matemática na astronomia

8/14/2019 Matemtica na Astronomia

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Universidade do MinhoDepartamento de Matemtica

Matemtica na Astronomia

Trabalho de Projecto

Ftima Isabel Rodrigues GonalvesLiliana Manuela Alves MagalhesSusana Cristina Ribeiro Pereira

Trabalho efectuado sob a orientao deDoutor Filipe Carteado Mena

Maio de 2007


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Contedo

1 Introduo 5

2 Enquadramento histrico 6

3 Mecnica Newtoniana 93.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Noes bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.3 Equaes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Problema de dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1 Equaes do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Integrao das equaes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 lgebra Linear e Referenciais em Astronomia 184.1 Conceitos base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 Espao vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.1.2 Combinaes lineares e independncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.3 Geradores e bases de um espao vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.4 Produto interno e norma de um vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.5 Bases ortogonais e ortonormadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.6 Referenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.7 Rotaes em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Sistemas e Transformaes de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.1 Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.2 Esfera celeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.3 Sistemas de Coordenadas celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.4 Transformao de coordenadas celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Astronomia no Ensino da Matemtica 315.1 Propostas para experincias pedaggicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.1 Astrolbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.2 Altura de um Edifcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.1.3 Determinao da Latitude e da Longitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.4 A Estrela Polar e a Latitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.5 Eratstenes e um meridiano da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.6 Paralaxe e a distncia de uma estrela Terra . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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6 Experincia pedaggica 506.1 Implementao das Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Resultados de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Anlise crtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 Sugestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bibliografia 55

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Lista de Figuras

3.1 Representao de trajectrias no espao fase para 0 = 6 e diferentes valores daexcentricidade: (a) e = 0; (b) e = 0.6; (c) e = 1 e; (d) e = 1.25 . . . . . . . . . . . 16

3.2 Segunda lei de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Rotao em torno do eixo dos xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Rotao em torno do eixo dos yy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Rotao em torno do eixo dos zz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Sistema Horizontal Local de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 Sistema horrio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.7 Sistema Equatorial de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.8 Sistema Eclptico de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.9 Transformao de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1 Astrolbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Determinao da altura de um edifcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Esquema da determinao da altura do edifcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.5 Latitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6 Longitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.7 Equincio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.8 Solstcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.9 Esquema do equincio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.10 Esquema do solsticio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.11 Estrela Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.12 Esquema da situao da Estrela Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.13 Poo de Siena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.14 Globo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.15 Paralaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.1 Turma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2 Construo do Astrolbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3 Medir a altura angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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Captulo 1

Introduo

Nas ltimas dcadas nenhuma outra cincia fez um progresso comparvel ao da Astronomia[6].A Astronomia tem dado contribuies importantes de ndole prtica para a Terra e com gran-

des benefcios para a sociedade. Por exemplo, a tecnologia desenvolvida para a construo de

antenas, espelhos e telescpios usada em estudos da Terra a partir do Espao, telecomunicaes,estudos de retina e correco de problemas oftalmolgicos. Os detectores de raios-X de fracaintensidade, to importantes para a segurana dos aeroportos, foram inicialmente desenvolvidospara a deteco da emisso de fontes astronmicas (como quasares).Tambm os detectores deinfravermelhos usados por astrnomos so agora aplicados ao diagnstico de tumores[20].

So vrias as organizaes internacionais que se dedicam Astronomia. Referindo algunsexemplos: Unio Astronmica Internacional (UAI ou IAU), European Southern Observatory(ESO), International Ultraviolet Explorer, Canada-France-Hawaii Telescope, Satlites Astron-micos (IRAS, Hubble, ISO) e Redes de Telescpios.

Nos ltimos anos a Astronomia tem tido uma contnua e crescente importncia. So vriosos factos que reflectem um interesse cada vez maior das pessoas por esta cincia. Em todo o

mundo, nos jornais principais, os artigos de Astronomia tm marcado presena constante (tipica-mente mais do que um artigo por semana). Nos Estados Unidos da Amrica (EUA) as principaisrevistas de cincia para o pblico (Scientific American, Discover, Science Digest) dedicam 7%das suas pginas Astronomia. Na maior parte dos pases europeus e EUA, planetrios e ob-servatrios so visitados por milhes de pessoas todos os anos. As pginas web de Astronomiaso das mais visitadas na Internet[20].

Neste contexto elaborou-se o trabalho intitulado Matemtica na Astronomiano qual se pre-tende mostrar que muitos problemas surgidos no estudo da Astronomia so resolvidos usandoconhecimentos da Matemtica do 3o Ciclo do Ensino Bsico.Neste trabalho comea-se por fazer um enquadramento histrico da Astronomia focando a GrciaAntiga e alguns contributos importantes dos sculos XVI, XVII e XVIII. De seguida, no captulo

3, aborda-se a Mecnica Newtoniana, em particular, o problema de dois corpos. No captulo 4so abordados alguns sistemas de coordenadas utilizados em Astronomia e transformaes desistemas de coordenadas. Posteriormente no captulo 5, propem-se vrias experincias ligadas Astronomia e Matemtica a serem realizadas em contexto educativo, no 3oCiclo do EnsinoBsico. Por ltimo, no captulo 6, so apresentadas as concluses de uma experincia pedaggicarealizada na Escola Bsica 2 e 3 de Vila Verde com alunos do 9oano de escolaridade.

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Captulo 2

Enquadramento histrico

A Astronomia a cincia que estuda a origem, evoluo, composio, classificao e dinmicados corpos celestes.

O estudo da Astronomia comeou por ser mais direccionado para as observaes dos mo-

vimentos dos corpos celestes. Mais tarde astrnomos foram capazes de descobrir as distnciase as dimenses de muitos dos corpos celestes e mais recentemente adquiriram uma quantidadeconsidervel de conhecimentos acerca da natureza e dos materiais que os constituem[4].

A Astronomia comeou por ser fundamentalmente utilitria e as suas aplicaes imediatasdestinavam-se a satisfazer as necessidades prementes da humanidade: para a agricultura, baseda subsistncia, era vital determinar o incio das estaes do ano, prevendo as pocas mais ade-quadas para as sementeiras; as cerimnias e rituais religiosos (tal como ainda hoje sucede coma Pscoa) tinham de ser realizados em pocas prprias, que exigiam preparao antecipada[6].

Os gregos desenvolveram a Astronomia entendendo-a como um ramo da Matemtica. Do es-foro dos gregos em conhecer a natureza do cosmos, e com o conhecimento herdado dos babilniossobre as suas aritmticas envolvendo o tempo e as distncias angulares, os gregos conseguiram

transformar as suas cosmologias especulativas em modelos geomtricos. Com os gregos surgiramos primeiros conceitos de Esfera Celeste, entendida por eles como uma esfera onde as estrelaseram pontos brilhantes numa esfera gigante que englobava a Terra. Desconhecedores da rotaoda Terra, os gregos imaginaram que a esfera celeste girava em torno de um eixo passando pelaTerra. Dos resultados ento descobertos, alguns so, ainda hoje, impressionantes: a previso deum eclipse por Tales de Mileto na dcada de 580 a.C., a elaborao de cartas celestes e cartasgeogrficas. Aristteles (384 a.C.-322 a.C.), concluiu que a Terra era aproximadamente esfrica(usando o argumento que a sombra da Terra na Lua durante os eclipses era sempre circular) edeterminou distncias relativas dos corpos celestes. Eratstenes (276-194 a.C.), foi o primeiro amedir o dimetro da Terra. Usando ngulos de sombras criadas em regies totalmente distin-tas, estimou o permetro da circunferncia da Terra com uma grande preciso(como veremos no

captulo 5). Eratstenes tambm estimou a distncia ao Sol e a distncia Lua, usando dadosobtidos durante os eclipses da Lua. Ptolomeu foi o ltimo grande astrnomo grego conhecidopor ter escrito o grande tratado de Astronomia Almagesto onde sugere um sistema geocntrico,baseado em conceitos de geometria. Este sistema explicava o carcter errante dos planetas, paraalm de explicar as diferenas de velocidade entre os diferentes pontos da alegada rbita dos pla-netas em torno da Terra[9]. Na obra Almagesto encontram-se tambm registos das construese uso de instrumentos astronmicos, como por exemplo, o astrolbio.[4]

Nicolau Coprnico (1473-1543), foi um astrnomo e matemtico que provocou uma revoluona Astronomia. Considerado o pai da Astronomia moderna, desenvolveu a teoria heliocntricado Sistema Solar. Em 1530, termina a sua grande obra, De revolutionus orbium coelestium, ondeafirma que a Terra tem dois movimentos, o de rotao e o de tranlaco. Esta hiptese consi-

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derada uma das mais importantes hipteses cientficas de todos os tempos, tendo constitudo oponto de partida da Astronomia moderna[9].

Pedro Nunes (1502-1578), um dos mais importantes cientistas portugueses, estudou a obrade Coprnico. Em particular, detectou alguns erros que Coprnico cometera nos captulos inici-ais onde trata questes de geometria plana e esfrica.

Pedro Nunes possuia um conhecimento profundo da geometria que aplicou Geometria e Astronomia. Percorrendo as obras de Pedro Nunes, nota-se, muitas vezes o seu engenhomanifestar-se na inveno de instrumentos astronmicos e de mtodos geogrficos ou mecnicospara a resoluo de diversos problemas numricos.

A obra de Coprnico foi o alicerce no qual se apoiaram outros grandes pensadores da huma-nidade, como Kepler, Galileu e Newton[9].

Johannes Kepler (1571-1630), quando estudou o movimento do planeta Marte definiu trsleis que generalizou a todos os outros planetas do Sistema Solar. So as chamadas Leis de Kepler(que so deduzidas no Captulo 3). Kepler pensava que leis matematicamente simples so a basede todos os fenmenos naturais e que o Sol a causa fsica de todos os movimentos celestes.

Em 1609, o cientista italiano Galileu Galilei (1564-1642) observou o cu atravs de um teles-

cpio pela primeira vez. O telescpio de Galileu veio revelar vrias provas em favor das ideiasde Coprnico [9].

Em 1687 publicada a obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton(1643-1727). Esta obra, designada habitualmente por Principia, contm as leis de Newton parao movimento dos corpos que formam a fundao da Mecnica Clssica (apresentadas no captulo3), assim como a lei da gravitao universal. O objectivo fundamental dos Principia, reside naexplicao do movimento dos corpos celestes, sendo fornecido um modo rigoroso de derivar asLeis de Kepler e fornecendo uma explicao da causa desse movimento.

Nos Principia, Newton, chegou formulao de leis naturais que se aplicam tanto a fenme-nos terrestre como a fenmenos celestes, leis que explicam o movimento do cometa e da bala, aqueda da ma e a trajectria da Lua em torno Terra. Por consequncia logo aps a publicao

dos Principia algumas das tcnicas e ideias nele presentes, comearam a ser usadas na resoluode diversos problemas da Astronomia. O impacto da obra de Newton estendeu-se muito paraalm da Astronomia e da Fsica, deu origem a uma atitude optimista em relao capacidadehumana de, atravs da Matemtica, entender o universo, que funcionava de acordo com leisdeterministas expressas por equaes diferenciais. Com efeito a lei da gravitao universal, es-tabelecida por Newton no sc. XVII, permite uma boa aproximao ao estudo do movimentodos corpos celestes no Sistema Solar, tendo Newton demonstrado que o sistema de equaesdiferenciais que descreve o movimento de dois corpos e tem soluo geral. Contudo, a resoluodo problema de dois corpos, sendo um deles o Sol, apenas permite uma primeira aproximaoao real movimento dos planetas, pois as foras entre os planetas causam perturbaes nestasrbitas elpticas[16].

O problema de n corpos, com n > 2, revelou-se um problema difcil. No entanto, possvelobter para o problema de 3 corpos Newtoniano solues particulares. Considerando um sistemade trs corpos colineares, Euler(1707-1783), encontrou em 1763 trs configuraes possveis emque os trs corpos orbitam em torno do seu centro de massa em movimento circular uniforme.Em particular, num sistema formado por trs corpos, estes definem um tringulo equiltero eesta configurao mantm-se mesmo que os trs corpos tenham massas distintas. Estas soluestriangulares foram estudadas por Lagrange (1736-1813), em 1772[16].

Galileu observou Neptuno, em 1613 (trs anos depois de ter observado os satlites de Jpi-ter), tendo observado, em duas noites consecutivas, que este se movia ligeiramente em relaoa uma estrela prxima. Nos dias seguintes, Neptuno j estava fora do seu campo de vista enos dias anteriores os cus de Pisa tinham estado enevoados. Assim, Galileu classificou-o como

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uma estrela. Muito mais tarde, em meados do sc. XIX, verificou-se que a rbita de rano noestava inteiramente de acordo com as leis de Newton e Kepler. Adams e Le Verrier predisseram,independentemente, que deveria haver um outro planeta, mais afastado do Sol, a perturbar arbita de rano. Com base nos seus clculos, Galle e dArrest localizaram Neptuno, na noitede 23 de Setembro de 1846. Mas hoje sabe-se que as rbitas calculadas por Adams e Le Verrier

divergiam rapidamente, ou seja, se as observaes de Galle e dArrest tivessem sido feitas algunsanos antes ou depois de 1846 no teriam encontrado o planeta. No obstante, a descoberta doplaneta Neptuno e mostrou claramente que nas mos dos especialistas a combinao da Astro-nomia com a Matemtica pode ser uma ferramenta com grande poder[12].

Laplace (1773), Lagrange (1776) e Poisson (1809) apresentam provas da estabilidade do Sis-tema Solar. No entanto, estas provas apenas permitem concluir a estabilidade do Sistema Solarpara algumas dcadas ou sculos. Resultados obtidos por Poincar (1892) sugerem que o desen-volvimento em sries, utilizadas nestas provas de estabilidade, divergem[16].

Ao estudar o problema de trs corpos, Poincar apercebeu-se que determinadas condiesiniciais do origem a solues que descreveu como complicadas, fornecendo as bases para o de-senvolvimento da Teoria do Caos. A compreenso do caos e as suas implicaes na estabilidade

do Sistema Solar tem sido um dos objectos de estudo na moderna Mecnica Celeste[16].

Com a generalizao da utilizao dos computadores na investigao cientfica, no inciodos anos setenta, e a consequente possibilidade de realizar simulaes numricas at ento im-possveis, as questes ligadas existncia, ou no, de regularidade no Sistema Solar tomou novoscontornos. Assim hoje em dia o problema coloca-se fundamentalmente ao nvel do estudo daestabilidade do Sistema Solar. Porque ocupam os planetas as posies que hoje observamos?Sero essas posies dinamicamente estveis? No incio da formao do sistema solar eram estasas posies? Como evoluir o sistema solar?

A Astronomia influenciou a humanidade durante toda a Pr-Histria e Histria conhecida.O conhecimento sobre o universo sempre fez parte da curiosidade humana. Satisfazer essa curi-

osidade foi um estimulo muito grande para desenvolver a Matemtica. Por outro lado, tambmMatemtica contribuiu para o desenvolvimento da Astronomia, permitindo a quantificao epreviso de fenmenos astronmicos.

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Captulo 3

Mecnica Newtoniana

Neste captulo trata-se o problema de dois corpos no espao tridimensional sujeitos lei dagravitao de Newton, o que poder ser, por exemplo, uma primeira aproximao ao movimentode alguns corpos celestes. Deduzem-se as equaes do movimento dos dois corpos C1 de massa

m1 e C2 de massa m2, a partir do Lagrangiano (3.6). De seguida integra-se o sistema de equaesdiferenciais obtido, determinando-se as solues do problema de dois corpos e obtm-se as leisde Kepler a partir da Teoria Newtoniana.

3.1 Preliminares

3.1.1 Leis de Newton

A Mecnica Newtoniana baseada em trs leis enunciadas por Isaac Newton na obra Philo-sophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada em 1687. Estas leis supem a existncia dereferenciais nos quais so vlidas, designados referenciais inerciais. As leis so as seguintes:

Lei 1 (lei da inrcia) Se sobre uma partcula no actuam quaisquer foras, ento essa part-cula mantm-se em repouso ou em movimento rectilneo uniforme.

Designando por f o vector fora e por v o vector velocidade da partcula, a primeira lei deNewtonpode ser escrita do seguinte modo

Se f = 0, ento v constante.

Lei 2 Se sobre uma partcula actuam foras, a variao do momento linear da partcula porunidade de tempo igual soma das foras que actuam nela.

Se p o vector momento linear da partcula e f o vector fora que actua na partcula, ento

dp

dt= f .

Lei 3 (lei da aco e reaco) Quando duas partculas interagem a fora que a primeiraexerce sobre a segunda igual em grandeza e direco, mas de sentido oposto fora que asegunda exerce na primeira.

Se f21 o vector fora que a partcula 1 exerce sobre a partcula 2 e f12 o vector fora que apartcula 2 exerce sobre a partcula 1, ento

f21 =

f12.

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Se a massa da partcula, m, constante, pode reescrever-se a segunda lei de Newton. O momentolinear de uma partcula definido por p = mv. Substituindo, temos

mdv

dt= f .

3.1.2 Noes bsicas

Consideremos um sistema com n corpos.Para j = 1,...,n seja rj a posio de um corpo desse sistema, rj a velocidade desse corpo e mja respectiva massa.

Definio 1 O vector posio do centro de massa do sistema definido por

R =1

M

nj=1

mj rj (3.1)

sendo, M =n

j=1

mj a massa total do sistema.

Definio 2 O vector momento angular do sistema definido por

l =n

j=1

rj mj rj. (3.2)

Definio 3 A energia cintica do sistema, Ec definida por

Ec =

1

2

N

j=1

mj rj2

. (3.3)

Definio 4 A energia mecnica do sistema definida por

E = Ec + U (3.4)

sendo, Ec a energia cintica e U a energia potencial do sistema.

3.1.3 Equaes de Lagrange

Para definirmos a posio de um sistema com n corpos no espao necessrio especificar n

vectores posio, isto , 3n coordenadas. O nmero de variveis independentes necessrias paradefinir de forma nica a posio do sistema chamado o nmero de graus de liberdade do sis-tema. Por exemplo, um sistema com n corpos no espao sujeito a c condies pode ser descritode forma nica por N variveis independentes, com N = 3n c.Quaisquer N variveis q1,...,qN que definam a posio de um sistema com N graus de liberdadeso designadas coordenadas generalizadas e as derivadas q1,..., qN so designadas velocidadesgeneralizadas.

Consideremos um sistema com N variveis independentes.A posio de um corpo desse sistema no instante t dada pelo vector x(t) = (x1(t),...,xN(t)),a respectiva velocidade por x(t) = ( x1(t), ..., xN(t)) e o movimento desse corpo descrito pela

funo de Lagrange L(x(t),x(t), t) tal que

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x : R+0 RN x : R+0 RNt x(t), t x(t)

e,

L : RN RN R+0 R(x, x, t) L(x, x, t).

Para q = (q1,...,qN), vector de coordenadas generalizadas, e para q = ( q1, ..., qN), vector develocidades generalizadas, a variao de q com o tempo obedece s equaes de Lagrange:

L

qi d

dt

L

qi= 0, i = 1,...,N (3.5)

Para um sistema mecnico em que as foras se deduzem de um potencial generalizado quedepende explicitamente apenas das coordenadas definem-se as funes Ec e U , sendo a energiacintica e a energia potencialdefinida, respectivamente, por:

Ec : RN R U : RN Rq 12 q.q

T, q U(q).

A funo de Lagrange, ou Lagrangiano, correspondente escreve-se como

L(q, q, t) = Ec(q) U(q). (3.6)

Aplicando a esta funo as equaes de Lagrange (3.5) tal que, para i = 1,...N

L

qi=

Ecqi

= qi (3.7)

Lqi

= Uqi

obtm-se,

qi +U

qi= 0, i = 1,...,N

sendo este sistema coincidente com as equaes de Newton, para f = U, sendo f o vectorde foras generalizadas.

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3.2 Problema de dois corpos

3.2.1 Equaes do movimento

Consideremos um referencial inercial de origem O e dois corpos C1, de massa m1, e C2 de massam2. Sejam r1 e r2 os vectores posio definidos por O e C1 e O e C2, respectivamente.

A energia cintica deste sistema, Ec,

Ec =1

2m1 r1

2+

1

2m2 r2

2. (3.8)

Seja R o vector posio definido por O e o centro de massa do sistema, e seja r o vector

r = r2 r1. (3.9)Da definio do vector posio do centro de massa vem

R =m1 r1 + m2 r2

m1 + m2

. (3.10)

Das equaes (3.9) e (3.10) temos

r1 = R m2m1 + m2

r e r2 = R +m1

m1 + m2r. (3.11)

Usando as equaes (3.11) podemos exprimir a energia cintica do sistema (3.8) em termos deR e r, em vez de r1 e r2.Substituindo, vem

Ec =1

2(m1 + m2) R

2+

1

2r

2, com =

m1m2m1 + m2

. (3.12)

Assim, o Lagrangiano (3.6) pode escrever-se como

L =1

2(m1 + m2) R

2+

1

2r

2 U(r), (3.13)sendo a energia potencial,

U(r) = Gm1m2||r|| (3.14)

com G a constante de gravitao universal.

Supondo que sobre o sistema no actuam foras externas vem, pelas segunda e terceira leis

de Newton,

m1 r1 + m2 r2 = 0. (3.15)

De (3.10) e (3.15) vem R = 0. Conclumos que R constante, o que significa que podemos

escolher um referencial inercial no qual o centro de massa est em repouso, isto , R = 0.Assim, pode reescrever-se o Lagrangiano do seguinte modo

L =1

2r

2 U(r). (3.16)Recorrendo s equaes de Lagrange (3.5), o problema de dois corpos reduz-se Equao Dife-

rencial Ordinria (EDO):

12


13/57

r = Ur

, comU

r=

Gm1m2r

||r||3 . (3.17)

Ou seja,

r +

||r||3r = 0, r, r

R3, com = G(m1 + m2). (3.18)

O problema de dois corpos sujeitos a interaces mtuas reduzido ao problema de um corpocom massa reduzida, , sujeito a uma fora central igual fora de interaco dos dois corpos.

Proposio 1 O momento angular um integral do sistema.

Demonstrao Seja l o momento angular do sistema.Por definio l = r r.Ento,

dl

dt=

d

dtr

r = (r

r + r

r) = r

r.

Ora, pela equao (3.18) vem

dl

dt= r

||r||3

r = 0.

Donde se conclui que l um integral do sistema.

Se l = 0 ento os vectores posio, r, e velocidade, r, so paralelos, isto , o movimento realiza-senuma linha recta.

Se l = 0, com l perpendicular ao plano definido pelos vectores posio e velocidade, os doiscorpos movimentam-se num plano, designado plano orbital, o que reduz o problema a um pro-blema a duas dimenses.

Podemos introduzir coordenadas polares, r, , nesse plano, com r [0, +[ e [0, 2[Recordando, l e E so, respectivamente, o mdulo do vector momento angular e a energiamecnica do sistema. Em coordenadas polares temos,

l = r2 (3.19)

E =1

2(r2 + r22) + U(r) (3.20)

Exprimindo o Lagrangiano em coordenadas polares obtm-se

L(r,, r, ) =1

2(r2 + r22) U(r). (3.21)

Recorrendo s equaes de Lagrange (3.5) obtemos as EDOs

r r2 + Ur

= 0

d

dt(r2) = 0

13


14/57

que so equivalentes s equaes

r r2 +

r2= 0 (3.22)

d

dt(r2) = 0. (3.23)

Podemos reescrever a equao (3.20) da seguinte forma

E =1

2r2 +

l2

2r2 Gm1m2

r.

Derivando esta equao em ordem ao tempo obtemos

dE

dt=

1

22rr l

2

2

2rr

r4+

Gm1m2r

r2

= rr l2

r

r3+

Gm1m2r

r2

= r

r l2r3

+ Gm1m2

r2

= r

r r2 +

r2

Logo pela equao (3.22) conclumos que a energia mecnica um integral do sistema.

3.2.2 Integrao das equaes de movimento

Proposio 2 O sistema de EDOs

r r2 +

r2 = 0

d

dt(r2) = 0

com condies iniciaisr(0) = r0 r(0) = v0 integrvel e a soluo a equao geral da cnicaem coordenadas polares,

r() =p

1 + e cos( 0)sendo p o lado recto, e a excentricidade da cnica e 0 constante.

Demonstrao Seja k = r2. Da equao (3.19) vem que k constante.

Seja u =1

r.

Ento,

r =dr

d

d

dt=

dr

d=

k

r2dr

d= k d

d

1

r

= k du

d.

Donde segue,

r =dr

d

d

dt= k

2

r2d2u

d2= k2u2d

2u

d2.

Introduzindo,

k = r

2 e r = k

2

u

2d2u

d2 ,

14


15/57

na equao

r r2 +

r2= 0

obtemos a seguinte EDO,

d2

ud2 + u =

k2 . (3.24)

Atravs de uma nova mudana de varivel, definindo y = u

k2, obtemos a equao

d2y

d2+ y = 0. (3.25)

A soluo desta EDO, sujeita s condies y(0) = A y(0) = B dada por

y() = D cos( 0)

com D = A2 + B2 e 0 = arccos AA2 + B2

constantes de integrao.

Ento,

u() =

k2

1 +

Dk2

cos( 0)

e por conseguinte

r() =p

1 + e cos( 0) (3.26)

com p =k2

e e =

Dk2

.

A equao (3.26) representa a equao de uma seco cnica. O tipo de cnica depende daexcentricidade, e. Se e > 1 obtm-se uma hiprbole, se e = 1 obtm-se uma parbola, se 0 .

Definio 8 Um espao vectorial V sobre um corpo K diz-se finitamente gerado se admite umconjunto de geradores finito.

Definio 9 Seja V um espao vectorial sobre K finitamente gerado.Uma sequncia (v1, v2, . . . , vn) de vectores de V diz-se uma base de V se:

i) {v1, v2, . . . , vn} um conjunto de geradores de V;ii) v1, v2, . . . , vn so linearmente independentes.

Exemplo 1 Consideremos o espao vectorial realRn.A sequncia de vectores(e1, e2, . . . , en) tais queei(i=1,...,n) tem todas as coordenadas nulas exceptoa componente i que 1, forma uma base do espao vectorial realRn.Esta base designa-se base cannica deRn.

4.1.4 Produto interno e norma de um vector

Definio 10 Seja V um espao vectorial real.Chama-se produto interno em V a qualquer aplicao p : VVR que satisfaz as seguintescondies:

19


20/57

(P1) v1 V, p (v1, v1) R+0 p (v1, v1) = 0 v1 = OV;

(P2) v1, v2, v3 V, p (v1 + v2, v3) = p (v1, v3) +p (v2, v3);

(P3) v1, v2 V, K, p (v1, v2) = p (v1, v2);

(P4) v1, v2 V, p (v1, v2) = p (v2, v1).

Nestas condies diz-se que V est munido do produto interno p.

Definio 11 Sejam V um espao vectorial real munido do produto interno p ev V.Chama-se norma dev, e representa-se porv, ao nmero real no negativo

p (v, v).

4.1.5 Bases ortogonais e ortonormadas

Definio 12 SejamV um espao vectorial real munido do produto interno p e(v1, v2, . . . , vn)uma base de V.Diz-se que(v1, v2, . . . , vn) uma base ortogonal deV se, para todos i, j {1, . . . , n}

i = j p (vi, vj) = 0.

Definio 13 Seja V um espao vectorial real.Uma base (v1, v2, . . . ,vn) de V diz-se ortonormada se ortogonal e se todos os vectores que aconstituem tm norma 1.

4.1.6 Referenciais

Definio 14 SejamV um espao vectorial real, B = (v1, v2, . . . , vn) uma base de V eA Rn.O conjunto

R=

{A; (v

1, v

2, . . . , vn)

}diz-se um referencial emRn, o ponto A diz-se origem do

referencialR eB = (v1, v2, . . . , vn) diz-se base associada ao referencial.Os escalares (1, 2, . . . , n) so chamados coordenadas deP no referencialR.Representa-se,

P (1, 2, . . . , n)R .

Definio 15 Seja O R3 um ponto do espao afimR3 e (v1, v2, v3) uma base ortonormadado espao vectorialR3.Ao referencial{O; (v1, v2, v3)} chamamos sistema de coordenadas cartesianas emR3.

4.1.7 Rotaes em R3

Definio 16 SejaR = {O; (v1, v2, v3)} um sistema de coordenadas cartesianas emR3.Uma rotao do referencialR no espao afimR3 um movimento rgido dos eixos cartesianos deR obtendo-se um referencialR = {O; (u1, u2, u3)} tal que(u1, u2, u3) uma base ortonormadadeR3.

Uma rotao em R3 pode ser entendida como uma sucesso de rotaes em torno dos eixoscartesianos de um referencial tridimensional.

Consideremos os referenciais R = {O; (e1, e2, e3)} e R = {O; (e1 , v2, v3)} tais que O = (0, 0, 0),(e1, e2, e3) a base cannica de R3 e os vectores v2 e v3 so, respectivamente, os vectores e2 ee3 submetidos a uma rotao de um ngulo .

20


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Sejam P (x,y ,z)R

e P (x, y, z)R

as coordenadas cartesianas do ponto P nos referenciaisR e R, respectivamente.

Figura 4.1: Rotao de um referencial cartesiano em torno do eixo dos xxsegundo um ngulo .

Facilmente se conclui que

x = x

y = y cos + z sin z = y sin + z cos

Ou seja, xy

z

= Rx()

xy

z

sendo Rx() =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

.

A matriz Rx() representa uma rotao em torno do eixo dos xx segundo um ngulo .

Consideremos o referencial

R =

{O; (u1, e2, u3)

}tal que os vectores u1 e u3 so, respectiva-

mente, os vectores e1 e e3 submetidos a uma rotao de um ngulo .

Seja P (x, y, z)R

as coordenadas cartesianas do ponto P no referencial R.

Figura 4.2: Rotao de um referencial cartesiano em torno do eixo dos yy segundo um ngulo.

Ento, temos que

x = x cos z sin y = yz = x sin + z cos

21


22/57

Ou seja, xy

z

= Ry()

xy

z

sendo Ry() =

cos 0 sin 0 1 0

sin 0 cos

.

A matriz Ry() representa uma rotao em torno do eixo dos yy segundo um ngulo .

Consideremos o referencial R = {O; (r1, r2, e3)} tal que os vectores r1 e r2 so, respectiva-mente, os vectores e1 e e2 submetidos a uma rotao de um ngulo .

Seja P (x, y, z)R

as coordenadas cartesianas do ponto P no referencial R.

Figura 4.3: Rotao de um referencial cartesiano em torno do eixo dos zzsegundo um ngulo .

Ento, temos que

x = x cos + y sin y = x sin + y cos z = z

Ou seja, xy

z

= Rz()

xy

z

sendo Rz() =

cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

.

A matriz Rz() representa uma rotao em torno do eixo dos zz segundo um ngulo .

Note-se que uma matriz que representa uma rotao o resultado do produto de matrizesque representam as rotaes intermedirias em torno de cada um dos eixos de um referencialcartesiano.

22


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4.2 Sistemas e Transformaes de Coordenadas

4.2.1 Coordenadas esfricas

Na transformao de coordenadas celestes torna-se til relacionar as coordenadas cartesianas eas coordenadas esfricas de um ponto de uma superfcie esfrica.

Figura 4.4: Esfera celeste e coordenadas esfricas.

Consideremos o referencial R = {O; (e1, e2, e3)} tais que O = (0, 0, 0) e (e1, e2, e3) a basecannica de R3.Seja P

(x,y ,z)

Ras coordenadas cartesianas do ponto P no referencial

R.

Consideremos:

r =

x2 + y2 + z2, ou seja, r a distncia do ponto P ao ponto O;

o ngulo, medido no sentido directo, que o semi-eixo positivo do eixo dos xx faz com asemi-recta com origem em O e que contm o ponto (x,y, 0). Note-se que [0, 2[;

o ngulo que a semi-recta com origem em O e que contm o ponto (x,y, 0) faz com asemi-recta com origem em O e que contm o ponto P. Note-se que 2 , 2 .

Assim, temos que as coordenadas cartesianas numa superfcie esfrica de raio r so dadas emtermos de coordenadas esfricas por

x = r cos cos y = r sin cos z = r sin

4.2.2 Esfera celeste

A Astronomia de Posio ocupa-se do estudo da posio dos astros. Para referir posies torna-se til usar uma esfera (a esfera celeste1) e marcar sobre a superfcie esfrica arcos e pontos

1Qualquer observador, visualizando o cu, tem a sensao de se encontrar no centro de uma esfera, no interiorda qual as estrelas parecem fixas e igualmente afastadas do observador. a esta esfera que se chama esfera

celeste.

23


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fundamentais.A esfera celeste tem raio arbitrrio e a Terra considerada o centro da esfera celeste. Apesar dasdistncias de diferentes astros Terra variarem, todos os astros so considerados como pontospertencentes esfera celeste.Alguns pontos relevantes da esfera celeste:

Plo Norte Celeste (PNC) e Plo Sul Celeste(PSC) - Pontos de interseco da esfera celestecom o eixo de rotao da Terra, ou seja, podem ser entendidos como a projeco do PloNorte geogrfico e a projeco do Plo Sul geogrfico na esfera celeste, respectivamente.

Znite (Z) e Ndir(N) - Pontos de interseco da esfera celeste com a vertical do lugar2.

Antes de mencionar alguns planos fundamentais em Astronomia e correspondentes crculos deinterseco desses planos com a esfera celeste importante comear por distinguir crculos m-ximos e crculos menores da esfera celeste.

Crculo mximo - Crculo da esfera celeste que resulta da interseco da esfera celeste com

planos que contm o seu centro.

Crculo menor - Crculo da esfera celeste que resulta da interseco da esfera celeste complanos que no contm o seu centro.

Alguns crculos relevantes da esfera celeste e planos fundamentais em Astronomia:

Crculo horrio - Qualquer crculo mximo da esfera celeste contendo o PNC e o PSC. Crculo vertical - Qualquer crculo mximo da esfera celeste contendo o znite e o ndir.

Equador celeste - Crculo mximo da esfera celeste ortogonal ao eixo de rotao da Terra.

Plano do equador - Plano que contm o equador celeste. Horizonte - Crculo mximo da esfera celeste ortogonal vertical do lugar. Plano do horizonte - Plano que contm o horizonte. Meridiano local - Crculo horrio da esfera celeste que contm o znite e o ndir. O

meridiano intersecta o horizonte segundo a direco Norte-Sul.

Crculo de altura - Qualquer crculo (menor) resultante da interseco da esfera celestecom um plano paralelo ao horizonte.

Paralelo - Qualquer crculo (menor) resultante da interseco da esfera celeste com umplano paralelo ao equador.

2Vertical do lugar a recta suporte do vector de acelerao gravitacional no ponto da superfcie terrestre ondeo observador se encontra.

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4.2.3 Sistemas de Coordenadas celestes

A posio de um astro na esfera celeste pode ser definida atravs de um sistema de coordenadascom a especificao de dois valores angulares.Seguidamente, sero abordados os sistemas de coordenadas mais usados em Astronomia de Po-sio.

Sistema Horizontal Local de Coordenadas

A Figura 4.5 representa o sistema de coordenadas horizontais, ilustrando a metade da esferaceleste visvel ao observador. A posio do observador representada pelo ponto O e a posiodo astro na esfera celeste pelo ponto E.

Figura 4.5: Ilustrao do Sistema Horizontal Local de coordenadas.

O sistema horizontal de coordenadas tem as seguintes caractersticas:

Direco fundamental: a vertical do lugar. Plano fundamental: o plano do horizonte.

Coordenadas:

Azimute(A) - ngulo entre o meridiano local e o crculo vertical do astro3, medido aolongo do horizonte no sentido Norte-Este-Sul-Oeste4. Note-se que A [0o, 360o[.

Altura(h) - ngulo entre o plano do horizonte e a direco do astro (dada pelo segmentode recta [OE] na Figura 4.5), medido ao longo do crculo vertical do astro. A altura arbitrada como positiva (negativa) para um astro acima (abaixo) do horizonte. Note-seque h [90o, 90o].

3Crculo vertical do astro: crculo vertical da esfera celeste que contm o astro.4Alguns autores utilizam o ponto cardeal Sul para o incio da contagem do azimute.

25


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Ao complemento da altura, , chama-se distncia zenital, ou seja, o ngulo entre a semi-rectacom origem no observador e que contm o znite e a direco do astro. Temos que

= 90o h, donde [0o, 180o].No sistema horizontal local as coordenadas de um astro dependem da posio do observador nasuperfcie da Terra. Alm disso, as coordenadas horizontais variam tambm com o tempo devidoao movimento de rotao da Terra, o que torna este sistema de coordenadas pouco prtico parauso corrente em Astronomia. assim mais vantajoso um sistema de coordenadas em que o crculo de referncia seja inde-pendente do observador, como o caso do sistema de coordenadas celestes que ser abordadoseguidamente.

Sistema Horrio de Coordenadas

A Figura 4.6 representa o sistema de coordenadas horrias. O ponto T representa o observadore o ponto E a posio do astro na esfera celeste.

Figura 4.6: Ilustrao do Sistema Horrio de coordenadas.

O sistema horrio de coordenadas tem as seguintes caractersticas:

Direco fundamental: o eixo de rotao da Terra. Plano fundamental: o plano do equador. Coordenadas:

ngulo horrio(H)- ngulo entre o meridiano local e o crculo horrio do astro5, medidoao longo do equador. A origem da contagem de H no meridiano local sendo crescentepara Oeste. Note-se que H [0o, 360o[.

5

Crculo horrio do astro: crculo horrio da esfera celeste que contm o astro.

26


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Declinao() - ngulo entre o plano do equador e a direco do astro (dada pelo segmentode recta [T E] na Figura 4.6), medido ao longo do crculo horrio do astro. Note-se que [90o, 90o].

Ao complemento da declinao, p, chama-se distncia polar. Temos que

+p = 90o, donde p [0o, 180o].

Neste sistema de coordenadas, ao contrrio do anterior, o plano fundamental o mesmo paratodos os observadores. No entanto, atendendo a que a origem do ngulo horrio de um astrodepende do observador convm utilizar para a origem de coordenadas um ponto que no dependado observador e que ainda seja sobre o equador. Esta uma das propriedades do sistema decoordenadas celestes que ser abordado seguidamente.

Sistema Equatorial de Coordenadas

Para introduzir as coordenadas equatoriais necessrio definir a eclptica.

A eclptica um crculo (mximo) da esfera celeste que resulta da interseco do plano orbitalda Terra com a esfera celeste. A eclptica, representa assim, a trajectria aparente do Sol (comperidiciodade de um ano) na esfera celeste.6.Chama-se obliquidade da eclptica, e representa-se por , ao ngulo entre o plano do equador eo plano eclptico7.( 23o2621)A interseco da eclptica e do equador determinam, na esfera celeste, dois pontos que corres-pondem aos equincios: o equincio de Primavera e o equincio de Outono.O ponto da esfera celeste correspondente ao equincio de Primavera chama-se Ponto Vernal (ouPonto de ries) e representa-se por .

A Figura 4.7 representa o sistema de coordenadas equatoriais. O ponto T representa o observador

e o ponto E a posio de uma estrela na esfera celeste.

Figura 4.7: Ilustrao do Sistema Equatorial de coordenadas.

6O movimento anual aparente do Sol deve-se ao movimento de translaco da Terra em torno do Sol.7Plano eclptico: Plano que contm a eclptica.

27


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O sistema equatorial de coordenadas semelhante ao sistema de coordenadas horrias diferindoapenas no facto da coordenada sobre o equador, a asceno recta , ser medida a partir doPonto Vernal .

A asceno recta o ngulo entre o plano que contm o PNC, T e e o plano que contm o

PNC, T e E, ou seja, o ngulo entre o crculo horrio do ponto vernal e o crculo horrio daestrela. A asceno recta medida para Este. Temos que [0o, 360o[.

Este sistema de coordenadas celestes, ao contrrio dos anteriores abordados, tem coordenadasindependentes do observador.

Sistema Eclptico de Coordenadas

A Figura 4.8 representa o sistema de coordenadas eclpticas sendo que o ponto O representa oobservador e o ponto E representa a posio do astro na esfera celeste.

Figura 4.8: Ilustrao do Sistema Eclptico de coordenadas.

O sistema eclptico de coordenadas tem as seguintes caractersticas:

Plano fundamental: o plano eclptico.

Coordenadas:

Longitude eclptica(L) -ngulo entre o crculo horrio do ponto vernal e o meridiano daestrela, medido sobre a eclptica a partir do ponto . Note-se que L [0o, 360o[.

Latitude eclptica() - ngulo entre o plano da eclptica e a direco do astro (dada pelosegmento de recta [OE] na Figura 4.8), medido ao longo do crculo horrio do astro.Note-se que [90o, 90o].

28


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4.2.4 Transformao de coordenadas celestes

Para relacionar as coordenadas (, ) de um astro num sistema de coordenadas celestes A comas suas coordenadas (, ) num sistema de coordenadas celestes B necessrio conhecer a ori-entao do eixo polar do sistema de coordenadas B e qual a localizao do seu ponto de referncia.

Consideremos os ngulos , e tais que

o ngulo de inclinao do eixo polar do sistema de coordenadas B relativamente aoeixo polar do sistema de coordenadas A (ou seja, o ngulo entre os planos fundamentaisde ambos os sistemas);

o ngulo entre o ponto de referncia do sistema de coordenadas A e o ponto M, medidoao longo do plano fundamental do sistema de coordenadas A.

o ngulo entre o ponto M e o ponto de referncia do sistema de coordenadas B, medidoao longo do plano fundamental do sistema de coordenadas B.

O significado destes ngulos est ilustrado na Figura 4.9.

Figura 4.9: So necessrios trs ngulos , e , para especificar a orientao de um sistemade coordenadas relativamente a outro.

A transformao de coordenadas celestes que permite obter (, ) conhecidos (, ) maissimples de se obter se considerarmos primeiro o caso em que = = 0.8

De acordo com a Subseco 4.2.1, as coordenadas cartesianas de um ponto numa superfcieesfrica de raio unitrio so dadas em coordenadas cartesianas por

x = cos cos

y = sin cos z = sin

onde (, ) so as coordenadas desse ponto num dado sistema de coordenadas celestes.Quando = = 0, o sistema de coordenadas B obtido do sistema de coordenadas A atravsde uma rotao de um ngulo em torno do eixo dos xx.Seja Rx() a matriz que representa a rotao mencionada anteriormente (ver Subseco 4.1.7) e(x,y ,z), (x, y, z) as coordenadas cartesianas de um ponto no sistema de coordenadas celestesA e no sistema de coordenadas celestes B, respectivamente.

8Note-se que este o caso de transformao de coordenadas equatoriais em coordenadas eclpticas.

29


30/57

Temos que xy

z

= Rx()

xy

z

ou seja, xy

z

=

1 0 00 cos sin

0 sin cos

xy

z

.

Ento, vem que

x = xy = y cos + z sin z = y sin + z cos

cos cos = cos cos sin cos = sin cos cos + sin sin

sin = sin cos sin + sin cos

Obtivemos trs equaes para determinar duas incgnitas. No entanto, estas trs equaes sonecessrias para distinguir as duas possveis solues de , uma vez que [0, 360o[.

Consideremos , quaisquer.A transformao de coordenadas do sistema de coordenadas A no sistema de coordenadas Bpode ser feita considerando-se trs rotaes distintas.

Desloca-se o ponto de origem do sistema de coordenadas B at ao ponto M (ponto deinterseco dos crculos fundamentais dos sistemas de coordenadas A e B), ou seja, + .

Efectua-se uma rotao do ponto M at origem do sistema de coordenadas A, ou seja, .

Efectua-se uma rotao dos eixos do sistema de coordenadas A segundo um ngulo emtorno do eixo dos xx (uma vez que as duas rotaes precedentes fizeram coincidir as origensdo sistema de coordenadas A e B).

Assim, temos que cos( + )cos sin( + )cos

sin

= Rx()

cos( )cos sin( )cos

sin

.

Donde, obtm-se a soluo geral resolvendo o sistema

cos( + )cos = cos( )cos sin( + )cos = sin( )cos cos + sin sin

sin = sin( )cos cos + sin cos

30


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Construir e utilizar um instrumento de medida de ngulos (astrolbio) para determinardistncias (subseco 5.1.1 e 5.1.2).

Determinar a latitude e a longitude de um lugar (subseco 5.1.3 e 5.1.4).

Determinar o permetro de um meridiano da Terra (subseco 5.1.5).

Determinar a distncia de uma estrela Terra (subseco 5.1.6).Subjacente explorao das fichas de trabalho est o desenvolvimento das seguintes com-

petncias, consideradas competncias essenciais da Matemtica, pelo Ministrio da Educao, adesenvolver no Ensino Bsico:

A aptido para utilizar a visualizao e o raciocnio espacial na anlise de situaes e naresoluo de problemas geomtricos.

A aptido para efectuar medies e estimativas em situaes diversas, bem como a com-preenso do sistema internacional de unidades.

A aptido para visualizar e descrever propriedades e relaes geomtricas, atravs da an-lise e comparao de figuras, para fazer conjecturas e justificar os seus raciocnios.

A sensibilidade para apreciar a geometria no mundo real e o reconhecimento e a utilizaode ideias geomtricas em diversas reas, nomeadamente na Astronomia.

Assim, atravs de problemas ligados Astronomia, o estudante sistematizar conhecimen-tos bsicos da Matemtica e resolver problemas geomtricos, analisando figuras, efectuandomedies, discutindo estratgias, justificando raciocnios e interpretando resultados.

Optamos por adoptar uma metodologia baseada em fichas de trabalho orientadas com opropsito de:

Permitir que fossem os alunos a descobrir os resultados, fomentando deste modo um ensinopor descoberta;

Desenvolver a autonomia dos alunos; Desenvolver competncias de resoluo de problemas; Promover um ensino centrado no aluno.A utilizao das fichas de trabalho permite que os alunos progridam em pequenos passos,

segundo um cuidadoso plano, ajudando-os a alcanar a soluo dos problemas.

Parte do material das fichas de trabalho baseado em ideias retiradas do portal da ESA(Agncia Espacial Europeia) da seco ESA Education & Outreach 1. A ESA tem dinamizadoprogramas dirigidos a estudantes do Ensino Bsico e Secundrio. Esto disponveis on-line, v-rios recursos didcticos, cobrindo reas como, por exemplo, a medio de distncias no Universo.A ficha de trabalho Paralaxe e a distncia de uma estrela Terra baseada em propostas su-geridas nesse portal e a experincia de medir a altura de um edifcio anloga a uma emanadadesse portal de medir a altura de uma rvore.

A ficha de trabalho Determinao da Latitude e da Longitude foi concebida aproveitandoideias de projectos emanados do Programa Cincia Viva. Lanado em 1996, o Cincia Viva temcomo misso a promoo da cultura cientfica e tecnolgica junto da populao portuguesa.

1

http://www.esa.int/export/esaMI/Education

32


33/57

Por ltimo, da ficha de trabalho Eratstenes e um meridiano da Terra fazem parte ideiasretiradas da apresentao Medir o Mundo com Imaginao e Geometriado professor Nuno Crato2 realizada no dia 12 de Maro de 2007 na Universidade do Minho.

Apesar de algumas das fichas de trabalho sugeridas serem baseadas em projectos anteriores

desconhecemos se estas experincias j foram realizadas em alguma escola e em caso afirmativoquais os resultados obtidos. Nos referidos projectos no encontramos informao sobre estefacto.

2

Inst. Sup. Economia Gesto, Lisboa e Sociedade Portuguesa de Matemtica

33


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5.1 Propostas para experincias pedaggicas

5.1.1 Astrolbio

Introduo

A ficha de trabalho Astrolbio envolve a utilizao de instrumentos de medida para realizarconstrues geomtricas, aplicando-se os seguintes conhecimentos matemticos:

ngulos ao centro de uma circunferncia; Arcos de uma circunferncia; Mediatriz de um segmento de recta.

Ficha de trabalho

O astrolbio um instrumento que serve para medir ngulos.H cerca de 500 anos, os navegadores portugueses usaram o astrolbio para se orientarem

no mar. O astrolbio permitia determinar a sua posio na Terra, medindo a altura angular 3

do Sol.

Figura 5.1: Astrolbio.

Construo de um astrolbio

Para a construo de um astrolbio suficiente utilizar o seguinte material:

rgua e transferidor; compasso; carto; x-acto; cola;

3

altura angular de um astro: a amplitude do ngulo definido pela direco do astro e o plano do horizonte.

34


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tubo de 15 cm de comprimento e 2 cm de dimetro; parafuso e porca; um fio;

um peso de chumbo.Utilizando o material mencionado anteriormente pode-se construir um astrolbio seguindo oprocedimento:

Fazer um disco de 30 cm de dimetro; Fazer um furo no centro do disco; Marcar os graus de declinao num quarto do disco; Fazer um ponteiro com 4 cm de largura e 25 cm de comprimento;

Fazer um furo no centro do ponteiro; Montar as duas peas com um parafuso e uma porca para que o ponteiro possa rodar; Fazer dois quadrados em carto com 4 cm de lado; Colar os quadrados no ponteiro distncia de 3 cm do centro do ponteiro; Colar o tubo sobre o ponteiro alinhado com o seu centro; Colocar um fio, no astrolbio, na marca dos 90o; Colocar um peso de chumbo no lado oposto ao fio para manter o astrolbio na vertical.

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5.1.2 Altura de um Edifcio

Introduo

A ficha de trabalho Altura de um edifcio envolve os seguintes conhecimentos matemticos:

Razes trigonomtricas (seno, co-seno e tangente);

Equaes do 1o grau a uma incgnita;

Ficha de trabalho

Pode-se usar um astrolbio para determinar, por exemplo, a altura de um edifcio.

Figura 5.2: Edifcio da Escola Bsica 2 e 3 de Vila Verde.

Responda/explore as seguintes questes:

Visualize, atravs do tubo do astrolbio, o topo do edifcio.

Figura 5.3: Determinao da altura de um edifcio.

Mea a distncia a que se encontra do edifcio e a distncia mnima entre os seus olhos eo cho.

Usando razes trigonomtricas, determine a altura do edifcio.

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Resoluo

Sejam d a distncia de uma pessoa ao edifcio, h a altura do edifcio e x a distncia mnima dosolhos da pessoa ao cho.Seja a amplitude do ngulo obtido usando o astrolbio.Representando a situao descrita na Figura 5.4.

Figura 5.4: Esquema da determinao da altura do edifcio.

Queremos determinar h.Ora,

tan =h x

d, isto , h = d tan + x.

Note-se que d, x e so dados conhecidos.

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5.1.3 Determinao da Latitude e da Longitude

Introduo

A ficha de trabalho Determinao da Latitude e da Longitude envolve os seguintes conheci-mentos matemticos:

Plano tangente a uma esfera num ponto; Soma das amplitudes dos ngulos internos de um tringulo; ngulos alternos internos; Proporcionalidade directa; Rotaes; Mdia aritmtica.

Ficha de trabalho

As coordenadas geogrficas mais usadas para determinar a posio de um lugar sobre asuperfcie da Terra so a latitude e a longitude. A latitude de um lugar o valor, em graus, quese percorre desde o Equador at esse lugar, para Norte ou para Sul.

Figura 5.5: Globo com representao do Equador e de paralelos.

Na Figura 5.5 esto traados o Equador, que a linha de latitude zero, e os paralelos, que

so circunferncias paralelas circunferncia do Equador. Os pontos do Globo sobre o mesmoparalelo tm a mesma latitude.

A longitude de um lugar o valor, em graus, que se percorre desde o Meridiano de Gre-enwich at esse lugar, para Este ou para Oeste.

Os crculos que passam pelos dois plos (Norte e Sul) so designados meridianos da Terra.Na Figura 5.6 est traado o Meridiano de Greenwich que a linha de longitude zero, assim

como outros meridianos.

Determinao da Latitude

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Figura 5.6: Globo com representao do Meridiano de Greenwich e de outros meridianos.

Calcular a latitude de um lugar seria muito simples se estivssemos num dos equincios4

.Nesses casos a latitude dada directamente por 90o menos a altura angular do Sol ao meio-diasolar.

Figura 5.7: Esquema da Posio do Sol num equincio.

Calcular a latitude de um lugar tambm seria muito simples se estivssemos no solstcio deVero (hemisfrio Norte). Nesse dia o Sol est na vertical do Trpico de Cncer, ao meio-diasolar. Como a latitude do Trpico de Cncer 23o 30 N, para calcular a latitude do lugar ondenos encontramos bastaria subtrair 23o 30 altura angular do Sol, e depois calcular como no diade um equincio.

Para determinar a latitude do lugar onde se encontra responda/explore as alneas do Grupo I:

4Equincio: momento em que o Sol est na vertical do equador. Ocorre no primeiro dia de Primavera e noprimeiro dia de Outono.

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Figura 5.8: Posio do Sol no solstcio de Junho.

Grupo I

a) Quantos dias decorrem desde o equincio de Primavera at ao solstcio de Vero (hemis-frio Norte)?

b) Quanto varia, em mdia, a altura angular do Sol por dia desde o equincio de Primavera

ao solstcio de Vero?c) Quantos dias decorreram desde o equincio de Primavera at ao dia de hoje?

d) Quanto variou a altura angular do Sol desde o equincio de Primavera at ao dia de hoje?

e) Utilize o astrolbio para medir, ao meio-dia solar, a altura angular do Sol. Qual , ento,a latitude do lugar onde se encontra?

Determinao da Longitude

Para calcular a longitude de um lugar necessrio saber o instante em que ocorreu o meio-diasolar num local de referncia e comparar com o instante a que ocorreu o meio-dia solar no lugaronde se encontra.

As coordenadas geogrficas de Lisboa so as seguintes: 38o4N e 9o8W.Suponhamos que o meio-dia solar em Lisboa ocorreu s 12h 34m 28s e no lugar onde se

encontra ocorreu s 12h 31m 40s.

Para determinar a longitude do lugar onde se encontra responda/explore as alneas do GrupoII:

Grupo II

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a) Qual a diferena horria entre o meio-dia solar do lugar onde se encontra e o meio-diasolar de Lisboa no dia de hoje?

b) Em qual dos dois lugares o meio-dia solar ocorreu, hoje, mais cedo?

c) Qual a variao do ngulo de rotao da Terra, por hora, em torno do seu eixo?

d) Determine a variao do ngulo de rotao da Terra, em torno do seu eixo, correspondente diferena horria que observou na alnea a)?

e) Como se sabe a rotao da Terra, em torno do seu eixo, no sentido Oeste-Este. Usandoas alneas anteriores determine a longitude do local lugar onde se encontra.

Resoluo

Justifique-se primeiramente que se se estivesse num dos equincios a latitude de um lugar seriadada directamente por 90o menos a altura angular do Sol ao meio-dia solar.Considerando a Figura 5.9 pretende-se mostrar que = 90o .

Figura 5.9: Esquema da determinao da latitude num equincio.

Como a recta r tangente esfera de centro C e raio CO vem que COA = 90o.A soma das amplitudes dos ngulos internos de um tringulo 180o. Em particular, O

AC +

+ 90o

= 180o

, isto , OAC = 90o .Como as rectas s1 e s2 so paralelas vem que os ngulos de amplitude e o ngulo so ngulosalternos internos.Logo = OAC. Ou seja, = 90o .Justifique-se, agora, que se se estivesse no solstcio de Vero (hemisfrio Norte) a latitude deum lugar do hemisfrio Norte seria dada por 90o menos a altura angular do Sol mais 23o30.Considerando a Figura 5.10 pretende-se mostrar que = 90o + 23o30.Seja B um ponto do Trpico de Cncer.Facilmente se conclui que = Ento, como = 23o30, vem que = 23o30. Considerando o ngulo de amplitude pode-mos raciocinar como se se estivesse num dos equincios. Ento conclumos que = 90o .

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Figura 5.10: Esquema da determinao da latitude no solstcio de Vero.

Ou seja, = 90o + 23o30.

Respondamos s alneas do Grupo I.a) Suponhamos que decorre o ano de 2007.

Neste ano do dia do equincio de Primavera ao dia do solstcio de Vero decorrem 92 dias.

b) Seja x a variao mdia da altura angular do Sol por dia.Ento,

x

92 = 23o30.

Ou seja, x 1519.Note-se que 1o = 60 e 1 = 60.

c) Suponhamos que estamos no dia 26 de Abril de 2007.(o que importa que estamos numdia compreendido entre o equincio de Primavera e o solstcio de Vero, no hemisfrio Norte)Ento desde o equincio de Primavera at ao dia 26 de Abril decorreram 36 dias.

d) Da alnea b) sabemos que a variao mdia da altura angular do Sol desde o equinciode Primavera ao solstcio de Vero 23o30. Da alnea c) sabemos que desde o equincio dePrimavera at ao dia 26 de Abril de 2007 decorreram 36 dias.

Logo, a variao da altura angular do Sol desde o equincio de Primavera at ao dia 26 de Abrilde 2007 foi, aproximadamente, 9o1144.

e) Suponhamos que ao meio-dia solar do dia 26 de Abril de 2007 a altura angular do Sol 58o.Subtraindo a variao total da altura angular do Sol desde o equincio de Primavera at ao dia26 de Abril de 2007 a 58o obtemos aproximadamente 48o4816.Assim latitude do lugar dada, aproximadamente, por 90o 48o4816. Ou seja, a latitude dolugar onde nos encontramos , aproximadamente, 41o1144.

Respondamos s alneas do Grupo II.

a) A diferena horria entre os dois lugares 2m 48s.

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b) O meio-dia solar ocorreu mais cedo em Vila Verde.

c) Sabe-se que a amplitude do ngulo de rotao da Terra em torno do seu eixo por dia 360o.

Assim, por hora, a variao da amplitude do ngulo de rotao da Terra 15o

.

d) Para se determinar a variao da amplitude do ngulo de rotao da Terra, em torno doseu eixo, correspondente diferena horria observada na alnea a), que foi 2m 48s basta, porexemplo, recorrer a uma regra de trs simples.Notemos que uma hora corresponde a 60 minutos.Comecemos por converter 48 segundos em minutos. Obtemos 0, 8 minutos.

ngulos(graus) Tempo(minutos)15 60x 2, 8

Conclumos que x = 15 2, 860

, isto , x = 0, 7. Logo a variao do ngulo de rotao da Terra,

em torno do seu eixo, correspondente a 2m 48s 42 (notemos que 0, 7o = 42).

e) Como no dia 26 de Abril de 2007 o meio-dia solar ocorreu mais cedo em Vila Verde (alneab)) e a rotao da Terra em torno do seu eixo no sentido Este-Oeste conclumos que Vila Verdese situa a Este de Lisboa.Como a variao do ngulo de rotao da Terra, em torno do seu eixo, correspondente a 2m 48s 42 conclumos que as longitudes de Vila Verde e Lisboa diferem 42.Assim, a longitude de Vila Verde (9o8 42)W, ou seja, 8o18W.

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5.1.4 A Estrela Polar e a Latitude

Introduo

A ficha de trabalho Estrela Polar e a Latitudeenvolve os seguintes conhecimentos matem-ticos:

Plano tangente a uma esfera num ponto; Soma das amplitudes dos ngulos internos de um tringulo; Amplitude de um ngulo raso.

Ficha de trabalho

muito fcil determinar a latitude de um lugar usando a Estrela Polar.

Figura 5.11: Determinao da latitude usando a Estrela Polar.Usando a Figura 5.11 responda/explore as seguintes questes:

Prolongue a recta t de forma a intersectar o equador no ponto A. Ento, B AO = 90o.Porqu?

O que pode concluir acerca de ABO? O plano do horizonte , em cada ponto, tangente Terra. O que pode concluir acerca de

OBC?

Ento, = . Porqu?

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Para medir a altura angular da Estrela Polar siga os seguintes pontos:

Procure a Estrela Polar (numa noite sem nuvens); Pendure o astrolbio e aponte o ponteiro na direco da Estrela Polar de modo que a

visualize atravs do tubo;

Indique a altura angular da Estrela Polar, ou seja, o valor, em graus, assinalado peloponteiro do astrolbio.

Qual a latitude do lugar onde se encontra?

Resoluo

Ponto 1: Prolongando a recta r obtm-se a Figura 5.12.BAO = 90o porque a direco da Estrela Polar faz um ngulo de 90o com o plano do Equador.

Figura 5.12: Esquema da situao da Estrela Polar.

Ponto 2: Considere-se o tringulo [ABO].como a soma das amplitudes dos ngulos internos de um tringulo 180o vem que ABO + +BAO = 180o. Ou seja,ABO = 90o .

Ponto 3: Pode-se concluir que OBC = 90o porque um plano tangente a uma esfera perpen-

dicular ao raio no ponto de tangncia.

Ponto 4: Observa-se facilmente que + OBC + ABO = 180o.Assim = 180o ABO 90o, isto , = 90o ABO.Ora, do ponto 2, ABO = 90o .Logo, = 90o (90o ).Donde se conclui que a latitude de um lugar igual altura angular da Estrela Polar.

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5.1.5 Eratstenes e um meridiano da Terra

Introduo

A ficha de trabalho Eratstenes e um meridiano da Terra envolve os seguintes conhecimentosmatemticos:

ngulos alternos internos; Permetro de uma circunferncia; Proporcionalidade directa; Arcos e ngulos ao centro de uma circunferncia.

Ficha de trabalho

Eratstenes nasceu em Cirene (actual Lbano), cerca de 276 a.C. e faleceu em Alexandria,cerca de 196 a.C. Como muitos sbios do seu tempo, foi astrnomo, historiador, gegrafo, fi-

lsofo, poeta e matemtico. Estes conhecimentos levaram-no a ocupar um cargo importanteda Antiguidade: director da Biblioteca de Alexandria. Actualmente Eratstenes lembradoespecialmente pela forma como mediu o permetro de um meridiano da Terra.

Eratstenes observou que ao meio-dia, no dia do Solstcio de Vero, o Sol brilhava direc-tamente no fundo de um poo, em Siena (actual Assuo, Egipto). Decidiu, ento, fazer umaexperincia. No solstcio, quando o Sol passa na vertical de Siena, mediu a amplitude do nguloque a direco do Sol faz com a vertical de Alexandria, usando uma estaca, obtendo 7,2o.

Figura 5.13: Esquema da medio efectuada por Eratstenes.

Usando a Figura 5.13, justifica que = 7, 2o.

Sabendo que Alexandria e Siena ficam distncia de cerca de 790 km e aproximadamenteno mesmo meridiano, determine o permetro de um meridiano da Terra obtido por Eratstenes.

Resoluo

Pretende-se justificar, primeiramente, que = 7, 2o.

Como os raios solares so paralelos vem que os ngulos de amplitude e de amplitude 7, 2o

so

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Figura 5.14: Posio de Alexandria e Siena no globo terrestre.

ngulos de lados paralelos.Logo, = 7, 2o.Para se determinar o permetro de um meridiano da Terra obtido por Eratstenes basta, por

exemplo, recorrer a uma regra de trs simples.

Distncia(km) ngulo(graus)790 7, 2

x 360

Conclumos que x =360 790

7, 2, isto , x = 39500. Logo o permetro de um meridiano da Terra

obtido por Eratstenes foi 39500 km.

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5.1.6 Paralaxe e a distncia de uma estrela Terra

Introduo

A ficha de trabalho Paralaxe e a distncia de uma estrela Terra envolve os seguintes conheci-mentos matemticos:

Razes trigonomtricas (seno, co-seno e tangente); Arredondamentos e valores aproximados; Proporcionalidade directa e proporcionalidade inversa.

Ficha de trabalho

Podemos determinar a distncia aproximada de uma estrela Terra, fazendo duas observa-es, com 6 meses de intervalo, isto , a partir de dois pontos opostos da rbita da Terra. Nessasduas observaes, visualizamos a estrela em duas direces distintas relativamente s estrelas

vizinhas e mais distantes, havendo assim um deslocamento aparente da estrela.A paralaxe de uma estrela metade da amplitude do ngulo definido entre a direco daprimeira observao e a direco da segunda observao.

Figura 5.15: Esquema da determinao da distncia de uma estrela Terra.

Na Figura 5.15, 1 U. A. representa uma unidade astronmica, ou seja, a distncia mdia daTerra ao Sol.

Escreva uma expresso que relacione a distncia da estrela Terra com a amplitude daparalaxe.

A segunda estrela mais prxima da Terra a estrela denominada Prxima de Centauro.

Sabendo que o ngulo de paralaxe desta estrela 0,764, determine a sua distncia apro-ximada Terra, em unidades astronmicas.

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Sabendo que 1 U.A. 1, 5108 km , determine a distncia aproximada da estrela Prximade Centauro Terra, em quilmetros.

Sabendo que 1 parsec = 206265 U.A., determine a distncia da estrela Prxima de Cen-tauro Terra, em parsecs.

Resoluo

Pretende-se escrever uma expresso que relacione a distncia da estrela Terra com a amplitudeda paralaxe.Seja d a distncia da estrela Terra e a amplitude da paralaxe.Conclui-se facilmente que

sin() =1

d.

Sabe-se que o ngulo de paralaxe da estrela Prxima de Centauro Terra 0, 764.Ento de 5.1.6 vem

d =1

sin (0, 764).

Donde se conclui que d 269980 U.A.

Determine-se agora a distncia da estrela Prxima de Centauro Terra em km.Sabe-se que 1 U.A. 1, 5 108km .Pelo que foi visto anteriormente vem d 4, 0497 1013 km.

Por ltimo, determine-se a distncia da estrela Prxima de Centauro Terra em parsecs.Sabe-se que 1 parsec = 206265 U.A.Assim d 1, 3 parsecs.

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Captulo 6

Experincia pedaggica

Neste captulo apresentam-se as concluses de uma experincia pedaggica na Escola Bsica2 e 3 de Vila Verde e sugestes para futuras implementaes das actividades propostas.

No seguimento do sugerido no captulo 5 (Astronomia no Ensino da Matemtica) foram

implementadas, pelo Ncleo de Estgio de Matemtica da Escola Bsica 2 e 3 de Vila Verde,algumas das actividades propostas. Essa implementao consistiu na explorao das fichas detrabalho Astrolbio, Altura de um edifcio, Determinao da Latitude e da Longitudee Eratste-nes e um meridiano da Terra, na turma E do nono ano, no 3o perodo do ano lectivo 2006/2007.

A turma em questo tem resultados acadmicos pouco satisfatrios a Matemtica. Cerca

Figura 6.1: Fotografia do 9oE da Escola Bsica 2 e 3 de Vila Verde, ano lectivo 2006/2007.

de 70% dos alunos obteve nvel 2, no 2o perodo do ano lectivo em causa. So, na sua maioria,alunos pouco motivados para a aprendizagem da Matemtica e com o objectivo de terminar oseu percurso acadmico aps a concluso do ensino secundrio. Revelam, em geral, uma visomuito compartimentada do conhecimento e dificuldades em percepcionar a aplicabilidade daMatemtica. No obstante, so alunos participativos e bastante interessados em actividades edesafios no rotineiros.

Perante este cenrio, a realizao desta experincia constitui uma oportunidade para mo-dificar a atitude que estes alunos tm face Matemtica. Procura-se tirar partido do fascnioque a Astronomia habitualmente exerce nos alunos, motivando-os e mostrando-lhes a aplicabi-lidade da Matemtica, bem como a interligao desta cincia com outras reas, nomeadamentea Geografia e a Astronomia.

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6.1 Implementao das Actividades

A implementao das actividades decorreu ao longo de um dia.A ficha de trabalho Astrolbio foi a primeira a ser explorada e permitiu uma articulao

com a Histria de Portugal. Muitos alunos mostraram ser conhecedores de que o astrolbio foi

utilizado pelos navegadores portugueses, na poca dos Descobrimentos, permitindo determinaras suas posies na Terra. No que concerne tarefa proposta, construo do astrolbio, esta foide fcil execuo. Os alunos foram capazes de aplicar conhecimentos geomtricos, leccionadosnas aulas de Matemtica, na construo deste instrumento de medio de ngulos. De formaautnoma, desenharam duas circunferncias concntricas e de seguida traaram dois dimetrosperpendiculares da circunferncia de maior raio traando a mediatriz de um segmento de recta.Esta fase de construo foi muito positiva uma vez que os alunos foram capazes de, por inicia-tiva prpria, utilizar conhecimentos matemticos para a prossecuo das tarefas propostas. Foina fase de graduao do astrolbio que os alunos revelaram mais dificuldades. Concretamente,no conseguiram descobrir imediatamente o processo de graduao. De forma a superar essadificuldade decidimos relembrar ngulos ao centro que, curiosamente, tinham sido recentemente

leccionados na disciplina de Matemtica. Perguntamos, ento, como podiam realizar a gradua-o do astrolbio utilizando o transferidor. Nesta altura vrios alunos conseguiram concluir quebastava marcar a amplitude de ngulos ao centro de uma circunferncia com um raio menor aodesejado e seguidamente marcar a interseco dos lados desse ngulo com a circunferncia demaior raio. Conseguiram, neste momento, distinguir claramente o comprimento de um arco decircunferncia e amplitude desse ngulo. O processo de construo procedente consistiu apenasnum processo mecnico no oferecendo qualquer dificuldade.

De certo modo esta actividade motivou os alunos, que ficaram expectantes relativamente

Figura 6.2: Construo do Astrolbio por alguns alunos do 9oE.

s experincias em que utilizariam o astrolbio construdo.

Posteriormente, num outro momento do dia, procedeu-se explorao da ficha de trabalhoEratstenes e um meridiano da Terra. Esta ficha foi aproveitada para dar a conhecer aos alunosuma personalidade importante da Histria da Matemtica: Eratstenes. Alm do mais, estaficha permitiu que os alunos contactassem com um exemplo histrico, o que muito importanteporque ajuda os alunos a apreciar o contributo da Matemtica para a compreenso e resoluode problemas do Homem atravs dos tempos. Os alunos ficaram surpresos com o problema pro-posto nesta ficha de trabalho especialmente pelo facto de notarem que este problema tinha j sido

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resolvido h mais de dois mil anos. No que concerne explorao desta ficha correu muito bem.Os alunos comearam por justificar porque que = 7, 2o. Para eles chegarem s justificaespretendidas foi necessrio, informar que os raios de Sol so paralelos. Assim considerando rectasparalelas os alunos conseguiram identificar que os ngulos de amplitude e de amplitude 7, 2o

eram ngulos de lados paralelos pelo que concluram que eram geometricamente iguais. No que

diz respeito segunda tarefa proposta, a determinao do permetro de um meridiano da Terra,esta correu de forma excelente uma vez que, sem qualquer auxilio da nossa parte, os alunos iden-tificaram de imediato um processo que lhes permitia chegar ao resultado pretendido. Aplicandoa proporcionalidade directa, usando a conhecida regra de trs simples, os alunos determinaram opermetro de um meridiano da Terra. Para tal os alunos reconheceram que o comprimento de umarco de circunferncia e a amplitude do ngulo ao centro correspondente variam na proporo di-recta um do outro. A explorao desta ficha correu muito bem uma vez que os alunos revelarama capacidade de aplicar correctamente conhecimentos matemticos, nomeadamente geomtricos.

Seguidamente foi explorada a ficha de trabalho Determinao da Latitude e da Longitudenaqual est eminente uma interligao entre a Matemtica, a Geografia e a Astronomia. Inicial-

mente os alunos evidenciaram algumas dificuldades em conceitos ligados Geografia. Aps umbreve esclarecimento tal contrariedade foi ultrapassada. Antecipando este problema, faziam jparte da ficha de trabalho algumas noes necessrias para a compreenso do mtodo propostopara determinar a latitude e a longitude de um lugar. Essas noes foram percebidas pelosalunos, no entanto, eles no foram capazes de associ-los com o mtodo de raciocnio necessriopara a determinao da latitude num equincio e no solstcio de Vero no hemisfrio norte. Foiento necessrio proceder a um breve esclarecimento recorrendo a um esquema no quadro. Deseguida procedeu-se explorao das alneas do Grupo I. Pretendia-se determinar a latitude daEscola Bsica 2 e 3 de Vila Verde. A resoluo destas alneas por parte dos alunos correu global-mente bem. No obstante, surpreendentemente, alguns alunos no foram capazes de identificaro dia do equincio de Primavera e o dia de solstcio de Vero. No que concerne variao mdia

da altura angular do Sol por dia e a variao total da altura angular do Sol no se verificouqualquer dificuldade. Relativamente alnea e) tivemos de ser ns a medir a altura angular doSol ao meio-dia solar. Tal deveu-se ao facto dos alunos no estarem disponveis para o fazer poisdecorriam aulas de outras disciplinas. Na restante resoluo da alnea e) os alunos determinaramfacilmente a latitude do lugar. Tal significou que os alunos tinham compreendido o mtodo usadopara a determinao da latitude num dia de equincio e no solstcio de Vero. A determinaoda longitude revelou-se mais difcil. As duas primeiras alneas correram de forma positiva apesarde alguns alunos mostrarem dificuldades, em determinar a diferena horria entre os dois locais,devido ao facto de no conseguirem subtrair correctamente segundos com segundos e minutoscom minutos. Quanto alnea c) e d) apenas de salientar que estranhamente alguns alunosno conseguiram identificar que o ngulo de rotao da Terra por dia em torno do seu eixo era

360o

. Aps fornecermos essa informao a resoluo decorreu facilmente. Os alunos consegui-ram mais uma vez aplicar a proporcionalidade directa, usando a regra de trs simples, no seesquecendo de converter horas em minutos na alnea d). A alnea e) foi onde os alunos mostra-ram maiores dificuldades. Relacionar o sentido de rotao da Terra (Oeste-Este) com o meio-diasolar revelou-se uma tarefa difcil. Tal impediu que os alunos conseguissem de forma autnomadeterminar a longitude do lugar. Tivemos de explicar vrias vezes o raciocnio usado porquealguns alunos manifestaram muitas dvidas. Relativamente aos resultados desta ficha de traba-lho de salientar que as aproximaes obtidas para as coordenadas geogrficas de Vila Verdeforam muito prximas dos valores reais. Os alunos ficaram surpreendidos com o facto de con-seguirem determinar a latitude e a longitude de um lugar utilizando conhecimentos matemticos.

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Por ltimo, num terceiro momento, procedeu-se realizao da ficha de trabalho Alturade um edifcio. Na realizao da tarefa proposta os alunos usaram correctamente a trigonome-tria para determinar a altura do edifcio da escola, obtendo resultados muito prximos da alturareal do edifcio. Na prossecuo da tarefa proposta os alunos interpretaram de forma correcta oproblema colocado. Representaram esquematicamente a situao por um tringulo rectngulo

e identificaram que o comprimento de um dos lados desse tringulo era conhecido e que como astrolbio podiam determinar a amplitude de um dos ngulos do tringulo. Sendo, ento,conhecedores destes dados reconheceram que usando a tangente de um ngulo chegariam aoresultado pretendido. Assim fizeram. De seguida somaram ao valor obtido a distncia mnimados seus olhos ao cho. Foi curioso notar que no se esqueceram deste detalhe. E isto sem qual-quer interferncia nossa. A interpretao bem feita do problema permitiu uma fcil resoluodo mesmo. Por tudo o que foi dito anteriormente esta ficha de trabalho decorreu com sucesso.Os alunos ficaram admirados com a forma como podiam aplicar a Matemtica na resoluo deproblemas do quotidiano.

Figura 6.3: Medio da altura do edifcio da escola.

6.2 Resultados de aprendizagem

Como consequncia da explorao/implementao das fichas de trabalho anteriormente men-cionadas obtiveram-se os seguintes resultados:

Aplicao correcta de razes trigonomtricas na resoluo de problemas de ndole prtica,como por exemplo, na determinao da altura de um edifcio;

Conhecimento de uma tcnica para determinar a latitude e longitude do lugar onde osalunos se encontravam;

Uso adequado de variveis directamente proporcionais na resoluo da ficha de trabalhoLatitude e Longitude de um meridiano e Eratstenes e um meridiano da Terra;

Aplicao adequada de conhecimentos geomtricos para determinar o comprimento de ummeridiano da Terra;

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Converso eficiente de medidas e uso adequado de arredondamentos; Construo e utilizao correcta de um instrumento de medida de ngulos, o astrolbio; Desenvolvimento da capacidade de enfrentar problemas recorrendo a conhecimentos ma-

temticos apropriados;

Reconhecimento da aplicabilidade de ideias matemticas a problemas correntes e relacio-nados com a Matemtica;

reconhecimento da utilidade do valor e da utilidade da Matemtica.A nvel do processo de aprendizagem destaca-se, ainda, que os alunos estavam motivados,

aprendendo com gosto e de forma participativa, desenvolvendo-se aprendizagens significativas euma viso menos compartimentada do saber.

6.3 Anlise crticaDesta experincia pedaggica destacam-se vrios aspectos positivos e vrios aspectos nega-

tivos.Dos aspectos positivos de realar:

A participao e motivao dos alunos na realizao de actividades no rotineiras; O interesse e a curiosidade dos alunos por assuntos relativos Astronomia; A contribuio para uma atitude mais positiva face Matemtica;

Compreenso dos aspectos matemticos subjacentes aos problemas propostos.

Dos aspectos negativos de salientar:

Dificuldades de articulao entre conhecimentos matemticos e conhecimentos da disciplinade Geografia na determinao da latitude e da longitude de um lugar;

A realizao da ficha Astrolbio em grupo uma vez que em determinados momentos algunsalunos foram apenas observadores e no actores da construo que estava a ser realizada;

A implementao das fichas de trabalho num curto intervalo de tempo dificultando ainteriorizao e integrao por parte dos alunos dos conhecimentos abordados.

A no subdiviso da turma na realizao da experincia Altura de um edifcio.6.4 Sugestes

Decorrente da experincia pedaggica realizada, surgem novas pistas que podem oferecermelhorias para futuras implementaes.

Nessa sequncia apresentamos as seguintes sugestes:

Rever alguns conceitos bsicos da rea da Geografia antes da realizao da ficha de trabalhoDeterminao da Latitude e da Longitude, nomeadamente, latitude, longitude, paralelos,meridianos, solstcio e equincio.

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Implementar as fichas de trabalho, ao longo do ano lectivo, nas aulas de Matemtica, nomomento em que os contedos a ser aplicados estejam a ser leccionados. Tal permitiriaaprendizagens mais significativas e um maior contacto, dos alunos, com aplicaes daMatemtica.

Utilizar um globo na implementao da ficha de trabalho Determinao da latitude elongitude. Tal facilitaria a compreenso de alguns aspectos, nomeadamente, da rotao daTerra em torno do seu eixo e da posio do Sol num equincio e num solstcio permitindouma melhor articulao com a Matemtica.

Enfatizar mais a Histria da Matemtica aquando da realizao da ficha de trabalho Era-tstenes e um meridiano da Terra. Na experincia realizada observou-se que este temadesperta o fascnio dos alunos cativando-os para a aprendizagem.

6.5 Concluso

As actividades realizadas com os alunos permitiram que eles se apercebessem da utilidadee aplicabilidade de vrios conceitos leccionados nas aulas de Matemtica ao longo do 3o ciclo.Os alunos puderam aplicar, aos dados obtidos nas experincias, alguns conceitos de Geometriae/ou Trigonometria. Aprenderam a partir da experimentao e resoluo de problemas, ondeforam protagonistas, e no por um processo meramente descrito. Utilizando esta estratgiaconseguiu-se cativar os alunos de uma turma pouco motivada para a aprendizagem da Matem-tica obtendo-se bons resultados.

Quanto ao objectivo principal desta implementao foi atingido. Os alunos aperceberam-sedas aplicaes da Matemtica em outras reas, concretamente na resoluo de problemas ligados vida real e, em particular, Astronomia. Tal permitiu que os alunos percepcionassem que aMatemtica uma ferramenta til e indispensvel para interpretar e compreender o real.

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matemática na astronomia

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