matematica generale

Matematia GeneraleMarellino Gaudenzi4 ottobre 2010

2

Indie1 Insiemi, numeri reali e funzioni1.1

1.2

1.3

1.4

Elementi di insiemistia

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Operazioni sui sottoinsiemi

. . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Impliazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Impliazioni ed equivalenze

. . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Quantiatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Insiemi numerii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1

Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.2

Numeri reali ampliati ed intervalli

18

1.3.3

Numeri naturali, interi, razionali ed irrazionali

. . . . . .

19

1.3.4

Minimo e massimo, estremo superiore ed inferiore . . . . .

20

1.3.5

Valore assoluto e parte intera di un numero reale

. . . . .

23

1.3.6

Rappresentazione dei numeri reali sulla retta

. . . . . . .

25

1.3.7

Rappresentazione delle oppie di numeri reali nel piano . .

25

Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

. . . . . . . . . . . . .

1.4.1

Denizioni di base

1.4.2

Funzione omposta e funzione inversa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Insiemi numerabili e non-numerabili

1.6

Max, Min, Sup ed Inf di funzioni

28

. . . . . . . . . . .

40

. . . . . . . . . . . . . . . .

46

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

1.6.1

Massimo e minimo di una funzione a valori reali . . . . . .

51

1.6.2

Funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1.6.3

Su

essioni

56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Funzioni esponenziali e trigonometrihe2.1

17

Potenze, esponenziali e logaritmi

63

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.1.1

Potenze ad esponente intero e radii n-esime . . . . . . . .

63

2.1.2

Funzioni potenza ad esponente reale

. . . . . . . . . . . .

69

2.1.3

Funzioni esponenziali e logaritmihe

. . . . . . . . . . . .

72

3

4

INDICE

2.2

2.3

2.4

Funzioni trigonometrihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.2.1

Misura di un angolo in radianti . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.2.2

Le funzioni seno e oseno e loro propriet

. . . . . . . . .

84

2.2.3

Le funzione tangente e sue propriet

. . . . . . . . . . . .

93

Costruzione di grai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.3.1

Funzioni pari, dispari ed inverse . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.3.2

Traslazioni, riessioni e valore assoluto . . . . . . . . . . . 101

2.3.3

Compressioni, dilatazioni e funzione reiproa . . . . . . . 104

2.3.4

Funzioni omposte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Ulteriori eserizi sulle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3 Lo spazio Rn

113

3.1

nL'insieme R

3.2

Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Limiti e ontinuit4.1

4.2

4.3

4.4

123

La denizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.1.1

Verihe della denizione di limite

4.1.2

Funzioni di pi variabili

4.1.3

Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Teoremi fondamentali sui limiti

. . . . . . . . . . . . . 126

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.2.1

Teoremi algebrii sui limiti e forme indeterminate . . . . . 137

4.2.2

Continuit e limiti delle funzioni elementari

. . . . . . . . 143

4.2.3

Teorema sul limite della funzione omposta

. . . . . . . . 145

4.2.4

Teoremi del onfronto e permanenza del segno . . . . . . . 147

4.2.5

Limiti di su

essioni

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2.6

Il numero di Nepero

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Limiti notevoli, inniti ed innitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3.1

Limiti notevoli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.3.2

Inniti ed innitesimi

4.3.3

Esempi di alolo dei limiti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157. . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Teoremi fondamentali sulla ontinuit

. . . . . . . . . . . . . . . 162

5 Calolo dierenziale5.1

173

Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.1.1

Signiato geometrio della derivata

5.1.2

Derivata della funzione omposta e dell'inversa

. . . . . . . . . . . . 179

5.1.3

Le funzioni

5.1.4

Derivate delle funzione elementari . . . . . . . . . . . . . . 189

5.1.5

Derivate su

essive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

arcsin x, arccos x, arctan x

. . . . . . 180

. . . . . . . . . . . 184

5

INDICE

5.2

Calolo dierenziale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.2.1

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange . . . . . . . . . . . . . 193

5.2.2

Cresenza e deresenza

5.2.3

Problemi risolubili mediante il alolo dierenziale

5.2.4

Regola di L'Hpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.2.5

La formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.2.6

Funzioni onvesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.2.7

Asintoti

5.2.8

Esempi di studi di funzione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227. . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6 Teoria dell'integrazione6.1

6.2

. . . . 206

239

L'integrale seondo Riemann

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.1.1

Introduzione

6.1.2

La denizione d'integrale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.1.3

Propriet delle funzioni integrabili

6.1.4

Integrabilit delle funzioni ontinue . . . . . . . . . . . . . 251

6.1.5

Il Teorema della Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

6.1.6

Primitive di una funzione

6.1.7

Il teorema fondamentale del alolo integrale

Calolo degli integrali indeniti

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 241. . . . . . . . . . . . . 248

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 256. . . . . . . 256

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.2.1

Integrali indeniti immediati

6.2.2

Integrazione mediante deomposizioni in somme . . . . . . 266

. . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.2.3

Integrazione per parti

6.2.4

Integrazione per sostituzione

6.2.5

Integrazione delle funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . 272

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267. . . . . . . . . . . . . . . . 269

6.3

Volumi di solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

6.4

Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

7 Funzioni di due variabili7.1

7.1.17.2

7.3

295

Curve di livello e ontinuit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Calolo dierenziale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

7.2.1

Derivate parziali

7.2.2

Derivate parziali di ordine superiore

7.2.3

Forme quadratihe in

Ottimizzazione

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

R2

. . . . . . . . . . . . 307

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

7.3.1

Ottimizzazione libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

7.3.2

Ottimizzazione vinolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

6

INDICE

A Rihiami di Geometria AnalitiaA.1

341

Rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341A.1.1

Cambiamenti di riferimento nel piano

A.1.2

Cironferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

. . . . . . . . . . . 347

A.2

Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

A.3

Ellisse e iperbole

A.4

Conihe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Capitolo 1

Insiemi, numeri reali e funzioni1.1 Elementi di insiemistia1.1.1 InsiemiIl onetto d'insieme verr onsiderato ome primitivo, quindi non ne verr datauna denizione.In pratia per insieme intendiamo una famiglia o ollezione o lasse di oggetti

he verranno detti elementi dell'insieme onsiderato.Nel seguito on lettere maiusole indiheremo insiemi e on lettere minusolegli elementi. Il simbolo

verr usato per indiare l'appartenenza di un oggetto ad un dato insieme. Sriveremo x

E E .

appartiene ad

e leggeremo x un elemento dell'insieme

E

oppure x

Il simbolo

6india la negazione dell'appartenenza, sriveremo un elemento dell'insieme

E

x 6 E

e leggeremo x non

oppure x non appartiene ad

E

.

Un insieme individuato dai suoi elementi. Per elenare gli elementi di uninsieme useremo notazioni del tipo:

E = {1, 2, 3, 4}F = {a, e, i, o, u}G = {2, 4, 6, 8, ...}H = {Roma, P arigi, T okio}1

2

CAPITOLO 1.

INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI

Aluni insiemi he si presentano molto frequentemente verranno indiati onsimboli partiolari, ome

N l'insieme dei numeri naturali, io {1, 2, 3, ...}Z l'insieme dei numeri interi, io {..., 2, 1, 0, 1, 2, ...}Q l'insieme dei numeri razionaliR l'insieme dei numeri reali.Un'altro modo per indiare gli insiemi (in genere pi preiso) si ha preisando

una propriet he veriano tutti e soli gli elementi dell'insieme. Ad esempio nel

aso degli insiemi

E, F, G

onsiderati in preedenza possiamo usare le notazioni

E = {x : x N

e

x 4}

F = {x : xG = {x : x N

ed

x

oppure

E = {x N : x 4}}

una voale

pari} oppure

E = {x N :

pari.}

Supporremo l'esistenza di un unio insieme privo di elementi.

Esso verr

detto l'insieme vuoto e useremo il simbolo

.A

Due insiemi

e

B

si diono uguali se hanno gli stessi elementi, se io

ogni elemento he appartiene adappartiene a

B

A

appartiene anhe a

appartiene anhe ad

A.

Se

A

e

B

B

e ogni elemento he

sono uguali sriveremo

A=B(altrimenti sriveremo

Esempio 1.1{x N :

Si onsideri

x2

Si ha:

A = {3, 2, 1, 4} B = {1, 2, 3, 4}, C = {2, 1, 4}, D =

= 3}.A = B , A 6= C , B 6= C , D = .

Denizione 1.1insieme

A 6= B ).

B

oppure he

Se ogni elemento dell'insieme

diremo he

B

inlude

A un sottoinsiemeA) e sriveremoAB

oppure

Nota 1.1

Dalla denizione data si ha he

Nota 1.2

Si assume he

di ogni insieme).

A

di

B

A

anhe un elemento dello

(oppure he

A

inluso in B,

B A.AA

qualsiasi sia l'insieme

per ogni insieme A (io he

A.

sottoinsieme

1.1.

Denizione 1.2B

di

3

ELEMENTI DI INSIEMISTICA

Se

e sriveremo

AB

A 6= B

e

diremo he

A

un sottoinsieme proprio

A $ B.

Esempio 1.2

Si onsiderino gli insiemi:

A = {x N : x

pari},

B = {2, 4, 8, 12},

Si hadi:

BA

C = {1, 2, 4, 8, 12}.

e anhe

B $ A, B C

D = {x : x

e anhe

B $ C,

mentre

C 6 B .

Nel aso

la apitale di uno stato europeo },

E = {P arigi, Roma, V ienna},

si ha:

ED

Nota 1.3A

F = {P arigi, Roma, F irenze, V ienna},e anhe

E $ F,

Dati due insiemi

anhe un elemento di

B

A

mentre

F 6 D .

B,

BA

e

se

e

e vieversa, quindi

A B alloraA = B.

ogni elemento di

Possiamo onsiderare anhe insiemi i ui elementi sia a loro volta insiemi

ome ad esempio:

A = {N, Z, R},B = {},

C = {{1, 2}, {2, 6, 7}, {1}}.

Osserviamo he

B 6= , infatti B

possiede un elemento (l'insieme vuoto) dunque

2 6 C

e he

D = {1, 2} 6 C ,

un insieme. Con

P (A)

indihiamo l'insieme di tutti i

non vuoto. Si osservi anora hema

1 6 C .

Denizione 1.3sottoinsiemi di

Sia

A

infatti

1D

A.

Esempio 1.3I1 = {1},

I2 = {1, 2},

P (I1 ) = {, {1}}

P (I2 ) = {, {1}, {2}, {1, 2}},

I3 = {1, 2, 3}

P (I3 ) = {, {1}, {2}, {1, 2}, {3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.Si pu veriare he se

A

possiede

n

elementi,

P (A)

possiede

2n

elementi.

4

CAPITOLO 1.


1.1.2 Operazioni sui sottoinsiemiNel seguito indiheremo on

A, B, C, ...

sottoinsiemi di uno stesso insieme

U

(detto insieme universo).

Denizione 1.4

L' unione di due insiemi

gli elementi he appartengono addi

A

e

B

A

verr indiata ol simbolo

Quindi

A B = {x : x A

A

oppure a

B l'insieme ostituito da tuttiB oppure ad entrambi. L'unione

e

A B.

oppure

x B}.

Figura 1.1: Unione di due insiemi

Esempio 1.4

Siano: A = {2, 3, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 8}.A B = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}

Denizione 1.5

Quindi

A

e

B


A B = {x : x A

Esempio 1.5

Siano

Denizione 1.6

e

e

B

l'insieme ostituito

A

Quindi

e

B

A = {2, 3, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 8}.

La dierenza di due insiemi

Esempio 1.6

A


A \ B = {x : x A

e

A

oppure a

B.

A B.

x B}.

tutti gli elementi he appartengono adrenza di

A

da tutti gli elementi he appartengono ontemporaneamente adL'intersezione di

L' intersezione di due insiemi

Allora

A

e

B

Allora

A B = {2, 3}.

l'insieme ostituito da

ma non appartengono a

A \ B.

x 6 B}.

A = {2, 3, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 8},A \ B = {7, 9}, B \ A = {1, 4, 8}.

B.

La die-

1.1.

5


Figura 1.2: Intersezione di due insiemi

Figura 1.3: Dierenza tra due insiemi

Denizione 1.7

Dato un sottoinsieme

spetto ad U ) l'insiemec A (oppure C(A)).Quindi

cA

U \ A.

= {x : x U

e

A

di

U

si die omplementare di

A

(ri-

Il omplementare verr denotato on il simbolo

x 6 A}.

Si osservi he mentre l'unione, l'intersezione e la dierenza non dipendonodall'insieme di partenza

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

U,

il omplementare dipende strettamente da

Sia U = N, A = {1, 3, 5, ...} (io l'insieme dei numeri= {2, 4, 6, ...} (io l'insieme dei numeri pari).cNel aso invee U = Z si ha A = {..., 3, 2, 1, 0, 2, 4, 6, ...}.

U.dispari).

cA

cA

Sia U = R ed A = {x R : 2 < x < 3}.= {x R : x 2 oppure x 3}.Veriare he

A \ B = A cB .

Si ha:

Per veriare questa uguaglianza insiemistia possiamo provare la doppiaA \ B anhe un elemento di A c B e

inlusione, io he ogni elemento di

6

CAPITOLO 1.

vieversa. Avremo os provato he


A \ B A c B

e he

A

cB

A \ B,

dunque per la Nota 1.3 si avr he i due insiemi oinidono.cVerihiamo he A\B A B . A tal ne si onsideri un qualsiasi elementox A \ B . Per denizione si ha he x A e x 6 B . Dunque x A e x c B ,ce os x A B .cVerihiamo ora he A B A \ B . A tal ne prendiamo un qualsiasiccelemento x A B . Per denizione si ha he x A e x B . Dunque x Ae

x 6 B ,

pertanto

x A \ B.

Proposizione 1.1

(Leggi di De Morgan) Dati due insiemi

dell'insieme universo

U

A

e

B

sottoinsiemi

si ha:

cc

(A B) =(A B) =

cc

A cBA cB

Dimostrazione. Proveremo solo la prima relazione

c (A B)

=c A c B , lasiamo

al lettore la veria della seonda.Come nell'esempio preedente proviamo la doppia inlusione.

x c (A B), dunque x 6 A B . Ci signia he x non appartiene n adA n a B , dunque x 6 A e x 6 B . Si ha ontemporaneamente x c A e x c Bccdunque x A B .cccVieversa sia x A B . Si ha per la denizione d'intersezione: x A ecx B , dunque x 6 A e ontemporaneamente x 6 B . Possiamo onludere hex 6 A B dunque x c (A B).

Sia

Denizione 1.8

l'insieme ostituito da tutte le oppie ordinate

(x, y), essendo x AA B.

prodotto artesiano verr indiato on il simbolo

Esempio 1.10

A e By B . Il

Chiamiamo prodotto artesiano di due dati insiemie

Siano A = {1, 2, 4, 7}, B = {a, b, c}. Si ha:AB ={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (4, a), (4, b), (4, c), (7, a), (7, b), (7, c)}.

1.1.

7


Esempio 1.11

Sia

A = N, B = R, A B

sar ostituito da tutte le oppie di

numeri reali in ui il primo elemento un numero naturale.

Denizione 1.9la ardinalit di

Dato un insieme nito

A

Si noti he se

A il numero(A).

degli elementi di

A

si die

e si india ol simbolo

A

B

e

sono insiemi niti allora:

(A B) = (A) (B),

(A B) (A) + (B).A B potrebbe essereA e B , infatti se A e B hanno elementi

E' faile rendersi onto he il numero degli elementi dipi pi

olo della somma degli elementi diin omune onsiderando

(A) + (B)

questi elementi vengono ontati 2 volte,

per ottenere il numero esatto di elementi dielementi di

A

e

B

AB

o

orre quindi sommare gli

e togliere il numero di elementi in omune, si ha quindi:

(A B) = (A) + (B) (A B).

Esempio 1.12

(1.1)

In una lasse tutti gli studenti studiano almeno una lingua tra

inglese ed franese.

18 studiano inglese, 9 franese.

6 studenti studiano sia

inglese he franese. Quanti sono gli studenti della lasse?

Indihiamo on

C

l'insieme degli studenti della lasse, on

gli studenti he studiano inglese e on

F

I

l'insieme de-

l'insieme degli studenti he studiano

franese. Si ha:

(C) = (I F ) = (I) + (F ) (I F ) = 18 + 9 6 = 21.La relazione (1.1) si pu estendere al aso di pi insiemi. Nel aso di 3 insiemisi ha:

(AB C) = (A)+(B)+(C)(AB)(AC)(B C)+(AB C).(1.2)

8

CAPITOLO 1.


Eserizi1. Siano

U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d}, B = {b, d, e}.A B , B A, c B , B \ A, c A B , A c B , c B \c A, c (B A).

Calolare:

2. Disegnare in ogni diagramma di Venn l'insieme sottoindiato:

U = R. Posto A = {x R : 2 < x 0}, B = {x R : 0 x 6},C = {x R : 1 < x < 6}, determinare:A B , A B , C B , A C , A \ B , A \ C , c A, c B .Calolare poi (A B) C e veriare la validit della propriet distributiva,

io (A C) (B C).4. Siano A e B due insiemi.cc4a. Provare he: A \ B = B \ A4b. Provare he B A implia A (B \ A) = B .3. Sia

5. In un gruppo di ragazzi tutti pratiano almeno uno sport tra alio e basket.10 di essi gioano a alio, 14 gioano a basket, inoltre 7 gioano sia a basket

he a alio. Quanti sono i ragazzi?6. In un gruppo di 29 ragazzi tutti pratiano almeno uno sport tra alio, baskete pallavolo. 19 di essi gioano a alio, 16 a basket, 11 a pallavolo. Inoltre 10gioano sia a basket he a alio, 5 gioano sia a alio he a pallavolo e solo 3pratiano tutti e tre gli sports. Quanti sono i ragazzi he gioano sia a basket

he a pallavolo?

1.1.


9

RisposteA B = {a, b, d, e}. B A = {b, d}. c B = {a, c}. B \ A = {e}. c A B = {e}.A c B = {a, b, c, d}. c B \c A = {a}. c (B A) = {a, c, e}.

1.

2.

AB = (2, 6]. AB = {0}. CB = (1, 6]. AC = (1, 0], A\B = (2, 0).A \ C = (2, 1]. c A = (, 2] (0, +). c B = (, 0) (6, +).(A B) C = C. A C = (1, 0]. B C = [0, 6). (A C) (B C) = (1, 6).3.

x c A \c B allora x c A e x 6c B , dunque x c A e x B , osx B \ A, io c A \c B B \ A. Vieversa se x B \ A allora x B e x 6 A,ccccccquindi x 6 B e x A e os x A \ B . Si ha os B \ A A \ B . Le dueccccccrelazioni: A \ B B \ A, B \ A A \ B impliano A \ B = B \ A.4a.

Se

x A (B \A) allora o x A oppure x B . Poih A B in entrambi i

asi x B , quindi A (B \ A) B . Vieversa supponiamo he x B . Se x Aallora x A (B \ A), se invee x 6 A allora x B \ A, dunque x A (B \ A).Quindi B A (B \ A) .4b. Se

5. I ragazzi sono 17.6.

Appliando la formula (1.2) si ha he vi sono 5 ragazzi he gioano sia a

basket he a pallavolo.

10

CAPITOLO 1.


1.2 Impliazioni1.2.1 Impliazioni ed equivalenze=

Nel seguito verranno usati spesso i simboli

e

detti rispettivamente di

impliazione e di equivalenza (o doppia impliazione). Sia X un insieme e siano

r

e

s

due date propriet.

r = sogni

xX

r

he veria la propriet

signia

veria anhe la propriet

s.

Posto

R = {x X : x

veria la propriet

r},

S = {x X : x

veria la propriet

s}

allora

r = sQuindi se l'impliazione

x R\S

(io ogni elemento di

la propriet

r = s

s)

R S.

signia

falsa allora

X

R 6 S

he veria la

R \ S 6= . Ognipropriet r ma non veria

io

viene detto un ontroesempio dell'impliazione onsiderata.

Esempio 1.13

X =Personer : x italiano,s: x europeo.L'impliazione r = s valida.L'impliazione s = r falsa, Tony Blair

Esempio 1.14r: x

X

isosele,

L'impliazione

un ontroesempio.

insieme dei triangoli

s: x equilatero.r = s non valida,

ogni triangolo rettangolo on i due

ateti uguali un ontroesempio.L'impliazione

s = r

Nel aso in ui

valida.

r = sse

equivalente alla propriet

ed inoltre

s = r

r

se e solo se

x

diremo he la propriet

sriveremo

r s.In tal aso diremo anhe he r equivale averia

Per quanto riguarda gli insiemi

r s

s

o anhe x veria

r

s.signia

R = S.

R

ed

S

introdotti in preedenza, si ha he

1.2.

11

IMPLICAZIONI

Esempio 1.15

Stabilire in iasuno dei asi he seguono se valgono:

s = r , r s.

r = s,

Nel aso in ui l'impliazione non sia valida se ne determini

un ontroesempio.

X = N; r : x un numero pari, s: 5x numero pari.(b) X = N; r : x un numero pari,s: 6x numero pari.() X = R; r : x > 5 ,s: x + 2 > 5.(d) X = N; r : x un numero primo,s: x dispari.22(e) X = R R; r : x > y ,s: x > y .++(f ) X = R R ; r : x > y ,s : x2 > y 2 .+(Nota: R = {x R : x > 0)(a)

Risposte:

(a) L'impliazione

r = s

valida.

Infatti un numero pari se esso un

multiplo di 2, e se un numero un multiplo di 2 allora moltipliato per unqualsiasi altro numero rimane anora un multiplo di 2.L'impliazione

s = r

valida, infatti se

5x

pari 2 un suo divisore, ma

2 non un divisore di 5, quindi deve essere un divisore di

x,

di onseguenza

x

pari.

r s.r = s valida (vedi il aso preedente). L'impliaziones = r non valida, x = 5 un ontroesempio, infatti 6x = 30 pari ma xnon pari. L'impliazione r s non valida.() L'impliazione r = s valida. L'impliazione s = r non valida, x = 4Poih valgono entrambe le impliazioni si ha:

(b) L'impliazione

un ontroesempio.(d) Un numero primo un numero he ha ome unii divisori 1 e se stesso.Quindi 2 primo ma esso non dispari, pertanto l'impliazione

r = s

non

valida (in questo aso abbiamo un unio ontroesempio ma i basta per invalidare l'impliazione).

L'impliazione

s = r

non valida,

x = 15

un

r s non valida.r = s non valida, la oppia x = 2, y = 3 un ontroesempio. L'impliazione s = r non valida, la oppia x = 3, y = 2 un

ontroesempio. L' impliazione r s non valida.(f ) Una delle propriet dei numeri reali stabilise he se a > b e c > 0 alloraac > bc (se in una disequazione moltiplihiamo entrambi i membri per uno stessonumero positivo la disequazione si onserva). Pertanto se x, y sono numeripositivi si ha: x > y = xx > xy e xy > yy (moltiplihiamo prima per x e poi22per y ), pertanto x > y = x > xy > y dunque l'impliazione r = s valida.22Sia ora x > y . Si avr x = y oppure x < y oppure x > y , mostriamo22

he solo l'ultima relazione possibile. Infatti se x = y allora x = y dunque22non possiamo avere x > y . Se invee x < y , poih x ed y sono positivi dalla22validit della impliazione r = s (gi veria in preedenza) si ha x < y he

ontroesempio. L' impliazione(e) L'impliazione

12

CAPITOLO 1.

non pu essere vero.


Dunque si deve avere

x > y

e l'impliazione

valida. Poih valgono entrambe le impliazioni si ha:

s = r

r s.

Molti dei risultati he vedremo durante il orso onsisteranno proprio nellostabilire he una erta impliazione logia:

r = s

valida.

si legge anhe r ondizione suiente per la validit di

s ondizione neessaria per la validit di

s

r = s

r s

si legge: r ondizione

s,

oppure

r .

neessaria e suiente per la validit di

r quindi una ondizione il ui veriarsi omporta automatiamente il veriarsi della propriet s. Ad esempio: x tosano una ondizione suiente anh valga la ondizione x italiano.Una ondizione neessaria s invee una ondizione he onseguenza delveriarsi di r . Ad esempio: x europeo una ondizione neessaria anhsi verihi la ondizione x italiano.Una ondizione suiente

Esempio 1.16

Avere ompiuto 18 anni una ondizione neessaria per ottenere

la patente (ma non suiente).

Esempio 1.17

Avere ottenuto un voto superiore a 24 una ondizione su-

iente per superare un esame universitario (ma non neessaria).

Esempio 1.18

Vinere tutte le partite per una squadra di alio una ondi-

zione suiente per vinere un ampionato (non per neessaria).

Esempio 1.19>2

Condizione neessaria (ma non suiente) anh un numero

sia primo he esso sia dispari.

Condizione suiente (ma non neessaria) anh un numero he

x {11, 13, 17, 19, 23}.

Condizione neessaria (ma non suiente) anh un numero

x

sia primo

x sia positivo

he il suo quadrato sia positivo.Condizione neessaria e suiente anh un numero sia positivo he ilsuo ubo sia positivo.

1.2.

13

IMPLICAZIONI

1.2.2 Quantiatori

Il simbolo

si legge per ogni oppure qualunque sia.

Spesso verr usato

per abbreviare denizioni ed enuniati. Esempio: ogni numero reale positivoelevato al quadrato maggiore o uguale a zero verr sritto pi sintetiamente: x

R, x2 0.

Analogamente il simbolo

si legge esiste

oppure esiste almeno un. Esem-

pio: C' almeno un numero reale he elevato al quadrato da 3 verr sritto

R : x2 = 3.

x

Il simbolo

rappresenta la negazione di esiste almeno

un e si legge non esiste alun. Esempio: Non ' alun numero reale il uiquadrato uguale a -1 verra' sritto xSia

A X.

R : x2 = 1.

x A, r(x)

signia:qualsiasi siaSe indihiamo on

A, r(x)

a(x)

x A, x

veria la propriet

la propriet he

x

appartenga ad

r(x).

A,

la ondizione

analoga ad

x

a = r.Se l'enuniato

x A, r(x)

propriet

a = r , quindi devex A he non veria la

non valido allora non vale

esistere almeno un ontroesempio io un elemento

r(x).

Analogamente

x A, r(x)signia:esiste almeno un elementoSe indihiamo on

he

x

R

xA

l'insieme degli

x

he veria la propriet

r(x).

r , x A, r(x) signiaA R = , io ogni elemento

he veriano

A R 6= . Se l'enuniato non valido alloraA non veria la propriet r(x).Il simbolo r(x) signia he x non veria la propriet r(x).

di

Possiamo ora

onludere:la negazione dila negazione di

Nota 1.4

x A, r(x)x A, r(x)

x A, r(x).x A, r(x).

Consideriamo l'enuniato Ogni italiano sa nuotare. La sua nega-

zione C' un italiano he non sa nuotare.

Per stabilire he l'enuniato

vero dobbiamo veriare he ognuno dei 58 milioni di italiani sa nuotare, per

14

CAPITOLO 1.


stabilire he falso (quindi per negare l'enuniato) basta trovare un solo italiano he non sappia nuotare. Attenzioni quindi he la negazione dell'enuniato:Ogni italiano sa nuotare non : Ogni italiano non sa nuotare.

Esempio 1.20

Sia

Esempio 1.21

Sia

A = {1, 7, 8, 9, 12, 13}.L'enuniato x A, x dispari falso, x = 8 un ontroesempio.L'enuniato x A, x minore di 100 vero.L'enuniato x A, x multiplo di 3 vero, infatti 9 multiplo di 3.L'enuniato x A, x multiplo di 5 falso, infatti ogni elemento di Anon multiplo di 5.A = R. A, x2 02 x A, x > 0

L'enuniato xL'enuniato

Esempio 1.22

vero. falso

x=0

un ontroesempio.

Ogni gioatore della Juventus italiano. L'enuniato falso,

Treseget un ontroesempio.

Esempio 1.23

C'e almeno una persona isritto al primo anno di Eonomia he

olandese. Falso, tutte le persone isritte non sono olandesi.

1.2.

15

IMPLICAZIONI

EseriziStabilire quali delle seguenti impliazioni ed equivalenze (onsiderate sull'insieme

X ) sono valide:21. X = R, x > 0 = x > 0;+22. X = R , x > 0 x > 0;23. X = R, x > 0 x 6= 0;324. X = R, x > x x > 1;435. X = R, x > x x > 1;2446. X = R , x > y = x > y ;2337. X = R , x > y x > y ;28. X = R , xy > 0 = x + y > 0;9. X = N, x dispari 5x dispari;

10. Nelle stato delle Isole Belle vale la seguente norma per l'esonero dai tributiSe il reddito del ontribuente minore di 6000 dollari oppure il primo anno heil ontribuente ha un reddito maggiore o uguale a 6000 dollari, il ontribuentenon deve pagare tributi. Si dia se:a) l'avere un reddito inferiore a 6000 dollari una ondizione neessariaoppure suiente per non pagare tributi;b) avere reddito pari a 7000 dollari una ondizione neessaria oppuresuiente per dover pagare tributi;

) la ondizione he il ontribuente ha sempre avuto redditi inferiori a 6000dollari negli anni preedenti una ondizione neessaria oppure suiente pernon pagare tributi.d) la ondizione he il ontribuente abbia un reddito maggiore o uguale a6000 dollari ed inoltre i sia stato almeno un anno in preedenza in ui abbiaavuto un reddito maggiore o uguale a 6000 dollari, una ondizione neessariaoppure suiente per dover pagare tributi.11. Nella Suola Superiore delle Isole Belle stata posta la seguente regola peril passaggio dalla prima alla seonda lasse: sono ammessi alla seonda lasse

oloro he hanno onseguito nelle 8 materie tutti voti maggiori o uguali a 6 onalmeno un voto superiore al 7. Si dia se:a) L'avere la media del 7 una ondizione neessaria oppure suiente peressere ammessi alla seonda lasse.b) L'avere la media superiore al 6 una ondizione neessaria oppure suiente per essere ammessi alla seonda lasse.

) L'avere tutti voti maggiori o uguali a 6 e la media superiore al 7 una

ondizione neessaria oppure suiente per essere ammessi alla seonda lasse.

16

CAPITOLO 1.


Risposte1. L'impliazione non valida,2. L'equivalenza valida.

x = 2

un possibile ontroesempio.

3. L'equivalenza valida.4. L'equivalenza valida.5. L'equivalenza non valida in quanto non valida l'impliazione

x4 > x3 = x > 1,

infatti

x = 1

un possibile ontroesempio. Si osservi he

x4 > x3da x < 0 unito a x > 1,

per ottenere un'equivalenza orretta si deve risolvere la disequazione

R. La soluzione di tale disequazione datax4 > x3 x (, 0) (1, +).L'impliazione non valida, x = 2, y = 3 un possibile

sull'insiemepertanto6.

ontroesempio.

7. L'equivalenza valida.

8. L'impliazione non valida,9. L'equivalenza valida.

x = 2, y = 1

un possibile ontroesempio.

10. a) La ondizione suiente, ma non neessaria. b) La ondizione non neessaria, n suiente. ) La ondizione suiente, ma non neessaria.d) La ondizione neessaria e suiente.11.

a) La ondizione non neessaria, n suiente.

neessaria, ma non suiente.neessaria.

b) La ondizione

) La ondizione suiente, ma non

1.3.

17

INSIEMI NUMERICI

1.3 Insiemi numeriiPer poter svolgere eserizi gi sui primi argomenti del orso, no a questo punto stato dato per noto il onetto di numero reale. Ora ne riprendiamo i fondamentianhe per mettere in evidenza alune propriet per niente banali di tale insieme.Proponiamo innanzitutto la denizione assiomatia he introdue le propriet algebrihe, di ordine e di ompletezza dell'insieme dei numeri reali.

1.3.1 Numeri realiI numeri reali sono gli elementi dell'insieme

R on i seguenti

assiomi (I, II, III):

Assiomi relativi alle operazioni)

I.

(

In

R

sono denite due operazioni

: R R R;: R R R;

+

dette rispettivamente somma e moltipliazione , he soddisfano le seguenti propriet

I1 )

x + y = y + x,x y = y x,

x, y R;x, y R;

(propriet ommutativa)

I2 )

x, y, z R;x, y, z R;

(x + y) + z = x + (y + z),(x y) z = x (y z),

(propriet assoiativa)

I3 )

0 R :1 R, 1 6= 0 :

x + 0 = x,x 1 = x,

x Rx R, x 6= 0,

y R :y R :

x R;x R;

(esistenza degli elementi neutri)

I4 )

(esistenza degli elementi inversi)

x (y + z) = x y + x z,

I5 )

(propriet distributiva)

II.In

x + y = 0;x y = 1;

x, y, z R

(Assiomi relativi all'ordinamento)

R

denita una relazione d'ordine, denotata on

propriet:

II1 )II2 )

per ogni oppia di numeri reali

x

ed

y,

,

si ha

he veria le seguenti

x y oppure y x;x y ed y x,

se valgono ontemporaneamente le due relazioni:si ha

x = y;

18

CAPITOLO 1.

II3 )II4 )

III.


x y allora vale anhe x + z y + z, z R;se valgono le relazioni: 0 x, 0 y allora si ha:0 x + y, 0 x y.se vale la relazione

(Assioma di ompletezza)

Dati due sottoinsiemi non vuotiesiste almeno un elemento

zR

A

e

di

R

tali he

tale he

xzy

Nota 1.5

B

x A

e

x y x A

e

y B ,

y B.

x, io l'elemento he sommato ad x da 0 verrx. L'inverso moltipliativo di x (x 6= 0), io l'elemento he1per x da 1 verr denotato on x .

L'inverso additivo di

denotato onmoltipliato

Nota 1.6

La notazione

Nota 1.7

Gli assiomi onsiderano solo la relazione di

xy

signia

x y signia y x,x y e x 6= y .

da questa infatti

x>y

signia

x+(y).

inoltre

La notazione

x a}[a, +) = {x R : x a}

Consideriamo i seguenti sottoinsiemi di

(a, b) = {x R : a < x < b}[a, b) = {x R : a x < b}(a, b] = {x R : a < x b}[a, b] = {x R : a x b}(, +) = R.Ognuno di questi sottoinsiemi di

R

(e solo questi) si die un intervallo .

E' omodo usare un simbolo partiolare per gli intervalli

R+ = (0, +),

(0, +), [0, +):

R+ = [0, +).

1.3.3 Numeri naturali, interi, razionali ed irrazionaliDagli assiomi dei numeri reali segue he esiste l'elemento neutro moltipliativo,denotato on

2 = 1+1

1

0.

e he tale elemento maggiore di

maggiore di

1,

he

3 = 1+1+1

Si ha anora he l'elemento

maggiore di

1+1

e os via.

L'insieme os ottenuto si hiama l'insieme dei numeri naturali e viene indiato

N:

on il simbolo

N = {1, 2, 3, 4, ...}.

I4 esistono gli elementi 1, 2, 3, ... e per gli assiomi II si ha 0 >1 > 2 > 3, .... Possiamo quindi onsiderare l'insieme Z dei numeri interi

ostituito dai numeri naturali, da tutti i loro opposti e dall'elemento 0, io:Per l'assioma

Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Per gli assiomi

I

os onsiderare

Inne l'insieme

p Z e q N allora esistono anhe i numeri 1q e pq , possiamol'insieme Q dei numeri razionali dato da:pQ = {x R : x = essendo p Z, q N}.qse

R\Q

si die l'insieme dei numeri irrazionali .

Dagli assiomi segue anhe il prossimo teorema he permette di introdurrela radie

n esima

di un numero reale positivo (la dimostrazione non tanto

semplie e viene omessa):

TEOREMAreale positivo

n = 2).

1.2y

x R+ ,n

he y = x.

Sia

tale

e sia

n N.

Tale numero

Allora esiste un unio numero

y

viene indiato on

n

x

(

x

se

20

CAPITOLO 1.

1.3

TEOREMA


Esistono numeri reali he non appartengono a

Dimostrazione. Proviamo he

2

Q.

(he un numero reale in virt del Teorema

1.2) non un numero razionale.

2 Q, allora esistono p Z, q N talip

hePoih2>0anhe p deve essere positivo dunque p N.qPossiamo assumere he p e q non sono entrambi pari, infatti altrimenti potremmoSupponiamo per assurdo he

= 2.

sempliare la frazione no a he uno dei due numeri dispari. Per la denizione

p2q2

= 2, io p2 = 2q 2 . Dunque p2 pari e i implia22

he p pari. Allora esiste p N tale he p = 2p , dunque 4p = 2q , pertanto222q = 2p . Possiamo onludere he q pari, dunque anhe q pari. Questo

ontraddie il fatto he almeno uno dei numeri p e q dispari, provando os

he2 6 Q.di radie quadrata si ha:

Nota 1.8 Dal risultato preedente si ottiene he qualsiasi sia il numero raziona-

le

r, r + 2

un numero irrazionale. Infatti posto

x = r+ 2

si ha

2 = x r.

Ma la somma e la dierenza di numeri razionali anora un numero razionale, quindi se

x

fosse razionale anhe

2

lo sarebbe, ontrariamente a quanto

provato nella dimostrazione del teorema preedente.

Possiamo onludere he

esistono inniti numeri irrazionali.

TEOREMA 1.4 Siano x, y due qualsiasi numeri reali tali he x < y . Alloral'intervallo (x, y) ontiene inniti numeri razionali ed inniti numeri irrazionali. Esempio 1.24 Sono dati gli insiemi A = {x Q : x 2}, B = {x R :x 2 N}. Veriare he x y x A e y B e determinare tutti i numeriz verianti l'assioma di ompletezza di R.Gli elementi di B sono tutti i naturali 3. Tutti gli elementi di A sono 2e tale numero minore di 3, dunque x < y x A e y B . Gli elementiz he veriano l'assioma di ompletezza sono tutti i numeri reali appartenentiall'intervallo [ 2, 3].

1.3.4 Minimo e massimo, estremo superiore ed inferioreIn questa sezione introdurremo alune denizioni molto importanti per il seguito.

Denizione 1.10Un elementoUn elementoUn elementoUn elemento

Sia A un sottoinsieme non vuoto di R.m A si die massimo per A se x m x A.y R si die un maggiorante di A se x y x A.m A si die minimo per A se m x x A.y R si die un minorante di A se y x x A.

1.3.

21

INSIEMI NUMERICI

Si osservi he l'unia dierenza nella denizione di massimo e di maggiorante data dal fatto he il massimo deve appartenere all'insieme (quindi il pigrande di tutti gli elementi dell'insieme) mentre un maggiorante pu anhe nonappartenere ad

A

( quindi si tratta sempliemente di un elemento di

grande di ogni elemento di

Proposizione 1.5

R

pi

A).

Il massimo [minimo di un insieme se esiste unio.

m1 ed m2 massimi per A. Dalla denizione di massimox m1 x A. Essendo anhe m2 massimo m2 A,dunque neessariamente m2 m1 . Ma anhe m2 massimo dunque m1 m2 .Poih m2 m1 e m1 m2 dall'assioma II2 dei numeri reali segue m1 = m2 .La prova nel aso del minimo analoga.Dimostrazione.

Siano

m1 A

segue he

Denizione 1.11A

e

Sia

A

un sottoinsieme non vuoto di

R.

si die limitato superiormente [limitato inferiormente se possiede almeno

un maggiorante [minorante.

A

si die limitato se possiede almeno un maggiorante ed almeno un mino-

rante.

Denizione 1.12LR

Sia

A


si die estremo superiore di

A

R.

se:

i) L un maggiorante di A,ii) Se y R un maggiorante di A allora L y.

Denizione 1.13lR

Sia

A


si die estremo inferiore di

A

R.

se:

i) l un minorante di A,ii) Se y X un minorante di A allora y l.

Nota 1.9

L'estremo superiore il minimo dei maggioranti, infatti la prima

propriet i die he si tratta di un maggiorante, la seonda he il pi pi

olodei maggioranti.Poih il minimo di un insieme unio anhe l'estremo superiore (he ilminimo dei maggioranti) unio.Analogamente l'estremo inferiore il massimo dei minoranti ed unio.

TEOREMA

1.6

Ogni sottoinsieme di

R

non vuoto e limitato superiormente

[inferiormente possiede estremo superiore [estremo inferiore.

22

CAPITOLO 1.


A un sottoinsieme di R non vuoto e limitato superiormente.Si denoti on B l'insieme di tutti i maggioranti di A. Per la denizione di insiemelimitato superiormente B non vuoto. Per la denizione di maggiorante si haDimostrazione. Sia

x y,Per l'assioma

III

esiste

zR

x A, y B.

tale he

x z y,

x A, y B.

Da quest'ultima relazione segue he

z

minore o uguale di un qualsiasi maggiorante dil'estremo superiore di

A e he tale elementola denizione data z

un maggiorante di

A,

per

A.

Nel aso di un insieme non limitato inferiormente la dimostrazione analoga.

Il minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore di un insieme

A

verranno denotati rispettivamente on

min A,

max A,

inf A,

sup A.

La prossima proposizione riassume le propriet di base del minimo, massimo,estremo superiore ed inferiore utili ai ni del loro alolo pratio.

Proposizione 1.7

Sia

A

R.A esiste anhe l'estremo superiore [inferiore

un sottoinsieme si

1) Se esiste il massimo [minimo died essi sono uguali.

2) Se esiste l'estremo superiore [inferiore dise esso appartiene ad

A

se esso non appartiene ad3) Se

A

A

allora:

allora esso anhe il massimo [minimo di

A

A;A.

allora non esiste il massimo [minimo di

non limitato superiormente [inferiormente allora non possiede n

massimo [minimo, n estremo superiore [inferiore.4) Se

A

limitato superiormente [inferiormente allora

A

possiede estremo

superiore [inferiore (ma non neessariamente massimo [minimo).Dimostrazione.

1) Sia

m

il massimo di

A,

allora

m

un maggiorante di

A

e

m A. Poih m A si ha m y per ogni altro maggiorante y di A, dunquem l'estremo superiore di A. La prova analoga nel aso del minimo.2) L'estremo superiore un maggiorante di A, per la denizione di massimose appartiene ad A anhe massimo. Se non appartiene ad A dalla parte 1)segue he non pu esistere il massimo. La prova analoga nel aso dell'estremoinferiore.3) E' onseguenza immediata delle denizioni date.4) Si tratta preisamente del Teorema 1.6.

1.3.

23

INSIEMI NUMERICI

Esempio 1.25

Si onsiderino gli insiemi:

{x R : < x 7}.

E = {x R : 2 x < 7}, F =

In entrambi i asi stabilire se l'insieme limitato e

alolarne gli eventuali sup, inf, min, max.

I maggioranti dell'insieme

7

ranti

I minoranti dell'insieme

2

E

[7, +]. Il pi pi

olo dei maggiosup E = 7, max E non esiste.(, 2]. Il pi grande dei minorantiinf E = min E = 2. E possiede sia

sono dati da

he non appartiene all'insieme, dunque

E

sono dati da

he appartiene all'insieme, dunque

minoranti he maggioranti quindi limitato.I maggioranti dell'insiemegioranti

7

possiede minoranti quindi

F

[7, +]. Il pi pi

olo dei magsup F = max F = 7. F nonesistono ed F non limitato.

sono dati da

he appartiene all'insieme, dunque

Esempio 1.26

inf F

e

min F

non

Si onsideri il sottoinsieme di

R

denito da:

A = {x R \ Q : x2 1}.Calolarne gli eventuali minimo, massimo, estremo inf., estremo superiore.

x2 1

soddisfatta da tutti i numeri reali x tali he 1 x 1, pertanto si ha he A = [1, 1] (R \ Q). L'insieme dei maggiorantidi A l'intervallo [1, +). Infatti ogni elemento di tale insieme siuramenteun maggiorante di A e non vi sono altri maggioranti. Per veriare he non visono altri maggioranti osserviamo he ogni y 0 non pu essere un maggiorantee se prendiamo y (0, 1) si ha he l'intervallo (y, 1) ontiene inniti numeriirrazionali (per il Teorema 1.4), e questi numeri irrazionali appartengono ad Ae sono maggiori di y . Possiamo ora onludere he sup A = 1, 1 per razionaledunque non appartiene ad A, quindi l'insieme non possiede massimo.Analogamente si ha he l'insieme dei minoranti di A dato da: (, 1],quindi inf A = 1, min A non esiste.La disequazione

Esempio 1.27

Si onsideri il sottoinsieme di

R: B = Q(2, +).

Calolarne

gli eventuali minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore.

L'insieme dei maggioranti di

B

vuoto quindi l'insieme non possiede n mas-

simo, n estremo superiore. L'insieme dei minoranti diquindi

inf B = 2. 2 6 B

dunque

min B

B

dato da:

non esiste.

(, 2],

1.3.5 Valore assoluto e parte intera di un numero reale

Denizione 1.14numero

Dato

max{x, x}.

xR

hiamiamo valore assoluto di

x

(simbolo

|x|)

il

24

CAPITOLO 1.

Nota 1.10


x > 0 si ha x < 0 dunque |x| = x. Sex > 0 dunque |x| = x. Possiamo os onludere he:

xse x 0|x| =.xse x < 0Se

invee

x < 0

si ha

Considerando la rappresentazione dei numeri reali sulla retta (vedi Sezione1.3.6) possiamo interpretare il valore assoluto di

x

x

ome la distanza del punto

dall'origine.Il valore assoluto ha anhe altre importanti propriet:

Proposizione 1.8

Per ogni oppia

x, y

di numeri reali si ha:

|x + y| |x| + |y|,

|xy| = |x||y|.

La prossima osservazione (di semplie veria) utile nella risoluzione didisequazioni in ui ompare il valore assoluto

Nota 1.11la

a R allora:disequazione |x| < a equivalenteSe

Esempio 1.28

alla disequazione

|x2 1| < 3.2nota preedente la disequazione |x 1| < 3 equivalente23 < x 1 < 3. I numeri reali x he veriano questa

Determinare tutti i numeri reali

In virt dellaalla disequazione

a < x < a.

x

tali he

disequazione sono quelli per veriano ontemporaneamente le due disequazioni:x2 1 > 3 ed x2 1 < 3.22La disequazione x 1 > 3 soddisfatta per x > 2 io per ogni valoredi

x

(il quadrato di ogni numero reale maggiore o uguale a 0).x2 1 < 3 soddisfatta per x2 4 < 0 io 2

La disequazione

< x < 2.

I numeri reali he soddisfano entrambe le disequazioni sono dunque datidall'intervallo

(2, 2).

Denizione 1.15bolo

int(x))

Dato un numero reale

x

hiamiamo parte intera di

il pi grande intero minore o uguale ad

Esempio 1.29

La parte intera di

Esempio 1.30

Calolare

x

(sim-

x.

5, 63 5 dunque int(5, 63) = 5. Si ha poiint(3) = 3, int(0, 5) = 0, int(0) = 0, int(0, 5) = 1, int(3, 2) = 4,int(7) = 7.A

sup, inf, min, max di A = {x R : |int(x)| 2}.x R tali he 2 int(x) 2, quindi A = [2, 3).sup A = 3, max A non esiste, inf A = min A = 2.

dato da tutti gli

Pertanto

1.3.

25

INSIEMI NUMERICI

1.3.6 Rappresentazione dei numeri reali sulla rettaI numeri razionali possono essere rappresentati su una retta nel modo seguente:si onsideri una retta

r

e si ssi su di essa un punto he denoteremo on

O

e

he verr detto l'origine. Fissiamo poi una direzione della retta, ome al solitosegliamo la direzione he va dall'origine verso destra. Fissiamo quindi un punto

U

a destra di

O.

E' noto dalla geometria elementare he possiamo onsiderare ogni multiplo

pOU ed ogni(p, q N).

sottomultiplo

p1q OU quindi ogni multiplo di un sottomultiplo q OU

Possiamo ora assoiare ad ogni numero razionale positivo

retta he orrisponde al seondo estremo del segmentonale

pq

pq il punto della

pq OU . Al numero razio-

assoiamo invee il punto sulla retta posto nella direzione opposta di

pq OU ma avente la stessa distanza dall'origine. Assoiamo poi al numeropunto

O.

0

il

Ad ogni numero razionale viene os assoiato un punto della retta e la

orrispondenza univoa (io iniettiva). Essa non per biunivoa in quantoal punto della retta posto a distanza

2

2 non orrisponde nessun numero,

infatti

non razionale.Considerando invee dei razionali, l'insieme dei numeri reali la orrispon-

denza preedente pu essere estesa a tutti i punti della retta ottenendo ora

orrispondenza biunivoa, io ad ogni numero reale viene assoiato un puntodella retta ed ad ogni punto della retta orrisponde un'unio numero reale.

Figura 1.4: Rappresentazione di un punto sulla retta reale

1.3.7 Rappresentazione delle oppie di numeri reali nel pianoR2 = R R ostituito da tutte le oppie ordinate (x, y)di numeri reali. Il termine ordinate india he la oppia (x, y) in genere diversadalla oppia (y, x), pi preisamente le due oppie (x, y) ed (y, x) sono ugualise e solo se x = y .2Possiamo rappresentare geometriamente l'insieme R = R R in un piano (il piano artesiano on il sistema di riferimento xOy ) nel modo seguente:Consideriamo l'insieme

26

CAPITOLO 1.


Figura 1.5: Rappresentazione di un elemento di

R2

nel piano artesiano

onsideriamo due rette perpendiolari he s'inontrano in un puntol'origine .

O

detto

Le due rette possono essere onsiderate ome due assi reali, quello

orizzontale verr detto l'asse

x o asse delle asisse ,

quello vertiale l'asse

y

delle

ordinate . Considereremo la stessa unit di misura sull'asse delle asisse e sull'asse delle ordinate e su entrambi gli assi prendiamo l'origine del sistema di

O.(x, y) R2 , onsideriamo il punto x sull'asse delle asisse,il punto y su quello delle ordinate. Prendiamo la retta perpendiolare in xall'asse delle asisse e la retta perpendiolare in y all'asse delle ordinate. Esses'inontrano in un unio punto P del piano, esso verr assoiato alla oppia(x, y).Vieversa on il proedimento opposto ad un punto P del piano possiamoassoiare la oppia (x, y). In virt di tale assoiazione sriveremo P = (x, y),

riferimento oinidente onData un elemento

identiando il punto on la oppia di numeri reali a ui orrisponde.

Eserizi1. Stabilire quali delle seguenti aermazioni sono vere:a) Tra due razionali i sono inniti irrazionali.b) Tra due reali i sono almeno 10 razionali.

) Tra due interi ' almeno un irrazionale.d) Tra due irrazionali ' almeno un intero.e) Tra due razionali i sono inniti interi.f ) Tra due irrazionali si sono inniti razionali ed inniti irrazionali.

1.3.

27

INSIEMI NUMERICI

g) Tra due reali i sono inniti irrazionali ma solo un numero nito dirazionali.

1 e' un intero ma non e' razionale.2 + 5 e' un numero razionale.l) e' un numero irrazionale.m) 1 e' un numero razionale.h)i)

1n)

2

2.

e' un numero razionale.

Per iasuno dei seguenti sottoinsiemi di

R

alolare:

minimo, massimo,

estremo superiore ed inferiore. Dire poi se l'insieme limitato.

A = (2, 7), B = [3, +), C = (3, 1) (2, 5], D = (, 0).3. Calolarne gli eventuali minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore degli insiemi:

A = [5, 3] (R \ Q),

B = [2, +) (R \ Q),

C = (, 7] Q.

4. Calolarne gli eventuali minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore dell'insieme:5. Calolare

A = ([1, 2] \ Q) {x R : x2 2}.

sup, inf, min, max

di

A = {x R : 1 < int(x) < 4}.

6. Risolvere le seguenti disequazioni:a)e)l)

|x 2| 7; b) |x + 3| 2; ) |x 2| 7;|x + 1| 2; f ) |x| < 52 ; h) |5 + 2x| 1;|3 x1 | < 1; m) |x2 4| < 1.

d)i)

|x + 1| 4;| 2 3x| > 2;

Risposte

1. Sono vere: a) b) ) f ) l) m), false le altre.2. inf A = 2, min A 6 , sup A = 7, max A 6 , A limitato.inf B = min B = 3, sup B 6 , max B 6 , B non limitato.inf C = 3, min C 6 , sup C = max C = 5, C limitato.inf D 6 , min D 6 , sup D = 0, max D 6 , D non limitato.3. min A 6 , inf A = 5, sup A = 3, max A 6 .min B 6 , inf B = 2, sup B 6 , max B 6 .min C 6 , inf C 6 , max C = sup C = 7.4. min A 6 , inf A = 1, sup A = max A =2.5. min A = inf A = 2, sup A = 4, max A 6 .6. a) [5, 9] .b) [5, 1].

) (, 5] [9, +).d) R.5 54f ) ( , ).h) [3, 2];i) (, ) (0, +).e) .2 2 3 1 1l) ( , ).m) ( 5, 3) ( 3,5).4 2

28

CAPITOLO 1.


1.4 Funzioni1.4.1 Denizioni di base

Denizione 1.16

Una funzione

f

da un insieme

A ad un insieme B , in simboli

f : A B, una legge he assoia ad ogni elemento dell'insieme

B . L'insieme A viene detto il dominioDom(f )), l'insieme B il odominio di f .

dell'insiemesimbolo

A uno ed un solo elementof (e verr indiato on il

di

Possiamo trovare funzioni in vari ambiti, non solo in matematia ma anhenella vita di tutti i giorni:

Esempio 1.31Udine.

Si onsideri l'insieme

P

delle persone isritte all'universit di

Consideriamo la legge he assoia ad ogni elemento di

Esempio 1.32

Sia

D

l'insieme di tutte le donne e

P

la sua et

f : P N.

espressa in anni. In tal modo si ottiene una funzione

P

l'insieme di tutte le per-

sone.Se ad ogni elemento di

D

assoiamo i suoi gli non si ottiene una funzione,

in quanto una donna pu avere pi di un glio, quindi vi sono degli elementi di

D

a ui orrispondono pi elementi diSe ad ogni elemento di

D

P.

assoiamo il glio primogenito non abbiamo an-

ora una funzione, in quanto vi sono donne he non hanno gli, dunque a talielementi di

D

non viene assoiato alun elemento di

Esempio 1.33

P.

In Italia siamo abituati a misurare la temperatura in gradi enti-

gradi, negli Stati Uniti invee la temperatura viene misurata in gradi Fahrenheit.

1.4.

29

FUNZIONI

Se indihiamo on C la temperatura espressa in gradi Celsius, la orrispondentemisura F espressa in Fahrenheit data da:

9F = C + 32.5 Celsius orrisponde alla temperatura di 95

Ad esempio la temperatura di 35Fahrenheit.Abbiamo quindi una legge

F (C) : R R

he ad ogni misura in Celsius

assoia la orrispondente misura in Fahrenheit.

Esempio 1.34

Consideriamo la funzione

x2 3x.

f : R R

he ad

x R

assoia

La funzione ad ogni numero reale assoia un nuovo numero reale, ad2esempio al numero 5 assoia 5 3 5 = 10, al numero 1 assoia il numero2(1) 3(1) = 4, al numero 2 assoia ( 2)2 3 2 = 2 3 2.

Denizione 1.17assoia un uniodetto l'immagine

f : A B una funzione. Ad un elemento x A felemento di B , tale elemento verr indiato on f (x) e verrdell'elemento x.

Denizione 1.18xA

f : A Bf (x) = y si die una

tale he

Nota 1.12

Sia

Sia

ontroimmagine di

Un elemento

Per denizione di funzione l'immagine di un elemento

sempre ed unia. Le ontroimmagini di un elementopi di una oppure non esistere.

y B.y.

una funzione e sia

Esempio 1.35

yB

xA

esiste

potrebbero essere

f : Z R la funzione he ad ogni numero intero n assoia2il suo quadrato io f (n) = n . Sia ha f (3) = 9, io l'immagine di 3 ilnumero 9. Anhe 3 ha ome immagine 9, quindi 9 ha due ontroimmagini.Sia

Si osservi anora he vi sono elementi he non hanno ontroimmagini, omead esempio

2,

infatti non esistono numeri interi he elevati al quadrato danno

ome risultato

Esempio 1.36Calolare:

a)b)

)

2.

E' data la funzione

f :RR

f (0), f (1), f (4);f (3x), 3f (x), f (x + 1), f (x) + 1;f (x), f (x), f (x + 2) f (x).

a) Abbiamo:

denita da

f (x) = x2 2x + 1.

f (0) = 0 0 + 1 = 1, f (1) = 1 + 2 + 1 = 4, f (4) = 42 8 + 1 = 9.

30

b)

)

CAPITOLO 1.


f (3x) = (3x)2 2(3x) + 1 = 9x2 6x + 1,3f (x) = 3(x2 2x + 1) = 3x2 6x + 3,f (x + 1) = (x + 1)2 2(x + 1) + 1 = x2 ,f (x) + 1 = x2 2x + 2.

f (x) = (x)2 2(x) + 1 = x2 + 2x + 1,f (x) = x2 + 2x 1,f (x + 2) f (x) = (x + 2)2 2(x + 2) + 1 (x2 2x + 1) = 4x.

Nota 1.13

toinsieme di

Nel seguito tratteremo prevalentemente funzioni denite in un sotR (o R2 ) a valori in R. Spesso per assegnare una tale funzione

si india solamente la regola di alolo (io la legge) he dato

f (x) R.

di alolare il valore

Dom(f )sottoinsieme di R (o

In tal aso, se

indiato, si sottintende he esso il

xA

permette

non espressamente2di R per funzioni di

2 variabili) dove tutte le operazioni indiate hanno signiato. Con il terminedominio di esistenza si intende proprio tale insieme.

Esempio 1.37

Calolare il dominio di esistenza delle funzioni

f1 (x) =f1 (x)

1,x+2

f2 (x) =

2x 3,

ha ome dominio di esistenza

f3 (x, y) =

E = R \ {2},

x 2y.x+y

infatti per

x = 2 ilx la

rapporto onsiderato privo di signiato, mentre per ogni altro valore dilegge denita.

2x 3

ha signiato (nei numeri reali) solo quando l'argomento della radie3quadrata 0, io per 2x 3 0, dunque per x 2 . Il dominio di esistenza3di f2 (x) risulta quindi E = [ 2 , +).La funzione

f3 (x, y)

di due variabili reali. Essa ha signiato quando il deno-

minatore non nullo io per

x + y 6= 0.

In questo aso il dominio di esistenza

un sottoinsieme del piano e si tratta di tutti i punti del piano ad e

ezione della2retta y = x, io E = {(x, y) R : y 6= x}.In preedenza abbiamo introdotto la denizione di immagine e ontroimmagini di un singolo elemento, ora onsideriamo il aso dell'immagine di unsottoinsieme del dominio e della ontroimmagine di un sottoinsieme del odominio.

Denizione 1.19

Sia

f :AB

una funzione e sia

f (I) = {f (x) : x I}si die l'immagine di

I

tramite

f.

I A.

L'insieme

1.4.

31

FUNZIONI

L'insieme

f (A) si die l'immagine

f

di

e si india anhe on il simbolo

Imf .

Quindi

Denizione 1.20f 1 (J)

Im f = {f (x) : x A}.

f : A B= {x A : f (x) J} si die

Esempio 1.38

Sia

J B . L'insiemedi J tramite f .

una funzione e siala ontroimmagine

E

Consideriamo l'insieme

di tutti gli studenti isritti ad Eo-

nomia. Ad ogni studente assoiamo la sua altezza in m, otteniamo os unafunzione

f : E N.

Consideriamo tre elementi di

E:

Rossi Alberto he alto 183 m, Bianhi

Luigi alto 169 m, Neri Maro he alto 183 m. Allora

f (Rossi Alberto) = 183,f ({Rossi Alberto, Bianhi Luigi,f 1 ({183}) ostituito da tutti

Neri Maro})

= {169, 183},

gli studenti isritti ad Eonomia alti 183m.

Rossi Alberto e Neri Maro sono elementi di questo insieme.

Nota 1.14

di un sottoinsieme di

A

B

B.

La

un sottoinsieme (he potrebbe essere

A.

Esempio 1.39zione

L'immagine

un sottoinsieme siuramente non vuoto di

ontroimmagine di un sottoinsieme divuoto) di

x di A un elemento di B .

L'immagine di un elemento

Siano

f :AB

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d}

e si onsideri la fun-

denita da:

f (1) = c, f (2) = a, f (3) = c, f (4) = d, f (5) = c.Calolare

Im f ,

f (1), f ({1, 2, 3}),

f 1 ({a, b, c}), f 1 ({b}).

Figura 1.6: La funzione dell'Esempio 1.39

Risposta: Im ff 1 ({a, b, c})

= {a, c, d}, f (1) = c,= {1, 2, 3, 5}.

f ({1, 2, 3}) = {a, c},

f 1 ({b}) = ,

32

CAPITOLO 1.

Denizione 1.21x1 6= x2

si ha

distinti di

B ).

Una funzione

f (x1 ) 6= f (x2 )

Denizione 1.22

Denizione 1.23

B

si die iniettiva se

f : A B

A

x1 , x2 A

on

assoia elementi

si die suriettiva se

Im f = B

possiede almeno una ontroimmagine).

Una funzione

iniettiva he suriettiva.

Nota 1.15

f :AB

(io se ad elementi distinti di

Una funzione

(io se ogni elemento di


f : A B

si die biettiva se essa sia

Per veriare he una funzione iniettiva si pu veriare anhe

he:

x1 , x2 A,

f (x1 ) = f (x2 ) = x1 = x2 .

Per veriare he una funzione suriettiva si pu veriare anhe he:

y B, x A : f (x) = y.

Esempio 1.40

Sia

f :NN

La funzione iniettiva infatti se

denita da f (n) = 2n.f (n1 ) = f (n2 ) allora 2n1 = 2n2

dunque

n1 = n2

e per la nota preedente si ha la tesi.La funzione non suriettiva infatti

ostituita dai soli numeri pari).

3 6 Im f

(l'immagine della funzione

La funzione non biettiva in quanto non suriettiva.

Esempio 1.41infatti

La funzione

f (2) = f (2) = 4.

f :RR

denita da

non iniettiva

Non nemmeno suriettiva in quanto il quadrato di

un numero reale non pu essere negativo quindinon neanhe biettiva.

f (x) = x2

3 6 Imf .

Quindi la funzione

Esempio 1.42

3La funzione f : R R denita da f (x) = x iniettiva33f (x1 ) = f (x2 ) = x1 = x2 = x1 = x2 . E' anhe suriettiva in fatti dato y R il numero 3 y una sua ontroimmagine, dunque Im f = R. La

funzione data quindi biettiva.

Denizione 1.24

artesianoda

Data una funzione

A B,

f : A B e onsiderato il prodottof il sottoinsieme Gf di A B dato

hiamiamo grao di

Gf = {(x, y) A B : x A, y = f (x)}.

1.4.

33

FUNZIONI

Esempio 1.43

f :RR

f (x) = 2x + 3.2Il suo grao sar un sottoinsieme di R = R R denito dalle oppie(x, y) tali he y = f (x), io y = 2x + 3. Possiamo rappresentare R2 nelpiano artesiano, in tal modo il grao ostituito da tutti i punti (x, y) delpiano artesiano tali he y = 2x + 3. Si tratta quindi della retta di equazioney = 2x + 3.Sia

denita da

Figura 1.7: Grao della funzione

Nota 1.16

f :RR

f (x) = mx + q ,y = mx + q .

La funzione

grao la retta

denita da

f (x) = 2x + 3.

detta anhe funzione lineare, ha ome

Le funzioni lineari sono quindi molto semplii da analizzare ma anhe moltoimportanti nelle appliazioni. Ad esempio onsideriamo il aso in ui il ostoper la produzione della quantit

F

q

sommato ad un osto variabile

di un dato prodotto sia dato da un osto sso

Kq

prodotta. Allora il osto di produzione

direttamente proporzionale alla quantit

C

in dipendenza di

q

sar dato da

C(q) = Kq + F.In questo aso quindi la funzione osto una funzione lineare e ha ome graola retta

y = Kx + F . K

il oeiente angolare della retta, se si aumenta la

quantit prodotta di un'unit il osto aumenta di

Esempio 1.44f (d) = 1.

Sia

K.

f : {a, b, c, d} R denita da f (a) = 3 f (b) = 3, f (c) = 3,f ostituito dalle oppie (a, 3), (b, 3), (c, 3), (d, 1).

Il grao di

34

CAPITOLO 1.

Esempio 1.45


f : R R denita da f (x) = |x|. Se ne disegni il1 ([2, 3]).si determini poi f ([2, 2]) ed f2Il suo grao sar un sottoinsieme di R denito dalle oppie (x, y)y = f (x), io y = |x|. Per x 0 si ha la retta y = x per x < 0 si hay = x. Il grao quindi il seguente:Sia


f :RR

denita da

grao,

tali hela retta

f (x) = |x|.

1.4.

35

FUNZIONI

x > 0 f (x) = x dunque f ([0, 2]) = [0, 2], per x < 0 f (x) = xf ([2, 0]) = [0, 2], in onlusione f ([2, 2]) = [0, 2].Per

Si ha

f 1 ([2, 3]) = [3, 2] [2, 3].

Esempio 1.46grao, si

y

dunque

f : R R denita da f (x) = x2 3.1 ([0, +)).determini poi f ([1, +)) ed fSia

Se ne disegni il

2Il suo grao sar un sottoinsieme di R denito dalle oppie (x, y) tali he2= f (x), io y = x 3. Si tratta quindi della parabola on onavit verso

l'alto e on vertie nel punto

(0, 3).

Grao della funzione f : R R denita da f (x) = x2 3.Si ha f ([0, +)) = [3, +) e f ([1, 0]) = [3, 2]. Quindif ([1, +)) = [3, +). Inoltre f 1 ([0, +)) = (, 3] [ 3, +).

Denizione 1.25

f : A B una funzione.f (x) = y x A allora f si die ostante.Sia

Se esiste

y B

A assoiay di B . Il grao risulta immediato dato A {y}.f : R R una funzione ostante ha ome grao una

Una funzione ostante quindi una funzione he ad ogni elemento disempre lo stesso elementoNel aso di una funzioneretta orizzontale.

tale he

36

CAPITOLO 1.


Grao della funzione ostante f (x) = 2 x R.

Denizione 1.26

La funzione

la funzione identit diL'identit didi

IR

A

A

f :AA

f (x) = x, x Asimbolo IA .

denita da

e si india anhe ol

assoia quindi ad ogni elemento

ostituito da tutte le oppie

(x, y) R2

x

di

tali he

si die

A lo stesso x. Il graoy = x, si tratta quindi

della bisettrie del primo e terzo quadrante del piano artesiano.

Figura 1.9: Grao della funzione identit

Nota 1.17

Per una funzione

f :RR

f (x) = x, x R.

le ondizioni d'iniettivit, suriettivit,

biettivit possono essere viste in modo geometrio. Si ha infatti1. una funzione

f : R R

iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale

f :R R

suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale

inontra il grao in non pi di un punto.2. una funzione

inontra il grao in almeno un punto.3. una funzione

f : R R

biettiva se e solo se ogni retta orizzontale

inontra il grao in uno ed un sol punto.

1.4.

37

FUNZIONI

Esempio 1.47

Si onsideri la funzione

f (x) =

f :RR

x+1x

sese

denita da

x0.x 0 e x < 2 (se x > 2 l'altezza del rettangolo negativa).Il problema onsiste quindi nel erare il massimo della funzione f (x) =lx( 2 x) (he rappresenta l'area del rettangolo) sul dominio (0, 2l ). Si ha f (x) =l22 x x , il grao di f una parabola on onavit verso il basso e vertie nell l2l2punto ( 4 , 16 ). Il massimo della funzione risulta 16 e l'unio punto di massimo ll4 . L'area massima viene ottenuta quando la base misura 4 , in questo aso anhell'altezza risulta 4 quindi l'area massima si ottiene nel aso di un quadrato.

Esempio 1.63

Sia

f : ( 12 , 3] R

denita

f (x) = |x2 2x|,

alolarne gli

eventuali minimo, massimo, estremo superiore, estremo inferiore e stabilire se limitata.

1.6.

53

MAX, MIN, SUP ED INF DI FUNZIONI

2Per disegnarne il grao sindiamo la funzione in due parti, infatti se x 2x 0 si ha f (x) = x2 2x, se invee x2 2x < 0 si ha f (x) = (x2 2x). Si2ha x 2x 0 per x 0 e per x 2, pertanto:

f (x) =

x2 2x2x x2

sese

GraoSi ha

f ( 12 ) =

54,

f (1) = 1, f (3) = 3,min f = inf f = 0,

x1 = 0, x2 = 2

sono punti di minimo,

x 0 oppure x 2.0 0 (sey = a(2 x) negativo). Inoltre il valoredella retta y = a(2 x) nel punto 1 deve risultare maggiore od uguale a 2,2

io 3a 2. In onlusione la funzione strettamente deresente per a 3 ,mentre per gli altri valori di a non monotona.monotona essa neessariamente deresente. Quindi si deve essere

a > 0

il oeiente angolare di

Esempio 1.66

Data la funzione

f (x) =

1x , denita su

R \ {0},

disegnarne il

grao. Veriare poi he non monotona, mentre la sua restrizione adstrettamente deresente.

R+

Il grao si ottiene dall'equazione y = x1 , io xy = 1. Si tratta quindi di un'iperboleequilatera (vedi Nota A.4) avente ome asintoti gli assi artesiani.Sia ha: f (2) = 12 > f (3) = 13 quindi la funzione non resente. Sia ha poif (1) = 1 < f (1) = 1 quindi la funzione non deresente. Non essendo resenten deresente, non monotona.Si onsideri ora f/R+ . Siano x1 , x2 R+ tali he x1 < x2 , allora essendo entrambii numeri positivi si ha: xx12 < 1, x12 < x11 io f (x1 ) < f (x2 ), quindi f/R+ deresente.(Si osservi he se x1 < 0 ed x2 > 0 la disuguaglianza nale viene rovesiata).


f (x) =

1x

56

CAPITOLO 1.


1.6.3 Su

essioni

Denizione 1.39

Una funzione

f :NR

si die una su

essione.

Le su

essioni quindi sono delle partiolari funzioni a valori reali, pertanto adesse si appliano tutti i vari onetti (massimo, minimo, estremo superiore,estremo inferiore, limitatezza) visti in preedenza.L'immagine del numero naturale

n viene indiata on an invee he on f (n).f ome le funzioni, solitamente

E la su

essione invee di essere indiata onviene denotata on il simbolo

{an }.Cos il massimo e il minimo di una su

essione vengono indiati on

max{an },

min{an },

e simboli analoghi verranno usati per l'estremo superiore ed inferiore.

Nota 1.29

Ad una su

essione si appliano anhe le denizioni di funzione

resente, deresente, strett. resente e strett. deresente. In base alle denizioni date una su

essione sar resente se presisi ha

an1 an2 .

Questa ondizione implia he

an an+1 ,n1 , n2 N

tali he

n1 < n2

tali he

n1 < n2

n N.

Si osservi per he vieversa se vale la ondizionepresi

n1 , n2 N

si ha:

(1.3)

an an+1 n N,

allora

an1 an1 +1 an1 +2 ... an2 ,

io vale la denizione di resenza.

Possiamo onludere he, nel aso di

una su

essione, la ondizione (1.3) equivalente alla denizione di resenza.Essendo essa pi semplie da veriare, in genere utilizzeremo proprio questa

ondizione per stabilire la resenza.Analoga osservazione vale per la deresenza, per la stretta resenza e deresenza. Cos ad esempio si ha:la su

essione

Nota 1.30

{an }

strett. deresente

an > an+1 ,

n N.

Si noti he se una su

essione resente allora tutti i valori

sono maggiori od uguali ad

a1

quindi:

min{an } = inf {an } = a1

an

1.6.

57


(il massimo e l'estremo superiore per potrebbero non esistere). Analogamentese la su

essione

an

deresente

max{an } = sup{an } = a1 .

Esempio 1.67

Si onsideri la su

essione

an =

{an }

denita da:

1.n

Stabilire se possiede minimo, massimo, estremo superiore ed inferiore e se limitata.

1L'immagine della su

essione ostituita dall'insieme { n : n N}. Inoltre1an > an+1 n N, infatti n1 > n+1, quindi la su

essione strettamentederesente. Per la nota preedente si ha

max{an } = sup{an } = a1 = 1.Caloliamo ora l'insieme dei minoranti della su

essione. Ogni numero

0

siuramente un minorante perh tutti i termini della su

essione sono positivi.11Non i sono altri minoranti infatti se y > 0 allora preso n > y si ha n < y ,dunque y non un maggiorante. Possiamo onludere he inf{an } = 0. Ma

0

non un elemento dell'insieme immagine della su

essione dunque

non esiste. La su

essione limitata.

Grao relativo ai primi elementi della su

essione { n1 }

I primi elementi dell'insieme immagine della su

essione { n1 }

min{an }

58

CAPITOLO 1.

Esempio 1.68


Si onsideri la su

essione

an =

{an }

denita da:

2n 5.n

Stabilire se possiede minimo, massimo, estremo superiore ed inferiore.

2n555n = 2 n . La su

essione strettamente resente infatti n5555quindi n < n+1 , 2 n < 2 n+1 , io an < an+1 n N.Possiamo onludere heSi ha

>

5n+1

min{an } = inf {an } = a1 = 3.Caloliamo ora l'insieme dei maggioranti della su

essione. Ogni numero 5 siuramente un maggiorante perh an = 2 n < 2. Non i sono altri55maggioranti infatti se y < 2 allora dall'equazione 2 n > y si ha n < 2 y ,55n > 2y(essendo 2 y > 0 la disequazione si onserva). Dunque se n > 2yan > y pertanto ogni y < 2 non un maggiorante.

2

Possiamo onludere he

sup{an } = 2. Ma 2 non un elemento dell'insiememax{an } non esiste.

immagine della su

essione dunque

Esempio 1.69

Si onsideri la su

essione

an = (1)n

{an }

denita da:

n1.n

Stabilire se possiede minimo, massimo, estremo superiore ed inferiore e se limitata.

(1)n = 1, se n dispari si ha (1)n = 1.n11Quindi per n pari an =n = 1 n . Considerando la restrizione dellasu

essione agli n pari si ottiene he l'estremo superiore 1, il massimo non1esiste, il minimo e l'estremo inferiore valgono 2 (poih n pari il minimo siottiene per n = 2).n11Per n dispari an = n = n 1, e onsiderando la restrizione della su

essione agli n dispari si ottiene he l'estremo inferiore 1, il minimo nonesiste, il massimo e l'estremo superiore valgono 0 (a1 = 0).Se

n

pari

Per rispondere alle domande dobbiamo ora onsiderare ongiuntamente il

aso

n

pari ed

n

inf{an } = 1,

dispari, si ottiene os he la su

essione limitata e si ha:

min{an }

non esiste,

sup{an } = 1,

max{an }

non esiste.

I primi elementi dell'insieme immagine della su

essione an = (1)n n1n .

1.6.

59


Eserizi1. Per ogni funzione seguente alolarne gli eventuali sup,inf,max e min.

a) f : [2, 4] R,b) f : (3, 4] R,c) f : R R,d) f : [1, 3] \ {2} R,e) f : (7, 7) R,f ) f : (7, 7) R,g) f : R R,h) f : R+ R,i) f : R R,l) f : R+ R,

f (x) = 3 x.f (x) = |x|.f (x) = x2 1.f (x) = (2+x)(2x) .

1f (x) = 1xf (x) =1f (x) = x3 .3f (x) = 1+x.1f (x) = |x|+1.f (x) = x(1 x).

2. Stabilire per ogni valore del parametro

a) f (x) =

ax + 21x

se 0 x 2se 2 x < 0

x0.x 0, dunque xn1 < xn2 , possiamo quindi supporre he x1 > 0.Poih x1 < x2 , moltipliando nella disequazione prima per x1 , poi per x2222si ha: x1 x1 < x1 x2 e x1 x2 < x2 x2 , dunque x1 < x2 . Cos f (x) = x strett.32223

resente su R+ . Analogamente x1 = x1 x1 < x1 x2 < x2 x2 = x2 , dunque anhef (x) = x3 strett. resente su R+ . Proseguendo in questo modo si provanla stretta resenza (e quindi l'iniettivit) di ogni funzione potenza f (x) = x .Dimostrazione. Verihiamo la stretta resenza. Siano

allora

La suriettivit segue invee in modo immediato dal teorema di esistenza delleradii

n esime

Denizione 2.2

(vedi Teorema 1.2).

Si onsideri una funzione

f : R R.

f

f

pari se

x R.

f (x) = f (x)Diremo he

Diremo he

dispari se

f (x) = f (x)

x R.

Se una funzione pari il suo grao simmetrio all'asse

y,

se dispari il

suo grao simmetrio rispetto all'origine.Se

n

pari

f (x) = xn

pari, se

n

dispari

f (x) = xn

dispari (i ter-

mini funzione pari e funzione dispari derivano proprio dalle funzioni potenza).Torniamo ora al grao delle potenze.

Proposizione 2.3

Sia

f (x) = xn : R R.

n dispari f strettamente resente e biettiva.Se n pari f strettamente deresente nell'intervallo (, 0]sente in [0, +), la sua immagine l'insieme R+ .Se

e strett. re-

2.1.

65

POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI

Grao

Grao

di

di

f (x) = xn

f (x) = xn

on

on

n

n

pari

dispari

La denizione di potenza pu essere estesa anhe al aso di esponenti interinegativi:

Denizione 2.3mo

Dato un numero reale

x 6= 0

xn =

ed un numero naturale

n

denia-

1,xn

poniamo poi

x0 = 1.Con questa denizione, e se onsideriamo

x 6= 0,

valgono tutte le propriet

enuniate nella Proposizione 2.1, questa volta onsiderando

n, m Z.

66

CAPITOLO 2.

FUNZIONI ESPONENZIALI E TRIGONOMETRICHE

Grao

di

Grao

f (x) =

di

1xn on

f (x) =

n

1xn on

naturale dispari

n

naturale pari

Per il teorema di esistenza delle radii n-esime possiamo onsiderare altres

xn : R+ R+ (detta appunto funzione radie nesima).Inoltre poih se n dispari la potenza nesima biettiva e strett. resentesu tutto R, la radie n esima per n dispari biettiva e strettamente resentesu tutto R.la funzione inversa di

Proposizione 2.4biettiva. Per

n

nx : R+ R+denita su tutto R,

La funzione

strettamente resente e

x

strettamente resente e la

dispari

sua immagine tutto

n

R.

Su

essivamente verr usata anhe la notazione

n

1

x = xn .

2.1.

Proposizione 2.51.2.

Valgono le seguenti propriet

nx n y = n xy,pm nx = nm x,

Grao di

f (x) =

x, y R+ ,x R+ ,

Grao

67


Esempio 2.141) x52) x3)4)5)

x

di

n Nn, m N.

Grao di

f (x) =

nx

on

n

Risolvere la seguenti equazioni:

= 7,= 3,x6 = 2,x5 = 4,x3 3x7 = 0,

f (x) =

n

naturale dispari

x,

on

n

pari

68

CAPITOLO 2.

6)7)8)


x 3 = 5,4x = 5,4x 3 x = 4.

Risposta: 1) L'equazione x4 = 7 ha due soluzioni x = 4 7.2) La funzione

x = 5 3.

f (x) = x5

biettiva su

R,

quindi esiste una sola soluzione

x6 non assume valori negativi quindi l'equazione non ha soluzioni.554) La funzione x biettiva su R, l'equazione ha una sola soluzione x =4.34345) Si ha x (1 3x ) = 0, quindi si deve avere x = 0 oppure 1 3x = 0.Nel primo aso si ha la soluzione x1 = 0, nel seondo si hanno due soluzioniq3) La funzione

x2,3 = 4

13.

6) La radie quadrata assume solo valori

7) Si ha una sola soluzione8) Si deve avere

t2

= x.

x0

x=

54 .

0 quindi l'equazione non ha soluzioni.

(altrimenti la radie non denita). Posto

3t2

tt1 = 1, t2 = 43 .4x = 43 . La prima

Sostituendo nell'equazione si ottiene

+ 4 = 0.

t=

4x

si ha

Risolvendo tale

equazione si ottengono 2 soluzioniPertanto si hain quanto

4

4

x = 1

oppure

equazione non ha soluzioni

x assume solo valori positivi, la seonda ha ome soluzione x1 =

25681

he quindi l'unia soluzione dell'equazione.

Esempio 2.2

Risolvere la seguenti disequazioni:

41) x52) x3)4)5)6)7)8)

> 11, 3,x6 2,x5 4,37x 3x 0,x 3 5,4x 3 x > 4,2 x5 0.x3

Risposta: 1) La disequazione soddisfatti per valori esterni alle due

soluzioni, io per

x < 4 11

2) In virt della stretta resenza soddisfatta per

x

5

x > 4 11.5di f (x) = x

e per

si ha he la disequazione

3.

3) La disequazione soddisfatta da tutti i numeri reali.4)

x

5

5) Si haprodotto.

4 io x (, 5 4].x3 (1 3x4 ) 0. Risolviamo

qqx 0, (1 3x4 ) 0 per 4 13 x 4 13 .qq4 14 1soddisfatta per x (, ][0,33 ].

x3 0

disequazione

la disequazione analizzando il segno del

per

Quindi la

2.1.

69


6) La disequazione soddisfatta per ogniLa radie denita per

x3

x

per ui la radie quadrata denita.

dunque la disequazione soddisfatta per

7) Il dominio delle radii seonde e quarta

t = 4 x, risolvendo1 4 x 43 . La

rispetto alla variabile

4

x 0. Come in preedenzat si ottiene 1 t 43 .

x 3.

poniamoDunque

ondizione 1 x sempre soddisfatta, dalla seondax 256.In

onsiderazionedel dominio x 0 si ottiene81256

he la disequazione soddisfatta per 0 x 81 .22x858) Si ha 3 x 0, dunquexx3 0. Possiamo risolvere quindi la disequazioneanalizzando il segno del numeratore e quello del denominatore. Il numeratore disequazione otteniamo

positivo per

8 2 x 8 2,

x> 0possiamo8x (, 2] (0, 8 2].

il denominatore per

he la disequazione soddisfatta per

onludere

2.1.2 Funzioni potenza ad esponente realePossiamo ora denire la potenza ad esponente razionale di un numero positivo.

Denizione 2.4

Sia

x R+ ,

e sia

r=p

pq

xr = x q =

Q,q

dove

pZ

e

q N.

Deniamo

xp .

Nota 2.1

Un numero razionale ammette innite rappresentazioni nella formap2 4 20,adesempioq3 , 6 , 30 rappresentano lo stesso numero razionale. E' importantenella denizione preedente he la potenza ad esponente razionale non dipendapmpdalla rappresentazione selta. Questo vero, infatti presi q e mp (m N) siha:qmp

x mq =

qm

xpm =

pq m

xpm =

q

p

m

(xp )m =

q

p

xp = x q .

La potenza ad esponente razionale veria le stesse propriet della potenza

ad esponente naturale, infatti si ha:

70

CAPITOLO 2.

Proposizione 2.61.

xr xs = xr+s ,

2.

(xr )s = xrs ,

3.

xr y r = (xy)r ,

Nota 2.2



x R+ ,

r, s Q,

x R+ ,

r, s Q,

x, y R+ ,

r Q.

Dalla denizione preedente si ottiene in partiolare:

n

1

x = xn .n esime

Con la nuova simbologia le propriet delle radii

sono pi semplii

da riordare in quanto derivano dalle propriet delle potenze.propriet

pnx=

m

nm

x,

Ad esempio la

assume ora la forma1

1

1

(x n ) m = x mn

he deriva immediatamente dalla 2. della Proposizione 2.6.

Esempio 2.3

Sempliare le seguenti espressioni:

4a) 5 10,

1 1 1345 10 = 5 4 2 2 5 2 = 5 4 2.1 137 = (7 3 ) 4 = 12 7.

Risposta:a)p

)

4

b)

4

56

c)b)

4

q4

37.6

3

56 = 5 4 = 5 2 =

125.

In base alle denizioni preedenti si pu determinare la monotonia divariare di

xr

sia al

x (tenendo sso l'esponente) he al variare di r (tenendo ssa la base).

Si ha:

f (x) = xr : R+ R strettamente resentestrettamente deresente se r < 0, ostante se r = 0;

g(r) = xr : Q R strettamentestrettamente deresente se 0 < x < 1.

la funzione

la funzione

se

resente se

r > 0,

x > 1

e

Questa seonda osservazione il punto di partenza della denizione di potenzaad esponente reale. Infatti

2.1.

71


Denizione 2.5L'insieme

x > 1 ed y R. Sia poi A = {r Q : r y}.B = {x : r A} limitato superiormente quindi ammetteSiar

estremo

superiore. Possiamo os denire:

xy = sup B = sup{xr : r y}.Se

0 < x < 1

e

y R

l'insieme

B = {xr : r A}

limitato inferiormente

quindi ammette estremo inferiore. Deniamo:

xy = inf B = inf{xr : r y}.Inne poniamo

1y = 1 y R.

Siamo os arrivati alla denizione della potenza ad esponente reale.

La

denizione os data veria tutte le propriet delle potenze da ui siamo partiti(le dimostrazioni di queste propriet, qui omesse, non sono semplii).

Proposizione 2.7


1.

xy xz = xy+z ,

2.

(xy )z = xyz ,

3.

xz y z = (xy)z ,

x, y R+ ,

4.

x0 = 1,

x R+ , y R.

5. SeSe

x R+ ,x R+ ,

1y = 1

y, z R,y, z Rz R.

x > 1 e y1 < y2 allora xy1 < xy2 ;0 < x < 1 e y1 < y2 allora xy1 > xy2 .

Possiamo ora introdurre la funzione potenza ad esponente reale:

Proposizione 2.8

a > 0, strett.a 6= 0 f biettiva.

sente sePer

Nota 2.3in

0

f (x) = xa : R+ R+ a < 0, ostante se a = 0.

La funzione potenzaderesente se

strett. re-

aNel aso a > 0 onsidereremo la funzione potenza x denita anheaponendo 0 = 0 (nel aso a < 0 tale denizione non valida).

72

CAPITOLO 2.

Potenze


ad esponente reale

f (x) = xa

in dipendenza del'esponente

aR

2.1.3 Funzioni esponenziali e logaritmiheAbbiamo visto in preedenza ome sia possibile denire

on la base positiva, io

x > 0.

xy ,

Considerando la potenza

variabile si ottiene la funzione potenza

f (x) = xy

on

y

x, y R

ma

ostante e base

he abbiamo gi onsiderato

in preedenza, se invee si onsidera la base ostante e l'esponente variabile siottiene la funzione esponenziale

onfusione, indiheremo on

x

f (y) = xy

(nella denizione per, per non

matematica generale

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