo da figura é igual a 12cm2.Calcule:
a) o valor de x;
b) a medida da base;
c) a medida y do lado__FB.
14. Um retângulo tem área de 45m2 e perímetro de28m. Calcule as medidas do seu comprimentoe da sua largura.
15. Resolva os sistemas de equações e escreva oconjunto-solução:
a)
b)
c)
d)
TEMA 20
INTERVALOS REAIS
Introdução
A Teoria dos Números nasceu cerca de 600anos antes de Cristo, quando Pitágoras e osseus discípulos começaram a estudar as pro-priedades dos números inteiros. Os pitagóri-cos rendiam verdadeiro culto místico ao con-ceito de número, considerando-o como essên-cia das coisas. Acreditavam que tudo no uni-verso estava relacionado com números inteirosou razões de números inteiros (em linguagematual, números racionais). Aliás, na Antigui-dade, a designação número aplicava-se só aosinteiros maiores do que um. Essa crença foiprofundamente abalada quando usaram oTeorema de Pitágoras para calcular a medidada diagonal de um quadrado unitário.
De cada vez que as necessidades do cálculolevavam a introduzir novos entes numéricos,gerava-se uma enorme desconfiança à suavolta, o que levava a atribuir-lhes designaçõescuriosas. Assim, os números irracionais eramdesignados por números inexprimíveis e pornúmeros incalculáveis. Durante muitos sécu-los, os números reais (fracionários ou racionaise irracionais) foram apenas concebidos comomedidas de grandezas, e só no fim do séculoXIX, principalmente por obra dos matemáticosalemães Dedekind e Cantor, construiu-se umateoria dos números reais independente dageometria.
Definição
Os intervalos reais são subconjuntos dos nú-meros reais. Serão caracterizados por desi-gualdades, conforme veremos a seguir:
Considerando dois números reais, a e b, sendoa < b, temos:
• Intervalo fechado
Notação: [a,b] = {x ∈ IR|a ≤ x ≤ v}
A este intervalo, pertencem todos os números
86
UEA – Licenciatura em Matemática
87
compreendidos entre a e b, inclusive a e b.
Exemplo:
Notação: [2, 5] = {x ∈ IR|2 ≤ x ≤ 5}
A este intervalo, pertencem todos os númeroscompreendidos entre 2 e 5, inclusive 2 e 5.
• Intervalo aberto
Notação: ]a, b] = {x ∈ IR|a < x < b}
A este intervalo, pertencem todos osnúmeros compreendidos entre a e b, nãoincluindo nem a nem b.
Exemplo:
Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x < 5}
A este intervalo, pertencem todos osnúmeros compreendidos entre 2 e 5, nãoincluindo 2 e 5.
• Intervalo fechado à esquerda e aberto àdireita
Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a ≤ x < b}
A este intervalo, pertencem todos osnúmeros compreendidos entre a e b,incluindo a e não incluindo b.
Exemplo:
Notação: [2, 5[ = {x ∈ IR|2 ≤ x < 5}
A este intervalo pertencem todos osnúmeros compreendidos entre 2 e 5, incluin-do o 2 e não incluindo o 5.
• Intervalo aberto à esquerda e fechado àdireita
Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a < x ≤ b}
A este intervalo, pertencem todos osnúmeros compreendidos entre a e b, nãoincluindo a e incluindo b.
Exemplo:
Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x ≤ 5}A este intervalo, pertencem todos os
números compreendidos entre 2 e 5, nãoincluindo o 2 e incluindo o 5.
• Intervalos indicados pelo símbolo ∞(infinito)
IR
Notação: ]a, + ∞ [ = {x ∈ IR| x > 5}
IR
Notação: ]−∞,a[ = {x ∈ IR| x < a}
IR
Notação: ]a, +∞[ = {x ∈ IR| x ≥ a}
IR
Notação: ]−∞ a[ = {x ∈ IR| x ≤ a}
IR
Notação: ]−∞, +∞[ = IR
• Os números reais a e b são denominadosextremos dos intervalos.
• O intervalo é sempre aberto na indicação doinfinito.
Exemplo:
Representar na reta real os intervalos:
a) ]−1,3] = {x ∈ IR|−1 < x ≤ 3}
b) ]2,6] = {x ∈ IR|−2 ≤ x ≤ 6}
c) ]−∞, 1[ = {x ∈ IR| x < 1}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Represente, na reta real, os intervalos
a) [6,8] = {x ∈ IR|6 ≤ x ≤ 8}
b) [−3,5] = {x ∈ IR|−3 < x ≤ 5}
c) ]−2,6[ = {x ∈ IR|−2 < x < 6}
2. Escreva a notação para os seguintes interva-los, representados na reta IR.
a)
b)
c)
Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
UNIDADE VIFunções
91
TEMA 21
FUNÇÃO OU APLICAÇÃO
1. Introdução
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamen-te, deparamo-nos com gráficos, tabelas e ilus-trações – instrumentos muito utilizados nosmeios de comunicação. Um texto com ilus-trações é muito mais interessante, chamativo,agradável e de fácil compreensão. Não é sónos jornais ou nas revistas que encontramosgráficos. Os gráficos estão presentes nosexames laboratoriais, nos rótulos de produtosalimentícios, nas informações de composiçãoquímica de cosméticos, nas bulas de remé-dios, enfim, em todos os lugares. Ao interpre-tarmos esses gráficos, verificamos a necessi-dade dos conceitos de plano cartesiano.
O Sistema ABO dos grupos sangüíneos éexplicado pela recombinação genética dos ale-los (a,b,o), e este é um bom exemplo de umaaplicação do conceito de produto cartesiano,já que existe uma correspondência biunívocadesse sistema com os fatores Rh+ Rh−. Umaaplicação prática do conceito de relação é adiscussão sobre a interação de neurônios(células nervosas do cérebro), ligada ao bomfuncionamento do corpo humano.
Ao relacionarmos espaço em função do tem-po, número do sapato em função do tamanhodos pés, intensidade da fotossíntese realizadapor uma planta em função da intensidade deluz a que ela é exposta ou pessoa em funçãoda impressão digital, percebemos quão impor-tantes são os conceitos de funções para com-preendermos as relações entre os fenômenosfísicos, biológicos, sociais.
Observamos, então, que as aplicações deplano cartesiano, produto cartesiano, relaçõese funções estão presentes no nosso cotidiano.
Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores
1.2 Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos, podemos formar paresordenados por meio de uma relação entre eles;o conjunto formado por estes pares ordenadosé denominado produto cartesiano definidopor: A x B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}.
Quando A ou B são vazios, temos que A x B vazio.
Exemplos:
1. Dados os conjuntos A={1,2,3} e B={4,5},dê os elementos dos seguintes produtoscartesianos:
a) AxA
Solução:
A x A = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3);(3,1); (3,2); (3,3)}
b) AxB
Solução:
A x B = {(1,4); (1,5); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5)}
c) BxA
Solução:B x A = {(4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3)}
2. Dados os conjuntos abaixo, represente gra-ficamente o produto cartesiano BxA:
A = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 4}
B = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 4}
1.3 Relação Binária
Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma relaçãoem AxB é qualquer subconjunto R de AxB.
Matemática Elementar II – Funções
92
UEA – Licenciatura em Matemática
A relação mostrada na figura acima é:R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
Uma relação R de A em B pode ser denotada porR: A → B
Exemplo:
Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano éAxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e, neste caso, te-mos algumas relações em AxB:
R1 ={(1,3),(1,4)}
R2 ={(1,3)}
R3 ={(2,3),(2,4)}
1.4 Domínio e Contradomínio de uma relação
As relações mais importantes são aquelas de-finidas sobre conjuntos de números reais enem sempre uma relação está definida sobretodo o conjunto dos números reais. Para evitarproblemas como esse, costuma-se definir umarelação R: A → B, em que A e B são subcon-juntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, deno-tado por D(R); B é o contradomínio da relação,denotado por CD(R), e Im(R) representa o con-junto imagem da relação, onde Im(R) ⊂ B.
D(R) = {x ∈ A: existe y em B tal que (x,y) ∈ R}Im(R)= {y ∈ B: existe x ∈ A tal que (x,y) ∈ R}
Representações nos diagramas de flechasde relações em AxB
R1= {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),(d,1), (d,2), (d,3)}
R2 ={(a,1), (b,2), (c,3), (d,1)}
R3 ={(a,1), (b,1), (b,2), (c,3), (d,3)}
1.5 Função
Dados dois conjuntos A e B, denomina-sefunção de A em B toda relação que a cada ele-mento de A associa um único elemento de B.
Exemplos:
a) O valor pago em função da quantidade decombustível que um carro consome.
b) A taxa de natalidade infantil em função dotempo.
Considere:
x → variável independente → DOMÍNIO
y → variável dependente → IMAGEM
93
Empregando a linguagem das funções:
O conjunto A é o domínio da função.
O conjunto B é o contradomínio da função.
O elemento y de B, associado ao elemento xde A, é denominado imagem de x.
O subconjunto de B formado pelos elementosque são imagens dos elementos de A é de-nominado conjunto imagem ou apenas ima-gem da função.
Exemplo:
1. Diga em quais itens temos funções:
A B
a) − Não, pois existem elementos de A quenão possuem correspondentes em B.
A B
b) − Sim, pois todos os elementos de A pos-suem um único representante em B.
A B
c) − Sim, pois todos os elementos de A pos-suem um único representante em B.
1. Dada as funções f: A B onde A = {1; 2; 3 } ef( x) = x − 1, dê o conjunto imagem de f:
Solução:
Para x = 1, teremos y = 1 – 1 = 0.
Para x = 2, teremos y = 2 – 1 = 1.
Para x = 3, teremos y = 3 – 1 = 2.
Portanto Im(f) = {0, 1, 2}.
2. (UFRS) Sejam V = {P, Q | P e Q são vérticesdistintos de um hexágono regular} e f umafunção que associa a cada par (P, Q) de V adistância de P a Q. Qual é o número de ele-mentos do conjunto imagem de f?
Solução:
Observe as possíveis distâncias entre os pon-tos P e Q nas figuras abaixo:
Portanto o número de elementos da imagemdessa função é igual a 3.
3. (UFPE) Dados os conjuntos A ={a, b, c, d} e B={1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa quedefine uma função de A em B .
a) {(a, 1), (b , 3), (c, 2)}
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)}
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5 )}
e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a )}
Solução:
Para que f: A em B seja uma função, devemoster para cada um elemento de A um único cor-respondente em B, logo a solução é {(a, 1),(b, 1), (c, 1), (d, 1)}, ou seja:
Matemática Elementar II – Funções
4. Sendo uma função f: IR → R definida porf( x ) = 2 − x, assinale a alternativa correta:
a) f(−2)=0
b) f(−1)=−3
c) f(0)=−2
d) f(1)=3
e) f(−3)=5
Solução:
f(−3) = 2 – (−3) = 2 + 3 = 5
5. A relação R = { (−2, −1), (−1, 0), (0, 1)} é umafunção. Determine o domínio e o conjunto ima-gem.
Solução:
Observe o diagrama:
Portanto, D(R) = {−2, −1, 0} e Im(R) = {−1, 0, 1}
1. Qual é a imagem do elemento 5 na função fdefinida por f(x)= 1+ 2x2?
a) −10
b) 51
c) 41
d) −31
e) 21
2. Obtenha o elemento do domínio de f(x)= 4x−3,cuja imagem é 13:
a) −4
b) −2
c) 7
d) 4
e) 5
3. (ACAFE−SC) Sejam a s funções definidas porf(x)= 2x+a e g(x)= −3x+2b. Determine a + b,de modo que se tenha g(1)=3 e f(0)=−1:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
1.6 Gráfico de uma função
Dizemos que uma relação binária R: A → B éfunção ou aplicação no gráfico, quando todareta vertical tocar em um e único ponto em R,∀ x ∈ A.
Exemplos:
a)
Representa o gráfico de uma função ou apli-cação.
b)
Não é uma função, já que existem retas quetocam o gráfico em mais de um ponto.
c)
Representa o gráfico de uma função ouaplicação x > −2.
94
UEA – Licenciatura em Matemática
95
TEMA 22
DOMÍNIO
O domínio consiste em determinar os valoresreais de x, para os quais as operações indi-cadas na lei de associação sejam possíveis emIR. Para isso, teremos que determinar a con-dição de existência (C.E.) da função dada.
Exemplos de determinação da condição deexistência nas diferentes situações:
1. f(x) = x → D = IR , determinar as raízes dafunção.
Exemplos:
O domínio da função −x2 + 5x –7 = 0 é D = IR
O domínio da função –x7 + –7x −101 = 0
é D = IR
2. f(x) = → C.E.: x diferente de zero
(denominador) D = IR – {0}
Exemplos:
O domínio da função f(x) = é
D = IR – {−1}, já que x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
O domínio da função f(x) = é
D = IR – {± 2}, já que x2 − 4 ≠ 0 → x ≠ ± 2
3. f(x) = → C.E.: x ≥ 0 → D = { x∈R / x ≥ 0}
4. f(x) = → C.E.: B(x) > 0
Exemplos:
O domínio da função f(x) = éD = {x∈IR/x ≤ 1/2}, já que 1 – 2x ≥ 0 → x ≤ 1/2
O domínio da função f(x) = é
D = {x∈IR /x ≥ −2}, já que 3x + 6 >0 → x > −2
1. (UFCE) O domínio da função real
é:
a) x > 7
b) x ≤ −2 e x ≠ 1c) 2 ≤ x < 7
d) x ≤ 2 ou x > 7
e) n.d.a.
2. (CESCEM−SP) Dada a função
seu domínio ou campo de definição é:
a) x qualquer b) x > 5/2
c) x ≥ −2 d) −2 ≤ x ≤ 2
e) −2 < x < 3
3. (OSEC−SP) O domínio de definição da funçãocom valores reais é um
dos conjuntos abaixo. Assinale-o:
a) x ≤ −1 ou x ≥ 3
b) −3 ≤ x ≤ 1
c) x ≤ −3 ou x ≥ 1d) 3/2 ≤ x ≤ 2e) n.d.a.
4. (FEI−SP) Sendo y = uma função devalores reais, o seu conjunto de definição D é:
a) D = ∅
b) D = {−1, 1}
c) D = [ −1, 1]
d) D = IR
e) n.d.a.
5. (CESCEA−SP) O conjunto de todos os valo-
res de x, para os quais é
um número real, é:
a) −1 ≤ x < 2 b) x ≠ 2 c) x < −1 ou x > 2 d) x ≤ −1 ou x > 2 e) –1/2 < x ≤ 5
Matemática Elementar II – Funções
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UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 23
FUNÇÃO DO 1.º GRAU
Situação-problema:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vende-dor é 500 reais. Além disso, ele recebe decomissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ga-nho mensal y desse vendedor, em funçãodo número x de produto vendido.
Solução:
y = salário fixo + comissão
y = 500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no fim do mês se ven-deu 4 produtos?
Solução:
y = 500 + 50x, onde x = 4
y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700
c) Quantos produtos ele vendeu se no fim domês recebeu 1000 reais?
Solução:
y = 500 + 50x, onde y = 1000
1000 = 500+50x ⇒ 50x = 1000 − 500 ⇒50x = 500 ⇒ x = 10
A relação assim definida por uma equaçãodo 1.º grau é denominada função do 1.ºgrau, sendo dada por:
1.6 Gráfico da função do 1.º grau:
O gráfico de uma função do 1.º grau de IR emIR é uma reta, onde:
• Se a > 0, então a reta será crescente;
• Se a < 0, então a reta será decrescente.
Exemplos:
1. Para a produção de cadeiras escolares,têm-se um custo fixo de R$ 50,00 e um cus-to de produção por unidade de cadeirasendo de R$ 25,00. Vamos construir o gráfi-co do custo total (y) em função do númerode cadeiras produzidas (x).
Solução:
a) A função custo total (y) é dada pory = f(x) = 25x + 50, onde x representa aquantidade de cadeiras que serão produzi-das.
b) Atribuindo valores reais para x ≥ 0, obtemosseus valores correspondentes para y.
Se x = 0, então y = 25.0 + 50 = 50.
Se x = 1, então y = 25.1 + 50 = 75.
Se x = 2, então y = 25.2 + 50 = 100.
c) O conjunto dos pares ordenados determi-nados é f={(0,50), (1,75), (2,100)}.
d) O gráfico é dado por:
2. Construa o gráfico da função determinadapor f(x)=−x+1.
Solução:
a) Atribuindo valores reais para x, obtemosseus valores correspondentes para y.
Se x = −2, então y = −(−2) + 1 = 3.
Se x = −1, então y = −(−1) + 1 = 2.
Se x = 0, então y = −0 + 1 = 1.
Se x = 1, então y = −1 + 1 = 0.
Se x = 2, então y = −2 + 1 = −1.
b) O conjunto dos pares ordenados determina-dos é f = {(−2, 3), (−1,2), (0,1), (1,0), (2,−1)}.
c) O gráfico é dado por:
y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ IR (a ≠ 0)
97
TEMA 24
1.7 RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU
Para determinarmos a raiz ou o zero de umafunção do 1.º grau, definida pela equação y = ax + b, como a é diferente de 0, bastaobtermos o ponto de intersecção da reta querepresenta a equação com o eixo x, que terácomo coordenada o par ordenado (x, 0).
1. Considere a função dada pela equaçãoy=x+1, determine a raiz desta função.
Solução:
Basta determinar o valor de x para termosy = 0:
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Dizemos que −1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y = x + 1,interceptará (cortará) o eixo x em −1, que éa raiz da função.
2. Determine a raiz da função y = −x + 1 eesboce o gráfico.
Solução:
Fazendo y=0, temos:
0 = −x+1 ⇒ x = 1
Gráfico:
Note que o gráfico da função y = −x + 1, inter-ceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz dafunção.
1.8 Sinal de uma função de 1.º grau
Observe os gráficos:
Note que:
Para x = −b/a, f(x)=0 (zero da função).
Para x > −b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a.
Para x < −b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1. Determine o intervalo das seguintes fun-ções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y = f(x) = x + 1
Solução:
x + 1 > 0 ⇒ x > −1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x > −1
x + 1 < 0 ⇒ x < −1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x < −1.
b) y= f(x) = −x + 1
Solução:
−x+1>0 ⇒ −x>−1 ⇒ x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1.
−x + 1 < 0 ⇒ −x < −1 ⇒ x > 1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1.
1. Dadas as funções e g(x) = 2x − 4,
calcule os valores de x para os quais g(x) < (x).
Solução:
2x − 4 < − x + 1/2 ⇒ 3x < 9/2 ⇒ x < 3/2
Matemática Elementar II – Funções
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UEA – Licenciatura em Matemática
2. Determine a lei da função do 1.o grau quepassa pelos pares de pontos (0, 1) e (1, 4).
Solução:
Para (0,1), temos que 1 = a.0 + b ⇒ b = 1.
Para (1,4), temos que 4 = a.1 + b ⇒ a+b = 4.
Portanto y = 3x + 1
3. Faça o gráfico da função .
Solução:
A função do 1.º grau toca o eixo das abscissas
em .
Logo:
4. Em uma determinada loja, o salário mensal fixode um vendedor é de R$ 240,00. Além disso,ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.
a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor
em função do número (u) de unidades vendidas.
b) Quantas unidades ele deve vender para receber
um salário de R$ 708,00 ?
c) Determine o domínio e a imagem desta função.
Solução:
O ganho mensal (S) desse vendedor em fun-ção do número (u) de unidades vendidas podeser representado por uma função do 1.º grau y = ax + b, tal que y = S, a = 12 e b = 240.
Então, S = 12u + 240.
Para S = 708, teremos 708 = 12u + 240 ⇒468 = 12u ⇒ u = 39 unidades.
O gráfico de S toca o eixo u emu = −b/a = −240/12 = −20 (absurdo, já queu ≥ 0), então:
D = {u ∈ IN| u 0 ≥ 0} e Im = {S ∈ IN| S ≥ 240}.
1. (UFU−MG) No gráfico a seguir, estão represen-tadas as funções (I) e (II) definidas por y = 3−xe y = kx + t, respectivamente. Determine osvalores de k e t são, respectivamente.
2. Assinale a alternativa que corresponde a fun-ção de acordo com o gráfico
a) f(x) = −x+2
b) f(x) = −x/2 + 1
c) f(x) = −x/2 + 2
d) f(x) = 4x
e) f(x) = −x
3. Obtenha a função do 1.º grau na variável x quepassa pelos pontos (0, 1) e (−3, 0).
4. O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax + b. Assinale a alternativa correta:
a) a = 0 ; b = 0
b) a > 0 ; b > 0
c) a < 0 ; b > 0
d) a > 0 ; b = 0
e) a > 0 ; b < 0
5. (UFMA) A representação da função y = −3 éuma reta :
a) paralela aos eixo das ordenadas;
b) perpendicular ao eixo das ordenadas;
c) perpendicular ao eixo das abscissas;
d) que intercepta os dois eixos;
e) n.d.a.
6. (PUC−SP) O gráfico abaixo é o da retay = ax + b, quando :
a) a < 2 b) a < 0 c) a = 0 d) a > 0 e) a = 2
7. (ITAJUBÁ−MG) Qual a expressão que repre-senta o gráfico abaixo?
8. (FGV−SP) O gráfico da função f(x) = mx + npassa pelos pontos (4, 2) e (−1, 6). Determineo valor de m + n.
9. (PUC−MG) Uma função do 1.o grau é tal quef(−1) = 5 e f(3) = −3. Determine o valor def(0).
10. (FUVEST−SP) A função que representa o valora ser pago após um desconto de 3% sobre ovalor x de uma mercadoria é :
a) f(x) = x − 3
b) f(x) = 0,97x 1
c) f(x) = 1,3x
d) f(x) = −3x
e) f(x) = 1,03x
11. (UFRN) Seja a função linear y = ax − 4. Sey = 10 para x = −2, então, determine o valorde y para x = −1.
12. (MACK−SP) A função f é definida porf(x) = ax + b. Sabe-se que f(−1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f( 3 ).
99
Matemática Elementar II – Funções
100
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 25
FUNÇÃO DO 2.º GRAU
1.9 Introdução
A função do 2.º grau está sempre presenteem nosso cotidiano. Pode-se observá-la naFísica quando se vê um fruto caindo de umaárvore; um carro passando pela rua, etc.
Dentro do movimento uniformemente variado,em trajetória vertical, temos as seguintes car-acterísticas:
1. a aceleração é igual a da gravidade (g);
2. quando há a queda de um corpo, sua velo-cidade aumenta (movimento acelerado);
3. na subida de um corpo a velocidade delediminui (movimento retardado) gradual-mente até anular-se no ponto mais alto, ouseja, nesse ponto a velocidade passa a serigual a zero. Dentro deste movimento, des-tacamos as seguintes equações básicas:
• equação do espaço ( );
• equação de Torricelli (v2 = vo2 + 2gS), que
representam.
Antigamente, havia várias hipóteses sobre oMUV, uma delas é de Galileu Galilei (1564−1642). Ele dizia “que não interessava os pe-sos dos corpos na velocidade de sua queda”(um de seus experimentos comprovou queos corpos leves só eram retardados pela re-sistência do ar), mas a maioria das pessoasacreditava na hipótese de Aristó-teles (384−322 a.C.), que dizia “que a velocidade de umcorpo era proporcional a seu peso”.
1.10 Definição
Imagine um retângulo em que a medida daba-se seja duas unidades a mais do que amedida da altura.
Para calcular a área desse retângulo, preci-samos multiplicar a medida da altura pelamedida da base. Se chamarmos a áreadesse retângulo de y, e a medida da altura dex, vamos ter:
y = x.(x + 2)
y = x2 + 2x
Essa expressão mostra que a área (y) dessetipo de retângulo está relacionada à medida(x) da altura por uma equação que é tambémde uma função de 2.o grau. Se o valor x da al-tura for, por exemplo, 3cm, o retângulo terá aseguinte área:
y = 32 + 2.3
y = 9 + 6
y = 15cm2
Chama-se função polinomial do 2.o grau, oufunção quadrática, a toda função f : IR → IRdefinida por
f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c ∈ IR e a ≠ 0.
16.3 Gráfico
Imagine um círculo com o raio de determina-da medida, por exemplo 2cm. Qual é a áreadesse círculo?
Se observarmos atentamente a equação quenos permite calcular a área do círculo, perce-beremos que o raio (r) aparece ao quadrado.Isso é característica de uma equação de 2.ºgrau. Entre a medida do raio de um círculo ea sua área existe uma correspondência que éuma função do 2.º grau.
Exemplo
Construir o gráfico da função f:IR → IR defini-da por f(x) = –x2 – 2x + 3.
101
Resolução:
Construímos uma tabela atribuindo alguns
valores a x e calculando as imagens corre-
spondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema
de coordenadas cartesianas:
Observe que, neste caso, a < 0 e > 0.
Exemplo 3
Construir o gráfico da função f : IR → IR
definida por y = f(x) = x2 –4x +4.
Resolução:
Construímos uma tabela atribuindo alguns
valores a x e calculando as imagens corre-
spondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistema
de coordenadas cartesianas.
Observe que, nesse caso, a > 0 e Δ = 0
Exemplo 4
Construir o gráfico da função f : R → R defini-da por f(x) = x2 + 2x –3.
Resolução:
Construímos uma tabela atribuindo algunsvalores a x e calculando as imagens corre-spondentes.
Localizamos os pontos obtidos num sistemade coordenadas cartesianas.
Observe que, neste caso, a < 0 e < 0.
Demonstra-se que:
a) O gráfico de f é sempre uma parábola comeixo de simetria paralelo ao eixo Oy.
b) Se a > 0, então a parábola tem a “concavi-dade voltada para cima”.
x y = –x2 + 2x – 3 (x; y)
–1 y = –(1)2 + 2 . (–1) –3 = – 6 (–1; –6)
0 y = – 02 + 2 . 0 – 3 = – 3 (0; –3)
1 y = – 12 + 2 . 1 – 3 = – 2 (1; –2)
2 y = – 22 + 2 . 2 – 3 = – 3 (2; – 3)
3 y = – 32 + 2 . 3 – 3 = – 6 (3; –6)
x y = x2 – 4x + 4 = (x–2)2 (x; y)
0 y = (0 – 2)2 = 4 (0; 4)
1 y = (1 – 2)2 = 1 (1; 1)
2 y = (2 – 2)2 = 0 (2; 0)
3 y = (3 – 2)2 = 1 (3; 1)
4 y = (4 – 2)2 = 4 (4; 4)
X y = x2 – 2x – 3 (x; y)
–4 y = (–4)2 – 2 . (–4) + 3 = – 5 (–4; –5)
–3 y = (–3)2 – 2 . (–3) + 3 = 0 (–3; 0)
–2 y = – (–2)2 – 2 . (–2) + 3 = 3 (–2; 3)
–1 y = (–1)2 – 2 . (–1) + 3 =4 (–1; 4)
0 y = 02 – 2 . 0 + 3 = 3 (0; 3)
1 y = 12 – 2 . 1 + 3 = 0 (1; 0)
2 y = 22 – 2 . 2 + 3 = – 5 (2; –5)
Matemática Elementar II – Funções
102
UEA – Licenciatura em Matemática
c) Se a < 0, então a parábola tem a “concavi-dade voltada para baixo”.
d) A parábola sempre intercepta o eixo Oy noponto (0; c).
e) Se Δ = b2 – 4ac < 0, então f não admiteraízes reais. A parábola não intercepta oeixo Ox.
f) Se Δ = b2 – 4ac = 0, então f admite umaúnica raiz. A parábola tangencia o eixo Ox.
g) Se Δ = b2 – 4ac > 0, então f admite duasraízes reais distintas. A parábola intercep-ta o eixo Ox em dois pontos.
Conclusão
A parábola que representa uma função poli-nomial do 2.º grau pode ser seis tipos possí-veis, conforme os valores de a e de Δ. Asaber:
1.11 Fatoração
Se {x1, x2} é o conjunto−verdade em R daequação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, entãoa forma fatorada de f(x) = ax2 + bx + c é:
Demonstração
Sejam x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c,com a ≠ 0.
Lembrando que x1 + x2 = e x1 . x2 = ,
temos:
f(x) = ax2 + bx + c =
=
=
=
1.12 Vértice da parábola
O vértice da parábola (gráfico de f) é o ponto,
Se a > 0, então V é ponto de mínimo de f.
Se a < 0, então V é ponto de máximo de f.
1.13 Conjunto-imagem
1.14 Eixo de simetria
É a reta vertical de equação .
f(x) = a . (x – x1) . (x – x2)
103
1.15 Sinal das Raízes
Seja V = {x1; x2} o conjunto-verdade daequação do 2.o grau ax2 + bx + c = 0, com{a; b; c} ⊂ R.
Lembrando que Δ=b2 − 4ac, S=x1+x2 =
e P = x1 + x2 = , temos:
P = x1 . x2 = temos:
a) x1 > 0 e x2 > 0 se, e somente se:
Δ ≥ 0P>0
S>0
b)x1 < 0 e x2 < 0 se, e somente se:
Δ ≥ 0
P>0
S<0
c) x1 e x2 de sinais contrários se, e somente se:
P<0
Observação: No item c, a condição Δ > 0 é
desnecessária, pois P<0⇒ <0⇔–4ac>0
⇒ b2 – 4ac > 0 ⇒ >0.
1. Demonstrar que o vértice da parábola da equa-ção y = f(x) = ax2 + bx + c, é o ponto
, com Δ = b2 – 4ac e a ≠ 0.
Resolução:
a) O ponto V(xv; yv) pertence a eixo de simetriada parábola, reta vertical (e).
b) Se r > 0 é um número real, entãoxv + r e xv – r são simétricos em relação a xv
e, conseqüentemente, f(xv + r) = f(xv – r).
c) f(xv + r) = f(xv – r) ⇒ a(xv – r)2 + b(xv + r)+ c= a(xv – r)2 + b(xv – r) + c ⇒a(xv
2 + 2rxv + r2) + bxv + br =a(xv
2 – 2rxv + r2) + b(xv – br) ⇒axv
2 + 2arxv + ar2 + br =axv
2 – 2arxv + ar2 – br ⇒ 4arxv = – 2br ⇒xv =
d)
=
2. Determinar o vértice V e o eixo de simetria (e)da parábola que representa o trinômioy = x2 – 2x – 3.
Resolução:
Graficamente, temos:
Matemática Elementar II – Funções
104
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Observe que {y ∈ R|y ≥ −4} é o conjunto-imagem da função f: R→R, tal quef(X) = x2 – 2x – 3.
Solução:
O vértice é o ponto de coordenadas (1, –4), eo eixo de simetria é a reta da equação x = 1.
4. Determinar os valores de k ∈ R, tais que:
f(x) = kx2 + 2(k + 1) x – (k + 1) seja estrita-mente negativo para todo valor real de x.
Solução:
1.º caso:
Se k = 0, temos f(x) = 2x – 1, que não é negati-vo para qualquer x.
2.º caso:
Se k ≠ 0, o trinômio tem que ter um gráfico dotipo:
Então, devemos impor
(I) a < 0 ⇒ k < 0
(II) [2 (k + 1)2 – 4k [–(k + 1)] < 0 ⇒ 4 (k + 1)2 +4k (k + 1) < 0 ⇒ 4 (k + 1) (k + 1 + k) < 0 ⇒4(k + 1) . (2k + 1) < 0 ⇔ –1< k < pois
o gráfico é:
De (I) ∩ (II), temos –1< k
Resposta: –1< k <
5. Para que valores de k a equação x2 + 2kx + (k2 – k – 2) = 0 admite duas raízesreais e de sinais contrários?
Solução:
Raízes de sinais contrários ⇔
TEMA 26
17. INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU
1.16 Definição
Chama-se inequação do 2.o grau a toda sen-tença aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ouax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + b + c < 0 ouax2 + bx + c ≤ 0, com a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ R.
Como resolver:
a) Resolver, em IR, uma inequação do 2.ºgrau “do tipo” ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) édeterminar o conjunto de todos os valoresda variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c se encontra acima doeixo x.
b) Resolver, em IR, um inequação do 2.º grau“do tipo” ax2 + bx + c < 0 (a ≠ 0) é deter-minar o conjunto de todos os valores davariável x para os quais o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c se encontra abaixo doeixo x.
c) O conjunto solução da inequação x2 – 6x + 5 < 0 em R, por exemplo, é{x ∈ IR| 1 < x < 5}, pois o esboço dográfico da função f(x) = x2 – 6x + 5 é:
1. João comprou um terreno em Itacoatiara ondepretende construir uma casa de forma triangu-lar, segundo a figura e as medidas abaixo:
Qual deve ser o menor valor de x para que a
105
área dessa casa seja maior que 24m2?
Solução:
• O terreno é um triângulo de área igual a
;
• A>24m2 ⇒ >24⇒x2− 2x −48 > 0,
que representa uma inequação do 2.º grau.
• Observe, graficamente, como fica a situação:
• Observe que –6 < x < 8. Porém x > 0. Então,o menor valor de x para que a área seja maiorque 24m2 é igual a 9m.
2. Resolver, em R, a inequação x2 – 5x + 6 > 0.
Solução:
O conjunto-solução da inequação x2 – 5x + 6 > 0é {x ∈ IR/ x < 2 ou x > 3}, pois o esboço dográfico de f(x) = x2 – 5x + 6 é:
3. Resolver, em R, a inequação – x2 + 6x – 9 < 0.
Solução:
O conjunto-solução da inequação–x2 + 6x – 9 < 0 é {x ∈ IR/ x ≠ 3} = R – {3}, poiso esboço do gráfico de f(x) = – x2 + 6x – 9 é:
4. Resolver, em R, a inequação x2 – 4x + 5 ≥ 0.
Solução:
O conjunto-solução da inequação
x2 – 4x + 5 ≥ 0 é R, pois o esboço do gráfico
de f(x) = x2 – 4x + 5 é:
5. Resolver, em IR, o sistema
Solução:
a) O conjunto-verdade da inequação
x2 – 4x + 3 > 0 é V1 = {x ∈ IR/ x < 1 ou x
> 3}, pois o gráfico de f(x) = x2 – 4x + 3 é
do tipo:
b) O conjunto-verdade da inequação
– x2 + x + 2 ≤ 0 é V2 = {x ∈ R| x ≤ –1 ou
x ≥ 2}, pois o gráfico de g(x) = x2 + x + 2
é do tipo:
c) O conjunto-verdade do sistema é V = V1 ∩V2:
Assim sendo: V = {x ∈ R / x ≤ –1 ou x > 3}.
Matemática Elementar II – Funções
106
UEA – Licenciatura em Matemática
1. (UNIJUÍ) O esboço do gráfico que melhor re-presenta a função y = x2 + 4 é:
a) b)
c) d)
e)
2. (UNIFOR) O gráfico da função f, de IR em IR,definida por f(x) = x2 + 3x – 10, intercepta oeixo das abcissas nos pontos A e B. A distân-cia AB é igual a
a) 3 b) 5
c) 7 d) 8
e) 9
3. (CEFET–BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + ctem uma só intersecção com o eixo Ox e cortao eixo Oy em (0,1). Então, os valores de a e bobedecem à relação:
a) b2 = 4a b) –b2 = 4a
c) b = 2a d) a2 = – 4a
e) a2 = 4
4. (ULBRA) Assinale a equação que representauma parábola voltada para baixo, tangente aoeixo das abscissas:
a) y = x2 b) y = x2 – 4x + 4
c) y = –x2 4x – 4 d) y = –x2 + 5x – 6
e) y = x – 3
5. (UF. UBERLÂNDIA) Se y = ax2 + bx + c é aequação da parábola representada na figura,pode-se afirmar que:
a) ab < 0 b) b < 0c) bc < 0 d) b2 – 4ac ≤ 0e) ac > 0
De 6 a 17, resolva, em IR, as inequações:
6. x2 – 5x + 4 > 0
7. x2 – 5x + 4 ≤ 0
8. A solução do sistema de inequações:
a) x = 1 b) 0 < x < 1c) x > 1 d) 0 ≤ x ≤ 1e) x > 7
9. (FGV) Se A = {x ∈ R | 3x – 2x2 ≤ 0},B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} e C = {x ∈ R |x2 – x – 2 ≤ 0},
então, (A ∪ B) ∩ C é:
a) {x ∈ R | – 1 ≤ x ≤ 3}b) {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2}
3
c) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ ––}
2
3d) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 0 ou –– ≤ x ≤ 2}
2
e) {x ∈ R | – 1≤ x ≤ 2}
10. x2 – 4x + 4 ≤ 0
11. – x2 + 3x – 4 > 0
12. – x2 + 3x – 4 < 0
13. – x2 + 3x – 4 ≤ 0
14. Considere A = {x ∈ R : x2 – 7x +10 ≥ 0} eB = {x ∈ R : x2 – 4x + 3 < 0}. Podemos afir-mar que A ∩ B é o conjunto:
a) 1 < x ≤ 2 b) 2 < x ≤ 3c) 2 ≤ x ≤ 5 d) 1 < x ≤ 5 e) 3 < x ≤ 6
107
TEMA 27
1.17 INEQUAÇÃO DO “TIPO” QUOCIENTE E DO “TIPO” PRODUTO
Observando, por exemplo, que
,pode-se
demostrar que:
Assim sendo, toda inequação do “tipo” quo-ciente, pode ser transformada numa inequa-ção equivalente do “tipo” produto, se isso forconveniente.
1. Fatorar, em IR, o trinômio y = 2x2 – 7x + 3.
Solução:
Δ = b2 – 4ac = )–7)2 – 4 . 2 = 49 – 24 = 25.
Portanto, Δ > 0. Aplicamos, então, a formafatorada do trinômio do 2.º grauy = a(x–x1) (x–x2) em que a é o coeficiente dex2 e x1 e x2 são raízes. Determinamos as raízesdo trinômio, resolvendo 2x2 – 7x + 3 = 0, oque nos fornece:
Então, temos:
1a = 2, x1 = 3 e x2 = ––– . Logo:
2
1y = 2x2 – 7x + 3 = 2 (x – 3) (x – –––)
2= (x – 3) (2x – 1)
2. Fatorar, em IR, o trinômio y = x2 – 6x + 9.
Solução:
Procedendo da mesma forma que no exercícioanterior, temos:
Δ = (–6)2 – 4 . 1 . 9 = 36 – 36 = 0
Como Δ = 0, devemos aplicar: y = a (x – x1)2.
Raiz: x2 – 6x + 9 = 0
E como a = 1, temos:
y = x2 – 6x + 9 = 1 . (x – 3)2 = (x – 3)2
3. Resolver a inequação
Solução:
Resolver é o mesmo que resolver
(x – 2) (x – 3) < 0
Então, pelo gráfico, temos:
e, portanto, a resposta é: 2 < x < 3.
4. Resolver a inequação .
Solução:
Resolver é o mesmo que resolver
(x + 1) (x –1) ≤ 0 e x – 1 ≠ 0.
Então, pelo gráfico, temos:
e, portanto, a resposta é: – 1 ≤ x < 1.
5. Resolver a inequação (x – 1) . (x2 – 3x + 2) ≥ 0.
Matemática Elementar II – Funções
108
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
Façamos y1 = x – 1 e y2 = x2 – 3x + 2 eestudemos, separadamente, os sinais de y1 ede y2 pelos seus respectivos gráficos:
a) Na primeira faixa horizontal do quadro,“passamos a limpo” a variação de sinal dey1, obtida pelo gráfico, destacando que “àesquerda de 1” y1 é negativo, “à direita de1”, y1 é positivo e, no ponto 1, y1 é igual azero, isto é:
b) Na segunda faixa horizontal do quadro, fize-mos o mesmo com y2.
O sinal do produto y1 . y2 é obtido por meiodo “quadro de sinais”.
c) Na terceira faixa horizontal do QUADRO,deduzimos pela “regra de sinais do produ-to” o sinal de y1. y2 e assinalamos, no eixox, os valores de x que acarretam y1 . y2 > 0ou y1 . y2 = 0.
Portanto a resposta é x = 1 ou x ≥ 2.
6. Determinar o conjunto-verdade da inequação
.
Solução:
Façamos y1 = x –1 e y2 = x2 – 5x + 6 e, já que
a regra de sinais do quociente é a mesma
que a do produto v1 . v2, vamos proceder comono exercício anterior. Então, temos:
Resposta: v = {x∈R|x ≤ 1 ou 2 < x < 3}.
De 1 a 5, resolver, em R, as inequações:
1. (x – 3) (x – 5) > 0
2.
3.
4. (x2 – 5x + 4) (x – 2) > 0
5.
6. O conjunto solução da desigualdade
é:
109
a)
b)
c)
d)
e)
7. O conjunto-solução da inequação
é:
a) –3 < x < 1.
b) x < – 3 ou 0 < x < 1
c) –3 < x < – ou 1 < x <
d) – < x < 1 ou x >
e) –1 < x < 1 ou x > 3
8. (PUC−RIO) No universo R, o conjunto−
solução da inequação :
a) {x∈R|x > 0}
b) {x∈R|x > 3}
c) {x∈R|x < 0 ou x > 3}
d) {x∈R|0 < x < 3}
e) {x∈R| x > 0 e x ≠ 3}
9. (PUC–RIO) A inequação < 2 tem
como solução o conjunto de números reais:
a) ]–∞; –1[∪]2;3[
b) ]2, 3[
c) ]–∞, 1] ∪ [2, 3]
d) [2, 3]
e) ]1; 4]
10. (FATEC) A solução real da inequação produto(x2 – 4) . (x2 – 4x) ≥ 0 é:
a) S = {x∈R|–2 ≤ x ≤ 0 ou ≤ x ≤ 4b) S = {x∈R|0 ≤ x ≤ 4c) S = {x∈R|x ≤ –2 ou x ≥ 4}
d) S = {x∈R|x ≤ –2 ou ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4e) S = ∅
11. (FURG) O domínio da função
y = f(x) = é:
a) 1 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4b) 1 < x ≤ 2 ou x > 4c) 1 < x ≤ 2 ou x ≥ 4d) 1 ≤ 3 ou x ≥ 4e) 1 < x < 2 ou x > 4
12. (PUC) Considere a função do 1.o grau f, de R
em R, definida por , onde
m ∈ R.
Para que valores de m essa função é decres-cente?
13. (UEL) O conjunto-solução da inequação
, no universo IR, é
a) [–1, 3]
b) [–1, + ∞[
c) ]–1, 0 [∪]0,3]
d) [–1, 3] ∪[2, +∞[
e) ]–1, 1, [∪[2, +∞[
14. (UNIRIO) Dadas as funções f(x) = x2 – 2x + 1,g(x) = 5 –x e h(x) = x2 – 4x + 3, definimos a
função . Analisando os valores
de x, para os quais (x) ϕ ≥ 0, temos:
a) x < 1 ou 3 < x < 5
b) x < 1 ou 3 ≤ x ≤ 5c) x ≤ 1 ou 3 ≤ x ≤ 5d) x > 5 ou 1< x < 3
e) x > 5 ou 1< x < 3
15. (UEL) A função real f, de variável real, dada porf(x) = –x2 + 12x + 20, tem um valor
a) mínimo, igual a –16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = – 12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
Matemática Elementar II – Funções
16. (PUC–MG) O lucro de um loja, pela vendadiária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 –x) (x – 4). O lucro máximo, por dia, é obtidocom a venda de:
a) 7 peças b) 10 peças
c) 14 peças d) 50 peças
e) 100 peças
17. (U. E. FEIRA DE SANTANA) Considerando-se afunção real f(x) = –2x2 + 4x + 12, o valor máx-imo desta função é
a) 1 b) 3 c) 4
d) 12 e) 14
18. (ESPM) Em um terreno de formato triangulardeseja-se construir uma casa com formatoretangular. Determine x e y de modo que a áreaconstruída seja máxima.
a) x = 2,5 e y = 7,5 b) x = 3 e y = 9
c) x = 4,5 e y = 10,5 d) x = 5 e y = 15
e) x = 3 e y = 1
19. (FAMECA) No quadrado ABCD, com 6m delado, o valor de z para que a área sombreadaseja máxima, será, em centímetros:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
20. (UF. OURO PRETO) Em relação ao gráfico dafunção f(x) = – x2 + 4x – 3, pode−se afirmar:
a) é uma parábola de concavidade voltada pa-ra cima;
b) seu vértice é o ponto V(2, 1);
c) intercepta o eixo das abscissas em P(–3, 0)e Q(3, 0);
d) o seu eixo de simetria é o eixo das orde-nadas;
e) intercepta o eixo das ordenadas em R(0, 3).
110
UEA – Licenciatura em Matemática
Respostas de Exercícios
113
UNIDADE I – Conjuntos Numéricos
TEMA 01
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
1. a) 0; 0,7; 7,7; -7b) ; π; 0,70007...
2. a) 1,25 b) 1,666... c) 5,8333... d) 0,4
3. a) 9/20 b) 5/11 c) 54/25 d) 49/9
4. 10
5. a) comutativa (adição) b) comutativa (multiplicação)c) associativa (adição) d) associativa (multiplicação)
6.
7. d
8. Q ∩ I = ∅↓R
9. a) 2b + 6 b) 17c − 34 c) −4x − 16 d) −2a.+ 2b
10. Cada ponto da reta corresponde a um, esomente um, número real.
11. − e
12. Sim, × = 2 e
13. Quando a parte infinita é periódica.
14. 0,555... = 5/9 15. 251,20 cm
16. a) 321/50 b) 7,53 ; 1,35
TEMA 02
POLINÔMIOS
1. a) a2 − 2b2 + 3a
b)
2. a) −14m4n4
b)
3. a) 5a3b
b)
4. a) −125a6b3c9 b) 1 c)
5. a) 9m3n2p b) c)
6. a) 72,5 Kg ; 57,5 Kg b) 1,76 m ; 1,60 m
7. a) 0,45 x b) 0,60y – 2 c) 0,45 x + 0,6y – 2
8. a) 13/5 b) – 13
9. a) 3 b) 3/2
10. 1000 + 40t
11. a) 5x − 1 b) 5x – 2 c) 7x – 1
12. a) x3 + 7x2 + 11x + 5
b) 2x4 + 4x3 − 2x2 − 8x − 4
c) 2x3 + 10x2 − 4x − 20
13. a) b) 5x9 − 4x4 + 2x
14. a) 4x – 1 R = 3
b) 4x – 5 R = 14
15. x2 + 3x − 7
16. x + 3
UNIDADE II – Produtos Notáveis
TEMA 03
PRODUTOS NOTÁVEIS
1. a) 4x2 + 40x + 100
b)
c) 25x2 − 10x + 1
Q I
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
114
UEA – Licenciatura em Matemática
d)
e) x4 − 1
f)
2. a) 27x3 + 54x2 + 36x + 8
b) x3 − 6x2 + 12x − 8
c)
d) 1 − 6x + 12x2 − 8x3
3. a) x4 + y2 + 1 + 2x2y + 2x2 + 2y
b) 4x2 + y2 + 2y + 1 − 4x - 4xy
4. a) x3 − 27 b) 8a3 + b3
5. a) x2 + 2x − 15 b) x2 + (a − 2b)x − 2ab
6. 15
7. 8
8. 2ab
9. 3x2 + 2x – 4
10. 3a2 + 3a2b2
11. 8
12. 25
13. a) 4x2 + 4xy + y2
b) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
14. Não, 16x2 − 8xy3 + y6
15. b
16. x2 + 6x + 9
TEMA 05
FATORAÇÃO
1. a) x.(x2 − x − y)
b) 2x.(3xy + 4)
c) (x + y).(2 + a)
d) (x + y).(a − 1)
e) (2x − 3)2
f) (6a + 5b)2
g) (m + 10).(m − 10)
h) (x + 8).(x + 2)
i) (x + 5).(x + 2)
j) (2a − 5b).(4a2+ 10ab + 25b2)
2. a) 3.(x + 5).(x − 5)b) (x2+ 4).(x + 2).(x − 2)c) (a + x).(a − x + 1)d) 2.(x − 3)2
e) x.(x + 7)2
3. 900
4. b
5. 210
6.
7. 269
8. y + 7a
9. c
10. d
11. b
12. a) (x − 3).(x + 2)b) (x + y).(x + 2y + 1) c) (2x + 3y).(2x − 3y)
13. 108.641
14. 60
15. 2006
TEMA 07
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1. a)
b)
2. 6
3. 5
4. a) 3x – 2 b) 0
5. 3
115
6. a) −8a2b
b)
c)
7. a)
b)
8. a)
b) 3.(x − 1)
9. a)
b)
10. a)
b)
c)
11. a) 1ano
b) Marcela
12. Azul: 1002001 Vermelho: 100.000.000
13. e
14. b
15. 1/4
UNIDADE III – Potências e Radicais
TEMA 09
POTENCIAÇÃO
1. a) 64 b) 2401 c) 1/64 d) 1/729
2. 14/15
3. a) V b) F c) F d) F
4. a) −1 b)−a12 c) 2/27
5. d
6. a
7. 2.1027t
8. a) 1,99 × 1023g
9. e
10. c
11. −1
12. 221
13. 216
14. R$ 5.120,00
15. 105
TEMA 11
RADICAIS
1. a)b) 36cm2
c)
2. a) F b) F c) V d) V
3. –14
4. a)b)c) 30d) 2,5e)f) 3
5. a)
b)
c)
d)
6. c
7. d
8. b
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
116
UEA – Licenciatura em Matemática
9. b
10. a
11. c
12. b
13. a)
b) 4c) xd)
14. a) 27 cubosb) 12.096
15.
TEMA 13
EQUAÇÕES LITERAIS
1. b) Fc) Ad) Fe) Ff) Ag) Ah) A
2. b e c
3. a) 4b) –10 c) 10d) – 25
e)
4.
5.
6. 4 anos
7. a) 8
b)
c)
d) 3e) 0
f)
g) 5h) – 6
8. x = –15, y = 2 e z = 5
9. c
10. b
11. d
12. a)
b)
c)
13.
14. t = b − c, com b ≠ c
15. S = {a + b}
16. 5a
17. S = {2b}
18. S = {a + 2}
19. 11
20. – 1
21. R$ 48,00
22. 20 anos
23.) 30
24. 500.000 unidades
25. 89,5
26. 80 kg
27. a) 0,25 litrosb) 0,75 litros
28. 74 anos
29. 114 km
30. 8 anos
117
31. a) R$ 72.000,00b) R$ 18.000,00
32. a) 15 m
b) 225 m2 e 375 m2
33. a) 88 180 083b) 57 624 291c) 160 317 177
34. 84 anos
TEMA 14
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS
1. a) 12b) –2c) – 9d) Não tem solução.e) Não tem solução.f) – 4
2. a) Não tem solução.
b) – 1
c)
d) 2
e)
f) 18
3. a)
b)
c) 32 na 7.ª série A e 300alunos na 7.ª série B.
4. 3 calças e 5 blusas.
5.
6. 3 horas
7. – 25
8. 3
9. 8 meses
UNIDADE IV – Inequações e Sistemas
TEMA 15
INEQUAÇÃO DO 1.º GRAU
1. a)
b) S = {x ∈ IR| x ≤ −2} c) S = {x ∈ IR| x < 2}d) S = {x ∈ IR| x ≤ 5}
e)
f) S = {x ∈ IR| x ≤ 1}
g)
h)
i)
2. –3
3. 0
4. 1 senador e 7 deputados, ou 2 senadores e 6deputados, ou 3 senadores e 5 deputados.
5. 81 melões
6. 21 anos
7. b
8. c
9. e
TEMA 16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU
01. Demonstração
02. Sim
03. (8, 3)
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
04. b
05.a) S = {(4,1)}
b) c) S = {(14,6)}d) S = {(−5,7)}e) S = {(−4,−4)}
06. a) 7 vitóriasb) 16 empates
07. 5
08. a) S = {(3,−5)}b) S = {(23,14)}c) S = {(4,32)}d) S = {(1,−2)}
e)
09. 12 reais
10. 10,5 km/h e 7,5 km/h
11. Marta, 15 anos e Renata, 10.
12. a) S = {(7,3)}b) S = {(15,−14)}
c)
d) S = {(2,3)}e) S = {(20,20)}
f)
13. 24 porcos e 96 galinhas
14. 32 e 12 anos
15. a) 140 cm3
b) Não. Porque o volume de 2kg de ouro éigual 100cm3.
c) 1,2kg de ouro e 0,8kg de prata.
16. a) 200b) 500d) 2
17. 83
18. b) S={(2,2)}c) S={(6,3)} d) S={(1,−4)}
19. a) 1
b)
c) 5
20.
22.
a)
b)
c)
118
UEA – Licenciatura em Matemática
119
UNIDADE V – EQUAÇÃO DO 2.º GRAU
TEMA 16
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU
1.
2. a) {–5, 5} b) c) {0, 7} (d) ∅
3. 7 e m = 2
4. a) {–2} b) {1, 9}
c)
d) {–1, 7} e) {–9, –3} f) {1, 8}
5. 49cm2
6. a) {–5, –3} b) {–3, 2} c) {1, 5} d) {–1, 8} e) {0, 3} f) {–1, 4}
7. –6
8. Uma solução
9. 8 e 9 ou – 9 e –8
10. 3
11. 50m
12. a) {–7, –6} b) {–4, 6} c) {–4, 5} d) {4} e) {–6, –1} f) {1 –
13, a) 5cm b) 6cm c) 5cm
14, 9m de comprimento e 5m de largura ou 5mde comprimento e 9m de largura.
15. a) {(2, 0); (–1, –3)} b) {(5, 5); (–5, – 5)} c) {(0, 5; 2); (2; 0, 5)} d) {(2, 1) ; (–6; 9)}
TEMA 20
INTERVALOS REAIS
1. a)
b)
c)
2. a) [−4,7] = {x ∈ R| −4 ≤ x ≤ 7}b) ]2,5[ = {x ∈ R| 2 < x < 5}c) [1,3[ = {x ∈ R| 1 ≤ x < 3}
UNIDADE VI – FUNÇÕES
TEMA 21
FUNÇÃO OU APLICAÇÃO
1. b
2. d
3. b
TEMA 22
DOMÍNIO
1. b
2. b
3. d
4. a
5. e
TEMA 23
FUNÇÃO DO 1.º GRAU
1. 1/2 e 0
2. c
Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios
3. y= x/3 +1
4. e
5. b
6. b
7. y = 1,5 x + 3
8. 22/5
9. 31
10. b
11. 31
12. 1
TEMA 26
INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU
1. a
2. c
3. a
4. c
5. c
6. {x IR/ x< 1 ou x > 4}
7. {x IR/ 1 ≤ x ≤ 4}
8. a
9. b
10. {2}
11. ∅
12. IR
13. IR
14. a
TEMA 27
INEQUAÇÃO PRODUTO E QUOCIENTE
1. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}
2. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}
3. V ={x ∈ R| x ≤ 3 ou x > 5}
4. V ={x ∈ R|1< x < 2 ou x > 4}
5. V ={x ∈ R|−2 ≤ x < 1 ou x ≥ 2}
6.
7. x < – 3 ou 0 < x < 1
8. {x ∈ R| x > 0 e x ≠ 3}
9. ]–∞; –1[∪]; 3[
10. S ={x ∈ R|x ≤ −2 ou 0 ≤ x ≤ 2}
11. 1<x ≤ 2 ou x ≥ 4
12. V ={m ∈ R|0< m < 1 ou m > 3}
13. ]–1, 1, [∪[2, + ∞[
14. x<1 ou 3 ≤ x ≤ 5
15. c
16. a
17. e
18. a
19. c
20. b
120
UEA – Licenciatura em Matemática
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo, Moderna, 2002.
IEZZI, Gelson, 1939_Matemática e realidade / Gelson Iezzi, Osvaldo Doce, Antônio Machado_4ª ed.Reform._São PauloÇ Atual, 2000.
GIOVANNI, José Ruy Giovanni / Eduardo Parente._São Paulo: FTD, 1999 (Coleção aprendendo matemática:novo)
Dante, Luiz Roberto_ Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2003.
Biachinni, edwaldo, 1935._ Construindo conhecimentos em Matemática / Edwaldo Biachinni, marcos Miani:_1.ª ed._ São Paulo: Moderna, 2000.
Giovanni, José Ruy, 1937._ Matemática Pensar e Descobrir: novo / Giovanni Jr. _ São Paulo: FTD, 2000. _(Coleção Matemática pensar e descobrir)
Silveira, Ênio, 1958. _ Matemática / Ênio Silveira, Cláudio Marques _ São Paulo: Moderna, 1995.
Guelli, Oscar _ Matemática_ Uma aventura do pensamento _ ed. ref. São Paulo: editora Ática, 2001.
IMENES, Luiz marcio; LELLIS, Marcelo.Matemática.São Paulo, Scipione, 2001.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; JR., José Ruy Giovanni. A conquista da matemática. SãoPaulo, FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática, uma aventura do pensamento. São Paulo, Ática, 2001.
CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; ZEQUI, Cristiane. Mais Matemática. São Paulo,Saraiva, 2001.
REFERÊNCIAS