MatemáticaFrente 1Módulo 22: TEOREMA DO BINÔMIO DE NEWTON1. TeoremaSejam x, y    e n   . Demonstra-se que

(x + y)n =   xny0 +   xn–1y1 +   xn–2y2 + ... +  + ... +   x0yn

O desenvolvimento de (x – y)n é feito lembrando que (x – y)n =  [ x + (– y) ]n.Exemplo

(x + y)10 =   x10y0  +   x9y1 +   x8y2 … +   x0y10 = x10 + 10x9y + 45x8y2 + ... + 10xy9 + y10

2. Termo geral

, para os expoentes de x em ordem decrescente.

, para os expoentes de x em ordem crescente.

3. Soma dos CoeficientesPara obter a soma S dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (ax ± by)n, em que a, b  * são constantes e x, y   * são as variáveis, basta substituir, em (ax ±  by)n, x e y por 1.

Assim, 

Módulo 23: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM, ARRANJOS E PERMITAÇÕES1. IntroduçãoPara se chegar a 50 063 860  jogos na Mega-Sena (total de agrupamentos de 6 números escolhidos entre um total de 60) ou a 4782969 resultados possíveis na Loteria Esportiva (palpites para 14 partidas de futebol), são usados princípios de Análise Combinatória.Esse ramo da Matemática aborda problemas de contagem e nos permite descobrir, ainda, de quantas maneiras diferentes podem ser formadas filas de pessoas ou quantas senhas distintas um banco consegue emitir para seus clientes, além de possibilitar a resolução de inúmeras situações da vida prática.

2. ContagemAs quantidades obtidas nas resoluções dos problemas variam de poucas unidades a muitos milhões.Em alguns casos é vantagem contar, uma a uma, todas as possibilidades, anotando de maneira ordenada os possíveis agrupamentos que satisfazem o problema.Exemplo 1Um quadrado ABCD de lado 3 centímetros teve seus lados divididos em partes de 1centímetro cada uma e os pontos ligados por segmentos de reta, como ilustra a figura a seguir.Para saber quantos quadrados podem ser destacados do desenho, devemos levar em conta que, além doquadrado ABCD e dos 9 “quadradinhos”, numerados de 1 a 9, temos mais 4 de lado 2 centímetros cada um. O total, portanto, é 1 + 4 + 9 = 14 quadrados.Essa contagem pode ser feita como segue.I) 1 quadrado de lado 3 centímetros;II) 4 quadrados de lado 2 centímetros, que são os constituídos pela união dos “quadradinhos” (1, 2, 4, 5), (2, 3, 5, 6), (4, 5, 7, 8) e (5, 6, 8, 9);III) 9 quadrados de lado 1 centímetro.

Exemplo 2Para determinar quantas seqüências de 7 elementos cada uma podem ser formadas com os elementos distintos A e B, sendo exatamente 3 deles iguais a “A” e que devem estar em posições consecutivas, não é difícil escrever e contar as 5 possibilidades, que são (A, A, A, B, B, B, B), (B,

A, A, A, B, B, B), (B, B, A, A, A, B, B), (B, B, B, A, A, A, B) e (B, B, B, B, A, A, A).Conclui-se, entretanto, que, sem nenhuma restrição, são 128 seqüências com 7 elementos cada uma, formadas com A e B. Porém, chegar a tal número de seqüências, escrevendo e contando todas, seria uma tarefa muito trabalhosa.Veremos, a seguir, como resolver esse tipo de problema utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.

3. Princípio Fundamental da ContagemConsidere um acontecimento composto de dois estágios sucessivos e independentes.Se o primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos e, em seguida, o segundo estágio pode ocorrer de nmodos distintos, então o número de maneiras de ocorrer esse acontecimento é igual ao produto m.n.No caso das seqüências com os elementos A e B, sem restrições, citadas anteriormente, devemos notar quecada uma pode iniciar-se de dois modos distintos (A ou B). Para cada uma dessas possibilidades, existem outras duas (A ou B) para a segunda posição e assim sucessivamente.0Até o terceiro estágio, os 8 casos podem ser dispostos de acordo com o seguinte diagrama:

Observe que, seguindo esse raciocínio, chega-se ao número total, que é 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27 = 128.

4. Técnicas de contagemBasicamente, são dois os tipos de agrupamentos utilizados em Análise Combinatória: arranjos ecombinações.Para diferenciar um do outro, tomemos os seguintes exemplos:Exemplo 1Considere quatro pontos, A, B, C e D, distintos de um mesmo plano, de modo que três quaisquer deles não estejam alinhados, como na figura.

Os triângulos ABC e ABD são diferentes. Diferem pela natureza (C  D) de pelo menos um de seus elementos.No entanto, ABC e ACB representam o mesmo triângulo. A ordem de leitura dos vértices não diferenciaum do outro.Esses agrupamentos que diferem apenas pela natureza de pelo menos um de seus elementos (não pela ordem) são chamados combinações.Exemplo 2Considere, agora, os algarismos 1, 2, 3 e 4.Os números 123 (cento e vinte e três) e 124 (cento e vinte e quatro) são diferentes. Diferem pela natureza (3  4) de pelo menos um de seus elementos.Os números 123 e 132, embora constituídos pelos mesmos algarismos, também são diferentes. Diferem pelaordem de seus elementos.Esses agrupamentos que diferem pela natureza de pelo menos um de seus elementos e também diferem pela ordem deles são chamados arranjos.

5. Arranjos SimplesComo vimos, são agrupamentos que diferem entre si pela ordem ou pela natureza de seus elementos. O número de arranjos simples de n elementos tomados k a k, ou classe k, com n  k, é dado por

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3Com os algarismos de 1 a 9 podem ser formados A9,4 = 3024 números de 4 algarismos distintos. Note que cada número difere de outro pela natureza ou pela ordem de seus elementos.

6. Permutações SimplesSão arranjos simples de n elementos tomados k a k em que n = k. Assim, permutações simples são agrupamentos que diferem entre si apenas pela ordem de seus elementos.Podemos dizer que uma permutação de n elementos é qualquer agrupamento orde nado desses n elementos.Por exemplo, as permutações dos elementos distintos A, B e C são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.O número de permutações simples de n elementos é dado por

7. Permutação com RepetiçãoSejam α elementos iguais a a, β elementos iguais a b, γ elementos iguais a c, . . ., λ elementos iguais a i, num total de α + β + γ + ... + λ = n elementos.O número de permutações distintas que podemos obter com esses n elementos é

8. Permutações CircularesO número de permutações circulares de n elementos é dado por 

Módulo 24: COMBINAÇÕES1. Combinações SimplesSão agrupamentos que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.Podemos dizer que uma combinação de n elementos distintos tomados k a k (n ≥ k) é uma escolha não ordenada de k dos n elementos dados.Por exemplo, as combinações dos 4 elementos distintos A, B, C e D, tomados 3 a 3 são ABC, ABD, ACD eBCD.É bom notar que ABC e BAC bem como todas as permutações de A, B e C representam a mesma combinação. O mesmo acontece com cada um dos agrupamentos ABC, ACD e BCD.O número de combinações simples de n elementos tomados k a k, ou classe k (n ≥ k), é dado por

2. Arranjos com RepetiçãoO número de arranjos com repetição de n elementos k a k é dado por

3. Combinações com RepetiçãoO número de combinações com repetição de n elementos k a k é dado por

Frente 2Módulo 15: Sistemas lineares: regra de Cramer e escalonamento1. Sistemas LinearesUm sistema (S) de m equações lineares (m ∈  ) com n incógnitas (n ∈  ), x1, x2, x3, …, xn, é um conjunto de equações da forma:

com m ≥ 2 e n ≥ 2no qual os coeficientes aij são números reais não todos nulos simultaneamente e os termos bi são números reais quaisquer.Se todos os mesmos bi forem nulos (i = 1, 2 …, m), então (S) é um sistema linear homogêneo.Dizemos que a n-upla de números reais (1, 2, …, n) é uma SOLUÇÃO do sistema (S) se forem verdadeiras todas as sentenças de (S) fazendo-se xi = i. Um sistema (S) é COMPATÍVEL (ou possível) se existir pelo menos uma solução; (S) é INCOMPATÍVEL (ou impossível) se não admite solução.Se "V" é o conjunto-solução (ou conjunto verdade) do sistema (S), então devemos ter uma das seguintes situações:– Compatível e determinado: quando V é um conjunto unitário.– Compatível e indetermina do: quando V é um conjunto infinito.– Incompatível: quando V é o conjunto vazio.Matrizes de um sistemaNum sistema linear, definem-se as duas matrizes seguintes:

que recebem o nome de:MI = matriz incompleta.MC = matriz completa (ou associa da ao sistema).Se a matriz M.I. for quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema (D).Exemplo

O sistema  é possível e determinado, pois apresenta uma única solução que é S = {(1, 2)}.

O sistema  é possível e indeterminado, pois apresenta infinitas soluções da forma S = {(k, k – 2)}.Observe, nesse exemplo, que a segunda equação é a primeira com ambos os membros multiplicados por 2.

O sistema  é impossível, pois não existe par ordenado (x, y) que torne as duas sentenças verdadeiras "simultaneamente". 

No sistema  , definem-se:   e o determinante do sistema 

2. Sistema NormalO sistema linear (S) com "m" equações e "n" incógnitas será "NORMAL" quando:

Resolução de um sistema normalTeorema de CramerQualquer sistema normal admite uma e uma só solução dada por: 

– D é o determinante do sistema.– Di é o determinante que se obtém de D, trocando a iésima coluna da matriz M.I. por b1, b2, b3, …, bn.Exemplo

O sistema   é normal, pois o número de equações é igual ao número de incógnitas

e o determinante do sistema: O Teorema de Cramer nos garante que a solução é única e obtida por:

3. Escalonamento (método de GAUSS)Definição: sistemas equivalentesDizemos que dois sistemas são equivalentes se e somente se apresentarem o mesmo conjunto-solução.Para transformar um sistema num sistema equivalente mais simples, pode-sepermutar duas equações; multiplicar qualquer uma das equações por um número real diferente de zero; multiplicar uma equação por um número real e adicioná-la à outra equação.ExemploVamos resolver o sistema:

transformando-o num sistema equivalente mais simples, seguindo o seguinte roteiro:para obter (b2), multiplique (a1) por –1 e adicione o resultado a (b1);para obter (c2), multiplique (a1) por –2 e adicione o resultado a (c1).

para obter (b3), multiplique (b2) por (–1); para obter (c3), multiplique (b2) por 3 e adicione o resultado a (c2).

Assim, como (l), (ll) e (lll) são equivalentes:de (c3), obtém-se z = –1;substituindo-se em (b3), obtém-se y = 2 e substituindo-o em (a1), obtém-se x = 1.

Logo, V = {(1; 2; –1)}DiscussãoSe for possível transformar um sistema (S) num sistema equivalente mais simples do tipo 

pode-se discuti-lo em função da variação de a e de b.Assim, sea ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.a = 0 e b = 0 ⇒ o sistema é possível e indeterminado.a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.

Módulo 16: Característica, teorema de Rouché-Capelli e sistemas homogenios1. SubmatrizSeja a matriz A = [ aij ]mxn

Submatriz de A é qualquer matriz que se obtém de A eliminando-se "r" linhas e "s" colunas. Seu determinante é chamado "menor" de A, se a matriz for quadrada.Característica de A"É a ordem máxima dos menores não todos nulos que se pode extrair de A".2. Teorema de KroneckerCaracterística de uma matriz é "p" se, e somente se:Existir pelo menos um "menor" de ordem p diferente de zero (determinante de ordem p ≠ zero).Todos os "menores" orlados ao "menor" do item (l) de ordem p + 1 são iguais a zero.Propriedades da característicaA característica de uma matriz não se altera quandotrocamos entre si duas filas paralelas.trocamos ordenadamente linhas por colunas.multiplicamos uma fila por uma constante k ≠ 0.acrescentamos ou eliminamos filas nulas.acrescentamos ou eliminamos uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas.somamos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas.Exemplos

Se   , então p = 2, pois existe um "menor" de ordem 2 diferente de zero. Por exemplo:

 e o "menor" de ordem 3 é igual a zero: 

 então p = 3, pois existe um menor de ordem 3 diferente de zero:

 e a ordem 3 é a máxima possível.

A característica da matriz   é igual à característica das seis matrizes abaixo.

3. Teorema de Rouché-CapelliSeja (S) um sistema linear e sejam:"p" a característica da matriz incompleta (Ml);"q" a característica da matriz completa (MC);"m" o número de equações;"n" o número de incógnitas.Teorema de Rouché-Capellip ≠ q ⇔ Sistema Impossível (SI) p = q = n ⇔ Sistema Possível e Determinado (SPD) p = q < n ⇔ Sistema Possível e Indeterminado (SPI)ObservaçãoNo (SPI), o número Gi = n – p é chamado grau de indeterminação do Sistema.ExemplosSejam p e q as características das matrizes incompleta e completa, respectivamente.

O sistema   é impossivel pois

e portanto p ≠ q

O sistema             e como n = 2, temos p = q < n

O sistema  e possível determinado, pois    e como temos n = 2, temos p = q = n4. Teorema de CRAMERdet MI = D ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.

5. Teorema de ROUCHÉ-CAPELLIp ≠ q ⇔ o sistema é impossível. p = q = n ⇔o sistema é possível e determinado. p = q < n ⇔ o sistema é possível e indeterminado, sendo:p – característica da MIq – característica da MCn – número de incógnitas

6. Método de GAUSSA equação az = b do sistema (S), de três equações a três incógnitas (x, y, z) após o escalonamento, poderá permitir a discussão:a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.a = b = 0 ⇒ o sistema é possível e indeterminado.a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.

7. Sistema Linear Homogêneo (SLH)Para um sistema linear homogêneo:as matrizes M.l. e M.C., embora diferentes, terão certamente a mesma característica (p = q). Um S.L.H. é, pois, sempre possível; a ênupla (0, 0, …, 0) sempre é solução da equação ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0, ai ∈   (chamada trivial); A "C.N.S." para o S.L.H. admitir – só uma solução trivial é p = n.– outras soluções além da trivial é p < n.Exemplo

O sistema  é sempre possível, pois:(0, 0, 0) é solução;

 tem, característica p ≥ 2, pois existe um menor de ordem 2 diferente de zero: A característica p é igual a 2 se o menor de ordem 3 for igual a zero, ou seja:

A característica p é igual a 3 se o menor de ordem 3 for diferente de zero, ou seja, se a ≠  .

Assim, se a =  , o sistema admite infinitas soluções além da forma trivial (0, 0, 0), soluções da forma

trivial (0, 0, 0) soluções da forma  . E se a ≠   , o sistema admite somente a solução trivial(0, 0, 0).Frente 3Módulo 15: DISTÂNCIA DE PONTO E RETA1. Distância de Ponto à RetaSeja a reta r, de equação ax + by + c = 0 e o ponto P(x0; y0), não pertencente à reta. A distância do ponto P à reta r será:

ExemploA distância do ponto P(5; 1) à reta de equação 3x + 4y – 4 = 0 é:

2. Distância entre duas retas paralelas

Dadas duas retas r e s paralelas com equações:r:  ax + by + c  = 0s: ax + by + c’ = 0conclui-se que a distância entre r e s é:

3. Lugares GeométricosDefiniçãoLugar geométrico (L.G.) é um conjunto de pontos, onde todos os pontos e somente eles gozam de uma propriedade comum. Dessa maneira, uma curva é um lugar geométrico quando todos os seus pontos e unicamente eles admitem uma propriedade comum.Resolução de ProblemasResolver um problema de lugar geométrico significa determinar a equação de uma curva e interpretar essa equação no plano cartesiano, isto é, dizer que tipo de curva representa a equação obtida.Para resolver um problema de L.G., devemos seguir os seguintes passos:1º) Tomar um ponto genérico P(x; y) do plano.2º) Impor, analiticamente, (geralmente, através das fórmulas de distâncias), condições para que o ponto pertença ao lugar geométrico.3º) Obter a equação do lugar geométrico.4º) Interpretar essa equação no plano cartesiano.

Módulo 16: CIRCUNFERÊNCIAA circunferência é um dos mais importantes lugares geométricos (L.G.), merecendo, pois, um estudo detalhado.

1. DefiniçãoDado um ponto C de um plano (chamado centro) e uma medida r não nula (chamada raio), denomina-se circunferência ao lugar geométrico (L.G.) dos pontos do plano que distam r do ponto C.

2. Equação reduzida (ou cartesiana) da circunferênciaSeja a circunferência de centro C(a; b) e raio r. Tomando-se um ponto genérico P(x; y) pertencente à circunferência, teremos:

P  circunferência  dPC = r  = r  (x – a)2 + (y – b)2 = r2   A equação

é denominada equação reduzida da circunferência. Caso particular: Se o centro da circunferência é a origem, C(0; 0), então a equação reduzida resulta

Exemplos1) Obter a equação reduzida da circunferência de centro C(– 2; 3) e raio 5.ResoluçãoA partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, resulta:(x – (–2))2 + (y –3)2 = 52  (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25, denominada equação reduzida. 

2) Obter a equação reduzida da circunferência de centro na origem e raio 5.ResoluçãoA partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos: (x – 0)2 + (y – 0)2 = 52  x2 + y2 = 25.

3. Equação geral (ou normal) da circunferênciaDesenvolvendo-se a equação reduzida da circunferência: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2  x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0Fazendo-se – 2a = m; – 2b = n e a2 + b2 – r2 = p, resulta:

que é denominada equação geral da circunferência.ExemploDetermine a equação geral da circunferência de centro C(–1; 3) e raio 5.ResoluçãoA partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos a equação reduzida: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25, que, desenvolvida, resulta x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25  x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, denominada equação geral da circunferência.

Frente 4Módulo 15: CILINDROS E CONES1. Definição de Elementos Sejam  e  planos paralelos (distintos), uma reta r interceptando os planos  e  e S uma região circular contida em a, que não tem ponto em comum com r.

Chama-se cilindro de base circular a união de todos os segmentos QQ’ paralelos a r, com Q  S e Q’  .h é altura do cilindro (distância entre a e );S é base do cilindro;AA’ é geratriz.

2. Cilindro Circular Reto (Cilindro de Revolução)Definição e ElementosCilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução é o sólido gerado por uma rotação completa de uma região de retângulo em torno de um de seus lados.

 é o eixo do cilindro;

AD é a geratriz da superfície lateral;

AB = DC = R é o raio da base.

Secção Meridiana

É a intersecção do cilindro com um plano  que  contém  o seu eixo (   na figura anterior).

O retângulo AEFD é uma secção meridiana do cilindro circular reto da figura.Cálculo de Áreas e Volumes– Área da Base (Ab)É a área de um círculo de raio R.

Assim: – Área Lateral ( )A superfície lateral é equivalente a um retângulo de dimensões 2pR (comprimento da circunferência da base) e h.

Assim: 

– Área Total (At)É a soma das áreas das bases com a área lateral.Assim: 

– Volume (V)Todo cilindro é equivalente a um prisma de mesma altura e mesma área da base.Assim:

3. Cilindro EqüilateroÉ todo cilindro de base circular cuja secção meridiana é um quadrado.Observe a imagem a seguir:

A secção meridiana A’ABB’ é um quadrado.Assim:

 Observação

Num cilindro eqüilátero de raio R e altura h, temos 1º) Ab = R2

 2º)   = 2 R . h = 2 R . 2R = 4 R2

 3º) At =   + 2Ab = 4 R2 + 2 R2 = 6 R2

 4º) V = Ab.h =  R2 . 2R = 2 R3

4. Cone CircularSeja um plano a, um ponto V œ a e um círculo g contido em a. Chama-se cone circular a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo g considerado.

No cone circular da figura têm-se os seguintes elementos:VÉRTICE: é o ponto V citado na definição.BASE: é o círculo g citado na definição.ALTURA: é a distância (h) do vértice ao plano da base.GERATRIZES: são os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base.RAIO DA BASE: é o raio do círculo g citado na definição.

5. Cone Reto

Definição e ElementosUm cone circular é dito reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.Na figura, temosVO = h é a altura  do coneOB = R é o raio da baseVB = g é a geratrizg2 = h2 + R2

Secção Meridiana

É a intersecção do cone reto com um plano que contém a reta   (eixo de rotação).A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles, cuja área é dada por

O triângulo isósceles VAB é uma secção meridiana do cone circular reto da figura.Desenvolvimento das Superfícies Lateral e Total de um Cone RetoA superfície lateral de um cone circular reto de raio da base R e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco tem comprimento 2R.Assim, sendo Ab a área da base,   a área lateral e At a área total desse cone circular reto, temos

Volume do ConeTodo cone é equivalente a uma pirâmide de base equivalente e de mesma altura.Assim:

6. Cone Equilátero

Um cone circular reto é dito equilátero quando a sua secção meridiana é um triângulo eqüilátero.No cone equilátero da figura, tem-se AB = AV = BV.

Assim: 

Módulo 16: TRONCOS

1. Secção paralela à base de um pirâmideQuando interceptamos todas as arestas laterais da pirâmide por um plano paralelo à base, que

não contém esta e nem o vértice, obtemos uma secção poligonal, tal que

As arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma razão. 

A secção obtida e a base são polígonos semelhantes.

A razão entre as áreas da secção (As) e da base (Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas distâncias ao vértice.

A razão entre os volumes das pirâmides semelhantes VA’B’C’... e VABC ... é igual ao cubo da razão entre suas alturas.

A “parte” (região) da pirâmide compreendida entre a base e a citada secção é denominada TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS.

2. Cálculo do volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas

Sendo AB e Ab as áreas das bases, H, a altura (distância entre os planosdas bases) e V, o volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas, tem-se

3. Tronco de cone de bases paralelas

Seccionando-se um cone por um plano paralelo à base dele, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um tronco de cone de bases paralelas.

Sendo R e r os raios das bases e h a altura do tronco de cone de bases paralelas, tem-se que o seu volume é dado por

e sua área lateral é dada por

4. Sólidos semelhantes

Em sólidos semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, e a razão entre os volumes é igual ao cubo da razão de semelhança.

Assim, se dois sólidos de áreas respectivamente iguais a A1 e A2, e volumes respectivamente iguais a V1 e V2, são semelhantes numa razão K, então

Exemplos

1) Se as arestas de um cubo forem duplicadas, a área ficará quadruplicada e o volume ficará octuplicado.

2) Se o raio e a altura de um cone forem reduzidos à metade, a área total do cone ficará reduzida à quarta parte e o volume do cone ficará reduzido à oitava parte.