matematicas en farmacocinética
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Alejandro Lindarte Corredor
Residente de Farmacología Clínica
Universidad de la Sabana
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Introducción
La farmacocinética es un proceso que requiere el conocimiento matemático.
Se deriva de de cinéticas químicas y enzimáticas.
Al administrar una dosis de un fármaco es sometido a numerosos procesos (ADME) que definen la Cp, la cual que puede ser descrita matemáticamente.
Nos ayuda a describir:
• Concentración en el sitio de acción
• Duración e intensidad de la respuesta farmacológica.
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Exponentes y Logaritmos
Ley de los exponentesExponentes
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Logaritmos:
El logaritmo de un número (N) en una base de logaritmodeterminada (b) es el exponente al cual hay que elevar la basepara obtener dicho número (x)
De la expresión
• N= bx
Asi…
• logb N= x
Exponentes y Logaritmos
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• Ley de los logaritmos
Exponentes y Logaritmos
Ejemplos:• log (2 x 3) = log2 + log3 = 0.77
• log (2/3) = log2 –Log3) = -0.176
• log 23 = 3 x log2 = 0.903
• log3√2= log2/3 = 0.10
• -log (2/3) = log(3/2) =0.17-log (a/b) = log(b/a)
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Logaritmo Natural
logaritmo cuya base es el número e ( número irracional cuyo valor aproximado es 2,7812..)
El logaritmo natural es 2.3025 veces mas grande que el logaritmo decimal.
• Ln ex= x o,
• Loge X = exponente al que debe elevar e (2.7812) para que sea igual a X
• Ej: ln9= Loge 9= 2.2 = e2.2= 9
Exponentes y Logaritmos
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Cálculo
• La farmacocinética considera al fármaco en un estadodinámico.
• El calculo es una herramienta que permite analizar esteestado de manera cuantitativa.
• En farmacocinética se usa Calculo Diferencial y CalculoIntegral
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Calculo Diferencial
• El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste enel estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian.
• la velocidad a la cual una variable cuantitativa cambia, se expresa enderivada.
m: sustancia disuelto (fármaco)t: tiempoA: superficie de interfase entre la sustancia y el solventeD: coeficiente de Difusiond: espesor de la capa de superficie de la sustanciaCs: concentración de la sustancia en la superficieCb: concentración de la sustancia en el solvente
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Calculo Diferencial
Tiempo Concentración plasmática delfármaco ( mcg/dl)
0 12
1 10
2 8
3 6
4 4
5 2
La concentración de un fármaco varia en función del tiempo
2mcg/l/h
ej:C= 12-2tC= 12- 2(3)C=6
C= ƒ (t)
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Calculo Integral
• Se considera como la sumatoria ( ) de la función
• o
• Rama del calculo se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
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Calculo Integral
• Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual alárea limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectasverticales x = a y x = b
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
Dx: es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
La integral definida se representa por símbolo integral definida
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Calculo Integral
Tiempo Concentración plasmática delfármaco ( mcg/dl)
0.5 38.9
1 30.3
2 18.4
3 11.1
4 6.77
5 4.10
La concentración de un fármaco varia en función del tiempo
Ej:AUC entre tiempo 1-2AUC1
2= 30.3 + 18.4 _ ( 2 – 1)2
AUC= 24.35mcg/L
AUC totalΣ AUC= AUC1-2+ AUC 2-3 + AUC3-4
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Gráficos
la construcción de una grafica por el trazado de los datos observados o experimentales
es un método importante de visualizar la relación entre variables
• X: variable independiente
• Y: variable dependiente
Tienen dos ejes : (x) y (y).
En farmacocinética se usa (y)= concentración (x)= tiempo 2 tipos de gráficos (cartesiano y semilogaritmico)
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Gráficos
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Ajuste de curva
• Ajustar un curva a los puntos implica que hay ciertarelación entre las variables (y) y (x).
• Esta relación fisiológica es dinámica y no siempre eslineal.
• Los datos se pueden transformar para expresar larelación en línea recta
Ecuación general para la línea recta
Y= mx + b b: intercepto ym: pendiente
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Ajuste de Curva
Intercepto Y: donde la recta corta el eje de
Pendiente: inclinación de la recta.
Y= mx + b
y
x
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Tipos de Pendiente
Pendiente = 0
Pendiente = positiva Pendiente negativa
Pendiente indefinida
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Determinación de la Pendiente
• Pendiente de una línea recta y
m= 2-3/ 3-1
m= -1/2
Y= mx + b
y= -1/2x + 3.5y= -1/2 (4) + 3.5y= 1.5
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Determinación de la Pendiente
• Pendiente de una línea curva
m= __lnY2 – lnY1__X2 - X1
Logaritmo natural
m= ln2 – ln3 / 3 – 1
m= -0.2
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Determinación de la Pendiente
• Pendiente de una línea curva
m= 2.3 __(logY2 – logY1 )_X2 - X1
Logaritmo Decimal
m= 2.3 x ( log2 – log3 / 3 – 1)m= 2.3 x (-0.08804)
m= -0.2
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Métodos de los mínimos cuadrados• El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de
datos presentados en un diagrama de dispersión.
Determinación de la Pendiente
m= ___Σ(x) Σ(y) – n Σ(xy)__ [Σ(x)]2 - n Σ(x2)
b= _Σ(x) Σ(y) – n Σ(x2) Σ(y)_ [Σ(x)]2 - n Σ(x2)
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Tiempo Concentración
1 3.1
2 6.0
3 8.7
4 12.9
5 15.3
6 17.9
7 22.0
8 23.0 0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10
Series1
Linear (Series1)
m=2.97b=0.257
Y= mx + by= 2,97x + 0.257
Determinación de la Pendiente
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TiempoConcentración
0 10
2 5
4 2,5
6 1,25
8 0,625
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
Series1
Eje y se calcula bajo logaritmo natural
Determinación de la Pendiente
m= -0.3465
Logaritmo decimal
mlog= K/ 2.3 mlog= -0.151
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APLICACIÓNEN FARMACOCINÉTICA
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Unidades en Farmacocinética
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Velocidades y Ordenes de Reacción
• Evalúa la dinámica de una constante respecto a otra.
• Si un fármaco disminuye su concentración (A) en el tiempo podríamos expresar que
• -dA/dt
• Si un fármaco aumenta (A) en el tiempo podemos decir
• +dA/dt
Velocidad (rate)
Un rate farmacocinético es determinado experimentalmente midiendo las variaciones de la concentración (A) en intervalos de tiempo
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Cinética de Orden Cero
• La concentración (C) disminuye a un intervalo de tiempo constante (t), se expresa:
dC/dt = -k0
-k0 es la constante de orden 0 se expresa en masa/tiempo (mg/min)
Cp= -K0t + Cp0
Y= mx + b
Cp= Cp0 -K0t
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Cinética de Orden Uno
La concentración (C) disminuye PROPORCIONALMENTE a la concentración del fármaco restante. La disminución se expresa como:
dC/dt= -kCK es la constante de 1er orden se expresa en unidad de tiempo -1
(h-1), la integración de la ecuación se expresa:
lnCp= -kt + lnCp0 o
Cp= Cp0 e -kt