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Regime finanziario di capitalizzazione a interessi anticipati
Ponendo:
C = Capitale iniziale
M = Capitale disponibile in t (capitale finale)
I= Interesse
d = tasso di sconto della legge coniugata di attualizzazione
Si ha
dtCM−
=1 dt
dtCCMI−
=−=1
dt)t(f
−=11
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Regime finanziario di capitalizzazione a interessi anticipati
La legge di sconto coniugata al regime ad interessi anticipati è detta “a sconto commerciale”
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Confronto fra i fattori di montante nei tre regimi
1.51.2510.750.50.250
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x
y
x
y
Nel grafico riportiamo le curve che descrivono i fattori di montante propri dei tre regimi finanziari che abbiamo analizzato in dettaglio: semplice, composto, interessi anticipati.
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Confronto fra i fattori di montante nei tre regimi
Le tre curve si intersecano in due soli pti di coord.risp. (0, 1) e (1, 1 + i). Infatti tutti i fattori di montante valgono 1 all'epoca di valutazione; inoltre, per la definizione di tasso unitario di interesse, il fattore di montante all'epoca t = 1 vale 1 + i per qualsiasi regime finanziario di capitalizzazione.
Si noti che a parità di tasso d'interesse i, per 0 < t < 1, il montante ad interesse semplice risulta maggiore del montante a interesse composto, che a sua volta è maggiore di quello ad interesse anticipato, mentre le disuguaglianze si invertono per t > 1.
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Forza di interesse
I regimi finanziari posso anche essere descritti analizzando in che modo si manifesta l’accrescimento del montante nel tempo, ovvero il processo di formazione dell’interesse.
Si consideri infatti l'interesse I(t, t + ∆t) prodotto dalla capitalizzazione nell'intervallo di tempo (t, t + ∆t), cioè:
I(t, t + ∆t) = M(t + ∆t) – M(t).
Consideriamo questa capitalizzazione, di durata ∆t, “isolata” dal contesto. Il tasso d'interesse di questa saràallora:
)()(
)()(
) ,(tf
tftt ftM
tMtt Mttti
)(−∆+=)(−∆+= ∆+
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Forza di interesse
Se f(t) è differenziabile, calcolando il limite per ∆t → 0 dell'intensità d'interesse, si ottiene:
Definiamo intensità d'interesse il rapporto
)t(fttftt f
t)tt, ti 1)(( ⋅
∆)(− ∆+=
∆∆+
)t(f)t('f
t)tt,t(i
limt
=∆
∆+→∆ 0
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Forza di interesseSi definisce intensità istantanea d'interesse o
forza d'interesse la funzione:
)t(f)t('f)t( =δ
La forza d'interesse individua in modo univoco la legge di capitalizzazione corrispondente.
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Forza di interesse nel regime a capitalizzazione semplice
Ricordando la definizione di forza di interesse, nel regime della capitalizzazione semplice si ha
iti
)t(f)t('f)t(
+==1
δ
che risulta essere dipendente dal tempo.
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Forza di interesse nel regime a capitalizzazione composta
Ricordando la definizione di forza di interesse, nel regime della capitalizzazione composta si ha
)iln()t(f)t('f)t( +== 1δ
che risulta essere costante.
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Forza di interesse nel regime di capitalizzazione a interessi anticipati
Ricordando la definizione di forza di interesse, nel regime della capitalizzazione a interessi anticipati si ha
dtd
)t(f)t('f)t(
−==1
δ
che risulta essere dipendente da t.
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Dalla forza di interesse al regime finanziarioDalla definizione
)t(f)t('f)t( =δ
integrando ambo i membri sull’intervallo [0, t] segue:
ds)s(f)s('fds)s(
t t
∫ ∫=0 0δ da cui
[ ]
)t(fln)(f)t(f
ln
)s(flnds)s(tt
==
==δ∫
0
00
∫=
tds)s(
e)t(f 0δ
e infine
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Scindibilità
Consideriamo la possibilità di interrompere anticipatamente l’operazione di investimento e immediatamente riprenderla, e valutiamo gli effetti finanziari di questa strategia, confrontandone il montante finale con quello che si potrebbe conseguire procedendo senza interruzioni.
Le alternative sono schematizzabili ad esempio nel modo seguente:
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Scindibilità
Investire Euro 5000 a t0 = 1/1/2004 e incassare M2 al tempo t = 30/6/2004.
01-01-2004
5000
30-06-2004
M2
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Scindibilità
Interrompere l’op. fin. in t1 = 30/5/2004 e sempre in t1reimpiegare il montante allora disponibile fino a t = 30/6/2004
1/1/04
5000
30/6/0430/5/04
M’M’2
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Scindibilità
A priori, non è certo che i montanti a scadenza abbiano valori uguali; le leggi finanziarie per le quali ciò accade si dicono scindibili.
Una legge si dice scindibile se il montante di un capitale C, impiegato fino a t ad un tasso assegnato i, non varia se l’impiego viene interrotto in t1, con 0< t1< te il montante ottenuto in t1 viene immediatamente reimpiegato alle stesse condizioni per il tempo rimanente t – t1, ossia se f(t) soddisfa la seguente relazione:
f(t) = f(t1) f(t – t1) con 0 < t1 < t
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Scindibilità
Teorema: Una legge finanziaria è scindibile se e solo se è esponenziale.
Dimostrazione: Sia 0< t1<t
cond. suff. Da f(t)=ekt (k>0) segue f(t1) f(t – t1)= ekt1 ek(t-t1) = ekt =f(t).
cond nec. Da f(t1) f(t – t1)=f(t) passando ai logaritmi di ambo i membri, si ha:
ln[f(t1) f(t – t1)]=ln f(t) e derivando rispetto a t segue:
Dt[lnf(t1) +ln f(t – t1)]=Dt[ln f(t)])t(f)t('f
)tt(f)tt('f =
−−+
1
10
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)t(f)t('f
)tt(f)tt('f =
−−+
1
10
Notiamo che il rapporto a primo membro ècostante al variare di t1, perciò si può scrivere: .)t(cosk
)t(f)t('f =
Integrando ambo i membri:kdsds
)s(f)s('f tt
∫∫ =00
Da cui, ln f(t)=kt, ossia f(t)=ekt.
Corollario
Una legge è scindibile se e solo se la forza d’interesse ad essa associata non dipende dal tempo.
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Scindibilità della capitalizzazione semplice
Sia C=5000, t=6 mesi, tasso trim. 1,5% con eventuale interruzione dopo 5 mesi
1) t = 6 mesi = 2 trimestri: M(2) = 5150€
2) t1=5 mesi=5/3 di trimestre: M’= 5125€; reimpiegandoimmediatamente questo importo, il montante in t = 2è M’(2) = M’ [1+i(t–t1)] =5150,62€
Seguendo le due modalità non si ottiene lo stesso montante: infatti, in caso di reimpiego si ottiene un montante maggiore. Pertanto la legge di capitalizzazione a interesse semplice non è scindibile.NB:NB: dipende dal fatto che la forza di interesse dipende da t
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Scindibilità della capitalizzazione composta
Sia C=5000, t=6 mesi, tasso trim. 1,5% con eventuale interruzione dopo 5 mesi:
1) t =6 mesi=2 trimestri: M(2) = 5151,12
2) t1=5 mesi=5/3 di trimestre M’=5125,62 reimpiegandoimmediatamente questo importo, il montante in t = 2è
M’(2) = M’ [1+i]1/3 =5151,12 Quindi, poiché M(2) = M’(2), in caso di reimpiego si
ottiene lo stesso montante.
Ciò avviene perché la legge di capitalizzazione a interesse composto è scindibile.
NB:NB: dipende dal fatto che la forza di interesse è costante
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Scindibilità della capitalizzazione a interessi anticipati
Poniamo C=5000, t=6 mesi, in questo caso d=i/(1+i)=1,48% con eventuale interruzione dopo 5 mesi:
1) t = 6 mesi=2 trimestri:M(2) = 5.152,28
2) t1=5 mesi=5/3 di trimestre M’=5126,45 reimpiegandoimmediatamente questo importo, il montante in t = 2è
M’(2) = M’ /(1-d/3) =5151,87 €
Quindi, poiché M’(2) < M(2), in caso di reimpiego si ottiene un montante minore: la legge di capitalizzazione a interesse anticipato non è scindibile.
NB:NB: dipende dal fatto che la forza di interesse dipende da t