Índice

Capítulo 1: Números y Proporcionalidad

I. Conjuntos numéricos

1. Números naturales

1.1 Pares e impares1.2 Primos1.3 Múltiplos y divisores1.4 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor1.5 Operaciones en los números naturales

2. Números cardinales

2.1 Operaciones en los números cardinales3. Números enteros

3.1 Operaciones en los números enteros3.2 Prioridad de las operaciones

4.Números racionales

4.1 Propiedades de las fracciones4.2 Operaciones en los números racionales4.3 Transformaciones4.4 Comparación de fracciones

5. Números irracionales

6. Números reales

6.1 Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas6.1.1 Análisis de cifras significativas6.1.2 Normas para el uso de cifras significativas

6.2 Desafíos y problemas numéricos6.2.1 Cuadrados mágicos6.2.2 Regularidades numéricas

7. Números imaginarios

8. Números complejos

II. Razones, proporciones, porcentajes e interés

1. Razones y proporciones

1.1 Razón1.2 Proporción

1.2.1 Teorema fundamental de las proporciones1.2.2 Propiedades de las proporciones1.2.3 Clasificación de las proporciones1.2.4 Serie de razones o proporciones

2. Proporcionalidad

2.1 Directa2.2 Inversa2.3 Compuesta

3. Porcentaje

3.1 Relación en porcentajes3.2 Variación porcentual (Δ%)3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de pérdida (%P)3.4 Interés

3.4.1 Interés simple3.4.2 Interés compuesto

Capítulo 2: Álgebra y Funciones

I. Potencias y raíces

1. Potencias

1.1 Signos de una potencia1.2 Propiedades

1.2.1 Multiplicación de potencias1.2.2 División de potencias1.2.3 Potencia de una potencia1.2.4 Potencias de exponente negativo1.2.5 Potencias de exponente cero

1.3 Potencias de base 102. Raíces

2.1 Propiedades2.1.1 Relación de la raíz y la potencia2.1.2 Multiplicación de raíces de igual índice2.1.3 División de raíces de igual índice2.1.4 Composición o descomposición de raíces2.1.5 Raíz de una raíz

2.2 Racionalización

II. Álgebra

1. Conceptos importantes

1.1 Término algebraico1.2 Expresión algebraica

1.2.1 Clasificación1.2.2 Grado

1.3 Términos semejantes2. Operaciones algebraicas

2.1 Adición y sustracción2.2 Multiplicación

2.2.1 Productos notables2.3 Factorización2.4 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)2.5 Máximo común divisor (M.C.D.)

3. Operatoria con fracciones algebraicas

3.1 Adición y sustracción3.2 Multiplicación3.3 División

III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Ecuaciones lineales

1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros 1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado1.4 Ecuaciones literales de primer grado

2. Metalenguaje y problemas de planteo

3. Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Métodos de resolución3.2 Representación gráfica

IV. Inecuaciones lineales

1. Desigualdades

1.1 Propiedades1.2 Intervalos

2. Inecuaciones lineales

3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

V. Relaciones y funciones

1. Nociones de conjuntos

2. Relaciones

2.1 Producto cartesiano2.2 Concepto de relación

3. Funciones

3.1 Concepto de función3.2 Representación gráfica3.3 Clasificación de funciones

VI. Funciones de variable real

1. Función afín

2. Función parte entera

3. Función valor absoluto

3.1 Propiedades del valor absoluto4. Función raíz cuadrada

5. Función cuadrática

5.1 Gráfica5.1.1 Concavidad5.1.2 Eje de simetría y vértice5.1.3 Intersección con los ejes

5.2 Ecuación de segundo grado5.2.1 Propiedades de las raíces o soluciones

6. Función exponencial

6.1 Leyes de crecimiento y decrecimiento exponencial.7. Función logarítmica

7.1 Logaritmos7.1.1 Tipos de logaritmos7.1.2 Propiedades

7.2 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales7.2.1 Exponencial7.2.2 Logarítmica

7.3 AplicacionesCAPÍTULO 3: GEOMETRÍA

I. Ángulos y polígonos

1. Ángulos

1.1 Sistemas de medida1.1.1 Unidades de los sistemas1.1.2 Transformación de un sistema en otro

1.2 Clasificación de ángulos1.3 Relaciones angulares

1.4 Ángulos entre paralelas2. Polígonos

2.1 Elementos de un polígono2.2 Clasificación de polígonos2.3 Generalidades en un polígono convexo de n lados

2.3.1 Número de diagonales desde un vértice2.3.2 Número total de diagonales2.3.3 Suma de los ángulos interiores de un polígono2.3.4 Suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo

II. Triángulos

1. Elementos primarios

2. Teoremas fundamentales

3. Elementos secundarios

3.1 Altura3.2 Bisectriz3.3 Simetral3.4 Mediana3.5 Transversal de gravedad

4. Generalidades

4.1 Área4.2 Perímetro

5. Clasificación de triángulos

5.1 Según sus ángulos5.1.1 Teoremas en el triángulo rectángulo5.1.2 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

5.2 Según sus lados5.2.1 Propiedades del triángulo equilátero5.2.2 Propiedades del triángulo isósceles

III. Trigonometría en el triángulo rectángulo

1. Razones trigonométricas

2. Identidades trigonométricas

3. Aplicaciones

3.1 Ángulos de elevación y de depresión3.2 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos más utilizados

IV. Cuadriláteros

1. Elementos primarios

2. Teoremas fundamentales

3. Clasificación de los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados

3.1 Paralelógramos3.2 Trapecios3.3 Trapezoides

V. Circunferencia y círculo

1. Elementos

2. Generalidades

2.1 Perímetros2.1.1 Perímetro de la circunferencia2.1.2 Perímetro del sector circular

2.2 Áreas2.2.1 Área del círculo2.2.2 Área del sector circular

3. Ángulos en la circunferencia

3.1 Ángulo del centro3.2 Ángulo inscrito

3.2.1 Ángulo inscrito en una semicircunferencia3.2.2 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

3.3 Ángulo semi-inscrito3.4 Ángulo interior3.5 Ángulo exterior

4. Proporcionalidad en la circunferencia

4.1 Teorema de las cuerdas4.2 Teorema de las secantes4.3 Teorema de la tangente y la secante4.4 Igualdad de tangentes

VI. Geometría de proporción

1. Congruencia

1.1 Elementos correspondientes en los triángulos1.2 Criterios de congruencia en triángulos

2. Equivalencia

3. Semejanza

3.1 Criterios de semejanza en triángulos

3.2 Propiedades de los triángulos semejantes3.3 Teorema de Thales

3.3.1 Casos particulares del teorema de Thales3.4 Teorema de la bisectriz

4. División de un segmento

4.1 División interior4.1.1 Sección áurea o divina

4.2 División exterior4.3 División armónica

VII. Cuerpos geométricos

1. Poliedros

1.1 Elementos1.2 Clasificación

1.2.1 Poliedros regulares1.2.2 Poliedros irregulares

1.3 Área y volumen de algunos poliedros1.3.1 Cubo o hexaedro1.3.2 Paralelepípedo

2. Cuerpos redondos

2.1 Cilindro2.2 Cono2.3 Esfera

VIII. Geometría analítica y Transformaciones isométricas

1. Plano cartesiano

1.1 Definición1.2 Coordenadas de un punto1.3 Cuadrantes1.4 Distancia y punto medio entre dos puntos

2. La recta

2.1 Pendiente2.2 Ecuación de la recta

2.2.1 Ecuación general2.2.2 Ecuación principal

2.3 Posición relativa entre rectas2.3.1 Rectas coincidentes2.3.2 Rectas paralelas2.3.3 Rectas perpendiculares

3. Transformaciones isométricas

3.1 Traslación3.1.1 Propiedades

3.2 Rotación3.2.1 Propiedades

3.3 Simetría3.3.1 Central3.3.2 Axial3.3.3 Propiedades de las simetrías

4. Teselaciones

4.1 Teselaciones regulares5. Homotecia

6. Geometría tridimensional

6.1 Plano tridimensional6.2 Ángulos diedros6.3 Posición relativa de planos y rectas

Capítulo 4: Probabilidad y Estadística

I. Probabilidad

1. Combinatoria

1.1 Principio multiplicativo1.2 Permutaciones

1.2.1 Sin repetición1.2.2 Con repetición

1.3 Variaciones1.3.1 Sin repetición1.3.2 Con repetición

1.4 Combinaciones1.4.1 Sin repetición1.4.2 Con repetición

2. Probabilidades

2.1 Definiciones2.1.1 Experimento aleatorio2.1.2 Espacio muestral (E)2.1.3 Evento o suceso

2.2 Ley de los Grandes Números2.3 Probabilidad clásica o “a priori”

2.3.1 Diagrama de árbol2.3.2 Tipos de sucesos

2.4 Probabilidad total2.5 Probabilidad condicionada2.6 Probabilidad compuesta

II. Estadística

1. Conceptos básicos

2. Tipos de gráficos

2.1 Gráficos de barras2.2 Histogramas2.3 Polígonos de frecuencias2.4 Gráficos circulares2.5 Pictogramas

3. Distribución de frecuencias

3.1 Tablas de datos NO agrupados3.2 Tablas de datos agrupados

4. Medidas de tendencia central

4.1 Media aritmética o promedio4.2 Mediana4.3 Moda

5. Medidas de dispersión

5.1 Varianza5.2 Desviación típica o estándar

Capítulo 1: Números y Proporcionalidad

Aprendizajes Esperados• Diferenciar entre números enteros, racionales e irracionales y aplicar sus propiedades determinando sus características.• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de

resolución.• Estimar y analizar los resultados en la realización de cálculos y ajustarlos a las características que necesita el problema.• Establecer relaciones de orden y posición de distintos tipos de números, utilizando la recta numérica y la inclusión en los conjuntos.

En la ilustración se muestra un fragmento de la pintura mural que adorna la tumba de un príncipe en Tebas, que vivió en tiempos del rey Tutmosis IV de laXVII dinastía (siglo XV a.C). Seis escribas contables controlan a cuatro obreros que cuentan el grano pasándolo de un montón a otro.

I. Conjuntos numéricos

1. Números naturales

El conjunto de los números naturales, que designaremos por la letra IN, corresponde a:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

Este conjunto tiene algunas características:

• Todo número natural tiene un sucesor. El sucesor de un número natural es el número aumentado en una unidad. El antecesor de un número naturales el número disminuido en una unidad. Por ejemplo: el sucesor de 27 es 28, el de 501 es 502, etc.

• Todo número natural, exceptuando el “1”, tiene un antecesor. Por ejemplo: el antecesor de 10 es 9, el de 912 es 911, etc.

• El conjunto de los Números naturales es infinito, es decir, no existe un último número natural.

1.1 Pares e impares

Este conjunto se puede separar en dos “subconjuntos”: los pares y los impares, y ningún número pertenece a ambos.

Los pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... y los impares son: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...

Los conceptos de sucesor y antecesor se pueden también generalizar para los números pares e impares, obteniendo de esta forma los conceptos de “parsucesor”, “par antecesor”, “impar sucesor” e “impar antecesor”. Por ejemplo, el impar sucesor de 37 es 39 y el par antecesor de 48 es 46.

1.2 Primos

Son aquellos que se pueden descomponer en exactamente dos factores distintos: el uno y el mismo número, es decir, dichos números se pueden dividirpor uno y por sí mismos. Por ejemplo, el 23 es un número primo, pues sus factores son exactamente dos, el 1 y el 23. Los primeros números primos son: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

Primos relativos o primos entre sí son aquellos que, no siendo primos necesariamente, no tienen factores primos comunes.

Ejemplo:

1) 21 y 25: 21 posee como factores primos el 3 y el 7, 25 posee al 5.2) 32 y 15: 15 posee como factores primos el 3 y el 5, 32 posee al 2.

Los números primos tienen gran importancia, porque cualquier número natural mayor que uno es primo o se puede expresar como producto de númerosprimos. Por ejemplo, el número 150 se puede expresar como 2 · 3 · 5 · 5 o escrito en potencias: 2 · 3 · 52.

Esta descomposición se llama factorización prima y tiene importancia para el estudio de las propiedades de los números; entre ellas, los divisores de unnúmero, el cálculo del máximo común divisor (M.C.D.) y del mínimo común múltiplo (m.c.m.).

Para descomponer un número en factores primos, procederemos dividiendo el número sucesivamente por los números primos hasta llegar al último factorprimo, tal como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

Descomponer el número 700 en factores primos:

Por lo tanto, la descomposición de 700 en factores primos corresponde a: 2 · 2 · 5 · 5 · 7, el cual se puede escribir en notación de potencias de la siguienteforma: 22 · 52 · 7.

1.3 Múltiplos y divisores

En la radio FM “Retro”, cada 30 minutos se anuncia la hora mediante una grabación automática. Las horas son anunciadas a los 30, 60, 90, 120 minutos,etc., después de la primera vez. Estos números corresponden a los múltiplos de 30 y son la multiplicación de 30 por los números naturales 1, 2, 3, 4,..., etc.

Un ejemplo de múltiplos de un número cualquiera podrían ser los múltiplos del número 14, los que se designan con el símbolo M(14) y corresponde alconjunto: {14, 28, 42, 56, 70,...}

Supongamos que queremos saber si el número 168 está o no en este conjunto. Para ello, deberíamos saber si “14” divide exactamente a 168 o no.

Efectivamente, 168 = 14 · 12; por lo tanto, 168 es múltiplo de 14 y también podemos decir que 168 es divisible por 14. Entonces, los conceptos de múltiploy divisor están fuertemente relacionados: “si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a”, y viceversa.

Para determinar en forma rápida si un número es divisible o no por otro, existen las llamadas reglas de divisibilidad, algunas de las cuales se presentana continuación:

• Un número es divisible por dos si su última cifra es un número par o cero. Ejemplo: 58, ya que 8 es número par.

• Un número es divisible por tres si la suma de sus cifras es múltiplo de tres. Ejemplo: 42, ya que 4 + 2 = 6 y este es múltiplo de tres.

• Un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o ambos son ceros. Ejemplo: 708, ya que 8 es múltiplo de cuatro.

• Un número es divisible por cinco si su última cifra es cero o cinco. Ejemplos: 85 y 50.

• Un número es divisible por seis si es divisible por dos y tres a la vez. Ejemplo: 42.

• Un número es divisible por nueve si la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. Ejemplo: 3.699, ya que 3 + 6 + 9 + 9 = 27 y este es múltiplo de nueve.

• Un número es divisible por diez si su última cifra es cero. Ejemplo: 3.840

Los divisores de un número los puedes determinar si ocupas las reglas anteriores o bien si efectúas la descomposición en factores primos. Por ejemplo,para hallar los divisores de 60, podemos encontrar su descomposición en factores primos:

Entonces 60 = 3 · 5 · 22.

Los números que dividen a 60 son el 1, cada uno de sus factores primos y todos los productos posibles entre ellos.

El conjunto de los divisores de 60 se puede escribir:D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

1.4 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) se puede calcular desarrollando la descomposición prima de todos los números y multiplicando todos los factoresdistintos que aparezcan, elevados cada uno al mayor exponente que tenga en las descomposiciones.

El máximo común divisor (M.C.D.) se puede calcular desarrollando la descomposición prima y multiplicando posteriormente los factores comuneselevados cada uno al menor exponente que tenga en las descomposiciones.A continuación, te presentamos dos situaciones de la vida diaria donde se aplica el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor:

Juan compró un vehículo y se dio cuenta de que el cambio de aceite debía hacerse cada 6.000 km; el cambio de filtro de aceite cada 10.000 km; y larevisión de frenos, cada 12.000 km. Luego se preguntó: si tuviera que hacer las tres cosas a la vez, ¿en cuántos kilómetros más las tendré que realizar?

Al contar determinó lo siguiente:

Y luego surgió la respuesta: el número corresponde al menor de los múltiplos comunes, es decir, al m.c.m. (mínimo común múltiplo).

El cálculo del m.c.m. se puede realizar utilizando la descomposición en factores primos de los números, es decir:

Ahora, para hallar el m.c.m. se deben multiplicar todos los factores distintos que aparecen en las descomposiciones, elevados al mayor exponente queaparezca en cada base.

El primer elemento de este conjunto, es decir, el “1”, por definición, NO es primo.

Fanny está a cargo del festival del instituto donde estudia y debe empapelar una parte de una pared con cuadrados de cartulina de diversos colores.

El pliego de cartulina de color tiene un tamaño de 84 por 108 cm y quiere hacer la menor cantidad de cortes posibles para que no sobre material en cadapliego. ¿Cuánto debe medir el lado de cada cuadrado para que cumpla con lo anterior?

Para resolver esto, Fanny debería calcular el máximo común divisor (M.C.D.) entre 84 y 108.

El cálculo del M.C.D. se obtiene al igual que en los ejemplos anteriores a través de la descomposición en factores primos:

Se puede observar que el mayor número que divide simultáneamente ambos números es 12, el cual corresponde al M.C.D. Finalmente, Fanny deberácortar trozos de cartulina de 12 por 12 cm para que no le sobre ningún pedazo y así optimizar la cartulina.

Un número se puede escribir de una única manera como un producto de números primos.

Ejemplo:

1.5 Operaciones en los números naturales

Las operaciones aritméticas que se definen en este conjunto son las siguientes:

a. Adición

Sean dos números naturales a y b, la adición de números naturales se expresa por: a + b

Propiedades

Nota: No existe elemento neutro para la adición.

b. Sustracción

Sean dos números naturales a y b, la sustracción o diferencia de números naturales se expresa por a – b, con:

c. Multiplicación

Sean dos números naturales a y b, la multiplicación o producto de números naturales se expresa por: a · b.

Propiedades

La “multiplicación” es distributiva con respecto a la “suma”, es decir:

d. División

Sean dos números naturales a y b, la división de números naturales se expresa por (a : b), con:

Ejemplo:

Ser divisible significa que el resto es cero y el cuociente (división) no tiene decimales.

2. Números cardinales

Este conjunto se define por:

2.1 Operaciones en los números cardinales

Las operaciones aritméticas que se definen en este conjunto, al igual que en el conjunto anterior, son las siguientes:

a. Adición Sean dos números cardinales a y b, la adición de números cardinales se expresa por: a + b.

Propiedades:

b. Sustracción

Sean dos números cardinales a y b, la sustracción o diferencia de números cardinales se expresa por (a – b), con:

c. Multiplicación

Sean dos números cardinales a y b, la multiplicación de números cardinales se expresa por: a · b.

Propiedades:

d. División

Sean dos números cardinales a y b, la división de números cardinales se expresa por (a : b). La división por cero no está definida en este conjunto,luego:

3. Números enteros

Los números enteros conforman el conjunto:Z = {...,– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,...}

En el conjunto de los números enteros, los números naturales corresponden a los números enteros positivos.

En los números naturales y cardinales ya se han descrito las operaciones aritméticas básicas, las cuales podemos extender a todo el conjunto de losnúmeros enteros.

Al sumar, restar o multiplicar números enteros, el resultado es siempre un número entero. En cambio, en la división no siempre es así.

3.1 Operaciones en los números enteros

a. Adición

Sean dos números enteros a y b, la adición de números enteros se expresa por: a + b.

La adición de dos números enteros de igual signo se obtiene sumando los valores absolutos de cada número entero y manteniendo el signo de lossumandos.

El valor absoluto de un número se puede interpretar en la recta numéricacomo la distancia del número al cero. Por lo tanto, siempre es positivo o cero. Larepresentación del valor absoluto de un número entero se puede establecer a través de la siguiente regla.

La suma de un número positivo con uno negativo se obtiene restando los valores absolutos de cada número y colocando el signo del mayor valorabsoluto.

b. Sustracción

Sean dos números enteros a y b, la sustracción o diferencia de números enteros se expresa por (a – b), con:

La anterior definición determina que en este conjunto siempre existe un elemento que representa la diferencia entre dos elementos cualesquiera, es decir,a partir del conjunto de los números enteros se puede realizar cualquier sustracción.

Ejemplo:

7 − 4 = 38 − 19 = −11

La diferencia entre dos números enteros no es conmutativa, por lo que tampoco es asociativa.

Ejemplo:

7 − 4 = 34 − 7 = −3

c. Multiplicación

Sean dos números enteros a y b, la multiplicación de números enteros se expresa por: a · b. Se deben mencionar los siguientes casos:

• El producto de dos números enteros de igual signo se obtiene multiplicando los números y anteponiendo el signo positivo, es decir, lamultiplicación de números enteros de igual signo es siempre “positiva”.

• El producto de dos números enteros de distinto signo se obtiene multiplicando los valores absolutos de los números y anteponiendo el signonegativo, es decir, la multiplicación de números enteros de distinto signo siempre es “negativa”.

Ejemplo:

3·(−120.000) = −360.000(−3)·(−120.000) = 360.000

Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0

d. División

Sean dos números enteros a y b, la división de números enteros se expresa por (a : b).

La división, al igual que en los Números Naturales, es la operación inversa de la multiplicación. Es decir, dividir 14 : 2 corresponde a determinar quénúmero multiplicado por 2 da como resultado 14.

Luego, para dividir números enteros se deben dividir los valores absolutos de los números y asignarles signo de la misma forma que al multiplicar:

• Si se dividen dos números de igual signo, el resultado es positivo.

• Si se dividen dos números de distinto signo, el resultado es negativo.

En el ejemplo anterior – 14 : 2 = – 7.

En resumen, se puede establecer una regla de signos para la multiplicación y división de números enteros, la cual se resume en la siguiente tabla:

Propiedades: Se cumplen las mismas que en IN0 .

3.2 Prioridad de las operaciones

Al igual que en la operatoria con números naturales y cardinales, en los números enteros hay algunas operaciones que tienen prioridad sobre otras. De locontrario, en cálculos como – 20 : 5 + 7, no se sabría si calcular primero la división o la suma.

En cálculos con expresiones que tengan paréntesis y operaciones combinadas, el orden para ejecutar las operaciones es el siguiente:

1º Las operaciones que están entre paréntesis, partiendo de los interiores a los exteriores.

2º Potencias.

3º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

4º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

4.Números racionales

Son aquellos que se pueden escribir de la forma y pertenecen al conjunto:

a : numerador (dividendo)b : denominador (divisor)

Éstos están formados por todos los números que se pueden escribir como una fracción, cuyos numerador y denominador son números enteros, pero eldenominador es diferente de cero.

Ejemplo:

4.1 Propiedades de las fracciones

• Amplificar y simplificar fracciones son procedimientos que no cambian el valor de una fracción.

Ejemplo:

• Simplificar una fracción es el proceso inverso de amplificar, o sea, se dividen el numerador y el denominador por un mismo número.

Ejemplo:

• El inverso multiplicativo o recíproco del número

siempre que a y b sean distintos de cero.

• La prioridad de operaciones también se aplica a la operatoria con fracciones.

4.2 Operaciones en los números racionales

Sean a, b, c, d diferentes de cero.

No es lo mismo

porque el primero es un producto de un número entero por una fracción y el segundo un número mixto.

4.3 Transformaciones

a. De fracción a decimal

Para esto basta dividir el numerador por el denominador.

b. De decimal finito a fracción común

La fracción que resulta tiene por numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10, cuyo exponente será el número total dedecimales.

c. De decimal periódico a fracción común

La fracción resultante tiene como numerador el período y como denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

Ejemplo:

d. De decimal semiperiódico a fracción común

La fracción tiene como numerador un número formado por el número sin la coma menos lo que está antes del período, y como denominador un númerocon tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

4.4 Comparación de fracciones

Comparar fracciones significa ordenarlas en forma creciente o decreciente dos o más fracciones. Los métodos más comunes son:

• Multiplicación cruzada: Este método es conveniente si son pocas fracciones a comparar.

Ejemplo:

Al comparar

• Igualar denominadores: Este método es conveniente utilizar cuando son varias fracciones a comparar. Se calcula el m.c.m. de los denominadores ycada fracción es amplificada para que tenga el mismo denominador, luego se comparan los numeradores.

• Transformar a decimal: Se transforma de fracción a decimal y después se compara decimal a decimal.

Ejemplo:

Al comparar decimales el primero es igual para los tres, en el segundo el 8 es el mayor entonces, es la fracción mayor y en el tercer decimal 7 > 0

5. Números irracionales

Las transformaciones anteriores permiten determinar que los elementos del conjunto de los números racionales se clasifican en números decimalesfinitos, infinitos periódicos y semiperiódicos, los cuales se pueden también representar a través de una fracción.

Además de los números mencionados anteriormente, existen números decimales que tienen infinitas cifras decimales, sin período, los cuales no sepueden escribir como una fracción con numerador y denominador enteros. Estos elementos se llaman números irracionales.

En resumen, los números Irracionales son todos aquellos que no se pueden escribir de la forma, con

Propiedades

• Una secta matemática

Nacido en la isla de Samos, Pitágoras habría sido discípulo de Thales, que enseñaba en Mileto, la ciudad vecina. Viajó mucho a Egipto y a Babilonia,antes de instalarse en una colonia griega del sur de Italia, Crotona. Fundó una secta a la vez científica, religiosa y política. Los pitagóricos estudiabanmatemática y música. Buscaban la armonía universal, explicando el mundo con los números (enteros), atribuyendo un nombre a cada cosa. Predicabanuna vida austera; compartían sus bienes y sus descubrimientos científicos.La escuela pitagórica, que existió hasta aproximadamente el año 400 a.C., dio origen a la aritmética. Los pitagóricos se consagran exclusivamente alestudio de los números enteros, que asimilaban a las figuras geométricas. El descubrimiento de los irracionales

... que volvía imposible esta correspondencia, provocó una gran crisis entre los pitagóricos, el primer drama de la historia de la matemática.

6. Números reales

La unión entre los conjuntos de números racionales e irracionales forma el conjunto de los números reales. La recta numérica nos permite representareste conjunto, ésta está formada por infinitos puntos. A cada punto sobre la recta le corresponde un número real único, que se denomina coordenada deese punto. Por esta razón se dice que existe una correspondencia entre puntos de la recta y los números reales. Dicha recta se llama recta decoordenadas o recta de números reales. Finalmente, existe la libertad de tratar los números reales como puntos sobre dicha recta y viceversa.

6.1 Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas

6.1.1 Análisis de cifras significativas

Excepto cuando todos los números de una operación son enteros (como, por ejemplo, al contar las aves de un corral), a menudo es imposible obtener elvalor exacto de la cantidad que se investiga.

Por este motivo, es importante indicar el margen de error en las mediciones indicando claramente el número de cifras significativas: dígitosrepresentativos de una magnitud medida o calculada. Cuando se cuentan las cifras significativas se sobreentiende que el último dígito es incierto.

Como ejemplo, si una probeta está graduada en mililitros y se encuentra que el volumen de un líquido es de 6 ml, el volumen real estará en el intervalo de5 a 7 ml. El volumen del líquido se presenta como (6 ± 1) ml. En este caso solo hay una cifra significativa, el número 6, que tiene incertidumbre de más omenos 1. Para mejorar la medición se podría utilizar una probeta con divisiones más finas, de tal manera que la incertidumbre fuera de solo 0,1 ml si seencuentra que el volumen del líquido es de 6,0 ml, la cantidad se puede expresar como (6 ± 0,1) ml, y el valor correcto estará entre 5,9 y 6,1 ml. Se puedecontinuar mejorando las mediciones mediante el empleo de otros dispositivos y obtener más cifras significativas. En todo caso, el último dígito es siempreincierto; el valor de esta incertidumbre dependerá del instrumento de medición.

6.1.2 Normas para el uso de cifras significativas

El análisis previo demuestra que en el trabajo científico siempre se debe tener cuidado de anotar el número adecuado de cifras significativas. En general,es bastante fácil determinar cuántas cifras significativas hay en un número si se siguen las siguientes reglas:

a. Cualquier dígito diferente de cero es significativo. Así, 845 tiene tres cifras significativas; 1,234 kg tiene cuatro cifras significativas, etcétera.

b. Los ceros ubicados entre dígitos distintos de cero son significativos. Así, 606 m tiene tres cifras significativas; 40.501 tienen cinco cifrassignificativas, etcétera.

c. Los ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero no son significativos. Estos ceros se usan para indicar el lugar del punto decimal. Así,0,08 L tiene una cifra significativa; la medida 0,0000349 cm tiene tres cifras significativas, etcétera.

d. Si un número es mayor de 1, todos los ceros escritos a la derecha del punto decimal cuentan como cifras significativas. Así 2,0 mg tiene dos cifrassignificativas; 40,062 ml tiene cinco cifras significativas; 3,040 tiene cuatro cifras significativas. Si el número es menor de 1, solamente los ceros que estánal final del número o entre dígitos diferentes de cero son significativos. Así, la cifra 0,090 kg tiene dos cifras significativas; 0,3005 m/s tiene cuatro cifrassignificativas y, como último ejemplo, 0,00420 min tiene tres cifras significativas.

e. Para números sin punto decimal los ceros que están después del último dígito de cero pueden ser o no significativos. Así, 400 cm puede tener unacifra significativa (el dígito 4), dos (40) o tres (400). No es posible saber cuál es la cantidad correcta de cifras significativas si no se cuenta con mayorinformación. Sin embargo, empleando notación científica se puede evitar esta ambigüedad. En este caso particular, el número 400 puede expresarsecomo 4 x 102 para una cifra significativa, 4,0 x 102 para dos y 4,00 x 102 para tres.

El siguiente paso consiste en explicar cómo se manejan las cifras significativas en los cálculos. Es posible formular las siguientes normas:

1. En la adición y la sustracción el número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la cantidad resultante está determinado por elnúmero mínimo de cifras significativas a la derecha del punto decimal en cualquiera de los números originales. Por ejemplo:

El procedimiento para redondear es el siguiente: si se desea redondear un número hasta cierto punto, simplemente se eliminan los dígitos que no deseanconservarse, si el primero, de izquierda a derecha, de los que se eliminan es menor de cinco (5). Así 8,724 se redondea a 8,72 si solo se quieren doscifras significativas después del punto decimal. Si el primer dígito que sigue al último número que se desea conservar es igual o mayor de cinco (5), dichonúmero se incrementa en una unidad. Así 8,727 se redondea a 8,73 y 0,425 se redondea a 0,43.

2. En el caso de la multiplicación y la división, el número de cifras significativas del producto o el del cuociente es igual al menor número de cifrassignificativas en las cantidades originales.

Por ejemplo:

2,8 · 4,5039 = 12,61092 se redondea a 13; 6,85 : 112,04 = 0,0611388789 se redondea a 0,0611.

3. Debe tenerse presente que los números exactos obtenidos por definición o al contar un número de objetos pueden considerarse constituidos poruna cantidad infinita de cifras significativas. Si un objeto tiene 0,2786 gramos, entonces la masa de 8 de tales objetos será: 0,2786 · 8 = 2,229 gramos. Eneste caso el producto no se redondea a una cifra significativa porque el número 8 es en realidad 8,0000000….., por definición. En forma parecida, paracalcular el promedio de dos longitudes dadas de medidas 6,64 cm y 6,68 cm se escribe:

porque el número 2 es en realidad 2,00000…, por definición.

6.2 Desafíos y problemas numéricos

6.2.1 Cuadrados mágicos

Son cuadrículas de 3 x 3; 4 x 4 ó de 5 x 5 o, en general, de n x n.

La magia de un cuadrado mágico consiste en que todas las sumas de los números que allí aparecen, ya sea esta suma en forma horizontal, vertical odiagonal, tienen el mismo resultado, al cual se le llama constante mágica K.

etc.

El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar los siguientes conceptos y habilidades:

• El concepto de orden en los números Naturales.• Practicar las operaciones aritméticas básicas.• Establecer relaciones numéricas.• Determinar y crear patrones.• Desarrollar estrategias para la resolución de problemas.• Generalizar.• Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento.

6.2.2 Regularidades numéricas

Corresponden a secuencias numéricas que cumplen patrones

Ejemplos:

En este caso el numerador y el denominador aumentan en una unidad, por lo tanto, el término n-ésimo o término de orden n será

Esta notación nos permite calcular el término que deseemos, por ejemplo, ell duodécimo término de la secuencia es:

ii) −2, 4, −8, 16, −32...En este caso el n-ésimo término es (−2)n pués(−2)1 = −2, (−2)2 = 4, (−2)3 = −8, (−2)4=16, (−2)5= −32,por lo tanto, el décimo término es (−2)10 =1.024

En este caso, el n-ésimo término es más complicado, 3-n ó si n es impar y 3n si n es par.

7. Números imaginarios

Los números reales permiten representar infinitos números, pero no pueden representar las soluciones de ciertas ecuaciones, como, por ejemplo, lassoluciones de las ecuaciones:

A estos números se les asigna otro conjunto, llamado números imaginarios, ya que no pueden representarse a través de números reales.

Estos números poseen como unidad la solución de la ecuación

la que determina la siguiente expresión:

que da origen a la unidad imaginaria

Finalmente, la solución de la ecuación es

El conjunto de los números imaginarios se puede representar por:

donde (0, b) es un par ordenado, que representa el número imaginario bi.

Ejemplos:

8. Números complejos

C=IR x II; C: (a,b) = a + bi

Dondea: parte realb: parte imaginariai: unidad imaginaria(a,b): complejo escrito en forma de par ordenadoa + bi: complejo escrito en forma binomial

Ejemplo: (3, 4) = 3 + 4i

(a,0): número real puro. Ejemplo (2,0)=2 (0,b): número imaginario puro. Ejemplo (0,3)=3i

II. Razones, proporciones, porcentajes e interés

1. Razones y proporciones

1.1 Razón

Es la comparación entre dos cantidades a y b, distintas de cero, se anota: , o bien a:b, y se lee “a es ab”.

Es una razón, el numerador (a) es el antecedente y el denominador (b) es el consecuente.

Ejemplo:

La razón entre 36 y 12 es:

Dadas las cantidades a y b, se pueden establecer dos razones a:b y b:a, generalmente distintas. Por ello, es importante aclarar el orden en una razón.

1.2 Proporción

Es una igualdad entre dos razones.

Ejemplo:

La igualdad de fracciones , es una proporción.

En una proporción, los términos a y b se denominan extremos, b y c son medios.

También se escribe “a : b = c : d” y se lee: “a es a b como c es a d”

1.2.1 Teorema fundamental de las proporciones

La propiedad fundamental de las proporciones establece que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”; es decir:

a : b = c : d si y solo si a · d = b · c ó si y solo si a · d = b · c

Ejemplo:

¿Es la expresión 15:18=20:24 una proporción?

Efectivamente se verifica lo anterior, estableciendo que:15 · 24 = 18 · 20 360 = 360

1.2.2 Propiedades de las proporciones

Si entonces se cumple:

• Alternando extremos

• Invirtiendo

• Permutando

• Componiendo

• Descomponiendo

• Componiendo y descomponiendo a la vez

1.2.3 Clasificación de las proporciones

a. Proporción discontinua

Es aquella que tiene todos sus términos desiguales.

Se denomina cuarta proporcional a cada uno de los términos de una proporción discontinua.

b. Proporción continua

Es la que tiene los medios o los extremos iguales:

Se denomina tercera proporcional geométrica a cada término no repetido de una proporción continua. 4 es una tercera proporcional entre 6 y 9.

9 es una tercera proporcional entre 6 y 4.

Se denomina media proporcional geométrica al término que se repite en una proporción continua.

6 es la media proporcional entre 4 y 9.

1.2.4 Serie de razones o proporciones

Si tenemos:

podemos escribir:

Esta igualdad de dos o más razones se llama serie de razones o serie de proporciones. Se puede escribir también como:

Teorema: En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a suconsecuente.

De esto se tiene:

Sumando obtenemos

a + c + e = k (b + d + f)

entonces:

2. Proporcionalidad

2.1 Directa

“X” es directamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” aumenta (disminuye) en la misma proporción.

Esto se escribe:

, con k constante

Ejemplo: Una motocicleta posee un rendimiento de 18,5 km/L.¿Cuántos litros de bencina consumirá en 370 kilómetros?

La relación de 18,5 km/L indica que por cada 18,5 km consumirá un litro de bencina. El cuociente entre estas cantidades permanece constante e igual a18,5 (el cual no posee unidad de medida). Por lo tanto, se trata de una proporcionalidad directa entre las variables “kilómetros” y “litros”:

Por ser ésta una proporción, utilizamos la propiedad fundamental:

Si dos variables poseen una proporcionalidad directa, la gráfica es un conjunto de puntos que están en una línea recta como lo indica la figura, sin incluirel (0, 0).

En resumen, cuando dos variables están en proporcionalidad directa, el cuociente entre sus respectivos valores es constante. Este cuociente se llamaconstante de la proporcionalidad directa.

2.2 Inversa

“X” es inversamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” disminuye (aumenta) en la misma proporción.

Esto se escribe:

, con k constante

Ejemplo: 36 jóvenes scouts tienen alimento para 15 días. Si faltan seis, ¿para cuántos días más alcanzará el alimento si consumen diariamente la mismaración?

El número de scouts y la cantidad de días están en proporcionalidad inversa y tienen la característica de que una de ellas disminuye y la otra aumenta conrespecto a la cantidad de alimento disponible, de modo que el producto entre los valores respectivos de ambas variables permanece constante. Luego,sea “x” el número de días:

Entonces, alcanzará para 3 días más.

Cuando dos variables están en proporcionalidad inversa, la gráfica es un conjunto de puntos que están en una curva denominada hipérbola.

En resumen, cuando dos variables están en proporcionalidad inversa, el producto de sus respectivos valores es constante. Este producto se denominaconstante de la proporcionalidad inversa.

2.3 Compuesta

En este tipo de proporcionalidad están los dos tipos antes mencionados, pero en vez de dos variables hay tres.

Para determinar la constante de proporcionalidad, se comparan las variables de dos en dos. De esta manera, la tercera queda como constante. Se hacevariar una de ella y se observa qué pasa con la otra (con respecto a la proporcionalidad). Si A y B son directamente proporcionales y A con C soninversamente proporcionales, entonces la constante de proporcionalidad es

Ejemplo:

5 pasteleros fabrican en 8 horas 10 tortas de matrimonio. ¿Cuántos pasteleros se necesitan para fabricar 3 tortas de matrimonio en 6 horas?

Sean P: Número de pasteleros H: Número de horas T: Cantidad de tortas de matrimonio

Al comparar P con H: Si aumentan los pasteleros, disminuye el número de horas al fabricar la misma cantidad de tortas (inversa).

Al comparar P con T: Si aumentan los pasteleros, aumenta la cantidad de tortas que se fabricará en la misma cantidad de horas (directa).

Se necesitan 2 pasteleros.

3. Porcentaje

Es común en los fines de temporada encontrar grandes letreros publicitando liquidaciones en las tiendas comerciales.

¿Qué significa la información presente en este letrero?

En este caso el total se divide en 100 partes de las cuales se rebajarán 40 de estas partes. Si un artículo costaba $ 10.000, al dividirlo en 100 partes cadauno vale

Luego se descontarán 40 de estas partes o se cancelará el resto de ellas, es decir, las 60 partes restantes.

El porcentaje es un tipo de proporcionalidad directa, pues el a% significa dividir la cantidad en 100 partes y se toman “a” de ellas.

a%: se lee “el a por ciento”, 25% se lee “el 25 por ciento”

Ejemplo:

Resumiendo, sacar un tanto por ciento de una cantidad se llama sacar porcentaje

3.1 Relación en porcentajes

Con esta igualdad se puede obtener:

• Porcentaje de un número: ¿Cuál es el a% de N?

Ejemplo: Calcular el 20% de $ 3.600

• Un número, conocido un porcentaje de él: ¿De qué número p es el q%?

Ejemplo: Calcular la edad de la mamá de Jaime que tiene 4 años, cuya edad es el 12,5% de la edad de su mamá.

La mamá de Jaime tiene 32 años.

• Relación porcentual: ¿Qué porcentaje es a de b?

Ejemplo: En una tienda comercial todas las poleras estaban rebajadas. Si una polera me costó $ 12.750 y costaba $ 15.000, ¿cuál fue el porcentaje dedescuento?

La polera fue rebajada en un 15%.

• Porcentajes sucesivos

Se calculan porcentajes de porcentajes

¿Cuál es el a% del b% del c% del... de N?

Ejemplos:

– Calcular el 25% del 50% del 75% de 8.000

– En una universidad, el 40% de los alumnos son mujeres y de ellas el 30% son alumnas de primer año. Si las alumnas que no están en primer año son560, ¿cuántos alumnos (hombres y mujeres) tiene la universidad?

x: total de alumnos

La universidad tiene 2.000 alumnos.

3.2 Variación porcentual (Δ%)

con:

Ci = Cantidad InicialCf = Cantidad Final

Ejemplo:

Al comienzo del verano, una empresa de buses interprovinciales sube los pasajes a una cierta ciudad de $ 1.800 a $ 2.250. ¿Cuál es la variaciónporcentual?

La variación es de un 25%.

3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de pérdida (%P)

Sea Pc: Precio de compra y Pv: Precio de venta, donde Pv = Pc + G

Pv – Pc : Indicará ganancia si es mayor que cero y será pérdida si es menor que cero

3.4 Interés

Interés es una forma de pago por el uso del dinero según tiempo. Cuando pedimos dinero prestado, comúnmente debemos pagar algún dinero, o interés,por el uso de él. Cuando ahorramos dinero en el banco, este nos paga un interés.

El dinero es un medio de intercambio entre personas, entre instituciones y entre personas e instituciones; por lo tanto, el dinero es un bien y un producto y,como tal, se posee, se adquiere, se presta y se invierte.

Los bancos e instituciones financieras ofrecen guardar y/o prestar dinero. Una de sus principales funciones es prestar dinero a las personas y empresas,en otras palabras, otorgar créditos. Es decir, facilitar dinero para comprar y/o invertir, haciendo adquirir una deuda que deberá ser cancelada dentro de uncierto plazo, bajo condiciones de pago de las instituciones.

El crédito conlleva aplicar una tasa de interés a las operaciones de préstamo de dinero.

El interés simple y el interés compuesto son los más usados en estas operaciones. El monto solicitado más el interés es la suma total del dinero quese adeuda. Esta suma se divide en los periodos en que se cancelará. Este cuociente es el valor de la cuota que se debe cancelar en los periodosacordados.

3.4.1 Interés simple

Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos se deben únicamente al capital inicial.

con:

K: capital inicialn: períodosC: capital acumulador: tasa de interés simple

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de tres meses a una tasa de interés simple mensual (r) del 10% sobre un capital inicial (K) de $ 5.000.

Aplicando la fórmula:

Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses corresponde a $ 6.500.

3.4.2 Interés compuesto

Es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente los intereses producidos. Así, al final de cada período, el capital que se tiene es elcapital anterior más los intereses producidos en dicho período.

con:

K:capital iniciali: tasa de interés compueston: períodosC: capital acumulado

Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de 3 meses a una tasa de interés compuesto (i) 10% sobre un capital inicial (K) de $ 5.000.

Capital acumulado al primer mes:C1 = 5.000 + 5.000 · 0,1 = $ 5.500

Capital acumulado al segundo mes:C2 = 5.500 + 5.500 · 0,1 = $ 6.050

Capital acumulado al tercer mes:C3 = 6.050 + 6.050 · 0,1 = $ 6.655

o bien por fórmula:

Finalmente, el capital acumulado al cabo de tres meses corresponde a $ 6.655.

Capítulo 2: Álgebra y Funciones

Aprendizajes Esperados• Expresar en forma algebraica categorías de números, valorando el nivel de generalización que permite el lenguaje algebraico y su poder de

síntesis.• Explicar y expresar algebraicamente relaciones cuantitativas incluidas en problemas y desafíos.

• Resolver problemas de planteo, analizando posteriormente la pertinencia de las soluciones.• Analizar fórmulas e interpretar las variaciones que se producen por cambios en las variables.• Representar información en forma cuantitativa a través de gráficos y esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y cambios de

ubicación.• Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas.• Reconocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta y de las funciones cuadrática, entera, valor absoluto,

exponencial y logarítmica.• Analizar comportamiento gráfico y analítico de las funciones.

Matemático, astrónomo y geógrafo musulmán, Abu Abdalá Mohamed Ben Musa Al Juarismí (Abu Yafar), vivió aproximadamente entre 780 y 850.Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, esconsiderado como el padre del álgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeración.

I. Potencias y raíces

1. Potencias

Una potencia corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando se llama base y lacantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente. La definición anterior se puede expresar en forma general por:

En el ejemplo anterior, la base es 2 y la cantidad de veces en que se multiplica la base es 3, es decir, 3 es el exponente.

En resumen, una potencia se puede escribir como una multiplicación iterada.

1.1 Signos de una potencia

• Si el exponente es par

• Si el exponente es par, entonces el resultado es siempre positivo (siempre que la base no sea cero):

• Si el exponente es impar

• Si el exponente es impar, entonces el resultado mantiene el signo de la base:

• Si el exponente es negativo

1.2 Propiedades

1.2.1 Multiplicación de potencias

a. De igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes.

b. De igual exponente

Se multiplican las bases y el resultado se eleva al exponente.

Ejemplo:

En el ejercicio: 85 · 42 · 22, el 4 y el 2 tienen igual exponente, entonces 42 · 22 = (4 · 2)2 = 82

Por lo tanto:

85 · 42 · 22 = 85 · 82 (Multiplicación de potencias de igual base) = 85 + 2 = 87

1.2.2 División de potencias

a. De igual base

Se conserva la base y se restan los exponentes.

Como fracción

Ejemplo:

b. De igual exponente

Se dividen las bases y el resultado se eleva al exponente.

Como fracción

Ejemplo:

, por división de potencias de igual exponente:

, entonces:

, por división de potencias de igual base:

Por lo tanto,

1.2.3 Potencia de una potencia

Se deben multiplicar los exponentes.

Ejemplo:

(82)4 · 26, se tiene que:

26 = 23 2 = (23)2 = 82, y también (82)4 = 82 4 = 88 entonces:

(82)4 · 26 = 88 · 82 = 88 + 2 = 810

El resultado de 810 también se puede presentar como potencia de base 2, ya que 8 = 23, entonces

810 = (23)10 = 23 10 = 230.

1.2.4 Potencias de exponente negativo

En forma general, corresponde al recíproco de la base (inverso multiplicativo) y se cambia el signo del exponente.

• Con base entera

• Con base fraccionaria

Ejemplo:

, por potencia de exponente negativo, se tiene

entonces

por multiplicación de potencias de igual exponente:

1.2.5 Potencias de exponente cero

El resultado es uno, siempre que la base no sea cero:

La potencia de exponente cero se aplica por la división ante dos cantidades iguales:

1.3 Potencias de base 10

a. Exponente positivo

Entonces:

Se toma la cantidad significativa del número y se multiplica por 10n siendo n el número de ceros que se dejan de anotar.

Ejemplo:

b. Exponente negativo

Entonces:

Se toma la cantidad significativa y se multiplica por 10-n, siendo n el número de decimales que tiene la cifra. Ejemplo:

2. Raíces

Una raíz corresponde a un número que, al multiplicarse por sí mismo la cantidad de veces que indique el índice, se obtiene la cantidad subradical.

x es la raíz enésima de c, donden: índicec: cantidad subradical

Ejemplo:

4 es la raíz cúbica de 64

2.1 Propiedades

2.1.1 Relación de la raíz y la potencia

Una raíz siempre se puede escribir como potencia de la siguiente manera:

Ejemplo:

De esta propiedad se pueden extraer ciertas conclusiones:

• El índice y el exponente del subradical son simplificables entre sí:

• El índice y el exponente del subradical son amplificables entre sí:

2.1.2 Multiplicación de raíces de igual índice

Se conserva el índice y se multiplican los subradicales:

Ejemplo:

como no tienen igual índice, entonces se puede amplificar para igualarlos.

2.1.3 División de raíces de igual índice

Se conserva el índice y se dividen los subradicales:

2.1.4 Composición o descomposición de raíces

a. Composición

Un factor puede ingresar a una raíz si lo elevo al índice de ella (ingresa como factor del subradical).

Ejemplo:

b. DescomposiciónUn factor puede salir de una raíz si dicho factor tiene raíz exacta.

Ejemplos:

2.1.5 Raíz de una raíz

Se deben multiplicar los índices.

Ejemplo:

2.2 Racionalización

Consiste en dejar el denominador de una fracción en forma racional, es decir, sin raíces. Al racionalizar el valor de la expresión no varía pues se multiplicapor un uno especial.

• Caso 1: Raíz cuadrada: Se debe amplificar por la misma raíz.

Ejemplo:

• Caso 2: Raíz no cuadrada: Se debe amplificar por una raíz de igual índice, preocupándose de igualar el exponente del subradical con el índice dela raíz.

Ejemplo:

• Caso 3: Racionalizar un binomio con raíces cuadradas: Se debe amplificar por el conjugado del binomio.

Ejemplo:

II. Álgebra

La rama de la matemática que permite modelar situaciones a través de generalidades literales, se conoce con el nombre de Álgebra. El lenguaje queocupa el Álgebra permite realizar representaciones a través de factores literales, coeficientes numéricos y relaciones matemáticas de la Aritmética.

El lenguaje algebraico es el lenguaje del Álgebra, el cual permite representar cantidades por medio de letras y, de esta forma, generalizar variadassituaciones, como por ejemplo los problemas de enunciado matemático.

1. Las calificaciones de un estudiante son 6,4 y 6,2. ¿Qué nota debe sacarse en un tercer control para que su promedio sea de 6,5?

2. Una tienda está liquidando su mercadería y anuncia que todos sus precios fueron rebajados un 20%. Si el precio de un artículo es $ 28.000, ¿cuál erasu precio antes de la liquidación?

3. A la presentación de una película asistieron 600 personas. El valor de boletos para adultos fue de $ 5.000 mientras que los niños pagaron solo $ 2.000.Si los ingresos de boletería fueron de $ 2.400.000, ¿cuántos niños asistieron a la “premiere”?

4. Si se espera que la población P de una ciudad crezca de acuerdo a , en donde t está en minutos, hallar cuándo se espera que lapoblación alcance 20.000 personas.

1. Conceptos importantes

1.1 Término algebraico

Es una relación entre números y letras donde intervienen operaciones como multiplicación, división, potencias y/o raíces (no se incluyen sumas nirestas). Consta de un factor numérico denominado coeficiente y un factor literal.

Ejemplos:

1.2 Expresión algebraica

Combinación de números y letras relacionados entre sí mediante operaciones aritméticas como sumas y/o restas.

Ejemplos:

1.2.1 Clasificación

a. MonomioExpresión algebraica constituida por el producto de un número (coeficiente) y/o variables representadas por letras, que consta de un solo término.

Ejemplos: x2, 6a, 7xy.

Si un monomio no tiene escrito su coeficiente numérico, entonces su valor es 1.

Ejemplos: a2 = 1a2, m3x2y = 1m3x2y1

b. Polinomio

Expresión algebraica construida por una suma de varios monomios. Cuando se dice “suma” de monomios, está incluido el caso de las diferencias entreellos, que consta de dos o más términos.

• Binomio: Expresión algebraica obtenida por la suma de dos monomios. Ejemplos:

• Trinomio: Expresión algebraica obtenida por la suma de tres monomios.

Ejemplos:

1.2.2 Grado

a. De un término algebraico

Este puede ser relativo o absoluto:

• Relativo: Está dado por el exponente de la variable considerada.• Absoluto: Está dado por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo: 5x2y3

es de 2º grado con respecto a la variable x.es de 3er grado con respecto a la variable y.es de 5º grado absoluto con respecto a la variable x e y.

El exponente 1 no se escribe. Debe tenerlo presente cuando calcule el grado de un polinomio.

Ejemplos: y = y1, x2ym = x2y1m1

b. De un Polinomio

• Relativo: Está dado por el mayor exponente de una variable considerada.• Absoluto: Está dado por el mayor grado absoluto de sus términos o por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo: 17x2y – 3x3 + 5y4 – 2x2y3

• es de grado 3 con respecto a x• es de grado 4 con respecto a y• es de 5º grado absoluto.

1.3 Términos semejantes

Son aquellos términos o monomios que tienen los mismos factores literales e igual exponente.

Ejemplo:– Los términos 8a3b2 y 5a3b2, “son semejantes”.– Los términos 2x2 y 5x3, “no son semejantes”.– Los términos x2, 3x2 y 0,5x2, “son semejantes”.

Los términos semejantes siempre se pueden reducir a un solo término y para ello se suman o restan los coeficientes numéricos, según corresponda, y seconserva la parte literal. Los términos que no son semejantes no se pueden reducir a un solo término.

2. Operaciones algebraicas

2.1 Adición y sustracción

Solo pueden ser sumados o restados los términos semejantes, o sea, aquellos que tienen igual parte no numérica, llamada también literal.Ejemplo: xy2 + 2xy2 = 3xy2

Sumar dos polinomios (sumandos) significa obtener un nuevo polinomio (suma), escribiendo un polinomio a continuación del otro, conectados con unsigno más, y reduciendo sus términos semejantes, cuando existan.

Ejemplos:

El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando los signos de sus términos.

Ejemplo: El inverso aditivo de

Recuerda que la resta de enteros está definida por

De la misma forma se define la resta de polinomios, lo que significa que para restar se escribe el polinomio minuendo con sus propios signos y se suma elpolinomio sustraendo con los signos cambiados, reduciendo los términos semejantes, si los hay.

Ejemplo:

2.2 Multiplicación

a. Multiplicación de monomios

Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y las partes literales entre sí.

Ejemplos:

b. Multiplicación de monomios por polinomios

La multiplicación de un monomio por un polinomio es una consecuencia directa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma,es decir, para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos:

c. Multiplicación de polinomios por polinomios

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundopolinomio.

Ejemplo:

Se sugiere recordar los productos notables para agilizar la resolución de problemas algebraicos.

2.2.1 Productos notables

Son aquellos cuyos factores cumplen ciertas características que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los pasos de lamultiplicación.Los productos notables son:

Algunos productos notables se pueden determinar utilizandogeometría.

Ejemplo: El cuadrado de un binomio se puede representar por el área formada por un cuadrado cuyo lado es el binomio.

2.3 Factorización

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Las formas más comunes defactorización son:

a. Factor común monomio

Se factoriza por un término común entre los factores de la expresión.

Ejemplo:

b. Factor común polinomio

No todos los términos de una expresión algebraica contienen factores comunes, pero realizando una adecuada agrupación de ellos, se puede encontrarfactores comunes de cada grupo.

Ejemplo:

c. Resultado de productos notables

• Diferencia de cuadrados: El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.

Ejemplos:

• Trinomios ordenados: Un trinomio ordenado (según el grado) es una expresión de la forma ax2 + bx + c, donde a, b y c representan números reales.

Los trinomios ordenados más utilizados son de la forma (x2 + bx + c) cuya factorización será de la forma

x2 + bx + c = (x + m)(x + n) tal que m + n = b y m · n = c

Los siguientes ejemplos ayudan a entender este tipo de factorización.

Dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5

Dos números que multiplicados den 24 y sumados den – 14

Dos números que multiplicados den – 20 y sumados den 8

Dos números que multiplicados den – 21 y sumados den – 4

• Sumas o diferencias de cubos:

– Los factores de una diferencia de cubos son:

– Los factores de una suma de cubos son:

Ejemplo:

2.4 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

a. Entre monomios

Se determina el m.c.m. entre los coeficientes numéricos y luego el de los literales. Para este caso, será el literal con mayor exponente.

b. Entre polinomios Para este caso es conveniente factorizar previamente, como se hace a continuación.

Deben estar presente en el m.c.m. cada una de las expresiones resultantes en la factorización y si están repetidas, la de exponente mayor.

2.5 Máximo común divisor (M.C.D.)

a. Entre monomios

Se determina el M.C.D. entre los coeficientes numéricos y luego el de los literales.

b. Entre polinomios Al igual que en el m.c.m., también es conveniente factorizar:

Corresponde a la o las expresiones algebraicas repetidas en ambos polinomios, pero la de exponente menor.

3. Operatoria con fracciones algebraicas

Sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas se realiza de la misma manera que con números fraccionarios.

3.1 Adición y sustracción

Si los denominadores son iguales:

Ejemplo:

Si los denominadores son diferentes, primero debe calcularse el m.c.m. de los denominadores.

Ejemplo:

En algunos casos, es conveniente observar los denominadores y factorizarlos para buscar el m.c.m.

Ejemplo:

3.2 Multiplicación

Antes de multiplicar las fracciones algebraicas, conviene factorizar sus numeradores y denominadores, pues generalmente se simplifican algunasexpresiones. Una vez hechas las simplificaciones (si es que las hubo) se multiplican las expresiones en forma horizontal.

Ejemplos:

3.3 División

La división de expresiones algebraicas fraccionarias se efectúa igual que con fracciones numéricas, ocupando además las factorizaciones anteriores.

Ahora bien, el caso más general es una división de polinomios, como la que se muestra a continuación.

Ejemplo:

III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables.

Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita (variable) que hace verdad la igualdad que la contiene, es decir, se busca el valor de laincógnita que convierta la ecuación en una identidad. Dicho valor se dice que es solución de la ecuación.

En la resolución de una ecuación, se deben considerar las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad, ésta se mantiene.• Al multiplicar o dividir ambos lados por una misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.

En general, para resolver una ecuación se tiene que despejar la incógnita. Para ello deben efectuarse operaciones que permitan eliminar términos ocoeficientes hasta lograr despejarla.

Ejemplos:

Restar 3x, a ambos lados, para agrupar la incógnita.

Restar 9, a ambos lados, para “despejar” 4x.

Dividir por 4, a ambos lados, para despejar “x”.

Eliminar paréntesis.

Reducir términos semejantes.

Restar 2x a ambos lados.

Dividir por 8 ambos lados.

Simplificar la fracción.

La solución es .

• Hay ecuaciones tales como: 4 · (x + 5) = 9x – (5x – 7), que al resolverlas conducen a un resultado falso, 20 = 7. En este caso, no existe un valor que lassatisfaga, es decir, no tiene solución.

• Hay ecuaciones tales como: 2 · (3x – 8) = 10x – (4x + 16), que al resolverlas conducen a un resultado siempre cierto, – 16 = – 16. En este caso, todo valorque se asigna a x satisface la ecuación, por lo tanto, tiene infinitas soluciones.

• En la mayoría de los casos, el número de incógnitas determina el número de ecuaciones que se deben utilizar para determinar el valor de éstas.Además, el exponente que posea la incógnita determina la cantidad de soluciones posibles que se pueden encontrar para dicha incógnita, es decir, si laincógnita está al cuadrado se buscan dos posibles valores para ella, si posee exponente tres, se buscan tres posibles soluciones y así sucesivamente.

1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros

Ejemplos:

• Resolver la ecuación 5x + 3 = 12Debemos despejar x, para ello restamos 3 en ambos miembros:

Dividimos ambos miembros por 5

Efectuamos las operaciones, entonces:

Verificamos:

• Resolver la ecuación 9 – 2x = 9x – 13Despejamos x. Para ello sumamos 13 y sumamos 2x en ambos miembros.9 – 2x + 2x + 13 = 9x – 13 + 13 + 2x

Efectuamos las operaciones:

9 + 13 = 9x + 2x22 = 11x

2 = x

1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios

Ejemplo: Resolver la ecuación

El método más conveniente para resolver este tipo de ecuaciones es multiplicar ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. De esta forma, se obtieneuna ecuación equivalente con coeficientes enteros.

El m.c.m. entre 4, 20, 5 y 16 es 80. Luego:

Simplificando se obtiene:

Resolviendo se obtiene:

1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado

Ejemplo:

, x debe ser distinto de 1 y de − 1,

ya que para estos valores las fracciones se indeterminan. Estos valores no pueden considerarse como solución de la ecuación.

El m.c.m. entre:

Luego, multiplicando por (x + 1)(x – 1) cada uno de los términos y simplificando se obtiene la ecuación equivalente:

Resolviendo esta ecuación se tiene:

Luego, 10 sí es solución, ya que es distinto de 1 y de – 1.

1.4 Ecuaciones literales de primer grado

Ejemplo:

x + m(mx + 1) = (1 + m) – m(2x – 1)

Resolvemos los paréntesis y reducimos términos semejantes.

x + m2x + m = 1 + m – 2mx + mx + m2x + m = 1 + 2m – 2mx

Agrupando los términos que contienen x en el primer miembro y los que no la contienen en el segundo.

x + m2x + 2mx = 1 + 2m – m

Factorizamos ambos miembros:

x(1 + 2m + m2) = 1 + mx(1 + m)2 = 1 + m

Dividimos ambos miembros por (1 + m)2:

2. Metalenguaje y problemas de planteo

Si x representa un número, entonces:

• El doble de x: 2x

• La tercera parte de x:

• Los cinco cuartos de x:

• El triple de x: 3x

• El cuádruple de x: 4x

• El cuadrado de x: x2

• El consecutivo o sucesor de x:

• El anterior o el antecesor de x:

• Tres números consecutivos: (n – 1), n, (n + 1)

• Tres pares consecutivos: (2n – 2), 2n, (2n + 2) o x – 2, x, x + 2

• Tres impares consecutivos: (2n – 1), (2n + 1), (2n + 3) o x – 2, x , x + 2

¿Cómo debe empezar a trabajar con un problema verbal?

1° Lea todo el problema para ver de qué tipo es y de qué se trata.

2° Busque la pregunta al final del problema. A menudo esto aclara qué es lo que se está resolviendo, y en qué ocasiones son dos o tres cosas.

3° Empiece el problema diciendo “sea x = algo” (generalmente la incógnita se representa con x); x es lo que se intenta encontrar, y suele expresarse enla pregunta que se plantea al final del problema. Es preciso indicar y etiquetar qué representa x en cada problema para que la(s) ecuación(es) tenga(n)significado.

4° Relea el problema y deténgase en cada dato o información. Los problemas sencillos generalmente contienen dos enunciados. Uno de ellos ayuda adeterminar las incógnitas; el otro proporciona datos y/o vínculos para expresar lo escrito en forma de ecuaciones y/o símbolos (metalenguaje). Debetraducir el problema de datos a símbolos dato por dato, es decir, plantear el problema.

5° Cuando sea preciso hallar más de una cantidad o incógnita, intente determinar la incógnita que sea más fácil de despejar.

Ejemplos:

• Hallar tres números consecutivos que al sumarlos den 102.Si llamamos “x” al primer número, el siguiente es (x + 1) y el que sigue es (x + 2).

Como los tres números suman 102, podemos decir que:

Si x = 33, entonces:

Respuesta: Los números pedidos son 33, 34 y 35.

Como alternativa de solución se puede utilizar el concepto de que si la cantidad de números es impar, la suma dividida por el número de elementos dacomo resultado el término central, y si hay una cantidad par de números, la misma operación entrega el número que está entre los dos centrales.Utilizando el mismo ejemplo.

102 : 3 = 34, como es el término central, entonces los números buscados son 33, 34 y 35.

• En una granja, hay 5 conejos más que patos y 3 gansos más que conejos. Si en total hay 55 animales, ¿cuántos conejos, patos y gansos hay?

Sea x el número de patos, entonces:(x + 5) será el número de conejos y(x + 5 + 3) será el número de gansos

Como en total hay 55 animales, podemos decir que:

Respuesta: Hay 14 patos, 19 conejos y 22 gansos.

• Si el cuadrado del antecesor de un número excede en 8 al cuadrado del número menos 5 unidades, ¿cuál es el número?

El problema plantea que (x – 1)2 excede en 8 a (x – 5)2, es decir:

(x – 1)2 = (x – 5)2 + 8:

Resolviendo esta ecuación se tiene:

Respuesta: El número pedido es 4.

3. Sistemas de ecuaciones lineales

Dos o más ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales.

Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas puede escribirse de la forma:

Donde x e y son las incógnitas, y a, b, c, d, e y f son coeficientes reales. La solución de un sistema compatible es el par ordenado (x, y) de númerosreales que satisface ambas ecuaciones.

3.1 Métodos de resolución

a. Sustitución

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación

Ejemplo:

Solución

Reemplazando en (2):

Reemplazando en

b. Reducción

Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminenlos términos cuyos coeficientes se igualaron. Ejemplo:

Solución

Sumando

Reemplazando en (2)

c. Igualación

Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando la única variableque queda. El resultado obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema o en alguno de los despejes realizados.

Ejemplo:

Solución

Despejando x de ambas ecuaciones, se tiene:

Igualando las ecuaciones:

Reemplazando en (1):

d. Algoritmo de Crámer

En el sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

los valores de x e y se pueden calcular aplicando las siguientes fórmulas:

Este método es conveniente utilizar si nos preguntan por el tipo de solución del sistema, el que se puede detallar como:

1. Si El sistema tiene una solución.2. Si El sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

a) No tiene solución: si

b) Infinitas soluciones: si

Ejemplo:

En este sistema

Calculando

Para determinar si son infinitas o no tiene solución, se calcula

luego el sistema no tiene solución.

e. Incógnita auxiliar

Otra forma de resolver los sistemas de ecuaciones es a través de incógnitas auxiliares, si el sistema no posee coeficientes enteros o racionales, es decir,si las variables se encuentran escritas de una forma tal que no se parezcan al sistema analizado anteriormente.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Para simplificar este sistema, asignaremos las incógnitas auxiliares:

Reemplazando estas incógnitas obtenemos un nuevo sistema:

Al resolver el nuevo sistema, se obtienen los valores de las incógnitas auxiliares:

Reemplazando en obtenemos:

por lo cual

Del mismo modo, reemplazamos en y obtenemos:

por lo cual

3.2 Representación gráfica

Para el ejemplo:

encontramos que su solución viene dada por un punto que corresponde a la intersección de dos rectas representadas por las ecuaciones del sistema.

Ahora bien, cada ecuación del sistema representa en el plano XY una recta o función de 1er grado (y = mx + n)

Si las graficamos

Nota: Estos gráficos no están a escala

Por lo tanto, la solución de un sistema de ecuaciones de 1er grado nos entrega el punto de intersección de las dos rectas asociadas.

IV. Inecuaciones lineales

1. Desigualdades

Una desigualdad es una relación entre dos números o expresiones, tal que:

• x es menor que y si: (x – y) es negativo• x es mayor que y si: (x – y) es positivo

Para trabajar esta unidad se utilizará la siguiente simbología:

< Menor que> Mayor que≤ Menor o igual que≥ Mayor o igual que

Ejemplo:

Al construir un triángulo se debe tener en cuenta que la suma de dos lados es siempre mayor que el tercero y la resta es menor. Entonces, determine quévalor(es) se le puede(n) dar al tercer lado de un triángulo si los otros dos miden 3 cm y 7 cm.

• El menor valor del tercer lado será mayor que 7 – 3 = 4

• El mayor valor del tercer lado será menor que la suma de los lados conocidos 7 + 3 = 10

Por lo tanto, si al tercer lado lo llamamos x, la respuesta será: 4 < x < 10

1.1 Propiedades

• Si se suma o resta una misma cantidad a los miembros de una desigualdad, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la dada.

Ejemplo:

• Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una cantidad positiva, resulta otra desigualdad del mismo sentido que la dada.

Ejemplo:

• Si los miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, resulta otra desigualdad de distinto sentido que ladada.

Ejemplo:

• Si se elevan ambos miembros de la desigualdad a un exponente impar positivo, resulta otra desigualdad en el mismo sentido que la dada.

Ejemplo:

• Si se tiene una desigualdad de términos positivos y se elevan ambos miembros a un exponente par positivo, se obtiene una desigualdad en elmismo sentido que la dada.

Ejemplos:

• Si se tiene una desigualdad de términos negativos y se elevan ambos miembros a un exponente par positivo, resulta otra igualdad en sentido

opuesto a la dada.

Ejemplos:

• Si se tiene una desigualdad en que ambos miembros sean positivos o ambos negativos y se genera el inverso multiplicativo, resulta otradesigualdad en sentido opuesto a la dada.

Ejemplos

• El sentido de una desigualdad queda indeterminado si ambos tienen signos contrarios y se elevan a un exponente par.

1.2 Intervalos

Un intervalo es un subconjunto de los números reales.

• Intervalo cerrado

• Intervalo abierto

• Intervalo semiabierto o semicerrado

• Intervalos indeterminados

Para trabajar con intervalos, se definirán las operaciones de conjunto unión e intersección como: Es el conjunto formado por todos loselementos que están en A o que están en B.

A ∩ B: Es el conjunto formado por todos los elementos que están presentes en el conjunto A y también en B.

Ejemplos:

2. Inecuaciones lineales

Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazar en una variable cumpla con la desigualdad.

Ejemplos:

Es decir, se cumple para todo valor de x mayor o igual que – 1. Entonces x ∈ [– 1, + ∞[

3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Ejemplo: ¿Cuál es la solución del sistema?

Solución

En este caso tenemos dos inecuaciones, por lo cual cada una se resolverá por separado y la solución del sistema quedará dada por la intersección de losintervalos solución de cada una.

c) Entonces, la solución final será es decir:

Gráficamente, la solución está representada por el doble achuramiento.

V. Relaciones y funciones

1. Nociones de conjuntos

El concepto de conjunto está referido al hecho de reunir o agrupar objetos o cosas para estudiar o analizar las relaciones que se pueden dar en o entredichos grupos.

• La escritura o notación significa que el objeto a es un elemento del conjunto M.

– La notación significa que a NO es un elemento de M.

Así, si escribimos

– Un conjunto puede definirse por comprensión cuando se da una propiedad que la cumplen todos los elementos del conjunto o por extensión cuandose especifican gráficamente todos los elementos del conjunto.

A = {x/x es una vocal} se define por comprensión.A = {a, e, i, o, u} se define por extensión.

• Si un conjunto no tiene elementos se denomina conjunto vacío y se designa por Así, por ejemplo,

• El conjunto A es subconjunto del conjunto B si todo elemento en A es también elemento de B. Esto se escribe

Si hay cuando menos un elemento en B que no está también en A, entonces A se llama subconjunto propio de B. Según lo anterior es subconjuntode cualquier conjunto.

Ejemplo: Si M = {a, b, c, d}; N = {c, d}; P = {d, b, a, c}, entonces, (nótese que

• Dos conjuntos M y N son iguales si, y solamente si, contienen los mismos elementos. En este caso escribimos M = N.

Esto es equivalente a escribir: si A y B son conjuntos, entonces:

Si A es conjunto con n elementos diferentes, se dice que su cardinalidad es n (número de elementos del conjunto) y se puede demostrar que posee 2n

subconjuntos.

Ocasionalmente, nos interesan solo aquellos conjuntos que están contenidos en un conjunto fijo dado, llamado conjunto universal o universo (tambiénllamado conjunto universo relativo).

• Operaciones con conjuntos

Si A y B son subconjuntos de un conjunto universo U, entonces se define:

– Unión Definición: Sean A y B conjuntos

Ejemplo: Sean los conjuntos

(nótese que el elemento común a los dos conjuntos se cuenta una sola vez)

– Intersección (∩):

Definición: Sean A y B conjuntos

Del ejemplo anterior se observa que

– Diferencia (–): Definición: Sean A y B conjuntos

Ejemplos:

– Complemento (C’):

Definición: Sean A y B conjuntos tales que, simultáneamente, entonces A es complemento de B y B es complemento deA con respecto al universo U.

Por tanto, si U designa el universo y C’ el complemento de un conjunto dado C, tenemos:

C’ = U – C

El complemento de C se define como el conjunto de los elementos del universo que no están en C.

Ejemplo:

Sean U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} C = {a, b, c, e, g, i, k}Luego, C’ = {d, f, h, j}

• Los conjuntos formados por uniones, intersecciones y diferencias pueden representarse pictóricamente por medio de diagramas llamados Diagramas deVenn.

Complemento (A’)

– Otros ejemplos:

2. Relaciones

2.1 Producto cartesiano

Dados dos conjuntos M y N, se define una operación entre los elementos de ellos tal que originan elementos especiales llamados pares ordenados.

Si M tiene m elementos y N tiene n elementos, entonces por distributividad, M x N tendrá (m · n) elementos. De igual forma, el número de subconjuntos deM x N es 2m· n.

Notemos que el conjunto A x B presenta como elementos a entes matemáticos llamados pares ordenados (a, b).

Ejemplo:

Sean

Una vez conocido el conjunto A x B podemos asociar los componentes de los pares ordenados de alguna manera; por ejemplo, busquemos odeterminemos el conjunto formado por los pares ordenados en los cuales se verifiquen que la segunda componente es múltiplo de la primeracomponente. Observando tenemos:

S = {(1, 6), (1, 4), (2, 6), (2, 4)}

Podemos notar que

2.2 Concepto de relación

Todo subconjunto R de A x B se dice “relación entre los conjuntos A y B”

Así, podemos escribir de nuestro ejemplo anterior.

Se dice que:

• a es la preimagen de b, bajo la relación R.• b es la imagen de a, bajo la relación R.

• B es el conjunto de llegada o codominio.• El conjunto A se llama conjunto de partida. El subconjunto de A que está formado por todos los elementos que tienen imágenes en B bajo la

relación R se llamará conjunto de preimágenes o dominio.

3. Funciones

3.1 Concepto de función

Si tenemos una relación f entre 2 conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y solo un valor en elconjunto de llegada B.

La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable dependiente. Sedesigna generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”].Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

Se dirá:• f : A → B• b B es la imagen de a A bajo la función f y se denota por b = f(a)

Diremos que f es una función de A en B, si y solo si se verifican:

Toda función es relación,pero no toda relación es función.

El recorrido o rango de una función es aquel subconjunto del conjunto de llegada en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen deldominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.

Veamos el siguiente ejemplo:

Se puede ver que para cada elemento de A, existe una sola imagen en B.

Luego, para la función f denotada:

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al Rango de f.

3.2 Representación gráfica

Una forma de representar una función es mediante un sistema de coordenadas rectangulares o ejes cartesianos.

Entonces, la función

y = f(x) corresponde al conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación y = f(x).

Ejemplo:

Indica cuál de los siguientes gráficos representa una función de x en y.

Analizando cada caso:

A) Es función, ya que a cada valor de x le corresponde un único valor en “y”.

B) NO es función, ya que a un mismo valor de x le corresponden dos imágenes en “y”.

C) NO es función por las mismas causas del ejemplo anterior. Cabe destacar que si se toma cada curva por separado, cada una de ellas sí es unafunción.

D) Sí es función.

3.3 Clasificación de funciones

a. Función inyectivaUna inyección de A en B es toda función f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el

codominio B. Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y solo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.

b. Función Epiyectiva o SobreyectivaUna epiyección o sobreyección de A en B es toda función f de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al menos, un

elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que #A ≥ #B. Es decir, que en este caso elcodominio es igual al recorrido.

c. Función BiyectivaUna función f es biyectiva de A en B si y solo si la función f es tanto inyectiva como epiyectiva. Si cumple que sea Inyectiva y Epiyectiva a la vez, por

lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una únicapreimagen en A.

VI. Funciones de variable real

1. Función afín

Es de la forma f(x) = mx + n, con n ≠ 0, m ≠ 0

conm : Pendienten : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición)

Ejemplo:La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada – 3.

• Análisis de la pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

Si m < 0, entonces la función es decreciente. Si m = 0, entonces la función es constante. Si m > 0, entonces la función es creciente

• Relaciones gráficas para la pendiente y el coeficiente de posición

• Tipos de funciones especiales

a) La función de la forma f(x) = x, se conoce como función identidad y su gráfica es:

b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante real, se conoce como función constante y su gráfica es:

c) La función de la forma f(x) = mx, m ≠ 0 se conoce como función lineal y su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

• Evaluación de una función

Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se buscael valor de x conociendo el valor de la función.

Ejemplo:

La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos x metros es:

f(x) = 0,8[x] + 250 con x: cantidad de metros recorridos f(x): costo en pesos

3 km = 3.000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es :

f(3.000) = 0,8 · [3.000] + 250 = 2.650

Por tres kilómetros se pagan $ 2.650

• Construcción de una función con comportamiento lineal conocidos valores de ella

Se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir:

(x1, f(x1)) y (x2, f(x2))

O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:

(x1, y1) y (x2, y2)

Donde la función buscada será:

Ejemplo: Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF en función de los ºC, si existe uncomportamiento lineal?

Solución:

Se tiene la siguiente información:

ºC : variable independiente (x)

ºF : Variable dependiente (y)

Reemplazando en:

Se tiene:

Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es:f(x) = 1,8x + 32

Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan en una misma cantidadconstante llamada diferencia. Este crecimiento aritmético gráficamente está representado por unarecta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un decrecimiento aritmético.

Ejemplo:

Gráficamente

2. Función parte entera

Ésta se escribe:

El valor de [x] es el menor de los dos números enteros entre los cuales está comprendido x, o si x es un número entero, [x] = x, es decir:

Ejemplo:

Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[,con n Z. Por tanto, los segmentoshorizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos.

3. Función valor absoluto

Es frecuente en el cálculo al tener que operar con desigualdades. Son de particular importancia las que se relacionan con la noción de valor absoluto.

Si el x IR valor absoluto de x es un número real no negativo que se define:

Ejemplo:

|– 3| = 3 |12| = 12 |– 18| = 18 |– 5,3| = 5,3

Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.

3.1 Propiedades del valor absoluto

• Si |x| ≤ a, entonces – a ≤ x ≤ a; con a ≥ 0• Si |x| ≥ a, entonces x ≥ a ó – x ≥ a• |xy|= |x| · |y|• |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

Esta última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando se generaliza a vectores, indica que la longitud de cada lado de un triángulo esmenor que la suma de las longitudes de los otros dos.

Ejemplos:

• |x – 3| ≤ 2

Aplicando la primera propiedad:

• |3x – 4| ≥ 5

Aplicando la segunda propiedad:

4. Función raíz cuadrada

5. Función cuadrática

Es de la forma:

5.1 Gráfica

Siempre es una parábola, dependiendo, su forma y ubicación, de los coeficientes a, b y c.

5.1.1 Concavidad

El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.

5.1.2 Eje de simetría y vértice

El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.

El vértice está dado por:

5.1.3 Intersección con los ejes

a. Intersección con el eje Y

El coeficiente c nos da la ordenada del punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)

b. Intersección con el eje X

Para determinar si la parábola corta o no al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante (Δ) de la función cuadrática.

Se define el discriminante como:

• Si Δ = 0, la parábola corta en un punto al eje X

• Si Δ > 0 la parábola corta en dos puntos al eje X

• Si Δ < 0 la parábola no corta al eje X

5.2 Ecuación de segundo grado

Si f(x) = 0, tendremos que ax2 + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.

Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:

Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a las abscisas de los puntos donde la función f(x) = ax2 + bx + c corta al ejeX. Estos puntos tienen como coordenadas (x1, 0) y (x2, 0).

5.2.1 Propiedades de las raíces o soluciones

A partir de las soluciones x1,y x2 , se puede obtener la ecuación, aplicando las propiedades anteriormente mencionadas. Así se tiene que:

O de otra forma

Ejemplos:

1. Sea la ecuación de 2º grado: x2 + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones a esta ecuación?

Solución Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por

En nuestro caso: a = 1 b = 2 c = – 15

Luego,

Luego,

2. Dada la ecuación x2 + px + qx – 3p = 0, determinar los valores que deben tener p y q para que 2 y 3 sean raíces de esta ecuación.

Solución

Si 2 y 3 son raíces de la ecuación, al aplicar las propiedades deberá cumplirse que:

Dondex2 + px + qx – 3p = 0x2 + (p + q)x – 3p = 0

Luegoa = 1b = p + qc = – 3p

Igualando

Reemplazandop = − 2q = − 5 − (− 2) = − 3 Luego p = − 2 y q = − 3

6. Función exponencial

La función exponencial f con base a se define como

6.1 Leyes de crecimiento y decrecimiento exponencial.

Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR. (Ley del crecimiento exponencial).

Este tipo de gráfica también se asocia a crecimiento de tipo geométrico.

• Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR.(Ley del decrecimiento exponencial).

Ejemplo:Determinar la función que representa el número de bacterias que hay en una población después de x horas si se sabe que inicialmente había 10.000bacterias y que la población se triplica cada una hora.

Solución

Cantidad inicial = 10.000Después de una hora = 10.000 · 3 = 30.000Después de dos horas = 10.000 · 3 · 3 = 90.000...Después de x horas = 10.000 · 3x

Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la funciónf(x) = 10.000 · 3x

7. Función logarítmica

La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por loga.

• Si a > 1, f(x) = logax es creciente para x > 0.

• Si 0 < a < 1, f(x) = logax es decreciente para x > 0.

7.1 Logaritmos

, donde n es el logaritmo de b en la base a,con b > 0 , a > 0 y a ≠ 1

7.1.1 Tipos de logaritmos

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

7.1.2 Propiedades

• Logaritmo de la base:

• Logaritmo de la unidad:

• Logaritmo del producto:

Ejemplo:log8 2 + log8 4 = log8 (2 · 4) = log8 8 = 1

• Logaritmo del cuociente:

Ejemplo:

• Logaritmo de una potencia:

Ejemplo:

log5 125 = log5 (25 · 5) = log5 (53) = 3 · log5 5 = 3

• Logaritmo de la raíz:

Ejemplo:

• Cambio de base:

Ejemplo:

• Exponente logaritmo:

Ejemplos:

i) Calcular log10 100 + log2 128 + log5 625

Solución

Para resolver, analicemos cada término:100 = 102

128 = 27

625 = 54

Luego:log10 100 = log10 102 = 2 · log10 10 = 2log2 128 = log2 2

7 = 7 · log2 2 = 7log5 625 = log5 5

4 = 4 · log5 5 = 4 Reemplazando: 2 log1010 + 7 log22 + 4 log55 = 2 + 7 + 4 = 13

ii)¿A qué expresión equivale

Solución Para reducir analicemos cada término

Luego, reemplazando:

Veamos el numerador

Y el denominador

Luego, queda:

7.2 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

7.2.1 Exponencial

Se reducen ambos términos de la igualdad mediante las propiedades hasta llegar a una ecuación reducida mínima. Esta ecuación final puede respondera dos situaciones:

• Bases iguales:

Por propiedad de las potencias se obtiene: • Bases distintas: Se aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación, obteniéndose:

O bien

7.2.2 Logarítmica

Se reducen ambos términos de la igualdad mediante las propiedades de los logaritmos hasta llegar a la ecuación:

Lo que conduce a:

a = b

7.3 Aplicaciones

Se debe plantear la ecuación o el sistema que represente el problema, resolviendo después según el(los) tipo(s) de ecuación(es) obtenida(s).

a. Crecimiento bacteriano

Un estudio arroja que el crecimiento de una familia de m bacterias crece en función del tiempo según

f(t) = m · 2t, con t en segundos

Si la familia inicial de bacterias es 7, ¿cuántas habrá para t = 5 segundos?

Soluciónf(5) = 7 · 25 f(5) = 7 · 32 f(5) = 224

b. Interés compuesto

Sea M una cantidad de dinero inicial y sea i un interés, tal que r es i en forma decimal y corresponde a la tasa de interés por período.

El interés compuesto acumulado después de n períodos de inversión que entrega un monto final Q (valor acrecentado) está dado por:

Si se invierten $ 200 a un interés 6% anual, es decir, con un interés por mes de r = 0,005 y n el número de meses, se tendrá que:

En general, se supone que r es la tasa de interés anual y que el interés se capitaliza n veces al año. La tasa de interés por período de inversión es . Siel capital inicial o monto inicial M se ha intervenido por t años, entonces el número de períodos de interés es nt y el monto Q después de t años está dadopor:

CAPÍTULO 3: GEOMETRÍA

Aprendizajes esperados

• Analizar relaciones geométricas presentes en la vida cotidiana y en el mundo de las ciencias; describir y analizar situaciones con precisión.• Analizar invariantes relativas a desplazamientos, cambios de ubicación y ampliación or educción a escala, utilizando el dibujo geométrico.• Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la trigonometría en el triángulo rectángulo, de rectas y planos en el espacio, de

volúmenes generados por rotaciones o traslaciones de figuras planas, a la representación de objetos del espacio tridimensional.

Las leyes que estudian los fenómenos ópticos de refracción y reflexión se deben principalmente a los trabajos del físico holandés Christian Huyghens. Enestas leyes, tienen una gran importancia los ángulos; en la refracción, los rayos luminosos varían sus trayectorias en función de su longitud de onda –esdecir, su color– y la densidad de los medios recorridos.

I. Ángulos y polígonos

1. Ángulos

Un ángulo está formado por la intersección de dos rayos con un origen en común. El punto en donde se originan los rayos se denomina vértice de dichoángulo. La abertura que se produce entre estos dos rayos corresponde a la medida de dicho ángulo, es decir, un ángulo se mide de acuerdo a lo quebarre cuando gira desde una posición inicial hacia una posición final.

Sean los rayos y . Si la posición inicial es el rayo y la posición final el rayo , entonces dicho giro forma el ángulo AOB, es decir:

En este caso, el punto O representa el vértice del ángulo, y su medida será la abertura que existe entre ambos rayos.La notación de un ángulo en general se realiza a través de letras griegas, como por ejemplo, α, β, γ, δ, ε, θ, Ω, etc... o simplemente mencionando los

puntos de los rayos que lo forman. En el caso anterior, el ángulo se describe por AOB, siendo O el vértice, y los lados del ángulo.

Es importante mencionar que los ángulos se miden positivamente en forma contraria al movimiento de las manecillas del reloj. En general, cuando semide un ángulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj se le asocia un número positivo a su medida. Se pueden medir ángulos en el sentido delas manecillas del reloj, pero en este caso, la medida asociada será negativa.

1.1 Sistemas de medida

Existen tres sistemas de medición de ángulos: el sistema sexagesimal, el sistema centesimal y el sistema circular.

a. Sistema sexagesimal

Este sistema divide una circunferencia en 360 partes iguales, generando, de esta manera, una división de 360 arcos iguales. A cada uno de los ángulosque se forman uniendo el centro de la circunferencia con los extremos de los respectivos arcos se le asocia como medida un grado sexagesimal (1°), elcual corresponde a una de las 360 partes en que se dividió la circunferencia. Cada una de estas 360 partes se puede dividir, a su vez, en 60 partesiguales. Cada una de las 60 divisiones así generadas, de un grado sexagesimal se llama un minuto(1’) sexagesimal. A su vez, los minutos sexagesimalesse dividen en 60 segundos sexagesimales. En resumen, en este sistema, la medida del ángulo que describe la circunferencia es 360°; la de una quedescribe una semicircunferencia será de 180º y así sucesivamente.

b. Sistema centesimal

Este sistema divide una circunferencia en 400 partes iguales, su unidad de medida es el grado centesimal o gradian (g), el cual corresponde a una de las400 partes. En resumen, en este sistema una circunferencia mide 400g.

c. Sistema circular

En este sistema de medición la unidad de medida es el radián (rad.). Un radián se define como la medida del ángulo, que encierra un arco de circunferencia de longitud igual al radio de ésta. Esto es, dada una circunferencia de radio r, un radián es la medida del ángulo que forma un arco de lacircunferencia cuya longitud es r. Luego, la circunferencia tiene asociada una medida de 2π radianes. No es difícil mostrar que esta definición no dependedel radio r. Para ello, basta considerar todas las circunferencias centradas en un solo punto y hacer variar el radio de ellas.

1.1.1 Unidades de los sistemas

con circunferencia

1.1.2 Transformación de un sistema en otro

Para transformar ángulos de un sistema de medición a otro, solo se deben recordar las medidas totales de la circunferencia en cada uno de ellos yrelacionarlos por una regla de tres simple. Un ejemplo es la siguiente tabla comparativa de ángulos en los tres sistemas:

Ejemplo:

Determine a cuántos grados sexagesimales corresponde la suma entre 50g y π rad.

Solución

• Se deben transformar ambas unidades al sistema sexagesimal

• La suma entre ambos ángulos corresponde a:45º + 60º = 105º

En el resto del texto identificaremos los ángulos con su medida. Esto si el AOB fuera de medida αº diremos: El ángulo α° para identificar al ángulo.

1.2 Clasificación de ángulos

Si a es un ángulo dado (en el sistema sexagesimal), este puede ser:

1.3 Relaciones angulares

a. Ángulos congruentes

Son aquellos que poseen la misma medida. Los ángulos congruentes se describen mediante el símbolo:

b. Ángulos adyacentes

Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos sobre la misma recta L.

c. Ángulos complementarios

Son aquellos que sumados dan 90°. Ambos ángulos son el complemento del otro, es decir, si α + β = 90° entonces α es el complemento de β y en formarecíproca β es el complemento de α.

d. Ángulos suplementarios

Son aquellos que sumados dan 180° (los ángulos adyacentes son suplementarios). Ambos ángulos son el suplemento del otro, es decir, si α + β = 180°entonces α es el suplemento de β y en forma recíproca β es el suplemento de α.

e. Ángulos opuestos por el vértice

Considerar dos rectas L1 y L2 que se cortan. Sea P el punto de intersección. Es claro que alrededor de P se formen cuatro ángulos α, δ, γ y β, y que lamedida de α es la medida de γ, la medida de β es la medida de δ. Diremos que los ángulos α y γ, así como β y δ, son opuestos por el vértice P.

1.4 Ángulos entre paralelas

Sean L1 // L2 y T una transversal como muestra la siguiente figura. Para ésta se definen:

Si L1 // L2

• Ángulos correspondientes:

• Ángulos alternos externos:

• Ángulos alternos internos:

2. Polígonos

Un polígono es toda figura plana cerrada limitada por un número finito de lados rectos. De acuerdo al número de lados, los polígonos se clasifican, porejemplo, en:

2.1 Elementos de un polígono

• Lados: son los segmentos que al unirse forman el polígono.

• Vértices: son los puntos de intersección entre los lados consecutivos del polígono.

• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos de un polígono.

• Ángulos interiores: son los ángulos formados por las intersecciones de los lados consecutivos del polígono.

• Ángulos exteriores: son los ángulos formados por los lados y las prolongaciones de los lados de un polígono, de tal forma que el vértice de dichoángulo es la intersección de estos lados.

Ejemplo:

• Lados:

• Vértices: A, B, C, D, E, F.

• Diagonales:

• Ángulos interiores: α, β, γ, δ, ε, θ.

• Ángulos exteriores: α’, β’, γ’, δ’, ε’, θ’.

2.2 Clasificación de polígonos

2.3 Generalidades en un polígono convexo de n lados

Sea n el número de lados de un polígono, entonces:

2.3.1 Número de diagonales desde un vértice

Sea d el número buscado, entonces el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice está dado por la fórmula:

Ejemplo: En un Hexágono, n = 6, luego el número de diagonales trazadas desde un vértice es:

En resumen, por cada uno de los vértices de un hexágono pasan exactamente 3 diagonales.

2.3.2 Número total de diagonales

Sea D el número buscado, entonces el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono está dado por la fórmula:

Ejemplo: En un hexágono, n = 6, luego al reemplazar en la fórmula el número total de diagonales trazadas en este polígono es:

2.3.3 Suma de los ángulos interiores de un polígono

Sea Si la suma de los ángulos interiores de un polígono, entonces dicha suma se expresa por la fórmula:

Ejemplo: En un hexágono, n = 6, luego la suma de los ángulos interiores es:

2.3.4 Suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo

En todo polígono la suma de sus ángulos exteriores es siempre 360º.Sea Se la suma de los ángulos exteriores de un polígono, entonces:

Ejemplo: En un hexágono, n = 6, la suma de los ángulos exteriores es 360º

II. Triángulos

Es un polígono de tres lados.

1. Elementos primarios

• Vértices: La intersección de dos trazos se denomina vértice, los que se identifican por letras mayúsculas. En la figura los vértices son: A, B y C.

• Lados: Los segmentos se llaman lados del triángulo, y se identifican por letras minúsculas. En la figura los lados están denotados por a, b yc.

• Ángulos interiores: Los ángulos que se forman por la intersección de los segmentos, en el interior de esta figura, se denominan ángulos interiores. Eneste caso:

• Ángulos exteriores: Los adyacentes de los ángulos interiores se denominan ángulos exteriores. En la figura dichos ángulos son α’, β’, γ’.

2. Teoremas fundamentales

• La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180 grados sexagesimales, es decir:

• En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa. Ejemplo: si en la figura anterior se cumple que α > β > γ, entonces para los lados secumple que a > b > c.

• Cada ángulo exterior de cualquier triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. En la figura anterior se puede observarque:

• La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es equivalente a 360 grados sexagesimales, es decir:

• La suma de dos lados es siempre mayor que el tercer lado.

• La diferencia positiva de dos lados es siempre menor que el tercer lado.

3. Elementos secundarios

3.1 Altura

La altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

En cada una de las figuras anteriores ha, hb y hc son las alturas de los triángulos. El punto de intersección de estas alturas se llama Ortocentro, y sedenota por H.

3.2 Bisectriz

La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo es el segmento que dimidia ese ángulo, es decir, lo divide en dos partes iguales.

En cada una de las figuras son las bisectrices de los triángulos. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto “I”llamado Incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

El Incentro equidista de los lados del triángulo, es decir, posee la misma distancia a los lados del triángulo.

3.3 Simetral

Las simetrales de un triángulo corresponden a los segmentos perpendiculares en los puntos medios de los lados del triángulo. Éstas concurren en unpunto que equidista de los vértices del triángulo.

En cada una de las figuras Sa, Sb y Sc son las simetrales de los triángulos. En la primera figura los puntos medios de los lados son respectivamente P, Q yR. Las tres simetrales de un triángulo (Sa, Sb y Sc) se cortan en un punto “O” llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita altriángulo.

3.4 Mediana

Las medianas son los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo.

Sean P, Q y R puntos medios de los lados respectivos, entonces:

En resumen, la medida de la mediana corresponde a la mitad de la medida del lado opuesto, por último, cada mediana es paralela a su lado opuesto.

Altrazar las medianas, los triángulos que se forman son congruentes entre sí y semejantes al triángulo original.

Lo anterior implica que el área del triángulo RQC, equivale a la cuarta parte del área total del triángulo ABC, es decir, A(ΔRQC) : A(ΔABC) = 1 : 4 con Aárea del triángulo.

3.5 Transversal de gravedad

Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

Sean P, Q y R puntos medios; las transversales de gravedad (t).

El punto en donde se intersectan las transversales de gravedad (G) se denomina Centro de gravedad, Centroide o Baricentro. Este punto divide a lastransversales de gravedad en la razón 2 : 1, partiendo desde el vértice hacia el lado opuesto.

Según lo anterior, la razón entre los segmentos de las transversales de gravedad es:

4. Generalidades

Sean ha, hb y hc alturas del triángulo, y a, b y c los lados del triángulo, tenemos los siguientes conceptos que se obtienen con operaciones entre loselementos:

4.1 Área

El área de un triángulo, que es la medida de su superficie, está dada por el semiproducto de la base (lado) por su altura correspondiente.

4.2 Perímetro

El perímetro es la longitud del triángulo y corresponde a la suma de las medidas de todos los lados del triángulo.

Teorema de HerónEste teorema nos permite calcular el área de un triángulo cualquiera sólo conociendo los tres lados de él.

5. Clasificación de triángulos

5.1 Según sus ángulos

5.1.1 Teoremas en el triángulo rectángulo

Sea ABC un triángulo rectángulo en C y AD = p, DB = q y CD = hc

catetos (lados que forman el ángulo recto)

hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto)

a. Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.

Números pitagóricos: Son aquellos tríos de números que cumplen elTeorema de Pitágoras.

b. Teorema de Euclides

En untriángulo rectángulo se cumple que

5.1.2 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

• Triángulo de ángulos 30º, 60º y 90º

• Triángulo de ángulos 45º y 90º

• Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

Si M es punto medio del segmento AB, entonces:

5.2 Según sus lados

5.2.1 Propiedades del triángulo equilátero

• AB = BC = AC = a • Ángulos congruentes entre sí. Cada uno mide 60°. • Las transversales de gravedad, alturas, bisectrices y simetrales trazadas de cada vértice son una misma recta.

5.2.2 Propiedades del triángulo isósceles

• : Base • ángulos basales y y : ángulo del vértice

• La altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base, son una misma recta. Para losotros vértices y lados no ocurre lo mismo.

• Punto medio de

• Las alturas trazadas desde los vértices de los ángulos de igual medida a los lados de igual medida miden lo mismo. Lo mismo ocurre para las

bisectrices, transversales y simetrales trazadas desde los ángulos iguales o trazadas desde los lados iguales.

III. Trigonometría en el triángulo rectángulo

1. Razones trigonométricas

Si se tiene un triángulo rectángulo ABC, con α un ángulo interior agudo, a y b catetos, y de hipotenusa c, entonces se pueden establecer 6 razones entrelas medidas de sus lados. El valor de estas razones no depende del tamaño del triángulo, sino de la medida de sus ángulos agudos. En efecto, si Δ

A’B’C’ es otro triángulo rectángulo tal que entonces los triángulos son semejantes y se cumple:

Esto implica que:

y las tres relaciones recíprocas

Estas razones tienen nombres particulares:

• El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud de lahipotenusa, es decir:

• El coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud de lahipotenusa, es decir:

• La tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud del catetoadyacente al ángulo, es decir:

• La cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud delcateto opuesto al ángulo, es decir:

• La secante de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacenteal ángulo, es decir:

• La cosecante de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuestoal ángulo, es decir:

En resumen:

2. Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre razones trigonométricas que se verifica para cualquier medida del ángulo. Las identidades másutilizadas son las siguientes:

3. Aplicaciones

3.1 Ángulos de elevación y de depresión

Si consideramos un observador en un punto A y un objeto P situado en el mismo plano que A, podemos definir el ángulo de elevación y de depresión deA respecto a P de la siguiente forma:

• Ángulo de elevación

Horizontal del observador

• Ángulo de depresión

Horizontal del observador

3.2 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos más utilizados

IV. Cuadriláteros

Es un polígono de cuatro lados.

1. Elementos primarios

• Vértices: La intersección de dos trazos se denomina vértice, los que se identifican por letras mayúsculas. En la figura los vértices son A, B, C y D.

• Lados: Los segmentos se llaman lados del cuadrilátero y se identifican por letras minúsculas. En la figura los datos están denotados pora, b, c y d.

• Ángulos interiores: Los ángulos que se forman por la intersección de los segmentos en el interior de la figura se denominan ángulos interiores. En lafigura α, β, γ y δ son los ángulos interiores.

• Ángulos exteriores: Los adyacentes de los ángulos interiores se denominan ángulos exteriores. En la figura α’, β’, γ’ y δ’ son los ángulos exteriores.

• Diagonales: Los segmentos que unen dos vértices no consecutivos se denominan diagonales. En la figura son las diagonales.

2. Teoremas fundamentales

a. La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°.

α + β + γ + δ = 360°

b. La suma de los ángulos exteriores de cualquier cuadrilátero convexo es 360°.

α’ + β’ + γ’ + δ’ = 360°

3. Clasificación de los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados

• Según sus lados, también los cuadriláteros se puedenclasificar en:

EquiláterosIsóscelesEscalenos

• Según sus ángulos, también los cuadriláteros se pueden clasificar en:RectángulosOblicuángulos

3.1 Paralelógramos

Sus características son:

• Lados opuestos paralelos y congruentes.

• Ángulos interiores opuestos congruentes.

• Ángulos interiores consecutivos suplementarios.

• Las diagonales se dimidian.

• Área = base por altura correspondiente.

En la figura, si h es la altura del paralelógramo y el segmento AB es la base, entonces, el área se expresa por:Área de ABCD = h ·

• Se clasifican en:

3.2 Trapecios

Sus características son:

• Un par de lados paralelos llamados bases. En la figura:

• El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana.

En la figura:

La mediana es paralela a las bases y mide la semisuma de ellas.

• Área = mediana por altura = · h

• Se clasifican en:

3.3 Trapezoides

Sus características son:

• No tienen lados paralelos.

• Para calcular áreas y perímetros se descomponen en figuras más comunes.

• Se clasifican en:

V. Circunferencia y círculo

• Circunferencia: Es el conjunto de los puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro.

• Círculo: Es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una longitud determinada.Corresponde a la región interior del plano limitada por una circunferencia.

1. Elementos

O: Centro de la circunferencia

: Radio de la circunferencia (r). Es el segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.: Cuerda es el segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia.

: Diámetro es una cuerda que pasa exactamante por el centro de la circunferencia, además, entre todas las cuerdas, es la de mayor longitud.

: Arco de la circunferencia es una parte de la circunferencia. Observación: los arcos se miden en forma contraria al movimiento de los punteros de un reloj.

: Secante es la recta que intersecta en dos puntos distintos a una circunferencia.

: Tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto. Observación:

: Sagita segmento de un radio perpendicular a una cuerda que va desde el punto de intersección con la cuerda hasta la circunferencia. En la figura M punto medio de . Si es un lado de un polígono regular inscrito a la circunferencia, entonces:

: Apotema es la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia al punto medio de una cuerda Observaciones:

• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos los vértices son puntos de ella.

• Un polígono está circunscrito a una circunferencia si la circunferencia es tangente a todos los lados del polígono.

2. Generalidades

2.1 Perímetros

Sea r: radio, d: diámetro

2.1.1 Perímetro de la circunferencia

2.1.2 Perímetro del sector circular

2.2 Áreas

Sea r: radio, d: diámetro

2.2.1 Área del círculo

2.2.2 Área del sector circular

3. Ángulos en la circunferencia

3.1 Ángulo del centro

Tiene el vértice en el centro de la circunferencia y está formadopor dos radios. Mide lo mismo que el arco que lo subtiende.

3.2 Ángulo inscrito

Tiene el vértice en la circunferencia y está formado por dos cuerdas. Mide la mitad del arco que lo subtiende.

3.2.1 Ángulo inscrito en una semicircunferencia

Si es diámetro de la circunferencia, entonces el ACB = 90°

3.2.2 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia sus ángulos opuestos son suplementarios.

3.3 Ángulo semi-inscrito

Tiene el vértice en la circunferencia y está formado por una cuerda y una tangente. Mide la mitad del arco.

3.4 Ángulo interior

Tiene el vértice en el interior de la circunferencia, y está formado por segmentos de cuerdas. Su medida se calcula con la siguiente fórmula:

3.5 Ángulo exterior

Tiene el vértice en el exterior de una circunferencia y está formado por dos secantes. Su medida se calcula con la siguiente fórmula.

4. Proporcionalidad en la circunferencia

4.1 Teorema de las cuerdas

Sea P punto interior de la circunferencia y dos cuerdas como indica la figura, entonces se cumple que:

4.2 Teorema de las secantes

Sea P punto exterior a la circunferencia y dos secantes, como lo indica la figura, entonces se cumple que:

4.3 Teorema de la tangente y la secante

Sea P un punto exterior a la circunferencia, una tangente en T y una secante, según la figura, entonces se cumple que:

4.4 Igualdad de tangentes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes, entonces las medidas de éstas son congruentes.

VI. Geometría de proporción

1. Congruencia

Dos figuras son congruentes cuando al ubicarlas una sobre la otra sus elementos correspondientes coinciden totalmente. Deben tener la misma forma y elmismo tamaño.

En el caso particular de los polígonos, sus ángulos, lados y otros elementos deben coincidir tanto en su forma como en sus medidas.

Si dos polígonos son congruentes, entonces tienen el mismo perímetro y la misma área.

1.1 Elementos correspondientes en los triángulos

Si entonces:

1.2 Criterios de congruencia en triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen:

• Dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos congruente (L.A.L).• Los tres lados congruentes (L.L.L).• Dos ángulos congruentes y el lado comprendido por ellos congruente (A.L.A).• Dos lados respectivamente congruentes y el ángulo opuesto al mayor de ellos congruente (L.L.A.)

2. Equivalencia

Dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma área sin tener, necesariamente, la misma forma.

Ejemplo: Un círculo de radio 3 es equivalente a un cuadrado de lado

3. Semejanza

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus elementos homólogos son proporcionales.

3.1 Criterios de semejanza en triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen:

• Dos ángulos respectivamente congruentes.• Un ángulo congruente comprendido entre dos lados proporcionales.• Dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos congruente.• Tres lados proporcionales.

3.2 Propiedades de los triángulos semejantes

Los elementos homólogos en triángulos semejantes corresponden alos lados que están opuestos a los mismos ángulos o elementos que cumplen la misma función en cada triángulo (alturas, bisectrices, transversales ysimetrales).

Si Δ ABC ~ Δ DEF, entonces:

M y N: puntos medios

a. La razón entre los elementos homólogos de dos triángulos semejantes, es constante.

, con k constante de proporcionalidad

b. La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

c. La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

3.3 Teorema de Thales

a. Si en un triángulo cualquiera se traza un segmento paralelo a uno de los lados, se obtiene otro triángulo cuyos lados son proporcionales a los lados deltriángulo original.

3.3.1 Casos particulares del teorema de Thales

a. Sean L1 // L2 // L3, entonces se tiene que:

b. Sean L1 // L2, entonces se tiene que:

3.4 Teorema de la bisectriz

S i es una bisectriz del triángulo ABC, entonces se cumple la siguiente proporción entre los lados y los segmentos que determina la bisectriz alintersectar al lado opuesto:

Este teorema es válido para cualquier triángulo.

4. División de un segmento

4.1 División interior

P divide interiormente al trazo AB en la razón m : n

4.1.1 Sección áurea o divina

Si un punto x divide interiormente a un trazo en dos segmentos, de modo que el mayor sea la media proporcional geométrica entre el trazo completo y elsegmento menor, entonces se cumple:

4.2 División exterior

Q divide exteriormente al trazo AB en la razón m : n

4.3 División armónica

P y Q dividen interior y exteriormente al trazo AB en la razón m : n

VII. Cuerpos geométricos

1. Poliedros

Cuerpos geométricos formados solo por caras planas.

1.1 Elementos

Todos poseen caras, aristas y vértices.

• Las caras son superficies que hacen de frontera entre el interior y el exterior del cuerpo.• Las aristas son las líneas de intersección de las caras.• Los vértices corresponden al punto de intersección de tres o más aristas.

1.2 Clasificación

1.2.1 Poliedros regulares

Son aquellos que tienen todas sus caras iguales.

1.2.2 Poliedros irregulares

Se dividen en prismas y pirámides.

• La base de la pirámide es el polígono en el cual se apoya. Un prisma es un sólido determinado por 2 polígonos paralelos y congruentes llamados basesy las caras restantes se llaman caras laterales.

1.3 Área y volumen de algunos poliedros

1.3.1 Cubo o hexaedro

Sólido de 6 caras cuadradas y paralelas.

1.3.2 Paralelepípedo

Sólido de 6 caras, las cuales pueden ser rectángulos y/o cuadrados.

2. Cuerpos redondos

Cuerpos geométricos formados por caras planas y curvas y solo por caras curvas. Se generan por la rotación de 360° de una figura plana alrededor de sueje.

2.1 Cilindro

Sea un rectángulo ABCD, que gira 360° sobre uno de sus lados. El lado es, por definición, el eje de rotación.El cuerpo resultante de la rotación se llama cilindro; sus bases son dos circunferencias iguales, y la superficie curva lateral se llama superficie cilíndricade revolución.

La distancia entre las bases se llama altura, en la figura (o ). El lado del rectángulo que genera la superficie lateral, se llama generatriz.

En el cilindro, la generatriz y la altura coinciden.

Área y volumen

2.2 Cono

Sea un triángulo rectángulo ABC que gira 360° sobre uno de los catetos: eje de rotación. El cuerpo resultante de esta rotación se llama cono.

Su única base es una circunferencia y la superficie lateral se llama superficie cónica de revolución. El vértice superior del triángulo es el vértice delcono.

La distancia entre el vértice y la base es la altura, y la hipotenusa del triángulo rectángulo es la generatriz del cono (g).

Área y volumen

• Área lateralHaciendo una proporción respecto del área y perímetro total se tiene:

• Área basal

2.3 Esfera

Consideremos un semicírculo que gira alrededor de su diámetro.

El cuerpo generado por esta rotación del semicírculo se llama esfera y la superficie que limita la esfera se llama superficie esférica (todos sus puntosequidistan del centro O).

Una porción de la superficie esférica se suele llamar casquete esférico.

VIII. Geometría analítica y Transformaciones isométricas

1. Plano cartesiano

1.1 Definición

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejescoordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés RenéDescartes). El punto de intersección se llama origen.

• El eje horizontal recibe el nombre de eje X o de abscisas.• El eje vertical recibe el nombre de eje Y o de ordenadas.

1.2 Coordenadas de un punto

En un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que sellaman coordenadas del punto. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5, se tiene A(3, 5).

1.3 Cuadrantes

El plano cartesiano consta de cuatro regiones que han sido llamadas cuadrantes.

1.4 Distancia y punto medio entre dos puntos

2. La recta

2.1 Pendiente

La pendiente o inclinación de la recta L que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) se define:

Notemos que

Esto es, si α es el ángulo que forma la recta L con una paralela al eje X, entonces entonces m = tg α

Tres puntos son colineales si la pendiente calculada, considerandolos puntos de dos en dos, entregan el mismo valor.

2.2 Ecuación de la recta

Se puede determinar la ecuación de la recta a partir de:

a. Dos puntos conocidosSean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) y puntos conocidos, entonces la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos viene dada por:

b. Un punto y pendiente conocidaSean P1 (x1, y1) y m conocidos. Entonces la ecuación de la recta que pasa por este punto y con pendiente m viene dada por la ecuación:

2.2.1 Ecuación general

2.2.2 Ecuación principal

con m : pendiente o inclinación de la recta

(0, n) : punto donde la recta corta al eje “Y” (n: coeficiente de posición)

En esta forma vemos que la recta y = mx + n pasa por el punto (x0, y0), si y sólo si y0 = mx0 + n

2.3 Posición relativa entre rectas

2.3.1 Rectas coincidentes

Sean

2.3.2 Rectas paralelas

Sean

2.3.3 Rectas perpendiculares

Sean

Cuando las rectas NO son paralelas, perpendiculares nicoincidentes, entonces son rectas secantes.

3. Transformaciones isométricas

Dados dos conjuntos de puntos del plano, uno llamado conjunto origen y otro llamado conjunto imagen, la correspondencia que lleva los puntos delconjunto origen a algunos puntos del conjunto imagen se llama transformación geométrica.

Si a cada elemento del conjunto origen le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto imagen, la correspondencia recibe el nombre de aplicación.

Por otra parte, las transformaciones geométricas que cumplen la propiedad de mantener las distancias se llaman isométricas.

3.1 Traslación

Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T = T(a, b) que transforma el punto P de coordenadas (x, y) en el punto P’ de coordenadas (x +a, y + b) = T(x, y).

La traslación queda completamente definida por el vector (a, b) que se conoce como el vector de traslación.

En la traslación, la coordenada “a” mueve el punto a la derecha o a la izquierda, dependiendo del signo de ésta. La coordenada “b” mueve el punto haciaarriba o hacia abajo, también dependiendo del signo de éste.

3.1.1 Propiedades

• Sea A’, B’ los transformados de A, B por traslación del vector . Se verifica siempre que • La traslación transforma los segmentos en segmentos de igual medida y paralelos al dado. • La traslación transforma una recta en una recta paralela.• La traslación transforma cualquier figura en otra figura congruente.

3.2 Rotación

Es frecuente encontrar, en física o geometría analítica, el siguiente problema: dado un punto P cuyas coordenadas en un sistema ortogonal de referenciaUV son (u, v) y dado un sistema ortogonal de referencia XY, con el mismo origen que UV determinan las coordenadas del punto P en el sistema XY.

Para resolver este problema vamos a suponer que el sistema XY es el sistema de coordenadas cartesianas y que el sistema UV se obtiene del XY giradoen un ángulo α. Por la geometría de la figura, se infiere que:

Las ecuaciones de rotación (1) y (2) nos permiten determinar las coordenadas de un punto P en relación a un sistema ortogonal no rotado, conociendosus coordenadas (u, v) en el sistema rotado respecto al origen común.

3.2.1 Propiedades

• Los segmentos que unen los puntos homólogos son congruentes.

• Una rotación transforma los puntos de un segmento en los de otro congruente a él.

• Una rotación transforma las rectas en otras rectas.

• Una rotación transforma un ángulo en otro congruente a él. De ello se deduce que dos figuras homólogas bajo las transformaciones de unarotación son directamente iguales. El centro de giro O es homólogo de sí mismo y, por lo tanto, es punto doble.

• Si el ángulo de giro es de 180°, cada punto A del plano se transforma en otro A’ que es su simétrico bajo una simetría central “con centro en elpunto O”.

• Si el ángulo de rotación o giro es de 360°, cada punto del plano A se transforma en sí mismo.

3.3 Simetría

3.3.1 Central

Se llama simetría central a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano otro punto A’ del plano, tales que estánalineados con un punto fijo O, a distinto lado de él y a la misma distancia

El punto O recibe el nombre de centro de simetría.

En una simetría central de centro O, A’ es el homólogo de A y recíprocamente; por lo tanto, los elementos homólogos en una simetría central secorresponden doblemente. Una figura geométrica tiene centro de simetría cuando sus puntos son simétricos dos a dos, con relación a O.

3.3.2 Axial

Se llama simetría axial a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano otro A’ tal que la recta que los une es

perpendicular a una recta fija , de forma que el segmento queda dimidiado por ella.

La recta se llama eje de simetría. (La simetría se representa por la letra S).

3.3.3 Propiedades de las simetrías

• Todo punto del plano tiene uno y sólo un homólogo bajo una simetría.

• Todos los puntos del eje de simetría son homólogos de sí mismos; se dice que son puntos dobles (o que son puntos fijos de la simetría axial).

• La simetría es una isometría, es decir, mantiene las distancias.

• Las simetrías axiales transforman los segmentos en segmentos congruentes y las rectas en otras rectas que cortan a las primeras en puntos M deleje de simetría.

• Las simetrías transforman los ángulos en otros ángulos congruentes, pero de sentido contrario.

• Las simetrías transforman una figura geométrica en otra congruente, aunque en sentido inverso.

• Una figura tiene eje o ejes de simetría si existe una o más rectas que, al atraversarla, la dividen en dos partes idénticas entre sí.

Ejemplos:

1. Un triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, ya que si se trazan las alturas desde los tres vértices, cada una divide al triángulo original en dostriángulos rectángulos idénticos (congruentes).

2. Un trapecio isósceles tiene un solo eje de simetría, el cual corresponde a la recta que pasa por los puntos medios de sus dos bases.

4. Teselaciones

Imaginemos a nuestra disposición una provisión infinita de piezas de rompecabezas, pero todas iguales: se dice que una pieza es teselante cuando esposible acoplarla con otra sin espacios ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre demosaico o teselación.

4.1 Teselaciones regulares

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez yla configuración hexagonal, como la de los panales.

• Teselación de triángulos

• Teselación de cuadrados

• Teselación de hexágonos

5. Homotecia

Se llama homotecia de factor λ ≠ 0 a o la transformación del plano que envía el punto P en el punto P’ tal que donde O es un punto fijo.

Se dice que A’ es homotético a A y al número real λ se le llama razón de la homotecia.

• Si λ > 1 la homotecia se llama directa y el punto O es exterior a los segmentos que unen cada dos puntos homotéticos.

• Si λ = 1 la transformación es una coincidencia, y por consiguiente, su valor es nulo.• Si 0 < λ < 1 la homotecia se llama inversa y el punto O está situado en el interior de los segmentos que unen dos puntos homotéticos.

• Si λ < 0 entonces el punto A’ se sitúa en la prolongación del segmento OA y con sentido opuesto al de

6. Geometría tridimensional

Hasta el momento nuestro objeto de estudio ha sido generalmente la geometría de las figuras en el plano. Este estudio puede extenderse al de las figurasen el espacio más conocido como la geometría del espacio.

Los conceptos dados en geometría plana son aplicables de cierto modo en la geometría espacial. Por lo tanto, las ideas de punto, recta y plano seanalizarán desde la óptica espacial, pues si bien en la geometría plana puntos y rectas se hallan dentro del plano, en la geometría espacial no sucede así:en este caso los puntos y las rectas pueden ser exteriores a él. Se puede imaginar una superficie plana prolongada en todas sus direcciones y con ellotendremos la imagen del plano geométrico. El suelo y la superficie de una muralla sugieren la idea del plano; por lo tanto, en el espacio existe unainfinidad de planos.

Con un solo punto del espacio no queda determinado un plano ni con dos puntos; un plano queda determinado por tres puntos no colineales. Otrasformas de determinar un plano en el espacio y que no son sino consecuencias de lo anterior descrito, son:

• Mediante dos rectas que se corten.• Mediante dos rectas paralelas.• Mediante una recta y un punto exterior a ella.

6.1 Plano tridimensional

En este sistema los ejes son:Eje “x” : Eje de abscisasEje “y” : Eje de ordenadasEje “z”: Eje de cotas

Un punto en este sistema tiene el orden

(abscisa, ordena, cota); es decir (x, y, z).

Para buscar un punto en dicho sistema, se debe generar un paralelepípedo.

Ejemplo:

Sea P (4, 3, 5)

6.2 Ángulos diedros

Dos cualquiera de estos semiplanos definen una abertura entre ellos. Esta abertura puede ser medida colocando un plano perpendicular a la recta deintersección y midiendo el ángulo que se genera en ella. Llamaremos ángulo diedro a cualquiera de estas cuatro aberturas unidas con las respectivascaras (semiplanos) que lo limitan. La recta de intersección se conoce como la arista del ángulo diedro y los semiplanos que lo limitan se llaman caras delángulo diedro.

Para medir el ángulo diedro, basta dibujar un plano perpendicular a la arista y medir en éste el ángulo que deja el ángulo diedro.

6.3 Posición relativa de planos y rectas

Capítulo 4: Probabilidad y Estadística

Aprendizajes Esperados

• Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre probabilidades en eventos sencillos.• Analizar información cuantitativa relacionando probabilidad y estadística.• Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados a la combinatoria, probabilidad y estadística descriptiva.• Analizar la información de tipo estadístico que presentan los medios de comunicación.

Esta figura conocida como triángulo de Pascal, y también como triángulo de Tartaglia, relaciona las combinaciones de m elementos tomados de n en n,con álgebra, a través del binomio de Newton; en cada fila se encuentran los coeficientes numéricos del desarrollo polinómico de la expresión (x+y)n.

I. Probabilidad

1. Combinatoria

1.1 Principio multiplicativo

Supongamos que un elemento a1puede ser elegido de k1 formas diferentes; otro elemento a2 se puede elegir de k2 formas diferentes, hasta un elementoan que se puede elegir de kn formas diferentes.

Si queremos elegir todos los elementos juntos (desde a1 hasta an), entonces pueden ser elegidos de k1 · k2 · k3 · …… · kn formas distintas.

Ejemplo: ¿Cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar usando los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstos pueden repetirse?

Supongamos que tenemos 3 casillas donde cada una corresponde a una cifra:

La primera casilla puede usar todos los números, menos el cero, porque dejaría de ser de 3 cifras. Por lo tanto, hay 6 posibilidades.

La segunda casilla puede usar los 7 números, por lo tanto hay 7 posibilidades.

La tercera casilla puede tomar las cifras 0, 2, 4, 6 para que el número sea par. Luego, hay 4 posibilidades.

Así, con las cifras dadas pueden formarse 6 · 7 · 4 = 168 números pares de tres cifras.

Se define como factorial de un número natural “n” a la multiplicación, sucesiva de los primeros “n” números naturales.

1.2 Permutaciones

1.2.1 Sin repetición

Son los distintos grupos que se pueden formar con esos “n” elementos a la vez, de manera que estos grupos se diferencien solo en el orden de loselementos que los componen, es decir, que el grupo AB sea distinto de BA.

Ejemplo: ¿Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra disco?

Como las letras de esta palabra no se repiten y se usan todas ellas:P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Luego, se pueden formar 120 palabras.

1.2.2 Con repetición

Son los distintos grupos que se pueden formar con los “n” elementos, repitiendo algunos de ellos, de manera que estos grupos se diferencien solo en elorden de los mismos.

Es así como el primer elemento se puede repetir “a” veces, el segundo “b” veces, el tercero “c” veces, hasta el último, que se repite “r” veces.

Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea 9 bolitas, de las cuales 4 son blancas, 3 son amarillas y 2 son azules?

Como se usan las 9 bolitas y, además, las blancas se repiten 4 veces, las amarillas 3 veces y las azules 2 veces, entonces:

Se pueden colocar de 1.260 maneras diferentes

1.3 Variaciones

1.3.1 Sin repetición

Corresponde al número de grupos con “k” elementos que se pueden formar con los “n” elementos que tenemos, siendo k ≤ n, tomando en cuenta queinfluye el orden de sus componentes, de manera que dos grupos con los mismos elementos se pueden diferenciar en el orden de éstos.

Ejemplo: En una carrera de automóviles participan 50 autos. ¿De cuántas formas distintas se pueden repartir los 3 primeros lugares?

Para este caso, son grupos formados de 3 en 3. Obviamente, un auto no puede obtener el 1º y 2º lugar a la vez (sin repetición)

1.3.2 Con repetición

Al igual que en las variaciones simples, también corresponde al número de grupos con “k” elementos de un total de “n” elementos, considerando que sepueden repetir.

Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los 9 primeros números naturales?

Al tratarse de números, el orden importa y, además, las cifras se pueden repetir, luego:

Se pueden formar 6.561 números

1.4 Combinaciones

1.4.1 Sin repetición

Es el número de grupos de “k” elementos que se pueden formar con “n” elementos, de manera que se diferencien en alguno de los elementos, por loque no influye el orden (al contrario de las variaciones), es decir, que el grupo AB es el mismo que BA. Además, un elemento no se repite en el mismo.

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 4 alumnos se pueden formar con los 25 alumnos de un curso?

Evidentemente, no puede haber grupos que tengan exactamente los mismos alumnos y un alumno no puede repetirse en un mismo grupo, luego:

1.4.2 Con repetición

Son combinaciones en las que se considera la repetición de los elementos

Ejemplo: En una pastelería hay 8 tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas puedo elegir 4 de ellos?

Para este ejemplo puedo considerar la repetición, ya que pueden ser los 4 de un tipo, o de dos tipos, etc.

2. Probabilidades

Desde tiempos antiguos el hombre ha tratado de adivinar su futuro o si ciertos eventos ocurrirán o no. Es así como en la Edad Media se practicabanjuegos de azar para apostar dinero. Ya en el siglo XV se empezaron a hacer cálculos de la “ventaja” que tendría un jugador sobre otro. Esta ventaja esmuchas veces aparente, debido a que a simple vista podían estar en igualdad de condiciones.

Si vemos el caso del juego Kino, ¿cuál es la probabilidad de ganar un sorteo si compro un cartón? ¿Qué sucede si compro 100 cartones?

• Si compro uno, la probabilidad será de 1 en 3.268.760, es decir, 0,000031%.• Si compro cien, la probabilidad será de 100 en 3.268.760, es decir, 0,0031%.

Si todas las personas que juegan Kino compraran un solo cartón, cada una tendrá la misma probabilidad de ganar.

2.1 Definiciones

2.1.1 Experimento aleatorio

Es aquel que bajo el mismo conjunto de condiciones iniciales puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado de cadaexperiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado).

Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:• Es posible conocer previamente todos los posibles resultados asociados al experimento.• Es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.• Es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales un número ilimitado de veces.

2.1.2 Espacio muestral (E)

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.

Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles se determina por el principio multiplicativo.

Luego, el espacio muestral “E” tiene 2n posibilidades.

Ejemplo: De un conjunto de 4 tarjetas numeradas del 0 al 3, respectivamente, se extraen dos de ellas al azar. ¿Cuántos elementos tiene el espaciomuestral “E”?

Corresponde a una combinación de 4 elementos tomados de 2 en 2, sin repetición:

Luego, el espacio muestral “E” tiene 6 elementos.

2.1.3 Evento o suceso

Corresponde a todo subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio.

2.2 Ley de los Grandes Números

Repitamos un experimento aleatorio n veces. Llamaremos frecuencia absoluta del suceso A al número de casos favorables na a lo largo de las nrepeticiones de la experiencia.

La frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta y el número total de casos.

Podemos afirmar que a medida que aumenta el número de experiencias, la frecuencia relativa se va estabilizando. Es así como la Ley de los GrandesNúmeros plantea que si el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa del suceso se va acercando más ymás a un cierto valor.

Ejemplo: En un curso de 40 alumnos, cada uno de ellos lanza un dado 120 veces. Luego 240 veces, a continuación 1.200 veces y por último 2.400veces.

Las siguientes gráficas muestran cómo al aumentar la cantidad de lanzamientos el resultado se acerca más a la línea que tiene asignada una frecuenciaabsoluta de

2.3 Probabilidad clásica o “a priori”

Podemos decir que si en un experimento aleatorio, el espacio muestral E tiene “n” elementos igualmente probables y un evento A subconjunto de E tienenA elementos, entonces la probabilidad de que ese suceso ocurra se expresa como:

n : casos posiblesna : casos favorables al evento A

Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, calcula la probabilidad de que ocurra:

• Evento A: que salga un número primo.

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 casosCasos favorables: {2, 3, 5} 3 casos

Calculando la probabilidad:

• Evento B: que salga un número mayor que 4.

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6 casosCasos favorables: {5, 6} 2 casos

Calculando la probabilidad:

2.3.1 Diagrama de árbol

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se comienza estableciendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.En el final de cada rama se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudorepresenta un posible final del experimento.

Ejemplos:

• Al lanzar tres monedas, calcule la probabilidad que se salgan 2 caras y un sello.Construyendo el árbol respectivo, para determinar todos los resultados del experimento:

Calculando la probabilidad tenemos:

• En un club deportivo se les da a elegir a los jugadores entre varios colores para el buzo y la polera; en los buzos hay azules, verdes y grises; en laspoleras hay blancas, amarillas, rojas y celestes. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador elija la combinación azul - celeste?

La solución de este problema se puede efectuar mediante diagrama de árbol. El siguiente esquema ilustra la situación a analizar:

La probabilidad de elegir buzo azul es

La probabilidad de elegir polera celeste es

Luego, utilizando el principio multiplicativo se tiene:

La probabilidad también puede expresarse como porcentaje entre 1 y 100, multiplicando el decimal por 100%.

2.3.2 Tipos de sucesos

a. Suceso imposible

Es aquel que nunca ocurre. Su probabilidad es cero.P(φ) = 0

b. Suceso seguro

Es aquel que siempre ocurre. Su probabilidad es uno.P(E) = 1, donde E es el universo.

c. Suceso contrario

El suceso se conoce como suceso contrario de A, es decir, que el suceso A no ocurre. La probabilidad de que ocurra el suceso contrario de A es:

2.4 Probabilidad total

Se define la ley de probabilidad total como la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B.

• Si los sucesos son mutuamente excluyentes:

• Si los sucesos NO son mutuamente excluyentes:

Ejemplo: Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de:

a. Que salga un número menor que 5 o un número par.b. Que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.

Solución

a. Que salga un número menor que 5 o un número par.

Casos posibles: n = 6

Llamemos:

Reemplazando en

b. Que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.

Casos posibles: n = 6

Llamemos:

Reemplazando en

2.5 Probabilidad condicionada

Se llama probabilidad de B condicionada a A, a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra Bdado que ha sucedido A.

El valor de P(A) dependerá de si en el experimento aleatorio hay o no reposición de los elementos.

2.6 Probabilidad compuesta

Se define la ley de probabilidad compuesta como la probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B.

• Si los sucesos son independientes: Es decir, que la ocurrencia del segundo evento no está influida por la ocurrencia del primero.

• Si los sucesos son dependientes: Es decir, que la ocurrencia del segundo evento está influida por la ocurrencia del primero.

Ejemplo: Supongamos un experimento aleatorio que consiste en sacar dos fichas de una bolsa que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas. Calcular laprobabilidad de que ambas fichas sean rojas.

Llamemos:

A: Que la primera ficha sea rojaB: Que la segunda ficha sea roja

En este ejemplo se nos presentan dos alternativas: con reposición o sin reposición de la primera ficha.

a. Con reposición (independientes)

b. Sin reposición (dependientes)

II. Estadística

1. Conceptos básicos

Todo estudio estadístico esta referido a una colección (conjunto) de personas o cosas. La colección o conjunto de personas se llama población. Laspersonas, cosas o entes que forman parte de una población se denominan individuos. Un elemento de esta población puede ser algo con existenciatangible (edificios, casas, automóviles, bicicletas, radios, televisores, microbuses, etc.), o algo más abstracto (intervalos de tiempo, temperatura,coeficientes numéricos, etc.). A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico.Así, por ejemplo, si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella las siguientes características: sexo, edad, años deescolaridad, profesión, peso, altura, color de ojos, color de pelo, estado civil, etc. Lo anterior indica que se pueden estudiar una o más características delos individuos o elementos de una población. Normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población; paraello se considera un subconjunto llamado muestra. Este subconjunto o subpoblación está formado por elementos de la población que comparten unadeterminada característica. Para entender los conceptos anteriormente mencionados, se deben distinguir algunas definiciones básicas, tales como:

a. Población

Es la colección o conjunto de individuos, objetos o eventos que poseen características comunes, cuyas propiedades serán analizadas.

• Población finita: Cuando el número de elementos que la forman es finito, es decir, se puede conocer el número de elementos de dicha población, porejemplo, el número de alumnos de un centro de enseñanza o grupo clase.

• Población infinita: Cuando el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos, es decir, no se puedeconocer el número de elementos de dicha población. Por ejemplo, si se realizase un estudio sobre los productos que hay en el mercado, hay tantos y detantas calidades que esta población podría considerarse infinita.

b. Individuos

Se llama individuo o variable estadística a cada uno de los integrantes de la población cuya propiedad o característica se quiere estudiar. En este casose entenderá que al referirnos a una población no se trata necesariamente de un conjunto de personas; así también, un individuo no es necesariamenteuna persona.

c. Muestra

Es un subconjunto de la población.

d. Variables

Al determinar características de los individuos, éstas se describen a través del uso de variables. Estas variables pueden ser, de acuerdo a su recorrido, dedos tipos: cualitativas o cuantitativas. Las variables cualitativas o de atributo son aquellas que para su definición requieren características no numéricasdel individuo, como sexo, estado civil, color de ojos, etc.

Las variables cuantitativas describen al individuo por medio de características numéricas, como edad, número de hermanos, años de escolaridad, etc. Asu vez, las variables cuantitativas se pueden subdividir en:

• Cuantitativas discretas: Son aquellas a las que se les puede asociar un número entero, y por su naturaleza no permiten un fraccionamiento de launidad por ejemplo, el número de hijos.

• Cuantitativas continuas: Son aquellas en las que la variable puede tomar cualquier valor expresado por un número real por ejemplo, el tiempotranscurrido.

e. Escalas de medición

La medición es el proceso mediante el cual se le asignan valores numéricos a objetos siguiendo determinadas reglas. Los instrumentos que se utilizanpara ello se denominan escalas de medición, las cuales son la nominal, la ordinal, la de intervalo y la de razón.

Las variables medidas en escala nominal u ordinal son de tipo discreto, pues toman un número finito de valores.

Las variables medidas en escala de intervalo son de tipo continuo, ya que pueden tomar cualquier valor.

• Escala nominal: Es aquella que permite únicamente establecer relaciones de igualdad/desigualdad entre los objetos que se están midiendo. Losnúmeros asignados a dichas variables se pueden sustitutir por letras o nombres sin que ello afecte al resultado de la medición, la cual es una mera

clasificación de objetos. Por ejemplo, a la variable estado civil, se le asignan en algunos casos los valores de “1” a las personas solteras, “2” a lapersonas casadas y “3” a las personas viudas o simplemente se les asigna una letra, como la primera letra de la palabra. Por ejemplo, “s” a las solteras,“c” a las casadas y “v” a las viudas.

• Escala ordinal: Es aquella que además de relaciones de igualdad/desigualdad, permite establecer relaciones de orden entre los objetos que se estánmidiendo. Dado cualquier par de números de una escala ordinal, se puede afirmar si son iguales o diferentes y si uno es mayor o menor que el otro. Sinembargo, no se puede realizar operaciones aritméticas con los números, ya que no se puede asumir que los intervalos que los separan son iguales. Porejemplo, un psicólogo, al entrevistar candidatos para un puesto de trabajo, establece una escala que le permite determinar que los candidatos másidóneos poseen las categorías 1, 2, 3, 4,... etc. Sin embargo, no podemos establecer cuál es la diferencia entre el candidato “1”, el candidato “2”, y asísucesivamente.

• Escala de intervalo: Es aquella que permite establecer las relaciones de igualdad/desigualdad y de orden entre los objetos que se miden. Losintervalos entre los números de la escala son iguales, por lo tanto, se pueden realizar las operaciones suma y resta. Este tipo de escala carece de un ceroabsoluto, por lo que no están permitidas ni la múltiplicación ni la división entre los números de la escala. Ejemplo: como en escala para medir latemperatura en grados celcius los intervalos son iguales, se puede afirmar que la diferencia de temperatura que existe entre 25 y 28 grados es la mismaque existe entre 30 y 33 grados. Sin embargo, dado que el punto 0 de la escala es arbitrario, no existe ausencia de temperatura, no se puede afirmar, porejemplo, que 20 grados es exactamente la mitad de 40 grados.

• Escala de razón: Es aquella que permite el nivel más alto de medición. Además de las operaciones que se permiten en las escalas anteriores, en unaescala de razón existe el 0 empírico, por lo cual se pueden efectuar operaciones aritméticas con los números de la escala. El tiempo de reacción, porejemplo, es una variable medida en escala de razón. No solo se puede afirmar que la diferencia entre 3 y 6 segundos es la misma que entre 6 y 9segundos (afirmación válida también en la escala de intervalos), sino, además, que 6 segundos es el doble de 3 segundos, afirmación que es posibleestablecer gracias a que en la escala de tiempo de reacción existe el cero absoluto. Cero segundos significa ausencia de tiempo de reacción.

2. Tipos de gráficos

La forma más fácil de mostrar la infomación es a través de la respresentación gráfica de las observaciones que posee cualquier variable. Ésta a la vezpermite una rápida comprensión de las variaciones que posee los valores u observaciones de una variable. El diseño de cada gráfico está ligado al tipode dato que contiene la distribución, así tenemos gráficos de barra, circulares, de dispersión, histogramas, polígonos de frecuencia, pictogramas, etc.

El objetivo principal de un gráfico es resumir toda la información en una estructura que integre la situación, para así realizar en forma rápida un análisisgeneral.

2.1 Gráficos de barras

Cada valor de las variables se representa mediante una barra proporcional a la frecuencia con que se presenta. Son apropiados para datos medidos enescala nominal u ordinal.

Permite la comparación de dos o más variables, es decir, permiten comparar grupos respecto de una misma variable.

En los gráficos debe ir claramente especificado lo que cada uno de los ejes representa.En general:

El eje horizontal X se usa para escribir los diferentes ítemes de la información.

El eje vertical Y es el que se usa para la frecuencia de las observaciones correspondientes a una o más variables, dependiendo si es un gráfico de barraso un gráfico de barras comparadas.

Nótese que el ancho de todas las barras es el mismo.

2.2 Histogramas

Se usa para variables agrupadas en intervalos, asignando a cada intervalo un rectángulo de superficie proporcional a su frecuencia. Su diferencia de undiagrama de barras es que en este las barras están separadas, mientras que en el histograma están juntas, pues la variable es continua.

2.3 Polígonos de frecuencias

Es la línea que une los puntos correspondientes a las frecuencias de cada valor (extremos superiores de las barras). Se deben tomar siempre dos puntoscuya frecuencia sea cero, correspondientes al inicio y fin del polígono.

2.4 Gráficos circulares

Estos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar elsector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar.Pueden ser:

• En dos dimensiones

• En tres dimensiones

2.5 Pictogramas

Los pictogramas son gráficos similares a los gráficos de barras, pero éstos emplean dibujos en una determinada escala para representar la unidad demedida de los datos utilizados. Se suelen utilizar para expresar atributos. El tamaño de los dibujos suele guardar relación con la frecuencia de lasobservaciones de la variable en estudio.

• En dos dimensiones

• En tres dimensiones

3. Distribución de frecuencias

Una vez recogidos una gran cantidad de datos para un estudio estadístico, se deben ordenar de tal forma que se pueda sacar la mayor cantidad deconclusiones de ellos.

Por ejemplo, tomemos los siguientes datos:

En el Instituto Profesional de Chile se tomó un ensayo de diagnóstico de habilidades matemáticas en el período de Admisión en abril del 2004, que arrojólos siguientes resultados:

Podemos afirmar que:

a. Hubo un mayor porcentaje de participación en la carrera N° 2 (81,4%).

b. La carrera con mayor cantidad de alumnos inscritos en el diagnótico es la N° 1 (1.315).

c. El puntaje promedio menor pertenece a la carrera 9 (493 ptos.).

d. El puntaje promedio mayor pertenece a la carrera 7 (543 ptos.).

e. La mayor desviación la tiene la carrera 5, es decir, que los puntajes se alejan 93,27 puntos de su promedio. El siguiente cálculo permite determinar elintervalo en que se encuentran la mayor cantidad de puntajes en esta carrera: 530 – 93,27 y 530 + 93,27, luego el intervalo es [436,73 ; 623,27].

Existen diversas formas de organizar datos. A continuación se describen algunas de las formas.

3.1 Tablas de datos NO agrupados

Es una tabla en la cual solo aparecen los datos que se obtuvieron de la investigación científica o de algún experimento aleatorio. Es la tabla más sencillapara organizar datos y se utiliza cuando no se necesita mayor información acerca de los datos. Estas tablas se construyen por medio de la tabulación delas observaciones. Este procedimiento es relativamente sencillo. Para realizarlo nos ocupamos de un conjunto de datos estadísticos obtenidos al registrarlos resultados de una serie de “n” repeticiones de algún experimento u observación aleatoria. Se supone que las repeticiones son mutuamenteindependientes y que se realizan en condiciones ideales. Es importante decir que el resultado de cada observación puede expresarse de forma numérica.Para este tipo de tablas de datos, se puede trabajar con una o más variables, de manera que nuestro material estadístico consiste en “n” valoresobservados de alguna variable aleatoria Xj.

Los valores observados se suelen registrar, en primer lugar, en una lista si el número de observaciones no excede de 20 ó 30; estos datos se registran enorden creciente de magnitud.

Con los datos de esta tabla pueden hacerse diversas representaciones gráficas y calcularse algunas características numéricas, tales como la mediaaritmética (o promedio), la mediana, etc.

Ejemplo 1: Agrupar en una tabla de datos el siguiente conjunto de valores: {10, 1, 6, 9, 2, 5, 7, 4, 3, 8}. La siguiente tabla muestra la agrupación de lasobservaciones en forma ascedente:

Ejemplo 2: Las notas de los alumnos en una prueba de Matemática fueron las siguientes:

Agrupar las observaciones de acuerdo a la cantidad de veces que se repite cada nota (frecuencia). La siguiente tabla muestra los datos ordenados:

3.2 Tablas de datos agrupados

• Si la variable es cuantitativa continua, debemos agrupar los datos en intervalos, ya que los valores de la variable en estudio son representadospor números reales (IR).

• Si la variable es cualitativa o cuantitativa discreta, se agrupan los datos en valores enteros, es decir, los valores de la variable son representados pornúmeros enteros (Z), por lo general positivos.

Luego de construir una tabla de distribución de frecuencias solamente con el número de repeticiones que posee el recorrido de la variable (frecuencia),podemos realizar o determinar el gráfico que representa de mejor forma a nuestra variable. Es importante mencionar que los gráficos más utilizados sonlos gráficos de barra con sus respectivas poligonales y los gráficos circulares.

Ejemplo:

También se pueden agregar a la frecuencia de la variable (f), la frecuencia acumulada (F), la frecuencia relativa (h) y la frecuencia relativa acumulada(H).

• Siendo X : los distintos valores que puede tomar la variable, como número entero o como intervalos.

• Siendo n : el número total de observaciones de la variable.

• Siendo f : el número de veces que se repite cada valor.

• Siendo h : el porcentaje de la repetición de cada valor sobre el total de observaciones.

Ejemplos

1. Si se miden las alturas de los niños de una clase, se obtienen los siguientes resultados medidos en centímetros (cm):

Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia:

2. Agrupar en una tabla el siguiente conjunto de números enteros: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5}.

3. Agrupar en una tabla de distribución de frecuencias, las siguientes estaturas mediante la utilización de 6 intervalos de igual amplitud.

Solución:

4. Medidas de tendencia central

Si se posee un conjunto de observaciones de alguna variable aleatoria, existen algunos indicadores que entregan información resumida acerca de dichasobservaciones.

4.1 Media aritmética o promedio

Es el valor que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de la variable entre el número total de éstos. Es decir:

n: nº de datos de la muestraxi: dato “i” de la muestra

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencia, entonces se define:

fi: frecuencia del dato “i”k: número de datos distintos

4.2 Mediana

En una muestra cuantitativa discreta la mediana de un conjunto de datos es el valor que ocupa la posición central cuando los datos han sido ordenadosen forma creciente (o decreciente). La mediana es el valor que deja por debajo y por encima de él, el mismo número de observaciones, es decir, existe un50% inferior y un 50% superior a ella. En una lista ordenada, con datos sin agrupar, se observan los siguientes casos:

• Si el número de observaciones es impar, la mediana corresponde al valor central.

Ejemplo:

Luego, el número central “5” representa a la Mediana de las observaciones.

• Si el número de observaciones es par, la mediana corresponde al promedio entre los dos valores centrales

Ejemplo:

Luego, el número central “4” se obtiene por la semi-suma entre los dos datos centrales del conjunto de observaciones.

En resumen, la mediana es el dato central, si éstos están ordenados. Además, lo anterior se puede resumir en las siguientes conclusiones:

• Si n es impar, es el dato

• Si n es par, es la media aritmética de los dos datos centrales,

4.3 Moda

Una tercera medida es la moda, o sea, el valor más frecuente. Cuando los datos están sin agrupar, la moda se determina por la simple inspección de lalista ordenada.

Ejemplo:

Para calcular la moda de una tabla de distribución de frecuencias en una muestra cuantitativa discreta con datos tabulados en intervalos, previamente sebusca la frecuencia absoluta mayor dentro de intervalos. Ésta será la clase Modal, que es la clase que contiene a la Moda. En el ejemplo, la Moda es 12. Ejemplo: Determinar la mediana, la moda y media aritmética (o promedio) de los siguientes datos:

Solución Ordenando de menor a mayor se tiene:

La moda es el número 4, porque se repite más veces.La mediana es el número 4, porque está en la mitad de todos los datos.La media aritmética, con los datos no agrupados será:

Si agrupamos los datos, tendríamos la siguiente tabla de frecuencia:

5. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión dan una idea del “alejamiento” de los datos respecto de las medidas de centralización.

5.1 Varianza

Es la media aritmética de las diferencias al cuadrado de cada dato respecto a la media aritmética de ellos. Si la variable está dada en cm, la varianza semide en cm2.

5.2 Desviación típica o estándar

Es la raíz cuadrada de la varianza. Es más usada que la anterior, ya que tiene las mismas unidades de la variable estudiada.

Si los datos están agrupados, entonces:

La desviación típica es una medida de la desigualdad de los datos estudiados, es decir, a mayor desigualdad corresponde mayor desviación típica o quehay mayor dispersión de los datos.

El valor de σ indica la dispersión de los valores que toma la variable aleatoria X.

Por analogía con las variables estadísticas, la desviación típica de una variable X será pequeña o grande según la gráfica de su función de densidadsea, respectivamente, estrecha o ancha en torno a la media aritmética.

Simbología

Bibliografía

• Zill, D; Dewar J. Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc Graw Hill 2ª Edición 2000.

• Smith, S.; Charles, R.; Dossey, J. ; Keedy, M.; Bittinger M. Álgebra. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana S.A., 1992.

• Matemáticas en la Vida Cotidiana. Consortium for Mathematics and Its Applications. Editorial Addison-Wesley / Universidad Autónoma de Madrid,1998.

• I. Biosca, A; Espinet M. J. ; Fandos, M. J. ; Jimeno, M., Rey, J. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Bachillerato edebé, 1998.

• Mercado S. Carlos. Geometría Tomos III y IV. Editorial Universitaria, 1984.

ÍndiceCapítulo 1: Números y Proporcionalidad

I. Conjuntos numéricos1. Números naturales

1.1 Pares e impares1.2 Primos1.3 Múltiplos y divisores1.4 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor1.5 Operaciones en los números naturales

2. Números cardinales2.1 Operaciones en los números cardinales

3. Números enteros3.1 Operaciones en los números enteros3.2 Prioridad de las operaciones

4.Números racionales4.1 Propiedades de las fracciones4.2 Operaciones en los números racionales4.3 Transformaciones4.4 Comparación de fracciones

5. Números irracionales6. Números reales

6.1 Análisis de la significación de las cifras en la resolución de problemas6.1.1 Análisis de cifras significativas6.1.2 Normas para el uso de cifras significativas

6.2 Desafíos y problemas numéricos6.2.1 Cuadrados mágicos6.2.2 Regularidades numéricas

7. Números imaginarios8. Números complejos

II. Razones, proporciones, porcentajes e interés1. Razones y proporciones

1.1 Razón1.2 Proporción

1.2.1 Teorema fundamental de las proporciones1.2.2 Propiedades de las proporciones1.2.3 Clasificación de las proporciones1.2.4 Serie de razones o proporciones

2. Proporcionalidad2.1 Directa2.2 Inversa2.3 Compuesta

3. Porcentaje3.1 Relación en porcentajes3.2 Variación porcentual (Δ%)3.3 Porcentaje de ganancia (%G) y porcentaje de pérdida (%P)3.4 Interés

3.4.1 Interés simple3.4.2 Interés compuesto

Capítulo 2: Álgebra y FuncionesI. Potencias y raíces1. Potencias

1.1 Signos de una potencia1.2 Propiedades

1.2.1 Multiplicación de potencias1.2.2 División de potencias1.2.3 Potencia de una potencia1.2.4 Potencias de exponente negativo1.2.5 Potencias de exponente cero

1.3 Potencias de base 102. Raíces

2.1 Propiedades2.1.1 Relación de la raíz y la potencia2.1.2 Multiplicación de raíces de igual índice2.1.3 División de raíces de igual índice2.1.4 Composición o descomposición de raíces2.1.5 Raíz de una raíz

2.2 RacionalizaciónII. Álgebra1. Conceptos importantes

1.1 Término algebraico1.2 Expresión algebraica

1.2.1 Clasificación1.2.2 Grado

1.3 Términos semejantes2. Operaciones algebraicas2.1 Adición y sustracción

2.2 Multiplicación2.2.1 Productos notables2.3 Factorización2.4 Mínimo común múltiplo (m.c.m.)2.5 Máximo común divisor (M.C.D.)3. Operatoria con fracciones algebraicas

3.1 Adición y sustracción3.2 Multiplicación3.3 División

III. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones1. Ecuaciones lineales

1.1 Ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros1.2 Ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios1.3 Ecuaciones fraccionarias de primer grado1.4 Ecuaciones literales de primer grado

2. Metalenguaje y problemas de planteo3. Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Métodos de resolución3.2 Representación gráfica

IV. Inecuaciones lineales1. Desigualdades

1.1 Propiedades1.2 Intervalos

2. Inecuaciones lineales3. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

V. Relaciones y funciones1. Nociones de conjuntos2. Relaciones

2.1 Producto cartesiano2.2 Concepto de relación

3. Funciones3.1 Concepto de función3.2 Representación gráfica3.3 Clasificación de funciones

VI. Funciones de variable real1. Función afín2. Función parte entera3. Función valor absoluto

3.1 Propiedades del valor absoluto4. Función raíz cuadrada5. Función cuadrática

5.1 Gráfica5.1.1 Concavidad5.1.2 Eje de simetría y vértice5.1.3 Intersección con los ejes

5.2 Ecuación de segundo grado5.2.1 Propiedades de las raíces o soluciones

6. Función exponencial6.1 Leyes de crecimiento y decrecimiento exponencial.

7. Función logarítmica7.1 Logaritmos

7.1.1 Tipos de logaritmos7.1.2 Propiedades

7.2 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales7.2.1 Exponencial7.2.2 Logarítmica

7.3 AplicacionesCAPÍTULO 3: GEOMETRÍA

I. Ángulos y polígonos1. Ángulos

1.1 Sistemas de medida1.1.1 Unidades de los sistemas1.1.2 Transformación de un sistema en otro

1.2 Clasificación de ángulos1.3 Relaciones angulares1.4 Ángulos entre paralelas

2. Polígonos2.1 Elementos de un polígono2.2 Clasificación de polígonos2.3 Generalidades en un polígono convexo de n lados

2.3.1 Número de diagonales desde un vértice2.3.2 Número total de diagonales2.3.3 Suma de los ángulos interiores de un polígono2.3.4 Suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo

II. Triángulos1. Elementos primarios2. Teoremas fundamentales

3. Elementos secundarios3.1 Altura3.2 Bisectriz3.3 Simetral3.4 Mediana3.5 Transversal de gravedad

4. Generalidades4.1 Área4.2 Perímetro

5. Clasificación de triángulos5.1 Según sus ángulos

5.1.1 Teoremas en el triángulo rectángulo5.1.2 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

5.2 Según sus lados5.2.1 Propiedades del triángulo equilátero5.2.2 Propiedades del triángulo isósceles

III. Trigonometría en el triángulo rectángulo1. Razones trigonométricas2. Identidades trigonométricas3. Aplicaciones

3.1 Ángulos de elevación y de depresión3.2 Valores de las funciones trigonométricas para ángulos más utilizados

IV. Cuadriláteros1. Elementos primarios2. Teoremas fundamentales3. Clasificación de los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados

3.1 Paralelógramos3.2 Trapecios3.3 Trapezoides

V. Circunferencia y círculo1. Elementos2. Generalidades

2.1 Perímetros2.1.1 Perímetro de la circunferencia2.1.2 Perímetro del sector circular

2.2 Áreas2.2.1 Área del círculo2.2.2 Área del sector circular

3. Ángulos en la circunferencia3.1 Ángulo del centro3.2 Ángulo inscrito

3.2.1 Ángulo inscrito en una semicircunferencia3.2.2 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

3.3 Ángulo semi-inscrito3.4 Ángulo interior3.5 Ángulo exterior

4. Proporcionalidad en la circunferencia4.1 Teorema de las cuerdas4.2 Teorema de las secantes4.3 Teorema de la tangente y la secante4.4 Igualdad de tangentes

VI. Geometría de proporción1. Congruencia

1.1 Elementos correspondientes en los triángulos1.2 Criterios de congruencia en triángulos

2. Equivalencia3. Semejanza

3.1 Criterios de semejanza en triángulos3.2 Propiedades de los triángulos semejantes3.3 Teorema de Thales

3.3.1 Casos particulares del teorema de Thales3.4 Teorema de la bisectriz

4. División de un segmento4.1 División interior

4.1.1 Sección áurea o divina4.2 División exterior4.3 División armónica

VII. Cuerpos geométricos1. Poliedros

1.1 Elementos1.2 Clasificación

1.2.1 Poliedros regulares1.2.2 Poliedros irregulares

1.3 Área y volumen de algunos poliedros1.3.1 Cubo o hexaedro1.3.2 Paralelepípedo

2. Cuerpos redondos

2.1 Cilindro2.2 Cono2.3 Esfera

VIII. Geometría analítica y Transformaciones isométricas1. Plano cartesiano

1.1 Definición1.2 Coordenadas de un punto1.3 Cuadrantes1.4 Distancia y punto medio entre dos puntos

2. La recta2.1 Pendiente2.2 Ecuación de la recta

2.2.1 Ecuación general2.2.2 Ecuación principal

2.3 Posición relativa entre rectas2.3.1 Rectas coincidentes2.3.2 Rectas paralelas2.3.3 Rectas perpendiculares

3. Transformaciones isométricas3.1 Traslación

3.1.1 Propiedades3.2 Rotación

3.2.1 Propiedades3.3 Simetría

3.3.1 Central3.3.2 Axial3.3.3 Propiedades de las simetrías

4. Teselaciones4.1 Teselaciones regulares

5. Homotecia6. Geometría tridimensional

6.1 Plano tridimensional6.2 Ángulos diedros6.3 Posición relativa de planos y rectas

Capítulo 4: Probabilidad y EstadísticaI. Probabilidad1. Combinatoria

1.1 Principio multiplicativo1.2 Permutaciones

1.2.1 Sin repetición1.2.2 Con repetición

1.3 Variaciones1.3.1 Sin repetición1.3.2 Con repetición

1.4 Combinaciones1.4.1 Sin repetición1.4.2 Con repetición

2. Probabilidades2.1 Definiciones

2.1.1 Experimento aleatorio2.1.2 Espacio muestral (E)2.1.3 Evento o suceso

2.2 Ley de los Grandes Números2.3 Probabilidad clásica o “a priori”

2.3.1 Diagrama de árbol2.3.2 Tipos de sucesos

2.4 Probabilidad total2.5 Probabilidad condicionada2.6 Probabilidad compuesta

II. Estadística1. Conceptos básicos2. Tipos de gráficos

2.1 Gráficos de barras2.2 Histogramas2.3 Polígonos de frecuencias2.4 Gráficos circulares2.5 Pictogramas

3. Distribución de frecuencias3.1 Tablas de datos NO agrupados3.2 Tablas de datos agrupados

4. Medidas de tendencia central4.1 Media aritmética o promedio4.2 Mediana4.3 Moda

5. Medidas de dispersión5.1 Varianza5.2 Desviación típica o estándar