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Esame Svizzero di MaturitàLocarno, giugno 2014
Gruppo e n°: .............................................................
Nome e Cognome: …...................................................................................
Matematica
• La durata dell'esame è di 4 ore.• Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.• Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.• Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.• La nota 6 è conseguita con 40 punti.• È permesso l'uso delle tavole numeriche senza annotazioni né aggiunte personali.• È permesso l'uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non possa
emettere né ricevere informazioni a distanza.• Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni,
pregiudicano la valutazione.• Si richiedono (quando possibile) risultati esatti, non approssimati.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo e corretto i due esercizi obbligatori e due dei tre problemi a scelta.
1
Prima parte: Esercizi obbligatori:
Esercizio 1
Sono dati il piano α : k⋅x−y+h⋅z−1=0
la retta r : (xyz)= (
2−60 )+ λ⋅(
h−3h
1 ) , λ∈ℝ , h ,k ∈ℝ
i. Stabilire per quali valori di h e k:
• la retta r è parallela al piano α e non contenuta nel piano;• la retta è contenuta nel piano;• la retta e il piano sono incidenti.
ii. Porre h=−2 e k=2 .Siano inoltre
A (2,1,0) e B(2,−4,1) ;s la retta passante per il punto A e perpendicolare al piano α;p la retta passante per il punto B e parallela alla retta r.
Verificare che s e p sono incidenti e trovare l'equazione del piano β che le contiene.
iii. Porre h=−2 . Sia inoltre C(6, 8, 6) .Trovare l'equazione della retta t, passante dal punto C e perpendicolare (quindi incidente) alla retta r.
Esercizio 2
Considerare le funzioni reali f e g così definite:
f (x)={x⋅ln (
x+2x
)−x x∈] 0;+∞
0 x=01−e−x2
xx∈] −∞ ; 0
g(x)=2x
x+2
i. Verificare se la funzione f è continua e derivabile. Schizzare il grafico di f in un intorno di 0.ii. Trovare gli zeri della funzione f.iii. Verificare che la funzione f possiede due asintoti.iv. Spiegare perché è possibile affermare che la funzione f possiede almeno un estremo relativo
nell'intervallo ]0 ;2
e−1 .
v. Sia a>0 . Dimostrare che g(a) è l'ordinata all'origine della retta tangente nel punto di ascissa x=a al grafico di f.
2
Esercizio 3L'esercizio si compone di due parti indipendenti.
Prima parte:
Considerare la seguente figura, formata da un triangolo isoscele OAB e da una semicirconferenza di diametro AB. Sia 2x=AOB .
Determinare x, in modo che l'area della figura sia un estremo (determinare se si tratta di un massimo o di un minimo).
Seconda parte:
Trovare la primitiva F della funzione f (x)=e2x
ex+1
tale che F(0)=1−ln(2) .
Esercizio 4
L'esercizio si compone di tre parti indipendenti
Prima parte:
È dato il numero complesso z=√3+1−i1+i
Calcolare le radici quarte di z e rappresentarle nel piano complesso.Determinare i valori α∈ℕ tali che zα
∈ℤ .
Seconda parte:
Risolvere in ℂ :
•z−2z−1
=z
• z2−(1+3i)z−2+2i=0
Terza parte:
Rappresentare nel piano di Gauss gli insiemi
]A={z∈ℂ∣ R e(z) ≥∣z∣2
2}
B={ z∈ℂ ∣ z+1z
∈ ℝ }
3
Esercizio 5
Un' urna contiene 3 palline bianche;7 palline nere;2 palline verdi.
Prima parte:Vengono estratte senza reinserimento 3 palline.i. Calcolare la probabilità che:
• siano tutte bianche;• almeno due siano bianche;• siano di tre colori diversi;• siano tutte dello stesso colore.
ii. Sia X la variabile aleatoria che associa ad ogni estrazione il numero di palline bianche ottenute.Determinare la distribuzione di probabilità di X.
Seconda parte:
Considerare ora il gioco che consiste nell'estrazione di 3 palline. Per vincere occorre estrarne almeno due bianche. Non tutti i giocatori però sono onesti. Si stima che un giocatore su dieci sia un imbroglione e che imbrogliando abbia il 50% di probabilità di vincere.Considerare gli eventi:
B: il giocatore è un imbroglione (Barare) ( B è l'evento complementare: “non è un imbroglione”);V: il giocatore vince.
i. Esprimere a parole i seguenti eventi e calcolarne le probabilità: (V /B) ; (V∩B)
ii. Dimostrare che p(V)=1811100
iii. Calcolare la probabilità che una persona che ha vinto sia un imbroglione.
4