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Matemáticas a la medida de los niños

Mery Poveda y Jorge Castaño,

Colegios “Fe y alegría”, Bogotá, D.C.

La experiencia y el trabajo de la maestra Mery Poveda fue galardonado con el premio Compartir al maestro; ella fue designada como maestra ilustre, por lo tanto estamos hablando de una propuesta que ha tenido un impacto signifi cativo en el ámbito académico. Ella trabaja en el colegio Villa Amalia y ha compartido su experiencia con muchas instituciones, que han hecho acopio de la experiencia y la han adaptado y propuesto en sus instituciones, como la institución Brazuelos, donde está la maestra Haydeé Cardoso, y en la institución Quiba, donde ejerce la maestra Luz Marina García; también se encuentra aquí la maestra Alicia Bahamón, una persona muy importante para el desarrollo que se ha dado en el colegio de Villa Amalia.

Mery PovedaEl proyecto hace parte de la propuesta “Descubra la ma-

temática”, de Jorge Castaño, y en este momento se está desarro-llando en varios colegios no sólo de Bogotá sino de todo país. En la referencia que hacíamos yo trabajé con “Fe y alegría”, institu-ción que en este momento lo desarrolla en sus diferentes sedes, después se fueron uniendo otras, Quiba alta y Brazuelos.

La Sociedad Saberes y la escuela retomamos los materiales que se han producido desde el proyecto “Descubra la matemáti-ca” y el programa de educación infantil de la Universidad Peda-

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Competencias matemáticas

gógica Nacional, que a raíz de su vinculación con los practicantes nos ha permitido empezar a generar unos espacios para encon-trarnos, que son tan difíciles en la actual estructura educativa. El proyecto se desarrolla en niños de preescolar y primaria.

Se busca transformar esa cultura alrededor de la enseñan-za de las matemáticas que se ha venido desarrollando desde hace mucho tiempo. No puede decirse, como tradicionalmente se dice, sobre todo cuando pasan los niños de primaria a bachi-llerato, “es que los niños no piensan”, “es que los niños todo lo olvidan”, ese no es un problema de olvido, es un problema de entender qué signifi caría aprender, que signifi caría desarrollar pensamiento matemático.

La idea de la propuesta es estructurar, aplicar y sistema-tizar un proceso de intervención pedagógica que dentro de un ambiente cooperativo y lúdico respete la lógica y las propias elaboraciones de los niños, y les ayude a desarrollar un pensa-miento que les permita acceder a comprensiones cada vez más elaboradas de los sistemas conceptuales básicos de las matemá-ticas, para interactuar en el mundo en que se encuentre. Y en este sentido la propuesta busca el respeto por el niño, por su forma de pensar, por su forma de hacer.

No se trata sólo de jugar por jugar, se trata de respetar esa característica de los niños, porque el mundo de los niños es distinto al mundo de los adultos, y eso se nos olvida. Se trata de respetar la característica del juego e ir haciendo desarrollos conceptuales cada vez más elaborados.

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¿Qué tipo de experiencias signifi cativas? Están las situaciones de vida cotidiana escolar, pero también están las situaciones am-plias en las que el conocimiento de matemáticas es sólo uno entre muchos, y eso no es sufi ciente; no son sufi cientes los proyectos de aula, es necesario trabajar con situaciones mucho más específi cas y focalizadas para acceder a un nivel de elaboración y formalización cada vez más abstracto, y en ese sentido aparecen los juegos es-tructurados, pensados y diseñados con una intención de problema-tizar en un momento determinado lo que los niños están pensando, para llevarlos a niveles más complejos. Además, no es sufi ciente con estar en contacto directo con lo físico, con lo real, es necesario tomar distancia de las acciones para ir cada vez formalizando el pensamiento y creando realmente el lenguaje matemático.

En este contexto, se adquieren cada vez niveles de com-prensión más complejos en relación con lo que se hace tradicio-nalmente, que es ese cuento de que adquiere un nivel y luego lo olvida, y entonces por eso hay que hacer repaso. Y lo otro es que a medida que el niño avanza enfrenta la comprensión no sólo de la vida sino en general del mundo que lo rodea.

Pero lo más importante es cómo las nuevas relaciones que se establecen con el conocimiento, con la evaluación, crea distintos valores en relación con la manera como se defi nen las relaciones en el aula. Está la alegría de trabajar en clase. Eso de que le tienen miedo a las matemáticas, eso de que la mate-mática es difícil, empieza a desaparecer. Por otro lado, crece la capacidad argumentativa, se afi anza la creencia en la capacidad y el saber propios.

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PAOLA VALERO - Comentarista ExpertaEn primer lugar, me siento feliz de encontrarme con per-

sonas y experiencias que traten de romper con una tradición acrítica de lo que puede ser la enseñanza de las matemáticas; ese es un logro difícil de alcanzar cuando en nuestra formación como maestros y en las visiones mismas de las matemáticas, en la mayor parte de las aulas de matemáticas del mundo parece haber un acuerdo entre personas que ni siquiera se conocen sobre cómo es que se deben enseñar y cómo se deben apren-der las matemáticas; incluso pareciera que en distintas partes del mundo todos los estudiantes se hablaron para saber cómo es que deben comportarse en una aula de matemáticas. Es im-presionante ver que a pesar de contextos distintos, hay muchas características de lo que se puede llamar una tradición en el aula de matemáticas, y es evidente que ustedes han logrado romper con algunos de los elementos de esa tradición.

Lo que yo observo es que hay una cantidad de interaccio-nes que suceden en el aula en la relación entre el maestro; un contenido matemático que se hace a través de una propuesta didáctica determinada a través de todos los juegos y con todos estos materiales, con unos instrumentos de trabajo determina-dos; y los niños. Es ese nodo básico de la red de las prácticas de la educación matemática: la relación entre maestros, conoci-miento y estudiantes en el aula, y en esta oportunidad con unas herramientas especiales para generar toda esa interacción.

Pero esa interacción me parece que está cerrada, esta-mos trabajando algo, tenemos unos objetivos, defi nimos unos

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logros de desarrollo de pensamiento matemático de los niños, trabajamos dentro de ese contexto, dentro de ese triangulo que lo podríamos llamar la triada didáctica básica, la relación entre maestro, estudiantes y matemáticas, y los chicos salen al patio de la escuela a jugar, pero ¿dónde se quedó el barrio? Si pensamos que esa aula está cerrada y que dentro de ella suceden muchas cosas y cosas maravillosas, pero, ¿qué es lo que entra y lo que sale de esa aula? Esa es mi pregunta, que sale desde la perspectiva de la educación matemática acríti-ca, es una preocupación sociocultural y política. Entonces, ¿cuál es esa relación entre lo que sucede en el aula, lo que entra y lo que sale?

Otra cosa, si tomamos las relaciones dentro del aula, hay algunas situaciones en las que los chicos trabajan en grupos y entonces se da un nivel de interacción social, pero, ¿qué es lo que sucede en esa interacción entre muchachos, entre los ni-ños para aprender matemáticas?, o sea, ¿que están hablando? ¿Cómo hablan entre sí? ¿Qué tipos de interacciones se estable-cen? ¿Cuáles son las características de esa interacción?

Me encanta la idea de respetar al niño, de respetar su mundo de juego, pero puede ser que ese respeto al niño lo estemos tomando como un agente cognitivo, es decir, que ese ser humano casi se convierte en una cabecita que piensa mate-máticamente a través de estas actividades, pero no se tiene en cuenta ese cuerpito y esas necesidades básicas que tienen. No se sabe si tomaron desayuno, si los papas lo violentaron, y no es por insistir en una cosa que no tenga signifi cado sino es que

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todos sabemos que en las aulas un niño que vive en el norte, que tiene sus papitos y su familia estable, que tiene su desayuno, actúa de una manera distinta al niño que no la tiene, y eso no es por hacer politiquería sino por enfatizar en que podríamos respetar a los niños como seres humanos completos, históricos y sociales, y no sólo como cabecitas que pueden jugar y pensar matemáticamente. Esas son algunas de las refl exiones que me surgen de esta presentación.

Mery PovedaCon el programa “Escuela, ciudad, escuela” y con toda la

política de bienestar dirigidas a los niños, las refl exiones que se están dando son precisamente en ese sentido, o sea, relaciona-das con que el derecho a la educación no es sólo a estar en la escuela sino que es con relación a todas las condiciones. En este momento, en Bogotá está el programa “Bogotá sin hambre”, que está haciendo eso. Está también el proyecto relacionado con la articulación entre preescolar y primaria, ambos apuntan a la permanencia de los niños en la escuela; así que en ese sentido, más allá de buscar divisiones artifi ciales, hay preocupación por el bienestar de los niños y su permanencia en el sistema educa-tivo, pensar que tiene que quedarse y que hay que sancionarlo con la repetición del curso.

Es necesario desarrollar otro tipo de actividades más espe-cífi cas que tienen que ver directamente con la formalización del conocimiento matemático, porque ocurre con frecuencia que por dar cuenta de los proyectos de aula, no se da una mirada desde lo cotidiano.

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Por la manera como se ha dado el discurso en Bogotá, se está discutiendo acerca de si la idea sería seguir trabajando sobre la competencia y a lo mejor es más potente la idea de comprensión, pues la competencia se está dirigiendo al saber hacer y cuando se mira desde ahí, surge el peligro de que otra vez regresemos a esa posición conductista en el que el hacer es el que cuenta, la conducta que se ve.

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Preguntas

? ¿Realmente se logra un impacto con esta propuesta con esos cursos tan grandes en los que hay que tratar a 30 o 40 estudiantes? ¿Cómo son los procesos de evaluación que se dan mediante esta propuesta? ¿Cuándo se da evaluación?, ¿en los mismos momentos de las prácticas o en un momento posterior?

En relación con los procesos de evaluación, cuando un docente empieza a asumir un paradigma distinto del signi-ficado de la matemática, se cambia la manera de ver todo y la evaluación también; en ese sentido, no se asume la evaluación como medición sino en la vida misma, se hacen procesos de valoración para tomar decisiones en el contexto en el que se encuentra el estudiante; lo que significa que los procesos no son de aplicar una prueba para hacer la evaluación sino estar en continua interacción con los niños; mirar lo que hacen, cómo lo hacen, qué tipo de preguntas hacen y para ello, a veces, hay que apartarse un poquito de las competencias.

Entonces no es la decisión de si el niño aprueba o no la materia, eso no tiene sentido, lo que resulta necesario es elevar y estructurar mejor el nivel de pensamiento en re-lación con ese niño, tendríamos que proponer que el niño también haga sus propias valoraciones; esas decisiones son parte del proceso de evaluación, porque la evaluación no es calificación.

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? ¿Cuál es el trabajo previo con los niños más pequeños? ¿Realmente les afecta a los niños comenzar a realizar sus estudios a los tres años de edad, e ir aprendiendo los números del 1 al 20?

Cuando uno concibe la matemática y el aprendizaje de manera distinta, se cambia incluso el pensamiento de cómo de-sarrollarlo. Si estamos con un grupo de niños que están inte-ractuando todos los días con la realidad, tienen una serie de preguntas, lo matemático está ahí, una cosa es que no esté alta-mente formalizado, pero está ahí o sea que es necesario trabajar sobre esas estructuras que atraviesan y que son transversales en muchas dimensiones y conceptos matemáticos que trabajamos con los niños. Hay que empezar a hacer estudios que nos per-mitan defi nir exactamente cómo son esas génesis de desarrollos conceptuales con los niños.

Y eso ligado también un poco a los estándares, se tendría que empezar a mirar y a hacer investigaciones que den cuenta de estos procesos para saber si es un problema que no se ha trabajado con los niños, si no lo han desarrollado o si es porque dada la edad y la madurez de los niños fi nalmente no pueden acceder a ello.

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La investigación, las relaciones espaciales y la formación del pensamiento

lógico-matemático

Expositora: Teresa Daza,

Centro educativo Salvador Camacho Roldán, de Casanare

El trabajo inicia en el centro educativo Salvador Cama-cho Roldán, es uno de los planteles que forman parte de la institución Luis Hernández Vargas; el proyecto se inició con 12 docentes el año anterior, bajo el acompañamiento del pro-fesor Pablo Enrique Abril, coordinador general de un equipo de trabajo; ellos tienen su sede en la capital de la república y se trabaja desde los grados de transición hasta quinto de primaria.

Dentro del contexto de la enseñanza hay diversos as-pectos que colindan con una serie de preguntas que se trata-ron de responder con el transcurrir de la investigación: ¿Por qué las relaciones espaciales y por qué la formación de pen-samiento lógico-matemático? El cuestionamiento nos llevo a invocar una posible respuesta, y es porque el niño o la niña desde lo cotidiano, desde lo que ve, lo que hace, lo que toca, lo que sueña, lo que siente, forma su pensamiento lógico, y si se encausa y se logra que ese pensamiento lógico se empate con la parte matemática, entonces se logrará avanzar en un grado enorme respecto a la formación del pensamiento del niño o niña.

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Nosotros los docentes sabemos que tenemos serias difi -cultades en lo que tiene que ver con la interpretación de la parte de la matemática, sobre todo en aritmética y geometría; de ahí que empezamos a tratar de trabajar estos aspectos. Tuvimos un objetivo inicial: buscar una técnica que nos sirva para direccio-nar el pensamiento de los niños y niñas, pero que no sea difícil, que esté al alcance de todos, y esto lo conseguimos con una herramienta milenaria, el Tangram.

Todos conocemos el concepto general o universal de la geometría, como la ciencia que tiene como objeto el estudio de las propiedades de los cuerpos y sus formas geométricas, y que una de esas aplicaciones en la geometría tiene que ver con el área, el diámetro de la fi guras planas y la superfi cie y volumen de los cuerpos sólidos, que es lo que alcanzamos a ver en los grados de transición al quinto.

En una de las ramas de la geometría, las que alcanzan a tocarse en la básica primaria, son las relaciones proyectivas, métricas y topológicas. Las relaciones proyectivas permiten de-sarrollar destrezas para saber ver e interpretar lo que vemos; las métricas recrean algunos conceptos geométricos, métricos y numéricos; y la topológica sirve para familiarizar a los niños con la propiedades cualitativas.

Teresa DazaLos Tangram son una herramienta o juegos muy antiguos,

una herramienta metodológica para vincular todo el cerebro en el sentir, en el ver, en el actuar, en el pensar de los dos hemisferios.

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Lo que hacemos es optimizar, recrear y mejorar el avance en las matemáticas con el fi n de recrear y hacer más activa la clase de matemáticas y geometría. Una forma como los niños se recrean es al darle movimiento a las fi guras y armar sus diferentes fi guras.

Hemos desarrollado habilidades comunicativas en los es-tudiantes, se ve más participación, más enriquecimiento de vo-cabulario y mejor conceptualización; los niños han adquirido habilidades manuales al armar, al comparar, al manipular y al crear, también han desarrollado la parte artística.

En cuanto a habilidades representativas, han mejorado en el dibujo, utilizan mejor la regla, la escuadra, el compás, el gra-duador, y por ende han mejorado en la formación del pensa-miento lógico. Se han superado las difi cultades de la percepción estática; hay una mejor conceptualización y manejo de perí-metro, área, rotación, traslación, simetría y manejo del plano cartesiano; se nota una mejor comprensión de fracción, unidad, equivalencia y operaciones con fraccionarios.

Se ha facilitado la representación espacial al pasar a la representación numérica, y también hemos superado en gran parte la solución de problemas, pues ahora los niños, a través de la visión, piensan y analizan más y luego actúan, es decir, después hacen sus operaciones.

CLAUDIA SALAZAR - Comentarista ExpertaEs muy grato poder participar de una rueda de expe-

riencias como esta, en la que hay una manifestación cla-

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ra de que los profesores estamos interesados en proponer transformaciones en relación con la enseñanza y el aprendi-zaje de las matemáticas.

En primer lugar, quisiera reconocer que este trabajo es bas-tante interesante en tanto los profesores han puesto de manifi esto que la clase de matemáticas debe empezar a pensarse a través de los vínculos que hay entre los diferentes conceptos matemáticos relacionados en torno a un mismo asunto. Ellos tienen el caso del tangram, independientemente del número de piezas que tenga, lo que nos han presentado es que el trabajo sobre ese modelo, como un modelo de representación, facilitaría la apropiación y la construcción de relaciones, de conceptos, entorno a las frac-ciones, al área, a la medida, sobre algunas dimensiones de las fi guras geométricas que hacen parte de ese tablero con el que están trabajando. Eso efectivamente lo que nos muestra es que nos vamos acercando a lo que teóricamente, en el marco de la didáctica de las matemáticas, se ha venido planteando, y es que el currículo debería organizarse a través de campos conceptuales, ya que en ellos hay una serie de situaciones que reconocemos como signifi cativas para el aprendizaje de las matemáticas y en esos campos confl uyen muchísimas nociones, destrezas, concep-tos, estructuras y modelos de las matemáticas. Quisiera decirles a los profesores que tal vez hay que trascender de la idea inicial de pensar esta propuesta solo en el marco de la geometría para ampliarla y relacionarla con un campo conceptual.

Un segundo aspecto que considero interesante es que cada vez se reconoce con más fuerza en el campo de la didáctica de

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las matemáticas que las representaciones son de vital importan-cia para el estudio y el aprendizaje de las matemáticas, porque a través de las representaciones fi nalmente nos podemos aproxi-mar a los atributos y propiedades de los objetos matemáticos. Entonces hay que buscar modelos que nos puedan servir como formas de representación iniciales o como sistemas concretos con los que podamos hacer después un trabajo para trascender a otras sistemas relacionados con algún campo conceptual; o sea, el uso del tangram como un modelo asociado a cierto tipo de representaciones de las matemáticas me parece que puede contribuir efectivamente a la comprensión de las nociones que ustedes han descrito y que han enumerado en la presentación.

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Preguntas

? ¿Cómo se relacionan los conceptos espaciales y geomé-tricos con las actividades que se pueden hacer con este tipo de herramientas, a fi n de que la herramienta sea gra-dualmente mediadora en la construcción de pensamiento espacial y no se convierta en un sólo instrumento?

La investigación lleva apenas un poco más de un año y hemos empezado a descubrir las bondades que tiene y los al-cances que pueden llegar a concebirse más adelante; por eso, algunas de las cosas que se alcanzaron a socializar son parte de ese descubrimiento. El hecho de convertir una de las fi chas en una unidad de medida, signifi ca que se está empezando a hacer que los estudiantes piensen desde lo que tienen en la mano.

? ¿Qué han pensado ustedes para que esa herramienta no se convierta en un instrumento más en el aula de clase sino que realmente sea una mediación?

Cuando el niño tiene la oportunidad de manipular el ma-terial y empezar a tratar de construir con diversas formas, se empieza a desarrollar creatividad y a mirar desde otro ángulo la herramienta de trabajo. Hasta ahora estaría familiarizándose con la herramienta, pero una vez el niño empieza a darle el va-lor para cada una de las fi guras y cada uno de sus lados y mira que la suma de dos da una fi gura diferente de acuerdo con la posición que toma, entonces empieza a mirar que las fi guras geométricas son complementarias.

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? ¿Cómo se está viendo en la experiencia el pensamien-to lógico-matemático? ¿Cómo saben ustedes que sí hay un desarrollo de un pensamiento lógico matemático? ¿A través de qué se está manifestando ese desarrollo de pensamiento lógico-matemático?

Se esta manifestando el desarrollo del pensamiento lógico porque los niños tienen ideas y conceptos más cla-ros; además antes, cuando se les dibujaba un cuadrado, se hacía de forma estática, siempre la misma forma, y si se les cambiaba la posición de la figura, el niño se descon-certaba. Ahora es diferente, ya asume el asunto con más perspectiva.

? ¿Cómo interactúa el medio social, el material manipu-lable, el maestro y el estudiante en la construcción del pensamiento lógico?

Se hizo un diagnóstico previo en el que se demostró que a los docentes nos rotaban una fi gura y no la encontrábamos en un plano, y se lo hicimos a los estudiantes y a ellos les dio otro tanto, porque eran nuestros alumnos y es apenas en-tendible que no les habíamos enseñado a rotar las fi guras en un plano y con diversos distractores; se hizo reunión con los padres de familia, se les hizo también una especie de taller de inducción y los invitamos a participar en él y acompañar a los niños y niñas en los trabajos que se dejan para hacer en la casa, luego hicimos otra reunión y los papas miraron que era práctico.

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Claudia SalazarUna recomendación inicial para poder comprender esta

propuesta sería tomar una posición conceptual en relación con lo que se está considerando qué es, qué caracteriza y qué descri-be al pensamiento lógico-matemático. Desde ahí se podría em-pezar a resolver muchas de las preguntas que quedan cuando se escucha acerca del trabajo que están desarrollando. En primer lugar, porque en la presentación hacen una alusión al pensa-miento lógico-matemático, pero luego describen cierto tipo de habilidades que ustedes relacionaban con estos tres asuntos que presentaban sobre las relaciones proyectivas y topológicas, y no queda muy claro en la propuesta cómo es que eso hace parte o no de la caracterización que podría hacerse del pensamiento lógico-matemático.

Cuando escucho que ustedes hacen la descripción de las actividades frente a las preguntas que ha hecho el auditorio, veo que el trabajo del Tangram les ha servido para quedar-se en el tratamiento de un registro fi gural de los conceptos que pretenden abordar con sus estudiantes en geometría, pero ese registro fi gural no sé si ha tenido algún nexo con registros de otro tipo; por ejemplo, con los registros discursivos de los estudiantes a través de los cuales ellos puedan reconocer los elementos confi gurantes que fi nalmente hacen que esas fi gu-ras tengan los atributos, las propiedades y las características que las hacen ser, y si ese reconocimiento fi gural les permite trascender en la comprensión de esas fi guras geométricas para poder hablar de las propiedades de las características, de los atributos, etcétera.

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En ocasiones, siento que la propuesta se remite sólo a todas las posibilidades de trabajo que hay para la clase de matemáticas con el Tangram, más que cómo se puede desarrollar pensamiento lógico-matemático con esta herra-mienta. Hay muchísimos elementos que ustedes le agregan a la propuesta, entonces dicen: pensamos que podríamos ha-cer un trabajo interdisciplinario relacionado con otras áreas, que podríamos hacer un trabajo que relacione la interpreta-ción de las fracciones, la suma de fracciones heterogéneas y homogéneas, trabajar sobre las relaciones espaciales, sobre algunas nociones topológicas; pero el tratamiento de todos estos asuntos se hace de manera superfi cial, que no permite entender qué tanto se logra la comprensión de los estudiantes en relación con cada uno de los conceptos que ustedes están involucrando en la propuesta.

Y respecto a esta última palabra que acabo de utilizar, valdría la pena diferenciar lo que estamos entendiendo cuando hablamos de conceptos matemáticos, más que nombrar las fi gu-ras a partir de un reconocimiento visual que podamos hacer de ellas a partir del Tangram. Es necesario establecer qué estamos entendiendo por el concepto de triángulo, porque me parece que a veces en las intervenciones y en el trabajo se habla del triángulo para referirse a la representación del triangulo y no al concepto; habría que establecer una diferencia entre el concep-to y la representación.

Por otra parte, no encuentro alusión a cómo es que el Tangram ha modifi cado las rutinas y los papeles de profesor y

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estudiante, tampoco se sabe qué ha pasado en el aula de clase después del año y medio en que decidieron incorporar como un elemento más de la clase de matemáticas este tablero o estos tableros. ¿Qué ha pasado con el papel del profesor? ¿Qué ha pasado con el papel del estudiante?

También hay un vacío en la presensación de la experien-cia en lo que tiene que ver con la forma como logran en algún momento distanciar a los estudiantes del trabajo sobre el mate-rial concreto, para hacer un trabajo sobre las ideas que pueden abstraerse de esas acciones del material.

Y por último, yo tendría una pregunta relacionada con la manera de evaluar la propuesta, porque en ella y en la inter-vención ustedes sólo dicen que consideran que la propuesta ha tenido buenos resultados en tanto reconocen mejores niveles de comprensión en los estudiantes sobre los asuntos que han tratado con el Tangram, pero como no está claramente descrito a qué se refi ere eso del desarrollo del pensamiento lógico-mate-mático, la pregunta es: ¿Cómo evaluaron ustedes?

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Cómo hacer más efectivos y signifi cativos los procesos de evaluación en matemáticas

“Durmiendo con el fantasma de las matemáticas”

Expositora: Jacqueline Cruz Huertas,

Institución educativa Miguel Antonio Caro

y de la institución educativa distrital Marsella, Bogotá, D.C.

La profesora Jacqueline Cruz Huertas fue merecedora del Premio Compartir al maestro en el año 2000, es licenciada en matemáticas de la Universidad Distrital, tiene una especializa-ción en computación para la docencia y una especialización en educación moral y cívica en el sistema educativo de la Univer-sidad Complutense de Madrid.

Esta estrategia nace como una forma de abordar los procesos de evaluación, y hacerlos más efectivos y signifi cativos para los estu-diantes, sobre todo en el campo del aprendizaje de las matemáticas. ¿Cómo crear unas actividades que favorecieran realmente el apren-dizaje, y que de paso no se quedaran tantos estudiantes con logros pendientes? Esa fue la inquietud que nos suscitó este proyecto.

Inicialmente preparábamos unas actividades, evaluacio-nes escritas muy tradicionales, les dábamos a los estudiantes un trabajo para que repasaran y se prepararan para la evaluación. En general, ese trabajo no era realizado por los estudiantes, lo copiaban de los demás y en el momento en que se llegaba a la evaluación nos presentaban la hoja en blanco.

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Cómo hacer más efectivos y signifi cativos los procesos de evaluación

¿Qué hacer frente a esta situación? La respuesta fue el na-cimiento del portafolio.

El portafolio es una colección intencionada del trabajo de un estudiante que muestra su esfuerzo, trayectoria y alcance en uno o varios temas. Son los temas con los que ha tenido difi cultad.

El portafolio puede incluir resúmenes de problemas de li-bros; mapas conceptuales, gráfi cas, tablas, refl exiones y sobre todo que se apoyen los estudiantes en los diversos sistemas de representación que tiene las matemáticas: el simbólico, el tabu-lar, el verbal, el gráfi co, el geométrico.

El primer objetivo fue motivar a los estudiantes para pro-mover el aprendizaje a través de la refl exión y la autoevaluación. Porque cuando no refl exionamos sobre lo que hacemos es difícil tener un aprendizaje real. El otro objetivo era promover el proce-so de escritura y comunicación, pero no sólo la escritura con los símbolos de esos ejercicios, como simples desnudos, sino tratar de que el estudiante describiera procesos. Además de reconocer, apoyar y argumentar el progreso individual cuando revisamos el portafolio; enfatizar el proceso constructivo del estudiante e invi-tar a que el estudiante seleccione y valore su trabajo.

Los criterios de evaluación también proponen valorar hasta qué grado el estudiante ha integrado realmente el conocimiento a su vida, a su quehacer; ¿le ha dado sentido y signifi cado apli-car su conocimiento a la solución de diversas situaciones que requieren razonamiento y/o modelación matemática? ¿Hasta

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qué grado ha desarrollado la capacidad de utilizar el lenguaje matemático para comunicar ideas? ¿Qué aspectos debemos mi-rar en una evaluación matemática?

En primer lugar, el contenido matemático, los conceptos, los procedimientos, las representaciones, la comunicación y la utilización del lenguaje, la pertinencia de ese lenguaje, la cohe-rencia y la capacidad de sustentación de las ideas. Para evaluar este portafolio nos apoyamos en una matriz de evaluación que elaboramos específi camente para eso. Un aspecto es la forma, porque un trabajo debe ser bien presentado, pero lo pueden hacer, a su manera, muy creativamente. Entre mayor creatividad y mayor originalidad, es mejor. Entonces se trataba de propiciar ese pensamiento creativo, esa iniciativa del estudiante.

En segundo lugar, tiene que ver con el contenido matemático, los contextos que utiliza el estudiante, los programas que se inventa conllevan diversas preguntas, son amplios, son ricos, se pueden sacar muchas cosas. Y un tercer aspecto es la comunicación. El portafolio debe ir acompañado de muchas descripciones.

Lo otro es la actitud matemática. Al fi nal, el estudiante en las últimas páginas de su portafolio debe hacer una refl exión de su trabajo, debe contar cómo se sintió haciendo el trabajo, cuá-les fueron las difi cultades que tuvo, qué fue lo que más le gustó, qué le disgustó, entre muchos aspectos.

Si el estudiante realmente tiene muchas fallas, entonces se hacen las correcciones para que pueda volver a presentar su tra-

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bajo con las indicaciones que se le hayan hecho. Hemos notado que, en general, les agrada realizar este trabajo, se fortalecen aspectos como la creatividad, la responsabilidad, la capacidad, el autoestudio, la refl exión. Es una forma distinta de interacción maestro-estudiante, cuando se dialoga a cerca de cada trabajo que cada uno está desarrollando, se crea una relación positiva. A veces se reciben muchas sorpresas agradables de jóvenes que demuestran por escrito una gran creatividad e iniciativa.

Algunos trabajos son de muy mala calidad, otros copian problemas que se hacen en clase. Cada vez los maestros tenemos menos tiempo para la evaluación y como es uno de los proce-sos más importantes es preocupante porque si dedicamos mucho tiempo a otras actividades a veces descuidamos la formación.

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Preguntas

? Parece que el portafolio sólo es el registro de lo que el estudiante hace, ¿entonces cómo o dónde se mira el de-sarrollo de competencias matemáticas?

Esta es una actividad de recuperación y creo que al interior mismo de los portafolios de alguna manera se están visualizando competencias, la competencia comunicativa, por ejemplo. De qué manera que el muchacho está escribiendo y comunicando ideas matemáticas claras, esa es una competencia. Otra es la capacidad de resolución de problemas; de hecho, los portafo-lios que nosotros recibimos tienen mucho que ver con el tipo de actividades que se desarrollan en el aula.

? El portafolio es la estrategia para superación de lo-gros, ¿pero cuál es la estrategia de evaluación dentro del aprendizaje de las matemáticas? ¿Qué se plan-tearía para los estudiantes destacados? Si son traba-jos de refuerzo, ¿por qué no debe ser para todos los alumnos?

Al comienzo dije que lo había puesto para todos, realmen-te este es un trabajo que demanda mucho tiempo del maestro, es muy distinto cuando se asigna un trabajo de unos ejercicios y se sabe más o menos cómo revisarlo, pero aquí es la creativi-dad de cada quien; por eso decidimos dejarlo, ojalá tuviéramos tiempo de hacer portafolios para todos los estudiantes y que el aprendizaje fuera así, pero quizá el número tendría que ser me-

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nor y no con unos 200 o 300 estudiantes que tenemos cada uno de los profesores de matemáticas, esa es una de las razones, el tiempo.

Hubo estudiantes que no habían perdido que nos presen-taron portafolio, o sea, lo presentaban como voluntarios para mejorar sus valoraciones y para aprender. Se podría proponer a los estudiantes que quieran profundizar que hagan un portafolio y muy seguramente será mejor.

Con respecto a cómo se evalúa a los demás, hacemos talleres, evaluaciones individuales, privilegiamos mucho el trabajo en grupo, la resolución de problemas; casi siempre hacemos olimpiadas matemáticas, también esa es una de las acciones que están dentro del proyecto “Durmiendo con el fantasma”.

? ¿Cómo verifi ca usted que el desarrollo del portafolio sí le ha ayudado a construir el conocimiento que requiere el estudiante? ¿Qué estrategias utiliza para verifi car el aprendizaje en el trabajo personal del portafolio de los estudiantes y cómo se da el acompañamiento en la ela-boración del portafolio?

Para verificar el aprendizaje se hacen preguntas, por eso hay un momento en que el maestro dialoga con el es-tudiante acerca del trabajo a través de las preguntas; se se-leccionan dos o tres preguntas después de haber revisado el portafolio individualmente, se hacen unos comentarios,

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cada portafolio lleva más o menos media página de comen-tarios positivos, se resalta mucho la parte positiva y, obvia-mente, también se resaltan los errores o dificultades; ese es más o menos el proceso.

? ¿El uso del portafolio ha mejorado los niveles de ma-temática en general? ¿Cómo se controla que los que resuelven y hacen el portafolio sean realmente los es-tudiantes a los que se les está haciendo seguimiento? ¿Existen tiempos de trabajo previo a la elaboración del portafolio para trabajos, la parte de conceptualización, la parte de desarrollo de la clase y demás?

Este año ha sido muy difícil ese acompañamiento con los estudiantes; antes hacíamos unas sesiones, pero este año fue im-posible, les tocó solos realmente porque con cuatro jornadas en el Nicolás Esguerra no hay un solo minuto que el colegio quede solo y no hay espacios para la atención ni siquiera de los padres de familia. Ha sido un proceso difícil; sin embargo, la idea es que el maestro también haga un acompañamiento y que ojalá se tenga un espacio para ello.

Este trabajo tiene que ser hecho a mano, porque se bus-ca ver el sello personal del estudiante y eso hace la diferencia, realmente se nota cuando las cosas son hechas por los estudian-tes, pues el maestro intuye cuando las cosas han sido copiadas, cuando un portafolio y los trabajos son demasiado perfectos, el docente empieza a dudar, aunque puede llamar al estudiante y verifi car. No puede haber un portafolio igual a otro.

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Gloria GarcíaUno de los problemas de los cambios en las prácticas

de evaluación en la clase de matemáticas es precisamente los instrumentos; establecer cuáles son los más pertinentes y más cuando se pretende cambiar la evaluación y pasar de una fun-ción de control a una de autorregulación, lo que quiere decir que es una función en la que vamos a compartir responsabilida-des en el aprendizaje.

El portafolio tiene unos criterios de evaluación claros frente a lo que llama las dimensiones de la competencia matemática, porque ésta no es exclusivamente el saber hacer en contexto, tiene varias dimensiones: el razonamiento, la comprensión con-ceptual y la comunicación.

Una cuestión valiosa en este portafolio es que integra una nueva categoría de evaluación, que es la formación de valores y actitudes; en el caso del grupo de niñas que tiene problemas y difi cultades o rechazos a la matemática, es muy importante mirar cómo se desarrolla su afectividad hacia las matemáticas, el nom-bre del proyecto lo hace ver y por eso incluye, amplía, no sólo tiene criterios o dimensiones de la competencia puramente cog-nitivas, sino que incluye otra dimensión, lo afectivo. En otro caso y con otros estudiantes, se puede también incluir otra dimensión a la competencia, que sería la valoración; valorar los procesos sociales de argumentación, respeto a la diferencia, etcétera.

Yo destaco esa construcción que se ha hecho y el uso para este grupo con difi cultades o con desinterés hacia las matemáti-

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cas; pero también comparto algunas de las preguntas fi nales que se hicieron, porque en este caso el portafolio estaría siendo cons-truido fuera de la clase, es decir, lo traen; en ese sentido, el por-tafolio no está acompañando el proceso de aprendizaje, porque es construido afuera, no se sabe quienes lo ayudan a construir, de dónde están sacando la calidad de los problemas que ellos mismos construyen. Aunque indudablemente el portafolio es un instrumento de evaluación para el seguimiento del aprendizaje.

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Monitoreando y motivando con la lúdica: tus difi cultades puedes superar

Expositores: Aleida Velasco Escalona y Cristian Arrieta,

Institución educativa técnica-industrial Moisés

Cabeza Junco, de Bolívar

Aleida Velasco EscalonaPara la realización de esta experiencia partimos de un

diagnóstico, del que extrajimos los aspectos más relevantes, como son las falencias en el manejo y aplicación de conceptos de grados anteriores, poco dominio en el desarrollo de opera-ciones básicas y resolución de problemas matemáticos, apatía al área, desmotivación y temor. Todo esto nos llevó a buscar un objetivo general, que es despertar el interés y la motivación hacia el área de las matemáticas en los niños, niñas, jóvenes y adultos de la institución educativa, mediante el diseño y la apli-cación de actividades lúdico-recreativas (de igual forma, que la acción monitorial que allí aparece).

Este objetivo general arroja unos objetivos específi cos, que son concientizar a los estudiantes que son capaces de superarse. Mejorar el aprendizaje en el área de matemáticas a través de juegos y ayudas didácticas. Servir de apoyo en el proceso de superación de las difi cultades mediante la transmisión de conocimientos de una forma más fácil, sencilla y recreativa. Trabajar mancomunadamente con los estudiantes de otras instituciones y centros educativos del municipio de Villanueva. Vivenciar la práctica de valores humanos en el desarrollo de actividades lúdico-recreativas.

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Después nace la formulación del problema, nuestra pre-ocupación es: ¿Cómo lograr el acercamiento y la superación de las difi cultades de los estudiantes en el área de matemáticas? A partir de esta preocupación, nace nuestra gran experiencia en-focada a la acción monitorial. ¿En qué consiste la experiencia?, consiste en la conformación de un grupo de estudiantes que orientan a otro grupo de niños que presentan difi cultades en el área de matemáticas o que por algún motivo carecen de ayuda en sus hogares.

Para la realización de este proyecto se llevaron a cabo varias fases: la primera, llamada fase de apertura, nace en el año 1998 en el grado tercero de primaria, en que se es-cogió a un grupo de siete estudiantes para dirigir algunas actividades en el aula de clases; este grupo, de igual forma, tenía a su cargo un grupo de cinco a siete niños, a quienes orientaban en horas de clases. Luego sigue una fase social, que es cuando los niños empiezan a darse a conocer a ni-vel institucional explicando su experiencia y motivando a los demás grados a vincularse a la experiencia. Enseguida sigue una fase de integración, ésta fue una de las más sig-nificativas porque empieza la integración de los diferentes grados, de cada grado se toma un niño líder o dos líderes de cada grupo para conformar el grupo monitor, pero a nivel institucional no en las aulas. Por último, la etapa del floreci-miento o etapa de superación, que fue una de las más duras, porque era la integración de los niños de octavo, noveno, décimo y undécimo, puesto que sentían un poco de apatía para vincularse al grupo.

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Monitoreando y motivando con la lúdica

Cristian ArrietaLa experiencia del grupo monitorial piloto para el de-

sarrollo y el aprendizaje de las matemáticas han permitido despertar el interés y motivación de los niños, niñas, jóvenes y adultos hacia el área de las matemáticas; además, contri-buye a la práctica y vivencia de los valores para una mejor convivencia en el aula de clases, y en el interactuar con los diferentes estamentos de la comunidad educativa, en la que un número representativo de padres y acudientes sólo han culminado la básica primaria. Además, la región donde se encuentra la institución Moisés Cabeza es una zona donde los padres adquieren el sustento diario mediante la agricultu-ra, por eso se van desde muy temprano y regresan tarde en la noche, lo que les impide orientar a los niños.

Para nuestro proyecto, nos hemos apoyado en cuatro teo-rías pedagógicas: la primera es la del pedagogo alemán Fiedrich Froten, quien ve en el juego ventajas intelectuales y de forma-ción física, y en esto fundamenta la integridad de una buena educación. Otra teoría en la que nos hemos apoyado, es en la de la educadora y médica alemana María Montessori, según ella las tareas están basadas en el juego y la actividad voluntaria, es decir, la libertad; mediante ésta el niño adquiere una motiva-ción y mantiene un orden o disciplina. Otra teoría en la que nos hemos apoyado es en la de las hermanas Agasis, seguidoras de Frowell, quienes consolidan una didáctica infantil basada en la compresión, el amor, la ternura y el juego, aprovechando como material didáctico todo aquello desechable que traen los niños. Y por último, la del sicólogo y pedagogo suizo Edward Laparade,

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quien a partir del conocimiento, las necesidades e intereses del niño utiliza la actividad como factor principal de su formación, es decir, una pedagogía activa.

En el transcurso de nuestra experiencia hemos afrontado muchas difi cultades, entre ellas tenemos: lograr que algunos do-centes se vinculen al proyecto; disponer de tiempo para que al-gunos estudiantes se desplacen en jornadas contrarias y carecer de un espacio físico dotado de mobiliario para el desarrollo de actividades en horarios contrarios.

No es fácil lograr en un colegio que tiene ocho docentes de matemáticas, que todos miren desde una misma perspectiva una propuesta, hemos tenido muchos inconvenientes para que todos los docentes de la institución acojan esta propuesta de una manera activa.

Otra de las difi cultades está en los niños, como les dije, en la institución hay estudiantes que son hijos de padres que viven de la agricultura, otros no viven en el casco urbano del pueblo sino en corregimientos. Muchas veces los niños deben desplazarse en jornada contraria porque son monitores, pero no es fácil para un niño salir de una jornada de clases, ir a su casa en un corregimiento y regresar otra vez.

A raíz de esto nos hemos propuesto unos retos, entre ellos: que a través del monitoreo sigan naciendo nuevos lideres mate-máticos capaces de desarrollar competencias matemáticas para la vida. Lograr aplicar la tecnología mediante un software en el

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Monitoreando y motivando con la lúdica

área de matemáticas. Lograr que todos los docentes se vinculen a la experiencia de una manera activa.

Por las difi cultades no hemos podido lograr que todos los docentes se acojan a la propuesta, es más, hemos obtenido como experiencia que entre más antiguo es un docente y está en un grado más alto en lo que respecta al nivel de educación básica y media, es más difícil hacer que se integre a la propuesta.

El objetivo general de la propuesta es el siguiente: se to-man niños especializados, los mejores en el área de matemáticas de cada salón, se preparan y orientan, se les dice qué activida-des hacer y se llevan a que orienten a otros niños, pero no sólo nos quedamos allí, porque lo novedoso es que nosotros prepa-ramos a esos niños mediante la lúdica. ¿Cómo?, los niños que tienen problemas les pedimos que traigan materiales reciclables como cartones, discos compactos, telas viejas, con esos mate-riales reciclables nosotros preparamos a los monitores para que elaboren los juegos con los niños, les explicamos cómo adaptar juegos como la golosa, la lotería, el dominó, etc.; entonces, como primera fase, el niño elabora él mismo los juegos, y así los vamos trayendo, después que ellos elaboran estos juegos, los ponen en práctica con sus monitores.

El mejor resultado es el acercamiento del niño hacia las matemáticas, entonces, ¿por qué hay difi cultades con algunos profesores? Qué el niño aprenda matemáticas de una manera diferente, y vaya al aula de un profesor que tiene una metodo-logía tradicional, hace que choquen; no estoy diciendo con esto

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que la lúdica y los juegos reemplazan al docente en el aula, pero sí nos hace ver de una manera diferente la enseñanza de las matemáticas.

En el mes que pasó nos llegaron los computadores para educar, lo que nos va a permitir alcanzar uno de los retos, el del software matemático.

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Tutoría de pares para superar las difi cultades en matemáticas

Expositores: Eduardo Ramírez y Armando Carreño,

Instituto técnico Mercedes Ábrego, de Cúcuta

Eduardo RamírezLa experiencia de nosotros se originó también en el año

1998, debido a las políticas educativas. En nuestro colegio te-nemos seis grados sexto y cada uno de ellos tiene aproximada-mente 50 alumnos, provenientes de diferentes escuelas, así que obviamente era un grupo muy heterogéneo y en el había mucha mortalidad académica. En ese año me preocupé porque yo dic-taba en décimos y en sextos, así que tomé un grupo de alumnos a prueba de décimo grado y los preparé para que me ayudaran con los de sexto grado, ahí comenzó la experiencia.

La experiencia sirvió como solución a una problemática de tipo académico en el área de matemáticas para alcanzar los desempeños básicos en los ámbitos de medición, conteo y va-riación en los niños de sexto grado. La estrategia fue preparar alumnos de décimo y undécimo grados que tuvieran vocación y habilidades para las matemáticas, y que les gustara enseñar. Para eso, me marqué un objetivo: potenciar el desarrollo de ha-bilidades lógico-matemáticas en los alumnos con difi cultades específi cas de los grados sexto, séptimo y octavo. Además unos objetivos específi cos, como eran: mejorar el rendimiento acadé-mico, desarrollar capacidad de análisis y argumentación, aplicar

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metodologías de trabajo cooperativo, disminuir la deserción en los últimos grados de secundaria.

Para el desarrollo, se inscriben los alumnos tutores, en este momento hay 40 más o menos; en el segundo periodo se habla con los estudiantes que van mal en matemáticas para mo-tivarlos a que entren en el programa, hoy hay 120 alumnos; lue-go, se habla con los padres de familia para que colaboren en el transporte de los niños, porque nosotros trabajamos los sábados, dos horas al día.

Los resultados es que los estudiantes manifiestan un cambio, una actitud positiva, se observa respecto a la orien-tación de actividades académicas sugeridas por el tutor. Hay alumnos que ya están en la universidad, que han querido seguir en la tutoría, que van al colegio, no lo dejan, y les ha servido también porque han tomado eso como parte la-boral; hay ex alumnos que estudian carreras de ingeniería y son profesores.

Un resultado fundamental es que en el segundo periodo disminuyó la mortalidad académica en esos cursos, se han mejo-rado los resultados en las pruebas Icfes, y en las pruebas Saber; en 2005 subimos 1,96 puntos sobre el promedio en matemáticas.

En 2004 y 2005, estábamos en un nivel alto de las pruebas Icfes, teníamos un promedio bueno; pasamos a 47,5, es decir que subimos como tres puntos en el promedio, y este año pasa-mos a 50,25, ya no estamos en un nivel alto sino superior, y es-

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tamos esperando que este año con los tres puntos que subimos, estemos en muy superior.

En la parte de matemáticas ha pasado lo mismo, de 2004 a 2005 subimos más o menos cuatro puntos en el promedio, y este año subimos aproximadamente también cuatro puntos, por lo que me siento muy satisfecho con el área de matemáticas.

El colegio se ha posicionado entre los siete mejores colegios ofi ciales del departamento, y dentro de los 100 mejores del país. Los estudiantes asesorados alcanzan los estándares mínimos de desempeño, desarrollan altos niveles de tolerancia y aprenden a escuchar a sus compañeros; por su parte, los alumnos tutores logran crecimiento personal, se fortalecen las habilidades inter-personales, consiguen dominio de grupo y habilidades sociales.

En general, se logra mayor participación y disciplina duran-te las clases en el aula, si falto un sábado a tutoría, mis alumnos me lo reclaman el lunes; para mí es un logro muy importante.

Se establece vínculo de solidaridad con los pares tutores, y en esta parte los tutores han revisado su orientación profesional, yo he tenido muchos alumnos que quisieron ser médicos, y des-pués que me ayudaron con la tutoría de pares están estudiando alguna ingeniería.

Para la medición llevamos dos guías: en una, los alumnos llevan todas las difi cultades que presentan sus hijos (yo los lla-mo así), y en otra hoja van llevando lo que han logrado, lo que

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día a día logran, también tienen un cuaderno en el que realizan sus talleres, porque la preparación es la siguiente: el lunes les digo a mis alumnos tutores el tema o los temas que vamos a ver, les preparo una guía que ellos tienen que resolver, además de preparar el tema que van a sustentar el día sábado frente a sus alumnos, cada tutor tiene máximo cuatro alumnos.

Y por último, quiero agradecer el apoyo de las directivas de la institución, al facilitar los recursos necesarios. Una de las metas que quiero alcanzar este año es que nosotros, que tene-mos ya primaria, extendamos esta experiencia a otros grados, y a otros colegios de la ciudad de Cúcuta.

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Preguntas

? ¿Cuál es el aporte puntual que hace el juego, la lúdica? ¿Cómo trasciende el trabajo de los monitores o tutores del juego a la formalización de los conceptos?

Aleida Velasco EscalonaRealmente, el trabajo del monitor no es totalmente lúdico,

la lúdica es un medio que ellos utilizan para contribuir a solu-cionar las difi cultades del estudiante, además de otros medios, que es la orientación didáctica; ellos no se pueden separar de la parte teórica, de la parte lúdica, de la parte práctica. En el caso de nosotros, una de las difi cultades más grande era la resolución de problemas, entonces hacemos que ellos por sí mismos creen sus propios problemas matemáticos, y traten de aplicarlos con cada uno de esos juegos, a través de ellos aprenden y se divier-ten, esa es la funcionalidad de la lúdica.

Armando CarreñoEn la parte lúdica hemos utilizado el sudoku y fraccio-

narios en sexto grado. Hicimos una competencia entre los tres sextos grados, después de haber trabajado con ellos unos quin-ce días y nos dio muy buenos resultados, tanto así que cuando interrumpimos el proceso, que ya tenía tres semanas los estu-diantes querían que siguiéramos, lo que demuestra el éxito de la propuesta.

? ¿Cuál es la estrategia de evaluación que se hace hacia tanto los estudiantes objeto de la monitoria, y cómo se

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evalúa también o cuál es la estrategia de evaluación de los estudiantes monitores?

Eduardo RamírezEn el caso de los estudiantes que tienen difi cultades, quie-

ro salirme un poquito y agregar dos cosas, les damos al monitor una fi cha en la que evalúa el desempeño del estudiante que tiene la difi cultad; y al monitor, como también estamos super-visando el proceso, le miramos su capacidad de liderazgo y el desempeño en el aula de clase.

Armando CarreñoLos monitores no son evaluados como tal, lo que hacemos

es darles una guía y prepararlos para los diferentes temas. Pero la evaluación no se hace, los capacitamos, los preparamos y en clase, en una hora formal, es cuando los evaluamos.

JULIO ROMERO - Comentarista ExpertoDe un lado, los compañeros del colegio Ábrego están re-

accionando a un problema de desempeño escolar en el que hay difi cultades, y no necesariamente modifi cando sus modelos pedagógicos, es decir, lo hacen bajo la fi gura de la tutoría.

De otro lado, la manera como reacciona la institución Moisés Cabeza Junco es desde la siguiente consideración socio-lógica: unos padres de familia que se encuentran trabajando y la institución les facilita un mecanismo para que en la institución encuentren un acompañamiento a su labor; eso se comienza a capitalizar, al encontrar una colaboración institucional; además,

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los padres de familia tendrán un muy buen aliado para que man-tengan esta estrategia. Las difi cultades que han señalado son evidentes, la modifi cación del profesor de un tiempo adicional demuestra una responsabilidad social, allí hay un aprendizaje para el equipo de profesores.

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Aprendiendo matemáticas desde la perspectiva sociocultural

Expositores: Carmen Rosa Toscano y Ubaldo José Buelvas,

Institución educativa Antonio Lenis de Sincelejo

Hace cuatro años el departamento de matemáticas de nuestra institución tuvo el propósito de modifi car la enseñanza de las matemáticas o presentarla de una forma distinta, entonces ideamos este proyecto en el que se trata de relacionar la parte cultural y la parte social de los estudiantes con la enseñanza de la matemática.

Este proyecto se llama “Teoría tras el origami”, que hace parte del gran proyecto “Aprendiendo matemáticas desde una perspectiva sociocultural”. Escogimos los poliedros, los sólidos platónicos, por la difi cultad que genera en los estudiantes co-nocer las características de ellos, porque cuando miramos un tetraedro plasmado en una hoja de papel es muy difícil entender las características que tiene, mirar los vértices, las aristas, las ca-ras. En cambio, si el estudiante está manipulando, está agarran-do, está tocando, puede comprender mejor la situación.

Daniel Yepes Nosotros los estudiantes hemos trabajado una serie de fi -

guras; en este caso, el tetraedro, que consta de cuatro caras; el hexaedro, que consta de seis caras; el icosaedro, que consta de

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veinte caras; el dodecaedro, que tiene doce caras y el octaedro, que tiene ocho caras.

En este proyecto desarrollamos axiomas, teoremas y ana-lizamos un poco las fi guras básicas, que son las que se encuen-tran en espacio nuestro común y las llevamos a la matemática.

Ubaldo José BuelvasImaginemos esto dibujado en una hoja de papel, es muy

complicado que el estudiante entienda lo que está inmerso aquí, lo que está implícito aquí, es decir, tratar de mirar esto en un libro y comprender cuántas caras, cuántos vértices hay es muy complicado, es muy difícil. Entonces, bajo esas características nos pareció que el origami era una buena técnica para desarro-llar varios tipos de pensamiento: geométrico, variacional y mé-trico; y nos ha resultado, hemos desarrollado competencias en los estudiantes, hemos observado que con el origami se ha en-tendido mejor la teoría, no todo son palabras y escritos sino que ellos lo han evidenciado, lo han experimentado por sí mismos.

Carmen ToscanoUna de las difi cultades más grandes que encontramos

como docentes de matemáticas es motivar a los estudiantes para que las estudien. Una pregunta que nos hacíamos siempre es: ¿qué tipo de estrategias metodológicas utilizar para cambiar la actitud de los estudiantes hacia las matemáticas? Como vivimos en un entorno con una gran diversidad cultural, y teniendo en cuenta los referentes teóricos de Alan Bishop acerca del aprendi-zaje de las matemáticas y de la cultura, quisimos tener en cuenta

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estos aspectos y tomar esos contenidos inmersos en la cultura del estudiante y llevarlos al aula de clase; por eso aquí en Sam-pués, uno de los centros artesanales de Sucre, donde elaboran el sombrero, estamos trabajando en la institución el proyecto de diseño de artesanías, para mirar la elaboración del sombrero, es-tudiar la parte sociocultural y trabajar el contenido matemático que podamos recatar de allí.

Lo que pretendemos además es que el estudiante pueda va-lorar su cultura y también que desde las matemáticas pueda mo-delar estas situaciones. Y que lo pueda ayudar a comprender el mundo en el que se encuentra. El objetivo de esta experiencia es el siguiente: conectar la matemática a la cultura del estudiante me-diante el estudio de contenidos inmersos en su contexto, con el fi n de darle sentido a su aprendizaje y que lo aprenda a valorar.

Los materiales educativos que estamos utilizando son los recursos del contexto como hamacas, sombreros, unidades de medida del entorno, papel origami y los programas Cabri y De-rive para hacer una modelación de los diseños que los estudian-tes han encontrado.

El seguimiento y la evaluación la llevamos a cabo a través de evidencias fílmicas y registros fotográfi cos, además de un cuaderno de notas. También podemos observar el cambio de actitud del estudiante hacia la clase de matemáticas; el estudian-te hace su actividad, presenta su informe, lo socializa y cuando él hace esa socialización se puede establecer si realmente ha avanzado y comprendido lo que estamos trabajando.

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Una de las difi cultades de este tipo de proyectos son los escasos recursos bibliográfi cos, además de las limitaciones de tipo económico, que no nos permiten sacar a los estudiantes para que hagan su investigación, indaguen con los mayores y los artesanos, vean su entorno, así que se convierte en un pro-yecto de salón.

Los logros han sido el acercamiento de la institución a la comunidad, que se manifi esta en valorar el trabajo en equipo de los alumnos, además del reconocimiento del entorno cultu-ral y el acercamiento de los padres de familia a la formación de sus hijos. Los padres de familia se han acercado a nosotros para comentarnos cómo su hijo que no quería saber nada de las matemáticas y ahora tiene otra actitud hacia ella.

Se han vinculado por ejemplo también en el proyecto que el profesor Ubaldo les mostró geometría tras el origami los padres han participado con sus hijos desde la casa en la elaboración de los poliedros. Estamos enamorados de la etnomatemática y es un sueño que podamos profundizar en ella, porque sabemos que hay mucho por hacer, por eso hemos estado indagando, pero nos falta todavía profundizar en ella.

Un reto grandísimo para nosotros es poder extender este proyecto a todos los grados, hasta el momento estamos traba-jando en octavo y décimo. Otro reto grande es poder profundi-zar en el entorno cultural, con la fi nalidad de desarrollar además de los ejes que les había comentado otros como el numérico. Y una pregunta que nos hacemos: ¿Podremos mejorar el apren-

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dizaje de las matemáticas en nuestra institución a partir del entorno sociocultural?

¿Cómo es el trabajo cotidiano frente al proyecto? Después de ir a los lugares de donde recogemos la información, elaboramos unas situaciones, las planteamos a los estudiantes y ellos buscan información y respuestas mediante un trabajo de investigación.

Nosotros, con base en esa información, elaboramos una situación relacionada con el contenido matemático. Por ejem-plo, en lo que tiene que ver con el trabajo que hicimos con las hamacas, ahí recogimos toda la información acerca de los tipos de hamacas, cómo es su elaboración, cómo se comercializa, qué tipo de diseños se realizan. Entonces aprovechamos esa in-formación para elaborar una situación que tuviera que ver con la función lineal, o sea creamos la situación con todos los ele-mentos que nos dieron, elaboramos unas tablas con datos reales y le planteamos una situación que permitiera mirar la variación del precio con respecto al número de hamacas, por ejemplo. Después de mirar la variación entre el precio y el número de hamacas se les hicieron una serie de preguntas, se les pidió que elaboraran una gráfi ca, utilizamos el programa Derive y los es-tudiantes empezaron a introducir las ecuaciones.

Diana JaramilloHan tomado como referente teórico los elementos que

elaboró Bishop, quien propone una refl exión no tradicional so-bre la manera de enfrentar los problemas de enseñanza y apren-dizaje de la educación matemática. Él habla de seis actividades

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culturales, aunque no las plantea exactamente como actividad matemática en sí misma sino actividades panculturales en la me-dida en que están presentes en todas las culturas.

Entonces lo que él trata de mostrar es cómo actividades como contar, independientemente de la manera como las cul-turas aborden el conteo a lo largo de la historia, establecen una relación entre los objetos y los números.

Otra de las actividades que denomina panculturales es la de diseñar, que es una actividad que constituye una fuente uni-versal, que está presente en todas las culturas, incluso en nues-tra vida cotidiana, es decir, el diseño en la medida en que está presente en todas las culturas, tiene una riqueza muy importante para abordar los problemas de la enseñanza de las matemáti-cas; aunque no podemos decir que el diseño en sí mismo es una actividad matemática, podría serlo, podría convertirse en eso.

Igualmente, la actividad de jugar es muy importante y ha aparecido en muchas de las experiencias que se han presentado aquí, pero ahí es importante diferenciar la generalidad de lo que es jugar con el juego en sí mismo, pues hay que mirar la forma-lización en el acto del juego y las implicaciones que tiene en la actividad matemática.

Otra es la actividad de explicar, pues en todas las culturas necesitamos explicar los fenómenos, así que ahí está una acti-vidad muy importante en la que puede apoyarse la educación matemática; e igualmente señala la actividad de localizar, carac-

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terizar las actividades relacionadas con saber desplazarse, no per-derse, ubicar el hogar, la relación entre los objetos; es decir, son actividades muy potentes; así mismo como otra que está presente en mucha de las actividades, que es la actividad de medir.

Finalmente, una pregunta para los profesores de esta expe-riencia: ¿Qué competencias y conocimientos del currículo de ma-temáticas de los grados décimo y undécimo se pueden orientar?

Ubaldo José BuelvasEl primer inconveniente que se le presenta al educador

matemático es cómo enseñar, cómo llegar al estudiante y, sobre todo, cómo romper ciertas estructuras y ciertos moldes que es-tán vigentes en nuestra sociedad.

Nosotros encontramos muchas difi cultades, que cuando el educador o el maestro encuentran trata de apartarse y tomar el camino más fácil. Una de las inquietudes que teníamos era que aparentemente no había una relación directa entre los proyectos y que no sabíamos cómo enlazarlos para abordar los aspectos ma-temáticos. En la investigación con los artesanos, con los nativos y con los mayores, veíamos que estaban trabajando competencias matemáticas, pensamiento métrico variacional, y muchos otros aspectos, pero sin el toque de la matemática ofi cial.

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Preguntas

? ¿Cómo se da la articulación del proyecto con el currículo en relación con la distinción entre trabajar con lo concreto y lue-go trabajar con la extracción en matemáticas? ¿Este trabajo abarcó todo el espacio de la clase, hubo momentos para tra-bajar conceptos previos o los conceptos se trabajaron sobre la marcha del proyecto? ¿Qué papel que juegan los software Derive y Cabri en el proyecto del tejido del sombrero?

Carmen Rosa ToscanoLos programas de los software disponibles como Cabri y

Geometric son programas que permiten trabajar el pensamien-to espacial, manipular los objetos geométricos que hay y apa-recen. Entonces, cuando trabajamos las transformaciones nos van a permitir la invarianza, mirar las propiedades, explorar esas propiedades con ese programa, por eso lo escogimos para este tipo de trabajo.

Ubaldo José BuelvasEl estudio de los sólidos platónicos es una réplica de

un estudio que se ha hecho en México, Perú y España, y la técnica que se utiliza es el origami modular; estábamos trabajando pensamiento espacial, sistema geométrico, pensa-miento métrico y sistema de medida; la utilización de la parte simbólica, del componente simbólico que maneja la teoría de Bishop, fue la exploración de los estudiantes para tratar el tema desde el punto de vista lúdico, porque inicialmente la

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parte matemática, la parte formal de las matemáticas no apa-recía. Inicialmente era como un juego, trabajábamos talleres los viernes con origami, y desde ahí empezamos a mirar las características, a hacer cuadrados, rectángulos, pero una eva-luación externa demostró que los estudiantes no sabían de medidas, así que empezamos a formalizar a partir de lo que habíamos visto a partir del juego.

¿Cómo se realiza el proceso de evaluación en el marco de esta experiencia, de forma que se evalúe el conocimiento infor-mal de las matemáticas? ¿Se ha evidenciado un mejoramiento respecto a las evaluaciones anteriores? ¿Hay coherencia entre la innovación, los contenidos de evaluación y los niveles de com-promiso y exigencia? ¿Qué difi cultades han encontrado al eva-luar estos trabajos? ¿Cómo enfrentar el problema de la evalua-ción internacional cuando hay que responder a una formación matemática que se requiere en todos los países, si se trabaja desde una perspectiva sociocultural?

Carmen Rosa ToscanoCuando ideamos esto siempre estuvimos pensando en los

estándares, en las pruebas que se presentan cada año y en los resultados que la institución ha obtenido. En cuanto a la eva-luación lo que hacemos son socializaciones del trabajo en clase y una evaluación tradicional de contenidos.

Ubaldo José BuelvasEn uno de los períodos académicos los estudiantes no pre-

sentaron ningún tipo de prueba escrita, simplemente presenta-

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ban los trabajos que estaban realizando, hacían sus explicacio-nes y algunos diseñaron modelos propios.

Cuando usted se embarca en un proyecto no tiene que ir en contravía de los principios institucionales porque la comu-nidad no lo acepta porque usted se sale del marco establecido o preestablecido; sin embargo, en nuestra institución se traba-ja en énfasis, entonces los estudiantes que están en énfasis en matemáticas tienen un número mayor de horas semanales para desarrollar los proyectos adicionales. Es decir, como no puedo salirme del marco tradicional, tengo que enseñar en trigono-metría identidades, demostración de identidades, ecuaciones trigonométricas, geometría analítica y todo lo que se enseña en décimo grado, a la par que hemos estado trabajando este tipo de proyecto y mostrando a los jóvenes que las matemáticas tie-nen otras facetas.

Sin embargo, las grandes difi cultades provienen es de la falta de recursos de las instituciones y de la poca ayuda que se recibe del gobierno.

En todo caso, la evaluación no se puede apartar de la tra-dición de la prueba escrita; sin embargo, lo hice y recordé una frase de un profesor de la especialización, el profesor Jorge Ro-dríguez Bejarano, que decía que nosotros los docentes cuando hacíamos una evaluación escrita o una prueba escrita poníamos cara de paranoicos, a los estudiantes los alineábamos y estába-mos todos pendientes como vendedor de pólvora; así que en ese segundo período todos los estudiantes lograron una buena

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actuación y ninguno quedó insufi ciente tomando la evaluación desde otro punto de vista, sin prueba escrita.

DIANA JARAMILLO - Comentarista ExpertaA partir de esta experiencia se empieza a generar un re-

conocimiento cultural de los niños, de la comunidad frente a la cultura en la que están inmersos; el reconocimiento cultural de los jóvenes frente a su propia cultura es algo importante que la escuela debe validar también.

Un aspecto para destacar es que el trabajo tiene una do-cumentación teórica de parte de los maestros, no sé el grado de profundidad, pero por lo menos se nota cierto dominio de los textos de Alan Bishop, que ellos estaban mencionando y que citaron en determinadas oportunidades y que parece que orien-taron un poco el trabajo.

Un llamado de atención que hacen varios educadores que trabajan etnomatemática, entre ellos un autor español de apellido Lizcano, es que no podemos seguir pensando que el contexto está al servicio de la matemática, es la matemática la que debe ser puesta al servicio del contexto, y eso cambia un poco la mirada que los matemáticos y de los profesores de matemática.

La otra preocupación grande que ustedes tenían y le pre-guntaban a los docentes es sobre la evaluación, que se traduce en la exigencia constante que los maestros están teniendo sobre las pruebas Saber, pero si se hablara de procesos de evaluación, lo mejor sería pensar que cuando el niño desarrolla muchos ele-

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mentos durante estos procesos de etnomatemática la evaluación está ahí, es obvia, el niño está aprendiendo. Sólo con las presen-taciones de informes que hacen, con la presentación ante la co-munidad es sufi ciente para saber que el niño está aprendiendo matemáticas y que está generando procesos de aprendizaje.

Quiero hacerles una invitación a que paremos el coloni-zaje educativo. Lo voy a extrapolar con una comunidad indí-gena en la amazonía, pregúntense cada uno de ustedes como profesor de matemáticas, ¿qué matemática voy a enseñar? Han pensado cómo abordar esa clase en una comunidad de indíge-nas donde tienen un dialecto propio, una cultura propia dife-rente a la nuestra. Pues nosotros que fuimos formados en esta escuela plantearíamos que lo que vamos a hacer es dictar una típica clase de matemáticas.

La pregunta que nos hacemos algunos investigadores es hasta dónde vamos a seguir colonizando, o sea, ¿será la mate-mática nuestra la misma que esa comunidad necesita? Yo les dejo eso a modo de interrogante.

Otra cosa, no necesariamente hay una matemática, existe la posibilidad de varias matemáticas; solo que las que nosotros estudiamos y aprendemos son las matemáticas eurocentristas, que fue el dominio europeo que nos trasladó esa concepción y ese conocimiento matemático que hoy tenemos.

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Incorporación de nuevas tecnologías en el área de matemáticas

Expositor: Ariel Agudelo, Institución

educativa Los fundadores, de Montenegro, Quindío

La institución educativa Los fundadores se encuentra ubi-cada en el municipio de Montenegro, es una región turística por excelencia y contamos para este proyecto con estudiantes de los grados noveno, décimo y undécimo, que viven con uno de los padres o con abuelitos, tíos, primos o cualquier otro tipo de familiar, así que en cierta forma son personas que no ven en el estudio una opción, aunque pretendemos desde esta parte de la matemática intentar darles una nueva alternativa de vida.

Pretendemos mejorar en las pruebas que se nos imponen, mejorar en el desarrollo de los diferentes tipos de pensamiento matemático y apropiarnos de los procesos matemáticos, que es parte del problema pues hay que propiciar la investigación del docente, utilizar las escuelas como caldo de cultivo para ese tipo de investigaciones, el profesor debería asumir su profesión en una dinámica de constante aprendizaje, ubicarse en cierta forma en el mismo plano del estudiante.

Las competencias que pretendemos desarrollar a partir de este proyecto, en primera instancia, son que sea el alumno quien pula los objetos matemáticos, quien active su propia capacidad mental, que refl exione sobre su propio proceso de pensamiento con el fi n de mejorarlo de manera consciente.

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Tenemos también como reto realizar competencias de estas actividades, a fi n que la matemática sea la propiciadora y desarro-lladora para que pueda ejercitar su pensamiento en otras áreas del conocimiento, para que adquiera confi anza en sí mismo, que se divierta con su propia actividad mental, que se prepare de esta ma-nera para otros problemas de la ciencia y de su vida cotidiana y que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.

Un objetivo enmarcado dentro de todas las políticas edu-cativas nacionales es propiciar con la introducción de nuevas tecnologías que logremos desarrollar habilidades en los diferen-tes tipos de pensamiento matemático que son conocidos por todos, para ello estamos utilizando la calculadora, la grafi cadora T93 plus, un video scream, un CBL y un CBR, que son aparatos que nos sirven para la toma de medidas basados en el ambiente real y obviamente utilizar la tecnología mediadora en la solución de situaciones problémicas.

En cuanto a la metodología, el grupo de estudiantes pre-senta una serie de situaciones problema en las que, según nues-tra metodología de trabajo, priman interrogantes asociados con la actividad en cuestión, nosotros privilegiamos sobre todo las preguntas, los estudiantes van encontrando posibles soluciones, y la actividad misma se presta para aceptar o desechar una de las respuestas sugeridas.

El conocimiento matemático se va depurando cuando la clase expone las propuestas que va encontrando y allí mismo, entre todos, se decide cuál es la que mejor se aproxima a la

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pregunta planteada; nosotros trabajamos mucho basados en la estimación, cualquier respuesta que nos acerque racionalmente a lo que estamos buscando la damos por satisfactoria, no hay verdades absolutas, el grado de verdad depende de la mayor o menor aceptación racional de la respuesta que encontremos, el profesor no es el dueño de la verdad, sólo actuamos como un árbitro de las verdades que vamos encontrando en el camino de la búsqueda de las respuestas.

Creemos en eso de que el conocimiento es construido por los que aprenden y no transmitido por los que enseñan; la mejor manera de enseñar es crear actividades propiciadoras de ambientes que permitan encontrar soluciones y respuestas a situaciones planteadas.

Hay un punto que quisiera mencionar, el de la evalua-ción. ¿Cómo se evalúa este tipo de actividades?, ¿cómo hace el maestro para tomar las notas que le corresponde entregar por periodos? Eso es verdaderamente complicado porque estamos acostumbrados en álgebra a desarrollar un sistema de ecuacio-nes y a partir de allí aparece una solución numérica que carece de sentido porque la calculadora, con una simple digitación de unos elementos particulares, se encarga de determinar el valor para X y para Y, entonces qué sentido tiene preguntar eso en una prueba. Entonces nos toca evaluar utilizando otras metodo-logías que den la posibilidad de exploración.

¿Con qué recursos contamos para el desarrollo de este proyecto? Con 20 calculadoras TI92 Plus, grafi cadoras, excelen-

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te herramienta escogida por el Ministerio de Educación, en el sentido de que han logrado unir algo así como el Cabrigeome-tric, el Derive, un procesador de texto que permite programar, una matriz de datos, o sea, todo esto funciona en conjunto; un video scream, que es una pantallita que nos permite visualizar lo que vamos trabajando en la pantalla de la calculadora; un re-troproyector de acetatos; dos CBL y CBR, que son aparatos que sirven para adecuarle censores y tomar medidas reales, como la temperatura; y un software que nos permite enlazar la calcula-dora con el computador. Tenemos también internet, es decir, muchos software gratuitos que nos permiten realizar cualquier cantidad de actividades de laboratorio.

¿Qué es lo que hemos logrado? Casi nada, diría yo, por-que hay tantas cosas que uno se propone, pero menciono esta por decir algo, teníamos un grupo de estudiantes que detestaba la matemática y ahora hemos cambiado esa actitud cultural y podemos decir que a la clase de matemáticas se llega no con ese recelo sino con el ambiente de ver qué situación problema nos trae el profesor, a ver qué se nos ocurre para solucionarla.

Se ha logrado adquisición de destreza instrumental con el manejo de aparatos, participación individual en tareas colectivas y una capacidad de refl exionar críticamente sobre lo que se aprende, lee o escribe, a eso le da un carácter social y político a la clase.

También existe un interés por ampliar los conocimientos que se adquieren o que se discuten en el aula, y estamos ge-nerando una capacidad de argumentar ante situaciones de la

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asignatura o de otras asignaturas, así que hemos encontrado con gran beneplácito estudiantes que se volvieron ordenados para pedir la palabra, para discutir las ideas, para aceptar que las ideas que ellos están emitiendo no son las correctas, lo aceptan con cierto grado de responsabilidad y sobre todo para aprender a escuchar lo que planten los demás compañeros.

Necesitamos apoyarnos los que estamos trabajando con este tipo de tecnologías para ver cómo mejoramos, hay muy poco de compromiso de parte de los compañeros de primaria, nadie quiere trabajar con esto, y da pereza meterse con asuntos tecno-lógicos, claro que hay poco estímulo al docente que investiga.

Hemos elaborado algunos productos que son unos libros editados por el MEN, en los que se mencionan muchas expe-riencias, tenemos muchos talleres desde grado sexto a grado undécimo en matemáticas y en física en los que se visualiza la fi losofía del proyecto, hemos presentado experiencias en varios congresos, hemos participado en talleres de formación en varios municipios del Quindío, hicimos una experiencia que participó en la feria de la ciencia del año pasado y ocupamos el tercer puesto, y está esto de la teoría, que todos en su momento ten-drán la oportunidad de discutir.

Me queda por resaltar que no se debe enseñar por ense-ñar, lo que necesitamos es enseñar a aprender.

Tenemos retos como formar alumnos de undécimo para que nos acompañen, tenemos que crear grupos de investigación

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y hacer los estudios correspondientes a las pruebas y tal vez para rematar, el mayor de los retos es continuar luchando en medio de tantas adversidades por mejorar las condiciones de apropiación del conocimiento tecnológico y matemático en los jóvenes de nuestra patria.

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Modelación matemática de situaciones experimentales en el laboratorio de física

Expositores: Ligia Arguello, Humberto Galvis,

Laura García, Silvia Durán y Sandra Reyes,

Colegio Santa María Goretti de Bucaramanga

Humberto GalvisEl colegio viene vinculado como lo menciono el compañe-

ro de Montenegro al proyecto de incorporación de nuevas tecno-logías al currículo de matemáticas. El PEI del colegio hace énfasis en ciencias naturales y pensando en una integración de las asigna-turas del currículo miramos la forma de integrar matemática, física y tecnología; así que la idea central es poder llevar los equipos tecnológicos con que contamos en el laboratorio de matemáticas o en el área de matemáticas al laboratorio de física.

Hemos trabajado cinco experiencias: dos de intensidad lu-minosa con el CBL, una experiencia en plano empinado, que es la que vamos a presentar y otra del péndulo simple. Como todos saben, a los profesores de matemáticas desde 1998, a partir de los lineamientos curriculares el ministerio, se nos recomienda tres dimensiones dentro del trabajo de las matemáticas: unos conocimientos básicos desarrollados en cinco pensamientos, cinco procesos para desarrollar esos contenidos de los cinco pensamientos y una contextualización de la matemática me-diante la estrategia de solución de problemas de las mismas matemáticas, de la vida diaria y de las otras ciencias.

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Modelación matemática de situaciones experimentales

El marco teórico para la experiencia lo venimos mane-jando bajo cuatro ideas principales: desarrollo de situaciones experimentales en el laboratorio de física, desarrollo del pen-samiento variacional mediante los procesos de solución de problemas y la modelación. La solución de problemas es un proceso que debe estar presente a lo largo de todas las ac-tividades de la matemática, permite el uso y la construcción de nuevos conocimientos en situaciones fuera y dentro de la matemática; mediante la estrategia de solución de problemas es que los maestros podemos contextualizar las matemáticas desde las mismas matemáticas, desde la realidad y desde las otras ciencias.

La modelación es el arte de construir nuevos modelos matemáticos que simulen la dinámica de ciertos procesos que ocurren en la realidad; es muy importante dentro del trabajo de la matemática la modelación y otro proceso importante es la simulación.

Dentro del proyecto los docentes manejamos una parte teórica y un principio fundamental, el de la mediación instru-mental, toda acción cognitiva está mediada por algún tipo de instrumento, ya sea material o simbólico.

Otro fundamento del marco teórico es el uso de sistemas de representación para que haya una mejor generalización y transferencia de aprendizaje, es por esto que esa parte de los sistemas de representación que nos permiten cualquier equipo tecnológico, ya sea la calculadora, la grafi cadora o un compu-

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tador personal, tienen mucha importancia dentro del proce-so de aprendizaje de las matemáticas.

Ligia ArgüelloLos estudiantes desarrollan las competencias comunica-

tivas en el momento en que entregan el informe que tienen que hacer y ahí esta implícita la competencia propositiva, en el momento en que ellos hacen conjeturas con respecto a las gráfi cas que deben salir de las experiencias.

Las competencias investigativas se desarrollan cuando tienen que consultar en un marco teórico todos los concep-tos matemáticos y físicos que deben tener presentes para la elaboración del laboratorio. Las competencias laborales es-tán presentes en el momento del trabajo en el laboratorio y del trabajo en equipo en la asignación de tareas, y las com-petencias ciudadanas en el momento en que en el trabajo en equipo se respeta la opinión del compañero, la opinión de otro grupo y la opinión del docente.

La construcción y comprensión de los conceptos a través de estas experiencias es más enriquecedora para el estudiante y más motivante, y a través de los sistemas de representación podemos hacer más fácilmente la matemática y apropiarnos más de los conceptos.

Como difi cultad hay que decir que solo contamos con cuatro CBR para un grupo de 35 estudiantes, entonces tene-mos la necesidad de recurrir a préstamos en otras institucio-

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nes que están vinculadas al proyecto de las nuevas tecnologías y lo mismo al mantenimiento de los equipos.

Como logros, tenemos los buenos informes presentados por los estudiantes, el avance en el lenguaje matemático, la apropiación de esa comunicación matemática, las presentacio-nes realizadas en el foro institucional, en el foro municipal y la experiencia de nosotros en el foro nacional; además, la integra-ción con otras asignaturas y la contextualización de la matemá-tica a través de las ciencias naturales.

Como proyección para 2007, pensamos mejorar la expe-riencia e incluir los conceptos de límites, derivadas y mínimos, e integrar biología, química e informática.

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Preguntas

? ¿Qué habilidades y destrezas desarrollan los alumnos? Interesa en particular ver qué pasa con la criticidad, con la argumentación, con los cambios y avances respecto a las representaciones utilizadas por los estudiantes desde el inicio de la experiencia hasta las ecuaciones formales. ¿En qué momento interviene la formalización del con-cepto? ¿Qué pasa en el proceso de modelación con la manipulación de la calculadora por parte de la persona y el CBR para recoger los datos?

Ariel AgudeloAl hacer la comparación con un grupo patrón, un gru-

po de medida que tenemos en la institución, vemos que hay unos avances muy signifi cativos en lo que tiene que ver con la manera de expresarse, con la forma de defender una idea basados en la argumentación y en las ideas contrapuestas que el maestro le pone, obviamente no todo es color de rosa, pero si se hace un balance comparativo podría decirse que es más lo bueno que lo malo.

Para formalizar los conceptos, en el proyecto no es el maestro el que lleva el concepto sino es el alumno el que ge-nera su propio concepto, aunque en unas primeras instancias la terminología que se usa no es la más adecuada, pero eso es un asunto de pulir términos, pero hemos llegado a sintetizar, por ejemplo, una pendiente, un interfecto, un punto de corte, sin que el maestro lo enuncie de esa manera, el estudiante en sus

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propias palabras lo va determinando y luego, como les decía, es sólo cuadrar palabras.

Se han fomentado en los estudiantes la interpretación grá-fi ca de una manera asombrosa; el alumno es capaz de plan-tearnos la función que produjo esa gráfi ca, queremos darle al estudiante la posibilidad de convertirlo en funciones de posible representación.

Humberto GalvisEn lo referente a los sistemas de representación, el traba-

jo con los dispositivos tecnológicos permite manejar diferentes sistemas de representación simultáneamente, por ejemplo, el sistema Cabri geometric permite hacer una simulación, tomar datos sobre una situación simulada y ahí mismo trabajar simultá-neamente la parte geométrica con la parte de manejo de datos y con la expresión algebraica de la situación o el problema que se esté planteando.

Los equipos con que estamos trabajando en el laboratorio de física, al igual que cualquier computador, permiten el manejo de diversos sistemas de representación y cuando el estudiante realiza una acción importante sobre cada uno de ellos, cuando logra comparar una misma situación bajo dos o más sistemas de representación, logra que el aprendizaje se transfi era de mejor forma y ahí es donde aparece el razonamiento. La ventaja que tienen los equipos tecnológicos no es el manejo en sé de ellos sino la acción que realiza el estudiante con esos instrumentos mediadores para construir el aprendizaje y para llegar a cons-

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truir los conceptos de la matemática y de la física, que es lo que estamos trabajando en esta experiencia.

? ¿Es posible que con el uso de la calculadora se esté per-diendo la posibilidad de que el estudiante plantee la ecuación correspondiente a cada movimiento lineal y cuadrático? ¿La calculadora hace que se pierda alguna capacidad de formulación de ecuaciones como formas de modelación de fenómenos?

Ariel AgudeloNo se podría pensar en que se esté perdiendo la posibili-

dad, al contrario, se está brindando una herramienta que permita en un ambiente muy especial distinguir aquellos tipos de gráfi cos que cuando fuimos estudiantes nos parecían tan complicados.

Hemos hecho algunas pruebas en algunos grupos de pro-fesores, a quienes se les plantea las gráfi cas de unos grupos de funciones de cierta forma elementales, y se ha encontrado que en un gran porcentaje a los profesores les da cierta lidia obtener esas gráfi cas, se les complica, se les hace difícil; así que los ele-mentos modernos de representación permiten obviar un trabajo dispendioso, no es que se deba obviar por completo sino que hay que mirar en qué momento y qué se pretende en la unidad didáctica. Si se pretende elaborar la gráfi ca, allí la necesidad es que el estudiante aprenda cómo actúan las tablas de datos para llevarlos a un sistema de representación y ver los gráfi cos que producen. Pero si el objetivo es encontrar por ejemplo la inte-racción que tienen dos gráfi cas cuando se cortan, entonces allí

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hay que abordar la tecnología para poder dedicar tiempo al aná-lisis de la información. Una de las fi nalidades del proyecto es que el muchacho aprenda a interpretar, que utilice la tecnología para suplir esos algoritmos complicados y se dedique a la discu-sión mental y el raciocinio para que haga interpretaciones.

Ligia ArgüelloLa educación matemática no es hacer gráfi cas, no es apren-

derse ni aplicar fórmulas, sino ver la variación que hay en este tipo de representaciones; entonces, si el estudiante gana tiempo con el uso de la tecnología eso nos permite realizar un análisis más valedero. Como decía el doctor Luis Moreno Armella, las tecnologías se deben volver invisibles en el momento en que se esté haciendo un análisis de la situación que se planteó, así que en ningún momento la tecnología va a limitar al estudiante para que desarrolle el pensamiento matemático.

? ¿Cómo pasar de una educación tradicional de papel, a una educación en la que se use como instrumento la calculadora? ¿Qué pasa con poblaciones con diferencias cognitivas en cuanto al uso de este tipo de instrumentos en el aula?

Ariel AgudeloCreo que es difícil que alguien tenga la respuesta co-

rrecta para este interrogante, lo que se está haciendo son unas aproximaciones, una serie de investigaciones, de experi-mentaciones, para ver si realmente vale la pena. Los que per-tenecemos a este proyecto somos unos eternos convencidos

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de que ese es el camino, de que prácticamente no hay otra opción, porque no podemos quedamos atrás de los avances de la ciencia y la educación, no podemos dejar que la escue-la siga anquilosada mientras el mundo se desarrolla de una manera acelerada. Mientras el estudiante tenga mejor pre-paración para enfrentarse a los retos que le ofrece la vida, mejores oportunidades va a tener.

Entonces sí es posible, creo que es posible porque en unos foros que tuvimos en otra oportunidad se discutía que hoy la mayor parte de las instituciones educativas cuentan con al me-nos equipos de cómputo, que quizás no se estén aprovechando como se debe, porque allí mismo nos dábamos cuenta que en muchas instituciones educativas se usa para aprender paque-tes de offi ces, y eso, está comprobado por investigaciones, no hay necesidad de enseñarlo, ese tipo de cosas se aprenden con el uso; hay que usar la herramienta en aquellas cosas que se pueden hacer más efectivas, hay gran cantidad de software que permite que el estudiante visualice situaciones en cualquiera de las ciencias, que son muy complicadas de contar en el tablero. Nosotros hoy nos benefi ciamos precisamente de eso, porque es difícil mostrarle a un estudiante un lugar geométrico de manera verbal, mientras se puede elaborar una pequeña construcción y ver cómo ese lugar geométrico se va formando.

Los que hacemos más difícil ese tránsito somos los mismos maestros. Somos muy reacios a la introducción de cosas que los compañeros llaman extrañas en el aula. Es importante en-sayar con nuevos instrumentos, no sólo la calculadora, porque

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hay otros instrumentos también muy importantes para el trabajo en clase.

En cuanto a qué hacer con la población que se llama con defi ciencias cognitivas, en el colegio en este momento estamos trabajando con un grupito de sordos y me extrañé cuando una niña sorda le ganaba a mis alumnas en realizar operaciones. Val-dría la pena hacer un estudio porque ellos tienen una forma de contar que es un poco diferente a la de nosotros, pero lo logran. La tecnología les permite trabajar y desarrollar sus habilidades; esta población en particular tiene una habilidad innata en la vista, dependen mucho de los ojos, entonces para ellos es mucho más gratifi cante ver ese tipo de representaciones que se hacen de una manera real y no las que nosotros simplemente les contamos.

? ¿Cómo se adquiere el material, qué costo promedio tie-ne la adquisición del material? ¿Qué tiempo escolar y extraescolar se dedica a la experiencia?

Humberto GalvisDespués de la integración de colegios que se dio en 2001,

los diferentes grupos en los distintos departamentos hemos ve-nido trabajando de manera grupal por intermedio de foros de discusión vía internet, o mediante discusiones de grupo. Las ins-tituciones educativas con que laboramos nos permiten reunir-nos los días viernes en la mañana, para ver el desarrollo del pro-yecto. En la mañana nos reunimos, evaluamos las actividades que hemos realizado en la semana anterior y programamos las siguientes a realizar.

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La ayuda que hemos recibido ha sido del Mineducación, y algunos colegios en particular y entidades territoriales han he-cho algún esfuerzo económico para continuar comprando equi-pos y tenerlos en el colegio, porque el costo de los equipos es un poquito alto.

Cuando arrancamos el proyecto tuvimos que dedicarle demasiado tiempo, ahora hay que dedicarle tiempo extra para trabajar.

Ligia ArgüelloNosotros fuimos uno de los favorecidos porque el profe-

sor Jorge Enrique Fiallo estuvo en Japón y trajo la modalidad de estudio de clase abierta, y a partir de ahí trabajamos no sólo los viernes en la tarde sino cada que se necesite, pues estamos con-vencidos que el trabajo con estas nuevas tecnologías nos permi-te realizar un trabajo que no sea rutinario en el aula de clase.

Ariel AgudeloSe puede usar de una manera más efectiva el dinero desti-

nado a tecnología si se compran computadores, que tienen una posibilidad más abierta, no estoy demeritando las calculadoras, pero hay que pensar hacia el futuro.

En mi institución particularmente el tiempo que se dedica al proyecto es el tiempo que tiene la asignatura de matemáticas. Y en cuanto al tiempo extraescolar, si se usan las herramientas adecuadas, los progresos son inmensos; la tecnología nos ha echado una carga extra, pero si la usamos bien, si nos va bien

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con los muchachos, progresamos y avanzamos en lo que nos proponemos.

JAIME ROMERO - Comentarista expertoSi los profesores no estuviéramos dispuestos a poner tiem-

po para las innovaciones, ellas no existirían, y eso nadie lo paga y en cada fase de la innovación aparece un requerimiento más para el profesor que está en esa tónica. En este caso, se alcanza a percibir que hay apoyo de la institución o de las instituciones y que han logrado construir una cierta base de investigación, ese es un requerimiento muy fuerte que tienen las innovacio-nes para saber cómo van, para dónde van, para ir generando un acumulado que le brinde posibilidades a otros. Se trata de ir construyendo una experiencia a partir de resultados un poco ciertos, y digo un poco ciertos porque es muy difícil hablar de resultados verdaderos, son resultados un poco ciertos.

Creo que en este tipo de innovaciones hay un problema todavía mayor que las otras innovaciones y es que se está ha-ciendo una innovación para una escuela que no está hecha para esos medios; hay una instrumentación que supera de largo la posibilidad que tiene instalada la escuela y eso trae problemas muy difíciles de resolver.

Aquí lo han puesto en términos de cuánto vale, pero no es sólo esto es cuánto hay que reconvertir una institución para que pueda coger de verdad estas formas de trabajo y potenciarlas. Todos nosotros vamos a estar sufriendo una transición muy fuer-te en esa dirección, incluso las instituciones de enseñanza y de

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aprendizaje, y sobre esa parte no ha habido una gran refl exión, no sé muy bien qué pudieran aportarle al sistema educativo las experiencias y la innovación que está trayendo a colación este tipo de instrumentación, en relación con los requerimientos que va a tener el sistema educativo.

Nosotros oímos varias preguntas respecto a las habilida-des que puede perder un estudiante y las que podría ganar. Yo no estoy juzgando la experiencia, estoy diciendo que estamos produciendo una forma de innovación que es muy compleja de armar por la instrumentación que está utilizando, por los re-tos que nos impone la instrumentación.

Hoy tenemos un problema de número que se vuelve cua-lidad, cuando el número nos informa algo que no habíamos teni-do en cuenta, nos dice que hay una cualidad que usted a dejado de tener en cuenta. Ese aspecto de una cobertura real posible; el modelo de colegio está en crisis, no lo hemos aceptado porque es lo único que tenemos ahora, pero está en una crisis que debe ser posiblemente resuelta mediante el uso de unas maneras nue-vas de mediar el conocimiento.

Estas experiencias que han expuesto estarían un poco en esa dirección, y digo sólo un poco porque realmente no sabe-mos cómo va a ser la educación futura, pero hay cosas que le permite decir hacia dónde va a ir, y de pronto todos nos equivo-camos, porque cada vez que se miran las predicciones de hace 50 años, la dinámica de cómo iba a ser el mundo hoy, nada que ver, todos equivocados, pero también esas predicciones hacen

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que las cosas avancen aunque no hacia donde se predijo, por la complejidad del universo y todas esas cosas.

Hay un libro de Antanas Mockus que se llama Represen-tar y disponer, en el que dice una cosa como la siguiente: una época puede distinguirse a partir de probablemente dos hechos cuando cambiamos una época a otra. Dos hechos: uno, cómo se representa el ser, cómo se entiende el ser, y otra, cómo se en-tiende la verdad; y él dice, en este momento el ser se debe estar entendiendo como algo que es posible de ser dispuesto a través de la representaciones, es decir, yo no actúo sobre la cosa sino sobre su representación y luego la hago ser esa cosa, la hago ser como actué sobre la representación, y dice también, y la verdad ya no es sobre el objetivo sino la certeza.

¿Cuál es la idea de verdad?, la de certeza. ¿Qué es certe-za? Es resistirse al embate de la razón. Ahí tendríamos también un problema; es decir, cuando hablamos del diálogo, de la com-prensión, de las discusiones razonables y aceptables, ¿dónde se evalúa lo razonablemente aceptable?

O sea, dar el salto a la difi cultad del modelo de algo que no sabemos como funciona, es complejísimo, o sea, nos some-temos realmente a resistir el embate de la razón y nuestros estu-diantes también. Esa parte yo creo que es muy compleja en este tipo de innovaciones, que tendrían pleno sentido si podemos marchar hacia allá.

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Efecto cascada: una estrategia innovadora para el fomento de la investigación y el

desarrollo de las competencias matemáticas

Conferencista: Gloria Castrillón, Colciencias

y el programa “Ondas” del Valle del Cauca

La referencia que voy a hacer al programa “Ondas”, la quiero presentar en relación con una estrategia que estamos adelantando en la Universidad del Valle, que en este momen-to lidera este programa en el Valle del Cauca, la coordinación departamental está a mi cargo. La propuesta tiene que ver con la estrategia que estamos adelantando: el efecto cascada, una estrategia para el fomento de la investigación y el desarrollo de competencias matemáticas a través del programa “Ondas”.

Este programa fue creado en 2001 por Conciencias, que cuando piensa de una manera distinta o por lo menos en otras opciones para el fomento y el desarrollo de capacidades investi-gativas, decide, con el apoyo académico y de distintas propues-tas, que hay que pensar el desarrollo de esa capacidad con la formación desde la infancia, que hay que tener una mirada hacia los niños, niñas y jóvenes y que por allí hay que empezar, para que no sólo se restrinja a los investigadores y grupos de investi-gación de larga trayectoria.

Los propósitos de este programa son conquistar el interés y la pasión por la ciencia y la tecnología de los niños, niñas y jóvenes de las instituciones educativas. Inicialmente este pro-

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Efecto cascada:

grama se pensó como una estrategia extracurricular, es decir, se pensaba que podría avanzarse sin tener necesariamente apoyo de las instituciones educativas y de los maestros.

Este programa en muy poco tiempo ha logrado tener impacto en todos los departamentos del país y en el distrito capital, ya que hay en este momento 208.258 niños que han pasado por el progra-ma, y se han vinculado más de 5.000 maestros, tutores y asesores.

Cuando se propone que este programa sea coordinado por una institución académica, una institución de educación su-perior; en este caso, la Universidad del Valle, una institución pública, la manera de responder a él es desde las posibilidades académicas de una institución.

Esta propuesta pretende que los desarrollos investigativos, o sea, la capacidad investigativa que tenemos se expanda a través de una estrategia del laboratorio que parte de los desarrollos que están adelantando los grupos de investigación, la incidencia que tienen a través de sus líneas con los seminarios, las tutorías y los proyectos de investigación, a través de los profesores investigadores y los tu-tores en los distintos programas que estamos adelantando: doctora-do, maestría y especialización en educación matemática y a nivel de pregrado las licenciaturas de básica y media en matemáticas.

En este encadenamiento, es esencial la formación per-manente de educadores, que le permitan formarse de manera permanente como intelectual, actualizarse y estar pensando los problemas y los retos que plantea la formación, en este caso la

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educación matemática, en las condiciones tan difíciles en que debe hacerse en nuestro país.

Si hablamos de la formación de educadores esta tiene que tener en cuenta el contexto educativo, los proyectos educativos institucionales y allí propusimos a Colciencias que el proyecto “Ondas” no fuera dirigido sólo a las instituciones de básica y me-dia sino también a las normales, en particular a los ciclos comple-mentarios de formación de maestros para la educación básica.

Ondas sólo contemplaba Ondas ciencias naturales y bien-estar y convivencia, y Ondas ambiental, y nosotros hemos queri-do agregar otros, entre ellos, Ondas matemáticas, y en otras líneas de investigación que han generado discusiones muy importantes, por ejemplo, en Ondas Educación Física, se trabajan problemas como las barras bravas, los problemas de las competencias, los problemas de la relación con el deporte y la vida sana.

Los objetivos que estamos planteando para Ondas mate-máticas son en relación con la construcción del conocimiento, la posibilidad de apoyar el desarrollo de proyectos de investiga-ción en los que la labor del maestro es fundamental, y también el fomento del uso de las matemáticas en relación con otras áreas del conocimiento.

A partir de preguntas que son aparentemente ingenuas, o quizá absurdas, como las que ustedes podrían plantear allí, la idea es que los maestros que también ingresarían en el progra-ma Ondas maestro planteen y den orientación en el marco de

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Efecto cascada:

esas líneas de investigación a las inquietudes que vienen desa-rrollando a través de los proyectos de aula para generar y acom-pañar iniciativas de los niños.

Problemas o preguntas que involucran el análisis de datos numéricos estadísticos ha sido el inicio del trabajo, el manejo de variables en el marco de fenómenos físicos sociales propiamente matemáticos, se empieza a rescatar o a excavar la matematización de estos problemas o preguntas que permitan construir modelos de comportamientos y fenómenos o preguntas relacionadas con los sistemas y estructuras propias de las matemáticas. Allí hay un esquema que plantea cómo se da ese efecto cascada y cómo ingresan los proyectos Ondas en las líneas de investigación.

Este es un proceso en construcción, una estrategia que estamos experimentando, en la que ha sido clave el acompaña-miento de otras estrategias como el laboratorio de matemáticas, específi camente en la experiencia de una de las normales de Cali; allí se ha mostrado que en la medida en que hay esa re-fl exión de parte de los maestros, el trabajo en el laboratorio de matemáticas, acompañado también de formación y de una línea de formación que tenemos en matemáticas recreativas, se ha generado más inquietudes en los estudiantes.

Esta es una estrategia complementaria que no pretende su-plantar el desarrollo curricular en la institución, pero sí lo movi-liza, sí genera nuevas preguntas, sí le plantea al maestro nuevos retos, y es muy probable que nosotros le arrebatemos los niños y jóvenes al facilismo, a la violencia y a muchos problemas.

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Promoción del talento en matemáticas

Conferencista: Estefany Moreno, Programa

de desarrollo del talento matemático, de la Universidad Sergio Arboleda

Tengo 14 años y pertenezco al programa de desarrollo del talento matemático de la Universidad Sergio Arboleda, y tam-bién estudio en el Instituto Alberto Merani, curso el undécimo grado. Voy a hablarles del proyecto “Semicírculo”, de la Univer-sidad Sergio Arboleda.

El objetivo básico del proyecto es desarrollar el talento ma-temático temprano en los niños. Las actividades que desarrolla-mos consisten en que los estudiantes del colegio puedan asistir a las asignaturas de la carrera de matemáticas en la universidad. Se lleva primero a un curso que se llama pretalentos, para pre-parar al estudiante acerca del ambiente que va a encontrar en la universidad, en él los estudiantes tienen unas clases con un profesor, unos seminarios y el profesor elige cuáles entran en la carrera, donde la idea es generar grupos de investigación.

Una parte de la fundamentación del proyecto se rela-ciona con los derechos de los niños, pues muchos dirían que estudiar en el colegio por la mañana y por la tarde en la uni-versidad es violatorio de las garantías de los menores, pero nosotros consultamos un tratado sobre los derechos de los ni-ños y encontramos algunos derechos que muestran que el pro-yecto antes que violar los derechos los está fomentando; pues un derecho fundamental es a la educación y a la recreación,

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Promoción del talento en matemáticas

ese es un derecho que se maneja en casi todo el mundo, pero que en realidad educación no se precisa. Educar es responder o por lo menos darle las herramientas a la persona para que pueda solucionar sus interrogantes. Entonces el proyecto en la Universidad Sergio Arboleda busca crear espacios para que los niños en realidad puedan desarrollar sus potencialidades, sus preguntas y sus inquietudes.

También se fomenta el derecho no ser discriminado, pues se le permite estudiar de acuerdo con sus capacidades en el ambiente más pertinente para ellas. Entonces básicamente con esos derechos se fomenta el libre desarrollo de la personalidad del niño, pues es claro que en cualquier momento si un niño se quiere retirar lo puede hacer, en el proyecto no se presiona para nada, pero sí se maneja cierto grado de responsabilidad, eso le da a uno cierto tipo de madurez intelectual y personal.

Dentro del proyecto hay un grupo de investigación enfo-cado hacia las familias, hacia mirar los elementos que se pueden encontrar en los niños que tienen éxito, pues éste está asociado a factores internos del estudiante como altos niveles de autono-mía, responsabilidad e interés, y a factores externos.

Otro elemento se refi ere a los principales mediadores del estudiante, que básicamente son los padres y la institución edu-cativa a la que pertenece; aquí se ha encontrado que las fami-lias de los estudiantes exitosos son familias muy comprometidas, que siempre están ahí y que entienden cuál es la idea del desa-rrollo del talento.

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Para fi nalizar quisiera terminar con un dato que recoge Julián de Zubiría en unas investigaciones que hace y es acerca de la importancia de fomentar el talento: nueve de cada diez niños con talento pierde su capacidad en menos de dos años si ese talento no es trabajado y si no se le dan las herramientas, así que me parece muy importante entender ese dato para fi nalizar, ya que muestra la importancia de abrir espacios no sólo en ma-temáticas sino en todas las áreas donde los estudiantes puedan desarrollar su potencial, donde puedan resolver sus preguntas.

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El laboratorio de matemáticas

Conferencista: Jorge Arce del Instituto

de investigación y pedagogía de la Universidad del Valle

Dos premisas básicas: Primero, el laboratorio no es un es-pacio físico, es una estrategia pedagógica. Segundo, en matemá-ticas es posible adquirir aprendizajes por vía constructiva, por tanto es clave establecer relaciones dialécticas entre materiales y actividades que permitan generar pensamiento matemático.

Laboratorio corre transversalmente al currículo, es decir que el laboratorio no es un espacio para ir a hacer clases, o sea, que el profesor lleve a sus estudiantes a una clase de matemá-ticas al laboratorio. El laboratorio tiene sus intereses peculiares y corre transversal al currículo, cuando un profesor no va por cuestiones de enfermedad, el laboratorio está disponible para que los chicos vayan y encuentren personas con formación ma-temática, por supuesto, que los encarreten como dicen los chi-cos, en alguna actividad del laboratorio.

Por otro lado, el laboratorio puede expresarse en diferentes dimensiones, puede ser un laboratorio pequeñito en una escuela, puede ser un laboratorio un poco más grande en un colegio de 3.000 o 4.000 estudiantes, puede ser un laboratorio que funcione como una biblioteca municipal también abierta a todo el público, porque esta es una de las características fundamentales que que-remos imprimirle a esta noción de laboratorio, queremos que el laboratorio sea público, que se monte en un colegio, que se mon-

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te en una escuela, pero que los niños del barrio puedan acceder a las actividades del laboratorio, o sea que estamos pensando también en una cadena y en una red de laboratorios.

El laboratorio fundamentalmente en su versión inicial está previendo una serie de mesas, que son los núcleos básicos de funcionamiento del laboratorio; hay mesas de aritmética, de geometría, de estadística y probabilidad, de matemáticas y prensa, de matemáticas y nuevas tecnologías, de juegos; pero en medio de todas esas mesas hay una fundamental, que es el furgón de matemáticas.

Inicialmente con el profesor Daniel Arbeláez, un ingeniero de Universidad del Valle, egresado de la Universidad Nacional, hicimos un propuesta de montar ese laboratorio en un camión, en un furgón, y abrirlo en plazas públicas, recorrer todo el país así como lo hace la NASA con sus furgones a través de Estados Unidos. En ese furgón está la esencia del laboratorio, allí están los investigadores, los profesores universitarios, los profesores de talento, los profesores que han generado ideas, porque ese fur-gón necesita refl exionar e investigar sobre todas las actividades que pone en juego con la comunidad y estas investigaciones dis-tribuirán sus resultados a través de documentos, enlaces a través de computadores, etc., para que retroalimente a la población.

Es muy interesante estas actividades porque no hay ningún condicionamiento, es como la de Maloka, un estilo Maloka, en el que se entra y se encarreta, le garantizamos que se enca-rreta con alguna actividad del laboratorio. Esperamos en estos

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El laboratorio de matemáticas

próximos cinco años, con ayuda de todos ustedes, de todas las regiones del país, tener una base de datos de un millón de acti-vidades disponibles por parte de todas las escuelas a través de la red. Ya nos estamos equipando, ya llegó un primer computador que va a permitir manejar esas bases de datos y de actividades que el furgón empieza a liberar de manera paulatina.

El material manipulativo inicialmente es muy importante para hacer actividades que conlleven un pensamiento matemá-tico, no se necesitan ofi cinas, ni equipamiento, este laboratorio puede ser móvil.

Aquí aceptamos una mirada de un aprendizaje constructi-vo. Seguimos la triada, se monta en una triada materiales mani-pulativos, actividad matemática y con ese par se empuja hacia un pensamiento matemático. Los participantes son autónomos, el chico, el señor, enfrenta los problemas como le dé la gana, los puede terminar, no los puede terminar, puede volver la semana siguiente, hay total autonomía.

No hay una sola actividad matemática que no tenga un trasfondo matemático, no se juega por jugar, se juegan juegos y actividades que tengan un trasfondo matemático identifi cable.

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Encuentro con los números

Conferencista: Nelson Vanegas,

Secretaría de Educación de Medellín

El compromiso de la actual administración de Medellín con la educación es el convencimiento de que ésta es un fac-tor de equidad y que merece la atención no solo del gobierno nacional sino de los gobiernos locales y en particular de la co-munidad. En Medellín hemos ido logrando que el propósito de convertir a Medellín en una ciudad con una buena educación y más adelante en la ciudad con la mejor educación es un propó-sito colectivo que no involucra sólo a los maestros, a las familias, a los estudiantes y a unos actores aislados, sino que es un pro-blema de la comunidad que hay que resolverlo entre todos.

Hace unos tres o cuatro años en la Universidad Nacional de Medellín se elaboró un estudio con 340 estudiantes de inge-niería y ciencias de la Universidad Nacional, primíparos todos que empezaban sus carreras de ingeniería, a los que se les pre-guntaba asuntos elementales para su nivel y las respuestas de la mitad eran altamente preocupantes.

Dado este panorama, la secretaría de educación y la al-caldía se han propuesto intervenir no sólo en cobertura (se han construido diez colegios nuevos que van a crear unos 25.000 nuevos cupos para el próximo año en Medellín), sino que ade-más intervenir en otros factores de calidad, pero no con re-gaños y exigencias sino dando incentivos y produciendo o

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promoviendo la capacitación de los maestros y la promoción de programas que tengan impacto realmente en la comunidad y en los estudiantes.

Eso se hace a todo nivel, incluso en niveles en los que la ley no obliga a la alcaldía de Medellín a intervenir, como el pre-escolar, en el que hay muchas oportunidades, se están hacien-do tareas y labores que corresponden más a Bienestar Familiar, pero que debido a las difi cultades de recursos no se hacen y la administración local lo está haciendo. También en educación superior donde tampoco hay una obligación por parte del go-bierno local, pero en donde se han invertido recursos para la Universidad de Antioquia a fi n de que promueva sus programas de pregrado y mejore la cobertura y calidad; además están dan-do becas a estudiantes para que hagan su pregrado.

Ante esta situación, nos propusimos llevar a cabo varios programas, entre ellos se nos ocurrió el encuentro con los nú-meros, que parte de una convocatoria a los departamentos de matemáticas de las universidades de la ciudad.

Partimos de la detección de problemas y de la alta deser-ción de los estudiantes de la universidad. Uno de los problemas que observamos fue la poca coherencia entre el modo de ver las cosas del profesor de colegio y el de la universidad, un ma-nejo de lenguajes no ortodoxo que no construye. Así que los ob-jetivos que teníamos era acercar a los profesores universitarios a la educación básica y media y establecer unos diálogos que nos permitieran conocer lo que se hace en esas aulas y saber de

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primera mano con los profesores de básica y media y de univer-sidad qué era lo que se necesitaba.

En el primer encuentro con los números allegamos 500 maestros de matemáticas de la ciudad de Medellín, de unos 1.200 que son, y con ellos tuvimos unos talleres divididos en grupos de 20 profesores. Para el segundo encuentro tenemos 400 profesores de primaria vinculados, con los que hemos tenido algún tipo de diálogo y hemos recibido alguna retroalimentación.

Los temas fueron básicamente álgebra, geometría y arit-mética, porque también detectamos problemas muy serios con los números fraccionarios en muchachos que entran en la uni-versidad, eso por no mencionar los problemas de lectoescritura que son otro cuento completamente diferente.

El segundo encuentro con los números que se dedicó es-trictamente a primaria, provino de las encuestas y de las nece-sidades que los profesores del primer encuentro determinaron que eran prioritarias. Lo primero que detectamos es que donde más nos teníamos que concentrar era en esa primera etapa de formación, es decir, en la primaria, así que por eso convocamos a los profesores de primaria, quienes están recibiendo un dis-curso promovido por los mismos profesores que conocen las difi cultades y la realidad que viven todos los días.

El otro gran resultado, el otro gran producto, fue una base de datos completa de profesores de matemáticas, porque las matemáticas en los colegios las dictan todo tipo de profesores,

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no siempre licenciados sino profesionales de muchas áreas o incluso personas que no terminaron ninguna carrera. Eso de al-guna manera signifi ca limitaciones, no es lo mismo cuando en las facultades de educación tienen un muchacho al que lo están formando en una licenciatura y le enseñan el manejo de los blo-ques lógicos o el uso del material para enseñar polinomios, que cuando un ingeniero se va a enseñar en primaria y aunque sabe matemáticas no ha manejado ningún tipo de material didáctico que pueda utilizar o ningún tipo de estrategia metodológica que le permita hacer su labor de modo efi ciente.

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El club de matemáticas, un lugar para hacer matemáticas

Conferencista: Henry Niño,

Liceo Hermano Miguel de La Salle, Bogotá, D.C.

Esta es una experiencia de tipo general que podríamos enmarcarla entre lo que presento la doctora María Losada refe-rente a las olimpiadas matemáticas y lo que presentó el profesor Arce respecto a los laboratorios de matemáticas; existen unas similitudes y unas diferencias entre cada uno de esos trabajos.

Cuando se habla de clubes de matemáticas se hace referen-cia básicamente a cosas que suceden dentro del aula; primero, a las diferencias que existen entre los desarrollos, los ritmos de apren-dizaje y los intereses de cada uno de los estudiantes. Es claro que en la escuela encontramos estudiantes que les gusta la clase de matemáticas y hay muchos otros que no la ven con mucha simpa-tía, así que muchas de las actividades que se programan dentro del colegio son básicamente para lograr que estos estudiantes que no les va muy bien mejoren, pero en términos de los estudiantes que tienen unas inquietudes o intereses por las matemáticas.

Lo otro es la necesidad de promover nuevos espacios en los que los estudiantes puedan desarrollar sus habilidades y no tengan que desertar, porque las cosas que se les enseñan en el aula son muy lentas para el ritmo de aprendizaje que llevan o son demasiado altas para lo que son capaces de hacer.

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El club de matemáticas

Un club de matemáticas es un ámbito para contemplar las matemáticas desde un ángulo que habitualmente no está pre-sente en la práctica escolar, el experimental, el estético, el re-creativo y el cultural; su fi nalidad es brindar una oportunidad de enriquecimiento a un grupo de estudiantes que son capaces de dedicar gran parte de su tiempo libre a trabajar en esta materia, estimulados por la presencia de otros compañeros y por una o varias personas expertas que son las que coordinan básicamen-te las actividades.

Si un club de matemáticas se integra en las organizaciones educativas constituye una forma de desarrollar un currículo dife-renciado, tiene en cuenta la diversidad de intereses y motivacio-nes de los estudiantes, así que de alguna manera lo que se busca con un club de matemáticas es atraer a esos estudiantes que tie-nen habilidades, gustos y destrezas por las matemáticas y sacarlas del aula normal y llevarlos a hacer unas actividades distintas en otro espacio, actividades que el experto o la persona que coor-dina (esa es una de las grandes diferencias con el laboratorio de matemáticas, en el club existe un coordinador, un mediador) es quien diseña las estrategias o las actividades que se deben realizar en el club de matemáticas para desarrollar con los estudiantes.

En un club de matemáticas, a parte del coordinador, pue-den participar estudiantes de una o varias instituciones que deseen, es decir, de grados distintos y niveles diferentes para trabajar en la resolución de problemas a la que está enfocada cada club; uno de los requisitos de la admisión es el deseo de participar.

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Un club de matemáticas es apropiado para desarrollar esas preguntas que hacen ciertos estudiantes y muchas veces incluso para que el maestro encuentre respuestas frente a las matemáticas, que de otra manera no ha tenido la oportunidad de resolver.

El papel del coordinador es establecer un nuevo contrato didáctico, es decir, una nueva relación entre el profesor, el es-tudiante y las matemáticas, entonces allí lo que se hace es que el docente deja de ser el docente y pasa a ser un compañero más que va a dirigir una actividad especial con estudiantes que tengan intereses por las matemáticas.

Las actividades que se realizan en un club de matemáticas persiguen varios objetivos, éstos se formulan dentro de la institu-ción escolar a la que pertenece, por esto pueden variar de acuerdo con la institución, eso quiere decir que cada institución educativa es la que propone lo que quiere hacer con su club de matemá-ticas, cada uno establece cuáles son los objetivos que propone. Una actividad especial que desarrollamos dentro del club, prime-ro, es el desarrollo de matemática elemental con los estudiantes y, por otro lado, el trabajo con algunas teorías matemáticas.

El origen de los clubes de matemáticas se remite a los pita-góricos, aunque podríamos decir que muchas de sus actividades también iban en el orden político y religioso.

Cuando se intenta verifi car cuáles son los clubes que fun-cionan en los ámbitos mundial y nacional, existe muy poca la

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información, debido a que las páginas que se encuentran son de publicidad respecto a lo que hacen los clubes como ta,l pero no se muestran las actividades muy claramente. Nosotros hemos encontrado que en algunas instituciones se desarrollan algunas experiencias muy interesantes, como en el colegio departamen-tal El Triunfo, el Club Pitágoras de la academia Discípulos de Cristo y el club de matemáticas del Instituto de Estudios Peda-gógicos Somos Aguas, de Madrid.

El club de matemáticas lo que busca es precisamente re-unir personas que tengan intereses, habilidades y que busquen espacios distintos a los de las actividades normales, pueden ser jornadas contrarias o días sábado; allí se reúnen con un grupo de estudiantes para desarrollar actividades propuestas no sólo por el coordinador, sino también mediadas por los estudiantes.

Una cosa fundamental es el hecho de que generalmente los clubes de matemáticas se pueden desarrollar en cualquier grado de la educación básica; especialmente los de los cursos menores, pues los de los últimos tienen unos intereses distintos; así que es muy bueno que aprovechen el potencial que se en-cuentra en primaria.

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Preguntas

? Para el programa “Ondas”, hay personas que están in-teresadas en saber cuáles son los benefi cios para la ins-titución, para los profesores, para los estudiantes, de desarrollar un proyecto dentro de este programa y cuá-les serían los requisitos generales para la presentación de un proyecto y dónde puede encontrar mayor infor-mación.

Gloria CastrillónEl fondo que ha constituido Colciencias para el programa

“Ondas” tiene fundamentalmente recursos del SENA y del Ins-tituto Colombiano de Bienestar Familiar, y los administra FES; pero también hay instituciones que han hecho adiciones a este convenio, así como la Secretaría de Educación y el municipio, quiero decir que los recursos que se recogen en este fondo para el programa están destinados a los proyectos, pero éstos con-templan distintas dimensiones; una es la fi nanciación del pro-yecto para los niños, que es pequeña y generalmente se destina para compra de materiales, para refrigerio en las reuniones, para hacer materiales, para hacer videos, para todas las actividades que requieren, porque se espera el apoyo de entidades y otros grupos en la medida en que el proyecto lo requiera.

El otro componente que fi nancia son los asesores, allí les mencionaba que en esta estrategia que estamos construyendo aparecen los tutores de grupos de investigación, profesores que hayan trabajado en las líneas de investigación que están relacio-

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nadas con los proyectos de los niños. Así mismo está el maestro tutor. Hay que decir que aquí hay un gran voluntariado de los maestros porque esto lo hacen por fuera de sus tiempos, aunque lo vinculan a la actividad en el aula, es tiempo que los maestros han decidido aportar al programa, a los trabajos que hacen con la comunidad, al trabajo de campo con los niños.

Igualmente se contempla otro componente de fi nanciación, como son los talleres de sensibilización y de formación para los maestros tutores y asesores y para que los niños compartan las experiencias; esto ha sido bellísimo porque se ha convocado a niños de distintas regiones del país a presentar sus proyectos y ha sido interesante ver cómo desde muy temprano desarrollan capa-cidades de argumentación para defender sus ideas y para mostrar-le a sus pares de otras instituciones lo que están haciendo.

Las mejores experiencias se seleccionan, vienen a Bogo-tá, y obtienen unos incentivos para los estudiantes; además se ponen en contacto con investigadores para conversar y com-partir experiencias.

El benefi cio tiene que ver con el desarrollo de una capaci-dad investigativa en las instituciones educativas; en general, los rectores que se le miden a esta propuesta han puesto mucho de su parte y también aportan recursos, sobre todo cuando quie-ren que no sea sólo un niño de un grupo o una niña que vaya a sustentar el proyecto sino que quieren que todos los niños de todos los grupos asistan a las actividades que se hacen en los ámbitos regional y nacional. De hecho, hay proyectos extraor-

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dinarios que se están haciendo en zona rural, fuera de los que hay en la capital del país.

En ese sentido el benefi cio tiene muchas aristas, y eso tie-ne que ver con las capacidades que se están desarrollando en las instituciones, con la manera como se hace esta apropiación social de la ciencia a través de estos proyectos; pero también el cambio de actitud de los maestros y de los niños. Por eso, nuestro gran reto es la sostenibilidad, cómo lograr que un grupo de investigación y unos niños interesados que quieren seguir continúen. Así que estamos convocando a las secretarías de educación, a los alcaldes, a las entidades de todo tipo, a apoyar este proceso.

¿Como ponerse en contacto con el programa?, sencilla-mente a través de la página de Conciencias; el programa “On-das” está abierto para todas la regiones, en todos los departa-mentos hay un coordinador departamental y en las secretarías de educación se conoce la información. De todas maneras, en la Universidad del Valle, para quienes tengan interés en la expe-riencia que adelantamos, hay una dirección electrónica: [email protected].

? Para la Universidad Sergio Arboleda. ¿Qué transforma-ciones hay que hacer en los maestros y en el currículo para permitir el desarrollo de talentos? ¿Qué tan abierto es el proyecto en el sentido de cómo las regiones o las personas de fuera de Bogotá pueden vincularse?, ¿cómo pueden vincular a sus estudiantes?, ¿es posible que estu-

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diantes que no tengan recursos económicos sufi cientes puedan vincularse?, ¿a qué poblaciones se dirige este programa? ¿Tienen ustedes algunos resultados medidos, por ejemplo, por el Icfes o por las carreras que los estu-diantes estudian? ¿Qué indicios hay o qué información se tiene acerca de los estudiantes que deciden decir no al programa en algún momento?

Estefany MorenoLa labor del maestro de matemáticas es mostrar la ma-

temática aplicada porque de pronto muchos estudiantes la consideran aburrida, porque quizás no le ven las aplicacio-nes. Otro asunto es que el maestro debe presentarse en el mismo nivel, como en los clubes estudiantiles. Uno de los problemas que ven los estudiantes es que el maestro es el que lo sabe todo, el cualquier pregunta la responde, así que se siente muy alejado, por eso la relación maestro y estu-diante, obviamente dentro del respeto, debe ser más cercana, el estudiante debe ver al maestro como una persona que le puede ayudar, que lo puede apoyar en otras áreas de la vida y no como el sabelotodo que me puede transmitir algún tipo de conocimiento.

Con respecto a los estudiantes que se retiran, es un error, pues el proyecto sirve demasiado para la vida, pues en él se aprende matemáticas y conocimiento específi co, pero también se aprende como persona, a desenvolverse, a estructurar sus ideas, se aprende a desarrollar la responsabilidad, a manejar los tiempos, así que las ventajas son muchas.

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Jesús Hernando PérezEl proyecto, infortunadamente no es un proyecto masivo,

porque las capacidades de la universidad son bastante limitadas, o sea, no estaríamos en condiciones de organizar este mismo proyecto para ampliar sensiblemente la cobertura, aunque el proyecto está abierto, es decir, no está dirigido única y exclusiva-mente a estudiantes de colegios especiales, aunque empezamos a trabajar con un grupo del colegio Alberto Merani, y la única que queda es Estefany, porque los demás estudiantes se retira-ron no porque hayan fracasado en el proyecto sino porque por el camino se dieron cuenta de que realmente las cosas que le gustaban no eran las matemáticas; entonces algunos empezaron a intensifi car sus estudios en música, otros en microbiología; así que si por alguna razón el niño o la niña se retira del programa, eso no signifi ca que haya fracasado, todo lo contrario, signifi ca que avanzó en su proceso de formación porque se dio cuenta que la matemática no lo atraía, no le gustaba, o no le apasiona-ba. En ese sentido, los niños y niñas que se han retirado han ga-nado en experiencia de muchas maneras, una muy importante es entender rápidamente cuál va a ser su futuro profesional.

? Se formularon tres preguntas para Jorge Arce, con res-pecto al laboratorio de matemáticas, hay preocupación acerca de cómo se evalúa el impacto del laboratorio en la elaboración del conocimiento matemático debido a que al parecer no hay un seguimiento del desarrollo de las actividades; además. ¿cómo hacer el contacto para llevar el furgón y el laboratorio a las regiones? ¿Hay al-guna refl exión sobre el uso de materiales didácticos?

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Jorge ArceEl laboratorio de matemáticas busca elevar el nivel cultural

matemático de la población, así como las bibliotecas ayudan a elevar el nivel cultural de la población. O sea que el impacto lo mediremos cuando veamos que aparece una ciudadanía que no se deja engañar frente a noticias como las que anotaba la profesora mexicana, frente a situaciones cotidianas relacionadas con compras, transacciones bancarias, cobro de intereses, etc., eso es muy importante para una población, la población tiene que actuar con criterios, con una cultura matemática que le per-mita sobrevivir.

El laboratorio queda en la Escuela Normal Superior Fara-llones de Cali, allí les pueden ofrecen la información requerida.

? ¿Cuál es la continuidad y sostenibilidad del proyecto al margen de que el alcalde sea un matemático, o sea cuando no sea esa la persona que está dirigiendo los destinos de Medellín? ¿En qué medida lo dispuesto en el Decreto 230 infl uye de manera negativa en la calidad de la educación?

Nelson VanegasCon respecto a la sostenibilidad de los proyectos, yo creo

que el asunto es una puesta de comunidad, obviamente hay unas limitaciones legales sobre lo que se puede dejar inverti-do o comprometido de los presupuestos en los próximos años, porque no es viable dejar una cantidad de presupuesto compro-metido de manera que eso fuerce a las próximas administracio-

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nes a seguir esa misma línea de investigaciones. Y desde otro punto de vista, tampoco es sano políticamente. Lo que sí es sano es dejar una comunidad convencida de lo que se invierte en educación vale la pena y de que si otra administración pre-tende quitarlo, lo reclame y lo exija, eso sí lo podemos hacer y esa es la apuesta.

En segundo lugar, sobre el Decreto 230, los problemas que tienen los muchachos que llegan del grado undécimo a la universidad se relacionan con otros problemas estructurales, no sólo con el decreto 230. Los índices, por ejemplo, de pérdida de los cursos de cálculo en los primeros semestres de la univer-sidad no han cambiado de manera drástica por el Decreto 230. De hecho, mantienen prácticamente la misma proporción.

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El portafolio, estrategia de aprendizaje en el área de matemáticas

Expositor: Hernando Moreno Lemus,

Institución educativa Joaquín González Camargo, de Boyacá

La institución es una de las más grandes de Boyacá, tiene 4.620 estudiantes, siete sedes, siete coordinadores académicos y 156 docentes, dentro de los cuales, 24 son matemáticos.

Las matemáticas proporcionan a los estudiantes una serie de ventajas que van desde el razonamiento hasta la experien-cia cotidiana del mismo individuo, esto nos lleva a pensar que el manejo de las competencias matemáticas y de las mismas ciencias matemáticas no sólo sirve para resolver problemas ma-temáticos, sino que a su vez para analizar e interpretar otras ciencias del saber; por eso, la orientación de la matemática debe guiarse hacia que el estudiante conozca lo práctico y funcional de la matemática y adquiera una disciplina para una variedad de conocimientos y planteamientos teóricos; en tal sentido, la matemática está conectada a la vida social, porque permite la resolución de problemas y éste se constituye en un eje vital para el aprendizaje de las matemáticas, ya que a través de ella el es-tudiante no sólo aplica lo que ha aprendido, sino que elabora nuevos conceptos, nuevas situaciones.

En el momento en que se entrega las evaluaciones a los es-tudiantes éstos toman varias actitudes, una es que coge la evalua-

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ción y la guarda o la rompe, si el resultado es malo; si es bueno, entonces es cuestión de fi esta y la lleva a la casa y seguramente pide un premio. En ninguno de los dos casos el estudiante se de-tiene a refl exionar sobre su experiencia, sobre ese resultado.

Los talleres que los estudiantes resuelven se guardan y se vuelven a retomar más adelante, si acaso para mirar el temario de la evaluación, es decir, tampoco existe esa cultura de ir re-troalimentando eso talleres. En muchas partes la matemática se convierte en repetir procesos, mecanizar procesos, no hay una interpretación, no hay una comprensión de ese proceso para que el aprendizaje sea el más adecuado, por eso se hace ne-cesario que se promueva una estrategia didáctica para que los estudiantes aprendan matemáticas sin presión alguna, para que aprendan a resolver problemas con una técnica adecuada que les permita analizar, comprender e interpretar esos mismos re-sultados, lo mismo que esa herramienta permita abrir un espacio para que el estudiante pueda dialogar con sus nuevos conoci-mientos, para mirar lo que aprendió y lo que dejó de aprender.

Por eso, el portafolio es una técnica que le permite al es-tudiante, primero, recopilar sus trabajos de forma ordenada; se-gundo, ese portafolio le va a ayudar al estudiante a que dialo-gué con lo que ha hecho a través de un determinado tiempo; y tercero, esa recopilación cobra vital importancia cuando el estudiante dinamiza el conocimiento.

Como pueden observar, la relación de las competencias matemáticas con el PEI se ha tomado de dos formas: primero,

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El portafolio, estrategia de aprendizaje

el conocimiento está conectado a una vida social, en nuestra misión hay palabras claves para formar valores éticos y morales, posibilitar la facultad de decisión, tomar decisiones creativas, afectivas y con un sentido de investigación. El portafolio nos ayuda a hacer una investigación pedagógica.

Con una visión que está a la vanguardia educativa y que su-pere todas las expectativas estudiantiles, tenemos el objetivo de utilizar el portafolio de aprendizaje como un eje alrededor del cual se planea, se organiza y se ejecutan las actividades de enseñanza.

En primer lugar, se establecen los conocimientos previos que tienen los estudiantes, y para ello aplicamos la técnica Ese-cua, que determina que sé, qué quiero saber y qué aprendí. Después de obtener ese diagnóstico de lo que los estudiantes saben, el segundo paso es hacer un mapa de ideas. Se buscan los ejemplos adecuados para que se apliquen a ciencias sociales, lenguaje, ciencias naturales y educación física; en esta primera etapa ya se ha socializado qué saben los estudiantes y se hacen las indicaciones para que vayan a consultar o se les entrega la guía que debe ser desarrollada en la casa. En la clase siguien-te el estudiante llega a preguntar sobre las dudas que tiene, él depende de sí mismo y de sus compañeros, en este momento el profesor deja de ser el dueño del saber y se convierte en esa persona que media entre el conocimiento y el estudiante,

Una segunda fase es cuando el estudiante empieza a tra-bajar, a sacar dudas, entonces se profundiza en los temas, se hace una evaluación que tiene cuatro fases fundamentales: la

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autoevaluación, que es del estudiante; la coevaluación, que él hace con los compañeros de grupo; la heteroevaluación, que es la que hace con el profesor; y la autorregulación, que el docente toma en el momento en que dialoga con el muchacho, ahí se miran las defi ciencias o lo que debe mejorar y se sigue trabajando en el siguiente periodo.

En una tercera estación, se verifi ca que muchacho mejore esos conceptos matemáticos, sin perder la noción de lo riguroso que era la asignatura de matemáticas. ¿Como se hace seguimien-to? el muchacho al fi nalizar cada periodo se reúne con el profe-sor; se tiene una reunión con los estudiantes destacados, y a ellos se les delega funciones, como que sirva fi ltro en el desarrollo de guías y de talleres, y de las evaluaciones realizadas durante todo el periodo, acompañadas de realimentación, es decir, el mucha-cho debe haber corregido sus evaluaciones junto a esas notas.

La autoevaluación y la presentación de portafolios son in-dicadores de logros; si el estudiante no presenta los portafolios no tiene nota; cuando se inicio este proceso, se perdían los por-tafolios, las evaluaciones, así que tenía que presentarlas otra, ahora el muchacho coge su evaluación y va al portafolio.

Al comienzo fue duro implantar el portafolio, pero a la medida que el estudiante avanza se va adaptando a esos cambios, aprende hábitos para organizar sus trabajos. En todos los niveles (primaria, secundaria y universidad) existe una evi-dente difi cultad en los procesos lectoescriturales, así que con el portafolio estamos superando esas carencias que tiene el

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muchacho, de una u otra forma lo estamos haciendo porque tiene que escribir.

Dentro del marco teórico tenemos un trabajo signifi cati-vo, como es que construir el portafolio para el muchacho debe ser muy signifi cativo, debe surgir un aprendizaje colaborativo, pues tenemos la colaboración de los padres de familia y de los mismos estudiantes. La teoría de error se mira como una oportunidad de aprendizaje. Se ponen en marcha las teorías de la motivación, las habilidades comunicativas, las habilidades de pensamiento como la clasifi cación, la comparación, la deduc-ción, la inducción, entre otras muchas; las habilidades persona-les y lógicamente su avance conceptual.

Los retos son seguir avanzando en esta construcción del portafolio y socializarlo con la mayoría de los estudiantes.

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Preguntas

? ¿Lo único que se transforma es la manera como se evalúa? Porque de alguna manera se podría tener un portafolio desde una mira tradicional y eso no estaría dando cuenta de una transformación pedagógica en términos de lo que se está debatiendo en estos días en el foro, respecto a una nueva concepción del aprendizaje y una nueva concep-ción de matemáticas. ¿Cómo hace el docente para hacer una revisión juiciosa de todos esos portafolios con la gran cantidad de actividades y guías que se suponen que se lle-van ahí? ¿Cómo hace usted para evitar que algunos estu-diantes copien las respuestas correctas de sus compañeros y las pasen como suyas? ¿Cómo hace usted para identifi -car de una manera acertada que ese proceso realmente lo esta viviendo el estudiante?

Estamos abordando las competencias matemáticas, pero éstas no las puedo desligar de las competencias comunicativas, ni de las socioafectivas.

Si usted es mediador hay un trabajo colaborativo con los estudiantes, por lo tanto, nos se trata de encontrar dos o tres portafolios con las mismas respuestas, porque para eso es tra-bajo en equipo, si tenemos en la guía 10 o 20 preguntas, lo pri-mero que se le dice al estudiante es que distribuya el trabajo, y empiece a mirar la red que va a formar con otros cuatro o cinco estudiantes. Además se cuenta con cinco o seis estudiantes que

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sirven de fi ltro, es decir, son el apoyo para el docente, de lo con-trario es imposible revisar esos trabajos.

? ¿Qué pasa con los colegas de la institución y con los estudiantes que se salen de esos mapas? ¿Cómo se ma-neja bajo ese portafolio el aspecto de signifi cación de la matemática?, ¿cómo se mide, se ve, se controla, se hace un seguimiento de los estudiantes en el proceso de con-ceptualización, aplicación y utilización de los conceptos matemáticos que se mueven en la institución? ¿Qué pasa con aquellos niños que, por ejemplo, tienen problemas o no tienen el padre de familia que lo acompañe en casa para completar portafolio? ¿Qué pasa con el estudiante que tiene un nivel distinto?, ¿que queda segregado por parte del portafolio?

El profesor de memorización no quiere cambiar su méto-do, el profesor moderno aprende practicando, y así sucede en nuestro colegio, hay de unos y otros.

El estudiante brillante se convierte en un profesor chiquito, y no es opacado por parte del profesor.

Roberto JiménezEsta es una técnica importante que nos tiene que hacer pen-

sar a todos los profesores en ella como una técnica complemen-taria a otros elementos de evaluación, aunque me gustaría que realmente fuera el elemento de evaluación porque en el fondo está el trabajo, en el portafolio está todo lo que se ha hecho.

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Magnitudes de área y de perímetro vistas desde el tangram chino

Expositora: Luz Adriana Cadavid Muñoz,

Institución educativa El Altillo, de Barbosa (Antioquia)

Primero que todo, le agradecemos a la Agencia de Coope-ración Internacional de Japón (JICA).

Mi institución pertenece al sector rural de Barbosa, en el departamento de Antioquia. Nuestra exposición es una clase demostrativa para séptimo grado acerca de la estrategia pedagógica que surge a partir de las enseñanzas que tuvimos como becarios en Japón hace un año. En este momento hay 13 profesores becarios en Japón: ocho de ciencias naturales y cinco de matemáticas.

Hace un año, antes de irnos a Japón, vimos que había un abandono del estudio de la geometría y la medición en las aulas de clase, no sólo en el contexto colombiano, sino en el internacional.

Elegimos el área y el perímetro de fi guras planas, dos con-ceptos confusos para los estudiantes, así que en el curso de me-joramiento en Japón nuestra mirada estaba muy enfocada a lo que los profesores nos pudieran ayudar en este sentido, y sí fue una gran ayuda, allí nos apoyaron y nos ayudaron a limitar un plan de acción, que luego debemos aplicar en la institución.

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Magnitudes de área y de perímetro vistas desde el tangram

El PEI se ha visto fortalecido al potencializar el trabajo entre pares, el plan articulado y los procesos de comprensión y evaluación.

La clase demostrativa no es sólo un momento, es un proce-so de estudio y debe estar ligado a un proceso, a una unidad di-dáctica, a estándares involucrados, para relacionar las áreas y los perímetros vistos desde el tangram chino; para resolver y formular problemas que involucren semejanza y congruencia mediante re-presentaciones visuales; para resolver y formular problemas con modelos geométricos; para calcular áreas y volúmenes a través de la composición y descomposición de fi guras planas.

Hay dos objetivos muy puntuales con respecto al objeto matemático, en este caso las áreas y los perímetros, mediante la estrategia metodológica de utilización de las piezas del Tangram chino: primero, determinar relaciones entre los conceptos mé-tricos de área y perímetro, para llegar a conclusiones acerca de la conservación de las magnitudes a través de procesos de ma-nipulación, manejo de magnitudes, de semejanzas y congruen-cias y movimiento de fi guras en el plano; y segundo, realizar observaciones conjuntas de una clase demostrativas para obte-ner conclusiones objetivas que permitan mejorar la propuesta didáctica y proyectarla a clases futuras.

El principal objetivo de la clase demostrativa es el mejora-miento del maestro cuando se vea refl ejado en el proceso en el que interviene con los alumnos. Por medio de la clase demos-trativa se pretende mejorar las prácticas pedagógicas a partir

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de la planeación, la ejecución y la observación de un número pequeño de clases, que sirven como material de investigación en torno a las reacciones y respuestas que los estudiantes dan a las estrategias y planteamientos propuestos.

La clase demostrativa es un proceso que se ha venido pre-parando y que tiene una planeación muy rigurosa; es planear la clase con un análisis a priori de la situación didáctica.

En el proceso se desarrolla una clase demostrativa con ni-ños y unos observadores que son un grupo de estudio de la institución; de hecho, la clase demostrativa no se prepara de manera individual, hay un grupo de trabajo que se une volun-tariamente y que se conforma en la institución como grupo de estudio, hay una observadores expertos, asesores de la Univer-sidad de Antioquia, y quienes han visto el proceso de la clase. Cada alumno tiene su tangram, una guía de trabajo en la que el estudiante puede consignar sus hallazgos y carteles para la pre-sentación de la clase.

Hacer evaluación con un análisis a posteriori es lo más importante, y elaborar un registro del estudio de la clase, que sirva después para proyectar, para ampliar la experiencia, por-que en el caso del área y el perímetro no se resuelve con la sola utilización del tangram, hay otros tratamientos que deben abordarse; de hecho, los observadores hacen muchas sugeren-cias al respecto, hay material bibliográfi co, audiovisuales, juegos de tangram, talleres impresos y lo más importante, no sólo nos contentamos con que estén los expertos sino que nosotros tene-

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Magnitudes de área y de perímetro vistas desde el tangram

mos una red de becarios de Colombia aprende y Jica, que de manera muy comprometida compartimos nuestras experiencias para fortalecer este trabajo.

Hay un seguimiento por parte de Jica y de la Universidad del Valle, el grupo de becarios también hace un seguimiento mediante unos foros y unas reuniones de discusión.

Se ha llevado un registro completo de la experiencia, en el que se evidencia la complejidad de la enseñanza de los conceptos de área y perímetro en fi guras planas; de hecho, como muchos trabajamos de estos mismos conceptos nos debemos reunir para tratar de llegar a cosas que encontramos en el trabajo, hay una asesoría directa de las instituciones de educación superior.

Se han conformado grupos de estudio de clase demos-trativa y se han encontrado niños altamente motivados con la experiencia.

Nos surgen muchas inquietudes respecto al tipo de situa-ciones que se deben diseñar desde la primaria para establecer la comprensión de los conceptos de área y perímetro, a cómo y cuándo proyectar la estrategia de clase demostrativa en los ám-bitos municipal y departamental; y cómo involucrar más maes-tros de secundaria en el trabajo.

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Aula abierta y clase demostrativa, una alternativa para generar educación

matemática de calidad enfocada a la clase demostrativa del triángulo

Expositor: Richard Calvache Luna,

Normal Superior de Pasto

El origen de la experiencia es la intención de propiciar aprendizajes desde lo manipulable y lo experimentable; así que nos preguntamos: ¿Cómo generar comunidad académica en la institución educativa Normal Superior de Pasto? ¿En nuestras clases corrientes sí desarrollamos procesos de pensamiento?

Los objetivos generales fueron poner en marcha en el área de matemáticas la estrategia de la clase demostrativa y de esta manera generar impacto en la institución a través de esas dos estrategias metodológicas alrededor del desarrollo del pensamiento geométrico y métrico inicialmente, y luego, extrapolarlo a los demás pensamientos. Esto hizo que gozá-ramos de un plan institucional que pretende abordar la ma-temática movilizando procesos de pensamiento en los que el aula abierta y la clase demostrativa son estrategias metodoló-gicas potencialmente efectivas para generar clases de calidad y que puedan ser adaptadas para mejorar la enseñanza de un área específi ca.

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Aula abierta y clase demostrativa

La clase demostrativa es diseñar una situación que lleve a generar procesos de pensamiento y que esté ligada a los estándares del área; en ese sentido, la idea es observar al profesor que aborda un problema específi co, pero con su equipo de docentes del área y con el apoyo de un experto invitado. En educación matemática podemos resumir tres etapas básicas: una planeación exhaustiva y minuciosa de esta clase, una ejecución y un análisis evolutivo de los resultados, que en este caso tuvo como tema el triángulo.

Eso permitió diseñar un plan de clase, en el que el están-dar dado es clasifi car polígonos en relación con sus propiedades, fundamentar la idea de un triángulo como parte de un plano li-mitado por una línea poligonal cerrada de tres lados, estudiar la condición de tres segmentos de recta para que exista triángulo, identifi car los elementos presentes en un triángulo (lados, ángu-los y vértices) para tratar de llegar a la simbología adecuada y clasifi car los triángulos según la medida de los lados.

Los materiales utilizados fueron la cartelera, la manipula-ción de líneas poligonales, los palillos de colores, los triángulos recortados en cada clase y los rompecabezas. El desarrollo de la clase cuenta con el apoyo de cámaras que hacen el registro respectivo; así que siguen las actitudes del maestro, el registro de sus formas del lenguaje, la forma como aborda la pregunta de un estudiante, etc. Una segunda cámara enfoca al grupo de estudiantes que tiene problemas de comprensión.

Una tercera cámara enfoca a un alumno que previamente se designa, esa cámara es muy importante porque hay chicos

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que empiezan a generar otras propuestas a partir de lo que el maestro está tratando de mostrar en su clase. El auditorio con el que se cuenta en esta experiencia son dos docentes de matemá-ticas de la institución, de las dos jornadas y el ciclo complemen-tario; maestros invitados de escuelas y colegios de la región; el rector, que fue mi profesor de matemáticas; los coordinadores, el pedagógico del ciclo complementario extensión de adultos y el coordinador académico; y el experto en educación matemá-tica, procedente de la Universidad del Valle.

Se tuvo en cuenta la autoevaluación del docente que dic-ta la clase, cada uno determina los alcances que tuvo, que quiso inculcar pero que no logró. Luego, el equipo que diseñó su clase hace su autoevaluación y los observadores, a partir de unos pro-tocolos de clase, hacen la evaluación respectiva. El registro del video de la clase demostrativa y la sesión de evaluación permi-tieron analizar a profundidad los alcances de nuestra clase.

La presencia de observadores generó un ambiente artifi -cial diferente a las clases usuales, aunque los videos editados se convierten en documentos para revisar con los estudian-tes del ciclo complementario y también para nosotros como docentes. Por otra parte, logramos socializar la experiencia con varios colectivos de la Normal de Pasto, y ya hubo unos compromisos del colectivo de matemáticas para llevar a cabo una segunda clase demostrativa, con base en el video, los formatos del plan de clase, la revisión de resultados, el docu-mento de la sección de evaluación y el informe de evaluación del experto invitado.

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Los retos son institucionalizar en el área de matemáticas aulas y clases demostrativas y hacer una extensión a los de-más colectivos; y adaptar un aula abierta en la clase demostra-tiva como una política institucional en el proceso de formación. En este momento, se hace un estudio para ver la viabilidad de adoptar estas estrategias, con el fi n de generar refl exión acadé-mica en docentes y estudiantes del ciclo complementario sobre la importancia de discutir a profundidad un momento de nues-tra práctica docente.

Como profesionales que somos debemos determinar si en realidad podemos hacer que un estudiante aprenda, pues si con una clase tan elaborada como es la clase demostrativa tuvimos una serie de errores y limitantes conceptuales, qué podemos decir de las clases corrientes, en las que no nos esmeramos ni tampoco la planeamos tanto. Como una refl exión académica sobre la práctica pedagógica cotidiana este ejercicio implica el desarrollo de procesos de investigación grupales, cuyo fruto hay que difundirlo, y una buena forma son estas dos estrategias aula abierta y clase demostrativa.

CARLOS MONTEALEGRE - Comentarista expertoEn primer lugar, quiero destacar que se trata de una expe-

riencia de intercambio cultural, y eso crea unos contextos bien particulares y nos conduce en esencia a lo que hoy se conoce como las aulas de clase multiculturales. El intercambio cultural nos posibilita el entendimiento de un aula multicultural, la pre-sencia de múltiples culturas en ella y, por tanto, un comienzo con lo que es una negociación de signifi cación, una construc-

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ción de sentido para las prácticas que se desarrollan allí y, por ende, una aceptación del otro, el reconocimiento de distintos puntos de vista frente a lo desarrollado y frente a la actividad matemática a pensar en el aula.

El énfasis en lo geométrico es importante, allí es donde se hace más evidente la ruptura desde la historicidad de la matemática misma y muestra cómo la geometría ha hecho parte importante de la construcción de los conceptos ma-temáticos, que se presencia en la historia matemática de las culturas babilónicas, de los egipcios, de los griegos, de los árabes, del Renacimiento y ,en la actualidad, es más que un sistema de representación, es parte intrínseca de la actividad matemática misma.

Con la integración de las nuevas tecnologías, se ha apro-vechado una actividad demostrativa para rescatar esa parte tan importante en la actualidad; son experiencias que en el ámbito multicultural posibilitan una mirada de la geometría desde una concepción distinta de las matemáticas y que incluye una pers-pectiva más intuitiva que debe trascender posteriormente como manifestación fi nal.

El intercambio cultural es la posibilidad que se abre a las comunidades de práctica que están allí o comunidades epis-temodidácticas de la matemática, porque se piensa el aula de clases de matemática como un espacio de puertas abierta a la comunidad de educadores, especialistas, estudiantes, en donde hay una construcción de signifi cados y una puesta común para

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alcanzar consensos y disensos para lograr acuerdos fundamen-tales en los cuales trabajar.

Estos próximos años de experiencia y de trasegar en la ac-tividad de la clase demostrativa y en el aula abierta, conllevarán la comunicación, el reconocimiento, la interculturalidad y todo ello hace pensar en la necesidad de una mayor integración en el contexto propio de las matemáticas y de los pensamientos, es decir, lo geométrico no es sólo geométrico sino que también integra los pensamientos propuestos en los lineamientos curri-culares y que, de manera permanente, asociamos a las compe-tencias matemáticas.

Desde las prácticas, indudablemente es un proceso en el que hay una validación permanente del quehacer pedagógico, es una validación permanente, una especie de espiral autorre-fl exivo de la teoría crítica del reconocimiento; pero el reto está también en ser válido para la estructura de conocimientos del estudiante, para que se cree unos procesos en los que esa va-lidación se otorga también en un ambiente sujetivo entre es-tudiantes, que son en últimas los que logran determinar si en efecto han avanzado conceptualmente y han evolucionado los objetos matemáticos culturales con los que llegan a la institu-ción escolar.

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Mentes brillantes

Expositora: Gloria Bibiana Badillo,

Institución educativa Alfonso López Pumarejo, de Cartago, Valle

La experiencia que voy a compartir es muy sencilla, son cosas cotidianas aplicadas en favor del aprendizaje de las ma-temáticas. Este proyecto inició como una simple evaluación co-lectiva tipo Icfes, pero fue generando en su desarrollo muchas cosas, fue creciendo. Pretendía en sus comienzos hacer que el estudiante se preocupara por estudiar un poco más matemáticas, que encontrara en los premios de esa prueba un estímulo, que se sacara un poquito esa idea de que la matemática es siempre esa materia aburrida y difícil de comprender.

El proyecto se llamo “Mentes brillantes” porque lo que buscaba era llamar la atención, algo que en realidad les causara inquietud, hacer que todos esos muchachos se dieran cuenta que son mentes brillantes y que depende de cada uno encontrar su interruptor.

En mi experiencia docente con los primeros cursos de pri-maria casi siempre encontré diferencias abismales entre el niño de primaria y el adolescente en bachillerato; la prevención con el nuevo conocimiento, la apatía, el temor al fracaso son cosas que no están tan presentes en primaria. Esto me dejo con la inquietud de buscar la manera de hacer que estos adolescentes se compor-taran de forma similar a los niños, porque igual seguían siéndolo.

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Mentes brillantes

Un ambiente de confi anza es primordial, hace que haya buena comunicación, conocer la realidad de la mayoría, saber de dónde viene, con quién vive, cuál es su rollo, hasta hacerle sentir que me interesa lo que a él le pasa, que yo siento lo que él, que él pueda confi ar en mí. La creatividad tiene que ver mu-cho con la lúdica, porque los juegos no los desarrollo yo. Las actividades curiosas las vivo pescando para hacerlas en mis cla-ses, y procurar que los estudiantes estén contentos en la clase.

Yo defi endo mucho el concepto, hay que saber qué son las cosas para poder trabajar con ellas. También desarrollar ejemplos y talleres cortos, para que los pueda resolver con ellos, pues yo les pongo un taller y nunca se les queda un ejercicio sin que lo rec-tifi quemos, porque de ahí es que los voy a evaluar, y ellos tienen que tener un buen material de evaluación con las correcciones.

Las actividades lúdicas nunca las hago sola, las planeo, las organizo, los comprometo con ellas, no son mías son de ellos y ellos lo saben. Entre las actividades lúdicas más relevantes que hemos hecho están la recta numérica gigante, es una recta que va hasta 20 y -20 por ambos lados, son dos lados: uno con puntos amarillos y otro con puntos rojos, los positivos y los ne-gativos; los estudiantes tiran los dados, sacan la cuenta y corren hacia el lado que les corresponda, y lo hacen siempre y cuando respondan una pregunta que tiene que ver con el tema que es-tamos viendo.

Tenemos el festival que es lo mejor que hemos hecho; los muchachos llevan un problema, el que ellos escojan, y lo

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representamos en maqueta; ellos lo montan, hacen cartelera, y le explican al resto del colegio el problema. También tenemos la yincana matemática, que se lleva a cabo en los paseos, se relaciona con las gafas matemáticas, buscar a dónde vamos a pasear situaciones matemáticas, es un circuito de observación común, son juegos tradicionales aplicados a la matemática.

La prueba en sí consta de dos partes, una teórica y una práctica, la teórica se refi ere a los conceptos, la práctica son ejercicios y problemas de lo mismo que han aprendido a hacer. El desarrollo de la prueba se les explica, hay que concertar con ellos las condiciones antes de hacer la evaluación para evitar problemas posteriores.

Las salidas de campo requieren un trabajo de organiza-ción. Tenemos el reto de la experiencia, yo lo quiero leer por-que me parece bonito: “Despertar cada vez más esas mentes brillantes que moran bajo la sombra de las perversas ideas pre-concebidas que han quitado la honra a la más hermosa de las ciencias que ha podido concebir el hombre pensante, y poder dejar así sea un trocito de este legado a esta nueva y un poco confundida generación”.

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Mentes brillantes

Preguntas

? ¿Usted ha logrado que sus estudiantes prefi eran apren-der la matemática que evitarla?

Si señor, esa pregunta la puedo responder con una experiencia muy linda que jamás creí que iba a suceder. Con la recta numérica hacemos unas semifi nales en cada grupo, resulta que los muchachos de un noveno debían estar en su semifi nal y los del otro en educación física, pero resulta que todos se fueron para el salón a ver la semifi nal del primer noveno, el salón se llenó, prefi rieron estar en matemáticas que estar en educación física, eso para mí fue un gran logro.

? ¿Qué evidencias tiene de que esas actividades han desa-rrollado competencias matemáticas?

Si lo que buscamos es evidencias físicas, ya están aquí plasmadas en el papel, podemos decir que los resultados de los años anteriores comparados con los de este son muy diferentes; los muchachos que se quedan son muy poquitos, ya no se hacen actividades de recuperación, ellos siempre encuentran la forma de ganar matemáticas, eso para mí es una evidencia de que es-tán aprendiendo, que se están dedicando a la matemática.

? ¿Por qué se separa lo teórico de lo práctico en el proceso de enseñanza que sigue usted?

Lo teórico y lo práctico son como dos piernas que cami-nan juntas, van para la misma parte, pero nunca se encuentran.

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La parte teórica a veces se hace como clase magistral para mirar, defi nir y estudiar los conceptos; a veces lo hacemos con un cen-tro matemático, con competencias, con un problema, y vemos quién lo resuelve antes, también armamos rompecabezas; pero esa parte de la teoría es muy similar a la forma como lo hacemos todos, no es una metodología novedosa, simplemente activida-des atractivas para los muchachos.

? ¿Cómo se relaciona el proyecto con otras áreas y cómo ha logrado que otros maestros se interesen por darle va-lor a las actividades que realiza?

Gracias a la lúdica sobre todo podemos desarrollar en esas actividades competencias básicas de comunicación; las biofísicas, por ejemplo, que muchas veces dejamos de lado, que son la parte del manejo del cuerpo; la comunicación se nota por ejemplo en el festival, cuando el muchacho le explica a los otros su problema; la parte estética cuando hacen la car-telera y la maqueta.

? ¿Cómo resuelve el problema de los estudiantes que no se vinculan directamente a las actividades, que no le dan la seriedad sufi ciente sino que aprovechan estos espa-cios lúdicos para el desorden y la indisciplina?

Yo tengo un grupo hasta de 60 estudiantes, así que eso es un trabajo de años con los grupos; por ejemplo, tengo séptimo y oc-tavo y ahora me ocupé de ellos en noveno, así que ya han cogido el ritmo de trabajo. Al principio era horrible, después de la primera

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Mentes brillantes

prueba de mentes brillantes llegue a mi casa muerta, por el desor-den no sólo los niños sino también los compañeros profesores, y después, no les puedo decir exactamente cuando, una vez hicimos una prueba y ellos mismos armaron las fi las, se organizaron, se sen-taron, así que supongo que es meterles el compromiso y que sepa que la actividad no es mía sino de él, y que si sale bien o mal es él quien va a quedar bien o mal, aunque sepamos que eso no es así, pero al muchacho hay que venderle esa idea.

? En la política de calidad o en el ciclo de calidad se formulan unos estándares, luego se hacen unas evaluaciones externas o se aplica un tipo de pruebas, y posteriormente se construyen planes de mejoramiento para las instituciones educativas. En-tonces, ¿cómo es la relación que hay entre esa política de cali-dad, que es una política general externa al aula, y tu desempe-ño en el aula? ¿Cómo lo tomas dentro del ciclo de calidad de las instituciones educativas? ¿A través de la metodología que utiliza podría pensar en evaluar con los estándares de calidad que se plantean en el Ministerio de Educación?

“Mentes brillantes” se acomodó a los planes de estudio, pero al siguiente año el plan de estudio se acomodó al pro-yecto; hay un plan de aula en el que tenemos en cuenta los estándares, las competencias y todo eso; hay una cosa que hago al iniciar cada periodo, le entrego a los niños copia de lo que vamos a hacer en el periodo, para que ellos sepan cómo vamos, dónde vamos, qué deben alcanzar y obviamente ese plan de aula está totalmente de acuerdo con los estándares de las competencias.

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¿Cómo lo evaluamos?, es un tema bien espinoso, nosotros procedemos así: 50% de la nota del periodo está representada por la actividad del estudiante en clase, por sus trabajos, por su participación en los juegos, en los talleres; el otro 50%, la otra mitad de la nota, se la dejamos a “Mentes brillantes”. A los puntajes más bajos les hacemos unos talleres de refuerzo, a ve-ces eso suena a castigo, pero con eso vamos mejorando lo que queremos conseguir.

? ¿Cuál es la estrategia fundamental de “Mentes brillan-tes” para lograr que no sea activismo y realmente se convierta en una estrategia para la apropiación de con-ceptos?

Las actividades lúdicas en grande las hacemos al fi nal del periodo, hacemos cuatro en el año y no se hacen para construir el conocimiento sino como una forma de afi anzarlo, de ayudarle al muchacho a repasar, es decir, colaborarle a hacer lo que debe hacer en la casa sentado, aburrido y entendiendo algunas cosas y otras no, eso lo hacemos en el colegio, el repaso lo hacemos en el colegio mediante juegos.

MARIO ENRIQUE ALONSO - Comentarista ExpertoEn esta experiencia resulta muy agradable verifi car la im-

plicación de la docente en el aprendizaje de sus estudiantes. El educador que no se sienta implicado en el aprendizaje de los estudiantes no puede alcanzar resultados satisfactorios ni en su actividad interna, ni en la actividad que va a mostrar externa-mente con los estudiantes.

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Mentes brillantes

Un segundo elemento muy importante es amar la matemática y tratar de transmitir ese amor es algo muy difícil, pero que posibilita que los jóvenes se motiven en el estudio de nuestra ciencia; hay que implicarlos en el dominio de los conceptos y quizás previamente al dominio de los conceptos puramente matemáticos, establecer la co-nexión entre la vida del joven y los conceptos matemáticos.

Hablamos de teoría y práctica, sabemos que podemos di-vidir estas categorías para su estudio, pero la realidad es que están unidas, no se separan, porque no hay práctica sin teoría, ni teoría sin práctica, una antecede a otra o viceversa; en el caso de la enseñanza de las matemáticas es imprescindible la teoría y la práctica, no podemos aislarlas, quizás sí para su estudio, pero no para la materialización.

Pienso que la relación de las matemáticas con otras ciencias es imprescindible, no se puede estudiar matemática tener un ele-vado nivel de comprensión contextual, es decir, la lengua materna nos tiene que dar la posibilidad de interpretar los conceptos mate-máticos y hacer la conjugación de los códigos matemáticos que se interrelacionan con el lenguaje natural, coloquial, ese que utiliza-mos para intercambiar y comunicarnos todos los días; por lo tanto, tenemos que hacer una interrelación inteligente de códigos propios de la ciencia, para saber interpretarlos y contextualizarlos.

El otro aspecto importante es la evaluación cualitativa, que se haga acumulando resultados y en un momento determinado, eso me parece fundamental, pues tenemos que evaluar el pro-ceso completo.

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Matemáticas en acción y proyección

Expositora: Ángela Duarte,

Institución educativa San Vicente de Buenaventura

Inicialmente este proyecto se empieza a trabajar desde grado sexto hasta undécimo, donde sentimos que hubo mayor aceptación por parte de las alumnas destacadas. Tenemos como objetivo principal que las estudiantes a través del trabajo social puedan mejorar su desempeño y al mismo tiempo integrar un grupo más grande de destacados estudiantes en matemáticas.

Consideramos que manejar muy bien los conjuntos de los números enteros y racionales, resolver situaciones problémicas y desarrollar pensamiento métrico eran elementos básicos para trabajar. La actividad principal que genera nuestra experiencia es la creación del Club matemático vicentino, que está confor-mado por estudiantes destacadas; a nivel de cada curso se se-leccionan las estudiantes que se distinguen en las matemáticas, y se organiza un grupo de todo el colegio, son 161 niñas, y la función principal de este club es ayudar a que el desempeño de las estudiantes que tengan insufi ciencias mejore.

El trabajo hay que hacerlo en la clase de matemáticas a diario y mediante grupos. Buenaventura cuenta hoy con una gran diversidad étnica y cultural. El departamento de Antioquia hace mucha presencia en Buenaventura, la Costa Pacífi ca tam-bién y tenemos también la etnia indígena. Así que hemos que-rido a través de la clase de matemáticas formar grupos multiét-

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nicos que nos permitan esa socialización que debe existir entre las estudiantes y esa aceptación por el otro en el momento de trabajar en la clase de matemáticas.

Cuando la clase está a punto de terminar se organiza el grupo de trabajo, que no puede estar integrado por estudian-tes que tengan una misma identidad, debe ser diversifi cado de manera que se logre rescatar de cada uno sus difi cultades y a su vez mostrar sus experiencias para mejorar el trabajo de la clase.

Complementariamente hay algunos trabajos que se desa-rrollan en extraclase. Inicialmente, encontramos como difi cultad la desmotivación de algunas estudiantes porque no querían inte-grar grupos no multiétnicos y multiculturales para enriquecerse. De todas maneras, uno de los logros que hemos alcanzado es que ya pudimos organizar ese tipo de grupos. Otra difi cultad, como siempre y pese a la colaboración de la institución, es la falta de recursos.

Cualquier tipo de proyecto que tenga que ver con las competencias matemáticas implica abordar algún aspecto, así que quisimos trabajar básicamente en cómo se potencializan las capacidades de un estudiante para manejar situaciones problé-micas desde su identidad cultural y étnica.

La comunicación es un elemento básico, porque la estu-diante que tiene insufi ciencias puede comunicarse con la alum-na destacada; además de lograrse un diálogo, se alcanza un

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grado de motivación para que la niña adquiera un poco más de confi anza dentro de la clase de matemáticas.

¿Por qué nosotros consideramos de las competencias ciu-dadanas eran un elemento importante dentro de este proyecto? Porque en una clase de matemáticas se genera todo este tipo de confl ictos, como que se profundiza el abismo entre las estu-diantes que son muy destacadas y las que son insufi cientes; no se genera un ambiente de buena relación y hay mucha compe-tencia por parte de las más destacadas y poca colaboración a las que no entendían. Así que ese es un elemento básico trabajado dentro del objetivo de este proyecto.

Hemos logrado que algunas estudiantes se sientan cómo-das en la clase de matemáticas, tengan espacio para dialogar, para participar, para decir sus difi cultades y eso ha sido valio-so. La comodidad que tiene la alumna en matemáticas cuando ya no se siente relegada en el salón de clase o se siente parte del proceso que se está desarrollando en la clase, se manifi esta en que participa en solución de problemas, expone con se-guridad, ya no siente miedo por salir al tablero o por pasar al frente de sus compañeras; esos elementos son los que nos han servido muchísimo.

¿Qué esperamos nosotros a largo plazo con las compe-tencias ciudadanas? Que las alumnas destacadas del club de matemáticas compitan dentro del respeto por el otro, y que las estudiantes con difi cultades mejoren sustancialmente su apre-ciación sobre la matemática, la empiecen a mirar como un ele-

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mento que no está tan alejado de su realidad sino que les está ayudando a manejarse con conceptos de su realidad.

En la institución educativa San Vicente manejamos un par-te social, así que está institucionalizado el concurso “El factor matemático”, que fue creado a semejanza del factor X, que está muy de moda en la televisión. Éste presenta categorías como en cualquier tipo de concurso y las participantes son las estudian-tes del club porque estamos fortaleciendo el conocimiento y su desempeño en las competencias de matemáticas.

En cada uno de los salones se hacen unas de pruebas; una se llama de memoria porque en matemáticas a veces es necesario manejarla un poquito. Así que se presenta un cuadro que tiene números dispuestos de forma horizontal y vertical de tres por tres, se le exponen durante dos minutos los números a las niñas y tienen un minuto para reproducirlo; lógicamente se seleccionan las que reprodujeron de mejor forma los números. En la prueba de habilidad y destreza, que dura quince minutos, se manejan cuadros mágicos y rompecabezas; y en la prueba de profundización viene el fortalecimiento de los estándares que corresponden a las competencias matemáticas, en las que la es-tudiante va a manejar y expresar sus dominios acerca de lo que se ha trabajado en los diferentes cursos.

Al fi nalizar esta prueba eliminatoria se llega al concurso fi nal, que se hace durante el día que corresponde a las mate-máticas en la semana de la ciencia en el colegio; como ya hizo una fase eliminatoria viene entonces la parte del concurso, que

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corresponde a dos modalidades: el collar matemático y el có-digo secreto.

¿Qué es el collar matemático? Se le disponen unas piezas a las estudiantes con formas de fi guras geométricas, se forma un collar y se da un valor; los estudiantes deben obtener el número 20 o el número 120 con este collar. En la prueba del código secreto se trabaja con un elemento básico que es el plano car-tesiano con parejas; a través de una observación del plano y de unas condiciones que se dan, las parejas organizan un mensaje acerca del trabajo que tiene que ver con algunos matemáticos famosos, deberán descubrir el nombre de un matemático famo-so; quien lo haga deforma más rápida ganará el concurso. Al fi nalizar se premian por niveles.

Lo que corresponde a la evaluación en este proyecto se mira desde los parámetros de evaluación, para nosotros es muy importante observar el desempeño de la estudiante a lo largo del proceso por períodos y al fi nalizar el año.

Hay una retroalimentación porque nos reunimos para eva-luar lo que hemos logrado, en lo que hemos fracasado y los recursos. Para nosotros es muy importante que los compañeros del área de matemáticas estemos fortalecidos y trabajemos de forma sincronizada.

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Medición del ritmo en la aprehensión del conocimiento

Expositor: Fernando Bastidas Parra,

Institución educativa Juan Pablo II, de Cartago, Valle

Voy a mostrar las dos fases del trabajo, la primera fase fue el trabajo que desarrollé durante ocho años, de 1995 a 2003, cuando elaboré, basado en muchas teorías y trabajos académi-cos, cinco elementos de trabajo auxiliares para el grado quinto de primaria. Esos cinco elementos corresponden a tres software, un libro y una cartilla que permiten al docente aprovechar al máximo las capacidades y aptitudes del niño.

Me fundamenté en los juegos de video debido a que en Es-tados Unidos hicieron una investigación que decía que los niños que permanecían más tiempo en los juegos de video obtenían mejores puntajes en matemáticas; y ustedes los que han jugado juegos de video saben que es por las escalas, los puntos, los nú-meros, los productos, etc., así que eso me motivó mucho.

Otra de las motivaciones es que un niño aprende algo en nueve minutos en promedio por medio de un video. Después del diseño de una cartilla en video y de un video que es aritmé-tica únicamente desarrollé unos mecanismos para medir en los estudiantes la adquisición del conocimiento, porque me llamó mucho la atención que Merani, en un informe científi co decía que en quinto de primaria los estudiantes olvidaban 92% de lo aprendido al cabo de dos meses.

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El origen de la investigación es que cuando era docente de cálculo en la universidad, y trabajaba de manera simultánea con bachillerato, empecé a sacar una lista de los problemas que más afectaban a los estudiantes. La lista se fue volviendo la misma y después por casualidad comprobé que era el caso de todos los temas de aritmética de quinto de primaria. Entonces por eso este trabajo empieza en quinto de primaria.

Para medir la adquisición del conocimiento básico que deben tener los niños de quinto de primaria elaboré un soft-ware que lo llamé el evaluador. Estas pruebas, que tratan de ajustarse a las competencias, buscan que cada que el niño va a iniciar algo se le dé un ejemplo o se le haga un resumen; los niños llevan únicamente un papel y un lápiz y empiezan a resolver esta prueba, ellos van consignando sus resultados y luego hacen clic en Continuar.

Ellos resuelven 368 puntos cada mes, la misma prueba cada mes, o sea, nosotros vamos avanzando con el progra-ma, pero ellos cada mes hacen la misma prueba. ¿Por qué se hace la misma prueba? Para tomar el mismo parámetro para tener unos valores similares cada vez que se hace la prueba. El evaluador lo que hace es que al fi nal le da los resultados al estudiante de inmediato, o sea, él termina y de una vez tiene los resultados por tema.

El primer año con una prueba censal que obtuvimos, sa-camos 64% con los niños. El segundo año obtuvimos 74%. En este año recibí la mención de honor del Premio Compartir,

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Medición del ritmo en la aprehensión del conocimiento

porque ellos visitaron, revisaron, corrigieron y verifi caron toda la información que les estoy dando.

Entre 2005 y 2006 obtuvimos con el software ya mejo-rado 82% en la misma prueba censal. En el proceso del año pasado, en la primera prueba que se hizo sacaron 40% y en la última en el mes de mayo los niños obtuvieron un promedio de 63% sobre toda la evaluación. Quiere decir que desde que em-pezaron hasta que terminaron el incremento fue de 23%, eso de acuerdo con lo que les comentaba, hay cosas que a medida que pasa el tiempo las olvidan; les puedo asegurar que lo más difícil para los niños de quinto de primaria es el máximo común divi-sor y el mínimo común múltiplo, es lo que olvidan más rápido.

REINALDO NUÑEZ - Comentarista ExpertoEn general, en estas experiencias se insiste mucho en tra-

bajar con problemas de la vida real, en trabajar con lo lúdico, problemas prácticos, pero siempre queda la inquietud de qué va más allá de estos trabajos o de estos ejercicios basados en pro-blemas de la vida real y la lúdico, en el sentido de qué tanto se está manejando la parte conceptual. Hay la inquietud acerca de la forma como están manejando los conceptos; se habla mucho de la transversalidad, pero viene el problema de qué tanto, de manera conceptual, estamos manejando las cosas en matemáti-ca; y lo digo eso se evidencia en los primeros semestres de los cursos de matemáticas de la educación superior.

Con respecto a la primera presentación, es bien interesan-te y yo haría una recomendación en el sentido de que dada la

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fl exibilidad del currículo y que tienen una manera de diferenciar entre estudiantes destacados y estudiantes que tienen difi culta-des, sería bueno insistir más con las estudiantes destacadas en que trabajaran teorías matemáticas desde lo elemental.

Cuando digo teorías matemáticas, me refi ero a que los jó-venes que desde muy temprana edad trabajan un nivel elemen-tal están en capacidad de trabajar teorías, de la manera como lo hace el matemático, que hace conjeturas, plantea problemas, quita condiciones, pone condiciones, borra, vuelve a empezar, es bastante persistente. Es decir, crear ese tipo de hábitos propios de lo que se hace en el trabajo matemático como tal. Eso no implica que no se trabaje con todo lo que tiene que ver con lo que se ha denominado la matemática escolar y las competencias ciudadanas, sino que hay que tener muy buena formación en la disciplina como tal y al mismo tiempo un muy buen manejo del aspecto educativo cognitivo que hay alrededor de la enseñanza.

Con respecto al programa del colegio de Cartago, surgen dos enseñanzas bien importantes. El video es una herramienta para facilitar el aprendizaje, pero hay que tener cuidado porque de pronto nos vamos a extremos que no son buenos, sobre todo, cuando se apoya en ciertas teorías y estadísticas; pero también nos muestra algo que no lo hemos tenido en cuenta y lo hemos descuidado mucho, el tema del manejo de los materiales, pero ahí también se debe tener cuidado con las cifras estadísticas, porque desarrollar una misma prueba muchas veces de pronto puede distorsionar y sesgar la información estadística y el com-portamiento de los resultados.

matemáticas a la medida de los niños - colombia...

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