Ejemplos de interés compuestoLos ejemplos nombrados a continuación fueron extraídos del material académico de la Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano y preparados por la docente Aída Guzmán Cruz, a quienes damos nuestro mas sinceros agradecimientos.

1° Ejemplo. Pago de una Deuda

La señora Betty Páez tiene una deuda, la cual deberá cancelar dentro de dos años

y medio, por valor de $5'300.000, a una tasa de interés del 2.5% mensual. Si la

señora desea cancelar la deuda hoy, ¿Cuánto debe pagar?

La representación en la línea del tiempo es:

VA =?VF =$5.300.000

i =2.5% mensualn =30 meses

Una observación importante es que si los períodos de capitalización están en meses, la

tasa debe ir expresada en términos mensuales.

Es decir, la magnitud del tiempo de capitalización, debe ser la misma magnitud de

tiempo en que esté expresada la tasa.

Identificadas las variables, el valor actual de la deuda se estima mediante la formula:

VA = VF (1 + i)-n

VA = 5.300.000 (1 + 0,025)-30

VA = $2.526.736,25

Valor a cancelar hoy $ 2.526.736,25

2° Ejemplo. Apertura de una Cuenta de Ahorros

José Prieto va a depositar en una cuenta de ahorros hoy $500.000 y no hará ningún

otro tipo de depósito o de retiro durante 2 años.

Tiene las siguientes alternativas

a. Banco de Bogotá: reconoce un rendimiento del 2% mensual

b. Banco BBVA reconoce un rendimiento del 5% trimestral

c. Banco Davivienda: reconoce un rendimiento del 6% semestral

d. Banco Caja Social Colmena - BCSC: reconoce un rendimiento del 4.5% bimestral

¿Cuál será la mejor opción?

Para determinar la alternativa más conveniente es necesario estimar el valor futuro

(VF) de cada posibilidad y la mayor será la mejor, desde el punto de vista de

generación de valor.

a. Banco de Bogotá

Representación en la línea del tiempo:

VA =$500.000VF =?

n =24 mesesi =2% mensual

Estimación del valor futuro (VF):

VF = VA (1 + i)n

VF = 500.000 (1 + 0,02)24

VF = $ 804.218.62

Valor acumulado en 2 años capitalizable mensualmente $ 804.218.62

b. Banco BBVA

Representación en la línea del tiempo:

VA =$500.000VF =?

n =8 mesesi =5% mensual

Estimación del valor futuro (VF):

VF = VA (1 + i)n

VF = 500.000 (1 + 0,05)8

VF = $738.727,72

Valor acumulado en 2 años capitalizable trimestralmente $738.727,72

c. Banco Davivienda

Representación en la línea del tiempo:

VA = $500.000VF = ?n = 4 semestresi = 6% semestral

Estimación del valor futuro (VF):

VF = VA (1 + i)n

VF = 500.000 (1 + 0,06)4

VF = $ 631.238,48

Valor acumulado en 3 años capitalizable semestralmente $631.238,48

d. Banco Caja Social Colmena

Representación en la línea del tiempo:

VA =$500.000VF =?

n =12 bimestresi =4.5 % bimestral

Estimación del valor futuro (VF):

VF = VA (1 + i)n

VF = 500.000 (1 + 0,045)12

VF = $ 847.940,72

Acumulado en 2 años capitalizable bimestral $847.940,72

Ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 dentro de 10 años al 8% de interés?

PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93

Así que $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años dan $10,000

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual deberían decirlo!

Ejemplo: tomas prestados $1,000 durante 12 meses y dicen "1% al mes", ¿cuánto tienes que devolver?

Sólo tienes que usar la fórmula del valor futuro con "n" el número de meses:

FV = PV × (1+r)n = $1,000 × (1.01)12 = $1,000 × 1.12683 = $1,126.83 a devolver

También se puede tener interés anual pero varias veces en el mismo año, lo que se llama Composición periódica.

Por ejemplo, 6% de interés "compuesto mensualmente" no quiere decir 6% cada mes, sino 0.5% al mes (6% entre 12 meses), y se calcularía así:

FV = PV × (1+r/n)n = $1,000 × (1 + 6%/12)12 = $1,000 × (1.005)12 = $1,000 × 1.06168... = $1,061.68 a devolver

Esto es lo mismo que un 6.168% durante un año ($1,000 se han convertido en $1,061.68

Ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?

r = ( $5,000 / $1,000 )1/20- 1 = ( 5 )0.05- 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838

Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años.

Ejemplo: ¿Cuántos años hacen falta para que $1,000 se hagan $10,000 al 5% de interés?

n = ln( $10,000 / $1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19

¡47 años! Pero es que estamos hablando de multiplicar el dinero por 10, sólo al 5% de interés.