matematica libro

GOBIERNO NACIONALDELA REPBLICA DEL ECUADOR

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:!:::ilF{f',ll.ltSlslema Nacional deNivsla6in y Adffiisin

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SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIN Y ADMISIN . .

NIVELACIN GENERAL

Desarrollo del Pensamiento Tomo 3

Parte 1: Solucin de Problemas Parte 2: Creatividad

Alfredo Snchez Amestoy, Ph.D.

1 GOBIERNO NACIONAL DE LA REPBLICA DEL ECUADOR . - ~

SNNA Siatema Nacional de Nivelacin y Admisin

La presente publicacin ha sido elaborada a partir del documento Desarrollo del Pensamiento. Solucin de Problemas - 5to. nivel, y Desarrollo del Pensamiento. Creatividad - Bto. nivel del autor Alfredo Snchez Amestoy, Ph.D.

O SENESCYT, 2012

Desarrollo del Pensamiento, Tomo 3. Parte 1: Solucin de Problemas. Parte 2: Creatividad. Primera edicin - junio 2012

SENESCYT Whymper E7-37 y Alpallana Quito, Ecuador Telfonos: (593 2) 250-5656 / 256-47731250-5660

(593 2) 250-5661 / 250-56551250-5658

www.senescyt.gob.ec www.snna.gob.ec

ISBN: 978-9978-339-04-6 Derecho de autor: En trmite.

Diseo y arte final Miguel Dvila Henrry Ruales

Impresin Imprenta Mariscal

CONTENIDOS TOMO 111

CONTENIDO .................................................................................................................... .

PGINA INICIAL PARTE 1 ............................................................................................... .

INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO ....................................................... .

INTRODUCCIN A LA SOLUCIN DE PROBLEMAS ............................................ ..

Justificacin y Objetivos de la Unidad .................................................................. .

1 Caractersticas de un problema ................................................................... .

2 Procedimiento para la solucin de un problema .......................................... .

11 PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE ......................................... .


3 Problemas de relaciones de parte-todo y familiares ................................... ..

4 Problemas sobre relaciones de orden ......................................................... .

111 PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLE ......................................... .


5 Problemas de tablas numricas ................................................................... .

6 Problemas de tablas lgicas ........................................................................ .

7 Problemas de tablas conceptuales o semnticas ........................................ .

IV PROBLEMAS RELATIVOS A EVENTOS DINMICOS ........................................... .

Justificacin de la Unidad ........................................................................................... .

Objetivos de la Unidad ............................................................................................... ..

8 Problemas de simulacin concreta y abstracta ............................................ .

9 Problemas con diagramas de flujo y de intercambio ................................... .

1 O Problemas dinmicos. Estrategia medios-fines ........................................... .

V SOLUCIONES POR BSQUEDA EXHAUSTIVA ...................................................... .


11 Problemas de tanteo sistemtico por acotacin del error ............................ .

12 Problemas de construccin sistemtica de soluciones ............................... ..

13 Problemas de bsqueda exhaustiva. Ejercicios de consolidacin ............... .

PGINA INICIAL PARTE 2 .............................................................................................. .

INFORMACION GENERAL ACERCA DEL CURSO ....................................................... .

PRINCIPIOS DE LA CREATIVIDAD ......................................................................... ..

Justificacin ........................................................................................................... .

Objetivos de la Unidad ......... .................................................................................. .

3

5

6

8

8

9

17

25

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140

140

141

3

1 introduccin a la creatividad .......................................................................... 142

2 Estrategias para estimular la creatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

11 PENSAMIENTO DIVERGENTE Y CREATIVIDAD ....... ......................................... .... 160

Justificacin............................................................................................................. 160

Objetivos de la Unidad ........................................................................................... 161

3 Procesos de expansin que estimulan la creatividad .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . 162

4 Procesos de contraccin que estimulan la creatividad ........... ................ ....... 175

111 EXTENSIN DEL CAMPO .............. ............ ... ............ ..................... .... ........................ 187

Justificacin............................................................................................................. 187

Objetivos de la Unidad............................................................................................ 188

5 La extensin de la lgica para estimular la creatividad.................................. 189

6 Las transformaciones para estimular la creatividad ....... .................. ......... ..... 198

IV ACTIVACIN DE PROCESOS CREATIVOS ............................................................ 203

Justificacin............................................................................................................. 203


7 Ideas activadoras del pensamiento................................................................ 205

8 Ideas intermedias: trampoln.......................................................................... 209

9 Asociacin de ideas: palabras activadoras y cadenas de palabras .............. . 213

10 Cuestionamiento: anlisis de errores y opciones para corregirlos ............. ... 219

11 Cuestiona miento: reto de ideas y conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .. . . . . 223

V DESARROLLO DE LA INVENTIVA........ .................................................................... 227

Justificacin............................................................................................................. 227


12 Introduccin a la inventiva: Anlisis de inventos............................................ 229

13 Introduccin a la inventiva: Evaluacin de inventos....................................... 241

14 Cmo mejorar inventos concretos............... ... ................................................ 248

15 Invento de un objeto concreto........................................................................ 254

16 Mejora e invencin de constructos abstractos . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . 256

BIBLIOGRAFA................. ................................................................................................. 265

. 4

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

TOMO 111 PARTE 1

SOLUCIN DE PROBLEMAS

Alfredo Snchez Amestoy, Ph.D.

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO TOMO 111, PARTE 1 Solucin de Problemas

Queda prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio.

Profesor Titular Universidad Simn Bolvar

Director del Centro para Desarrollo e Investigacin del Pensamiento

Caracas, Venezuela Direccin electrnica:

[email protected]

1 5

J

INFORMACIN GENERAL ACERCA DEL CURSO

ORGANIZACIN DE LAS LECCIONES

El curso comprende trece lecciones agrupadas en cinco unidades sobre la temtica de la solucin de problemas:

La primera unidad es una introduccin a la solucin de problemas. Las cuatro unidades siguientes estn dedicadas a estrategias especficas para la

solucin de problemas basadas en aplicacin de un procedimiento general para la solucin de cualquier problema.

Las unidades estn divididas en lecciones. Cada leccin consta de:

Introduccin

Cuerpo

Cierre

- Qu conocemos acerca del tema? - Qu vamos a aprender?

- Construyamos el conocimiento - Organizamos el conocimiento proceso o concepto - Le damos sentido al conocimiento - Aplicamos el conocimiento -Extendemos, transferimos y generalizamos el conocimiento, y reflexionamos sobre su aprendizaje y aplicacin

- Concientizamos: Reflexionamos sobre lo aprendido, su utilidad y los valores y actitudes asociados al aprendizaje y a la vida

ENFOQUE Y ESTRATEGIA

Cul es el enfoque?

El enfoque obedece a nuestro lema: aprender haciendo y construyendo; aprender a aprender, con una visin sistmica, humana e integral de la persona, el aprendizaje y la vida.

La base operativa de esta concepcin del aprendizaje se sustenta en la metodologa de procesos, el desarrollo de las habilidades de pensamiento, la transferencia de procesos al aprendizaje, el constructivismo y el aprendizaje significativo.

Cul es la estrategia?

En cuanto a logros: monitorear el aprendizaje y estimular el desarrollo autnomo, para la conceptualizacin, el logro de imgenes mentales claras y diferenciadas; alcanzar el hbito de aplicar y extender cada proceso; es decir, se trabaja para alcanzar las competencias necesarias para utilizar los procesos espontneamente, con acierto y efectividad.

El aprendizaje se lograr:

6

Mediante la mediacin y el monitoreo del docente para lograr el desarrollo progresivo de la autonoma del alumno para aprender continuamente hasta lograr su independencia intelectual para pensar, optimizar, crear y actuar.

Mediante la aplicacin de los avances de la ciencia cognitiva, el constructivismo, el enfoque sistemtico, la mejora continua, el aprendizaje significativo y el desarrollo integral y humano.

A travs de la estimulacin adecuada, el aprendizaje gradual, y la verificacin y retroalimentacin permanentes.

ACTITUDES Y VALORES REQUERIDOS PARA APRENDER Y APRENDER A APRENDER

Reconocer las fortalezas y debilidades que se tienen y aprovecharlas para generar ideas, aportar soluciones, aprender del entorno y compartir con otros.

Aceptar sugerencias y orientaciones de docentes y compaeros con inters y humildad.

Actuar como gestores crticos y responsables del aprendizaje y del crecimiento personal.

Valorar el inters de docentes, familiares y amigos, en beneficio del crecimiento personal y social.

Mostrar disposicin para reflexionar sobre los logros alcanzados y los beneficios de aprender y aprender a aprender.

OBJETIVOS GENERALES

A travs del Desarrollo del Pensamiento el estudiante lograr las competencias requeridas para aprender y aprender a aprender, y para actuar como pensador analtico, crtico, constructivo y abierto al cambio, capaz de monitorear tu propio desarrollo y de entender y mejorar el entorno personal, familiar, social y ecolgico que le rodea. En tal sentido se precisa:

1) Desarrollar los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores asociados a los estilos de pensamiento convergente y divergente y al razonamiento lgico, critico y creativo, requeridos para desempearte con xito y satisfaccin en tus mbitos de competencia acadmica, familiar, social y ambiental.

2) Despertar en los docentes y estudiantes el inters y la disposicin para . monitorear el crecimiento propio y de otros, con una perspectiva sistmica, futurista, integral, dinmica, crtica, constructiva, humana y perfectible.

3) Valorar el papel que juega el pensamiento como herramienta indispensable para facilitar el desarrollo intelectual, social, moral y tico de las personas y para proyectar su mbito de influencia hacia s mismo, la sociedad y el medio.

ESTNDARES DE DESEMPEO DE LAS COMPETENCIAS A LOGRAR

Se utilizar una escala de 5 niveles para verificar el avance de los estudiantes en el desarrollo de las competencias del curso, la cual se describe a continuacin:

Nivel Desempeo

1. Tiene nocin del concepto, procedimiento o actitud que va a desarrollar.

2. Realiza o demuestra el desempeo esperado con la mediacin del docente.

3. Realiza o demuestra el desempeo esperado por su propia iniciativa.

4. Realiza o demestra el desempeo esperado por su cuenta y es capaz de corregir tus propios errores.

5. Realiza todo lo anterior y adems es capaz de guiar a otros, de tomar una decisin para introducir modificaciones en su trabajo y de crear nuevos escenarios o productos. Reconoce el valor y la utilidad de sus aprendizajes.

7

UNIDAD 1: INTRODUCCIN A LA SOLUCIN DE PROBLEM

JUSTIFICACIN

A travs de investigaciones se ha podido comprobar que es poca la informacin que tienen los alumnos acerca de lo que es un problema y de las estrategias ms efectivas para resolverlos.

Por tal razn dedicaremos esta primera unidad a identificar en base a sus caractersticas los enunciados que corresponden a un problema. Este proces contribuye a lograr una clara imagen o representacin mental del problema, bsica para alcanzar la solucin del problema luego de aplicar un procedimiento o estrategia.

La representacin mental del enunciado se consolida mediante la descripcin de ciertos elementos del problema tales como estados, operaciones, restricciones, preguntas, etctera.

Con la informacin obtenida generalmente se formulan relaciones y se aplican estrategias de repr~sentacin (como diagramas, tablas, grficas, etc.) que facilitan la comprensin de los procesos involucrados en la solucin del problema, los estados intermedios que conducen al estado final y las operaciones requeridas para alcanzar cada estado y lograr la solucin buscada.

En la etapa de representacin generalmente se visualizan y establecen nexos relevantes entre los datos del problema y los conocimientos de la materia requeridos para llegar a la solucin deseada. A travs de este anlisis es posible identificar las frmulas, las relaciones y las estrategias requeridas para lograr las respuestas pedidas.

Con frecuencia la solucin de problemas ha estado rodeada de mitos y creencias que obstaculizan el aprendizaje; se atribuyen a los problemas dificultades no justificadas que ms bien surgen de la falta de informacin acerca de lo que es un problema y de la variedad de estrategias que pueden utilizarse para resolverlos. Casi siempre esto es el resultado del desconocimiento que tienen los alumnos acerca de la naturaleza de los problemas y de la utilidad del uso de estrategias y la poca ejercitacin deliberada dirigida a reconocer los tipos de problemas y a desarrollar las habilidades requeridas para aplicar las estrategias apropiadas. De aqu la importancia de este curso sobre solucin de problemas.

OBJETIVOS

En esta unidad se presenta una definicin de problema, se identifican los tipos de datos presentes en el enunciado de un problema y se introduce el concepto de estrategia en solucin de problemas.

fl.... \t"a\lS de \a unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:

8

1. Analizar el enunciado de un problema e identificar sus caractersticas esenciales y los datos que se dan.

2. Elaborar estrategias para lograr la representacin mental del problema y llegar a la solucin que se pide.

3. Aplicar las estrategias previamente diseadas y verificar la consistencia de los resultados obtenidos.

LECCIN 1 CARACTERSTICAS DE LOS PROBLEMAS

Con frecuencia escuchamos enunciados como los que siguen:

1. Qu calamidad!, Jaimito aplaz la asignatura.

2. No s cunto dinero necesito para hacer la compra en el mercado del norte.

3. Un auto se desplaza a 50 Km por hora. Cunto demorar dicho auto en llegar a Telurio que se encuentra a 75 Km de distancia si no tiene ningn tropiezo?

En qu se asemejan los tres enunciados?

Ests de acuerdo en que los tres enunciados comunican un hecho?

El primer enunciado, que Jaimito aplaz la asignatura.

El segundo enunciado, que la persona que lo dice no sabe cunto dinero necesita.

Y el tercer enunciado que el auto se desplaza a 50 Km/h.

Ahora, Qu diferencias observas en la estructura de los tres enunciados?

Probablemente te referirs a que el tercero contiene una pregunta mientras que los dos primeros son afirmaciones directas. Ahora, Qu diferencias observas respecto al planteamiento del enunciado?

El primer enunciado es un hecho que es irreversible o final.

El segundo enunciado es tambin un hecho, sin embargo, podemos darnos cuenta que antes de ir al mercado la persona deber averiguar de una u otra manera la cantidad de dinero que debe llevar, de lo contrario perder su tiempo.

El tercer enunciado es directo en cuanto a que nos pide determinar el tiempo que tardar el automvil en llegar a Telurio.

Los enunciados segundo y tercero son diferentes respecto al primero en cuanto ellos nos plantean una interrogante.

Los enunciados segundo y tercero dan o aportan informacin. El segundo enunciado establece que va a ir de compras y que se dirigir al mercado del norte, mientras que el tercer enunciado establece que el auto viaja a 50 Km/h y que Telurio queda a 75 Km de distancia.

Los enunciados segundo y tercero los llamamos problemas. En base a sus caractersticas Cmo definiras lo que es un problema?

9

En base a las caractersticas debes haber planteado una definicin similar a la que sigue:

Definicin de problema

Un problema es un enunciado en el cual se da cierta informacin y se plantea una pregunta que debe ser respondida

Veamos algunos ejemplos adicionales. Consideremos los enunciados que siguen y responde las preguntas.

"Cul es el porcentaje de ganancia de una persona que invierte 5.000 Um (unidades monetarias) en mercancas y recauda 6.900 Um al venderla, sabiendo que sus gastos de venta y publicidad son de 800 Um?"

Qu informacin aporta?

Qu interrogante plantea?

A qu conclusin podemos llegar respecto a si es o no un problema?

"La paz es una condicin de vida que contribuye a mejorar las relaciones interpersonales."




"Las grandes ciudades son urbes superpobladas con gran diversidad de actividades comerciales y productivas, generalmente con grandes problemas de contaminacin. Cules son las principales causas de la contaminacin ambiental de las grandes ciudades?"




Prctica 1: Cules de los siguientes planteamientos son problemas y cules no? Justifica tu respuesta; para ello completa la tabla que sigue al listado de planteamientos.

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1. Mara no tom en cuenta los aspectos requeridos para comprar ese traje.

2. Cules son las variables que deberan tomarse en cuenta para evitar que una persona contraiga amibiasis?

3. Debemos conocer las causas que provocan la indisciplina de los estudiantes de la escuela de la comunidad.

4. La disciplina es producto del ambiente y se favorece mediante la adopcin de normas que todos estn dispuestos a aceptar y respetar.

5. Qu debemos hacer para evitar que Marlene cometa el mismo error en el futuro?

6. Cules suponen que son las causas que originaron la conducta irregular de Maritza?

Planteamiento Es un problema?

Justificacin Si No

1

2

3 . 4

5

6

Prctica 2: Plantea tres enunciados que sean problemas y tres que no sean problemas.

Enunciados que son problemas:

1. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-

Enunciados que no son problemas:

1. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-

11

Consideremos ahora los dos problemas que siguen:

1. Cuntos diccionarios marca "YOSE" de 40 Um (unidades monetarias) vendi Mara durante el da si recaud 800 Um por este concepto?

2. Qu debemos hacer para estimular la participacin de la comunidad en la solucin de sus necesidades?

Qu semejanza encuentras en estos dos problemas?

Qu diferencias presentan ambas situaciones?

Puedes resolver el primer problema? Cuntos diccionarios vendi? ________ _

Qu ocurre con el segundo problema?

A qu tipos de necesidades se refiere el problema? Son las mismas necesidades para todas las comunidades?

Para un mismo tipo de necesidad, Todas las comunidades deben resolverlo de la misma manera? Ser que la solucin depende de los recursos con que cuenta la comunidad?

Qu concluyes de la comparacin de los dos problemas respecto a la posibilidad de poderlos resolver directamente?

De esta conclusin se desprende que hay dos clases de problemas respecto al criterio de la posibilidad de solucin inmediata.

Clasificacin de los problemas en funcin de la informacin que suministran

Estructuradas

/' Problemas

' No estructurados El enunciado contiene la informacin necesaria y suficiente para resolver el problema.

El enunciado no contiene toda la informacin necesaria, y se requiere que la persona busque y agregue la informacin faltante.

En el caso de los problemas estructurados generalmente existe una solucin nica al problema con base a la informacin suministrada.

En el caso de los problemas no estructurados la bsqueda de la informacin est sujeta a la motivacin e inters de la persona que resuelve el problema, por tal razn es posible obtener soluciones que pueden ser muy diferentes entre s, incluso aun habiendo recolectado la misma informacin porque se pueden combinar los recursos de maneras diferentes.

12

Prctica 3: Plantea dos problemas estructurados y dos problemas no estructurados.

Enunciados de problemas estructurados:

1. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-

Enunciados de problemas no estructurados:

1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-

Volvamos al ltimo ejemplo de los dos problemas. Ambos enunciados aportan informacin. En el caso del primer enunciado tenemos la siguiente informacin:

Costo del diccionario "YOSE" 40 Um

Nombre de la vendedora Mara

Recaudacin total por concepto de la 800 Um venta del diccionario "YOSE"

Lo que se evidencia de esta tabla es que la informacin que aporta un enunciado de un problema viene expresada en trminos de una caracterstica la cual est asociada a su respectiva variable. La columna de la izquierda es la variable y la de la derecha es _la caracterstica.

En el caso del segundo enunciado, que como vimos es un problema no estructurado, la informacin se debe buscar o recolectar porque no viene completa en el problema. Sin embargo, podemos identificar variables. No tenemos caractersticas.

Tipos de necesidad de una comunidad

Tipos de participacin de la comunidad

Tipos de soluciones

Cuando tratemos de resolver este problema debemos recabar la informacin faltante. La variable "tipos de necesidades de una comunidad" pueden tener muchos valores posibles, por ejemplo, seguridad, vialidad, salud, educacin de adultos, educacin de jvenes, etc. De la misma manera podramos descomponer las otras variables de este problema no estructurado.

Si hablamos del peso del cuerpo, nos referimos a una variable. Si decimos que la variable peso puede tomar los valores desde tres hasta cien kilogramos, estamos hablando del rango de posibles valores de la variable peso.

Si decimos que Mara pesa 60 Kg, nos referimos a la caracterstica de Mara con la variable peso del cuerpo. Tenemos pues una variable, una caracterstica y la persona Mara. Est es como la etiqueta que define a que objeto, hecho o situacin donde se aplica la variable.

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Las variables y la informacin de un problema

Los datos de un problema, cualquiera que ste sea, se expresan en trminos de variables, de los valores de stas o de caractersticas de los objetos o situaciones involucradas en el enunciado. Podemos afirmar .que los datos siempre provienen de variables. Vale recordar que una variable es una magnitud que puede tomar valores cualitativos o cuantitativos.

Recordemos que las variables cuantitativas son las que tiene valores numricos, por ejemplo, edad, estatura, temperatura, etc.; mientras que las variables cualitativas son las que tiene valores semnticos o conceptuales, por ejemplo, color, gnero, estado de nimo.

Prctica 4: Completa la siguiente tabla en la cual se pide que des algunos valores posibles de la variable a la izquierda y que identifiques el tipo de variable.

Variable Ejemplos de posible.s valores de Tipo de variable

las variables Cualitativa Cuantitativa

Tipo de contaminante

Volumen

Humedad

Peso

Temperatura

Superficie

Color de la piel

Color del cabello

Estado de nimo

Expresin facial

Actitud hacia el estudio

Clima

Peligrosidad

Poblacin

Edad

Estatura

En este momento tambin podemos recordar otra caracterstica de las variables que es su aplicacin en el proceso de ordenamiento.

Las variables cuantitativas permiten establecer las relaciones llamadas de "orden". Con ellas se construye el ordenamiento natural. Para verificar la posibilidad del ordenamiento tenemos la prueba de "mayor que" o "menor que". Utilizando las relaciones de orden podemos construir secuencias progresivas crecientes o decrecientes. Si tenemos una secuencia progresiva creciente, si la caracterstica A respecto a una variable cuantitativa es mayor que la de B,

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entonces colocamos primero B y luego A; y si la secuencia es decreciente, entonces colocamos primero A y luego B. Todas las variables cuantitativas son ordenables.

Las variables cualitativas llevan a la formacin de clases cada vez que podemos asociar elementos que tengan la misma caracterstica cualitativa o semntica. Sin embargo, podemos establecer convenciones que nos permiten organizar elementos por ordenamiento; este es el caso del orden alfabtico, donde se ha acordado un orden o secuencia determinada para las letras del alfabeto, y podemos ordenar palabras de acuerdo a esa convencin. Esto determina su designacin como ordenamiento convencional.

Prctica 5: En cada una de las siguientes situaciones identifica las variables e indica los valores que puede asumir.

a. Un jardinero trabaja solamente los das hbiles de la semana y cobra 250Um por cada da. Cuntos das debe de trabajar la persona para ganar 1.000 Um a la semana?

Variable Valores -------------~ ------------

V aria ble Valores -----------b. Un terreno mide 6.000 m2 y se desea dividir en 2 parcelas, cuyas dimensiones sean

proporcionales a la relacin 3:5.

Variable Valores -----------

c. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta progresivamente, duplicndose cada 3 horas. Qu volumen ocupar al cabo de 15 horas?

Variable Valores ~--~-~~~~---

d. Una substancia ocupa un volumen inicial de 20 cm3, y el mismo aumenta progresivamente, incrementndose 10 cm3 cada dos horas. Qu volumen ocupar al cabo de 16 horas?

Variable Vlbtes --~--~......_~~~-------

Variable _____________ Valores ........ _________ _

e. Mara, Josefina, Patricia y Carmen son cuatro hermanas. Patricia es de menor estatura que Mara, pero ms alta que Carmen. La estatura de Josefina excede la de Mara en 5 cm. Cul hermana es la de menor estatura?

Variable Valores ------------Variable Valores

-------------~ --------------Cierre

Cul fue el tema de esta leccin?

Qu aprendimos en esta ~eccin?

15

Qu es un problema?

Cmo podemos clasificar los problemas, tomando en cuenta la informacin que nos dan?

Qu diferencias existen entre los dos tipos de problemas mencionados en clase?

Qu papel juegan las variables en el anlisis y la solucin de un problema?

Qu utilidad tiene lo aprendido en la leccin?

16

LECCIN 2 PROCEDIMIENTO PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMAS

Introduccin

Qu estudiamos en la leccin anterior?

Qu caractersticas debe tener un problema?

De qu manera se expresa la informacin en un problema?

En qu se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?

Qu tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?

Presentacin del proceso

Consideremos el siguiente ejercicio:

Ejercicio 1: Miguel necesitaba ropa y fue al Centro Comercial, para lo cual sac cierta cantidad de dinero de su alcanca. Vio unos bonitos pantalones y gasto el 50% de lo que llevaba para adquirirlos, luego compr una camisa que le cost 300 Um. Si al final le quedaron 200 Um que gast para invitar a unos amigos a comer. Cunto dinero sac de su alcanca?

Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos:

Tiene informacin?------------------ -

Tiene una interrogante que debemos responder? __________ _

Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema.

De qu trata el problema?

De una persona que va de compras con cierta cantidad de dinero; le sobra algo y lo consume en comida.

El segundo paso para continuar la resolucin del problema es preguntndonos: Qu datos aporta el enunciado? Cules son las variables y caractersticas?

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Variable: Cantidad de dinero inicial Caracterstica: Desconocida

Variable: Primera compra Caracterstica: Pantaln

Variable: Costo de la primera compra Caracterstica: 50% del dinero inicial

Variable: Segunda compra Caracterstica: Camisa

Variable: Costo de la segunda compra Caracterstica: 300 Um

Variable: Dinero despus de las compras Caracterstica: 200 Um

Variable: Destino del remanente Caracterstica: Pagar invitacin a comer

Muy bien. Hemos extrado todos los datos expresados en el problema.

En tercer lugar debemos analizar las relaciones que podemos plantear y las operaciones que podemos realizar. Esto es pensar en una estrategia para resolver el problema. Qu relacin podemos establecer entre el costo del pantaln y el dinero inicial?

A partir de la tercera variable de la lista podemos decir:

1. "El pantaln le cost la mitad del dinero inicial (50%) o, lo que es lo mismo, que el dinero inicial es el doble del costo del pantaln."

Otra relacin que podemos establecer es:

2. "Despus de comprar el pantaln le qued una cantidad de dinero igual a la mitad del dinero inicial."

Una tercera relacin a partir de la quinta y sexta variable sera: 3. "Con el dinero sobrante despus de comprar el pantaln se compr una camisa de

300Um y le quedaron 200 Um que gasto en la comida:"

Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera:

Dinero inicial = ? ~----------------,,,,,,,,,.,___ ________________ _ , ' ~llllllllll~ llllllllll~Hlft

50% pantaln

300 Um camisa

200Um comida

El cuarto paso es usar la relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia de solucin que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cmo queda esto:

De la segunda y tercera relaciones podemos sacar que:

La mitad del dinero inicial es igual a la suma de 300 Um y 200 Um, que son 500 Um

Luego, con la primera o segunda relaciones podemos plantear la siguiente operacin:

La cantidad de dinero inicial es el doble de la cantidad que qued despus de comprar el pantaln, La cual es de 500 Um. Por lo tanto, la cantidad de dinero inicial es de 1.000 Um.

El quinto paso es formular la respuesta:

La cantidad de dinero que sac de la alcanca fue 1.000 Um.

18

El sexto, y ltimo, paso del procedimiento es verificar si todo est correcto.

Muy bien. Lo que acabamos de ver es un procedimiento o estrategia que podemos aplicar para resolver cualquier problema. El procedimiento esta listado a continuacin. Verifica si esos fueron los pasos que seguimos en la resolucin del problema anterior.

Procedimiento para resolver un problema

1. Lee cuidadosamente todo el problema.

2. Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

3. Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solucin que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema.

4. Aplica la estrategia de solucin del problema.

5. Formula la respuesta del problema.

6. Verifica el proceso y el producto.

Crees qu es importante tener un procedimiento para la solucin de cualquier problema? Por qu?

Qu beneficio crees tiene aplicar este procedimiento?

Prctica del proceso

Es importante recordar que estas prcticas presentan problemas sencillos para resolver, pero que lo importante es seguir el procedimiento. Si lo seguimos de manera deliberada y en forma sistemtica, vamos a alcanzar la automatizacin del proceso, y por consecuencia, el desarrollo de la habilidad asocida al procedimiento o estrategia de resolucin de problemas.

Prctica 1: Luisa gast 500 Um en libros y 100 Um en cuadernos. Si tena disponibles 800 Um para gastos de materiales educativos, Cunto dinero le queda para el resto de los tiles escolares?

,.

1) Lee todo el problema. De qu trata el problema?

2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado.

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3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solucin que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema.

4) Aplica la estrategia de solucin del problema,

5) Formula la respuesta del problema.

6) Cul es el paso final en todos los procedimientos? Verificar el procedimiento y el producto. Seguiste todos los pasos en el orden del procedimiento? Verificaste si los datos eran los correctos o que no confundiste o intercambiaste algn nmero?

Las operaciones matemticas estn correctas?

'"Prctica 2: Mara compr 50 libros y pag 100 Um por cada uno. La editorial le hizo una~ rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta:

Cunto es el precio de lista?

Cunto pag Mara por los 50 libros?

..._Cunto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?






6) Verifica el procedimiento y el producto. Qu hacemos para verificar el resultado?

Prctica 3: Mara, Luis y Ana son hijos de Luca y Jos. Jos al morir deja una herencia que alcanza a 400 mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, ~ para la madre y el resto para repartirse en partes iguales entre los tres hijos y la madre. Qu cantidad de dinero recibir cada persona?



21


Podras representar el reparto del dinero de la herencia en el grfico que se da a la derecha?




,.. Prctica 4: Mara, Luis y Ana son hijos de Luca y Jos. Jos al morir deja una herencia que alcanza a 400mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, Y:z para la madre y el resto para repartirse entre los tres hijos y la madre, con la condicin que la hija menor, Mara, reciba el doble que los dems en esta parte. Qu cantidad de dinero recibir cada persona? ~ ~


22

En qu se diferencia este problema del anterior?

Si. Ahora uno de los hijos, Mara va a recibir el doble de lo que van a recibir sus dos hermanos y su madre de la parte que es para repartir (la otra mitad es completa de la madre).


3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solucin que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema. Trata de usar una representacin grfica como la usada en el problema anterior.




23

Reflexin

En esta leccin aprendimos que la solucin de los problemas debe hacerse siguiendo un procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para resolver el problema est en el paso tres donde debemos plantear relaciones, operaciones y estrategias para tratar de responder lo que se nos pregunta.

En las prximas unidades vamos a conocer varios tipos de problema, y vamos a practicar ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias concretas para cada tipo de problemas.

Cierre

Qu aprendimos en esta leccin?

Cul es el objetivo que se persigue al resolver un problema?

Cules son los pasos del procedimiento para resolver un problema?

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Crees qu son importantes todos los pasos? Por qu?

Qu crees que pueda ocurrir si olvidamos u omitimos algn paso del procedimiento?

Cmo ser ms fcil resolver un problema, comenzando a escribir frmulas de manera entusiasta o siguiendo el procedimiento? Por qu?

24

UNIDAD 11: PROBLEMAS DE RELACIONES CON UNA VARIABLE

JUSTIFICACIN

En esta unidad, como su nombre lo indica, se presentan problemas acerca de relaciones entre variables o caractersticas de objetos o situaciones. Dichas relaciones estn presentes en los enunciados de los problemas y pueden ser de diferentes tipos; la naturaleza de la relacin determina la estrategia particular a seguir para lograr la solucin del problema.

Una relacin es un nexo entre dos o ms caractersticas correspondientes a la misma variable. En el enunciado del problema se dan los valores de las variables que correspondan y se presentan los nexos entre stas; del anlisis de estos nexos surge el tipo de relacin y de ste la estrategia particular de representacin a utilizar para comprender el problema, lograr la imagen mental, y, en muchos casos, obtener la solucin.

Las variables, sus valores y sus relaciones conforman los datos de los problemas. Un dato puede ser una variable, un valor de una variable o una relacin entre dos variables o entre sus valores.

A pesar de que el enunciado de un problema siempre presenta relaciones entre sus datos, que como sabemos provienen de las variables, existen ciertos tipos de nexos que determinan clases especiales de problemas los cuales pueden agruparse y resolverse mediante estrategias particulares. De lo dicho se desprende que esta unidad, adems de lograr que los jvenes centren su atencin en la identificacin y el anlisis de las relaciones entre variables y caractersticas presentes en el enunciado de un problema, logra identificar estos tipos especiales de relaciones y de estrategias particulares.

En la unidad se presentan relaciones especiales de diferentes tipos: intercambio, parte-todo, causa-efecto, orden, pertenencia, equivalencia, familiares, etc.

OBJETIVOS

A travs de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:

1. Centrar su atencin en el enunciado del problema y en las relaciones entre sus datos

2. Identificar el tipo de relacin presente en el enunciado de un problema

3. Analizar los diferentes tipos de relaciones presentes en el enunciado de un problema y determinar la estrategia ms apropiada para enfocar su solucin de acuerdo al tipo de relacin.

4. Establecer relaciones entre las variables, sus valores y los datos de los problemas.

5. Valorar la utilidad del uso de estrategias en la solucin de problemas

25

LECCIN 3 PROBLEMAS DE RELACIONES DE PARTE-TODO Y FAMILIARES

1 ntrod uccin

Sobre qu trat la unidad anterior?

Qu caractersticas debe tener un problema?

Qu debe hacer una persona para resolver un problema?

En qu se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado?

Qu tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema?

Presentacin y prctica del proceso

La leccin anterior nos ense que debemos seguir una estrategia para resolver los problemas. Ejecutando los pasos de ese procedimiento garantizamos: primero, una comprensin profunda del problema; segundo, generamos las ideas y buscamos las relaciones, operaciones y estrategias particulares para resolver la incgnita que se nos plantea en el problema; y tercero, la correccin de eventuales errores mediante la verificacin del procedimiento y del producto del proceso.

~ ~ Ejercicio 1. Con una balanza de 2 platillos y slo 3 pesas de 1, 3, y 9 kilos respectivamente, podrs pesar objetos cuyos pesos sean cantidades exactas entre 1 kilo hasta 13 kilos. Se trata de identificar la pesa o grupo de pesas de las disponibles que podran colocarse en uno o los dos platillos para lograr un determinado equilibrio colocando el objeto en el platillo B. Se pueden combinar las pesas como se desee. Cmo se combinaran las pesas para colocarlas -todas o algunas de ellas- en ambos platillos para pesar 2, 5, 7, 10 y 11 kilos?

L ~

1) Lee todo el enunciado. De qu trata el problema?

De una balanza de dos platillos que se sirve para pesar hasta 13Kg usando solamente una o una combinacin de las tres pesas de 1, 3, y 9 Kg.

26

2) Cul es la incgnita del problema?

La incgnita es determinar la pesa o grupos de pesas que deben colocarse en el platillo A o en ambos platillos para equilibrar la balanza.

3) Qu relaciones o estrategias puedo derivar del enunciado del problema?

Primera, que tenemos una balanza de platillo que se equilibra cuando ambos platillos tiene el mismo peso.

Segunda, que cuento con 4 pesas con los valores de 1 Kg, 3Kg y 9Kg.

Tercera, que el objeto se coloca en el platillo B.

Cuarta, que tengo total libertad de colocar una o varias pesas en uno u otro platillo para lograr el equilibrio con el objeto.

Y quinta, que el peso del objeto puede calcularse conociendo el peso total del platillo.

4) Cmo podemos pesar?

Si colocamos en el platillo B objetos de 1 Kg, 3Kg y 9Kg podemos equilibrarlo colocando en el platillo A la pesa correspondiente al peso del objeto.

Si colocamos un objeto de 4Kg en el platillo A, Cmo podemos equilibrarlo?

No podemos hacerlo con una sola pesa, pero si podemos hacerlo colocando en el platillo A las pesas de 1 Kg y 3Kg juntas. De esta manera podemos pesar objetos cuyo peso sea igual a la suma de los pesos de dos pesas. De esta manera podemos pesar objetos de 4Kg, 1 OKg y 12Kg. Y si colocamos las tres pesas en el mismo platillo podemos equilibrar objetos de 13Kg.

Ya hemos completado formas de pesar objetos de 1, 3, 4, 9, 10, 12 y 13 Kg.

Pero cmo podemos hacer para pesar un objeto de 2Kg?

Ahora recordamos la estrategia que nos dice que tenemos total libertad para colocar las pesas. Si el objeto pesa 2Kg, puedo equilibrar la balanza colocando el objeto y la pesa de 1 Kg en el platillo B y la pesa de 3Kg en el platillo A porque la suma de los pesos en ambos platillos ser igual. Colocando el objeto y la pesa de 1 Kg en el platillo B podemos pesar 2Kg y 8 Kg colocando en el platillo A las pesas de 3Kg y 9Kg; y si colocamos el objeto y la pesa de 3Kg en el platillo By la pesa de 9Kg en el platillo A, podemos pesar 6Kg.

Nos falta averiguar Cmo podemos pesar objetos de 5Kg, 7Kg y 11 Kg?

En el ltimo caso acompaamos el objeto con una pesa, y podamos pesar objetos cuyo peso estaba por debajo del peso que tenamos en el platillo A. Eso lo podemos ampliar con otros pesos en el platillo A si colocamos en l dos pesas. As, colocando en A las pesas de 9Kg y 3Kg, y en B el objeto y la pesa de 1 Kg, podemos pesar un objeto de 11 Kg; y colocando en A las pesas de 9Kg y 1 Kg, y en B, el objeto y la pesa de 3Kg, podemos pesar un objeto de 7Kg

Ahora nos falta solamente como pesar 5Kg. Dndonos cuenta que 9Kg es igual a 5Kg + 4Kg, entonces podemos pesar un objeto de 5Kg ponindolo en el platillo B con las pesas de 3Kg y 1 Kg, que pesan combinadas los 4Kg, y el platillo A la pesa de 9Kg.

De esta manera podemos resumir todas las alternativas de pesado en una tabla indicando que muestre los kilogramos que se desean pesar, el contenido del platillo A y el contenido del platillo B.

27

Cantidad de Kg a pesar Platillo B Platillo A 1 Objeto Pesa 1Kg

2 Objeto + Pesa 1 Kg Pesa 3Kg 3 Objeto Pesa 3Kg

4 Objeto Pesas 3Kg y 1 Kg

5 Objeto + Pesas 3Kg y 1 Kg Pesa 9Kg 6 Objeto + Pesa 3Kg Pesa 9Kg 7 Objeto + Pesa 3Kg Pesas 9Kg y 1 Kg 8 Objeto + Pesa 1 Kg Pesa 9Kg 9 Objeto Pesa 9Kg

10 Objeto Pesas 9Kg y 1 Kg

11 Objeto + Pesa 1 Kg Pesas 9Kg y 3Kg 12 Objeto Pesas 9Kg y 3Kg

13 Objeto Pesas 9Kg, 3Kg y 1Kg

5) Para formular la respuesta a la interrogante de cmo se combinan las pesas para pesar 2, 5, 7, 10 y 11Kg, solamente tenemos que identificar en la tabla anterior la distribucin de pesas en cada uno de los platillos. Por ejemplo, para pesar un objeto de 2Kg. Lo colocamos en el platillo B junto con la pesa de 1 Kg, y en el platillo A colocamos la pesa de 3Kg. De la misma manera procedemos para las dems cantidades.

6) Por ltimo verificamos cada paso y los resultados de las operaciones.

De esta manera terminamos la solucin formal del ejemplo 1 que planteamos al inicio de esta clase. Seguimos paso a paso el procedimiento que aprendimos en la leccin 2. En este caso las relaciones que planteamos utilizaban el principio que el equilibrio de la balanza se alcanza cuando el peso total del platillo A es igual al peso total del platillo 8, y que esos pesos totales resultan de la suma de todos los pesos que hay en cada platillo.

Problemas sobre relaciones parte-todo

En este tipo de problema unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada, por esos se denominan "problemas sobre relaciones parte-todo".

Prctica 1. El precio de venta de un objeto es 700 Um. Este precio resulta de sumar su valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de 25% de su valor. Cunto es el valor inicial del objeto?

Qu hacemos en primer lugar?

Qu datos se dan?

28

De qu variable estamos hablando?

Qu se dice acerca del precio de venta del objeto?

Qu se pide?

Representacin del enunciado del problema:

Qu se extrae de este diagrama?

Qu se concluye?

Cunto es el valor del objeto?

Prctica 2. La medida de las tres secciones de un lagarto -cabeza, tronco y cola- son las siguientes: la cabeza mide 9 centmetros, la cola mide tanto como la cabeza ms la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. Cuntos centmetros mide en total el lagarto?

Cmo se describe el lagarto?

Qu datos da el enunciado del problema?

29

Qu significa que la cola mide tanto como la cabeza ms la mitad del cuerpo?

Escribe esto en palabras y smbolos:

Y qu se dice del cuerpo?

Vamos a escribir o a representar estos datos en palabras y smbolos: Medida del tronco = Medida cabeza + medida cola Medida del tronco = 9 cm + medida de la cola

Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:

Medida del tronco = 9 cm + 9 cm + mitad de la medida del cuerpo Medida del tronco = 18 cm + mitad de la medida del cuerpo

Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:

Medida del tronco _______________ .,A....-_ ----------------,.... " ~~-------~------,~-------...... ---------~ V V

Medida de medio tronco 18 cm

Qu observamos en el esquema? Cunto mide el tronco en total?

Entonces, Cunto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el esquema que sigue.

Cola Tronco Cabeza

Qu estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el problema?

Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas

Representemos las cantidades en el esquema

Veamos otro problema de relacin entre las partes y el todo.

30

'" Prctica 3. Un hombre lleva sobre sus hombros un nio que pesa la mitad que l; el nio, al mismo tiempo, lleva un perrito que pesa la mitad que l, y el perrito lleva accesorios que pesan la mitad que l. Si el hombre con su carga pesa 120 kilos, Cunto pesa el hombre sin carga alguna?

Qu debemos hacer para resolver el problema?

Qu se pregunta?

Qu observan en los datos? Cul es el todo y cules son las partes?

Cmo podemos representar estos datos?

Cmo lo expresamos en palabras?

Qu relacin existe entre el peso del hombre y la totalidad de la carga?

Cmo calculamos el peso del hombre?

Cunto pesa el hombre?

Qu debemos hacer una vez que conocemos el resultado?

31

Problemas sobre relaciones familiares

En esta parte de la leccin se presenta un tipo particular de relacin referido a nexos de parentesco entre tos diferentes componentes de la familia

Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio tiJ para desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstraccin y es esta la razn por la cual se incluye un tema en ta leccin que nos ocupa.

Prctica 4. Mara muestra el retrato de un seor y dice:

"La madre de ese seor es la suegra de mi esposo." Qu parentesco existe entre Mara y el seor del retrato?

Qu se plantea en el problema?

Qu personajes figuran en el problema?

Qu relaciones podemos establecer entre estos personajes?

Completa las relaciones en la representacin. La de Suegra-Yerno ya est indjoda.

Madre del seor .........__ .....------del retrato - .._ "-.suegra- Yerno ... ' .._ , " \ Seor del Esposo Mara

retrato de Mara

t ~, ~ '.... -- ,

' --------- -----Relacin desconocida .6.

1 - J

Qu se observa en el diagrama con respecto a Mara y el seor del retrato? Qu tienen en comn?

32

Qu relacin existe entonces entre ambas personas?

Respuesta del problema:

Qu hicimos en este ejercicio?

Qu tipo de estrategia utilizamos?

Prctica 5. Un joven llego de visita a la casa de una dama; un vecino de la dama le pregunt quin era el visitante y ella le contest:

"La madre de ese joven es la hija nica de mi madre." < ~

Qu relacin existe entre la dama y el joven?


A qu personajes se refiere el problema?

Qu afirma la dama?

Qu significa ser hija nica? .

Representacin:

Respuesta:

Prctica 6. Un hombre dice, sealando a otro:

"No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre"

Qu parentesco hay entre "ese hombre" y el que habla?

33


Pregunta:

Representacin:

Respuesta:

Prctica 7. Luis dice: A quien visit Luis?

"Hoy visit a la suegra de la mujer de mi hermano".


Pregunta:

Representacin :

Respuesta:

34

Practica 8. Antonio dice: "El padre del sobrino de mi to es mi padre". Qu parentesco existe entre el padre del sobrino y el to de Antonio?


Pregunta:

Representacin:

Respuesta:

Cierre

Qu clases de problemas estudiamos en esta leccin?

Qu diferencias existen entre los diferentes problemas?

Qu hicimos para re~olver los problemas de este tipo?

Cul fue la variable en cada caso?

Qu estrategia seguimos para resolver estos problemas?

Crees que la estrategia estudiada tiene utilidad? Por qu?

35

LECCIN 4 PROBLEMAS SOBRE RELACIONES DE ORDEN

Introduccin

Sobre qu trat la leccin anterior?

Qu caractersticas tiene un problema con relaciones parte-todo?

Qu debe hacer una persona para resolver un problema de relacin parte-todo?

En qu se diferencian un problema parte-todo de uno de relaciones familiares?

Qu tipos de variables nos encontramos en el enunciado de estos problemas?


Vamos a iniciar el trabajo de esta leccin con un ejercicio.

Ejercicio 1. Jos es ms bajo que Patricio, pero ms alto que Manuel. Manuel a la vez es ms bajo que Jos, pero ms alto que Rodrigo. Quin es ms alto y quin le sigue en estatura?

Qu debemos hacer en primer lugar?

Leer todo el problema.

A qu aspecto o variable se refiere el problema?

Qu tipo de variable es?

En qu forma se expresa la informacin relativa a las estaturas?

Muy bien. Seguramente identificaste que el enunciado se refiere a la variable estatura de ciertas personas, que es una variable cuantitativa y que la informacin est expresada en trminos de relaciones de orden ( ... ms o menos alto que .. . ). Qu hacemos luego?

36

Podemos aplicar una estrategia de representacin que nos va a facilitar la comprensin y la solucin del problema.

La representacin puede hacerse de la siguiente manera: se traza una lnea o eje vertical, se fija sobre esta lnea un punto de referencia u origen a partir del cual se representan los valores de la variable; se coloca una flecha sobre la lnea vertical para indicar el sentido creciente de la variable cuyo nombre se escribe al lado de la punta de la flecha. Esto quiere decir que ms cerca de la flecha (arriba) es de mayor estatura, y ms lejos de la punta de la flecha es de menos estatura (abajo).

Estatura

Luego leemos el problema parte por parte y vamos aplicando la estrategia, esto es, vamos representando los datos. Podemos utilizar las iniciales de los nombres de las personas para hacer la representacin.

Cul es la primera relacin que encontramos en el problema?

"Jos es ms bajo que Patricio pero ms alto que Manuel".

Podemos ubicar Jos en algn punto de la lnea o eje, lo cual significa que el tiene una estatura.

Luego, como Jos es ms bajo que Patricio eso quiere decir que Patricio debe estar ubicado por arriba de donde ubicamos a Jos. Eso podemos leerlo Jos es ms bajo que Patricio, o Patricio es ms alto que Jos. Y luego, como Jos es ms alto que Manuel, ste debe estar ubicado abajo de la posicin donde ubicamos a Jos.

Estatura

Patricio

Jos

Manuel

Hasta ahora hemos logrado disear una estrategia que nos permite representar la informacin que nos da el problema en un grfico, esto es, pasamos de relaciones de orden a una representacin grfica.

Cul es la prxima relacin que nos da el problema?

"Manuel a la vez es ms bajo que Jos, pero ms alto que Rodrigo".

La relacin dice que Manuel es ms bajo que Jos. Eso ya lo tenemos representado en el grfico. Sigue la relacin indicando que Manuel es alto que Rodrigo. Eso significa que debemos ubicar a Rodrigo de forma tal que la ubicacin de Manuel est por encima, es decir, ms arriba que la de Rodrigo. Para eso solo tenemos que ubicarlo en la parte inferior de la lnea o eje, tal como se indica en el grfico de la derecha. Ya hemos agotado las relaciones que nos dan informacin. El grfico de la derecha contiene toda la informacin que suministra el enunciado del problema.

Estatura

Patricio

Jos

Manuel

Rodrigo

Ahora que hemos completado el grfico, Podemos contestar quin es el ms alto y quin le sigue en estatura? Si. Inspeccionando el grfico vemos que el de mayor estatura (persona ms alta) es el que est ms arriba, es decir, Patricio, y le sigue en estatura Jos.

El ltimo paso es la verificacin. Esta estrategia de representacin grfica facilita la verificacin de las relaciones que estn planteadas en el enunciado del problema, y de la inspeccin para determinar el resultado.

37

Hemos seguido los seis pasos del procedimiento para resolver problemas con una estrategia de representacin de relaciones de orden basadas en variables cuantitativas. A esta estrategia de resolucin de problemas la llamamos representacin en una dimensin.

Representacin en una dimensin

La estrategia utilizada se denomina "Representacin en una dimensin" y como ustedes observaron permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.

Qu utilidad tiene esta estrategia?

Qu papel juega la variable en estos problemas?

En qu casos se puede usar esta estrategia?

Reflexin

Los problemas de esta leccin involucran relaciones de orden. Dichos problemas se refieren a una sola variable o aspecto, el cual generalmente toma valores relativos, o sea que se refieren a comparaciones y relaciones con otros valores de la misma variable; por ejemplo cuando decimos "Juan es ms alto que Antonio" nos estamos refiriendo a la variable o aspecto estatura y estamos dando la estatura de Juan, pero con relacin a la estatura de Antonio; no sabemos cunto mide Juan ni cunto mide Antonio.

Prctica 1. En el trayecto que recorren M~rcedes , Julio, Paula y Jos al trabajo, Mercedes camina ms que Julio. Paula camina ms que Jos, pero menos que Julio. Quin vive ms lejos y quin vive ms cerca?

Representacin:

Respuesta:

38

Prctica 2. Juana, Rafaela, Carlota y Mara fueron de compras al mercado. Carlota gast menos que Rafaela, pero ms que Mara. Juana gast ms que Carlota pero menos que Rafaela. Quin gast ms y quin gast menos?

Representacin:

Respuesta:

Prctica 3. Luisa tiene ms dinero que Antonia pero menos que Jos. Pedro es ms rico que Luisa y menos que Jos. Quin es el ms rico y quin posee menos dinero?

Variable:

Pregunta:

Representacin:

Respuesta:

39

Ejercicio 2. Ramrez y Pea son ms jvenes que Sandoval. Gutirrez es menor que Pea, pero mayor que Ramrez. Quin es el ms joven y quin le sigue en edad?


Leer el problema

A qu variable se refiere el problema?

La edad de varias personas

Qu debemos hacer a continuacin?

Como la edad es una variable cuantitativa y el problema est expresado en relaciones de orden, podemos usar la estrategia de "representacin en una dimensin". Dibujemos el eje para la variable edad.

Edad

1 )

La primera relacin de orden establece que "Ramrez y Pea son ms jvenes que Sandoval". Colocamos a Sandoval. Sin embargo, no podemos ubicar a Ramrez y Pea. Solo sabemos que son ms jvenes, es decir, que estn ubicados a la izquierda de Sandoval.

1 V"

Ramrez y Pea

Sandoval

1 Edad

)

En este momento solo anotamos la informacin concreta que tenemos, y postergamos la informacin que no podemos ubicar hasta que encontremos alguna otra informacin que nos ayude a ubicarla.

Luego leemos la prxima relacin: "Gutirrez es menor que Pea pero mayor que Ramrez". Esto nos permite ordenar estas tres personas. De menor a mayor ellas estn ubicadas en el orden siguiente: Ramrez, Gutirrez y Pea.

1 1 1 Ramrez Gutirrez Pea

Pero Dnde ubicamos este tro? Para responder esta pregunta debemos recordar la informacin que postergamos en el paso anterior. Ramrez y Pea son menores que Sandoval. As que los tres deben ubicarse a la izquierda de Sandoval.

Sandoval Edad

Ramrez Gutirrez Pea

Muy bien. Ya hemos vaciado toda la informacin del enunciado en la representacin grfica de anterior. Por inspeccin podemos concluir la respuesta a la pregunta:

"Ramrez es el ms joven y le sigue en edad Gutirrez"

40

En el ejercicio anterior el problema se plantea con relaciones de orden con variables de valores relativos como en el caso anterior; la nica diferencia entre este ejercicio y las prcticas anteriores est en los enunciados, los cuales presentan ciertas inversiones en la forma de presentar los datos.

Estrategia de postergacin

Esta estrategia adicional llamada de "postergacin" consiste en dejar para ms tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la informacin y nos permita procesarlos.

Prctica 4. Mercedes est estudiando idiomas y considera que el ruso es ms difcil que el alemn. Piensa adems que el italiano es ms fcil que el francs y que el alemn es ms difcil que el francs. Cul es el idioma que es menos difcil para Mercedes y cul considera el ms difcil?

Variable:

Representacin:

Respuesta:

Prctica 5. Roberto y Alfredo estn ms tristes que Toms, mientras que Alberto est menos triste que Roberto, pero ms triste que Alfredo. Quin est menos triste?

Variable:

Representacin:

Respuesta:

41

Casos especiales de la representacin en una dimensin

Finalmente, hay un ltimo elemento, relacionado con el lenguaje, el cual puede hacer parecer confuso un problema debido al uso cotidiano de ciertos vocablos o a la redaccin del mismo. En este caso se hace necesario prestar atencin especial a la variable, a los signos de puntuacin y al uso de ciertas palabras presentes en el enunciado.

Prctica 6. Pedro y Ramiro son mejores que Surez en sus habilidades para golear. La destreza como goleador de Garca puede deducirse del nmero acumulativo de goles que lleva durante el ao, el cual es inferior al de otros miembros del equipo como Pedro que duplica dicho nmero. Garca supera a su compaero de equipo Ramiro. Quin tiene el peor desempeo como goleador? Quin le sigue en tan pobre actuacin?

A qu variable se refiere el problema?

Que se dice acerca de la variable?

Qu palabras lucen confusas en el enunciado?

Primero establece la variable como la "habilidad goleadora"; luego da como variable "nmero de goles" y nos lleva a inferir que a mayor nmero de goles se tiene una mayor habilidad goleadora; tambin, afirma que Garca supera a su compaero de equipo Ramiro, tambin forzndonos a inferir que es en la habilidad goleadora; por ltimo, nos lleva a inferir que una pobre actuacin est asociada a una mala habilidad goleadora. Todas estas son complicaciones que nos obligan a tener especial atencin a la variable, a los signos de puntuacin y al uso de las palabras en el enunciado.

Qu debemos hacer ahora que tenemos todo esto claro?

Representacin:

Respuesta:

42

PI

Prctica 7. Juan naci 2 aos despus de Pedro. Ral es 3 aos mayor que Juan. Francisco es 6 aos menor que Ral. Alberto naci 5 meses despus que Francisco. Quin es el ms joven y quin es el ms viejo?

Variable:

Pregunta:

Representacin:

Respuesta: .

Cules fueron las dificultades en el enunciado de esta prctica?

Qu diferencia hay si resolvemos la prctica usando como variable la "edad" o el "ao de nacimiento"?

...

Prctica 8. Dara naci 15 aos despus que Patricio. Said triplica la edad de Patricio. Dinorah, aunque le lleva muchos aos de diferencia a Dara, naci despus que Patricio. Alfredo, to de Dara, es menos viejo que Said, pero mucho menos joven que Patricio. Cul de los cinco es el mayor y cul es el menor?

Variable:

Pregunta:

43

Representacin:

Respuesta:

Cules fueron las dificultades en el enunciado de esta prctica?

1 Precisiones acerca de las tablas

En este tipo de problemas existe una variable sobre la cual se centra el mismo. Es siempre una variable cuantitativa que sirve para plantear las relaciones de orden que vinculan dos personas, objetos o situaciones de los incluidos en el problema. Por ejemplo, en el Ejercicio 1 de esta leccin la variable era "estatura" y Jos, Patricio, Manuel y Rodrigo eran los sujetos incluidos en el problema. Jos, Patricio, Manuel y Rodrigo son valores de otra variable llamada "nombre". La variable estatura "depende" de cual valor de la variable nombre he seleccionado. Por tal razn llamamos a la variable "estatura" variable dependiente. Y por complemento, a la variable "nombre" la llamamos variable independiente.

En cierto sentido la variable "nombre" queda fija al seleccionar los personajes del problema. En cambio, la variable estatura depende de cual joven estamos considerando.

La pregunta o incgnita del problema se formula alrededor de la variable dependiente, por ejemplo, en este caso la pregunta es "Quin es el ms alto?" la cual se refiere directamente a la variable estatura.

Cierre

Qu hicimos en esta leccin?

44

1

1

Por qu se llama representacin en una dimensin?

Y cmo son las variables en este tipo de problemas?

Qu utilidad tiene la estrategia estudiada?

Cmo reconocera los problemas que se resuelven aplicando la estrategia "representacin en una dimensin?

Qu le ensearas a una persona que resuelve problemas en forma no planificada?

Cules encargos le haras a una persona para que minimice sus errores al resolver problemas?

45

UNIDAD 111: PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES

JUSTIFICACIN

JUSTIFICACIN

En la presente leccin se plantean problemas que involucran relaciones simultneas entre dos variables y se pide una respuesta que corresponde a una tercera variable que resulta de las relaciones previamente mencionadas. En este tipo de problemas la estrategia ms apropiada para obtener las soluciones es la construccin de tablas. De las tres variables que se dan, dos son cualitativas y permiten construir la tabla y la tercera puede ser cualitativa, cuantitativa o lgica, segn el tipo de respuesta que se pide encontrar y los datos dados en el problema. Esta tercera variable siempre est incluida en la pregunta del problema y se utiliza para llenar las celdas o los cuadros de la tabla.

Las lecciones de esta Unidad se refieren a los tres tipos de problemas antes mencionados: relaciones numricas, relaciones lgicas entre dos o ms variables y relaciones entre conceptos. El primer tipo de problema se resuelve mediante la construccin de Tablas Numricas; el segundo tipo de problema se apoya en las Tablas Lgicas y el tercer tipo se trabaja con Tablas Semnticas o conceptuales; en el primer tipo de tablas se registran en las celdas cantidades o nmeros, en el segundo tipo relaciones lgicas y en el tercero conceptos.

Las tablas son instrumentos muy tiles para resolver problemas pues permiten organizar la informacin, visualizar el problema y constituyen una especie de memoria externa que nos ayuda a mantener el record de algunos elementos de informacin que a veces deben de postergarse para relacionarse con datos que se dan posteriormente o que se infieren durante el proceso de resolucin de los problemas.

OBJETIVOS

A travs de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:

46

1. Reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la leccin y las estrategias ms apropiadas para resolverlos.

2. Aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediante tablas numricas, lgicas y conceptuales.

3. Resolver problemas que involucren dos o ms variabtes simultneamente.

LECCIN 5 PROBLEMAS DE TABLAS NUMRICAS

Introduccin

Sobre qu trat la unidad anterior?

Qu tipos de relaciones se usaban en los problemas de la unidad anterior?

Qu tiene en comn todas los tipos tje estrategias que vimos en la unidad anterior?

Cmo eran los diagramas en los problemas de relaciones parte-todo y relaciones familiares?

En qu consiste la estrategia de representacin en una dimensin?

Cmo eran los diagramas en los problemas de relaciones de orden?

En qu consiste la estrategia de postergacin en la solucin de un problema?


En esta leccin continuamos el estudio de estrategias para la solucin de problemas. Veamos a continuacin otro ejemplo de problema.

~ ~

Ejercicio 1. Rita, Eisa y Pedro tienen un club para compartir discos de msica y pelculas. Entre los tres tienen 20 objetos, de los cuales 14 son discos de msica y 6 pelculas. Rita tiene 3 discos de msica y Eisa tiene el mismo nmero de pelculas. Eisa tiene en total tres objetos ms que Rita. Cuntos objetos tipo discos de msica tiene Eisa, y cuantos objetos tipo pelculas tiene Pedro si Rita tiene 5 objetos en total? ~ ~

Tenemos un enunciado que da informacin y plantea una interrogante, Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar dos cosas: primero, que la informacin no est suministrada en trminos de relaciones de orden; y segundo, que la variable central es nmero de objetos y requiero de dos calificativos para poder precisarlo, el tipo de objeto y la persona a la cual pertenecen los objetos.

De lo expuesta anteriormente podemos concluir que la estrategia "representacin en una dimensin" no nos sirve. La razn principal es que la variable cuantitativa depende de dos

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variables. Por ejemplo, el primer 3 son objetos de Rita y son del tipo disco de msica. Para resolver esto podramos pensar en una cuadrcula donde por un lado ponemos el dueo y por otro lado ponemos el tipo de objeto, y en el centro en nmero de objetos. Veamos lo que queremos decir:

~ Rita Eisa Pedro . Discos de 3 msica Pelculas

En cada cuadro sombreado puedo colocar el nmero de objeto, del tipo a que corresponde y de la persona a que pertenece. Sin embargo, en el problema hablan de un total de discos de msica o del total de objetos de una de las personas. Para representar esto podramos aadir otra lnea vertical de cuadros que llamamos "columna" y otra lnea de cuadros horizontal que llamamos "fila" las cuales sirviera para colocar los totales. En el caso de las columnas, la el recuadro o celda inferior correspondera al total de objetos de la persona que encabeza la columna; y en el caso de las filas, la celda del lado derecho correspondera al total de objetos del tipo de objeto indicado en el lado izquierdo. La celda en el extremo inferior derecho es como un total de totales, o, simplemente el nmero total de objetos sin distingos de tipo o dueo. El nuevo recuadro quedara como sigue:

Nombre Tipo obj.

Discos de msica

Pelculas

Total

Rita Eisa Pedro Total

Ahora leemos el problema parte por parte, y vaciamos la informacin del problema en el cuadro que tenemos preparado.

~ Rita Eisa Pedro Total . Discos de 3 14 msica )

Pelculas 3 6

Total X X+3 20

Todas las informaciones pueden asentarse en el cuadro. Solamente la ltima informacin dice que "Eisa tiene en total tres objetos ms que Rita", Como no sabemos el total de objetos de Rita, ponemos una X para recordar la informacin. Esto no es ms que una aplicacin de la estrategia de postergacin que habamos estudiado en la unidad anterior a este tipo de problemas.

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Cuando leemos la pregunta nos informa que la solucin que buscamos es para el caso que Rita tenga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar la X por un 5, y la X+3 por un 8.

~ Rita Eisa Pedro Total . Discos de 3 14 msica Pelculas 3 6

Total 5 8 20

Los recuadros o celdas que no estn an llenas podemos calcularlos recordando que los totales son las sumas de las filas o columnas. As, Si Rita tiene 5 objetos y 3 son discos de msica, entonces tiene 2 pelculas. Si Eisa tiene 8 objetos y 3 son pelculas, entonces tiene 5 discos de msica. Si Rita y Eisa tienen 2 y 3 pelculas respectivamente, y el total de pelculas es de 6, entonces Pedro debe tener 1 pelcula. Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro, y queda como sigue:

~ Rita Eisa Pedro Total . Discos de 3 5 6 14 msica Pelculas 2 3 1 6

Total 5 8 7 20

Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Eisa tiene 5 discos de msica y Pedro tiene 1 pelcula. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y que la inspeccin es la que corresponde.

La bsqueda de una respuesta para este problema nos permite formalizar una nueva estrategia para la solucin de problemas en los cuales existe dependencia de dos variables. El recuadro que estructura la estrategia lo denominamos tabla numrica, y a la estrategia de solucin del problema la llamamos representacin en dos dimensiones.

A diferencia de los problemas formulados con una variable cuantitativa dependiente, una variable cualitativa independiente y relaciones de orden entre las caractersticas que resolvimos en la unidad anterior, ahora se trata de problemas con una variable cuantitativa dependiente, dos variables cualitativas independientes y relaciones que definen caractersticas de la variable dependiente. Antes era relaciones de orden producto de comparaciones relativas del tipo "Pedro es ms alto que Jos", ahora son relaciones absolutas que definen la caracterstica de la variable cuantitativa del tipo "El nmero de pelculas de Eisa es 3.

La estrategia particular (a la que se hace referencia en el paso cuarto del Procedimiento para resolver un problema de la Leccin 2) que se utiliza en este caso es la representacin mediante tablas numricas; las tablas son reticulados que tienen filas y columnas, las cuales determinan celdas. En las filas y las columnas se representan los tipos de variables consideradas, y en las celdas sombreadas con gris se insertan los nmeros que son la caracterstica de la variable dependiente. Estos valores son producto de las relaciones absolutas con las caractersticas

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correspondientes al par de variables independientes. Las celdas en el entorno exterior a la zona sombreada corresponden a totalizaciones de filas y columnas, que es una caracterstica propia de estas tablas. Recorriendo la totalidad de celdas en la tabla podemos visualizar y relacionar todos los posibles valores dados en la tabla, obtener datos faltantes y responder la pregunta del problema.

Estrategia de representacin en dos dimensiones: tablas numricas

Esta es la estrategia aplicada en problemas cuya variable central cuantitativa depende de dos variables cualitativas. La solucin se consigue construyendo una representacin grfica o tabular llamada "tabla numrica".

Prctica del proceso

~ ~ Prctica 1. Elena, Mara y Susana estudian tres idiomas (francs, italiano y alemn), y entre las tres tienen 16 libros de consulta. De los cuatro libros de Elena, la mitad son de francs y uno es de italiano. Mara tiene la misma cantidad de libros de Elena, pero solo tiene la mitad de los libros de francs y la misma cantidad de libros de italiano que Elena. Susana tiene tres libros de alemn, pero en cambio tiene tantos libros de italiano como libros de alemn tiene Mara. Cuantos libros de francs tiene Susana y cuntos libros de cada idioma tienen

..._entre todas? _..,j


Cul es la pregunta?

Cules es la variable dependiente?

Cules son las variables independientes?

Representacin:

i~ 1

I

1

Respuesta:

50

~ ~

Prctica 2. Tres muchachas Nelly, Esteta y Alicia tienen en conjunto 30 prendas de vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas y pantalones. Nelly tiene tres blusas y tres faldas, Alicia que tiene 8 prendas de vestir tiene 4 blusas. El nmero de pantalones de Nelly es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Nelly. La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Nelly Cuntas faldas tiene Estela? ~ ~


Cul es la pregunta?



Representacin:

Respuesta:

Las tablas numricas

Las tablas numricas son representaciones grficas que nos permiten visualizar una variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la representacin sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer totalizaciones (sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensin entre cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. Tambin a deducir valores faltantes usando operaciones aritmticas.

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... Prctica 3. Las hijas del seor Gonzlez, Clara, Isabel y Belinda tienen 9 pulseras y 6 anillos, es decir, un total de 15 accesorios personales. Clara tiene 3 anillos. Isabel tiene tantas pulseras como anillos tiene Clara y, en total, tiene un accesorio ms que Clara, que tiene 4. Cuntas pulseras tienen Clara y Belinda?


Cul es la pregunta?



Representacin:

Respuesta:

Tablas numricas con ceros

En algunos casos ocurre que para algunas celdas no se tienen elementos asignados. Por ejemplo, si hablamos de hijas e hijos en varios matrimonios, y decimos que Yolanda es la hija nica del matrimonio Prez, eso no significa que la celda de hijos correspondiente al matrimonio Prez est vaca o le falta informacin, lo que significa es que a esa celda le corresponde el valor numrico "O" cero, porque al ser Yolanda hija nica significa que los Prez tiene solo una hija, y es hembra. A veces confundimos errneamente la ausencia de elementos en una celda con una falta de informacin; si hay ausencia de elementos, entonces la informacin es que son cero elementos.

Vamos a continuar nuestra prctica incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numrico cero.

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Prctica 4. Tres matrimonios, de apellidos Prez, Gmez, y Garca, tienen en total 1 O hijos. Yolanda, que es hija de los Prez, tiene slo una hermana y no tiene hermanos. Los Gmez tienen un hijo varn y un par de hijas. Con la excepcin de Mara, todos los otros hijos del matrimonio Garca son varones. Cuntos hijos varones tienen los Garca?


Cul es la pregunta?

Cules es la variable dependiente1?


Representacin:

Respuesta:

~ ~

Prctica 5. En las casas de Mara, Juana y Paula hay un total de 16 animales domsticos, entre los cuales hay 3 perros, doble nmero de gatos, y adems canarios y loros. En la casa de Juana aborrecen a los perros y a los loros, pero tienen 4 gatos y 2 canarios (con mucho miedo). En la de Paula slo hay un perro y otros 2 animales, ambos gatos. En la de Mara tienen 3 canarios y algunos otros animales. Qu otros animales y cuntos de cada tipo hay

.. en la casa de Mara? ...


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Cul es la pregunta?



Representacin:

Respuesta:

,. Prctica 6. Jorge Romero meti 6 goles durante la temporada de ftbol de 2006 y 6 en la~ del 2009. En 2007 y 2008 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 aos (2006 a 2009) meti un total de 15 goles. Pedro Vidal meti 14 goles en 2007 y la mitad en 2009. Su total para los 4 aos fue de 21 goles. Enrique Prez meti tantos goles en 2008 como Vidal meti en los 4 aos, pero en las otras temporadas no le fue mejor que a Pedro en 2006. Entre los ~res en 2008 metieron 22 goles. Cuntos goles metieron entre los tres en 2007? ,.


Cul es la pregunta?

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Representacin:

Respuesta:


Cul es la pregunta?



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Representacin:

Respuesta:

f.~ Cmo denominar una tabla? h Una de las variables independientes es desplegada en los encabezados de las columnas,

mientras que la otra variable es desplegada como inicio de las filas. Y la variable ~ dependiente es desarrollada en las celdas de la regin reticular definida por el cruce de ~ columnas y filas. Por esta razn se habla que las tablas tienen dos entradas, una por las ~ . columnas y otra por las filas.

En ttulo de una tabla est determinado por la variable dependiente que se visualiza, y se complementa con las variables independientes que caracterizan los valores del cuerpo de la tabla. As, la tabla de la prctica 1 de esta leccin se denomina de la siguiente manera:

"Nmero de libros en funcin de dueo e idioma"

Cierre

Qu clases de problemas estudiamos en esta leccin?

Qu hicimos para resolver los problemas de este tipo?

Cmo se llama la estrategia desarrollada en esta leccin?

Qu hacemos cuando determinamos que una celda no tiene elementos asignados?

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LECCIN 6 PROBLEMAS DE TABLAS LGICAS

Introduccin

Sobre qu trat la leccin anterior?

Cmo se llama la forma de representacin para resolver esos problemas?

Adicionalmente a la denominacin de las variables cualitativas y de los valores de la variable cuantitativa que otra informacin contienen.estas tablas?

Qu tenemos que hacer si no puedo representar una informacin especfica cuando leo el problema parte por parte?


Iniciemos el trabajo de esta leccin con un ejercicio.

Ejercicio 1. Las profesiones de Delia, Ana y Lea son diferentes. Ellas son arquitecta, abogada y mdica, aunque no necesariamente en ese orden. Ana contrat la arquitecta para que le diseara su casa. Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el da siguiente. Cules son las profesiones de Delia, Ana y Lea?


Leer todo el problema.


De encontrar las profesiones de tres damas.

Qu variables estn presentes?

Hay dos variables cualitativas: Nombres de damas (Delia, Ana y Lea) y Profesiones (arquitecta, abogada y mdica).

Qu otras informaciones estn expresadas en el enunciado?

Cada una de las damas tiene una de esas tres profesiones que son diferentes entre s. Nos relatan dos hechos que aportan informacin sobre las profesiones de las damas.

Qu se pregunta en el problema?

Las profesiones de las tres damas.

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Ninguna de las estrategias particulares anteriores se aplica en este caso. No tenemos esa variable cuantitativa alrededor de la cual se centraba el problema. Sin embargo, tenemos una condicin nueva que puede ayudar. Relacionemos uno de los nombres, por ejemplo, Ana, con las tres profesiones:

Ana es arquitecta Ana es abogada Ana es mdico

Una de esas tres aseveraciones es verdadera, y las otras dos son falsas. Algo similar se plantea si relacionamos los otros dos nombres con las profesiones. La informacin que nos permite esclarecer cual de las tres aseveraciones es verdadera, y cuales falsas, son los hechos que involucran a las damas. Para procesar la informacin de los hechos nos puede ayudar una tabla como la siguiente:

No~ Delia Ana Lea Arquitecta

Abogada

Mdica

En este caso, lo que asentamos en la regin sombreada es el valor de verdad o falsedad de la aseveracin que relaciona el valor de la columna con el valor de la fila. Con esta estrategia particular podemos iniciar la lectura parte por parte de la informacin planteada en los hechos. El primer hecho es: "Ana contrat la arquitecta para que le diseara su casa". Eso significa que Ana y la arquitecta son personas diferentes, entonces es falso que Ana sea arquitecta, y lo podemos reflejar en la tabla como sigue:

N~ Delia Ana Lea Arquitecta Falso

Abogada

Mdica

Luego el enunciado afirma "Lea le dijo a la abogada que se iba a reunir con Ana el da siguiente", lo cual implica que Lea no es abogada, -Y tambin que Ana no es abogada. Esto podemos reflejarlo en la tabla.


Abogada Falso Falso

Mdica

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En este momento podemos hacer algunas deducciones basndonos en la observacin de la tabla. Si recordamos las relaciones que hicimos de Ana con las profesiones, hemos encontrado que dos de ellas son falsas, podemos concluir que la tercera es verdadera., Entonces Ana es mdica. Algo similar ocurre con la fila intermedia; la nica opcin de profesin que queda para Delia es abogada, por lo cual podemos concluir que Delia es abogada.


Abogada Verdadero Falso Falso

Mdica Verdadero

Adems, podemos sacar otras deducciones: si Delia es la abogada, entonces es falso que Delia sea arquitecta o mdica; de la misma manera la mdica no puede ser ni Delia, ni Lea. Y finalmente nos queda que la nica opcin verdadera de profesin para Lea es arquitecta. Por lo tanto la tabla queda:

No~ Delia Ana Lea Arquitecta Falso Falso Verdadero

Abogada Verdadero Falso Falso

Mdica Falso Verdadero Falso

Ahora, inspeccionando la tabla, podemos contestar la pregunta: Delia es abogada, Ana es mdica y Lea es arquitecta. Verificamos y concluimos el problema del ejercicio.

En esta representacin generamos una tabla cuyas celdas se llenan con dos posibles valores, verdadero o falso, a diferencia de las tablas de la leccin anterior en las cuales se colocaban valores numricos. La variable que graficamos es una variable lgica como las que ya habamos estudiado anteriormente; en ella solo se reconoce la veracidad o falsedad de una relacin. La variable lgica est implcita en el enunciado y debe ser definida por la persona que resuelve el problema para usar esta estrategia particular usando relaciones entre las dos variables cualitativas que siempre estn de manera explcita en el enunciado.

Estrategia de representacin en dos dimensiones: tablas lgicas

Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas sobre las cuales puede definirse una variable lgica con base a la veracidad o falsedad .de relaciones entre las variables cualitativas. La solucin se consigue construyendo una representacin tabular llamada "tabla lgica".

Los valores que toma la variable lgica que se define con base a las dos variables cuantitativas son de dos estados

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