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Matemáticas I MA04001

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Temario

Funciones

Tema 1. Funciones

1.1 Función

1.2 Función lineal

1.3 Función potencia

1.4 Función exponencial

1.5 Función exponencial con base e

Mas Funciones

Tema 2. Más funciones

2.1 Función inversa

2.2 Funciones logarítmicas

2.3 Operaciones con funciones

2.4 Efectos en la gráfica de una función al sumar, restar o multiplicar una constante

2.5 Función polinomial

2.6 Funciones racionales y asíntotas

La Derivada

Tema 3. La Derivada

3.1 La derivada como razón de cambio

3.2 La derivada como una pendiente

3.3 Cómo derivar una función por medio de su gráfica

3.4 Derivada por fórmulas y sus propiedades

3.5 Cómo derivar funciones compuestas

3.6 Recta tangente y razón de cambio

3.7 Interpretación de la derivada en términos prácticos

Optimizacion de Funciones

Tema 4. Optimización de funciones

4.1 Cómo aplicar la derivada a problemas de optimización: máximos y mínimos de una función

4.2 Concavidad y puntos de inflexión


Calendario

Actividad Puntos

Actividad Puntos

Actividad 1 4%

Actividad 11 4%

Actividad 2 - Actividad 12 -


Actividad 4 4% Actividad 14 -


Actividad 6 4% Avance de práctica integradora 7%

Actividad 7 - Actividad 16 4%


Actividad 9 4% Actividad 18 4%


Examen rápido 10% Actividad 20 -

Entrega de práctica integradora 15%

Examen final 40%


Ejercicio

I. Reflexiona y contesta las situaciones planteadas:

1. En este verano está haciendo mucho calor y en tu casa tienen clima, tus padres no se deciden a encenderlo, ¿de qué dependerá el pago del consumo de energía?

2. Cuando hablas por celular, ¿de qué depende el costo de esa llamada? 3. Un vendedor de seguros tiene un sueldo fijo de $3000 por mes, y recibe una comisión por

cada seguro vendido. ¿De qué dependerá su sueldo para el próximo mes? 4. El costo de un departamento ¿de qué dependerá?

II.- Determina si las siguientes relaciones representan una función. Si lo son, indica su dominio y rango, y si las variables son discretas o continuas.

1. T 1 2 3 4

C 100 200 300 400

2.

x 2 3 4 4

p 100 150 250 300

III.- Determina ¿cuáles de las siguientes gráficas representan una función? Justifica tu respuesta.

IV.- Determina el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones


Presenta tus resultados en forma de práctica de ejercicios.

Ejercicio

I.- Obtén la ecuación de la recta

1. Pasa por los puntos (-1, 2) y (1, 3)

II.- Determina cuál de las siguientes tablas corresponden a un modelo lineal

a. x -1 3 7 11

y 3 5 7 9

b.

t 1.1 2.2 3.3 4

y 16 21 26 31

III.- Resuelve los siguientes problemas:

1. Una casa tiene un valor actual de $2,000,000. Si su valor aumenta en forma constante cada año en 3% del valor original:

a) Obtén una fórmula para el valor de la casa en función del tiempo. b) Utiliza la fórmula para determinar dentro de cuántos años el valor de la casa será de $2,500,000.

2. El valor de un automóvil nuevo es de $150,000, si su valor se deprecia linealmente 10.5% del valor inicial por año, encuentra:

a) La ecuación que exprese el valor del automóvil después de t años de uso. b) ¿Cuál es el valor del automóvil después de 7 años?


IV.- Grafica las siguientes funciones. Para ello analiza el signo de la pendiente y la intersección con el eje de las “y”:

a)

b)


Ejercicio

I. Determina si las siguientes funciones son, o no, una función potencia. Si son funciones potencia

exprésalas en la forma y escribe los valores del coeficiente “k” y de la potencia “n”.

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. Si la gasolina Premium cuesta $8.20 por litro, y compras X litros de gasolina.

a) ¿Cómo representarías la función que representa la cantidad de dinero que debes pagar?____________________

b) ¿Se trata de una función potencia? _________________

c) ¿Cuál es el valor del exponente? n _________________

d) ¿Cuál es el valor de la constante? K ________________


2. El peso W,de un cerebro humano, está dado por W = kp, donde p es el peso corporal y K una constante positiva. Si una persona que pesa 80 kg., tiene un cerebro que pesa 2.13 kg,

a) Encuentra el valor de K. b) ¿Cuál es el peso del cerebro de una persona cuyo peso corporal es de 65 kg.?

III.- Utilizando el software graficador, dibuja la gráfica de las siguientes funciones

GRAPHMATICA http://graphmatica.com

GRAPH www.padowan.dk/graph/

¿Qué puedes decir de las funciones potencias pares positivas? ¿Qué puedes decir de las funciones potencias impares positivas? ¿Qué puedes decir de las funciones potencias pares negativas? ¿Qué puedes decir de las funciones potencias impares negativas? ¿Qué puedes decir de las funciones potencias fraccionarias menores que 1? ¿Qué puedes decir de las funciones potencias fraccionarias mayores que 1?


http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/at8q3ozr5p/prof/ma/ma04001/cel/contenido/act3.htm



Ejercicio

I. Resuelve los siguientes problemas:

1. Plantea una posible fórmula para la función dada en la siguiente tabla. Contesta en la línea.

t -1 0 1

Q 1.3 0.676 0.35152

a) ¿Es una función lineal?__________ ¿Por qué? __________________________________________________________________

b) ¿Es una función exponencial? __________ ¿Por qué?___________________________________________________________________

c) ¿Qué ecuación vas a utilizar? _________________________________________________

d) El factor de cambio es a = ____________ ¿Cómo lo obtuviste?___________________________________________________________

El valor inicial es: b = __________________________________________________________

Al sustituir los datos, la ecuación es _______________________________________________

2. El valor de un auto se deprecia exponencialmente a razón de 5% cada 3 años, si el auto se compró nuevo en $280,000 en 2000, plantea una fórmula para el valor del auto (V) en función del tiempo t y utilízala para calcular el valor que tendrá en el año 2010. Para ello responde a cada uno de los siguientes incisos:

a) La ecuación que vas a utilizar es _____________________________________________

b) El valor inicial es b = _____________ el factor de cambio es a = _____________________

c) La ecuación queda como: ____________________________________________________

d) El año 2010 corresponde al valor t _____________________________________________

e) Al sustituirlo en la ecuación, tenemos que: V = ____________________________________ f) Traza la gráfica de esta función


3. Según datos publicados en un periódico de la localidad regia, el crecimiento de la población en la ciudad de Monterrey ha sido exponencial en el periodo de 1950 a 2000.

Año 1960 2000

Habitantes 531,958 3,326,604

a) Plantea una fórmula para la población en función del tiempo. b) De continuar esa tendencia, ¿cuál será la población en 2010?

4. La población de Pakistán expresada en millones de habitantes crece exponencialmente a razón de 2.81% por año. Si en 1994 había 126.4 millones de habitantes:

a) Plantea una fórmula para la población como función del tiempo. b) Utiliza la fórmula para determinar la población en 11 años. c) ¿En qué año la población sería de 200 millones de habitantes?

II. Traza la gráfica de las siguientes funciones, para ello te puedes apoyar con el software







Ejercicio

I. Determina la ecuación que representa a una función que crece exponencialmente a una razón continua, aplicando los valores de la tabla.

a. x 0 1 2 3

y 3.1 3.98 5.111 6.562

II. Dada la gráfica de la siguiente función, obtén la fórmula que la representa y exprésala en base e.

III. Determina cuál de las siguientes ecuaciones representa la gráfica de la siguiente función. Justifica tu respuesta.


IV. Resuelve los siguientes problemas:

1. Convierte las siguientes funciones a la forma ¿Cuál representa crecimiento exponencial y cuál decaimiento?

a) b)

2. Un auto de $184,350 se deprecia exponencialmente a razón continua de 2.5% cada año:

a) Plantea una fórmula para el valor del auto como función del tiempo. b) Utiliza la fórmula para calcular el valor del auto a los 5 años.

3. Una población de bacterias crece exponencialmente a razón continua cada mes. Si en 3 meses aumentó 18% de la que originalmente había:

a) Plantea una fórmula para la población en función del tiempo. b) Utiliza la fórmula para determinar en qué porcentaje aumentó la población en un año.

4. La oferta de un producto crece exponencialmente a razón continua de 8% por cada peso que aumenta el precio del producto. Si actualmente se ofrecieron en el mercado 15,000 unidades:

a) Plantea una fórmula para la oferta en función del precio. b) ¿Cuál será la oferta cuando el precio es de 17 pesos?

5. Una institución financiera paga intereses de 5.4% anual. Si se depositan $78, 525, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 13 años? Supón un interés compuesto continuamente.


6. ¿Cuál es el rendimiento efectivo anual de una inversión si paga un interés de 4.7% compuesto continuamente?

7. ¿Cuánto se debe depositar ahora en una cuenta bancaria si se desea tener $120,000 de saldo dentro de 5 años? La tasa de interés que se paga es de 9.2% compuesta continuamente.

IV. Traza la gráfica de las siguientes funciones, para lo cual te puedes apoyar con el software




Ejercicio

I.- Determina si las siguientes relaciones representan una función inversa; si lo son, indica su dominio y rango.

1. x -2 -1 0 1

y -8 -1 0 1

2.

Los costos mensuales de una empresa en millones de pesos

t(años) 2005 2006 2007 2008

Costos(dólares) 41 50 63 50

3. La función representa la cantidad de medicamento en la sangre de una persona t horas después de haberse administrado. a) ¿Qué información te da la inversa de esta función? b) ¿Puedes obtener la ecuación de la inversa?

4. Utiliza la prueba de la línea horizontal para determinar cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. Justifica tu respuesta.





Ejercicio

I. Aplicando tu calculadora, pulsa la tecla Log número para obtener los valores de la columna (3)

(1) Ecuación

(2) Valor numérico del

exponente t que nos da la

igualdad

(3) Utilizando tu

calculadora,

determina

(4) Valor numérico

del exponente t que

nos da la igualdad

t = Log 100= t=

t= Log 0.1= t=

t= Log 1 = t=

t= Log (-10) = t=

1. Compara los resultados de las columnas (2) y (4) 2. ¿A qué conclusiones llegas de la comparación en las columnas (2) y (4)? 3. Traza las gráficas de los valores que obtuviste en las columnas (1) y (3), ¿qué puedes decir de ellas?


II.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

1.

2.

3.

III.- Resuelve los siguientes problemas:

1) El número de visitantes al famoso parque de diversiones Disneylandia crece exponencialmente en periodos de vacaciones escolares. Si el número de visitantes en el tercer día de vacaciones fue 12% más con respecto al inicio del periodo vacacional, ¿cuántos días tienen que pasar para que se duplique el número de visitantes?

2) ¿Cuál fue la tasa de interés que se pagó en una inversión si se sabe que en 10 años la inversión triplicó su valor? Supón un interés compuesto continuamente.


Ejercicio

I. Dadas las siguientes funciones realiza las operaciones indicadas. Para realizar cualquiera de las operaciones que se te indican, simplemente efectúa la operación entre los valores de las funciones


y, de ser posible, simplifica la expresión mediante las reglas que aprendiste en álgebra.

Utilizando el software graficador, traza la gráfica de f (x), g(x), h(x) en cada caso y concluye qué ocurre con las gráficas de las funciones cuando se lleva a cabo una operación algebraica entre funciones.



II.- Para cada par de funciones, obtén las siguientes funciones compuestas:




III.- Resuelve el siguiente problema

Una industria del calzado tiene un costo total de producción de C(q) =100 + 5q + , donde q son pares de zapatos. Si se fabrican q(t) =3t pares de zapatos en las primeras t horas del proceso de producción, a) Expresa el costo total en función de las horas de producción. b) Obtén el costo de producción después de 8 horas.


Ejercicio

I. A partir de la siguiente gráfica, obtén la gráfica de las nuevas funciones describiendo los efectos gráficos.

II. Describe los efectos gráficos de la nueva función si



Ejercicio

I. Basándote en la gráfica, contesta lo que se te pide

a) ¿Cuál es el grado de esta función polinomial? ________________________________________ b) ¿Cuántos ceros tiene la función? __________________________________________________ c) ¿Cuántas vueltas (cretas) tiene la función? __________________________________________ d) ¿Cuáles son sus raíces? __________________________________________________________ e) ¿Cuáles son sus factores? ________________________________________________________ d) Escribe una posible fórmula para la gráfica _________________________________________

II. Utilizando el software graficador






Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el grado de estos dos polinomios? ______________________________ b) ¿Qué signos tienen los coeficientes principales? __________________________ c) ¿A qué conclusiones a partir de los incisos anteriores y al observar las gráficas? ___________________________________________________________________

a) ¿Cuál es el grado de estos dos polinomios? ______________________________ b) ¿Qué signos tienen los coeficientes principales? __________________________ c) ¿A qué conclusiones a partir de los incisos anteriores y al observar las gráficas? ___________________________________________________________________



Ejercicio

I. Dadas las siguientes funciones racionales, determina las asíntotas verticales y horizontales.

I. Utilizando el software graficador GRAPHMATICA http://graphmatica.com


Traza la gráfica de las funciones racionales anteriores. Presenta tus resultados en forma de práctica de ejercicios

Ejercicio

I.- Resuelve los siguientes problemas.

1. La siguiente tabla muestra los ingresos que recibió México (en millones de dólares), debido al turismo europeo, durante el periodo 2001 al 2003. ¿Cuál es la rapidez a la que cambia la mensualidad en el año 2002?




Año 2001 2002 2003

Ingresos 302 447 429

2. Un automóvil se deprecia de acuerdo a la siguiente función donde V representa el valor del automóvil, en miles de pesos, y t el tiempo, en años, a partir de su compra. a) ¿Con qué rapidez cambia el valor del automóvil 5 años después de haberse comprado? b) ¿Con qué rapidez cambia el valor del automóvil 7 años después de haberse comprado?

3. Utiliza la definición de la derivada para obtener la derivada de las siguientes funciones.

Presenta tus resultados en forma de práctica de ejercicios

Ejercicio

Resuelve los siguientes problemas:

I. A partir de los datos mostrados en la siguiente gráfica publicada por el INEGI (INEGI, XII Censo General de población y vivienda 2000):

a) Estima la pendiente de la recta tangente en el año 1990. b) ¿Qué información proporciona el resultado del inciso anterior con respecto al total de población en México en 1990?


II. Obtén la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.


Ejercicio

I. Utiliza la gráfica de la función para dibujar la gráfica de la derivada

1.

b) Dibuja la gráfica de la primera y segunda derivadas de las siguientes funciones polinomiales.


2.

II. Utilizando el software graficador, traza la gráfica de con base en ellas traza la gráfica de sus derivadas.




Ejercicio




I. Utiliza fórmulas y propiedades para obtener la derivada de las siguientes funciones.


Ejercicio

I. Encuentra la derivada de las siguientes funciones compuestas, para ello completa cada una de las columnas de la siguiente tabla.

II. Obtén la segunda derivada de las siguientes funciones:

III. Aplica diferenciación implícita para obtener en cada una de las siguientes ecuaciones.




Ejercicio

I. Obtén la ecuación de la recta tangente a cada función en el punto indicado.

II. Resuelve los problemas de razón de cambio: 4. La población de México en millones de personas, a partir de 1980 está dada por

, con t medido en años, ¿cuál es la rapidez a la que crecerá la población en 2010?

5. La función de demanda para ciertas computadoras portátiles está dada por

donde P es el precio unitario en dólares y x son las unidades demandadas. ¿Cuál es la razón de cambio del precio cuando la cantidad demandada de computadoras es de 2000 computadoras?

III. Utilizando el software graficador, traza la gráfica de las funciones y sus rectas tangentes en los valores indicados en el punto I.




Ejercicio

Resuelve los siguientes problemas. Completando cada uno de los espacios en blanco.




1. En México, todos los habitantes que poseen un auto deben pagar cada año un impuesto llamado tenencia. El impuesto I (en miles de pesos) que se paga por un auto está en función del tiempo t (en años) que ha trascurrido desde que éste se compró; es decir I=f(t).

a. ¿Cuál es la variable independiente? _________________________________ b. ¿En qué unidades se mide? ________________________________________ c. ¿Cuál es la variable dependiente? ___________________________________ d. ¿En qué unidades se mide? ________________________________________ e. ¿Cuáles son las unidades de la derivada f ‘(t) ___________________________ f. ¿Cómo esperas que sea el signo de f ‘(t) ? Justifica tu respuesta.

_____________________________________________________________________ g. Escribe el significado práctico de I ‘(5)=-0.95

_______________________________________________________________

2. Los ingresos I de una empresa por venta de climas, medidos en miles de dólares, está en función de sus gastos de publicidad g, medidos en cientos de dólares. Es decir, I=f(g) a) ¿Cuál es la variable independiente? _________________________________________

b) ¿En qué unidades se mide? _______________________________________________

c) ¿Cuál es la variable dependiente? __________________________________________

d) ¿En qué unidades se mide? _______________________________________________

e) ¿Cuáles son las unidades de la derivada f ’(g) ? ______________________________

f) ¿Cómo esperas que sea el signo de f ’(g)? Justifica tu respuesta. ______________________________________________________________________

g) Escribe el significado práctico de I ‘(10)=35 ______________________________________________________________________

Presenta tus resultados en forma de una práctica de ejercicios.


Avance del Proyecto

Resuelve el siguiente problema:

Las firmas farmacéuticas invierten fuertes cantidades al probar un nuevo medicamento. Después de que las entidades de un país lo aprueban, toma tiempo para que los médicos acepten y hagan uso de los medicamentos. Supón que para un nuevo medicamento contra el SIDA, el porcentaje P de médicos que utilizan el producto después de t meses, está dado por la siguiente función.

Haz lo que se te pide a continuación y responde a cada una de las siguientes preguntas, justificando tus respuestas.

1.- Traza la gráfica de la función

2.- ¿Qué tipo de función es? 3.- ¿Qué ocurre cuando t=0 y cuando t=12? 4.- ¿Cuál es el significado en términos prácticos de P(0) y P(12)? 5.- Determina si la siguiente función tiene inversa ________________ Justifica tu respuesta 6.- Si tiene inversa, determina cuál es la ecuación que la representa:_____________________ 7.- Determina las asíntotas verticales y horizontales de la función e interpreta estos resultados desde un punto de vista práctico. 8.- ¿Qué ocurre cuando t crece sin límite? 9.- Explica el significado práctico del punto 4 hallando el límite. 10.- ¿Cuál es el tiempo mínimo esperado? ¿Qué parte de la gráfica te da esta información? 11.- ¿Para qué valor de t se obtendrá con un porcentaje de 50%?

Al terminar, entrega una práctica de ejercicios con las soluciones a los problemas.

Ejercicio


I. Obtén los puntos críticos de la función y utiliza el criterio de la primera derivada para determinar si son máximos, mínimos o ninguno. Indica los intervalos en lo que f(x) es creciente y en los que es decreciente.

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. La función de costos para una compañía que fabrica calculadoras está dada por

, donde x representa la cantidad de calculadoras producidas. Determina el número de calculadoras que deben producirse para minimizar los costos de esta compañía.

2. La fábrica de calefactores Calorex determina el precio de su producto de acuerdo con la función: P=144 – 0.8x, donde x es el número de calefactores, en cientos de unidades, y el costo total de

producción de estos calefactores está dado por , en miles de pesos. a) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la compañía con el fin de maximizar la utilidad? b) ¿Cuál es la máxima utilidad?

III. Utilizando el software graficador, traza la gráfica de las funciones indicadas en el punto I.







Ejercicio

I. Utiliza el criterio de la segunda derivada para determinar los puntos críticos de la función, y los intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.

6. La siguiente gráfica muestra las utilidades de la Florería Blanquita de enero a diciembre de 2006.

a) En el periodo enero-mayo la razón de cambio del % de ventas de la florería. ¿Es creciente o decreciente? ¿Cómo es la concavidad en ese periodo?

b) En el periodo junio-noviembre la razón de cambio de las utilidades. ¿Es creciente o decreciente? ¿Cómo es la concavidad en ese periodo?



Práctica Integradora final

Resuelve el siguiente problema:

Las firmas farmacéuticas invierten fuertes cantidades al probar un nuevo medicamento. Después de que las entidades de un país lo aprueban, toma tiempo para que los médicos acepten y hagan uso de los medicamentos. Supón que para un nuevo medicamento contra el SIDA, el porcentaje P de médicos que utilizan el producto después de t meses, está dado por la siguiente función.

Haz lo que se te pide a continuación y responde a cada una de las siguientes preguntas, justificando tus respuestas.

Determina la derivada de la función, aplicando las fórmulas y propiedades correspondientes.

¿Con qué rapidez cambian el porcentaje cuando t=15 meses?

Traza la gráfica de la función.

Halla P(12) e interpreta el resultado.

Traza la gráfica de la derivada de la función.

Halla la ecuación de la recta tangente en P=12 .

Interpreta en términos prácticos P'(15).

Traza la gráfica de la función.

Encuentra los valores críticos.

Clasifica estos valores críticos mediante el criterio de la primera derivada.

Determina los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Traza la gráfica de la derivada de la función.

Comprueba los valores críticos aplicando el criterio de la segunda derivada.

Halla los valores de inflexión de esta función.

Determina los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Traza la gráfica de la segunda derivada.

Interpreta en términos prácticos tus resultados encontrados en cada inciso y lleva a cabo una conclusión general.

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