matemática financeira (eridan costa)

8/12/2019 Matemtica Financeira (Eridan Costa)

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Notas de Aula da Disciplina Matematica Financeira Resolvido por Diego Oliveira

Notas de Aula da Disciplina Matematica Financeira

(Profa Ms. Eridan da Costa Santos Maia)

[email protected]

Compilado dia 12/11/2017

Questoes resolvidas da apostila de matematica financeiraelaborada pela professora Eridan Maia. A apostila conta comvarios exerccios desafiadores e pode ser adquirida na livraria deedicoes UESB em frente a biblioteca.

Caso voce tenha interesse neste solucionario, e nao tenha

como adquirir a apostila original da prof. Eridan, pode baixaruma versao modificada da mesma gratuitamente pelo link:www.number.890m.com

Caso algum erro de resolucao seja detectado escreva [email protected] que o mesmo seja corrigido.

Aulas particulares para:

Ensino Fundamental e Medio.

Calculo i e ii.

Apenas para a cidade de Vitoria da Conquista - BA.WhatsApp: (77)98111-9211Email: [email protected]

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Sumario

1 REGRA DA SOCIEDADE 3

2 JUROS SIMPLES 12

3 DESCONTO SIMPLES 19

4 JUROS COMPOSTOS 32

5 EQUIVALENCIA NA CAPITALIZACAO COMPOSTA 43

6 TAXA INTERNA DE RETORNO 48

7 RENDAS CERTAS OU SEQUENCIAS DE CAPITAIS OU SERIES DE CAP-

ITAIS 52

8 SISTEMAS DE AMORTIZACAO 66


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1 REGRA DA SOCIEDADE

1. Tres pessoas se associam com o capital de R$ 4500,00. Calcular a entrada de cada sociosabendo que ao 1 coube R$ 320,00 ao 2 R$ 380,00 e ao 3 R$ 200,00 do lucro.

Solucao

O lucro total foi de R$ 320 + 380 + 200 = 900 e o capital investido foi de R$ 4500,00.

320

c1t1=

380

c2t2+

200

c3t3=

900

c1t1+c2t2+c3t3

Supondo que o perodo do investimento foi o mesmo para cada investidor, isto e (t1 =t2 =t3= t), entao:

320

c1t =

380

c2t +

200

c3t =

900

t(c1+c2+c3)

Comoc1+c2+c3 e o capital total investido entao:

320

c1t =

380

c2t +

200

c3t =

900

4500t

320

c1t =

9

45t

320

c1=

9

45 (1)

380

c2t

= 9

45t

380

c2

= 9

45

(2)

200

c3t =

9

45t

200

c3=

9

45 (3)

De (1) tiramos que c1 = R$ 1600,00. De (2) encontra-se c2 = R$ 1900,00. E finalmente de(3) determina-se que c3 = R$ 1000,00.

2. Uma sociedade entre tres amigos durante um perodo comum de tempo produziu um lucrode R$ 2000,00. O primeiro dos socios entrou com um capital que era o dobro do capital segundosocio, este por sua vez contribuiu com uma quantidade triplicada em relacao ao terceiro. Qual olucro de cada socio?

Solucao

O lucro total foi de R$ 2000,00. Supondo que o capital do 3 socio fosse w entao:

o capital do primeiro socio sera 6w;

o capital do segundo socio sera 3w.

3


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Logo

x

6w t=

2000

10w t

que implica em:

y

3w t =

2000

10w t

z

w t=

2000

10w t

z

w t=

2000

10w t

que implica em x = R$ 1200,00; y = R$ 600,00 e z = R$ 200,00.

3. O socio joao recebeu R$ 3690,00 a menos que o socio Paulo. Sabendo-se que joao Per-maneceu 3 meses na sociedade e Paulo ficou 5 meses. Qual o lucro de cada um? Supondo que ocapital investido por ambos sejam o mesmo.

Solucao

Se o lucro de Paulo e x entao Joao recebeu x 3690 de lucro. E pela regra da sociedade

x+ (x 3690)

5cp+ 3cj=

x

5cp

y

3cj

2x 3690

5cp+ 3cj=

x

5cp

y

3cj

Supondo que cp = cj (capital de Pedro igual ao de Joao) entao:

2x 3690

5cp+ 3cp=

x

5cp

y

3cp

da relacao acima tira-se as identidades (1) e (2).

5(2x 3690)

8 =x (1)

5(2x 3690)

8 =y (2)

De (1) conclui-se que x = R$ 9225,00 e de (2) que y = R$ 5535,00.

4


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4. Tres socios lucraram R$ 3500,00. Calcular o lucro de cada socio sabendo que o lucro doprimeiro esta para o lucro do segundo assim como 2/3 e que o lucro do segundo est a para o lucrodo terceiro assim como 4/5.

Solucao

Seja x o lucro do 1 socio e y o lucro do 2 socio ez o lucro do 3 socio entao:

x+y+z = 3500 (1)

como o lucro do primeiro esta para o lucro do segundo assim como 2/3 entao:

x= 2

3y (2)

e o lucro do segundo esta para o lucro do terceiro assim como 4/5

y= 4

5z z =

5

4y (3)

Substituindo (2) e (3) em (1) chega-se a:

2

3y+y+

5

4y= 3500 (4)

A solucao da equacao (4) ocorre para y = 1200. Logo o primeiro socio recebeu:

2

3(1200) = R$ 800,00

o segundo R$ 1200,00 e o terceiro:

5

4(1200) = R$ 1500,00.

5. O lucro de uma empresa foi de R$ 23000,00. Sabendo-se que o 1 socio contribuiu comR$ 21000,00 e o 2 socio com R$ 11000,00 e que do lucro total coube ao 3 socio a importanciade R$ 15000,00. Pergunta-se: qual foi o lucro de cada socio e qual a contribuicao do 3 socio.

Solucao

Pela formula:

x

21000t1+

y

11000t2+

15000

c3t3=

23000

21000t1+ 11000t2+c3t3

Assumindo que o tempo da aplicacao foi o mesmo para todos (t1= t2= t3= t) entao:

5


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x

21000t+

y

11000t+

15000

c3t =

23000

t(21000 + 11000 +c3)

x

21000+

y

11000+

1500

c3=

23000

32000 +c3

da igualdade a seguir:

23000

32000 +c3=

15000

c3

Conclui-se que c3 = R$ 60000,00 (Capital do 3 membro investido).

Assim:

x

21000+

y

11000=

23000

32000 +c3

x

21000 =

y

11000=

23000

92000

Que resulta em x = R$ 5250,00 e y = R$ 2750,00.

6. Uma firma teve um lucro de R$ 3870,00. O 1 socio empregou 1000,00 durante um mes eseis dias; o 2 socio empregou R$ 1200,00 durante um mes e dez dias e o 3 socio empregou R$1500,00 durante um mes. Qual o lucro de cada socio?

Solucao

x

1000 36+

y

1200 40+

z

1500 30=

3870

1000 36 + 1200 40 + 1500 30

x

36.000+

y

48.000+

z

45.000=

3.870

129.000

Que implica em x = R$ 1.080,00; y = R$ 1.440,00 e z= R$ 1.350,00.

7. Uma pequena empresa tem um capital de R$ 3700,00. O primeiro socio ficou um mes e seis

dias; o 2

socio ficou um mes e dez dias; o 3

socio ficou um mes. O lucro foi assim distribudo:R$ 1080,00 para o 1 socio, para 2 socio R$ 1440,00 e R$ 1350,00 para o 3 socio. Qual oinvestimento de cada socio nesta sociedade.

Solucao

1080

36 c1=

1440

40 c2=

1350

30 c3=

3870

36 c1+ 40 c2+ 30 c3

Simplificando:

6


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30

c1=

36

c2=

45

c3=

1935

18 c1+ 20 c2+ 15 c3

Do lado esquerdo da equacao conclu-se que:

c2=36

30c1

c3=45

36c2 c3=

45

36

36

30c1 c3=

45

30c1

sabe-se tambem que:

c1+c2+c3= 3700

o que implica em

c1+

36

30c1

+

45

30c1

= 3700

c1= 1000.

Analogamente se chega a: c2= R$ 1200,00 e c3= R$ 1500,00.

8. Dividir o lucro de R$ 1215,00 entre os socios A e B sabendo que o capital de A e 3/5 docapital de B e que eles tiveram na empresa durante 3 meses e 10 dias e 2 meses socio e 15 dias,respectivamente. Qual o lucro de cada socio?

Solucao

Chamando de w o capital do segundo B, entao:

x3

5w 100

= y

w 75=

12153

5w 100 +w 75

onde o 100 e o 75 do denominador representam 3 meses e dez dias e 2 meses e 13 diasrespectivamente em dias.

Da equacao acima obtemos:

5x300w

= 1215135w

x= 675

e tambem

y

w 75 =

1215

135w y= 540

7


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Assim, o lucro do socio A foi de R$ 675,00 e do socio B de R$ 540,00.

9. Uma firma organizada por tres socios em 1 de maio deu um lucro de R$ 6880,00 apurado

em 31 de dezembro. O capital social R$ 30.000,00 foi dividida em partes iguais. O 2

socio tendoentrado com R$ 6.000,00 so integralizou ou completou seu capital em 15 de julho. O 3 entroucom metade, completando a sua parte 1 de agosto. Quanto recebeu cada socio?

Solucao

Com base em um calendario observamos o seguinte:

entre 1 de Maio e 31 de Dezembro existem 244 dias;

entre 1 de Maio e 15 de Julho existem 75 dias;

entre 15 de Julho e 31 de Dezembro existem 169 dias;

entre 1 de Maio e 1 de Agosto existem 92 dias;

e entre 1 de Agosto ate 31 de Dezembro existem 152 dias.

O problema nada fala sobre o primeiro socio, assim vamos assumir que ele tenha contribudocom sua parte (dez mil) no incio da sociedade. Sendo assim,

x

104 244=

y

6000 75 + 4000 169 =

z

5000 92 + 5000 152

=

6880

104 244 + (6000 75 + 4000 169) + (5000 92 + 5000 152)

o que implica em:

x

2440 103 =

y

1126 103 =

z

1220 103 =

6880

103(2440 + 1126 + 1220)

x

2440 =

y

1126=

z

1220=

6880

2440 + 1126 + 1220

x

2440 =

y

1126=

z

1220=

6880

4786

Dessa ultima equacao conclumos que:

x 3507, 56 , y 1618, 65 ez 1753, 78.

Ou seja, o lucro do primeiro socio foi de R$ 3507,56, do segundo R$ 1618,65 e do terceiro R$1753,78.

10. Dois socios fundaram uma sociedade com o capital de 8000,00. No momento de liquidar

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o primeiro socio recebeu o capital mais o lucro no total de R$ 2300,00. Sabendo-se que o lucrototal foi de R$ 12000,00. Qual o capital de cada socio?

Solucao

Seja x o lucro do primeiro socio e y o lucro do segundo, e considerando que o tempo daaplicacao e o mesmo para ambos, entao:

12000

8000 =

x

c1=

y

c2(1)

como por hipoteses 2300 =c1+x, entao:

x= 23000 c1 (2)

substituindo (2) em (1)

1200

8000 =

23000 c1c1

o que resulta em c1= R$ 920,00.

Como o capital total e a soma de c1 e c2 entao:

8.000, 00 = 920, 00 +c2 c2= 7.080, 00

Assim, o capital do primeiro socio e de R$ 920,00 e do segundo R$ 7.080,00.

11. Na fundacao de certa sociedade A e B entraram com R$ 5200,00 e R$ 7300,00 respectiva-mente. Quando a empresa completou seu segundo mes de existencia o socio A retirou R$ 1200,00;dois meses depois desta data o socio B depositou R$ 1500,00. Ao fim do primeiro semestre deatividades verificou-se o lucro de R$ 15006,00. Qual o lucro de cada s ocio?

Solucao

Dos R$ 5200,00 investido pelo socio A apenas R$ 4000,00 permaneceu na aplicacao pordurante 6 meses. O restante R$ 1200,00 (5200, 00 4000, 00) foi aplicado apenas durante os doisprimeiros meses. Assim:

lucro de A

4000 6 + 1200 2

Do total aplicado pelo socio B apenas R$ 7300,00 ficou durante os seis meses. Os 1500aplicados depois so teve rendimento nos dois ultimos meses. Assim:

lucro de B

7300 6 + 1500 2

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entao pela regra da sociedade

lucro de A

4000 6 + 1200 2=

lucro de B

7300 6 + 1500 2 =

15006

73200

lucro de A

26400 =

lucro de B

46800 =

15006

73200

onde se conclui que o lucro de A foi de R$ 9.594,00 e o lucro de B de R$ 5.412,00.

12. Duas pessoas A e B fundaram uma empresa com R$ 3240,00 e R$ 4080,00 respectivamente.Quando a empresa completou seu terceiro mes de existencia o socio B retirou R$ 1230,00. Doismeses depois desta data o socio A depositou R$ 1120,0 e B depositou R$ 3050,00. Ao fim dosetimo mes de fundacao da empresa verificou-se o lucro de R$ 9838,80. Quanto coube a cadasocio?

Solucao

Analogo ao exerccio anterior.



Calculo i e ii.


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Quer saber quando saira a proxima atualizacao desse documento? Nesse caso voce pode:

verificar diretamente no site (www.number.890m.com); ou seguir a pagina no Facebook (www.facebook.com/theNumberType).

E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva [email protected] que possa ser feito a devida corre cao.

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Para encontrar esse e outros exerccios resolvidos de matematica acesse: www.number.890m.com

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2 JUROS SIMPLES

1. Um ob jeto e vendido por R$ 120,00 a vista ou entao por uma entrada de R$ 60,00 maisuma parcela de R$ 62,40 apos um mes. Qual a taxa de juro cobrada?

Solucao

O valor dos juros daqueles que preferirao o pagamento em duas vezes e de 2,40.

(60, 00 + 62, 40) 120, 00 = 2, 40

O juro so pode ser cobrado sobre a 1a parcela, pois ao pagar a segunda parcela a dvida jaestara quitada e nao faz sentido cobrar sobre algo ja pago. Sendo assim:

J =Cin

2, 4 = 60 i 1

i=2, 4

60 = 0.04 ou 4% a.m.

2. Qual o rendimento que produz um capital de R$ 610,00 a uma taxa de 5,5% a.m. noperodo de 2 de janeiro a 6 de marco deste ano.

Solucao

A taxa de juro esta ao mes assim necessitamos trazer n para o mesmo perodo. Para issousamos regra de tres simples.

1 mes

x =60 dias

64 dias x= 64

30

portanto,

J= 610

5.5

100

64

3071, 57

3. Calcule os juros e os juros exatos (ver p agina 12) produzidos por um capital de R$ 500,00aplicado a taxa de 60% a.a. durante 25 dias.

Solucao

Calculando os juros.

J= 500 60

100

25

36020.83

Os juros exatos sao calculados da mesma forma que os juros simples, exceto por considerar oano com 365 dias ao inves de 360.

J= 500 60

100

25

36520.55

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4. A empresa de Rafael vende pacotes de cafe de 1 quilo. Numa tentativa de aumentar suasvendas, passa a comercializar o cafe em embalagens contendo 20% a mais de cafe, mantendo omesmo preco dos pacotes de 1 quilo. Em que percentagem foi reduzido o pre co do quilo de cafe?

Solucao:

Primeiro determinamos quantas gramas corresponde a 20% de 1kg.

1kg 100%x 20%

x= 0, 2kg ou 200g

Supondo agora que o pacote custe R$ 100,00 entao o pacote com 1,2kg (1kg + 200g) deveriacustar R$ 120,00. Como pela promocao o pacote de 1,2kg se manteve no valor de R$ 100,00entao e como se Rafael tivesse feito um desconto de R$ 20,00 em cada pacote. Para finalizardeterminamos esse desconto (de 20 reais) em termos de percentagem.

120 100%20 y

y= 16.67%

Assim, o preco do cafe foi reduzido em 16,67%.

5. Dois capitais foram colocados a juros simples. O primeiro a taxa de 20% a.a. e o segundo ataxa de 40% a.a. Calcule os capitais, sabendo que a soma deles e R$ 500,00 e que eles produziram,num ano, juros totais de R$ 130,00.

Solucao

O total de juro (Jt) e a soma dos juros (J1) gerados pelo primeiro capital (C1) com os juros

(J2) gerados pelo segundo capital (C2).

Jt = J1+ J2

Jt = (C1 i1 n1) + (C2 i2 n2)

Como o tempo da aplicacao foi o mesmo para ambos os capitais podemos fazer n1= n2= n.

Jt= (C1 i1 n) + (C2 i2 n)

Jt= n(C1 n1+ C2 i2)

substituindo os valores

130 =n(C1 20% + C2 40%)

130 = 0, 2C1+ 0, 4C2 (1)

Pelo enunciado sabe-se queC1+ C2= 500, entao

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C1= 500 C2 (2)

Jogando (2) em (1) chega-se a C2 = 150. Finalmente por meio deste ultimo resultado se

conclui queC1= 350.

6. Dois capitais diferentes aplicados a mesma taxa durante 3 meses renderam R$ 84,00 e R$115,20 de juros. Sabendo que um capital supera o outro em R$ 130,00, calcule esses capitais e ataxa envolvida.

Solucao

Se o primeiro capital C1 for igual a x, entao o segundoC2 sera x + 130.

SejaJt a soma dos juros de ambos os capitais entao:

Jt = J1+ J2

Jt = (C1 i1 n1) + (C2 i2 n2)

como por hipotesei1= i2 entao podemos substituir as duas taxas na equacao acima simples-mente por i.

Jt= (C1 i n1) + (C2 i n2)

Substituindo agora os valores

84 + 115, 2 = (x i 3) + ((x+ 130)i 3)

199, 2 = (3ix) + (3xi+ 390i) (1)

Pelo enunciado o valor J1 e de 84 reais, assim:

84 = 3ix i=28

x (2)

substituindo (2) em (1)

199, 2 =

3

28

x

x

+

3x

28

x

+ 390

28

x

(3)

199, 2 = 84 +

84 +

10.920

x

x = 350 (2)

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ou seja, o primeiro capital e de R% 350,00. E o segundo (C1+ 130) e de R$ 480,00.

Finalmente substituindo (2) em (3) chegamos a i = 8.

Assim, a taxa de juros i e de 8% a.m.

7. Maria obteve R$ 4410,00 de emprestimo a taxa de 21% a.a. Alguns meses depois, tendoencontrado quem lhe oferecesse a mesma importancia a 18% a.a. assumiu o compromisso comessa pessoa e na, mesma data liquidou a divida com a primeira. Um ano depois de realizado oprimeiro emprestimo saldou o debito e verificou que pagou ao todo R$ 826,88 de juros. Calculeo prazo do primeiro emprestimo.

Solucao

Nao se sabe quantos meses se passou ate Maria obter a segunda proposta entao, vamos chamaresse total de x.

Juro da primeira divida.

J1= 4410 21

100 x

Juros da segunda divida

J2= 4410 18

100 (1 x)

Jt = J1+ J2

826, 88 = 4410x 21

100+ 4410(1 x)

18

100

Que implica em x 0, 25 ano ou 3 meses.

8. Foi aplicado R$ 500,00 por 20 dias a taxa de 4.5% a.m. Sabendo que se paga um impostode servico de 20% do rendimento, calcular o valor de resgate e a taxa lquida.

Solucao

O valor de resgate (VR), e o capital mais os Juros menos o imposto.

VR = (Capital + Juros) Imposto

Levando-se em conta que 20 dias equivale a (2/3) de um mes entao o calculo dos juros e o

seguinte:

J= 500 4, 5

100

2

3= 15

e o imposto

Imposto = 20

100 15 = 3

portanto,

15


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VR= (500 + 15) 3 = 512

Agora que sabemos qual o valor de resgate podemos usar a f ormula de juros para determinara taxa lquida.

J =Cin

(512 500) = 500 i 20

12 = 500 i 20

i= 0.0012a.d. ou 3.6% a.m.

9. Numa operacao financeira considerando o imposto igual ao do exerccio anterior, qual a

taxa lquida para 1 mes sabendo que a taxa bruta e de 7% a.m.?

Solucao

Sabe-se queJ imposto =Cin

o que implica em:

i=J imposto

Cn

como a taxa e igual a 20% ou 0,20 do juro entao

i=J 0, 2J

Cn

ComoJ =C 17% entao:

i=C 17% 0, 2(C 17%)

C 1 =

17 0.8

100 = 0.136a.m.

i= 0, 136% a.m.

10. Um vendedor ambulante oferece no portao, para uma dona de casa, um produto pelopreco de 180,00 a vista. Esclarece que, se a compradora quiser pagar 5% a mais sobre o precodo produto podera pagar em duas vezes (1+1). Determine a taxa mensal que o vendedor estacobrando.

Solucao

A vista a Dona de casa pagara R$ 180,00 a prazo 189 (180 + 5%), logo os juros ser ao de 9reais.

16


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Como o plano de pagamento e de (1+1) ou seja ela da a entrada entao os juros irao correrapenas sobre a 1 parcela.

J =Cin

9 = 189

2 i (1 mes)

i 10.53% a.m.



Calculo i e ii.


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18/72





www.number.890m.com


18


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3 DESCONTO SIMPLES

Formulas que serao usadas aqui.

D= Ndn (Desconto simples).

Va = N(1 dn) (Valor Nominal).

J =Cin (Juros simples).

M= J + CouM = C(1 +in) (Montante).

1. Um comerciante deseja realizar uma liquidacao de 50%. De que porcentagem um produtode R$ 150,00 deve ser aumentado para que depois do desconto anunciado o comerciante recebaos mesmos R$ 150,00? E se o desconto for: 20%; 15%?

Solucao

Sejax o valor acrescentado aos 150 reais, para que apos o desconto de 50% tenha se o mesmovalor, entao o valor nominal (N) deve ser igual a 150 + x.

Va = N(1 dn)

Va= (150 +x)(1 dn)

Como nesse caso a taxa de juros nao tem dimensao de tempo entao podemos tomar n = 1.

Va = (150 +x)(1 d)

Como apos o desconto o valor do ttulo permanece o mesmo, entao Va = 150.

150 = (150 +x)(1 d)

150 = (150 +x)(1 d) = (150 +x)(1 0, 5)

150 = (150 +x) 0, 5

x= 150

Assim, para um desconto de 50% o aumento deve ser de R$ 150, ou seja 100% do valor atual.Analogamente se calcula para 20%.

150 = (150 +x)(1 0, 2)

x = R$ 37,5 ou 25% do valor atual.

E para 15%:

150 = (150 +x)(1 0, 15)

x = R$ 26,50

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Que representa cerca de 17,65% do valor atual.

2. Qual a melhor opcao?

a) Leve 4 e pague 3b) Leve 3 e pague 2

Solucao

A estrategia para resolver o problema consiste em supor a compra de uma mesma quantidadedo produto sob as duas promocoes e entao verificar em qual delas se paga menos.

Determinando o M.M.C. (mnimo multiplo comum) de 4 e 3 chega-se a 12.

Se cada unidade do produto valexentao se comprarmos 12 unidades sob a primeira promocaopagaramos 9x.

12x= 4 3x 3 3x= 9x.

Ja sob a segunda promocao teramos de pagar 8x.

12x= 3 4x 2 4x= 8x.

Assim, a 2 promocao e a melhor.

3. Dois ttulos, o 1 de R$ 3762,00 e o 2 de R$ 2538,00 foram descontados a 6% a.m.

sofrendo um desconto total de R$ 717,48. O vencimento do 1

ttulo ocorre 20 dias apos o do2. Determine esses prazos.

Solucao

Seja Dt a soma de todos os descontos entao:

Dt= D1+D2

717, 48 =

3762

6

100 30 (x+ 20)

+

2538

6

100 30 x

Que apos certa manipulacao algebrica chegamos x = 45 dias e x + 20 = 65 dias.

4. Qual a melhor opcao para Maria.

a) Descontar no Banco uma duplicata no valor de R$ 5000,00 com 1,5 meses a vencer numataxa de 5 % a.m.

b) Tomar emprestimo igual ao valor lquido da duplicata acima para ser pago em 45 dias ataxa de 5,3 % a.m.

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Solucao

a) O valor do desconto da duplicata seria

D= 5000 5

100 1, 5 = 375

ou seja, Maria perderia R$ 375 reais, ficando apenas com R$ 4.625,00.

b) Tomando o emprestimo Maria deveria pagar ao banco R$ 4625 + juros.

onde

juros = 4625 5, 3

100 1, 5 = R$ 367, 688

Assim, o melhor e pedir emprestimo ao banco, pois Maria pagara apenas R$ 4.992,68 que eum valor inferior ao da sua duplicata.

5. Uma duplicata de R$ 5000,00 e descontada 100 dias antes do vencimento. Sabendo-se quea taxa de desconto e de 6% a.m., a taxa de de servico cobrada pelo banco e de 2% e considerandoainda um imposto de 0,0042 % a.d., qual o valor lquido e taxa efetiva mensal.

Solucao

Primeiro calculamos o desconto.

D = 5000 100

30

6

100= R$ 1.000,00

A taxa de servico e cobrada sobre o valor da duplicata.

Taxa = 2

100 5000 = R$ 100,00.

O IOF tambem

IOF = 0, 0042

100 5000 100 = R$ 21,00.

Entao, o valor que realmente sera entregue e o valor do ttulo subtrado do desconto, da taxade servico e do IOF.

5000 (1000 + 100 + 21) = R$ 3879

Tomando esse valor como valor atual da duplicata entao:

Va= N(1 dn)

3879 = 5000(1 d 100)

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d= 0, 22%a.d. ou 6, 73%a.m.

6. O portador de um ttulo de R$ 6000,00 resolveu desconta-lo 4 meses antes do vencimentona taxa de 13% a.m. e aplicar o valor apurado a 18% a.m. pelo mesmo perodo. Fez bomnegocio?

Solucao

O desconto efetuado foi de 3.120,00 reais.

D= 6000 4 13

100= R$ 3120

Logo o portador adquiriu nessa operacao o valor de R$ 2.880,00 que ira gerar os juros de2.073,60 reais.

J= 2880 4 18

100= 2073, 6

Ou seja, ele tera ao todo M = 2.880,00 + 2.073,60 = R$ 4953,60, portanto n ao fez bomnegocio pois, se tivesse esperado o prazo para descontar o ttulo teria 6.000,00 reais ao inves deR$ 4.953,60.

7. (VERAS) Um banco descontou uma nota promissoria de R$ 5000,00 para Marielle, 90 diasantes de seu vencimento, e depositou o valor correspondente em sua conta corrente. O extratoda conta recebido por Marielle acusou um deposito de R$ 3180,00 e o costume do banco e cobrar,por esse servico, uma taxa de 0,4% sobre o valor nominal do ttulo. Qual a taxa de descontocobrada pelo banco?

Solucao

Do enunciado sabe-se que:

3180 = 5000 (Desconto + Taxa) (1)

onde:

Taxa = 0, 4

100 (5000) = 20 (2)

De (1) e (2) sabemos que o desconto sera de R$ 1.800,00.

Usando a formula do desconto simples

1800 = 5000 d 90

30

descobrimos a taxa de desconto d = 0, 12 a.m. (ou 12% a.m.).

8. Ana aplicou R$ 1200,00 em letras de cambio para resgatar R$ 1452,00 apos 90 dias. Quandofaltavam 15 dias para o vencimento da letra, descontou-a com taxa de 8% a.m. e depositou o

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valor apurado a prazo fixo com rendimento de 10% a.m. por 2 meses. Qual a taxa de jurosconsiderando todas as operacoes.

Solucao

Primeiro determinamos o valor atual do ttulo que foi resgatado antes do prazo.

Va = 1452

1

0, 8

100 0, 5

Va = 1393, 92

De posse desse dinheiro Ana o investiu a 10% durante 2 meses ganhando um total de:

M =N+ J

M= (1393, 92) + (1393, 92 0, 1 2)

M= 1672, 70

com essa acao Ana lucrou um total de:

1672, 70 1200 = R$ 472,70

Aplicando a formula de juros sobre esse lucro chegamos a taxa de juros.

472,7 = 1200 i 4, 5

i= 0, 0875 a.m. ou 8,75% a.m.

9. Uma loja esta fazendo promocoes na venda de chocolates: compre x balas e ganhe x%de desconto. A promocao e valida para compras de no maximo 60 chocolates. Matilda e Ricardocompraram 30 e 45 chocolates respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais chocolatese gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matem atica?.

Solucao

Supondo que o preco de cada chocolate ep, entao comprando 30 chocolates pagaremos:

30p 30p 30

100(valor sem desconto desconto).

30p 9p= 21p (1)

Comprando 45 balas pagamos:

45p 45p 45

100.

45p 20, 25p= 24, 75p (2)

De um modo geral o indivduo que comprarx balas pagara:

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xp xp x

100 =px

p

100x2 (3)

Fazendo (1) igual a (3)

21p= px p

100x2 x= 30 ou x = 70

e fazendo (2) igual a (3)

24, 75p= px p

100x2 x= 45 ou x = 55

Como o limite de compra de chocolates com desconto e 60 entao Ricardo poderia ter comprado55 chocolates, ao inves de 45, e pago o mesmo valor.

10. Qual o prazo que um ttulo de R$ 3000,00 vencvel em 1 mes possa ser trocado por outrode R$ 3200,00 sabendo que o desconto e de 3,5% a.m. e que o imposto cobrado e de 0,02% a.d.

Solucao

O valor atual do ttulo de 3000,00 reais e de 2877,00 reais.

Va= N(1 dn) imposto

Va= 30001 3, 5

100

10, 02

100

30 3000

Va= 2877

Assim, o problema agora se resume a saber quando o ttulo de 3.200,00 reais tera o valornominal anterior. Assim:

V

a =N(1 dn) desconto

2877 = 3200

1

3, 5

100n

0, 02

100 30n 3200

2877 = 3200 112n 19, 2n

131, 2n= 323

n= 323

131, 22, 5

Ou seja, e necessario que o ttulo de 3.200,00 reais seja descontado 2,5 meses antes do prazo.

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11. Tenho alguns ttulos que gostaria de descontar antes do vencimento. O banco A fazdesconto com a taxa de 34,45% a.a. O Banco B usa taxa de juros de 36% a.a.

a) Onde e mais vantajoso descontar um ttulo que vence daqui a 2 meses?

b) Qual o prazo de vencimento que torna indiferente a escolha do banco?

Solucao de A

No banco A o desconto e de 5,7416% do valor nominal.

D = N34, 45

100

2

12 = 0,057416N

Para calcular o desconto no banco B primeiro devemos calcular a taxa de desconto equiva-lente.

d= i

1 +i =

36%

1 + 36% = 26, 47%

De posse da taxa de desconto (d= 26, 47%) podemos calcular o desconto no segundo banco.Que e de 4,4116% do valor nominal.

D = N 26, 47

100

2

12 = 0, 044116N

Como o desconto no banco A e maior que no banco B entao o banco B e mais vantajoso.

Solucao de B

???

12. Um aparelho de R$ 300,00 pode ser adquirido a vista ou em tres vezes, com entrada, deR$ 100,00. Considerando que os bancos estejam oferecendo uma taxa de juros de 8% a.m. sobqualquer capital aplicado, entao: qual o menor desconto que o comprador deve pedir de descontocaso deseje adquirir o aparelho a vista?

Solucao

Se o comprador pode adquirir o aparelho a vista supoem-se que ele tenha em maos o valor de

R$ 300,00. Suponha tambem que ao inves de comprar o aparelho a vista o comprador opte pelosegundo plano. Nesse caso, o comprador paga a primeira parcela sombrando-lhe 200,00 reais.

Investindo esse valor em um banco o comprador tera ao fim do primeiro mes um montantede R$ 216,00.

M =N(1 +in)

25


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M= 200

1 +

8

100 1

M =R$ 216, 00

Ao fim desse mes o comprador tambem deve efetuar o pagamento da segunda parcela doaparelho (mais R$ 100,00), assim lhe restara agora apenas R$ 116,00.

Investindo esse valor no banco por mais um mes tera um montante de R$ 125,28.

M =N(1 +in)

M= 116

1 +

8

100 1

M =R$ 125, 28

Agora, ao fim do segundo mes, o comprador deve efetuar o pagamento da ultima parcela.Ficando, ao final de toda essa operacao, com um lucro de R$ 25,28. Assim, so vale a penacomprar o aparelho a vista se o vendedor lhe der um desconto de mesmo valor, ou seja, se oaparelho passar a custar 274,72 reais.

R$ 300,00 R$ 25,28 = R$ 274,72

13. Uma dvida de Jose esta sendo paga em seis prestacoes mensais e faltam tres pagamentosde R$ 2250,00 para que seja totalmente saldada. Na data em que fez o 3 pagamento, Jose proposao credor pagar o restante da dvida em apenas dois pagamentos iguais, se ela fosse recalculadanaquela data, com a taxa de 12% a.m. de juros e se os pagamentos fossem feitos em 30 e 60 dias,respectivamente. Se o credor aceitar, de quanto serao os pagamentos?

Solucao

O diagrama de fluxo a seguir representa a situacao descrita. Note que escolhemos como datazero a data em que foi mencionada a nova proposta.

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

Data zero

2.250 2.250 2.250

x x

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Podemos pensar que as prestacoes a serem pagas sao ttulos e o que Jose esta a propor e atroca de tres ttulos no valor de 2.250,00 reais a serem pagos daqui 1, 2 e 3 meses por dois ttulosno valor de x a serem pagos daqui 1 e 2 meses.

Para que a troca seja possvel a soma do valor atual desses dois novos ttulos (no valor dex) deve ser igual a soma do valor atual dos tres ttulos anteriores (no valor de 2.250,00 reais).Matematicamente:

x

1 + 0, 12 2+

x

1 + 0, 12 1=

2.250, 00

1 + 0, 12 1+

2.250, 00

1 + 0, 12 2+

2.250, 00

1 + 0, 12 3

1, 12x+ 1, 24x

1, 3888 5.477, 86

x 3.223, 58

ou seja, o valor das duas prestacoes propostas deve ser de 3.223,58 reais.

14. Um objeto custa x. Depois de 1 mes, ele sofre um aumento de 20% e, logo depois, umdesconto de 20%. Em relacao ao preco inicial o que lhe aconteceu?

Solucao

Seja x o valor do objeto entao:

No 1 mes.

x+ 20%x

No 2 mes.

(x+ 20%x) 20%(x+ 20%x)

x (20%)2 x

x

20

100

2x

x 210

2

x

x

4

100

x

x 4%x

Ou seja, houve um decrescimo de 4% do preco.

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15. Siare fez um deposito a prazo fixo de dois meses, decorrido o prazo o montante que erade R$ 2220,00 foi reaplicado por mais um mes a uma taxa de juros 20% superior a primeira.Sendo o montante final de R$ 2550,00. Calcule o principal e as taxas mensais.

Solucao

Usando a formula

M= N(1 +in)

Na 1 aplicacao teremos

2220 =N(1 + 2i) (1)

Na 2 aplicacao se tem

2550 = 22201 + i+ 20

100i 1

2550 = 220(1 + 1, 2i)

i 0, 1239 ou 12,39%.

Usando esse valor em (1) chega-se ao valor de N

2220 =N(1 + 2(0, 1239))

N 1779, 13

Assim, o principal e R$ 1779,13.

Finalmente calculando i + 20

100i chega-se a 2 taxa de aplicacao que e de 14,87%.

16. Em um dado momento, dois objetos A e B tinham o mesmo pre co. O preco de A sofreuum aumento de 25% e, em seguida, outro aumento de 80% sobre o novo pre co. O preco de Bsofreu um aumento de x% e, em seguida, outro aumento de x% sobre o novo pre co. Os precosfinais dos dois objetos resultaram iguais. Qual o valor de x?

Solucao

Suponha que A e B custem inicialmente 100,00 reais. Assim, quando A receber um aumentode 25% passara a custar 125,00 reais.

A= 100 + 25% 100

A= 100 + 25

100 100

A= 125, 00

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Apos o aumento de 25% A sofre mais um aumento de 80% passando a custar 225,00 reais.

A= 125 + 80

100

125 = 225, 00

Ja tratando-se de B sabe-se que primeiro recebeu um aumento de x%.

B= 100 +x% 100

B= 100 + x

100 100 = 100 +x

e depois um novo aumento de %, ja sob o valor aumentado, isto e:

B= (100 +x) +x% (100 +x)

B= 100 +x+ x

100

(100 +x)

B= 100 + 2x+ 1

100x2

Como ao final dos acrescimos o preco de A e B ainda sao iguais entao:

225 = 100 + 2x+ 1

100x2

Cuja solucao ocorre para x = 50. Como x% = x

100 entao:

x% = 50

100= 0,5 ou 50%.

17. (VERAS) A financeira A faz emprestimo a 10% a.m. de juros e cobra no ato uma taxade servico de 4,5 % sobre o valor financiado. A financeira B faz emprestimos a 12% a.m., masso cobra tambem no ato 1,5%:

a) Estabeleca formulas que deem taxas efetivas de juros mensais de cada financeira, parao prazo de n meses.

b) Para emprestimos, com que prazos as taxas efetivas de ambas seriam equivalentes?

Solucao de A

O valor cobrado p ela financeira A e o juros do capital emprestado mais 4,5% do mesmo, ouseja:

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J =C 10

100n+

4, 5

100C

J = 0, 1Cn+ 0, 045C (1)

Ja o valor cobrado pela financeira B e o juros do capital emprestado mais 1,5% do mesmo,ou seja:

J =C 12

100n+

1, 5

100C

J = 0, 12Cn+ 0, 015C (2)

ComoJ =Cinentao de (1) temos:

Cin= 0, 1Cn+ 0, 045C i= 0, 1 +0, 045

n

que e uma formula para a taxa efetiva de juros da financiadora A. Analogamente se chega auma formula para a financiadora B.

Solucao de B

Igualando (1) a (2)

0, 1Cn+ 0, 045C= 0, 12Cn+ 0, 015C

(0, 1 0, 12)Cn= (0, 015 0, 045)C

0, 02Cn= 0, 03C

n= 1, 5

Assim a resposta e 1,5 mes ou 1 mes e 30 dias.



Calculo i e ii.


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4 JUROS COMPOSTOS

Nesse captulo usamos:S=P(1 +i)n (Juro Composto)

D= Ndn (Desconto Simples)

1. Um investidor aplicou R$ 1200,00 em ttulos que lhe proporcionarao um resgate de R$1330,46 apos 90 dias de aplicacao. Qual a taxa mensal de aplicacao?

Solucao:

S=P(1 +i)n

1330, 46 = 1200(1 +i)3

i=

1330, 46

1200

1/3 1

i 0.035 ou 3,5%

2. Maria fez uma aplicacao de R$ 750,00 por 18 meses a taxa de 36% a.a. Determine omontante recebido usando a convencao linear.

Solucao:

A taxa de juros esta ao ano e o perodo da aplicacao ao mes. Ao contrario do sistema

de capitalizacao simples quando trabalhamos com juros compostos nao podemos mudar a taxausando regra de tres simples. O que podemos fazer com regra de tres e mudar a unidade doperodo.

1 ano

n =

12 meses

18 meses n= 1, 5

Ou seja, um ano e seis meses. Onde 1 e a parte inteira e 0.5 e a parte fracionaria.Usando entao a convencao linear:

S=P(1 +i)n1 +ip

qS= 750

1 +

36

100

n1 +

36

100 0.5

S= 1203, 60

Tambem poderamos chegar ao mesmo resultado calculando a parte inteira a juros compostos.

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S=P(1 +i)n

S= 7501 + 36

100

1

S= 1020, 00

E a parte fracionaria a juros simples usando como montante o valor calculado anteriormente.

S=P(1 +in)

S= 1020

1 +

36

100 0, 5

S= 1203, 60

Usando a convencao exponencial.

S=P(1 +i)n

S= 750

1 +

36

100

1,5

S= 1189, 51

3. Determine o valor aplicado na operacao, cujo regate foi de R$ 1700,00 apos 70 dias a umataxa de 2,2% a.m., utilizando as duas convencoes. (R. 1615,83 e 1615,75)

Solucao:

Setenta dias equivale a 2 meses (parte inteira) e 10 dias (parte fracionaria). Usando a con-vencao linear:

S= P(1 +i)n

1 +ip

q

1700 = P

1 +2, 2

100

2

1 +2, 2

100

10

30

P= 1615, 75

Usando a convencao exponencial.

Primeiro usamos regra de tres para ajustar a variavel n a taxa fornecida.

33


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30 dias = 1 mes70 dias = n

Que implica em n =30

70, ou simplesmente

3

7. Assim:

S=P(1 +i)n

1700 =P

1 +

2, 2

100

37

P= 1615.83

4. Responda:

a) Qual a taxa anual equivalente a 12% ao bimestre?

b) Qual a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia?

c) Qual a taxa semestral equivalente a 108% ao ano?

d) Qual a taxa em 63 dias equivalente a 10% ao mes?

e) Qual a taxa em 13 meses equivalente a 10% ao bimestre?

d) Qual a taxa em 63 dias equivalente a 500% ao ano.

Solucao:

a) i=

1 +

12

100

12/2 1 = 0, 9738 ou 97,38%.

b) i=

1 +

0, 2

100

30/1 1 = 0, 0618 ou 6,18%.

c) i=

1 +

108

100

0,5/1 1 = 0, 4422 ou 44,22%.

d) i=

1 +

10

100

63/30

1 = 0, 22158 ou 22,16%.

e) i=

1 +

10

100

13/2 1 = 0, 858 ou 85,8%.

f) i=

1 +

500

100

63/360 1 = 0, 3683 ou 36,83%.

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5. Enquanto tempo teremos montantes iguais com o capital de R$ 1198,00 aplicado a 4,6%em 20 dias e o capital de R$ 1252,00 aplicado a 6% a.m.

Solucao:

Primeiro determina-se a taxa equivalente a 4,6% no mes.

i= (1 + 4.6)30/20 1

i= 6.979 % a.m.

Sabendo que em tempos iguais essa taxa resulta no mesmo montante que a taxa de 6% a.m.aplicada sobre o capital de R$ 1252 entao:

1198(1 +i1)n = 1252(1 +i2)

n

1198

1 +6.979100

n= 1252

1 + 6

100

n

1198 (1, 06979)n = 1252 (1, 06)n

onde usando as propriedades de logaritmo chegamos a n 4.79

Assim a resposta e 4.79 mes ou aproximadamente 144 dias.

6. Qual a melhor opcao:

a) Descontar no banco uma promissoria de valor R$ 1000,00 com 90 dias a vencer numa taxa

de 10% a.m.

b) Tomar emprestimo no valor lquido da promissoria, para ser pago em 3 meses com jurosde 12% a.m.

Solucao:

Se seguirmos a opcao a o desconto sera:

D= 1000 90 10

100 30= 300

logo recebemos 700,00 reais.

Ja se seguirmos a opcao b pagaremos juros de 283,00 reais.

S=C+ Juros

J =S C

J= 700

1 +

12

100

3 700 283, 00.

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Como 283 < 300, entao a opcao mais lucrativa e a letra b.

7. Uma financiadora emite uma LC prefixada no valor de R$ 8000,00 por 60 dias. Sendo 96%

a.a. a taxa e 20% a alquota do I.R., qual a taxa lquida para:

a) IR cobrado no final?

b) IR cobrado no incio?

Solucao de A:

A taxa dei = 96% a.a. tem como taxa equivalente (ao bimestre) o valor de 11, 869%. Assim,o montante que A LC ira render sera 8.949,512 reais.

S= 800

1 +

11, 869

100

1= 8949, 512

O que quer dizer que foram gerados 949,512 de juros ( 8949, 512 8000).

Como o imposto e de 20% sobre o juros entao custara 189,90 reais.

949, 512 20

100= 189, 9024

Assim o valor que realmente sera recebido (montante subtrado do imposto) sera apenas8.759,6096 reais.

8949,512 189,9024 = 8759,6096

Usando a formula

S=P(1 +i)n

e substituindo os valores

8759, 6096 = 8000(1 +i)60

e levando em conta que 60 dias e o mesmo que 2 meses

8759, 6096 = 8000(1 +i)2

i=

8759, 6096

8000 1

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i 0, 0464 ou 4, 64% a.m.

Solucao de B:

i=8949, 512

8189, 90 1 0, 0927 a.b.

Que equivale ao mes a:

i= (1 + 0, 0927)1/2 1 = 4, 53% a.m.

8. Roberto tem um capital R$ 3000,00 disponvel para aplica-lo a prazo fixo por 3 meses auma taxa de 72% a.a. Sabendo que existe um imposto de 20% sobre o rendimento, qual a taxaefetiva mensal nos casos;

a) imposto pago no final da aplicacao?

b) imposto pago no ato da aplicacao alem do capital aplicado?

c) imposto pago no ato da aplicacao retirado do capital inicial.

Solucao de A:

Aplicando o capital Roberto teria um montante de 3.435,606 reais.

S= 300

1 +

14, 52

100

1= 3435, 606 (onde 14,52% a.t. = 72% a.a.)

Portanto, o imposto cobrado sera no valor de 87,1212 reais.

imposto = (3435, 606 3000) 20

100

imposto = 87, 1212

E o ganho real de Roberto (montante menos o imposto) ser a de 3.348,4848 reais.

Assim, a taxa final para a aplicacao (taxa efetiva) podera ser calculada pelo seguinte modo

3348, 4848 = 3000(1 +i)1

i= 11, 616% a.t. ou aproximadamente 3, 73% a.m.

Solucao de B:

Seguindo o raciocnio anterior

i= 3435, 606

3000 + 87, 1212 1 = 0, 113

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Que equivale a taxa mensal de 3,63% a.m.

Solucao de C:

Nesse caso consideramos que os 3.000,00 e composto do capital de Roberto ( P) somado aoimposto.

3000 = capital P+ imposto

Como o imposto e de 20% sobre o rendimento (isto e, sobre os juros) entao:

3000 =P+ 20

100 J

Usando a taxa de 14, 52% a.t. entao em tres mesesJ = 14, 52%P.

3000 =P+ 20

100

14, 52

100 P

P 2915,34 eJ 423,31.

Sendo o montante (S) a soma do capital com os juros, entao:

S=P+ J

2915,34 + 423,31

3338,65

Sendo assim,

S=P(1 +i)n

3338, 65 = 2915, 34(1 +i)1

i=3338, 65

2915, 34

1 0, 145 a.t. ou 4,62% a.m.

9. A financiadora A faz emprestimos a 10% a.m. e cobra no ato uma taxa de servico de 4,5%.A financiadora B faz o mesmo com juros de 12% a.m. e servico de 1,5%.

a) Qual a melhor num emprestimo de 1 mes?

b) Qual a melhor num emprestimo de 6 meses?

c) Qual o prazo que torna indiferente a escolha do Banco?

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Solucao de A:

ComoS=P(1 +i)n entao os juros (J) sera:

J =P(1 +i)n P ouJ =P((1 +i)n 1).

Agora veremos quanto sera cobrado em cada financiadora.

Financiadora A

Juros(A) + Taxa de A =P

1 +

10

100

1 1

+

4, 5

100P

= 0, 145P

Financiadora B

Juros(B) + Taxa de B =P

1 + 12100

1 1

+1, 5100

P

= 0, 135P

Como 0,135C < 0,145C entao e mais rentavel optar pela financiadora B.

Solucao de B:

Para 6 meses teremos:

JA + Taxa de A = P(1, 1)6 P+ 0, 045P

0, 8165P

JB + Taxa de B = P(1 + 0, 12)6 1 +1, 5

100P

= (0, 12)6P+ 0, 015P

= 0, 988P

Nesse caso a melhor opcao e a financiadora A.

9C??

10. Um capital de R$ 5000,00 e aplicado durante 2 anos a taxa de 2,25% a.t. (ao trimestre).Qual o montante e qual a taxa efetiva anual?

Solucao:

Calculando o montante

A taxa i = 9% a.a. capitalizado trimestralmente equivale a taxa de 2,25% a.t. (ver taxasproporcionas). E o perodo de 2 anos equivale a 8 trimestre. Aplicando a formula chaga-se aomontante de 5.974,15 reais.

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13. Em 3 meses consecutivos as acoes de uma empresa desvalorizaram-se a 1% a.m. Qual arentabilidade no perodo?

Solucao:

i= (1 1%)3 1 =0, 0297 ou2, 97%

14. Em junho e julho um fundo de acoes rendeu 3% e 1%, respectivamente. Qual arentabilidade de agosto para que o acumulado seja 6%?

Solucao:

6% = (1 + 3%)(1 1%)(1 x%) 1

x= 0, 0395



Calculo i e ii.


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5 EQUIVALENCIA NA CAPITALIZACAOCOMPOSTA

Nesse captulo usamos:

S=P(1 +i)n (Juro Composto)

1. Um objeto custa a vista R$ 300,00 ou entao em 3 prestacoes mensais e iguais (0+3) comjuros de 7% a. m. Calcule o valor dessas prestacoes.

Solucao:

Perceba que a operacao tem duracao de 3 meses. Vamos tomar como a data zero o dia do

pagamento da ultima parcela (p3). Como a segunda parcela (p2) e paga um mes antes da ultimae a primeira (p1) dois meses antes entao:

300(1 +i)3 =p1(1 +i)2 +p2(1 +i)

1 +p3(1 +i)0

comop1= p2 e tambem p3, pois as parcelas sao de igual valor, entao:

300(1 +i)3 =p(1 +i)2 +p(1 +i) +p

300(1 + 0, 07)3 +p(1 + 0, 07)2 +p(1 + 0, 07) +p

300(1, 07)3 +p(1, 07)2 + 1, 07 p

p 114, 32

2. Jose deve pagar 2 t tulos, o 1 de R$ 250,00 exigvel em 1 mes; o 2 de R$ 260,00 exigvelem 2 meses. Ele pretende substituir esses 2 ttulos por um unico de R$ 509,92. Calcule o prazodo novo ttulo, sabendo que a taxa de mercado e de 6% a.m.

Solucao:

Neste caso, a soma do valor atual dos ttulos vencveis em 1 e 2 meses deve ser igual ao valoratual do ttulo vencvel no mes x. Veja:

N1(1 +i)n1 +N2(1 +i)

n2 =N3(1 +i)n3

250(1 + 0, 06)1 + 260(1 + 0, 06)2 = 509, 92(1 + 0, 06)n3

1, 09 = 1, 06n3

log(1, 09) n3 log(1, 06)

n3 1, 5

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Ou seja, o novo ttulo deve ser vencvel em 1,5 mes. Ou um mes e 15 dias.

3. Um vdeo de R$ 600,00 e oferecido a Joao em 4 planos. Qual a melhor opcao de comprauma vez que a taxa de juros de mercado e de 6,5% a. m.?

a) Direto com 1 mes.b) A vista com 6% de desconto.c) (1+2) sem acrescimo.d) 25% de entrada e o restante com 1 mes.

Solucao:

Se Joao pode optar por qualquer uma das formas de pagamento ent ao na pior das hipotesesjoao possui em seu bolso o valor do vdeo, ou seja, 600 reais.

Se Joao optar pelo primeiro plano, alternativa A, entao ele pode investir esse valor por ummes ganhando um montante de 639,00 reais.

S= 600(1 + 0, 065)1

S= 639, 00

Mas, como no fim do mes ele deve pagar os 600 reais do vdeo Joao pode lucrar 39,00 reais.

Se optar pelo plano B Joao pagara 564,00 reais

600 0, 06 600 = 564

ficando anda com 36 reais.

Se optar pelo plano C tera de pagar 200 reais e podera aplicar o restante por um mes ganhandoum montante de 426 reais.

S= 400(1 + 0, 065)1

S= 426, 00

Como no final desse mes tera de pagar outra parcela de 200,00 reais Joao ficara com 226,00reais que podera investir novamente ganhando um montante de 240,69 reais.

S= 226(1 + 0, 065)1

S= 240, 69

Como lhe resta ainda uma parcela de 200,00 reais entao Joao podera lucrar 40,69 reais.

Se optar pelo plano D tera de pagar 25% da entrada que e o equivalente a 150,00 reais.Podendo investir o restante por um mes ganhando um montante de 479,25 reais.

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S= 450(1 + 0, 065)1

S= 479, 25

Como ele ainda deve pagar 450,00 para quitar o vdeo lucrara 29,25 reais.

Sendo assim e melhor Joao optar pelo plano C

4. O preco de um produto e de R$ 450,00, contudo pode ser comprado de tres vezes (1+2)sem acrescimo, diz o vendedor. Se a loja trabalha com juros de 6% a. m., qual a porcentagemdo preco a vista, pode a loja dar de desconto?

Solucao:

SejaNo valor das parcelas apos o desconto, e escolhendo a data do ultimo pagamento como

data zero, entao:

N(1 + 0, 06)2 +N(1 + 0, 06) +N= 450

N(3, 1836) = 450

N 141, 35

Assim, o valor total a ser pago sera de 424,05 reais.

141, 35 3 = 424, 05

Assim, o desconto final seria de 25,95 reais (424, 05 450). Que e aproximadamente 5,77%do valor total.

5. Uma materia-prima e vendida por R$ 900,00 em 3 parcelas mensais de R$ 300,00 (0+3).Se o pagamento e feito a vista, ha um desconto de 10%. Qual a taxa de juros do financiamento?

Solucao:

Nesse caso o valor que a loja receberia pelo pagamento a vista aplicado em 3 meses deve sero mesmo que obteria se aplicasse as parcelas, a medida que fossem sendo recebidas, tambem por

no maximo 3 meses.

Assim, escolhendo a data do ultimo pagamento como data zero, entao:

810(1 +i)3 = 300(1 +i)2 + 300(1 +i)1 + 300

fazendo 1 +i= y entao:

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810y3 = 300y2 + 300y+ 300

810y3 300y2 300y 300 = 0

A equacao acima so possui uma raiz real, que e aproximadamente igual a 1,0546. Comoy= 1 +i entao:

1 +i= 1, 0546

i= 0, 0546

Assim, a taxa e de 0,0546 ou 5,46% a.m.



Calculo i e ii.


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6 TAXA INTERNA DE RETORNO

1. Uma financeira, concede emprestimo de R$ 10000,00 para ser pago em tres prestacoesvencveis em 1, 2, 3 meses com valores de R$ 3500,00; R$ 4000,00; R$ 4275,10, respectivamente.Qual a taxa de juros desse emprestimo?

Solucao

Escolhendo o hoje como data zero, entao:

3500

(1 +i)1+

4000

(1 +i)2+

4275

(1 +i)3= 10000

Como chute inicial escolhemos i = 0, 06.

i=3500 + 4000 + 4275

10000 1

3 0, 06

Entao parai= 0, 06

3500

(1 + 0, 06)1+

4000

(1 + 0, 06)2+

4275

(1 + 0, 06)3 = 10.451, 26

parai = 0, 07

3500

(1 + 0, 07)1+

4000

(1 + 0, 07)2+

4275

(1 + 0, 07)3 = 10.244, 45

parai = 0, 08

3500(1 + 0, 08)1 + 4000(1 + 0, 08)2 + 4275(1 + 0, 08)3 = 10.063, 73

parai = 0, 09

3500

(1 + 0, 09)1+

4000

(1 + 0, 09)2+

4275

(1 + 0, 09)3 = 9.878, 81

Com base nesses dois ultimos resultados realizamos a regra de tres.

Taxa Valor atual8 10.063,73

8+x 10.000,009 9,878,81

9-8 (10.063,73 - 9,878,81)(8+x)-8 (10.063,73-10.000,00)

9-8 (10.063,73 - 9,878,81)(8+x)-8 (10.063,73-10.000,00)

1 184,922

x 63,732

1 184,922x 63,732

x= 63, 732

184, 922 = 0, 345

Logo a taxa (8 +x) e de 8,345%, ou 8,35% numa aproximacao mais grosseira.

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2. Maria aplica R$ 5774,00; recebe R$ 1800,00 com um mes, R$ 2500,00 apos dois meses eR$ 2874,30 com tres meses. Determine a taxa interna de retorno.

Solucao

O problema se modela do seguinte modo.

1800

(1 +i)1 +

2500

(1 +i)2 +

2874, 30

(1 +i)3= 5774

Para i = 0, 1 teremos:

1800

(1, 1)1 +

2500

(1, 1)2 +

2874, 30

(1, 1)3 = 5861, 97


1800

(1, 11)1

+ 2500

(1, 11)2

+2874, 30

(1, 11)3

= 5752, 34

Fazendo a regra de tres

Taxa Valor atual10 5861,97

10+x 577411 5752,34

1 109,63

x 87,97

1 109,63x 87,97

x= 87, 97

109, 63= 0, 802


3. Um equipamento e vendido a vista por R$ 1300,00 ou entao com uma entrada de R$300,00 e mais tres mensais de R$ 400,00. Qual a taxa de juros mensal?

Solucao


300 + 400

(1 +i)1+

400

(1 +i)2+

400

(1 +i)3= 13000


300 + 400

(1, 09)1

+ 400

(1, 09)2

+ 400

(1, 09)3

= 1312, 52


300 + 400

(1, 1)1+

400

(1, 1)2+

400

(1, 1)3= 1294, 74


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9+x 130010 1294,74

1 16,78

x 12,52

1 16,78x 12,52

x=12, 52

16, 78 = 0, 746


4. Jose aplica R$ 1000,00, recebe R$ 450,00 apos um mes, R$ 400,00 apos dois meses e R$271,55 com tres meses. Determine a taxa interna de retorno.

Solucao


450(1 +i)1

+ 400(1 +i)2

+ 271, 55(1 +i)3

= 1000


450

(1, 06)1+

400

(1, 06)2+

271, 55

(1, 06)3= 1008, 51


450

(1, 07)1+

400

(1, 07)2+

271, 55

(1, 07)3= 991, 6



6+x 10007 991,596

1 16,91

x 8,51

1 16,91x 8,51

x= 8, 51

16, 91 = 0, 503

Logo a taxa (6 +x) e de 6,503%.



Calculo i e ii.


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7 RENDAS CERTAS OU SEQUENCIAS DE CAPITAISOU SERIES DE CAPITAIS

Nesse captulo usamos:

FV = PMT

(1 +i)n 1

i

PV = PMT

(1 +i)n 1

i

FV = PMT

(1 +i)n 1

i

(1 +i)

PV = PMT

(1 +i)

n

1(1 +i)n1 i

FV = PMT

(1 +i)n 1

i

(1 +i)n

PV =

PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

(1 +i)c

onde

FV = Montante.

PMT = Valor de cada prestacao.n = numero de prestacoes.i = a taxa de juros.PV = Valor atual.c = perodo de carencia.

1. Depositei durante quatro meses a quantia de R$ 400,00 a uma taxa de 5% a.m. Quantoreceberei de montante?

Solucao

FV = PMT(1 +i)n 1

i FV = 400

(1 + 0, 05)4 1

0, 05

FV = 1810,2525 reais.

O mesmo resultado pode ser encontrado considerando os juros mes a mes.

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No primeiro mes renderia um montante (S) de:

S=P(1 +i)n

S= 400(1 + 0, 05)1

= 420

No segundo mes o montante obtido sera sobre o montante anterior somado a segunda parcela,isto e:

S= (420 + 400)(1 + 0, 05)1

S= 861, 00

No terceiro mes:

S= (861 + 400)(1 + 0, 05)1

S= 1324, 05

No quarto mes seria paga a ultima parcela e seria sacado o valor total, ou seja, nao haveriajuros sobre essa ultima parcela, sendo assim:

S= 1324, 05 + 400 S= 1724, 05 reais.

2. Calcule o numero de prestacoes bimestrais de R$ 1500,00 cada uma, capaz de liquidar umfinanciamento de R$ 4988,26 a taxa de 20% ao bimestre.

Solucao

PV = PMT(1 +i)n 1

(1 +i)n i 4988,26 = 1500

(1 + 0, 2)n 1

(1 + 0, 2)n 0, 2

Que apos certo algebrismo, e ajuda de uma calculadora cientifica, chega-se a n 6.

3. O gerente de uma loja deseja estabelecer fatores (esse fator e chamado fator da prestacao oufator do valor financiado) que serao aplicados ao preco a vista para o calculo da prestacao mensal.A taxa de juros da loja e de 7% a.m. Quais os fatores por unidade de capital nos prazos de meses:

a) 3b) 4.

Solucao de A

Toda compra parcelada ocorre como uma especie de financiamento, sendo assim:

PV = PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

onde PV e o valor da compra avista.

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Como estamos procurando um fator que aplicado ao valor de avista nos entregue o valor daprestacao entao precisamos determinar o quociente PMT/PV, pois:

PV

PMT

PV =PMT

Vamos ao calculo desse quociente.

PV = PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

PV

PMT =

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

PMT

PV =

(1 +i)n i

(1 +i)n 1

PMT

PV =

(1 + 0, 07)3 0, 07

(1 + 0, 07)3 1 0, 38105

Solucao de B

PMT

PV =

(1 + 0, 07)4 0, 07

(1 + 0, 07)4 1 0, 29523

PMT

PV 0, 29523

4. Uma pessoa deve pagar pela compra de um eletrodomestico uma entrada que representa15% do valor a vista, mais 8 prestacoes mensais. Se a loja cobra juros de 5% am, qual e o valordas prestacoes se o valor a vista do eletrodomestico e de R$ 330,00? Se a primeira prestacao

fosse paga no ato com a entrada, qual seria o valor das presta coes?

Solucao de A

Nesse caso podemos subtrair a entrada de 49,50 (15% de 330) do valor de avista (PV) e trataro problema como um problema de renda postecipada.

PV entrada = PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

330 49, 50 =PMT

(1 + 0, 05)8 1

(1 + 0, 05)8 0, 05

PMT = 43, 40 reais.

Solucao de B

Nesse caso teramos:

PV - entrada = PMT + PMT

(1 +i)n1 1

(1 +i)i

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330 49, 50 = PMT + PMT

(1 + 0, 05)81 1

(1 + 0, 05) 0, 05

PMT = 41,33

5. Qual o valor de um emprestimo que pode ser liquidado da seguinte forma: no 2 e 3 mespaga-se R$ 1000,00 no 5, 6 e 7 mes paga-se R$ 2000,00, sabendo que a taxa de juros e de 8%a.m.?

Solucao

Observe o fluxo de caixa do problema.

1 2 3 4 65 70

1000 1000 2000 2000 2000

Note que podemos dividir o fluxo de caixa em dois fluxos de rendas diferidas.

1 2 30

1000 1000

Carencia

e tambem

1 2 3 4 65 70

2000 2000 2000

Carencia

Vamos calcular o valor presente de cada fluxo. O resultado sera a soma desses valores.

VPTOTAL = PMT1

(1 +i)n1 1

(1 +i)n1 i

(1 +i)c1

+ PMT2

(1 +i)n2 1

(1 +i)n2 i

(1 +i)c2

VPTOTAL= 1000

(1 + 0, 08)2 1

(1 + 0, 08)2 0, 08

(1 + 0, 08)1

+ 2000

(1 + 0, 08)3 1

(1 + 0, 08)3 0, 08

(1 + 0, 08)4

VPTOTAL 1651, 17 + 3788, 486

VPTOTAL 5439, 66

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6. Um objeto e financiado em 4 prestacoes mensais de R$ 325,00 e 2 prestacoes bimestraisde R$ 775,00 e R$ 875,00 no mesmo perodo. Calcular o valor financiado, sabendo que a taxade juros e de 6% a.m.

Solucao

Primeiro determinamos o valor do financiamento caso fossem pagas somente as prestacoes de325 reais.

PV1= PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

PV1= 325

(1 + 0, 06)4 1

(1 + 0, 06)4 0, 06

PV1 1126, 16

Agora vamos nos preocupar com as parcelas bimestrais. Para entender melhor observe o fluxode caixa a seguir.

1 2 30

325 325

4

325 325+ +

775 875

Que simplificadamente para as parcelas bimestrais seria:

1 2 30 4

775 775+

100

Ou seja, podemos considerar a serie de pagamentos bimestrais como duas series, uma comduas parcelas de 775 reais e outra com uma unica parcela de 100 reais.

PV2= PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

PV2= 775

(1 + 0, 1236)2 1

(1 + 0, 1236)2 0, 1236

(6% a.m. = 12,36% a.b.)

PV2= 1303, 62

e para a parcela de 100 reais:

PV3= 100

(1 + 0, 06)4 79, 21

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Finalmente fazemos a soma de todos os valores (PV1 + PV2 + PV3) chegamos ao resultadoque e: 2508,99 reais.

7. Ana aplicou R$ 1500,00 e apos 6 meses recebeu R$ 2010,14. Que depositos mensais nesseperodo produziriam o mesmo valor se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com amesma taxa da 1a hipotese?

Solucao

Primeiro vamos descobrir a taxa de juros a aplicacao de Ana.

S=P(1 +i)n

2010, 14 = 1500(1 +i)6

i 5%a.m.

De posse da taxa podemos calcular o montante.

FV = PMT

(1 +i)n 1

i

2010,14 = PMT

(1 + 0, 05)6 1

0, 05

PMT 295, 53

8. Marcelo deseja liquidar um emprestimo em 10 prestacoes mensais alternadas de R$ 1000,00e R$ 2000,00, sabendo que a taxa de juros e de 8% a.m. Qual o valor do emprestimo?

Solucao

Novamente o problema em questao, cujo fluxo de caixa esta a seguir

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1000 2000 1000 2000 1000 2000 1000 2000 1000 2000

(Serie principal)

pode ser decomposto em duas series de pagamentos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

(1 Serie)

e tambem

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1000 1000 1000 1000 1000

(2 Serie)

PV = 10 pagamentos mensais de 1000 + 5 bimestrais de 1000

De modo que a serie principal sera a soma da 1 com a 2.

PV= 1000

(1 + 0, 08)10 1

(1 + 0, 08)10 0, 08

+100

(1 + 0, 1664)5 1

(1 + 0, 1664)5 01664

(8% a.m. = 16,64% a.b.)

PV= 6710, 08 + 3226, 01

PV = 99360, 9

9. Certo executivo pretende viajar durante um ano, resolve fazer 6 depositos mensais emuma financeira, para que sua esposa possa efetuar 12 retiradas mensais de R$ 2000,00 duranteo perodo de sua viagem. A 1a retirada ocorrera 1 mes apos o ultimo deposito. Se a financeirapaga 6% a.m., qual o valor de cada deposito?

Solucao

Nesse caso, o montante acumulado pelos seus depositos deve ser igual ao valor do financia-mento referente as 12 retiradas mensais. Matematicamente:

PMT(1 +i)n 1

i =PMT

(1 +i)n

1

i(1 +i)n

onde:

PMT (valor de cada prestacao) = 2000;

i (taxa de juros) = 0,06;

n = 6

n = 12

sendo assim:

PMT

(1 + 0, 06)6 1

0, 06

= 2000

(1 + 0, 06)12 1

0, 06(1 + 0, 06)12

PMT 2403, 87

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10. Um condomnio preve despesas extras de 120000,00 e 160000,00 no final de agosto esetembro, respectivamente. Quanto devera arrecadar e aplicar, num fundo que rende 20% a.m.,no final de maio, junho e julho (valores iguais) para fazer frente as despesas previstas?

Solucao

PMT

(1 + 0, 2)3 1

0, 2

=

120000

1 + 0, 2+

160000

(1 + 0, 2)2

PMT 57997, 56

11. Uma determinada loja, desejando aumentar suas vendas, anuncia a venda de videogames,de acordo com o seguinte plano: 3 prestacoes de 200,00, no 3, 4 e 5 mes apos a compra: 3prestacoes de 500,00, no 8, 9 e 10 meses apos a compra. Sendo de 3% a.m. a taxa de juroscobrada pela loja, calcule o seu valor a vista.

Solucao

Esse problema e relativo ao topico: Sequencia Uniforme de Pagamentos Diferidos.

P = 200

(1 + 0, 03)2 =

(1 + 0, 03)3 1

0, 03(1 + 0, 03)3

+

500

(1 + 0, 03)7

(1 + 0, 03)3 1

0, 03(1 + 0, 03)3

P 1155.86

12. Um terreno e vendido a vista por 30000,00. A prazo o pagamento podera ser feito em12 prestacoes, sendo as seis ultimas o dobro das seis primeiras. Calcule as prestacoes para umataxa de 3,5% a.m.

Solucao

TOTAL = PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

+

2PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

(1 +i)c

onde:

TOTAL = 3000;

i= 3, 5%;

n= 6;

c= 6.

Sendo assim:

3000 = PMT

(1 + 0, 035)6 1

(1 + 0, 035)6 0, 035

+

2PMT

(1 + 0, 035)6 1

(1 + 0, 035)6 0, 035

(1 + 0, 035)6

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PMT 2.143, 15 e tambem 2PMT4.286, 30.

13. Lazaro compra uma maquina hoje e propoe paga-la em 12 prestacoes mensais de 850,00,

vencendo a primeira no dia 26 de setembro de 2003. Sabendo que o juro cobrado e de 22,5% a.t.quanto custa a maquina?

Solucao

A solucao do problema e dada por:

PV =

PMT

(1 +i)n 1

(1 +i)n i

(1 +i)c

onde:

PMT = 850;

i= 7%;

n= 12;

c= 3.

Sendo assim

PV =850

(1 + 0, 07)12 1(1 + 0, 07)12 0, 07

(1 + 0, 07)3

PV 5.511, 06

14. Quanto se deve depositar no comeco de cada mes numa instituicao que paga 6,09% aobimestre para constituir um capital de 16000,00, no final de um ano?

Solucao

Neste caso usamos:

FV =PMT (1 +i)n 1

i

(1 +i)

onde:

FV = 16.000;

i= 6.09%a.b. ou 3% a.m.;

n= 12.

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Assim:

16.000 =PMT(1 + 0, 03)12 1

0, 03 (1 + 0, 03) PMT 1.094, 56

15. Um equipamento e oferecido a uma empresa, sob duas condicoes de pagamento: I) 10prestacoes alternadas de 1000,00 e 1500,00, comecando com 1000,00. II) 10 prestacoes mensaisde 1250,00 sem entrada. Qual a melhor alternativa para a empresa, se ela opera a uma taxa dejuros de 3% a. m.?

Solucao

Analisando a primeira condicao.

A forma de pagamento pode ser decomposta do seguinte modo:

P = 10 mensais de 1000 + 5 bimestrais de 500.

P= 1000

(1 + 0, 03)10 1

(1 + 0, 03)10 0, 03

+ 500

(1 + 0, 0609)5 1

(1 + 0, 069)5 0, 069

P 10631, 23

Analisando a segunda condicao.

P= 1250

(1 + 0, 03)10 1(1 + 0, 03)10 0, 03

P 10662, 75

Como 10662, 75> 10631, 00 entao a primeira condicao e mais vantajosa.

16. Jose deseja adquirir um som, cujo preco a vista e 500,00. Todavia, a compra pode serfinanciada de tres formas:

I) 100,00 de entrada e 12 prestacoes mensais de 45,35II) 10 prestacoes mensais de 64,49.

III) 2 prestacoes de 298,84 a serem pagas no 3 e 4 mes.

Admitindo que a taxa de juros e de 5% a.m., qual o melhor plano para Jose?

Solucao

Analisando a 1a forma de pagamento.

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P= 100 + 45, 35

(1 + 0, 05)12 1

(1 + 0, 05)12 0, 05

P 501, 95


P64, 49

(1 + 0, 05)10 1

(1 + 0, 05)10 0, 05

P 497, 93.


P298, 84

(1 + 0, 05)2 1(1 + 0, 05)2 0, 05

(1 + 05)2

P 504, 00.

Logo, a melhor opcao e a segunda.

17. Uma dvida de 1000,00 devera ser paga com oito prestacoes mensais de 139,00 sendo aprimeira paga no ato da compra. Qual a taxa de juros?

Solucao

1000 139 = 139 (1 +i)7 1

i(1 +i)7

Onde apos algum algebrismo chega-se a:

i 3, 158% a.m.

18. Jose deve pagar um ttulo de 50000,00 daqui a um ano. Quanto deveria investir men-salmente, a partir de hoje, se os depositos forem iguais e remunerados a 8% a. m., para que, ummes apos o ultimo deposito, o saldo fosse suficiente para pagar o ttulo?

Solucao

FV =PMT

(1 +i)n

1i

(1 +i)

onde:

FV (Montante) = 50.000,00

PMT (Valor de cada prestacao) = ?

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n = 12

i = 0,08

Assim:

50.000, 00 =PMT

(1 + 0, 08)12 1

0, 08

(1 + 0, 08)

PMT 2439, 62

19. Uma maquina esta sendo vendida por R$ 2509,00 a vista ou em 4 prestacoes mensais deR$ 715,80. Qual a taxa cobrada?

Solucao

2509 = 715, 80

(1 +i)4 1

(1 +i)4 i

(1 +i)4 1

(1 +i)4 i

3, 51

a(4 |i)3, 51.

Usando uma tabela de fator de acumulacao chega-se a i 5, 5%.

20. Investindo todo mes R$ 120,00, o montante imediatamente apos o decimo deposito e deR$ 1500,00. Qual a taxa mensal de juros que rendeu o investimento?

Solucao

1500 = 120

(1 +i)10 1

i

(1 +i)10 1

i

= 12, 5

s(10 |i) = 12, 5

Usando interpolacao linear

taxa % s(10 |i)4 12,01

4+x 12,55 12,58

1

0, 5718

x

0, 494

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x 0, 8637

De modo que a taxa sera de 4, 864 4, 9%.



Calculo i e ii.


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8 SISTEMAS DE AMORTIZACAO

1. Construir a planilha do exerccio anterior, considerando que no perodo de carencia osjuros nao serao pagos, ou seja, os juros sao capitalizados e incorporados ao principal.

Solucao

???

2. Com os dados do 1 exerccio, sem fazer planilha, determine:

a) saldo devedor no 3 mes;

b) juro no 4 mes;

c) Amortizacao no 2 mes;

d) soma das amortizacoes ate o 3 mes;

e) A2+A3+A4;

f) soma dos juros;

g) J2+J3+j4;

Solucao

???

3. Jose comprou uma maquina financiando R$ 6000,00 para pagar em 12 vezes mensais ajuros de 5% a.m. Sem fazer planilha, determine:

a) saldo devedor no 8 mes;

b) juro no 10 mes;

c) amortizacao no 7 mes;

d) soma das amortizacoes do 7 ate o 12 mes;

e) soma dos juros do 7 ate o 12 mes.

Solucao de A:

Primeiro determinamos o valor que cada prestacao tera com a formula a seguir.

Prestacao = financiamento

(1 +i)ni

(1 +i)n 1

Onden e a quantidade de prestacoes que o financiamento tera.

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Prestacao = 6000

0, 05(1 + 0, 05)12

(1 + 0, 05)12 1

Prestacao 676, 88

Ja para determinar o saldo devedor usamos:

Sd = Prestacao

(1 +i)nd 1

i(1 +i)nd

S8 = Prestacao

(1 + 0, 05)128 1

i(1 + 0, 05)128

S8 = Prestacao

(1 + 0, 05)128 1

i(1 + 0, 05)128

S8 = 676,88

0, 0898

0, 796

S8 2400, 18

Solucao de B:

O juro pode ser determinada com a formula a seguir.

Jd= Prestacao (1 +i)n(d1) 1

i(1 +i)n(d1) i

onde n e a quantidade de parcelas que o financiamento tera e d o mes o qual o juros corre-sponde. Assim:

J10= 676, 88 (1 + 0, 05)12(101) 1

0, 05(1 + 0, 05)12(101) 0, 05

J10= 676, 88 (1, 05)129 1

0, 05(1, 05)129 0, 05

J10= 676, 88 (1, 05)3 1

0, 05(1, 05)3

0, 05

J10 92, 17

Solucao de C:

Usando a formula:

Ad= Prestacao

Prestacao

(1 +i)n(d1) 1

i(1 +i)n(d1) i

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Assim, para a setima amortizacao:

A7= 676, 88

676, 88 (1 + 0, 05)12(71) 1

0, 05(1 + 0, 05)12(71) 0, 05

A7= 676, 88

676, 88

(1, 05)126 1

0, 05(1, 05)126 0, 05

A7= 676, 88

676, 88

(1, 05)6 1

0, 05(1, 05)6 0, 05

A7 505, 01

Solucao de D:

Para resolver este problema necessitamos determinar antes o valor da sexta amortiza cao, ovalor da decima segunda amortizacao e o valor da primeira amortizacao. Para isso usamos aformula do item C desta mesma questao. Nesse caso:

A6= 676, 88

676, 88

(1, 05)7 1

0, 05(1, 05)7 0, 05

481, 05

A12= 676, 88

676, 88

(1, 05)1 1

0, 05(1, 05)1 0, 05

644, 65

Ja a primeira amortizacao calculamos por subtrair da primeira parcela (de 676,88) o valor dojuro do financiamento.

A1= 676, 88 (6000 0, 05)

A1 376, 88

Finalmente usando a formula:

An =

An(1 +i) A1i

Determinamos o somatorio ate a sexta amortizacao.

A6=

A6(1 +i) A1i

= 481, 05(1 + 0, 05) 376, 88

0, 05 = 2564, 45

E ate a decima segunda.

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A12=

A12(1 +i) A1i

= 6000, 05

Finalmente, fazemos a diferenca entre as duas e obtemos a resposta.A7 ate 12 =

A12

A6

A7 ate 12 = 6000, 05 2564, 45 = 3435, 6

Solucao de E:

A soma dos juros ate a decima segunda prestacao sera:

J12= 12 676, 88 6000, 05 = 2122, 51

Ja a soma dos juros ate a sexta prestacao sera:

J6= 6 676, 88 2564, 45 = 1496, 83

Assim,J7 ate 12 =

J12

J6

J7 ate 12 = 2122, 51 1496, 83

J7 ate 12 = 625, 68

4. Uma casa e vendida por R$ 30000,00 sendo 20% de entrada e restante financiado em 15prestacoes mensais a taxa de 6% a.m. Determine:

a) Somatorio da 7 ate a 12 amortizacao;

b) total de juros a serem pagos ate a liquidacao de debito.

Solucao:

Como e pago 20% do valor do financiamento o valor o qual vamos considerar para a amor-tizacao e de apenas 24000,00 reais. Assim, a planilha desse problema e a seguinte:

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Mes Saldo devedor Amortizacao Juro Prestacao0 24000 0 0 01 22968,9 1031,1 1440 2471,112 21875,9 1093,0 1378,1 2471,113 20717,4 1158,6 1312,6 2471,114 19489,3 1228,1 1243,0 2471,115 18187,5 1301,8 1169,4 2471,116 16807,7 1379,9 1091,3 2471,117 15345,0 1462,6 1008,5 2471,118 13794,6 1550,4 920,7 2471,119 12151,2 1643,4 827,7 2471,11

10 10409,2 1742,0 729,1 2471,1111 8562,6 1846,6 624,5 2471,1112 6605,2 1957,4 513,8 2471,1113 4530,4 2074,8 396,3 2471,1114 2331,2 2199,3 271,8 2471,11

15 -0,1 2331,2 139,9 2471,11Total 217776,0 24000,1 13066,6 37066,7

Com base nela, encontramos 10202,45 para a resposta do item A e 13.066,57 para o item B.



Calculo i e ii.


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Continuacao?

Ola! Me chamo Diego Oliveira e sou o professor responsavel por esse solucionario e variosoutros que voce encontra por a no Google. A partir daqui teramos as solucoes dos demaissistemas de amortizacao, entretanto a unica coisa que voce vera aqui sao os meus sinceros votosde boa sorte.

Quando um projeto comeca apresentar poucas visualizacoes e downloads julgo que das duasuma: ou os leitores nao estao gostando do trabalho que estou fazendo ou o livro caiu em desuso (ouambos). E como nao faz sentido continuar um trabalho que nao esta agradando ou interessandochegou o momento de parar.

Sendo assim, se voce me acompanhou ate aqui agradeco muito pelo interesse, mas de agoraem diante as atualizacoes que forem postadas deste arquivo (se forem) serao apenas de correcao.

matemática financeira (eridan costa)

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