matemática financeira descontos prof. ms. cristiane attili castela aula 05
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Matemática FinanceiraMatemática Financeira
DescontosDescontos
Prof. Ms. Cristiane Attili Castela
Aula 05
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DescontosDescontos• O cálculo do desconto refere-se ao
valor de um título numa data antes de seu vencimento;
• O desconto é a diferença entre o valor de resgate e o valor presente do título na data da operação.
pf VVD
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AplicaçõesAplicações
• Cheques pré-datados;
• Duplicatas
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Situação Exemplo:Situação Exemplo:
Você é um fornecedor de matéria-prima para a indústria automotiva. Ao fornecer um lote de mercadorias recebe um cheque pré-datado com vencimento em 60 dias. Estando na época de pagar os seus funcionários, você precisa de capital para fazer os respectivos depósitos. Como fazer para ter dinheiro hoje?
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Resposta:Resposta:
Você pode ir até o banco e antecipar o recebimento do cheque, porém o banco irá cobrar por esta antecipação. Esta cobrança efetuada pelo banco é o que chamamos de desconto.
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Tipos de DescontosTipos de Descontos• Desconto Simples
(Bancário ou comercial)
– A taxa de desconto incide sobre o valor futuro do título
(D = VF.id.n)
– Valor descontado
(D=VF - VP)
• Desconto Composto– A taxa de desconto
incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior.
VP = VF(1-id)n
– Valor do desconto (D)
D = VF - VP
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Algumas consideraçõesAlgumas considerações
• O desconto praticado pelo mercado é o desconto simples, por que?
• O desconto composto existe na teoria, porém na prática não é usado.
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Exemplo 1Exemplo 1
D = VF.id.n
D = 70.000 x 3 x 0,027 = 5.670,00
VP = VF – D
VP = 70.000,00 – 5.670,00 = $ 64.330,00
Uma duplicata de $70.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontada por um banco à taxa de 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
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Exemplo 2Exemplo 2
Calcular o valor do desconto de um título de 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 3% ao mês.
00,500.11$
03,030
115000.100
D
D
nidVFD
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Exercício 1Exercício 1 Uma duplicata de $95.000,00, com
vencimento para 80 dias, foi descontada por um banco à taxa de 2,35% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
$ 89.046,67
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Exercício 2Exercício 2
Uma duplicata de $5.000,00, com vencimento para 125 dias, foi descontada por um banco à taxa de 3,6% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
$ 4.250,00
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Exercício 3Exercício 3
Calcular o valor do desconto de um título de $68.000,00, com 225 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 3,5% ao mês.
$ 17.850,00
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Exercício 4Exercício 4
Calcular o valor do desconto de um título de $34.000,00, com 200 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 20% ao ano.
$ 3.777,78
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Exercício 5Exercício 5
Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de $9.800,00, que sofreu um desconto de $548,50 , à taxa de 32% ao ano.
63 dias
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Descontos CompostosDescontos Compostos
• “A taxa de desconto incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido através de cálculos exponenciais e praticamente não é usado em nenhum país do mundo”. (Vieira Sobrinho)
nidVFVP )1( VPVFD
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ExemploExemplo
D1 = VF.id = 1000x0,02 = 20,00
VP1 = 1000-20 = 980,00
D2 = 980x0,02 = 19,60
VP2 = 980 – 19,60 = 960,40
D3 = 960,40x0,02 = 19,21
VP3 = 960,40 – 19,21 = 941,19
D = D1+D2+D3 = $58,81
Calcular o desconto composto efetuado sobre um título, cujo valor de face é de 1000,00, com vencimento em 90 dias à taxa de 2% ao mês.
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Fazendo as contas pela fórmulaFazendo as contas pela fórmula
nidVFVP )1(
VPVFD
19,941)02,01(1000 3 VP
81,5819,9411000 D
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Exercício 1Exercício 1
Uma duplicata no valor de R$ 8.000,00 foi descontada para quatro meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto igual a 3%a.m. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título.
R$ 7.082,34 e R$ 917,66
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Exercício 2Exercício 2
Construa uma tabela apresentando o valor do desconto e o valor de resgate de um título de $2.000,00 descontado à taxa de 2% ao mês, para os prazos 30, 60, 90, 120 e 150 dias, considerando descontos simples e descontos compostos.
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Cálculo de Desconto para uma Cálculo de Desconto para uma série de Títulos do mesmo série de Títulos do mesmo
valorvalorTítulo 1 – VF D1 = VF.id.1 Titulo 2 – VF D2 = VF.id.2Título 3 – VF D3 = VF.id.3Título 4 – VF D4 = VF.id.4...Titulo n – VF Dn = VF.id.nDesconto total = D1+D2+D3+...+Dn
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Cálculo do desconto total Cálculo do desconto total (Dt)(Dt)
Dt = D1+D2+D3+...+DnDt = VF.id.1+VF.id.2+VF.id.3+...VF.id.nDt = VF.id(1+2+3+...n)
Mas, (1+2+3+...+n) é uma P.A.
Então (1+2+3+...+n) =
• Conclusão...
2
1 nn
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Fórmula para o desconto de Fórmula para o desconto de uma série de n títulos com uma série de n títulos com
vencimentos periódicosvencimentos periódicos
Obs: O primeiro título vence no final do primeiro período.
n
nidVFDt 2
1..
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Exemplo 1Exemplo 1
Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $2.000,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2% ao mês.
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SoluçãoSolução
00,120.312
2
12102,02000
Dt
n
nidVFDt 2
1..
Valor Líquido recebido:
00,880.20$00,120.300,000.212 totalVP
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Exemplo 2Exemplo 2
Cinco duplicatas, no valor de $40.000,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150, 180 e 210 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto.
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SoluçãoSolução
• Observe que o vencimento da primeira duplicata ocorre em 90 dias (3 meses).
• A fórmula deve ser adaptada para esta situação:
n
ttidVFD N
t 2.. 1
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SoluçãoSolução
n
ttidVFD N
t 2.. 1
00,000.305
2
7303,0000.40
tD
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Exercício 1Exercício 1
Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, 4 duplicatas no valor de $32.600,00 cada uma, com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de 2,4% ao mês.
$ 114.752,00
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Exercício 2Exercício 2
Determinar o número de títulos com vencimentos sucessivos de 30 em 30 dias, descontados à taxa de 3,3% ao mês, sabendo-se que todos são do mesmo valor, igual a $13.000,00 cada um, e cujo desconto total é de $12.012,00.
7 títulos
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Comparação entre juros Comparação entre juros compostos e descontos compostos e descontos
simplessimples• Vamos supor que exista um título no
valor de $1.000,00 (valor de face) que pode ser descontado à taxa de desconto de 2,5% ao mês.
• Construir uma tabela com o valor de resgate para vários períodos de antecipação.
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Tabela 1Tabela 1
Prazos (n)
Valor do desconto
(D)
Valor líquido
(VL)
1 25,00 975,005 125,00 875,00
10 250,00 750,0015 375,00 625,0020 500,00 500,0025 625,00 375,0030 750,00 250,0035 875,00 125,0040 1.000,00 0,00
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Calculando a taxa de juros que Calculando a taxa de juros que corresponde ao desconto corresponde ao desconto
efetuadoefetuadoPrazos
(n)
Valor do desconto
(D)
Valor líquido
(VP)
taxa de juros compostos correspondente à taxa de desconto de 2,5% ao mês
(%)
1 25,00 975,00 2,5645 125,00 875,00 2,707
10 250,00 750,00 2,91915 375,00 625,00 3,18320 500,00 500,00 3,52625 625,00 375,00 4,00130 750,00 250,00 4,72935 875,00 125,00 6,12140 1.000,00 0,00 *******
niVPVF )1(
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Prof. Cristiane A. Castela 33
ExercícioExercício
Que taxa de desconto ao mês deve ser cobrada numa operação com prazo de 90 dias que resulte numa taxa efetiva de juros de 7,1% ao mês, calculada com base no regime de capitalização composta?
6,2% a.m.
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Exercícios sobre Exercícios sobre Descontos com IOFDescontos com IOF
Matemática FinanceiraMatemática Financeira
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Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3%a.m. mais uma taxa operacional (IOF) igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título, no regime de capitalização simples.
Exercício 1Exercício 1
R$ 785,00
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Exercício 2Exercício 2
A fábrica das Medalhas Milagrosas recebeu, líquidos, R$ 16.613,00, resultantes do desconto de uma nota promissória no valor de R$ 18.500,00. Se a taxa de desconto por fora da operação foi igual a 5%a.m. e a taxa (IOF) aplicada sobre o valor nominal foi igual a 0,20%, calcule a duração da operação, no regime de capitalização simples.
2 meses
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Matemática I Prof. Cristiane A. Castela 37
Exercício 3Exercício 3Um banco realiza operações de desconto de notas promissórias mediante a aplicação de uma taxa simples de desconto por fora igual a 4% a.m. Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual a 0,3% sobre o valor nominal. Qual será o valor líquido recebido após desconto de um título com valor nominal igual a R$ 12.500,00 e vencimento em 50 dias?
R$ 11.629,17
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Matemática I Prof. Cristiane A. Castela 38
Exercício 4Exercício 4O desconto bancário de um título com valor nominal igual a R$ 15.000,00 rendeu, líquidos, R$ 12.885,00. Se a taxa de desconto por fora foi igual a 3% a.m. e o prazo da operação foi igual a quatro meses e meio, estime a taxa percentual incidente sobre o valor nominal da operação, no regime de capitalização simples.
0,6%
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Prof. Cristiane A. Castela 39
Lista de ExercíciosLista de Exercícios
Resolver os exercícios do livro:
Matemática Financeira - J. D. Vieira Sobrinho: pág. 61 - 63