matematica999mtm ace v4 udesc semiii 2010

Prof. BellProf. BellMATEMÁTICAMATEMÁTICA

Matemática AMatemática AVolume 4Volume 4

Função Exponencial Função Exponencial

Página 01Página 01


Função ExponencialFunção Exponencial

RRf :

DefiniçãoDefinição

RDomínioDomínio

,0Im f

ImagemImagem

xaxf 10 a

*R

,0Im f RfD


Representação GráficaRepresentação Gráfica

xxf 2x

1

2

3

4

... ..

x

xy 2221 y422 y823 y1624 y

xy 2

y

1 2123 x

1

2

4

0

Função ExponencialFunção Exponencial


x

xg

2

1

1 22 x

y

1

4

0

Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica


xxf 2

1 2123 x

y

1

2

4

1 22 x

y

1

4

x

xg

2

1

1

1aCrescente

10 aeDecrescent

00

Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica


322 x

819

1

x

171333 112 xxx

093109 xx

Equação ExponencialEquação Exponencial


kxaa kx

322 x522 x

5x 42 33 x

42 33 x

819

1

x

42 x

2x



63933 1212 xxx

6333

333 2

22

xx

x

6333

333 2

22 x

xx

yx 23

633

3 yy

y

3

18939 yyy

1897 y 27y32 33 x

2

3 x



224 xx

02222 xx

02222

xx

yx 2

11 y

12 x

1x

022 yy

22 y

22 x



322 x

819

1

x

64,08,0 2 x

093109 xx

Inequação ExponencialInequação Exponencial


kx aa

322 x522 x

5x 21 99 x

299 x

2 x

2x

1 , asekx

10 , asekx

819

1

x



1x

64,08,0 2 x

100

648,0 2 x

100

648,0 2 x

10

88,0 2 x

8,08,0 2 x

12 x



yx 3

11 y

09102 yy

92 y

91 y

093109 xx

0931032

xx

x1 – – – – – –

+ ++ +

9

+ ++ +

931 x

20 333 x

20 x




LogaritmosLogaritmos



xab logBase do logaritmoBase do logaritmo

LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo

0a 01 bCondição de ExistênciaCondição de Existência

LogaritmoLogaritmo


xab log ab x

LogaritmoLogaritmo




x8log2 82 x3x

8log2

38log2

LogaritmoLogaritmo




(UDESC 2007-2) A expressão que representa (UDESC 2007-2) A expressão que representa a solução da equação 11a solução da equação 11xx – 130 = 0 é: – 130 = 0 é:

13011x log

11130x log

130

11

logx

130

11x log

11 130x log

a)

b)

c)

d)

e)

b

clog a c b a

0 abc 013011 x



13011x log

11130x log

130

11

logx

130

11x log

11 130x log

a)

b)

c)

d)

e)

b

clog a c b a

0 abc 013011 x

130a



13011x log

11130x log

130

11

logx

130

11x log

11 130x log

a)

b)

c)

d)

e)

b

clog a c b a

0 abc 013011 x

130a11b



13011x log

11130x log

130

11

logx

130

11x log

11 130x log

a)

b)

c)

d)

e)

b

clog a c b a

0 abc 013011 x

130a11bxc



13011x log

11130x log

130

11

logx

130

11x log

11 130x log

a)

b)

c)

d)

e)

b

clog a c b a

11130log x

11130x log

BB

0 abc 013011 x

130a11bxc


Consequência da definiçãoConsequência da definição

01log1 bP

1log2 bP b

nbP nb log3

cacaP bb loglog4

abP ab log5

LogaritmoLogaritmo


Propriedades operatóriasPropriedades operatórias

babaP ccc logloglog1

bab

aP ccc logloglog2

anaP bn

b loglog3

LogaritmoLogaritmo


b

aa

c

cb log

loglog

bab

aa cc

c

cb loglog

log

loglog

Mudança de BaseMudança de Base

LogaritmoLogaritmo


AntilogaritmoAntilogaritmo

cab log

acanti b log

416log2 164log2 anti

LogaritmoLogaritmo


Co-logaritmoCo-logaritmo

cab log

aaco bb loglog

416log2 416log2 co

LogaritmoLogaritmo


Sistema de LogaritmosSistema de Logaritmos

aa loglog10

2100log100log10

LogaritmoLogaritmo


Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)

bae log

...718281828,2e

2log ee 2ln 2 e5logee 55ln e

ba ln

LogaritmoLogaritmo



Função LogarítmicaFunção Logarítmica



DefiniçãoDefinição

RRf *: xxf blog

*RDomínioDomínio

Rf Im

ImagemImagem R

*RfD



xxf 2log

1 x

y

1

2

1

2

1

0

Função LogarítmicaFunção LogarítmicaRepresentação GráficaRepresentação Gráfica


xxg2

1log

12

x

y

1

1

0



xxg2

1log

12

x

y

1

1

1 x

y

1

2

1

2

1

0 0

xxf 2log

1bCrescente

10 beDecrescent



Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica

x

y

xxf blog

1

1

xbxf

1bCrescente

xy



xxf blog

Função LogarítmicaFunção LogarítmicaInversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica

x

y

1

1

xbxf xy 10 beDecrescent


(UDESC 2007-2) A expressão que representa a (UDESC 2007-2) A expressão que representa a inversa da função inversa da função

31f x log x é:é:

1 3 1xf x

1 3 1xf x

1 3 1f x x

1 3 1x

f x

1

1 3x

f x log

a)

b)

c)

d)

e)

3

1y log x

3 1

3 1

3 1

y

x

x

x

y

y

1 3 1xf x

BB


xgxfxgxf bb loglog

53log2 x

325 xx332

35x

03 x3x

35S

Equação LogarítmicaEquação Logarítmica


295log 1 xx

951 2 xx

95122 xxx

095 x5

9 x

01 x 1 x

11 x 2 x

01072 xx

21 x 52 x

5S


xgxfxgxf bb loglog


8log4log3log 555 xx

03 x 3 x

04 x 4 x

41 x

3 x

4S 8log43log 55 xx

8122 xx

0202 xx 52 x

0202 xx


xgxfxgxf bb loglog


xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf

5log3log 22 x

53 x8x

03 xC.EC.E

3x 8/ xRxS

,8S

Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica


2log82log3

2

3

2 xx

282 xx

6x

082 x

C.EC.E

4x02 x

2x

I II

4 xIII

xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf



34log3log 22 xx

8122 xx

322 2log43log xx

322 2log43log xx

0202 xx

51 x42 x

x5 – – – – – –– – – – – –

+ + ++ + +

4

+ + ++ + +

45 x



x5 – – – – – –– – – – – –

+ + ++ + +

4

+ + ++ + +

45 x

03 xC.EC.E

3x04 x

4x

3 x

43/ xRxS

0202 xx

34log3log 22 xx



(UDESC 2009-1) 2ª Fase. Encontre o (UDESC 2009-1) 2ª Fase. Encontre o conjunto solução da inequaçãoconjunto solução da inequação

12log63log 2

3

1

3

1 xxx


Matemática CMatemática CVolume 4Volume 4

Matrizes Inversa Matrizes Inversa Sistemas LinearesSistemas Lineares

PáginaPágina


Matriz inversaMatriz inversa

AA–1–1 A = A A = A A A–1–1 = I = I det A det A 0. 0.

1.1. Se A Se A2x22x2 = =a ba b

c dc d, então :, então : AA–1–1 = =

d –b d –b

––c a c a

det Adet A det Adet A


2.2. det A det A–1–1 = = 1 1 det Adet A

, det A , det A 0 0

3.3. Se A possuir inversa, essa será única. Se A possuir inversa, essa será única.

4.4. Se A possuir inversa, ela será Se A possuir inversa, ela será INVERSÍVELINVERSÍVEL..

5.5. Se A não possuir inversa, ela será Se A não possuir inversa, ela será SINGULARSINGULAR..


(Udesc 2006-1) Seja a matriz ; logo o primeiro (Udesc 2006-1) Seja a matriz ; logo o primeiro elemento da primeira linha da matriz é: elemento da primeira linha da matriz é:

EE

11

21A

1A

1det A



d –b d –b

––c a c a



111 a Inversa


(Udesc 2007-2) A soma dos elementos da matriz inversa (Udesc 2007-2) A soma dos elementos da matriz inversa

de é: de é:

AA

11

12A

1det A



d –b d –b

––c a c a



2111 Soma

21

111A1Soma


Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes

1.1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionaisproporcionais

det A = det A = 0 0 0 0

3 5 3 5 = = (0) (0) (5) – (0) (5) – (0) (3) (3) 0 – 00 – 0= = = = 00

1 3 5 1 3 5

3 0 –53 0 –5

1 3 51 3 5det A = det A =

( 0 + ( 0 + 45 45 – – 15 )15 )det A = det A = – – ( 0 + ( 0 + 45 45 – – 15 )15 ) det A = 0 det A = 0


2.2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal.determinante mudará o sinal.

1 3 5 1 3 5

3 0 –53 0 –5

2 1 22 1 2det A = det A =

( 0 + ( 0 + 15 15 – – 30 )30 )det A = det A = – – ( 0 – ( 0 – 5 + 5 + 18 )18 )

det A = –28det A = –28(– 15 )(– 15 )det A = det A = – – ( 13 )( 13 )

2 1 2 2 1 2

3 0 –53 0 –5

1 3 51 3 5det A = det A = ( 0 + ( 0 + 18 18 – – 5 )5 )= = – – ( 0 – ( 0 – 30 + 30 + 15 )15 )

det A = 28det A = 28

( 13 )( 13 ) – – ( –15 ) =( –15 ) =


3.3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número por um número kk, o seu determinante ficará multiplicado por , o seu determinante ficará multiplicado por kk..

det A = det A = 2 4 2 4

3 5 3 5 = = (10) – (12) = –2 (10) – (12) = –2

det B = det B = 6 12 6 12

3 5 3 5 = = (30) – (36) = –6(30) – (36) = –6

kk = 3 = 3

det B = det B = kkdet Adet A

det B = 3det B = 3(–2) = –6(–2) = –6


4.4. Da propriedade 3, decorre que: Da propriedade 3, decorre que: det ( det ( kkAAnn ) = ) = kknndet Adet Ann..

AA22 = = 2 4 2 4

3 5 3 5 33AA22 = = 6 126 12

9 15 9 15

det ( 3det ( 3AA22) = ) = 6 126 12

9 15 9 15 = = (90) – (108) = –18(90) – (108) = –18

det ( 3det ( 3AA22 ) = 3 ) = 322det Adet A2 2

kk = 3 = 3

det ( 3det ( 3AA22 ) = 9 ) = 9(–2) = –18 (–2) = –18


5.5. det A = det A det A = det ATT . .

1 3 5 1 3 5

3 0 –53 0 –5

2 1 22 1 2det A = det A =

( 0 + ( 0 + 15 15 – – 30 )30 )det A = det A = – – ( 0 – ( 0 – 5 + 5 + 18 )18 )

det A = –28det A = –28(– 15 )(– 15 )det A = det A = – – ( 13 )( 13 )

1 3 2 1 3 2

3 0 13 0 1

5 –5 25 –5 2det Adet ATT = =

( 0 – ( 0 – 3030 + 15 )+ 15 )det Adet ATT = = – – ( 0 – ( 0 – 5 + 5 + 18 )18 )

det Adet ATT = –28 = –28(– 15 )(– 15 )det Adet ATT = = – – ( 13 )( 13 )


6.6. det ( A det ( Ann B Bnn ) = det A ) = det A det B det B

AA22 = = 2 4 2 4

3 5 3 5 BB22 = =

3 103 10

1 2 1 2 ;;

AA22 B B22 = = 2 4 2 4

3 5 3 5 3 103 10

1 2 1 2 = =

10 2810 28

14 4014 40

det ( Adet ( Ann B Bnn ) = 400 – 392 = 8 ) = 400 – 392 = 8

det A det A det B = (–2) det B = (–2) (–4) = 8 (–4) = 8


7.7. det I det Inn = 1 = 1

1 0 0 1 0 0

0 1 00 1 0

0 0 10 0 1det Idet I33 = = det Idet I33 = 1 = 1

8.8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal.principal.

5 3 2 5 3 2

0 –2 10 –2 1

0 0 30 0 3det A = det A =

det A = 5 det A = 5 (–2) (–2) 3 = –30 3 = –30


9.9. Se A Se Ann = B = Bnn det A = det B det A = det B

AA22 = = 2 4 2 4

3 5 3 5 BB22 = =

2 42 4

3 5 3 5 ;;

det A = –2 det A = –2

det B = –2 det B = –2


Equação Linear é uma equação de forma:Equação Linear é uma equação de forma:

aa11xx11 + a + a22xx22 + a + a33xx33 + ... + a + ... + annxxnn = b = b

Portanto, um sistema será linear quando for composto de Portanto, um sistema será linear quando for composto de equações lineares.equações lineares.

2x + 3y = 52x + 3y = 5x – y = 2x – y = 2

2x2x22 + 3y = 5 + 3y = 5x – y = 2x – y = 2

2x + 3y – z = 52x + 3y – z = 5x – y + z = 2x – y + z = 2––5x – 3y + 4z = 105x – 3y + 4z = 10

2xy + 3y = 52xy + 3y = 5x – y = 2x – y = 2

linearlinear

não-linearnão-linear

Sistemas LinearesSistemas Lineares


Observações:Observações:

3x + 2y + z = 13x + 2y + z = 1x – y + 3z = 2x – y + 3z = 25x + 2y + z = 75x + 2y + z = 7

3 2 1 3 2 1 1 –1 3 1 –1 3 5 2 1 5 2 1

xxyyzz

112277

==..1.1. Forma Forma matricialmatricial

3 2 1 1 3 2 1 1 1 –1 3 2 1 –1 3 2 5 2 1 7 5 2 1 7

Forma matricial Forma matricial completacompleta

2.2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é A matriz constituída apenas pelos coeficientes é denominanda denominanda matriz principalmatriz principal..



3.3. Se o número de equações é igual ao número de Se o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz principal (variáveis e o determinante da matriz principal () for ) for diferente de zero,o sistema recebe o nome de diferente de zero,o sistema recebe o nome de normalnormal..

4.4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o Se todos os termos independentes são nulos (0), o sistem é chamado de sistem é chamado de homogêneohomogêneo..

2x + 3y = 02x + 3y = 0x – y = 0x – y = 0



Método de CramerMétodo de Cramer

aa1111xx11 + a + a1212xx22 + a + a1313xx33 + ... + a + ... + a1n1nxxnn = =

bb11aa2121xx11 + a + a2222xx22 + a + a2323xx33 + ... + a + ... + a2n2nxxnn = =

bb22

aan1n1xx11 + a + an2n2xx22 + a + an3n3xx33 + ... + a + ... + annnnxxnn = =

bbnn

..

..

..

aa11 11 a a1212 a a1313 ... a ... a1n1n

aa21 21 a a2222 a a2323 ... a ... a2n2n............

aan1 n1 a an2n2 a an3n3 ... a ... annnn

= =



bb11 a a1212 a a1313 ... a ... a1n1n

bb2 2 a a2222 a a2323 ... a ... a2n2n............

bbn n a an2n2 a an3n3 ... a ... annnn

xx11 = =

aa11 11 bb11 a a1313 ... a ... a1n1n

aa21 21 bb22 a a2323 ... a ... a2n2n............

aan1 n1 bbnn a an3n3 ... a ... annnn

xx22 = =

aa11 11 a a1212 bb11 ... a ... a1n1n

aa21 21 a a2222 bb22 ... a ... a2n2n............

aan1 n1 a an2n2 bbnn ... a ... annnn

xx33 = = ......


aa11 11 a a1212 a a1313 ... ... bb11

aa21 21 a a2222 a a2323 ... ... bb22............

aan1 n1 a an2n2 a an3n3 ... ... bbnn

xxnn = = ......

Se Se 0 temos: 0 temos:

xx11 xx11 = =

xx22 xx22 = =

xx33 xx33 = =

xxnn xxnn = = ,, ,, ,, ...... ,,



= = 3 23 21 -11 -1

= – 3 – 2 = – 5 = – 3 – 2 = – 5

xx = = 8 28 21 -11 -1

= – 8 – 2 = – 10 = – 8 – 2 = – 10

yy = = 3 83 81 11 1

= 3 – 8 = – 5= 3 – 8 = – 5

3x + 2y = 83x + 2y = 8x – y = 1x – y = 1

x = x = xx = = ––1010

––55 = 2 = 2

y = y = yy = = ––55

––55 = 1 = 1

S = {(x, y)}S = {(x, y)}

S = {(2, 1)}S = {(2, 1)}



Sistema linearSistema linear

PossívelPossível

Impossível (sem solução)Impossível (sem solução)

determinadodeterminado

indeterminadoindeterminado

Solução única Solução única 0 0

Infinitas soluções Infinitas soluções = = x = x = y = y = z = 0z = 0

Infinitas soluções Infinitas soluções = 0 e = 0 e x x 0 ou 0 ou y y 0 ou 0 ou z z 0. 0.

Discussão Sistemas LinearesDiscussão Sistemas Lineares


Se o sistema linear for homogêneo:Se o sistema linear for homogêneo:

Possível e determinado ( Possível e determinado ( 0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} ) 0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} )Solução trivialSolução trivial

Possível e indeterminado ( Possível e indeterminado ( = 0 ) = 0 )(Além da trivial, admitirá soluções próprias)(Além da trivial, admitirá soluções próprias)

Observação – Em um sistema homogênio teremos: x, y, z ... Iguais a zero (0).


ExEx11.. (Acafe – SC) Seja o sistema . (Acafe – SC) Seja o sistema .x + y + z = 2nx + y + z = 2n22 – 2 – 2 2x – y – z = 1 – n2x – y – z = 1 – n3x – 2y + kz = 03x – 2y + kz = 0

Os valores de Os valores de kk e e nn para que o sistema seja homogêneo e para que o sistema seja homogêneo e admita somente a solução trivial (0, 0, 0 ), admita somente a solução trivial (0, 0, 0 ), respectivamente, são:respectivamente, são:

2n2n22 – 2 = 0 – 2 = 02n2n22 = 2 = 2n = n = 1 1

1 – n = 01 – n = 0n = 1n = 1

n = 1n = 1

001 1 11 1 12 -1 -12 -1 -13 -2 k3 -2 k

00

– – k – 4 – 3 + 3 – 2 – 2k k – 4 – 3 + 3 – 2 – 2k 0 0

– – 3k – 6 3k – 6 0 0 3k 3k – 6 – 6

k k – 2 – 2

n = 1n = 1k k – 2 – 2


Ex.Ex.22. Determine . Determine aa e e bb para que o sistema seja para que o sistema seja

indeterminado.indeterminado.x + by – 3z = 1x + by – 3z = 13x + 7y = 33x + 7y = 34x + 9y – 3z = a4x + 9y – 3z = a

1 b –3 1 b –3 3 7 0 3 7 0 4 9 –3 4 9 –3

= 0= 0

= 0 e = 0 e xx = 0 = 0

– –21 – 81 + 84 + 9b = 0 21 – 81 + 84 + 9b = 0

– –102 + 84 + 9b = 0 102 + 84 + 9b = 0

9b = 18 9b = 18 b = 2b = 2

1 2 –3 1 2 –3 3 7 0 3 7 0 a 9 –3 a 9 –3

= 0= 0

– –21 – 81 + 21a + 18 = 0 21 – 81 + 21a + 18 = 0

– –102 + 18 + 21a = 0 102 + 18 + 21a = 0

21a = 84 21a = 84 a = 4 a = 4

a = 4 e b = 2a = 4 e b = 2


Matemática EMatemática EVolume 4Volume 4

PolinomiosPolinomios



PolinômiosPolinômiosTeorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)

P(x)P(x) ax + bax + b

Q(x)Q(x)RR

P(x) = (ax + b) P(x) = (ax + b) · Q(x) + R · Q(x) + R

Raiz do divisorRaiz do divisora

bx 1

RxQa

bP

0

Ra

bP



Q(x)Q(x)RR

0R

Ra

bP

Condição necessária para que Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b.P(x) seja divisível por ax + b.

0

a

bP

PolinômiosPolinômiosTeorema de D’alembertTeorema de D’alembert



Q(x)Q(x)RR

Grau nGrau n

Grau 1Grau 1

Grau n – 1Grau n – 1

RestoResto

......

......

Coeficientes de P(x)Coeficientes de P(x)

Raiz do Raiz do divisordivisor

a

b

Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)

RestoResto

PolinômiosPolinômiosDispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini


5673 23 xxxxP 2 xxD

22 33 – – 77 66 55

21 x

33



5673 23 xxxxP 2 xxD

22 33

21 x

33

++ ==

––11

– – 77 66 55



5673 23 xxxxP 2 xxD

22 33

21 x

33

++ ==

––11 44

– – 77 66 55



5673 23 xxxxP 2 xxD

22 33

21 x

33

++ ==

––11 44 1313

– – 77 66 55



5673 23 xxxxP 2 xxD

22 33

21 x

33 ––11 44 1313 RestoResto


– – 77 66 55



5673 23 xxxxP 2 xxD

22 33 – – 77 66 5521 x

33 ––11 44 1313 RestoResto


Grau do polinômio Grau do polinômio Q(x) é uma unidade Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)menor que o grau do polinômio P(x)

xQaquociente 431 2 xxxQ

43 2 xxxQ

13 Rresto



Equações polinomiaisEquações polinomiais

0...22

110

nnnn axaxaxa

0PRaízes de uma equaçãoRaízes de uma equação

raizé

Teorema da decomposiçãoTeorema da decomposição

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

nrxrxrxaxP ...210

PolinômiosPolinômios


(UDESC 2009 – 2) Seja p um polinômio de grau seis, cujos (UDESC 2009 – 2) Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. As raízes coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 deste polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é igual a:igual a:

a) –1.a) –1.b) .b) .c) –7.c) –7.d) 7.d) 7.e) 15. e) 15.

3 221


2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .

3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o 3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .conjugado a - bi também será raiz .

4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .

1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n 1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .raízes .

2x2x44 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0+x³ + 6x² + 2x – 1 = 0

Grau da equação ( Representa o número de raízes)Grau da equação ( Representa o número de raízes)

Exemplo: xExemplo: x22 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x11 = x = x22 = 4). = 4).

Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.


Lembre que quando:Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 0a.x³ + bx² + cx + d = 05) Se a = 5) Se a = 1 1 não há raízes fracionárias. não há raízes fracionárias.

6) Se d = 0 6) Se d = 0 x x1 1 = 0 (Lembre a quantidade de = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) expoente da incógnita.) Ex: 2xEx: 2x77+3x+3x44 + 2x² = 0 + 2x² = 0

Há duas raízes nulas

7) Se a + b + c + d = 0 7) Se a + b + c + d = 0 x x11 = 1 é raiz. = 1 é raiz.

²²


Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa.admite, pelo menos, uma raiz complexa.

Teorema das raízes complexas ( PRRI)Teorema das raízes complexas ( PRRI)

06²4³ xxx

11 11 ––44 11 66

11 ––33 -2-2 Resto Resto 0 0x =1 não é raiz. x =1 não é raiz. 44

Divisores do termo

independente: 1, 2, 3, 6

-1-1

11 ––55 66 Resto = 0Resto = 0 x x1 1 = -1 é raiz= -1 é raiz00

Grau n – 1Grau n – 1

0652 xx22 x

33 x


010144 234 xxxx

11 x––11 11 ––44 ––11 1414

11 ––55 44 00 RestoResto

Grau n – 2 Grau n – 2

01062 xx

1010

12 x

1010––11

11 ––66 1010 00 RestoResto

Divisores do termo

independente: 1, 2, 5, 10




010144 234 xxxx11 x

01062 xx

12 x

acb 42 4036

4

a

bx

2

2

46 x

2

26 ix

ix 3

ix 33

ix 34




Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)

18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0

Divisores do termo independente:

1

Divisores do coeficiente da incógnita de maior expoente: 1, 2, 3, 6, 9, 18

PRRF:PRRF: 1/2, 1/3, 1/6, 1/9, 1/18

––1/21/2 1818 99 -2-2 -1-1

1818 00 -2-2 00 Resto Resto x x11 = -1/2 = -1/2

18x² +0x -2 = 018x² = 2x² = 1/9

3/12 x

3/13 x


Relações de GirardRelações de Girard

02 cbxax

a

bxx 21

a

cxx 21




023 dcxbxax

a

bxxx 321

a

cxxxxxx 323121

a

dxxx 321




0...22

110

nnnn axaxaxa

0

1321 ...

a

axxxx n

0

21413121 ...

a

axxxxxxxx nn

0

312421321 ...

a

axxxxxxxxx nnn

0

321 1...a

axxxx nnn



(UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio(UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio

pelo binômio pelo binômio

Teorema do restoTeorema do resto

111122 23 xxxxP

111122 23 xxxxP 5xxD é:é:

1511512525 23 P

1511251212525 P

1553002505 P

3013055 P

45 P

RP 5

AA


(UDESC 2005-1) Sobre todas as raízes da equação(UDESC 2005-1) Sobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui:afirma-se que essa equação possui:04423 xxx

EE

01412 xxx

04423 xxx

0142 xx

042 x 01 x42 x

4xix 2

1x

iiS 2,2,1

uma raiz real e duas complexas.uma raiz real e duas complexas.


Beijusss...

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matematica999mtm ace v4 udesc semiii 2010

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