matemática ii
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MATEMATICA II
2
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 3
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
ÍNDICE
Presentación 5
Red de contenidos 6
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1
SEMANA 1 : MATRICES Y DETERMINATES 7
SEMANA 2 : MATRICES Y DETERMINATES 27
UNIDAD DE APRENDIZAJE 2
SEMANAS 3 : GEOMETRÍA ANALÍTICA 43
SEMANAS 4 : ECUACIONES DE LA RECTA 57
SEMANAS 5 : GEOMETRÍA ANALÍTICA 67
SEMANAS 6 : GEOMETRÍA ANALÍTICA 77
UNIDAD DE APRENDIZAJE 3
SEMANA 8 : FUNCIONES Y GRÁFICAS 89
SEMANAS 9 : FUNCIONES Y GRÁFICAS 97
SEMANAS 10 : FUNCIONES Y GRÁFICAS 105
UNIDAD DE APRENDIZAJE 4
SEMANAS 11 : LÍMITES Y CONTINUIDAD 119
SEMANAS 12 : LÍMITES Y CONTINUIDAD 131
SEMANAS 13 : LÍMITES Y CONTINUIDAD 137
UNIDAD DE APRENDIZAJE 5
SEMANAS 14 : LA DERIVADA 149
SEMANAS 15 : LA DERIVADA 161
SEMANAS 16 : LA DERIVADA 175
4
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 5
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
PRESENTACIÓN
Matemática II pertenece a la línea formativa, analítica y de solución de problemas, propios del cálculo diferencial y se dicta en todas las Carreras Profesionales de Cibertec. El curso brinda un conjunto de herramientas algebraicas y geométricas que permitirán el desarrollo de las capacidades de abstracción y de resolución de problemas. La forma didáctica en que presentamos los temas permitirá que sea un material complementario para afianzar el aprendizaje de nuestros alumnos.
El presente manual de matemática II, ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de aprendizaje (UA), las que se desarrollarán durante las 15 semanas de clases programadas. En cada una de ellas, se hallarán los logros que se deben alcanzar al final del desarrollo de la unidad. El tema tratado de cada UA, será ampliamente desarrollado tanto en el fundamento teórico del tema, como en la parte práctica, los mismos que tendrán problemas desarrollados, problemas propuestos y auto-evaluaciones que en su mayoría son problemas de evaluaciones continuas, parciales y finales propuestas en semestres pasados. Las sesiones de aprendizaje fomentarán la participación activa de los alumnos mediante ejercicios dirigidos, dinámicas individuales y grupales, además de la práctica de ejercicios y problemas tipos, que le garanticen un nivel óptimo de aprendizaje. Se utilizarán controles de desempeño con el fin de promover el trabajo en equipo, el pensamiento critico, la argumentación y justificación de sus ideas así como la comunicación El curso es de naturaleza práctica. Se inicia manejando las herramientas básicas del algebra matricial, efectuando las operaciones básicas con matrices: la adición, multiplicación y otras aplicaciones; seguidamente, en el plano cartesiano, aprenderemos a construir gráficas de rectas y cónicas como circunferencias y parábolas, así como reconocer dichas cónicas a partir de sus ecuaciones. Del mismo modo, se analizarán las gráficas y el comportamiento en el plano de funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Finalmente, se analizarán la continuidad o discontinuidad de funciones algebraicas resolviendo los diferentes casos de límites indeterminados, a fin de hallar y manejar las diferentes aplicaciones del cálculo diferencial.
6
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
RED DE CONTENIDOS
Matemática II
Matrices y
Determinantes
Matriz Operación
Determinante
Geometría Analítica
Recta
Cónicas
Funciones
Limite
Derivada
MATEMÁTICA II 7
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
MATRICES Y DETERMINATES LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de las
operaciones con matrices y de su clasificación, resuelven problemas de operaciones
con matrices y calculan la determinante de una matriz.
TEMARIO
• Matrices: - Notación de matrices - Orden de una matriz - Igualdad de matrices - Tipos de matrices:
• Nula • Columna • Fila • Cuadrada
• Operaciones con matrices: - Suma y diferencia de matrices - Producto de un escalar por una matriz - Producto de matrices - Potencia de una matriz
ACTIVIDADES PROPUESTAS
• Escribe explícitamente matrices de orden MxN.
• Identifica los tipos de matrices y sus características.
• Efectúa operaciones con matrices: Adición, producto de un escalar por una matriz, multiplicación de matrices.
1.1 MATRICES
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
1
SEMANA
1
• Matrices especiales: - Matriz Diagonal - Matriz Escalar - Matriz Identidad - Matriz Transpuesta - Matriz Simétrica - Matriz Antisimétrica - Superior e Inferior
8
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Las matrices son herramientas matemáticas de mucha aplicabilidad en el campo de las ciencias económicas, sociales, administrativas entre otras áreas. Durante muchos años, los matemáticos puros fueron los únicos que se dedicaron al estudio de las matrices y de sus propiedades, pero en la actualidad existe un gran interés por el conocimiento de este tema, debido a sus numerosas aplicaciones en el estudio y solución de problemas concretos, sobre todo, por parte de quienes se dedican al estudio de la ciencias administrativas y sociales.
Es sumamente importante, para quienes se inician en el estudio de estos temas, tener muy presente que el concepto de matriz es completamente diferente al de “determinante”, tal como lo haremos notar más adelante. La rápida difusión de las calculadoras y, en particular, de las computadoras electrónicas, han creado la necesidad de impulsar el uso de las matrices en el planeamiento y solución de problemas concretos.
1.1.1 Definición
Una matriz A de orden m por n es un arreglo rectangular de elementos aij ordenados en filas y columnas, que tienen la forma:
columna 1
↓
=
1m
1i
11
a
a
a
A
columna j
↓
mj
ij
j1
a
a
a
columna n
↓
mn
in
n1
a
a
a
← Fila 1
← Fila i
← Fila m
... ...
... ...
... ...
Ejemplos:
=
108
64A
=18
12
6
16
10
4
14
8
2
B
=
7060
2015
40
8C
=15
10
3
D
[ ]012E =
[ ]50F =
Nota 1. Una matriz usualmente se denota por letras mayúsculas A, B, C etc. y a sus elementos por letras minúsculas aij, bij y cij etc. Ejemplos:
=
=
33
23
13
32
22
12
31
21
11
2221
1211
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Baa
aaA
=
13
12
11
c
c
c
C
MATEMÁTICA II 9
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Nota 2. Los elementos aij de una matriz “A” pueden ser números reales, números complejos, funciones, vectores o cualquier objeto no numérico, como por ejemplo, las fichas de un ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificados en orden alfabético, etc. Ejemplo:
A =
1
37
0 58
3
4
57 5 7
π
,
BSenx Cosx
Cosx Senx=
−
Hi i
i i=
−
3 4
3 1
2
I
Abad
Castro
Flores
Baldin
Cruz
Hilario
=
Nota 3. La matriz no tiene valor numérico; es decir, no puede identificarse con un número.
1.1.2 ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz es el producto indicado del número de filas por el número de columnas de la matriz.
Ejemplo:
3x315
e
5
8
31
5
3
3
A
π=Número de filas
Número de columnas
Luego, la matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces es de orden 3x3.
1.1.3 IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices A y B son iguales, si y sólo si, son del mismo orden y sus respectivos elementos son iguales
[ ] [ ] ijijij ,baBA ∀=⇔=
Ejemplo: Sean:
10
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Ae
=− −
10 20
π
Be
=− −
10 20
π
Averiguar si son iguales o no:
SOLUCIÓN A y B tienen el mismo orden (2 x 2). Veamos si tienen los mismos elementos:
π−==
−======
2222
2121
1212
1111
ba
eba
20ba
10ba
Luego, A = B
1.1.4 TIPOS DE MATRICES
1.1.4.1 MATRIZ NULA
Una matriz, en la cual todos sus elementos son ceros, se denomina matriz nula y se denota 0.
Ejemplo:
[ ]0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 00 0
0 0=
= =
1.1.4.2 MATRIZ COLUMNA
Tiene m filas y una columna. Ejemplos:
[ ]M N P=
=
=
5
10
15
20
3
3
3
3
8; ;
1.1.4.3 MATRIZ FILA
Está formada por una fila y n columnas Ejemplos:
MATEMÁTICA II 11
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[ ][ ][ ]
A
B Senx Cosx Tanx
C x x x x
=
=
= − −
10 20 30 40
3 1 4 52 3
1.1.4.4 MATRIZ CUADRADA
Una matriz A es cuadrada, cuando el número de filas es igual al número de columnas, (m = n). Ejemplos:
La matriz A =
1 1 1
1 1 1
2 2 2
es cuadrada de orden 3 x 3
La matriz B =
2 3
5 7 es cuadrada de orden 2 x 2
Diagonal principal de una matriz cuadrada, es la línea formada por los elementos a11, a22, a33…, ann, llamada traza de la matriz. Ejemplo:
Diagonal Secundaria Diagonal principal o traza de la matriz
1.1.4.5 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto los que pertenecen a su diagonal principal.
Ejemplos:
=
=
=
0000
0000
0000
0003
1
Cy
1000
000
005
B;
2000
0150
008
A
1.1.4.6 MATRIZ ESCALAR
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
12
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Es aquella matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales:
Ejemplos:
=
=
3100
0310
0031
N,
3000
0300
0030
0003
M
1.1.4.7 MATRIZ IDENTIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al número uno.
Ejemplos:
A B y C=
=
=
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
;
1.1.4.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada A=[aij] se llama triangular inferior si y solo si, sus elementos aij = 0 para i < j
Ejemplos:
π=
=
716151
0e
0031
B.2
318
03A.1
=
=2221
11
333231
2221
11
ee
0eE.5
ddd
0dd
00d
D.4
1.1.4.9 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada A = [aij] se llama triangular superior si y sólo si, sus elementos aij = 0 para i > j
=
=
700
54310
324
M.2
20
45D.1
=
7777
0555
0033
0002
C.3
=
8000
4200
1400
8702
R.3
MATEMÁTICA II 13
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1.1.4.10 MATRIZ SIMÉTRICA
Sea la matriz cuadrada A = [aij] . A es simétrica, si y sólo si Ejemplos:
=⇒
=543
462
321
A
543
462
321
A t
−−
=⇒
−−=
58
32P
53
82P t
1.1.4.11 MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Sea la matriz cuadrada A = [aij].
A es antisimétrica, si y sólo si A At= − . Los elementos de la diagonal principal de la matriz antisimétrica son ceros y los elementos equidistantes de la diagonal principal son números opuestos.
Ejemplo:
−
−−=−⇒
−−−=⇒
−
−−=
083
802
320
083
802
320
083
802
320tt AAA
1.1.5 MATRIZ TRANSPUESTA
La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por AT, cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A.
Ejemplos:
� Si 3x2
T
2x3
205
108
2
3Aentonces
20
5
2
10
8
3
A
=
=
TAA=
14
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� Si 4x2
T
2x4
487
317
51
53
41
72
31
Pentonces
4
87
53
41
317
517
23
1
P
π=
π
=
1.1.5.1 Propiedades de la matriz transpuesta
1. Ejemplos: Si:
=⇒
=
10
01
10
01 TII
2.
Ejemplo:
Si :
−
−=
−−=630
241
112
621
341
012TBentoncesB
Luego: ( )
−−=621
341
012TTB
Por tanto : ( ) BBTT =
3. TT BKKB .)( = , “K” es un escalar
- Si 5ky
652
413
B =
=
II T =
( ) BBTT =
MATEMÁTICA II 15
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�
=
=
62510
4515
652
413
5KB
�
=
625
45
1015)KB( t
- Si
=
652
413
B y K = 5
�
=
65
41
23BT
�
=
=
625
45
1015
65
41
235KBT
Por lo tanto verificamos que: (KB) t = KB t
4. ( )A B A Bt t t+ = + Ejemplo:
* Si
−−−
=
=
08
12
12
13BA
� A B+ =−
1 0
6 1 ;
−=+
10
61)BA( t
** Si A entonces At=
=
3 1
2 1
3 2
1 1
Si B entonces Bt=− −−
=
− −−
2 1
8 0
2 8
1 0
�
−−−
+
=+
01
82
11
23tt BA
� A Bt t+ =−
1 6
0 1
16
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Por lo tanto: (A + B)t = At + bt
5. ( ) .AB B At t t=
* Si
=→
=→
=
−=
75
75)AB(
77
55AB
22
11B,
41
13A t
* * Si B Bt=
→ =
1 1
2 2
1 2
1 2
Si A A B At t t=−
→ =
−
→ =
−
=
3 1
1 4
3 1
1 4
1 2
1 2
3 1
1 4
5 7
5 7.
Luego verificamos que: (AB)t = Bt .At
1.1.5 OPERACIONES CON MATRICES
1.1.5.1. SUMA DE MATRICES
Sean las matrices: A = [aij] y B = [bij], ambas del mismo orden m x n. La matriz suma de A y B es otra matriz C = A + B = [aij + bij], la cual también es de orden m x n.
Ejemplos: 1. Sean las matrices:
3x23x2
25
52
3
1B
42
65
3
1A
−−
=
=
Entonces:
3x2
)2(4
56
52
25
33
)1(1BA
−++
++
+−+
=+
3x2
27
117
6
0BA
=+
2. Sean las matrices:
MATEMÁTICA II 17
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3x33x3123
321
323
N
330
111
222
M
−−
−=
−−=
Entonces:
3x3)1(323)3(0
312111
)3(22232
NM
−+−+−+++−+
−+++=+
3x3453
412
145
NM
−−
−=+
PROPIEDADES:
Consideremos las matrices A, B y C del mismo orden y “ λ ” es un escalar. Entonces:
a) A + B = B + A , Conmutativa b) A + (B+C) = (A+B) + C, Asociativa c) λ (A+B) = λ A + λ B , Distributiva d) Existe una matriz 0 tal que para todo A, A + 0 = A.
1.1.5.2. SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Consideremos dos matrices A y B del mismo orden. Entonces, la diferencia de las matrices A y B definiremos por:
A - B = A + (-1) B
Ejemplo:
−−
−−=
−
−=
312
642
123
B
321
634
132
A
Entonces,
A - B = A +(-1) B =
−−
=−→
−−−−−
+
−
−=
031
012
255
BA
312
642
123
321
634
132
−−
−−−+
−
−
312
642
123
)1(
321
634
132
18
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
1.1.5.3. MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALA R
Sea A = [aij] una matriz de orden m x n, y λ un número. Entonces λ A= [ λ aij]. Ejemplo:
Sea λ = 5 y
−−=
342
176
532
A
Entonces
−−=
−−=λ
152010
53530
251510
)3(5)4(5)2(5
)1(5)7(5)6(5
)5(5)3(5)2(5
A
1.1.5.4. PRODUCTO DE UN VECTOR FILA POR UN VECTOR
COLUMNA
Sean: [ ]A a a a y B
b
b
b
n
n
= =
1 2
1
2
, ,..., .
.
Entonces: A x B = [ ] ∑=
=+++n
1iiinn2211 baba...baba
Ejemplo:
A = [4 8 -2] y B =
1
2
3
−
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]18tan6164)6()16(4
)3)(2()2)(8()1(4
3
2
1
284
−=−−=−+−+=
−+−+=
−−=
AxBtoPorAxB
AxB
1.1.5.5. PRODUCTO DE DOS MATRICES
Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas en la otra.
MATEMÁTICA II 19
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Dada las matrices:
A = [aij]m x n , B = [bij]n x p y C = [cij]mxp Entonces: A x B C=
Nº de columnadebe ser iguala Nº de filas
[aij ]m x n . [bij ]n x p = [cij ] m x p
La matriz C será de orden mxp
Ejemplo:
Calcular AB si:
=
=703
431
265
By
514
310
432
A
Solución:
AB =
2 3 4
0 1 3
4 1 5
5 6 2
1 3 4
3 0 7
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
=
7
4
2
514
0
3
6
514
3
1
5
514
7
4
2
310
0
3
6
310
3
1
5
310
7
4
2
432
0
3
6
432
3
1
5
432
AB
AB =+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +
2 3 1 4 3 2 6 3 3 4 0 2 2 3 4 4 7
0 1 1 3 3 0 6 1 3 3 0 0 2 1 4 3 7
4 1 1 5 3 4 6 1 3 5 0 4 2 1 4 5 7
(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
AB =
25 21 44
10 3 25
36 27 47
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES a) AB no es igual BA (no conmuta) b) A· (B · C) = (A·B) ·C c) A· (B + C) = A · B + A · C d) (B + C) A = B. A + C.A e) K (A B) = A · (K · B) , K es un escalar.
1.1.5.6. POTENCIA DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz cuadrada de orden n x n. Definiremos: 1. Aº = I A3=A.A.A
A1 = A A2= A.A An= 43421
vecesn
AAAA …......
2. An.Am = An+m
3. (An)m = An.m
4. A y B se llaman conmutables ↔ AB = B.A 1.2.7 GUÍA DE PROBLEMAS Operaciones con matrices 1) Si:
A
a b
b
b x a x
=− −
− −
1 1
2 3
4
es una matriz simétrica
Hallar: M = A2 - 4I + 2E; donde E = matriz escalar, k=2 Solución Si A es una matriz simétrica
� a - b = 2 …………………….….……… � b - x = -1 � x b= + 1 …….………. �
a - x = b …………………………….….. � Reemplazando (2) en (3) tenemos: a - x = b a - (b+1) = b
MATEMÁTICA II 21
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a-b-1 = b 01b2a =−− …….� De (1) y (4) � -1 (a-b) = (2) (-1) a-2b = 1 -a+b = -2 a-2b = 1 -b = -1 b = 1 � x = 2 a = 3 � la matriz A es:
A =−
−
1 2 1
2 3 1
1 1 4
Nos piden: M = A2 - 4I + 2E
+
−
−
−
−
−=
200
020
002
2
100
010
001
4
411
132
121
411
132
121
M
+
−−
−+
−
−=
400
040
004
400
040
004
1853
5147
376
M
Sumando las tres matrices tenemos:
M =−
−
6 7 3
7 14 5
3 5 18
2. Sea A una matriz de 3x3, tal que A = aI + bD, en donde D es una matriz, tal que
todos sus elementos de la diagonal principal son ceros y todos los demás son unos. Halla “a” y “b” de manera que A2 = I
Solución: “A” es una matriz de 3x3 �
22
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=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
=011
101
110
D
Pero: A = aI + b.D
A a b=
+
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
=
+
=abb
bab
bba
0bb
b0b
bb0
a00
0a0
00a
A
A
a b b
b a b
b b a
=
Además: A2 = I � A.A = I
a b b
b a b
b b a
a b b
b a b
b b a
=
.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a b b ab b ab b
ab b b a b ab
b ab b ab a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ + + ++ + +
+ + +
=
� 1b2a 22 =+ …………… (1) ^ 2ab + b2 = 0 ……..(2) b (b + 2a) = 0 b = 0 v b a+ =2 0
MATEMÁTICA II 23
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
En (1) : Si b = 0 � a2 = 1 � a = ±1 Si b = 2a � a2 + 8a2= 1 � a2 = 1
9
� 3
1±=a
EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
1. Escribir un ejemplo de una matriz de orden 2 x 2 que cumpla con las condiciones
siguientes:
a) Triangular inferior, diagonal y no escalar b) Triangular inferior y no diagonal c) Triangular inferior y escalar d) Simétrica, diagonal y no escalar e) Simétrica, escalar y no diagonal f) Simétrica y escalar g) Simétrica y no escalar h) Antisimétrica
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
( )
−+
=
+−
=
+
=
−++−
−=
−+
0z1
2w4
1y1
02x)d
91
164
1vu2
y3x)c
14
03
v2uyx
vu3yx)b
4
4
y3
y
x2
x2)a
2
2
3. Consideramos las siguientes matrices:
24
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
−−
−−=
−=
−=
=
4
3
8
814
320
162
B,
3
1
2
103
015
423
A.ii
1
4
1
1
3
0
B,
2
5
3
0
2
1
A.i
a) Calcular A ± B
b) Calcular At, Bt, (A ± B)t
4. Consideramos las siguientes matrices:
−=
−=
=4
0
2
2
11
4
C,
1
2
1
0
3
2
B,
6
4
2
5
3
1
A
Calcular: a) A + B b) A – B c) (A + B) + C d) (A – B) + C
5. Si:
BB
BA
t 32AHallar
230
114
234
113
202
301
t −+
−=
−
−=
6. Si:
AB,BAHallar
42
11B,
32
12A
22 −+
=
−=
7. Dadas las matrices A, B y C, donde:
−−=
−−=
−−
=4
0
1
0
2
1
C
503
013
071
B0
5
2
0
7
1A
Verificar que (AB) C = A (BC) 8. Dadas las matrices A, B y C donde:
MATEMÁTICA II 25
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
=
−=
−−=
000
412
111
C
113
112
111
B
213
212
211
A
Verificar que AC = BC
9. Si:
++
+
−=
zwz
yx
w
y
wz
yx 24
21
63 hallar x + y + z + w
10. Hallar a, b, c y d para que satisfaga la ecuación.
=
4
5
8
6
9
0
1
1
0100
0010
1100
0201
2
d
9
c
3
b
1
a
11. Si:
12. Si:
−=
−−
−
3
5
1
z
y
x
013
102
120
Calcular E = x + y + z
Hallar 77x – 3y
13. Hallar x, y, z, si:
=
2
5
1
Z
Y
X
101
510
021
14. Dadas las matrices:
[ ]
zyx Ehallar ,CABSi
3,2,1Cy
z
y
x
B,
101
352
123
A
t ++==
−=
=
−−−
=
dc b a m :de valor elHallar
1
0
75
511
1100
0030
2103
0211
1
1
2
2
+++=
−−=
⋅
− b
a
c
d
a
b
26
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación
BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo
Matrices y Determinantes J.J Servicios Lima 2005
Lázaro, Moisés Vera, Carlos
Algebra Lineal
Colección Moshera
Lima
2004
http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html
1) Escribe explícitamente las siguientes matrices y halla sus transpuestas.
[ ]( )
[ ]( ) jibquetalbBb
jaquetalaAa
ijij
iijxij
2:)
2:)
43
33
−==
+==
×
2) Sean las matrices cuadradas A y B. Determina si las siguientes proposiciones son Verdaderas (V) o Falsas (F).
a) Toda matriz tiene un valor numérico. b) A = B si y sólo si tienen el mismo orden. c) Una matriz diagonal es también escalar (da un ejemplo). d) Una matriz transpuesta es siempre una matriz cuadrada (da un ejemplo).
3) Halla los elementos de las siguientes matrices:
−−
−−=
+−−+−−
−++=
0
02
10
;
2320
031
301 2
axxb
b
ba
C
xzx
zxy
xzy
A
donde A es una matriz escalar y C una matriz antisimétrica. 4) Halla los elementos de la siguiente matriz, Si :
simétrica. matriz una es
5810
106910
12193
−−
−−=
yx
zx
zy
A
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
1
SEMANA
2
MATEMÁTICA II 27
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
MATRICES Y DETERMINATES
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos aplicando las propiedades de las
operaciones con matrices y de la clasificación de matrices, resuelven problemas de
operaciones con matrices y calculan la determinante de una matriz.
TEMARIO
• Determinante: - Definición - Orden 2 y 3 - Propiedades
• Inversa de una matriz: - Propiedades
ACTIVIDADES PROPUESTAS
• Calcula determinantes de matrices cuadradas de orden 2 y 3.
• Halla la inversa de una matriz, con el método del determinante.
28
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
1.2. DETERMINANTES
DEFINICIÓN
Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número real asociado a dicha matriz.
1.2.1 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN DOS
Se llama determinante de la matriz
Aa a
a a=
11 12
21 22
Al número real asociado a ella, denotado por det (A) o por A
2221
1211
aa
aaA = y se define como sigue:
det (A) = |A| = =2221
1211
aa
aa a11a22 - a12 a21
entonces 21122211 aaaaA ⋅−⋅=
Ejemplo (1)
Si A =
2 5
3 6
Entonces de 31512)5x36x2(63
52A −=−=−==
� ( ) 3Adet −=
Ejemplo (2)
Si B =
2 3
3 2
Entonces |B| = 2 - 3 = -1 Luego |B| = -1
MATEMÁTICA II 29
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
TEOREMA
La matriz Aa a
a a=
11 12
21 22
tiene inversa A-1
Si y solo si |A| no es igual a CERO
⇒ A-1 =
−−
1121
1222
aa
aa
A
1
Ejemplo:
Si A =−
2 3
1 6
Solución:
i) Cálculo de la determinante de A
A =−2 3
1 6 = 2 (6) - (-1) (3) = 12 + 3 = 15
ii) Cálculo de la inversa de A
AA
a a
a a− =
−−
1 22 12
21 11
1
| | vemos que :
a
a
a
a
22
21
11
12
6
1
2
3
== −==
Luego, reemplazando valores tenemos:
A
A
A
A
−
−
−
−
=−
− −
=−
=−
=−
1
1
1
1
1
15
6 3
1 2
1
15
6 3
1 2
6 15 3 15
1 15 2 15
2 5 1 5
1 15 2 15
( )
/ /
/ /
/ /
/ /
1.2.2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE TERCER ORDEN
1.2.2.1 MENOR COMPLEMENTARIO
30
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
El menor complementario de un elemento de una matriz de tercer orden es el determinante de la matriz cuadrada de segundo orden, que se obtiene después de borrar la fila i y la columna j.
Al menor complementario de aij denotaremos Mij. Ejemplo:
Sea la matriz A =
1 3 4
2 6 2
5 7 5
* El menor complementario M11 de a11 se obtiene eliminando la primera
fila y la primera columna de la matriz A :
Así : M11
6 2
7 5= �
M
M11
11
6 7 2
30 14 16
= −= − = →
( )(5) ( )
M11 16=
** El menor complementario M12 de a12 se obtiene eliminando la primera
fila y la segunda columna de A:
Así: 55
2212 =M � M12 = - (2(5) - 5(2) )
M12 = -(10 – 10) M12 0= *** El menor complementario M13 de a13 se obtiene eliminando la primera
fila y la tercera columna de A:
Así; M13
2 6
5 7=
� M13 = 2 (7) - 6 (5)
M13 = 14 - 30 M13 16= − Nota: Obsérvese que los menores complementarios Mij de aij son números, debido a que están definidas como determinantes de submatrices de A.
1.2.2.2 COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UNA MATRIZ
El cofactor de una componente de aij es denotado por Aij y esta definida por:
ij
jiij M)1(A +−=
MATEMÁTICA II 31
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejemplo: Sea la matriz ijji M)1(Aij +−=
A =
1 3 4
2 6 2
5 7 5
A Mij
i jij= − +( )1
El cofactor correspondiente a a11 = 1 es A11 = (-1)1+1 M11 = M11 El cofactor correspondiente a a12 = 3 es A12 = (-1)1+2 M12 = -M12 El cofactor correspondiente a a13= 4 es A13 = (-1)1+3 M13 = M13
DEFINICIÓN
Sea la matriz:
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
El determinante de la matriz A es un número real denotado por det (A) o |A| y es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos cofactores.
Es decir:
( )
)aaaa(a)aaaa(a)aaaa(aA
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaA
MaMaMaA
MaMaMaA
AaAaAaA
223132211331233321122332332211
3231
222113
3331
232112
3332
232211
131312121111
131312121111
131312121111
−+−−−=
+−=
+−=
+−+=
++=
Ejemplo: 1. Calcular el determinante de la matriz:
A = − −
4 7 6
2 2 3
3 1 5
32
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Solución:
Det (A) = |A| = 42 3
1 57
2 3
3 56
2 2
3 1
−−
− −+
−
|A| = ( )[ ] ( )[ ] [ ])2)(3()1)(2(6)3(3527)3(1524 −−+−−−−−− |A| = [ ] [ ])6()2(69107)310(4 −+−++−−+ |A| = 4(13) - 7 (-1) + 6 (-8) |A| = 52 + 7 - 48
A = 11 1.2 3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
i. Si se intercambian las filas de una matriz, el determinante cambia de signo, es decir, B A= −
ii. Al multiplicar todos los elementos de una fila por un mismo
número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Es decir B k A=
iii. Si a una fila se le suma un múltiplo de otra fila, el determinante no cambia su valor.
Es decir: |B| = |A|
iv. El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de los cofactores .
En general:
Para matrices A y B de orden n se cumple que: |A.B| = |A| |B|
1.2.4 MATRIZ DE COFACTORES
Consideremos la matriz:
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Si sustituimos cada elemento de A por su cofactor, obtenemos una matriz que denotamos por
MATEMÁTICA II 33
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Cofact A
A A A
A A A
A A A
=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
al cual llamaremos matriz de cofactores.
1.2.4.1 MATRIZ ADJUNTA
A la transpuesta de la matriz de cofactores de A llamaremos matriz adjunta de A. Es decir:
[ ]
=↓
332313
322212
312111
)(
)(
AAA
AAA
AAA
ACofact t
AAdj
43421
Matriz adjunta de A=adj (A) = [cofactor (A)]T
Adj (A) =
A A A
A A A
A A A
11 21 31
12 22 32
13 23 33
1.2.5 MATRIZ INVERSA
Consideremos una matriz A, si |A| ≠ 0. Entonces, a la inversa de la matriz A la definiremos de la siguiente manera:
AA
adj AA
Cofact A T− = =1 1 1
| |( )
| |( )
Ejemplo: Obtener la inversa de la matriz A si existe.
A =
1 2 3
4 5 6
5 3 7
Solución:
34
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
A
A
A
A
= − − − + −= − − + −= + −= −
1 35 18 2 28 30 3 12 25
17 2 2 3 13
17 4 39
18
( ) ( ) ( )
| | ( ) ( )
| |
| |
Como |A| ≠ 0, entonces existe inversa calculando la matriz de cofactores:
Cofact (A) =
−−−−
−
363
785
13217
Adj (A) =
−−−
−−
3713
682
3517
Nos piden:
AA
adj A
A
−
−
=
=−
− −−
− −
1
1
1
1
18
17 5 3
2 8 6
13 7 3
| |( )
De donde:
−−−
−=−
611871813
319491
6118518171A
1.2.5.1 Propiedades de la matriz inversa
1. La matriz inversa es única
2. A tiene inversa si y sólo si A ≠ 0
3. La inversa de una matriz inversa de la matriz original:
( ) AA =−− 11 4. La inversa del producto de un número por una matriz, es igual al recíproco
del número por la inversa de la matriz.
( )λλ
A A− −=1 11
5. La inversa del producto de dos matrices es igual al producto de las
inversas de los factores, pero con el orden cambiado:
( )A B B A. .− − −=1 1 1
MATEMÁTICA II 35
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
6. La inversa de la potencia “n” de una matriz es igual a la potencia “n” de la inversa de dicha matriz:
( ) ( )A An n− −=1 1
1.2.5.2 PROPIEDADES
Si “A” es una matriz cuadrada de orden n, tal que |A|≠ 0, entonces:
a) |Adj(A)| = |A| n-1
b) Adj (Adj(A))= |A|n-2.A
c) Cofact [Cofact (A)] = |A|n-2.A
d) Cofact [Adj(A)] = Adj [Cofact (A)]
1.2.6 GUÍA DE PROBLEMAS Determinante e Inversa de una Matriz Ejercicios resueltos
1) Dadas las matrices:
−
−=
−=
8
z
4
3B
y
4
2
xA Si A+B es Antisimétrica
Hallar A Bt: .−1
Solución:
A Bx z
y+ =
−
+−
3
2
4
8
1) Por dato (A+B) Antisimétrica � x=3 , y=8 , z= -6
2) Luego:
=→
−−
−=
=→
=−−=→
−=
−−−
−−
214
31
323
81
161
41
1
20.
8
6
4
3
32)8(248
4
2
3
tBA
ByA
AA
36
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2/3.: 1 −=− tBALuego
2) Si
A
b x
a b
a x
b=−
−
−
−
1
2 3
1
4
es una matriz simétrica
Hallar A: −1
Solución : Si A es una matriz simétrica
)3.(....................bxa
)........(*1bx)2..(....................1xb
)1.(....................2ba
=−
+=→−=−→
=−
Reemplazando (*) en (3) a - ( b + 1) = b a – b - 1 = b a - 2b = 1 …………………………(4)
De (1) y (4) tenemos:
a b a b
a b a b
b
b a
− = → − + = −− = − =
− = −
= → =
2 2
2 1 2 1
1
1 3
en (*) x=2 Luego, la matriz A es:
−
−=
4
1
1
1
3
2
1
2
1
A
Nos pide: A −1
12
1tan12
51811
)32)(1()18(2)112(1
1 −=⇒−=
−−=
+−++−−=⇒
−AtoPorA
A
A
MATEMÁTICA II 37
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
3) Sea “A” una matriz de orden 2 cuyo determinante es igual a 4. La diferencia entre la suma de los elementos de la diagonal principal y la suma de los elementos de la diagonal secundaria es 8. Si se suma “x” a cada elemento de la matriz “A”, entonces el valor de su determinante es igual a (-4). Calcula el valor de “x”.
Solución: I)
II) (a+d) - (c+b) = 8 III) Luego: (a+x)(d+x) - (c+x)(b+x) =-4 ad + ax + xd + x2 - cb - cx - xb - x2 = -4 (ad - cb) + x (a+d - b - c) = -4 4 + 8x = -4 8x = -8 x = -1
4cbd.a:Luego
4Ad
b
c
aASea
=−
=→
=
4Bxd
xb
xc
xaB −=→
+
+
+
+=
38
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
EJERCICIOS PROPUESTOEJERCICIOS PROPUESTOEJERCICIOS PROPUESTOEJERCICIOS PROPUESTOSSSS
1. Halla la matriz inversa de A = 4 5
6 7
2. Halla la matriz inversa de B = x a sena
xsena a
cos
cos
−
3. Halla la traza de la matriz M =
1 2 3
4 5 6
5 3 7
4. Hallar x si la traza de A es 10, de:
−=
211
24
432
xA
5. Si:
+−−+−−−
=4k66
35k3
331k
A halla el valor de “k” de manera que 0A =
6. Si:
−+−
=8k4
2k2kk
721
A halla el valor de “k” de manera que 0A =
7. Dada la matriz
Adj A=1 1 1
10 2
7 3 1
2
−−
− −
=k y A| | ,
Determinar “k” y “A”
8. Resuelve: x1x
1xx
x3
2x
−+
=
MATEMÁTICA II 39
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
AuAuAuAutoevaluacióntoevaluacióntoevaluacióntoevaluación
1) Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = I
Si ?Bhalla,
1cb
06a
005
A =
=
2) Dada cuatro matrices A, B, C y D tales que:
C-1 = B-1A y D-1 = AC siendo BT =
−86
42 halla la matriz D.
40
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3) Halla el determinante de ( )TT YX + si X – 2Y = A2 ....... (I) 2X + 3Y = B-1 ....... (II)
Siendo
−−
=
−−
=232
211;
10
21BA
PROBLEMAS SELECTOS DE MATRICES
1. Si :
−−
−=
220
341
01
ba
ab
M es una matriz simétrica y N una matriz escalar con
bak += , halla la matriz abNMP −= 2
2. Si :
−−−
+=
091
203
10
ab
ba
M es una matriz antisimétrica y
−=
0
00
000
2 bb
aN ,
halla la matriz P = M.N – 3I 3. Dadas las matrices:
-1 0 1 2 -1 1 A= 0 2 -1 ; B= 0 3 -1 1 1 -1 1 -1 0
Halle la traza de: 3AxB – 4 AT + 3I
MATEMÁTICA II 41
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
4. Una compañía tiene cuatro fábricas, cada una cuenta con Administradores,
Supervisores y Obreros calificados en la siguiente forma: Puestos Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Administradores 2 1 3 2 Supervisores 4 6 5 3 Obreros 80 70 100 60 a-) Si los administradores ganan $500, los supervisores $300 y los obreros $200,
establecer la matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la planilla de cada fábrica . b-) Si se incrementan los sueldos de todos los trabajadores en un 30%, establecer la nueva matriz SUELDO vs. FÁBRICA e indicar la nueva planilla. 5. Sean las matrices:
A =
−y
xyx
1
3 , B =
−−
x
y
61
62 , C =
32
xy
Determina A+C, si A = B.
6. Dada la matriz
=
25
13A se le pide que:
a) Halle la matriz IAAM t 2..3 −=
b) Halle la matriz X de:
=−
10
02. 1MX
7. Sean las matrices A y B. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones :
=+
=+
32
2323
23
3232
BA
BA
Halla (AB)-1.
8. Sean las matrices:
[ ] [ ]
≥−<+
==+==ji,j2i
ji,jibdonde,bByji3adonde,aA ij2x2ijij2x2ij
.Xhalla,A4XBSi T2 =
42
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
9. Sean las matrices :
[ ]
T
ij2x2ij
AC2XB:quesabesesi,Xhalla
,25
13Cy
87
65B),j,imax(adondeaA
+=
−−
=
===
10. Sean las matrices :
[ ]
T
ijxij
ABXCquesabesesiXhalla
CyBjiadondeaA
42:,
,25
43
87
61),,min(
22
+=
−=
−===
BIBLIOGRAFIA: Espinoza Ramos, Eduardo
Matrices y Determinantes
J.J Servicios Lima
2005
Lázaro, Moisés Vera, Carlos
Algebra Lineal
Colección Moshera
Lima
2004
http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html
MATEMÁTICA II 43
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos utilizando diferentes métodos,
deducen la ecuación de la recta, circunferencia y parábola, con ayuda del docente y
utilizando el plano cartesiano construye gráficos que servirán para la resolución de
ejercicios y problemas, también señala la pendiente recta y elementos básicos de la
circunferencia y la parábola.
TEMARIO
• El plano cartesiano: - Regiones en el plano - Distancias entre dos puntos, Perímetros y áreas - Punto medio de un segmento - Angulo de inclinación de la recta - Pendiente de una recta
ACTIVIDADES PROPUESTAS
• Calcula la distancia entre dos puntos y lo grafica en el plano cartesiano.
• Calcula perímetros y áreas tanto analítica como geométricamente.
• Calcula la pendiente de la recta en forma analítica y geométrica.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
2
SEMANA
3
44
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.3 EL PLANO CARTESIANO
2.3.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Es aquel que posee dos ejes de coordenadas que se cortan
formando un ángulo de 90° al eje horizontal. A éste se le
denomina abscisa (x) y al eje vertical ordenada (y). En este
sistema cada punto tiene dos elementos abscisa y ordenada
Ejercicios Propuestos
1. Grafique los siguientes puntos en un plano cartesiano.
2. Grafique las siguientes funciones evaluando los valores de X indicados
(tabla de valores)
Ejemplo :
Grafique utilizando los valores de X dados en la tabla.
Evaluando x =
-3
Evaluando en x = 0
Al completar la tabla con los valores, queda de la siguiente manera:
X Y
-3 -5
0 1
2
1
2
12 += xy
( ) 51613212 −=+−=+−=→+= yxy
( )
( )3,2
1,2
− ( )2,2
1,2
1
−
−A
B
C
D
13 +−= xy 12 += xya) b) c)
X Y
-3
0
2
1
1+x2=y
MATEMÁTICA II 45
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Al graficar los puntos obtenidos, podemos esbozar la gráfica de la ecuación en
los valores indicados.
( )5,3 −−
( )1,0
2,
2
1
x -x
y
-y
( )5,3−−
( )1,0
2,2
1
-3
-5
1 2
1
2
46
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.3.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
El ∆ P1QP 2 es recto en Q , Entonces, aplicando Teorema de Pitágoras a
dicho triángulo, obtenemos: d2 = (x2 – x1)2+ (y2 – y1)
2 de donde: d
= 212
212 )()( yyxx −+− , d =distancia entre los puntos P1 y P2.
Ejemplo:
1. Calcule la distancia entre los puntos P = (3; 5) y Q (-3;-3).
Solución :
dQP
= 22 )35()33( +++ = 22 86 + = 10
dPQ
= dQP
= 10
2. Demuestre que el triángulo con vértices en A = (-2, 4), B = (-5, 1) y C = (-6, 5) es isósceles.
Solución:
Demostraremos que el ∆ tiene dos lados iguales.
a) dAB
= 22 )14()52( −+− = 22 33 + = 3 2
MATEMÁTICA II 47
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
dAB
= 3 2
b) dBC
= 2222 )4(1)51()65( −+=−++−
dBC
= 17
c) dAC
= ( ) 2222 1454)62( +=−++− = 17
dBC
= dAC
= 17
ABC∆∴ es isósceles.
3.- Calcule la distancia entre los siguientes puntos.
a) A (2, 7) y B (-2, 4) b) T (-2, 5) y R (4,-3)
c) M (4, 0) y N (11, )5
d) L (0,4) y S (- )9,11
e) S ( )1,5 y Q (- )15,3 f) W (4,1) y Z (-6, 21)
4.- Calcule el perímetro y el área del polígono cuyos vértices son los puntos:
a) A(4,1) , B(7, 1) , C(9, 3) , D(7, 5) , E(4, 5) y F(2, 3) b) ( ) )1,0()3,2(,3,9,)1,11(),5,9(,)5,2( 654321 −−−− PyPPPPP
Ejercicios Propuestos
1. Demuestre que el triángulo con vértices en A (3, -6), B (8, -2) y (-1, -1) es un triángulo
rectángulo. (Sugerencia: Recuerde el teorema que deben satisfacer las longitudes de
los lados de un triángulo rectángulo)
2. La distancia entre A y B es de 5 unidades. Si A (7; 1), B (3; y), entonces ¿ Cuál es el
producto de los valores de ”y”?
3. F es el punto simétrico de (5,2) respecto al origen; A es el punto simétrico de (2;-6)
respecto al eje X; C es el punto simétrico de (4; 3) respecto al eje Y. Si p es el
perímetro del triángulo FAC, entonces el valor numérico de la expresión es:
4. Si M (k, ( )2113−p 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el
valor de k.
48
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
5. Si M (k, 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k. 2.3.4 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Nuestro objetivo es hallar las coordenadas X e Y de l punto M ubicado a igual distancia de los extremos P y
Q del segmento PQ.
Para el caso, digamos que se trata de los puntos:
),(),;(,);(2211
yxMQP yxyx
Obtención de la Abscisa X de M:
a. Por los puntos P, M y Q tracemos perpendiculares al eje X.
( QCMBPA //// por ser perpendiculares a una misma recta).
b. Aplicando el teorema de Thales se tiene:
,BC
AB
MQ
PM = pero como M es un punto medio, .MQPM =
Entonces, BC
AB=1
c. Observamos que 1XXAB −= , XXBC −= 2 . Sustituyendo en 2:
MATEMÁTICA II 49
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
12
1 =−
−xx
xx 2
2121
xxxxxxx
+=↔−=−↔
Por igual procedimiento se demuestra que la ordenada “y” de M es
221 YY
Y+= (Queda como ejercicio para los alumnos)
Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos
( ) ( ) :;; 2211 sonyxyx y : P ( x, y ) , donde
Ejemplos:
1. Halle el punto medio (coordenadas) de los puntos A (-8,-2) y B (4,8)
Solución:
Se tiene que:
2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P (2,5), Q (4,2), R (1,1).
Halle las coordenadas de los tres vértices.
Solución:
Se tiene la gráfica:
222121 yy
yyxx
x+=+=
)3,2(
32
822
2
48
−=∴
=+−=−=+−=
P
yx
50
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
P = punto medio de CB
)2......(..........102
5
)1.........(..........42
2
3232
3223
=+=+=
=+=+=
yyyy
xxxx
Q = punto medio de AB
)4.......(..........42
2
)3........(..........82
4
2121
2121
=+=+=
=+=+=
yyyy
xxxx
R = punto medio de AC :
)6........(..........22
1
)5.........(..........22
1
3131
3131
=+=+=
=+=+=
yyyy
xxxx
(1)-(5)
3,1,5
102
8
2
132
2
12
12
=−==
==+=−
xxx
x
xx
xx
(2)-(6):
4,2,6
122
4
8
312
2
12
12
=−==
==+=−
yyy
y
yy
yy
Luego:
A (3,-2) , B = (5,6) y C = (-1,4)
MATEMÁTICA II 51
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA
Dada una recta “ L “ ubicada en el plano cartesiano, se llama ángulo de
inclinación de una recta, al ángulo que forma dicha recta respecto a la
horizontal (eje x), medido en sentido antihorario.
Así, en los gráficos siguientes, α y 1α son los ángulos de inclinación de las rectas L
y L1 respectivamente.
El ángulo de inclinación α (alfa) de cualquier recta esta comprendido entre 0°
y 180°.
En forma particular:
2.3.5 Pendiente de una recta
La pendiente de la recta L se denota con la letra m y su valor está dado por la
función tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación α .
αtan=m
Si la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación
es 0°.
Si la recta es perpendicular al eje x, su ángulo de
inclinación es 90°.
00 1800 ≤≤ α
α1α
y
x x
y
L1L
52
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
NOTAS IMPORTANTES SOBRE PENDIENTES
1. Si α =37° entonces la pendiente de la recta L es m=tg(37 °)=4
3
2. Si α =127° entonces la pendiente de la recta 1L es 1m =tg(127°)=tg(180°-
53°)
1m = -tg (53°)=-3
4
3. Si α =120° entonces la pendiente de la recta 2L es 2m =tg(120°)=tg(180°-
60°)
2m = -tg(60°)= - 3
4. Si α=30° entonces la pendiente de la recta 3L es 3m =tg(30°)=3
1
α
adyacentecateto
opuestocatetotg =α recorridooavance
elevaciónm=;
α1α
y
x x
y
L1L
Cateto opuesto
Cateto adyacente
MATEMÁTICA II 53
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos
1. Encuentre la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los
puntos dados.
a.- A = (–1, 5) B =(2, –3)
b. - E = (0, –1) D =(–3, –1)
c. - Q= (–2, 1) W=(–2, 0)
2. Encuentre los puntos medios de los lados del cuadrado si los puntos ( )1,0=A
( )5,3=B ( )2,7=C ( )2,4 −=D son sus vértices .También halle el área del
cuadrado construido con sus puntos medios.
3. Dos vértices de un triángulo equilátero son )1,1(−=A ( )1,3=B . Encuentre las
coordenadas del tercer vértice. (Recuerde tomar en cuenta ambos casos).
4. El punto medio de un segmento es ( )2,1−=M y uno de sus extremos es
( )5,2=N , encuentre las coordenadas del otro extremo.
5. Encuentre las coordenadas de los extremos de A y B de un segmento, que se
divida en tres partes iguales por los puntos P (2; 2) y Q(1,5).
6. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une a ( )1,1−=A y
( )5,4=B en la dirección de AB para que su longitud se triplique?
7. En el triángulo rectángulo con vértices en los puntos A(-2,2),B(4,5) y
C(6.5,0).Calcule el valor de k, si k=AC/BM. M está en AC y BM es la mediana
relativo al vértice B.
8. El área de un triángulo es 6u2, dos de sus vértices son: A(3,1) y B(1,-3), si el
tercer vértice C está en el eje Y . Hallar las coordenadas del vértice C.
9. Hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados: X, Y y la recta
L: 5x + 4y - 2 = 0. Construya su gráfica en cada caso
54
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Autoevaluación
1. Halla la longitud de cada segmento cuyos extremos son los puntos siguientes:
a) A(-3;2) y B(5;2) b) E(-2;-1) y F(3;4) c) P(6;4) y Q(8;2)
d) R(-2;-1) y S(7;3) e) )
2
1;0(M y N (9; 0) f) T(2,5; 8) y )
4
3;3(−k
2. Se sabe que 6=EF siendo E(x;2) ,F(5;8) y que 8=CD cuando C(-3;4), D(5;y).
Entonces el valor de 3 )3(2 yx es:
a) 3 152 b) 3 153 c) 3 15 d) 3 154
3. Conociendo que 72=PQ ; P(2;y) ,Q(8;7) y que 25=RS ; R(x;-1) ,S(5;-2). el
producto del mayor valor de “y” por el menor valor de x, es:
a) –24 b) –18 c) -12 d) -26
4. Los vértices del ∆ EFG son E (4; 3), F (6;-2), G (-11;-3). Por tanto el triángulo es:
a) Isósceles b) obtusángulo c) equilátero d) rectángulo
5. AC es la base del ∆ isósceles ABC cuyos vértices son A (-8;-1), B (6; 7), C (-2; y). Si C
pertenece al II cuadrante, entonces la distancia de C al origen es:
a) 445 b) 443 c) 130671 + d) 127441 +
6. El valor de x para que los puntos K(-2 ;5), T(1; 3), Q (x ;-1) sean colineales es:
a) 8 b) 6,8 c) 7,2 d) 7
MATEMÁTICA II 55
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
RESUMEN DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
El ∆ P1QP 2 es recto en Q , Entonces,
aplicando Teorema de Pitágoras a dicho triángulo,
obtenemos: d2 = (x2 – x1)2+ (y2 – y1)
2 de donde: d = 212
212 )()( yyxx −+− ,
d =distancia entre los puntos P1 y P2.
punto medio de un segmento :
Pendiente de una recta : αtan=m
BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial
LIMUSA USA 2001
LARSON Roland; HOSTETLER Robert
Cálculo y Geometría Analítica
McGraw Hill USA 1993
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001
222121 yy
yyxx
x+=+=
α1α
y
x x
y
L1L
00 1800 ≤≤ α
56
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 57
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
ECUACIONES DE LA RECTA
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando diferentes métodos,
deducen la ecuación de la recta, circunferencia y parábola, con ayuda del docente y
utilizando el plano cartesiano construyen gráficos que servirán para la resolución de
ejercicios y problemas, también señalan la pendiente recta y elementos básicos de la
circunferencia y la parábola.
TEMARIO
• Ecuación de la recta :
Forma general, punto pendiente y que pasa por dos puntos
Angulo de inclinación de una recta
Distancia de un punto a una recta
ACTIVIDADES PROPUESTAS
• Halla las diferentes formas de la ecuación de la recta.
• Encuentra el ángulo que forman dos rectas.
• Halla la distancia de un punto a una recta
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
2
SEMANA
4
58
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.4.1 Pendiente de una recta conociendo dos puntos
La pendiente m de una recta L que pasa por los puntos
),(),( 222111 yxPyyxP es el número: 12
12
xx
yym
−−
=
Demostración
12 yyQA −= ; 12 xxAP −=
AP
QAtg =α →
12
12
xx
yytg
−−
=α
∴
Ejemplo:
Determine la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1 (1,2) y P2(-3,4). Aplicando la fórmula de la pendiente
Por los puntos P y Q de L tracemos paralelas a los
ejes X e Y.
En el triángulo rectángulo PAQ: QPA α
( correspondientes)
12
12
xx
yym
−−
=
12
12
xx
yym
−−=
MATEMÁTICA II 59
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
1. 2121 −=⇔⊥ mmLL
2.4.1.1 Rectas paralelas
Así:
2.4.1.2 Rectas perpendiculares
Así:
Ejemplo:
Se definen 2 pares rectas y .
Si dos rectas son paralelas, entonces tiene igual
pendiente.
Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces
son paralelas.
Si dos rectas son perpendiculares entonces el
producto de sus pendientes
es –1.
Si el producto de las pendientes de dos rectas es –1,
entonces las rectas son perpendiculares.
mmLL 2121// =⇔
2
1
4
2
)3(1
42;
2
1
4
2
13
24 −=−=−−
−=−=−
=−−
−= mm
L1: (1,3) y (2,5) L2: (3,11) y (-4,-3)
L3: (-2,3) y (4,9) L4: (0,2) y (2,0)
60
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Determine que rectas son paralelas y en cuales son perpendiculares. Calculamos las pendientes de L1 y L2.
Las pendientes de ambas rectas son iguales. Luego, cumplen con la
condición de paralelismo (L1 y L2 son rectas paralelas).
Ahora, calculamos las pendientes de L3 y L4.
16
6
24
6
)2(4
393 ==
+=
−−−=mL
12
2
02
204 −=−=
−−=mL Las pendiente de las rectas
no son iguales, pero su producto es -1. Luego, cumplen con la condición
de Perpendicularidad (L3 y L4 son perpendiculares).
2.4.2 ECUACIONES DE UNA RECTA
Es el conjunto de puntos que cumplen con la misma regla de correspondencia
lineal.
2.4.2.1 CONOCIENDO DOS PUNTOS
DATOS:
),(,),( 222111 yxPyxP ==
Por división de segmento con una razón dada: rPP
PP =2
1 luego:
)1.......(2
1
xx
xxr
−−= y
27
14
34
1132 =
−−=
−−−−=mL2
1
2
12
351 ==
−−=mL
)2.(..........2
1
yy
yyr
−−=
MATEMÁTICA II 61
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Igualando ambas ecuaciones (1) = (2): xx
xx
−−
2
1 = yy
yy
−−
2
1
y resolviendo, obtenemos la ecuación:
que llamamos ecuación Punto-Punto.
Ejemplos:
1. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,5).
Solución:
Ya que conocemos 2 puntos de la recta, podemos utilizar la ecuación Punto-Punto.
Para aplicar esta ecuación, debemos escoger cuál de los puntos será ),(:1 11 yxP
y ( )22 ,:2 yxP . Recordemos que es irrelevante cuál sea P1 y cual P2 a nivel del
resultado.
)3,1(:1P ( )5,2:2P
2. Dado el trapecio A (-4;-2), B (8,2), C (4,6) y D (-2,4). Halle las ecuaciones de
sus diagonales. (figura A)
Solución:
Primero, calcularemos la ecuación de AC.
( )2,4:1 −−P y ( )6,4:2P
)( 112
121 xx
xx
yyyy −
−−=−
)( 112
121 xx
xx
yyyy −
−−=−
)1(12
353 −
−−=− xy )1(
1
23 −=− xy 12 += xy
Figura A
( )→−−−−−−=−− )4(
)4(4
)2(6)2( xy )4(
44
262 +
++=+ xy
)4(8
82 +=+ xy 42 +=+ xy 02 =+− yx
62
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener la ecuación de la diagonal que
pasa por BD y verificar que es
2.4.2.2 Conociendo un punto y la pendiente
Si analizamos las ecuaciones y
Nos damos cuenta que tienen en común la expresión de la pendiente.
Entonces, al sustituir una expresión en la otra nos queda:
a la que llamaremos ecuación Punto Pendiente.
Ejemplo:
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene
pendiente igual a 2.
Solución : Aplicando la ecuación Punto Pendiente
En los últimos dos ejemplos hemos expresado la ecuación de la recta
pedida escribiendo a x e y en el mismo miembro e igualando toda la
expresión a cero. Podemos generalizar estas expresiones de la forma
Ax+By+C=0, siendo ésta la ecuación general de la recta.
2.4.2.3 Ecuación pendiente – intercepto
Conociendo la pendiente y el intercepto con el eje “y”
0185 =−+ yx
12
12
xx
yym
−−= )( 1
12
121 xx
xx
yyyy −
−−=−
)( 11 xxmyy −=−
( )223 −=− xy 423 −=− xy 012 =−− yx
MATEMÁTICA II 63
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Datos:
),0(1 bP = Pendiente = m
L: y –b = m(x – 0)
L: y = m x + b ( Pendiente Intercepto)
Ejemplos
Dada la ecuación de la recta L: 3x + 4y = 7, halle la pendiente y el
intercepto de dicha recta.
Solución:
De la ecuación L tenemos: 4y = -3x + 7
4
7
4
3 +−=→ xy Luego: 4
3−=m y 4
7=b
2.4.3 Distancia de punto a recta
L:Ax+By+C=0 L d
22
000,00 ;)(
BA
cByAxdyxP
+
++=
64
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios PropuEjercicios PropuEjercicios PropuEjercicios Propuestosestosestosestos
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )3,2(1
−−P y tiene la misma pendiente que la
recta 2x+ 3y = 1.
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )2,3(1
−P y su pendiente es inversa y con
signo contrario de la pendiente de la recta x + 2y = 3.
3. Hallar la ecuación de la mediatriz de un segmento cuyos extremos son: ).3,5()1,3(
21−−− PP y
4. Un punto P de abscisa 2, pertenece a una recta cuya pendiente 1 y que pasa
por Calcule la ordenada de P.
5. Determine la pendiente, la ordenada en el origen y grafique, dadas las rectas:
23
2) −= xya 334) −=− yxb
6. El punto de intersección de las rectas 022:,0: 21 =−−=− yxLyxL , Es el punto medio del segmento cuyos extremos son: M (a,2) y N(2,b) .Halle el valor de a y b.
7. Se tienen las rectas 02054:,04: 21 =−+=−− yxLyxL , encuentre el área de la
región limitada por las rectas 21 , LL y el eje x.
8. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2,-1) y cuyo ángulo de
inclinación es 8°.
9. En las ecuaciones L1: a x + (2 - b) y – 23= 0, L2: (a – 1) x + by =15. Halle los
valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto P (2,-3).
10. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es 2
1− y que corta al eje de las
y en (0,5).
)1,2(1
−−P
MATEMÁTICA II 65
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación
1. Halle la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos A (7,4) y B (-1,-2).
2. Si la recta L1 que contiene a los puntos A(a ,2 ) y B (0 , 2 a) es paralela a la recta L2
que contiene a los puntos C (-a ,3 ) y D(1 ,-2 a ), Hallar el valor de “a”
3. Dado el triángulo de vértices A (-4,3), B (5,-1) y C(7,5). Halle las ecuaciones de las
rectas que pasan por el vértice C y trisecan al lado opuesto AB .
4. Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina
sobre los ejes coordenados es 10. Halle la ecuación de la recta.
5. Calcule la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 y
cuya pendiente es 9/5.
6. El producto de los interceptos de una recta con los ejes coordenadas es igual a -6.
Halle la ecuación de la recta, si su pendiente es igual a 3.
7. Calcule la ecuación de una recta cuya ordenada al origen es el doble de la
ordenada de la recta 2x-3y+5=0, sabiendo que pasa por el punto P, siendo P el
punto medio de A(3,-1) y B(-2,8).
BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial
LIMUSA USA 2001
LARSON Roland; HOSTETLER Robert
Cálculo y Geometría Analítica
McGraw Hill USA 1993
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001
http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html www.elrincondelvago.com/algebra-y-geometriaanalitic a.html
66
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 67
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando diferentes métodos,
deducen la ecuación de la recta, circunferencia y parábola, con ayuda del docente y
utilizando el plano cartesiano construyen gráficos que servirán para la resolución de
ejercicios y problemas, también señalan la pendiente recta y elementos básicos de la
circunferencia y la parábola.
TEMARIO
• La circunferencia, Gráficas, Ecuaciones Ecuación canónica Ecuación ordinaria Ecuación general
ACTIVIDADES PROPUESTAS
• Halla las ecuaciones canónica y ordinaria de la circunferencia.
• Encuentra el centro y radio de la circunferencia por medio de la ecuación general.
• Construye gráficas de la circunferencia en sus distintos métodos.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
2
SEMANA
5
68
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.5 LA CIRCUNFERENCIA
La Circunferencia se llama al conjunto de puntos del plano que se encuentran equidistantes de un punto fijo llamado centro. (La distancia constante se llama radio )
Elementos:
C(h,k) : centro
r : radio
(x, y): punto de circunferencia
D1D2: Diámetro
2.5.1 ECUACIÓN CANÓNICA
Cuando el centro está en el origen de coordenadas.
222 )0()0(: ryxC =−+−
canónicaEcuaciónryxC 222: =+
Ejemplo
1.- Calcule la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto (3,4).
Solución:
canónicaecuaciónryxC 222 =+=
MATEMÁTICA II 69
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
25:
25)4()3(22
2222
=+∴=→=+
yxC
rr
2.5.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Cuando el centro está en el punto (h, k) y de radio r
22 )()( kyhxr −+−=
ordinariaEcuaciónIIkyhxr )......(..........)()( 222 −+−=
Ejemplo
1. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta L : 2x – 3y + 12 = 0 comprendido en el segundo cuadrante.
Solución: Se tiene el siguiente gráfico:
Nota: al intersectarse la recta L con los ejes coordenados, se tienen los puntos A(-6, 0) y el punto B(0, 4). C = punto medio de AB
70
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.5.3. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
De : ordinariaEcuaciónIIkyhxr )......(..........)()( 222 −+−= ,
desarrollamos los binomios :
0=F+Ey+Dx+y+x:C
r-kh F ,2k - E ,2h -D
0)r-k+y(2ky -2hx -y+x
r=k+2ky-y+h+2hx-x
r=k+2ky-y+h+2hx-x
22
222
22222
22222
22222
+==−==+
Luego:
Ejemplo
Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-4,-1) y que es
tangente a la recta L: 3x + 2y – 12 = 0
Solución : Sea la ecuación:
13=2)-(y+3)+(x:C
13=2
132=
2
D=r
132=D,52=4+6=AB=diámetro=D
3,2)-(=C2
0+4,
2
6-0=C
22
22
−−=2
;20
EDC
F42E+2D21
=r -
MATEMÁTICA II 71
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
( )
0:
tanB+A
CByAx=Pd 022
000
=++
++
cByAxL
LrectalaaPdeciadisL
GRAFICA
r = distancia del centro a la recta L
2)13(2=21)+(y+24)+(x:C
132=r
13
26=
4+9
121)2(+4(3)=r
---
52)1()4(: 22 =+++ yxC
72
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos
1. Determine el centro y radio de cada una de las circunferencias representadas por
las ecuaciones:
( ) 0662)6)2222
3 =−+++=++ yxbya yxx
2. Calcule la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
X 2 + y 2 + 4x – 6y –15 = 0 y que pasa por el punto (-1,1).
3. Calcule la ecuación de la circunferencia de centro C(-2;4) y que pasa por la
intersección de las rectas 4x - 7y + 10 = 0; 3x + 2y - 7=0
4. Calcule la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia
X ² + y ² + 6x - 6y + 13 = 0; y que pasa por el punto P(-2;-4).
5. Halle la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos:
P(7,8),Q(4,-1) y R(1,2).
6. Halle el área de la región encerrada por la circunferencia que es tangente a
las rectas 01054:,03054: 21 =−−=+− yxLyxL ,si uno de sus puntos
de tangencia es B(0,-2).
7. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y cuyo centro
está sobre las rectas: 02423:1 =−− yxL y 0972:2 =++ yxL
8. La circunferencia C es tangente a las rectas L1: 3x = 4y – 30 y L2: 3x – 4y =
10, si su centro está en la recta L: y = x, calcule:
a. La ecuación de C.
b. El área del triángulo formado por uno de los puntos de tangencia y
los extremos del diámetro paralelo a 21 LayL
MATEMÁTICA II 73
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
AAAAutoevaluaciónutoevaluaciónutoevaluaciónutoevaluación
1. Escriba, en cada caso, la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el
origen de coordenadas y tiene por radio a)2 b) 2 3
2. La ecuación de la circunferencia es x2 + y2= 100
3. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 25. Determine:
a) Un punto de la circunferencia
b) Un punto interior y otro exterior de la circunferencia
4. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene:
a) Su centro en el origen y radio 2
b) Su centro en el punto (- 2, 0) y radio 3
c) Su centro en el punto (0, 3) y radio 4
d) Su centro en el punto (1, 2) y radio 5
5. Determine el centro y radio de cada una de las circunferencias representadas por las
ecuaciones:
( ) 9)4) 12222 =+=+ −yxyx ca
6. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(- 5,0) y
contiene al punto P (-2, 4).
7. Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene centro en (-2, 3) y pasa por
el punto (1, 1).
8. Encuentre el valor de “h”, si la circunferencia x2 + (y - h)2 = 36 pasa por el origen de
coordenadas.
9. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es
x 2 – 8 x + y2 + 10y – 8 = 0
10. Determine la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros
sea el segmento que une los puntos (-3, 2) y (-7, 4).
11. Halle la ecuación de la circunferencia tangente al eje y en el punto S (0, 3) y que
pasa por T (-2,-1).
12. Dada la ecuación C: x2 + y2 - 6x + 5y + 3 = 0, halle las coordenadas del centro y el
radio de C.
13. Calcule el área del círculo cuya circunferencia es C: 9x2 + 9y2 + 12x – 72y = 77.
Halle el radio
Determine un punto de la circunferencia.
74
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
14. Demuestre que la recta L: 4x + 3y – 40 = 0 es tangente al círculo cuyo radio es 5
y con centro en C (3, 1).
15. Una circunferencia de centro en el origen de coordenadas es tangente a la recta L:
5x – 12y + 13 = 0 en el punto P. Halle la ecuación de otra circunferencia con
centro en P y que pasa por el origen de coordenadas.
16. La ecuación de una circunferencia es x2 + 2y – 4x – 8y = 5, una cuerda de la
circunferencia pasa por los puntos P (-1, 8) y Q (5,8). Halle el área del triángulo
formado por P, Q y el centro de la circunferencia.
17. Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en la recta 2x+5y-26=0
y que pasa por los puntos A (-4, 3) y B (-2, -1). 18. Encuentre la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos S(2,2)
y T(6,2) si su centro pertenece a la recta L : y-x=0
19. Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en la recta L: y-x=0 y que pasa por los puntos S(2,2) y T(6,2).
20. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-3, 0) , B(3, 0) y
C(-1, 4).
21. Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos P(2, 0) y Q(4, 2) . El centro de la circunferencia se encuentra en la recta y = x.
22. Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia,
0210622 =−+−+ yxyx ; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia.
23. En cada caso siguiente, halle el centro , radio, gráfica y los puntos extremos de las
circunferencias:
A) x2 + y2 – 8x + 2y – 8 = 0
B) x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
C) 2x2 + 2y2 – 6x + 8y – 6 = 0
24. En un laboratorio se producen dos cultivos: A y B. Las cantidades x e y de estas
marcas que se producen en cierto período, están relacionados por el modelo
x2 + y2 + 8x + 250y – 6859 = 0
Graficar la curva y determinar las cantidades máximas de estos cultivos
25. Si el centro de la circunferencia es (3, -4) y es tangente a la recta 3x - 4y + 6 = 0 .
Hallar su ecuación y gráfica.
MATEMÁTICA II 75
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BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial
LIMUSA USA 2001
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Cálculo y Geometría Analítica
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76
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MATEMÁTICA II 77
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
GEOMETRÍA ANALÍTICA
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos ,utilizando diferentes métodos,
deducen la ecuación de la recta, circunferencia y parábola, con ayuda del docente y
utilizando el plano cartesiano construyen gráficos que servirán para la resolución de
ejercicios y problemas, también señalan la pendiente recta y elementos básicos de la
circunferencia y la parábola.
TEMARIO
• La parábola, Gráficas, Ecuaciones Ecuación canónica Ecuación ordinaria Ecuación general
ACTIVIDADES PROPUESTAS
• Halle las ecuaciones canónica y ordinaria de la parábola.
• Encuentre los elementos de la parábola: vértice, foco, directriz y lado recto, a partir de la ecuación general.
• Construya gráficas de la parábola en sus distintos métodos.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
2
SEMANA
6
78
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.6 LA PARÁBOLA
Es el conjunto de puntos ubicados en el plano cartesiano, que equidistan de una recta
fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.
PQPF
verticev
Pp
=
=∈
2.6.1 ELEMENTOS
a. Vértice (V): Es el punto de intersección de la parábola con el eje de
simetría.
b. Foco (F): Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría, ubicado a p
unidades del vértice.
c. Eje de simetría ( 1l ): Es la recta perpendicular a la directriz y pasa por
el vértice y foco.
d. Cuerda ( AB ): Es el segmento de recta que une dos puntos
cualesquiera de la parábola.
e. Directriz (l): Es la recta fija perpendicular al eje de simetría ubicada a p
unidades del vértice, en sentido opuesto al foco.
f. Cuerda focal ( ST): Segmento de recta que une dos puntos de la
parábola, pasando por el foco.
g. Lado recto ( LR): Es una cuerda focal, perpendicular al eje de simetría.
h. Radio vector ( FP): Segmento de recta que une el foco con un punto
de la parábola.
MATEMÁTICA II 79
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2.6.2 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA
La ecuación canónica modela parábolas cuyo vértice está en el origen de
coordenadas. El eje de simetría de la parábola puede ser horizontal o
vertical.
2.6.2.1 Horizontal
Cuando el eje de simetría coincide con el eje x.
Se sabe que:
PFPQ =
( )( )
( ) ( )22222
222
22
22
2-2
-
0)(
yppxxxpxp
ypxxp
ypxxp
ypxxp
++=+++=+
+−=+
−+−=+
P: )1.....(42 pxy = . Esto es conocido como la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y su eje de simetría coincide con el eje x. El gráfico de la parábola se abre dirigido hacia el eje x, porque en la ecuación se ve que es lineal en la variable x.
Analizando: pxpxy 24 ±=±=
p y x deben tener el mismo signo, es decir que p< 0 ó p> 0, de donde se concluye que:
a) Si p >0, la parábola se abre hacia la derecha. y el foco está en la parte positiva del eje x.
b) Si p<0 la parábola se abre hacia la izquierda y el foco está en la parte negativa del eje x.
80
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
2.6.2.2 Vertical
Cuando el eje de simetría coincide con el eje y.
Se sabe que:
PFPQP =:
( )( )
22222
2222
22
p+py2y+x=y+px2+p
p+py2y+x=y+p
py+x=y+p
)2.....(42 pxx = . Parábola de eje vertical
Analizando la ecuación (2):
pypyx 24 ±=±= , de donde se concluye que p y x
deben tener el mismo signo .p>0 ó p<0.
a) Si p >0 la parábola se abre hacia arriba y el foco está en la
parte positiva de y.
b) Si p<0 la parábola se abre hacia abajo y el foco está en la
parte
negativa del eje y.
MATEMÁTICA II 81
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejemplos:
1. Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas,
sabiendo que es simétrica respecto al eje Y; y que pasa por el punto (4,-8)
( ) )8-(44→4: 22 ppyxP ==
2. Halle en la parábola xy 122 −= los puntos cuyos radios vectores son iguales a 6
Solución: Se tiene
Solución
312442 −=→−=→= pppxy 6,1 ==+ rrpx
Sabemos que
39
6363
666
11
11
111
−=∨=→−=−∨=−→
−=+∨=+→=+
xx
xx
pxpxpx
)6,3()6,3(
636
)3(122
2
−−∨−→±=→=∴
−−=→yy
y
2
1→
32-16→−=
=
p
p
yxyx 2-→)2
1(4∴ 22 =−=
82
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios Propuestos
1. Una parábola tiene su vértice en el origen y su eje coincide con el eje x. Si P
(2,-2) es un punto de la parábola, halle la ecuación de la parábola, las
coordenadas del foco y la ecuación de su directriz.
2. Halle las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz de las parábolas cuyas ecuaciones son:
3. Una cuerda de parábola 042 =− xy es el segmento de recta 02 =− yx Halle la longitud de dicha cuerda.
2.6.3 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA. La ecuación ordinaria modela una parábola cuyo vértice está en un punto
(x,y) que no coincide con el origen del sistema de coordenadas. La ecuación
canónica es un caso particular de la ecuación ordinaria cuando las
coordenadas del vértice son (0,0). La forma de la ecuación varia con el eje de
simetría de la parábola a la que representa.
Ejemplos:
1. Calcule el vértice, el foco y la directriz de las siguientes parábolas.
a) xy 32 = b) xy 122 −= c) yx 42 = d) yx 82 −=
( ) ( )kyphx −=− 42
),(: pkhFoco +pkyDirectriz −=:
( ) ( )hxpky −=− 42
),(: kphFoco +phxDirectriz −=:
013262 =+−+ yxx 0232246 2 =+++ xyy
MATEMÁTICA II 83
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Solución:
Resolvamos en primer lugar a
Las parábolas están expresadas en forma de ecuación general
02 =+++ DCyBxAx o 02 =+++ DCxByAy . Para calcular las
coordenadas 0=F+Ey+Dx+2x y 0=F+Ey+Dx+2y de sus elementos
(foco, vértice y directriz) vamos a expresarlas en su ecuación ordinaria
siguiendo los siguientes pasos.
Determina si el eje de simetría de la parábola es H orizontal o
Vertical.
Esto lo puedes determinar analizando cuál es la variable que NO ESTÁ
ELEVADA AL CUADRADO, ya que ésta determina a cuál de los ejes del
sistema de referencia es paralelo el eje de simetría de la parábola.
En el caso concreto de la parábola, el eje de
simetría es paralelo al eje Y.
Escoge la ecuación según el eje de simetría y compl eta
cuadrado.
En nuestro ejemplo, la ecuación a utilizar es ( ) ( )kyp4=2hx -- .
El proceso de completar cuadrado y obtener la ecuación es como sigue:
)2(2)3(
4296
2
6132
2
66
1326
2
2
222
2
-
-
-
-
yx
yyx
yyx
yxx
=+=++
+=
++
=+
Coordenadas del vértice: (-3,2)
Valor de :
Coordenadas del foco:
Recta directriz: 23
=y21
2=y →
0=13+y2x6+2x -
013262 =+−+ yxx
02
1 >=p
)25
,3)21
+2,3 -F(→F(-
84
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Aplicando el mismo procedimiento para
Se tiene:
Coordenadas del Vértice:
−2,2
1
Valor de P: 0<121
=p31
=p4 → ( La parábola se abre a la
izquierda )
Coordenadas del foco:
−→
−− 2,12
52,
12
1
2
1
Recta Directriz: 12
7
12
1
2
1 =→+= xx
0232246 2 =+++ xyy
MATEMÁTICA II 85
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los vértices de las
parábolas 026183 2 =++− yxx y 01882 =+++ xyy
Solución:
Calculamos las ecuaciones canónicas de cada parábola.
Utilizando las coordenadas de los vértices y la ecuación Punto-Punto,
calculamos la ecuación de la recta.
( )
( )
02-y-
2-
3-1-
3-3-2-
1-4-1
--
-- 1
12
121
=⇔=⇔=
=
=
x
xy
xy
xy
xxxx
yyyy
( )
( ) ( )( )1,3:
1-3
1-3-
3
1
3-3-
26--18-3
02618-3
2
2
2
2
vertice
yx
yx
yxx
yxx
=
+=
=
=++
( )( ) ( )
( )42
24
24
168168
188
0188
2
2
2
2
2
-,-:
-
--
1--
--
vertice
xy
xy
xyy
xyy
xyy
+=+
=+
+=++
=+
=+++
86
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos
1. Calcule la distancia del vértice de la parábola y²+2y+x-4=0 a su punto P(x;4):
2. P(6;y) es un punto de la parábola 2x²-4x-y+6=0. calcule la ecuación de la
circunferencia que pasa por P y cuyo centro es el vértice de la parábola.
3. En los ejercicios a y b, halle la ecuación y gráfica de la parábola, conociendo:
a. Vértice (2, 1) y foco (2, -4)
b. Foco (4, -3) y directriz y = 1
4. Halle las coordenadas del vértice, foco, lado recto, ecuación de la directriz y
gráfica, conociendo
a. x2 – 4x + 8y – 16 = 0
b. y2 +2x+6y-5=0
5. Encontrar los puntos máximos o mínimos, según el caso, en:
a. 4y = x2 – 4x - 4
b. x2 + 4x + 6y – 8 = 0
6. El propietario de un terreno rectangular, donde uno de los lados está cercado,
desea cercar el resto que llega a 200 m. ¿Cuál será el área máxima que podrá
cercarse?
MATEMÁTICA II 87
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Autoevaluación
1. P y Q, ambos de abscisa -21, son puntos de la parábola y ² + 2y + x + 6 = 0.
Calcule la ecuación de una circunferencia, sabiendo que uno de sus diámetros
tiene como extremos a P y Q.
2. Calcule vértice, foco y directriz de las siguientes parábolas:
• 2y²-20y-x+53=0 • 2x²-8x-y+9=0
• 2y²-12y+x+17=0 • x²+2x+2y+5=0
3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es la intersección de las rectas
L1: x-2y+4=0 y L2:2x-y-4=0; además pasa por P(5, 6)
4. Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto el
(2; 4). Halle su ecuación
5. Una parábola, con vértice en el origen de coordenadas, tiene por directriz 2x - 5=0.
Halle su ecuación.
6. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen, cuyo eje es el Eje Y, y
que pasa por el punto (8,-4)
7. Encuentre el foco y la directriz de la parábola: 0=x7y2 2-
8. Encuentre el valor de k, para que la longitud del lado recto de la parábola sea
Igual al radio de la circunferencia.
Si la circunferencia es 04: 22 =+++ kyyxC y la parábola con eje horizontal
es 01248: 2 =+−+ yxyP
9. Halle la ecuación general de la Circunferencia cuyo centro es la intersección de las
rectas L1: 01347 =−+ yx y L2: 01925 =−− yx , y pasa por el foco de la
parábola 0162 =− xy
BIBLIOGRAFIA: Lehmman, Charles Geometría Analítica Editorial
LIMUSA USA 2001
LARSON Roland; HOSTETLER Robert
Cálculo y Geometría Analítica
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 89
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
FUNCIONES Y GRÁFICAS
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos señalarán dominio y rango de los
diferentes tipos de funciones básicas, trascendentales y funciones seccionadas, construyen
además sus representaciones gráficas en el plano cartesiano y aplican las restricciones del
dominio de cada función.
TEMARIO
• Conceptos básicos: Dominio y rango de una función
ACTIVIDADES
1. Identifican una función real de variable real y su gráfica en el plano cartesiano.
2. Calcula el dominio de funciones polinómicas, racionales, irracionales y logarítmicas; evaluando sus restricciones.
Identifica y evalúa las Restricciones de dominio
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
3
SEMANA
8
90
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3.8.1 DEFINICIÓN INTUITIVA.
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?
Caso 1
Supongamos que un cultivo de bacterias se inicia con 5 000 de ellas y la población se duplica cada hora, entonces el número N de bacterias depende del número t de horas transcurridas.
El biólogo observa que el número de bacterias del cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo y trata de determinar la regla o función que relaciona ambos.
Un cálculo sencillo nos permite determinar que esta relación se puede expresar como:
Caso 2
Un físico se da cuenta que el peso de un astronauta depende de la distancia a la que se encuentra del centro de la tierra, entonces intenta descubrir la regla o función que relaciona el peso F con la distancia h a la superficie de la Tierra.
( )2hR
mMGF
T
T
+=
Siempre que una variable dependa de otra, genera una relación funcional, por ello podríamos definir a la función de la siguiente manera:
Una función f es una regla que asigna a cada elemen to x de un conjunto A exactamente un elemento, denotado por f(x), de un conjunto B.
.... ....
40 000 3
20 000 2
10 000 1
5 000 0
N t (horas)
tN 25000×=
MATEMÁTICA II 91
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Si x está en el conjunto A , entonces f(x) es llamado la imagen de x bajo f.
El conjunto A es llamado Dominio de la función f y se denota por Dom(f). Al dominio de f, se le llama conjunto de preimágenes
El conjunto Ran(f) = {f(x) / x∈A} es llamado el rango de f ; el cual nos indica el conjunto de las imágenes de x.
Ejemplo básico
− Indique cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son
funciones.
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }5,1,4,1,3,1,1,1
,,,,,,,
2
1
=
=
f
sdrcqbpaf
Solución: Comencemos analizando 1f . Si representamos este conjunto con un diagrama sagital tendremos lo siguiente:
A B
Analicemos ahora 2f .
A B
De donde:
Do (f1) = { a, b, c, d } y Ra (f1) = { p, q, r, s } Do (f2) = { 1 } y Ra (f2) = { 1, 3, 4, 5 }
a b c d
p q r s
En este diagrama, vemos fácilmente que cada elemento del primer conjunto (conjunto de partida) se relaciona con un único elemento del segundo conjunto (conjunto de llegada).
Luego 1f es una función.
1
1 3 4 5
En este diagrama vemos fácilmente que el elemento del conjunto de partida se relaciona con varios elementos del conjunto de llegada.
Luego 2f no es una función.
92
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3.8.2 FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
Gráfica de una Función Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos
( )yx, en 2R , para los cuales, ( )yx, es una pareja ordenada en f . (Es un punto de la gráfica y satisface su ecuación). Ejemplo: Grafique la función 2+= xy y verifique que algún punto geométrico de la gráfica satisface la ecuación. Usando esta tabla de valores graficamos la función.
33
213
2
=+=+= xy
PROPIEDAD FUNDAMENTAL:
Si al trazar una vertical a la gráfica de f, ésta debe cortarla a lo más en un punto, caso contrario no es la gráfica de una funci ón real
3.8.3 RESTRICCIÓN DEL DOMINIO: CASOS
3.8.3.1 Función Polinómica
Un polinomio es de la forma nnnnn axaxaxaxa +++++ −1
22
110 ... .
Las funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, etc. son ejemplos de este tipo de funciones.
Restricción de dominio : Cualquier valor real de x genera una imagen real en y . Luego, el dominio de toda función polinómica son TODOS LOS NUMEROS REALES. RDomf =
Verifiquemos ahora los puntos de
la gráfica, por ejemplo ( )3,1
MATEMÁTICA II 93
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
3.8.3.2 Función Racional
Tiene la forma ( ) ( )( )xQ
xPxf = es decir, el cociente de 2 funciones
polinomiales.
Restricción de dominio: El polinomio del denominador debe ser distinto de cero. 0)( ≠xQ
Ejemplos:
1. Calcule el Dominio de 1
2
+=
xy
Aplicando la restricción
Luego el dominio es: { }1−−R
2. Calcule el dominio de ( )92 −
=x
xxf
3
9
092
±≠≠
≠−
x
x
x
{ }3,3−−= RDomf
1
01
−≠≠+
x
x
94
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3.8.3.3 Función Irracional
Cuando la regla de correspondencia esta afectado por un radical como n xPy )(= .
Si n es impar positivo, P(x) no tiene restricción p ara calcular el dominio entonces RDomf = Si n es par positivo, P(x) tiene restricción para c alcular el dominio, 0)( ≥xP entonces Domf = D(f)=
}{ 0)(/ ≥xPRxε
Ejemplos:
1. Calcule el dominio de ( ) xxf = Aplicando la restricción
{ }0/ ≥∈= xRxDomf que también se expresa
[ +∞,0
2. Calcule el dominio de ( ) 42 −= xxf
( )( ) 022
042
≥−+≥−xx
x
Un método interesante para resolver la inecuación es mediante el método de los puntos críticos, para dos factores, el cual nos dice que el conjunto solución son las regiones laterales, al dividir la recta en tres regiones.
+ � - (+ -2 2
Dado que la inecuación está definida para valores positivos, se toman como solución las regiones positivas.
] [ ∞−∞− ,22,: UDomf
0≥x
MATEMÁTICA II 95
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
GRAFICA
3.8.3.4 Función Logarítmica
La variable independiente está en el argumento de un logaritmo.
( ) )(xPLogxf b=
Restricción de Dominio: Por definición de logaritmos, el argumento debe ser mayor que cero.
( ) 0)(:)( >→= xPDomfxPLogxf b
Ejemplo:
Calcule el Dominio de )1log()( += xxf Aplicando la restricción.
1
01
−>>+
x
x
∞− ,1:Domf
96
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos
1. Halle el dominio de las siguientes funciones:
( )
)21log(5
99
2)()
20
3)1log(4
5log)()
21
log)9log()()
3253)1(32)()
1)21log()()
11
441log)()
42
246
2
22
422
22
3
2
22
xx
xxx
x
xxff
xx
x
x
xxxxfe
xx
xxfd
xxxxxxxfc
xxx
xxxfb
xx
xxxfa
x
−+−
+−−+−
=
−−+
++−=
++
−+−=
−+−−++−=
−+−
+−=
++
−+−=
−
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas
América S.R.L Lima 2004
LARSON Roland; HOSTETLER Robert
Cálculo y Geometría Analítica
McGraw Hill USA 1993
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001
http://descartes.cnice.mec.es
MATEMÁTICA II 97
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
FUNCIONES Y GRÁFICAS
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos señalarán dominio y rango de los diferentes tipos de funciones básicas, trascendentales y funciones seccionadas. Construyen, además, sus representaciones gráficas en el plano cartesiano y aplican las restricciones del dominio de cada función. TEMARIO
• FUNCIONES ESPECIALES
− Función lineal
− Función valor absoluto
− Función raíz cuadrada
− Funciones seccionadas
ACTIVIDADES
• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones lineales.
• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función valor absoluto.
• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de función raíz cuadrada.
• Calcula dominio y rango de funciones seccionadas
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
3
SEMANA
9
98
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3.9 FUNCIONES ESPECIALES
3.9.1 FUNCIÓN CONSTANTE
A la función f , la llamaremos función constante , si su regla de correspondencia es:
,)( Cxf = donde c es una constante.
También la función constante, se puede definir por:
{ }./),( cyRRyxf =×∈= donde c es constante
donde su dominio es RD f = , su rango es { }cRf = y su gráfica es:
3.9.2 . FUNCIÓN IDENTIDAD
A la función f , le llamaremos función identidad, si su regla de correspondencia es :
También la función identidad se define :
{ }./),( xyRRyxf =×∈=
Donde: RRRD ff ==
Y su gráfica es :
3.9.3 FUNCIÓN LINEAL
A la función f , le llamaremos función lineal , si su regla de correspondencia es :
xxf =)(
baxxf +=)(
MATEMÁTICA II 99
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Donde a y b son constantes y 0≠a . También a la función lineal se puede expresar en la forma:
{ }./),( baxyRRyxf +=×∈=
Donde RD f = y RRf = ; a , b 0≠∈ ayR cuya gráfica es :
3.9.4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
A la función f , le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es :
También se puede expresar en la forma: { }xyRRyxf =×∈= /),(
Donde [ ∞== ,0ff RyRD
y su gráfica es:
3.9.5 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
A la función f , le llamaremos función raíz cuadrada , si su regla de correspondencia es :
0)()()( ≥⇔= XUxUxf
Un caso particular es de la forma: { }xyRRyxf =×∈= /),(
<−≥
==0,
0,,)(
xx
xxxdondexxf
100
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Donde [ ∞== + ,00 ff RyRD y su gráfica es:
3.9.6 FUNCIONES SECCIONADAS
Son aquellas que tienen varias reglas de correspondencia
∈∈
=22
11
)(
,)()(
Axsixf
AxsixfxF donde
)()()(
)(
21
21
fRafRafRa
AAfDo
U
U
==
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos
1. En una campaña por limitar el consumo de agua de cierta ciudad se establece la siguiente tarifa: Se cobran S/.4 por metro cúbico de consumo, si este llega hasta los primeros 10 m3 de agua. Si superan el consumo de 10 m3 se cobran S/.5 por m3 adicionales.
a. Establecer el modelo que representa el gasto por el consumo de agua b. Graficar el modelo c. Hallar el costo por el consumo de 8 m3 , 10 y 15 m3
2. Construya la gráfica y calcule el dominio y rango de:
32,524)( ≤−−−= xparaxxf
MATEMÁTICA II 101
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación 1. Sea { }4,3,2,1=A se definen de A en N las funciones f y g tales que:
{ }),(),3,1(),5,3(),5,2(),,1( kpkf = pkxxg 2)( += .
a) Halle la suma de los elementos del rango de g(x)
b) Encuentre el valor de : [ ] [ ] [ ])1(2)4()1()3( fffgfgfE +−+=
2. Sea f(x) una función lineal y .8)( 2 −= xxg Si f(2)=g(3) y la gráfica de f pasa
por el punto (3,4);Halla el rango de f si su dominio es ]6,2)( −=fDom
3. Sea la función { })8,(),9,5(),,7(),,5(),8,7( 2 aammf +=
a) Halle Do(f)∩ Ra(f). b) Si g es una función definida en el Do(f), mediante g(x)=mx+n tal que
f(5)=g(2) halle Ra(g)
4. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función :
[ ]
>∈
<∪−∪>−−∈
−∞−∈++
∈−∈+
=
9,6[,
]3,22,22,3[,4
3,,2410
6,3,5
30,9,1
)( 2
xx
x
xxx
xx
xx
xf
5. Halle dominio ,rango y esbozar la gráfica de la función:
[ ]
>∞<∈>∈−
−∈+−
−−∈−−∞−∈−
=
,6;6
6,0[;4
0,5;3
1
5
1
6,9;
9,;
)(
x
xx
xx
xx
xx
xf
102
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
6. Halle dominio ,rango y esbozar la gráfica de la función:
( ) [ ]
( )
>∞∈<−−
−∈−−
−−∈
−−∈+−−−
=
,4,18
4,2,12
2,4,2
4,13,42
)(2
xx
xx
xx
xx
xf
7. Halle dominio ,rango y esbozar la gráfica de la función:
8 El índice de contaminación atmosférica en alguna ciudad fue evaluada y definida
por el siguiente modelo matemático:
<≤−<≤<≤+<≤+
=
2015 ,248
1510 ,14
104 ,53
40 ,42
)(
tt
t
tt
tt
tC
Donde t es el tiempo medido en horas, t = 0 corresponde a las 2 am. C representa el nivel de contaminación
A) Graficar el modelo B) A qué hora la contaminación es la más alta, y a qué hora es más baja? C) Determinar el nivel de contaminación a las 8 am, a las 2 pm y a las 7 pm D) En qué intervalos de tiempo, la contaminación es creciente o decreciente.
9 Halle el dominio, rango y esbozar la grafica de la función.
≥−<≤−+
<≤−−<−
=
8,212
84,42
40,2
0,,2
)(
xsix
xsix
xsixx
xsi
xf
MATEMÁTICA II 103
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
[ ]
[
−≤+−+∞⟩∈+−
∈−
∈−⟩⟨∈
−∈<+
=
2,63
,10,6
10,8,4
8,4,102
4,2,2
]2,2,44
1
)(
2 xxx
xx
x
xx
x
x
xf
x
x
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo
Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004
LARSON Roland; HOSTETLER Robert
Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001
http://descartes.cnice.mec.es www.sok.com.ar/matem/matemática/logaritmo
104
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 105
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
FUNCIONES Y GRAFICAS
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos señalarán dominio y rango de los
diferentes tipos de funciones básicas, trascendentales y funciones seccionadas, construyen
además sus representaciones gráficas en el plano cartesiano y aplican las restricciones del
dominio de cada función.
TEMARIO
• FUNCIONES ESPECIALES
− Función cuadrática
− Función exponencial
− Función logarítmica
ACTIVIDADES
• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones cuadráticas.
• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones exponenciales.
• Construye la gráfica y calcula dominio y rango de funciones logarítmica.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
3
SEMANA
10
106
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3.9 FUNCIONES ESPECIALES
3.10.1 FUNCIÓN CUADRÁTICA
A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:
También, la ecuación cuadrática se expresa así:
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje x en el cual se presenta dos casos.
− Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba. − Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo.
El dominio de la función cuadrática es: RD f = . El rango se determina
completando cuadrados.
Como
a
bac
a
bxaxf
a
bc
a
bx
a
bxaxfcbxaxxf
44
)2
()(
4)
4()()(
22
2
2
222
−++=
−+++=⇒++=
Luego el vértice de la parábola es: )4
4,
2(
2
a
bac
a
bV
−−
Si a>0 se tiene :
RD f = +∞
−= ,4
4 2
a
bacRf
Si a<0 se tiene :
RD f =
−∞−=a
bacRf 4
4,
2
0,,,)( 2 ≠∈++= aRcbacbxaxxf
{ }0,,,,/),( 2 ≠∈++=×∈= aRcbacbxaxyRRyxf
MATEMÁTICA II 107
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
3.10.2 FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea ............7182.2)( == edondeexF x
Si su +∞== ,0RanRDomf
Se tiene: n
n nLime
+=∞→
11
Tabulando:
x -1 0 1 2 -2 3 y
e1 1 e 2e
21e
3e
Graficando:
3.10.3 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Se define una función logarítmica :
Lnxyxf ==)(
Donde: ∞∞−=∞= ,,0 ff RangDom
108
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
7182.2log == exLnx e
X 21 3
1 41 1 2 3
Y -0.69 -1.1 -1.39 0 0.69 1.1
3.10.4 APLICACIÓN A LA ECONOMÍA
Cierta empresa tiene costos variables de producción de cierto artículo, de $ 25 por unidad; y los costos fijos de producción mensual es de $ 2 000. El ingreso I mensual por la venta de x unidades producidas es de I = 60x-0.01x2. Determinar: a) La función costo C b) El nivel de ventas para maximizar el ingreso. c) El máximo ingreso. d) El nivel de producción y venta para hallar la máxima ganancia o
utilidad. e) La máxima utilidad.
Solución
a) Si x es el número de unidades producidas al mes del artículo
mencionado y $ 25 el costo unitario, entonces el costo variable de
producción es
CV= $25x.
como el costo fijo es $ 2 000, entonces el costo total será
C = 25x + 2 000
b) De la función ingreso conocido I = 60x – 0.01x2
MATEMÁTICA II 109
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Se observa que es una ecuación cuadrática en la variable x, es decir,
es la parábola. Por lo tanto, transformamos esta ecuación a la
forma canónica para obtener las coordenadas del vértice que darán
el nivel de venta y el máximo ingreso.
. 625,28 )
. 1750
tan
)28625 , 1750(
)28625(1002)1750(
20000010035002
200035201.0
200020.01x-35xU
)200025()20.01x-(60xU
)
000 90 $ )
. 3000 m ,tan
)90000 ,3000( ,
)90000(1002)3000(
9000000100900000060002
10060002
60201.0
dólaresesobtenidautilidadmáximaLaE
unidadesdeesutilidad
máximaladáqueventayproducciónniveleltoloPor
V
esabajohaciaabresequeparábolaladevérticeeldondeDe
Ux
Uxx
Uxx
x
CIU
CtotalCostoelmenosIIngresoelesUUtilidadLaD
deesingresoElmáximoC
unidadesesgananciaáximaladáqueventadeniveltoloPor
VesparábolaladevérticeeldondeDe
Ix
Ixx
Ixx
Ixx
−−=−
−−=−
−−=−
−=
+−=
−=
−−=−
+−=+−
−=−
=−
110
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación
1. Dada la siguiente función
+=
+∈=2
2
2
1
4
3/),( xyRyxf
Halle )()( fRangfDomA I=
2. Dada la siguiente función ( ) ( )
−=−∈= 22 2
4
14/),( xyRyxf
Halle )()( fRangfDomB I=
3. Halle la longitud de la cuerda común de 15164)( 2 −+= xxxf y
4
52)( −+−= xxxg
4. Halle dominio, rango y esbozar la gráfica de la función:
>+∞∈−−∈<
−−∈<
= +
+
,4[;)72log(
]1,5;2
]5,10;4
3
)( 4
2
xx
x
x
xf x
x
5. Determine el dominio , rango y construya su gráfica
6. Halle dominio ,rango y esboce la gráfica de la función:
−≤+−−
>
−∈<
=
−
2,1
6,2
]6,2,4
3
)(
221
3
3
xxx
xx
x
xf Log
x
7. Halle el dominio de la función :
25
)9(42)( 22
−+−++=
x
xxLnxxf
8. Halle dominio ,rango y esbozar la gráfica de la función:
xxf 10)( =
MATEMÁTICA II 111
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
( )
≥−−∈−−
−≤
=
−
4,4ln
2,1,42
1,
)( 2
32
xx
xxx
xe
xf
x
9. Halle el dominio de la función :
2
22
1
2
4
5log4)(
x
xxxxxf
++−+−=
10. Halle el dominio de la función :
32
1
4
13)(
22
−+
−
−++=xx
xLnxxxf
11. Halle el dominio de la siguiente función:
9)13log()( 2 −+−= xxxf
12. El gerente de producción de una empresa cree que el departamento de ventas y
mercadotecnia puede vender diariamente 126 unidades de un producto, y quiere
producir esa cantidad. Si supone este funcionario que todos los factores que no
sean el número de trabajadores y la producción resultante ,se mantendrán
constantes dentro de los límites de esa producción total, la función producción
puede expresarse por la ecuación
042 2 =−+ yxx
en la que x representa el número de trabajadores y y, las unidades producidas.
Dicho gerente asegura que necesita 7 hombres para producir las 126
unidades.
a) Suponiendo que la ecuación es adecuada ¿Está en lo correcto el gerente
con respecto al número de empleados que necesitará?
b) ¿Qué tipo de curva representa la ecuación ? .Trace la curva .
c) Construya una tabla que muestre las unidades producidas por trabajador
empleado, en el intervalo de 1 a 7 obreros .Indique el cambio en el número
de unidades producidas en este intervalo a medida que se va agregando
cada trabajador.
13. El costo promedio por unidad, en soles, al producir x artículos esta dado por
C(x) = 20 - 0.06x + 0.002x2. ¿Cuántas unidades producidas minimiza el costo promedio? Y ¿Cuánto será dicho costo mínimo?
112
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
14. Si la demanda mensual de x artículos al precio de y soles por unidad está dada
por la relación x + 45y =1350 El costo por mano de obra y materiales por la
fabricación de cada artículo es de S/. 5 y los costos fijos son de S/. 2 000
mensuales. Determinar:
a. La relación del costo total
b. La relación que defina el Ingreso
c. La relación de Utilidad
d. ¿A qué precio unitario se venderá para optimizar la utilidad?
e. ¿Qué precio se fijará para no ganar ni perder, es decir obtener utilidad 0?
MATEMÁTICA II 113
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
MISCELÁNEA DE PROBLEMAS SOBRE FUNCIONES
SOBRE FUNCIONES ESPECIALES
I. Asocia cada función con su gráfica:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
a. 5xy +−=
b. 3x23
y +=
c. x21
y =
d. 2xy 2 +=
e. 1xy 2 +−=
f. x2
y −=
g. 23
y −=
h. 2x2y =
7. 8. Rp. a. (1) b.(4) c.(6) d.(8) e.(3) f.(2) g.(5) h.(7) II. Problemas sobre funciones
a. Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función del peso total del cántaro (en Kilogramos) según la cantidad de agua (en litros) que contiene.
Rp. {
1Kg)(1litro agua de cantidad:x
(Kg) cántaro del peso:y
55.2xy
=
+=
b. El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de S/.
0,12. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada cuesta S/. 0,87 en total. Halla la función del precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.
114
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Rp. { minutos de cantidad :x
(S/.) llamada la de precio:y
12,0x15,0y +=
c. El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función del área del
rectángulo en función de la longitud de la base.
Rp.{
)u( base la de longitud:x
)(u rectángulo del área:y
xx15y2
2−=
III. Determine el dominio de las siguientes funciones :
1. 3
2
x1x6x9
)x(f++=
Rp.
−∪∞=
31
,0)x(fDom
2.
−−=x
4x11x3ln)x(f
2
Rp ∞∪−= ,40,31
)x(fDom
3. x5
2
e11xx
)x(f −−++=
Rp. { }5R)x(fDom −=
4. ( )x2logx
8xx31
)x(f2
3 −−
+−=
Rp. { }131
,2)x(fDom −−−=
5. ( ) 22
23
xx524
75x11x2
25xx575log2
10x)x(f
−++
+−−+
−−−=
Rp. { }58,21
)x(fDom −=
6. 2
2
16x7x4
2
3
xx5
9x5x
749
1x49x28x4
1x)x(f 2
−+−+
−−+
+−+=
−+
Rp.
−=
27
,25,0)x(fDom
MATEMÁTICA II 115
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
IV. Determina el dominio, el rango y esboza la gráfic a de las siguientes funciones:
1.
−≥+
−<≤−+−=
5x,9x2
5x10,8x3)x(f
[[ ∞−=
∞−=
,1)x(fRan
,10)x(fDom
2.
≥−
<≤−−−<++
=
3x,1
3x2,1x
2x,1x6x
)x(f
2
[ ∞−==
,8)x(fRan
R)x(fDom
IV. Problemas de exponenciales y cuadráticas
1. El valor de un reloj está dado por txtv 2,02200)( −= , donde “t” es el
tiempo en años desde que el reloj era nuevo.
a) ¿Cuánto costo el reloj cuando era nuevo?
b) ¿Cuánto costará 20 años después?
c) ¿Cuánto costará 10 años después?
d) Trace un gráfico aproximado de la función.
2. En una comunidad cualquiera la propagación de un cierto virus de gripe fue
tal que , “t” semanas después de su brote ,f(t) personas se habían contagiado,
si :
( ) ttf
2,0100log2241
1449225)( −+
=
a) ¿Cuántas personas tenían gripe durante el brote?
b) ¿Cuántas personas tenían gripe después de 10 semanas?
c) ¿Cuántas personas tenían gripe después de 35 días?
3. La utilidad U obtenida por elaborar y vender x unidades de cierto producto
fármaco está dado por: U = 40x – x2
a) Determinar el número de unidades que se deben elaborar y vender para
obtener la máxima utilidad.
b) ¿Cuánto será la máxima utilidad?
116
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
4. El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional
al peso de su cuerpo, y una persona que pesa 65 Kg. tiene un cerebro cuyo
eso aproximado es 1.8 Kg.
a) Encuentre un modelo matemático que exprese el peso aproximado del
cerebro como una función del peso de la persona.
b) Determine el peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso
corporal es 75 Kg.
5. Un mayorista vende un producto por kilos (o fracción de Kg.); Si se ordenan no
más de 10 Kg., el mayorista cobra $ 2.00 por Kg. Sin embargo, para atraer
órdenes mayores, el mayorista cobra sólo $ 1.80 por Kg. si se ordenan más de
10 Kg.
a) Encuentre un modelo matemático que exprese el costo total de la orden
como una función de la cantidad de Kg. ordenadas del producto. Dibuje.
b) Determine el costo total de una orden de 9.5 Kg. y de 12.5 Kg.
6. En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 15
semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de
depredadores es una función f de x, el número de presas en el bosque, la cual
a su vez, es una función g de t, el número de semanas que han pasado desde
el fin de la temporada de caza. Si :
F(x) = 524)(,50248
1 2 +=+− ttgyxx
Donde 0 ≤ t ≤ 15, haga lo siguiente: Encuentre un modelo matemático que
exprese la población de depredadores como una función del número de
semanas a partir del fin de la temporada de caza
7. En un laboratorio, el costo variable (y soles) por la producción de x (decenas)
de cierto medicamento se define por:
−≤<+
=5 ,23
50 ,32
fxx
xxy , Graficar el modelo y determinar
a) El costo por la producción de 4 docenas
b) El costo por la producción de 9 docenas
c) Cuántos medicamentos se producen con S/. 10? y con S/. 90?
MATEMÁTICA II 117
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas
América S.R.L Lima 2004
LARSON Roland; HOSTETLER Robert
Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001
LEITHOLD, Louis
Cálculo con Geometría analítica
Editorial Oxford México 2004
http://descartes.cnice.mec.es
118
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 119
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
LÌMITES Y CONTINUIDAD LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando las propiedades de
límites y las condiciones de continuidad, resolverán problemas de límites
indeterminados, en el infinito y trigonométricos, y problemas de continuidad de una
función en un punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones
gráficas en el plano.
TEMARIO
• Límites de funciones :
- Límites indeterminados
o Algebraicos
o Con radicales
- Límites cuando variable tiende al infinito
ACTIVIDADES
• Calcula límites indeterminados de funciones algebraicas, racionales e irracionales.
• Calcula límites indeterminados cuando la variable tiende al infinito.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
4
SEMANA
11
120
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
4.11 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
4.11.1 IDEA DE LÍMITE
2-x
4-4x-23xF(x) = 5 5.75 6.5 7.25 7.7 7.97 7.997 8.003 8.03 8.3 8.75 9.5 10.25
x 1 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5 2.75
82-x
4-4x-23x
2
lim=
→x; 82)(3x =+
→=
+→ 2
lim2-x
2)-2)(x(3x
2
lim
xx
4.11.2 DEFINICIÓN:
Sea F(x) una función definida en un intervalo que contiene o no al número “a” . Se dice que cuando x se aproxima al número “a” la función
F(x) tiende al número L ( que se denota por: F(x)ax
Lim
→=L), sí para todo
número positivo ε > 0 existe un número positivo δ tal que |F(x)-L| < ε siempre que x∈D (F) ∧ 0 < |x-a| < δ
EJEMPLOS: 1. Si ε = 0.03 halla el valor positivo δ tal que |(3x + 7)-1| < ε siempre que 0 < |x - (-2) | < δ Solución
ε<+ 63x , 0 < | x +2 | < δ
3| x +2 | < ε → 3
2ε<+x →→→→ δ =
3
ε ∴∴∴∴ δ = 0.01
2.Demuestre que 81
312
1=
−+−
→ x
)x)(x(limx
, a = 1, L = 8,
| F(x) – L | < ε siempre que 0 < | x - a |
341
311 2 ++=−
++−= xxx
)x)(x)(x()x(F
755755111151
5154834 22
<+<→<+<→<−<−→=δε<+−
ε<+−→ε<++→ε<−++
xxx;x.x
)x)(x(xxxx
acotando 7
11775ε<−→ε<−→=+ xx.x , asumiendo δ =
7
ε
por lo tanto δ = min {1, 7
ε }, con lo cual queda demostrado el Límite.
MATEMÁTICA II 121
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
4.11.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
1. )()()()()(00
xhLímLxfLímxhxgxfSíxxxx →→
==∧≤≤
LxgLímxx
=∴→
)(0
2. :)()( 21
00
entoncesLxgLímLxfLímSixxxx
=∧=→→
a) ( ) 21
000
LL)x(gLím)x(fLím)x(g)x(flímxxxxxx
±=±=±→→→
b) 21.)().()().(
000
LLxgLímxfLímxgxfLímxxxxxx
==→→→
c) 2
2111
0
00 L)x(gLím)x(g
LímLSí
xxxx
==⇒≠→
→
d) 2
12
0
0
0
0L
L
)x(gLím
)x(fLím
)x(g
)x(fLímLSí
xx
xx
xx==⇒≠
→
→
→
e) RCLCxfLímCxfCLím
xxxx∈==
→→,.)(.)(. 1
00
.
f) CxfLímteConsCxfSi
xx=∴==
→)(tan)(
0
g) Si NmLxfxx
Límxf
xx
Lím mmm ∈=→
=→
,)())(())(( 100
4.11.4 CÁLCULO DE LÍMITES
Calcule:
a)
( )( )
( )6
42322
432
432432
2
2
2
2
22
2
2
2
2
=+−=
+−=
+−=+−
→→
→→→→
)(
)x(LímxLím
)(Lím)x(Lím)x(LímxxLím
xx
xxxx
b) ( ) ( ) ( ) 2851355 31
31
31
13
3
13==−=−=−
→→xLímxLím
xx
122
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
FORMAS INDETERMINADAS
∞∞
,0
0
4.11.5 LÍMITES ALGEBRAICOS :
1) Calcule:
0
0
32223241222324
1
lim=
−−++++−−
→ xxxx
xxxxx
(forma indeterminada)
)35233(
)1323(1
lim
)35233)(1(
)1323)(1(1
lim
+++
−−−→
=+++−
−−−−→ xxx
xxx
xxxxx
xxxx
x
3
1123531
1311 4 −==+++−−−= −
, luego 3
1
32223241222324
1
lim −=−−++++−−
→ xxxx
xxxxx
2) Calcule:
0
0
22
22
lim=
−−
→ x
xx
++
++
−−
→ 22
22
2
2
22
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x =
2
1
3) Calcule:
6
5
3
1
2
1
)1)(1(
)1(
1
lim
)1(
1
1
lim
)1)(1(
)1))((1(
1
lim
)1)(1(
1
1
lim
1
1
1
lim
1
1
1
lim
0
0
1
2
1
lim
31
32
31
32
3123
13
1
33
=+=++−
−→
++→
++−
++−→
++−
−→
−−
→+
−−
→==
−−+
→
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
4) Calcule:
==×−
−=−−
→ 0
0
3412
33
412
3
3
lim
x
x
xIndeterminado
Levantamos la indeterminación: 4
1
4
1
)3(
)3(
)3(4
)3(33
=×−−=
−−
→→ x
xLim
x
xLim
xx
5) Calcule:
MATEMÁTICA II 123
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
adoerinx
xLimx
mindet0
0
0
303330
=−+=−+→
Levantando la indeterminación:
6
3
33
1
0,)33()33(
3)3(
)33(
)33()33(33
0
00
00
=++
≠++
=++−+
++++×−+=−+
→
→→
→→
xLim
xxx
xLim
xx
xLim
x
x
x
xLim
x
xLim
x
xx
xx
6) adoerinxx
xxLimx
mindet0
0
341
231
34
232
2
1=
+−+−=
+−+−
→
Levantando la indeterminación:
2
1
2
1
)3(
)2(
1)1)(3(
)1)(2(
34
23
1
12
2
1
=−−=
−−
≠−−−−=
+−+−
→
→→
x
xLim
xxx
xxLim
xx
xxLim
x
xx
4.11.6 LÍMITES AL INFINITO
Casos:
a) LxfLimx
=+∞→
)(
b) LxfLimx
=−∞→
)(
c) ∞= +
−+∞→)(xfLim
x
d) ∞= +
−−∞→)(xfLim
x
124
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos
1. Calcule:
+∞==+
++=∞+∞
∞+∞+=
+
++
+
++
=+
++
+∞→
+∞→+∞→
0
4
00
00452
124
52
124
52
124
52
124
2
2
2
2
2
2
xx
xxLim
x
xx
xx
Limx
xxLim
x
xx
2. Calcule:
3
123
21
)23(
)21(
23
2
23
2
22
22
2
2
2
2
=∞+∞+
∞→=
+
+=
++=
++
∞→
∞→∞→
x
Lim
xx
xx
Lim
x
xLim
x
xLim
x
xx
3. Calcule:
∞−∞=−++∞→+
−
)x)x)(x((Limx
52 (Forma indeterminada)
).xxx(Limx
−++∞→
1072
)107(
))5)(2((2 xxx
xxx
++++++
0,2
7
1107
1
107
)11071(
)107(
107
107
107
107
22
22
22
>=+++
+
∞→=
+++
+
++++=
+++−++
∞→
+∞→∞→
x
xx
xx
Lim
xxx
xxLim
xxx
xLim
xxx
xxxLim
x
xx
4. Calcule:
3
431
2
41
31
23
lim
3342
12346lim6
=−+
++−
∞→=
∞∞=
−+++−
∞→
xx
xxxxxx
xxxx
MATEMÁTICA II 125
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
5. Calcule:
m xfx
m xfxx
xxx
x
x
xx
x
)(lim
)(lim
;511243
3155lim
511243
)3)(5(lim
∞→=
∞→−−−+
∞→=
=∞∞=
−+−
∞→
5 11243
1521
511
243
1521
lim5
11243
152lim=
∞−
∞+
∞+−
=−
++−
∞→=
−++−
∞→=
x
xxxx
xx
x
L 3
15243
1 −=−=
6. Calcule:
22
22
21
21
22
21
21
22lim
)22(
22lim
)22(
)2(2lim
)mindet()22(lim
==
∞−+
∞+
=
−++∞→
−++∞→=
−++
−−+∞→
∞−∞=−−+∞→
xx
x
xxxx
x
xxxxx
xxxx
x
adaerinFormaxxxxx
126
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Autoevaluación I. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:
33
64.1
6 −+
→ x
xLímx
8
8.2
2
2 −+
−→ x
xLímx
xx
xLímx 4
16.3
3
2
4 −−
→
4
2.4
2
23
2 −+
−→ x
xxLímx
4
165.5
4 ++
−→ x
xLímx
25
425.6
2
5
2 −−
→x
xLímx
3
27.7
3
3 ++
−→ x
xLímx
7
49.8
2
7 +−
−→ x
xLímx
8
64.9
2
8 ++−
−→ x
xLímx
xx
xxLímx 4
25.10
2
2
0 −−
→
1
2.11
2
1 −−+
→ x
xxLímx
6
158.12
2
2
3 −+++
−→ xx
xxLímx
543
27212.13
2
2
9 −−+−
→ xx
xxLímx
5112
5214.14
2
2
5 +−+−
→ xx
xxLímx
87
1.15
2
3
1 −+−
→ xx
xLímx
8
81610.16
3
2
2 −−−
→ x
xxLímx
6416
24192.17
2
2
8 +−+−
→ xx
xxLímx
164
1432.18
3
2
4
1 −−−
→ x
xxLímx
16249
43.19
2
2
3
4 ++−+
−→ xx
xxLímx
16
143.20
2
2
3
1 −+−+−
→ xx
xxLímx
II. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:
3x
9+x9x
lim.1
-→
61-
4-
16→lim
.2x
x
x
34
25
5
lim.7
2
−+−
→ x
x
x
x
x
x −+−
→ 1
32
1
lim.8
2
MATEMÁTICA II 127
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
1x
1x1x
lim.3
-
-
→
3-2
49-
7→lim
.42
x
x
x −
2
4
4
lim.5
−−
→ x
x
x
9
3
9
lim.6
−−
→ x
x
x
5
5
5
lim.9
−−
→ x
x
x
660
lim.10
−+→ x
x
x
x51x+53
4x
lim.11
---
→
3k3x
7k7xkx
lim.12
-
-→
RESPUESTAS DE I: 1)2 2)-6/5 3)0 4)-1 5) ∞− 6)4 7)27 8)14 9)16 10)1/2 11)3 12)-2/5 13)1 14)19/9 15)1/3 16)2 17) ∞ 18)1 19)- ∞ 20)2/5 RESPUESTAS DE II:
1) ∞ 2)1/8 3)2 4)-56 5)4 6)-1/6 7)60 8)1/2 9)2 5 10)2 6
128
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
ADICIONALES
1. 1222
243lim234
23
+−−−−+−
+∞→ xxxx
xxx
x
2. 107
6102lim
+++
+∞→x
xxx
3. xxxx
xxx
x 232
123lim257
34
+−++−+
∞→
4. 4 1024
4 13416lim
++
++∞→ xx
xx
x
RESPUESTAS
1) 0 2) 1/7 3) 0 4)2
MATEMÁTICA II 129
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
MISCELÁNEA SOBRE LÍMITES Calcula los siguientes límites:
1. 1x536
3xx2lím
2
1x −−−+
→ Rp.
34−
2. 31x10
x540lím
48x −+−
→ Rp. 54−
3. 25
23
2x x8x
4x7x3lím
−+−
→ Rp.
61
4. ( )24x 4x
4x4xlím
−+−
→ Rp.
161
5. 1x
3
1x
xlím
21x −−
−→ Rp.
25−
6. xx
xxlím
30x +−
→ Rp. ∞+
7. 2
3
1x x9x61
x124lím
−−−
→ Rp. ∞+
8. ( ) ( )bxaxxlímx
−−−∞→
Rp. 2
ba +
9. x4
1xx3x3x3lím
3222
x
+−++∞→
Rp. 43
10. ( )
( )3
23
3 2
x3x2x5
1x8lím
+++
+∞→
Rp. 4
11. xx2x2x2límx
−++∞→
Rp. ∞−
130
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
12. Hallar h
xFhxFLimh
)()(
0
−+→
, para las siguientes funciones:
12.1) F(x) = x² - 2x 12.2) F(x) = 5x² - 7x +4
12.3) F(x) = x² + 3x – 5 12.4) F(x) = 4 52 +x
12.5) F(x) = 3 ²2 xx − 12.6) F(x) = x
x
−+
2
23
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas
América S.R.L Lima 2004
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001
LEITHOLD, Louis
Cálculo con Geometría analítica
Editorial Oxford México 2004
http://descartes.cnice.mec.es
MATEMÁTICA II 131
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
LÌMITES Y CONTINUIDAD LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos utilizando las propiedades de
límites y las condiciones de continuidad, resolverán problemas de límites
indeterminados, en el infinito y trigonométricos, y problemas de continuidad de una
función en un punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones
gráficas en el plano.
TEMARIO
• Límites de funciones :
- Límites de funciones trigonométricas
ACTIVIDADES
• Calcula límites indeterminados de funciones Trigonométricas.
• Calcula límites indeterminados de funciones algebraicas y trascendentes.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
4
SEMANA
12
132
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
4.12 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
4.12.1 Límites trigonométricos fundamentales
1.- ∞=−
→
tgxLimx
2
π
2.- 2π=
∞→arctgxLim
x
3.- 10
=→ x
SenxLimx
4.- 10
=→ )x(f
)x(senfLim
)x(f
5.- 1
0=
→CosxLim
x
6.- 0
0=
→SenxLim
x
7.- 10
=→ x
TgxLimx
8.- 01
0=−
→ x
xcosLimx
9.- 2
1120
=−→ x
xcosLimx
10.- 2
4
4ππ
=→ x
senxLimx
11.- 040
=→
tgxLimx
12.- 2
1
6
=π→
senxLimx
13.- 1
4
=π→
tgxLimx
MATEMÁTICA II 133
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
4.12.2 Ejercicios de aplicación
Calcule los siguientes límites:
1)
4
3
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
11
2
1
1
11
1
1
11
11
0
02
020
20
2020
2020
20
=+=+
=
++
−=
++
−
−+++−
−+−
=−−
→→
→
→→
→→
→
tcosLim.
t
tcosLim
tcos.
t
tcosLim
t
tcosLim
tcos
tcos.
t
tcosLim
t
tcosLim
t
tcosLim
t
tcostcosLim
tt
t
tt
tt
t
2)
πππ
πππ2)1(2
2
22
200
===→→ x
xSenLim
x
xSenLim
xx
3)
2)1(5
)1(10
5
5lim5
10
1010
5
10
5
10
0
0
00====
→
→
→→
x
xSenx
xSenLim
x
xSenx
xSen
LimxSen
xSenLim
x
x
xx
4)
( ) 1112
1)1(.
)1(
)1)(1(1
020
202
2
0
=+=+−=
+−=−
→→
→→
CosxLimx
xCosLim
x
CosxCosxLim
x
xCosLim
xx
xx
134
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
5)
πππ
π
ππ
π
π
π
==
=
∞=
∞→∞→
∞→
)1(
)mindet(0.
t
tsen
Lim
t
tsen
Lim
adaerinformat
tsenLim
tt
t
6)
0
01
;1111
1111
=
=∞∞
≤≤∞
−→≤≤−
≤≤−→≤≤−
∞=
∞→
∞→∞→∞→∞→
∞→
t
sentLim
t
sentLim
tLim
t
sentLim
tLim
tt
sent
tsent
k
t
sentLim
t
tttt
t
7)
ππππ
π
ππππ
π
π
1
)3()3(
)3(
0,3
33)(
)3(
)mindet(0)sec()3(
00
003
3
3
−=−=−
+=
+=−∴
→→
+=⇒=−⇒−=
∞×=−
→→
→→→
→
→
zSen
zLim
zSen
zLim
zSen
zLim
zSen
zLim
xSen
xLim
zxSi
zxzxhacemosxSen
xLim
daerinformaxCoxLim
zz
zzx
x
x
8)
515
5
55
5
55
5
0
00
===
=
→
→→
))((x
xSenLim
x
xSenLim
x
xSenLim
x
xx
MATEMÁTICA II 135
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Autoevaluación
I. CALCULE LOS SIGUIENTES LÍMITES:
3
3
0
21x
xSen
Lim.x→
3
2
0.2
x
xsenLímx→
x
xsenxsenLímx
32.3
0
+→
x
senxLímx tan
.40→
ctgxxLímx 0
.5→
20
.2.6
x
senxxsenLímx→
x
xsenxLímx
cos..7
0→
x
tgxsenx
x
Lím +→ 0
.8
senx
xsen
x
Lím 20
.9→
senx
xsenLímx 3
3.10
0→
xsen
xsen.Lím
x 2
311
0→
x
xtgLím
ox
2.12
→
20
4113
2
x
)x)(xcos(. Lím
x
+−→
xsen
x. Lím
x2
2
014
→
xcos
x.Lím
x 015
→
x
xsenLímx
2.16
0→
x
xsen
. Límx
2170→
x
xsen. Lím
x 3
218
0→
x
xsenLím
x 2
5.19
0→
233
2
0.20
xx
xsenLím
x +→
Respuestas: 1) 1/8 2) ∞ 3) 5 4) 1 5) 1 6) 2 7) 1 8) 2 9) 2 10) 1 11) 3/2
12) 2 13) 4 14) 1 15) 0 16) 2 17) 1/2 18) 2/3 19) 2
5 20) 1/3
II. CALCULE LOS LÍMITES:
42
8
0.1 =
→ xsen
xsen
x
Lím
4
3
4
3
0.2
2=
+→ xx
xtg
x
Lím
1cos1
0.3
23
2
=+
−→ xx
x
x
Lím
( ) 55.
0.4
23=
−→ xx
xsensenx
x
Lím
136
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
111
0.5 =−−+
→ x
senxsenx
x
Lím
21
75
0.6 −=
+−
→ xsenx
xsenx
x
Lím
1
2coscos21
0.7
2−=+−
→ x
xx
x
Lím
2)5(
)102(
5.8 =
−−
→ x
xsen
x
Lím
16
1
4
cos1
0.9
2=−
→ x
x
x
Lím
21
)1(1
.10 −=−−
→ x
xsen
x
Lím
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas
América S.R.L Lima 2004
LARSON, Ron Cálculo Editorial
McGraw-Hill México 2006
LEITHOLD, Louis
Cálculo con Geometría analítica
Editorial Oxford México 2004
STEWART J. Cálculo de una variable trascen-dente temprana
Thompson Edit México DF 2001
http://descartes.cnice.mec.es
MATEMÁTICA II 137
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
LÍMITES Y CONTINUIDAD
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, utilizando las propiedades de
límites y las condiciones de continuidad, resolverán problemas de límites
indeterminados, en el infinito y trigonométricos, y problemas de continuidad de una
función en un punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones
gráficas en el plano cartesiano.
TEMARIO
• Límites laterales
• Continuidad de una función en un punto
ACTIVIDADES
• Calcula Límites laterales por la derecha y por la izquierda.
• Evalúa la Continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
4
SEMANA
13
138
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
4.13 CONTINUIDAD DE FUNCIONES
4.13.1 LÍMITES LATERALES POR LA DERECHA
Dada una función )(xf .Si ” 0x ” es un punto de acumulación de
∞∩ ,0xD f entonces
δ<−<∧∈
ε<−>δ∃>ε∀↔=+→
00
00
0
xxDxquesiempre
,L)x(f/,L)x(f
f
xxLím
y
Xδ+0X0X
ε+L
L
)(xf
x
})(xf
{
{
0
LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA
δ{
δ
}δ−0X
ε−L
ε
ε
)x(fLimxx +→ 0
(Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x0 por la
derecha)
EJEMPLOS:
1) Calcule: )(2
xfLimx +−→
11)1(2)(
401
02)1(2)(
2
22
2
2
=−+=
≤<+
≤≤−−+=
++ −→−→xLimxfLim
xx
xxxfSi
xx
MATEMÁTICA II 139
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2) Calcule: )(0
xfLimx +→
[44²
2,0,4²
0,3,1
)(
0=+→
⟩∈+
⟩⟨−∈+=
+→xLim
xx
xx
xxfSi
x
4.13.2 LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA
Dada una función )x(f , si ” 0x ” es un punto de acumulación de
0, xD f ∞−∩ ; entonces
δεδε <<<−>>= xxDxquesiempreLxfLxf f
xxLím -0∧∈,)(/0∃,0∀↔)( 0→ 0
y
Xδ+0X0X
ε+L
L
)(xf
x
})(xf
{
{
0
LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA
δ{
δ
}δ−0X
ε−L
ε
ε
)x(fLimxx −→ 0
(Se lee límite de la función f(x) al acercarse a x0 por
la izquierda)
EJEMPLOS:
1) Calcule: )x(fLimx −→8
140
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
08
88
88
3
8
3
3
=−−
<−−
≥−=
−→)x(Lim
x,)x(
x,)x()x(fSi
x
2) Calcule: )x(fLim
)(x −−→2
1
1615
21
421
21
4)(21
)(
21,32
21,42
1)(
2323
2
1
2
1
23
=
−+
−=+=
−≥−
−<+=
−− −→−→
xxLimxfLim
xx
xxxxfSi
xx
3) Calcule: )x(fLimx −−→ 2
12
88
82
5
8
3
2228
3322
2
3
=−
−=−=
≥+−
−≤≥≥−
=
−− −→−→ )(xLim)x(fLim
x,x
ox,x,x)x(fSi
xx
OBSERVACIÓN:
- Una función f(x) tiene límite en x0 ⇔ L)x(fLim)x(fLim
xxxx==
+− →→ 00
- Si ,)()(00
xfLimxfLimxxxx +− →→
≠ se dice que =→
)x(fLimxx 0
no existe.
EJEMPLO:
Calcule )x(fLimx 1→
si es que existe.
Si
<+
≥+=
1192
1,)2()(
3 3
2
xx
xxxf
MATEMÁTICA II 141
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
3)(,tan
3198,3)2(
1
3
1
2
1
=
=+=+
→
−+ →→
xfLimtoPor
xLimxLim
x
xx
Por lo tanto, )x(fLimx 1→
existe, puesto que sus límites laterales son
iguales
4.13.3 LÍMITES IMPROPIOS
1) ∞=+−
→ +)(
0
xfLimxx
2) ∞=+−
→ −)(
0
xfLimxx
−∞=−−∞=−
−∞=−
−∞=−
=∞−
−=∞−
=∞
−=∞
0000
0000
aaaa
aaaa
EJEMPLOS:
Calcule los siguientes límites laterales:
a) +∞=+
=−+→ 0
1
1
11 x
Limx
b) −∞=−−→ 1
1
1 xLim
x
c) −∞=−
=−
+=−+
+=−+
−− →→ 0
4
)6)(0(
13
)3)(3(
1
9
1323 xx
xLim
x
xLim
xx
d)
0
04
2164
lim=
−−
−→ xx
x
−∞=−
=−−
−→=
−−−−→=
−−−→
+
+−−
0
8
2164
lim
)216)4(4
lim
216)4(4
lim
4
)4)(4(216
xx
xxxxxx
x
xxx
142
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
4.13.4 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x0 , del dominio de la función, si cumple las siguientes condiciones :
i) f(x 0) existe, es decir, es un número real.
ii) )(0
xfLimxx→
existe, es decir, sus límites laterales son
iguales
iii) )()(0
0 xfLimxfxx→
=
Si cualquiera de las tres condiciones no se cumple, la función no es continua o se dice que es discontinua.
Una función es continua en un intervalo, si es continua en cada uno de los puntos de dicho intervalo. Una función polinomial es continua en todos los reales y una función racional es continua en todos los reales con excepción de los puntos que anule el denominador.
EJEMPLOS:
1) Probar si f(x) es continua en x = 0 para :
22
2)(0
)()()
202)2()()
220)0()(0)
0,2
0,2)(
00.
00
00
2
=
=→
==
=−=−==+===
>−≤+
=
−→
→→
+
++
xfx
LimxfLimxfiii
xLimxfLimii
fxfxi
xx
xxxf
x
xx
∴ f(x) es continua en x =0
2) Dada la función:
MATEMÁTICA II 143
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2?2¿
2,2
273
2,3
)(
0
2
==
≠−
+−
==
xxencontinuaSerá
xx
xx
x
xf
53
)()()
5)2(
)2)(13(2
273)()
3)2()(2)
20
2
2
22
00
≠
≠
=−
−−=−
+−=
===
→
→→→
xfLimxfiii
x
xxLim
x
xxLimxfLimii
fxfxi
x
xxx
Por lo tanto f(x) no es continua en x =2 3) Halle las constantes a y b, para que f(x) sea continua en todo su dominio si
[[
⟩∈−⟩∈+⟩⟨−∈−
=2,1,2
1,0,
0,5,1
)(
xx
xbax
xx
xf
La función debe ser continua en 10 == xyx
b
fxfLimiii
xLimii
bbafxfi
xPara
x
x
=−
=
−=−=−=+==
=
→
→ −
1
)0()()
110)1()
)0()0()()
0*
0
0
0
011
)1(1)
)()()
121)1()()
1**
11
0
0
=→−=−+=−
+=+=−=−==
=
−−→→
aa
baiii
babaxLimxfLimii
fxfi
xPara
xx
144
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
4) Calcule los puntos de discontinuidad para la función definida por:
0)2)(2(4
4
1)(
3
3
2
≠+−=−
−+=
xxxxx
Soluciónxx
xxf
La ecuación polinomial del denominador forma una restricción, por ello el dominio: Df = R - { 0, -2, 2 } Por lo tanto f(x) es discontinua en x =0, x = -2 y x = 2.
4.13.5 PROBLEMAS SOBRE CONTINUIDAD
I. Determina si las siguientes funciones son continuas en todos los
números reales.
a.
>++−=<
=1x,1ex
1x,41x,e
)x(f
x
Rp. No es
continua
b. ( )
≥−<≤+−
<−=
11x,6
11x5,5x5x,5x
)x(f
2
Rp. Sí
es continua
c.
≥
<<+
−
≤−+
=
2x,3x
2x1,1xx38
1x,x23x2
)x(f Rp. Sí
es continua II. Resuelve.
1. Halla los valores de c y k para que la función dada sea continua.
>−≤≤+
<−−+
=
5x,cx2k
5x0,c2kx3
0x,x
x44x
)x(f Rp.
143
k
41
c
−=
=
MATEMÁTICA II 145
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2. Halle los valores de m y n para que la función dada sea continua.
>−+≤≤+
<+−
−
=
3x,mxnx213
3x1,m2nx
1x,3x2
x1
)x(f
2
3 Rp.
32
n
1m
−=
=
3. Halle los valores de a y b para que la función dada sea continua.
−>+
−−+−≤≤−−−<+−
=1x,
1x6x5x2x
1x5,ax4b5x,13bxax
)x(f23
2
Rp. 2b
1a
−=−=
4. Halle Rm∈ , de tal manera que:
=
≠+−
−=
1
132
13
xsim
xsix
x
)x(f sea continua en
10 =x
5. Sea la función f(x) definida por:
>−
≤≤−+
−<+
=
13
122
22
xsi,nx
xsi,nmx
xsi,mx
)x(f
Halle el valor de m y n para que la función sea continua en los
puntos -2 y 1. 6. Determine los valores de a y b, de modo que la función sea
continua en todo su dominio.
≤≤−
<<−
≤<−−
=
3222
20
031
xsixb
xsiax
xsi
)x(f
146
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
AutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluaciónAutoevaluación
1.Calcule si existe, )(1
xfx
Lím
→ , Donde:
>+≤+
=1,1
1,3)(
2
xsix
xsixxf
2.Calcule si existe, )(2
xfx
Lím
→ , Donde:
>−≤
=2,28
2,)(
2
xsix
xsixxf
3. En los siguientes ejercicios trace la gráfica y halle el límite si existe. Si no existe,
explique por què no existe.
<−=−<
=xSi
xsi
xsi
xfa
1,3
1,1
1,2
)()
<−≤≤−−
−<+
=xSix
xsix
xsix
xfb
3,5
33,9
3,5
)() 2
<−−−≤+
=tsit
tsittfc
4,3
4,4)()
≤
<=
tsit
tsittfd
0,
0,)()
3
4.
≤+<+
=xsikx
xsixxfSea
4,5
4,23)( . Halle el valor de K para que
)(4
xfx
Lím
→ exista.
5. Calcule xx
xx
x
Lím
+−
→ + 20
6. Calcule 9
5
3 2 −+
→ − x
x
x
Lím
7. Calcule ( )3
2
2
4
2 −−
→ +x
x
x
Lím
MATEMÁTICA II 147
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
8.
<−
+−
≥−−
−
=5;
5
3512
5;41
5
)(2
xx
xx
xx
x
xgPara ¿ existe )x(gLimx 5→
?
9. Halle los valores A y B para que la función f(x) sea continua en su dominio.
≥−
<≤−+−<−−
=
3;3
31;
1;43
)(
2
xsix
xsiBAx
xsixx
xf
10. Calcule Rb∈ , de tal manera que:
=
≠−−+=
0
011
)(
xsib
xsix
xxxf sea continua en 00 =x
11. Halle Rc∈ , de tal manera que:
=
≠−
−+−=
1
11
22)(
23
xsic
xsix
xxxxf sea continua en 10 =x
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas
América S.R.L Lima 2004
LARSON, Ron Cálculo Editorial
McGraw-Hill México 2006
LEITHOLD, Louis
Cálculo con Geometría analítica
Editorial Oxford México 2004
STEWART J. Cálculo de una variable trascen-dente temprana
Thompson Edit México DF 2001
http://descartes.cnice.mec.es
148
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MATEMÁTICA II 149
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
LA DERIVADA LOGROS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de la
derivación, resuelven ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas y
trascendentes, señalan la ecuación de la recta tangente y normal de una función en un
punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones gráficas en el plano
cartesiano y muestra sus aplicaciones en situaciones reales.
TEMARIO
• La derivada y sus aplicaciones
- Definición de la derivada como un límite - Interpretación geométrica de la derivada - Fórmulas de derivación - Derivada de funciones algebraicas
ACTIVIDADES
• Calcula la derivada como el límite de una función, siempre que esta exista.
• Interpreta la definición de la derivada como una aproximación de la secante a una tangente.
• Calcula derivadas de funciones algebraicas básicas.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
5
SEMANA
14
150
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
5.14 DEFINICION DE DERIVADA
5.14.1 DEFINICIÓN GENERAL
DERIVADAS
DEFINICION
La funcion f(x), la derivada de f(x), es otra funcion que sedenota por y cuyo valor en cualquier número x del
dominio de f(x).
el límite exista
sea
Si hacemos que :0xxx −=∆ o sea h = x – x0 Siendo x0 un punto fijo.
Donde sexf )( 0′ lee: “la derivada de f en 0x ”
sea
)(' xf
es
siempreque
ahora
tenemos
0
)()()(
0
'
≠∆∆
−∆+=→∆
xconx
xfxxflímxfx
0
)()()(
0
0'
0
≠−−
=→
xcon
xx
xfxflímxf
xx
0
)()()( 00
00
'
≠
−+=
→
hconh
xfhxflímxfh
Otras notaciones de la derivada: o
yyDdx
df
dx
dyyxf x ====′=′ )(
MATEMÁTICA II 151
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
5.14.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
En la figura podemos apreciar:
1° La pendiente de la RECTA SECANTE L 1 que pasa por los puntos P0(x0,f(x0)) y P(x,f(x)) , es :
00
0 ,)()(
xxxx
xfxfTg ≠
−−=α
2° La pendiente de la RECTA TANGENTE L es : θTg
3° Supongamos que el punto P 0(x0,f(x0)) pertenece a la curva f y es fijo. P(x,f(x)) es un punto de la curva que se mueve acercándose al punto P0(x0,f(x0)).
A medida que P(x,f(x)) se acerca a P0(x0,f(x0)) resultará que la variable x se acerca a x0 cada vez más, de modo que el incremento 0xxx −=∆
tiende a cero , pero nunca será cero. Este incremento es infinitésimo y se denota :
Si 0)( 00 →−=∆→ xxxentoncesxx
Desde el momento en que el acercamiento (aproximación) es INFINITÉSIMO, entonces se hace uso del concepto de LÍMITE.
4° Así, llegamos a la siguiente conclusión:
Cuando el punto P(x,f(x)) tiende a acercarse a P 0(x0,f(x0)) , entonces la RECTA SECANTE L 1 tiende a TRANSFORMARSE EN RECTA TANGENTE L.
152
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Además, la Pendiente de la recta secante L 1 =
00
0 xx,xx
)x(f)x(fTg ≠
−−=α , tiende a convertirse en :
Pendiente de la recta tangente L =
0,0
)0()(
0lim xx
xx
xfxf
xxTg ≠
−
−→
=θ
Además:
0,)()(
lim)´(
,)()(
lim)´(
00
00
00
00
0
≠−+=
≠−−=
→
→
hh
xfhxfxf
xxxx
xfxfxf
h
xx
Donde h = ∆∆∆∆x y la pendiente de la tangente es )(' 0xfmt = entonces:
Ejemplos de Aplicación:
1. Calcule la derivada de xxxf 28)( 2 +=
Por definición.
h
xfhxfLimxfó
x
xfxxfLimxf
hx
)()()('
)()()´(
00
−+=∆
−∆+=→→∆
…..
( 2 )
Calculando )( xxf ∆+ , reemplazando x por ( )xx ∆+ en la función f.
[ ])(22)(8.168
)(22)(.28
)(2)(8)(
22
22
2
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxf
∆++∆+∆+=∆++∆+∆+=
∆++∆+=∆+
Calculando:
x
)f(xx)f(xlimm 00
0xt ∆
−∆+=→∆
MATEMÁTICA II 153
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
)28()(22)(8.168)()( 222 xxxxxxxxxfxxf +−∆++∆+∆+=−∆+
Simplificando:
)(2)(8.16)()( 2 xxxxxfxxf ∆+∆+∆=−∆+
Reemplazando en (2) y factorizando :
0
)´(→∆
=x
Limxfx
xxx
∆+∆+∆ )2)(816(
Cancelando :x∆
0)´(
→∆=
xLimxf 208162816 ++=+∆+ )())(( xxx
216)´( += xxf . Esta función es conocida como la función
derivada.
2. Haciendo uso de la definición de la derivada de una función. Halle f ’(x)
si 332
32 +−
=xx
xf )(
Solución:
Por definición:
h
xfhxfLimxfh
)()()('
−+=→0
332
3
332
322 ++−+
=++−
=)()(
)(,)(hxhx
hxfxx
xf ,
estos datos remplazando en la fórmula.
h
xxhxhx
h
Limxf
332
3
3)(3)(2
3
0)('
22 +−−
++−+→
=
1
)332)(3)(3)(2(
)3)(3)(2(332
3)('22
22
0 hxxhxhx
hxhxxx
Limxfh
+−++−+++−+−+−
=→
154
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
))()()((
)('332332
3332423323
22
222
0 +−++−+−++−−−+−=
→ xxhxhxh
hxhhxxxxLimxfh
,
simplificando y factorizando.
))()()((
)()('
332332
3243
220 +−++−++−−=
→ xxhxhxh
hxhLimxfh
,
simplificando h.
))()()((
)()('
332332
3243
220 +−++−++−−=
→ xxhxhx
hxLimxfh
))())(())(((
))(()('
33230302
30243
22 +−++−++−−=
xxxx
xxf
))((
)()('
332332
343
22 +−+−+−=
xxxx
xxf
Por lo tanto la función derivada es:
22 332
343
)(
)()('
+−−−=xx
xxf
3. Halle la derivada de 12)( += xxf , utilizando la definición de la derivada.
Solución:
Por definición
)1.(....................)()(
)´(0 x
xfxxfLimxf
x ∆−∆+=
→∆
x
xxxLimxf
x ∆+−+∆+=
→∆
12122)´(
0
Racionalizando el numerador para obtener un factor común x∆ en el numerador y denominador:
)12122(
12122)(12122()´(
0 +++∆+∆+++∆++−+∆+=
→∆ xxxx
xxxxxxLimxf
x
)()(
)´(12122
121220 +++∆+∆
+−+∆+=→∆ xxxx
xxxLimxfx
)()´(
12122
20 +++∆+∆
∆=→∆ xxxx
xLimxfx
, Cancelando x∆ :
12122
2)´(
0 +++∆+=
→∆ xxxLimxf
x
MATEMÁTICA II 155
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Evaluando el límite se obtiene la función derivada
12
1
1212
2)´(
+=
+++=
xxxxf
4. Usando definición de la derivada, Calcule f ’(x) y f ’(5) si f(x) = (x2-5x)10
Solución:
Por definición
h
xfhxfLimxfh
)()()('
−+=→0
102102 55 ))()(()(,)()( hxhxhxfxxxf +−+=+−= ,
remplazando en la fórmula estos datos.
h
xxhxhxLimxfh
102102
0
55 )())()(()('
−−+−+=→
[ ][h
hxhxxxhxhxLimxfh
++−+−−+−+=→
9222
0
555 ))()(()()()()('
]
h
xxxxhxhx 92282 555 )(............).........())()(( −+−+−+
[ ][ ]h
xxhxhhxxLimxfh
......................................)('
5552 222
0
+−−−++=→
[ ][ ]h
hxhLimxfh
.........................................)('
520
−+=→
, simplificando h
[ ][ ]oster
xxxxhxhxhxhxhxLimf
h min)(...)())()(())()((
'10
555552
9228292
0
−++−+−+++−+−+=→
156
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
[ ]
92
9228292
)5(10).52()('
)5(...............)5()5()5()52()('
xxxxf
xxxxxxxxxxf
−−=
−++−−+−−=
Por lo tanto la función derivada es:
)()()(' 52510 92 −−= xxxxf ; f ’(5) = 0.
5.14.3 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
a)
cxf =)(
DERIVADA DE UNA POTENCIA
nxxf =)(1' )( −= nnxxf
sí
donde +∈ zn
b)
cxf =)(
DERIVADA DE UNA CONSTANTEREAL
C:constante
cxf =)( 0)( 0' =xf
sí
donde
Q
MATEMÁTICA II 157
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
DERIVADA DE UN PRODUCTO
u, v y w tres funciones derivables
1 2
tenemos
siendo
( ) '''. uvvuvu += ( ) wvuwvuwvuwvu ........ '''' ++=
DERIVADA DE UN COCIENTE
u Y v FUNCIONES DERIVABLES CON
0≠V
tenemos
2
'''
v
uvvu
v
u −=
siendo
c)
d)
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CON COEFICIENTE CONSTANTE
[ ] )()( '' xcfxcf =
DERIVADA DE LA SUMA
f(x) y g(x) funciones derivables en
Se puede expresar como:
0x
( ) )()( 0'
0''
0xgxfgf x +=+
[ ] )()()()( '' xgxfxgxfdx
d +=−
siendo
también
e)
(f + g) = f’ + g’
158
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
EJEMPLOS:
1. Halle y’ si 4 22 5123 x)x(y ++=
Solución:
)6(51)51(4
10)23(´ 4 2
4 32
2 xxx
xxy ++
++=
2. Halle y’ si 534 33 )1.()()( xxxxxxf +−−=
Solución:
532
4 3)1()
2
13.(
)(4
3)´( xxx
xx
xxxf +−
−
−=
34 3
3
243 )(
2
1
12
3)1(5 xxx
xx
x
xxxx −
++
−+−+
3. Halle )´(xf si 83)( 3 ++−== xxxfy
Solución:
)8()()3()´(´ 3
dx
dx
dx
dx
dx
dxfy ++−==
0)()(3)´( 3 ++−= xdx
dx
dx
dxf
0)(1))(3(3)´( 02 ++−= xxxf 19)´( 2 +−= xxf
MATEMÁTICA II 159
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Autoevaluación
I. Utilizando la definición de la derivada halle y ’ en las siguientes funciones:
a) 3x)x(f =
b) 2
1
x)x(f =
c) 1
12 −
=x
)x(f
d) 52 += x)x(f
e) )16
1(,
5
1
44
1)( '
24 3 f
x
xxxf ++−=
f)5
3 2
4
1)(
x
xxf
−+=
g) 22
5
)14(
3)(
+−+=xx
xxf
II. Encuentre el valor de verdad o falsedad en las siguientes proposiciones:
a) La gráfica de la función derivada de y=0.5 2x , es la función identidad.
b) 2,2
4
2
2
=−−
→xenderivadaunaes
x
x
x
Lim.
c) La derivada de f(x) = x
5 , existe en x= 0.
d) El
h
h
h
Lim 33 )5(2)5(20
−+→
, es una derivada de f(x)= 2 3x
en x= 5.
e) )3(3
30
3'
3
ft
tt
t
Lim=
−−+
→
160
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
RESPUESTAS:
VVFVV
III. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) 1,012 22)( xxxxf ++−= −
b) 8233)( 3 ++−= xxxxf
c) 7,03 611 43)( −−− −++= xxxxxf d) )2)(13()( 32 xxxf +−+= e) )1)(1()( 122 ++++= −− xxxxxf
f) 1
3)(
2
+=
x
xxf
g) 1
2)(
2
3
++=
−
xx
xxf
h) x
xxxf
1)(
2 −+=
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas
América S.R.L Lima 2004
LARSON, Ron Cálculo Editorial
McGraw-Hill México 2006
LEITHOLD, Louis
Cálculo con Geometría analítica
Editorial Oxford México 2004
STEWART J. Cálculo de una variable trascen-dente temprana
Thompson Edit México DF 2001
http://descartes.cnice.mec.es
MATEMÁTICA II 161
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
LA DERIVADA LOGROS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de la derivación, resuelven ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas y trascendentes, señalan la ecuación de la recta tangente y normal de una función en un punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones gráficas en el plano cartesiano y muestran sus aplicaciones en situaciones reales.
TEMARIO
• La derivada y sus aplicaciones
o La regla de la cadena o Recta tangente y normal o Relación entre continuidad y las derivadas de una función
ACTIVIDADES
• Hallan la derivada de funciones compuestas, aplicando la regla de la cadena para 2 ó 3 variables.
• Hallan las ecuaciones de la recta tangente y normal de curvas de funciones
algebraicas.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
5
SEMANA
15
162
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
DERIVADA DE LASFUNCIONES
COMPUESTAS
REGLA DE LA CADENA
f,g y u funciones demanera que:
g y u son derivables yf es la función
compuesta
la derivada de la función " f "está dada
ó
sean
cumpla donde
por
entonces
( ) ))((0)( xugugxf x ==
)())(()( '' xuxugxf =
5.15. LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES
5.15.1 DERIVACIÓN DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
MATEMÁTICA II 163
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
5.15.2 REGLAS PRÁCTICAS DE DERIVACIÓN
a) CASO 1
1
2
3
4
5
6
nxuxf ))(()( = )())(()( '1' xuxunxf n−=
nxuxf ))(()( =dx
du
du
df
dx
df.=
dx
df
df
dg
dx
dg.=
dx
dy
dy
du
du
dz
dx
dz..=
))(( xfgy =
))(( xyuz =
)( xfg →→
)( xyuz →→→
du
dxdx
du 1=
du
dxdu
dy
dx
dy =
sí
sí
sí
sí
sí
sí
164
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
b) CASO2
EJEMPLOS :
1. Si f(x) = 4 + 23222 x++++
Calcule )1(f ′ Sugerencia: Use regla de la cadena . Hacer: z = 3 + x2 Solución:
Sea z = 3 + x2 , u = 2 + z , v = 2 + u
w= 2 + v , f = 4 + w
dx
dz
dz
du
du
dv
dv
dw
dw
df
dx
df....=
)....(..........).........2.(2
1.
2
1.
2
1.
2
1 βxzuvwdx
df =
Si x = 1 ⇒ z = 4,u = 4,v = 4,w = 4 De ( β )
( ) f(x) x f
x f 2
) ( ) (
' '
= 0 ) ( ≥ x f
( ) ( ) m n n
m n
x f n x mf
x f − = ) ( .
) ( ) (
' '
] [ ] ) ( . ) ( ) ( ' 1 ' x f x f n [ { } x f n n − =
{ } ) (
) ( ). ( ) (
' '
x f x f x f
x f =
1
2
3
4
con
MATEMÁTICA II 165
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
)1(2.42
1.
42
1.
42
1.
42
1=dx
df
128
1=
dx
df
2. Si y =dt
dyCalculetttuuvv .13,, 2323 +−+==
Solución:
Utilizando regla práctica para el cálculo de dt
dy
3
223 )13( +−+= ttty entonces y′
3
)163()13(2 23
123 −++−+=
−
ttttt
3. Si 567 )12(40
1
)12(24
1
)12(56
3)(
−−
−−
−=
xxxxf , calcule
dx
dy
Solución:
678
'
)12(40
10
)12(24
12
)12(56
42)(
−+
−+
−−=
xxxxf
EJERCICIOS:
I. Determine la primera derivada para las siguientes funciones :
105
5024
5024105
3028
5024
)1(
)53()
)53()1()
)138(4)
)53()
++−+−=
−+−++=
−−+=
−+−=
−
xx
xxxyd
xxxxxyc
xxxyb
xxxya
166
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
5.15.3 APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA
5.15.3.1 Ecuaciones de las rectas Tangente y normal
- Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y)=0 - Sea la recta L T que es tangente a la curva C en el punto (x 0,y0). La ecuación de la recta L t es: y - y 0 = m (x - x 0). Donde θTgm = pendiente de Lt Pero la pendiente “m”, desde el punto de vista del cálculo diferencial, es la DERIVADA DE y CON RESPECTO A x EN EL PUNTO (x0,y0).
Es decir: ),( 00 yxdx
dym
=
Entonces, la ecuación de la recta tangente es Lt : y-y0=),( 00 yxdx
dym
= (x-x0)
Si ∞=
+−
),( 00 yxdx
dy , entonces Lt: x-x0=0
MATEMÁTICA II 167
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Si , 0),( 00
=
yxdx
dy entonces 0: 0 =− xxLN
NOTAS: Una función es derivable en un punto, si se puede hallar una única recta tangente en dicho punto.
Si f es continua en x0,y )()( 0'
0' −+ = xfxf entonces, se
dice que la función es derivable o diferenciable en x0 .
)( 0' +xf es la derivada de f al acercarse a x0 por la
derecha y )( 0' −xf es la derivada de f al acercarse a x0
por la izquierda.
EJEMPLOS:
1. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 1)( 2 ++= xxxf en el punto cuya abscisa es 2.
Solución:
Por definición; la ecuación de la recta tangente.
)1......(..........).........).(´()( 00 xxxfxfy −=−
Por dato x0=2 …………………………..(2)
)2(57
)1()2(),3(),4(Re
)4....(51)2(2)2()´(12)´(
)´(
)3........(........................................7)(
122)2()(
'0
0
0
20
−=−
=+==⇒+=
=∴++==⇒
xy
enemplazando
fxfxxf
xfdeCálculo
xf
fxf
2. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por f(x) =x3+1 en el
punto cuya ordenada es 2.
Como la recta normal es perpendicular a la recta secante
en el punto (x0,y0). Entonces, la ecuación de la recta normal
será )(1
: 00 xx
dx
dyyyLN −−=−
168
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Solución:
Por definición; la ecuación de la recta tangente. )1......(..........).........).(´()( 00 xxxfxfy −=−
Por dato 12)( 30 +== xxf …………....(2)
)3....(..............................11 03 =∴=⇒ xx
Cálculo de f´(x0):
)4.....(..............................3)1(3́)1(
3)´(2
20
==
=
ff
xxf
Reemplazando (4) , (3), (2) en (1)
)1(32 −=− xy 3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva 83)( 2 −= xxf que pasa por el punto (2,-44)
Solución:
1.- Verificamos si el punto (2,-44) está en la curva 83)( 2 −= xxf
El punto (2,-44) 4448)2(344442 2 ≠−⇒−=−⇒−=∧=⇒ yx
∴Como no se cumple la igualdad, el punto no está en la curva.
2.- Se sabe que la recta tangente:
))(´( 000 xxxfyyLt −=−= …………(1)
El punto de tangencia es ),( 00 yx
00 6)´(6)´( xxfxxf =⇒=
Reemplazando en (1)
)(6)83( 002
0 xxxxyLt −=−−=
Pero tL pasa por el punto de tangencia (2,-44), entonces éste verifica la ecuación
de Lt:
0124
6128344
)2(6)83(44
020
200
20
002
0
=−−↔
−=+−−
−=−−−
xx
xxx
xxx
MATEMÁTICA II 169
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2y=4x-x
21
(a,b)
(2,5)
y
x
4100
26
0)2)(6(
00
00
00
=∨=−=∨==+−↔
yy
xx
xx
Hay dos respuestas:
0201224124
2264
01163621636100
666100
2
1
=++⇒−−=−+−=−=
=−−⇒−=−−=−=
yxxy
)x)((yL
yxxy
)x)((yL
4. Hay dos tangentes a la curva y = 4x-x2 que pasan por el punto (2,5). Encuentre la
ecuación general de ambas tangentes.
Solución: Como (a,b) pertenece a la función, entonces se tiene b= 4a - a2 ………………………….(1)
mLt = f’(a), f’(x) = 4 - 2x , mLt =a
b
−−
2
5
f’(a) = 4 – 2a → baaa
ba −=+−⇒
−−=− 5248
2
524 2
2a2 – 8a + 3 + b = 0 ……………….(2)
remplazando (1) en (2)
2a2 – 8a + 3 + 4a – a2 = 0 ⇒ a2 -4a -3 = 0 ⇒ (a - 3) (a - 1) = 0 a = 1 ó a = 3 Entonces, los puntos de tangencia son: P1(1,3), P2(3,3)
b = 3 b = 3 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P1 (1,3) x0 = 3 , y0 = 3 , f ’ (3) = -2 x0 = 1 , y0 = 3 , f ’ (1) = 2
170
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
y – y0 = f ’ (x0)(x – x0) ⇒ y – 3 = 2 (x - 1) ⇒ Lt1: 2x – y + 1 = 0 Hallando la ecuación de la recta tangente en el punto P2 (3,3) y – y0 = f ’ (x0)(x – x0), ( y – 3) = -2 (x - 3) ,Lt2: 2x + y - 9 = 0
MATEMÁTICA II 171
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos
1. Halle la función derivada para las siguientes funciones :
5323
154)
65
17)4()
65
17)
23
54)
43 3
5 3
5 34
10 291023
5 34
10 29
3 3
5 25
+−−+
+−=
+−
+++−=
+−
++=
−+
−−=
xxxx
xxyd
xx
xxxxyc
xx
xxyb
xx
xxya
2. Aplicando la derivada, halle la pendiente a cada una de las siguientes curvas en
el punto cuya abscisa se indica. a) 12 0
22 =−= xsiendoxy
b) 21
40 =
−= xsiendo
xy
c) 13 023 =−= xsiendoxxy
3. Calcule las ecuaciones de la tangente y de la normal, a las curvas siguientes, en el punto dado.
a) )2,2(;33 xxy −=
b) )5,2(3
12
x
xy
−+=
i. Usando definición de la derivada, calcule f ’(x) si :
3.1 f(x) = 38
22 ++ xx
172
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3.2 Dado G(x) = 43
642 ++
+
xx
x, halle el valor de “m”, para que se cumpla que
G ’(x) = 32 43 )xx(
m
++
3.3 Determine todos los puntos sobre la curva G(x) = x4 - 4x3 - 12x2 + 32x - 16, tales que la recta tangente en dichos puntos, sea horizontal.
3.4 Si G(x) = 2
1
1
−+
x
x, calcule el valor de k en la ecuación
21202
0 23 −−=+
− )(f.k)('fk)(f)('f
k
3.5 Determine la ecuación de la recta ortogonal a la gráfica g en el punto cuya abscisa es 0, si g(x) = (x3 - 3x + 2)
Respuestas:
a) ( )3382
42
++
−
xx
)x( b) 7 c) (1,1), (-2,80), (4,80) d) 0,12 e) x-3y+4=0
MATEMÁTICA II 173
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Problemas Complementarios Problemas Complementarios Problemas Complementarios Problemas Complementarios
1. Determina la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación 2xy = , y
que es paralela a la recta con ecuación x4y = . Rp. 4x4y −=
2. Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación 1xy 3 += , que es
paralela a la recta de ecuación: 06y12x =−+ . Rp. 086y12x =++
3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 5x3xy 2 +−= en el punto de
abscisa 3x = . Rp. 04yx3 =−− 4. Usa las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a. 3
5x2x1
)x(f
+
−= Rp. ( )
( )4
2
5x2
x121
+−−
b. 4 23 1t4tt)t(g ++⋅= Rp. ( )4 323 2
2
1t4tt6
2t14t5
++
++
c. ( ) 322 xsenx2xcosx2)x(h +−=
Rp. ( ) 33222 xcosx6xsen2xsenx2x2xcosx2 ++−−−
d. ( )s3stg)s(t 24 +=
Rp. t’ (s)( ) ( )
( )s3scoss3ssen3s24
25
23
+++
5. Calcula )x('h , si ( )xcosxsen3e)x(h =
Rp. h’(x) = ( ) ( ) ( )[ ]xcoscosxsenxxcossene3 xcosxsen3 −
6. Calcula )x('g , si 42 5x
3x2ln)x(g
−+=
Rp. g'(x) = 10x2
x6x4
12 −
−+
7. Si
22
1x1x
)x(f
−+= , determina el valor de k en: )0('f4k5)1(f3 ⋅=+−⋅
Rp. 1k =
8. Halle la ecuación de la tangente y de la normal, a las curvas dadas, en los puntos
indicados.
174
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
a) y = x2 + 2x + 2 ; x = 2 b) y = 4x3 – 13x2 + 4x –3 ; x = -1
9. Halle la derivada y’ de las funciones siguientes:
a) y = x x33 2− en x = 2
b) y = ( )42
212
+−+
x
xx , en x = 3
c) y = (4x3 – 3x + 1)4. (2 – x2 – x3)2 ; en x = 0
d) y = ( ) ( )
( )4
3223
34
6534
x
xx
−−−
; en x = 1
BIBLIOGRAFIA: FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas
América S.R.L Lima 2004
LARSON, Ron Cálculo Editorial
McGraw-Hill México 2006
LEITHOLD, Louis
Cálculo con Geometría analítica
Editorial Oxford México 2004
STEWART J. Cálculo de una variable trascen-dente temprana
Thompson Edit México DF 2001
http://descartes.cnice.mec.es
MATEMÁTICA II 175
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
LA DERIVADA LOGROS DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad de aprendizaje, los alumnos, aplicando las propiedades de la
derivación, resuelven ejercicios y problemas de derivación de funciones algebraicas y
trascendentes, señala la ecuación de la recta tangente y normal de una función en un
punto dado, haciendo uso del álgebra básica y de las representaciones gráficas en el plano
cartesiano y muestran sus aplicaciones en situaciones reales.
TEMARIO
• La derivada y sus aplicaciones
o Derivadas de funciones trascendentes o Aplicaciones de máximos y mínimos
ACTIVIDADES
• Reconoce y calcula la derivada de funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.
• Reconoce y evalúa los máximos y mínimos de funciones algebraicas y trascendentes.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
5
SEMANA
16
176
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
5.16 A DERIVADA Y SUS APLICACIONES
5.16.1 DERIVADA DE FUNCIÓN EXPONENCIAL
EJEMPLO:
1. Calcule y
Si axax
axax
ee
eey −
−
+−=
EXPONENCIAL DE BASE a
FUNCIÓN DERIVABLE)(xfu=adx
duaa
dx
d uu ln..)( = siendo una
II EXPONENCIAL DE BASE e
I
dx
duee
dx
d uu .)( =
notas
si
xaxf =)(
xexf =)(
aaxf x ln.)(' =
xexf =)('
MATEMÁTICA II 177
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
u=f(x) FUNCIÓN DERIVABLES EL INTERVALO
siendo
una enba,
DERIVADA DEL SENO
CASO PARTICULAR
1
)()( xsenxf = )cos()(' xxf =
dx
duusenu
dx
d.cos)( =
sí
Solución:
2)(
))()()(()))(()((axax
axaxaxaxaxaxaxax
ee
aeaeeeeeaeae
dx
dy−
−−−−
+−+−−+−−=
Simplificando:
22 )1(
4
+=
axe
ae
dx
dy
5.16.2 Derivada de funciones trigonométricas
178
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
DERIVADA DEL COSENO
CASO PARTICULAR
2
)cos()( xxf = )()(' xsenxf −=
dx
dusenuu
dx
d.)(cos −=
sí
DERIVADA DE LA TANGENTE
CASO PARTICULAR
3
)()( xtgxf = xxf 2' sec)( =
dx
duuu
dx
d.sec)(tan 2=
sí
MATEMÁTICA II 179
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
DERIVADA DE LA COTANGENTE
CASO PARTICULAR
4
)()( xctgxf = xecxf 2' cos)( −=
dx
duuctgu
dx
d.csc)( 2−=
sí
DERIVADA DE LA SECANTE
CASO PARTICULAR
5
)sec()( xxf = tgxxxf .sec)(' =
dx
dutguuu
dx
d..sec)(sec =
sí
DERIVADA DE LA COSECANTE
CASO PARTICULAR
6
)csc()( xxf = ctgxecxxf .cos)(' −=
dx
ductguuu
dx
d..csc)(csc −=
sí
180
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1cos22 =+ ααsen
αα 22cos1 sen=−
αα 22 cos1 =− sen
αα 22 sec1 =+ tg 1sec 22 =− αα tg
αα 22 csc1 =+ ctg 1csc 22 =− αα ctg
1. =αα ctgtg
1csc. =ααsen
1sec.cos =αα
ααα
cos
sentg =
ααα
senctg
cos=
αα
tgctg
1. =
αα
sen
1csc. =
αα
co
1sec. =
2
1
3
4
5
6
7
8
EJEMPLOS:
1. Dado π+−== tgxsenxxfy 3)( Halle )´(xf
Solución:
Utilizando la regla de la derivación:
)()()(3)´( πdx
dtgx
dx
dsenx
dx
dxf +−=
RECORDAR
MATEMÁTICA II 181
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
0seccos3´ 2 +−= xxf
2. Halle x
senxxfsif =
)(
4´
π
Solución:
Aplicando la regla de derivación: 2
´))(()´()´(
x
xsenxxsenxxf
−=
2)
4(
44cos
4)4
´( π
ππππ sen
f−
=
22
16
8
242
16
2
2
2
2
4)4
´(π
π
π
ππ
−
=−
=f
Producto de extremos entre productos de medios:
22
)242(2
8
)242(16)
4(´
ππ
πππ −=−=f
Por lo tanto, 2
)4(22)
4(´
πππ −=f
3. Si tgxxxf )1()( += Halle
4
´π
f
Sol. Derivando como un producto de funciones:
xxtgx
xxtgx
tgxdx
dxtgxx
dx
dxf
2
2
sec)1(
))(sec1()1(
)().1()1()´(
++=++=
+++=
23
221
2)4
1(1)2)(4
1(1
4sec)
41(
4)
4´(
2
2
ππ
ππ
ππππ
+=++=
++=++=
++=∴ tgf
182
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO
u=f(x)FUNCIÓN DERIVABLEY MAYOR QUE CERO
siendo
una
CASO PARTICULAR
1
)()( xLnxf =
xxf
1)(' =
dx
du
uLnu
dx
d.
1)( =
sí
5.16.3 Derivada de Función Logaritmo
Ejemplo
1. Halle y’ si
+++=
3 2
3 23 2
1
1cos.1
xtg
xxsenLny
Solución: Se tiene:
3 23 23 2 11cos1 +−+++= xLntgxLnxLnseny
+++−+
+++=
3 223 2
3 2
23 23 2
3 2
)1(3
2
1
1
)1(3
2
1
1cos´
x
x
xcox
xsen
x
x
xsen
xy
+++−=
3 223 2
3 22
)1(3
2
1
1sec´
x
x
xtg
xy
MATEMÁTICA II 183
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Simplificando:
++−=
3 2
3 2
13
212´
x
xxtgy Por tanto:
3 22
3 2
)1(3
14
++=
x
xxtg
dx
dy
2. Halle y’ Si 52
2
1
1
x
xLny
−+=
Solución:
)1(5
1)1(
5
1 22 xLnxLny −−+=
Derivando: )1(5
2
)1(5
2´
22 x
x
x
xy
−−−
+=
=dx
dy
)1(5
2
)1(5
222 x
x
x
x
−+
+ Simplificando
455
4
x
x
dx
dy
−=
3.. Si 5024
251
1
55
)xx(ee))x(tg(Ln)xcos(ey xcossenxx
+−−−++=
calcule y’ Solución:
5124
3
cos
cos
2
224
2
11
)1-()2-4(250
2
cos
10.5
5sec))5((5)
1-().cos(
2
1).(-'
++
−+
+++=
xx
xx
ee
senxexe
xxtg
xxtgLn
xex
xxseney
xsenx
xsenx
xx
5 Encuentre el valor de k ( k = constante ) para que la función
xexy 22
1= sea solución de la ecuación xeyyky =+′+′′
(Problema Propuesto) 6 Calcule :
f / (x), si ( )
+=3
33)( 23 xxsenLnxf
(Problema Propuesto)
184
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
7 Dadas las siguientes ecuaciones: (Problema Propuesto)
a) si 2
2
10
5)(
x
xxf
−−= , encontrar )3('f
b) Mostrar que: xxx ecececy 2321
−− ++=
satisface 022 '''''' =−−+ yyyy
MATEMÁTICA II 185
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
PROPIEDADES DE LOGARITMO
2
1
3
4
5
6
7
8
cLna =
aec =
cab
=log abc =
LnbLnaLnab +=
LnbLnab
aLn −=
BABAbbb
loglog log).( +=
xLnaLna x =
BAB
Abbb
loglog log −=
AnA bn
bloglog =
donde ....7182,2=e
aec =
5.16.4 PROPIEDADES DE LOGARITMOS DE CUALQUIER BASE
186
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
CASO PARTICULAR
2
xxfa
log)( =e
xxf alog
1)(' =
edx
du
uuLog
dx
daa log..
1)( =
sí
5.16.5 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a
EJERCICIOS SOBRE DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTA LES I. Halle la derivada de las siguientes funciones:
1. senx
e)x(f
x 1+=
2. xsenxxxg += 23)( 3. xxxh cos)( 2= 4. tgxxxI 3)( =
5. x
xxf
cos1
cos1)(
+−=
6. xsenxxf cos)1()( += 7. senxxxf )22()( +=
8. senxxxxg 22
11)( 2 +++=
MATEMÁTICA II 187
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
II. Calcule )4
´(π
f en las siguientes funciones.
1. )2()( σσ senf =
2. )2cos(2
1)( ϖϖ =f
3. )9
2( xseny
π=
4. ta
ayπ
cos−=
5. )21cos( σ−=s
6. 2
2
1)( αα tgf =
7. θθ senf =)(
8. θcos−=s
9. xtgy 24=
10. x
xy
cos1
cos1
−+=
188
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
III. Calcule la primera derivada en las siguientes funciones: 1) Senaxy = 12) θ−θ=θ Tg)(f
2) xy 2cos3=
13) Cosx.xSeny 2=
3) ttgs 3=
14) LnSenaxy =
4) 2
2v
Ctgu = 15) xCosLny 2=
5) xSecy 4=
16) Senbx
axey =
6) θ= aCscbQ 17) tCosey t 2−=
7) xSeny2
2
1=
18) 2
xtgLny =
8) tCoss 2= 19)
Senx
SenxLny
−+=
1
1
9) 3 3θ= TgQ
20) ( ) ( )aCos.aSeny −θ+θ=
10) Secx
y4
=
21) θ+θ−θ= TgTg)x(F3
31
11) Cosx.xy =
22) )x(Sen)x(F −π= 2
23) xx exey −=
24) Lntes t=