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Trigonometria no Triângulo Retângulo.Trigonometria no Triângulo Retângulo.Trigonometria no Triângulo Retângulo.Trigonometria no Triângulo Retângulo.

Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo

Um triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos internos igual à 90º. O lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados de catetos.

Razões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retângulo

SenoSenoSenoSeno

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.ângulo e a hipotenusa.

a

bsen

hipotenusa

ângulo aoopostocateto

a

csen

hipotenusa


a

bsen

hipotenusa


a

csen

hipotenusa



CossenoCossenoCossenoCosseno

O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

a

c

hipotenusa

ângulo aoadjacentecatetocos

a

b

hipotenusa


a

c

hipotenusa


a

b

hipotenusa





TangenteTangenteTangenteTangente

A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a este mesmo ângulo.ao ângulo e o cateto adjacente a este mesmo ângulo.

c

btg

ângulo aoadjacentecateto


b

c

djacentetg

ângulo aoacateto


c

btg

ângulo aoadjacentecateto


b

c

djacentetg

ângulo aoacateto



Valores Notáveis

Tabela dos valores trigonométricos de ângulos notáveis.

x 30º 45º 60º

sen x

cos x

tg x

2

1

2

2

2

3

2

3

2

22

1

3

31 3


Exemplo 01: Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento em uma parede, de modo que ela forme um ângulo de 60º com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo?

Resolução: Na figura abaixo esquematizamos a situação descrita no problema.

Podemos perceber um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 8 cm, um ângulo de 60º e o lado x que queremos calcular. Como o lado x representa o cateto adjacente ao ângulo de 60º, então:

4

8282

18

º60cos

x

x

x

x

Logo, o ponto de apoio da escada no solo deve ficar a 4 metros da parede.


Exemplo 12: Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Como não pode efetuar diretamente essa medida, ele procede da seguinte forma:

• Do ponto A, situado numa das margens do rio, ele avista o topo D, de um morro na margem oposta, sob um ângulo de 60º com a horizontal;• Afastando-se 12 m, em linha reta, até o ponto B, ele observa novamente o topo do morro segundo um ângulo de 53º com a horizontal.

Com esses dados, que medida, em metros, ele achou para a largura do rio?

Resolução: Na figura abaixo esquematizamos a situação descrita no problema.

x = largura do rio;y = altura do morro.

Para resolver este problema, utilizaremos dois triângulos, o ACD e o BCD.


173,1

73,1

73,1

3

º60

xy

yxx

yx

yx

ytg

296,1533,1

96,1533,1

1233,112

33,1

º53

xy

yx

yxx

yx

ytg

9,39

4,0

96,15

96,154,0

96,1533,173,1

x

x

x

xx

No ACD, podemos estabelecer a relação: No BCD, podemos estabelecer a relação:

Substituindo o resultado de (1) em (2), temos:

Portanto, a largura do rio é de 39,9 m.


Seja o triângulo retângulo ABC, sabemos pelo Teorema de Pitágoras que:

Relação Fundamental I

222 acb

1cos

1

1

22

22

2

2

2

2

2

2

2

22

xxsen

a

c

a

b

a

c

a

b

a

a

a

cb

b

A B

C

x

a

c


Seja o triângulo retângulo ABC, temos:

Relação Fundamental II

c

bxtg

x

xsen

acab

xtgcos

b

A B

C

x

a

c


Seja o triângulo retângulo ABC, temos:

Ângulos Complementares

cos

cos

sen

a

ba

bsen

º90

º90

b

A B

C

α

a

c

β

Assim, º90cosº90cos senousen

Podemos perceber, também, que:

º90

11

tgtgtg

b

ctg

c

btg

ou 1º90 tgtg

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